![Page 1: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/1.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 11//4141
PLASTICITA A CREEPPLASTICITA A CREEP
PLASTICITA IIPLASTICITA II
ZbynZbyněěk Hrubýk Hrubý
zbynekzbynek..hrubyhruby@@fs.cvut.czfs.cvut.cz
![Page 2: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/2.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 22//4141
Deviátorový rozklad tenzoru nap ětí, spektrální rozklad, invarianty,
charakteristické rovnice
![Page 3: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/3.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 33//4141
Tenzor nap ětí, tenzor deviátoru nap ětí, kulový tenzor nap ětí
ISσ mσ+=
Fyzikální význam: deviátorová část se podílí na tvarové změněkulová část na objemové změně
ijkk
ijij S δσσ3
+=
++−
++−
++−
=
3
3
3
zzyyxxzzyzxz
yzzzyyxx
yyxy
xzxyzzyyxx
xx
σσσσσσ
σσσσ
σσ
σσσσσ
σ
S
++
++
++
=
300
03
0
003
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
m
σσσ
σσσ
σσσ
σ I
![Page 4: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/4.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 44//4141
Tenzor nap ětí – hlavní hodnoty, hlavní sm ěry
TΦΛΦσ =
spektrální rozklad tenzoru napětí σσσσ (tenzoru 2. řádu):
=
3
2
1
00
00
00
σσ
σΛ
spektrální matice(tenzor 2. řádu má max. tři nezávislé hlavní hodnoty) :
=
=
321
321
321
321
coscoscos
coscoscos
coscoscos
γγγβββααα
ϕϕϕΦ
modální matice(tenzor 2. řádu má max. tři
nezávislé hlavní směry):T1
ΦΦ =−
σΦΦΛT=
![Page 5: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/5.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 55//4141
Charakteristická rovnice tenzoru nap ětí
0322
13 =−+− III σσσ
zzyyxxI σσσ ++=1
zzxz
xzxx
zzyz
yzyy
yyxy
xyxxIσσσσ
σσσσ
σσσσ
++=2
invarianty charakteristické rovnice tenzoru napětí:
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
I
σσσσσσσσσ
=3
mocninné invarianty tenzoru napětí:
( )σtr1 =I
( )221
2 tr σ=I
( )331
3 tr σ=I
![Page 6: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/6.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 66//4141
Charakteristická rovnice tenzoru deviátoru nap ětí
0322
13 =−−− JSJSJS
01 =++= zzyyxx SSSJ
zzxz
xzxx
zzyz
yzyy
yyxy
xyxx
SS
SS
SS
SS
SS
SSJ −−−=2
invarianty charakteristické rovnice tenzoru deviátoru napětí:
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
SSS
SSS
SSS
J =3
mocninné invarianty tenzoru deviátorunapětí:
( )Str1 =J
( )221
2 tr S=J
( )331
3 tr S=J
22 JJ =
![Page 7: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/7.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 77//4141
Podmínky plasticity
![Page 8: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/8.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 88//4141
Podmínka plasticity (prvotní plastizace)
plochové modely: (podmínka je vyjádřena jako plocha v prostoru napětí) matematicky vyjádřená funkce:
( ) 0≤KF
nevznikají plastické deformace( ) 0<KF
mohou , ale nutn ě nemusí , vznikat plastickédeformace
( ) 0=KF
( ) 0>KF nemožné
![Page 9: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/9.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 99//4141
Podmínky plasticity pro houževnatémateriály
![Page 10: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/10.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1010//4141
Tresca (Guest, ττττmax)
??2
31 =≤−= kritmax τσστ
22
0
231 kk
maxσσσστ =−=−=
kσσσ ≤− 31
kalibrace τkrit díky 1D tahovému testu:
kσσ =132 σσ ≡
τ
σ
maxτ
1σ2σ3σ
τ
σ
maxτ
![Page 11: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/11.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1111//4141
Tresca (Guest, ττττmax)
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
kσσσ ≤− 21 kσσσ ≤− 12
kσσσ ≤− 32 kσσσ ≤− 23
kσσσ ≤− 31 kσσσ ≤− 13
Při algoritmizaci je často třídění hlavních hodnot podle vylikosti zdržující proces
( ) 02221 ≤−− kσσσ
( ) 02232 ≤−− kσσσ
( ) 02231 ≤−− kσσσ
( )( )( )( )( )( ) 02231
2232
2221 ≤−−−−−− kkk σσσσσσσσσ
069274 62
422
223
32 ≤−+−−= kkk JJJJF σσσ
( ) 0,,max 313221 ≤−−−−= kF σσσσσσσ
![Page 12: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/12.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1212//4141
von Mises (Maxwell, HMH)
??=≤ kritσS
0
0
3
2
1
==
=
σσ
σσ kkalibrace σkrit díky 1D tahovému testu:
kσσ =132 σσ ≡
τ
σ
maxτ
=−
−
k
k
k
σσ
σ
31
31
32
00
00
00
S
( ) ( ) ( ) kkkkkrit σσσσσ 322
312
312
32 =++== −−S
kσ32≤S kef J σσ ≤= 23
![Page 13: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/13.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1313//4141
von Mises (Maxwell, HMH)
0≤−= kefF σσ 03 22 ≤−= kJF σ
0231
2 ≤−= kJF σ 0232 ≤−= kijijSSF σ ijijSSJ 2
12 =
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
V prostoru deviátoru má von Misesovapodmínka tvar koule o poloměru
kσ32
![Page 14: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/14.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1414//4141
Tresca vs. von Mises
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming-1/figures/tresca.jpg
kσ
kσ
kσkσ−
kσ−
kσ−
π
kσ+
kσ+
kσ−
kσ−
1σ
2σ
![Page 15: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/15.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1515//4141
Tresca vs. von Mises
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Yield_surfaces.png
![Page 16: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/16.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1616//4141
Tresca vs. von Mises(kombinace normálového a smykového namáhání)
( ) k
Misesvonef
Tresca σατσσ ≤+= 22
)( Mises von3
Tresca2
=
=
αα
( )( )
( ) 12
2
2
2
222
22
≤+
≤+
≤+
ασ
τσσ
σατσ
σατσ
kk
k
k
σ
τ
kσ
2kσ
3kσ
Tresca
von Mises
![Page 17: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/17.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1717//4141
Nádaiův-Lode ův sou činitel
( )( ) 31
312
3121
3121
2 2
σσσσσ
σσ
σσσνσ
−−−=
−
+−=
σν
kσσσ 31 −
32
experimenty
Taylor & Quinney1931
Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995.
maximální rozdíl obou podmínek pro:
nulový rozdíl obou podmínek pro:
(viz následující příklady 7 a 8)
( )3121
2 σσσ +=
3212 σσσσ =∨=
![Page 18: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/18.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1818//4141
Nádaiův-Lode ův sou činitel (geometrický vyznam)
1;145;45tg +−∈°+°−∈= σσ νβνβ
![Page 19: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/19.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 1919//4141
osy symetrie vyplývající z isotropie
Konvexnost plochy plasticity, symetrie v ππππ-rovin ě
osy symetrie vyplývající z rovnosti meze kluzu v tahu a tlaku (houževnaté materiály)
pro houževnaté materiály tedy celkem 6 os symetrie ; celkem tedy 12 identických segment ů
plochy; experimentálně stačíproměřit jeden
konvexnost = všechny tečné roviny k ploše plasticity musí nutně ležet vně plochy plasticity
Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995.
π-rovina
(deviátorová rovina)
![Page 20: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/20.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2020//4141
Příklady na podmínky plasticity pro houževnaté materiály
![Page 21: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/21.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2121//4141
Př.7: Válcová sko řepina 1/2
Určit mezní přetlak uvnitř válcové skořepiny, aby byla splněna podmínka plasticity.
D: mez kluzu σk, tloušťka skořepiny t, poloměr skořepiny R
U: pmez
t
p
RR=+
2
2
1
1 σσ
03 =σ
Laplaceova rovnice pro skořepiny:
02
2
21
→
⇓
∞→=
R
RRR
σ
t
pR=1σt
pR
Rt
Rp
22
2
2 ==ππσ
![Page 22: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/22.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2222//4141
Př.7: Válcová sko řepina 2/2
Trescova podmínka plasticity:
R
tp
t
Rp
kmez
kmez
k
σ
σ
σσσ
=
=−
=−
0
31
von Misesova podmínka plasticity:
( ) ( ) ( )
R
tp
t
Rp
t
Rp
t
Rp
t
Rp
kmez
kmez
kmezmezmez
kef
σ
σ
σ
σσσσσσσσ
3
2
22
3
222
22
22
2222
231
232
2212
2
=
=
=
+
+
=−+−+−=
![Page 23: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/23.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2323//4141
Př.8: Kulová sko řepina 1/2
Určit mezní přetlak uvnitř kulové skořepiny, aby byla splněna podmínka plasticity.
D: mez kluzu σk, tloušťka skořepiny t, poloměr skořepiny R
U: pmez
t
p
RR=+
2
2
1
1 σσ
03 =σ
Laplaceova rovnice pro skořepiny:
koule symetrie21 σσ =
t
pR
21 =σ
t
pR
22 =σ
![Page 24: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/24.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2424//4141
Př.8: Kulová sko řepina 2/2
Trescova podmínka plasticity:
R
tp
t
Rp
kmez
kmez
k
σ
σ
σσσ
2
02
31
=
=−
=−
von Misesova podmínka plasticity: ( ) ( ) ( )
( )
R
tp
t
Rp
t
Rp
t
Rp
kmez
kmez
kmezmez
kef
σ
σ
σ
σσσσσσσσ
2
22
222
0
22
22
222
2
231
232
2212
2
=
=
=
+
+
=−+−+−=
![Page 25: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/25.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2525//4141
Př.9: Silnost ěnná nádoba 1/4
Určit mezní vnitřní přetlak uzavřené válcové silnostěnné nádoby, aby byla splněna podmínka plasticity. Určit zbytková napětí.
D: mez kluzu σk, vnitřní a vnější poloměry skořepiny r1 a r2.
U: ∆pmez=p1-p2
elastické řešení: 0d
d =+−r
r rtr
σσσ
( ) ( )22
122
22
21
2121
22
222
211 1
rrr
rrpp
rr
rprprt
−−+
−−=σ
( ) ( )22
122
22
21
2121
22
222
211 1
rrr
rrpp
rr
rprprr
−−−
−−=σ
( )2
122
222
211
rr
rprpro
−−=σ ( ) ( ) ( )rrr rot σσσ >>
![Page 26: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/26.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2626//4141
Př.9: Silnost ěnná nádoba 2/4
Trescova podmínka plasticity: ( ) ( ) kr
krtr
rrr σσσσσ =⇒=−d
d
Cr
r
r
kr
rk
+=⇓
=
ln
dd
σσ
σσ
okrajové podmínky: ( )
11
11
111
ln
ln
rpC
Crp
prrr
k
k
r
σσσ
−−=+=−
−==
( )
+−=−
−==
1
212
222
lnr
rpp
prrr
k
r
σ
σ
( )
+−=
11 ln
r
rpr kr σσ
( ) konstln1
221 =
=−=∆
r
rppp kmezmez σ
![Page 27: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/27.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2727//4141
Př.9: Silnost ěnná nádoba 3/4
zbytková napětí: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )el
ficrrzbr
elficttzbt
rrr
rrr
σσσ
σσσ
−=
−=
![Page 28: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/28.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2828//4141
Př.9: Silnost ěnná nádoba 4/4
kdy dojde k první plastizaci, pokud je p2=0?
plastizovat bude vždy nejprve vnitřní poloměr
( ) ( )
( )
2
12
22
21
22
1
21
21
22
22
21
21
11
k
k
krt
r
rrp
rrr
rrpp
rr
σ
σ
σσσ
−=
=−
−
=−
i pro nekonečně velkou nádobu r2→∞ tak bude moci být maximální vnitřní přetlak pouze polovina meze kluzu 22
222
21
22
1kk r
r
rrp
σσ =∞→=−=
![Page 29: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/29.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 2929//4141
Podmínky plasticity pro ideální plasticitu a kombinovaná namáhání
(schematické p řístupy)
![Page 30: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/30.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3030//4141
Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + N
b
h
σk
oelo MM <
σk
241 bhM kopl σ=
σk σk
plel NNN ≡< bhN kpl σ=
![Page 31: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/31.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3131//4141
Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + N
b
h
σk
( ) ( )ploelo NNMM <+< ( ) ( )plopl NM +
elastické i v superpozici
σk σk
nemožné(Prandtl)!!!
σk σk
a
a
( ) ( )plopl NM +
![Page 32: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/32.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3232//4141
Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + N
b
h
σk σk
a
a
abN k 2σ= 222
422
1
22 baMa
hba
ha
hbM koplkko σσσ −=
−=
+
−=
14
14
2
2
2
2
2
=+
=+
=+
b
b
bh
ba
M
M
bh
ba
M
M
MbaM
k
k
k
k
opl
o
k
k
opl
o
oplko
σσ
σσ
σσ
σ
1
2
=
+
plopl
o
N
N
M
M
![Page 33: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/33.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3333//4141
Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + T
σo
oelo MM < elTT <
b
h
y
z
σk
τ
hb
Tstřmax
2
3
2
3 == ττ
( ) ( )bJ
yh
yh
Tb
bJ
yTSy
zz
odř
+
−== 22
1
2τ
( ) yJ
My
z
oo =σ
hb
Tstř =τ
τstř
τmax
τk
![Page 34: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/34.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3434//4141
Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + T
σo
oplooel MMM << elTT <
b
h
y
z
τ
a
a
σk
oel
oep
M
Mha
23
2−±=
ab
Tmax
22
3=τ
ab
Tstř
2=τ
τk
![Page 35: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/35.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3535//4141
Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + T
( ) ( ) 22
22
42
622222
6ba
hba
ba
hba
ha
bM kk
kk
ko σσσσσ −+=
+
−+=
bhT kel
3
2
3
σ=ko στσ ≤+ 22 3
ab
Tmax
22
3=τ
2
4
1bhM kopl σ=
von Mises: bhT kpl
3
σ=
13
4
3
21
2
2
2
=+
=
−+
b
b
bh
ba
M
M
MbaM
k
k
k
k
opl
o
oplko
σσ
σσ
σ
13
12
=
+
elopl
o
T
T
M
M1
4
32
=
+
plopl
o
T
T
M
M
![Page 36: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/36.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3636//4141
Další podmínky plasticity pro k řehkémateriály, zeminy apod.
(existuje celá řada dalších podmínek zejména pro betony, lamináty a jiné
anisotropní materiály apod.)
![Page 37: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/37.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3737//4141
Rankine ( σσσσmax, maximum stress theory)
01 ≤− ktσσ
02 ≤− ktσσ
03 ≤− ktσσ
01 ≤+ kdσσ
02 ≤+ kdσσ
03 ≤+ kdσσ
1σ
3σ
2σ
formálně σkt (mez kluzu v tahu) i σkd (mez kluzu v tlaku) kladnéhodnoty
nesymetricky „uložená“ krychle v prostoru souřadných os (težiště krychle posunuto na ose prvního oktantu do záporných hodnot)
![Page 38: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/38.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3838//4141
Mohr-Coulomb
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
kt
kdmσσ=
1
1
+−=
m
mK
111
+=
+=
mm
mb ktkd σσ
022
,22
,22
max 313132322121 ≤
++−−++−
−++−− σσσσσσσσσσσσ
KbKbKb
!plocha plasticity má tvar nepravidelnéhošestibokého jehlanu!
pokud K=0, tj. při m=1, přechází podmínka v tomto zápisu v podmínku Trescovu
![Page 39: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/39.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 3939//4141
Mohr-Coulomb
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
kt
kdmσσ=
1
1sin
+−=
m
mϕm
c kd
2
σ=
!plocha plasticity má tvar nepravidelnéhošestibokého jehlanu!
pokud sinφ=0, cosφ=1 tj. při m=1, přecházípodmínka v Trescovu
1
2cos
+=
m
mϕ
66,0cossinsin
3cossin
32
21 πθπϕϕθθϕ ≤≤−≤−−+ c
JJ
I
![Page 40: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/40.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 4040//4141
Drucker-Prager (opsaný kužel)
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
kt
kdmσσ= ( )423
6+
=m
D kdσ
( ) ( ) ( ) ( )0
6
231
232
221
321 ≤−−+−+−+++ Dσσσσσσσσσα
( )( )423
12+
−=m
mα
pokud α=0, tj. při m=1, přechází podmínka ve von Misesovu
021 ≤−+ DJIα
![Page 41: PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IImechanika.fs.cvut.cz/content/files/PC/PLAST_2010_02.pdfKhan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995. maximální rozdíl](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052811/6085e3985a389f6215295a39/html5/thumbnails/41.jpg)
Plasticita Plasticita IIII 4141//4141
Rankine, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb
Rankine
Drucker-Prager
Mohr-Coulomb