Download - 9 precipitazioni ci

Riccardo Rigon

Un po’ di Fisica dell’atmosfera

Gio

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- La

tem

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15

07

-15

08

Tuesday, March 6, 12

“La pioggia cade, la foglia trema”

Robindronath Tagore


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Obbiettivi:

3

• Introdurre i fenomeni di circolazione generale e una descrizione dei fenomeni atmosferici correlati alla produzione delle precipitazioni

•Parlare delle precipitazioni, della loro formazione in atmosfera e della loro caratterizzazione al suolo


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

La radiazione

• Il motore di tutto è la radiazione solare

Wik

iped

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- Su

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

I meccanismi di formazione delle precipitazione:

- Frontizio

- Orografico

- Convettivo

5


Un pò di Fisica dell’Atmosfera

Riccardo Rigon

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-Geo

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8

6

The general circulation

in a rotating atmosphere

Esiste un complessosistema di circolazione

globale


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

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8


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

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9


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Il meccanismo convettivo

10


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Il meccanismo convettivo

11


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Il m

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rogra

fico

12


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Passage of low pressure center over mountains

Whiteman (2000)

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fico

13


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

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rogra

fico

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

T=318 min

Rainfall evolution over topography Fo

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08

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

T=516 min

Rainfall evolution over topography

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8

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

T=672 min

Rainfall evolution over topography Fo

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08

17


Le precipitazioni

Riccardo Rigon

A. A

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Pio

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova

•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla

superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova



•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento,

subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova



•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento,

subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis.

•Questa situazione:

•genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa

pressione

•discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità

nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto

•genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere

“scivolano” sopra altre, innalzandosi.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova

•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)

diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla

radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della

variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova





•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale

delle masse d’aria.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova







•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova







•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.

•L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in

misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità

atmosferica


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova

•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica

(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo

possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova




•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua

liquida o solida, sospese in aria.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova




•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua

liquida o solida, sospese in aria.

Storm building near Arvada, Colorado. U.S. © Brian Boyle.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Perchè piova

•Se le goccie d’acqua riescono ad accrescersi al punto da raggiungere un peso

sufficiente, precipitano a terra. Piove, nevica o grandina.

Precipitation, Thriplow in Cambridgeshire. U.K © John Deed.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

I tipi di evento- Stratiforme

23

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http://cloudappreciationsociety.org/collecting/antonio-feci/




http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/sc/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/sc/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/str/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/str/

Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

I tipi di evento- Convettivo

24

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http://cloudappreciationsociety.org/collecting/ginnie-powell/




http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/cb/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/cb/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/cap/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/cap/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/incus/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/incus/

Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Nubi stratiformi

25


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Nubi stratiformi

26


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Cic

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27

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1

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Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Nubifragi

28

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1

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4


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

29

Hou

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1

99

4

Nubifragi


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Fattori che influenzano la natura e la quantità delle precipitazioni al suolo

•La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in

funzione dei sistemi di circolazione generale

•L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la

quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride).

•La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la

posizione generale dell’orografia


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Precipitation exhibits spatial variability at a large range of scales

(mm/hr)

512 k

m

pixel = 4 km

0 4 9 13 17 21 26 30R (mm/hr)

2

km

4

km

pixel = 125 m

Fou

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u, 2

00

8

31


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Spatial Rainfall

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00

8

32


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Caratteristiche delle precipitazioni al suolo

•Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada)

•L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area

(proiettata), spesso espressa in mm o cm.

•La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con

continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di

registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere

dalla continuità della stessa)

•L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo

di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi.


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Caratteristiche delle precipitazioni al suolo

•L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive

(storm inter-arrival time)

•La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia

•La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con

altezza e durata assegnate

•La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione


Le precipitazioni Estreme

Riccardo Rigon

Eventi

1

2 3

4

5 6

35


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

Temporal Rainfall

Fou

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8

36


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

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37


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

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Riccardo Rigon

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Riccardo Rigon

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40


Le Precipitazioni

Riccardo Rigon

41

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Le precipitazioni estreme

Riccardo Rigon

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(Il

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19

13



Riccardo Rigon

Obbiettivi:

43

•Descrivere le precipitazioni estreme e delle loro caratteristiche

•Calcolare le precipitazioni estreme con assegnato tempo di ritorno con R



Riccardo Rigon

Consideriamo le precipitazioni massime annualiQueste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche:

1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla

prefissata durata.

44

anno 1h 3h 6h 12h 24h1 1925 50.0 NA NA NA NA2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6

......................................

......................................

46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.247 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.451 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.252 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2



Riccardo Rigon

Precipitazioni Massime a Paperopoli

durata

Pre

cip

ita

zio

ne

(m

m)

1 3 6 12 24

50

100

150

50

100

150

45

Consideriamo le precipitazioni massime annuali

Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni



Riccardo Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150


durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

Mediana

>boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 46



Riccardo Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150


durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

upper quantile

47



Riccardo Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150


durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

lower quantile

48



Riccardo Rigon

1 ora

Precipitazion in mm

Frequenza

20 40 60 80

05

10

15

20

25

3 ore

Precipitazion in mm

Frequenza

20 40 60 80 100

05

10

15

6 ore

Precipitazion in mm

Frequenza

40 60 80 1000

510

15

49



Riccardo Rigon

12 ore

Precipitazion in mm

Frequenza

40 60 80 100 120

02

46

8

24 ore

Precipitazion in mm

Frequenza

40 80 120 160

02

46

810

12

50



Riccardo Rigon

Tempo di ritorno

E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si

ripete (o è superata). Sia:

T

l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura

Siano

n

le misurazioni fatte in T e

m=T/n

il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento

considerato).51



Riccardo Rigon

Tempo di ritorno

Allora il tempo di ritorno della misura h* è

52

dove Fr= l/n è la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*).

Se l’intervallo di campionamento è unitario (m=1), allora il tempo di ritorno

è l’inverso della frequenza di superamento del valore h*.

Tr :=T

l= n

m

l=

m

ECDF (h⇥) =m

1� Fr(H < h�)

Si osservi, che in base a quanto sopra, esiste una relazione biunivoca

tra quantili e tempo di ritorno



Riccardo Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150


durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni

q(0.75) -> Tr = 4 anni

q(0.25) -> Tr = 1.33 anni

53



Riccardo Rigon

h(tp, Tr) = a(Tr) tnp

Le curve di possibilità pluviometrica

54



Riccardo Rigon



55

a l t e z z a d i precipitazione

legge di potenza



Riccardo Rigon



56


c o e f f i c i e n t e dipendente dal tempo di ritorno



Riccardo Rigon



57


d u r a t a considerata



Riccardo Rigon



58


esponente (non dipendente dal t e m p o d i ritorno)



Riccardo Rigon



Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente

della durata, allora n >0

E’ noto però che l’intensità media della precipitazione:

J(tp, Tr) :=h(tp, Tr)

tp= a(Tr) tn�1

p

decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1



Riccardo Rigon

Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472 Tr = 100 anni a = 40.31Tr = 200 anni a = 44.14

curve di possibilità pluviometrica

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]

tr=50 annitr=100 annitr=200 annia 50a 100a 200

60




Riccardo Rigon


1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]


Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico

61



Riccardo Rigon


1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]


tr = 500 anni

tr = 200 annih(,500) > h(200)


62



Riccardo Rigon


1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]


tr = 500 anni tr = 200 anni

Invece h(,500) < h(200) !!!!


63



Riccardo Rigon

Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle probabilità e dell’analisi statistica

E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra

quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.

Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel

b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (in effetti la moda)

P [H < h; a, b] = e�e�h�a

b �⇥ < h <⇥



Riccardo Rigon

Distribuzione di Gumbel



Riccardo Rigon


La media della distribuzione e data da:

E[X] = b� + a

dove:

è la costante di Eulero-Mascheroni:

� � 0.57721566490153228606



Riccardo Rigon


La mediana:

La varianza :

a� b log(log(2))

V ar(X) = b2 �2

6



Riccardo Rigon


La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate

le grandezze significative) è

P [Y < y] = ee�y



Riccardo Rigon

70




Riccardo Rigon

Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di adattamento dei parametri.

Ne useremo nel seguito 3:

- Il metodo dei minimi quadrati

- Il metodo dei momenti

- Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood)

Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn}

71

Metodi di adattamento dei parametrirelativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale



Riccardo Rigon

Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i momenti della popolazione. Siano, ad esempio

La media e la varianza e

il momento t-esimo del CAMPIONE

72


µH

�2H

M (t)H



Riccardo Rigon

Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei

momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti

della popolazione, che risultano definiti da:

Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti

momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a secondo membro ammette una soluzione analitica.

73


MH [t; �] =� ⇥

�⇥(h� EH [h])t pdfH(h; �) dh t > 1

MH [1; �] = EH [h] =� ⇥

�⇥h pdfH(h; �) dh



Riccardo Rigon


Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel

porre:

o:

�b� + a = µH

b2 �2

6 = ⇤2H

�MH [1; a, b] = µH

MH [2; a, b] = ⇥2H



Riccardo Rigon

Il metodo della massima verosimiglianza(maximum likelihood)

relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la

serie temporale registrata:

P [{h1, · · ·, hN}; a, b]

Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:

P [{h1, · · ·, hN}; a, b] =N�

i=1

P [hi; a, b]



Riccardo Rigon

La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza

rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri.

76



P [{h1, · · ·, hN}; a, b] =N�

i=1

P [hi; a, b]



Riccardo Rigon



Meglio: rappresenta la distribuzione dei parametri condizionata alle misure

(in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)



Riccardo Rigon

Se la serie osservata è sufficientemente lunga, si ritiene che i parametri più

affidabili (veri!) siano i più probabili.



Nel caso della figura, a*.



Riccardo Rigon

Per semplificare i calcoli si definisce anche la funzione detta di log-

verosimiglianza:

79



log(P [{h1, · · ·, hN}; a, b]) =N�

i=1

log(P [hi; a, b])



Riccardo Rigon

80



�⇥ log(P [{h1,···,hN};a,b])

⇥a = 0⇥ log(P [{h1,···,hN};a,b])

⇥b = 0

Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.

Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere

da:



Riccardo Rigon

81



Riccardo Rigon

Metodo dei minimi quadrati

Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità

di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

82



Riccardo Rigon

scarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

82



Riccardo Rigon

ECDFscarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

82



Riccardo Rigon

ProbabilitàECDFscarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

82



Riccardo Rigon

⇤�2(⇥j)⇤⇥j

= 0 j = 1 · · · m

Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto

agli m parametri

Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie.

83



Riccardo Rigon

Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un verto senso ottimi. Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson.

84

Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...



Riccardo Rigon

Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:

1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali

85

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon


2 - derivarne una suddivisione del dominio

86

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon


3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

87

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon


6 - Valutare la funzione

P [H < h0] = P [H < 0]

P [H < hn+1] = P [H <�]

dove:

88

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon

Il Test di Pearson

Quindi:

e nel caso della figura delle slides precedenti

(P [H < hj+1]� P [H < hj ]) = 0.2



Riccardo Rigon

Il Test di Pearson

6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo

7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24

ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durata

Per completare il tutto



Riccardo Rigon

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

91

Dopo aver applicato Pearsone ripetuto l’operazione per ognii durata



Riccardo Rigon

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

Tr = 10 anni

h1 h3 h6 h12 h24

92

Dopo aver applicato Pearsone ripetuto l’operazione per ogni durata



Riccardo Rigon

0 5 10 15 20 25 30 35

40

60

80

100

120

140

160

180

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

h [mm]

t [o

re]

93

Si ottengono infine per interpolazione le



Riccardo Rigon

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

t [ore]

h [

mm

]

94

Si ottengono infine per interpolazione le


Le precipitazioni Estreme - Addendum

Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento

Il �2

Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e

varianza unitaria, allora la variabile

e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato

da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con

che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione

Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà”

95




La distribuzione, in effetti, è:

E la sua cumulata:

dove è la funzione “gamma” incompleta�()

Il �2

from Wikipedia

96




La funzione gamma incompleta

La funzione Gamma




Il �2

from Wikipedia

98




Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà

Il �2

La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà

E(�k) = k

V ar(�k) = 2k

from Wikipedia

99

La moda è pari a




In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per

stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una

distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il

test ha la forma generale

Il �2

�2

from Wikipedia

100




Il �2

Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia

distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei

quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero

di addendi diminuito di 1.

�2

from Wikipedia

101

In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte

l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione

degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con

k-1 gradi di libertà.




Ovvero

Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi,

Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k.

Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato




Se

Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2:

•dalla distribuzione ipotizzata, ma ottenendo un campione relativamente raro

•da un’altra distribuzione




Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente esclusive. L’ipotesi zero:

Il �2

�2

from Wikipedia

E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa:

che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione

che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione

104




Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro

L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal

vero con certezza

Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una

differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson),

ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili

ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti

tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che

i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata.

Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una

confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05




L’accettazione dell’ipotesi zero

E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato

secondo un criterio assunto come “ragionevole”.

Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si

accetta”.

A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale.

Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e da risultati

ripetibili.




In pratica

Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità

ovvero:




Se

Si rigetta l’ipotesi zero

Viceversa

si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare)




Corollario

Avendo a disposizione più ipotesi zero valide

Si accetta

Quella con più piccolo

Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di

confidenza.


Le precipitazioni estreme - GEV

Riccardo Rigon

Mic

hel

angel

o, I

l d

ilu

vio,

15

08

-15

09


Le precipitazioni Estreme - GEV

Riccardo Rigon

A little more formal

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un

Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la

distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità

non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

I) Distribuzione di Gumbel

G(z) = e�e�z�b

a �⇥ < z <⇥a > 0

111



Riccardo Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non

può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

II) Distribuzione di Frechèt

G(z) =

�0 z � b

e�( z�ba )��

z > b

� > 0a > 0


112



Riccardo Rigon

Media

Moda

Mediana

Varianza

P [X < x] = e�x��


II) Distribuzione di Frechèt from Wikipedia

113



Riccardo Rigon

dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE) pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1)

R:


114



Riccardo Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non

può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

� > 0a > 0

G(z) =

�e�[�( z�b

a )]��

z < b1 z � b


III) Distribuzione di Weibull

115



Riccardo Rigon

from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull(P. Rosin and E. Rammler, 1933)


116



Riccardo Rigon

Quando k = 1, la distribuzione di Weibull

si riduce alla distribuzione esponenziale.

Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull

diventa molto simile alla distribuzione

normale.

Media

Moda

Mediana

Varianza

from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull(P. Rosin and E. Rammler, 1933)


117



Riccardo Rigon

dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE)pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rweibull(n, shape, scale = 1)

R:


118



Riccardo Rigon

Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una

distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

G(z) = e�[1+�( z�µ⇤ )]�1/⇥

z : 1 + ⇥(z � µ)/⇤ > 0�⇥ < µ <⇥ ⇤ > 0

�⇥ < ⇥ <⇥

Per la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel

Per la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt

Per la distribuzione diviene una Weibull

� = 0� > 0� < 0


119



Riccardo Rigon



G(z) = e�[1+�( z�µ⇤ )]�1/⇥

z : 1 + ⇥(z � µ)/⇤ > 0�⇥ < µ <⇥ ⇤ > 0

�⇥ < ⇥ <⇥


120



Riccardo Rigon

gk = �(1� k�)




121



Riccardo Rigon

dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE) pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0)

R


122


Distribuzioni Autosimilari

Riccardo Rigon

Grazie per l’attenzione!

G.U

lric

i, 2

00

0 ?


Bibliografia e Approfondimenti

Riccardo Rigon

•Albertson, J., and M. Parlange, Surface Length Scales and Shear Stress: Implications

for Land-Atmosphere Interaction Over Complex Terrain, Water Resour. Res., vol. 35,

n. 7, p. 2121-2132, 1999

•Burlando, P. and R. Rosso, (1992) Extreme storm rainfall and climatic change,

Atmospheric Res., 27 (1-3), 169-189.

•Burlando, P. and R. Rosso, (1993) Stochastic Models of Temporal Rainfall:

Reproducibility, Estimation and Prediction of Extreme Events, in: Salas, J.D., R.

Harboe, e J. Marco-Segura (eds.), Stochastic Hydrology in its Use in Water Resources

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Spain, September 18-29, 1989, Kluwer, pp. 137-173.




Riccardo Rigon

•Burlando, P. e R. Rosso, (1996) Scaling and multiscaling Depth-Duration-Frequency

curves of storm precipitation, J. Hydrol., vol. 187/1-2, pp. 45-64.

•Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin

hydrology. 1. Precipitation scenarios for the Arno River, central Italy, Hydrol.

Process., 16, 1151-1175.

•Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin

hydrology. 2. Impacts on runoff variability of the Arno River, central Italy, Hydrol.

Process., 16, 1177-1199.

• Coles S.,‘‘An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer,

2001

• Coles, S., and Davinson E., Statistical Modelling of Extreme Values, 2008



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•Foufula-Georgiou, Lectures at 2008 Summer School on Environmental Dynamics,

2008

•Fréchet M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société

Polonaise de Mathematique, Crocovie, vol. 6, p. 93-116, 1927

•Gumbel, On the criterion that a given system of deviations from the probable in

the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably

supposed to have arisen from random sampling, Phil. Mag. vol. 6, p. 157-175, 1900

• Houze, Clouds Dynamics, Academic Press, 1994


http://en.wikipedia.org/wiki/Maurice_Fr%C3%A9chet

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http://it.wikipedia.org/wiki/1900

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• Kleissl J., V. Kumar, C. Meneveau, M. B. Parlange, Numerical study of dynamic

Smagorinsky models in large-eddy simulation of the atmospheric boundary layer:

Validation in stable and unstable conditions, Water Resour. Res., 42, W06D10, doi:

10.1029/2005WR004685, 2006

•Kottegoda and R. Rosso, Applied statistics for civil and environmental engineers,

Blackwell, 2008

•Kumar V., J. Kleissl, C. Meneveau, M. B. Parlange, Large-eddy simulation of a diurnal

cycle of the atmospheric boundary layer: Atmospheric stability and scaling issues,

Water Resour. Res., 42, W06D09, doi:10.1029/2005WR004651, 2006

•Lettenmaier D., Stochastic modeling of precipitation with applications to climate

model downscaling, in von Storch and, Navarra A., Analysis of Climate Variability:

Applications and Statistical Techniques,1995


http://www.osti.gov/energycitations/product.biblio.jsp?osti_id=259353





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•Salzman, William R. (2001-08-21). "Clapeyron and Clausius–Clapeyron

Equations" (in English). Chemical Thermodynamics. University of Arizona. Archived

from the original on 2007-07-07. http://web.archive.org/web/20070607143600/

http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html.

Retrieved 2007-10-11.

•von Storch H, and Zwiers F. W, Statistical Analysis in climate Research, Cambridge

University Press, 2001

•Whiteman, Mountain Meteorology, Oxford University Press, p. 355, 2000


http://web.archive.org/web/20070607143600/http://www.chem.arizona.edu/%7Esalzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html




http://www.chem.arizona.edu/%7Esalzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html

http://www.chem.arizona.edu/%7Esalzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html






Riccardo Rigon

•Equazione del moto della parcella (equazione di Eulero)

Dalle slides di Dino

In un ambiente in equilibrio (velocita’ media nulla)



Riccardo Rigon

Assumendo l’equilibrio idrostatico


si ottiene



Riccardo Rigon

da cui:


o:

con:



Riccardo Rigon

usando ora l’assunzione che la parcella si muova di moto adiabatico:

e l’equazione di stato dei gas ideali

si ottiene:




Riccardo Rigon

da cui:

ed infine l’equazione differenziale ordinaria:




Riccardo Rigon

per :

si ha equilibrio neutrale

equilibrio instabile (la soluzione diverge

esponenzialmente)

per :

equilibrio stabile (la soluzione oscilla con frequenza

detta di Brunt - VaisalaDalle slides di Dino


Download - 9 precipitazioni ci

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