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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

DISEÑO DE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA DEL ESTUDIO

DE MATEMATICA EN LA

ENSEÑANZA MEDIA UTILIZANDO UN PROCESADOR

SIMBÓLICO

AUTORES:

ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS

DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ

BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA

Profesor Guía:

Máximo González Sasso

Propósito:

Tesis para obtener el grado de

Licenciado en Educación de Física y

Matemática.

Santiago, Chile

2010

© 191774 ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS



Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines

académicos, por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la cita bibliográfica del documento

DISEÑO DE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA DEL ESTUDIO DE

MATEMATICA EN LA ENSEÑANZA MEDIA UTILIZANDO UN PROCESADOR

SIMBÓLICO.

!

ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS



Este trabajo de Graduación fue elaborado bajo la supervisión del profesor guía Sr. Máximo González Sasso del Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación y ha sido aprobado por los miembros de la comisión Calificadora, Sr. Juan Manuel Guajardo Rubilar y Sra. Gloria Verónica Peters Valencia.

_____________________________ Sra. Gloria Verónica Peters Valencia

Profesora Correctora

_____________________________ Sr. Juan Manuel Guajardo Rubilar

Profesor Corrector

__________________________ Sr. Bernardo Carrasco Puentes

Director (s)

_______________________ Sr. Máximo González Sasso

Profesor Guía

AGRADECIMIENTOS

Dedicado a mis padres y hermanos, quienes han aportado con su inmensa

paciencia y amor para que esta etapa llegue a su fin, apoyándome siempre en los momentos difíciles y

celebrando cada triunfo conseguido.

Gracias por el enorme sacrificio que han realizado

durante muchos años en pos de mi educación, enseñándome desde el momento mismo de nacer hasta el

día de hoy, aportando directamente a mi crecimiento como persona.

. A la familia y amigos, preocupados siempre de mi

progreso, entregando a cada instante aliento necesario para llevar a cabo este

enorme desafío.

A los profesores que contribuyeron a mi formación, entregando las herramientas

que me permitirán enfrentar los nuevos desafíos que trae esta nueva etapa.

Y a las personas maravillosas que conocí en este camino

con quienes compartí muchas experiencias que fortalecen el desarrollo profesional

Muchas Gracias

Elizabeth Barra Villalobos

AGRADECIMIENTOS

Veinte años de estudios que finalizan, los cuales sin la ayuda y apoyo de

muchos y muchas esto no hubiera sido posible, en estas pequeñas palabras

expreso mi gratitud a tan enorme tarea.

A toda mi familia, a mis padres y mi mama por esforzarse en muchos sentidos

para que tuviera la mejor educación, pero además por su apoyo constante,

cariño y por sobre todo la confianza que depositaron en mí, este triunfo es de

ellos también.

A mis hermanos por la ayuda recibida durante todos estos años, desde

enseñarme a leer, hasta simplemente comprenderme. A todos los profesores que dedicaron su tiempo para

entregarme los conocimientos y consejos para poder desenvolverme.

Seguramente serán el ejemplo que tendré en muchos momentos.

A mis amigos y compañeros que han pasado por mi vida,

por sus palabras de apoyo en momentos buenos y sobretodo en los malos.

Simplemente a cualquier persona que al enterarse de esto, que no haya

nombrado pero que sonría por mí. Muchas gracias.

Daniel Ponce de León Yáñez

AGRADECIMIENTOS

“Yo sé que mi Redentor vive, y al fin se levantará sobre el polvo”. Job 19:25

Con todo cariño dedico este trabajo de titulación a mi

familia: mi mamá, mi papá, mis hermanos, mis abuelas, quienes siempre me

apoyaron, no tan sólo en esta etapa, sino también en todos los años de estudio de

la carrera y de enseñanza escolar; mis papas me enseñaron a leer,

siempre me decían que tenía que hacer las tareas, me iban a dejar al bus en la

mañana, gracias a ellos pude surgir y seguir mis estudios.

A mi familia le debo estar hoy en estas instancias, en especial a Dios, que me

da entendimiento, fuerzas y vida, para ser un aporte en la sociedad

educacional.

A profesores y amigos, gracias por sus consejos en toda la carrera y también

quienes hicieron posible esta tesis.

Bárbara Quila Miranda

i

Tabla de Contenido

Resumen……………………………………………………………………… 1

Abstracts……………………………………………………………………….2

Introducción………………………………………………………………….. 3

1. Cambio concepción del aprendizaje escolar

1.1.- Escuela tradicional hacia la

enseñanza Constructivista……………………………………… 6

1.2.- Aprendizaje de la Matemática………………………………….. 9

1.3.- Facilitar el aprendizaje de la Matemática………………………11

1.4.- Utilización de T.I.C.s…………………………………………….. 12

1.5.- Procesador Simbólico…………………………………………… 14

2. Aprendizaje en el curriculum nacional

2.1.- Decreto 220………………………………………………………. 15

2.2.- Mapa de progreso……………………………………………….. 18

3. Metodología

3.1.- Presentación de la Encuesta………………………………….. 22

3.2.- Datos de los Colegios encuestados………………………….. 23

3.3.- Escalas de apreciación…………………………………………. 24

3.3.1.- Las Nuevas Tecnologías y su Globalización……….. 25

3.3.2.- Mi Relación con la Tecnología………………………… 29

3.3.3.- El uso de las NTIC´s en la escuela…………………… 37

3.4.- Preguntas……………………………………………………….. 44

ii

4. Diseño Curricular de propuesta didáctica de la enseñanza en el ámbito

de la selección temática.

4.1.- Consideraciones Generales de la propuesta didáctica………48

4.2.- Diseño Curricular de La Primera Unidad a tratar

Función Cuadrática…………………………………………………… 50

4.3.- Diseño Curricular de La Segunda Unidad a tratar

Función Exponencial…………………………………………………. 73

4.4.- Diseño Curricular de La Tercera Unidad a tratar

Función Logarítmica………………………………………………….. 91

5. Propuesta de Actividades en Maple 9.

5.1.- Consideraciones Generales…………………………………… 110

5.2.- Función Cuadrática correspondiente a

Tercer Año de Enseñanza Media…………………………………… 111

5.3.- Función Exponencial correspondiente a

Cuarto Año de Enseñanza Media…………………………………… 137

5.4.- Función Logarítmica correspondiente a

Cuarto Año de Enseñanza Media…………………………………… 174

Conclusión……………………………………………………………………. 197

Bibliografía…………………………………………………………………….203

Bibliografía en línea…………………………………………………………..205

Anexo 1.- Encuesta…………………………………………………………. 206

Anexo 2.- Glosario…………………………………………………………… 211

iii

ÌNDICE DE TABLAS

Cuadro 1. Propuesta de actividades para el estudio

de las características de la función cuadrática…………………….. 57

Cuadro 2. Propuesta de actividades para el

estudio del vértice y extremos de la función cuadrática……………….. 62

Cuadro 3. Propuesta de actividades para el análisis

de la traslación en la función cuadrática…………………………………. 66

Cuadro 4. Propuesta de actividades para el análisis del

discriminante de la ecuación cuadrática y su

relación con la función cuadrática…………………………………………71


de las características de la función

exponencial…………………………………………………………………….80

Cuadro 6. Propuesta de actividades para el estudio de

las propiedades de la función exponencial y el Número e………………..83


del sistema de ecuaciones exponenciales……………………………….. .87

Cuadro 8. Propuesta de aplicaciones para

la función exponencial……………………………………………………… .90


de las características de la Función

Logaritmo……………………………………………………………………… 99


de las propiedades de la Función Logaritmo…………………………….. 102

Cuadro11. Propuesta de actividades para la resolución de

las ecuaciones e inecuaciones que involucren logaritmos…………….. 105

Cuadro 12. Propuesta de actividades de aplicación

de la función logaritmo……………………………………………………… 108

iv

Cuadro 13. Tabla comparativa de la función exponencial……………… 148

Cuadro 14. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva……………. 165

Cuadro 15. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva……………. 166

Cuadro 16. Depósito en el interés compuesto…………………………… 168

Cuadro17. Depósito en el interés compuesto……………………………. 171

Cuadro 18. Tabla comparativa de la función logarítmica……………….. 190

v

Índice de Ilustraciones

Figura 1. Tecnología como herramienta de desarrollo…………………. 25

Figura 2. El uso de tecnologías genera cambios……………………….. 25

Figura 3. La implementación de TIC´s mejora calidad de vida………… 26

Figura 4. Las clases siguen el enfoque tradicional…………………….. 26

Figura 5. Nuevas exigencias impuestas por el uso de TIC´s………….. 27

Figura 6. Mayor conectividad gracia a la tecnología……………………. 27

Figura 7. Adquisición de nuevas competencias………………………… 28

Figura 8. Acceso a la información………………………………………… 28

Figura 9. La tecnología genera independencia…………………………. 29

Figura 10. Visión personal sobre el uso de tecnologías………………… 30

Figura 11. Utilización de TIC´s para la

adquisición de conocimientos……………………………………………… 31

Figura 12. Percepción sobre el uso de tecnología en el

quehacer cotidiano………………………………………………………….. 31

Figura 13. Dificultad en el aprendizaje de las TIC´s…………………….. 32

Figura 14. Confianza en el uso de las TIC´s……………………………… 32

Figura 15. Seguridad al usar aparatos tecnológicos…………………… 33

Figura 16. Necesidad de usar la tecnología……………………………… 34

Figura 17. Brecha social y la tecnología…………………………………. 35

Figura 18. Necesidad de usar la tecnología……………………………… 36

Figura 19. Adquisición de tecnologías en las escuelas…………………. 37

Figura 20. Contribución del uso de las TIC´s en el

proceso de enseñanza y aprendizaje…………………………………….. 37

Figura 21. Capacitación docente en el área de TIC´s…………………… 38

Figura 22. La escuela disminuye la brecha digital………………………. 39

vi

Figura 23. Cambios métodos de enseñanza

a partir de la incorporación de TIC´s al aula……………………………… 40

Figura 24. Existencia de recursos TIC´s en el aula…………………….. 41

Figura 25. Incorporación de TIC´s en el proceso de aprendizaje……… 41

Figura 26. Motivación docente se refleja en la

innovación de las clases…………………………………………………… 42

Figura 27. Disposición de incluir recursos TIC´s en el aula

por parte de los y las docentes……………………………………………..43

Figura 28. Mapa Conceptual Función Cuadrática………………………. 54

Figura 29. Mapa conceptual Función Exponencial……………………… 77

Figura 30. Mapa conceptual Función Logaritmo…………………………. 95

Figura 31. Trayectoria haz de luz de una bengala………………………. 112

Figura 32. Función f(x)=x2………………………………………………….. 114

Figura 33. Función f(x)=x2+2x+3…………………………………………… 118

Figura 34. Función f(x)=-4x2+7x+6………………………………………… 119

Figura 35. Monotonía de la función f(x)=x2+2x…………………………… 121

Figura 36. Traslación de la función f(x)=x2……………………………….. 125

Figura 37. Animación de la traslación

horizontal de la función f(x)=x2………………………………………………127


vertical de la función f(x)=x2………………………………………………… 128


vertical de la función f(x)=x2………………………………………………… 129

Figura 40. El ave se sumerge en el mar y sale nuevamente………….. 131

Figura 41. El ave toca en un punto el mar…………………………………132

Figura 42. El ave no se sumerge en el mar………………………………..133

Figura 43. Discriminante menor que cero………………………………….135

Figura 44. “El ajedrez y los granos de trigo”……………………………….139

Figura 45.Función Exponencial en puntos……………………………….. 140

vii

Figura 46. Base mayor que 1………………………………………………..141

Figura 47. Base mayor que 1………………………………………………. 141

Figura 48. Base entre 0 y 1………………………………………………….143

Figura 49. Base entre 0 y 1………………………………………………….143

Figura 50. Función Exponencial con base mayor que 1………………… 145

Figura 51. Función Exponencial con base entre 0 y 1……………………147

Figura 52. Reciprocidad de la Función Exponencial…………………….. 149

Figura 53. Corte de la Función Exponencial en el eje

de las Ordenadas……………………………………………………………. 150

Figura 54. Asíntota……………………………………………………………152

Figura 55. Conclusión de la reciprocidad de la función

Exponencial…………………………………………………………………. 153

Figura 56. Conclusión del corte de la función exponencial

en el eje de las ordenadas………………………………………………….. 154

Figura 57. Conclusión de la asíntota de la función exponencial……….. 155

Figura 58.Función Exponencial ex………………………………………… 158

Figura 59. Masa en función del tiempo………………………………….. 167

Figura 60. Interés en función del tiempo………………………………….. 171

Figura 61. Bacterias en función del tiempo………………………………. 173

Figura 62. Cuadrados de los primeros números naturales…………….. 176

Figura 63.Pares que se pueden escribir

como expresión exponencial………………………………………………. 177

Figura 64Curvas para base 2, 3 ,4 y 5……………………………………..179

Figura 65.Función acotada a [2,3]…………………………………………. 181

Figura 66. Acotación de función al punto y=17………………………….. 181

Figura 67.Curva de función logaritmo……………………………………... 183

Figura 68.Curva de función logaritmo cuya

base está comprendida entre 0 y 1…………………………………………184

viii

Figura 69.Curva de función logaritmo en que

base es mayor que 1…………………………………………………………185

Figura 70.Función logaritmo (Ejercicio)…………………………………… 186

Figura 71.Función logaritmo (Ejercicio)…………………………………… 187

Figura 72. Función logaritmo (Ejercicio)………………………………….. 188

Figura 73. Función logaritmo v/s Función Exponencial…………………. 190

Figura 74. Función logaritmo ponderada…………………………………. 192

Figura 75. Función logaritmo más una constante..………………………. 193

1

RESUMEN

Este seminario presenta una propuesta metodológica del estudio

específico de unidades correspondiente al estudio de funciones, utilizando el

procesador simbólico Maple en su versión 9.

El proceso de enseñanza-aprendizaje tiene que responder a los

constantes cambios en nuestra sociedad, y en el mundo actual, es necesaria su

adaptación a las TIC’s, como herramienta facilitadora del aprendizaje, en este

caso, matemático.

En base al Marco Curricular vigente este seminario entrega una

propuesta en específico de los niveles Tercero y Cuarto año de Enseñanza

Media para el subsector de Matemática, con una metodología cualitativa

considerando como referencia inicial las características presentes dentro del

sistema escolar chileno.

En base a lo anterior, este seminario, como validación adjunta una

encuesta realizada a una variedad de profesores para detectar falencias u otras

características, relacionada con el uso de TIC’s en su labor docente.

El diseño de esta Propuesta Metodológica consiste en tres unidades

especificas (función cuadrática, exponencial, y logarítmica) con un diseño

curricular y un marco referencial de los procesos de enseñanza aprendizaje

clase a clase, además de una variedad de actividades utilizando el software.

2

ABSTRACT

The teaching-learning process has to respond to the constant changes

in our society and in today's world, it is necessary to adapt ICTs as a of

facilitator learning tool.

This seminar presents a methodological proposal based on the Third

and Fourth secondary of the current Curriculum for the Mathematics subject,

using the symbolic processor Maple 9.

The design of this proposed method has to do with three specific units

(quadratic, exponential, and logarithmic) with a curriculum desing and a

framework of teaching-learning processes class to class, besides a variety of

activities using the software.

Keywords: Maple 9, proposal, math, symbolic processor.

3

INTRODUCCIÓN

El proceso de enseñanza-aprendizaje ha sido objeto de investigación

por parte de los educadores, generando así diversas teorías, pasando de la

escuela tradicional hasta las corrientes pedagógicas contemporáneas, las que

buscan responder a las nuevas necesidades presentes en la sociedad y el

nuevo mundo.

Los conceptos de mundialización y globalización se han hecho

presentes en la actual sociedad chilena debido a las relaciones bilaterales que

se han iniciado con diversas naciones, como son los Tratados de Libre

Comercio, y con ello, llegan a Chile nuevas visiones y paradigmas que afectan

culturalmente nuestra sociedad, además de las nuevas tecnologías, y por ende,

oportunidades de crecimiento y desarrollo, lo que se traduce en un cambio en

todo tipo de organizaciones.

La escuela no puede excluirse de este cambio, puesto que es el

principal lugar donde se transmite información, y la influencia de la globalización

radica en la cultura, las nuevas tecnologías y el rápido acceso a la información,

por lo que la escuela debe considerar estas variables dentro de la práctica

docente.

Es por este motivo que se define como objetivo diseñar una propuesta

metodológica del estudio matemático para la Enseñanza Media utilizando un

procesador simbólico.

4

Para cumplir con el objetivo, consideraremos a estudiantes y docentes

que ya conocen las propiedades del procesador a nivel usuario, es decir, que

han trabajado anteriormente con dicha herramienta, además el establecimiento

cuenta con la licencia para trabajar y por ello, su laboratorio de computación

tiene los equipos con el procesador incluido.

Se ha dividido el trabajo en cinco capítulos, en el primero se analizan

los cambios que han surgido en la concepción del aprendizaje escolar y cómo

se incorporan herramientas que facilitan el proceso formativo de los

estudiantes; y se añade un historial del procesador simbólico.

Seguido de ello, en el capítulo dos, se describirá el Marco Curricular

que rige la educación en Chile, entiéndase Decreto 220 y los nuevos Mapas de

Progreso, donde se relacionan los Contenidos Mínimos Obligatorios y los

Objetivos Fundamentales con las actividades propuestas, además de identificar

los aprendizajes esperados presentes en la matriz curricular, y por último

reconocer los criterios presentes en los Mapas de Progreso, los cuales facilitan

la evaluación de los aprendizajes que obtienen los estudiantes al desarrollar las

actividades propuestas.

En el tercer capítulo, se trabaja con una metodología cualitativa que

permite conocer las opiniones y la relación de los(as) docentes del subsector de

matemática con respecto a la utilización de las TIC´s en el aula, como la

influencia que ésta tiene en la sociedad actual, para esto se diseñó una

encuesta, la que recoge la información antes señalada, a través de tres escalas

de apreciación y algunas preguntas de desarrollo, dejando como variable a

considerar en este instrumento la edad de los(as) participantes.

5

En el cuarto capítulo, se diseñará una propuesta de actividades para

que los y las docentes utilicen en sus respectivas clases, las cuales contarán

con las planificaciones para tres unidades, que son: Función Cuadrática,

Función Exponencial y Función Logarítmica, además de un Marco Referencial

del Proceso de Enseñanza Aprendizaje para cada clase.

Por otra parte, en el capítulo quinto se muestra la propuesta de

actividad para que sea aplicada en una clase utilizando el procesador simbólico.

Finalmente, se describen las conclusiones obtenidas al realizar las

actividades y analizar la coherencia y pertinencias de éstas con el Marco

Curricular. Se identifican las ventajas y desventajas de la utilización de

herramientas que faciliten el aprendizaje matemático, específicamente el uso de

procesadores simbólicos. Se invita a los lectores, especialmente a los docentes

a incorporar TIC´s a la práctica pedagógica para la formación de los

estudiantes y así desarrollar competencias que son necesarias para su

participación activa en la sociedad actual y considerar la incorporación de

procesadores simbólicos y/o software educativos dentro de la formación del

futuro docente.

Por otro lado, debemos reconocer primero que los jóvenes están

estimulados desde temprana edad por el uso de las tecnologías, ya que en

todos los hogares existen televisores, computadores, videos juegos, etc., luego

ellos requieren de nuevas estrategias en cuanto a la enseñanza que deben

emplear los docentes para generar aprendizajes significativos y para la vida, es

decir que puedan utilizar en su vida cotidiana.

6

Capítulo 1: Cambio de la concepción del aprendizaje escolar

1.1.- Escuela Tradicional hasta la Enseñanza Constructivista.

A partir de la enseñanza tradicional en los colegios, se han construido

diversas metodologías de enseñanza-aprendizaje en el aula, gracias a

investigaciones y estudios con varios autores, ya que se busca avanzar en la

construcción de un nuevo Modelo o Método Pedagógico, centrado en la

edificación de conocimientos destinados al alumno(a).

a) Teorías Conductuales del Aprendizaje

Enfoque Tradicional: Teoría Conductual y Humanista.

Tradicional se entiende como el método para disciplinar la mente.

Entre los años 1960 y 1980 aparece la psicología educacional, en la cual

existen dos corrientes: Conductivismo y Humanista.

En la Teoría Conductista se enfatiza el aprendizaje como un cambio en

la conducta. A nivel educativo implica el énfasis en los resultados y no en el

proceso. Es lineal, simplista, no sirve para esta época, ni para resolver

problemas de aprendizaje actual.

En la Teoría Humanista se valora el papel de la experiencia como

fuente de aprendizaje, es decir, es un proceso de integración de la experiencia

personal en el aprendizaje, a partir de la reflexión.

La teoría conductual aparece con estudios que se realizaron con

animales, con el psicólogo Pavlov, años más tarde, 1960, otros psicólogos

7

empezaron a aplicar técnicas conductuales en clínicas y centros educacionales,

y también se realizaron experimentos sobre la conducta observable.

Principios del Conductismo:

1.- La conducta está manejada por leyes.

2.- La conducta es un fenómeno observable.

3.- Las conductas adaptativas son adquiridas a través del aprendizaje.

4.- Las metas conductuales han de ser concretas e individualizadas.

En suma, la teoría conductual se define como un cambio permanente

en el comportamiento del ser humano.

En el año 1960, se presenta la Teoría de aprendizaje, que trae consigo

dos corrientes pedagógicas: Corriente Tecnológica y Corriente Personalizada,

que tenían como base la teoría Humanista.

A partir de los años 1990, se avanza hacia otra perspectiva: el

aprendizaje por reestructuración.

b) Teorías Constructivistas del Aprendizaje

Desde 1970, se comenzó a cambiar la disposición de la psicología

hacia una orientación cognitivista. Más enfocado al funcionamiento de

procesos mentales y en los aspectos cognitivos, sociales y afectivos del

comportamiento humano. Así nació la teoría constructivista que, está orientada

a estudiar los procesos de pensamiento, percepción, memoria, atención,

razonamiento que tiene el ser humano. Esto ayudó a estudiar no tan solo la

conducta humana, sino que también cómo procesa la información el ser

humano; porque hubo un cambio en la estructura cognitiva.

8

Se pueden diferenciar diversos modelos dentro de la teoría

constructivista:

a.- Teoría Cognitivista

b.- Aprendizaje Significativo

c.- Teoría Cognitivo – Social del Aprendizaje

Teoría Cognitivista: Jean Piaget afirma que el conocimiento no se

adquiere solamente socializando, sino que también el conocimiento se genera

en una construcción mental que realiza el individuo, a partir del funcionamiento

de procesos de asimilación, acomodación y equilibración. Es decir, el

aprendizaje se produce en el individuo, cuando se promueve un desequilibrio

entre asimilación y acomodación; cuando ingresa la información se produce un

desequilibrio en el ser humano (asimilación), porque la asimilación de nueva

información está modificando y transformando las estructuras mentales

(acomodación); luego se ingresa a la etapa de equilibrio, en donde el sujeto ya

aprendió la nueva información y existe un equilibrio entre asimilación y

acomodación.

Aprendizaje Significativo: Gracias al autor D. Ausubel. La teoría

constructivista está centrada en la persona, según Ausubel los aprendizajes o

experiencias previas deben ir ligadas a los contenidos nuevos, para que se

genere la construcción de aprendizaje, mediante el Aprendizaje Significativo, es

decir, que para el individuo el aprendizaje es significativo cuando puede enlazar

sus ideas previas con las nuevas, que es totalmente distinto al aprendizaje

memorístico, en el cual no se integra la comprensión, sino que utiliza la

memorización. Tipos de Aprendizaje Significativo: Aprendizaje

Representacional, Aprendizaje de Conceptos y Aprendizaje Proposicional.

9

Teoría Cognitivo – Social del Aprendizaje: Con la ayuda del

psicólogo L. S. Vygotsky que, planteó la relación entre aprendizaje y desarrollo,

considerando que éstos intervienen mutuamente, se acuña el concepto de:

Zona de Desarrollo Próximo. La Zona de Desarrollo Próximo es la distancia

que existe entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad que

tiene el individuo de actuar sólo, y el nivel de desarrollo potencial, determinado

por la capacidad de actuar bajo supervisión.

1.2.- Aprendizaje de la Matemática.

En las aulas lo que se requiere es entregar educación de calidad, para

esto recurrimos al constructivismo, y así trabajar con los alumnos(as) para

desarrollar habilidades de aprendizaje significativas y construir conocimientos

necesarios en la sociedad actual.

Este trabajo está enfocado a crear actividades matemáticas, las que

vamos a enfocar en el ámbito de la enseñanza constructivista en el área misma

de la matemática.

La matemática juega un rol importante, en el desarrollo del alumno(a),

no sólo en el aula, sino también en la vida del ser humano ya que siempre ha

estado ligada a la matemática; se ha utilizado desde tiempos antiguos en los

gobiernos como sistema de contabilización, en censos, para resolver problemas

de la vida diaria, en el manejo de información. Tal como dice Travels (1991):

“Las competencias matemáticas son un requisito esencial en la preparación de

la vida del ser humano”, para desenvolverse de manera integrada en la

sociedad, desarrollar el pensamiento lógico, la adquisición de estrategias

cognitivas y destrezas intelectuales.

10

Revisemos algunas implicancias constructivistas en el área de las

matemáticas, es decir, las bases del constructivismo:

• El conocimiento matemático es construido, a través de un proceso

de abstracción reflexiva.

• Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de

construcción.

• Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo. La

actividad con propósito induce la transformación de las estructuras

existentes1.

El aprendizaje de la Matemática en las aulas, lleva a que el o la

estudiante aplique conocimientos previos y nuevos en diferentes retos o

problemas, y que también logre asociarlos con situaciones cotidianas, cercanas

a su entorno, para hacer más fácil la incorporación del aprendizaje, ya que “El

curriculum de Matemática tiene como propósito que los alumnos y alumnas

adquieran los conocimientos básicos de la disciplina, a la vez que desarrollen el

pensamiento lógico, la capacidad de deducción, la precisión, las capacidades

para formular y resolver problemas y las habilidades necesarias para modelar

situaciones o fenómenos”2 para mejorar el uso de conceptos matemáticos y

comprender fenómenos.

1 Kilpatrick, Gómez y Rico (1995)

2 Mapas de Progreso de Aprendizaje de Matemáticas, Gobierno de Educación.

11

1.3.- Facilitar el Aprendizaje de la Matemática

Para facilitar el aprendizaje, el o la docente debe ser un ente activo, en

búsqueda de nuevos ejercicios y problemas, debe realizar una clase interesante

para sus alumnos(as), ya que la manera de enseñar está cambiando, ahora el

profesor que desarrolla competencias en los estudiantes, trabaja con ellos, no le

entrega el material listo sino que promueve que el o la estudiante construya su

conocimiento, indague, investigue, etc.

Para crear una clase hoy, con el fin de que el alumno desarrolle

competencias y habilidades de aprendizaje, se requiere más que una clase en

la cual el docente expone los contenidos y da instrucciones, sino también que

genere actividades que incorporen nuevas técnicas de aprendizaje, y añadir las

llamadas T.I.C.: Tecnologías de Información y Comunicación a la enseñanza de

la matemática.

En la actualidad, los(as) docentes de matemáticas tienen a disposición

herramientas, con las cuales pueden realizar sus clases de forma dinámica,

interesante para los y las estudiantes, con tal de facilitar un aprendizaje

significativo, trabajando con guías construidas por el profesor, ayudándose con

los textos de estudio y con los planes y programas, utilizando recursos

tecnológicos como: video, computador, internet, plataformas de moodle en

Internet, entre otros.

12

1.4.- Utilización de las T.I.C.s.

Cada vez los y las alumnos (as) llevan a sus colegios aparatos

tecnológicos más avanzados, con las últimas versiones, incorporándolos a su

vida. También los colegios insertan estas tecnologías con uso educativo.

Entonces la práctica pedagógica debe cambiar en torno a los avances

tecnológicos que surgen en el mundo, creando ambientes de aprendizaje más

atractivos, más relacionados a los que viven los(as) estudiantes, para generar

construcción del conocimiento en el alumno, con aprendizajes activos,

autónomos y colaborativos.

Pero al hacer uso de estas tecnologías, el docente debe poseer las

siguientes competencias esenciales para el uso efectivo de las TIC como

herramientas de aprendizaje:

• Competencias Pedagógicas: que le permitan asumir el proceso de

enseñanza – aprendizaje, de forma continua, sistemática y organizada.

• Colaboración y trabajo en red: el profesor facilita la colaboración y

el trabajo en red, entre comunidades locales y mundiales.

• Aspectos sociales: planifica y promueve un uso adecuado y

seguro de las TIC.

• Aspectos Técnicos: selecciona los recursos tecnológicos más

adecuados para trabajar en clases.

13

Así las TIC son utilizadas “como herramientas de apoyo al aprender;

como medios de construcción que facilitan la integración entre lo conocido y lo

nuevo; como extensoras y amplificadoras de la mente, para expandir las

potencialidades del procesamiento cognitivo y facilita la construcción de

aprendizajes significativos; como herramientas que participan en un conjunto

metodológico orquestado, con mapas conceptuales, proyectos, trabajo

colaborativo”.3

El uso de las TIC tiene como objetivos que los estudiantes desarrollen

competencias, mejoren las habilidades de investigación, sea una verdadera

ayuda en la sala de clases, y que logren aprovechar las ventajas que trae

consigo el uso de estas. Pero se deben establecer criterios sobre su uso

adecuado, saber cuáles ocupar. Existen distintos tipos de procesadores,

software para distintos ámbitos de la enseñanza.

3 Propuesta Pedagógica Basada en el Constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la Enseñanza y el

Aprendizaje de la Matemática”, Sandra Castillo.

14

1.5.- Procesador Simbólico.

Para realizar este trabajo utilizamos un Procesador Simbólico.

Maple 9 es una herramienta matemática, que realiza en forma

electrónica: cálculos, texto, gráficos, imágenes, etc.

Maple 9 se originó en 1981, por el Grupo de Cálculo Simbólico en la

Universidad de Waterloo, en Waterloo, Ontario, Canadá.

La nominación de su nombre se debe a que, Maple nació en Canadá, y

en la bandera de Canadá hay una hoja de arce, que en inglés se escribe Maple.

Hasta el momento existen 28 versiones de Maple, llegando a la versión

Maple 13. Se continúa trabajando en nuevas versiones.

El procesador Maple realiza cálculos que, van desde operaciones

básicas a cálculos de límites, derivadas e integrales en una y varias variables,

también realiza gráficos, animaciones, soluciona sistemas de ecuaciones,

agrupa términos polinomiales, simplifica, desarrolla términos en serie, etc. Hay

que tener en cuenta que Maple es un procesador, como todos, sensible, es

decir, cuando se quiere ejecutar alguna operación, las indicaciones deben ser

precisas y sin errores de escritura. Este procesador es útil también en el ámbito

educacional, permitiendo que los usuarios exploren y resuelvan problemas

matemáticos, con mayor comprensión.

15

Capítulo 2: Aprendizaje en el Currículo Nacional

2.1.- Decreto 220

En el año 1998, se firma un decreto en el que se establecen

claramente los Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos

Obligatorios (CMO) tanto para la Educación General Básica como para la

Educación Media, lo que corresponde a lo mínimo que deben estudiar los

alumnos y alumnas chilenos, y así trabajar el problema de la equidad de la

educación.

Se entiende por Objetivos Fundamentales4, a las habilidades y

capacidades que los estudiantes deben lograr al finalizar cada año escolar y

constituyen el fin “que orienta al conjunto del proceso de enseñanza –

aprendizaje” (decreto 220,capitulo 1). Se distinguen dos tipos de objetivos: los

Objetivos Fundamentales Verticales (OFV) y los Objetivos Fundamentales

Transversales (OFT). Los primeros están relacionados directamente a los

niveles, demanda del aprendizaje y experiencias de cada sector y sub-sector

curricular de la Enseñanza Media. Además, dentro de los Objetivos

Fundamentales Verticales es necesario distinguir a los Objetivos Terminales,

que corresponden a los aprendizajes que los(as) alumnos(as) logran al finalizar

los cuatro años de escolaridad en Enseñanza Media, (pero que en el marco

curricular sólo se establecen para la Educación Técnico-Profesional).

Los OFT, se relacionan con el área formativa de los estudiantes y son

de carácter general y comprensivo. Estos objetivos incluyen cuatro

4 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de

Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago.

16

dimensiones, que son: Crecimiento y Autoafirmación Personal, Desarrollo del

Pensamiento, Formación Ética, Persona y Entorno.

Los Contenidos Mínimos Obligatorios corresponden “al conjunto de

saberes conceptuales y capacidades de desempeño práctico”, que incluyen

tanto el conocimiento como las aplicaciones prácticas, para cada sector y

subsector, además están presentes el conocimiento, las habilidades y las

actitudes que son necesarias que los(as) alumnos(as) logren durante el tiempo

que pertenecen al sistema escolar.

Otra característica importante de este Marco Curricular es la flexibilidad

que posee, ya que permite que los establecimientos diseñen sus propios planes

y programas de estudio, los cuales son presentados al Ministerio de Educación

para su posible autorización, donde se detallan los objetivos, contenidos,

actividades y evaluación que tienen como propósito articular las experiencias de

aprendizajes y ayudar al profesor a desarrollar una práctica docente que genere

significado a los contenidos.

En otro punto, el Marco Curricular se convierte en una herramienta útil

para los docentes y su práctica en aula, por el desglose de los contenidos que

se deben trabajar con los estudiantes. Es por esto que en el proceso de

planificación de unidades y/o clases, los profesores deben contextualizar los

objetivos, contenidos, evaluaciones y actividades a la realidad presente en cada

sala de clase, y tiene la posibilidad de agregar nuevas herramientas que

permitan realizar el proceso de enseñanza aprendizaje significativamente tanto

para los estudiantes como para el docente.

A partir de este punto, podemos relacionar el Marco Curricular a las

actividades propuestas en este trabajo, que se basa en el estudio de funciones

como: Cuadráticas, Exponenciales y Logarítmicas.

17

Se aprecia que existen distintos niveles, en este caso se trabaja para 3º

y 4º año de Enseñanza Media, para ambos niveles establecemos que los

Objetivos Fundamentales Transversales están relacionados con el ámbito del

Desarrollo el Pensamiento, los contenidos están dirigidos a las habilidades

referidas del pensamiento lógico y generalización, lo primero viene dado con las

actividades que buscan lograr aprendizajes a través de algoritmos,

procedimientos rutinarios, aplicar leyes y principios. En el caso de la

generalización, se propone que los estudiantes utilizando un procesador

simbólico puedan observar ciertos patrones que permitan modelar

comportamientos característicos de cada función, relacionarlas con

conocimientos que ya poseen o bien con otras disciplinas y poder así, obtener

sus propias conclusiones, además de aplicaciones que buscan explicar

fenómenos presentes en la vida cotidiana.

18

2.2.- Mapas de Progreso del Aprendizaje

El currículo que rige la educación chilena establece que los alumnos y

alumnas logren el aprendizaje de los conocimientos matemáticos específicos y

la adquisición de habilidades que permitan enfrentar los nuevos requerimientos

de la sociedad moderna, desarrollar el pensamiento lógico, la capacidad de

deducción, resolver problemas, modelar situaciones y fenómenos.

Actualmente se ha diseñado un documento llamado “Mapas de

Progreso del Aprendizaje”5, el donde se detallan las secuencias en las cuales

se debe desarrollar cada dominio o área que son fundamentales en la

formación de los estudiantes para cada sector curricular.

Los mapas de progreso constituyen un complemento al Marco

Curricular ya presente en el sistema educativo nacional, y pretende relacionar

el currículo con las evaluaciones, en otras palabras, entrega a los docentes,

orientaciones sobre los temas que son pertinentes evaluar además de los

criterios que permiten observar y cualificar el proceso de aprendizaje de los

estudiantes para determinar su progreso.

Los Mapas de Progreso de Aprendizaje consisten en 7 niveles desde 1º

Básico hasta 4º Medio (con excepción de inglés que cuenta con 5 niveles)6, en

los cuales se detallan los aprendizajes que deben obtener los estudiantes al

término de cada año escolar, por ejemplo en el nivel 1, están descritos los

aprendizajes que se esperan desarrollar en niñas y niños al final del 2º Básico,

y por otra parte, el nivel 7 comprende los aprendizajes para los estudiantes que

egresen.

5 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje. Sector Matemáticas.

Chile: Santiago. 6 Idem.

19

Además, los aprendizajes en matemática se organizan en cuatro

Mapas de Progreso, que son:

• Geometría7: describe el progreso de las competencias

relacionadas con la comprensión, medición y modelamiento de las formas,

transformaciones, la posición y el espacio.

• Números y Operaciones8: describe el desarrollo del concepto de

cantidad y de número y la competencia en el uso de técnicas mentales y

escritas para calcular y resolver problemas que involucran distintos tipos de

números.

• Datos y Azar9: describe el progreso de las habilidades para

organizar y representar información disponible, para describir y analizar

situaciones, hacer interpretaciones de sucesos en los que interviene el azar y la

incertidumbre

• Algebra10, describe el progreso de la capacidad para utilizar

símbolos en la representación de generalidades y el modelamiento de

situaciones y fenómenos así como también el desarrollo de la argumentación

matemática.

7 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Geometría, Sector

Matemáticas. Chile: Santiago. 8 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Números y Operaciones,

Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 9 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Datos y Azar.

Matemáticas. Chile: Santiago.Santiago 10

MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago.

20

Los cuatros mapas de progreso, constituyen el complemento al

currículo de matemática para los escolares chilenos, para efectos de este

trabajo detendremos el análisis en el Mapa de Progreso de Álgebra, puesto que

las actividades propuestas se basan en el lenguaje simbólico y en la explicación

de algunos fenómenos simples a partir del estudio de funciones.

Existen tres dimensiones en las cuales se puede evaluar el aprendizaje

que se relacionan entre sí, además de estar presentes en los mapas de

progreso anteriormente descritos. Estas son:

• Comprensión y uso del lenguaje algebraico11: Esta dimensión

hace referencia al desarrollo de las habilidades que permitan interpretar el

significado de las expresiones algebraicas, utilizando las convenciones del

algebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en la designación de

números, variables, constantes u otros objetos matemáticos.

• Comprensión y uso de relaciones algebraicas12: Se refiere a la

habilidad para establecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante

igualdades, ecuaciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar

las reglas y procedimientos que permitan transformarlas en expresiones

equivalentes.

11

Mineduc. Unidad de Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago 12

Idem

21

• Razonamiento Matemático13: Involucra habilidades relacionadas

con el reconocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de

situaciones o fenómenos y la argumentación matemática.

Las habilidades antes descritas se encuentran distribuidas en cada

mapa, y a su vez en cada nivel de aprendizaje; entregando a los y las docentes

ejemplos de tareas que desarrollan los y las estudiantes, considerando también

tipos de evaluaciones que permitan apreciar el proceso de aprendizaje.

13Mineduc. Unidad de Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago

22

Capítulo 3: Metodología

3.1.- Presentación de la Encuesta

Nuestra tesis consiste en diseñar actividades utilizando un software

educativo, para ello utilizaremos una metodología cualitativa, es decir, que se

analizará las características presentes en el sistema escolar chileno y su

relación con las TIC´s, para fundamentar y respaldar el trabajo, realizamos una

encuesta, destinada a docentes del sector de Matemática, con el objetivo de

identificar sus habilidades, sus conocimientos y el manejo que poseen sobre las

TIC´s., y la incorporación de éstas en los establecimientos educacionales.

La encuesta está destinada a docentes que ejercen su labor en la

región Metropolitana, la que cuenta con tres etapas. La primera tiene como

objetivo obtener información de los establecimientos.

En la segunda etapa, se encuentra una escala de apreciación que

consta de una serie de indicadores que pretende establecer las distintas ideas

sobre la relación con la tecnología, para finalizar en el tercer ítem, con

preguntas que buscan indagar sobre la metodología utilizada en el quehacer

docente en relación al uso de la tecnología.

La encuesta se realizó a 15 profesores y profesoras del área de

Matemáticas, de distintos establecimientos educacionales de la Región

Metropolitana, cuyos resultados de esta encuesta se analizarán a continuación:

23

3.2.- Datos de los Colegios encuestados

En esta etapa, la encuesta pretende recoger datos sobre el

establecimiento en el cual desarrollan la labor docente los profesores(as)

encuestados, donde se obtuvieron las siguientes coincidencias:

• Dependencia del Establecimiento: Particular subvencionado

• Modalidad de estudio: Científico - Humanista

• Tipo de Jornada: Completa

• Composición del alumnado por sexo: Mixto

Por otra parte, la variable a considerar en este sondeo es la Edad,

puesto que se contó con la presencia de diversas personas cuyas edades

fluctúan entre los 24 y 55 años, originándose distintas visiones sobre las TIC´s y

su relación con ellas.

El detalle de la edad de la población es el siguiente:

• 20 a 29 años: 6 personas




Se establece como variable la edad ya que permite recoger distintas

apreciaciones en cuanto a la utilización de TIC´s para el proceso de

aprendizaje, específicamente si los y las docentes encuestadas las incorporan

dentro de su labor pedagógica.

24

3.3.- Escala de Apreciación

Al o la docente se le pide contestar tres escalas de apreciación

marcando su calificación personal.

Cada escala construida tiene como finalidad identificar la opinión de los

y las docentes con respecto a tres ámbitos relacionados con el uso de TIC´s,

que son:

• Las Nuevas Tecnologías y la Globalización

• Mi relación con la Tecnología

• El Uso de las NTIC´s en la escuela.

Para cada indicador, los encuestados y encuestadas contarán con tres

opciones representadas por un número, cuales son:

• Totalmente de acuerdo (3)

• De Acuerdo (2)

• Medianamente de Acuerdo (1)

• En Desacuerdo (0)

25

3.3.1.- Las Nuevas Tecnologías y su Globalización

a) La tecnología es una herramienta que permite desarrollo en el país.

!

Figura 1. Tecnología como herramienta de desarrollo

En un 60%, los y las docentes están totalmente de acuerdo con que la

tecnología es una herramienta que permite el desarrollo del país. El 33% está

de acuerdo, y existe aproximadamente un 7% que esta medianamente de

acuerdo con el indicador.

b) El uso de las nuevas tecnologías generan cambios en la sociedad.

Figura 2. El uso de tecnologías genera cambios

Aproximadamente, el 47% de los encuestados dice estar totalmente de

acuerdo con que el uso de las nuevas tecnologías genera cambios en la

sociedad. Mientras que el 33 % está de acuerdo y el 13% medianamente de

acuerdo.

26

c) Mejora la calidad de vida de las personas con la implementación de TIC`s.

Figura 3. La implementación de TIC´s mejora calidad de vida

El 40% de los encuestados, señala que está de acuerdo con que la

tecnología mejora la calidad de las personas con la implementación de las

Nuevas Tecnologías de Información y Comunicación. Mientras que el 47% está

totalmente de acuerdo, y otro 13% está medianamente de acuerdo, lo que

demuestra que la totalidad de los y las encuestadas están de acuerdo con

implementar TIC´s a la labor docente y que muchos ya utilizan en sus clases

pero de manera esporádica.

d) A pesar de los cambios tecnológicos en Chile, las clases siguen el enfoque

tradicional

!

Figura 4. Las clases siguen el enfoque tradicional

!

El 30% de los encuestados, señala que está de acuerdo con que las

cosas siguen igual a pesar de los cambios tecnológicos; el 50% dice que está

totalmente de acuerdo; y el 20% dice que está medianamente de acuerdo.

27

e) Las TIC`s impondrán nuevas exigencias para la sociedad chilena.

!

Figura 5. Nuevas exigencias impuestas por el uso de TIC´s

En el gráfico se muestra que el 60% de los encuestados, está de

acuerdo con que las TIC´s impondrán nuevas exigencias para la sociedad

chilena. Mientras que el resto está totalmente de acuerdo, por lo que se

requieren de competencias específicas para el desarrollo de las personas

dentro de la sociedad del conocimiento.

f) El uso de las nuevas tecnologías permite la conexión con otras naciones.

!

Figura 6. Mayor conectividad gracia a la tecnología.

Se puede apreciar del gráfico que un importante 70% de los

encuestados, señala que está totalmente de acuerdo con que la utilización de

las Nuevas Tecnologías permite la conexión con otras naciones. El resto está

de acuerdo y por lo mismo es necesario implementar las TIC´s dentro de la

escuela.

28

g) Las personas deben adquirir competencias para desarrollarse de manera

óptima en la Sociedad.

!

!

Figura 7.Adquisición de nuevas competencias

Según lo observado, un 60% de los encuestados estima que el

desarrollo de manera óptima en la sociedad se logra mediante la adquisición

de competencias, y el 40% está de acuerdo.

h) Se tiene acceso rápido a la información.

!

Figura 8. Acceso a la información

Según el gráfico, el 80% de los encuestados rotula que está totalmente

de acuerdo que la tecnología permite rápido acceso a la información, el 13%

está de acuerdo y 7% restante está medianamente de acuerdo.

29

3.3.2.- Mi Relación con la Tecnología

a) La tecnología me permite ser independiente.

Figura 9. La tecnología genera independencia

En el gráfico anterior observamos que el 47% de los docentes

encuestados están completamente de acuerdo y el 33% de acuerdo al hecho de

la independencia que genera la tecnología para la labor en el aula, ya que

permite generar sus materiales, guías, clases, trabajo de los estudiantes ritmo

propio., además del 7% que están medianamente de acuerdo. El 13% restante

estima que la tecnología quita independencia en el campo profesional, puesto

que se requiere de otros actores de la escuela y ciertos recursos que no todos

los profesores y profesoras del país cuentan en sus respectivos lugares de

trabajo.

30

b) Me entretengo al utilizar tecnologías.

Figura 10. Visión personal sobre el uso de tecnologías

En el gráfico se observa que el 40% dice estar totalmente de acuerdo

con el indicador que busca captar la percepción del encuestado o encuestada

sobre el bienestar que le provoca la utilización de la tecnología, el 30% está de

acuerdo y el 30% restante está medianamente de acuerdo, por lo que se

observa una visión positiva sobre el uso de tecnologías por parte de los y las

encuestadas y en consecuencia, existe predisposición positiva de utilizarlas en

las salas de clases.

31

c) Utilizo las T.I.C.`s para adquirir conocimientos.

Figura 11. Utilización de TIC´s para la adquisición de conocimientos

En este caso, los docentes encuestados en su totalidad utilizan las

herramientas TIC´s para adquirir conocimientos, que permitan mejorar su

práctica en aula, además de buscar material, nuevas metodologías, etc. El

gráfico arroja que el 47% está totalmente de acuerdo al igual que aquellos

docentes que están de acuerdo, el 33% está medianamente de acuerdo y el

20% restante está medianamente de acuerdo.

d) Me complica utilizar tecnologías en mi quehacer cotidiano.

Figura 12. Percepción sobre el uso de tecnología en el quehacer cotidiano.

En el gráfico que observamos, ocurre que el 27% de los docentes

encuestados está de acuerdo, 53% medianamente de acuerdo con las

complicaciones que genera la utilización de tecnologías en el quehacer

pedagógico, y existe un 20% que no está de acuerdo con este indicador.

32

e) Es complicado aprender a utilizar las nuevas tecnologías.

Figura 13. Dificultad en el aprendizaje de las TIC´s

El 7% de los encuestados está totalmente de acuerdo con la existencia

de complicaciones en el aprendizaje de nuevas tecnologías, se agregan 33%

que está de acuerdo, 47% medianamente de acuerdo y 13% en desacuerdo.

f) No confío en las TIC`s porque fallan cuando se necesitan.

Figura 14. Confianza en el uso de las TIC´s

Existe 13% de los(as) docentes que están de acuerdo y 33%

medianamente de acuerdo, lo que significa que sienten desconfianza al utilizar

tecnologías en sus clases puesto que ocurren fallas técnicas provenientes por

la falta de mantención de los equipos y/o falta de inversión en recursos de

calidad. El 53% no se siente identificado con la expresión porque

constantemente utilizan recursos Tic’s en la preparación y ejecución de las

clases.

33

g) Siento miedo de echar a perder los aparatos tecnológicos.

Figura 15.Seguridad al usar aparatos tecnológicos

Este gráfico arroja que el 20% de los y las docentes encuestados están

de acuerdo y 60% medianamente de acuerdo con el temor que existe de utilizar

aparatos tecnológicos porque se pueden averiar, además tenemos el 20% de

los encuestados que no se sienten identificados con este indicador. Estos datos

pueden deberse a la edad de los encuestados puesto que existen muchos

profesores que son mayores y su relación con las tecnologías son de nivel

usuario en muchas ocasiones.

34

h) No necesito de la tecnología.

Figura 16. Necesidad de usar la tecnología

El 7% de los(as) encuestado(a)s siente que no es necesaria la

tecnología para su vida y su labor profesional, además 33% esta de acuerdo y

el 20% medianamente de acuerdo, pero el 40% no se siente representado. A

partir de dichos datos podemos observar que dentro de la muestra existe un

porcentaje elevado de docentes que piensan que la tecnología no es útil para la

práctica en el aula, y se debe principalmente a la diferencia de edad, mientras

más joven es el docente utiliza más recursos Tic’s en sus clases.

35

i) La tecnología aumenta las desigualdades sociales.

Figura 17. Brecha social y la tecnología

Un importante porcentaje de encuestados y encuestadas están de

acuerdo con el hecho de que la tecnología aumenta las desigualdades (60%)

dejando un 20% para quienes estén totalmente de acuerdo y otro 20% para los

que creen estar medianamente de acuerdo. Estos resultados se presentan

debido a la diferencia que existe en cuanto a recursos e infraestructura y su

repartición en la sociedad actual, por un lado, se pueden observar colegios en

donde hay escasa inversión en lo que respecta a las tecnologías. Esta situación

queda en evidencia ya que; en muchos de estos casos los establecimientos no

cuentan con laboratorios de computación y no existen equipos para cada

alumno(a), en cambio, se pueden observar colegios en donde se presenta la

situación contraria, es decir, que invierten en equipos de última generación con

aplicaciones y programas orientados al aprendizaje.

36

j) Utilizo internet para descargar música, conversar con otras personas, jugar,

etc.

Figura 18. Utilización de las TIC´s

En el siguiente gráfico observamos el porcentaje mayor de docentes de

matemática (47%) que está de acuerdo con la utilización que se da a internet,

es decir que genera gran impacto en la comunicación, interacción entre

personas, etc., a la vez un 33% está medianamente de acuerdo con esta

afirmación mientras que los docentes en desacuerdo son 7% y 13% están

totalmente de acuerdo. Esto es consecuencia de la masificación de internet en

la sociedad chilena, además que históricamente el uso que se le da a esta

herramienta es de entretención, por lo mismo se debe aprender a utilizar

internet como un instrumento que permite un trabajo más agradable tanto para

los(as) estudiantes como para quienes ejercen como profesor, además que

permite tener contacto directo con los y las estudiantes a través de plataformas,

etc.

37

3.3.3.- El uso de las NTIC´s en la escuela

a) La escuela debe adquirir aparatos tecnológicos.

!

Figura 19. Adquisición de tecnologías en las escuelas.

Según lo observado en el gráfico, el 73% de los encuestados (as) dice

estar totalmente de acuerdo con que los establecimientos educacionales deben

adquirir aparatos tecnológicos para su implementación en las aulas y en

laboratorios de computación. El 27% está de acuerdo.

b) El uso de las TIC`s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje"!

!

Figura 20. Contribución del uso de las TIC´s en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Como se puede apreciar, todos los encuestados piensan que el uso de

las NTIC´s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje en las aulas,

solamente que el 60% de ellos está totalmente de acuerdo, y el restante 40%

está de acuerdo.

38

c) El sistema educativo se preocupa de capacitar a los docentes en cuanto al

uso de las TIC`s.

!

Figura 21. Capacitación docente en el área de TIC´s

Consta que el 41% de los encuestados (as), señala que está

medianamente de acuerdo con que el sistema educativo se ocupa de capacitar

a los docentes en cuanto a la utilización de las TIC´s. Un 33% dice estar

totalmente de acuerdo, otro 13% está de acuerdo, y otro 13% está en

desacuerdo. Se concluye que, en las escuelas no siempre capacitan a sus

profesores (as).

39

d) La escuela disminuye la brecha digital presente en la sociedad actual.

!

Figura 22. La escuela disminuye la brecha digital !

Se puede apreciar del gráfico que, el 46% está totalmente de acuerdo,

el 27% de los encuestados(as) dice estar de acuerdo con la afirmación, la

escuela estrecha la brecha digital actual instaurada en la sociedad, pero

también otro 27% está medianamente de acuerdo, de ello se desprende que

aun falta más aporte de los centros educacionales para fortalecer la

implementación de los instrumentos tecnológicos, con software educativos.

40

e) La integración curricular de las TIC`s requiere de un cambio integral de los

métodos de enseñanza"!

!

!

Figura 23. Cambios métodos de enseñanza a partir de la incorporación de TIC´s al aula.!

Un importante 60% de los encuestados (as) señala que está de

acuerdo que la integración curricular de las NTIC´s necesita de un cambio

integral de los métodos de enseñanza, mientras que el 40% restante está

totalmente de acuerdo. Se concluye que los(as) docentes están de acuerdo

que debe existir un cambio en los métodos de enseñanza-aprendizaje en el

aula incluyendo las TIC’s dentro del curriculum escolar, para una mejor

incorporación en las planificaciones de las clases.

41

f) Las escuelas cuentan con recursos tecnológicos necesarios para el

aprendizaje"!

!

Figura 24.Existencia de recursos TIC´s en el aula.

El 54% de los encuestados (as) señala que está medianamente de

acuerdo con que las escuelas cuentan con recursos tecnológicos necesarios

para el aprendizaje, el 33% señala que está de acuerdo, y el 13% está en

desacuerdo.

g) Se incorpora tecnologías en los procesos de aprendizajes.

Figura 25. Incorporación de TIC´s en el proceso de aprendizajes.

En el siguiente gráfico, se desprende que el 40% está de acuerdo con

que la tecnología se incorpora en los procesos de aprendizajes y el 60% esta

medianamente de acuerdo lo que significa que es necesario incluir cambio en la

práctica docente.

42

h) Profesores motivados con su trabajo innovan más en sus métodos de

enseñanza.

!

Figura 26. Motivación docente se refleja en la innovación de las clases.

!

El 73% de los y las docentes encuestadas están totalmente de

acuerdo con la idea sobre la motivación que se requiere para enfrentar la labor

docente y cómo afecta en la innovación, además el 27% restante están de

acuerdo con este indicador.

Lo más importante a rescatar, es el hecho de que todos coinciden que

la motivación genera cambios en los métodos de enseñanza, por lo que se

necesitan docentes que disfruten su labor además que sean creativos e

innovadores en la sala de clases y con ello se logren aprendizajes significativos

para los y las estudiantes.

43

i) Los docentes están dispuestos a utilizar recursos TIC`s en el aula.9

!

!

Figura 27. Disposición de incluir recursos TIC´s en el aula por parte de los y las docentes.

En cuanto a la disposición de los y las docentes encuestadas de utilizar

recursos TIC´s en el aula, se observa que el 40% está de acuerdo, el 27% de

los(as) encuestados(as) concuerdan medianamente con este indicador. El 33%

restante está totalmente de acuerdo, con lo cual podemos concluir que aún

existe reticencia a incluir elementos tecnológicos para el desarrollo de la labor

docente tanto para la enseñanza como para el proceso de aprendizaje, lo que

se atribuye a la falta de recursos en la escuela ya sean, tiempo, formación

docente y constante capacitación, etc.

!

44

3.4.- Preguntas

En esta etapa de la encuesta se construyen preguntas para los y las

docentes, con el fin de conocer más detalladamente su opinión sobre las TIC´s

y la labor docente.

3.4.1.- ¿Qué recursos utiliza en su labor docente?

Hay que considerar que todos los encuestados marcaron más de una

opción.

Todos los encuestados (as) ocupan Power Point y Computador, para

desarrollar sus clases. El 90% de los encuestados (as) utilizan proyector en el

aula. El 50% usa Internet para la búsqueda de información. El 40% ha utilizado

Reproductor (mp3, CD, mp4,etc.), en sus clases. El 40% ha ocupado algún

software educativo en sus clases. La herramienta menos utilizada por los

docentes corresponde al laboratorio de computación, representado por un

30%.

3.4.2.- ¿Cuáles son los software que más conoces?

Los software más conocidos por los encuestados (as) son: Cabri,

Geogebra y Maple. El software más utilizado por ellos es el Geogebra, para

Geometría.

Otros software educativos conocidos por los encuestados (as) son: Exp

Maple, Excel, Wires, Conejo Lector, y Graphmatica.

45

Existen profesores que no conocen algún procesador simbólico

(software educativo), por lo que sólo utilizan el computador y proyector para

algunas de sus clases.

3.3.3.- Si tuvieras que enseñar funciones en matemáticas, ¿utilizarías recursos

TIC´s? ¿Por qué?

Con respecto a esta interrogante existe unanimidad en las personas

encuestadas de utilizar recursos TIC´s para el estudio de funciones, puesto que

permiten visualizar claramente los conceptos matemáticos asociados a este eje

temático; por ejemplo se pueden verificar distintas situaciones con menor

tiempo como es el caso de la relación funcional de las variables para llegar así

la generalización de modo mas eficiente y eficaz.

Además permiten comprender y analizar las características de las

funciones, así como las aplicaciones para los modelos matemáticos que

explican los fenómenos que ocurren en la cotidianeidad de la vida.

Finalmente, los profesores y profesoras que fueron encuestados creen

que la utilización de recursos TIC´s en el aula genera aprendizajes de manera

más eficiente y eficaz puesto que se logran los objetivos planteados para las

clases con menor inversión de tiempo.

46

3.3.4.- ¿Qué se entiende por laboratorio?

Al igual que en la pregunta anterior, también existe unanimidad en las

personas encuestadas sobre la inclusión de laboratorios en las clases de

matemáticas, en cualquiera de sus ejes temáticos, en muchos casos ya utilizan

este sistema, especialmente para las unidades: ecuaciones de la recta,

geometría y más sobre triángulos rectángulos.

La inclusión de diversos laboratorios permite visualizar en forma

concreta el trabajo que se realiza en la clase usando la pizarra, conectando con

otros conocimientos, facilitando así el aprendizaje de los alumnos y alumnas ya

que se practican y ejerciten los contenidos; y con ello se desarrollan habilidades

de análisis necesarias para la comprensión de fenómenos y modelos

matemáticos.

En conclusión, la totalidad de los encuestados piensan y/o utilizan

algún tipo de laboratorio –incluyendo computadores- para enfrentar ciertas

unidades, además de la ganancia de tiempo, se logran aprendizajes de

importancia puesto que se trabaja con el “ensayo y error” ya que se permite

cambiar datos, estudiar los conceptos matemáticos para ciertas condiciones y

así llegar a la generalización a través de la inducción de los conocimientos

además de relacionarlos con los aprendizajes previos ya sean estos en

matemática como con los aprendizajes de otros sectores.

47

3.3.5.- ¿Es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC´s en las carreras de

pedagogía?

En cuanto a esta pregunta, la totalidad de las personas encuestadas

estiman que es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC´s en las carreras

de pedagogía, en especial el trabajo con software educativo necesario para

desarrollar un proceso de enseñanza y aprendizaje más innovador, de

acuerdo a los nuevos tiempos y necesidades de la sociedad actual.

También se deja en claro que el uso de las TIC´s no debe reemplazar

el trabajo directo del profesor en el aula, sólo son herramientas en pos del

aprendizaje significativo.

Finalmente, se debe considerar el perfeccionamiento en esta área de

los docentes de todos los sectores y sub-sectores, debido a que se encuentran

en un estado de constante cambio, además de insistir en la inversión en

recursos tales como computadores, software educativo, entre otros.

48

Capitulo 4

Diseño Curricular de propuesta didáctica de la enseñanza en el

ámbito de la selección temática:

4.1.- Consideraciones Generales de la propuesta didáctica.

Objetivo General:

Diseñar actividades metodológicas, para desarrollar en el aula, en el sub

- sector de Matemática, para el o la docente y para el alumno(a), utilizando un

procesador simbólico, correspondiente a contenidos de Tercer y Cuarto Año de

Enseñanza Media.

Nos referimos a contenidos sobre las siguientes Unidades:

1. Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza

Media;

2. Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza

Media;

3. Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza

Media.

Cada unidad posee un diseño curricular, es decir, una planificación

general y clase a clase, para describir la propuesta. A continuación se presenta

el formato del diseño curricular que comprende cada propuesta:

49

Detalle de la Planificación

1.-.Curso.

2.- Sub-Sector.

3.- Nombre de la Unidad.

4.- Tiempo estimado para la Unidad.

5.- Registro de contenidos ejes temáticos y Presentación de la Unidad.

6.- Aprendizajes Esperados u Objetivos Específicos.

7.- Objetivos Fundamentales Verticales (O.F.V.)

8.- Objetivos Fundamentales Transversales (O.F.T.)

9.- Nivel de Mapa de Progreso.

10.- Mapa Conceptual de La Unidad.

11.- CLASE: planificación de cada clase, según el siguiente criterio:

11.1.- Breve Descripción de la actividad.

11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

11.3.- Detalles de Contenidos.

11.4.- Horas estimadas para la clase.

11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.

11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de

Enseñanza Aprendizaje:

a) Materiales o Recursos Metodológicos.

b) Indicaciones al docente.

c) Programación de la clase.

50

4.2.- Diseño Curricular de La Primera Unidad a Tratar:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

1.-.Curso: Tercer Año de Enseñanza Media

2.- Sub-Sector: Matemática

3.- Nombre de la Unidad: Función Cuadrática

4.- Tiempo estimado para la unidad: 10 horas pedagógicas.

5.- Registro de contenidos ejes temáticos:

• Función Cuadrática y sus gráficos correspondientes.

• Análisis de traslaciones

• Análisis del discriminante y su relación con las ecuaciones

cuadráticas.

• Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esta

función.

• Aplicaciones: movimiento parabólico, movimiento armónico.

• Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y

gráfica.

Presentación de la Unidad

Esta unidad está centrada en el estudio de la función cuadrática, de

modo que los estudiantes desarrollen tanto un trabajo cuantitativo como

cualitativo de dicha función y sus propiedades, además de contextualizar cada

tema con la cotidianeidad y así explicar fenómenos que comúnmente ocurren

en nuestro alrededor.

Luego, se continuará con el trabajo de la Función Cuadrática,

analizando sus propiedades y cómo estas explican fenómenos físicos como el

movimiento parabólico de un proyectil, entre otras.

51

En esta unidad, se enfatizará el trabajo de los alumnos y alumnas

utilizando un procesador simbólico, Maple 9, con el fin de incentivar el auto-

descubrimiento y deducción de las propiedades asociadas al estudio de la

función cuadrática, siempre guiados por el profesor. Además cada estudiante

creará un portafolio en el que guardará cada trabajo realizado y constituirá

evidencia del proceso de aprendizaje.

6.- Aprendizajes Esperados:

Los alumnos y alumnas:

• Conocen y utilizan procedimientos de cálculo algebraico con

expresiones en las que intervienen raíces cuadradas.14

• Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de

segundo grado; explicitan sus procedimientos de solución y analizan la

existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. 15

• Conocen la parábola como un lugar geométrico, reconocen su

gráfica e identifican aquéllas que corresponden a una función cuadrática;

identifican algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos

ámbitos de las nuevas tecnologías. 16

• Identifican el potencial de las funciones estudiadas para reflejar

distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos. 17

14 MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 15 Ídem. 16 Ídem. 17 Ídem.

52

7.- Objetivos Fundamentales Verticales:

Los y las estudiantes, serán capaces de:

• Conocer y utilizar el concepto de Función Cuadrática, mejorando

el rigor y precisión de análisis, de formulación, verificación y/o

refutación de hipótesis.18

• Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

problemas y análisis de situaciones concretas. 19

• Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus

propias capacidades. 20

• Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca

respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 21

• Usar programas computaciones de manipulación algebraica y

gráfica.

18 MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 19 Ídem. 20 Ídem. 21 Ídem.

53

8.- Objetivos Fundamentales Transversales

• Desarrollo del pensamiento: enfocado a actividades que suponen

una selección y organización de información; y las de resolución

de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de

contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o

procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y

principios, por un lado, y de generalización, por otro lado, el

desarrollo del pensamiento también contribuye a tomar decisiones

en la sociedad.22

• Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, planteando

actitudes de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de

recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 23

• Crecimiento y autoafirmación personal: enfocados al interés que

estudiante posee, por relacionar lo aprendido con la realidad

diaria. 24

22 MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 23 Ídem. 24 Ídem.

54

9.- Nivel de Mapa de Progreso:

Los contenidos tratados en esta planificación están incluidos

dentro del Mapa de Aprendizaje en el ámbito del Álgebra, puesto que se

trabaja utilizando símbolos que permiten modelar situaciones.25

Específicamente, se trabaja en el nivel 6, cuyos indicadores

permiten diseñar actividades que ayuden al estudiante a analizar

distintas situaciones en las que esté presente la función cuadrática

variando algunos parámetros utilizando un software educativo. 26

10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Cuadrática

Figura 28. Mapa Conceptual Función Cuadrática.

25 MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 26 Ídem.

55

11.- CLASE 1


Las actividades diseñadas tienen como finalidad que los y las

estudiantes incorporen el concepto de Función Cuadrática, utilizando

una actividad introductoria, que consiste en una situación conocida, como

es el lanzamiento de bengalas. Este ejemplo, pretende mostrar el gráfico

asociado a una función cuadrática y encontrar la función que describe la

trayectoria del haz de luz, para luego formalizar el concepto y su

representación gráfica.

Además, se incluyen ejercicios para los y las estudiantes; y se

finaliza con las conclusiones obtenidas al término de la actividad.


El o la docente requiere identificar los conocimientos adquiridos

por los y las estudiantes, y compararlos con los que previamente se

establecieron para esta actividad, que son:

• Concepto de Función.

• Operaciones algebraicas

• Uso de Maple 9

Si se considera que algunos de estos aprendizajes no están

presentes, se recomienda realizar un breve repaso algebraico.

56


• Objetivos

• Actividad Introductoria

• Definición de Función Cuadrática

• Representación Gráfica

• Ejercicios

• Conclusiones.

11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.

11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos:

Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de:

• Definir el concepto de función cuadrática.

• Identificar distintas expresiones que representan la

función cuadrática.

• Comparar gráficos y describir las características de

cada parábola.

• Resolver ejercicios.



a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.

b) Indicaciones al docente: Esta actividad está orientada principalmente

para que el o la docente inicie el contenido de Función Cuadrática, en

especial se recomienda que utilice herramientas TIC´s, como por

ejemplo, un procesador simbólico.

57

c) Programación de la clase:

Actividades a Desarrollar en el Aula

Clase Actividades del Docente Actividades del

Estudiante

Tiempo

1

Inicio: Motivación

En esta etapa, el o la docente

presentará la unidad,

entregando claramente los

objetivos propuestos, además

de los aprendizajes que se

espera que logren los

estudiantes y los conocimientos

previos que requieren para esta

actividad.

Se iniciará la actividad

programada con el ejemplo de

la bengala, específicamente

con la pregunta ¿qué camino

recorre el haz de luz? y ¿cuál

es el dibujo que forma en el aire

su trayectoria?

En esta etapa, el

estudiante medita y

responde a las

interrogantes que se

plantea sobre el camino

que recorre el haz de

luz.

Compara sus

respuestas con lo

observado en la

animación, y por último

busca otros ejemplos

en donde esté presente

la parábola.

2 horas

58

Las respuestas aparecen

después que se muestre la

animación preparada, para

luego presentar la parábola y

afirmar que corresponde a la

curva asociada a una función

cuadrática.

Desarrollo: Formalización de

Contenidos

Esta segunda etapa consiste en

la formalización del ejemplo

anterior, es decir se define el

concepto de función cuadrática

y se establece que el gráfico

asociado a esta función es la

parábola –representación

gráfica- Además, cómo varía la

excentricidad de la parábola

con la variación del coeficiente

cuadrático y se estudia la

concavidad. Se continúa la

clase, identificando la forma

estándar de la función

cuadrática, haciendo un

recorrido detallado de las

operaciones algebraicas

involucradas, reconociendo el

gráfico, además de otras

Durante esta etapa, las

y los estudiantes

identificarán distintas

formas en que es

posible encontrar una

función cuadrática,

además analizan

distintos gráficos y con

ello responden las

interrogantes que el

profesor plantee tanto

de manera oral como

en la guía de trabajo.

Por otra parte, los

alumnos contaran con

una breve guía de

ejercicios con los

cuales establecerá sus

propias conclusiones

59

formas de función cuadrática.

Durante el desarrollo de esta

etapa, el o la docente evaluará

formativamente el proceso, a

través de preguntas

motivadoras.

sobre el tema analizado

en clases.

Los ejercicios

desarrollados durante la

jornada serán

guardados en el

portafolio con el nombre

Tarea 1

Cierre: Conclusiones

Para finalizar esta jornada, se

concluirá a partir de los

resultados obtenidos en los

ejercicios y de los contenidos

analizados en clases

Compararán las

conclusiones obtenidas

propiamente con las

que establecerá el o la

docente al finalizar la

jornada.

Cuadro 1: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función

cuadrática.

60

12.- CLASE 2


Las actividades diseñadas tienen como objetivo analizar algunas

propiedades que presenta la Función Cuadrática, es decir verificar la

existencia de un vértice, valores extremos y la monotonía.

Se iniciará con un problema que graficarán utilizando el software y

a partir de ello, se responderán las interrogantes planteadas; seguido de

ello se comenzará con la formalización de los contenidos.

Además, se incluyen ejercicios para los y las estudiantes; y se

finaliza con las conclusiones obtenidas al término de la actividad.


• Definición de Función Cuadrática.

• Operaciones algebraicas.

• Parábola.

• Uso de Maple 9.


• Objetivos


• Vértice

• Máximos y Mínimos

• Intervalos de Crecimiento

• Ejercicios

• Conclusiones

61




• Deducir la expresión que permite calcular el vértice la

parábola

• Calcular el vértice de la parábola

• Identificar máximos y mínimos

• Identificar los Intervalos de Crecimiento

• Resolver ejercicios y problemas que involucren

vértices, máximos y mínimos.




b) Indicaciones al docente: Estas actividades están dirigidas hacia el o la

docente en las que introduce el tema de la parábola, además los

alumnos y alumnas contarán con computadores –idealmente individual-

para que sigan el desarrollo de las actividades y creen su portafolio.

En el caso de que no sea posible disponer de computadores para

los y las estudiantes, se trabajará de manera expositiva por parte del

profesor dejando instancias para que las alumnas y alumnos trabajen

individualmente en sus cuadernos.

62




Estudiante

Tiempo

Inicio: Motivación

La primera etapa de la clase,

estará a cargo del profesor,

quien iniciará con un breve

recuento de los contenidos

analizados en la jornada

anterior, anexando nuevos

ejemplos y situaciones

motivadoras para los

estudiantes, dejando tiempo

para la evaluación formativa a

través de preguntas.

Los y las estudiantes se

concentrarán en las

nuevas actividades que

mostrará el o la docente,

además tendrán un rol

activo al deducir los

posibles métodos de

resolución de la situación

planteada y sus

respuestas.

2


Contenidos

En esta etapa, se desarrollarán

los contenidos que son: vértices,

máximos y mínimos; y los

intervalos de Crecimiento,

recalcando la importancia tanto

del cálculo como el análisis, ya

que permite explicar fenómenos

de la vida cotidiana como

pueden ser el movimiento de un

cuerpo, la producción en la

economía.

Esta es la etapa en el que

el rol del estudiante es

completamente activa

puesto, que desarrollen

junto al profesor los

ejemplos, aclarando las

dudas tanto de concepto

como de operaciones

algebraicas.

2 horas

63

Se considera la evaluación

formativa a través de preguntas

como la utilización del

procesador simbólico

privilegiando los ejemplos que

involucren cálculo o gráficos

como aquellos problemas que

consideren análisis de situación

puesto que permite la conexión

con aprendizajes previos de

otros subsectores del

aprendizaje.Se destinará tiempo

para el trabajo de los alumnos y

alumnas con una pequeña guía

de ejercicios.

Además trabajarán

individualmente en el

desarrollo de una guía que

incluye ejercicios y

problemas de aplicación.






analizados en clases

Compararán las

conclusiones obtenidas

propiamente con las que

establecerá el o la docente

al finalizar la jornada.

Cuadro 2: Propuesta de actividades para el estudio del vértice y extremos de la función

cuadrática.

64

13.- CLASE 3

13.1.- Breve Descripción de la actividad:

El objetivo de esta clase es el análisis de las traslaciones de

la parábola en el eje X, en el eje Y y en ambos sentidos, utilizando el

procesador simbólico que permite animar este movimiento de la parábola

respecto del sistema de referencia.

Como todas las clases anteriores, incluyen los contenidos,

ejemplos y ejercicios que permitan construir el aprendizaje a través de la

observación y el análisis.


• Sistema de Referencia

• Gráfico de funciones

• Completar Cuadrado de Binomio

• Uso de Maple 9


• Objetivos


• Traslación Horizontal

• Traslación Vertical

• Traslación General

• Ejercicios

• Conclusiones.

65

13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas


Los y las estudiantes serán capaces de:

.

• Determinar la función que rige una parábola dada, a

partir de su gráfica.

• Resolver ejercicios en que estén involucradas

traslaciones de parábolas




b) Indicaciones al docente: Esta orientado hacia la clase con TIC´s debido a

la existencia de animaciones que generalizan las traslaciones, además

permiten observar las características de la función cuando su vértice no

está en el origen.

66


Actividades a Desarrollar en el Aula Tiempo


Estudiante

3

Inicio: Articulación de contenidos

El docente destinará algunos

minutos para el trabajo del

estudiante con el fin de que

observen y concluyan lo que

ocurre con algunas funciones

cuadráticas, ,

y .

Graficarán en el

procesador simbólico

dos funciones, y

observarán lo que

ocurren con las

parábolas.

Anotarán las

conclusiones y

observaciones que

realizaron.

2 horas

67


Contenidos

En esta etapa, el profesor o

profesora recogerá las

conclusiones de la actividad

realizada y comenzará a

formalizar, las traslaciones

horizontales, verticales y

traslación general, además

ejemplificará y resolverá

problemas. Entregará una breve

guía de ejercicios para que

resuelvan y la conserven en sus

portafolios.

En una primera

instancia compararán

las conclusiones

obtenidas con la

generalización del

docente.

Resolverán los

ejercicios y guardarán

en su portafolio

68


Este capítulo se cerrará revisando

algunos de los ejercicios además,

el o la docente entregará las

conclusiones finales.

En esta etapa el

estudiante escuchará y

comparará finalmente

las conclusiones de los

ejercicios

Cuadro 3: Propuesta de actividades para el análisis de la traslación en la función cuadrática

69

14.- CLASE 4


Esta clase está dirigida hacia el análisis del discriminante, las

soluciones de la ecuación cuadrática y las relaciones que tienen con el

gráfico de la función asociada a la ecuación dada.

Se seguirá el mismo procedimiento, es decir se indicarán los

objetivos, actividad motivadora, contenido, ejercicios y conclusiones.


• Resolución de ecuaciones de 2º grado

• Operaciones algebraicas

• Parábola

• Uso de Maple 9


• Objetivos


• Discriminante

• Ejercicios

• Conclusiones.


70



• Analizar el gráfico de la función cuadrática y

relacionarlo con las soluciones de la ecuación de 2º

grado



a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector,

b) Indicaciones al docente: El docente expondrá utilizando TIC´s y

recordará nuevamente la importancia de trabajar y guardar los trabajos,

los cuales al final tendrán una calificación.

71




Estudiante

Tiempo

Inicio: Motivación

Se realizará un breve resumen

de las conclusiones de la clase

anterior.

Se resolverán algunas

ecuaciones de segundo grado.

Los y las estudiantes

utilizarán la fórmula que

permite encontrar las

soluciones de las

ecuaciones planteadas.

4


Contenidos

Primero, se define el

discriminante de la ecuación

cuadrática.

El desarrollo del contenido

comenzará con las soluciones

de las ecuaciones planteadas en

la etapa anterior, las cuales

tendrán raíces iguales y reales,

raíces distintas y reales, y las

raíces que no pertenecen a los

números reales.

Participarán

respondiendo las

preguntas que el o la

docente realizará.

Resolverán los ejercicios

planteados y analizarán

gráficos, encontrarán las

soluciones de la

ecuación de 2º grado.

Guardarán el trabajo en

su portafolio.

2 horas

72

Se basará inicialmente, en el

ejemplo del ave, y relacionará

las soluciones de la ecuación

cuadrática con el discriminante y

a su vez con los cortes con el

eje X.

Se plantea una breve guía en la

cual los y las estudiantes

aplicarán los contenidos

estudiados en esta jornada.






analizados en clases.

Compararán las

conclusiones

establecidas por el o la

docente con las

obtenidas propiamente.

Cuadro 4: Propuesta de actividades para el análisis del discriminante de la ecuación cuadrática

y su relación con la función cuadrática.

73

4.3.- Diseño Curricular de La Segunda Unidad a Tratar:

FUNCIÓN EXPONENCIAL

1.-.Curso: Cuarto Año de Enseñanza Media


3.- Nombre de la Unidad: Función Exponencial.

4.- Tiempo estimado para la unidad: 8 horas pedagógicas.

5.- Registro de contenidos temáticos ejes27:

• Funciones exponenciales y sus gráficos correspondientes.

• Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de la función

exponencial.

• Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Plantear y

problemas sencillos que involucren el cálculo de interés

compuesto.

• Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esta

función.


gráfica.

27

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago

74


Esta unidad tratará el estudio de La Función Exponencial, analizando

sus restricciones, observando y comparando el comportamiento de la función

Exponencial en gráficos, de modo que el o la estudiante pueda comprobar los

contenidos temáticos ejes de esta unidad.

Luego, se enfatizará en algunas aplicaciones físicas que utilizan la

función Exponencial, analizando sus propiedades y la importancia que tiene la

Matemática en la vida diaria y en los fenómenos físicos.

En esta segunda unidad, el trabajo de exposición de la clase y la

construcción de instrucciones matemáticas, de parte del o la docente y de los

alumnos(as), se basará en la utilización del procesador simbólico: Maple 9, con

el objetivo de entregar material, para que el(la) docente y el(la) estudiante,

puedan interactuar en un mundo tecnológico, y así motivar la enseñanza en los

alumnos, ya que cada día adquieren más conocimiento en este aspecto,

entonces, el o la docente se acerca al mundo tecnológico para que las clases

sean más llamativas, visuales, en las que permitan al o la alumno(a) puedan

interactuar en el aula, a través de la clase expositiva y de procesos de

construcción de aprendizaje, con la entrega de ejercicios y la evaluación de

estos.

75


Los alumnos y alumnas serán capaces de:

• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función

exponencial.28

• Clasificar las relaciones entre los gráficos, los exponentes y los

parámetros de la función Exponencial. 29

• Modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales. 30

7.- Objetivos Fundamentales Verticales:


• Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al

análisis de situaciones y a la resolución de problemas.31

• Analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas

matemáticos. 32

• Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y

que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la

necesidad de resolver problemas prácticos, pero también

planteándose problemas propios. 33

• Construir aprendizajes realizando gráficos, resolviendo

ecuaciones, a través de un software educativo, para que el o la

estudiante se relacione en el mundo de las Nuevas Tecnologías

de Información y Comunicación.

28 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 29 Ídem. 30 Ídem. 31 Ídem. 32 Ídem. 33 Ídem.

76

8.- Objetivos Fundamentales Transversales:

• Desarrollo del pensamiento: enfocado a actividades que suponen

una selección y organización de información; y las de resolución

de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de

contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o

procedimientos rutinarios, también a la aplicación de leyes y

principios. El desarrollo del pensamiento también contribuye a

tomar decisiones en la sociedad.34

• Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, planteando

actitudes de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de

recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 35

• Crecimiento y autoafirmación personal: enfocados al interés que el

o la estudiante posee, por relacionar lo aprendido con la realidad

diaria. 36

34

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 35

Ídem. 36

Ídem.

77


La planificación de la Función Exponencial se realizó en conjunto con los

Mapas de Progreso. Ésta pertenece al Mapa de Progreso de Algebra, ya que

describe el progreso de la capacidad de utilización de símbolos y el desarrollo

matemático.37

Cada nivel de aprendizaje se relaciona con los contenidos ejecutados, en

tanto esta unidad corresponde al nivel 5, ya que, se reconoce la función, con

representación gráfica; resuelve sistemas de ecuaciones en forma algebraica. 38

10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Exponencial

Figura 29. Mapa conceptual Función Exponencial

37 MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago, 2009. 38 Ídem.

78

11.- CLASE 1


Se pretende incorporar la definición de Función Exponencial a

través de una historia y después se incorpora el concepto, sus condiciones, su

comportamiento, y sus respectivos ejercicios. Se finaliza la clase con una

retroalimentación de lo ya aprendido.


• Clasificación de los números

• Potencias y sus propiedades.

• Concepto de Función.

• Uso de Maple 9.


• Actividad Introductoria a la Función Exponencial

• Definición de La Función Exponencial

• Función Exponencial con base mayor que 1.

• Función Exponencial con base entre 0 y 1.

• Establecer dominio y recorrido de la Función

Exponencial.

11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas

79



• Identificar el concepto de Función Exponencial.

• Analizar expresiones algebraicas.

• Determinar dominio y recorrido de la Función

Exponencial.

• Comparar gráficos.




a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al

finalizar la clase.

b) Indicaciones al docente: Los contenidos de esta clase, se muestran con

el procesador Maple 9, y los ejercicios de la clase, se les pide a los y las

estudiantes que los realicen con el mismo procesador. El docente debe

solicitar a los alumnos (as), al finalizar la clase, que envíen sus tareas de

la clase por Internet de forma individual, ordenadas en una carpeta

llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de la

actividad.

80




Estudiante

Tiempo

Inicio:

Se plantean los objetivos la

clase.

Motivación.

Se muestra una historia que se

llama: El ajedrez y los granos de

trigo, para introducir el concepto

de Función Exponencial y para

llamar la atención de los y las

estudiantes. Se plantean

preguntas.

Atienden a la motivación

para interiorizarse en el

tema de La función

Exponencial y

responden algunas

preguntas del docente.

1


Contenidos.

Se define el concepto de

Función Exponencial, mostrando

un ejemplo, y se analiza el

comportamiento de esta función,

es decir, cuando se le asigna un

valor a la base de la función

Exponencial.

Toman atención a la

explicación, realizan

preguntas y contestan

interrogantes que el o la

docente realiza cuando

presenta los contenidos,

de forma individual y

grupal.

2 horas

81

También identifican los

tipos de Función,

cuando su base cambia


Se plantean ejercicios

para resolver en clases.

La evaluación de los

ejercicios se realiza con análisis

de gráficos.

1) Para la base

perteneciente al intervalo [0,1],

se muestra el comportamiento

de las funciones en un gráfico.

2) Para la base mayor

que 1, se muestra el

comportamiento de las funciones

en un gráfico.

Realizan el desarrollo de

ejercicios:

1) Ejercicios: con

función exponencial de

base > 1.

2) Ejercicios con función

exponencial de base

entre 0 y 1

Deben trabajar

individualmente, para

después compartir

opiniones entre ellos

mismos.


Exponencial.

82

2.12.- CLASE 2


Se comienza con un resumen de la clase anterior, después se

introduce una propiedad de la función exponencial, definiciones y se estima el

número e. Para finalizar con la realización de ejercicios.



• Definición de La Función Exponencial.

• Uso de Maple 9.


• Reciprocidad de la Función Exponencial.

• Corte en el eje de ordenada.

• Asíntotas.

• Número e.





• Comparar funciones.

• Estimar el número e

83


Enseñanza Aprendizaje.


finalizar la clase.

b) Indicaciones al docente: Esta clase se realiza en el laboratorio de

computación, cada alumno(a) trabaja con el procesador simbólico. El

docente debe solicitar a los alumnos(as) que envíen sus tareas de la

clase por Internet (minutos antes de finalizar la clase), ordenadas en una

carpeta llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de

la actividad.




Estudiante

Tiempo

2

Inicio:

Articulación de contenidos

revisados en clase precedente.

Se repasa el concepto de

Función Exponencial, con un

cuadro comparativo, para

recordar si la función es

creciente o decreciente.

Revisan sus apuntes

anteriores, para recordar

los contenidos

examinados en la clase

anterior. 2 horas

84


Contenidos.

Se analiza la reciprocidad que

posee la Función Exponencial,

con un gráfico. Luego se

examina el punto de Corte en el

eje de ordenada y después se

estudia la Asíntota. Se termina

con la presentación del concepto

de Número e y luego la función

del Número e.


explicación, realizan

preguntas y contestan

interrogantes que el o la

docente realiza cuando

presenta los contenidos.

Interpretan y analizan

los cambios que ocurren

en las funciones, cuando

varían las constantes.

85



para resolver en clases, la

evaluación de estos se realiza

tomando un ejemplo de cada

tema:

1) Reciprocidad: se toma

una función y su recíproca; y se

muestra en un gráfico que son

simétricas con respecto al eje y.

2) Corte en el eje de

ordenada: se escoge una

función, multiplicándola por

constantes; y se comprueba que

la función corta al eje y.

3) Asíntota: se escoge

una función, sumándoles

constantes; y se muestra en un

gráfico.

4) Estimación del número e: se

estima con un valor para la

expresión del número e.

Después el docente concluye

cada ítem con ejercicios y una

retroalimentación.

Realizan el desarrollo de

ejercicios:

1) Reciprocidad de la

Función: Comprobar y

graficar dos funciones

con su inverso

multiplicativo.

2) Corte en el eje de

ordenada: Graficar

funciones.

3) Asíntota: Graficar

funciones.

4) Estimación del

número e: Estimar el

valor de e, para ciertos

valores de x.

Cuadro 6: Propuesta de actividades para el estudio de las propiedades de la función

Exponencial y del Número “e”.

86

13.- CLASE 3


Se repasa la función Exponencial. El tema de la clase es:

Sistemas de Ecuaciones Exponenciales, se dan ejemplos; para comenzar la

realización de los ejercicios.



• Función Exponencial.

• Uso de Maple 9.


• Ecuaciones Exponenciales.




• Analizar ecuaciones exponenciales.



a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector,

cuadernos.

87

b) Indicaciones al docente: En esta clase, se explicará: Sistema de

Ecuaciones utilizando el procesador simbólico, y se mostrarán los

ejercicios, para que los y las estudiantes los resuelvan en sus cuadernos.

Al finalizar la clase el o la docente debe pedir los ejercicios resueltos a

los y las estudiantes, y debe resolver algunos ejercicios como

retroalimentación




Estudiante

Tiempo

Inicio:


revisados en clases

precedentes, sobre la Función

Exponencial.

Revisan sus apuntes

anteriores, para comenzar

la clase.


Contenidos:

El docente explica el Sistema

de Ecuaciones Exponenciales,

resolviendo ejemplos.


explicación, realizan y

contestan interrogantes,

con un rol activo.

3


Se plantean ejercicios para

resolver en clases. El docente

finaliza la clase con una

retroalimentación: explica

algunos ejercicios.

Desarrollan ejercicios:

1) Transformar la base de

una potencia.

2) Resolver sistema de

ecuaciones.

2 horas

Cuadro 7 : Propuesta de actividades para el estudio del Sistema de ecuaciones Exponenciales.

88

2.14.- CLASE 4

2.14.1.- Breve Descripción de la actividad.

La matemática se incorpora a la Física. Para añadir el

concepto de función Exponencial a la vida cotidiana, se utilizan dos ejemplos

para mostrar en clase, tales como: el interés compuesto y la descomposición

radiactiva. Con ejercicios y conclusiones.

2.14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.


• Función exponencial.

• Uso de Maple 9.

2.14.3.- Detalles de Contenidos.

• Aplicación Física: Sustancia Radiactiva.

• Aplicación a la Economía: Interés Compuesto.

• Solución a ejercicio de Bacteria.

2.14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.

89

2.14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.


• Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la

Función Exponencial.

• Modelar fenómenos naturales a través de la Función

Exponencial.

2.14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de



finalizar la clase.

b) Indicaciones al docente: En esta clase se muestran dos ejemplos de

aplicaciones físicas que utilizan la función exponencial. El docente debe

solicitar a los alumnos(as) que envíen sus tareas de la clase por Internet,

ordenadas en una carpeta llamada portafolio, con fecha del día

respectivo y con nombre de la actividad.

90




Estudiante

Tiempo

Inicio:


revisados en clases

precedentes, sobre La Función

Exponencial.

Revisan sus apuntes

anteriores.


Contenidos:

Aplicaciones Matemáticas para

la física: se analizará la

construcción de dos

aplicaciones en la vida diaria.

Atender a la explicación,

realizar y contestar

interrogantes, con un rol

activo.

4


Evaluación del ejercicio:

Aplicación Bacteria. El

docente explica esta

aplicación. Al finalizar la clase

se refuerza la utilidad que tiene

La función Exponencial.

Desarrollan el ejercicio:

Aplicación Bacteria.

Determinar la función que

representa el número de

bacterias después de x

horas si se sabe que

inicialmente había 20000

bacterias y que la

población se cuadruplica

cada hora.

2 horas

Cuadro 8 : Propuesta de aplicaciones para la función exponencial.

91

4.4.- Diseño Curricular de La Tercera Unidad a Tratar:

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1.-.Curso (Año): Cuarto Año de Enseñanza Media


3.- Nombre de la Unidad: Función Logarítmica

4.- Tiempo Estimado para la Unidad: 8 horas Pedagógicas.

5.- Registro de Contenidos Temáticos ejes39:

• Funciones logarítmicas, sus gráficos correspondientes.

• Modelación de fenómenos naturales a través de esta función.

• Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de la función

logaritmo.

• Análisis y comparación de escalas logarítmicas. Plantear y

resolver problemas sencillos que involucren el cálculo en escalas

logarítmicas.


gráfica.

39

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago.

92


Esta unidad está centrada en el estudio de La Función Logaritmo de

modo que lo(a)s estudiantes desarrollen tanto un trabajo cuantitativo como

cualitativo de dicha función y sus propiedades, además de contextualizar cada

tema con la cotidianeidad y así explicar fenómenos que comúnmente ocurren

en nuestro alrededor.

Durante la unidad, se enfatiza en que los alumnos y alumnas

fundamentalmente trabajen con el procesador simbólico, en algunos casos para

ser guiados por el profesor, otro momento para comprobar la enunciación

formal de los contenidos, y en otros casos para el desarrollo de los ejercicios.

La recopilación de las actividades será principalmente de manera digital en un

portafolio y constituirá evidencia del proceso de aprendizaje y llevará

calificación adjunta.


Los alumnos y alumnas serán capaces de:

• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función

Logarítmica.40

• Clasificar las relaciones entre los gráficos, y los parámetros en la

función Logarítmica. 41

• Modelar situaciones o fenómenos naturales. 42

40 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 41 ídem. 42 Ídem.

93

7.- Objetivos Fundamentales Verticales


• Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al

análisis de situaciones y a la resolución de problemas. 43

• Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y

que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la

necesidad de resolver problemas prácticos, pero también

planteándose problemas propios. 44

• Construir aprendizajes realizando gráficos, resolviendo

ecuaciones, a través de un software educativo, para que el o la

estudiante se relacione en el mundo de las Nuevas Tecnologías

de Información y Comunicación.

43 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 44 Ídem.

94

8.- Objetivos Fundamentales Transversales

• Desarrollo del pensamiento: orientado a actividades para una

selección y organización de información; y las de resolución de

problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de

contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o

procedimientos frecuentes, también a la aplicación de leyes y

principios. El desarrollo del pensamiento también contribuye a

tomar decisiones en la sociedad.45

• Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, con

compromiso, planteando cualidades de rigor y perseverancia,

originalidad y capacidad de recibir y aceptar consejos y críticas, en

el aula. 46

• Crecimiento y autoafirmación personal: conducentes al interés que

el o la estudiante posee, para que pueda relacionar lo aprendido

con la realidad del día a día. 47

45

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 46 Ídem. 47

Ídem.

95


La planificación de la Función Logarítmica corresponde al Mapa de

Progreso de Algebra, ya que detalla el progreso de la capacidad de utilización

de símbolos y el desarrollo matemático.48

Cada nivel de aprendizaje se relaciona con los contenidos ejecutados, en

tanto esta unidad corresponde al nivel 5, ya que, se reconoce la función, con

representación gráfica; resuelve sistemas de ecuaciones en forma algebraica. 49

10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Logarítmica

Figura 30: Mapa conceptual Función Logaritmo.

48.MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago, 2009. 49.Ídem.

96

11.- CLASE 1


Se pretende incorporar la definición de Función Logarítmica, a

través de una interrogante matemática, creando la necesidad de solución

mediante logaritmo, luego se incorpora formalmente el concepto y sus

condiciones, se define cada término de la Función y su comportamiento. Se

finaliza la clase con una retroalimentación de lo ya aprendido.


• Clasificación de los números.


• Función Exponencial.

• Uso de Maple 9.


• Actividad Introductoria a la Función Logarítmica.

• Definición de La Función Logarítmica.

• Función Logarítmica con base mayor que 1.

• Función Logarítmica con base entre 0 y 1.


97



• Definir el concepto de Función Logarítmica.


• Comparar gráficos.





b) Indicaciones al docente: Los contenidos de esta clase, se muestran

con el procesador simbólico Maple 9, y los ejercicios de la clase, se

les pide a los y las estudiantes que los realicen con el mismo

procesador. El docente debe solicitar a los alumnos (as) que envíen

sus tareas de la clase por Internet, ordenadas en una carpeta llamada

portafolio, con fecha del día respectivo.

98

c) Programación de la clase



Estudiante

Tiempo

Inicio:

Se plantea el objetivo de la

clase, definir el concepto de

logaritmo.

Motivación.

Se presenta una interrogante

con la cual se guía al alumno a

llegar a una solución como

introducción a la Función

Logaritmo.

Atienden a la motivación,

discuten entre ellos y

responden algunas

preguntas del docente.

1


Contenidos.

Se define el concepto de

Función Logaritmo, mostrando

ejemplos con los casos

posibles, y se analiza el

comportamiento de esta

función, es decir, si le

asignamos un valor a la base

“a”, se estudiarán las

características de dicho caso.

Se ejemplifica en los dos casos

posibles.

Comprueban con el

procesador simbólico los

casos posibles,

cambiando los parámetros

característicos de cada

caso.

2 horas

99





ejercicios se realiza con el

análisis de gráficos

1) Para la base

perteneciente al intervalo [0,1],

se muestra el comportamiento

de las funciones en un gráfico,

observando que es

decreciente, con dominio en

los reales positivos y recorrido

en los reales.

2) Para la base mayor

que 1, se observa que la

función es creciente, con

dominio en los reales positivos

y recorrido en los reales.

Desarrollo de ejercicios:

1) Ejercicios: con función

logarítmica de base > 1.

2) Ejercicios con función

logarítmica de base entre

0 y 1


Logarítmica.

100

12.- CLASE 2


Se comienza con un resumen de la clase anterior, después se

introduce algunas propiedades de la función logarítmica, asíntota y el caso del

logaritmo natural.



• Definición de la Función Exponencial.

• Definición de la Función Logaritmo.

• Uso de Maple 9.


• Dominio de la Función Logaritmo.

• Propiedad de simetría de la Función Logaritmo con la

Función Exponencial (funciones inversas una de la

otra).

• Corte en el eje de abscisa.

• Asíntotas.

• Logaritmo natural.


101

12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos:



• Comparar funciones.


• Identificar el logaritmo natural.




b) Indicaciones al docente: Esta clase se realiza en el laboratorio de

computación, cada alumno(a) o grupo trabaja con el procesador

simbólico los contenidos de la clase.

102




Estudiante

Tiempo

Inicio:


revisados en clases

precedentes. Se repasa el

concepto de Función

Logaritmo, con un cuadro

comparativo para recordar si la

función es creciente o

decreciente.

Atienden, reconocen y

comprueban, a través del

software, propiedades

presentadas. 2


Contenidos.

Se analiza una propiedad de

Simetría de la Función

logaritmo y la función

exponencial con respecto a la

función y=x a través de

gráficos.

Se reconocen la función

exponencial y logaritmo como

funciones inversas entre sí.

Luego se analiza el corte en el

eje de las abscisas si se le

pondera o agrega una

constante.

Comprueban con el

procesador simbólico la

simetría utilizando bases

de distinto valor (positivo),

le adicionan y ponderan

una constante.

2 horas

103

Cierre:

Conclusiones de cada tema.

Evaluación de los ejercicios.


1) Propiedad de simetría

(relación inversa entre sí

de función logaritmo y

exponencial.

2) Constante Multiplicativo

y la adición.

3) Logaritmo natural y

base relación con “e” .

Cuadro 10: Propuesta de actividades para el estudio de propiedades del Logaritmo Natural.

104

13.- CLASE 3


Se repasa la Función Logarítmica y sus propiedades. El tema

de esta clase es: resolver ecuaciones logarítmicas de distintas características,

algunos ejemplos, para finalizar con la resolución de ejercicios.



• Función Exponencial y Logaritmo.

• Ecuaciones Exponenciales.

• Uso de Maple 9.


• Ecuaciones Logarítmicas




• Resolver ecuaciones logarítmicas y analizar

soluciones.

105



a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, cuaderno,

calculadora portátil.

b) Indicaciones al docente: En esta clase, se explicará: Cómo resolver

algunos tipos de ecuaciones logarítmicas utilizando el procesador

simbólico para el análisis gráfico, y se mostrarán los ejercicios, para que

los y las estudiantes los resuelvan en sus cuadernos. Al finalizar la clase

el o la docente debe pedir los ejercicios resueltos a los y las estudiantes,

y debe resolver algunos ejercicios con y sin ayuda del computador.




Estudiante

Tiempo

3

Inicio:


revisados en clases

precedentes, sobre la Función

Logarítmica.

Atienden y comprueban a

través del software

propiedades presentadas.

2 horas

106


Contenidos:

Resolución, el docente

presenta ejemplos de

resolución de ecuaciones que

intervengan logaritmos.

Comprueban resultados

mediante el análisis

gráfico, guiados por el

profesor.




Evaluación de los ejercicios.


ejercicios se realiza en el

procesador simbólico.


1) Transforman

expresiones para cambio

de base.

2) Determinan qué

logaritmo es mayor o

menor.

3) Resuelven

inecuaciones.

4) Determinar dominio y

recorrido.

Cuadro 11: Propuesta de actividades para el estudio de Ecuaciones Logarítmicas.

107

14.- CLASE 4


La matemática se incorpora a la Física. Para añadir el

concepto de función Logarítmica a la vida cotidiana, se utilizan ejemplos para

mostrar en clase, como es la escala Richter en distintos casos, con ejercicios y

conclusiones.


• Función Logarítmica.

• Propiedades de logaritmo.

• Uso de Maple 9.


• Repaso de la Función Logaritmo

• Aplicación Física: Escala Richter.




• Modelar fenómenos naturales a través de la función

logarítmica.

108




b) Indicaciones al docente: En esta clase se muestran ejemplos de algunas

aplicaciones físicas que utilizan la función logarítmica.




Estudiante

Tiempo

Inicio:


revisados en clases

precedentes, sobre La Función

Logaritmo.

Alumnos y alumnas

realizan un resumen con

las curvas y parámetros

involucrados en la función

logaritmo (asíntota, corte).

4


Contenidos.

Aplicaciones en la Física

Atienden a las

características de la

Escala Richter.

Modelan el

comportamiento mediante

función logaritmo.

2 horas

109


Evaluación del ejercicio:

Escala Richter. El docente

explica esta aplicación.


Escala Richter

Determinan valores de

dicha escala para distintos

tipos de terremotos.

Cuadro 12 : Propuesta de actividades para el estudio de las aplicaciones en la función

Logarítmica.

110

Capítulo 5: Propuesta

Consideraciones Generales

Objetivo General:

Diseñar actividades metodológicas, para desarrollar en el aula, en el sub

- sector de Matemática, para el o la docente y para el alumno(a), utilizando un

procesador simbólico, correspondiente a contenidos de Tercer y Cuarto Año de

Enseñanza Media.

Específicamente, se proponen actividades para el estudio de las

siguientes funciones:

1. Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza

Media;

2. Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza

Media;

3. Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza

Media.

Cada clase establece claramente los objetivos a lograr, actividades

introductorias a la función respectiva para luego formalizar los contenidos

además de problemas y ejercicios para los estudiantes y con ello logren los

aprendizajes esperados para la jornada a través de la obtención de propias

conclusiones y la comparación de las mismas con las entregadas por el docente

al finalizar cada sesión.

111

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Clase 1

Objetivos

> `Objetivos`;

> `1. Reconocer el concepto de función cuadrática`;

> `2. Identificar la representación gráfica de la función

cuadrática`;

Actividad Introductoria

> `Imaginemos que se lanza una bengala.`;

> `Si dibujáramos con un lápiz el camino que recorrería el

haz de luz`;

>`¿Qué dibujo veríamos?`;

> `Para responder esta interrogante, miremos la siguiente

animación:`;

>restart: with(plots):

>a1:=pointplot({[0,0]}, symbol=circle, color=[black],

tickmarks=[0,0]):

>a2:=pointplot({[0,0],[10,400]}, symbol=circle,

color=[black,red], tickmarks=[0,0]):

>a3:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800]},symbol=circle,

color=[black,red,navy],tickmarks=[0,0]):

>a4:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600]},

symbol=circle, color = [black, red, navy, yellow],

tickmarks=[0,0]):

>a5:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600],

[40,200]},symbol=circle,

color=[black,red,navy,yellow,kakhi],tickmarks=[0,0]):

112

>a6:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600],[40,200],

[60,0]},symbol=circle,color=[black,red,navy,yellow,kakhi.gr

een], tickmarks=[0,0]):

>display({a1,a2,a3,a4,a5,a5},insequence=true);

> `Si uniéramos los puntos con una línea continua, ¿qué

veríamos?:`;

>plot(-

2*x^2+5*x,x=0..3,y=0..4,color=green,tickmarks=[0,0],thickne

ss=3);

Figura 31. Trayectoria haz de luz de una bengala

> `La curva que observamos se conoce con el nombre de

"Parábola"`;

> `y corresponde al gráfico que se obtiene de una Función

Cuadrática`;

> `Un ejercicio para tí, ¿Dónde has visto esta figura en

otro lugar?`;

Definición

> `DEFINICIÓN`;

> `Se llama función de 2º grado o función cuadrática a la

función de la forma:`;

113

> f(x)=a*x^2+b*x+c;

>Èxpresión que corresponde a la función cuadrática

completa`;`donde a, b y c números reales y a distinto de

0`;

Representación Gráfica

> `REPRESENTACIÓN GRÁFICA`;

> `como vimos en la introducción la trayectoria que sigue

el haz de luz en el aire`;

> `corresponde a una "Parábola"`;

> `cuyo gráfico es:`;

> restart:

>plot(-2*x^2+5*x, x=0..3, y=0..4, color=green,

tickmarks=[0,0],thickness=3);

> `La función cuadrática asociada a este gráfico es:`;

> f(x)=-2*x^2+5*x; `donde`;

> a=-2; ès el coeficiente cuadrático de la función`;

> b=5; ès el coeficiente lineal de la función cuadrática`;

> c=0; ès el término independiente de la función`;

> Èn este caso, el valor de a es menor que cero (a < 0)`;

> `Luego, ¿Cómo es el gráfico?`;

> `Vemos que la parábola es "invertida"`;

> `Miremos el siguiente ejemplo:`;

> `la parábola cuya función está dada por:`;

> f(x)=x^2;donde:`;a=1;b=0;c=0;

> `Su gráfico es:`;restart:

>plot(x^2,x=5..5,y=0..4, color=green, tickmarks=[0,0],

thickness=3);

114

Figura 32. Función f(x)=x2

> `Vemos que el gráfico muestra que la parábola es

simétrica al eje X`;

> `En este caso vemos que el valor de a es positivo (a >

0)`;

> `Finalmente, el gráfico para este caso es una parábola

derecha`;

> `y el gráfico muestra que la parábola es simétrica al eje

X`;

> `Luego podemos concluir que dependiendo del valor del

coeficiente cuadrático de la función, es el gráfico que

presenta`;

> `Además, el valor de a depende de la abertura de la

parábola, lo que se conoce como excentricidad`;

Forma Estándar de la Función Cuadrática

> `Forma Estándar de la Función Cuadrática`;

> `Para efectos interpretativos de la expresión:`;

> `Conviene expresarla de modo distinto`;

115

> `Para esto factorizamos por a, ya que a distinto de

cero`;

> `Entonces dividimos el primer y segundo miembro de

f ( x )`;

> f(x)=a*[x^2+(b/a)*x]+c;

>`Podemos ver que la expresión que se encuentra en el

paréntesis`;

>`Se puede escribir como cuadrado perfecto, es decir`;

> f(x)=a*[x+(b/2*a)]^2-(b^2/(4*a^2))+c;

>`Ahora definiremos tres constantes a, h, k, de modo

siguiente:`;

>a = a;h = -b/(2*a);k = c - b^2/(4*a^2);

>`De manera que f ( x ) adopta la siguiente expresión:

>`Diremos que es la forma estándar de la función

cuadrática`;

> f(x) = a*(x-h)^2+k;

Ejercicios

I. Grafica las siguientes funciones. Además encuentra el dominio y

recorrido de cada una:

a)

b)

c)

• Conclusión

> `La función cuadrática es de la forma`;

> f(x)=a*x^2+b*x+c;

> `Cuya representación gráfica es una parábola`;

116

Clase 2

Objetivos

> Òbjetivos`;

> `1. Encontrar y analizar la expresión que permita

calcular las coordenadas del vértice de la función`;

> `2. Identificar los puntos máximos y mínimos de una

función cuadrática`;

> `3. Determinar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de una función cuadrática`;


> Èn las prácticas de golf un jugador intenta alcanzar el

green con un lanzamiento de la pelota, la cual describe una

trayectoria parabólica. La altura de la pelota se puede

obtener a partir de la siguiente función cuadrática:`;

> h(t)=-5*t^2+50*t;

> Èn la que h corresponde la altura y t el tiempo medido

en segundos desde el cual fue lanzada la pelota`;

> `Si graficamos la función h, ¿Qué característica tiene la

curva?`;

> `Respecto del gráfico, analiza y responde las siguientes

preguntas:`;

> `1. ¿Qué es el eje de simetría?`;

> `2. ¿En qué punto intercepta el eje de simetría a la

parábola?`;

> `3. ¿Qué punto considerarías el vértice de la parábola?

¿Por qué?`;

117

> `4. ¿Qué sucede con la pelota en el intervalo de tiempo 0

y 5 segundos ?`;

> `5. ¿Qué sucede con la pelota en el intervalo de tiempo 5

y 10 segundos ?`;

> `Vemos que la parábola es simétrica con respecto a un

eje, además existe un punto en la curva que llamaremos

Vértice`;

Vértice

> `VÉRTICE`;

> `Recordemos que la función cuadrática es de la forma:`;

> f(x)=a*x^2+b*x+c;

> `y su forma estándar es:`;

> f(x)=a(x-h)^2+k;

> `Ahora, vamos a demostrar que el vértice de la parábola

es:`; V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));

> restart: `Sea la función:`;

> f(x)=a*x^2+b*x+c;

> `Factorizando por a, se tiene:`;

> f(x)=a(x^2+(b*x)/a+c/a);

> `Sumando y restando el término `;b^2/(4*a^2);

> f(x)=a*((x^2+(b/a)*x+(b*(1/(2*a))^2)-(b/(2*a))^2+c/a));

> `Completando Cuadrado de Binomio, tenemos:`;

> f(x)=a*(((x+b/(2*a))^2-(b/(2*a))^2+c/a));

> `Sumando los términos libres, queda:`;

> f(x)=a*((x+b/(2*a))^2-(b^2-(4*a*c))/(4*a^2));restart:

> `Resolviendo el paréntesis se obtiene la siguiente

expresión:`;

118

> f(x)=a*((x+b/(2*a))^2-(b^2-(4*a*c))/(4*a));`donde`;

> h=-b/(2*a); k=-(b^2-4*a*c)/(4*a);

> `Luego, reemplazando h y k en la función f(x), se

tiene:`;

> f(x):=a*(x-h)^2+k;f(x):=a*(x-h)^2+k;

> `V(h,k)=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a))`;

> `Ejemplo 1`;`Sea la función`;

> f(x)=x^2+2*x+3;`Sabemos que el vértice se puede

determinar utilizando la expresión`;

> `V(h,k)=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a))`;a:=1; b:=2;c:=3;

> h:=-b/(2*a);k:=-(b^2-4*a*c)/(4*a);

> `Luego, el vértice de la parábola es:`;

> V:=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a);

>plot(x^2+2*x+3, x=-4..3, y=0..10, color=[navy],

tickmarks=[0,0]);

Figura 33. Función f(x)=x2+2x+3

Extremos

> `MÁXIMO Y MÍNIMO`;

> `Como ya vimos en la sección anterior, el vértice de la

parábola está dado por:`;

> V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));`rec(f) =[-00,0]`;

119

> Èste punto puede ser: mínimo o máximo’;’ En qué

situaciones se habla de máximo?, mínimo?`;

> Ànalizaremos los siguiente ejemplos:`;

> `1. Sea la función`;f(x)=7*x+6-4*x^2;

> `Donde:’; a:=-4;b:=7;c:=6;

> h:=-b/(2*a);k:=-(b^2-4*a*c)/(4*a);f(x):=a*(x-h)^2+k;

> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)));

> `Si graficamos f, tenemos`;

>plot(7*x+6-4*x^2, x=-2..3, y=0..10, tickmarks=[0,0],

color=navy, thickness=3);

Figura 34. Función f(x)=-4x2+7x+6

> Èn el gráfico vemos que la parábola es invertida

puesto que a=-4`; àdemás, el vértice es:`;

> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)));

> `Por lo tanto, el vértice de la parábola corresponde a un

Máximo Relativo de la función f.`;

> Èjemplo 2`;

> Ùn ganadero quiere construir un corral rectangular de

1000 metros de cercado`;

> ` ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para que

el área cercada sea máxima?`;

120

> `Solución`;

> `Llamaremos a al ancho y l al largo’;’ luego el área está

dado por la expresión`;A=a*l;

> `Como dato, tenemos el perímetro`; `P=1000 m`;

> `Por lo tanto`; restart: P=2*a+2*l;

> 1000=2*a+2*l;

> `Despejando l de la expresión anterior, tenemos`;

> l=1/2*(1000-2*a);

> `Sustiyendo l en el área, se tiene, `;

> A=a*1/2*(1000-2*a);

> A=500*a-a^2;

> `Ahora tenemos una función cuadrática, que permite

calcular el área del corral`;

> `Primero, determinamos el vértice`;

> a:=-1;b:=500;c:=0;

> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)));

> `Como el coeficiente cuadrático es menor que cero,

entonces tiene un máximo relativo`;

> plot(500*a-a^2,color=navy,a=0..100);

> `Luego, las dimensiones del corral son: `;

> a:=7/8;

> l=1/2*(1000-2*a);

Monotonía

> `Sea f una función definida en un intervalo,`;` y sean X1

y x2`;

> `dos valores cualesquiera en ese intervalo, entonces`;

> `(i) f es creciente si`;

> x1<x2; `entonces`; f(x1)<f(x2);

121

> `por ejemplo`;

> f(x)=x^2+2*x;

>plot(x^2+2*x, x=-3..2, y=-1..3, color=navy,

tickmarks=[0,0]);

Figura 35. Monotonía de la función f(x)=x2+2x

> `(ii) f es decreciente si`;

> x2<x1; `entonces`; f(x2)<f(x1);

Ejercicios

I. Encuentra el vértice de las siguientes funciones y comprueba utilizando

el método gráfico

a)

b)

c)

122

II. Encuentra el mayor intervalo sobre la cual la función dada sea creciente

y el mayor intervalo en el cual es decreciente

a)

b)

III. Grafica las siguientes funciones y responde las siguientes preguntas:

a) Encuentra el vértice las funciones dadas

b) ¿Cuál de las funciones presente un máximo? ¿Cuál de ellas tiene un

mínimo?

c) ¿Qué puedes concluir al finalizar la actividad? Justifica.

IV. Problema

a) Suponga que se lanza una pelota que viaja de acuerdo la función:

Donde S(t) se mide la altura que alcanza la pelota sobre el suelo al cabo de t

segundos de ser lanzada.

¿Cuántos segundos tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?

¿Cuál es la altura máxima?

123

Conclusión

> `Sea la función cuadrática f de la forma: `;

> f(x)=a*x^2+b*x+c;

>Èntonces`;

> Èl vértice de la función está dado por la expresión: `

> V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));

> `Y a partir del vértice podemos reconocer gráficamente la

monotonía de la función`:

> Ès decir, verificar en que intervalos la función crece y

en cuales está decrece`;

> Èn otras palabras:`;

> `f es creciente si`;

> `Para todo x1,x2 e A: x1<x2, entonces f(x1)<f(x2)`;

>`f es decreciente si`;

>`Para todo x1,x2 e A: x2<x1, entonces f(x2)<f(x1)`;

>`Por último, si el gráfico de la función corresponde a una

parábola que es cóncava hacia arriba (a>0), entonces se

dice que el vértice es un Mínimo Relativo`;

>`Si la curva que presenta la función cuadrática es cóncava

hacia abajo(a<0), entonces ésta tiene un Máximo Relativo

que corresponde al vértice de la parábola`;

124

Clase 3

Objetivos

> `Objetivos`;

> `1. Caracterizar distintas traslaciones que presenta la

función cuadrática`;


Grafica las siguientes funciones

Ahora, responde las siguientes preguntas a partir del gráfico.

a) ¿Qué ocurre con los gráficos?

b) ¿Cuál es el eje de simetría para cada caso?

c) ¿Qué ocurre con los máximos o mínimos que presentan cada función?

Traslación Horizontal

> restart: with(plots):

>a1:=plot([x^2],x=-10..10, y=0..5, color=[cyan],

thickness=2, tickmarks=[0,0]):

>a2:=plot([x^2,(x-4)^2],x=-10..10, y=0..5,

color=[cyan,navy], thickness=[2,3], tickmarks=[0,0]):

> display({a1,a2}, insequence=true);

125

Figura 36. Traslación de la función f(x)=x2

> `¿Qué relación existen entre ambas parábolas?`;

> `Vemos en el gráfico, que la curva verde es la que tiene

centro en (0,0),`;`en cambio la parábola dibujada en azul

tiene su vértice en el punto (4,0)`;

> `Y corresponde a la traslación de la primera parábola a

lo largo del eje X en cuatro unidades’;’ generalizando la

expresión anterior`;

> `Definamos la función:`; f:=x->(x-h)^2;donde h es un

número real `;

> `Si h > 0, ¿qué ocurre con la parábola?`;

> `Para resumir, miremos la siguiente animación:`;

> restart:with(plots):

>a:=plot(x^2, x=-10..10, y=0..25, color=[green]

tickmarks=[2,4]):

>b:=plot([x^2,(x-2)^2], x=-5..8, y=0..25,

color=[green,navy], tickmarks=[2,4], thickness=[2,2],

linestyle=[3,1]):

126

>c:=plot([x^2,(x-2)^2,(x-5)^2], x=-10..15, y=0..25,

color=[green,navy,red],tickmarks=[2,4],thickness=[2,2,3],li

nestyle=[3,3,1]):

> display({a,b,c}, insequence=true);

Traslación Vertical

> `Considemos la función`;f(x) = x^2; plot(x^2,x=-

5..5,color=navy,tickmarks=[0,0]);

>`Ahora, ¿qué ocurre si movemos esta parábola

horizontalmente?`; `Para analizar lo que ocurre generaremos

la siguiente animación:`;


> a1:=plot(x^2,x=-10..10, color=[green],tickmarks=[0,0]):

>a2:=plot([x^2,x^2-10], x=-10..10, color=[green,navy],

tickmarks=[0,0]):

>a3:=plot( [x^2, x^2-10, x^2-20], x=-10..10,

color=[green,navy,red],tickmarks=[0,0]):

> display({a1,a2,a3},insequence=true);

127

Figura 37. Animación de la traslación horizontal de la función f(x)=x2

> `En el ejemplo anterior, vemos que el gráfico de la

función se traslada en sentido vertical, en comparación a

la función original`;

>`Por lo que se puede decir que si k<0, entonces la

dirección de traslación de la parábola es eje Y negativo`;

> `Ahora, ¿qué ocurre si k>0?

>restart:

>with(plots):

> a1:=plot(x^2,x=-10..10, color=[green],tickmarks=[2,4]):

>a2:=plot([x^2,x^2+10], x=-10..10, color=[green,navy],

tickmarks=[2,4]):

>a3:=plot([x^2, x^2+10, x^2+20], x=-10..10,

color=[green,navy,red],tickmarks=[0,0]):


128

Figura 38. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x2

Traslación General

> `Sea la función f definida como: `; f(x)=(x-2)^2+5;

> ` ¿Cómo se traslada la función f con respecto a la x^2?`;

> `La respuesta a esta interrogante tenemos la siguiente

animación: `

> restart:with(plots):

>a1:=plot(x^2, x=-10..10, y=-1..30, color=green,

tickmarks=[0,0],):

>a2:=plot([ x^2, (x-2)^2], x=-10..10, y=-1..30,

color=[green,navy],thickness=[2,2,3], linestyle=[3,3,1],

tickmarks=[0,0],):

>a3:=plot([ x^2, (x-2)^2, (x-2)^2+5], x=-10..7, y=-1..30,

color=[green,navy,red], tickmarks=[0,0], thickness=[2,2,3],

linestyle=[3,3,1]):


129

Figura 39. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x2

> `Reconocemos el gráfico dibujado en verde a la función

canónica:`;f(x)=x^2;

> `A partir de ello, vemos que la función graficada en

azul, presenta una traslación de tipo horizontal, dos

unidades hacia la derecha`;

> `En cambio la curva roja, se traslado en dos sentidos, es

decir subió 5 unidades y avanzó 2`;

Ejercicios

I. Hallar el vértice de las siguientes funciones

a)

b)

c)

130

Conclusión

> `Si h<0, entonces la función presenta una traslación

horizontal que corresponde el movimiento hacia la izquierda

en comparación a la función: `;

> f(x)=x^2;

> `Si h>0, entonces la función presenta una traslación

horizontal que corresponde el movimiento hacia la derecha`;

> `Si la función cuadrática es de la forma: `;

> f(x)=x^2+k;`con k real’;’ se dice que se traslada

verticalmente`;

131

Clase 4

Objetivos

> `Objetivos`;

> `1.Relacionar el discriminante de la ecuación cuadrática

con las raíces de la función cuadrático `;


Consideremos un ave que vuela a cierta altura sobre el nivel del mar, luego

tiene tres opciones posibles de vuelo

1. El ave se lanza desde una altura, se sumerge en el agua y siguiendo una

trayectoria parabólica emerge, que está dada por la expresión:

> h1=t^2-8*t+9;

>plot(t^2-8*t+9, t=0..10, y=(-10..10),color=[blue],

linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);

Figura 40. El ave corta en dos puntos el mar

132

2. El ave se lanza y solo toca el agua para luego elevarse nuevamente, dada

por la expresión:

> h2=t^2-8*t+16;

>plot( t^2-8*t+16, t=0..10, y=0..20,color=[green],


Figura 41. El ave corta en un punto el mar

133

3. El ave sigue un movimiento parabólico y en ningún instante toca el agua.

> h3=t^2-8*t+20;

>plot(t^2-8*t+20, t=0..10, y=0..20, color=[cyan],


Figura 42. El ave no se sumerge en el mar

¿Qué diferencias notas en los tres casos anteriores?

Discriminante

> `Sea la función cuadrática escrita de forma general:`;

f(x)=a*x^2+b*x+c;

> `Los puntos en los cuales la parábola corta el eje X, en

otras palabras y=0,`;

134

> `Se obtiene al resolver la ecuación

cuadrática`;ax^2+bx+c=0;

> `Dependiendo de la soluciones, sabremos si se corta el

eje X en dos puntos, uno o ninguno`;

> `En otras palabras dependerá de lo que llamaremos

Discriminante, que denotaremos por "d"`;

> `Y lo definiremos como:`;

> d:=b^2-4*a*c;

> `Veamos algunos ejemplos:`;

> f(x)=x^2-8*x+9;

> a:=1:b:=-8:c:=9:

> d:=b^2-4*a*c;

> `Como el determinante es menor que cero, entonces la

parábola no corta el eje x. `;

> `Comprobemos: `;

> `Busquemos los puntos: `;eq:=x^2-8*x+9;

> sols:={solve(eq,x)};

>plot(x^2-8*x+20, x=0..10, y=0..20,color=[cyan],


135

Figura 43. Discriminante menor que cero

Ejercicios

I. Estudie el signo de cada una de las siguientes funciones:

a) y=2*x^2-5*x+2

b) y=-x^2+4*x-4

c) y=-x^2-3*x

II. ¿Para qué valores de x la función f(x)=-x(x+2) asume valores

positivo?

III. Determine k de modo que -2*x^2+6*x+(k-1)<0, para todo x real.

136

Conclusión

> `Si el discriminante d es menor que cero, la función

cuadrática no admite raíces reales`;

> ès decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 no tiene

soluciones reales`;

> `y la parábola no intercepta el eje X`;

> `Si el discriminante d es igual que cero, la función

cuadrática admite una raíz real`;

> èn decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 tiene dos ráices

reales e iguales.`;

> `y la parábola intercepta en un punto el eje X`;

> `Si el discriminante d es mayor que cero, la función

cuadrática admite dos raíces reales`;

> èn decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 tiene soluciones

reales y distintas`;

> `y la parábola intercepta en dos puntos el eje X`;

137

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Clase 1

Objetivos

> Òbjetivos`;

> `Definir el concepto de Función Exponencial.`;

> `Determinar dominio y recorrido de la Función Exponencial`

> Ànalizar expresiones algebraicas.`;

> `Comparar gráficos.`;

> `Resolver ejercicios, según la base.`;


> Àctividad Introductoria`

> Èl ajedrez y los granos de trigo.`;

> `Historia: Un rey quiso premiar las dotes adivinatorias

de un sacerdote.`;

> Èl sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera

casilla de un tablero de ajedrez,`;

> `4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez

por cada nueva casilla. `;

> Èl rey pareció complacido por la modestia del sacerdote,

hasta que comprobó la magnitud de su petición,`;

> ùna cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo

el reino.`;

> `¿Cómo se puede escribir matemáticamente la petición del

sacerdote?`;

> `Veamos:`;

> `Si por la primera casilla pide 2 granos de trigo.`;

138

> 2=`2`^1;

> `Por la segunda casilla pide 4 granos.`;

> 4=`2`^2;

> `Por la tercera casilla pide 8 granos.`;

> 8=`2`^3;

> `Por la cuarta casilla pide 16 granos. Tenemos:`;

> 16=`2`^4;

> `Vemos que si al número 2 lo elevamos al número de

casillas (número natural), resultan los granos de trigos

dados,`;

> `así se cumple que la cantidad de trigos por casilla es

el doble de la cantidad de trigo anterior,`; `entonces la

petición se puede escribir como:`;

> restart: F:=n->2^n: f(n)=F(n);

> `De esta manera se puede formular otras preguntas como:

¿Cuántos granos de trigo corresponden a 8 casillas?`;

> f(8)=`2`^8;

> f(8)=F(8);

> `¿Cuántos granos de trigo corresponden a 20 casillas?`;

> f(20)=`2`^20;

> plot(F,

0..6,0..30,thickness=4,color=aquamarine,tickmarks=[0,6]);

139

Figura 44. “El ajedrez y los granos de trigo”

> `¿Cuál es el dominio de esta función, si el número de

casillas de un tablero de ajedrez es de 64?`;

> `Como n es la variable dependiente, tiene como dominio a

los números naturales en el intervalo: [1,64].`;

Función Exponencial

Introducción

> `La Función Exponencial es del tipo:`;f(x)=b^x; b<>1;

b>0;

> `Donde b es la base, que pertenece a los números

reales.`;

> `Donde x es el exponente, un número real.`;

> `Tal como se muestra:`;

140

> restart: with(plots): f:=x->2^x: pointplot({[-6,f(-

6)],[-5,f(-5)],[-4,f(-4)],[-3,f(-3)],[-2,f(-2)],[-1,f(-

1)],[0,f(0)],[1,f(1)],[2,f(2)],[3,f(3)],[4,f(4)],[5,f(5)],[

6,f(6)]},ytickmarks=[f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)],xt

ickmarks=[-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6],

title=`f(x)=2^x`);

Figura 45. Función Exponencial en puntos

> `Va a depender del valor que se le asigne a x`;

> `Por ejemplo: si x=4, y será 16.`;

> `El comportamiento de la función exponencial va a

depender de:`;

> `Base > 1`;

> `0 > Base > 1`;

141

Base: b > 1.

> `Grafiquemos las funciones:`;

> restart: P:=x->4^x: p(x)=P(x); p:=x->4^x:

> plot(p,-4..4,0..4,color=khaki,thickness=4);

Figura 46. Base mayor que 1

> restart: T:=x->9^x: t(x)=T(x); t:=x->9^x:

> plot(t,-3..3,0..8,color=magenta,thickness=4);

Figura 47. Base mayor que 1

> `¿Qué puede concluir de estos gráficos?`;

142

> `Conclusión:`;

> Èl dominio de la función son todos los números reales y

el recorrido de ésta son los reales positivos.`;

> Èn los dos casos se trata de una función creciente,`;

`cuando su base es mayor que 1.`;

> `Se observa que la curva intersecta al eje de ordenadas en

y=1.`;

Ejercicios: con función exponencial de base > 1.

> restart: Èjercicios: Grafique las siguientes funciones e

indique su dominio y su recorrido.`; Ùtilizando

plot(k).`;

•

•

•

•

•

Base: 0 < b < 1.

> `Grafiquemos las funciones:`;

> restart: a:=x->(1/5)^x: a(x)=A(x); a:=x->(1/5)^x:

plot(a,-1.5..1.5,0..5,color=aquamarine,thickness=3);

143

Figura 48. Base entre 0 y 1

> v:=x->(1/6)^x: v(x)=V(x); v:=x->(1/6)^x:

> plot(v,-2..2,0..10 ,color=navy,thickness=3);

Figura 49. Base entre 0 y 1

> `¿Qué puede concluir de estos gráficos?`;

> `Conclusión:`;

> `El dominio de la función son todos los números reales y

el recorrido de ésta son los reales positivos.`;

144

> Èn los dos casos se trata de una función decreciente,`;

`cuando su base está entre 0 y 1.`;

> `Se observa que la curva intersecta al eje de ordenadas en

y=1.`;

Ejercicios con función exponencial de base entre 0 y 1.

> Èjercicios: Grafique las siguientes funciones e indique

su dominio y su recorrido.`; Ùtilizando plot(c)`;

> restart: C:=x->(1/2)^x: c(x)=C(x); c:=x->(1/2)^x:

•

•

•

•

•

•

145

Conclusión

Ejercicios: con función exponencial de base > 1

> `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones

de este ejercicio:`;

> with(plots):

> a1:=plot(2^x,x=-5..5,y=0..15,color=gray,title=`2^x`):

> a2:=plot(3^x,x=-5..5,y=0..15,color=green,title=`3^x`):

> a3:=plot(5^x,x=-5..5,y=0..15,color=orange,title=`5^x`):

> a4:=plot(8^x,x=-5..5,y=0..15,color=pink, title=`8^x`):

> a5:=plot(10^x,x=-5..5,y=0..15,color=pink, title=`10^x`):

> display([a1,a2,a3,a4,a5],insequence=true,thickness=3);

Figura 50. Función Exponencial con base mayor que 1

> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los

números reales, y el recorrido son los reales positivos;`;

`si aumenta la base, el comportamiento de la función

siempre es creciente.`;

> `Antes del punto (0,1), la función crece más lento.`;

> `Después del punto (0,1), la función crece más rápido.`;

146

Ejercicios con función exponencial de base entre 0 y 1.


de este ejercicio:`;


> a1:=plot((1/2)^x,x=-

4..4,y=0..12,color=gray,title=`(1/2)^x`):

> a2:=plot((1/3)^x, x=-4..4, y=0..12, color=green,

title=`(1/3)^x`):

> a3:=plot((1/4)^x,x=-4..4, y=0..12, color=cyan,

title=`(1/4)^x`):

> a4:=plot((1/7)^x,x=-4..4, y=0..12, color=violet,

title=`(1/7)^x`):

> a5:=plot((1/8)^x,x=-4..4, y=0..12, color=violet,

title=`(1/8)^x`):

> a6:=plot((1/20)^x,x=-4..4, y=0..12, color=pink,

title=`(1/20)^x`):

> display([a1,a2,a3,a4,a5,a6],insequence=true,thickness=3);

147

Figura 51. Función Exponencial con base entre 0 y 1


números reales, y el recorrido son los reales positivos;`;

`si disminuye la base, el valor de la función siempre es

decreciente.`;

> `Antes del punto (0,1), la función decrece más rápido.`;

> `Después del punto (0,1), la función decrece más lento.`;

148

Clase 2

Objetivos

> Òbjetivos`;

> Ànaliza expresiones algebraicas.`;

> `Comparar funciones.`;

> Èstimar número e`;

Función Exponencial

Cuadro Comparativo

Criterio 0 < Base < 1 Base > 1

Función Decreciente Creciente

Cuadro 13. Tabla comparativa de la función exponencial

Propiedad

> `Se ha comprobado que el dominio de la Función Exponencial

son todos los números reales.`; Èl recorrido de la función

exponencial son los números reales positivos.`;

> `Veamos la siguiente propiedad:`;

> restart:`Las funciones:`;T:=x->2^x: t(x)=T(x);

> restart: M:=x->(1/2)^x: m(x)=M(x);

> restart: t:=x->2^x: m:=x->(1/2)^x:

> plot({t,m},-5..5,y=0..11,thickness=5,tickmarks=[5,5]);

149

Figura 52. Reciprocidad de la Función Exponencial

> `Las curvas son simétricas con respecto al eje de

ordenadas.`;

> Èntonces, si se tienen dos Funciones Exponenciales, y

ambas bases son el inverso multiplicativo de la otra,`; `se

cumple que sus curvas son simétricas con respecto al eje de

ordenadas (reciprocidad).`;

Ejercicio

> Èjercicios: Compruebe graficando dos funciones con su

inverso multiplicativo.`;

Corte en el eje de ordenada.

> Òbservemos lo que pasa con las siguientes funciones:`;

> restart: Z:=x->3*(3^x): z(x)=Z(x); c(x)=3*(4^x);

v(x)=3*(5^x); b(x)=3*(6^x);

150

> z:=x->3*(3^x): c:=x->3*(4^x): v:=x->3*(5^x): b:=x-

>3*(6^x): with(plots): a1:=plot(3*(3^x),x=-3..3,y=0..8,

color=gray,title=`3*(3^x)`): a2:=plot(3*(4^x), x=-3..3,

y=0..8, color=green, title=`3*(4^x)`): a3:=plot(3*(5^x),

x=-3..3,y=0..8, color=cyan, title=`3*(5^x)`):

a4:=plot(3*(6^x), x=-3..3,y=0..8,color=violet,

title=`3*(6^x)`): display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,

thickness=3,thickness=5);

Figura 53. Corte de la Función Exponencial en el eje de las Ordenadas

> `Con los gráficos, ¿qué concluye?, ¿qué tienen en común

las funciones?`;

> `Se observa que todas las funciones cortan al eje de

ordenadas en el punto [0,3].`;

> `Si se tiene una constante que multiplica a la función

exponencial,`; `entonces la curva interceptará al eje de

ordenadas en ese valor.`;

151

Ejercicio

> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones,

multiplicándolo la misma constante 4, y luego la constante

7.`;

•

•

•

•

•

•

Asíntotas

> `Observemos lo que pasa con estas funciones:`;

> with(plots):

> a1:=plot(3*(3^x)+2,x=-

5..5,y=0..12,color=gray,title=`3*(3^x)+2`):

> a2:=plot(3*(4^x)+2,x=-

5..5,y=0..12,color=green,title=`3*(4^x)+2`):

> a3:=plot(3*(5^x)+2,x=-

5..5,y=0..12,color=cyan,title=`3*(5^x)+2`):

> a4:=plot(2*(3^x)+2,x=-

5..5,y=0..12,color=violet,title=`3*(6^x)+2`):

> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=4);

152

Figura 54. Asíntota

> `¿Qué tienen en común las funciones?`;

> `Se observa que todas las funciones tienen asíntota 2`;

> `Si se tiene una constante que es sumada a la función

exponencial,`; `entonces la curva tendrá como asíntota ese

valor.`;

Ejercicio

> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones, sumándoles

la misma constante 5, y luego la constante 8.`;

•

•

•

•

•

•

153

Conclusiones:

* Propiedad

> restart:z:=x->5^x: Z(x)=z(x);

> restart: u:=x->(1/5)^x: U(x)=u(x);

> restart: z:=x->5^x: u:=x->(1/5)^x:

> plot({z,u},-5..5,y=0..19,thickness=5,tickmarks=[5,5]);

Figura 55. Conclusión de la reciprocidad de la función exponencial

> `Estas dos funciones, son simétricas con respecto al eje

y.`;

* Corte en el eje de ordenada.

> restart: Z:=x->4*(3^x): z(x)=Z(x); c(x)=7*(3^x);

> z:=x->4*(3^x): c:=x->7*(3^x): with(plots):

a1:=plot(4*(3^x),x=-3..3,y=0..8,color=gray,

title=`3*(3^x)`): a2:=plot(7*(3^x),x=-3..3,y=0..8,

color=violet, title=`7*(3^x)`): display([a1,a2],

insequence=true,thickness=3,thickness=5);

154

Figura 56. Conclusión del corte de la función exponencial en el eje de las ordenadas

> `La Función Exponencial, intersecta al eje de ordenada y

dependerá de la constante multiplicativa.`;

* Asíntotas

> with(plots): a1:=plot((9^x)+5,x=-

5..5,y=0..12,color=gray,title=`(9^x)+5`):

> a2:=plot((9^x)+8,x=-

5..5,y=0..12,color=green,title=`(4^x)+8`):

> display([a1,a2],insequence=true,thickness=5);

155

Figura 57. Conclusión de la asíntota de la función exponencial

> `La función exponencial, tiene asíntota 5 y 8, según la

constante sumativa.`;

Número e

Concepto

> `El valor de "e" está determinado matemáticamente por la

siguiente expresión:`;

> f(x)=(1+1/x)^x;

> `Cuando el valor de x tiende al infinito.`;

> `Este valor sirve en aplicaciones matemáticas.`;

> `Para saber el valor de e, se dan variados valores de x de

forma creciente,`; `hasta encontrar un número que varíe,

sus decimales, en cantidades pequeñas.`; `Por ejemplo,

iniciemos con este valor:`;

156

> x:=5;

> (1.+1/x)^x;

> Èlevemos el valor a x`;

> x:=20;

> (1.+1/x)^x;

> `Como vemos el valor de e va en aumento y con más

decimales.`;

Ejercicio

> Èstime el valor de e, con los siguientes valores para

x:`;

•

•

• ...

• 000000

• 0000000

> Ùtilizando la expresión:`;

> d:=(1.+1/x)^x;

Conclusión

157

> `Conclusión:`;

> `Como vemos para estimar e, el valor de x es:`;

> x:=100000000000;

> restart:

> d:=(1.+1/x)**x;

> x:=100000000000;

> Digits:=14: d: e:=d;

> `Un número racional.`;

158

La función

> `La función:`;

> restart: e^x;

> `Tiene la propiedad de que en cada punto de su gráfico,`;

`la pendiente de la tangente es igual al valor de la

función en ese punto.`;

> `Veamos en el gráfico:`;

> restart: with(plots): F:=x->2.71828^x: f(x)=e^x;

pointplot({[-4,F(-4)],[-3,F(-3)],[-2,F(-2)],[-1,F(-

1)],[0,F(0)],[1,F(1)],[2,F(2)],[3,F(3)],[4,F(4)]},ytickmark

s=[F(0),F(1),F(2),F(3),F(4)],xtickmarks=[-4,-3,-2,-

1,0,1,2,3,4]);

Figura 58. Función Exponencial ex

> `Se tiene que, para:`;

> x:=1;

> e;

159

Clase 3

Objetivos

> Òbjetivos`;

> Ànalizar y asimilar Ecuaciones exponenciales.`;

> `Resolver ejercicios de sistema de ecuaciones.`;

De la función exponencial

> `Recordemos la función exponencial:`;

> `La base puede pertenecer al rango [0,1] o bien mayor que

1.`;

> f(x)=4^x; k(x)=(1/3)^x; ò bien`; k(x)=3^(-x);

> `Por propiedad de las potencias,`;

> àhora la base es mayor que 1, pero con exponente

negativo.`;

Ecuaciones Exponenciales.

> Ècuaciones Exponenciales`;

> `Son aquellas en la cual, la incógnita se encuentra en el

exponente. Ejemplos:`;

> 2^s=8;

> 3^(2*s)=3;

> 4^(4*s)=16;

> (b^(2*s))*b=b^(3*s+1);

> `La incognita es "s".`;

> `Para resolver estas ecuaciones, se aplican las

propiedades de las potencias y sus operatorias.`;

160

> `Es fundamental la utilización de la igualdad de las

potencias,`; `"dos potencias son iguales si las bases son

iguales y sus exponentes son iguales".`;

> `Luego se resuelve la ecuación de Primer o segundo grado

que quede en los exponentes, al igualar los exponentes.`;

`Tomemos el primer ejemplo:`;

> 2^s=8;

> `se sabe que:`; `8=2`^3; (2^s=`2 `^3);

> `Entonces se igualan los exponentes y se obtiene el valor

de la incógnita:`;s=3;

Ejercicios Con una incógnita

Transforme las siguientes expresiones a la base que se indica:

• a la base 2.

• a la base 5.

• a la base (3).

• a la base

Encuentre el valor de la incógnita:

Ejemplo:

> 3^(g/2)=729;

> solve({3^(g/2)=729});

•

•

•

•

161

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Con dos incógnitas:

Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas.

Ejercicios:

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

> Èjemplo`;

> (2û)-4^(2*y)=0 ,u-y=15;

> solve({(2û)-4^(2*y)=0,u-y=15});

162

•

•

•

•

Conclusiones: Solucionario.

Con una incógnita

Transforme las siguientes expresiones a la base que se indica:

• a la base 2, es:

• a la base 5, es:

• a la base (3), es:

• a la base (1/2), es:

Encuentre el valor de la incógnita:

> solve({3^(g/2)=729});

> solve({3^(-9+v) = 1/81});

> solve({40^(4+c) = 40});

> solve({625^r = 5^(1/3)});

> solve({1/7 = 2401^(-5*g)*2401});

> solve({4^w = 4096});

> solve({7^(3*w+2) = 1});

> solve({11^(-4+w) = 1});

163

> solve({1 = 344^(s-6)});

> solve({32^(w+4) = 4^(5+w)});

> solve({4^7 = 4^(5+2*w)});

> solve({64^(-1+5*w)*64^(5*w-4) = 64^(6*w+7)});

> solve({(1/7)^(w-7) = 7^(7*w-7)});

> solve({625^w = 25^(2*w-3)*(1/25)^(w+3)});

> solve({4^(5*w-4) = 128^(-2+4*w)});

> solve({4^(6*w)*1 = 256*(1/16)^w});

> solve({81^w*(1/9)^5 = 3*27^w});

Con dos incógnitas: Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas.

Ejercicios: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

> solve({(2^u)-4^(2*y)=0,u-y=15});

> solve({2^(2*x)*2^(5*y) = 2, 2^(-x+y) = 8});

> solve({2^(-4*x)*2^(-m) = 4^(-4), 5^m*25^(-x) = 25^x});

> solve({3^(r-r)*3^s = 27, 4^(-r)*64^r = (1/2)^(2*s)});

> solve({8^m*(1/2)^5 = 16^p, 3^p*(1/9)^(-m) = (1/27)^4});

164

Clase 4

Objetivos

> Òbjetivos`;

> Ànalizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la

Función Exponencial`;

> `Modelar fenómenos naturales a través de la Función

Exponencial`;

De la función exponencial

> `Recordemos la función exponencial:`;

> f(x)=b^x; b<>1; b>0;

> `La base puede pertenecer al rango [0,1] o bien mayor que

1.`;

> f(x)=4^x;

> k(x)=(1/3)^x; ò bien`; k(x)=3^(-x);

> `Por propiedad de las potencias,`;

> àhora la base es mayor que 1, pero con exponente

negativo.`;

Sustancia Radioactiva

> `Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo

radiaciones y transformándose en otras sustancias.`;

> `Veamos un ejemplo:`;

> Ùna sustancia radiactiva pierde el 10% de su masa cada

hora,`;

> ès decir, después de una hora queda solo el 90%, de la

cantidad inicial.`;

> `Por ejemplo, si se parte con:`; `400 gramos`;

165

> Èl 10% es`;

> Digits:=2:400*0.1; `gramos`;

> Èntonces dentro de una hora habrá:`;

> Digits:=3: (400*0.9); `gramos.`;

> Ès decir,`; `400 ! 0,9`;

> `Luego en la 2º hora se pierden:`;

> Digits:=2: l:=(400*0.9): l*0.1; gramos;

> `Porque pierde masa con respecto a la masa que queda y no

de la masa inicial.`;

> `y quedan`;

> Digits:=3: b:=(400*0.9): b*0.9; gramos;

> Ès decir,`; `400 ! 0,9 ! 0,9`;

> Èntonces a la hora 3º, quedará el 90% de 324 gramos.`;

> Digits:=4: m:=(400*0.9): m*0.9*0.9; `gramos.`;

> Ès decir,`; `400 ! 0,9 ! 0,9 ! 0,9`;

> Àsí sucesivamente cada hora.`;

> `Si se realiza una tabla con estos datos se tiene:`;

Hora Masa (gramos) Pérdida de masa

0 400

1 360 40

2 324 36

3 291,6 32,4

4 262,44 29,16

5 236,196 26,244

6 212,5764 23,6196

7 191,31876 21,25764

Cuadro 14. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva

166

Hora

Masa

(gramos) Pérdida de masa

Masa que queda (forma

numérica)

0 400 400

1 360 40 400 x 0,9

2 324 36 400 x 0,9 x 0,9

3 291,6 32,4 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9

4 262,44 29,16 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

5 236,196 26,244 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

6 212,5764 23,6196

400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

x 0,9

7 191,31876 21,25764

400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

x 0,9 x 0,9

Cuadro 15. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva

> `Veamos, en la primera hora de descomposición quedó el

90%: 360 gramos.`;

> `Como se puede observar, la cantidad de masa que queda en

determinada hora,`; ès el resultado de la multiplicación

de la masa inicial por 0,9,`; `0,9 se multiplica por si

mismo tantas veces indique la hora.`;

> Èjemplo: en 4 horas la masa resultante es:`;

> Digits=2: h[4]=expand(400*0.9*0.9*0.9*0.9); restart:

h[4]=`400*0.9*0.9*0.9*0.9`;

> Èsta operación puede ser definida en una función, donde

la variable x indica las horas,`; `se tiene la variable y

que indica la cantidad de masa desintegrada en x horas.`;

> f(x)=400*(0.9^x); ` Por ejemplo en horas 4.`;

> F:=x->400*(0.9^x):f(4)=F(4); plot(F,0..60, color=cyan,

thickness=3);

167

Figura 59. Masa en función del tiempo de una sustancia radioactiva

> `Porque se perdieron por descomposición radioactiva 10%, y

queda el 90%.`;

Conclusión

> `Conclusión:`;

> `Las sustancias radiactivas que se desintegran, reducen su

masa,`;` es por esto que la función, en este caso, es del

tipo exponencial decreciente.`;

> `Es decreciente, porque la base de la potencia pertenece a

[0,1],`; `que es 0,9.`;

Interés Compuesto

> `Un caballero quiere depositar su dinero en el banco para

mayor seguridad.`;

> `$10.000.000.-`;

> `por 6 meses`;

> `Va al banco, le dicen que el interés para depositar en

ese tiempo es del 2%,`;

168

> ès decir, el interés se aplica al valor inicial, y el

próximo interés se aplica al nuevo valor.`;

> `Del banco le entregan la siguiente información:`;

Mes Depósito inicial

Interés

desarrollado Interés Depósito final

0 10000000

1 10000000 10000000x0,02 200000 10200000

2 10200000 10200000x0,02 204000 10404000

3 10404000 10404000x0,02 208080 10612080

4 10612080 10612080x0,02 212242 10824322

5 10824322 10824322x0,02 216486 11040808

6 11040808 11040808x0,02 220816 11261624

Cuadro 16. Depósito en el interés compuesto

> Àl finalizar el período el caballero se llevará

$11.486.857.-`;

> Àl caballero le gustó la oferta y deposita el dinero.`;

> `Pero la secretaria del banco le explica de otra manera:`;

> `Para calcular el interés de cada mes.`;

> Èn el primer mes el interés es de:`; 10000000*0.02;

pesos;

> èntonces, el dinero en el primer mes será de:`;

> Digits:=3: 10000000*1.02;

> `Para calcular esto:`;

> `Se debe sumar el 2% de interés al valor inicial. es

decir, multiplicar por 1,02`;

169

> `10.000.000 x (1+0,02)`;

> `10.000.000 x 1,02`;

> Digits:=3: 10000000 * 1.02;

> Èn el segundo mes, el interés será:`; 10200000*0.02;

pesos;

> èntonces, el dinero en el segundo mes será de:`;

> Digits:=5: 10200000*1.02;


> `Se debe sumar el 2% de interés a 10200000, es decir,

multiplicar por 1,02.`;

> `10.200.000 x (1+0,02)`;

> `10.200.000 x 1,02`;

> 10200000 * 1.02;

> `Pero el valor 10.200.000 proviene de otra operación:`;

> `10.000.000 x (1+0,02)`=10200000;

> `reemplazamos en`; `10.200.000 x (1+0,02)`;

> `la cifra 10.200.000`; `10.000.000 x (1+0,02) x

(1+0,02)`;

> `10.000.000 x (1+0,02)`^2;

> 10000000*(1+0.02)^2;

> `Se obtiene una potencia de base mayor que 1`;

> `y de exponente 2 que, corresponde a los 2 meses.`;

> Èn el tercer mes, el interés será:`; 10404000*0.02;

pesos;

> èntonces, matemáticamente será de:`;

> Digits:=6: 10404000*1.02;


170

> `Se debe sumar el 2% de interés a 10404000, es decir,

multiplicar por 1,02`;

> `10.404.000 x (1+0,02)`;

> `10.404.000 x 1,02`;

> 10404000 * 1.02;

> `Pero el valor 10.404.000 proviene de otra operación:`;

> `10.000.000 x (1+0,02)`^2=10404000;

> `reemplazamos en`; `10.404.000 x (1+0,02)`;

> `la cifra 10.404.000`; `10.000.000 x (1+0,02) x

(1+0,02) x (1+0,02)`;

> `10.000.000 x (1+0,02)`^3;

> 10000000*(1+0.02)^3;

> `Se obtiene una potencia de base mayor que 1`;

> `y de exponente 3 que, corresponde a los 3 meses`;

> Àsi se obtiene una fórmula para tener el depósito de cada

mes.`;

> `10.000.000 x (1+0,02)`^3;

> K*(1+i)^t;

> donde;

> `K= capital inicial`; ì= interés`; `t= tiempo en

meses`;

> Èntonces, el caballero quiere saber cuánto dinero tendrá

en 9 meses, con el mismo interés.`;

> `La secretaria le señala que haga uso de la fórmula.`;

> restart: c[f]:=t->K*(1+i)^t: C[f](t)=c[f](t);

> K:=10000000: i:=0.02: C[f](t)=K*(1+i)^t;

> restart: K:=10000000: i:=0.02: c[f]:=t->K*(1+i)^t:

C[f](t)=c[f](t): C[f](9)=c[f](9);

171

Mes Depósito

Inicial Fórmula Desarrollada Forma Exponencial Depósito

Final

0 10000000 1 10000000 10000000x1,02 10000000x1,02 10200000 2 10200000 10000000x1,02x1,02 10000000x1,022 10404000 3 10404000 10000000x1,02x1,02x1,02 10000000x1,023 10612080 4 10612080 10000000x1,02x1,02x1,02x1,02 10000000x1,024 10824322

5 10824322 10000000x1,02x1,02x1,02x1,02x

1,02 10000000x1,025 11040808

6 11040808

10000000x1,02x1,02x1,02x1,02x1,02x1,02

10000000x1,026 11261624 Cuadro 17. Depósito en el interés compuesto

> `Esta fórmula es la llamada interés compuesto.`;

> `De esta manera se puede observar que la ecuación es

exponencial.`;

> `Veamos en un gráfico:`;

> C[ci]:=10000000: i:=0.02: C[f]:=t->10000000*(1+0.02)^t:

plot(C[f],0..180,0..149000000, tickmarks=[3,4]);

Figura 60. Interés en función del tiempo

172

Ejercicio: Bacteria

> `Determine la función que representa el número de

bacterias que hay en una población después de x horas,`;

`si se sabe que inicialmente había 20000 bacterias y que la

población se cuadruplica cada hora.`;

Solución a ejercicio de Bacteria.

> Èn una hora se tiene:`;

> `20000!4`=80000;

> À las dos horas:`;

> `20000!4*4=20000!4`^2=320000;

> À las tres horas:`;

> `20000*4*4*4=20000*4`^3=1280000;

> `Después de n horas:`;

> 20000*4^n;

> Èntonces, teniendo a n como el número de horas que

transcurren desde el momento inicial, se tiene que la

cantidad de bacteria se representa por la siguiente

función:`;

> r(n)=20000*4^n; r:=n->20000*4^n:

> `Si queremos saber el número total de bacterias, en la

hora octava, reemplazamos n por 8`;

> r(8):=20000*4^8;

> L(n)=20000*4^n; l:=n->20000*4^n: plot(l,0..3,0..1000000,

xtickmarks=4);

173

Figura 61. Bacterias en función del tiempo

Conclusión.

> Ànalizamos 2 aplicaciones, pero existen muchas otras de

las que se puede hacer uso de las Matemáticas.`;

> Èn especial la Función Exponencial.`;

> Èn la cual, la base puede pertenecer al rango:`;

> [0,1];

> ò bien, la base puede ser`;

> base>1;

> `Según este criterio, la función será creciente o

decreciente.`;

174

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Clase 1

Objetivo

> Òbjetivos`;

> `Definir el concepto de Función Logarítmica.`;

> Ànalizar expresiones algebraicas.`;

> `Comparar gráficos`;

Actividad introductoria

Introducción

> Àctividad Introductoria`;

> `Logaritmo al Rescate`;

> `Cuando se resuelven ecuaciones exponenciales existe

siempre la posibilidad de que algunos números enteros

queden expresados de forma exponencial.`;

Ejemplo 1

> 8=`2`^3; 9=`3`^2; 144=`12`^2;

> 531441=`3`^12;

> `Éstos números enteros mostrados en el ejemplo anterior

(8, 9, 144, 531441) comparten la misma característica.`;

> `Se pueden escribir como potencia de otros números

enteros.`;

> `Por esto hay ciertos números enteros que se pueden

escribir con distinta base entera.`;

175

Ejemplo 2

> 64=`8`^2;

> 64=`4`^3;

> 64=`2`^6;

Análisis

> `Puede notar que algunos números enteros son expresados

como potencias (generalmente son los cuadrados y cubos de

los primeros números enteros.`;

Ejemplo 3: "Los de base 2"

> `Para el caso de números "de base 2" se tiene el conjunto

de los siguientes pares ordenados.`;

> restart; C:=[[n,2^n] $n=1..10];

> `Representados gráficamente uno por uno tenemos:`;

> with (plots):

> C1:=[[n,2^n] $n=0..1]: C2:=[[n,2^n]$n=0..2]:

C3:=[[n,2^n]$n=0..3]: C4:=[[n,2^n]$n=0..4]:

C5:=[[n,2^n]$n=0..5]: C6:=[[n,2^n] $n=0..6]:

C7:=[[n,2^n]$n=0..7]: C8:=[[n,2^n]$n=0..8]:

C9:=[[n,2^n]$n=0..9]: C10:=[[n,2^n]$n=0..10]:

> a1:=plot(C1,x=0..10,y=0..100,style=point):









176


> display([a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10],insequence=true,

title=`Pares ordenados de los cuadrados de los primeros 10

naturales`);

Figura 62. Cuadrados de los primeros números naturales

> `Cada par ordenado representa a: Abscisa como exponente en

base dos, y Ordenada a el valor correspondiente`;

Ejemplo 4: "Cuadrados, cubos..."

> `Por supuesto, podemos seguir encontrando números que

cumplan la condición de ser expresados como expresión

exponencial, pero tomando no sólo los de "base 2"`;

> `Pueden ser los de "base 3"`;

> E:=[[n,3^n] $n=1..10];

> F:=[[n,4^n] $n=1..10];

> G:=[[n,5^n] $n=1..10];

177

> `Gráficamente tenemos de lo anterior`;

> with (plots):

> E1:=[[n,2^n]$n=0..10]: E2:=[[n,3^n] $n=0..10]:

E3:=[[n,4^n] $n=0..10]: E4:=[[n,5^n] $n=0..10]:

> a1:=plot(E1,x=0..10,y=0..100,style=point):

> a2:=plot([E1,E2],x=0..10,y=0..100,style=point):

> a3:=plot([E1,E2,E3],x=0..10,y=0..100,style=point):

> a4:=plot([E1,E2,E3,E4],x=0..10,y=0..100,style=point):

> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,title=`Pares que se

pueden escribir como expresión exponencial`);

Figura 63. Pares que se pueden escribir como expresión exponencial.

> `Cada par ordenado corresponde a: Abscisa como exponente

en base dos, tres, cuatro y cinco; y Ordenada al valor

correspondiente`;

178

> `Como usted podrá notar son prácticamente no más de 20 los

pares ordenados que cumplen la condición necesaria`;

Extensión

> `Ahora la pregunta es la siguiente`;

> `¿Se podrán escribir todos los números de forma

exponencial?`;

> `Como sabemos al notar que los siguientes pares

ordenados:`;

> C:=[[n,2^n] $n=1..10]; E:=[[n,n^3] $n=1..10]; F:=[[n,n^4]

$n=1..10]; G:=[[n,n^5] $n=1..10];

> `Sólo fueron generados por las siguientes funciones:`;

> :restart: c(x)='2'^x; e(x)='3'^x; f(x)='4'^x; g(x)='5'^x;

c:=x->2^x: e:=x->3^x: f:=x->4^x: g:=x->5^x:

> `Y al graficarlas tenemos que:`;

> with(plots):

> a1:=plot(2^x,x=0..10,y=0..100):

> a2:=plot([3^x,2^x],x=0..10,y=0..100):

> a3:=plot([4^x,3^x,2^x],x=0..10,y=0..100):

> a4:=plot([5^x,4^x,3^x,2^x],x=0..10,y=0..100):

> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,title=`Curvas de

c(x), e(x), f(x), g(x)`);

179

Figura 64. Curvas para base 2, 3 ,4 y 5.

> `Cada función corresponde a curvas de la forma "n elevado

a x"`;

> `Se pueden extraer varias cosas importantes de lo

anterior`;

> `-En particular, cualquier número entre 0 y 100 se puede

escribir como expresión exponencial (de base 2, 3, 4, y 5)

ya que son funciones continuas.`;

> `-Existen valores reales que no se habían considerado

anteriormente (ya que sólo se habían tomado pares

ordenados)`;

> `-En general, cualquier número se puede escribir como

expresión exponencial.`;

> `-El dominio de todas estas funciones son los reales, y el

recorrido es el intervalo entre cero e infinito (sin

incluir el cero).

> `A medida que uno se va acercando al valor 17 en el eje y

se tiene que siempre se encontrará (en base 3 en este caso)

un valor real`;

180

> Èn otras palabras para:`;

> f:=x->3^x;

> `f(2)`=f(2);

> `f(3)`=f(3);

> `Luego podemos decir que existe un valor x, tal que

f(x)=17`;

> `f(x)=17`; 3^x=17;

> `Para saber el valor de x cuando esta en el exponente

cuando la base es 3 y el resultado es 17, es necesario usar

lo que llamaremos logaritmo`;

> Èn este caso se dirá que el valor de x es el logaritmo de

17 en base 3`;

> Èste valor x es real, ya que gráficamente se muestra que

la función no muestra discontinuidades`;

> `Por el momento sólo podemos decir que el valor de x varía

entre 9 y 27`;

Extendiendo Análisis

> `Si considera la función f(x)`=x^3;


> a1:=plot(3^x,x=0..10,y=0..100):

> t1:=textplot([4.1,95,`3^x`]):

> b1:=display([a1,t1]):

> display({a1,b1},insequence=true);

181

Figura 65. Función acotada a [2,3]

> `Si la función estudiada se acota al intervalo [2,3] se

observa que no presenta discontinuidades`;

> a1:=plot(3^x,x=0..10,y=0..100):

> a2:=plot(3^x,x=1..8,y=3..50):

> a3:=plot(3^x,x=2..3,y=9..27):

> display([a1,a2,a3],insequence=true);

Figura 66. Acotación de función al punto y=17.

> `A medida que se va acercando al valor 17 en el eje y se

tiene que siempre se encontrará (en base 3 en este caso) un

182

valor real`;

> Èn otras palabras para:`;

> f:=x->3^x;

> `f(2)`=f(2);

> `f(3)`=f(3);

> `Luego podemos decir que existe un valor x, tal que

f(x)=17`;

> `f(x)=17`; 3^x=17;

> `Para saber el valor de x cuando está en el exponente

cuando la base es 3 y el resultado es 17, es necesario usar

lo que llamaremos logaritmo`;

> Èn este caso se dirá que el valor de x es el logaritmo de

17 en base 3`;

> Èste valor x es real, ya que gráficamente se muestra que

la función no muestra discontinuidades`;

> `Por el momento sólo podemos decir que el valor de x varía

entre 9 y 27`;

Función Logaritmo

Introducción

> `La Función Logarítmica es del tipo:`; f(x)=`log[a]`(x);

a>0;

> Èl comportamiento de la Función Logarítmica dependerá de

dos casos:`;

> `Primer caso:`; a>1;

> `Segundo caso:`; `0<a<1`;

183

Base entre 0 y 1

> `Consideremos la Función Logaritmo siguiente con base

0,5`;

> restart: P:=x->log[1/2](x); plot(P,-1..10, thickness=4,

tickmarks=[10,10]);

Figura 67. Curva de función logaritmo.

> `Se observa que la función intercepta al eje x en 1`;

> Òbservemos otra función con un valor "a" entre 0 y 1`;

> Q:=x->log[1/8](x); plot(Q,-1..10,thickness=4,

tickmarks=[10,10], color=blue);

> `Nuevamente se observa que la curva intersecta en el punto

(0,1)`; Òbserve la siguiente función con valor "a" entre 0

y 1`; with(plots): a1:=plot(log[0.1](x),x=-1..10,y= 3..8,

color=gray,title= à=0,1`):

> a2:=plot(log[0.3](x),x=-1..10,y=-3..8, color=green,

title=à=0,3`): a3:=plot(log[0.7](x),x=-1..10,y=-3..8,

color=orange,title=à=0,7`):

> a4:=plot(log[0.9](x),x=-1..10,y=-3..8,color=pink,

title=à=0,9`):


184

Figura 68.Curva de función logaritmo en que varía su base entre 0 y 1.

> `Se concluye que el dominio de estas funciones son los

reales positivos, y el recorrido todos los reales.`;

> `Notar que para x=0, siempre el valor de la imagen será

1`;

Base mayor que 1

> `Observe la siguiente función`;

> restart: R:=x->log[2](x); plot(R,-1..10, thickness=4,

tickmarks=[10,10]);

> `Nuevamente se observa que la curva intersecta a la

abscisa en el punto 1`;

> `Con un valor "a" igual a 10 se tiene`;

> restart: R:=x->log[10](x); plot(R,-1..10, thickness=4,

tickmarks=[10,10],color=blue);

> `Analicemos en conjunto para a=(2,7,10,100)`;

> with(plots):

185

> a1:=plot(log[2](x),x=-1..5,y=-8..8,color=gray,

title=à=2`):

> a2:=plot(log[7](x),x=-1..5,y=-8..8,color=green,

title=à=7`):

> a3:=plot(log[10](x),x=-1..5,y=-8..8,color=orange,

title=à=10`):

> a4:=plot(log[100](x),x=-1..5,y=-8..8,color=pink,

title=à=100`):


Figura 69. Curva de función logaritmo en que su es mayor que 1.

Ejercicios

Base entre 0 y 1


su dominio y su recorrido.`; Ùtilice plot(c)`;

> c:=x->log[1/6](x);

> plot(c,-1..10);

> restart; p:=x->log[1/60](x); q:=x->log[1/30](x); r:=x-

>log[1/7](x);

186


anteriores:`;

> with(plots):

> a1:=plot(log[1/6](x),x=-1..4,y=-5..10,color=gray,

title=`log[1/6](x)`):

> a2:=plot(log[1/60](x),x=-1..4,y=-5..10,color=green,


> a3:=plot(log[1/30](x),x=-1..4,y=-5..10,color=cyan,


> a4:=plot(log[1/7](x),x=-1..4,y=-5..10,color=violet,



Figura 70. Función logaritmo (Ejercicio)

187



números reales positivos, y el recorrido son los reales`;

`Se concluye que la función en cualquiera de estos casos,

es decreciente`;

188

Base mayor que 1


su dominio y su recorrido.`;

> restart; c:=x->log[5](x);

> plot(c,-1..10);

> d:=x->log[25](x); e:=x->log[50](x); f:=x->log[300](x);

> with(plots):

> a1:=plot(log[5](x),x=-1..5,y=-10..15,color=gray,

title=`log[5](x)`):

> a2:=plot(log[25](x),x=-1..5,y=-10..15,color=green,

title=`log[25](x)`):

> a3:=plot(log[50](x),x=-1..5,y=-10..15,color=orange,


> a4:=plot(log[300](x),x=-1..5,y=-10..15,color=pink,




189


números reales positivos, y el recorrido son los reales;`;

`Si aumenta la base, el comportamiento de la función

siempre es creciente.`;

Conclusiones

> `Cuando 0<a<1:`; `Dom: Reales positivos, Rec: Reales, y

función es decreciente`;

> `Cuando 1>a:`; `Dom: Reales positivos, Rec: Reales y

función es creciente`;

Clase 2

Objetivos

> ` Objetivos`;

> ` Analizar expresiones algebraicas.`;

> ` Comparar funciones.`;

> ` Resolver ejercicios.`;

> ` Identificar el logaritmo natural.`;

Cuadro Comparativo

190

Cuadro 18. Tabla comparativa de la función logarítmica

> `Se ha comprobado que el dominio de la Función Logarítmica

son todos los números reales.`; Èl recorrido de la función

exponencial son los números reales.`;

> Ànalicemos lo siguiente`;

> restart: `Se tiene las siguientes dos funciones:`; f:=x-

>10^x; g:=x->log[10](x); h:=x->x:

> plot({f,g,h},-10..10,y=-10..10,thickness=3, tickmarks

=[5,5]);

Figura 73. Función logaritmo v/s Función Exponencial

> Òbservar que: Las curvas son simétricas con respecto a la

función h(x)=x`;

191

> Èsta propiedad muestra que dos funciones, una exponencial

y otra logarítmica, que contengan la misma base siempre

serán simétricas con respecto a la función anteriormente

citada`;

> `Por lo anterior se muestra gráficamente que ambas

funciones son la inversa una de la otra.`;

> Èjercicios: Compruebe graficando funciones logarítmica y

exponenciales con misma base`; `Relacione lo anterior con

el inicio de la unidad (Actividad introductoria)`;

Corte en el eje de la ordenada

> Òbservar las siguientes funciones`;

> restart: f:=x->5*log[2](x); g:=x->5*log[3](x); h:=x-

>5*log[4](x); i:=x->5*log[5](x);

> f:=x->5*log[2](x): g:=x->5*log[3](x): h:=x->5*log[4](x):

i:=x->5*log[5](x): with(plots): a1:=plot(5*log[2](x),x=-

10..10,y=-10..10,color=gray,title=`5*log[2](x)`):

a2:=plot(5*log[3](x),x=-10..10,y=-

10..10,color=green,title=`5*log[3](x))`):

a3:=plot(5*log[4](x),x=-10..10,y=-

10..10,color=cyan,title=`5*log[3](x)`):

a4:=plot(5*log[5](x),x=-10..10,y=-

10..10,color=violet,title=`5*log[3](x)`):

display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3,thickness

=5);

192

Figura 74. Función logaritmo ponderada.

> `Note que todas las funciones anteriores cortan al eje de

las abscisas en el [1,0]. Saque las conclusiones

respectivas`;

> `Si se tiene una constante que multiplica a la Función

Logarítmica, el punto de corte no se verá alterado, ¿en qué

se diferencia con la función exponencial?.`;

193

Asíntotas

> `Observe las siguientes Funciones Logarítmicas`;

> restart: f:=x->log[2](x)+4; g:=x->log[3](x)+4; h:=x-

>log[4](x)+4; i:=x->log[5](x)+4;

> with(plots):

> a1:=plot(log[2](x)+1,x=-10..10,y=10..10,color=gray,

title=`log[2](x)+4`):

> a2:=plot(log[3](x)+1,x=-10..10,y=-10..10,color=green,


> a3:=plot(log[4](x)+1,x=-10..10,y=-10..10,color=cyan,


> a4:=plot(log[5](x)+4,x=-10..10,y=-10..10,color=violet,



Figura 75. Función logaritmo más una constante.

194

> `Notar que:`; `La asíntota sigue estando en el eje de las

ordenadas, independiente de si se le agregue una constante

(Compruebe con valores constantes mayores, probablemente

deberá usar mayores valores extremos para la visualización

en el gráfico)`; Èjercicio: Verifique que sucede con el

punto de corte en la abscisa`; `Compare con lo estudiado

con la Función Exponencial.`;

Clase 3

Objetivos

> Òbjetivos`;

> `Resolver ecuaciones logarítmicas.`;

> Ànalizar soluciones de ecuaciones logarítmicas `;

> Èjercicios propuestos`;

> Àfirme si es verdadero o falso las siguientes enunciados

(gráficamente)`; `log[5]`(sqrt(3))>`log[5]`(sqrt(2));

`log[0,1]`(sqrt(3))>`log[0,1]`(sqrt(2));

`log[2]`(sqrt(5))>`log[2]`(sqrt(5));

> Àfirme si es verdadero o falso las siguientes

afirmaciones (gráficamente)`; `Si log[5](x)>0, entonces

x>1`; `Si log[3](x)>1, entonces x>3`; `Si log[2](x)>1,

entonces 0<x<2`; `Si log[0,5](x)<0, entonces x>1`;

> `Resuelta las siguientes inecuaciones`;

`log[2](x)<log[2](5/3)`; `log[1/2](x)>log[1/2](7)`;

`log[2](x)>log[2](3.14)`;

195

> `Dé el dominio de la función en cada caso (graficando las

funciones)`; `f(x)=log[1/2](log[2](x^2-1))`;

`f(x)=log(log(x^2+x+2)`; `f(x)=log(log(6x^2-13x+7)`;

`f(x)=sqrt(log[10](x^2-x-1))`;

Clase 4

Objetivos

> Òbjetivos`;

> Ànalizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la

Función Logarítmica `;

> `Modelar fenómenos naturales a través de la Función

Logarítmica`;

Escala Richter (Aplicación)

> `La escala que ha sido desarrollada para medir terremotos

se le conoce como la escala Richter. La magnitud de un

terremoto medida por la escala Richter está dada por la

expresión:`;

> `R=log`(E/I[o]);

> `Donde "E" es la magnitud de las vibraciones del terremoto

medido y "Io" es la magnitud de la unidad de un terremoto

estándar (medida con un sismómetro).`;

> Ùn sismo imperceptible tiene una magnitud 3 grados

Richter, y un terremoto puede ser considerado con una

magnitud 7.2`;

196

> Ùsando la definición de la Escala de Richter:`;

> `3.0=log`(E[tip]/I[o]);

> `7.2=log`(E[terr]/I[o]);

> `Por propiedad de logaritmo:`;

> `7.2=log E(terr) -log Io`;`3.0=log E(tip) -log Io`;

> `Luego:`;

> `4.2=log E(terr)-log E(tip)`;

> Ùsando la misma propiedad:`;

> `4.2=log`(E[terr]/E[tip]);

> ` log `(E[terr]/E[tip])=10^(4.2);

> ` log `(E[terr]/E[tip])=15849;

> Ùn terremoto de 7.2 es 15849 veces más intenso que uno de

3.0`;

> Èjercicios:`;

> `Determine cuantas veces más intenso es un terremoto con

respecto a otro`;

> à) 3.0 Richter - 9.5 Richter (Valdiva 1960)`; `b) 3.0

Richter - 8.8 Richter (Cobquecura 2010)`; `c) 7.2 Richter -

8.8 Richter (Cobquecura 2010)`;

197

Conclusiones

La incorporación de las TIC´s en las escuelas, en los hogares, ha

transformado la vida de las personas; en la actualidad, los jóvenes tienen

Internet en sus casas, manejan celulares con las últimas innovaciones, están

actualizados con los nuevos aparatos tecnológicos. Es por esto, nuestro interés

en el diseño de propuestas metodológicas en el ámbito de las matemáticas,

utilizando un procesador simbólico, es decir, una herramienta matemática. Así,

teniendo esta tecnología, como futuros docentes:

• Estamos más cerca del mundo en el cual viven los jóvenes de hoy,

estamos más relacionados con la actualidad tecnológica, sabemos qué es lo

que les llama la atención, el hecho de que los(as) estudiantes conozcan más

tecnología que nosotros los docentes, es un desafío, para implementar ésta en

las clases.

• Además facilita la transferencia e incorporación del aprendizaje, al

utilizar TIC´s, porque, los(as) jóvenes se interesan más, investigan, trabajan,

lográndose los objetivos propuestos.

En suma, nuestro trabajo quiere facilitar herramientas de aprendizaje,

en donde, el alumno(a) pueda construir competencias y desarrollar habilidades,

para que llegue a descubrir el gusto de la experiencia matemática, mediante la

utilización de un procesador simbólico, permitiendo que la enseñanza y el

aprendizaje de las matemáticas sea atractiva, eficaz, significativa y cumpla los

objetivos formulados.

198

Para sustentar nuestro trabajo, es necesario poseer bases teóricas del

aprendizaje, es por esto que, revisamos algunos modelos de enseñanza,

partiendo del enfoque Conductual, que se refiere a disciplinar la mente y la

conducta; llegando a la Teoría Constructivista, que trata de la construcción de

aprendizajes en el alumno, para que pueda realizar conexiones cognitivas que

le permitan desarrollar operaciones mentales, utilizando sus conocimientos

anteriores para relacionarlos con los nuevos, revisamos que el individuo que

aprende debe construir los conceptos a través de la interacción con los objetos

y con otros sujetos.

Teniendo una base teórica constructivista, que también se encuentra

en la matemática educativa, nos queremos enfocar a la enseñanza matemática

en el aula, revisando la manera de entregar y facilitar el aprendizaje, que el

docente transfiere en el aula, esto lleva a que el docente realice un esfuerzo,

para que éste se convierta en un organizador, coordinador, asesor del proceso

de adquisición del conocimiento para el alumno(a), esto lleva a revisar las

prácticas docentes y a añadir nuevas técnicas de aprendizaje, llegando a la

inminente incorporación de las Tecnologías de Información y Comunicación a la

enseñanza de las matemáticas. Esta incorporación nos lleva a la utilización del

procesador simbólico: Maple 9, como herramienta para el aprendizaje, porque

es un procesador diseñado para cálculos y nosotros lo adecuamos para el

proceso de enseñanza en la educación.

La manera de hacer matemáticas, está regida por el Marco Curricular,

regulado por los Objetivos Fundamentales Transversales en el Decreto 220 y

complementado por los Mapas de Progresos, en el caso de nuestro trabajo

utilizamos el Mapa de Progreso de Álgebra, que nos orientó en la evaluación de

los aprendizajes adecuados a la edad de los(as) estudiantes, es decir, la

199

indicación del nivel de logro, también nos entregó criterios de observación y

descripción cualitativa del aprendizaje obtenido.

Por otra parte, incluimos en este trabajo la encuesta realizada a

profesores y profesoras de matemática que actualmente están ejerciendo la

labor docente en la Región Metropolitana, logrando obteniendo su percepción

en cuanto a la incorporación de las TIC´s en el aula, encontrando distintas

visiones, las cuales varían de acuerdo a la edad del entrevistado, puesto que si

mayor son los años de vida de la persona, más le dificultaba incluir las TIC´s en

sus clases debido a la gran experiencia con que cuentan para hacer las clases.

En cambio, si el encuestado(a) es más joven, le es más fácil, ya que se

encuentra con disposición favorable para incorporar las herramientas

tecnológicas.

Además identificamos diversas razones por las cuales no se utiliza

TIC´s en las salas de clases, de las cuales destacamos dos:

• La primera es el tiempo que se requiere invertir para planificar

clases con algún programa computacional, ya que es necesario un cambio de

visión y metodología de la enseñanza para el aprendizaje, además de

actualizaciones y capacitaciones constantes, debido a los frecuentes cambios y

actualizaciones tecnológicas que ocurren en la sociedad, idea que reconocimos

al realizar las planificaciones ya que se necesita de actividades que realmente

sean significativas y no todas logran este objetivo.

• El segundo motivo es la falta de recursos tecnológicos de calidad,

puesto que no todos los establecimientos cuentan con este tipo de herramientas

y programas computacionales y educacionales. Aunque también hay que

200

señalar que actualmente se observa una fuerte inversión del Estado, para la

incorporación y mejora de tecnología y capacitación de los docentes.

Con la utilización del Procesador Simbólico, construimos actividades

motivadoras para los alumnos(as), de manera de presentar una clase con este

procesador, con animaciones, gráficos, para hacer una clase más clara y

llamativa, realizamos clases de ejercicios y llevamos la matemática al ámbito

físico, es decir, las aplicaciones.

Construir las actividades, fue un camino de largo estudio, ya que

debimos aprender la utilización de Maple 9, comenzamos trabajando con

operaciones sencillas, nos instruimos sobre los comandos de ejecución para

realizar las operaciones matemáticas, aprendimos a construir gráficos,

animaciones, entre otras.

Después empezamos a planificar las clases: primero estableciendo

objetivos de éstas, luego trabajamos actividades exploratorias previas para

introducir los contenidos de la clase, es decir, queríamos lograr el aprendizaje

significativo: relacionar las ideas previas que posee el alumno(a) con la

presentación del nuevo contenido, para que procediéramos a la explicación de

conceptos de manera formal y de explicitar sus clasificaciones; después

generamos las actividades a desarrollar en clases de forma individual y grupal,

utilizando la evaluación formativa; a cada estudiante se le solicita el envío de su

trabajo en Maple 9 y para finalizar cada clase se retroalimentaba lo aprendido.

201

Las ventajas que trae consigo la utilización de este procesador son las

siguientes:

• Planificar clases atractivas para los alumnos(as), facilitando la

atención de éstos, para que estén más dispuestos a entender las materias,

debido a la existencia de una mayor interacción para obtener mejores

resultados,

• Al docente se le es más fácil la entrega de conocimiento, ya que la

clase ya está planificada con el procesador, está a solo un paso de hacer “clic”

y además solo necesita los elementos tecnológicos para implementarla,

• Aprovecha los tiempos, es decir, al presentar gráficos en el

procesador sólo tenemos que ejecutar la operación, pero si lo realizamos en

papel, resulta una trabajo demoroso, imperfecto y defectuoso,

• Maple 9 es una gran calculadora, por lo cual, desarrolla ejercicios

de forma eficaz y eficiente,

• Maple 9 es un software matemático, que adaptamos para la

utilización en la educación, lo que quiere decir, que no tan sólo se puede usar

en matemáticas, sino que también en otras ramas educativas, como tal vimos

en las aplicaciones físicas, económicas, entre otras.

Como desventaja, podemos señalar que, con este procesador, hay que

tener mucho cuidado al ejecutar las operaciones, es decir, es muy sensible

cuando se quiere realizar alguna operación, las indicaciones deben ser claras y

precisas, cualquier error de escritura, sea una coma, un paréntesis, el

procesador no podrá presentar la solución del problema.

202

El procesador es una T.I.C., por ende está relacionado al mundo de los

jóvenes que día a día actualizan su manera de estar comunicados con el

mundo, permitiendo combinar los datos de forma numérica, simbólica y gráfica,

tratando a las matemáticas de manera global.

Esta propuesta contempla el diseño de actividades que están pensadas

principalmente para trabajar con el procesador simbólico Maple 9, pero que

pueden ser aplicadas a cualquier procesador o software matemático.

El aprendizaje obtenido al finalizar este trabajo es de gran importancia

para nuestra labor docente puesto que aprendimos a utilizar un software que no

fue diseñado para la educación, sino que lo orientamos y usamos como una

herramienta facilitadora del aprendizaje. Además durante el desarrollo del

trabajo, reconocimos las necesidades tecnológicas presentes en la sociedad

actual las cuales no están relacionadas con la falta de herramientas, sino con la

utilidad que se les brinda.

Por último, el término de este seminario no representa que acabe el

estudio y la profundización de los conocimientos, sino es el comienzo de un

nuevo viaje lleno de aprendizajes que debemos transmitir a aquellos

estudiantes que encontraremos a lo largo de nuestra experiencia laboral como

docentes.

203

Bibliografía

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Barcelona, 2002.

• Castillo, Sandra. Documento de: “Propuesta Pedagógica basada en el

Constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la Enseñanza y el

Aprendizaje de las Matemáticas”.

• Cox, Cristián. Políticas educacionales en el cambio de siglo: La reforma

del sistema escolar de Chile. Ministerio de Educación. Chile: Santiago,

2003.

• González, Patrício; Soto Jorge. Matemática. Tercer Año Medio. Editorial

Marenostrum. ISBN: 956-294-137-X. España. 2006-2007.

• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Teixeira, José; Machado, Nilson; Cintra,

Márcio; Da Silveira, Luiz; Santos, Antonio. Matemática. 1º serie. 2º Grau.

IBS 85-7056-565-8. Brasil: São Paulo, 1994.

• Litwin, Edith; Maggio, Mariana; Lipsman, Marilina. Tecnologías en las

aulas. Las nuevas tecnologías en las prácticas de la enseñanza. Casos

para el análisis. Madrid, 2004.

• MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje:

Algebra, Sector Matemáticas. ISBN: 978-956-292-224-1. Chile:

Santiago, 2009.

204

• MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector

Matemáticas. ISBN 956-7933-56-1. Unidad de Curriculum y Evaluación.

Chile: Santiago, 2001.

• MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector

Matemáticas. ISBN 956-7933-86-3. Unidad de Curriculum y Evaluación.

Chile: Santiago, 2001.

• Oliva, Gustavo. La centralidad del alumno en el sistema educativo.

Gobierno, estructura y financiamiento de la educación. Argentina: Santa

Fe, 2002.

206

Anexo1: Encuesta

Estimado (a) Docente:

La presente encuesta tiene por objetivo conocer su opinión acerca del uso las

Nuevas Tecnologías de Comunicación e Información (TIC`s) y como afectan

nuestro entorno, para este fin se incluyen tres escalas de apreciación y

preguntas.

Parte I

Edad :_______________________________

Dependencia :_______________________________

Modalidad de Estudio :_______________________________

Tipo de Jornada :_______________________________

Composición del alumnado por sexo :_______________________________

Parte II

Marca con una X la alternativa que represente tu opinión con respecto a los

indicadores que se establecen a continuación:

Totalmente de acuerdo 3

De acuerdo 2

Medianamente de acuerdo 1

En desacuerdo 0

207

Las Nuevas Tecnologías y la Globalización

Indicadores 3 2 1 0

1. La tecnología es una herramienta que permite desarrollo

en el país

2. El uso de las nuevas tecnologías generan cambios en la

sociedad

3. Mejora la calidad de vida de las personas con la

implementación de NTIC`s

4. A pesar de los cambios tecnológicos en Chile, las cosas

siguen siendo igual

5. Las NTIC`s impondrán nuevas exigencias para la

sociedad chilena

6. El uso de las nuevas tecnologías permite la conexión con

otras naciones

7. Las personas deben adquirir competencias para

desarrollarse de manera óptima en la Sociedad

8. Se tiene acceso rápido a la información

Mi Relación con la Tecnología

Indicadores 3 2 1 0

1. La tecnología me permite ser independiente.

2. Me entretengo al utilizar tecnología.

3. Utilizo las NTIC`s para adquirir conocimientos.

4. Me complica utilizar tecnologías en mi quehacer

cotidiano.

5. Es complicado aprender a utilizar las nuevas tecnologías.

208

6. No confío en las NTIC`s porque fallan cuando se

necesitan.

7. Siento miedo de echar a perder los aparatos

tecnológicos.

8. No necesito de la tecnología.

9. La tecnología aumenta las desigualdades sociales.

10. Utilizo internet para descargar música, conversas con

otras personas, jugar, etc.

El uso de las NTIC`s en la escuela

Indicadores 3 2 1 0

1. La escuela debe adquirir aparatos tecnológicos.

2. El uso de las NTIC`s contribuye al proceso de enseñanza

y aprendizaje.

3. El sistema educativo se preocupa de capacitar a los

docentes en cuanto al uso de las TIC`s.

4. La escuela disminuye la brecha digital presente en la

sociedad actual.

5. La integración curricular de las NTIC`s requiere de un

cambio integral de los métodos de enseñanza.

6. Las escuelas cuentan con recursos tecnológicos

necesarios para el aprendizaje.

7. Se incorpora tecnologías en los procesos de aprendizajes

8. Profesores motivados con su trabajo innovan más en sus

métodos de enseñanza

9. Los docentes están dispuestos a utilizar recursos TIC`s

en el aula

209

Parte III

1. ¿Qué recursos TIC´s utilizas en tu labor docente?

2. CD-ROM

3. Computador

4. Power Point

5. Laboratorio de Computación

6. Proyector

7. Internet

8. Software Educativos

2. ¿Qué Software Educativo usted conoce?

3. Si usted tuviera que enseñar en matemática funciones, ¿utilizarías

recursos TIC`s?.¿Por qué?

210

4. ¿Qué entiende usted por laboratorio?

5. ¿Usted piensa que es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC`s

en las carreras de pedagogías?

211

Anexo 2: Glosario

Definición de los comandos utilizados en la propuesta de actividades

con Maple 9.

Comando Definición

; Para realizar cualquier operación, debe ir al final

^ Elevado a algo

[] Subíndice

:= Definición

:=`x` Borra el valor asignado a la variable x

Animate Animación

Digits:=4 Cantidad de decimales

Display Animación

evalf() Expresado en números

Exp( ) Número e elevado a

Expand( ) Expande la expresión

f:= Dada una función

factor() Factoriza

P(x):= Define un polinomio con coeficientes enteros

plot({función,x}) Para hacer gráficos

restart: No considera lo anterior

S:={} Soluciones de las raíces

Simplify Simplifica la expresión

Solve Resolver

Sqrt Raíz cuadrada

diseÑo de una propuesta metodolÓgica del estudio de ... · diseÑo de una propuesta metodolÓgica...

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