DISEÑO FACTORIAL DE 3 FACTORES

EQUIPO 8

Integrantes:

Corona Cobarrubias Coral

Garcia Garcia Aldo Enrique

Hernandez Gomez Alejandra

Saenz Torres Oscar

CRITERIOS DE EVALUACION

ASISTENCIA 20

CUADERNO 30

ATENCION AL EXPOSITOR 20

CALCULADORA 15

PRACTICA(MINITAB) 15

introduccion

El diseño factorial 3ᴷ considera k factores con tres niveles cada uno y tiene 3ᴷ tratamientos. La primera desventaja de los diseños 3ᴷ es que al aplicarse requieren mayor cantidad de pruebas que el diseño de 2ᴷ.

Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A, B y C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es a, b y c, respectivamente, se puede construir el arreglo factorial axbxc que consiste de axbxc tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial 2², el factorial 3³ y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4 x 3 x 2 y el factorial 4 x 4 x 2, por mencionar dos de ellos.

EXPERIMENTO. Un estudio en el que el investigador tiene un alto grado de control sobre las fuentes de variación importantes, se denomina experimento. Si se tiene poco control sobre los factores, se habla de un estudio observacional.

FACTORES. Los fenómenos que potencialmente causan variación, y que son controlados por el experimentador, se denominan factores. También a veces se denominan tratamientos.

NIVELES DE UN FACTOR. Son los valores que toma un factor. En general toman valores que se miden en escala categórica, aunque a veces suelen ser medidos en escalas numéricas.

COMBINACIÓN DE TRATAMIENTOS. Cada una de las combinaciones de niveles de todos los factores involucrados en el experimento.

RÉPLICAS. Todas las corridas experimentales que corresponden a una misma combinación de tratamientos. Son repeticiones del experimento, bajo idénticas condiciones de los factores. Objetivos: Lograr mayor precisión en la estimación de los efectos de los factores y de sus interacciones, y estimar el error experimental.

Hipótesis de interés

El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permite investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del número de niveles utilizando en cada factor. Por ejemplo, si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero, si tuviera tres niveles su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura.

En resumen, se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose, y con ellos se pueden plantar las siete hipótesis nulas

cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla.

Donde:

FV: Fuente de Variación.

SC: Suma de Cuadrados.

GL: Grados de Libertad.

CM: Cuadrado Medio.

FO: f Fisher calculado.

𝑆𝐶𝑇=Σ   𝑌 𝑖𝑗𝑘2−Σ   𝑌 2

𝑁𝑆𝐶𝐴=Σ𝑌𝑖2

𝑏𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁

𝑆𝐶𝐵=Σ𝑌𝑗 2

𝑎𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁

𝑆𝐶𝐶=Σ𝑌𝑘2

𝑎𝑏𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁

𝑆𝐶𝐴𝐵=Σ𝑌𝑖𝑗2

𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵

𝑆𝐶𝐴𝐶=Σ𝑌𝑖 . 𝑗2

𝑏𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐶

𝑆𝐶𝐵𝐶=Σ𝑌𝑗 .𝑘2

𝑎𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶

𝑆𝐶𝐴𝐵𝐶=Σ𝑌𝑖𝑗𝑘 .2

𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶 𝐴𝐵−𝑆𝐶𝐴𝐶−𝑆𝐶𝐵𝐶−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶

𝑆𝐶𝐸=𝑆𝐶𝑇−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶−𝑆𝐶𝐴𝐵−𝑆𝐶𝐴𝐶−𝑆𝐶𝐵𝐶−𝑆𝐶𝐴𝐵𝐶

Yi= Total de las observaciones bajo el i-esimo nivel del factor A.Yj= Total de las observaciones bajo el j-esimo nivel del factor B.Yk= Total de las observaciones bajo el K-esimo nivel del factor C.Yij= Total de las observaciones de la ij-esima celda.Yi.j= Total de las observaciones de la i.j-esima celda.Yi.k= Total de las observaciones de la i.k-esima celda.Yijk.= Total de las observaciones de la ijk.-esima celda.Y= Total de las todas las observaciones.Yijk= Total de las observaciones de la ijk-esima celda.

Donde:

PROBLEMAS!!

EJEMPLO 1

1.- Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de corte de metal. Son de interés tres factores: la profundidad del corte(A), el ángulo de la herramienta (B) y la rapidez de alimentación (C).A los tres factores se les ha asignado dos niveles, y se corren dos réplicas de un diseño factorial

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos. Use α=0.05

b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a

Primer paso: Planteamiento de las hipótesis

𝐻𝑂 : 𝐴=0𝐻𝐴 : 𝐴≠0

𝐻𝑂 :𝐵=0𝐻𝐴 :𝐵≠0 𝐻𝐴 :𝐶 ≠0

𝐻𝑂 :𝐶=0

𝐻𝐴 : 𝐴𝐵≠0𝐻𝑂 : 𝐴𝐵=0

𝐻𝐴 : 𝐴𝐵𝐶≠0𝐻𝑂 : 𝐴𝐵𝐶=0

𝐻𝐴 :𝐵𝐶≠0𝐻𝑂 :𝐵𝐶=0

𝐻𝐴 : 𝐴𝐶≠0𝐻𝑂 : 𝐴𝐶=0

Segundo paso: Caculo de las sumas correspondientes

Para calcular la sumatoria de Yj²Para calcular la sumatoria de Yijk²

Para calcular la sumatoria de Yi.j²

Para calcular la sumatoria de Yij²

Para calcular la sumatoria de Yj.k²

Para calcular la sumatoria de Yijk.²

Sumatorias obtenidas:

ΣY 177 ΣYijk² 2051

ΣY² 31329 ΣYi² 15749

n 2 ΣYk² 16029

N 16 ΣYj² 15689

a 2 ΣYij² 7893

b 2 ΣYi.j² 8087

c 2 ΣYj.k² 8027

ΣYijk. ² 4063

Tercer paso: Calcular los componentes del ANOVA

𝑆𝐶𝑇=Σ   𝑌 𝑖𝑗𝑘2−Σ   𝑌 2

𝑁=2051−

(177 )2

16=2051−

3132916

=2051−1958.06=92.94

𝑆𝐶𝐴=Σ𝑌𝑖2

𝑏𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁= 15749

(2 ) (2 ) (2 )−

(177 )2

16=15749

8−

3132916

=1968.62−1958.06=10.56

𝑆𝐶𝐵=Σ𝑌𝑗 2

𝑎𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁= 15689

(2 ) (2 ) (2 )−

(177 )2

16=15749

8−

3132916

=1961.12−1958.06=3.06

𝑆𝐶𝐶=Σ𝑌𝑘2

𝑎𝑏𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁= 16029

(2 ) (2 ) (2 )−

1772

16=16029

8−1958.06=2003.62−1958.06=45.56

𝑆𝐶𝐴𝐵=Σ𝑌𝑖𝑗2

𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵=

78934−1958.06−10.56−3.06=1973.25−1958.06−10.56−3.06=1.5 6

𝑆𝐶𝐴𝐶=Σ𝑌𝑖 . 𝑗2

𝑏𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐶=8087

4−1958.06−10.56−45.56=2021.75−1958.06−10.56−45.56=7.56

𝑆𝐶𝐵𝐶=Σ𝑌𝑗 .𝑘2

𝑎𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶=

80274−1958.06−3.06−45.56=2006.75−1958.06−3.06−45.56=0.0 6

𝑆𝐶𝐸=𝑆𝐶𝑇−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶−𝑆𝐶𝐴𝐵−𝑆𝐶𝐴𝐶−𝑆𝐶𝐵𝐶−𝑆𝐶𝐴𝐵𝐶=92.93−10.56−3.06−45.56−1.56−7.56−0.06−5.08=19.5

FV SC GL CM FO FCALCULADA Conclusión

A: Rapidez de alimentación

10.56 1 10.56 4.33 5.32 Acepta

B: Profundidad del corte

3.06 1 3.06 1.25 5.32 Acepta

C: Angulo de la herramienta

45.56 1 45.56 18.67 5.32 Rechaza

AB 1.56 1 1.56 0.64 5.32 Acepta

AC 7.56 1 7.56 3.10 5.32 Acepta

BC 0.06 1 0.06 0.02 5.32 Acepta

ABC 5.06 1 5.06 2.08 5.32 Acepta

Error 19.50 8 2.44  

Total 92.94 15      

Dado que utilizamos un α=0.05 y puesto que el valor de f, con su nivel de significancia como con sus grados de libertad en las tablas respectivamente tenemos

Resultados obtenidos con MINITAB

EJEMPLO 2

2.- El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia los efectos de varios factores sobre el teñido de una tela combinada de algodón y fibra sintética que se usa para hacer camisas. Se seleccionan dos operadores (A), tres duraciones del ciclo (B) y dos temperaturas (C), y dos ejemplares de prueba pequeños de tela se tiñeron bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón y se asigno una puntuación numérica. Los resultados se presentan en la tabla siguiente

a) Enuncie y pruebe las hipótesis apropiadas usando el análisis de varianza con α=0.05

Para calcular la sumatoria de Yi.j²Para calcular la sumatoria de Yij²

Para calcular la sumatoria de Yj.k² Para calcular la sumatoria de Yijk.²

Sumatorias obtenidas:

ΣY²58675

6 ΣYijk² 25144

ΣY 766 ΣYi²29555

6

n 2 ΣYk²29366

6

N 24 ΣYj²19826

6

a 2 ΣYij²10007

6

b 3 ΣYi.j²14793

8c 2 ΣYj.k² 99326

ΣYijk. ² 50200

𝑆𝐶𝑇=Σ   𝑌 𝑖𝑗𝑘2−Σ   𝑌 2

𝑁=25144−

(766 )2

24=25144−

58675624

=25144−24448.17=695.83

𝑆𝐶𝐴=Σ𝑌𝑖2

𝑏𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁= 295556

(3 ) (2 ) (2 )−

(766 )2

24=295556

12−

58675624

=24629.67−24448.17=181.50

𝑆𝐶𝐵=Σ𝑌𝑗 2

𝑎𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁= 198266

(2 ) (2 ) (2 )−

(766 )2

24=198266

8−

58675624

=24783.25−24448.17=335.08

𝑆𝐶𝐶=Σ𝑌𝑘2

𝑎𝑏𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁= 293666

(2 ) (3 ) (2 )−

(766 )2

24=293666

12−24448.17=24472.17−24448.17=24

𝑆𝐶𝐴𝐵=Σ𝑌𝑖𝑗2

𝑐𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵=

1000764

−24448.17−181.50−335.08=25019−24448.17−181.50−335.08=54.25

𝑆𝐶𝐴𝐶=Σ𝑌𝑖 . 𝑗2

𝑏𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐶=147938

6−24448.17−181.50−24=24656.33−24448.17−181.50−24=2.66

𝑆𝐶𝐵𝐶=Σ𝑌𝑗 .𝑘2

𝑎𝑛−

Σ𝑌 2

𝑁−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶=

993264

−24448.17−335.08−24=24831.5−24448.17−335.08−24=24.25

𝑆𝐶𝐸=𝑆𝐶𝑇−𝑆𝐶𝐴−𝑆𝐶𝐵−𝑆𝐶𝐶−𝑆𝐶𝐴𝐵−𝑆𝐶𝐴𝐶−𝑆𝐶𝐵𝐶−𝑆𝐶𝐴𝐵𝐶=695.83−181.50−335.08−24−54.25−2.66−24.25−29.75=44

FV SC GL CM FO FCALCULADA Conclusión

A: Operador 181.5 1 181.5 49.45 4.75 Rechaza

B: Duración de ciclo 335.08 2 167.54 45.65 3.89 Rechaza

C: Temperatura 24 1 24 6.54 4.75 Rechaza

AB 54.25 2 27.125 7.39 3.89 Rechaza

AC 2.66 1 2.66 0.72 4.75 Acepta

BC 24.25 2 12.125 3.30 3.89 Acepta

ABC 29.75 2 15.04 4.10 3.89 Rechaza

Error 44 12 3.67  

Total 695.83 23      

Dado que utilizamos un α=0.05 y puesto que el valor de f, con su nivel de significancia como con sus grados de libertad en las tablas respectivamente tenemos y

Resultados obtenidos con MINITAB