dr.-ing. rené marklein - eft i - ws 06/07 - lecture 10 / vorlesung 10 1 elektromagnetische...
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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /
Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
10th Lecture / 10. Vorlesung
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 2
ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode
eQ
Solution of Boundary Value Problems (BVP) / Lösung von Randwertproblemen (RWP)
Lord Kelvin 1848: Method of Images / Spiegelungsmethode
e 0
e ( )
PEC / IEL
R
eQ
e 0
e ( )
PEC / IEL
R
e ( )
PEC / IEL
ReQ
e 0
e ( )
PEC / IEL
R
ee 0
Linienladung parallelvor geerdetem Zylinder
Punktladung vor geerdeter Kugel
Punktladung vor geerdeter Ebene
Punktladung vor geerdeter Ecke
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 3
ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode
Medium
nB(oundary)
-Ebene bei 0
Plane at 0
xy zS
xy z
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel
( ) 0,
( )
S
R
R R
n×E R 0
z
y
x
eQ
B e: ( ) 0
( )
S
R R
n×E R 0B e: ( ) 0
( )
S
R R
n×E R 0
e
e
known / bekannt!
,
Q
E unknown / unbekannt!
R
e e( ) ( )Q R R R e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R
0z
Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)
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B e: ( ) 0
( )
S
R R
n×E R 0
Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
B e: ( ) 0
( )
S
R R
n×E R 0
ee
0
1 1( )
4
Q
RR R R R
e
e 0
1 10
( ) 4
0 0
Qz
z
R R R R R
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Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
B e: ( ) 0
( )
S
R R
n×E R 0
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel
( ) 0,
( )
S
R
R R
n×E R 0
z
y
x
eQ
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel
( ) 0,
( )
S
R
R R
n×E R 0
z
y
x
eQ
eQ
R R
R
Problem / Problem: Solution / Lösung:
Image Charge /
Spiegelladung
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ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel
( ) 0,
( )
S
R
R R
n×E R 0
z
y
x
eQ
eQ
R
R
Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der
Spiegelungsmethode
Image Charge /
Spiegelladung
e
e 0
1 10
( ) 4
0 0
Qz
z
R R R R R
e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R
0 0 with
mit z zz z R e R R e
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Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e
e 0
1 10
( ) 4
0 0
Qz
z
R R R R R
e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R0 0
with
mit z zz z R e R R e
e
e3 3
0
0
e3 3
( ) ( )
04
0 0
( ) ( )
04
0 0
Qz
z
Qz
z
E R R
R R R R
R R R R
D R E R
R R R R
R R R R
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Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Medium
nB(oundary)S
e ( )
,
x yx y
x y
R
R e e
z
y y –– –– – ––
PEC / IEL
Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)
Field Lines of E /
Feldlinien von E
Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode
muss man die folgende Integralgleichung für die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen
2e ee
00
( )1( ) d 0
4z
Q
R
RR R
R R R R
Unknown / Unbekannt
x
x
e 0
f(
or
f r0
ü)
z R
+eQ
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Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
B
known
bekan( )
ntS R
D R
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
z
y
x
–– –– – ––
+
PEC / IEL
Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)
Field Lines of E /
Feldlinien von E
If D is known from the Method of Images / Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist
B
B
e
e3 3
e3 3
0
( ) ( )
04
4
for
für
S
S
z
z
Qz
Q
R
R
R n D R
R R R Rn
R R R R
R R R Re
R R R R
ηe(R) is Defined by the Normal Component of D / ηe(R) ist definiert über die Normalkomponente
von D
!
eQ
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 10
Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Be
e3 3
0
e 0 03 / 2 3 / 22 22 2 2 2
0 00
e 0 03 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
0 0
e 0
2 2 20
( ) ( )
4
4
4
2
S
z z
z
z
Q
Q z z z z
x y z z x y z z
Q z z
x y z x y z
Q z
x y z
RR n D R
e R R e R R
R R R R
3 / 2
e 03 / 22 2
02
Q z
r z
B
e 0e 3 / 22 2
0
( ) ( )2S
Q z
r z
RR n D R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 11
ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode
Medium
nB(oundary)S
e ( )
,
x yx y
x y
R
R e e
z
y y
–– –– – ––
PEC / IEL
Induced Electrostatic Surface Charge Density /
Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)
Field Lines of E /
Feldlinien von E
x
x +eQ
B
e 0e 3 / 22 2
0
( ) ( )2S
Q z
r z
RR n D R
100 Hz
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Method of Images / Spiegelungsmethode
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Be
e 03 / 22 2
0
( ) ( )
2
S
Q z
r z
RR n D R
Total Electric Charge at the xy Plane at z=0 / Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0
2tot e 0e 3 / 22 2
0 0 0
2e 0
3 / 22 20 00
2
e 0 3 / 22 20 0
e 0 2 2 00
0
e
d d2
d d2
d
1 1
r
r
r
Q zQ r r
r z
Q zr r
r z
rQ z r
r z
Q zzr z
Q
3 / 2 2 22 2
1xdx
x ax a
tote eQ Q
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 13
ES Fields – Method of Images – Applications / ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen
Earth / Erde
Singular Point / Singulärer Punkt
Ionosphere / Ionosphäre
Vertical Stream / Vertikalstrom
Dipole Layer / Dipolschicht
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ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables – Example / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen –
Beispiel
2 2
e2 2( , ) 0x y
x y
x
y e 10 V
e 0 V e 0 V
e 0 V
Separation of Variables / Separation der Variablen!
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2 2 2
e2 2 2( , , ) 0x y z
x y z
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
2 2
e2 2( , ) 0x y
x y
3-D / 3D
2-D / 2D
2 2
e e2 2( , ) ( , ) 0x y x y
x y
Elliptic Partial Differential Equation / Elliptische partielle Differentialgleichunge ( , , ) 0x y z
Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten
Function of Three Variables / Funktion von drei Variablen
Function of Two Variables / Funktion von zwei Variablen
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ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
2 2
e e2 2( , ) ( , ) 0x y x y
x y
e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y
Solution Strategy:
Reduce the Partial Differential Equation (PDE) to an Ordinary Differential Equation (ODE) and Find
a Solution of the PDE by Solving the ODE
Lösungsstrategie:
Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine gewöhnliche (ordinäre)
Differentialgleichung (GDG) und finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG
Ansatz of Separation / Separationsansatz
Function of two Variables: x and y /Funktion von zwei Variablen: x und y Function of x only /
Nur eine Funktion von x
Function of y only /Nur eine Funktion von y
Product of two Functions /Produkt aus zwei Funktionen
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ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
2 2
e e2 2( , ) ( , ) 0x y x y
x y
e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y Ansatz of Separation / Separationsansatz
2 2 2 2
e e2 2 2 2
2 2
2 2
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d( ) ( ) ( ) ( )
d d
x y x y X x Y y X x Y yx y x y
Y y X x X x Y yx y
Inserted in the Above Laplace Equation Yields / Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt
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ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
2 2 2 2
e e2 2 2 2
d d( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
d dx y x y Y y X x X x Y y
x y x y
2 2 2 2
2 2 2 2
1 d d 1 d 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )d d d dY y X x X x Y y X x Y y
X x Y y X x Y yx y x y
2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2
Function of Function ofFunktion von Funktion v
/ / o
n
0
1 d 1 d( ) ( ) 0
( ) ( )d d
1 d 1 d( ) ( )
( ) ( )d d
x yx y
X x Y yX x Y yx y
X x Y yX x Y yx y
2 2 0 Separation Condition / Separationsbedingung
1
( ) ( )X x Y y
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ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
2 2 2k
Separation Condition / Separationsbedingung
We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG
22
2
22
2
d( ) ( )
d
d( ) ( )
d
X x k X xx
Y y k Y yy
With / Mit
2 2 0
Solutions of these Equations are / Lösungen dieser Gleichungen sind
or /( ) cos( ) sin( )
oder
or /( ) cosh( ) sinh( )
oder
X x kx kx
Y y ky ky
For k = 0 these Solutions Degenerate to / Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu
or /( ) const.
oder
or /( ) const.
oder
X x x
Y y y
22
2
22
2
d( ) ( )
d
d( ) ( )
d
X x X xx
Y y Y yy
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ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG
22
2
22
2
d( ) ( )
d
d( ) ( )
d
X x k X xx
Y y k Y yy
2 2
2 2
2
( )
( ) cos( )
d d( ) cos( )
d dd
sin( )d
cos( )
X x
X x kx
X x kxx x
k kxx
k kx
2 2
2 2
2
( )
( ) cosh( )
d d( ) cosh( )
d d
d sinh( )
d
cosh( )
Y y
Y y ky
Y y kyy y
k kyy
k y
dcos( ) sin( )
dd
sin( ) cos( )d
kx k kxx
kx k kxx
22
2
22
2
dcos( ) cos( )
d
dsin( ) sin( )
d
kx k kxx
kx k kxx
dcosh( ) sinh( )
dd
sinh( ) cosh( )d
kx k kxx
kx k kxx
22
2
22
2
dcosh( ) cosh( )
d
dsinh( ) sinh( )
d
kx k kxx
kx k kxx
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 21
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
2 20 0 0 ( )
const. cos( ) cosh( ) cosh( ) cos( )
cos( ) sinh( ) cosh( ) sin( )
sin( ) cosh( ) sinh( ) cos( )
sin( ) sinh( ) sinh( ) sin( )
cos( ) e e cos( )
cos( ) e e cos(
ky k x
ky k x
k k k k jk
kx ky k x k y
y kx ky k x k y
x kx ky k x k y
xy kx ky k x k y
kx k y
kx
)
sin( ) e e sin( )
sin( ) e e sin( )
ky k x
ky k x
k y
kx k y
kx k y
Solutions of the 2-D Laplace Equation in the Cartesian Coordinate System / Lösungen der 2D-Laplace-Gleichung im Kartesischen Koordinatensystem
e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 22
ES Fields – Separation of Variables / ES Felder – Separation der Variablen (...)
e ( , ) ( ) ( ) cos( )cosh( )x y X x Y y kx ky
e ( , ) 0x y
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 23
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e ( , ) 0x y
e ( , ) ( ) ( ) cos( )cosh( )x y X x Y y kx ky
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 24
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e ( , ) ( ) ( ) sin( )sinh( )x y X x Y y kx ky
e ( , ) 0x y
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 25
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e ( , ) 0x y
e ( , ) ( ) ( ) sin( )sinh( )x y X x Y y kx ky
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 26
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e ( , ) 0x y
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 27
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e ( , ) 0x y
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 28
ES Fields – Separation of Variables – Superposition of Modes / ES Felder – Separation der Variablen – Superposition von
Moden (...)
For Example, Consider the Solution / Betrachte beispielsweise die Lösung
e e 0( , ) sin( ) sinh( )x y k x k y
This Functions is Zero for / Diese Funktion ist gleich null für
Superposition of Modes to Ensure Boundary Conditions /Superposition von Moden zur Erfüllung von Randbedingungen:
Each solution of the Laplace equation – eigen solution, mode – obtained by the separation of variables displays lines (surfaces) of vanishing potential. At these lines (surfaces)
we could place a Dirichlet boundary with Φe(x,y) = 0 V /
Jede Lösung der Laplace-Gleichung – Eigenlösung, Mode –, die man über die Methode der Separation bestimmt, weist Linien (Flächen) mit dem Null-Potential auf.
Auf diesen Linien (Flächen) kann man eine Dirichlet-Rand mit Φe(x,y) = 0 V platzieren.
e
because /0 sinh( ) sinh(0) 0
weil( , ) 0
because /,... 1,0,1,... sin( ) sin 0
weil
y ky
x yn
x n kx nk
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 29
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
2 2
e2 2
0( , ) 0
0
x ax y
y bx y
x
ye 0U
e 0 V e 0 V
e 0 V
b
a
then it follows / dann folgt
e e 0( , ) sin sinhn n
x y x ya a
We Set / Wir setzen:
nk
a
e e 0( , ) sin( ) sinh( )x y k x k y
e
0
( , ) 0 at / bei
0
x
x y x a
y
e 0 at / bei :U y b
e e 0 0( , ) sin sinhn n
x y b x b Ua a
but / aber
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 30
ES Fields – Separation of Variables – Superposition of Modes / ES Felder – Separation der Variablen – Superposition von
Moden (...)
e1
( , ) sin sinhnn
n nx y A x y
a a
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 31
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
2 2
e2 2
0( , ) 0
0
x ax y
y bx y
x
ye 0U
e 0 V e 0 V
e 0 V
?!
e1
( , ) sin sinhnn
n nx y A x y
a a
nA
Adjust die Coefficients An, n = 1,2,…,∞ in Order to Ensure the
Inhomogeneous Dirichlet Boundary Condition Φe(x,b) = U0 at the Top Boundary. /
Die Koeffizienten An, n = 1,2,…,∞ sind so zu bestimmen, dass die inhomogene
Dirichlet-Randbedingung Φe(x,b) = U0 am oberen Rand erfüllt wird.
b
a
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 32
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
1. Determine / Bestimme
e1
( , ) sin sinhnn
n nx y A x y
a a
e ( , )y b
x y
e1
( , ) sin sinhnn
n nx y b A x b
a a
2. Multiply Both Sides with / Multipliziere beide Seiten mit sin
mx
a
e10 0
1 0
( , )sin d sin sinh sin d
sinh sin sin d
a a
nnx x
a
nn x
m n n mx b x x A x b x x
a a a a
n n mA b x x x
a a a
Adjust die Coefficients An, n = 1,2,…,∞ in Order to Ensure the
Inhomogeneous Dirichlet Boundary Condition Φe(x,b) = U0 at the Top Boundary. /
Die Koeffizienten An, n = 1,2,…,∞ sind so zu bestimmen, dass die inhomogene
Dirichlet-Randbedingung Φe(x,b) = U0 am oberen Rand erfüllt wird.
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 33
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
3. It Follows for m = n /Es folgt für m = n
0
sin sin d 20
2
a
x
nm
an mn m
x x xa a
n m
a
e10 0
2
( , )sin d sinh sin sin d
nm
a a
nnx x
a
m n n mx b x x A b x x x
a a a a
1
0nmn m
n m
Kronecker Delta /Kronecker-Delta
e0
2( , )sin d
sinh
a
nx
nA x b x x
n aa b
a
Orthogonal “Eigen”functions /Orthogonale „Eigen“funktionen
e0
( , )sin d sinh2
sinh2
a
nn mx
n
n a nx b x x A b
a a
a nA b
a
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 34
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e0
2( , )sin d
sinh
a
nx
nA x b x x
n aa b
a
e 0( , )x b U
00
0
0
2sin d
sinh
2sin d
sinh
a
nx
a
x
nA U x x
n aa b
a
U nx x
n aa b
a
00
1
sin d cos
cos cos(0)
1 cos
aa
xx
n a nx x x
a n a
a na
n a
an
n
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 35
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
0
0
0
0
2sin d
sinh
21 cos
sinh
21 cos
sinh
a
nx
U nA x x
n aa b
a
U an
n na b
a
Un
nn b
a
1 1,3,5,...
cos1 2, 4,6
nn
n
0
sin d 1 cosa
x
n ax x n
a n
04 11,3,5,...
sinh
0 2,4,6,...
n
Un
nnbA
a
n
2 1,3,5,...1 cos
0 2, 4,6
nn
n
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 36
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
e1
( , ) sin sinhnn
n nx y A x y
a a
04 11,3,5,...
sinh
0 2,4,6,...
n
Un
nnbA
a
n
0e
1odd /
ungerade
sinh4 1
( , ) sinsinhn
ny
U nax y x
nn ab
a
Solution / Lösung
Infinite Series / Unendliche Reihe
Complete Solution / Komplette Lösung
with the Coefficients / mit den Koeffizienten
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 37
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
nth Mode / n-ter Mode nth Mode / n-ter ModeModes /Moden
Modes /Moden
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 38
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
nth Mode / n-ter Mode nth Mode / n-ter ModeModes /Moden
Modes /Moden
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 39
ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)
Modes /Moden
31
1n Modes /
Moden
31
1n
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 40
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
0y
0y
y
http://web.mit.edu/6.013_book/www/Videos/5.5.1.rm ( )u t
e 0Q
R ( )Ru t( )i t( ) ( )Ru t u t
Movie / Film:
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 41
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
0m
1odd /
ungerade
8 1
sinhn
wC
nn b
a
e
0
0 0 0
0 e00
( , )
( , )
( , ) d
( , ) d
A V
A V
ayx y
a
xy
Q t
t
w E x y x
w x y xy
D R dS
E R dS
Induced Charge on the Output Electrode by Gauss' Integral Law with an Integration Surface Enclosing the Electrode. Width of the Electrode in the z Direction: w /
x
y
z
e m ( )Q C u t
Ladung ist negativauf der unteren Platte
( )u t
e 0Q
R ( )Ru t( )i t( ) ( )Ru t u t
( ) ( )Ru t u t
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 42
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
0e
10odd /
ungerade 0
0
1odd /
ungerade 0
0
sinh4 1
( , ) sinsinh
dsinh
d4 1sin
sinh
cosh4 1
sinh
ny
y
n
y
ny
U nax y x
ny y n ab
a
ny
y aU nx
nn ab
a
n ny
U a ann
ba
1odd /
ungerade 0
1
0 0
1 1odd / odd /
ungerade ungerade
sin
cosh 04 41 1sin sin
sinh sinh
n
y
n n
nx
a
nU Un n na x x
n nn a n a ab b
a a
dsinh cosh
d
n n ny y
y a a a
e 0 e00
( , ) da
xy
Q w x y xy
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 43
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
e10
odd /ungerade
4 ( ) 1( , ) sin
sinhny
u t nx y x
ny a ab
a
e 0 e0
0
( , ) da
xy
Q w x y xy
00
0
1
2
sin d cos
cos ( 1)
cos 1
2
aa
xx
a
x
n a nx x x
a n a
a na
n a
an
n
a
n
e 0 01
odd /ungerade
0 01
odd /ungerade
01
odd /ungerade
0
4 ( ) 1sin d
sinh
4 ( ) 1sin d
sinh
4 ( ) 1 2
sinh
8 ( ) 1
sinh
a
xn
a
xn
n
u t nQ w x x
na ab
a
u t nw x x
na ab
a
u t aw
na nb
a
u tw
nn b
a
m
1odd /
ungerade
01
odd /ungerade
8 1( )
sinh
n
n
C
w u tn
n ba
0e m m
1odd /
ungerade
8 1( ),
sinhn
wQ C u t C
nn b
a
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 44
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
0e m m
1odd /
ungerade
8 1( ),
sinhn
wQ C u t C
nn b
a
e m( ) d d
( ) ( ) ( )d d
Ru ti t Q t C u t
R t t
m 0
m 0
( ) cos( )
cos( ); R
R
U
R R
u t RC U t
U t U RC U
md
( ) ( ) ( )dRu t R i t R C u t
t
0( ) sin( )u t U t
m
m 0
m 0
d( ) ( )
dd
sin( )d
cos( )
Ru t R C u tt
R C U tt
R C U t
Frequency Dependent! /Frequenzabhängig!
m 0
m 0
( ) cos( )
cos( ); R
R
U
R R
u t RC U t
U t U RC U
Signal Generator /Signalgenerator
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R Ru t u t u t u t u t
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 45
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
1odd /
ungerade
1
2 sinh
R
n
UbU
n na
elim sinh
2
bn
a
b
a
bn
a
eb
R aU
U
1 1 1odd / odd / odd /
ungerade ungerade ungerade
1 1 1e
ee2
2
bn
R abb
nnn n naa
U
U nn
n
nur der 1. Term bleibt übrig
ln ln e
b
aRU b
U a
m 0
00
1odd /
ungerade
00
1odd /
ungerade
00
1odd /
ungerade
8 1 2
2sinh
8 12
2 sinh
16 1
2 sinh
R
n
n
nU
U RC U
wR U
nn b
a
wR U
nn b
a
wR U
nn b
a
limb
a
limb
a Untersuchen für
limb
a d.h., für lineare Abhängigkeit
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 46
ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“
eb
R aU
U
ln ln e
b
aRU b
U a
limb
a d.h., für lineare Abhängigkeit
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 47
End of the 10th Lecture /Ende der 10. Vorlesung