plasticita a creep plasticita iimechanika.fs.cvut.cz/content/files/pc/plast_2010_02.pdfkhan, a.s.,...

Plasticita Plasticita IIII 11//4141

PLASTICITA A CREEPPLASTICITA A CREEP

PLASTICITA IIPLASTICITA II

ZbynZbyněěk Hrubýk Hrubý

zbynekzbynek..hrubyhruby@@fs.cvut.czfs.cvut.cz


Deviátorový rozklad tenzoru nap ětí, spektrální rozklad, invarianty,

charakteristické rovnice


Tenzor nap ětí, tenzor deviátoru nap ětí, kulový tenzor nap ětí

ISσ mσ+=

Fyzikální význam: deviátorová část se podílí na tvarové změněkulová část na objemové změně

ijkk

ijij S δσσ3

+=

++−

++−

++−

=

3

3

3

zzyyxxzzyzxz

yzzzyyxx

yyxy

xzxyzzyyxx

xx

σσσσσσ

σσσσ

σσ

σσσσσ

σ

S

++

++

++

=

300

03

0

003

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

m

σσσ

σσσ

σσσ

σ I


Tenzor nap ětí – hlavní hodnoty, hlavní sm ěry

TΦΛΦσ =

spektrální rozklad tenzoru napětí σσσσ (tenzoru 2. řádu):

=

3

2

1

00

00

00

σσ

σΛ

spektrální matice(tenzor 2. řádu má max. tři nezávislé hlavní hodnoty) :

=

=

321

321

321

321

coscoscos

coscoscos

coscoscos

γγγβββααα

ϕϕϕΦ

modální matice(tenzor 2. řádu má max. tři

nezávislé hlavní směry):T1

ΦΦ =−

σΦΦΛT=


Charakteristická rovnice tenzoru nap ětí

0322

13 =−+− III σσσ

zzyyxxI σσσ ++=1

zzxz

xzxx

zzyz

yzyy

yyxy

xyxxIσσσσ

σσσσ

σσσσ

++=2

invarianty charakteristické rovnice tenzoru napětí:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

I

σσσσσσσσσ

=3

mocninné invarianty tenzoru napětí:

( )σtr1 =I

( )221

2 tr σ=I

( )331

3 tr σ=I


Charakteristická rovnice tenzoru deviátoru nap ětí

0322

13 =−−− JSJSJS

01 =++= zzyyxx SSSJ

zzxz

xzxx

zzyz

yzyy

yyxy

xyxx

SS

SS

SS

SS

SS

SSJ −−−=2

invarianty charakteristické rovnice tenzoru deviátoru napětí:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

SSS

SSS

SSS

J =3

mocninné invarianty tenzoru deviátorunapětí:

( )Str1 =J

( )221

2 tr S=J

( )331

3 tr S=J

22 JJ =


Podmínky plasticity


Podmínka plasticity (prvotní plastizace)

plochové modely: (podmínka je vyjádřena jako plocha v prostoru napětí) matematicky vyjádřená funkce:

( ) 0≤KF

nevznikají plastické deformace( ) 0<KF

mohou , ale nutn ě nemusí , vznikat plastickédeformace

( ) 0=KF

( ) 0>KF nemožné


Podmínky plasticity pro houževnatémateriály


Tresca (Guest, ττττmax)

??2

31 =≤−= kritmax τσστ

22

0

231 kk

maxσσσστ =−=−=

kσσσ ≤− 31

kalibrace τkrit díky 1D tahovému testu:

kσσ =132 σσ ≡

τ

σ

maxτ

1σ2σ3σ

τ

σ

maxτ


Tresca (Guest, ττττmax)

http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm

kσσσ ≤− 21 kσσσ ≤− 12

kσσσ ≤− 32 kσσσ ≤− 23

kσσσ ≤− 31 kσσσ ≤− 13

Při algoritmizaci je často třídění hlavních hodnot podle vylikosti zdržující proces

( ) 02221 ≤−− kσσσ

( ) 02232 ≤−− kσσσ

( ) 02231 ≤−− kσσσ

( )( )( )( )( )( ) 02231

2232

2221 ≤−−−−−− kkk σσσσσσσσσ

069274 62

422

223

32 ≤−+−−= kkk JJJJF σσσ

( ) 0,,max 313221 ≤−−−−= kF σσσσσσσ


von Mises (Maxwell, HMH)

??=≤ kritσS

0

0

3

2

1

==

=

σσ

σσ kkalibrace σkrit díky 1D tahovému testu:

kσσ =132 σσ ≡

τ

σ

maxτ

=−

−

k

k

k

σσ

σ

31

31

32

00

00

00

S

( ) ( ) ( ) kkkkkrit σσσσσ 322

312

312

32 =++== −−S

kσ32≤S kef J σσ ≤= 23


von Mises (Maxwell, HMH)

0≤−= kefF σσ 03 22 ≤−= kJF σ

0231

2 ≤−= kJF σ 0232 ≤−= kijijSSF σ ijijSSJ 2

12 =


V prostoru deviátoru má von Misesovapodmínka tvar koule o poloměru

kσ32


Tresca vs. von Mises

http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming-1/figures/tresca.jpg

kσ

kσ

kσkσ−

kσ−

kσ−

π

kσ+

kσ+

kσ−

kσ−

1σ

2σ


Tresca vs. von Mises

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Yield_surfaces.png


Tresca vs. von Mises(kombinace normálového a smykového namáhání)

( ) k

Misesvonef

Tresca σατσσ ≤+= 22

)( Mises von3

Tresca2

=

=

αα

( )( )

( ) 12

2

2

2

222

22

≤+

≤+

≤+

ασ

τσσ

σατσ

σατσ

kk

k

k

σ

τ

kσ

2kσ

3kσ

Tresca

von Mises


Nádaiův-Lode ův sou činitel

( )( ) 31

312

3121

3121

2 2

σσσσσ

σσ

σσσνσ

−−−=

−

+−=

σν

kσσσ 31 −

32

experimenty

Taylor & Quinney1931

Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995.

maximální rozdíl obou podmínek pro:

nulový rozdíl obou podmínek pro:

(viz následující příklady 7 a 8)

( )3121

2 σσσ +=

3212 σσσσ =∨=


Nádaiův-Lode ův sou činitel (geometrický vyznam)

1;145;45tg +−∈°+°−∈= σσ νβνβ


osy symetrie vyplývající z isotropie

Konvexnost plochy plasticity, symetrie v ππππ-rovin ě

osy symetrie vyplývající z rovnosti meze kluzu v tahu a tlaku (houževnaté materiály)

pro houževnaté materiály tedy celkem 6 os symetrie ; celkem tedy 12 identických segment ů

plochy; experimentálně stačíproměřit jeden

konvexnost = všechny tečné roviny k ploše plasticity musí nutně ležet vně plochy plasticity

Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995.

π-rovina

(deviátorová rovina)


Příklady na podmínky plasticity pro houževnaté materiály


Př.7: Válcová sko řepina 1/2

Určit mezní přetlak uvnitř válcové skořepiny, aby byla splněna podmínka plasticity.

D: mez kluzu σk, tloušťka skořepiny t, poloměr skořepiny R

U: pmez

t

p

RR=+

2

2

1

1 σσ

03 =σ

Laplaceova rovnice pro skořepiny:

02

2

21

→

⇓

∞→=

R

RRR

σ

t

pR=1σt

pR

Rt

Rp

22

2

2 ==ππσ


Př.7: Válcová sko řepina 2/2

Trescova podmínka plasticity:

R

tp

t

Rp

kmez

kmez

k

σ

σ

σσσ

=

=−

=−

0

31

von Misesova podmínka plasticity:

( ) ( ) ( )

R

tp

t

Rp

t

Rp

t

Rp

t

Rp

kmez

kmez

kmezmezmez

kef

σ

σ

σ

σσσσσσσσ

3

2

22

3

222

22

22

2222

231

232

2212

2

=

=

=

+

+

=−+−+−=


Př.8: Kulová sko řepina 1/2

Určit mezní přetlak uvnitř kulové skořepiny, aby byla splněna podmínka plasticity.

D: mez kluzu σk, tloušťka skořepiny t, poloměr skořepiny R

U: pmez

t

p

RR=+

2

2

1

1 σσ

03 =σ

Laplaceova rovnice pro skořepiny:

koule symetrie21 σσ =

t

pR

21 =σ

t

pR

22 =σ


Př.8: Kulová sko řepina 2/2

Trescova podmínka plasticity:

R

tp

t

Rp

kmez

kmez

k

σ

σ

σσσ

2

02

31

=

=−

=−

von Misesova podmínka plasticity: ( ) ( ) ( )

( )

R

tp

t

Rp

t

Rp

t

Rp

kmez

kmez

kmezmez

kef

σ

σ

σ

σσσσσσσσ

2

22

222

0

22

22

222

2

231

232

2212

2

=

=

=

+

+

=−+−+−=


Př.9: Silnost ěnná nádoba 1/4

Určit mezní vnitřní přetlak uzavřené válcové silnostěnné nádoby, aby byla splněna podmínka plasticity. Určit zbytková napětí.

D: mez kluzu σk, vnitřní a vnější poloměry skořepiny r1 a r2.

U: ∆pmez=p1-p2

elastické řešení: 0d

d =+−r

r rtr

σσσ

( ) ( )22

122

22

21

2121

22

222

211 1

rrr

rrpp

rr

rprprt

−−+

−−=σ

( ) ( )22

122

22

21

2121

22

222

211 1

rrr

rrpp

rr

rprprr

−−−

−−=σ

( )2

122

222

211

rr

rprpro

−−=σ ( ) ( ) ( )rrr rot σσσ >>



Trescova podmínka plasticity: ( ) ( ) kr

krtr

rrr σσσσσ =⇒=−d

d

Cr

r

r

kr

rk

+=⇓

=

ln

dd

σσ

σσ

okrajové podmínky: ( )

11

11

111

ln

ln

rpC

Crp

prrr

k

k

r

σσσ

−−=+=−

−==

( )

+−=−

−==

1

212

222

lnr

rpp

prrr

k

r

σ

σ

( )

+−=

11 ln

r

rpr kr σσ

( ) konstln1

221 =

=−=∆

r

rppp kmezmez σ



zbytková napětí: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )el

ficrrzbr

elficttzbt

rrr

rrr

σσσ

σσσ

−=

−=



kdy dojde k první plastizaci, pokud je p2=0?

plastizovat bude vždy nejprve vnitřní poloměr

( ) ( )

( )

2

12

22

21

22

1

21

21

22

22

21

21

11

k

k

krt

r

rrp

rrr

rrpp

rr

σ

σ

σσσ

−=

=−

−

=−

i pro nekonečně velkou nádobu r2→∞ tak bude moci být maximální vnitřní přetlak pouze polovina meze kluzu 22

222

21

22

1kk r

r

rrp

σσ =∞→=−=


Podmínky plasticity pro ideální plasticitu a kombinovaná namáhání

(schematické p řístupy)


Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + N

b

h

σk

oelo MM <

σk

241 bhM kopl σ=

σk σk

plel NNN ≡< bhN kpl σ=



b

h

σk

( ) ( )ploelo NNMM <+< ( ) ( )plopl NM +

elastické i v superpozici

σk σk

nemožné(Prandtl)!!!

σk σk

a

a

( ) ( )plopl NM +



b

h

σk σk

a

a

abN k 2σ= 222

422

1

22 baMa

hba

ha

hbM koplkko σσσ −=

−=

+

−=

14

14

2

2

2

2

2

=+

=+

=+

b

b

bh

ba

M

M

bh

ba

M

M

MbaM

k

k

k

k

opl

o

k

k

opl

o

oplko

σσ

σσ

σσ

σ

1

2

=

+

plopl

o

N

N

M

M


Podmínky plasticity (ideální plasticita), kombinace namáhání Mo + T

σo

oelo MM < elTT <

b

h

y

z

σk

τ

hb

Tstřmax

2

3

2

3 == ττ

( ) ( )bJ

yh

yh

Tb

bJ

yTSy

zz

odř

+

−== 22

1

2τ

( ) yJ

My

z

oo =σ

hb

Tstř =τ

τstř

τmax

τk



σo

oplooel MMM << elTT <

b

h

y

z

τ

a

a

σk

oel

oep

M

Mha

23

2−±=

ab

Tmax

22

3=τ

ab

Tstř

2=τ

τk



( ) ( ) 22

22

42

622222

6ba

hba

ba

hba

ha

bM kk

kk

ko σσσσσ −+=

+

−+=

bhT kel

3

2

3

σ=ko στσ ≤+ 22 3

ab

Tmax

22

3=τ

2

4

1bhM kopl σ=

von Mises: bhT kpl

3

σ=

13

4

3

21

2

2

2

=+

=

−+

b

b

bh

ba

M

M

MbaM

k

k

k

k

opl

o

oplko

σσ

σσ

σ

13

12

=

+

elopl

o

T

T

M

M1

4

32

=

+

plopl

o

T

T

M

M


Další podmínky plasticity pro k řehkémateriály, zeminy apod.

(existuje celá řada dalších podmínek zejména pro betony, lamináty a jiné

anisotropní materiály apod.)


Rankine ( σσσσmax, maximum stress theory)

01 ≤− ktσσ

02 ≤− ktσσ

03 ≤− ktσσ

01 ≤+ kdσσ

02 ≤+ kdσσ

03 ≤+ kdσσ

1σ

3σ

2σ

formálně σkt (mez kluzu v tahu) i σkd (mez kluzu v tlaku) kladnéhodnoty

nesymetricky „uložená“ krychle v prostoru souřadných os (težiště krychle posunuto na ose prvního oktantu do záporných hodnot)


Mohr-Coulomb


kt

kdmσσ=

1

1

+−=

m

mK

111

+=

+=

mm

mb ktkd σσ

022

,22

,22

max 313132322121 ≤

++−−++−

−++−− σσσσσσσσσσσσ

KbKbKb

!plocha plasticity má tvar nepravidelnéhošestibokého jehlanu!

pokud K=0, tj. při m=1, přechází podmínka v tomto zápisu v podmínku Trescovu


Mohr-Coulomb


kt

kdmσσ=

1

1sin

+−=

m

mϕm

c kd

2

σ=

!plocha plasticity má tvar nepravidelnéhošestibokého jehlanu!

pokud sinφ=0, cosφ=1 tj. při m=1, přecházípodmínka v Trescovu

1

2cos

+=

m

mϕ

66,0cossinsin

3cossin

32

21 πθπϕϕθθϕ ≤≤−≤−−+ c

JJ

I


Drucker-Prager (opsaný kužel)


kt

kdmσσ= ( )423

6+

=m

D kdσ

( ) ( ) ( ) ( )0

6

231

232

221

321 ≤−−+−+−+++ Dσσσσσσσσσα

( )( )423

12+

−=m

mα

pokud α=0, tj. při m=1, přechází podmínka ve von Misesovu

021 ≤−+ DJIα


Rankine, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb

Rankine

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

plasticita a creep plasticita iimechanika.fs.cvut.cz/content/files/pc/plast_2010_02.pdfkhan, a.s.,...

Documents