Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu

Task No.6 Response to Harmonic Loading

Response to Harmonic Loading(Respons Pembebanan Harmonis)PROBLEM :4-2. Consider the basic system of Fig. 3-1 with the following properties: m = 2 k s2/in (=875.63 kN.s2/m = 89286.22 kg) and k = 20 k/in (=3502.52 kN/m). If this system is subjected to resonant harmonic loading starting from at rest conditions, determine the value of the response ratio R(t) after four cycles assuming:a. c = 0 [use Eq. (4-31)]b. c = 0.5 k s/in [use Eq. (4-30)]

c. c = 2.0 k s/in [use Eq. (4-30)]

Gambar 3-1. Sistem SDOF dasar (osilator tanpa redaman)

Gambar 1. Sistem yang akan dianalisis menurut soal 3-5.

SOLUTION :

Langkah : Merumuskan persamaan gerakan sistem massa-pegas tanpa redaman.

X

Y

Gambar 2. Diagram benda bebas sistem

Massa-Pegas (osilator tanpa redaman).Persamaan gerakan dapat dipecahkan secara langsung dengan operator persamaan diferensial atau dipecahkan melalui Transformasi Laplace. Kita akan menggunakan persamaan diferensial sebab model matematik sistem massa-pegas tanpa redaman yang tersebut di atas bersifat homogen [suku kanan, p(t)=0] dan solusi umum persamaan (=solusi komplet) telah diketahui.Kesetimbangan gaya arah Sumbu-Y,

Memodifikasi bentuk persamaan menjadi bentuk persamaan pembantu (auxiliary equation) yaitu: , dengan tujuan menemukan karakteristik akar persamaan.

diperoleh 2 akar kompleks yang berbedaLangkah selanjutnya adalah penggunaan non-operator teknik dari Leonhard Euler, yaitu pemecahan fungsi komplementer (persamaan homogen) dalam bentuk eksponen e=2.71828 Solusi umum persamaan karakteristik dengan akar imajiner dan berbeda,

Persamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan Euler sbb,

sehingga,

Persamaan dapat disederhanakan lagi melalui superposisi getaran harmonik (Gambar 3)

Gambar 3. Grafik superposisi fungsi untuk getaran osilator harmonis (SHM)

Arti Fisika dari Model Matematik Sistem

Persamaan-persamaan Dasar dan Energi Getaran

Energi potensial getaran (Ep) atau energi potensial pegas ditulis berdasar Hukum Newton-II:

F = may

F = m(-2 y)

F = -m2 y ( : m2 konstan = k

F = -ky

Skema dibawah ini digunakan untuk menggambarkan prosedur menghitung kecepatan maksimum benda bergetar, dimana prinsipnya adalah: Em pada suatu saat = Ep maksimum

Em=Ep= kA2 (Amplitudo Em= ky2 + mv2 Em=Ek= mv2 Maksimum) (Amplitudo y1) (Amplitudo Minimum)

Selesaikan persamaan untuk menentukan v2 dan 2:

mv2 = kA2 kx2

dimana:

= kecepatan sudut (rad/s)

k= konstanta pegas atau konstanta kekakuan (kNm-1)

m= massa benda (kg)

Persamaan gerakan menjadi,

dimana:

A, B = konstanta-konstanta yang harus ditentukan dari

kondisi awal (initial condition) dari sistemPemecahan konstanta A dan B diperoleh melalui penyelesaian problem syarat batas atau syarat awal (boundary/initial conditions). Diketahui terdapat 2 syarat awal (initial conditions), sbb:

Substitusi kondisi awal (1),

Substitusi kondisi awal (2),

X v(t) = e-t t=1.20 s v(0)=45.72 mm v(1.2)=45.72 mm v(2.4)= mm t0 t1 t2 Y t=2.40 s

Gambar 2. Skema amplitudo dua puncak berturutan dari getaran harmonis sederhana

(SHM=simple harmonic motion) atau osilator massa-pegas tanpa redaman.Solusi lengkap persamaan gerakan sistem yang dipengaruhi oleh gaya pemaksa adalah, G1e + G2e+

apabila gaya pemaksa tidak diperhitungkan, F0 = 0 , maka persamaan gerakan menjadi getaran bebas teredam (damped free vibration), sbb,

v(t) = Aesin dt + Becos dt dimana:

A = amplitudo gerak, v(0) ( kondisi awal

B = kecepatan gerak, v(0) ( kondisi awal

= faktor redaman (damping value) dt = fase/sudut fase getaran

d = frekuensi natural sudut teredam

= =

Memasukkan kondisi awal, v(0) dan v(0) ke dalam persamaan, sehingga,

yang bila dinyatakan dalam bentuk vektor rotasi,

karena v(t) merupakan amplitudo maksimum, maka suku cos(d - ) = 1, sehingga,

yang merupakan persamaan gerakan sistem teredam dengan amplitudo berkurang secara logaritmik. Penurunan logaritmik adalah perbandingan amplitudo gerakan awal (v0) dan sesudahnya (v1),

disini diterapkan aproksimasi, yaitu sehubungan faktor redaman bernilai 0.5 20%, maka dapat diabaikan (untuk struktur dalam aplikasi rekayasa, angka redaman rata-rata =0.05, menghasilkan kesalahan relatif r =0.25%=0.0025) sehingga,

atau

Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti, evaluasi faktor peredaman perlu mengambil data amplitudo sebanyak m siklus peredaman, sehingga:

Langkah : Menentukan kekakuan lateral sistem (K).Kekakuan lateral sistem K bila tanpa memperhitungkan redaman (c),

dimana:

Langkah : Menentukan faktor/rasio redaman ().Penurunan logaritmik,

sehingga, faktor redaman,

Langkah : Menentukan konstanta redaman (c).Konstanta redaman kritis,

EMBED Equation.3

sehingga, konstanta redaman,

Langkah : Koreksi perhitungan untuk memperhitungkan peredaman (c).Frekuensi alami teredam,

Kekakuan lateral sistem dengan memperhitungkan efek peredaman,

dengan demikian kesalahan relatif r yang terjadi bila kekakuan lateral tidak memperhitungkan redaman adalah,

Solusi Diperoleh parameter-parameter dinamik sbb:a. Kekakuan pegas lateral, k = 85507.303

b. Rasio peredaman, = 0.05275c. Kontanta redaman, c = 921.44

(+)

perpindahan

v

k

p(t)

m

Komponen Utama Sistem Dinamik Sifat-sifat fisik yang penting dari setiap sistem struktur elastik linear yang dikenakan pada beban dinamik meliputi massa, sifat elastik (fleksibilitas dan rigiditas/kekakuan), mekanisme kehilangan energi atau peredaman, dan sumber luar eksitasi atau pembebanannya. Dalam model yang paling sederhana dari suatu system SDOF, masing-masing sifat tersebut dianggap terpusat pada elemen fisik tunggal. Massa keseluruhan m dari system ini dicakup dalam balok tegar. Rol-rol membatasi balok ini terkendala sehingga ia hanya dapat bergerak dalam translasi sederhana; jadi koordinat perpindahan tunggal y secara lengkap akan menentukan posisinya. Tahanan elastik terhadap perpindahan diberikan oleh pegas tanpa bobot dengan kekakuan k.

W=mg

k.v(t)

m.v(t)

N

k

k

k

m

m

m

y=A

y=A

y=A

y=0

y=-A

y=0

y=-A

y=-A

y=0

Gambar 4.c. Titik Kesetimbangan

Gambar 4.b. Simpangan y=y1

Gambar 4.a. Simpangan Maksimum

EMBED Mathcad

x

A

y=(A2-x2)1/2

=

mv2maks = kA2

v2maks = (k/m)A2

v2maks ( v0

(pada simpangan A=0)

toleransi kesalahan relatif akibat pembulatan, r

Konversi Satuan USC ke SI:

1 kip (1000 lb)= 4.4482 kN

1 inci= 0.0254 meter

Civil Structure Eng. Postgraduate Prog. Hasanuddin Univ 7 STRUCTURAL DYNAMICS Yoppy Soleman, 2005

_1175557424.unknown

_1175640496.unknown

_1175648077.unknown

_1175649046.unknown

_1177254220.unknown

_1177318073.unknown

_1177357802.unknown

_1175649408.unknown

_1175649566.unknown

_1175649135.unknown

_1175648607.unknown

_1175648744.unknown

_1175648362.unknown

_1175642279.unknown

_1175644509.unknown

_1175644605.unknown

_1175643603.unknown

_1175640814.unknown

_1175641942.unknown

_1175640586.unknown

_1175593631.unknown

_1175634078.unknown

_1175638562.unknown

_1175640380.unknown

_1175638508.unknown

_1175633788.unknown

_1175633907.unknown

_1175594220.unknown

_1175632382.unknown

_1175594382.unknown

_1175593936.unknown

_1175558191.unknown

_1175593139.unknown

_1175593443.unknown

_1175558441.unknown

_1175557593.unknown

_1175557676.unknown

_1175557804.unknown

_1175557596.unknown

_1175557478.unknown

_1175540940.unknown

_1175553388.unknown

_1175556144.unknown

_1175557408.unknown

_1175556454.unknown

_1175555041.unknown

_1175541411.unknown

_1175553101.unknown

_1175551580.unknown

_1175541366.unknown

_1175533639.unknown

_1175538286.unknown

_1175539105.unknown

_1175540929.unknown

_1175539591.unknown

_1175539034.unknown

_1175535640.unknown

_1175538274.unknown

_1168967090.unknown

_1169074653.unknown

_1169083601.unknown

_1169074785.unknown

_1169074606.unknown

_1168985460.unknown

_1168966954.unknown

_1168956468.bin