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8/16/2019 Polimi CM2 Molle
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Corso di Laurea – Ingegneria Meccanica
Costruzione di Macchine 2
Dimensionamento di una sospensione
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Costruzione di Macchine 2
Un esempio storico ! Ford Model T 2
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Costruzione di Macchine 2
Altri esempi ! 3
MacPherson
Sospensione a
quadrilatero “alto”
Sospensione a
quadrilatero “basso”
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Costruzione di Macchine 2
Molle: forme e tipologia di realizzazione 4
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Costruzione di Macchine 2
Molle a balestra 5
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Costruzione di Macchine 2
Impiego delle molle nel settore ferroviario 6
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Costruzione di Macchine 2
Le molle ad elica cilindrica 7
Nelle molle ad elica cilindrica la caratteristica di sollecitazione
prevalente per ogni sezione è il momento torcente.È più diffuso il tipo di molla detto a compressione, in quanto il
collegamento tra molla ed elementi del meccanismo è moltosemplice: le estremità della molla vanno opportunamente lavorate inmodo da presentare superfici di estremità piane.
Alcune configurazioni (UNI 7900-1):
Aperta
Chiusa
Chiusa e molata
Rastremata, chiusa e molata
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: considerazioni geometriche 8
Simboli:d = diametro del filo della molla
D = 2R = diametro del cilindro sul qualeè avvolto lasse del filo della molla
! = angolo di avvolgimento = 5÷6°
p0 = 2"R tan! = passo della mollascarica
P = forza sullasse della molla
# = p0 – d = passo interspira a mollascarica
i = numero di spire e frazioni di spiraattive
l = 2"Ri = lunghezza del filo
v
p0
L
P
P
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: azioni interne 9
!
!
!
!
!
!
=
=
=
=
=
sin ; Azione assiale
cos ; Tagliocos ; Momento torcente
sin ; Momento flettente
: angolo di avvolgimento dell'elica media
in generale picc
t
f
N P
T P M PR
M PR
!
!
!
!
!
!
"
"
= "
= "
= "
= "
olocos 1
sin 0
sin 0
cos
cos
sin 0
t
f
N P
T P P
M PR PR
M PR
1)
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: distribuzione degli sforzi 10
Si definisce rapporto caratteristico c: = D/d
2) Si ipotizza che c " 10, cioè il filo è piccolo rispetto al diametro diavvolgimento dellelica (curvatura piccola). In questo modo si puòtrattare il problema come una barra di torsione.
! = scorrimento sulla superficie esterna del cilindro
$ = rotazione della sezione di estremità
PR PR
l = 2"Ri
!
!
max 3 3
16
22
32
t t
p
M d M d PR
J d d !
" "
# #
= = =
#
#
G
!
=
2
3 2
2 4 16 4 16
2
R i R i PR R i c Pi
d G d d G d Gd
! " ! ! #
!
$ $ $
= $ = $ = $ =
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Costruzione di Macchine 2
Dimensionamento delle molle 11
Per dimensionare le molle si devono definire le grandezze
caratteristiche:! Rapporto caratteristico c=D/d
! Numero di spire attive i
! Rigidezza (freccia)
! Condizione di massima sollecitazione
Ipotesi:
! c%10 curvatura tracurabile
! Comportamento lineare del materiale
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: calcolo della rigidezza 12
Determinazione della freccia dallenergia interna:
Clapeyron:
La derivata dellenergia U rispetto il carico P è la freccia:
( )2
2 2
0
cos1 1
2 2
l
P P
PR P R LU dl
GJ GJ
!
= = "
( ) ( )
2
22 3 3 3
4 34
cos 8 8 82
32
P
D P Di
PR LU PD i Pi D Pc i
f P GJ Gd Gd d Gd d G
!
"
!
# $% %& ' # $( ) *
= = = = = =
& '( # $ ) *%& ') *
2
f P L
e
!
=
2
! "=
t
i
M L
Si poteva anche valutare la freccia dal bilancio dellavoro interno-esterno:
Lavoro interno
Lavoro esterno
P
f
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Costruzione di Macchine 2
Calcolo della caratteristica della molla 13
Da bilancio Le = Li si può ottenere:
Dalla valutazione della freccia, si possono stimare anche:
la rigidezza della molla
il numero di spire attive
38
P Gd K
f c i= =
K c
Gd
i 38
=
2
2
16
2 2
P f P R c Pi
Gd
! !
= !
Gd
Pic f
38
=
-
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: considerazioni di
dimensionamento
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Per un corretto dimensionamento, occorre assicurarsi che per effetto
del carico P la molla non vada a pacco: f (m) & f p
L
v
38(2 tan )
c i P i v i R d
Gd ! " # < # = # # $
23 )1tan(8 Gd cmg c !"!!< # $
3
2
8
)1tan(
c g
Gd cmm p
!
!"!!
=<
# $
Condizione finale didimensionamento:
mp = 3m
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: considerazioni di
dimensionamento
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Occorre infine tenere conto anche della condizione di resistenza:
dove: ! > 1.25 per garantire sicurezza
! < 1.5 per evitare sovra-dimensionamento
! "
" =
)max(
lim
pacco
! lim
= ! sn= R p,0.2
3
3( )
max( ) 3 3 3 3
( tan 1)1616 16 2 ( tan 1)8t pacco p
pacco
Gd cdiR M K f R GR cc i
d d d c d
! "
! "
#
! ! ! !
$ %
$ $ $ %
= = = =
2)max(
)1tan(
c
cG pacco
!
" !
#
$%
=
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: verifica considerando curvatura e
taglio
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Se c 10 il filo non è piccolo rispetto al
diametro di avvolgimento dellelica elipotesi di curvatura piccola non è verificata.
In questo caso, occorre considerare la mollanon più come una trave ad asse rettilineo,ma occorre considerare la curvatura e iltaglio.
( )
!
! ! =
"
= +
"
Sforzo tangenziale effettivo :;
dove tiene conto degli effetti della
curvatura e del taglio
formula di Wahl:
4 1 0.615 ;
4 1
Mt k
k
c k
c c
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: verifica a fatica 17
( ) ( )! "
!
" "
!
" "
! !
!
! !
!
=
=
=
= =
= =
+
=
#
=
max
min
2
max max2 2
min min2 2
max min
m
max min
Freccia minima e massima della molla:
0.75 ;
0.45 ;
8;
8 80.75 ;
8 80.45 ;
;2
;2
p
p
p
p
ed
alt
f f
f f
c t kKf t
d
c c kKf kKf d d
c c kKf kKf
d d
: coefficiente di Wahl;
: rigidezza della molla;
k
K
=
=
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Costruzione di Macchine 2
Le molle: verifica a fatica 18
Condizione di resistenza:
!! alt
! "! FAt
!
dove !! FAt
deve essere ricavato
dal diagramma di Haigh a torsione
per tenere conto dell'effetto dello sforzo medio
(considerando fisso lo sforzo medioperchè il carico medio è fisso)
! FAt
= 0.30 R m
!! FAt
= ! FAt
b2b
3
! sn=
R s
3
! "FAt
! m
! a
! sn
! sn
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Costruzione di Macchine 2
Esempio di applicazione 19
Una carrozza ferroviaria di massa M appoggia su due assali mediante
due molle ad elica cilindrica a sezione circolare per ogni assale.Si richiede di:
• scegliere le dimensioni delle 4 molle in acciaio, uguali fra loro, inmodo da ottenere una rigidezza complessiva K, nell’ipotesi che ilcarico sia ugualmente ripartito fra le 4 molle;
• calcolare la freccia, rispetto alla configurazione di molla scarica, taleda non portare a pacco le molle;
• scegliere il materiale tra i 3 proposti, ed eventualmente rivedere ilprecedente dimensionamento, in modo da garantire, oltre allaverifica di resistenza in condizioni di lavoro, anche la verificaprevista dalla normativa in condizioni di molla a pacco;
•
calcolare la forza aggiuntiva che manda a pacco la molla;• effettuare la verifica a fatica della molla, nella condizione di carico
corrispondente a frecce tra 0.75 e 0.45 f p.
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Costruzione di Macchine 2
Esempio di applicazione (2) 20
Traccia:
Massa ripartita su ogni molla:
Rigidezza di ogni molla:
Carico agente su ogni molla: P = mg = 36,787 kN
Ipotizzare un valore iniziale di !, c, d e valutare ' e i (=5-6). Una voltascelta la molla, valutare mp, mp/m, D, K (rigidezza effettiva: deveessere prossima a 100 N/m), f, f p, po, v, L (
In base a questo primo dimensionamento, si effettua la verifica staticae a fatica, eventualmente iterando il processo.
kg M
m 37254==
K =K
tot
4=100 N /m
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Costruzione di Macchine 2
Dimensionamento della molla (dettaglio – 1)
1. Si fissa il rapporto c=D/d
2.
Si impone che
3. Si sceglie un diametro tra quelli previsti dalla normativa (ad es. UNI8525):
4.
Si sceglie il numero delle spire i per definire completamente lageometria della molla (si impone che la rigidezza sia quelladesiderata)
ad esempio con terminali molati i = i t -i m con i m = 1.5 (=2*270°)
21
! max
! ! amm
=
! sn
" =
! sn
2=
R p,0.2
2 3" d #
8Fc
#! amm
1+2
3c
$
%&
'
()
K c
Gd i
38
=
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Costruzione di Macchine 2
Dimensionamento della molla (dettaglio – 2)
5. Si calcola la freccia per effetto del carico nominale
6. Si calcola la freccia nelle condizioni di molla a pacco
7. Iterativamente (ad esempio imponendo f p=1.3f 0)
se !&6° OK, altrimenti si deve cambiare il valore di f 0 e ricalcolarefino a raggiungere una soluzione soddisfacente.
8. Verifica della molla (segue ()
22
f 0 = P
K
f 0 < f p p = d + v f p = iv p = ! D tan"
f 0 f p v=f p/i !
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Costruzione di Macchine 2
Dimensionamento della molla (dettaglio – 3)
Verifica statica
Verifica a fatica (si vedano le slide precedenti)
23
! max
=
16
" d 3 PRk =
16
" d 3 PR
4c!1
4 c!1( )+
0.615
c
"
#$$
%
&''( !
amm =
! sn
#
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Costruzione di Macchine 2
Tabelle da UNI 8525 24
4
, 4 1 7 T
- - ` ̀ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` -̀ ` -̀ ` ` ` ` - - -
4
, 4 1 7 T
- - ` ,
` ` , ,
` ` , ,
` ` , , ,
` ` ,
` , , ,
` , ,
` ,
` ,
` - ` - ` , ,
` , ,
` ,
` , ,
` - - -
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Tabelle da UNI 8525 25
, 1 7
- -̀ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` -̀ - ` ` ` ` ` - - -
4
, 4 1 7
--`
` `
` `
` `
` `
`
`
`
`
` -` -`
`
`
`
` ---
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Costruzione di Macchine 2
Tabelle da UNI 8525 26
- - ` ̀ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` - -̀ ` ` ` ` ` - - -
--`
` `
` `
` `
` `
`
`
`
`
` -` -`
`
`
`
` ---