量子力学 iihiggs.phys.kyushu-u.ac.jp/inoue/qmii-1.pdf4 第1章量子力学の体系...

量子力学 II

井上研三

平成 23 年 6 月 13 日

i

目次

第 1章量子力学の体系 1

1.1 波動関数と状態ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 エルミート演算子と基底ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 座標演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 表示の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 量子力学の運動法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 シュレディンガー描像とハイゼンベルグ描像 . . . . . . . . . . . . . . . 17

第 2章調和振動子 21

2.1 調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 昇降演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 ハミルトニアンの固有値と固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 座標表示の固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 ハイゼンベルグ描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

第 3章角運動量 29

3.1 角運動量の代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 角運動量の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 軌道角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 スピン角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 2個のスピン 12の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 一般の角運動量の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7 ウィグナー ·エッカート (Wigner-Eckart)の定理 . . . . . . . . . . . . . 40

第 4章摂動論 43

4.1 時間によらない摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 摂動展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 縮退のない場合の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 縮退がある場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 時間による摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6 スピン磁気共鳴 (s = 12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7 相互作用描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ii

第 5章散乱理論 55

5.1 散乱断面積と散乱振幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 リップマン ·シュヴィンガー方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3 ボルン近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 部分波展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 散乱振幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6 剛体球による散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

第 6章量子力学における近似法 67

6.1 準古典近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 変分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 切断近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

付録A 公式集 77

1

第1章量子力学の体系

1.1 波動関数と状態ベクトル

量子力学的状態

質点の量子力学（座標 x, 運動量 p）

• 波動関数 ψ(x) : 座標 xの複素関数

qψ(x)

x

|ψ(x)|2 ∝ [粒子が xに存在する確率密度]∫d3x ψ∗(x)ψ(x) < ∞ : 2乗可積分な関数

＊通常∫

d3x ψ∗ψ = 1 と規格化 : 全確率は１

• 物理量 F (x,p)の期待値

〈F 〉 =

∫d3x ψ∗(x)F (x, p)ψ(x) , p ≡ −i~∇, ∇ ≡ ∂

∂x

F : 演算子

xψ(x) ⇒ xψ(x) : 座標演算子

pψ(x) ⇒ −i~∇ψ(x) : 運動量演算子

• 正準交換関係 [A,B] ≡ AB − BA

[x, px] = [y, py] = [z, pz] = i~ , 他の交換関係は 0

まとめて [xi, pj] = i~δij (i, j = x, y, z)

重ね合わせの原理とベクトル空間

• ２つの異なる状態 ψ1(x), ψ2(x) が実現可能なとき

重ね合わせの状態

ψ(x) = c1ψ1(x) + c2ψ2(x) c1, c2 : 複素数

も実現される。

2 第 1章量子力学の体系

• 一般に重ね合わせの原理が成り立つ空間は（複素）ベクトル空間と呼ばれる。

(u1

u2

),

u1

u2

u3

, · · · ,

u1

u2

··

un

, · · · ui : 複素数

↑2次元

↑3次元

↑n次元

• ψ(x)は無限次元ベクトル空間のベクトル

ψ ∼=

···

ψ(x)

··

ψ(x′)

··

ψ(x′′)

···

← x′

← x

← x′′

-x

ψ(x)

x′

ψ(x′)

x′′

ψ(x′′)

x

ψというベクトルの x番目の成分が ψ(x)

ベクトルのノルム

u =

(u1

u2

)‖u‖2 ≡ u∗

1u1 + u∗2u2

‖u‖ : uのノルム， ‖u‖2 ≥ 0 正定値

• 一般に

u =

u1

u2

··

un

たてベクトル

u† = (u∗1, u

∗2, · · · , u∗

n) 横ベクトル

1.1. 波動関数と状態ベクトル 3

を定義すると

‖u‖2 = u†u ≡ u∗1u1 + u∗

2u2 + · · · + u∗nun ≥ 0

‖ψ‖2 ≡∫

d3x ψ∗(x)ψ(x) ∼∑xi

ψ∗(xi)ψ(xi)

ベクトルのスカラー積

u =

u1

u2

··

un

, v =

v1

v2

··

vn

v†u = v∗

1u1 + v∗2u2 + · · · + v∗

nun , u†v = (v†u)∗

• ベクトルの成分はベクトル空間の基底のとり方による。

Á

(1)

(2)

(1′)

(2′)

u

AAAAA

©©©©©©©©

θBBu1

u2

u′1

u′2

例えば２次元

(1)(2)系 u =

(u1

u2

)

(1′)(2′)系 u′ =

(u′

1

u′2

)=

(u1 cos θ + u2 sin θ

−u1 sin θ + u2 cos θ

)=

(cos θ sin θ

− sin θ cos θ

)(u1

u2

)≡ Uu U : 基底のとり方の変換にともなう変換行列

u′ = Uu U †U = UU † = 1

• ベクトルの成分は基底のとり方によるがスカラー積は基底のとり方によらない !

v†u

u′ = Uu

v′ = Uv

v′†u′ = v†U †Uu = v†u

•ベクトルのノルムも勿論基底のとり方によらない。


ブラケット記法成分で表わす前のベクトル

u ⇒ |u〉ケットベクトル

u† ⇒ 〈u| ブラベクトル

u†v ⇒ 〈u|v〉ブラケット：ただの複素数

c1u + c2v ⇒ c1|u〉 + c2|v〉

(c1u + c2v)† ⇒ c∗1〈u| + c∗2〈v|

〈u|v〉 = 〈v|u〉∗

〈u|u〉 ≡ ‖|u〉‖2 ≥ 0 : |u〉のノルム

〈u|v〉 = 0 のとき |u〉と |v〉は直交するという。

[例題] |αi〉 i = 1, · · · , n , 〈αi|αj〉 = δij のとき

|u〉 = u1|α1〉 + · · · + un|αn〉 ≡∑

i

|αi〉ui

|v〉 = v1|α1〉 + · · · + vn|αn〉 ≡∑

i

|αi〉vi

と定義すると

〈u|u〉 =∑

i

u∗i 〈αi|

∑j

|αj〉uj =∑

i

u∗i ui

〈v|v〉 =∑

i

v∗i vi

〈u|v〉 =∑

i

u∗i vi

1.2 エルミート演算子と基底ベクトル

ψ(x)

|ψ〉

いろんな状態：どのような状態か ?

⇓

物理量演算子を作用させて応答をみる。

1.2. エルミート演算子と基底ベクトル 5

• 物理量 F (x,p) : x, p やそれらの関数

F (x, p)ψ(x) ⇒ F (x, p)|ψ〉

状態ベクトル空間に作用する線形演算子

• F (c|u〉) = cF |u〉 c : 任意の複素数

• F (|u〉 + |v〉) = F |u〉 + F |v〉

• F |u〉 ≡ |w〉

行列で書くとF11 F12 F13 · ·F21 F22 · · ·F31 · · · ·· · · · ·· · · · ·

u1

u2

u3

··

=

F11u1 + F12u2 + F13u3 + · · ·F21u1 + F22u2 + · · ·F31u1 + · · ·· · ·· · ·

≡

w1

w2

w3

··

エルミート共役

F |u〉 ≡ |w〉

F

u1

u2

·

≡

w1

w2

·

ケットベクトル |w〉に対応するブラベクトル〈w|

(w∗1, w∗

2, · · · ) = (u∗1, u∗

2, · · · ) (F ∗)T

〈w| ≡ 〈u|F †

F † : Fのエルミート共役演算子

• 〈v|F |u〉 ≡ 〈v|w〉 = 〈w|v〉∗ ≡ 〈u|F †|v〉∗

即ち、任意の |u〉, |v〉について

〈u|F †|v〉 = 〈v|F |u〉∗ : † = ∗ × T ([ダガー] = [複素共役] × [転置])

[問題] (F †)† = F , (F G)† = G†F † を確かめよ。


エルミート演算子

演算子 F が

F † = F

を満たすとき、エルミート演算子と呼ぶ。

• 任意の |u〉, |v〉について

〈u|F |v〉 = 〈u|F †|v〉 = 〈v|F |u〉∗

特に

〈u|F |u〉 = 〈u|F |u〉∗ ：実数

エルミート演算子 F の期待値は実数

• 任意の演算子 A と A† の積はエルミート

A†A = (A†A)† : エルミート〈u|A†A|u〉 =∥∥∥A|u〉

∥∥∥2

≥ 0 期待値は正

エルミート演算子の固有値と固有ベクトル

F |f〉 = f |f〉

f : ただの数 : F の固有値

|f〉 : F の固有ベクトル

• 〈f |F |f〉 = f〈f |f〉が実数 ⇒ f = f ∗

エルミート演算子の固有値は実数

• f〈f | = 〈f |F † = 〈f |F

よって

F |f〉 = f |f〉

〈f |F = f〈f |

• 〈f ′|F |f〉 = f ′〈f ′|f〉 = f〈f ′|f〉

よって (f ′ − f)〈f ′|f〉 = 0


• 〈f ′|ψ〉 =∑

f〈f ′|f〉ψ(f) = ψ(f ′) (∵ 〈f ′|f〉 = δf ′f )

∴ ψ(f) = 〈f |ψ〉

完全性

|ψ〉 =∑

f

|f〉〈f |ψ〉(∫

df |f〉〈f |ψ〉)

∴∑

f

|f〉〈f | = 1 (単位演算子)

(∫df |f〉〈f | = 1

)

|f〉を基底ベクトルとする表示

|ψ〉 =∑

f

|f〉ψ(f)

ψ(f) = 〈f |ψ〉 : F -表示の波動関数

• 〈f |F |ψ〉 =∑

f ′〈f |F |f ′〉〈f ′|ψ〉 ≡∑

f ′ Fff ′〈f ′|ψ〉

Fff ′ ≡ 〈f |F |f ′〉 = f ′δff ′ F =

f1 0 0 ·0 f2 0 ·0 0 f3 ·· · · ·

Fを対角化する表示

• 〈f |ψ〉 : 状態 |ψ〉において物理量 F が確定値 f をとる確率振幅

〈F 〉 ≡ 〈ψ|F |ψ〉 =∑

f

〈ψ|F |f〉〈f |ψ〉

=∑

f

f〈ψ|f〉〈f |ψ〉

=∑

f

f |〈f |ψ〉|2

|〈f |ψ〉|2 : F が確定値 f をとる確率

〈F 〉 : 状態 |ψ〉におけるFの期待値


1.3 座標演算子

座標 x= (x, y, z)に対応した量子論的演算子

x ≡ (x, y, z) : 互いに可換なエルミート演算子

固有値 x= (x, y, z)は連続実数

xの固有ベクトル

x|x〉 = x|x〉

x|x〉 = x|x〉y|x〉 = y|x〉z|x〉 = z|x〉

|x〉 ≡ |x, y, z〉

〈x′|x〉 = δ(x′ − x)δ(y′ − y)δ(z′ − z) ≡ δ3(x′ − x)

|x〉 : 粒子が座標点 x に局在している状態

|x〉

x

完全性

∫d3x |x〉〈x| = 1 d3x ≡ dxdydz

|ψ〉 =

∫d3x |x〉〈x|ψ〉 ≡

∫d3x |x〉ψ(x)

ψ(x) = 〈x|ψ〉 : 座標表示 (x-表示)の波動関数

状態 |ψ〉において座標 x が確定値 x をとる確率振幅

•任意の状態 |ψ〉と |ψ′〉のスカラー積〈ψ′|ψ〉は

〈ψ′|ψ〉 =

∫d3x 〈ψ′|x〉〈x|ψ〉 =

∫d3x ψ′(x)∗ψ(x)

1.4. 表示の変換 11

1.4 表示の変換

F |f〉 = f |f〉 |ψ〉 =

∑f |f〉ψ(F )(f) F -表示

G|g〉 = g|g〉 |ψ〉 =∑

g |g〉ψ(G)(g) G-表示

ψ(F )(f) → ψ(G)(g)はどのような関係にあるか。

ψ(F )(f) = 〈f |ψ〉

ψ(G)(g) = 〈g|ψ〉 = 〈g|∑

f

|f〉〈f |ψ〉 =∑

f

〈g|f〉〈f |ψ〉

∴ ψ(G)(g) =∑

f

〈g|f〉ψ(F )(f)

G-表示 F -表示

ψ(G)(g) =∑

f

Ugfψ(F )(f) Ugf ≡ 〈g|f〉 : 変換行列

ユニタリー性〈g|f〉 = Ugf

〈f |g〉 = 〈g|f〉∗ = U∗gf = U †

fg∑g

U †f ′gUgf =

∑g

〈f ′|g〉〈g|f〉 = δf ′f

よって U †U = 1 単位行列同様に UU † = 1

U : ユニタリー行列

F 表示の取り替えは波動関数のユニタリー変換

行列の対角化

F -表示 F |f〉 = f |f〉で行列 G を行列要素

Gff ′ ≡ 〈f |G|f ′〉

で定義する。

行列 G をユニタリー変換で対角化

UGU † =

g1 0 0 ·0 g2 0 ·0 0 g3 ·· · · ·

∑f,f ′

UgfGff ′U †f ′g′ = gδgg′


することにより、G の固有値 g 及び固有ベクトルが

|g〉 =∑

f

|f〉U †fg

と求まる。

∵ G|g〉 =∑f,f ′

|f ′〉〈f ′|G|f〉U †fg

=∑f,f ′

|f ′〉Gf ′fU†fg

=∑f ′

|f ′〉(GU †)

f ′g

=∑f ′

|f ′〉(U †UGU †)

f ′g

=∑f ′,g′

|f ′〉U †f ′g′

(UGU †)

g′g

=∑f ′,g′

|f ′〉U †f ′,g′gδg′g

= g∑f ′

|f ′〉U †f ′g = g|g〉

[例題] ２準位系 F |fi〉 = fi|fi〉 (i = 1, 2) 〈fi|fj〉 = δij で、演算子 G を

G = a |f1〉〈f1| + |f2〉〈f2| + b |f1〉〈f2| + |f2〉〈f1|

と定義すると

Gij ≡ 〈fi|G|fj〉 =

(a b

b a

)である。行列 G はユニタリー行列

Ugi,fj=

(1√2

1√2

− 1√2

1√2

), U †

fi,gj=

(1√2

− 1√2

1√2

1√2

)によって

UGU † =1

2

(1 1

−1 1

)(a b

b a

)(1 −1

1 1

)=

(a + b 0

0 a − b

)と対角化される。よって G の固有値と固有ベクトルは

∴ g1 = a + b , |g1〉 =∑

i

|fi〉U †fig1

=1√2|f1〉 + |f2〉

g2 = a − b , |g2〉 =∑

i

|fi〉U †fig2

=1√2−|f1〉 + |f2〉

である。


• 規格化は

〈p′|p〉 =

∫d3x 〈p′|x〉〈x|p〉 (〈p|x〉 = 〈x|p〉∗)

=∫

d3x1

(2π~)3ei 1

~ (p − p′)·x

= δ(px − p′x)δ(py − p′y)δ(pz − p′z)

(∫ ∞

−∞dq eipq = 2πδ(p)

)≡ δ3(p − p′)

• 完全性∫

d3p |p〉〈p| = 1 d3p ≡ dpxdpydpz

• |p〉の |x〉による展開

|p〉 =∫

d3x |x〉〈x|p〉 =∫

d3x |x〉 1(2π~)3/2

ei 1~p·x

運動量表示の波動関数

〈p|ψ〉 =

∫d3x 〈p|x〉〈x|ψ〉

=

∫d3x

1

(2π~)3/2e−i 1

~ p·xψ(x)

即ち、p-表示の波動関数は x-表示の波動関数のフーリエ変換

F 運動量表示においては

〈p|p|ψ〉 = p〈p|ψ〉

〈p|x|ψ〉 = i~∂

∂p〈p|ψ〉

が成り立つ。

∵ 〈p|x|ψ〉 =

∫d3x 〈p|x|x〉〈x|ψ〉

=

∫d3x x〈p|x〉〈x|ψ〉

=

∫d3x x

1

(2π~)3/2e−i 1

~ p·x〈x|ψ〉 ∵ 〈p|x〉 = 〈x|p〉∗

=

∫d3x i~

∂

∂p

1

(2π~)3/2e−i 1

~ p·x〈x|ψ〉

= i~∂

∂p

∫d3x 〈p|x〉〈x|ψ〉

= i~∂

∂p〈p|ψ〉


• ハイゼンベルグの演算子 F (t) を

F (t) ≡ ei~ HtF e−

i~ Ht

と定義すると

〈F (t)〉 = 〈ψ(0)|F (t)|ψ(0)〉 : ハイゼンベルグ描像

物理量 F (t) が t とともに変化

特質

FG(t) ≡ ei~ HtF Ge−

i~ Ht = e

i~ HtF e−

i~ Hte

i~ HtGe−

i~ Ht

= F (t)G(t)

• 任意のシュレディンガー演算子 F (x, p) に対応するハイゼンベルグ演算子は

F (t) ≡ ei~ HtF (x, p)e−

i~ Ht = F (x(t), p(t))

特に注目

• [xi(t), pj(t)] = i~ δij

• H(t) = ei~ HtHe−

i~ Ht = H

即ち H(x(t), p(t)) = H(x, p)

ハイゼンベルグの運動方程式

d

dtF (t) =

i

~He

i~ HtF e−

i~ Ht + e

i~ HtF e−

i~ Ht−i

~H

= − i

~[F (t), H]

∴ d

dtF (t) =

1

i~[F (t), H] : F についてのハイゼンベルグの運動方程式

1.7. シュレディンガー描像とハイゼンベルグ描像 19

質点系の例

H =1

2mp2 + V (x)

[xi, H

]=

[xi,

12m

p2i

]= i~

mpi

[pi, H

]= [pi, V (x)] = −i~ ∂V

∂xi(x)

演習問題 (I-5-2)を参照

これらがハイゼンベルグ演算子についても成り立つので運動方程式は

d

dtxi(t) =

1

i~

[xi(t), H

]=

1

mpi(t)

d

dtpi(t) =

1

i~

[pi(t), H

]= −∂V

∂xi

(x(t))

古典力学と同形！

∗ 期待値についての等式：エーレンフェストの定理

保存則

ハミルトニアン H と可換な演算子[F (t), H

]= 0 ⇒ d

dtF (t) = 0

∴ d

dt〈F (t)〉 = 0

F H と可換な物理量 F は保存量であり、その期待値はいかなる状態についても時刻

t によらない。

F H は H と可換だから保存量 ⇔ エネルギーの保存則

21

第2章調和振動子

2.1 調和振動子

H =1

2mp2 +

m

2ω2x2

m : 質量ω : 角振動数

[x, p] = i~ (k = mω2 : ばね定数)

まず

a ≡ 1√2~

(√mω x + i

1√mω

p

)a† ≡ 1√

2~

(√mω x − i

1√mω

p

)(x, p はエルミート)

を定義する。

x =1

2

√2~mω

(a + a†) , p =

1

2i

√2~mω

(a − a†)

によりハミルトニアンは

H =1

2m· −1

4· 2~mω

(a − a†)2

+m

2ω2 · 1

4· 2~mω

(a + a†)2

=~ω

4

(−

(a − a†)2

+(a + a†)2

)=

~ω

2

(a†a + aa†)

又、交換関係は

[a, a†] =1

2~(−i[x, p] + i[p, x]) = 1

言うまでもなく

[a, a] = 0, [a†, a†] = 0

22 第 2章調和振動子

2.2 昇降演算子

• ハミルトニアンは H = ~ω(a†a + 12)

[H, a] = ~ω[a†a, a] = ~ω([a†, a]a + a†[a, a]

)= −~ωa

[H, a†] = ~ω[a†a, a†] = ~ω([a†, a†]a + a†[a, a†]

)= ~ωa

[H, a ] = −~ωa

[H, a† ] = ~ωa†

a, a† : 昇降演算子（生成 ·消滅演算子）

• 今 |ψ(E)〉が H の固有状態で固有値が E とする。

H|ψ(E)〉 = E|ψ(E)〉

Ha†|ψ(E)〉 =(

[H, a† ] + a†H)

~ωa† E

|ψ(E)〉 = (E + ~ω)a†|ψ(E)〉

Ha|ψ(E)〉 =(

[H, a ] + aH)

−~ωa E

|ψ(E)〉 = (E − ~ω)a|ψ(E)〉

E − 2~ω

E − ~ω

E

E + ~ω

E + 2~ω

·

·

·

·

aa|ψ(E)〉

a|ψ(E)〉

|ψ(E)〉

a†|ψ(E)〉

a†a†|ψ(E)〉

·

·

·

·

即ち

a†|ψ(E)〉 ∝ |ψ(E + ~ω)〉

a|ψ(E)〉 ∝ |ψ(E − ~ω)〉

2.3 ハミルトニアンの固有値と固有ベクトル

• 任意の状態 |ψ〉について (〈ψ|ψ〉 = 1)

〈ψ|H|ψ〉 = ~ω〈ψ|(a†a + 1/2)|ψ〉

= ~ω(‖a|ψ〉‖2 + 1/2

)= ~ω

2

したがって H の固有値は ~ω2以上


よって

a†|n〉 =√

n + 1|n + 1〉

a|n〉 =√

n|n − 1〉

数演算子 n ≡ a†a

n|n〉 = a†a|n〉 =√

na†|n − 1〉 = n|n〉

行列表現

|n〉の |m〉表示〈m|n〉 ⇒

〈0|n〉〈1|n〉··

〈n|n〉··

=

0

0

··1

··

←n

: ベクトル表現

• この表示での a, a† の行列表現

amn ≡ 〈m|a|n〉 =√

n〈m|n − 1〉 =√

n δm,n−1

amn ≡ 〈m|a†|n〉 =√

n + 1〈m|n + 1〉 =√

n + 1 δm,n+1

a =

0 1 0 0 0 ·0 0

√2 0 0 ·

0 0 0√

3 0 ·0 0 0 0

√4 ·

· · · · · ·

, a† =

0 0 0 0 ·1 0 0 0 ·0

√2 0 0 ·

0 0√

3 0 ·0 0 0

√4 ·

· · · · ·

n = a†a =

0 0 0 0 0 ·0 1 0 0 0 ·0 0 2 0 0 ·0 0 0 3 0 ·0 0 0 0 4 ·· · · · · ·

, aa† =

1 0 0 0 ·0 2 0 0 ·0 0 3 0 ·0 0 0 4 ·· · · · ·

aa† − a†a = 1 単位行列

[問題] 行列表現で x, p, x2, p2 を計算せよ。

2.4. 座標表示の固有関数 25

2.4 座標表示の固有関数

ν ≡√

mω

~とおくと

a =1√2

(νx +

i

ν~p

)a† =

1√2

(νx − i

ν~p

)

基底状態

φ0(x) ≡ 〈x|0〉 : a|0〉 = 0

0 = 〈x|a|0〉 =1√2〈x|νx +

i

ν~p|0〉

=1√2

(νx +

1

ν

d

dx

)〈x|0〉

∴ d

dxφ0(x) = −ν2x φ0(x) ⇒ φ0(x) = ce−

ν2

2x2

規格化

1 = 〈0|0〉 =

∫ ∞

−∞dx φ0(x)∗φ0(x) = c2

∫ ∞

−∞dx e−ν2x2

= c2

√π

ν

(∫ ∞

−∞dx e−x2

=√

π

)

∴ c =

(ν√π

)1/2

励起状態

φn(x) = 〈x|n〉 = N−1n 〈x|

(a†)n |0〉 Nn =

√n!

= N−1n 〈x|

[1√2

(νx − i

ν~p

)]n

|0〉

= N−1n

[1√2

(νx − 1

ν

d

dx

)]n

〈x|0〉

= N−1n c

[1√2

(νx − 1

ν

d

dx

)]n

e−ν2

2x2

c =

(ν√π

)1/2

=

(ν√

π2nn!

)1/2

Hn(νx)e−ν2

2x2

演習問題 (II-4-1)参照

Hn(y) ≡ ey2

(− d

dy

)n

e−y2

: エルミートの多項式


2.5 ハイゼンベルグ描像

• シュレディンガーの演算子

H =1

2mp2 +

m

2ω2x2 , [x, p] = i~

• ハイゼンベルグの演算子

H(t) =1

2mp(t)2 +

m

2ω2x(t)2 = H , [x(t), p(t)] = i~

• ハイゼンベルグの運動方程式 : ddt

F (t) = − i~[F (t), H]

d

dtx(t) = − i

~

[x(t),

1

2mp(t)2

]=

1

mp(t)

d

dtp(t) = − i

~

[p(t),

m

2ω2x(t)2

]= −mω2x(t)

よってd2

dt2x(t) = −ω2x(t) ,

d2

dt2p(t) = −ω2p(t)

解は

x(t) = x cos ωt + p1

mωsin ωt

p(t) = p cos ωt − xmω sin ωt

[問題] a(t) = e−iωta, a†(t) = eiωta† を導け。

[例題] 状態 |ψ(t)〉が t = 0 に

|ψ(0)〉 = e−i~ bp|0〉 ≡ |ψ0〉

とする。時刻 t における x, p の期待値は

〈x(t)〉 = 〈ψ0|x(t)|ψ0〉

= 〈0|ei~ bp

(x cos ωt + p

1

mωsin ωt

)e−

i~ bp|0〉

= 〈0|(

(x + b) cos ωt + p1

mωsin ωt

)|0〉演習問題 (I-5-1)参照

〈p(t)〉 = 〈ψ0|p(t)|ψ0〉

= 〈0|ei~ bp (p cos ωt − xmω sin ωt) e−

i~ bp|0〉

= 〈0| (p cos ωt − (x + b)mω sin ωt) |0〉

2.5. ハイゼンベルグ描像 27

〈0|x|0〉 = 0, 〈0|p|0〉 = 0 (∵ 〈0|a|0〉 = 0, 〈0|a†|0〉 = 0) より

¾

xb

s〈x(t)〉 = b cos ωt

〈p(t)〉 = −bmω sin ωt

同様の計算を |ψ0〉 = ei~ kx|0〉について行うと

x-sk

〈x(t)〉 = k1

mωsin ωt

〈p(t)〉 = k cos ωt

29

第3章角運動量

3.1 角運動量の代数

軌道角運動量

©©©©©©*

as6

O

m

p

x

L = x × p

L = x × p

Lx = ypz − zpy

Ly = zpx − xpz

Lz = xpy − ypx

• [xi, pj] = i~δij (i, j = x, y, z) より[Lx, Ly

]= [ypz − zpy, zpx − xpz]

= y[pz, z]px + x[z, pz]py

= −i~ypx + i~xpy

= i~Lz

• 同様にして

[Lx, Ly] = i~Lz, [Ly, Lz] = i~Lx, [Lz, Lx] = i~Ly

一般の角運動量

L と同じ形の交換関係を満たすエルミートな物理量 J

[Jx, Jy] = i~Jz, [Jy, Jz] = i~Jx, [Jz, Jx] = i~Jy

角運動量の代数

• 昇降演算子を

J+ ≡ Jx + iJy , J− ≡ Jx − iJy (J†+ = J−)

30 第 3章角運動量

と定義すると

[Jz, J±] = [Jz, Jx] ± i[Jz, Jy]

= i~Jy ± ~Jx = ±~(Jx ± iJy)

= ±~J±

[J+, J−] = [Jx + iJy, Jx − iJy] = 2~Jz

まとめて、角運動量の代数は

[Jz, J±] = ±~J± , [J+, J−] = 2~Jz

3.2 角運動量の表現

角運動量の大きさ

J2

= J2x + J2

y + J2z ≡

∑i

JiJi (i = x, y, z)

任意の状態 |ψ〉について

〈ψ| J2|ψ〉 =

∑i

〈ψ|JiJi|ψ〉 =∑

i

∣∣∣Ji|ψ〉∣∣∣2 = 0

∴ J2の固有値は正もしくは 0

• J2は Jx, Jy, Jz すべてと可換

[ J2, Jz] = [J2

x , Jz] + [J2y , Jz]

= [Jx, Jz]Jx + Jx[Jx, Jz] + [Jy, Jz]Jy + Jy[Jy, Jz]

= −i~JyJx − i~JxJy + i~JxJy + i~JyJx

= 0

同様にして

[ J2, Ji] = 0 (i = x, y, z)

J2と Jz の同時固有状態

J2|j,m〉 = ~2j(j + 1)|j,m〉 j = 0

Jz|j,m〉 = ~m|j,m〉

〈j′,m′|j,m〉 = δj′jδm′m

3.2. 角運動量の表現 31

• [Jz, J±] = ±~J±, [ J2, J±] = 0 だったので

JzJ±|j,m〉 = (J±Jz ± ~J±)|j,m〉 = ~(m ± 1)J±|j,m〉

J2J±|j,m〉 = J± J

2|j,m〉 = ~2j(j + 1)J±|j,m〉

即ち J±|j,m〉 ∼ |j,m ± 1〉昇降演算子

任意の状態 |ψ〉について

〈ψ| J2|ψ〉 =

∑i

〈ψ|J2i |ψ〉 = 〈ψ|J2

z |ψ〉

mmax

m + 2

m + 1

m

m − 1

m − 2

mmin

J+|mmax〉 = 0

|mmax〉

J+J+|m〉 ∼ |m + 2〉J+|m〉 ∼ |m + 1〉|m〉J−|m〉 ∼ |m − 1〉J−J−|m〉 ∼ |m − 2〉

|mmin〉J−|mmin〉 = 0

···

···

···

···

だから

~2j(j + 1) = (Jz の固有値)2

即ち、 Jz の固有値には上限 ~mmax と

下限 ~mmin が存在して

J+|j,mmax〉 = 0

J−|j,mmin〉 = 0

mmax − mmin =整数 (= 0)

J−J+|j,mmax〉 = 0 , J+J−|j,mmin〉 = 0

J∓J± = (Jx ∓ iJy)(Jx ± iJy) = J2x + J2

y ± i[Jx, Jy] = J2− J2

z ∓ ~Jz

j(j + 1) − mmax(mmax + 1) = 0

j(j + 1) − (−mmin) ((−mmin) + 1) = 0

よって

mmax = j , mmin = −j

mmax − mmin = 2j = 0 の整数

即ち

|j,m〉

j : 整数もしくは半整数m = −j,−j + 1, · · · , j : 2j + 1 個

3.3. 軌道角運動量 33

を満たす |l, l〉から

|l,m〉 =

√(l + m)!

(2l)!(l − m)!

(L−

~

)l−m

|l, l〉

座標表示

〈x|L|ψ〉 = L〈x|ψ〉 ≡ −i~(x ×∇)〈x|ψ〉

極座標をもちいると

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ

L+ = Lx + iLy = ~eiφ

(∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)L− = Lx − iLy = ~e−iφ

(− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)Lz = −i~

∂

∂φ

L2

= ~2

(− ∂2

∂θ2− cot θ

∂

∂θ− 1

sin2 θ

∂2

∂φ2

)

球面調和関数

Y ml (θ, φ) : L

2と Lz の同時固有関数

• Lz の固有値方程式

LzYml ≡ −i~

∂

∂φY m

l = ~mY ml ⇒ Y m

l ∝ eimφ

Y ml (θ, φ + 2π) = Y m

l (θ, φ) ⇒ m , l : 整数

• L+Y ll = 0 の条件 (

∂

∂θ− l cot θ

)Y l

l = 0 ⇒ Y ll ∝ (sin θ)l

• 約束事 (規格化)

Y ll (θ, φ) =

(−1)l

2ll!

√(2l + 1)!

4πeilφ(sin θ)l

• m < l は下降演算子 L− を作用させて

Y ml (θ, φ) =

√(l + m)!

(2l)!(l − m)!

[e−iφ

(− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)]l−m

Y ll (θ, φ)


これを整理すると（演習問題 (III-3-1)参照）

Y ml (θ, φ) = (−1)m

√2l + 1

4π

(l − m)!

(l + m)!Pm

l (cos θ)eimφ − l 5 m 5 l

Pml (x) ≡ 1

2ll!(1 − x2)m/2 dl+m

dxl+m(x2 − 1)l ：ルジャンドルの陪関数

Y ml (θ, φ) の性質

• e±iφ

(± ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)Y m

l (θ, φ) =√

(l ∓ m)(l ± m + 1)Y m±1l (θ, φ)

•∫

dΩ Y ml (θ, φ)∗Y m′

l′ (θ, φ) = δll′δmm′ ：正規直交性∫dΩ ≡

∫ π

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dφ 立体角 ∗∫

d3x =

∫ ∞

0

r2dr

∫dΩ

•l∑

m=−l

Y ml (θ1, φ1)Y

ml (θ2, φ2)

∗ =2l + 1

4πPl(cos γ) ：加法定理

³³³³³³1¡

¡¡¡µ

(θ1, φ1)

(θ2, φ2)

OJJγqcos γ ≡ sin θ1 sin θ2 cos(φ1 − φ2) + cos θ1 cos θ2

Pl(x) ≡ P 0l (x) : ルジャンドルの多項式

• Y −ml (θ, φ) = (−1)mY m

l (θ, φ)∗

• Y ml (π − θ, φ + π) = (−1)lY m

l (θ, φ) : 空間反転 (x → −x) 偶奇性

Pml (x) の性質

• P−ml (x) = (−1)m (l − m)!

(l + m)!Pm

l (x)

•∫ 1

−1

Pml (x)Pm

l′ (x)dx =2

2l + 1

(l + m)!

(l − m)!δll′

•(

(1 − x2)d2

dx2− 2x

d

dx+ l(l + 1) − m2

1 − x2

)Pm

l (x) = 0 ルジャンドルの陪微分方程式

3.4. スピン角運動量 35

3.4 スピン角運動量

粒子のスピン角運動量：直観的には粒子の「自転」

• 全角運動量： J = L + S , [S, L] = 0

• S も角運動量の代数： [Sx, Sy] = i~Sz, · · ·

S2の固有値： ~2s(s + 1) s は整数もしくは半整数（粒子によって定まっている）

Sz の固有値： ~m m = −s, · · · , s (2s + 1 個)

F 電子、陽子、中性子、クォーク、ニュートリノ： s = 12

s = 12

(スピン 12) : S

2= ~2 1

2

(12

+ 1)

= 34~2

Sz の固有状態： Sz|m〉 = ~m|m〉 m = ±1

2

|±〉 ≡ | ± 12〉と略すと

S+|+〉 = 0 , S−|+〉 = ~|−〉 , S+|−〉 = ~|+〉 , S−|−〉 = 0

２次元ベクトル表現で

|+〉 ⇒

(1

0

), |−〉 ⇒

(0

1

)

と表わすと

S+ = ~

(0 1

0 0

), S− = ~

(0 0

1 0

), Sz =

~2

(1 0

0 −1

)

よって

S =~2σ

σx =

(0 1

1 0

), σy =

(0 −i

i 0

), σz =

(1 0

0 −1

): パウリ行列

一般の量子状態 |ψ〉は

|ψ〉 = |+〉ψ+ + |−〉ψ− ⇒ ψ =

(ψ+

ψ−

)：２成分スピナー

で表わされる。


[問題] |R〉 ≡ 1√2(|+〉 + |−〉) と |L〉 ≡ 1√

2(|+〉 − |−〉) が Sx の固有状態

Sx|R〉 =~2|R〉 , Sx|L〉 = −~

2|L〉

であることを確かめよ。

磁場中の s = 12粒子

ハミルトニアン

H = −2µ

~S · B = −2µB

~Sz

µ : スピン磁気モーメントB ≡ (0, 0, B) : 磁場

H|±〉 = ∓µB|±〉異常ゼーマン効果

¡¡@@

EB = 0

6µB

|−〉

|+〉

• 系の状態 |ψ(t)〉が t = 0 に |ψ(0)〉 = |R〉とすると

|ψ(t)〉 = e−i~ Ht|R〉 = e−

i~ Ht 1√

2|+〉 + |−〉

=1√2

e

i~ µBt|+〉 + e−

i~ µBt|−〉

• 時刻 t に状態が |L〉である確率振幅は

〈L|ψ(t)〉 =1√2〈+| − 〈−| 1√

2

e

i~ µBt|+〉 + e−

i~ µBt|−〉

=

1

2

e

i~ µBt − e−

i~ µBt

= i sin

µBt

~

• |R〉から |L〉への遷移確率 PR→L(t) は

PR→L(t) = |〈L|ψ(t)〉|2 = sin2 µBt

~

[問題] 時刻 t における S の期待値〈S(t)〉 ≡ 〈ψ(t)|S|ψ(t) が

〈Sx(t)〉 =~2

cos2µBt

~

〈Sy(t)〉 = −~2

sin2µBt

~〈Sz(t)〉 = 0

3.5. 2個のスピン 12の合成 37

となることを示せ。

¡¡

¡¡ª

-

6

©©©³³³¢¢

x

y

z ∧B

〈S〉∧

ラーマーの歳差運動

[問題] スピン 1 (s = 1) の粒子 (S2

= 2~2) の Sz の固有状態

Sz|m〉 = ~m|m〉 m = 1, 0,−1

を 3次元ベクトル表現で

| + 1〉 ⇒

1

0

0

, |0〉 ⇒

0

1

0

, | − 1〉 ⇒

0

0

1

と表わすと、スピン行列 S が

Sx =~√2

0 1 0

1 0 1

0 1 0

, Sy =~√2

0 −i 0

i 0 −i

0 i 0

, Sz = ~

1 0 0

0 0 0

0 0 −1

で与えられることを示せ。

F W±、 Z0、光子、グルーオンなど、力を媒介する粒子は s = 1 である。

3.5 2個のスピン 12の合成

• 粒子 a, b のスピン Sa, S

bの合成スピン

S = Sa+ S

b

• 2粒子共に sa = sb = 12とすると、Sa

z , Sbz の固有状態 |ma; mb〉 ≡ |±〉a|±〉b は

Sz = Saz + Sb

z の固有値

+~ : |+〉a|+〉b0 : |+〉a|−〉b , |−〉a|+〉b−~ : |−〉a|−〉b


• |+〉a|+〉b は Sz の最大固有値 +~ を持つので、合成スピンが s = 1 の固有状態

|1, 1〉sm

≡ |+〉a|+〉b , S+|1, 1〉 = 0

• これに順次 S− を作用させると

S−|1, 1〉 = ~√

2|1, 0〉

=(Sa− + Sb

−

)|+〉a|+〉b

=

Sa−|+〉a

|+〉b + |+〉a

Sb−|+〉b

= ~ |−〉a|+〉b + |+〉a|−〉b

∴ |1, 0〉 =1√2|+〉a|−〉b + |−〉a|+〉b

S−|1, 0〉 = ~√

2|1,−1〉

=(Sa− + Sb

−

) 1√2|+〉a|−〉b + |−〉a|+〉b

=1√2

(Sa−|+〉a

|−〉b + |+〉a

Sb−|−〉b

+

Sa−|−〉a

|+〉b + |−〉a

Sb−|+〉b

)=

~√2|−〉a|−〉b + |−〉a|−〉b

= ~√

2|−〉a|−〉b

∴ |1,−1〉 = |−〉a|−〉b

S−|1,−1〉 = 0

まとめて

|1, 1〉 = |+〉a|+〉b

|1, 0〉 =1√2|+〉a|−〉b + |−〉a|+〉b

|1,−1〉 = |−〉a|−〉b

は s = 1 のスピン 3重項 (triplet)

• これらと直交する残りの Sz = 0 の状態

|0, 0〉 ≡ 1√2|+〉a|−〉b − |−〉a|+〉b

3.6. 一般の角運動量の合成 39

は s = 0 のスピン 1重項 (singlet) で

S±|0, 0〉 =(Sa± + Sb

±

) 1√2|+〉a|−〉b − |−〉a|+〉b

=~√2|±〉a|±〉b − |±〉a|±〉b

= 0

スピン ·スピン相互作用

• sa = sb = 12の２スピン系のハミルトニアンが

H = κSa· S

b

のとき、S2

= (Sa+ S

b)2 = (S

a)2 + (S

b)2 + 2S

a· S

bにより

H =κ

2

(S

2− 3

2~2

)∵ (S

a)2 = (S

b)2 =

3

4~2

• 合成スピンが s の状態 |s,m〉は H の固有状態

H|s,m〉 = Es|s,m〉 Es =1

2κ~2

(s(s + 1) − 3

2

)

∴ E1(3重項) =1

4κ~2 , E0(1重項) = −3

4κ~2

¡¡BBBBB

6

?

Eκ = 0

4重縮退 14κ~2

34κ~2

E1(3重縮退)

E0

3.6 一般の角運動量の合成

Ja

, Jb

|ja,ma〉|jb,mb〉⇒ J =J

a+J

b

|j,m〉(ja = jb とする)


0?−ja +ja

Jaz −→ sss s s s

−jb +jbJb

z −→ s ssja + jb

Jz = Jaz + Jb

z −→ ssss s s s ssss s s s

ja − jb

ss s s合成角運動量 j は ja − jb 5 j 5 ja + jb

|j,m〉 =∑

ma,mb(ma+mb=m)

C(jajbj; mambm)|ja,ma〉|jb, mb〉

|ja − jb| 5 j 5 ja + jb

C(jajbj; mambm) : Clebsch-Gordan 係数

例 J = L(l) + S(12) の合成 j = l + 1

2, l − 1

2

j = l +1

2: |l +

1

2,m〉 =

√l + 1

2+ m

2l + 1|l,m − 1

2〉|+〉 +

√l + 1

2− m

2l + 1|l,m +

1

2〉|−〉

j = l − 1

2: |l − 1

2,m〉 =

√l + 1

2− m

2l + 1|l,m − 1

2〉|+〉 −

√l + 1

2+ m

2l + 1|l,m +

1

2〉|−〉

導出は演習問題 (III-7-1)参照

3.7 ウィグナー ·エッカート (Wigner-Eckart)の定理

物理量 F が角運動量 J = (Jx, Jy, Jz) と可換

[F , J ] = 0

なとき、 J と Jz の同時固有状態 |j,m〉についての F の行列要素は

〈j′,m′|F |j,m〉 = f(j)δj′jδm′m

3.7. ウィグナー ·エッカート (Wigner-Eckart)の定理 41

と表わされ、スカラー因子 f(j) は量子数 m に依存しない。（演習問題 (III-7-1)参照）

応用: 球対称ポテンシャル V (x) のハミルトニアン H = 12m

p2 + V (x) は L と可換で

ある。よって [H, L

]= 0 ⇒ 〈l′,m′|H|l,m〉 = E(l)δl′,lδm′,m

即ち、エネルギー固有値は m によらない。

44 第 4章摂動論

• 表示の変換の一般論 (1.3節) により H の固有ベクトル及び固有値は

|a〉 =∑

n

|En〉U †na , H|a〉 = Ea(λ)|a〉

である。

復習

H|a〉 =∑

n

H|En〉U †na =

∑m,n

|Em〉〈Em|H|En〉U †na

=∑m,n

|Em〉HmnU†na

=∑

m,n,l,b

|Em〉U †mbUblHlnU †

na

=∑m,b

|Em〉U †mbEb(λ)δba

= Ea(λ)∑m

|Em〉U †ma

= Ea(λ)|a〉

4.2 摂動展開

UHU † = E(λ) ⇒ U †E(λ) = HU †

• λ が十分小さいとして E(λ) と U † を

E(λ) = E(0) + λE(1) + λ2E(2) + · · · E(i) (i = 0, 1, 2, · · · ) : 対角行列

U † = 1 + λT (1) + λ2T (2) + · · ·

と λ でベキ展開すると

(1 + λT (1) + λ2T (2) + · · · )(E(0) + λE(1) + λ2E(2) + · · · )

= (E + λV )(1 + λT (1) + λ2T (2) + · · · )

• λ の各ベキで等式が成り立つと要請

λ0 : E(0) = E

λ1 : E(1) + T (1)E(0) = ET (1) + V

λ2 : E(2) + T (1)E(1) + T (2)E(0) = ET (2) + V T (1)

4.3. 縮退のない場合の解 45

• よって

E(1) = ET (1) − T (1)E + V

E(2) = ET (2) − T (2)E − T (1)E(1) + V T (1)

• 行列要素

E(1)m δmn = EmT (1)

mn − T (1)mnEn + Vmn (4.1)


mn − T (2)mnEn − T (1)

mnE(1)n +

∑l

VmlT(1)ln (4.2)

4.3 縮退のない場合の解

H0 に縮退がないとき : Em 6= En for any m 6= n

(4.1)式

m = n : E(1)m = Vmm

m 6= n : T (1)mn = − Vmn

Em − En

∗ T (1)mm は未定

(4.2)式

m = n : E(2) = −T (1)mmE(1)

m +∑

l

VmlT(1)lm l = m は第１項とキャンセル

= −∑l 6=m

VmlVlm

(El − Em)

m 6= n : 0 = (Em − En)T (2)mn − T (1)

mnE(1)n +

∑l 6=n

VmlT(1)ln + VmnT

(1)nn

T (2)mn =

∑l 6=n

VmlVln

(Em − En)(El − En)− VmnVnn

(Em − En)2− Vmn

Em − En

T (1)nn

∗ T (2)mm は未定

ユニタリティの条件 UU † = 1

U † = 1 + λT (1) + λ2T (2) + · · ·

U = 1 + λT (1)† + λ2T (2)† + · · ·


• 条件式(1 + λT (1)† + λ2T (2)† + · · ·

) (1 + λT (1) + λ2T (2) + · · ·

)= 1 より

λ0 : 1 = 1

λ1 : T (1) + T (1)† = 0 (4.3)

λ2 : T (2) + T (2)† + T (1)†T (1) = 0 (4.4)

• (4.3), (4.4) の非対角要素は、既に求めた T(1)mn, T

(2)mn によって満たされている。

対角要素

(4.3) : T(1)mm + T

(1)mm

∗= 0

T (1)mm = iφ(1)

m φ(1)m : 任意の実数

(4.4) : T(2)mm + T (2)∗

mm +∑

l 6=m T (1)†mlT

(1)lm + T (1)†

mmT(1)mm = 0

2<T (2)mm +

∑l 6=m

|Vlm|2

(El − Em)2+

(φ(1)

m

)2= 0

=T (2)mm = φ(2)

m φ(2)m : 任意の実数

∴ T (2)mm = −1

2

∑l 6=m

|Vlm|2

(El − Em)2− 1

2

(φ(1)

m

)2+ iφ(2)

m

• φ(1)m , φ

(2)m の任意性の自由度は H の固有状態 |a〉の位相の自由度

|a〉 → |a〉ei(λφ(1)a +λ2φ

(2)a +··· )

に対応、φ(1)n = φ

(2)n = 0 とおいてよい。

H の固有値および固有ベクトルは

Ea(λ) = Ea + λ〈Ea|V |Ea〉 − λ2∑l 6=a

|〈El|V |Ea〉|2

El − Ea

+ O(λ3)

|a〉 = |Ea〉

(1 − λ2 1

2

∑l 6=a

|〈El|V |Ea〉|2

(El − Ea)2+ O(λ4)

)

+∑m6=a

|Em〉

−λ

〈Em|V |Ea〉Em − Ea

+ λ2

[∑l 6=a

〈Em|V |El〉〈El|V |Ea〉(Em − Ea)(El − Ea)

−〈Em|V |Ea〉〈Ea|V |Ea〉(Em − Ea)2

]+ O(λ3)

Rayleigh-Schrodinger の摂動公式

4.4. 縮退がある場合 47

4.4 縮退がある場合

H0 に縮退 : Em = En for m 6= n

4.2 節の (4.1) 式 : 0 = Vmn ( 6= 0) おかしい !! ⇒ どうする？

注目 : H0 の固有ベクトル |Em〉に不定性

H0|Em〉 = E(α)|Em〉 m ∈ α : 縮退している空間

⇓

H0

∑m∈α

|Em〉cm

= E(α)

∑m∈α

|Em〉cm

この自由度を使って Vmn = 〈Em|V |En〉が α 空間の中で対角

Vmm′ = Vm(α)δmm′ m, m′ ∈ α

となるように H0 の固有ベクトル |Em〉を選ぶ。行列で書くと

E =

· 0

E(α) 0 0

0 ·· 0

0 E(β) 0

0 ·0 0 ·

V =

· 0

Vm(α) Vmn ∗0 ·

· 0

Vnm Vn(β) ∗0 ·

∗ ∗ ·

4.2節の (4.1)式


mn − T (1)mnEn + Vmn

[m = n] ∈ α : E(1)m = Vmm = Vm(α)

[m 6= n] ∈ α : 0 = 0

m ∈ α, n ∈ β : 0 = (Em − En)T (1)mn + Vmn

T (1)mn = − Vmn

Em − En

4.2節の (4.2)式


mn − T (2)mnEn − T (1)

mnE(1)n +

∑l

VmlT(1)ln


[m = n] ∈ α : E(2)m = −T (1)

mmE(1)m +

∑l

VmlT(1)lm

= −∑l 6∈α

VmlVlm

El − Em

[m 6= n] ∈ α : 0 = −T (1)mnE

(1)n +

∑l 6∈α

VmlT(1)ln + VmmT (1)

mn

= (Vm(α) − Vn(α))T (1)mn −

∑l 6∈α

VmlVln

El − En

摂動の１次で縮退が解け Vm(α) 6= Vn(α) のときは

T (1)mn =

1

Vm(α) − Vn(α)

∑l 6∈α

VmlVln

El − En

m ∈ α, n ∈ β を解けば T(2)mn も求まる。

• 縮退が解けず Vm(α) = Vn(α) のときは

Wmn ≡∑l 6∈α

VmlVln

El − En

を対角化するように |Em〉を決めて先に進む。

まとめ

H = H0 + λV , H0|Ea〉 = Ea|Ea〉

• Ea に縮退がない場合

Ea(λ) = Ea + λ〈Ea|V |Ea〉 − λ2∑l 6=a

|〈Ea|V |Ea〉|2

El − Ea

+ O(λ3)

• Ea が空間 α で縮退している場合

〈Ea|V |Eb〉 (a, b ∈ α) が対角行列になるように |Ea〉 (a ∈ α) をとって

Ea(λ) = Ea + λ〈Ea|V |Ea〉 − λ2∑l 6∈α

|〈El|V |Ea〉|2

El − Ea

+ O(λ3)

4.5 時間による摂動

摂動 V が時刻 t に依存して変動している系

H(t) = H0 + λV (t)

i~d

dt|ψ(t)〉 =

(H0 + λV (t)

)|ψ(t)〉

4.5. 時間による摂動 49

• 無摂動系の固有ベクトル

H0|En〉 = En|En〉

で状態 |ψ(t)〉を展開

|ψ(t)〉 =∑

l

|El〉 cl(t) e−i~ Elt

H0 の効果を出しておく

cl(t) = ei~ Elt 〈El|ψ(t)〉

• シュレディンガー方程式は

i~d

dtcl(t) = −Elcl(t) + e

i~ Elt〈El|i~

d

dt|ψ(t)〉

= −Elcl(t) + ei~ Elt〈El|

H0⇓El

+ λV (t)

∑m

|Em〉cm(t)e−i~ Emt

すなわち

i~d

dtcl(t) = λ

∑m

ei~ (El−Em)t〈El|V (t)|Em〉cm(t)

摂動展開

cl(t) を λ のベキで摂動展開

cl(t) = c(0)l + λc

(1)l (t) + λ2c

(2)l (t) + λ3c

(3)l (t) + · · · : c

(0)l は t によらない

• 運動方程式に代入し λk の項をぬきだすと

i~d

dtc(k)l (t) =

∑m

ei~ (El−Em)t〈El|V (t)|Em〉c(k−1)

m (t)

• t = 0 の初期条件 cl(0) = c(0)l , c

(k=1)l (0) = 0 のもとに積分

c(k)l (t) =

∑m

∫ t

0

dt1i~

ei~ (El−Em)t1〈El|V (t1)|Em〉c(k−1)

m (t1) (k = 1)

• この式を繰り返して使うことにより、摂動の高次の振幅が順次

cl(0) → c(1)l (t) → c

(2)l (t) → c

(3)l (t) → · · ·

と求まる。

• 摂動の１次の振幅は

λc(1)l (t) = λ

∑m

∫ t

0

dt1i~

ei~ (El−Em)t1〈El|V (t1)|Em〉cm(0)


• 時刻 t = 0 に |ψ(0)〉 = |Ei〉 (cl(0) = δli)、時刻 t に |Ef〉である確率振幅は摂動の１

次で

cf (t) = λ

∫ t

0

dt1i~

ei~ (Ef−Ei)t1〈Ef |V (t1)|Ei〉

遷移確率は

Pfi(t) = |〈Ef |ψ(t)〉|2 = |cf (t)|2

簡単な例

V (t) =

0 t < 0

V t = 0

のとき、摂動の１次は

λc(1)f (t) = λ

∫ t

0

dt1i~

ei~ (Ef−Ei)t1〈Ef |V |Ei〉

= −λe

i~ (Ef−Ei)t − 1

Ef − Ei

〈Ef |V |Ei〉

遷移確率は

Pfi(t) = λ2

(2 sin t

2~(Ef − Ei)

Ef − Ei

)2

|〈Ef |V |Ei〉|2

x0

tπ

πt

δ 関数の公式

limt→∞

sin2 tx

πtx2= δ(x)

により、単位時間当りの遷移確率は

wfi ≡ limt→∞

1

tPfi(t) = λ2 2π

~|〈Ef |V |Ei〉|2δ(Ef − Ei) フェルミの黄金律

4.6 スピン磁気共鳴 (s = 12)

定磁場 B = (0, 0, B) と振動磁場 ε(t) = (ε cos ωt,−ε sin ωt, 0) の中の s = 12のスピン

@@¡¡

B

¡¡ªy ε(t)ωt

H = −2µ

~S · B − 2µ

~S · ε(t)

= −ASz − a(S+eiωt + S−e−iωt

)≡ H0 + V (t)

A = 2µB~ ラーマー周波数

a = µε~

4.6. スピン磁気共鳴 (s = 12) 51

H0 の固有ベクトル |±〉

H0|±〉 = ∓~A

2|±〉

V (t) の 0でない行列要素

〈−|V (t)|+〉 = −~ae−iωt , 〈+|V (t)|−〉 = −~aeiωt

摂動の最低次

t = 0 に |ψ(0)〉 = |+〉で t に |−〉の確率振幅

c−(t) =

∫ t

0

dt1i~

eiAt1(−~a)e−iωt1

= iaei A−ω2

t sinA−ω

2t

A−ω2

遷移確率は

P−(t) ≡ |c−(t)|2 = a2 sin2 A−ω2

t(A−ω

2

)2

•摂動磁場の周波数 ω がスピン歳差運動のラーマー周波数 Aに近づくと共鳴が起きる。

P−(t)a2t2

£££££±

£££££

£££££

ω → A

tπ

A−ω

P−(t) ∼ω→A

a2t2 ⇒ t ¿ 1

aでしか信頼できない。

• 厳密解 : 演習問題 (IV-6-1)参照

c−(t) = ia√

a2 +(

A−ω2

)2ei A−ω

2t sin

√a2 +

(A − ω

2

)2

t

P−(t) =a2

a2 +(

A−ω2

)2 sin2

√a2 +

(A − ω

2

)2

t ラビの公式

4.7. 相互作用描像 53

したがって

i~d

dt|ψ(t)〉I = λVI(t)|ψ(t)〉I

F 状態 |ψ(t)〉I は相互作用 VI(t) によって運動

F 演算子 FI(t) は H0 によって運動

運動方程式をtで積分

|ψ(t)〉I = |ψ(t0)〉I +λ

i~

∫ t

t0

dt1VI(t1)|ψ(t1)〉I

= |ψ(t0)〉I +λ

i~

∫ t

t0

dt1VI(t0)|ψ(t0)〉I

+

(λ

i~

)2 ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2VI(t1)VI(t2)|ψ(t0)〉I + · · ·

• 時間推進の演算子を

|ψ(t)〉I = U(t, t0)|ψ(t0)〉I

で定義すると

U(t, t0) = 1 +λ

i~

∫ t

t0

dt1VI(t1) +

(λ

i~

)2 ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2VI(t1)VI(t2) + · · ·

= 1 +∞∑

k=1

(λ

i~

)k ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2 · · ·∫ tk−1

t0

dtkVI(t1) · · · VI(tk)

U(t, t0)のユニタリー性

• |ψ(t)〉I = U(t, t′)|ψ(t′)〉I = U(t, t′)U(t′, t0)|ψ(t0)〉I により

U(t, t′)U(t′, t0) = U(t, t0)

U(t, t) = 1

∴ U(t′, t) = U(t, t′)−1

• VI(t) のエルミート性 V †I = VI により

U(t, t0)† = 1 +

∞∑k=1

(− λ

i~

)k ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2 · · ·∫ tk−1

t0

dtkVI(tk) · · · VI(t1)

= 1 +∞∑

k=1

(λ

i~

)k ∫ t0

t

dt1

∫ t0

t1

dt2 · · ·∫ t0

tk−1

dtkVI(tk) · · · VI(t1)


積分領域は t < t1 < · · · < tk < t0 だから∫ t0

t

dt1

∫ t0

t1

dt2 · · ·∫ t0

tk−1

dtk =

∫ t0

t

dtk

∫ tk

t

dtk−1 · · ·∫ t2

t

dt1

よって、 ti → tk−i+1 と変数変換して

U(t, t0)† = 1 +

∞∑k=1

(λ

i~

)k ∫ t0

t

dt1

∫ t1

t

dt2 · · ·∫ tk−1

t

dtkVI(t1) · · · VI(tk)

= U(t0, t)

すなわち U(t, t0) はユニタリー演算子

U(t, t0)† = U(t0, t) = U(t, t0)

−1 U(t, t0)†U(t, t0) = U(t, t0)U(t, t0)

† = 1

55

第5章散乱理論

5.1 散乱断面積と散乱振幅

v zPP³³

¢¢

¢¢ ¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

©©©©©©©©

¢¢¢¢¢¢¢¢

v¡¡¡¡©©¢¢

入射粒子標的粒子

O

- z軸

散乱粒子

(θ, φ)方向

) dΩ = sin θdθdφ

散乱断面積 dσdΩ

dσ

dΩ(θ, φ) =

[(θ, φ) 方向の立体角 dΩの中に散乱された粒子数] /dΩ

[標的に向かって入射させた単位断面積当りの粒子数]

散乱を表現する波動関数

• シュレディンガー方程式の定常状態

H|ψ〉 = E|ψ〉 E =p2

2m: 入射エネルギー

H =1

2mp2 + V (x)

入射粒子と標的粒子の相互作用

• 波動関数： ψ(x) = 〈x|ψ〉(1

2mp2 + V (x)

)ψ(x) =

p2

2mψ(x) ; p ≡ −i~∇

• |x| > R で V (x) = 0 とする。 R : 力のレインジ

自由粒子として入射し、自由粒子として飛び去る

• |x| > R で

p2ψ(x) = p2ψ(x)

56 第 5章散乱理論

平面波解

HH©© p入射波

ψ(x) ∝ ei~ p·x (p2 ≡ p2)

球面波解

p2 = −~2∇2 = −~2 1

r

∂2

∂r2r

r → ∞できく項

+1

r2L

2

− d2

dr2(rψ) '

r → ∞

(p

~

)2

rψ

Ã»³¡¡µ

p

散乱波

!¼@@Ip

ψ ∝

1re

i~ pr 外向き球面波

1re−

i~ pr 内向き球面波

散乱の境界条件

ψ(x) ∼r→∞

ei~ p·x

入射波

+ f(θ, φ)e

i~ pr

r

散乱波

r&%'$

±°²¯

´´

´´

´¡¡µ¡¡¡¡

[r2dΩ] ×∣∣f

r

∣∣2 = |f |2dΩ

dΩ

p

=⇒p

-

¢¢¢

¢¢¢

f(θ, φ) : 散乱振幅

dσ

dΩ= |f(θ, φ)|2 : 散乱断面積

5.2. リップマン ·シュヴィンガー方程式 57

5.2 リップマン ·シュヴィンガー方程式

シュレディンガー方程式を下式のように書く

(p2 − p2)ψ(x) = 2mV (x)ψ(x) p ≡ −i~∇ (1)

• この解で

ψ(x) ∼|x|→∞

ei~ p·x + f(θ, φ)

ei~ pr

r

となるものを求めたい。

• 入射粒子の平面波は

(p2 − p2)ei~ p·x = 0

• (p2 − p2) のグリーン関数 G(x − y)

(p2 − p2)G(x − y) = δ3(x − y) p ≡ −i~∂

∂x

をもちいると (1)の解は形式的に

ψ(x) = ei~ p·x +

∫d3y G(x − y)2mV (y)ψ(y)

と表わされる。

∵ (p2 − p2)ψ(x) = (p2 − p2)ei~ p·x

=0

+

∫d3y (p2 − p2)G(x − y)

=δ3(x − y)

2mV (y)ψ(y)

= 2mV (x)ψ(x)

グリーン関数

G(x − y) ≡∫

d3k

(2π~)3g(k)e

i~ k·(x−y)

とおくと

(p2 − p2)G(x − y) =

∫d3k

(2π~)3g(k)(p2 − k2)e

i~ k·(x−y)

δ3(x − y) =

∫d3k

(2π~)3e

i~ k·(x−y)

よって

g(k)(p2 − k2) = 1 ⇒ g(k) =1

p2 − k2 ⇒ g(±)(k) = limε→+0

1

p2 − k2 ± iε


G(±)(x − y) =

∫d3k

(2π~)3

1

p2 − k2 ± iεe

i~ k·(x−y)

積分を実行すると（演習問題V-2-1参照）

G(±)(x − y) = − 1

4π~2

1

|x − y|e±i p

~ |x−y| + : 外向き− : 内向き

球面波

波動関数は

ψ(+)(x) = ei~ p·x +

∫d3y G(+)(x − y)

y から外向き球面波

2mV (y)ψ(+)(y)y に波源

リップマン ·シュヴィンガー方程式

＊状態ベクトルで書くと

|ψ(+)〉 = |p〉 +1

p2 − p2 + iε2mV |ψ(+)〉

• |x| À |y| で

-PPPq- ¾ ⇒ p′

Oy x − y

x

x|x| · y

p |x − y| ∼= p

(|x| − x

|x|· y

)= pr − p′ · y ; p′ ≡ p

x

|x|

G(+)(x − y) ∼= − 1

4π~2

ei~ pr

re−

i~ p′·y

よって

ψ(+)(x) ∼=r→∞

ei~ p·x − e

i~ pr

r· 1

4π~2

∫d3y e−

i~ p′·y2mV (y)ψ(+)(y)

散乱振幅は

f(p′,p) = − 1

4π~2

∫d3y e−

i~ p′·y2mV (y)ψ(+)(y)

= − 1

4π~2

∫d3y e−

i~ p′·y2mV (y)e

i~ p·y

− 1

4π~2

∫d3y1 e−

i~ y12mV (y1)

∫d3y2 G(+)(y1 − y2)2mV (y2)e

i~ p·y2

− · · ·

-s¡¡¡¡µ

p

p′

2mV (y)１回散乱

+ -ss6¡

¡¡¡µ

p

p′

2mV (y2)

2mV (y1)

２回散乱

G(+)(y1 − y2)¾

+ -ss6HHHj¡

¡¡¡µ

sp

p′

2mV (y3)

2mV (y2)

2mV (y1)

３回散乱

+ · · ·

5.3. ボルン近似 59

5.3 ボルン近似

• １回散乱のみの近似

-s¡¡¡¡µ

p

p′

f (B)(p′, p) = − 2m

4π~2

∫d3y e−

i~ (p′−p)·yV (y)

= − m

2π~2

∫d3y e−iq·yV (y) ; q ≡ 1

~(p′ − p)

F ボルン近似の散乱振幅はポテンシャル V (y) の q についてのフーリエ変換

¡¡

¡¡

¡¡µ

-p

p′~q

M

θ

θ : 散乱角~q : 運動量の変化量

p sinθ

2=

1

2~q (p ≡ |p| = |p′|, q ≡ |q|) ∴ q =

2p

~sin

θ

2

• 球対称ポテンシャル V (r) の場合 f (B) は q の関数

q を z 軸として y を極座標 y = (r, θ′, φ′) で表わすと

¡¡

¡¡

¡¡µ

AA

AAAKq

y(r, θ′, φ′)

q · y = qr cos θ′θ′

f (B)(q) = − m

2π~2

∫ ∞

0

r2dr

∫ 2π

0

dφ′∫ 1

−1

d cos θ′ e−iqr cos θ′V (r)

= − m

2π~2· 2π

∫ ∞

0

r2dre−iqr − eiqr

−iqrV (r)

= −2m

~2

1

q

∫ ∞

0

rdr V (r) sin qr

湯川ポテンシャル

V (r) = −V0e−µr

rm =

~cµ : 力を伝える粒子の質量光子 m = 0

πメソン m = 140MeV/c2

積分公式 ∫ ∞

0

dx e−ax sin bx =b

a2 + b2


により

f (B) = −2m

~2

1

q(−V0)

∫ ∞

0

dr e−µr sin qr

=2mV0

~2

1

µ2 + q2

-

6dσdΩ

¤¤¤¤¤¤¤¤²

µ →大

µ = 0

θ0 π

• 微分断面積

dσ

dΩ=

(2mV0

~2

)21[

µ2 + 4p2

~2 sin2 θ2

]2

• 全散乱断面積

σTot =

∫dσ

dΩdΩ =

(2mV0

~2

)24π

µ2(µ2 + 4

~2 p2)

• V0 ≡ e2

4πとして µ → 0 とするとクーロンポテンシャル

dσdΩは前方 θ = 0 に鋭いピーク

σTot は発散

ラザフォード散乱

5.4 部分波展開

• 球対称ポテンシャルの場合 [x2, L] = 0 だから、軌道角運動量は

[H, L] = 0 ⇒ L は保存量

H, L2, Lz の同時固有状態 |E, l,m〉が存在。

• L の表現論（3.3節）により

〈x|E, l,m〉 = Rlm(r)Y ml (θ, φ) ⇒ Rl(r)Y

ml (θ, φ)

∵

〈x|L+|E, l,m〉 = c〈x|E, l,m + 1〉 = cRl m+1(r)Y

m+1l (θ, φ)

‖L+〈x|E, l,m〉 = L+ (Rlm(r)Y m

l (θ, φ)) = cRlm(r)Y m+1l (θ, φ)

すなわち、Rl(r) は m によらない。

5.4. 部分波展開 61

• H|ψ〉 = E|ψ〉を満たす一般の状態 |ψ〉は

|ψ〉 =∑l,m

|E, l,m〉ψlm

ψ(x) ≡ 〈x|ψ〉 =∑l,m

〈x|E, l,m〉ψlm =∞∑l=0

l∑m=−l

Rl(r)Yml (θ, φ)ψlm

部分波展開

• 入射方向を z軸にとるとポテンシャルも入射波も z軸回りに回転対称。

r θ - z

f(θ) ei~ pr

r

ei~ pz ©©©©©©*

したがって ψ(x) も z軸回りに回転対称。

ψ(x) は φ に依存しない。 Y ml ∝ eimφ ⇒ m = 0 のみ

Y 0l ∝ P 0

l (cos θ) ≡ Pl(cos θ) ルジャンドル関数

よって ψ(x) =∞∑l=0

Rl(r)Pl(cos θ)ψl

• 座標表示のハミルトニアン H は

H =1

2mp2 + V (r) =

1

2m

(−~2 1

r

∂2

∂r2r +

1

r2L

2)

⇓~2l(l+1)

+ V (r)

• Hψ(x) = Eψ(x) から Rl(r) は[−1

r

d2

dr2r +

l(l + 1)

r2+

2m

~2V (r)

]Rl(r) = k2Rl(r) : E ≡ ~2k2

2m, p = ~k

を満たす。

• 0 5 r < ∞ で有限な解 Rl(r) : V (r) を与えると一意的に定まる。

V (r) = 0 の解

kr ≡ x とおくと(1

x

d2

dx2x − l(l + 1)

x2+ 1

)Fl(x) = 0 : 球ベッセルの微分方程式


• 解は（演習問題 (V-4-1)参照）

jl(x) = (−1)lxl

(1

x

d

dx

)l (sin x

x

): 球ベッセル関数 jl −→

x→0

2ll!

(2l + 1)!xl

nl(x) = (−1)l+1xl

(1

x

d

dx

)l (cos x

x

): 球ノイマン関数 nl −→

x→0

(2l)!

2ll!

1

xl+1(原点で発散)

• 平面波：全空間で有限な V = 0 の解 ⇒ jl(kr)Pl(cos θ) で表わされる。

eik·x = eikr cos θ =∞∑l=0

(2l + 1)iljl(kr)Pl(cos θ) (演習問題 (V-4-2)参照)

r > R の Rl(r)

V (r) = 0 ⇒ Rl(r) は jl(kr) と nl(kr) の重ね合わせ

Rl(r) =r>R

1

2(jl(kr) − inl(kr)) + e2iδl

1

2(jl(kr) + inl(kr))

jl と nl の漸近形jl + inl −→

r→∞(−i)l+1 1

keikr

r: 外向き球面波

jl − inl −→r→∞

(i)l+1 1k

e−ikr

r: 内向き球面波

⇓ 確率の保存：[外向き流束] = [内向き流束]∣∣e2iδl∣∣ = 1 δl : phase shift ← V (r) を与えると定まる。

5.5 散乱振幅

• 散乱の境界条件

ψ(r, θ) ∼r→∞

eikr cos θ + f(θ)eikr

r

[平面波] + [外向き球面波]

Rl(r) =r>R

jl +(e2iδl − 1

) 1

2(jl + inl)

∴ ψ(r, θ) =∞∑l=0

(2l + 1)ilRl(r)Pl(cos θ)

=r>R

eikr cos θ +∞∑l=0

(2l + 1)il(e2iδl − 1)1

2(jl + inl)

⇓ r→∞12(−i)l+1 1

keikr

r

Pl(cos θ)

≡ eik·x + f(θ)eikr

r

5.5. 散乱振幅 63

散乱振幅は

f(θ) =1

k

∞∑l=0

(2l + 1)eiδl sin δl Pl(cos θ)

• 微分断面積dσ

dΩ= |f(θ)|2

• 全断面積

σTot =

∫dσ

dΩdΩ

=1

k2

∞∑l=0

∞∑l′=0

(2l + 1)(2l′ + 1)eiδle−iδl′ sin δl sin δl′

∫dΩ Pl(cos θ)Pl′(cos θ)

‖4π

2l+1δll′

∴ σTot =4π

k2

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl

光学定理

前方散乱振幅 (f(θ = 0)) の虚数部分

=f(θ = 0) =1

k

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl Pl(1)‖1

∴ =f(θ = 0) =k

4πσTot : 光学定理

• 確率の流れの密度

j =−i~2m

(ψ∗∇ψ −∇ψ∗ψ)

ψ = ψ0 + ψS

ψ0 = eik·x

ψS = f(θ) eikr

r

j = j0(ψ0ψ0)= ~

mk =v

+ jS(ψSψS) + j干渉(ψ0ψS)

• 確率の保存（定常状態）

r -

ÁÁdS j∮

dS · j = 0


∮dS · j0 = 0∮dS · jS =

∫r2dΩ

~k

m

∣∣∣∣f(θ)

r

∣∣∣∣2 = vσTot : v =~k

m速度∮

dS · j干渉 = −v4π

k=f(0) (証明は略す)

F 入射波が前方 θ = 0 で散乱波と干渉して入射波の確率流れの密度が =f(0) に比例

した分だけ減少している。

r- -©©©©*

Á

6

JJ

JJ]

HHHHY

HHHHjJ

JJJ

?

À

©©©©¼-

θ

0

jz

5.6 剛体球による散乱

-

6

r

6+∞V

R0

V (r) =

+∞ r < R

0 r > R

• 境界条件は r = R で ψ(x) = 0

0 = Rl(R) =1

2(jl(kR) − inl(kR)) + e2iδl

1

2(jl(kR) + inl(kR))

= eiδl (jl(kR) cos δl − nl(kR) sin δl)

∴ tan δl =jl(kR)

nl(kR)

σTot =4π

k2

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl =∞∑l=0

4π

k2

(2l + 1)j2l (kR)

j2l (kR) + n2

l (kR)

• 低エネルギー散乱： k → 0

tan δl∼= −22l(l!)2(kR)2l+1

(2l + 1)[(2l)!]2∵

jl(x) ∼ 2ll!

(2l+1)!xl

nl(x) ∼ (2l)!2ll!

1xl+1

5.6. 剛体球による散乱 65

k → 0 では l = 0 の部分波のみが残る。

tan δ0 =sin kR/kR

− cos kR/kR= − tan kR

∴ δ0 = −kR

f(θ) ∼= −R ∵ P0 = 1

σTot∼= 4πR2 : 古典論の 4倍（剛体球の表面積）

67

第6章量子力学における近似法

6.1 準古典近似

シュレディンガー方程式

i~∂

∂tψ(x, t) =

[− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]ψ(x, t)

• エネルギー E の定常状態を

ψ(x, t) = φ(x)e−i~ Et φ(x) = e

i~ S(x)

とおくと S は

E =1

2m(S ′)

2 − i~2m

S ′′ + V ′ ≡ d

dx(6.1)

F ~ → 0 とおくと第２項が無視できて古典力学のハミルトン ·ヤコビの方程式になる。

• 運動が準古典的で

~|S ′′| ¿ |S ′|2

の時には S を ~ でベキ展開して

S = S0 + ~S1 + · · ·

(6.1)式が ~ の各ベキで成り立つと要請

~0 : E =1

2m(S ′

0)2 + V (6.2)

~1 : 0 =1

mS ′

0S′1 −

i

2mS ′′

0 (6.3)

• (6.2)より

S ′0 = ±

√2m(E − V )

(6.3)より

S ′1 =

i

2

S ′′0

S ′0

=i

2(log S ′

0)′ ⇒ S1 = i log

√S ′

0 + [定数]

68 第 6章量子力学における近似法

• よって φ = ei~ S は ~ の１次までの近似で

φ = ei~ S0+iS1 = c

1√S ′

0

ei~ S0 : S0 = ±

∫ x

dy√

2m(E − V (y))

WKB近似(Wentzel, Kramers, Brillouin)ブリュアン

一般解

• E > V (x) の領域： p(x) ≡√

2m(E − V (x)) とおいて

φ(x) = c11√p(x)

ei~

R x dy p(y) + c21√p(x)

e−i~

R x dy p(y)

• E < V (x) の領域： κ(x) ≡√

2m(V (x) − E) とおいて

φ(x) = c′11√κ(x)

e−1~

R x dy κ(y) + c′21√κ(x)

e1~

R x dy κ(y)

例

-

6

E

6∞

6∞

x

V (x)

ba

x ≤ a, x ≥ b で φ(x) = 0

φ(a) = 0 より φ(x) = c1√p(x)

sin

[1

~

∫ x

a

dy p(y)

]φ(b) = 0 より

1

~

∫ b

a

dy p(y) = nπ n : 整数

E の関数 ⇒ E = En エネルギー固有値が決まる。

解の接続

• WKB近似の成立領域

1 À∣∣∣∣ ~S ′′

(S ′)2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣~p′

p2

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣~κ′

κ2

∣∣∣∣

6.1. 準古典近似 69

• 古典的転回点： E − V (x) = 0 → p, κ = 0 : WKB近似はダメ

a6

転回点

V (x)

Ea − R a + R

WKB-OK WKB-OKWKB ダメ

¾ -

V (x) ∝ x とおいた解析解で接続

接続公式 I（減衰解 φ(x)）

-

V − E

xa

¾

π4の位相

φR(x)

φR(x) =1√κ(x)

exp

[−1

~

∫ x

a

dy κ(y)

]x > a + R

=2√p(x)

cos

[1

~

∫ a

x

dy p(y) − π

4

]x < a − R

-

V − E

xb

-

π4の位相

φL(x)φL(x) =

1√κ(x)

exp

[−1

~

∫ b

x

dy κ(y)

]x < b − R

=2√p(x)

cos

[1

~

∫ x

b

dy p(y) − π

4

]x > b + R

ボーア ·ゾンマーフェルトの量子化規則

-ab

x

V − E

φR(x)φL(x)


• b + R < x < a − R で

φR(x) =2√p(x)

cos

[1

~

∫ x

a

dy p(y) +π

4

]∵ cos θ = cos(−θ)

=2√p(x)

cos

[1

~

∫ x

b

dy p(y) − π

4− 1

~

∫ a

b

dy p(y) +π

2

]φL(x) ←|

• 解がつながる条件： φR(x) = φL(x) or φR(x) = −φL(x)

1

~

∫ b

a

dy p(y) =

(n +

1

2

)π n : 整数

⇓

E = En

例調和振動子 : V = mω2

2x2

p(x) =

√2m

(E − mω2

2x2

); a = −b =

√2E

mω2∫ a

−a

dy p(y) = a

∫ 1

−1

dt√

2mE(1 − t2) ; y ≡ at

公式∫ 1

−1

√1 − x2dx = π

2により∫ a

−a

dy p(y) = a√

2mE · π

2=

πE

ω

よって

E = ~ω

(n +

1

2

)O.K. (うまくいきすぎ)

接続公式 II（増大解 χ(x)）

• φ(x) と χ(x) が共にエネルギー E の固有関数の時

ロンスキアンの定理

φ′(x)χ(x) − φ(x)χ′(x) = [定数]

これにより増大解 χ(x) の接続が定まる。

-

V − E

xa

¾

π4の位相

χR(x)

χR(x) =1√κ(x)

exp

[1

~

∫ x

a

dy κ(y)

]x > a + R

= − 2√p(x)

sin

[1

~

∫ a

x

dy p(y) − π

4

]x < a − R

6.1. 準古典近似 71

-

V − E

xb

-

π4の位相

χL(x)

χL(x) =1√κ(x)

exp

[1

~

∫ b

x

dy κ(y)

]x < b − R

= − 2√p(x)

sin

[1

~

∫ x

b

dy p(y) − π

4

]x > b + R

[問題] φR, χR 及び φL, χL がWKB近似の成立領域でロンスキアンの定理を満たして

いることを確かめよ。

トンネル効果

-入射

A -

B反射¾

- C透過

bax

V − E

領域 I 領域 II 領域 III

領域 III (右側に進む透過波のみ)

φ ≡ C√p(x)

exp i

[1

~

∫ x

b

dy p(y) − π

4

]=

C√p(x)

cos

[1

~

∫ x

b

dy p(y) − π

4

]+ i sin

[1

~

∫ x

b

dy p(y) − π

4

]領域 II (それぞれを b で接続して)

φ =C

2√

κ(x)exp

[−1

~

∫ b

x

dy κ(y)

]x→a で減少．無視する

+iC√κ(x)

exp

[1

~

∫ b

x

dy κ(y)

]x→a で増大

=iC√κ(x)

exp

[1

~

∫ b

a

dy κ(y)

]exp

[−1

~

∫ x

a

dy κ(y)

]領域 I (a で接続)

φ = iC exp

[1

~

∫ b

a

dy κ(y)

]2√p(x)

cos

[1

~

∫ a

x

dy p(y) − π

4

]≡ A√

p(x)exp−i

[1

~

∫ a

x

dy p(y) − π

4

]+

B√p(x)

exp i

[1

~

∫ a

x

dy p(y) − π

4

]


A = B = iC exp

[1

~

∫ b

a

dy κ(y)

]∴ C = −iA exp

[−1

~

∫ b

a

dy κ(y)

]トンネル効果の透過率 T はWKB近似で

T ≡ |C|2

|A|2= exp

[−2

~

∫ b

a

dy κ(y)

]

6.2 変分法

• H の基底状態 H|E0〉 = E0|E0〉の固有値 E0 を近似的に求めたい。

• 一般の状態 |ψ〉 (〈ψ|ψ〉 = 1) は

|ψ〉 =∞∑

n=0

|En〉〈En|ψ〉

|ψ〉についての H の期待値は

〈ψ|H|ψ〉 =∞∑

m,n=0

〈ψ|Em〉〈Em|H|En〉〈En|ψ〉

=∞∑

n=0

〈ψ|En〉En〈En|ψ〉

≥∞∑

n=0

〈ψ|En〉E0〈En|ψ〉 ∵ En ≥ E0

= E0〈ψ|ψ〉 = E0

すなわち

〈ψ|H|ψ〉 ≥ E0

• |ψ(ν)〉 : パラメター ν で変化する状態ベクトルの集合

E(ν) ≡ 〈ψ(ν)|H|ψ(ν)〉 ≥ E0

rr|E0〉

q ν

|ψ(ν)〉

|ψ〉のベクトル空間-

6

ν

E(ν)

E0

ν0

6.2. 変分法 73

• E(ν) が E0 に一番近いのは E(ν) の極小値

dE(ν)

dν= 0 ⇒ 解 ν = ν0

E(ν0) : E0 の上限を与える近似値

ψ(x; ν) ≡ 〈x|ψ(ν)〉 : 試行関数

• パラメターの数をふやすと

|ψ(ν)〉 ν = (ν1, · · · , νN)

E(ν) = 〈ψ(ν)|H|ψ(ν)〉∂E(ν)

∂νi

= 0 (i = 1, · · · , N) ⇒ ν = ν0

⇓

E(ν0)

例

H =1

2mp2 +

~2λ2

2m(λx)2N N = 1, 2, 3, · · ·

• 試行関数（基底状態）

-

6ν大

ν小

ψI

x

-

6ν大

ν小

ψII

x

ψI(x; ν) =

√ν√π

e−ν2

2x2

: −∞ < x < ∞

ψII(x; ν) =

√ν cos πνx

2: −ν−1 ≤ x ≤ ν−1

0 : x < −ν−1, ν−1 < x

E0(ν0) ≡~2λ2

2mf

(I, II)N E0 ≡

~2λ2

2mfN (真の値)

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(I)N 1.00 1.08 1.22 1.38 1.55 1.72 1.90 2.06 2.25 2.43

f(II)N 1.14 1.19 1.26 1.33 1.40 1.46 1.51 1.55 1.59 1.63

fN 1.00 1.06 1.14 1.23 1.30 1.36 1.42 1.47 1.52 1.55

N ≥ 4 では ψII のほうが ψI より近似が良い。


• 試行関数（第 1励起状態）

ポテンシャルが偶関数 (V (−x) = V (x))なので、固有関数は偶関数 (φ(−x) = φ(x))

あるいは奇関数 (φ(−x) = −φ(x))。基底状態は偶関数で第 1励起状態は奇関数だから

〈奇状態 |E0〉 = 0, 〈奇状態 |H|奇状態〉 ≥ E1、すなわち、試行関数を奇関数にとると

第 1励起状態のエネルギー E1 の上限が求められる。

-

6ψIII

x

-

6ψIV

x

ψIII(x; ν) =

√ν

2√

π2νxe−

ν2

2x2

: −∞ < x < ∞

ψIV(x; ν) =

√ν sin πνx : −ν−1 ≤ x ≤ ν−1

0 : x < −ν−1, ν−1 < x

E1(ν0) ≡~2λ2

2mf

(III, IV)N E1 ≡

~2λ2

2mfN (真の値)

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(III)N 3.00 4.85 7.09 9.74 12.8 16.3 20.2 24.5 29.3 34.4

f(IV)N 3.34 4.22 4.76 5.16 5.47 5.74 5.97 6.17 6.34 6.50

fN 3.00 3.80 4.34 4.76 5.10 5.39 5.64 5.85 6.05 6.22

N ≥ 2 で ψIV のほうが ψIII よりはるかに近似が良い。

F N が大きくなると ψII と ψIV の近似が良くなっているが、これは、N → ∞ でポテ

ンシャルが −λ−1 < x < λで無限に深い井戸型ポテンシャルとなり ψII と ψIV が ν = λ

で厳密解になることによる。

6.3 切断近似

H|En〉 = En|En〉 n = 1, 2, 3, · · ·

• En と |En〉を近似的にでも求めたい。

• |i〉 ; i = 1, 2, · · · を既知の完全系のセットとする。

〈i|j〉 = δij ,∞∑i=1

|i〉〈i| = 1


E1 =1

2

(a + b −

√(b − a)2 + 4c2

), E2 =

1

2

(a + b +

√(b − a)2 + 4c2

)• E1 が a で近似できる条件は何か？

E1 =1

2

a + b − (b − a)

√1 +

4c2

(b − a)2

' 1

2

a + b − (b − a)

(1 +

2c2

(b − a)2

) ∣∣∣cb

∣∣∣ ¿ 1 とする

= a − c2

b − a

• |E1 − a| ¿ a の条件は∣∣∣∣ c2

b − a

∣∣∣∣ ∼∣∣∣∣c2

b

∣∣∣∣ ¿ |a| → |c2| ¿ |ab|

一般のHの場合

•切断した効果が Hij の低準位の固有値に大きな影響を与えない条件は大雑把にいうと

|HiM |2 ¿ |HiiHMM |

i ¿ N

M & N

(Hii HiM

HMi HMM

)

• この条件が満たされるような |i〉をもちいればm ¿ N の準位は

Em ' Em , |Em〉 ' |Em〉 m ¿ N

で近似できる。

77

付録A 公式集(大文字は演算子，小文字は定数)

[ I ] 一般に成り立つ公式 (I は単位演算子)

[X,AB] = [X,A] B + A [X,B] (A.1)

[X,ABC] = [X,A] BC + A [X,B] C + AB [X,C] (A.2)

[X,A1 · · ·An] =n∑

i=1

A1 · · ·Ai−1 [X,Ai] Ai+1 · · ·An (A.3)

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (A.4)

eX ≡ 1 + X +1

2!X2 +

1

3!X3 + · · · =

∞∑n=0

1

n!Xn (A.5)

eXe−X = e−XeX = I (A.6)

eXAe−X = A + [X,A] +1

2![X, [X,A]] +

1

3![X, [X, [X,A]]] + · · · (A.7)

eXf(A)e−X = f(eXAe−X) ; f(A) ≡∞∑

n=0

fnAn (A.8)

[ II ] [X,A] = aI のとき

[X,An] = anAn−1 (A.9)

[X, f(A)] = af ′(A) (A.10)

eXf(A)e−X = f(A + a) (A.11)

[ III ] [X,A] = xA のとき

[X,An] = nxAn (A.12)

[X, f(A)] = xAf ′(A) (A.13)

eXAe−X = exA (A.14)

[ IV ] より高度な公式

eA+B = eAeBe−12[A,B] ただし [A,B] = cI (A.15)

log(1 + X) ≡ X − 1

2X2 +

1

3X3 − · · · =

∞∑n=1

(−1)n−1

nXn (A.16)

detX = etr(log X) (A.17)

78 付録A 公式集

d

dseX(s) =

∫ 1

0

dt e(1−t)X(s)dX(s)

dsetX(s) (A.18)

d

dsdetX(s) = det X(s) tr

[X−1(s)

dX(s)

ds

](A.19)

公式の証明

[ I ] 公式 (A.7)の証明

A(t) ≡ etXAe−tX とおくと (A.20)

d

dtA(t) = etXXAe−tX − etXAXe−tX = [X,A(t)] (A.21)

A(t) ≡∞∑

n=0

tn

n!An と展開して代入すると (A.22)

∞∑n=1

tn−1

(n − 1)!An =

∞∑n=0

tn

n![X,An] =

∞∑n=1

tn−1

(n − 1)![X,An−1] (A.23)

よって An = [X,An−1] (A.24)

A0 = A(0) = A, A1 = [X,A] , A2 = [X, [X,A]] , · · · (A.25)

[ IV ] 公式 (A.15)の証明 [A,B] = cIのとき，[A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0

U(t) ≡ et(A+B)e−tBe−tA (A.26)

d

dtU(t) = et(A+B)(A + B − B)e−tBe−tA − et(A+B)e−tBAe−tA

= et(A+B)e−tB(etBAe−tB − A)e−tA

= et(A+B)e−tB [tB,A] e−tA

= U(t) [tB,A] (A.27)

U(t) = U(0)et2

2[B,A] = e−

t2

2[A,B] (A.28)

eA+B = U(1)eAeB = eAeBe−12[A,B] (A.29)

[ IV ] 公式 (A.18)の証明

d

dseX(s) =

∫ 1

0

dtd

dt

(e(1−t)X(s) d

dsetX(s)

)=

∫ 1

0

dte(1−t)X(s)

(−X(s)

d

dsetX(s) +

d

ds

(X(s)etX(s)

))=

∫ 1

0

dte(1−t)X(s)dX(s)

dsetX(s) (A.30)

量 子 力 学 iihiggs.phys.kyushu-u.ac.jp/inoue/qmii-1.pdf4 第1章 量子力学の体系...

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量子力学 iihiggs.phys.kyushu-u.ac.jp/inoue/qmii-1.pdf4 第1章量子力学の体系...