diseño completamente aleatorizado
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Análisis de varianza y el diseño completamente aleatorizado.
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A continuación se muestra el uso del análisis
de varianza para probar la igualdad de k
medias poblacionales en un diseño
completamente aleatorizado.
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La forma general de esta prueba de hipótesis
es
donde
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Se asume que de cada una de las k
poblaciones o tratamientos se toma una
muestra aleatoria simple de tamaño nj.
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Para los datos muestrales resultantes, sean
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Las fórmulas para la media y la varianza
muestral del tratamiento j son las siguientes
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La media muestral general, es la suma de
todas las observaciones divididas entre la
cantidad total de observaciones, es decir
donde
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Si el tamaño de cada muestra es n, la
ecuación anterior se reduce a
En otras palabras, si todas las muestras son
del mismo tamaño, la media muestral general
es el promedio de las k medias muestrales.
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En el experimento de Chemitech, como todas
las muestras constaban de n=5
observaciones, la media muestral general
está dada por
Si la hipótesis nula es verdadera, la media
muestral general es la mejor estimación de la
media poblacional.
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Estimación de la varianza poblacional entre tratamientos
A la estimación de entre tratamientos
también se le llama cuadrado medio debido a
los tratamientos y se denota como CMTR. La
fórmula general para calcularlo es
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Al numerador de la ecuación (1) se le llama
suma de cuadrados debido a los tratamientos
y se denota por SCTR. El denominador, k-1,
representa los grados de libertad asociados
con la SCTR.
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Si H0 es verdadera, el CMTR proporciona una
estimación insesgada de . No obstante, si
las medias de las k poblaciones no son
iguales, el CMTR sobreestima a .
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Para los datos de Chemitech obtenemos los
siguientes resultados
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Estimación de la varianza poblacional
dentro de los tratamientosA la estimación de dentro de los
tratamientos también se le llama cuadrado
medio debido al error y se denota como CME.
La fórmula general para calcularlo es
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Al numerador de la ecuación (2) se le llama
suma de cuadrados debido al error y se
denota por SCE. El denominador, nT-k,
representa los grados de libertad asociados
con la SCE.
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El que H0 sea o no verdadera no tiene ninguna
influencia, por lo que el CME proporciona
siempre una estimación insesgada de .
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Para los datos de Chemitech obtenemos los
siguientes resultados
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Comparación de las estimaciones de las
varianzas: la prueba FSi la hipótesis nula es verdadera y se
satisfacen los supuestos del ANOVA, la
distribución muestral del CMTR/CME es una
distribución F con k-1 grados de libertad en el
numerador y nT-k grados de libertad en el
denominador.
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PRUEBA DE IGUALDAD DE k MEDIAS
POBLACIONALES
ESTADISTICO DE PRUEBA
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REGLA DE RECHAZO
donde pertenece a la distribución F con k-1
grados de libertad en el numerador y nT-k
grados de libertad en el denominador.
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Ahora bien, en el experimento de Chemitech
se usará como nivel de significancia
, para realizar la prueba de hipótesis. En este
caso el valor del estadístico de prueba es
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Con utilizamos la siguiente tabla
para calcular el valor de , considerando 2
grados de libertad en el numerador y 12 en el
denominador, de modo que
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Como , H0 es rechazada y
concluimos que las medias de las tres
poblaciones no son iguales.
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Tabla de ANOVA
Los cálculos anteriores se pueden presentar
de manera adecuada en un instrumento
conocido como tabla de análisis de varianza o
tabla de ANOVA. En la siguiente figura se
observa la forma general de una tabla ANOVA
para un diseño completamente aleatorizado.
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