高 等 数 学 -...
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普通高等教育“十五”国家级规划教材
(高职高专教育)
高 等 数 学
第二版
主编 李心灿
副主编 徐 兵 蔡燧林
编委(按姓氏笔画为序)
计慕然 刘浩荣 刘 晓
吴 满 杨万禄 张魁元
金桂堂 龚冬保 谢 鹏
高等教育出版社
内容提要
本书是普通高等教育“十五”国家级规划教材,也是教育部高职高专规划教材。内容包括函数,极限与连续,
导数与微分,导数的应用,不定积分,定积分及其应用,向量代数与空间解析几何,多元函数微分学,二重积分,无
穷级数,常微分方程。节末有习题,章末有复习题,书末附有习题答案和五个附录:本书中出现的数学家简介,简
单不定积分表,二阶、三阶行列式简介,常用的初等数学公式,检测题。随教材赠送教师电子教案。
本书是充分汲取高等职业学校、高等专科学校和成人高等学校在探索培养技术应用性专门人才方面的经
验、教训,结合我国的教学实际编写而成的,它既适合高职高专院校使用,也适用于成人高校的专科及本科院校
举办的二级职业技术学院和民办高校使用。
图书在版编目(CIP)数据
高等数学�/李心灿主编.—2版.—北京:高等教育出版社,2003.4 ISB N 7 - 04 - 012402 - 5
Ⅰ.高... Ⅱ.李... Ⅲ.高等数学 - 成人教育:高等教育 - 教材 Ⅳ.013
中国版本图书馆 CIP 数据核字(2003)第 014089 号
责任编辑 薛春玲 封面设计 杨立新 责任绘图 杜晓丹
版式设计 马静如 责任校对 朱惠芳 责任印制
出版发行 高等教育出版社 �购书热线 010 - 64054588
社 址 北京市东城区沙滩后街 55 号 免费咨询 800 - 810 - 0598
邮政编码 100009 网 址 http:�/�/w w w.hep.edu.cn
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经 销 新华书店北京发行所
排 版 高等教育出版社照排中心
印 刷
版 次 1999年 5 月第 1 版
开 本 787×1092 1�/16 年 月第 版
印 张 28.25 印 次 年 月第 次印刷
字 数 690 000 定 价 29.40 元
本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。
版权所有 侵权必究
出 版 说 明
为加强高职高专教育的教材建设工作,2000 年教育部高等教育司颁发了《关于加强高职高
专教育教材建设的若干意见》(教高司[2000]19 号),提出了“力争经过 5 年的努力,编写、出版
500 本左右高职高专教育规划教材”的目标,并将高职高专教育规划教材的建设工作分为两步实
施:先用 2 至 3 年时间,在继承原有教材建设成果的基础上,充分汲取近年来高职高专院校在探
索培养高等技术应用性专门人才和教材建设方面取得的成功经验,解决好高职高专教育教材的
有无问题;然后,再用 2 至 3 年的时间,在实施《新世纪高职高专教育人才培养模式和教学内容体
系改革与建设项目计划》立项研究的基础上,推出一批特色鲜明的高质量的高职高专教育教材。
根据这一精神,有关院校和出版社从 2000 年秋季开始,积极组织编写和出版了一批“教育部高职
高专规划教材”。这些高职高专规划教材是依据 1999 年教育部组织制定的《高职高专教育基础
课程教学基本要求》(草案)和《高职高专教育专业人才培养目标及规格》(草案)编写的,随着这些
教材的陆续出版,基本上解决了高职高专教材的有无问题,完成了教育部高职高专规划教材建设
工作的第一步。
2002 年教育部确定了普通高等教育“十五”国家级教材规划选题,将高职高专教育规划教材
纳入其中。“十五”国家级规划教材的建设将以“实施精品战略,抓好重点规划”为指导方针,重点
抓好公共基础课、专业基础课和专业主干课教材的建设,特别要注意选择一部分原来基础较好的
优秀教材进行修订使其逐步形成精品教材;同时还要扩大教材品种,实现教材系列配套,并处理
好教材的统一性与多样化,基本教材与辅助教材、文字教材与软件教材的关系,在此基础上形成
特色鲜明、一纲多本、优化配套的高职高专教育教材体系。
普通高等教育“十五”国家级规划教材(高职高专教育)适用于高等职业学校、高等专科学校、
成人高校及本科院校举办的二级职业技术学院、继续教育学院和民办高校使用。
教育部高等教育司
2002 年 11 月 30 日
前 言
本书是普通高等教育“十五”国家级规划教材,也是教育部高职高专规划教材。编者是根据
教育部制定的《高职高专教育高等数学课程教学基本要求》、《高职高专教育专业人才培养目标及
规格》,充分汲取高等职业学校、高等专科学校和成人高等学校在探索培养技术应用性专门人才
方面取得的经验、教训以及我国的教学实际而编写的。它既适合高职高专院校使用,也适用于成
人高校的专科及本科院校举办的二级职业技术学院和民办高校使用。
在编写中我们努力体现下述特点:
1. 按照教学基本要求,充分考虑高职高专教育的特点和当前的教学实际,以“必需”“够用”
为度(书中用小五号字排版和标有 * 号的内容,例题、习题不作为基本要求)。
2. 重点突出,难点分散,注重几何直观与物理解释,重视培养学生的几何想像能力、抽象概
括能力、逻辑推理能力和应用数学的意识、兴趣、能力。
3. 为了便于自学,对基本概念、基本理论、基本方法作了深入浅出的介绍,配备了较多的例
题和习题,重视培养学生的运算能力。
4. 在附录中编入了与本书有关的十多位数学家的简介。这不但可以使读者了解这些数学
家的生平、业绩、治学态度、治学方法、品德、风采,向他们学习;而且把定理、公式与名人、轶事联
系起来,往往使人印象深刻,甚至终身难忘。
5. 为了辅导学生学习,编写了一本与教材配套的学习辅导书。该书按照教材章节对应编
写,每章紧扣教学基本要求和主教材,都分为五个部分:教学基本要求;重点;应明确的几个问题;
思考题分析;范例解析。其目的是使“无疑者须教有疑,有疑者却要无疑。”帮助学生理出知识框
架和脉络,领会思想,掌握精髓,培养学生分析问题、解决问题的能力,使教学辅导用书能成为学
生不见面的辅导老师。
6. 为了便于教师用多媒体进行讲课,还配有一张教师讲课使用的电子教案。
本书由北京航空航天大学、浙江大学、西安交通大学、同济大学、天津大学、吉林大学、华南理
工大学、华中科技大学、北方交通大学、北京西城经济科学大学,共 10 所大学的 12 位数学教师组
成的编委会合作编写的,全书由李心灿任主编,徐兵、蔡燧林任副主编,其中第一、二章由张魁元
执笔,第三章由计慕然执笔,第四章由吴满执笔,第五、六章由金桂堂执笔,第七章由徐兵、刘晓执
笔,第八章由杨万禄执笔,第九章由龚冬保、徐兵执笔,第十章由徐兵执笔,第十一章由刘浩荣执
笔,附录由李心灿,徐兵编写,书中的图大部分皆由谢鹏用计算机绘制,最后由正副主编修改、统
稿、定稿。
本书的编写和出版,自始至终得到了高等教育出版社有关领导及高职高专分社张思挚副社
Ⅰ
长的重视,并给予了大力支持和帮助。在此一并致以诚挚的谢意。
由于我们水平所限,书中不当之处在所难免,恳请同仁和读者批评指正。
编者
2002 年 12 月
Ⅱ
目 录
第一 h章 函数 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§1.1 预备知识 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§1.2 函数及其表示法 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§1.3 函数的几种特性 8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§1.4 反函数和复合函数 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§1.5 初等函数 15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题一 20⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第二章 极限与连续 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§2.1 数列的极限 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§2.2 函数的极限 28⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§2.3 极限的运算法则及存在准则 33⋯⋯
§2.4 无穷小与无穷大 42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§2.5 函数的连续性 47⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§2.6 �连续函数的运算与初等函数的
连续性 52⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§2.7 闭区间上连续函数的性质 55⋯⋯⋯
复习题二 57⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第三章 导数与微分 60⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§3.1 导数的概念 60⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§3.2 导数的运算 66⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§3.3 高阶导数 78⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§3.4 微分及其运算 82⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题三 86⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第四章 导数的应用 88⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§4.1 微分中值定理 88⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§4.2 洛必达法则 95⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§4.3 函数的单调性 100⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§4.4 函数的极值与最值问题 104⋯⋯⋯
§4.5 曲线的凹凸性与拐点 110⋯⋯⋯⋯
§4.6 函数的作图 113⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§4.7 曲率 118⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题四 122⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第五章 不定积分 124⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§5.1 不定积分的概念与性质 124⋯⋯⋯
§5.2 换元积分法 134⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§5.3 分部积分法 144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§5.4 积分表的使用 148⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题五 150⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第六章 定积分及其应用 153⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§6.1 定积分的概念 153⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§6.2 定积分的基本性质 158⋯⋯⋯⋯⋯
§6.3 微积分学基本定理 162⋯⋯⋯⋯⋯
§6.4 *定积分的换元法与分部积分
法 167⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§6.5 广义积分 172⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§6.6 定积分的应用 176⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题六 183⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第七章 空间解析几何与向量代数 186⋯⋯
§7.1 空间直角坐标系 186⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§7.2 向量的概念与线性运算 189⋯⋯⋯
§7.3 向量的代数表示 191⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§7.4 向量的数量积与向量积 195⋯⋯⋯
§7.5 曲面方程与空间曲线方程 199⋯⋯
§7.6 平面方程 204⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§7.7 空间直线方程 210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§7.8 常见的二次曲面 218⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题七 220⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第八章 多元函数微分学 222⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§8.1 多元函数的概念 222⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§8.2 偏导数 229⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§8.3 全微分 236⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§8.4 复合函数微分法 240⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§8.5 隐函数微分法 248⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§8.6 多元函数的极值 252⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题八 257⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第九章 二重积分 260⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§9.1 二重积分的概念及性质 260⋯⋯⋯
§9.2 二重积分的计算 263⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§9.3 二重积分的应用 277⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题九 280⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
Ⅰ
第十 h章 无穷级数 283⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§10.1 无穷级数的概念和性质 283⋯⋯⋯
§10.2 正项级数 289⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§10.3 任意项级数 296⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§10.4 幂级数 300⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§10.5 初等函数展开为幂级数 307⋯⋯⋯
§10.6 傅里叶级数 315⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
复习题十 322⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第十一章 常微分方程 324⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§11.1 微分方程的一般概念 324⋯⋯⋯⋯
§11.2 变量可分离的微分方程 328⋯⋯⋯
§11.3 一阶线性微分方程 332⋯⋯⋯⋯⋯
§11.4 一阶微分方程的应用举例 336⋯⋯
§11.5 可降阶的高阶微分方程 341⋯⋯⋯
§11.6 X二阶常系数线性齐次微分方
程 344⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§11.7 X二阶常系数线性非齐次微分
方程 350⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
§11.8 二阶微分方程的应用举例 358⋯⋯
复习题十一 366⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习题答案或提示 369⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
附录一 本书中出现的数学家简介 395⋯⋯
附录二 简单不定积分表 420⋯⋯⋯⋯⋯⋯
附录三 二阶、三阶行列式简介 424⋯⋯⋯
附录四 常用的初等数学公式 427⋯⋯⋯⋯
附录五 检测题 429⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
Ⅱ
第一章 函 数
初等数学研究的主要是常量及其运算,而高等数学所研究的主要是变量及变量之间的依赖
关系.函数正是这种依赖关系的体现.函数是高等数学中最重要的基本概念,也是高等数学主要
的研究对象.本章将在复习中学教材中有关函数内容的基础上,进一步研究函数的性质,分析初
等函数的结构.
§1.1 预备知识
一、实数集
随着社会的发展,人类逐步加深对数的认识.正整数首先被人类所认识,全体正整数构成的
数集记为 N + = {1,2,⋯}.为了使减法运算能够顺利进行,数的范围扩大到了整数,整数集 Z =
{⋯, - 2, - 1,0,1,2,⋯}.为了除法运算的顺利进行,数的范围扩大到了有理数,有理数集 Q =
{ x| x =pq; p, q∈Z, q≠0}.即一个数是有理数,当且仅当它可以写成分数.
如果用十进制小数来表示有理数,则有理数被写成有穷的,或者是无限循环的小数.如12
=
0.5, -14
= - 0.25,43
= 1.3·
.反之,有穷小数或无限循环小数都可以化成分数.
具有原点,正方向和长度单位的直线称为数轴.任何一个有理数都恰有数轴上的一个点与其
对应.这种与有理数对应的点称为有理点.有理点在数轴上是处处稠密的,即在任意的两个有理
点之间,仍有有理点.这是因为,对于任何不相等的两个有理数 a 和 b,均有有理数a + b2
介于其
间.虽然有理数在数轴上处处稠密,但有理点却并未充满整个数轴.如圆周率π,边长为 1 的正方
形的对角线长度 2,当它们被表示成十进制小数时,都不是有穷的或无限循环的.经计算π=
3.141 592 6⋯, 2 = 1.414 213 5⋯.这种无限不循环小数称为无理数.无理数在数轴上对应的点
叫做无理点.
有理数与无理数统称为实数,实数集记为 R.本书如无特殊声明,总是在 R 上讨论问题.实
数的全体充满了整个数轴,即实数不但是稠密的,而且是连续的.实数与数轴上的点形成了一一
对应关系.实数系统可表示为:
·1·
实数
有理数
正有理数正整数
正分数
零
负有理数负整数
负分数
无理数正无理数
负无理数(无限不循环小数).
二、实数的绝对值
实数的绝对值是数学里经常用到的概念.下面介绍实数绝对值的定义及一些性质.
实数 x 的绝对值,记为| x|,它是这样一个非负实数
| x| =x,
- x, x≥0,
x < 0.
例如,|3.78| = 3.78,| - 8| = 8,|0| = 0.
| x|的几何意义为数轴上点 x 到原点的距离.
实数的绝对值有如下性质:
(1) 对于任意的 x∈R,有| x|≥0.当且仅当 x = 0 时,才有| x| = 0.
(2) 对于任意的 x∈R,有| - x| = | x|.
(3) 对于任意的 x∈R,有| x| = x2.
(4) 对于任意的 x∈R,有 - | x|≤ x≤| x|.
(5) 设 a > 0,则| x| < a 的充分必要条件是 - a < x < a.
(6) 设 a≥0,则| x|≤ a 的充分必要条件是 - a≤ x≤ a.
(7) 设 a≥0,则| x| > a 的充分必要条件是 x < - a 或者x > a.
(8) 设 a≥0,则| x|≥ a 的充分必要条件是 x≤ - a 或者x≥ a.
它们的几何解释是很直观的.例如性质(5),在数轴上| x| < a 表示所有与原点距离小于 a
的点 x 构成的点集, - a < x < a 表示所有位于点 - a 和点 a 之间的点 x 构成的点集,它们表示
同一个点集.性质(6)—(8)可做类似的解释.
由性质(5)可以推得不等式| x - A| < a 与 A - a < x < A + a 是等价的,其中 A 为实数, a
为正实数.
关于实数四则运算的绝对值,有以下的结论:
对任意的 x, y∈R,恒有
(1) | x + y|≤| x| + | y| (三角不等式).
(2) | x - y|≥|| x| - | y||≥| x| - | y|.
(3) | xy| = | x|| y|.
(4)xy
=| x|| y|
( y≠0).
下面仅就结论(1)进行证明.
·2·
证 由性质(4),有 - | x|≤ x≤| x|及 - | y|≤ y≤| y|,从而有
- (| x| + | y|)≤ x + y≤| x| + | y|.
再根据性质(6),由于| x| + | y|≥0(相当于性质(6)中 a≥0),得
| x + y|≤| x| + | y|.
三、区间与邻域
区间是高等数学中常用的实数集,包括四种有限区间和五种无限区间,它们的名称、记号和
定义如下:
闭区间 �[ a, b] = { x| a≤ x≤ b}
开区间 ( a, b) = { x| a < x < b}
半开区间 ( a, b] = { x| a < x≤ b}
[ a, b) = { x| a≤ x < b}
无限区间 ( a, + ∞) = { x| a < x}
[ a, + ∞) = { x| a≤ x}
( - ∞, b) = { x| x < b}
( - ∞, b] = { x| x≤ b}
( - ∞, + ∞) = { x| x∈R}
其中 a, b 为确定的实数,分别称为区间的左端点和右端点.闭区间[ a, b],半开区间[ a, b)及( a,
b],开区间( a, b)为有限区间.有限区间的左、右端点之间的距离 b - a 称为区间长度. + ∞与
- ∞分别读作“正无穷大”与“负无穷大”,它们不表示任何数,仅仅是记号.
区间在数轴上可如图 1.1 表示.
图 1.1
邻域是高等数学中经常用到的概念.称实数集
{ x|| x - a| <δ}
为点 a的δ邻域,记作 U( a,δ), a 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径.由邻域的定义知
U ( a,δ) = ( a - δ, a +δ)
表示分别以 a - δ, a + δ为左、右端点的开区间,区间长度为 2δ,见图 1.2
·3·
图 1.2
在 U( a,δ)中去掉中心点 a得到的实数集
{ x|0 < | x - a| < δ}
称为点 a 的去心δ邻域,记作 U。
( a,δ).显然,去心邻域 U。
( a,δ)是两个开区间( a - δ, a)和
( a, a + δ)的并,即 U。
( a,δ) = ( a - δ, a)∪( a, a +δ),见图 1.2.
习题 1.1
1. 用区间表示下列范围:
(1) x≤0; (2) - 1≤ x < 2; (3) | x - 2| < ε; (4) U( a,δ).
§1.2 函数及其表示法
一、变量与常量
在观察自然现象或研究实际问题时,我们经常遇到各种各样的量.如果一个量在某过程中是
变化的,即可以取不同的数值,则称这种量为变量;如果一个量在某过程中保持不变,总取同一
值,则称这种量为常量.本书中变量通常用 x, y, t,⋯表示,常量通常用 a, b, c,⋯表示.
例如,一列从天津直达北京的旅客快车在行驶过程中,列车的速度、列车距北京的距离及列
车中的燃油重量都是变量,而列车中的旅客数和车厢节数是常量.在列车抵达北京站,旅客下车
的过程中,列车的速度,列车距北京站的距离都是常量,而列车上的旅客数则是个变量.可见常量
与变量都是对某一过程而言的.
为了讨论问题的方便,常量可以看成是特殊的变量.
二、函数的概念
在同一个过程中,往往有几个变量同时存在,变量与变量之间的依赖关系正是高等数学研究
的主要问题.本章只讨论两个变量的情况.先看下面的例子.
例 1 自由落体运动.设物体下落的时间为 t,下落的距离为 s,假定开始下落的时刻为 t =
0,那么 s与 t之间的依赖关系由下式给定:
·4·
s =12gt
2,
其中 g 是重力加速度,假定物体着地时刻为 t = T,那么当时间 t在闭区间[0, T]上任取一值时,
由上式就可以确定相应的 s值.
例 2 从甲地到乙地的火车票的全价为 q0 (元),按铁路部门的规定,1.1 米以下的儿童免
票,身高超过 1.1 米但不足 1.4 米的儿童购买半价票,身高为 1.4 米或超过 1.4 米者购买全票.
试写出从甲地到乙地票价 q作为身高 s的函数的表达式.
解 依题意, q(单位:元)作为 s(单位: m)的依赖关系,可以表示为如下形式
q =
0,0 < s< 1.1,
12q0 ,1.1≤s< 1.4,
q0 ,s≥1.4.
上面两个例子均表达了两个变量之间的依赖关系,每个依赖关系对应一个法则,根据各自的
法则,当其中一个变量在某一数集内任取一值时,另一变量就有确定值与之对应.两个变量之间
的这种依赖关系称为函数关系.
定义 设 x 和 y 是两个变量, X 是实数集 R 的子集.如果对任何的 x∈ X,变量 y 按照一定
的规则 f,有惟一确定的实数值与之对应,则称规则 f是定义在 X 上的函数,也称 y是 x 的函数,
记作
y = f( x).
称 X 为该函数的定义域;称 x 为自变量,称 y 为因变量.
当自变量 x 取数值 x0 ∈ X 时,与 x0 对应的因变量 y的值称为函数 y = f( x)在点 x0 处的
函数值,记为 f( x0 ),或 y| x = x0.当 x 取遍 X 的各个数值时,对应的变量 y 取值的全体组成的数
集称作这个函数的值域.
在函数的定义中自变量 x 与因变量 y 的对应规则,也可以改用其它字母,如 F,φ, f1 , f2
等.如果两个函数的定义域相同,并且对应规则也相同(从而值域也相同),那么它们不论用什么
记号,均表示同一个函数.
在实际问题中,函数的定义域是由实际意义确定的.如例 1 中的定义域为[0, T],例 2 中的
定义域为(0, + ∞).在研究由公式表达的函数时,我们约定:函数的定义域就是使函数表达式有
意义的自变量的一切实数值所组成的数集.例如,函数 y = 1 - x2的定义域是[ - 1,1],函数 y
=1
1 - x2的定义域是( - 1,1),函数 y = sin x 的定义域为( - ∞, + ∞).
例 3 求函数 y =x + 1x + 3
的定义域.
解 当分母 x + 3≠0 时,此函数才有意义.所以函数的定义域为 x≠ - 3 的全体实数,用区
间表示为( - ∞, - 3)∪( - 3, + ∞).
例 4 求函数 y = 16 - x2+ lg sin x 的定义域.
解 要使函数 y 有定义,必须使
·5·
16 - x2≥0,
sin x > 0
成立,即
- 4≤ x≤4,
2 nπ< x < (2 n + 1)π ( n = 0,±1,±2,⋯).
这个不等式组的解为
- 4≤ x < -π或 0 < x <π,
所以函数的定义域为[ - 4, -π)∪(0,π).
例 5 求函数 f( x) = x2- 3 x + 5 在 x = 3, x = x0 + 1, x = x0 + h 各点的函数值.
解 f(3) = 32- 3×3 + 5 = 5.
f( x0 + 1) 1= ( x0 + 1)2- 3( x0 + 1) + 5 = x
20 - x0 + 3,
f( x0 + h) E= ( x0 + h)2- 3( x0 + h) + 5 = x
20 + 2 hx0 + h
2- 3 x0 - 3 h + 5
= x2
0 + (2 h - 3) x0 + ( h2- 3 h + 5).
例 6 设有函数 f( x) = x - 1 和 g( x) =x2- 1
x + 1,问它们是否为同一个函数 ?
解 当 x≠ - 1 时,函数值 f( x) = g( x),但是 f( x)的定义域为( - ∞, + ∞),而 g( x)在 x
= - 1 点无定义,其定义域为( - ∞, - 1)∪( - 1, + ∞).由于 f( x)与 g( x)的定义域不同,所以
它们不是同一个函数.
在函数的定义中,要求对每一个 x∈ X,都有惟一的 y值与其对应.而在有的场合,如变量 x
与 y由方程 x2+ y
2= 1 确定了它们之间的关系 y = ± 1 - x
2,任取 x∈( - 1,1), y 就有两个值
与其对应,因此这就不符合前面的函数定义了,但是为了表述上的方便,我们将这种多个 y值与
一 个x对应的关系称为多值函数.相应地,前面定义中的函数可称为单值函数.多值函数通常将
图 1.3
其分成几个单值函数(或称单值分支)来讨论,如 x2+ y
2= 1
可以分成两个单值分支: y = 1 - x2和 y = - 1 - x
2.
以后凡没有特别说明,本书讨论的函数都是指单值函数.
设函数 y = f( x)的定义域为 X.在平面直角坐标系 O xy
中,对于任意的 x∈ X,通过函数 y = f( x)都可确定一个点
M ( x, y),当 x 取遍定义域 X 中的所有值时,点 M ( x, y)描
出的图形称为函数 y = f( x)的图形.一个函数的图形通常是
一条曲线,见图 1.3.因此,又称函数 y = f( x)的图形为曲线 y = f( x).
三、函数的表示法
在函数的定义中,并没有规定用什么方法来表示函数.为了能很好地研究函数关系,就应该
采用适当的方法把它表示出来.函数的表示法通常有三种:表格法、图示法和公式法.
(1) 表格法 表格法就是把自变量 x 与因变量 y 的一些对应值用表格列出,这样函数关系
就用表格表示出来.例如,大家熟悉的对数表、开方表、三角函数表和统计表格等都是用表格法来
·6·
表示函数的.
表格法表示函数的优点是使用方便,可以直接得到函数值,缺点是数据不全,不能查出函数
的任意值,当表很大时变量变化的全面情况不易从表上看清楚,不便于进行运算和分析.
(2) 图示法 函数 y = f( x)的图形(见图 1.3)直观地表达了自变量 x 与因变量 y之间的关
系.图示法的主要优点是直观性强,函数的主要特性在图上都一目了然.例如,因变量的增减情况
及因变量增减的快慢等都可以通过曲线的升、降及陡、缓表示出来.
例 7 某河道的一个断面如图 1.4 所示,在断面 O xy 上,离岸边距离为 x 处的深度为 y. x,
y 之间的函数关系由图 1.4 表示,函数的定义域为[0, b].
图 1.4
图示法的缺点是不便于作理论上的分析、推导和运算.
(3) 公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关
系,是函数的公式表示法.如例 1,例 2 都是用公式法表达函数.用公
式法表达函数的优点是简明准确,便于理论分析,缺点是不够直观,
并且有些实际问题(如例 7)中遇到的函数关系,很难甚至不能用公
式法表示.
函数的三种表示法各有优点和缺点,针对不同的问题可以采用
不同的表示法,有时为了把函数关系表达清楚,往往同时使用两种以上的表示法.本书一般采用
公式法表示函数,为了直观,经常辅之以图示法(即画出函数的图形).
用公式法表示函数,通常用一个公式就可以,如 y = sin x, s =12
gt2等.但有一些函数,当自
变量在不同的范围内取值时,对应法则不能用同一个公式表达,而要用两个或两个以上的公式来
表示,这类函数称为分段函数(如例 2).下面再举两个分段函数的例子.
例 8 旅客携带行李乘飞机旅行时,行李的重量不超过 20 千克时不收费用,若超过 20 千
克,每超过 1 千克收运费 a 元,建立运费 y与行李重量 x 的函数关系.
图 1.5
解 因为,当 0≤ x≤20 时,运费 y = 0;而当 x > 20 时,只有超过的部分 x - 20 按每千克收
运费 a元,此时 y = a( x - 20).于是函数 y可以写成:
y =0,
a( x - 20), 0≤ x≤20,
x > 20.
这样便建立了行李重量 x 与行李运费之间的函数关系.
例 9 设
y = f( x) =x2, 0≤ x≤1,
2 x, 1 < x≤2.
f( x)的定义域是[0,2].当 x∈[0,1]时, f( x) = x2;当 x∈(1,2]时,
f( x) = 2 x,见图 1.5.由于12,1∈[0,1],因此 f
12
=12
2
=14,
f(1) = 12= 1;而
32∈(1,2],因此 f
32
= 2×32
= 3.
分段函数是公式法表达函数的一种方式.在理论分析和实际应用
方面都是很有用的.需要注意的是,分段函数是用几个公式合起来表
示一个函数,而不是表示几个函数.
·7·
习题 1.2
1. 求下列函数的定义域:
(1) y = 3 - x2 ; �(2) y =1
x2 - 3; �(3) y =
11 - x
2 ;
(4) y = 2 + x +1
lg(1 - x); (5) y =
2 xx2 - 3 x + 2
; (6) y =1 + x1 - x
;
(7) y =sin x, 0≤ x <
π2,
x,π2≤ x <π.
2. 在下列各题中, f( x)和 g( x)是否表示同一函数 ? 为什么 ?
(1) f( x) = x, g( x) = x2; �(2) f( x) = lg x
2, g( x) = 2lg x;
(3) f( x) = sin x, g( x) = 1 - cos2x; (4) f( x) = |cos x|, g( x) = 1 - sin
2x;
(5) f( x) = x3x, g( x) =
3
x4 .
3. 求函数值:
(1) f( x) = 3 + x2 ,求 f(4), f(1), f(0), f( - 1), f( x0 )和 f
1a
.
(2) f( x) = 3 x + 2,求 f(1), f(1 + h)及f(1 + h) - f(1)
h.
(3) φ(t) = t2,求 φ(2),[φ(3)]
3,φ( - 1).
(4) 设
φ( x) =
2x, - 1 < x < 0,
2, 0≤ x < 1,
x - 1, 1≤ x≤3,
图 1.6
求φ(3),φ(2),φ(0),φ(0.5)及φ( - 0.5).
4. 有一块边长为 l的正方形铁皮,在它的四角各剪去相等的小正方形,折
叠后做成一个无盖的盒子.求这个盒子的容积 V 与被剪去的小正方形边长 x之
间的函数关系.
5. 已知一物体与地平面的摩擦系数是 μ,质量是 m.设有一与水平方向成
α角的拉力 F,使物体从静止开始移动(图 1.6),求物体开始移动时拉力 F 与角
α之间的函数关系.
§1.3 函数的几种特性
一、有界性
设函数 y = f( x)的定义域为 D,数集 X� D,如果存在正数 M ,使得对于任意的 x∈ X,都
·8·
有不等式
| f( x)|≤ M
成立,则称 f( x)在 X 上有界,如果这样的 M 不存在,就称函数 f( x)在 X 上无界.
如果 M 为 f( x)在 X 上的一个界,则易知比 M 大的任何一个数都是 f( x)的界.
函数 y = f( x)在 X 上无界也可以这样叙述:对于任意一个给定的正数 M,中总存在 x M ∈ X
使得
图 1.7
| f( x M )| > M .
当函数 y = f( x)在区间[ a, b]上有界时,函数 y = f( x)的
图形恰好位于直线 y = M 和 y = - M 之间,如图 1.7 所示.例
如,函数 f( x) = sin x 在( - ∞, + ∞)内是有界的.这是因为对
于任意的 x∈( - ∞, + ∞),都有
|sin x|≤1
成立,这里取 M = 1.函数 y = sin x 的图形位于直线 y = 1 与 y
= - 1 之间.
应该注意,函数的有界性,不仅仅要注意函数的特点,还要注意自变量的变化范围 X.例如,
函数 f( x) =1x在区间(1,2)内是有界的.事实上,若取 M = 1,则对于任何 x∈(1,2)都有
| f( x)| =1x
≤1
成立,而 f( x) =1x在区间(0,1)内是无界的.
二、单调性
函数 y = x3当自变量 x增大时,函数值也随之增大;反之,函数 y = - x 当自变量 x 增大时,
函数值却随之减少.具有这种特性的函数称为单调函数.函数的单调性可用数学语言描述如下:
设函数 y = f( x)在区间 I上有定义(即 I是函数 y = f( x)的定义域或者是定义域的一部
分).如果对于任意的 x1 , x2 ∈I,当 x1 < x2 时,均有
f( x1 )≤f( x2 )(或 f( x1 )≥ f( x2 )),
则称函数 y = f( x)在区间 I上单调增加(或单调减少).如果对于区间 I上任意两点 x1 及 x2 ,当
x1 < x2 时,均有
f( x1 ) < f( x2 )(或 f( x1 ) > f( x2 )),
则称函数 y = f( x)在区间 I上严格单调增加(或严格单调减少).
严格单调增加的函数的图形是沿 x 轴正向上升的(见图 1.8);严格单调减少的函数的图形
是沿 x 轴正向下降的(见图 1.9).
在区间 I上单调增加的或者是单调减少的函数,统称为 I上的单调函数,或者说其在 I 上
是单调的,并称 I为这个函数的单调区间.单调性是关于函数在所讨论区间上的一个概念,绝不
能离开区间谈函数的单调性.
·9·
图 1.8 图 1 �.9
例如,函数 f( x) = x3在( - ∞, + ∞)内是严格单调增加的,如图 1.10 所示;函数 f( x) = x
2
在( - ∞,0]上是严格单调减少的,在区间[0, + ∞)上是严格单调增加的,而在区间( - ∞, + ∞)
内则不是单调函数,如图 1.11 所示.
图 1 �.10 图 1 v.11
三、奇偶性
设函数 y = f( x)的定义域 D 是关于原点对称的,即当 x∈ D 时,有 - x∈ D.如果对于任意
的 x∈ D,均有
f( - x) = f( x),
则称 f( x)为偶函数.如果对任意的 x∈ D,均有
f( - x) = - f( x),
则称 f( x)为奇函数.
偶函数的图形是关于 y 轴对称的.奇函数的图形是关于坐标原点对称的.
例 1 讨论下列函数的奇偶性:
(1) f( x) = x2;(2) f( x) = x
3;(3) f( x) = x
2+ x
3.
解 (1) 因为 f( - x) = ( - x)2= x
2= f( x),从而知 f( x) = x
2是偶函数.
(2) 因为 f( - x) = ( - x)3= - x
3= - f( x),从而知 f( x) = x
3是奇函数.
(3) 因为 f( - x) = x2- x
3,而 f( x) = x
2+ x
3, - f( x) = - x
2- x
3,当 x≠0 时, f( - x)≠
·01·
f( x)且 f( - x)≠ - f( x),所以 f( x) = x2+ x
3既不是偶函数也不是奇函数.
在常见的函数中, y = sin x 是奇函数, y = cos x 是偶函数.当 n 为偶数时,函数 y = xn是偶
函数;当 n 是奇数时,函数 y = xn是奇函数.
四、周期性
设函数 y = f( x), x∈ D.如果存在正常数 T,使得对于任何 x∈ D,均有 x± T∈ D,且
f( x + T) = f( x)
成立,则称函数 y = f( x),为周期函数,称 T 为 f( x)的周期.
显然,若 T 是周期函数 f( x)的周期,则 kT 也是 f( x)的周期( k = 1,2,⋯),通常我们说的周
期函数的周期是指最小正周期.
例如,函数 y = sin x 及 y = cos x 都是以 2π为周期的周期函数;函数 y = tan x 及 y = cot x
都是以π为周期的周期函数.
周期函数的图形呈周期状,即在其定义域上任意两个长度相同的区间上,只要它们的左端点
之间的距离是 kT( k 为正整数),则在这两个区间上函数的图形有相同的形状.
例 2 求函数 f(t) = Asin(ωt+ φ)的周期,其中 A,ω,φ为常数.
解 设所求的周期为 T,由于
f(t + T) �= Asin[ω(t + T) + φ] = Asin[(ωt + φ) + ωT],
要使
f(t+ T) = f( t),
即 Asin[(ωt + φ) + ωT] = Asin(ωt+ φ)
成立,并注意到 sin t 的周期为 2π,只需
ωT = 2 nπ ( n = 0,1,2,⋯),
使上式成立的最小正数为 T =2πω(取 n = 1),所以函数 f(t) = Asin(ωt + φ)的周期是
2πω.
习题 1.3
1. 一般地,在一块水田中施用肥料越多,稻子的产量就越高.但是,如果肥料施用得过多(比如超过某一定
数 x0 ),稻子也会受到毒害,使产量急剧下降,试画出水稻产量 y做为施肥量 x 的函数的大致图形.
2. 下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些函数非奇非偶 ?
(1) y = 2 x4 ( x2 - 1); �(2) y = x + sin x;
(3) y = xcos x; (4) y = ln( x + 1 + x2 );
(5) y = x( x - 1)( x + 1); (6) y = sin x + 2cos x.
3. 指出下列函数的单调性:
(1) y = 3 x + 2; (2) y = ( x - 1)2 ;
(3) y = 3x; (4) y = tan x -
π2
< x <π2
.
4. 下列函数哪些是周期函数 ? 对于周期函数请指出其周期.
(1) y = cosx2; (2) y = sin 2 x;
·11·
(3) y = xcos x; (4) y = sin2x;
(5) y = tan x +π4
; (6) y = sin x +12sin 2 x +
13sin 3 x.
5. 设 f( x)是定义在( - l,l)上的函数,验证:
(1) φ( x) =12
f( x) + f( - x) 是偶函数;
(2) φ( x) =12
f( x) - f( - x) 是奇函数.
6. 设下面所考虑的函数的定义域都是对称区间( - l,l),证明:
(1) 两个偶函数之和是偶函数,两个奇函数之和是奇函数;
(2) 两个偶函数之积是偶函数,两个奇函数之积是偶函数,一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数.
§1.4 反函数和复合函数
一、反函数
设函数 y = f( x)的定义域为 D,值域为 W ,因为 W是由函数值组成的数集,所以对每一个
图 1.12
y0 ∈ W ,必定有 x0 ∈ D 使得 x0 与之对应,即 f( x0 ) = y0 成
立.这样的 x0 可能不止一个,如图1.12 所示.
一般地,对于任意的 y∈ W ,如果存在惟一的 x∈ D,使
得 x 与 y相对应,且满足
f( x) = y.
按照函数的定义,当我们把 y 看成是自变量,把 x 看成是因
变量时,便得到一个新的函数.称这个新的函数为函数 y =
f( x)的反函数,记作 x = φ( y).其定义域为 W ,值域为 D.这
个新的函数关系是源于函数 y = f( x)的.相对于反函数来说,称函数 y = f( x)为直接函数.
由图 1.12 可见,对于函数 y = f( x),一般来说不能保证其反函数存在.例如 y = x2或 y =
sin x,它们的反函数都不存在.不过有如下结论:如果函数 y = f( x)是严格单调增加(或减少)
的,则必存在反函数 x = φ( y)并且它也是严格单调增加(或减少)的.
设函数 y = f( x)存在反函数
x = φ( y), (1)
则其在直角坐标系 O xy 中的图形与 y = f( x)的图形是一致的.习惯上,常用 x 来表示自变量, y
表示函数,所以我们可以将反函数(1)改写成
y = φ( x), (2)
并且也称(2)为 y = f( x)的反函数,由于改变了自变量和因变量的记号,因而(2)在直角坐标系
Oxy 中的图形与 y = f( x)的图形是关于直线 y = x 对称的(见图 1.13).
反函数的两种形式以后都会遇到,我们可以从前后文中知道究竟指的是哪一种情况.
·21·
例 1 设函数 y = 2 x - 3,求它的反函数并画出图形.
解 从函数 y = 2 x - 3 中直接解出 x 得
x =12( y + 3).
这是所求的反函数,交换变量记号,得 y = 2 x - 3 的反函数为
y =12( x + 3).
直接函数 y = 2 x - 3 与其反函数 y =12( x + 3)的图形关于直线 y = x 对称,如图 1.14 所示.
图 1 �.13 图 1 v.14
二、复合函数
先考察一个例子,设 y = 2u,而 u = sin x,用 sin x 去代替第一个式子中的 u,得
y = 2sin x
.
可以认为函数 y = 2sin x
是由 y = 2u及 u = sin x 复合而成的函数,这样的函数称作复合函数.
定义 设 y 是 u 的函数, y = f( u), u∈ U,而 u 是 x 的函数, u = φ( x), x∈ D,并且 φ( x)
的值域含于 f( u)的定义域,即φ( x)∈ U, x∈ D,则 y 通过 u 的联系也是 x 的函数,称此函数是
由 y = f( u)及 u = φ( x)复合而成的复合函数,记作
y = f[φ( x)],
并称 x 为自变量,称 u 为中间变量.
由此定义,当里层函数的值域不含于外层函数的定义域时,只要两者有公共部分,可以限制
里层函数的定义域,使其对应的值域含于外层函数定义域,就可以构成复合函数了.
例如,函数 y = sin x2可以看成是由 y = sin u(定义域为( - ∞, + ∞))与 u = x
2(定义域为
( - ∞, + ∞),值域为[0, + ∞))复合而成.该函数(自变量是 x)的定义域是( - ∞, + ∞).
再如,函数 y = 1 - x可以看成是由函数 y = u(定义域为[0, + ∞))及 u = 1 - x(定义域
为( - ∞, + ∞),值域为( - ∞, + ∞))复合而成.其定义域为( - ∞,1],是 u = 1 - x 的定义域
( - ∞, + ∞)的一部分.因为只有当 x∈( - ∞,1]时函数 u = 1 - x 的值才落入 y = u的定义域
[0, + ∞)中.
应该指出,不是任何两个函数都可以组成一个复合函数的.例如, y = arcsin u 及 u = 2 + x2
就不能组成复合函数.原因是 u = 2 + x2的值域[2, + ∞)和 y = arcsin u 的定义域[ - 1,1]的交
·31·
集是空集.对于 u = 2 + x2的定义域( - ∞, + ∞)中的任何 x 值,形式上的复合函数 y = arcsin
(2 + x2)均无意义.
因此说函数 y = f( u), u = φ( x)可以构成复合函数的关键是外层函数 f( x)的定义域和里
层函数 φ( x)的值域之交集非空.
复合函数也可以由两个以上的函数复合而成.例如函数 y = cos2 x
2是由 y = u
2, u = cos v 及
v =x2复合而成,其中 u 和 v都是中间变量.
例 2 分析函数 y = cos 2x - 1
是由哪几个函数复合而成.
解 函数 y = cos 2x - 1
是由 y = cos u, u = 2v和 v = x - 1 复合而成,并易知其定义域为
( - ∞, + ∞).
例 3 求由函数 y = u, u = 3 x - 1 组成的复合函数并求其定义域.
解 由于 y = u的定义域为[0, + ∞)与 u = 3 x - 1 的值域( - ∞, + ∞)的交集非空,所以
由它们可以组成复合函数
y = 3 x - 1,
因为 y = u,所以必须 u≥0,从而 3 x - 1≥0,故复合函数的定义域是13, + ∞ .
例 4 设 f( x) =1
1 - x,求 f[ f( x)], f[ f[ f( x)]].
解 @f[ f( x)] =1
1 - f( x)=
1
1 -1
1 - x
= 1 -1x ( x≠1,0),
f[ f[ f( x)]] =1
1 - f[ f( x)]=
1
1 - 1 -1x
= x ( x≠1,0).
习题 1.4
1. 求下列函数的反函数:
(1) y =3x + 2; �(2) y =
1 - x1 + x
; �(3) y = 2 + lg( x + 1).
2. 写出下列函数组成的复合函数,并求复合函数的定义域:
(1) y = arcsin u, u = 1 - x2 ; (2) y = u2 , u = tan x; (3) y = u, u = sin v, v = 2 x.
3. 下列函数由哪些简单函数复合而成 ?
(1) y = 1 - x; (2) y = sin2 3 x +π4
;
(3) y = 5( x + 2)2 ; (4) y = tanx2.
4. 设 f( x) = x2 , g( x) = 2 x ,求 f[ g( x)], g[ f( x)].
5. 设 f( x) =x
x - 1,试验证 f[ f[ f( x)]] = f( x)( x≠0, x≠1),并求 f
1f( x)
( x≠0, x≠1).
·41·
§1.5 初等函数
一、基本初等函数
基本初等函数是最常见、最基本的一类函数.基本初等函数包括:常量函数、幂函数、指数函
数、对数函数、三角函数和反三角函数.这些函数在中学里已经学过了.下面列出这些函数的简单
性质和图形.
(一) 常量函数 y = C( C 为常数)
常量函数的定义域为( - ∞, + ∞),这是最简单的一类函数,无论 x 取何值, y 都取值常数
C,见图 1.15.
(二) 幂函数 y = xμ(μ是常数)
幂函数的定义域随 μ的不同而不同.但无论 μ取何值,它在(0, + ∞)内都有定义,而且图形
都经过(1,1)点,见图 1.16.
图 1 �.15 图 1 �.16
当 μ为正整数时, xμ的定义域为( - ∞, + ∞),且 μ为偶(奇)数时, x
μ为偶(奇)函数.
当 μ为负整数时, xμ的定义域为( - ∞,0)∪(0, + ∞).
当 μ为分数时,情况比较复杂,如 x23 , x
35 的定义域为( - ∞, + ∞); x
-27 , x
-53 的定义域为
( - ∞,0)∪(0, + ∞); x12 的定义域为[0, + ∞).
当 μ为无理数时,规定 xμ的定义域为(0, + ∞).
(三) 指数函数 y = ax( a > 0, a≠1, a 是常数)
指数函数的定义域为( - ∞, + ∞).当 a > 1 时,它严格单调增加;当 0 < a < 1 时,它严格单调减
少.对于任何的 a( a > 0, a≠1), ax的值域都是(0, + ∞),函数的图形都过(0,1)点,见图 1.17.
(四) 对数函数 y = loga x( a > 0, a≠1, a 是常数)
对数函数loga x 是指数函数 ax的反函数,它的定义域为(0, + ∞).当 a > 1 时,它严格单调
增加;当 0 < a < 1 时,它严格单调减少.对于任何的 a( a > 0, a≠1), y = loga x 的值域都是( - ∞,
+ ∞),函数的图形都过(1,0)点,见图 1.18.
·51·
图 1 �.17 图 1 u.18
在高等数学中,常用到以 e 为底的指数函数 ex和以 e 为底的对数函数 loge x(记作 ln x).
ln x称为自然对数.这里 e = 2.718 281 8⋯,是一个无理数.
(五) 三角函数
常用的三角函数有:
正弦函数 y = sin x; 余弦函数 y = cos x; 正切函数 y = tan x; 余切函数 y = cot x.
y = sin x 与 y = cos x 的定义域均为( - ∞, + ∞),它们都是以 2π为周期的周期函数,都是
有界函数,见图 1.19 及图 1.20.
图 1.19
图 1.20
y = tan x 的定义域为除去 x = nπ+π2
( n = 0,±1,±2,⋯)以外的全体实数,见图 1.21.
y = cot x 的定义域为除去 x = nπ ( n = 0,±1,±2,⋯)以外的全体实数,见图 1.22.tan x 与
cot x是以π为周期的周期函数,并且在其定义域内是无界函数.sin x,tan x 及 cot x 是奇函数,
cos x 是偶函数.
三角函数还包括正割函数 y = sec x,余割函数 y = csc x,其中sec x =1
cos x,csc x =
1sin x
.
·61·
图 1 V.21 图 1 �.22
它们都是以 2π为周期的周期函数,并且在开区间 0,π2
内都是无界函数.
(六) 反三角函数
三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x 和 y = cot x 的反函数都是多值函数,我们按下列区
间取其一个单值分支,称为主值分支,分别记作
y = arcsin x, y∈ -π2,π2
,定义域为[ - 1,1],
y = arccos x, y∈ 0,π ,定义域为[ - 1,1],
y = arctan x, y∈ -π2,π2
,定义域为( - ∞, + ∞),
y = arccot x, y∈ 0,π ,定义域为( - ∞, + ∞).
分别称它们为反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数.其图形分别见图 1.23～图 1.26.
图 1 �.23 图 1 v.24
·71·
图 1 �.25 图 1 v.26
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成,并可用一个式
子表示的函数,称为初等函数.
初等函数是我们经常地,大量地研究的函数.不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等 函数 都可 以用 一个 公式 表达. 例如, 函 数 y = ax2
+ bx + c, y =3 x + 24 x - 6
, y =
ln( x2+ 1) + cos
2x
x - 1 +5
x等都是初等函数,而 y =
1, x > 0,
0, x = 0,
- 1, x < 0
(称此函数为符号函数,记作 sgn x),
以及 y =2 x, x < 0,
ex, x≥0
等都是非初等函数.
三、建立函数关系举例
例 1 把圆心角为 α(弧度)的平面扇形卷成一个圆锥面,试求圆锥面顶角 ω与α的函数关
系.
解 设扇形 A O B 的圆心角是α,半径为 r,如图 1.27 所示.于是弧 A B的长度为 rα.把这个
扇形卷成圆锥面后,它的顶角为 ω,底圆周长为 rα.所以底圆半径为
CD =rα2π
.
因为 sinω2
=CDr
=α2π
,所以
·81·
ω= 2arcsinα2π
(0 < α< 2π).
图 1.27
例 2 将一个底面半径为 2 cm,高为 10 cm 的圆锥形杯做成量杯.要在上面刻上表示容积的
图 1.28
刻度,求出溶液高度与其对应容积之间的函数关系.
解 设溶液高度为 h,其对应的容积为 V, r 是平行于底面的
截面的半径,如图 1.28 所示,则
V =13πr
2h (1)
因为 r也是变量,而需要找的是 V 与 h 之间的函数关系,所以应设
法消去 r,注意到△ A BC∽△ D EC,有
CECB
=D EA B
即h10
=r2, r =
15
h,代入(1)式可得
V =13π
15h
2
h =175πh
3 (0≤ h≤10)
例 3 公用电话收费.在公用电话亭打市内电话,每 3 分钟收费 0.4 元,不足 3 分钟按 3 分
钟收费,这样就规定了打电话用时 t与费用 S 之间的关系:
S =0.4
t3
+ 1 , t > 0,t≠3 k,
0.4 t3
, t = 3 k,
k = 1,2,3,⋯,
其中[ x]表示不超过 x 的最大整数,例如[0.6] = 0,[2.31] = 2.
习题 1.5
1. 设 G( x) = ln x,证明当 x > 0, y > 0 时,下列等式成立:
(1) G( x) + G( y) = G ( xy); �(2) G( x) - G( y) = Gxy
.
2. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
(1) y = x + 2; (2) y =x2- 4
x - 2;
·91·
(3) y =x2 - 4x - 2
, x≠2,
1, x = 2;
(4) y = sin(3 x2+ 1);
(5) y = sgn x(符号函数); (6) y = [ x](取整函数).
3. 分别举出两个初等函数和两个非初等函数的例子,并指出它们各自的定义域.
4. 在温度计上,0℃对应 32℉,100℃对应 212℉,求摄氏温标与华氏温标之间的函数关系.
复 习 题 一
一、选择题
1. 函数 y =ln( x + 1)
x - 1的定义域是( ).
A. ( - 1, + ∞); /B. (1, + ∞);
C. [ - 1, + ∞); D. [1, + ∞).
2. 已知函数 f( x)的定义域为[1,e2 ],则函数 f(ex )的定义域为( ).
A. [0,ln 2]; B. [0,1];
C. [1,2]; D. [0,2].
3. 函数 y = sinx2
+ cos 3 x 的周期为( ).
A.π; B. 4π;
C.23π; D. 6π.
4. 下列函数对中为同一个函数的是( ).
A. y1 = x, y2 =x2
x; B. y1 = x, y2 = x2 ;
C. y1 = x, y2 = ( x)2; D. y1 = | x|, y2 = x
2.
5. 在下列函数中,奇函数是( ).
A. y = x + cos x; B. y =ex+ e
- x
2;
C. y = xcos x; D. y = x2ln(1 + x).
6. 在区间(0, + ∞)上严格单调增加的函数是( ).
A. y = sin x; B. y = tan x;
C. y = x2 ; D. y =1x.
7. 函数 y = x3sin x 是( ).
A. 偶函数; B. 奇函数;
C. 有界函数; D. 周期函数.
8. 已知 f1x
=x + 1x
2
,则 f( x) = ( ).
A.x
x + 1
2
; B. (1 + x)2;
C.x + 1x
2
; D. 1 + x2 .
·02·
9. 函数 y = ln (1 + x)在区间( )内有界.
A. ( - 1, + ∞); B. ( - 1,1);
C. ( - 1,0); D. (0,1).
10. 函数 y = ex - 1 的反函数是( ).
A. y = ln x + 1; B. y = ln( x + 1);
C. y = ln x - 1; D. y = ln( x - 1).
二、填空题
1. 设 f( x) =ln( x
2+ 2 x - 3)
x2 - 4,则 f( x)的定义域是 - 篭 .
2. 设 f( x) =1
1 + x,则 f f
1x
= - 籿 .
3. 可以将复合函数 y = arcsin 2x分解成 - �= .
4. y = 3 x + 1 的反函数是 - 假 .
5. 设 y = f( x)的定义域是[0,1],则 f( x2 )的定义域是 .
6. 设 f( x) =
- 1, x < 0,
0, x = 0,
1, x > 0
则 f[ f( x)] = .
三、解答题
1. 求函数 y = x - 1 +1
x - 3+ 4 - x的定义域.
2. 已知 f( x) = x2 - x + 3,求 f1x
, f( x + 1).
3. 判断函数 f( x) =x(ex - 1)ex+ 1
的奇偶性.
4. 求函数 y =3x - 1的反函数.
5. 已知圆锥体的体积为 V,试将底面半径 r表示成高 h的函数,并求定义域.
6. 设 F( x) = ex ,证明:
(1) F( x)·F( y) = F( x + y); (2)F( x)F( y)
= F( x - y).
·12·
第二章 极限与连续
微积分是研究函数局部变化和整体变化性质的一门学科,极限理论是微积分的理论基础,极
限方法和局部线性化是微积分的基本方法,微积分的重要概念都是通过极限来定义的.微积分主
要研究连续函数,函数的连续性也是要用极限来定义的.
本章介绍极限的概念、性质及运算法则,在此基础上建立函数连续的概念,讨论连续函数的
性质.
§2.1 数列的极限
一、数列的概念
定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数
x1 , x2 ,⋯, xn ,⋯
称为数列.通常称 x1 为数列的第 1 项, x2 为第 2 项,⋯.一般地,将第 n 项 xn 称为通项或一般
项.数列可用通项简记为{ xn }.
例 1 数列{ xn } = { n},即正整数构成的数列
1,2,3,⋯, n,⋯.
例 2 数列{ xn } =1n
,即
1,12,13,⋯,
1n,⋯.
例 3 数列{ xn } = ( - 1)n + 1
,即
1, - 1,1,⋯,( - 1)n + 1
,⋯
例 4 数列{ xn } = { a}( a 是常数)即
a, a, a,⋯, a,⋯.
例 5 数列{ xn }中,已知 x1 = 1, x2 = 1,当 n > 2 时, xn = xn - 1 + xn - 2 ,此数列即为
1,1,2,3,5,⋯.
从以上各例中可以看出,随着 n 的逐渐增大,每个数列的 xn 都以一定的规律变化,我们关
心的问题是当 n 无限地增大时,数列{ xn }是否有一个确定的变化趋势,是否无限地趋于某个常
数.研究数列的变化趋势是本节的主要任务.
数列{ xn }可以理解为正整数 n 的函数,从而也可以写成
·22·
xn = f( n) ( n = 1,2,⋯).
因此,又可以称数列为整标函数,其定义域是正整数集.
对于数列{ xn },若有
x1 ≤ x2 ≤⋯≤ xn ≤ xn + 1 ≤⋯
成立,则称数列{ xn }是单调增加的;若有
x1 ≥ x2 ≥⋯≥ xn ≥ xn + 1 ≥⋯
成立,则称数列{ xn }是单调减少的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.
例 1、例 5 中的数列是单调增加的,例 2 中的数列是单调减少的.
对于数列{ xn },若存在正数 M ,使得对于一切的 n 都有
| xn |≤ M
成立,则称数列{ xn }是有界的,否则称{ xn }是无界的.
容易验证例 2,例 3 和例 4 中的数列是有界的;而例 1 和例 5 中的数列是无界的.
图 2.1
在几何上,通常用数轴上的点列 x1 , x2 ,⋯, xn ,⋯来表示数列
{ xn },如图 2.1 所示.
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 x1 ,
x2 ,⋯, xn,⋯是自左向右依次排列的点列,而单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.表示
有界数列的点列全部落在某一区间[ - M , M ]之内;表示无界数列的点列,无论区间[ - M , M ]
多么长,总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
数列极限的思想早在古代就已萌生.我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论
断,就是数列极限思想的体现.
数列的变化趋势,也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.例如,{ xn } = {( - 1)n + 1
n}
的图形如图 2.2 所示;{ xn } = 1 +( - 1)
n
n的图形如图 2.3 所示;{ xn } =
12
n 的图形如图 2.4
所示.
图 2.2 图 2 �.3
·32·
从图 2.3 中可以看出:当 n 越来越大时, xn = 1 +( - 1)
n
n与 1 的距离越来越小.从图 2.4 中
图 2.4
可以看出:当 n 越来越大时, xn =12
n 与 0 的距离越来越
小.即当 n“充分大”时, xn = 1 +( - 1)
n
n“无限接近于 1”;
当 n“充分大”时, xn =12
n“无限接近于 0”.而对于 xn =
( - 1)n + 1
n 来说,当 n 越来越大时,不像前面两个数列那
样有确定的变化趋势.
一般来说,如果当 n 无限地增大时, xn 无限地趋向于常数 a,则说,当 n 趋于无穷大时,
{ xn }以 a 为极限,记成
limn→ ∞
xn = a 或 xn→ a( n→∞).
直观上可以看出:
limn→ ∞
12
n = 0,
limn→ ∞
1 +( - 1)
n
n= 1.
但是,只凭直觉是不够的.例如,对于数列{ xn} = 1 +1n
n
,{ xn} =2
n
n10 ,{ xn } = nsin
1n
等,
当 n 越来越大时,它们各自是否都有确定的变化趋势 ? 如果有,极限是什么 ? 这当然不是一目
了然的,为了解决这些问题,需要研究数列极限的理论和方法,为此,对数列极限要给以严格的、
精确的定义.
下面先以{ xn } = 1 +( - 1)
n
n
为例来讨论数列极限的含义.前面已经看到:当 n 无限地增大
时, xn 无限地趋于常数 1.所谓 xn 无限地趋于 1,就是说 xn - 1 可以任意小.也就是对于任意
给定的正数 ε, xn - 1 都可小于ε.而 xn - 1 任意小的前提条件是 n 充分大.比如,给定 ε=
0.01,欲使 xn - 1 =1n< ε= 0.01,只需 n > 100,对于更小的正数 0.001,欲使
xn - 1 < 0.001,
只需 n > 1 000.一般来说,对于任意给定的正数ε,欲使
xn - 1 < ε,
只需 n >1ε.这样,就定量地刻画了当 n→∞时,{ xn }以 1 为极限这一事实.下面给出数列极限的
精确定义.
定义 设{ xn }是一个数列, a 是常数,如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数 N,使
当 n > N 时,都有
xn - a < ε
成立,则称数列{ xn }当 n 趋于无穷大时以 a为极限,记作
·42·
limn→ ∞
xn = a 或 xn→ a( n→∞).
数列{ xn }有极限,也称该数列是收敛的.否则,称数列发散.{ xn }以 a 为极限也说{ xn }收敛
于 a.例如,当 n→∞时,{ xn } = 1 +( - 1)
n
n收敛于 1;{ xn } =
12
n 收敛于 0;{ xn } = { n}是发散
数列.
例 6 用定义验证
limn→ ∞
2 n - 1n
= 2.
证 对于任意给定的正数ε,欲使2 n - 1
n- 2 =
1n<ε,
只需
1n<ε 即 n >
1ε
即可(这说明只要 n 充分大———大于1ε,
2 n - 1n
- 2 就能任意小———小于 ε.).因此,取正整数
N =1ε
(其中1ε
表示不大于1ε的最大整数),则当 n > N 时,恒有
2 n - 1n
- 2 <ε
成立,从而知,当 n→∞时, xn =2 n - 1
n以 2 为极限,即
limn→ ∞
2 n - 1n
= 2.
注意,证明数列{ xn }以常数 a 为极限的过程,实际上是对任意给定的正数 ε(不论其多么
小),寻找正整数 N 的过程.像例 6 这种简单的情况,可通过直接解不等式来确定 N.从定义和例
中可以看出,对于给定的正数ε,一旦存在符合要求的 N,则 N 不惟一(无穷多个).
例 7 用定义验证
limn→ ∞
qn= 0 (| q| < 1).
证 当 q = 0 时,等式显然成立.
当 0 < | q| < 1 时,对任意给定的正数ε(不妨设ε< 1).欲使不等式
qn- 0 = | q|
n<ε
成立,只需 nln| q| < ln ε,即 n >ln εln| q|
(ln| q| < 0,取ε< | q|).取正整数 N =ln εln| q|
,则当 n >
N 时,都有
qn- 0 < ε
成立,所以
limn→ ∞
qn= 0 (| q| < 1).
例 8 用定义验证
limn→∞
sin n( n + 1)
2 = 0.
·52·
证 对于任意给定的正数ε(不妨设 0 <ε< 1),由于
sin n( n + 1)
2 - 0 =|sin n|( n + 1)
2 ≤1
( n + 1)2 ≤
1n + 1
<1n
因此,欲使
sin n( n + 1)
2 - 0 <ε,
只需1n<ε,即 n >
1ε.取正整数 N =
1ε
,当 n > N 时,就有
sin n( n + 1)
2 - 0 < ε
成立,从而知
limn→∞
sin n( n + 1)
2 = 0.
在例 8 中,直接从不等式|sin n|( n + 1)
2 <ε中解出 n 是很困难的.这时可将| xn - a|适当放大,然
后使放大后的式子小于 ε,从中解出 n 的范围.对| xn - a|进行适当地放大可以将求 N 的过程
简化,但是,也不能无原则地一味放大,如上式中进一步将1n放大成 1 甚至 n,那时将无助于求得
N,从而证不出结论.还需注意的是用定义只能验证某常数是不是数列{ xn }的极限,一般不能用
定义求出极限.
有时为了做题方便,在证明中将正数ε限制成 0 <ε<ε0 ,如例 7 和例 8 中都说不妨设ε< 1.
从数列极限的定义来看,ε是用来刻画 xn 与 a 的接近程度的,我们关心的是对于任意给定的无
论多么小的正数ε,是否存在正数 N,使得当 n > N 时,有| xn - a| < ε.事实上,如果对于小于 1
的ε,能找到正整数 N,使得当 n > N 时,有| xn - a| <ε成立,那么,对于大于 1 的 ε,当然上述
不等式仍然成立.
三、收敛数列的性质
数列{ xn }收敛于 a 的几何意义如下:
当我们把{ xn }看成是数轴上的点列时,数列{ xn }收敛于 a,就是对点 a 的任何一个邻域
( a - ε, a +ε),都存在一个序号 N,使得点列 x1 , x2 ,⋯, xn ,⋯的第 N 个点 xN 以后的所有点
xN + 1 , x N + 2 ,⋯都在这个邻域之内,即点列中最多除去前 N 个点外,都聚集在点 a 的这个邻域之
内,或者说至多有 N 个点 x1 , x2 ,⋯, x N 落在区间( a -ε, a + ε)之外.
当我们把数列{ xn }看成是 n 的整标函数时,即 xn = f( n),其图形是在平面直角坐标系中的
二维点列:(1, x1 ),(2, x2 ),⋯,( n, xn ),⋯.数列{ xn }收敛于 a,就是对于任意给定的正数 ε(无
论其多么小),总存在正整数 N,当 n > N 时,二维点( n, xn )都在直线 y = a -ε与直线 y = a + ε
形成的带状域之内,如图 2.5 所示,一般来说,ε越小(带宽小), N 越大.
定理 2.1(极限的惟一性) 若数列{ xn }收敛,则其极限惟一.
·62·
图 2.5
证 反证法.设数列{ xn }收敛,但极限不惟一,即{ xn}有极限 a 和 b,不妨设 a > b.取ε=a - b2
.根据数列极
限的定义及{ xn }以 a 为极限可知,存在正整数 N 1 ,当 n > N1 时,有
| xn - a| <a - b2
,
即
a -a - b2
< xn < a +a - b2
,
从而有
xn >a + b2
. (1)
又由于{ xn }以 b 为极限,对上述的ε=a - b2
,存在正整数 N 2 ,当 n > N2 时,有
| xn - b| <a - b2
,
即
b -a - b2
< xn < b +a - b2
,
从而有
xn <a + b2
. (2)
取 N = m ax { N 1 , N 2 }(即取 N 1 , N2 之最大数),当 n > N 时,(1)式与(2)式同时成立,这显然是矛盾的.因此,收
敛数列的极限是惟一的.
定理 2.2(收敛数列的有界性) 收敛数列必有界.
证 设数列{ xn }收敛,并且以 a 为极限.根据数列极限的定义,对于 ε= 1,存在着正整数
N,使得当 n > N 时,都有
| xn - a| < 1
成立.于是,有
| xn | = | xn - a + a|≤| xn - a| + | a| < 1 + | a|
取 M = max{| x1 |,| x2 |,⋯,| xN |,1 + | a|},则对于一切 n 有
| xn |≤ M .
这就证明了数列{ xn }是有界数列.
由定理 2.2 知,无界数列一定是发散的.
·72·
注意,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.例如,数列{ xn } = {( - 1)n + 1
}是有
界的,而{ xn }却是发散数列.
定理 2.3(保序性) 若limn→∞
xn = a,limn→ ∞
yn = b,且 a > b,则存在正整数 N,当 n > N 时,恒有
xn > yn .
(证明略.可仿定理 2.1 的证法证明之.)
定理 2.3 表明两个收敛数列,若它们的极限不相等时,则当 n 充分大后对应的项也不相等,
且与极限值有相同的大小顺序.
推论 1 若limn→ ∞
xn = a,且 a > b(或 a < b),则存在正整数 N,当 n > N 时, xn > b(或 xn < b).
证 在定理 2.3 中取 yn = b,即得推论 1.
推论 2 若limn→∞
xn = a,limn→ ∞
yn = b,且存在正整数 N,当 n > N 时,有 xn ≥ yn,则有 a≥ b.
证 反证法.假设 a < b.由定理 2.3,存在正整数 N1 ,当 n > N1 时,有 xn < yn .由已知条件,取
N2 = max{ N1 , N},当 n > N2 时 xn≥ yn 与 xn < yn 同时成立,这是矛盾的.所以,必有 a≥b.
注意,推论 2 中条件 xn ≥ yn 改为 xn > yn,极限值 a, b 仍可能相等.例如, un =n + 1n
, vn =
n - 1n
,对一切 n,均有 un > vn ,但limn→∞
un = limn→∞
vn = 1.
习题 2.1
1. 写出下列数列的前三项:
(1) { xn } =n + 1n
; h(2) { xn } = 1 +1n
n
;
(3) { xn } = ( - 1) n + 1 ; (4) { xn } = nsinπn
.
2. 观察下列数列的变化趋势,若有极限,请指出极限值.
(1) { xn } = 1 +12
n ; (2) { xn } =n - 1n + 1
;
(3) { xn } =( - 1) n
n; (4) { xn } = n +
1n
.
3. 中国古代思想家庄子的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论述中,将其每日所取部分写成数列,并考察
此数列的极限.
§2.2 函数的极限
上一节中我们讨论了整标函数———数列的极限,本节研究函数 y = f( x)的极限,分两种情
况来讨论.
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 趋向无穷大有下面三种方式:
·82·
x→ + ∞,表示 x 沿着 x 轴正半轴趋于正无穷大;
x→ - ∞,表示 x 沿着 x 轴负半轴趋于负无穷大;
x→∞,表示 x 沿着 x 轴的任意方向趋于无穷大,即| x|→ + ∞.
比照数列极限的定义,给出下面的定义.
定义 设函数 f( x)在| x|≥ b > 0 上有定义, A 为一个常数.若对于任意给定的正数ε,总存
在正数 X > b,使得当| x| > X 时,都有
| f( x) - A| <ε
成立,则称函数 f( x)当 x→∞时的极限为 A,记作
limx→ ∞
f( x) = A 或 f( x)→ A( x→∞).
上述定义的几何意义是:对无论多么小的正数ε,总能找到正数 X,当 x 满足条件 x > X 或
x < - X 时,曲线 y = f( x)介于两条水平直线 y = A +ε和 y = A - ε之间,如图 2.6 所示.
图 2.6
在limx→ ∞
f( x) = A 的定义中,将| x| > X,换成 x > X 可以得到 limx→ + ∞
f( x) = A 的定义;若将
| x| > X换成 x < - X 就可以得到 limx→ - ∞
f( x) = A 的定义.
容易得到以下结论:limx→ ∞
f( x) = A 的充分必要条件是
limx→ + ∞
f( x) = limx→ - ∞
f( x) = A.
若limx→ ∞
f( x) = A,则称直线 y = A 是曲线 y = f( x)的水平渐近线.其中 x→∞也可为 x→
+ ∞或 x→ - ∞的情况.
例 1 用定义验证 limx→∞
1x= 0.
证 当 x≠0 时,函数1x有定义,对于任意给定的正数ε,欲使
1x- 0 =
1| x|
< ε,
只需| x| >1ε,取 X =
1ε,当| x| > X 时,便有
1x- 0 < ε,
从而
limx→ ∞
1x= 0.
·92·
由此可知直线 y = 0 是曲线 y =1x的水平渐近线.
例 2 用定义验证limx→ ∞
x2
x2+ 1
= 1.
证 对任意给定的正数ε,欲使
x2
x2+ 1
- 1 =1
x2+ 1
≤1x
2 < ε,
只需 x2>
1ε,即| x| >
1
ε,于是取 X =
1
ε,当| x| > X 时,就有
x2
x2+ 1
- 1 <ε
成立,从而证明了
limx→ ∞
x2
x2+ 1
= 1.
由此可知,直线 y = 1 是曲线 y =x2
x2+ 1
的水平渐近线.
二、自变量趋向有限值时函数的极限
下面研究自变量 x 趋于某一定数 x0 时,函数 f( x)的变化趋势.
首先考察函数 f1 ( x) =x2- 1
x - 1当自变量 x 趋向于 1 时的变化趋势.不难得到下表
x 0 �.5 0 �.9 0 �.99 ⋯ 1 ".01 1 g.1 1 �.5
f1 _( x) 1 �.5 1 �.9 1 �.99 ⋯ 2 ".01 2 g.1 2 �.5
可以看出,当自变量 x 趋向于定点 x0 = 1 时,函数 f1 ( x)趋向于常数 2.
再考察函数 f2 ( x) = x + 1 当自变量 x 趋向于 1 时的变化趋势.仿上例可以得到下表
x 0 �.5 0 �.9 0 �.99 ⋯ 1 ".01 1 g.1 1 �.5
f2 _( x) 1 �.5 1 �.9 1 �.99 ⋯ 2 ".01 2 g.1 2 �.5
当自变量 x 趋于定点 x0 = 1 时,函数 f2 ( x)也趋向于常数 2.
不难发现, f1 ( x)在 x0 = 1 处没有定义. f2 ( x)在 x0 = 1 处有定义.而当 x 趋于 x0 = 1 时,
f1 ( x)与 f2 ( x)有相同的变化趋势.通常称当 x→1时, f1 ( x)与 f2 ( x)存在极限.且极限值均为 2.
由前面两个例题可知,当 x→ x0 时, f( x)以 A 为极限与f( x)在 x0 处有无定义无关.但当
x→ x0 时, f( x)可以无限地接近于 A.也就是说,只要 x 充分接近 x0 , f( x) - A 可以小于任
意给定的正数ε.而 x 充分接近 x0 可以用“存在正数 δ,使 0 < x - x0 < δ”描述.下面给出当 x
→ x0 时, f( x)以 A 为极限的精确定义.
·03·
定义 设函数 f( x)在 x0 的某去心邻域内有定义, A 为常数.如果对于任意给定的正数ε,
总存在正数δ,使得当 0 < | x - x0 | < δ时,恒有不等式
| f( x) - A| <ε
成立,则称函数 f( x)当 x 趋于 x0 时以 A 为极限.记作
limx→ x
0
f( x) = A 或 f( x)→ A( x→ x0 ).
读者必须注意:定义中不等式 0 < | x - x0 | < δ的“ > 0”表示不要求不等式| f( x) - A| < ε
在点 x0 成立,这表明“ x→ x0 时 f( x)→ A”与 f( x)在点 x0 的状况(有、无定义,或有定义时,
f( x0 )是否等于 A)是无关的.
图 2.7
此定义的几何意义是:对于任意给定的正数ε,无论其多么
小,总存在点 x0 的一个去心邻域 0 < | x - x0 | < δ,使得函数
y = f( x)在这个去心邻域内的图形介于两条平行直线 y = A -
ε和 y = A + ε之间,如图 2.7 所示.
例 3 用定义验证:limx→ x
0
c = c( c 为常数).
证 对任意给定的正数 ε,取 δ= 1(此题的 δ可取任一正
数).当 0 < | x - x0 | < δ时,总有
| c - c| <ε,
从而
limx→ x
0
c = c.
例 4 用定义验证:limx→ x
0
x = x0 .
证 对任意给定的正数ε,欲使
| x - x0 | <ε,
只需取δ=ε,当 0 < | x - x0 | <δ时,恒有
| x - x0 | <ε,
从而 limx→ x
0
x = x0 .
在limx→ x
0
f( x) = A 的定义中, x 可以以任意方式趋向于 x0 .有时,为了讨论问题的需要,可以
只考虑 x 从 x0 的某一侧(从小于 x0 的一侧或从大于 x0 的一侧)趋向于 x0 时 f( x)的变化趋
势,这就引出了左极限和右极限的概念.
定义 设函数 f( x)在( x0 , b)内有定义, A 为常数.若对任意给定的正数ε,总存在正数 δ,
使得当 0 < x - x0 < δ时有
| f( x) - A| <ε
成立,则称 f( x)在 x0 处的右极限为 A,记为
limx→ x
+0
f( x) = A 或 f( x+0 ) = A.
在上面的定义中将函数 f( x)改为在 x0 的左侧附近有定义(即在( a, x0 )内有定义),将 0 <
x - x0 < δ改为 -δ< x - x0 < 0,就得到了 f( x)在 x0 处的左极限为 A 的定义.相应地记作
·13·
limx→ x
-0
f( x) = A 或 f( x-
0 ) = A.
左极限和右极限统称为单侧极限.
根据 x→ x0 时函数 f( x)的极限定义及左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.
定理 2.4 limx→ x
0
f( x) = A 的充分必要条件是
f( x+
0 ) = f( x-
0 ) = A.
定理 2.4 又提供了讨论分段函数在分段点 x0 处是否存在极限的方法.
例 5 设
f( x) =1, x < 0,
x - 2, x≥0.
研究当 x→0 时,函数 f( x)的极限是否存在.
解 当 x < 0 时,有
limx→0
-f( x) = lim
x→ 0-1 = 1,
当 x > 0 时,有
limx→0
+f( x) = lim
x→ 0+( x - 2) = - 2.
函数 f( x)在点 x = 0 处的左、右极限都存在,但不相等,
f(0-)≠ f(0
+).
由定理 2.4 可知极限limx→0
f( x)不存在.
三、函数极限的性质
函数极限,有与数列极限相类似的性质.下面仅就 x→ x0 的情形给出相应的结论.这些结论
也适用于 x→∞, x→ + ∞, x→ - ∞, x→ x-
0 , x→ x+
0 的情形.
定理 2.5(惟一性) 若limx→ x
0
f( x)存在,则极限惟一.
定理 2.6 (局部有界性) 若limx→ x
0
f( x) = A,则存在常数 M > 0 及 δ> 0,当 0 < | x - x0 | < δ
时,有
| f( x)|≤ M .
这种情况,称为 f( x)在 x→ x0 时有界.
定理 2.7 若 limx→ x
0
f( x) = A, limx→ x
0
g( x) = B,且 A > B,则存在正数 δ,当 0 < | x - x0 | < δ
时,有
f( x) > g( x).
推论 若limx→ x
0
f( x) = A,且 A > B( A < B),则存在δ> 0,使得当 0 < | x - x0 | <δ时,有
f( x) > B ( f( x) < B).
·23·
习题 2.2
1. 求 f( x) =xx,φ( x) =
| x|x
当 x→0 时的左、右极限,并说明它们在 x→0时的极限是否存在.
2. 证明函数 f( x) = | x|当 x→0 时极限为 0.
§2.3 极限的运算法则及存在准则
一、极限的四则运算
我们已经讨论了数列极限和函数极限的概念及它们的性质.这里先讨论极限的四则运算法
则,以便解决函数作四则运算时的极限计算问题.
下面的定理,仅就函数极限的情形给出,所得的结论对数列极限也成立.
定理 2.8 设lim f( x) = A,lim g( x) = B,则
(i) lim[ f( x)± g( x)] = A± B;
(ii) lim[ f( x) g( x)] = AB;
(iii) 当 B≠0 时,limf( x)g( x)
=AB.
其中自变量 x 的变化过程可以是 x→ x0 , x→∞等各种情形.
证 仅就 x→ x0 的情形证明(i).
对任给的正数ε,因为limx→ x
0
f( x) = A , limx→ x
0
g( x) = B,所以存在δ1 > 0,当 0 < x - x0 < δ1 时,有
f( x) - A <ε2, (1)
存在δ2 > 0,当 0 < x - x0 < δ2 时,有
g( x) - B <ε2, (2)
取δ= min δ1 ,δ2 ,则当 0 < x - x0 < δ时,(1),(2)式同时成立,于是有
[ f( x) + g( x)] - ( A + B) #≤ f( x) - A + g( x) - B
<ε2
+ε2
= ε,
故
limx→ x
0
f( x) + g( x) = A + B.
其余结论的证明从略.
定理 2.8 中的结论(i)和(ii)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(ii)还
有如下常用的推论.
推论 1 设lim f( x)存在,则对于常数 c,有
lim[ cf( x)] = clim f( x).
·33·
推论 2 设lim f( x)存在,则对于正整数 k,有
lim[ f( x)]k= lim f( x)
k.
利用极限的定义,我们已经证明了limn→ ∞
1n= 0,lim
n→∞qn= 0(| q| < 1), lim
x→ x0
c = c, limx→ x
0
x = x0 和
limx→ ∞
1x= 0 等基本结论.利用这些基本结论和极限的四则运算法则,就可以计算一些数列或函数
作四则运算后的极限了.
例 1 求limn→∞
3 + 2n
2n .
解 limn→ ∞
3 + 2n
2n = lim
n→ ∞3·
12
n + 1 = 3 limn→∞
12
n + limn→ ∞
1 = 3×0 + 1 = 1.
例 2 求limn→ ∞
5 n2+ 2 n + 1
3 n2- n
.
解 把分式的分子、分母同时除以 n2,得
limn→ ∞
5 n2+ 2 n + 1
3 n2- n
= limn→ ∞
5 +2n+
1n2
3 -1n
=limn→∞
5 +2n+
1n2
limn→ ∞
3 -1n
=5 + 0 + 03 - 0
=53.
例 3 求limn→∞
n2+ 1
4 n4+ 2 n - 1
.
解 把分式的分子、分母同时除以 n4,得
limn→ ∞
n2+ 1
4 n4+ 2 n - 1
= limn→ ∞
1n2 +
1n4
4 +2n3 -
1n4
=0 + 0
4 + 0 - 0= 0.
一般地,当 a0 ≠0, b0 ≠0, k≤l时,有
limn→ ∞
a0 nk+ a1 n
k - 1+ ⋯ + ak
b0 nl+ b1 n
l - 1+ ⋯ + al
=
a0b0, k = l,
0, k < l.
其中 k,l 为正整数.
例 4 求极限limx→1
(2 x3- 3 x
2+ 2).
解 limx→1
(2 x3- 3 x
2+ 2) �= lim
x→ 1(2 x
3) - lim
x→ 1(3 x
2) + lim
x→12
= 2×13- 3×1
2+ 2 = 1.
一般地,设有多项式
f( x) = a0 xn+ a1 x
n - 1+ ⋯ + an - 1 x + an ,
则有
limx→ x
0
f( x) W= limx→ x
0
( a0 xn+ a1 x
n - 1+ ⋯ + an - 1 x + an )
= a0 limx→ x
0
xn+ a1 lim
x→ x0
xn - 1
+ ⋯ + an - 1 limx→ x
0
x + an
= a0 xn0 + a1 x
n - 10 + ⋯ + an - 1 x0 + an = f( x0 ),
·43·
即
limx→ x
0
f( x) = f( x0 ). (3)
设有理(分式)函数
F( x) =P( x)Q( x)
,
其中 P( x)与 Q( x)都是多项式,当 Q( x0 )≠0 时,有
limx→ x
0
F( x) = limx→ x
0
P( x)Q( x)
=
limx→ x
0
P( x)
limx→ x
0
Q ( x)=
P( x0 )Q( x0 )
= F( x0 ),
即
limx→ x
0
F( x) = F( x0 ). (4)
式(3)与式(4)说明对于有理函数求关于 x→ x0 的极限时,如果有理函数在点 x0 有定义,其
极限值就是在 x0 点处的函数值,以后可以当作公式使用.
例 5 求极限limx→2
x2- x + 4
2 x + 1
解 由于函数是有理函数,并且 x = 2 时,分母不为 0,所以
limx→ 2
x2- x + 4
2 x + 1=22- 2 + 4
2×2 + 1=
65.
例 6 求 limx→ - 1
x2- 1
x + 1.
解 由于有理分式x2- 1
x + 1的分母 x + 1 当 x→ - 1 时极限为 0,因此不能直接利用前面的结
论和定理 2.8 的(iii),可先在 x≠ - 1 时,约去非零因子 x + 1.这里可以先约去x2- 1
x + 1中 x = - 1
的非零因子 x + 1,得到 x - 1.由于函数x2- 1
x + 1与 x - 1 只是在 x≠ - 1处不同(前者无定义),所以
x→ - 1 时,它们的极限是相同的,如此即得:
limx→ - 1
x2- 1
x + 1I= lim
x→ - 1
( x + 1)( x - 1)x + 1
= limx→ - 1
( x - 1) = - 2.
例 7 求limx→1
1x - 1
-3
x3- 1
.
解 当 x→1 时,两个分式中的分母的极限都是 0,这两项皆无极限,不能直接应用求极限的
四则运算法则.可以先通分,约去非零因子 x - 1,再利用有理函数求极限的结论,即
limx→ 1
1x - 1
-3
x3- 1
�= lim
x→ 1
x2+ x + 1 - 3x3- 1
= limx→ 1
( x - 1)( x + 2)( x - 1)( x
2+ x + 1)
= limx→ 1
x + 2x2+ x + 1
=1 + 2
12+ 1 + 1
= 1.
例 8 求limx→∞
2 x2+ x - 1
x2- 2
.
解 当 x→∞时分子、分母的极限都不存在,用分子、分母中 x 的最高次幂 x2去除分子及分
·53·
母,可得
limx→∞
2 x2+ x - 1
x2- 2
= limx→∞
2 +1x-
1x2
1 -2x2
= 2.
例 9 求limx→∞
x2- 1
x3+ x + 2
.
解 分子、分母同时除以 x3,然后再求极限,得
limx→ ∞
x2- 1
x3+ x + 2
= limx→ ∞
1x-
1x3
1 +1x2 +
2x3
= 0.
一般地,当 a0 ≠0, b0 ≠0, m≤ n 时,有
limx→ ∞
a0 xm+ a1 x
m - 1+ ⋯ + a m
b0 xn+ b1 x
n - 1+ ⋯ + bn
=
a0b0, m = n,
0, m < n,
其中 m, n 为正整数.
二、极限的存在准则
用定义验证数列或函数的极限,需要事先观察出极限值,然后加以验证;用求极限的四则运
算法则求极限也要知道相 关的一些基本结果.有时 这些是做不到的,比如 数列 { xn } =
1 +1n
n
收敛与否就不能用前面学过的知识回答出来.下面给出两个判断极限存在的准则
(略去其证明).
准则 1 (单调有界准则)单调有界数列必有极限.
下面给出几何解释:在数轴上,对应于单调数列{ xn }的点列只能从 x1 开始向一个方向排
列,所以只有两种可能情况:或者点列{ xn }沿数轴移向无穷远处(此时{ xn }发散);或者点列{ xn }
无限趋近于某一个定点 a(常数),也就是{ xn }以 a 为极限.现已假定数列是有界的,因此结果只
能是后者.
在第一节中知道,收敛数列必有界.但也曾指出,有界数列不一定收敛.而准则 1 告诉我们:
若数列不仅有界,而且单调,则这个数列一定是收敛的,即数列有极限.
例 10 设 xn = 1 +1n
n
,分析{ xn }的变化趋势,证明数列{ xn }收敛.
分析 通过列表考察 xn 的变化趋势
n 1 |2 �5 �10 z100 b1 �000 10 �000 100 �000 ⋯
1 2+1n
n
2 |2 �.25 2 �.488 32 2 �.593 74 2 �.704 814 2 U.716 924 2 &.718 146 2 �.718 268 ⋯
从上表中可以看出, xn 随着 n 的增大而增大;同时也看到这种增加的速度极慢,迹象表明 xn 应是有界的.这两
·63·
点在下面得到了证明.
证 首先,证明数列{ xn }是单调增加的,按二项式展开公式,有
xn �= 1 +1n
n
= '1 +n1 !·
1n
+n( n - 1)
2 !·
1n2
+n( n - 1)( n - 2)
3 !·
1n3
+ ⋯ +n( n - 1)⋯( n - n + 1)
n !·
1nn
= '1 +11 !
+12 !
1 -1n
+13 !
1 -1n
1 -2n
+ ⋯ +1n !
1 -1n
1 -2n
⋯ 1 -n - 1n
.
类似地,有
xn + 1 = a1 +11 !
+12 !
1 -1
n + 1+
13 !
1 -1
n + 11 -
2n + 1
+
⋯ +1n !
1 -1
n + 11 -
2n + 1
⋯ 1 -n - 1n + 1
+
1( n + 1) !
1 -1
n + 11 -
2n + 1
⋯ 1 -n
n + 1.
比较 xn 与 xn + 1中相同位置的项,它们的第一、二项相同,从第三项起到第 n + 1 项 xn + 1的每一项都大于 xn
的对应项,并且在 xn + 1 中还多出最后一个正项,因此有
xn < xn + 1 .
其次,证明{ xn}有界.因为,1 -1n,1 -
2n,⋯,1 -
n - 1n
这些因子都小于 1,故
xn e< 1 +11 !
+12 !
+ ⋯ +1n !
< 1 + 1 +12
+122 + ⋯ +
12
n - 1
= 1 +1 -
12
n
1 -12
= 3 -1
2 n - 1 < 3.
根据准则 1,数列 1 +1n
n
收敛,将极限值记为 e,即
limn→ ∞
1 +1n
n
= e.
e 是无理数,它的值为
e = 2.718 281 828 459 045⋯.
准则 2 (夹逼准则)设有三个数列{ xn },{ yn },{ zn },满足条件:
(1) 存在 N 0 > 0( N 0 为已知的正整数),当 n > N 0 时,恒有 yn≤ xn ≤ zn ,
(2) limn→ ∞
yn = limn→ ∞
zn = a,
则数列{ xn }收敛,并且
limn→∞
xn = a.
证 由limn→∞
yn = limn→∞
zn = a 知,对任意给定的正数ε,存在着正整数 N 1 ,当 n > N1 时,有
yn - a < ε,
即
a - ε< yn < a +ε. (5)
又存在正整数 N 2 ,当 n > N 2 时,有
zn - a < ε,
·73·
即
a - ε< zn < a + ε. (6)
取 N = m ax N 0 , N1 , N 2 ,当 n > N 时,(5)式与(6)式同时成立,又由条件(1)可得
a -ε< yn≤ xn≤ zn < a + ε,
即得
xn - a <ε.
这就证明了
limn→∞
xn = a.
类似地,有关于函数极限的夹逼准则:
设函数 f( x), g( x), h( x)在点 x0 的某去心邻域内有定义,且满足条件:
(1) g( x)≤ f( x)≤ h( x);
(2) limx→ x
0
g( x) = A,limx→ x
0
h( x) = A,
则极限limx→ x
0
f( x)存在,且等于 A.
证明方法与关于数列极限的夹逼准则类似.关于自变量 x 的其它趋向,函数极限的夹逼准
则可以类似给出.
三、两个重要极限
下面利用夹逼准则,证明常用的两个重要极限.
重要极限 1 limx→0
sin xx
= 1.
证 函数sin xx
当 x→0 时分子、分母的极限均为 0,因此不能用函数商的极限运算法则求.
下面用夹逼准则证明其极限为 1.
先证不等式:当| x| <π2时,
|sin x|≤| x|≤|tan x|, (7)
图 2.8
其中的两个等号只在 x = 0 时成立.
作单位圆如图 2.8 所示,设圆心角∠ A O B = x,过点 A 作圆的切
线与 O B 的延长线交于点 C,又作 BD⊥ O A,则有 sin x = B D,tan x =
A C.因为
△ O A B 的面积 < 扇形 O AB 的面积 < △ O A C 的面积,所以,当 0
< x <π2时,
12sin x <
12
x <12tan x,
即
sin x < x < tan x.
·83·
而当 -π2
< x < 0 时,有 0 < - x <π2,从而有
sin ( - x) < - x < tan ( - x),
即
- sin x < - x < - tan x.
即当 0 < | x| <π2时,有
|sin x| < | x| < |tan x|.
当 x = 0 时,有
|sin x| = | x| = |tan x|.
这样就证明了不等式(7).
当 0 < | x| <π2时,用|sin x|除不等式
|sin x| < | x| < |tan x|
的各端,得
1 <x
sin x<
tan xsin x
,
即
1 <x
sin x<
1cos x
,
从而有
cos x <sin xx
< 1. (8)
注意
cos x = 1 - 2sin2 x2≥1 - 2
x2
2
= 1 -x2
2, (9)
由(9)式与(8)式得
1 -x2
2<sin xx
< 1.
因为
limx→ 0
1 -x2
2= 1, lim
x→ 01 = 1,
由夹逼准则,可得
limx→ 0
sin xx
= 1.
由(9)式知,当 x <π2时
1 -x2
2≤cos x≤1,
由夹逼准则可以得到
limx→ 0
cos x = 1.
·93·
例 11 求limx→ 0
tan xx
.
解 limx→0
tan xx
�= limx→ 0
sin xx
·1
cos x= lim
x→ 0
sin xx
·limx→ 0
1cos x
= 1.
例 12 求limx→ 0
1 - cos xx2 .
解 limx→0
1 - cos xx2 = lim
x→0
2sin2 x
2x2 =
12
limx→ 0
sin2 x
2x2
2 =12limx→0
sinx2
x2
2
=12·1
2=
12.
例 13 求limx→ 0
sin 5 xx
.
解 limx→0
sin 5 xx
(=limx→ 0
5sin 5 x5 x
= 5 limx→ 0
sin 5 x5 x
= 5×1 = 5.
重要极限 2 limx→∞
1 +1x
x
= e.
证 因为对任何实数 x > 1,都有[ x]≤ x≤[ x] + 1,所以
1 +1
[ x] + 1
[ x]
≤ 1 +1x
x
≤ 1 +1
[ x]
[ x] + 1
当 x→ + ∞时,[ x]和[ x] + 1 都以整数变量趋于 + ∞,从而
limx→ + ∞
1 +1
[ x] + 1
[ x] �
= limx→ + ∞
1 +1
[ x] + 1
[ x] + 1
1 +1
[ x] + 1
- 1
= e·1 = e.
又
limx→ + ∞
1 +1
[ x]
[ x] + 1
= limx→ + ∞
1 +1
[ x]
[ x]
1 +1
[ x]= e·1 = e.
由夹逼准则知
limx→ + ∞
1 +1x
x
= e.
下面证 limx→ - ∞
1 +1x
x
= e.设 t= - x,则当 x→ - ∞时,t→ + ∞,于是
limx→ - ∞
1 +1x
x �
= limt→ + ∞
1 +1- t
- t
= limt→ + ∞
tt - 1
t
= limt→ + ∞
1 +1
t - 1
t - 1
· 1 +1
t - 1
= e·1 = e (当 t→ + ∞时,t - 1→ + ∞).
由 limx→ + ∞
1 +1x
x
= e 及 limx→ - ∞
1 +1x
x
= e,得
limx→∞
1 +1x
x
= e.
在上式中,令 z =1x,则当 x→∞时 z→0,从而有
limz→0
(1 + z)1z = e.
这是重要极限 2 常用的另一种形式.
例 14 求limx→ ∞
1 +2x
3 x
.
·04·
解 令 t=x2,则当 x→∞时, t→∞,因此
limx→∞
1 +2x
3 x 1
= limt→ ∞
1 +1t
6 t
= limt→ ∞
1 +1t
t 6
= limt→∞
1 +1t
t 6
= e6.
例 15 求limx→ ∞
x1 + x
x
.
解 limx→ ∞
x1 + x
x �
= limx→∞
1
1 +1x
x =1
limx→∞
1 +1x
x =1e.
例 16 设有本金 1 000 元,若用连续复利计算,年利率为 8 % ,问 5 年末可得本利和为多少 ?
解 设复利一年计算一次,则一年末本利和为
1 000(1 + 0.08)1 ,
所以 x 年末本利和为
1 000(1 + 0.08) x .
若复利三个月为一期计算,则 x年末本利和为
1 000 1 +0.084
4 x
.
同理,若复利一年计算 n 次,则 x年末本利和为
1 000 1 +0.08n
nx
.
现设想 n 无限增大,以致复利接连不断地计算,则当 n→∞时,称之为连续复利,其极限为
limn→∞
1 +0.08n
nx
= e0.08 x .
因此连续复利计算 x 年末本利和为 1 000e0.08 x
.令 x = 5,得 5 年末本利和为 1 000 e0.08×5
= 1 000 e0.4
=
1 492(元).
习题 2.3
1. 计算下列极限:
(1) limn→∞
3 n3 + n2 - 34 n
3+ 2 n + 1
; �(2) limn→∞
1 + 2 + ⋯ + nn2 ;
(3) limn→∞
1 -122
1 -132
⋯ 1 -1n2
;
(4) limx→∞
3 x2+ 2
1 - 4 x2 ; (5) limx→2
x2+ 3
x - 3;
(6) limx→4
x - 2x - 4
; (7) limx→0
4 x3 - 2 x2 + x3 x2 + 2 x
;
(8) limx→1
x2- 2 x + 1x2 - 1
; (9) limx→∞
2 -1x+
1x2 ;
(10) limx→∞
x2+ x
x4 + 3 x - 1; (11) lim
h→0
( x + h)2- x
2
h;
(12) limx→ + ∞
x + 1 - x ; (13) limx→3
1 + x - 2x - 3
.
2. 计算下列极限:
(1) limx→0
sin 2 x3 x
; (2) limx→0
tan 5 xx
;
·14·
(3) limx→0
xcot x; (4) limx→0
1 - cos 2 xx sin x
;
(5) limn→∞
2 n sinx2
n ; (6) limx→0
(1 - x)1x ;
(7) limx→0
(1 + 3 x)1x ; (8) lim
x→∞
1 + xx
2 x
;
(9) limx→∞
x2
x2- 1
x
; (10) limn→∞
2 n + 32 n + 1
n + 1
.
§2.4 无穷小与无穷大
一、无穷小及其性质
定义 若limx→ x
0
f( x) = 0,则称函数 f( x)在 x→ x0 时为无穷小量,简称无穷小.
无穷小定义中的 x→ x0 ,可以换成 x→ x+0 , x→ x
-0 , x→∞, x→ - ∞, x→ + ∞等.函数f( x)
可以换成数列 xn,此时 x→ x0 换成 n→∞.
在理解无穷小量的定义时要注意两点:第一,要指明自变量的变化过程(如 x→ x0 );第二,
在这个过程中,函数 f( x)以 0 为极限.例如,函数 f( x) =1x是 x→∞时的无穷小,但函数 f( x)
=1x在 x→1 时不是无穷小.
应该注意无穷小量是在某一过程中,以零为极限的变量,而不是绝对值很小的数.0 是可以
作为无穷小量的惟一的一个数.
例 1 因为limx→0
x3= 0,故 x
3是 x→0 时的无穷小量.
根据极限的性质和四则运算法则,可以证明下列有关无穷小的性质.
定理 2.9 有限个无穷小的代数和为无穷小.
定理 2.10 有界函数与无穷小的乘积为无穷小.
推论 常量与无穷小之积为无穷小.
定理 2.11 有限个无穷小之积为无穷小.
h例 2 证明 limx→0
xsin1x= 0.
证 因为limx→0
x = 0,即 x 是 x→0 时的无穷小.而 sin1x
≤1,即 sin1x为有界函数.由定理
2.10 知当 x→0 时, xsin1x是无穷小,即
limx→ 0
xsin1x= 0.
·24·
注意,这个极限不能用极限的四则运算法则求得,因为limx→0
sin1x不存在.
函数有极限,可以通过无穷小来表述.
定理 2.12 limx→ x
0
f( x) = A 的充分必要条件是
f( x) = A + α( x),
其中α( x)在 x→ x0 时为无穷小,即limx→ x
0
α( x) = 0.
证 必要性 设limx→ x
0
f( x) = A,取 α( x) = f( x) - A,则有
limx→ x
0
α( x) == limx→ x
0
[ f( x) - A] = A - A = 0,
即 α( x)在 x→ x0 时为无穷小,从而有
f( x) = A + α( x).
充分性 设 f( x) = A +α( x)且limx→ x
0
α( x) = 0,则
limx→ x
0
f( x) = limx→ x
0
[ A + α( x)] = A + 0 = A.
常称这个定理为极限基本定理,它有相当广泛的应用.
这个定理也适用于 x→∞的情形.
二、无穷小的比较
两个无穷小的和、差、积都是无穷小,那么,两个无穷小的商是否仍是无穷小呢 ? 请看下面的
例子.当 x→0 时, x, x2,sin x,2 x, x
3都是无穷小,可是
limx→ 0
x2
x= 0, lim
x→ 0
2 xx
= 2, limx→0
sin xx
= 1,
极限limx→0
x2
x3 不存在,即 x→0 时
x2
x是无穷小;
2 xx,sin xx
x2
x3 均不是无穷小.这些情形表明,同为无
穷小,但它们趋于 0 的速度有快有慢,为了比较不同的无穷小趋于 0 的速度,我们引入无穷小量
阶的概念.
定义 设α=α( x),β=β( x)在 x→ x0 (或 x→∞)时为无穷小(且 α≠0).
(1) 如果 limβα
= c(c≠0,是常数),则称 β与α是同阶无穷小.
(2) 如果 limβα
= 1,则称 β与α是等价无穷小,记作β～α.
(3) 如果 limβα
= 0,则称 β是比α高阶的无穷小,记作β= o(α).
例 3 因为limx→0
sin x = 0,且limx→ 0
sin xx
= 1,所以当 x→0 时sin x与 x 是等价无穷小,即 sin x
～ x( x→0).
同理可知,当 x→0 时,tan x～ x.
例 4 因为limx→0
(1 - cos x) = 0,且
·34·
limx→0
1 - cos xx2 = lim
x→0
12
sinx2
x2
2
=12,
所以,当 x→0 时 1 - cos x 与 x2是同阶无穷小.又因为
limx→ 0
1 - cos xx
= 0,
所以,当 x→0 时 1 - cos x 是比 x 高阶的无穷小,即
1 - cos x = o( x) ( x→0).
如果β是比α高阶的无穷小,也可以称 α是比β低阶的无穷小.
关于等价无穷小在求极限中的应用,有如下定理.
定理 2.13 设 α,β,α′及β′当 x→ x0 (或 x→∞)时均是无穷小,且 α～α′,β～β′,limβ′α′
存
在,则有
limβα
=limβ′
α′
证 由假设,有
limβα
#= limα′
α·β′
α′·β
β′= lim
α′
α·lim
β′
α′·lim
β
β′= lim
β′
α′.
根据此定理,在求两个无穷小量之比的极限时,若此极限不好求,可用分子、分母各自的等价
无穷小来代替,如果选的适当,可简化运算.
用定理 2.13 求极限,需要预先知道一些等价无穷小.例如常用的有下列一些:当 x→0 时, �
sin x～ x, tan x～ x, ex- 1～ x,
ln (1 + x)～ x, 1 - cos x～x2
2.
例 5 求limx→0
tan 3 xsin 2 x
.
解 当 x→0 时,tan 3 x～3 x,sin 2 x～2 x,所以
limx→ 0
tan 3 xsin 2 x
= limx→ 0
3 x2 x
=32.
例 6 求limx→0
tan xx3- x
2- 2 x
.
解 当 x→0 时,tan x～ x, x3- x
2- 2 x～( - 2 x),所以
limx→0
tan xx
3- x
2- 2 x
= limx→ 0
x- 2 x
= -12.
例 7 求limx→0
tan x - sin xx3 .
解 @tan x - sin x = tan x (1 - cos x),当 x→0 时,
tan x～ x,1 - cos x～x2
2,所以
·44·
limx→0
tan x - sin xx3 = lim
x→ 0
tan x (1 - cos x)x3 =lim
x→0
x·x2
2x3 =
12.
注意,相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换,但是相加(减)的无穷小的项不能作
等价代换,例如
limx→ 0
tan x - sin xx3 ≠lim
x→0
x - xx3 = 0.
三、无穷大
无穷大是与无穷小相对的概念.
定义 设函数 f( x)在 x0 的某去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数 M ,都存在正
数δ,当 0 < | x - x0 | < δ时,恒有
| f( x)| > M ,
成立,则称函数 f( x)当 x→ x0 时为无穷大量,简称无穷大,并且记为
limx→ x
0
f( x) = ∞ 或 f( x)→∞ ( x→ x0 ).
注意,函数 f( x)当 x→ x0 时为无穷大,则极限limx→ x
0
f( x)是不存在的.利用记号
limx→ x
0
f( x) = ∞
来记 f( x)是无穷大,只是为了书写的方便,同时也表明了当 x→ x0 时 f( x)虽然无极限,但还是
有明确趋向的.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量,不是绝对值很大很大的固定数.
如果将定义中的| f( x)| > M 改成 f( x) > M (或 f( x) < - M ),则为 f( x)在 x→ x0 时为
正无穷大(或负无穷大)的定义,并且记为
图 2.9
limx→ x
0
f( x) = + ∞
或limx→ x
0
f( x) = - ∞ .
类似地,也可以给出 f( x)在 x 的其他趋向下为无穷大量的定
义.例如
limx→ ∞
f( x) = ∞;limx→∞
f( x) = + ∞; limx→ x
+0
f( x) = - ∞等.
如果当 x→ x0 时 f( x)为无穷大量,即limx→ x
0
f( x) = ∞,则称直
线 x = x0 为曲线 y = f( x)的铅直渐近线(如图 2.9 所示).
例 8 证明limx→1
1x - 1
= ∞.
证 对于任意给定的正数 M,欲使1
x - 1> M ,只需| x - 1| <
1M,因此取δ=
1M,则当 0 < | x - 1| <δ时,
便有
1x - 1
>1δ
= M ,
所以
·54·
limx→1
1x - 1
= ∞.
直线 x = 1 是曲线 y =1
x - 1的铅直渐近线.
四、无穷小与无穷大的关系
关于无穷小和无穷大的关系,有如下结论:
定理 2.14 若limx→ x
0
f( x) = ∞,则limx→ x
0
1f( x)
= 0;若limx→ x
0
f( x) = 0,且在 x0 点的某去心邻域内
f( x)≠0,则limx→ x
0
1f( x)
= ∞.
简言之无穷小与无穷大的关系为:在自变量的同一趋向下,无穷大的倒数是无穷小;无穷小
(不等于 0)的倒数是无穷大.最简单的例子有:limx→0
1x= ∞,lim
x→ ∞
11 + x
2 = 0, limx→ + ∞
12
x = 0,limx→0
21
x2
=
+ ∞.
例 9 求limx→1
x2+ 1
x2- 1
.
解 由于
limx→1
x2- 1
x2+ 1
= 0,
由定理 2.14 知
limx→ 1
x2+ 1
x2- 1
= ∞.
以后,遇到类似例 9 的题目,可直接写出结果.
习题 2.4
1. 当 x→0 时,下列函数哪些是无穷小,哪些是无穷大,哪些既不是无穷小也不是无穷大 ?
(1) y =x + 1x
; �(2) y =x
x + 1; �(3) y =
1x
sin x;
(4) y = x sin1x; (5) y =
x - 1sin x
; (6) y =sin x
1 + cos x.
2. 下列函数的自变量 x在怎样的趋向下是无穷小量或是无穷大量 ?
(1) y =x + 1x - 1
; (2) y =x + 2x2 ; (3) y =
x2 - 3 x + 2x2- x - 2
.
3. 计算下列极限:
(1) limx→∞
sin xx
; (2) limx→0
x cos1x;
(3) limx→∞
(3 x3 - 2 x + 1); (4) limx→∞
x2
3 x - 1.
4. 当 x→0 时,3 x + x2 与 x2 - x3 相比,哪一个是高阶无穷小 ?
5. 当 x→1 时,无穷小 1 - x 和(1) 1 - x3 ; (2)12(1 - x2 )是否同阶 ?是否等价 ?
·64·
6. 当 x→0 时,下列函数哪些是 x的高阶无穷小 ? 哪些是同阶无穷小,并指出其中哪些又是等价无穷小 ?
(1) 3 x + 2 x2 ; (2) x2 + sin 2 x; (3)12
x +12sin x;
(4) sin x2; (5) ln (1 + x); (6) 1 - cos x.
7. 当 x→0 时,证明:
(1) arctan x～ x; (2) 1 - cos x～x2
2.
8. 利用等价无穷小的性质计算下列极限:
(1) limx→0
tan (2 x2)
1 - cos x; (2) lim
x→0
tan x - sin xsin3 x
; (3) limx→0
ln (1 + x)sin 3 x
.
§2.5 函数的连续性
一、函数的增量
在一些实际问题中,需要研究当自变量发生微小改变时函数改变的情况.例如,某金属杆件,
其长度 l是温度 T 的函数,设其函数关系为 l= F( T),当温度由 T1 变化到 T2 时, T 的改变量
为 T2 - T1 ;相应的金属杆件长度改变量为 F( T2 ) - F( T1 ).一般也将改变量称为增量.
定义 设变量 u 从它的一个值 u1 变到另一个值 u2 ,其差 u2 - u1 称作变量 u 的增量或改
变量,记作Δu,即
Δu = u2 - u1 .
增量Δu 可以是正的,也可以是负的.当Δu 为正时,变量 u 从 u1 变到 u2 = u1 +Δu 是增大
的;当Δu 为负时,变量 u 从 u1 变到 u2 是减少的.
设有函数 y = f( x).当自变量 x 从 x0 变到 x0 +Δx,即 x 在 x0 点取得增量Δx 时,函数 y
相应地从 f( x0 )变到 f( x0 +Δx), y 取得增量Δy,即
Δy = f( x0 +Δx) - f( x0 ).
一般来说Δy既与点 x0 有关,也与 x 的增量Δx 有关(见图 2.10).
例 1 设正方形的边长为 x.当 x 取得增量Δx 时(如图 2.11 所示),问面积 y 相应的增量
Δy 是多少 ? 当 x 由 2 m 变为 2.05 m 时,面积改变了多少 ? 当 x 由 2 m 变到 1.95 m 时,面积改
变了多少 ?
解 边长为 x 时,正方形的面积为
f( x) = x2,
如果边长由 x 变到 x +Δx,则面积的增量为
Δy ^= f( x +Δx) - f( x) = ( x +Δx)2- x
2= 2 xΔx + (Δx)
2.
当 x = 2 m,Δx = 0.05 m 时,有
Δy = 2×2×0.05 + 0.052= 0.202 5 ( m
2).
·74·
图 2 �.10 图 2 u.11
因为Δy > 0,所以面积增加了 0.202 5 m2.
当 x = 2 m,Δx = - 0.05 m 时,有
Δy = 2×2×( - 0.05) + ( - 0.05)2= - 0.197 5 ( m
2).
因为Δy < 0,所以面积减少了 0.197 5 m2.
二、连续函数的概念
许多自然现象的变化过程都是连续不断的.如气温、地下水的水位、当温度改变时金属丝的
长度的变化等,都是连续变化的.这种连续变化的现象反映在数学上就是函数的连续性.以气温
变化为例,当时间变动很微小时,气温的变化也很微小.这就是所谓的连续性.函数连续性的概念
可以通过增量来描述.
定义 设函数 y = f( x)在 x0 点的某邻域内有定义,如果当自变量的增量Δx = x - x0 趋向
于零时,相应的函数增量Δy = f( x0 +Δx) - f( x0 )也趋于零,即
limΔx→0
Δy = 0,
则称函数 y = f( x)在点 x0 处连续.
在上面的定义中Δx = x - x0 ,Δx→0 相当于 x→ x0 ,而Δy = f( x0 +Δx) - f( x0 ) = f( x)
- f( x0 ),所以
limΔ x→ 0
Δy = 0
可以写成
limx→ x
0
[ f( x) - f( x0 )] = 0,
即
limx→ x
0
f( x) = f( x0 ).
因此,函数 f( x)在点 x0 处连续,也可以定义为:
定义 设函数 y = f( x)在点 x0 的某邻域内有定义,如果
limx→ x
0
f( x) = f( x0 ),
则称函数 f( x)在点 x0 处连续,并称 x0 为 f( x)的连续点.
·84·
应当注意,函数 f( x)在点 x0 处连续和函数 f( x)当 x→ x0 时有极限的区别. limx→ x
0
f( x) =
A,并不意味着 f( x)在点 x0 处连续,因为 f( x)在点 x0 可能无定义,也可能 f( x0 )≠ A.所以,
函数 f( x)在 x→ x0 时有极限,是 f( x)在点 x0 处连续的必要条件.
如果
limx→ x
-0
f( x) = f( x0 ),
则称函数 f( x)在点 x0 处左连续;如果
limx→ x
+0
f( x) = f( x0 ),
则称函数 f( x)在点 x0 处右连续.
由定理 2.4 和函数在一点处连续的定义,可得
定理 2.15 函数 f( x)在点 x0 处连续的充分必要条件是 f( x)在点 x0 处既左连续又右连
续.
如果函数 f( x)在开区间( a, b)内的每一点都连续,则称函数 f( x)在开区间( a, b)内连续;
若函数 f( x)在( a, b)内连续,并且在左端点 a处右连续,右端点 b处左连续,则称函数 f( x)在
闭区间[ a, b]上连续.
函数在区间 I上连续,称它是 I上的连续函数.
函数 f( x)在点 x0 处连续的几何意义是: f( x)的图形在点( x0 , f( x0 ))处是联结在一起的,
没有断隙.函数 f( x)在区间 I上连续,其图形是一条连接不断的曲线.
可以证明:基本初等函数在其定义域内为连续函数.
例 2 考察函数
f( x) =x, x≤0,
sin x, x > 0
在 x = 0 点的连续性.
解 因为
limx→0
-f( x) = lim
x→ 0-
x = 0 = f(0),
所以 f( x)在 x = 0 处左连续.又因为
limx→0
+f( x) = lim
x→ 0+sin x = 0 = f(0),
所以 f( x)在 x = 0 处右连续.由定理 2.15 知 f( x)在 x = 0 点连续.
三、函数的间断点及其分类
定义 如果函数 f( x)在点 x0 处不连续,则称 f( x)在点 x0 处间断,点 x0 称为函数的间断
点.
由函数 f( x)在一点处连续的定义知, f( x)在 x0 点连续应同时满足下列三个条件:
(1) f( x)在点 x0 处有定义;
(2) 极限limx→ x
0
f( x)存在;
·94·
(3) 极限值等于函数在该点处的函数值,即
limx→ x
0
f( x) = f( x0 ).
因此,函数 f( x)在点 x0 处间断,有下列三种情况:
(1) f( x)在点 x0 处无定义.
(2) f( x)在点 x0 处有定义,但limx→ x
0
f( x)不存在.
(3) f( x)在点 x0 处有定义,且limx→ x
0
f( x)存在,但是
limx→ x
0
f( x)≠f( x0 ).
下面举例说明函数间断点的常见类型.
例 3 正切函数 y = tan x 在点 x = kπ+π2
( k = 0,±1,⋯)处无定义,所以点 x = kπ+π2
( k = 0,±1,⋯)是函数 tan x 的间断点.如图 2.12 所示.
例 4 函数
f( x) =sin
1x, x≠0,
0, x = 0
在 x = 0 处有定义,但是极限limx→ 0
sin1x不存在, x = 0 是函数 f( x)的间断点.如图 2.13 所示.
图 2 �.12 图 2 v.13
图 2.14
例 5 函数 y =x2+ x - 2x - 1
在点 x = 1 处无定义,因此 x = 1 是该函
数的间断点.如图2.14 所示.
例 6 考察函数
f( x) =x2, x≠0,
1, x = 0
在点 x = 0 处的连续性.
解 由于
limx→ 0
f( x) = limx→ 0
x2= 0, f(0) = 1,
所以
·05·
limx→0
f( x)≠ f(0),
即 x = 0 是函数 f( x)的间断点.如图 2.15 所示.
例 7 考察函数
f( x) =
x - 1, x < 0,
0, x = 0,
x + 1, x > 0
在点 x = 0 处的连续性.
解 由于
limx→0
-f( x) = lim
x→ 0-( x - 1) = - 1,
limx→0
+f( x) = lim
x→ 0+( x + 1) = 1,
函数 f( x)在 x→0 时左极限、右极限都存在,但不相等,从而极限不存在,故 x = 0 是函数 f( x)
的间断点.如图 2.16 所示.
图 2 �.15 图 2 v.16
根据函数 f( x)在间断点处单侧极限的情况,常将间断点分为两类:
(1) 若 x0 是 f( x)的间断点,并且 f( x)在点 x0 处的左极限、右极限都存在,则称 x0 是
f( x)的第一类间断点;
(2) 若 x0 是 f( x)的间断点,但不是第一类间断点,则称 x0 是 f( x)的第二类间断点.
在第一类间断点中,如果左极限与右极限相等,即limx→ x
0
f( x)存在.则称此间断点为可去间断
点.如例 5 中 x = 1 为 y 的可去间断点.例 6 中 x = 0 为 f( x)的可去间断点.这是因为如果 x0 为
f( x)的可去间断点,我们可以补充定义 f( x0 )或者修改 f( x0 )的值,由 f( x)构造出一个在 x0
处连续的函数.如
例 5 中 y 在 x = 1 处没有定义,limx→ 1
y = 3.若定义
y1 =x2+ x - 2x - 1
, x≠1,
3, x = 1,
则在 x = 1 处 y1 为连续函数.
·15·
例 6 中 f(0) = 1,而limx→ 0
f( x) = 0,若定义
f1 ( x) =x2, x≠0,
0, x = 0,
即 f1 ( x) = x2.则在 x = 0 处 f1 ( x)为连续函数.
在第一类间断点中,如果左极限与右极限不相等,此间断点 x0 可称为 f( x)的跳跃间断点.
如例 7 中 x = 0 为 f( x)的跳跃间断点.
在第二类间断点中,如果当 x→ x0 时, f( x)→∞,可称 x0 为 f( x)的无穷间断点.如例 3 中
x = kπ+π2( k = 0,±1,⋯)为 tan x 的无穷间断点.如果当 x→ x0 时, f( x)的极限不存在,呈无
限振荡情形,则称 x0 为f( x)的振荡间断点.如例 4 中 x = 0 为 f( x)的振荡间断点.
习题 2.5
1. 下列函数在指定点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充定义或改变函数的
定义使它连续.
(1) y =x2 - 1
x2 - 3 x + 2, x = 1, x = 2;
(2) y =x
tan x, x = kπ, x = kπ+
π2
( k = 0,±1,±2,⋯);
(3) y = cos1x, x = 0; (4) y =
x, x≤2,
x2 , x > 2, x = 2;
(5) y =x - a
| x - a|, x = a.
2. 设 f( x) = 1 +sin xx
,指出 f( x)的间断点,并判断类型,怎样在间断点处补充定义使其连续.
3. 设函数
f( x) =x, x≥1,
x3, x < 1,
讨论 x = 1 处的连续性.
§2.6 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
根据函数在一点处连续的定义与极限的四则运算法则,可以得下列定理:
定理 2.16 有限个在某点连续的函数的代数和是一个在该点连续的函数.
定理 2.17 有限个在某点连续的函数之积是一个在该点连续的函数.
定理 2.18 在某点连续的两个函数之商,当该点处分母不为零时,是一个在该点连续的函数.
·25·
仅证定理 2.18,其余读者可仿照证明.
证 设 f( x), g( x)在点 x0 处连续,且 g( x0 )≠0,记 F( x) =f( x)g( x)
,根据函数在 x0 点连续
的定义及商的极限运算法则,有
limx→ x
0
F( x) ,= limx→ x
0
f( x)g( x)
=
limx→ x
0
f( x)
limx→ x
0
g( x)=f( x0 )g( x0 )
= F( x0 ),
从而 F( x)在点 x0 处连续,定理 2.18 得证.
二、反函数与复合函数的连续性
定理 2.19 如果函数 y = f( x)在区间 Ix 上严格单调增加(或严格单调减少),并且连续,则
其值域也是一个区间,记为 Iy,并且其反函数 x = φ( y)在区间 Iy 上也是严格单调增加(或严格
单调减少),并且连续.
证明从略.定理 2.19 在几何上很容易解释,因为 y = f( x)与 x = φ( y)在直角坐标系 O xy
中的图形完全一样,是一条连续曲线.
定理 2.20 设函数 y = f( u)在点 u0 处连续,函数 u = φ( x)当 x→ x0 时极限存在,且
limx→ x
0
φ( x) = u0 ,则复合函数 y = f[φ( x)]当 x→ x0 时的极限也存在,且等于 f( u0 ),即
limx→ x
0
f[φ( x)] = f( u0 ).
定理 2.20 的结论,可以换一种写法:
limx→ x
0
f[φ( x)] = f limx→ x
0
φ( x) .
这表明在定理 2.20 的条件下,求复合函数 f[φ( x)]的极限时,函数符号 f与极限号可以交换顺
序.
定理 2.20 的结论,还可以换成另一种写法
limx→ x
0
f[φ( x)] = limu→ u
0
f( u),
这表明在定理 2.20 的条件下,如果作变量代换 u = φ( x),则求极限limx→ x
0
f[φ( x)]就变成求极限
limu→ u
0
f( u).这给我们求极限时常用的变量代换方法提供了理论依据.
定理 2.20 中把 x→ x0 换成 x→∞时,相应的结论也是成立的.
定理 2.21 设函数 y = f( u)在点 u0 处连续,又函数 u = φ( x)在 x0 处连续,且 φ( x0 ) =
u0 ,则复合函数 y = f[φ( x)]在点 x = x0 处连续.
由定理 2.21 可得下面的推论:
推论: 两个连续函数构成的复合函数仍是连续函数.准确一点说:若 y = f( u)在[ c, d]上
连续, u = φ( x)在[ a, b]上连续,且 φ( x)的值域包含于[c, d],则复合函数 y = f[φ( x)]在[ a,
b]上连续.
例 1 讨论函数 y = cos 1 - x2的连续性.
解 函数 y = cos 1 - x2可以看成是由函数 y = cos u 及 u = 1 - x
2复合而成, y = cos u
·35·
在( - ∞, + ∞)上连续, u = 1 - x2在[ - 1,1]上连续,且其值域包含于 y = cos u 的定义域之
中,根据定理 2.21 的推论,函数 y = cos 1 - x2在[ - 1,1]上连续.
例 2 求极限limx→0
sin (1 + x)1x .
解 函数 y = sin (1 + x)1x 可以看成是由 y = sin u 及u = (1 + x)
1x 复合而成.由于lim
x→ 0(1 +
x)1x = e,而 y = sin u 在 u = e 处连续,由定理 2.20 知
limx→ 0
sin (1 + x)1x V= sin lim
x→ 0(1 + x)
1x = sin e.
例 3 求极限limx→
π2
(1 + cot x)2 tan x
.
解 令 t= cot x,则当 x→π2时, t→0 因此
limx→
π2
(1 + cot x)2 tan x �
= limt→ 0
(1 + t)2t = lim
t→ 0(1 + t)
1t
2= lim
t→ 0(1 + t)
1t
2= e
2.
三、初等函数的连续性
由初等函数的定义和基本初等函数的连续性,再根据连续函数的四则运算性质和连续函数
的复合函数的连续性质,可以得出如下重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
根据这个结论,如果 f( x)是初等函数, x0 是其定义区间内的一个点,那么求limx→ x
0
f( x)时,只
需将 x0 代入函数求函数值 f( x0 )即可.
例 4 求limx→1
x2cos x + ln x
ex
1 + x2
.
解 由于被求极限的函数是初等函数, x = 1 是其定义区间内的一点,所以
limx→1
x2cos x + ln x
ex
1 + x2
=12cos 1 + ln 1
e1
1 + 12
=cos 1
e 2.
例 5 讨论函数
f( x) =
x2- 1, x≤0,
1x - 1
, 0 < x < 2, x≠1,
x + 1, x≥2
的连续性.
解 由初等函数的连续性知 f( x)在区间( - ∞,0),(0,1),(1,2),(2, + ∞)内连续.
对于点 x = 0,因为 f(0-) = lim
x→0-( x
2- 1) = - 1 = f(0); f(0
+) = lim
x→ 0+
1x - 1
= - 1 = f(0),所
以在点 x = 0 处 f( x)既左连续又右连续,从而连续.
对于点 x = 1,因为
limx→1
f( x) = limx→1
1x - 1
= ∞,
·45·
所以, x = 1 是 f( x)的第二类间断点.
对于点 x = 2,因为 f(2-) = lim
x→2-
1x - 1
= 1, f(2+) = lim
x→ 2+( x + 1) = 3 = f(2),所以 x = 2 是
f( x)的第一类间断点.
综上所述( - ∞,1),(1,2),(2, + ∞)是 f( x)的连续区间. x = 1是第二类间断点, x = 2 是第
一类间断点.
习题 2.6
1. 研究下列函数的连续性,并画出函数的图形
(1) f( x) =x2 , 0≤ x≤1,
2 - x, 1 < x≤2; �(2) f( x) =
x, - 1≤ x≤1,
1, x < - 1 或 x > 1.
2. 设
f( x) =a + x, x≤1,
ln x, x > 1,
应该怎样选择 a,使函数 f( x)为连续函数.
3. 讨论函数
f( x) =1
1 +1x
的连续性.
4. 求下列极限
(1) limx→0
esin xx ; (2) lim
t→ - 2
et+ 1t
;
(3) limx→π
sinx2
3
; (4) limx→
π6
ln (2cos 2 x);
(5) limx→0
e x - 1x
(提示:令 t= e x - 1); (6) limx→0
x + 1 - 1x
;
(7) limx→∞
e1x ; (8) lim
x→ + ∞x2+ x - x
2- x ;
(9) limx→0
ln ( a + x) - ln ax
( a > 0).
§2.7 闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有一些重要性质,本节介绍最值定理(或叫最大值、最小值定理)及介值
定理.
一、最值定理
定义 设函数 f( x)在区间 I上有定义,如果存在 x0 ∈I,使得对于任意的 x∈ I,都有
·55·
f( x)≤f( x0 ) (或 f( x)≥ f( x0 )),
则称 f( x0 )是函数 f( x)在区间 I上的最大值(或最小值);称 x0 为函数 f( x)的最大值点(或最
小值点).最大值与最小值统称为最值.
定理 2.22(最值定理) 若函数 f( x)在闭区间[ a, b]上连续,则 f( x)在[ a, b]上必取得最
大值和最小值.
最值定理给出了函数有最大值及最小值的充分条件.定理中的两个条件(闭区间、连续函数)
缺一不可.在开区间内连续的函数不一定有这一性质.例如 y = x 在开区间(0,1)上连续,但是它
在该区间内既无最大值,也无最小值.而 y = tan x 虽然在开区间 -π2,π2
内连续,但是它在该
区间内不但无最值,并且无界.再如,函数
f( x) =
x + 1, - 1≤ x < 0,
0, x = 0,
x - 1, 0 < x≤1
在闭区间[ - 1,1]上有定义,但是 x = 0 是其间断点,它在[ - 1,1]上既无最大值也无最小值.如
图 2.17 所示.
图 2.17
推论(有界性定理) 闭区间上的连续函数,在该区间上必有界.
证 设函 数 f ( x) 在 [ a, b] 上 连续,由最 值定理知 存在 x1 ,
x2 ∈[ a, b]使得对于一切的 x∈[ a, b],都有
f( x1 )≤ f( x)≤ f( x2 ),
即 f( x1 ), f( x2 )分别是[ a, b]区间上 f( x)的最小值和最大值,取 M =
m ax {| f( x1 )|,| f( x2 )|},则对一切的 x∈[ a, b],均有
| f( x)|≤ M ,
因此,函数 f( x)在[ a, b]上有界.
二、介值定理
定理 2.23(介值定理) 如果函数 f( x)在闭区间[ a, b]上连续, f( a)≠ f( b),且常数 μ介
于 f( a)与 f( b)之间,则存在ξ∈( a, b),使得
f(ξ) = μ
图 2.18
成立.
介值定理表明,在闭区间[ a, b]上的连续函数 f( x),当 x 从 a
连续变到 b时,要经过 f( a)与 f( b)之间的一切值.闭区间[ a, b]上
的连续函数 f( x)的图形,是从点( a, f( a))到点( b, f( b))的中间
无空隙的连续不断的曲线,如图 2.18.所以直线 y = μ(μ介于 f( a)
与 f( b)之间)至少与曲线 y = f( x)相交一次.如果 f( x)在[ a, b]
上是严格单调的,则仅相交一次.
如果函数在[ a, b]上有间断点,则介值定理不成立.例如函数
·65·
f( x) =x, 0≤ x < 1,
2, x = 1
在闭区间[0,1]上有定义,点 x = 1 是 f( x)的间断点,数 μ= 1.5 介于 f(0) = 0, f(1) = 2 之间,
但对于任意的 x∈[0,1],都有 f( x)≠1.5.
推论 1 闭区间上的连续函数,必能取得它的最大值与最小值之间的一切值.
证 设 x1 , x2 分别是闭区间[ a, b]上连续函数 f( x)的最小值点和最大值点,即 f( x1 )为最
小值, f( x2 )为最大值.不妨设f( x1 ) < f( x2 ) ( f( x1 ) = f( x2 )时结论显然成立),在以 x1 , x2 为
端点的闭区间上应用介值定理,即得此推论.
推论 2 (零点定理) 若函数 f( x)在闭区间[ a, b]上连续,且 f( a)与 f( b)异号,则存在ξ∈
( a, b),使得
f(ξ) = 0.
证 μ= 0 介于 f( a)与 f( b)之间,由介值定理知,至少存在一点ξ∈( a, b),使得
f(ξ) = 0.
有时可以用零点定理(也称方程 f( x) = 0 的根的存在定理)判别代数方程根的存在性.
例 1 证明方程 x3- 4 x
2+ 1 = 0 在区间(0,1)内至少有一个根.
证 因为函数 f( x) = x3- 4 x
2+ 1 是初等函数,所以,在闭区间[0,1]上连续.且 f(0) = 1 > 0,
f(1) = - 2 < 0,由零点定理知,至少存在一点ξ∈(0,1)使得
f(ξ) = 0,
即ξ是方程 f( x) = 0,即 x3- 4 x
2+ 1 = 0 的一个根.
习题 2.7
1. 证明方程 x5- 2 x
2= 1 至少有一个根介于 1和 2 之间.
2. 证明方程 x2 x - 1 = 0 至少有一个小于 1 的正根.
3. 设 f( x)在( a, b)内连续,且 a < x1 < ⋯ < xn < b,则在[ x1 , xn ]上必有点ξ,使得
f(ξ) =f( x1 ) + f( x2 ) + ⋯ + f( xn )
n.
复 习 题 二
一、选择题
1. 设α= 1 - cos x,β= 2 x2 ,则当 x→0时( ).
A. α与β是同阶但不等价的无穷小; B. α与β是等价无穷小;
C. α是β的高阶无穷小; D. β是α的高阶无穷小.
2. 当 x→0 时,下列变量中( )与 x 为等价无穷小量.
A. sin2 x; GB. ln(1 + 2 x); �C. xsin1x; dD. 1 + x - 1 - x.
3. limx→5
x - 5x2 - 25
= ( ).
·75·
A. 1; B.110
; C. 0; D. ∞.
4. 下列各式不正确的是( ).
A. limx→0
sin xx
= 1; B. limx→∞
sin xx
= 1;
C. limx→∞
xsin1x= 1; D. lim
x→0xsin
1x
= 0.
5. 设常数 k≠1 则下列各式中正确的是( ).
A. limn→∞
1 +kn
kn
= ek ; B. limn→∞
1 +1nk
kn
= ek ;
C. limn→∞
1 +kn
nk
= ek ; D. limn→∞
1 +1n
kn
= ek .
6. f( x) =e x - 1
x,则 x = 0 是 f( x)的( ).
A. 连续点; B. 可去间断点;
C. 跳跃间断点; D. 无穷间断点.
7. limx→∞
sin1x
= ( ).
A. 1; B. 0; C. ∞; D. 不存在.
8. limx→ + ∞
x - x2- 1 = ( ).
A. 0; B. ∞; C. 1; D. - 1.
9. 函数 f( x)在 x0 点具有极限是 f( x)在 x0 点连续的( ).
A. 必要条件; B. 充分条件;
C. 充分必要条件; D. 既不是必要条件,也不是充分条件.
10. 函数 f( x) =sin 2 x
x+
e3 x
x - 3的间断点个数为( ).
A. 0; B. 1; C.2; D. 3.
二、填空题
1. limx→0
sin xx2+ 3 x
= . 2. limx→∞
sin 2 xx
= .
3. 若limx→2
x2 - 3 x + ax - 2
= 1,则 a = .
4. 设 f( x) =
k1 + x
2 , x≥1,
3 x2 + 2, x < 1,
若 f( x)在 x = 1 处连续,则 k = .
5. limx→∞
x + 1x
- x
= .
6. 如果 f( x)在点 x0 处连续,g( x)在点 x0 处不连续,则 f( x) + g( x)在点 x0 处 .
7. 若limx→∞
3 xk- 2 x + 5
4 x5 + 3 x3 - 2 x=
34,则 k = .
8. 函数 f( x) =x2- x
| x|( x2 - 1)在 x = - 1 处为第 类间断点.
9. 设 f( x)在( - ∞, + ∞)上连续,且 f(1) = 3,则limx→0
f1xln (1 + x) = .
·85·
10. 函数 f( x) = 31x 在 x = 处间断,且为第 类间断点.
三、解答题
1. 求limx→0
x - sin xx + sin x
. �2. 求limx→0
e2 x - 1sin 3 x
.
3. 求limn→∞
1 + a + a2 + ⋯ + an
1 + b + b2+ ⋯ + b
n (| a| < 1,| b| < 1).
4. 求limx→∞
3 +2x
-1x2 . 5. 求lim
x→∞
x - 1x + 1
x
.
6. 求limn→∞
(1 n + 2 n + 3 n )1n (提示:3 < (1 n + 2 n + 3 n )
1n < 3·3
1n ,利用夹逼准则).
7. 定义 f(0)的值,使 f( x) =31 + x - 11 + x - 1
在 x = 0 处连续.
8. 求limx→ a
ln x - ln ax - a
( a > 0) (提示:设 x - a = t).
9. 证明方程 e x = 3 x 至少存在一个小于 1 的正根.
10. 设 f( x)在闭区间[1,2]上连续,并且 1 < f( x) < 2,证明至少存在一点ξ∈(1,2),使得 f(ξ) =ξ.(提示:
对函数 F( x) = f( x) - x 在[1,2]上应用介值定理.)
·95·
第三章 导数与微分
微分学是微积分的重要组成部分.这一章将引进导数与微分的概念、给出导数与微分的计算
方法.至于它们的应用,将在后面的章节中讨论.
§3.1 导数的概念
一、引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设物体沿直线作变速运动,其规律为 s = f(t).其中 s表示位移, t 表示时间.求物体在运动
过程中某时刻 t= t0 的瞬时速度 v(t0 ).
当 t 在 t0 取得增量Δt时,则在 t0 到 t0 +Δt 的时间段内,位移的增量Δs = f( t0 + Δt) -
f(t0 ).
ΔsΔt
=f(t0 +Δt) - f(t0 )
Δt即为 t0 到 t0 + Δt这段时间内的平均速度.容易看出,当|Δt|越小
时,平均速度将越接近瞬时速度,当Δt无限趋近于零时,平均速度也将无限趋近瞬时速度.为
此,瞬时速度定义为平均速度当Δt→0 时的极限,即
v( t0 ) = limΔt→0
ΔsΔt
= limΔt→ 0
f( t0 +Δt) - f( t0 )Δt
.
平均速度ΔsΔt
称为位移 s在 t0 到 t0 +Δt 时间段内的平均变化率,而瞬时速度limΔt→0
ΔsΔt
则称为
位移 s在时间 t = t0 的(瞬时)变化率.
2. 非恒定电流的瞬时电流强度.
设在[0,t]这段时间内,通过导线某截面的电量为 Q = f( t).求在时刻 t= t0 的瞬时电流强
度 I( t0 ).
当 t在t0 取得增量Δt时,则在 t0 到 t0 +Δt的时间段内,电量的增量为ΔQ = f(t0 +Δt) -
f(t0 ).
ΔQΔt
=f(t0 +Δt) - f(t0 )
Δt即为 t0 到 t0 +Δt 这段时间内的平均电流强度.如同上例,当Δt
无限趋近于零时,平均电流强度将无限趋近于瞬时电流强度,因而平均电流强度当Δt→0 时的
极限定义为瞬时电流强度,即
·06·
I( t0 ) = limΔt→0
ΔQΔt
= limΔt→0
f(t0 +Δt) - f(t0 )Δt
.
平均电流强度ΔQΔt
称为电量 Q 在 t0 到 t0 +Δt 时间段内的平均变化率,而瞬时电流强度
limΔt→0
ΔQΔt
则称为电量 Q 在时刻 t = t0 的(瞬时)变化率.
3. 质量非均匀分布的细杆的线密度
设细杆自一端起,长度为 x 的一段质量为 m = f( x),求细杆在 x = x0 处的线密度 μ( x0 ).
当 x 在 x0 取得增量Δx 时,则在 x0 到 x0 +Δx0 的段上,细杆的质量增量为Δm = f( x0 +
Δx) - f( x0 ).
ΔmΔx
=f( x0 +Δx) - f( x0 )
Δx即为 x0 到 x0 +Δx 间的细杆的平均线密度.同样当Δx 无限趋
近于零时,平均线密度将无限趋近于该点的线密度,因此在 x = x0 的线密度定义为
μ( x0 ) = limΔx→ 0
ΔmΔx
= limΔx→0
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
.
二、导数的定义
从上面三个引例中可以看到,尽管它们具有不同的物理意义,但是抛开它们的物理意义而仅
从数学上看,它们的本质是相同的.即它们都是函数增量与自变量增量之比值,当自变量增量趋
于零时的极限.数学上将其抽象为函数的导数,其定义如下:
定义 设 y = f( x)在点 x0 的某邻域内有定义, x0 +Δx 属于该邻域.记Δy = f( x0 +Δx)
- f( x0 ).若limΔx→0
ΔyΔx
= limΔx→ 0
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
存在,则称其极限值为 y = f( x)在点 x0 处的导
数,记为 f′( x0 ),或 y′ x = x0,或
d yd x x = x
0,或
dfd x x = x
0等.即有
f′( x0 ) = limΔx→ 0
ΔyΔx
= limΔx→ 0
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
.
读者不难验证,导数定义与下面的形式等价:
f′( x0 ) = limx→ x
0
f( x) - f( x0 )x - x0
.
若 y = f( x)在 x = x0 的导数存在,则称 y = f( x)在点 x0 处可导;反之称 y = f( x)在 x =
x0 不可导,此时意味着limΔx→ 0
ΔyΔx
不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一
点处的性态,导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.
例 1 设 f( x) = x2,求 f′(0), f′(1), f′( x0 ).
解 f′(0) = limΔx→ 0
f(Δx) - f(0)Δx
= limΔ x→ 0
(Δx)2
Δx= 0.
f′(1) H= limΔx→ 0
f(1 +Δx) - f(1)Δx
= limΔx→ 0
(1 +Δx)2- 1
Δx
·16·
= limΔx→ 0
2Δx + (Δx)2
Δx= 2.
f′( x0 ) �= limΔ x→0
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
= limΔx→0
( x0 +Δx)2- x
20
Δx
= limΔ x→0
2 x0Δx + (Δx)2
Δx= 2 x0 .
例 2 设 f( x) =1x,求 f′(1), f′( - 2), f′( x0 ).
解
f′(1) �= limΔx→ 0
f(1 +Δx) - f(1)Δx
= limΔx→ 0
11 +Δx
- 1
Δx= lim
Δ x→0
-ΔxΔx(1 +Δx)
= - 1.
f′( - 2) H= limΔx→ 0
f( - 2 +Δx) - f( - 2)Δx
= limΔx→ 0
1- 2 +Δx
- -12
Δx
= limΔx→ 0
Δx2Δx( - 2 +Δx)
= -14.
f′( x0 ) �= limΔ x→0
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
= limΔx→0
1x0 +Δx
-1x0
Δx
= limΔ x→0
-Δxx0Δx( x0 +Δx)
= -1x2
0
.
定义 设 y = f( x)在( a, b)内每个点都可导,则称 y = f( x)在( a, b)内可导.若 x∈( a,
b),则称 f′( x) = limΔ x→ 0
f( x +Δx) - f( x)Δx
为 y = f( x)在( a, b)内的导函数,简称导数(注意,这里
求极限时, x 是固定不变的).导函数也可用 y′,或d yd x
,或dfd x
来表示.
显然, f′( x0 ) = f′( x) x = x0,即函数在 x0 的导数值等于其导函数在 x0 的函数值.
例 3 设 f( x) = c(常数),求 f′( x).
解 f′( x) = limΔ x→0
f( x +Δx) - f( x)Δx
= limΔx→0
c - cΔx
= 0.
可见常数的导数为零,即 c′= 0.
例 4 设 f( x) = xn( n 为自然数),求 f′( x).
解 由于 an- b
n= ( a - b)( a
n - 1+ a
n - 2b + ⋯ + b
n - 1),
f′( x) �= limΔ x→0
f( x +Δx) - f( x)Δx
= limΔx→0
( x +Δx)n- x
n
Δx
= limΔ x→0
Δx ( x +Δx)n - 1
+ ( x +Δx)n - 2
x + ⋯ + xn - 1
Δx
= limΔ x→0
[( x +Δx)n - 1
+ ( x +Δx)n - 2
x + ⋯ + xn - 1
] = nxn - 1
.
所以( xn)′= nx
n - 1.比如( x
2)′= 2 x,( x
3)′= 3 x
2,等等.
例 5 设 f( x) = sin x,求 f′( x), f′(0), f′π4
.
·26·
解 f′( x) `= limΔ x→0
f( x +Δx) - f( x)Δx
= limΔx→ 0
sin ( x +Δx) - sin xΔx
= limΔ x→0
2sinΔx2cos x +
Δx2
Δx
= limΔ x→0
sinΔx2
Δx2
·limΔx→0
cos x +Δx2
= cos x,
所以 (sin x)′= cos x,
从而有 f′(0) = f′( x) x = 0 = cos 0 = 1,
f′π4
= f′( x) x =π4= cos
π4
=22.
用同样的方法不难得到(cos x)′= - sin x.
例 6 设 f( x) = loga x,求 f′( x).
解 f′( x) `= limΔ x→0
f( x +Δx) - f( x)Δx
= limΔx→ 0
loga ( x +Δx) - loga xΔx
= limΔ x→0
1Δx
log a 1 +Δxx
= limΔx→0
1xloga 1 +
Δxx
xΔx
=1xloga e =
1x·
1ln a
.
所以 (loga x)′=1x·
1ln a
.
若取 a = e,则有(ln x)′=1x.
三、左导数与右导数
函数的导数是函数增量与自变量增量的比值的极限.因为极限有左极限与右极限,所以导数
也有左导数与右导数的概念.
定义 设 y = f( x)在 x0 点及其左半某邻域中有定义,若 limΔx→0
-
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
存在,则
称其极限值为 y = f( x)在 x = x0 的左导数,记为 f′- ( x0 ),即
f′- ( x0 ) = limΔx→ 0
-
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
.
同样可以定义 f( x)在 x = x0 的右导数
f′+ ( x0 ) = limΔx→ 0
+
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
.
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
·36·
f′- ( x0 ) = limx→ x
-0
f( x) - f( x0 )x - x0
,
f′+ ( x0 ) = limx→ x
+0
f( x) - f( x0 )x - x0
.
由极限定理不难得到下面的结论:
定理 3.1 y = f( x)在 x = x0 可导的充分必要条件是 y = f( x)在 x = x0 的左、右导数存在
且相等.
例 7 设
f( x) =
1 - cos x, - ∞ < x < 0,
x2, 0≤ x < 1,
x3, 1≤ x < + ∞.
讨论 f( x)在 x = 0 和 x = 1 处的可导性.
解 在函数的分段点处讨论可导性,必须用左、右导数的概念及定理 3.1 来判断.
f′- (0) i= limx→0
-
f( x) - f(0)x
= limx→0
-
1 - cos xx
= limx→ 0
-
2sin2 x2
x
= limx→0
-sin
x2·lim
x→0-
sinx2
x2
= 0,
f′+ (0) = limx→0
+
f( x) - f(0)x
= limx→0
+
x2
x= 0,
因为 f′- (0) = f′+ (0),
所以 y = f( x)在 x = 0 可导,且 f′(0) = 0.
f′- (1) = limx→1
-
f( x) - f(1)x - 1
= limx→1
-
x2- 1
x - 1= lim
x→1-( x + 1) = 2,
f′+ (1) = limx→1
+
f( x) - f(1)x - 1
= limx→1
+
x3- 1
x - 1= lim
x→1+( x
2+ x + 1) = 3.
因为 f′- (1)≠ f′+ (1),
所以 y = f( x)在 x = 1 不可导.
四、可导性与连续性的关系
设 y = f( x)在 x = x0 可导,即limΔx→ 0
ΔyΔx
= f′( x0 ),则由极限定理知 ΔyΔx
= f′( x0 ) + α,其中
limΔ x→0
α= 0.
此时 Δy = f′( x0 )·Δx + α·Δx,
即有 limΔ x→0
Δy = limΔx→ 0
( f′( x0 )·Δx + α·Δx) = 0.
可见,若 y = f( x)在 x = x0 可导,则 y = f( x)在 x = x0 连续.
·46·
反之,若 y = f( x)在 x = x0 连续,则 y = f( x)在 x = x0 不一定可导.下面举两个例子来说
明.
例 8 设 f( x) = | x|,讨论 f( x)在点 x = 0 处的连续性与可导性.
解 limx→0
f( x) = limx→0
| x| = 0 = f(0),
因此 f( x) = | x|在 x = 0 连续,但
f′- (0) = limx→0
-
f( x) - f(0)x
= limx→0
-
| x|x
= limx→ 0
-
- xx
= - 1,
f′+ (0) = limx→0
+
f( x) - f(0)x
= limx→0
+
| x|x
= limx→ 0
+
xx
= 1≠f′- (0),
因此 f( x) = | x|在点 x = 0 处不可导.
例 9 设 f( x) =3
x,讨论 f( x)在点 x = 0 处的连续性与可导性.
解 limx→ 0
f( x) =limx→0
3
x = 0 = f(0),
因此 f( x) =3
x在点 x = 0 处连续,但
limx→0
f( x) - f(0)x
= limx→ 0
3
xx
= ∞ (极限不存在).
因此 f( x) =3
x在点 x = 0 处不可导.
综上所述,若 y = f( x)在点 x0 处可导,则 y = f( x)在点 x0 处连续,反之不然.
五、导数的几何意义
当自变量 x 从 x0 变化到 x0 +Δx 时,曲线 y = f( x)上的点由 M 0 ( x0 , f( x0 ))变到 M ( x0
+Δx, f( x0 +Δx)).如图 3.1 所示.
图 3.1
此时Δx 为割线两端点 M 0 , M 的横坐标之差,而Δy 则为 M 0 ,
M 的纵坐标之差,所以ΔyΔx
即为过 M 0 , M 两点的割线的斜率 tan α.
曲线 y = f( x)在点 M 0 处的切线即为割线 M 0 M 当 M 沿曲线
y = f( x)无限接近 M 0 时的极限位置 M 0 P,因而当Δx→0 时,割线
斜率的极限值就是切线的斜率.
tan φ= limΔ x→0
tan α= limΔx→ 0
ΔyΔx
= f′( x0 ),
所以,导数 f′( x0 )的几何意义是曲线 y = f( x)上点 M 0 ( x0 , f( x0 ))处的切线斜率.
设函数 y = f( x)在点 x0 处可导,则曲线 y = f( x)在点 M 0 ( x0 , f( x0 ))处的切线方程为
y - f( x0 ) = f′( x0 )( x - x0 ).
当 f′( x0 )≠0 时,曲线在 M 0 的法线方程为
y - f( x0 ) = -1
f′( x0 )( x - x0 ).
当 f′( x0 ) = 0 时,曲线在 M 0 的法线方程为
·56·
x = x0 (即法线平行 y 轴).
例 10 求曲线 y = x3在点 M 0 (1,1)处的切线方程和法线方程.
解 由例 4 知道( x3)′= 3 x
2,因而 M 0 点的切线斜率 k1 = ( x
3)′
x = 1= 3,法线斜率 k2 =
-1k1
= -13,所以过点 M 0 的切线方程为
y - 1 = 3( x - 1),即 y = 3 x - 2.
过 M 0 的法线方程为
y - 1 = -13( x - 1), 即 y = -
13
x +43.
习题 3.1
1. 设 f( x) = x,求 f′(1), f′(4).
2. 设 f( x) =1x,求 f′(1), f′
12
.
3. 求曲线 y = f( x)上点 M 0 处的切线方程和法线方程.
(1) f( x) = ln x, M 0 (e,1); (2) f( x) =1x2 , M 0 (1,1);
(3) f( x) = x2 , M 0 (0,0).
4. 设 f( x) =sin x, x < 0,
ax + b, x≥0.讨论 a, b取何值时, f( x)在点 x = 0 处可导.
5. 设 f( x)在点 x0 处可导,求证
f′( x0 ) =12limΔx→0
f( x0 +Δx) - f( x0 -Δx)Δx
.
6. 求证双曲线 y =1x上任意点处的切线与两个坐标轴所围成的三角形面积恒等于 2.
§3.2 导数的运算
在前一节中,我们引进了导数的概念,也通过例子求了一些函数的导数,但用定义来求导数
只能解决一些非常简单的函数的求导问题,而对于大量的比较复杂的函数,若用导数的定义来求
导,那是十分困难的,甚至是不可能的.本节主要介绍求导的基本公式与基本法则,借助这些公式
与法则可以对初等函数进行求导运算.
一、基本初等函数的求导公式
为了运算的方便,下面先给出基本初等函数的导数公式.这些公式有的在前一节中已经得
到,有的将随着导数运算法则的引入而得以证明.
c′= 0 (c 为常数). �( xα)′= αx
α- 1(α为实数).
·66·
( ax)′= a
x·ln a( a > 0, a≠1). (e
x)′= e
x.
(log a x)′=1x·
1ln a
( a > 0, a≠1). (ln x)′=1x.
(sin x)′= cos x. (cos x)′= - sin x.
(tan x)′= sec2x. (cot x)′= - csc
2x.
(sec x)′= sec x·tan x. (csc x)′= - csc x·cot x.
(arcsin x)′=1
1 - x2. (arccos x)′= -
1
1 - x2.
(arctan x)′=1
1 + x2 . (arccot x)′= -
11 + x
2 .
二、导数的四则运算法则
定理 3.2 设 u = u( x), v = v( x)可导,则 u± v可导,且有
( u± v)′= u′± v′.
证 设自变量在 x 取得增量Δx 时,函数 u, v 分别取得增量Δu = u( x +Δx) - u( x),Δv
= v( x +Δx) - v( x),于是
Δ( u± v) �= [ u( x +Δx)± v( x +Δx)] - [ u( x)± v( x)]
= [ u( x +Δx) - u( x)]±[ v( x +Δx) - v( x)]
=Δu±Δv
因此
( u± v)′ 1= limΔx→ 0
Δ( u± v)Δx
= limΔx→0
Δu±ΔvΔx
= limΔx→ 0
ΔuΔx
±limΔ x→0
ΔvΔx
= u′± v′.
此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如,若 u, v, w 分别可导,则( u + v + w)′= u′
+ v′+ w′.
定理 3.3 设 u = u( x), v = v( x)可导,则 u·v 可导,且有
( u·v)′= u′·v + u·v′.
证 设自变量在 x 取得增量Δx 时,函数 u, v 分别取得增量Δu,Δv.则
Δ( uv) ?= u( x +Δx)·v( x +Δx) - u( x) v( x)
= ( u +Δu)( v +Δv) - u·v
=Δu·v + u·Δv +Δu·Δv,
因此
( uv)′ �= limΔ x→0
Δ( uv)Δx
= limΔ x→0
Δu·v + u·Δv +Δu·ΔvΔx
= limΔ x→0
ΔuΔx
·v + u·limΔx→ 0
ΔvΔx
+ limΔ x→0
ΔuΔx
·limΔx→ 0
Δv
= u′v + uv′.
·76·
此定理可以推广到有限个函数相乘的情况,例如 u, v, w 分别可导,则( uvw )′= u′v w + uv′w +
uv w′.
由定理 3.3 容易得到一个重要的结论:若 u 可导,c 为常数,则( cu)′= c′u + cu′= cu′.即求
导时,常数因子可以提出来.
定理 3.4 设 u = u( x), v = v( x)可导,且 v( x)≠0,则uv可导,且有
uv
′=u′v - uv′
v2 .
证 设自变量在 x 取得增量Δx 时,函数 u, v 分别取得增量Δu,Δv,则
Δuv
�=
u( x +Δx)v( x +Δx)
-u( x)v( x)
=u +Δuv +Δv
-uv
=Δu·v - u·Δv
v( v +Δv),
因此
uv
′ �= limΔx→0
Δuv
Δx= lim
Δx→0
Δu·v - u·ΔvΔx·v( v +Δv)
= limΔx→0
ΔuΔx
v - uΔvΔx
v( v +Δv)=
u′v - uv′v2 .
例 1 设 y =x - πx + 2
x,求 y′.
解 y′ �=(x - πx + 2
x )′= x
12 - π+ 2 x
-12 ′= x
12 ′- π ′+ 2 x
-12 ′
=12
x-
12 + 2· -
12
x-
32 =
1
2 x-
1
x x.
例 2 设 y = ex(cos x + sin x),求 y′.
解 y′ �= [ex(cos x + sin x)]′= (e
x)′(cos x + sin x) + e
x(cos x + sin x)′
= ex(cos x + sin x) + e
x[(cos x)′+ (sin x)′]
= ex(cos x + sin x) + e
x( - sin x + cos x) = 2e
xcos x.
例 3 用四则运算法则证明基本初等函数的求导公式:(tan x)′= sec2x 和(sec x)′= sec x·
tan x.
证 (tan x)′ �=sin xcos x
′=(sin x)′·cos x - sin x·(cos x)′
cos2x
=cos x·cos x - sin x·( - sin x)
cos2x
=1
cos2x= sec
2x.
(sec x)′ �=1
cosx′=
(1)′cos x - 1·(cos x)′cos
2x
=- ( - sin x)
cos2x
= sec x·tan x.
同样可以得到另外两个基本公式:
(cot x)′= - csc2x,
(csc x)′= - csc x·cot x.
·86·
例 4 计算(cos2x)′,
xe
x
′.
解 (cos2x)′ �= (cos x·cos x)′= (cos x)′·cos x + cos x·(cos x)′
= - sin x·cos x + cos x·( - sin x)
= - 2sin x cos x = - sin 2 x,
xe
x
′=( x)′e
x- x(e
x)′
(ex)2 =
ex- xe
x
(ex)2 = (1 - x)e
- x.
例 5 设 f( x) = (1 + x)(1 + 2 x)⋯(1 + 10 x),求 f′(0).
解 f′( x) `= [(1 + x)(1 + 2 x)⋯(1 + 10 x)]′
= (1 + x)′(1 + 2 x)⋯(1 + 10 x) + (1 + x)(1 + 2 x)′(1 + 3 x)⋯(1 + 10 x) + ⋯
+ (1 + x)⋯(1 + 9 x)(1 + 10 x)′
= (1 + 2 x)⋯(1 + 10 x) + 2(1 + x)(1 + 3 x)⋯(1 + 10 x) + ⋯
+ 10(1 + x)(1 + 2 x)⋯(1 + 9 x).
因此 f′(0) = 1 + 2 + ⋯ + 10 = 55.
三、反函数的求导法则
定理 3.5 设函数 x = φ( y)在某区间内严格单调、可导,且 φ′( y)≠0,则其反函数 y = f( x)
在相应区间内也严格单调且可导,且有
f′( x) =1
φ′( y),或者
d yd x
=1d xd y
.
证 因为 x = φ( y)在某区间内严格单调、连续,而其反函数也是严格单调连续的,所以当
Δx→0 时,Δy→0,且Δx≠0 时,Δy≠0,故
f′( x) = limΔx→0
ΔyΔx
= limΔx→0
1ΔxΔy
=1
limΔy→ 0
ΔxΔy
=1
φ′( y).
例 6 证明:(arcsin x)′=1
1 - x2.
证 x = φ( y) = sin y 在 -π2,π2
内严格单调、连续,且φ′( y)≠0,所以其反函数 y =
f( x) = arcsin x 在( - 1,1)内严格单调、连续、可导,且有
(arcsin x)′=1
φ′( y)=
1cos y
=1
1 - sin2y=
1
1 - x2.
同样可以得到(arccos x)′= -1
1 - x2.当然,如果得到了 arcsin x 的导数,也可以用下面的方法
得到 arccos x 的导数,即
(arccos x)′=π2
- arcsin x ′= - (arcsin x)′= -1
1 - x2.
·96·
例 7 证明:(arctan x)′=1
1 + x2 .
证 x = φ( y) = tan y 在 -π2,π2
内严格单调、可导,且φ′( y)≠0,所以其反函数 y = f( x)
= arctan x 在( - ∞, + ∞)内严格单调,可导,且有
(arctan x)′=1
φ′( y)=
1sec
2y=
11 + tan
2y=
11 + x
2 .
用同样的方法也可得到 (arccot x)′= -1
1 + x2 ,或者
(arccot x)′=π2
- arctan x′= - (arctan x)′= -
11 + x
2 .
四、复合函数的求导法则
定理 3.6 设 u = g( x)在 x 可导, y = f( u)在相应点 u = g( x)可导,则复合函数 y =
f( g( x))在 x 可导,且有
d yd x
=dyd u
·d ud x
= f′( u)·g′( x).
证 由limΔ u→0
ΔyΔu
= f′( u)得到
ΔyΔu
= f′( u) + α,其中limΔ u→0
α= 0,
即 Δy = f′( u)Δu + αΔu. (1)
今 u 为中间变量,Δu = g( x +Δx) - g( x)是由Δx 而引起的,当Δx≠0 时,Δu 可能为 0.
而在(1)式中,当Δu = 0 时,α没有定义,若补充规定当Δu = 0 时,取α= 0.这样,无论Δu≠0,还
是Δu = 0,(1)式总是成立的.
当Δx→0 时,由 u = g( x)可导知 u = g( x)连续,此时必有Δu→0 或者Δu = 0,因而总有
limΔ x→0
α= 0.故
dyd x
�= limΔx→ 0
ΔyΔx
= limΔx→ 0
f′( u)Δu + αΔuΔx
= f′( u)limΔx→ 0
ΔuΔx
+ limΔx→ 0
α·limΔx→ 0
ΔuΔx
= f′( u)·g′( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则,它也适用于多层复合的情况.比如 y = f( u), u =
g( v), v = h( x),则只要满足相应的条件,复合函数 y = f( g( h( x)))就可导,且有
dyd x
=d yd u
·d ud v
·d vd x
= f′( u)·g′( v)·h′( x).
例 8 设 y = sin3
x,求 y′.
解 令 y = u3, u = sin x,则
d yd x
=dyd u
·d ud x
= 3 u2·cos x = 3sin
2x·cos x.
例 9 设 y = lncos x,求 y′.
·07·
解 令 y = ln u, u = cos x,则
dyd x
=d yd u
·d ud x
=1u·( - sin x) =
1cos x
·( - sin x) = - tan x.
例 10 设 y = etan x
,求 y′.
解 令 y = eu, u = tan v, v = x,则
d yd x
=dyd u
·d ud v
·d vd x
= eu·sec
2v·
1
2 x= e
tan x·sec
2x·
1
2 x.
例 11 设 y = arctanx + 1x - 1
,求 y′.
解 令 y = arctan u, u = v, v =x + 1x - 1
,则
d yd x
�=d yd u
·d ud v
·d vd x
=1
1 + u2·
1
2 v·( x - 1) - ( x + 1)
( x - 1)2
=1
1 +x + 1x - 1
·1
2x + 1x - 1
·- 2
( x - 1)2 =
x - 12 x
·12
x - 1x + 1
·- 2
( x - 1)2
= -1
2 x( x - 1)x - 1x + 1
.
用链式法则求复合函数的导数,其关键在于将一个比较复杂的函数分解成一系列比较简单
的函数的复合.所谓简单的函数是指基本初等函数或者由基本初等函数经过有限次的四则运算
所构成的函数.当函数的分解比较熟练后,在进行复合函数求导时,可以不必引入中间变量.
例 12 设 y = sin3(2 x + 1),求 y′.
解 y′ �= (sin3(2 x + 1))′= 3sin
2(2 x + 1)·(sin(2 x + 1))′
= 3sin2(2 x + 1)·cos(2 x + 1)·(2 x + 1)′
= 3sin2(2 x + 1)·cos(2 x + 1)·2
= 6sin2(2 x + 1)·cos(2 x + 1).
例 13 设 y = ln( x + tan x),求 y′.
解 y′ �= (ln( x + tan x))′=1
x + tan x·( x + tan x)′
=1
x + tan x·(1 + sec
2x) =
1 + sec2
xx + tan x
.
例 14 设 y = 2x2sin
1x ,求 y′.
解 y′ �= 2x2sin
1x ′= 2
x2sin
1x·ln 2· x
2sin
1x
′
= 2x2sin
1x·ln 2· ( x
2)′sin
1x+ x
2·(sin
1x)′
= 2x2sin
1x·ln 2 2 x sin
1x+ x
2·cos
1x·
1x
′
= 2x2sin
1x·ln 2 2 x sin
1x+ x
2·cos
1x· -
1x2
·17·
= 2x2sin
1x·ln 2 2 x sin
1x- cos
1x
.
当完全掌握了复合函数求导的链式法则,那么在对初等函数求导时,就可以“一步到位”.
例 15 计算 ln x2+ 1 + x ′.
解 ln x2+ 1 + x ′=
1
x2+ 1 + x
·1
2 x2+ 1
·2 x + 1
=1
x2+ 1 + x
x
x2+ 1
+ 1 =1
x2+ 1
.
例 16 计算 x x2+ 1 ′.
解 x x2+ 1 ′= x
2+ 1 + x·
1
2 x2+ 1
·2 x =2 x
2+ 1
x2+ 1
.
例 17 计算(sinnx·sin nx)′.
解 (sinnx·sin nx)′
= nsinn - 1
x·cos x·sin n x + sinnx·cos nx·n
= n sinn - 1
x(cos x·sin nx + sin x·cos nx)
= n sinn - 1
x·sin ( n + 1) x.
例 18 一人以 2 m�/s 的速度通过一座高为 20 m 的桥,在此人的正下方有一小船以43
m�/s
的速度与桥垂直方向前进,求第 5 s 末人与小船的分离速度.
解 经过 t秒人走过的距离为 x = 2t,船走过的距离为 y =43t,此时人与船的距离为 s,则 s
满足
s= (20)2+
43t
2
+ (2 t)2.
两端关于 t求导,得
dsdt
=
169
+ 4 t
(20)2+
43t
2
+ (2t)2
, (2)
由(2)可得
dsdt t = 5
=2621
,
即所求的分离速度为2621
m�/s.
五、隐函数的求导法则
我们前面遇到的函数都有这样的一个特点,就是对于自变量 x 在允许范围内的每一个值,
因变量 y是通过一个数学运算关系式计算所得值与之对应,比如 y = x + sin x, y = cos2x,等等.
·27·
这种函数称为显函数.除了显函数外,我们还会遇到另一种形式的函数,那就是自变量 x 和因变
量 y是通过一个方程建立起函数关系.比如 x + y + y3= 1 建立了 x 和 y 之间的关系,此时对应
规则是对 x 在允许范围内的每一个值, y 将以方程的解与之对应.这种函数称为隐函数.
隐函数一般可用 F( x, y) = 0 表示.现在的问题是通过方程 F( x, y) = 0 确定了 y是 x 的函
数,如何来求 y′.容易看出:“先将隐函数显化,然后再求导”不是一个好的办法,因为将隐函数显
化,即将其变成显函数形式一般是非常困难的,甚至是不可能的.对于隐函数求导,可以采用这样
的方法:首先在等式两边对 x 求导,遇到 y 时将其认作中间变量,利用复合函数的求导法则,得
到含 y′的方程,解出 y′即可.
例 19 设 y = y( x)由 ex- y
2= xy 确定,求 y′.
解 将 y = y( x)代入 ex- y
2= xy,则 e
x- y
2( x) = xy( x),两端恒等,其中 y
2( x)是以 y 为
中间变量,以 x 为自变量的复合函数,于是两边对 x 求导,得
ex- 2 y·y′= y + x·y′.
解方程得
y′=e
x- y
x + 2 y.
例 20 求隐函数 y = 2 + xey的导数 y′及 y′
x = 0.
解 y′= ey+ xe
y·y′,从而
y′=e
y
1 - xey .若注意到 xe
y= y - 2,也可得
y′=ey
1 - ( y - 2)=
ey
3 - y.
x = 0 时,由 y = 2 + xey可解得 y = 2,于是 y′
x = 0= e
2.
例 21 求椭圆曲线x2
2+
y2
4= 1 上点(1, 2)处的切线方程和法线方程.
解 x +12y·y′= 0,
y′= -2 xy,
切线斜率 k1 = y′(1 , 2 )
= -2
2= - 2,
法线斜率 k2 = -1k1
=22.
所以切线方程为
y - 2 = - 2( x - 1), 即 y = - 2 x + 2 2.
法线方程为
y - 2 =22( x - 1), 即 y =
22
x +22.
·37·
六、由参数方程确定的函数的求导法则
设变量 x 与 y都是变量t的函数,即x = φ(t),
y = ψ( t).如果对于 x 在允许范围内的每个值,通过 x
= φ(t)可以得到 t = φ- 1( x),理论上可以证明,只要 φ′( t)≠0,那么的确由 x = φ( t)可以得到
它的反函数 t= φ- 1( x),于是在 φ′(t)≠0 的假定下,有 t= φ
- 1( x).再通过 y = ψ( t)得到 y,这
种函数关系称为由参数方程x = φ(t),
y = ψ(t)确定的函数,其中变量 t称为参数.
若将由参数方程x = φ(t),
y = ψ(t)所确定的函数看成复合函数: y = ψ( t), t = φ
- 1( x),则由复合
函数的求导法则,有
dyd x
=d ydt·dtd x
.
注意到反函数的求导法则,有dtd x
=1d xdt
.所以
dyd x
=d ydt·
1d xdt
=
dydtd xdt
=ψ′( t)φ′( t)
(φ′(t)≠0).
这就是由参数方程所确定的函数的求导法则.由上述公式可见,在具体求导时,不必先求出 t =
φ- 1( x)及 y = ψ(φ
- 1( x)),而直接使用参数方程的求导法则就可以.
例 22 设x = a cos
3t,
y = a sin3t,
求d yd x
.
解 dyd x
=
dydtd xdt
=a·3sin
2t·cos t
a·3cos2t·( - sin t)
= - tan t.
例 23 设x = e
tcos t,
y = etsin t,
求dyd x
.
解 dyd x
=
dydtd xdt
=etsin t + e
t·cos t
etcos t+ e
t·( - sin t)
=sin t + cos tcos t - sin t
.
例 24 求曲线x = t ln t,
y = tln2t在对应 t= e 处的切线方程和法线方程.
解 由于d yd x
=
d ydtd xdt
=ln
2t + t·2ln t·
1t
ln t + t·1t
=ln
2t + 2ln t
ln t+ 1.
·47·
所以切线斜率 k1 =d yd x t = e
=1 + 21 + 1
=32.
法线斜率 k2 = -1k1
= -23.
当 t= e 时, x = e, y = e.故切线方程为
y - e =32( x - e),即 y =
32
x -e2.
法线方程为 y - e = -23( x - e),即 y = -
23
x +53e.
例 25 以初速度 v0 ,发射角 α发射炮弹,炮弹的运动方程为
x = v0 t cos α,
y = v0 t sin α-12
gt2,
求: 2(1) 炮弹在时刻 t的运动方向;
(2) 炮弹在时刻 t的速度大小.
解 (1) 炮弹在时刻 t的运动方向就是炮弹运动轨迹在时刻 t的切线方向,所以只需求出
切线的斜率.
d yd x
=y′(t)x′(t)
=v0 sin α- gtv0 cos α
.
(2) 炮弹在时刻 t沿 x 轴方向的分速度为
vx =d xdt
= v0 cosα,
沿 y 轴方向的分速度为
vy =d ydt
= v0 sin α- gt,
故炮弹在时刻 t的速度大小为
v /= v2x + v
2y = ( v0 cos α)
2+ ( v0 sin α- gt)
2
= v20 - 2 v0 gt sin α+ ( gt)
2.
七、对数求导法
在求导运算中,常会遇到下列两类函数的求导问题,一类是幂指函数,即形如[ f( x)]g( x)
的
函数,一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.
对于幂指函数 y = [ f( x)]g( x)
的求导,可以先将函数变形为 y = [ f( x)]g( x)
= eln[ f( x)]
g( x)
=
eg( x)ln f( x)
,然后再用复合函数求导法求出其导数 y′;对于后一类函数的求导,则可利用四则运算
法则来解决.但是对于上述两类函数的求导,经常采用对数求导法来求导,其优点在于计算更简
单,书写更方便.所谓对数求导法,就是在 y = f( x)的两边分别取对数,然后用隐函数求导法来
求导的方法.
例 26 设 y = (sin x)x,求 y′.
·57·
解 若直接用复合函数求导法,则
y 3= (sin x)x= e
ln (sin x)x
= ex ln sin x
,
y′ <= ex ln sin x
′= ex ln sin x
· ln sin x + x·1
sin x·cos x
= (sin x)x(ln sin x + xcot x).
若用对数求导法,则
y = (sin x)x,
ln y = ln(sin x)x= x ln sin x.
两边对 x 求导,得
1y·y′ [= ln sin x + x·
1sin x
·cos x = ln sin x + x cot x,
所以
y′= y·(ln sin x + x cot x) = (sin x)x·(ln sin x + x cot x).
例 27 设 y = xxln x - x
,用对数求导法求 y′.
解 ln y = ln xxln x - x
= ( xln x - x)ln x,
1y·y′= (ln x + x·
1x- 1)ln x + ( xln x - x)·
1x= ln
2x + ln x - 1,
y′= y(ln2x + ln x - 1) = x
xln x - x(ln
2x +ln x - 1).
例 28 设 y =x ( x + 1)
2sin
2x
3
x + 2 x + 3tan( x + 1),求 y′.
解 直接用四则运算的求导法则来计算 y′的工作量很大,而用对数求导法来计算可以大大
简化运算.
ln y ?=12ln x + 2ln( x + 1) + 2ln sin x -
13
ln( x + 2) -
12ln( x + 3) -ln sin( x + 1) + ln cos( x + 1).
1y·y′ r=
12·
1x+ 2·
1x + 1
+ 2·1
sin x·cos x -
13·
1x + 2
-
12·
1x + 3
-cos ( x + 1)sin ( x + 1)
-sin ( x + 1)cos ( x + 1)
=12 x
+2
x + 1+ 2cot x -
13( x + 2)
-1
2( x + 3)-
1sin( x + 1)cos( x + 1)
,
所以
y′ z=x( x + 1)
2sin
2x
3
x + 2· x + 3 tan ( x + 1)
12 x
+2
x + 1+ 2cot x -
1
3( x + 2)-
12( x + 3)
-1
sin ( x + 1)cos( x + 1).
例 29 设 f( x) =(1 + x)
3· 1 + 2 x·e
arctan x
(1 + 4 x)2·
3
1 - 3 x,求 f′(0).
·67·
解 ln f( x) �= 3ln(1 + x) +12
ln(1 + 2 x) +
arctan x - 2 ln(1 + 4 x) -13ln(1 - 3 x),
1f( x)
f′( x) L=3
1 + x+
11 + 2 x
+1
1 + x2 -
81 + 4 x
+1
1 - 3 x,
所以
f′(0) = f( x)3
1 + x+
11 + 2 x
+1
1 + x2 -
81 + 4 x
+1
1 - 3 x x = 0
= 3 + 1 + 1 - 8 + 1 = - 2.
读者也许会发现,一个函数能否取对数,取了对数其定义域可能会改变等等.这些是否会影
响上述方法的使用 ? 我们指出:这些都可以通过适当的运算步骤,来说明上述法则所得出结果是
正确的.
习题 3.2
1. 求下列函数的导数:
(1) y = 2 x - 33x +
55; ~(2) y =
x3 - x - 2πx2 ;
(3) y =x - xx + x
; (4) y =x - 1
x2 + 2 x;
(5) y = ex(cos x + sin x); (6) y =
cos t1 - sin t
;
(7) y = x ln x - x; (8) y =arctan x1 + x
2 .
2. 求下列函数的导数:
(1) y = x x2 - 1; (2) y = xsec2 x - tan x;
(3) y = ln x2+ 4 - x ; (4) y = arctan
1 - x1 + x
;
(5) y = x + x + x ; (6) y = x x x ;
(7) y = ln1 - sin x1 + sin x
; (8) y = 4 x - x2+ 4arcsin
x2
;
(9) y = 2tan tan x
; (10) y = ln ln ln x;
(11) y = x x ; (12) y = xsin x + (sin x) x ;
(13) y = xxx
; (14) y =x2e2 x
(1 + x)· 2 + x;
(15) y =3
( x - 1)( x - 2)2
x( x + 1).
3. 求下列隐函数的导数:
(1) x3 - y3 - x - y + xy = 2; (2) sin ( xy) = x + y;
(3) xey - yex = x; (4) xy = yx .
4. 求由下列参数方程所确定的函数的导数:
·77·
(1)x = 1 + t,
y = 1 - t; (2)
x = t cos t,
y = t sin t;
(3)
x =t
1 + t2 ,
y =t2
1 + t2 ;
(4)x = t ln t,
y = t2 ln t.
5. 求曲线 y = x ln x 上的平行于直线 2 x - y = 1 的切线方程.
6. 求曲线 y3= 1 + xe
y在与 y轴交点处的切线方程与法线方程.
7. 求摆线 x = a( t - sin t)
y = a(1 - cos t)在对应 t=
π2的点处的切线方程和法线方程.
图 3.2
8. 求证曲线 x + y = a( a > 0)上任一点的切线所截二坐标轴的
截距之和为常数 a.
9. 设 f( x)在( - ∞, + ∞)内可导,求证:
(1) 若 f( x)为奇函数,则 f′( x)为偶函数;
(2) 若 f( x)为偶函数,则 f′( x)为奇函数.
10. 一探照灯与公路最近点 P 相距 500 m ,一汽车从 P 点以 60 k m�/h
沿公路进行(如图 3.2),探照灯要随汽车行进照射到汽车上,问当汽车行
至 1 000 m 处,探照灯转动的角速度如何,方使汽车不脱离照射 ?
§3.3 高阶导数
在变速直线运动中,位移函数 s= s(t)对时间 t的导数为速度函数 v = v( t),即 v =dsdt
,同
样可以得到速度函数 v = v(t)对时间 t的导数为加速度函数 a = a( t),即 a =d vdt
,从而可以得
到 a =d vdt
=ddt
dsdt
,或 a = ( s′)′.
这种导数的导数,称为二阶导数,可以记为d2s
dt2 或 s″,即
d2s
dt2 =
ddt
dsdt
或 s″= (s′)′.
一般地,若 y = f( x)的导数 y′= f′( x)仍可导,则称 f′( x)的导数为 y = f( x)的二阶导数,
记为d2y
d x2 ,或
d2f
d x2 ,或 y″,或 f″( x)等,即
d2y
d x2 =
dd x
d yd x
,d2f
d x2 =
dd x
d fd x
, y″= ( y′)′, f″( x) = ( f′( x))′.
类似地,称二阶导数的导数为三阶导数;三阶导数的导数为四阶导数;⋯;( n - 1)阶导数的
导数为 n 阶导数.分别记为
d3y
d x3 ,
d4y
d x4 ,⋯,
dny
d xn ,
或d3f
d x3 ,
d4f
d x4 ,⋯,
dnf
d xn ,
·87·
或 y�, y(4 )
,⋯, y( n)
,
或 f�( x), f(4 )
( x),⋯, f( n)
( x).
二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.相应地,称 f′( x)为一阶导数.
若 y = f( x)的 n 阶导数 f( n)
( x)存在,则称 y = f( x) n 阶可导,此时意味着 f′( x), f″( x),⋯,
f( n - 1 )
( x)都存在.
例 1 设 y = xarctan x,求 y″.
解 y′= arctan x +x
1 + x2 ,
y″ X=1
1 + x2 +
1 + x2- x·2 x
(1 + x2)
2 =1
1 + x2 +
1 - x2
(1 + x2)2 =
2(1 + x
2)2 .
例 2 设 y = x3e2 x,求 y″.
解 y′= 3 x2e2 x
+ x3·e
2 x·2 = e
2 x(2 x
3+ 3 x
2).
y″ �= e2 x·2(2 x
3+ 3 x
2) + e
2 x·(6 x
2+ 6 x) = e
2 x(4 x
3+ 12 x
2+ 6 x).
例 3 设 y = x x2+ 1,求 y″.
解 y′= x2+ 1 + x·
1
2 x2+ 1
·2 x =2 x
2+ 1
x2+ 1
.
y″ �=
4 x x2+ 1 - (2 x
2+ 1)·
1
2 x2+ 1
·2 x
( x2+ 1)
=4 x( x
2+ 1) - x(2 x
2+ 1)
( x2+ 1)
3�/2
=2 x
3+ 3 x
( x2+ 1)
3�/2 .
例 4 设 y = a0 xn+ a1 x
n - 1+ a2 x
n - 2+ ⋯ + an,求 y
( n).
解 y′= na0 xn - 1
+ ( n - 1) a1 xn - 2
+ ( n - 2) a2 xn - 3
+ ⋯ + an - 1 ,
y″ �= n( n - 1) a0 xn - 2
+ ( n - 1)( n - 2) a1 xn - 3
+
( n - 2)( n - 3) a2 xn - 4
+ ⋯ + 2 an - 2 ,
y� �= n( n - 1)( n - 2) a0 xn - 3
+ ( n - 1)( n - 2)·
( n - 3) a1 xn - 4
+ ( n - 2)( n - 3)( n - 4) a2·xn - 5
+ ⋯ + 3·2 an - 3 ,
⋯⋯
y( n)
= n ! a0 .
容易看出,当 k > n 时, y( k)
= 0.
例 5 设 y = sin x,求 y( n)
.
求 n 阶导数时,通常的方法是先求出一阶、二阶、三阶等导数,从中归纳出 n 阶导数的表达
式.因此,求 n 阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共有的规律.
解 y′= cos x = sin x +π2
,
y″ �= cos x +π2
= sin x +π2
+π2
= sin x +2π2
,
·97·
y� �= cos x +2π2
= sin x +2π2
+π2
= sin x +3π2
,
⋯⋯
所以 y( n)
= sin x +nπ2
.
当然,我们也可以根据 5
y′= cos x,
y″= - sin x,
y�= - cos x,
y(4)
= sin x,
⋯⋯
归纳出下面的规律:
(sin x)( n)
=
cos x, n = 4 k + 1,
- sin x, n = 4 k + 2,
- cos x, n = 4 k + 3,
sin x, n = 4( k + 1),
k = 0,1,2,⋯.
同理 (cos x)( n)
= cos x +n2π
例 6 设 y = ln(1 + 2 x),求 y( n)
.
解 y′=1
1 + 2 x·2,
y″=- 1
(1 + 2 x)2·2·2 = 2
2·
- 1(1 + 2 x)
2 ,
y�= 22·( - 1)( - 2)(1 + 2 x)
3 ·2 = ( - 1)2·2
3·2 !
1(1 + 2 x)
3 ,
y(4 ) �
= ( - 1)2·2
3·2 !
( - 3)(1 + 2 x)
4·2 = ( - 1)3·2
4·3 !
1(1 + 2 x)
4 ,
⋯⋯
y( n)
= ( - 1)n - 1
·2n·( n - 1) !
1(1 + 2 x)
n .
例 7 设 y =1
x2+ x
,求 y( n)
.
解 对 y 直接求导,较难归纳出 y( n)
的结果,因此先将 y的表达式恒等变形为
y =1
x2+ x
=1
x( x + 1)=
1x-
1x + 1
,
y′= -1x2 - -
1( x + 1)
2 ,
y″= ( - 1)·( - 2)·1x3 - ( - 1)·( - 2)·
1( x + 1)
3 = ( - 1)2·2 !
1x3 -
1( x + 1)
3 ,
y�= ( - 1)2·2 ! - 3·
1x4 - ( - 3)·
1( x + 1)
4 = ( - 1)3·3 !
1x4 -
1( x + 1)
4 ,
·08·
⋯⋯
y( n)
= ( - 1)n·n !
1xn + 1 -
1( x + 1)
n + 1 .
例 8 设x = t+ cos t,
y = t + sin t,求
d2y
d x2 .
解 dyd x
=
dydtd xdt
=1 + cos t1 - sin t
.
两边再对 x 求导时,由于右端是 t的函数,因此在求导时应对 t求导再乘以dtd x
.由反函数求
导法则知dtd x
与d xdt
是倒数关系,所以有
d2y
d x2 �=
dd yd xd x
=d
d yd xdt
·dtd x
=
dd yd xdtd xdt
=
- sin t(1 - sin t) - (1 + cos t)·( - cos t)(1 - sin t)
2
(1 - sin t)
=1 - sin t + cos t(1 - sin t)
3 .
例 9 设x = a(t - sin t)
y = a(1 - cos t),求
d2y
d x2 .
解dyd x
=y′tx′t
=a·sin t
a(1 - cos t)=
sin t1 - cos t
,
d2y
d x2 �=
dyd x
′
t
x′t=
cos t(1 - cos t) - sin t·sin t(1 - cos t)
2
a(1 - cos t)
=cos t- 1
a(1 - cos t)3 = -
1a(1 - cos t)
2 .
切记,不要误认为d yd x
′
t就是
d2y
d x2 ,还要注意,
d2y
d x2 ≠
y″tx″t
.
习题 3.3
1. 求下列函数的二阶导数:
(1) y =1
1 + x2 ; k(2) y = (1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x);
(3) y =1
x2- 1
; (4) y = ex2
;
(5) y = 2 x·x2 ; (6) y = x3ln x;
(7) y = ex cos x; (8) y = ex cos2 x;
·18·
(9) y = arctan x; (10) y = ln tan x;
(11) y = xarcsin x; (12) y = xx .
2. 在下列各题中求 f″( x0 ):
(1) f( x) =x2- π x + 1
x, x0 = 1; (2) f( x) = ln
1 + x1 - x
, x0 = 0;
(3) f( x) = e2 x sinx2, x0 =π; (4) f( x) = cos sin x, x0 = -π.
3. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2y
d x2:
(1)x = 1 + t
2,
y = 1 + t3 ; (2)
x =t
1 + t,
y =t2
1 + t;
(3)x = cos
3t,
y = sin3 t; (4)
x = ( t - 1)et,
y = ( t + 1)et.
4. 求下列函数的 n 阶导数:
(1) y = x ln x; (2) y =1
x2 - 2 x;
(3) y = x ex ; (4) y = sin2 x.
5. 由x = φ(t)
y = ψ(t)确定 y为 x的函数,求证当 φ′(t)≠0 时
d2y
d x2 =ψ″(t)φ′(t) - ψ′(t)φ″(t)
[φ′(t)]3.
§3.4 微分及其运算
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 +Δx 时,相应的面积增量ΔS = ( x0 +Δx)2- x
2
0 = 2 x0Δx +
(Δx)2.函数增量ΔS 分成两部分,一部分是Δx 的线性部分 2 x0·Δx,一部分是关于Δx 的高阶
无穷小(Δx)2= o(Δx).
当立方体的边长从 x0 变到 x0 +Δx 时,相应的体积增量ΔV = ( x0 +Δx)3- x
3
0 = 3 x2
0·Δx
+ (3 x0·(Δx)2+ (Δx)
3).函数增量ΔV 分成两部分,一部分是Δx 的线性部分 3 x
2
0·Δx,一部分
是关于Δx 的高阶无穷小 3 x0 (Δx)2+ (Δx)
3= o(Δx).
一般情况下,对于函数 y = f( x),若自变量从 x0 取得增量Δx 时,函数增量Δy可以分解成
两部分,一部分是Δx 的线性部分 A·Δx(其中 A 与Δx 无关),一部分是关于Δx 的高阶无穷小
o(Δx),那么在|Δx|很小时,计算Δy时就可以用前一部分 A·Δx 来近似以简化计算.由此引进
微分的概念.
·28·
定义 设 y = f( x)在点 x0 的某邻域内有定义, x0 +Δx 属于该邻域.若
Δy = f( x0 +Δx) - f( x0 ) = A·Δx + o(Δx),
其中 A 与Δx 无关,而 o(Δx)是关于Δx 的高阶无穷小,则称 y = f( x)在 x0 可微,而 A·Δx 称
为 y = f( x)在点 x0 处的微分,记为dy x = x0,或 df x = x
0,即 dy x = x
0= A·Δx.
同样可以定义 y = f( x)在点 x 处的微分 dy 或 d f.即若
Δy = f( x +Δx) - f( x) = A·Δx + o(Δx),
则称 AΔx 为 y = f( x)在点 x 处的微分,记为 dy 或 d f.这里 o(Δx)为Δx 的高阶无穷小.
对于函数 y = x,一方面有 dy = d x,另一方面由Δy = ( x +Δx) - x =Δx,得 d y =Δx.因而
有Δx = d x,即自变量的增量与自变量的微分是一回事.为了对称的原因,在微分定义中常写成
d y = Ad x.
函数的微分与函数的导数一样,也是函数在一点处的性态.
现在的问题是, y = f( x)在什么条件下可微分,如果可微分,那么 d y = A·d x 中的 A 又是什
么量.请看下面的两个事实.
1. 设 y = f( x)在点 x 处可导,则limΔ x→0
f( x +Δx) - f( x)Δx
= f′( x),由极限基本定理知
f( x +Δx) - f( x)Δx
= f′( x) + α,
其中limΔ x→0
α= 0.即有
Δy = f( x +Δx) - f( x) = f′( x)Δx + α·Δx,
其中 f′( x)与Δx 无关,而 α·Δx = o(Δx).因此 y = f( x)可微,且有 d y = f′( x)d x.
2. 设 y = f( x)可微,则Δy = f( x +Δx) - f( x) = A·Δx + o(Δx),其中 A 与Δx 无关.
o(Δx)为Δx 的高阶无穷小.
此时
limΔx→ 0
ΔyΔx
= limΔx→0
f( x +Δx) - f( x)Δx
= limΔx→ 0
A +o(Δx)Δx
= A.
因此 y = f( x)在点 x 处可导,且有 f′( x) = A,即
图 3.3
dy = Ad x = f′( x)d x.
由此,可得到一个重要的定理.
定理 3.7 y = f( x)可微的充分必要条件是 y = f( x)可导,且
有 d y = f′( x)d x.
由于 f′( x) =d yd x
,即函数的导数等于函数的微分与自变量微分
之比,因此导数也称微商.
图 3.3 给出了微分 dy 的几何意义,就是曲线 y = f( x)在点
M 0 处的切线的纵坐标的增量.
·38·
二、微分的基本公式
由微分与导数的关系 d y = f′( x)d x 很容易得到微分的基本公式:
d c= 0 ( c为常数). �d xα= αx
α- 1d x (α为实常数).
d ax= a
xln a d x de
x= e
xd x.
( a > 0, a≠1).
d log a x =1x·
1ln a
d x d ln x =1x
d x.
( a > 0, a≠1).
d sin x = cos x d x. d cos x = - sin x d x.
d tan x = sec2x d x. d cot x = - csc
2x d x.
d sec x = sec x tan x d x. d csc x = - csc x cot x d x.
d arcsin x =1
1 - x2d x. d arccos x = -
1
1 - x2d x.
d arctan x =1
1 + x2 d x. d arccot x = -
11 + x
2 d x.
三、微分的四则运算法则
定理 3.8 设 u = u( x), v = v( x)可微,则 u± v, uv 可微,且有
d( u± v) = d u±d v,
d( uv) = vd u + ud v.
证 d( u± v) �= ( u± v)′d x = ( u′± v′)d x = u′d x± v′d x = d u±d v.
d( uv) = ( uv)′d x = ( u′v + uv′)d x = v·u′d x + u·v′d x = vd u + ud v.
定理 3.9 设 u = u( x), v = v( x)可微,且 v≠0,则uv可微,且有 d
uv
=vd u - ud v
v2 .
证 duv
b=
uv
′d x =u′v - uv′
v2 d x =
v·u′d x - u·v′d xv2 =
vd u - ud vv2 .
例 1 设 y =x + 1x2+ 1
,求 dy.
解 d y �= dx + 1x2+ 1
=( x
2+ 1)d( x + 1) - ( x + 1)d( x
2+ 1)
( x2+ 1)
2
=( x
2+ 1)d x - ( x + 1)·2 xd x
( x2+ 1)
2 =1 - 2 x - x
2
( x2+ 1)
2 d x.
例 2 设 y = x tan x - sin x,求 d y.
解 d y �= d( xtan x - sin x) = d ( x tan x) - d sin x
= tan x d x + xd tan x - cos x d x
= tan x d x + x sec2x d x - cos x d x
·48·
= (tan x + xsec2x - cos x)d x.
注意,当然也可以直接用公式 dy = y′d x 求微分.
如 dx + 1x2+ 1
�=
x + 1x2+ 1
′d x =x2+ 1 - ( x + 1)·2 x( x
2+ 1)
2 d x =1 - 2 x - x
2
( x2+ 1)
2 d x.
d( xtan x - sin x) �= ( xtan x - sin x)′d x
= (tan x + x sec2x - cos x)d x.
例 3 设 y = x2ln x,求 d y.
解 d y �= d( x2ln x) = ( x
2ln x)′d x = 2 xln x + x
2·
1x
d x
= (2 x ln x + x)d x.
四、微分形式的不变性
设 y = f( u), u = g( x)都可微,则复合函数 y = f( g( x))也可微,此时有 d y = y′x d x = f′( u)·
g′( x)d x = f′( u)d u.
可见,若 y = f( u)可微,不论 u 是自变量还是中间变量,总有 d y = f′( u)d u.这就是微分形
式的不变性.利用微分形式的不变性,可以计算复合函数的微分.
例 4 设 y = ( x3- 1)
4,求 d y.
解 令 y = u4, u = x
3- 1.则
d y = 4 u3d u = 4 u
3·3 x
2d x = 12 x
2( x
3- 1)
3d x.
如果不引入中间变量 u,则可:
d y �= 4( x3- 1)
3d( x
3- 1) = 4( x
3- 1)
3·3 x
2d x = 12 x
2( x
3- 1)
3d x
例 5 设 y = exsin x
,求 d y.
解 d y �= ex sin x
d( xsin x) = exsin x
(sin x + xcos x)d x.
当然,也可以直接用公式 dy = y′x d x 来求微分,即求出 y′x后再乘以 d x 得到 dy.
例 6 设 y = arctanx
x + 1,求 dy.
解 d y =1
1 +x
x + 1
·1
2x
x + 1
·( x + 1) - x( x + 1)
2 d x =1
2(2 x + 1) x( x + 1)d x.
五、微分在近似计算中的应用
设 y = f( x)在 x0 可导,当自变量从 x0 变到 x(即取得增量Δx = x - x0 ),则有
Δy = f( x) - f( x0 ) = f′( x0 )·( x - x0 ) + o( x - x0 ).
当 x 很接近 x0 时,即|Δx| = | x - x0 |很小时,就有近似公式
f( x) - f( x0 )≈ f′( x0 )·( x - x0 ),
即 f( x)≈ f( x0 ) + f′( x0 )·( x - x0 ).
·58·
当 f( x0 ), f′( x0 )比较容易计算时,就可以用上述的近似公式来计算 x0 附近点的函数值.
例 7 计算 2的近似值.
解 1.96 = 1.4,令 f( x) = x,则
2 �= f(2)≈ f(1.96) + f′(1.96)·(2 - 1.96)
= 1.4 +1
2×1.4×0.04 = 1.414 3.
例 8 在体积为 1 000 (cm3)的立方体表面上均匀涂上一层薄膜,立方体的体积增加
3 (cm3).求薄膜的厚度 a.
解 a =3
1 003 -3
1 000 = 103
1.003 - 10,令 f( x) = 103
x,则
a �= f(1.003) - f(1)≈f′(1)·(1.003 - 1)
=103×0.003 = 0.01 (cm).
即薄膜的厚度约为 0.01 cm.
习题 3.4
1. 求近似值:
(1) 63; (2)39;
(3) arctan 1.01.
2. 半径为 1 cm 的钢珠加热后,半径增加 0.01 cm ,此时钢珠的体积大约增加多少 ?
3. 当| x|比较小时,推导下列近似公式:
(1)n1 + x≈1 +
xn; �(2) sin x≈ x;
(2) tan x≈ x; (4) arctan x≈ x;
(5) ex≈1 + x; (6) ln(1 + x)≈ x.
复 习 题 三
一、选择题
1. f( x)在 x = x0 连续是 f( x)在 x = x0 可微的( ).
A. 充分条件; HB. 必要条件;
C. 充分必要条件; D. 既非充分又非必要条件.
2. f( x)在 x = x0 可导是 f2( x)在 x = x0 可导的( ).
A. 充分条件; B. 必要条件;
C. 充分必要条件; D. 既非充分又非必要条件.
3. 曲线 y = f( x)在( x0 , f( x0 ))的切线存在是函数 y = f( x)在 x = x0 可导的( ).
A. 充分条件; B. 必要条件;
C. 充分必要条件; D. 既非充分又非必要条件.
4. 设 f( x)在 x = x0 可导,则( )中的极限值不是 f′( x0 ).
·68·
A. limn→∞
n f x0 +1n
- f( x0 ) ; B. limn→∞
n f x0 -1n
- f( x0 ) ;
C. limh→0
f( x0 + h) - f( x0 - h)2 h
; D. limh→0
f( x0 + 2 h) - f( x0 + h)h
.
5. 设df( x)d x
= g( x),则df( x
2)
d( x)= ( ).
A. g( x2 ); �B. x2 g( x2 ); �C. 2 xg( x2 ); �D. 2 xg( x).
6. 设df( x)d x
= g( x),则 f′( x2 ) = ( ).
A. g( x2 ); B. x2 g( x2 ); C. 2 xg( x2 ); D. 2 xg( x).
二、填空题
1. 设 f( x) =xαsin
1x
x≠0
0 x = 0
,则当 时 , f( x)在 x = 0 连续;当 时, f( x)在 x = 0 可导.
2. 曲线 x3y3+ 2 xy + y = 4 上点(1,1)处的切线方程为 ;法线方程为 .
3. 曲线x = t
2+ t
y = t2 + 2 t上点(2,3)处的切线方程为 ;法线方程为 .
4. 设 f( x) = (1 + x)(1 + 2 x)⋯(1 + nx),则 f( n) (0) = .
三、解答题
1. 求导数与微分:
(1) 设 y =x2 - x + x - 1
x,求 y′; �(2) 设 y =
x1 + x
,求 y′;
(3) 设 y =1 + x - x3
1 - x + x3 ,求 y′; (4) 设 y = lntan x
1 - tan2 x,求 dy;
(5) 设 y = xx + xx2
,求 y′; (6) 设 y =sin xx
+x
sin x,求 y′
x = π2
;
(7) 设 f( x) =(1 + x)cos x1 + 2 x·(1 + 3 x2 )
,求 f′(0);
(8) 设 f( x) = (1 + x)(1 + 2 x)⋯(1 + nx),求 f′(0);
(9) 设 xsin y + ycos x = x,求 y′; (10) 设x = tet,
y = t2 et , 求
dyd x
,d2 yd x
2 .
2. 求下列函数的 n 阶导数d n yd x
n :
(1) y = xe2 x; (2) y = ln ( x
2+ 3 x + 2); (3) y = xe
- x.
3. 已知 f( x) =1 - x, x≤0,
a( x - 1) + b, x > 0 在 x = 0 可导,求 a, b.
4. 过 M 0 ( - 2,2)作曲线 x2 - xy = 2 y2 的切线,求此切线方程.
5. 过 M 0 (0, - 4)作曲线x = 1 + t
y = t + t的切线,求此切线方程.
* 6. 在极坐标方程 r= sin 3θ给出的曲线上,求对应于θ=π4的点 M 0 处的切线方程和法线方程.
7. 设 f( x)在 x = 0 可导,且 f( x)为偶函数,求证 f′(0) = 0.
8. 设 y = f( x2 ),求d yd x
,d2 yd x2
.
·78·
第四章 导数的应用
在第三章已介绍了导数与微分的概念及计算方法,从而可以解决求瞬时速度、加速度、求曲
线的切线与法线等问题,并为进一步求解实际问题提供了有力的工具.本章将介绍微分中值定
理,并利用这些定理进一步研究导数的应用.
§4.1 微分中值定理
微分中值定理在微积分理论中占有重要地位,它提供了导数应用的基本理论依据.微分中值
定理包括罗尔( Rolle)▲定理、拉格朗日( Lagrange)
▲中值定理、柯西(Cauchy)
▲中值定理及泰勒
(Taylor)▲公式.
▲ 关于罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒和费马的简介,请见书末的附录一.
一、引理
引理 设 f( x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f( x)≤ f( x0 )(或 f( x)≥ f( x0 )),
则有 f′( x0 ) = 0.
证 若对在 x0 的某邻域内的任何 x,恒有 f( x)≤ f( x0 ).
当Δx > 0 时,必有f( x0 +Δx) - f( x0 )
Δx≤0,
当Δx < 0 时,必有f( x0 +Δx) - f( x0 )
Δx≥0.
由于 f( x)在 x0 处可导,可知 f′( x0 ) = f′+ ( x0 ) = f′- ( x0 ).由极限的性质进一步可知
f′+ ( x0 ) = limΔx→ 0
+
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
≤0,
f′- ( x0 ) = limΔx→ 0
-
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
≥0,
从而必有 f′( x0 ) = 0.
通常称使 f′( x) = 0 的点 x0 为 f( x)的驻点.
上述引理又称费马(Fermat)▲定理.
·88·
二、罗尔定理
定理 4.1 设函数 f( x)满足
(1) 在闭区间[ a, b]上连续,
(2) 在开区间( a, b)内可导,
(3) f( a) = f( b),
则至少存在一点ξ∈( a, b),使 f′(ξ) = 0.
证 如果 f( x)在[ a, b]上恒为常数,则对于任意的ξ∈( a, b),都有 f′(ξ) = c′x = ξ
= 0.
如果 f( x)在[ a, b]上不是常数,由于 f( x)在[ a, b]上连续,可知 f( x)在[ a, b]上必能取得
最大值 M 与最小值 m,且 M ≠ m .可知 M , m 之中至少有一值与 f( a) = f( b)不等.不妨设 M
≠f( a) = f( b),即 f( x)在( a, b)内的某点 ξ处取得最大值.由费马定理可知必有 f′(ξ) = 0.
图 4.1
罗尔定理从几何上可以解释如下:当曲线弧在[ a, b]上为连
续弧段,在( a, b)内曲线弧上每点都有不平行于 y 轴的切线,且
曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同,那么曲线弧段上至少有一
点,过该点的切线必定平行于 x 轴.如图 4.1 所示.
有必要指出,罗尔定理的条件有三个,如果缺少其中任何一
个条件,定理将不成立.
例如 f( x) = | x|在[ - 1,1]上连续,且 f( - 1) = f(1) = 1,但
是| x|在( - 1,1)内有不可导的点 x = 0,本例不存在ξ∈( - 1,1),使 f′(ξ) = 0.
又如 f( x) = x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,但是 f(0) = 0, f(1) = 1,本例不存在 ξ∈
(0,1),使 f′(ξ) = 0.
再如 f( x) =x, 0≤ x < 1,
0, x = 1,f( x)在(0,1)内可导, f(0) = 0 = f(1),但是 f( x)在[0,1]上
不连续,本例不存在ξ∈(0,1),使 f′(ξ) = 0.
还需指出,罗尔定理的条件是充分条件,不是必要条件.也就是说,定理的结论成立,函数未
必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.例如: f( x) = ( x - 1)2在[0,3]上不满足罗
尔定理的条件( f(0)≠ f(3)),但是存在ξ= 1∈(0,3),使 f′(1) = 0.
图 4.2
三、拉格朗日中值定理
定理 4.2 设函数 f( x)满足
(1) 在闭区间[ a, b]上连续,
(2) 在开区间( a, b)内可导,
则至少存在一点ξ∈( a, b),使 f′(ξ) =f( b) - f( a)
b - a.
分析 与罗尔定理相比,拉格朗日中值定理中缺少条件 f( a)
= f( b).如果能由 f( x)构造一个新函数 φ( x),使 φ( x)在[ a, b]
·98·
上满足罗尔定理条件,且由 φ′(ξ) = 0 能导出 f′(ξ) =f( b) - f( a)
b - a,则问题可解决.
由上式可知 f′( x) x = ξ =f( b) - f( a)
b - a,因此只需取 f( x) =
f( b) - f( a)b - a
x,为了能从几何
上解说这个表达式,先看一下拉格朗日中值定理的几何意义,首先注意f( b) - f( a)
b - a表示过( a,
f( a)),( b, f( b))两点的弦线的斜率,定理的几何意义可以描述为:如果在[ a, b]上的连续曲线,
除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线,那么在曲线弧上至少有一点(ξ, f(ξ)),使曲线在该点处
的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.如图 4.2 所示.注意其弦线的方程为
y = f( a) +f( b) - f( a)
b - a( x - a).
作辅助函数
φ( x) = f( x) - f( a) -f( b) - f( a)
b - a( x - a)
即可.φ( x)的几何意义为:曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 φ( x) = f( x) - f( a) -f( b) - f( a)
b - a( x - a).
由于 f( x)在[ a, b]上连续,因此 φ( x)在[ a, b]上连续.由于 f( x)在( a, b)内可导,因此
φ( x)在( a, b)内可导.又由于
φ( a) = 0 = φ( b),
因此 φ( x)在[ a, b]上满足罗尔定理条件,所以至少存在一点 ξ∈( a, b),使 φ′(ξ) = 0,即
f′(ξ) -f( b) - f( a)
b - a= 0,
从而有 f′(ξ) =f( b) - f( a)
b - a,或表示为
f( b) - f( a) = f′(ξ)( b - a).
上述结论对 b < a 时也成立.
如果 f( x)在( a, b)内可导, x0 ∈( a, b), x0 +Δx∈( a, b),则在以 x0 与 x0 +Δx 为端点的
区间上 f( x)也满足拉格朗日中值定理,即
f( x0 +Δx) - f( x0 ) = f′(ξ)Δx,
其中ξ为 x0 与 x0 +Δx 之间的点.也可以记为
f( x0 +Δx) - f( x0 ) = f′( x0 + θΔx)Δx,0 <θ< 1
或 Δy = f′( x0 + θΔx)Δx,0 < θ< 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论:
推论 1 若 f′( x)在( a, b)内恒等于零,则 f( x)在( a, b)内必为某常数.
事实上,对于( a, b)内的任意两点 x1 , x2 ,由拉格朗日中值定理可得
f( x2 ) - f( x1 ) = f′(ξ)( x2 - x1 ) = 0,
ξ位于 x1 , x2 之间,故有 f( x1 ) = f( x2 ).由 x1 , x2 的任意性可知, f( x)在( a, b)内恒为某常数.
·09·
推论 2 若在( a, b)内恒有 f′( x) = g′( x),则有
f( x) = g( x) + C,
其中 C 为某常数.
事实上,由已知条件及导数运算性质可得
[ f( x) - g( x)]′= f′( x) - g′( x) = 0.
由推论 1 可知 f( x) - g( x) = C,即 f( x) = g( x) + C.
例 1 选择题 选出符合题意的选项.
下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有( ).
A. f( x) =1x, x∈[ - 2,0]; �B. f( x) = ( x - 4)
2, x∈[ - 2,4];
C. f( x) = sin x, x∈ -32π,
π2
; D. f( x) = | x|, x∈[ - 1,1].
分析 注意罗尔定理的条件有三个:(1) 函数 y = f( x)在[ a, b]上连续.(2) f( x)在( a, b)
内可导.(3) f( a) = f( b).
不难发现, f( x) =1x在[ - 2,0]上不满足连续的条件,因此应排除 A.
对于 f( x) = ( x - 4)2,在[ - 2,4]上连续,在( - 2,4)内可导; f( - 2) = 36, f(4) = 0, f( - 2)
≠f(4),因此应排除 B.
对于 f( x) = sin x,在 -32π,
π2
上连续;在 -32π,
π2
内可导; f -32π = 1 = f
π2
.因
此 sin x 在 -32π,
π2
上满足罗尔定理.应选 C.
对于 f( x) = | x|,在[ - 1,1]上连续,在( - 1,1)内不可导,因此应排除 D.
综合之,本例应单选 C.
例 2 选择题 设函数 y = f( x)在[ a, b]上连续,在( a, b)内可导, f( a) = f( b).则曲线
y = f( x)在( a, b)内平行于 x 轴的切线( ).
A. 仅有一条; B. 至少有一条;
C. 不一定存在; D. 不存在.
分析 由题目中所给条件可知,函数 y = f( x)在[ a, b]上满足罗尔定理条件,可知至少存在
一点ξ∈( a, b),使得 f′(ξ) = 0.又由导数的几何意义可知曲线 y = f( x)在(ξ, f(ξ))处的切线
斜率为零,即切线平行于 x 轴.因此本例应选 B.
例 3 选择题 函数 f( x) = 2 x2- x + 1 在区间[ - 1,3]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=
( ).
A. -34; B. 0; C.
34; D. 1.
分析 由于 f( x) = 2 x2- x + 1 在[ - 1,3]上连续,在( - 1,3)内可导,因此 f( x)在[ - 1,3]
上满足拉格朗日中值定理条件.由拉格朗日中值定理可知,必定存在 ξ∈( - 1,3),使 f′(ξ) =
f( b) - f( a)b - a
.
由于 f( b) = f(3) = 16, f( a) = f( - 1) = 4,而 f′( x) = 4 x - 1.因此有
·19·
4ξ- 1 =16 - 4
3 - ( - 1)= 3.
可解得ξ= 1.因此本例应选 D.
例 4 试证 |arctan b - arctan a|≤| b - a|.
分析 由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点
值之间的关系,因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量,或它们
在区间内某点处导数值有关的等式与不等式.
对于所给不等式,可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设 f( x) =
arctan x.
证 设 f( x) = arctan x,不妨设 a < b.
由于 arctan x 在[ a, b]上连续,在( a, b)内可导.因此arctan x在[ a, b]上满足拉格朗日中值
定理条件.可知必定存在一点ξ∈( a, b),使得 f( b) - f( a) = f′(ξ)( b - a).由于(arctan x)′=
11 + x
2 ,从而有
arctan b - arctan a =1
1 +ξ2 ( b - a), a <ξ< b.
由于 1 +ξ2≥1,因此
|arctan b - arctan a| =1
1 + ξ2 | b - a|≤| b - a|.
例 5 当 x > 0 时,试证不等式x
1 + x< ln(1 + x) < x.
分析 为了利用拉格朗日中值定理证明不等式,可以先将不等式变形,化为函数增量与自变
量增量之间的关系式.
由于ln 1 = 0,因此ln(1 + x) = ln(1 + x) - ln 1,而 x = (1 + x) - 1,从而可取 f( t) = ln(1 +
t), a = 0, b = x.则 f(t) = ln(1 + t)在区间[0, x]上满足拉格朗日中值定理,因此知必定存在一
点ξ∈(0, x),使得
f( x) - f(0) = f′(ξ) x.
由于 f(t) = ln(1 + t), f′(t) =1
1 + t, f′(ξ) =
11 +ξ
,因此有
ln(1 + x) - ln 1 =1
1 +ξ[(1 + x) - 1],
ln(1 + x) =x
1 +ξ.
由于 0 <ξ< x,因此
11 + x
<1
1 +ξ< 1,
进而知x
1 + x<
x1 + ξ
< x,
即x
1 + x< ln(1 + x) < x.
说明 本例中,若令 y = ln t, a = 1, b = 1 + x,亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.
·29·
这表明证明不等式时, f( x)与[ a, b]的选取不是惟一的.
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数 f( x)与 g( x)满足:
(1) 在闭区间[ a, b]上都连续,
(2) 在开区间( a, b)内都可导,
(3) 在开区间( a, b)内, g′( x)≠0,
则至少存在一点ξ∈( a, b),使f′(ξ)g′(ξ)
=f( b) - f( a)g( b) - g( a)
.
在柯西中值定理中,若取 g( x) = x,则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成
是拉格朗日中值定理的推广.
五、泰勒公式
由微分的概念知道,如果 y = f( x)在点 x0 处可导,则有Δy = dy + o(Δx),即
f( x) - f( x0 ) = f′( x0 )( x - x0 ) + o( x - x0 )
因此当| x - x0 |很小时,有近似公式
f( x)≈f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ).
从几何上看,上述表达式可以解释为:在点 x0 的附近用曲线 y = f( x)在点( x0 , f( x0 ))处
的切线来代替曲线 y = f( x).(简言之,在点 x0 附近,用切线近似曲线.)上述近似公式有两点不
足:其一是精度往往不能满足实际需要;其二是用它作近似计算时无法估计误差.因此希望有一
个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中,多项式是比较简单的函数,因此希望能用多
项式
Pn ( x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 )2+ ⋯ + an ( x - x0 )
n
来近似表达函数 f( x),并使得当 x→ x0 时, f( x) - Pn ( x)为比( x - x0 )n高阶的无穷小.还希
望能写出 f( x) - Pn ( x)的具体表达式,以便能估计误差.
设 f( x)在含 x0 的某区间( a, b)内有 n 阶导数,为了使 Pn ( x)与 f( x)尽可能相近,希望
Pn ( x0 ) = f( x0 ) (在 x0 处相等),
P′n ( x0 ) = f′( x0 ) (在 x0 处有相同的切线),
P″n ( x0 ) = f″( x0 ) (在 x0 处两条曲线有相同的弯曲方向,见§4.5),
⋯⋯
P( n)n ( x0 ) = f
( n)( x0 ).
由于 Pn ( x0 ) = a0 , P′n ( x0 ) = 1·a1 , P″n ( x0 ) = 2 ! a2 ,⋯, P( n)n ( x0 ) = n ! an ,可得知 a0 =
f( x0 ), a1 = f′( x0 ), a2 =12 !
f″( x0 ),⋯, an =1n !
f( n)
( x0 ),从而得到由 f( x)构造的 n 次多项式
Pn ( x) -= f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+
·39·
+ ⋯ +1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n.
若用 Pn ( x)在点 x0 附近来逼近 f( x),可以证明(此处略去)下列两个结论:
(1) 余项 rn ( x) = f( x) - Pn ( x) 是关于( x - x0 )n的高阶无穷小,即 rn( x) = o(( x - x0 )
n).
(2) 如果 f( x)在( a, b)内有直至( n + 1)阶导数,则 rn ( x)可以表示为
rn ( x) =f( n + 1)
(ξ)( n + 1) !
( x - x0 )n + 1
,
其中ξ在 x0 与 x 之间.
综上所述,可以描述为:
泰勒公式Ⅰ 设函数 f( x)在含 x0 的某区间( a, b)内具有直至 n 阶导数,则当 x∈( a, b)
时有
f( x) E= f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2
+ ⋯ +1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n+ o(( x - x0 )
n).
常称 rn ( x) = o(( x - x0 )n)为泰勒展开式中的皮亚诺(Peano)
▲型余项.
▲ 关于皮亚诺、麦克劳林的简介,请见书末的附录一.
泰勒公式Ⅱ 设函数 f( x)在含 x0 的某区间( a, b)内具有直至 n + 1 阶的导数,则当 x∈
( a, b)时,有
f( x) E= f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2
+ ⋯ +1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n+ rn ( x),
其中 rn ( x) =1
( n + 1) !f( n + 1)
(ξ)( x - x0 )n + 1
,其中 ξ介于 x0 与 x 之间.常称 rn .( x)为泰勒展
开式中的拉格朗日型余项.
通常称 Pn ( x) = f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+ ⋯ +
1n !
f( n)
( x0 )( x -
x0 )n为 f( x)在 x0 处的 n 次泰勒多项式.
以上展开式也称为 f( x)的 n 阶泰勒公式.
若在泰勒公式中令 x0 = 0,则得到麦克劳林( M aclaurin)▲公式
f( x) <= f(0) + f′(0) x +12 !
f″(0) x2
+ ⋯ +1n !
f( n)
(0) xn+ o( x
n),
f( x) <= f(0) + f′(0) x +12 !
f″(0) x2
+ ⋯ +1n !
f( n)
(0) xn+
1( n + 1) !
f( n + 1 )
(ξ) xn + 1
,其中ξ介于 0 与 x 之间.
·49·
习题 4.1
1. 选择题.选出符合题意的选项:
(1) 下列各函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理的有( ).
A. ln[ln x]; �B. ln x;
C.1
ln x; D. ln( x - 2).
(2) y = sin x 在[0,2π]上符合罗尔定理条件的ξ= ( ).
A. 0; B.π2; C.π; D.
3π2.
2. 证明当 x > 0 时,ex > 1 + x;
3. 证明当 x > 1 时,恒有 ex > e x.
§4.2 洛必达法则
作为微分中值定理的应用,下面先介绍由柯西中值定理导出的求极限的方法.
如果函数f( x)g( x)
当 x→ a(或 x→∞)时,其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.那么,极限
limx→ a
( x→ ∞)
f( x)g( x)
可能存在,也可能不存在.通常称这种极限为未定型.并分别简记为00或
∞∞
型.这节将
介绍一种计算未定型极限的有效方法———洛必达(L′Hospital)▲法则.
▲ 关于洛必达的简介,请见书末的附录一.
一、00型
定理 4.4 如果 f( x)和 g( x)满足下列条件:
(1) limx→ a
f( x) = 0, limx→ a
g( x) = 0;
(2) 在点 a 的某去心邻域内, f′( x)与 g′( x)存在,且 g′( x)≠0;
(3) limx→ a
f′( x)g′( x)
存在(或无穷大),
那么
limx→ a
f( x)g( x)
= limx→ a
f′( x)g′( x)
.
证 由于limx→ a
f( x) = 0, limx→ a
g( x) = 0,可知 x = a 或者是f( x), g( x)的连续点,或者是 f( x),
g( x)的可去间断点.
如果 x = a 为 f( x), g( x)的连续点,则可知必有 f( a) = 0, g( a) = 0.从而
·59·
f( x)g( x)
=f( x) - f( a)g( x) - g( a)
.
由定理的条件可知,在点 a 的某邻域内以 a 及 x 为端点的区间上, f( x), g( x)满足柯西中
值定理条件.因此
f( x)g( x)
=f( x) - f( a)g( x) - g( a)
=f′(ξ)g′(ξ)
, ξ在 a 与 x 之间.
当 x→ a 时,必有ξ→ a,因此
limx→ a
f( x)g( x)
= limx→ a
f′(ξ)g′(ξ)
= limξ→ a
f′(ξ)g′(ξ)
= limx→ a
f′( x)g′( x)
.
如果 x = a 为 f( x)和 g( x)的可去间断点,可以构造新函数 F( x), G( x).
F( x) =f( x), x≠ a,
0, x = a,
G( x) =g( x), x≠ a,
0, x = a.
仿上述推证可得 limx→ a
f( x)g( x)
= limx→ a
F( x)G( x)
= limx→ a
F′( x)G′( x)
= limx→ a
f′( x)g′( x)
.
对于 x→∞时的00型,有
定理 4.5 如果 f( x)和 g( x)满足下列条件:
(1) limx→ ∞
f( x) = 0, limx→∞
g( x) = 0,
(2) 当| x|足够大时, f′( x)和 g′( x)存在,且 g′( x)≠0,
(3) limx→ ∞
f′( x)g′( x)
存在(或为无穷大),
那么
limx→ ∞
f( x)g( x)
= limx→ ∞
f′( x)g′( x)
.
我们略去这个定理的证明 证明时,只要令 x =1t就可利用定理 4.4 的结论得出定理 4.5
例 1 求 limx→ a
e- x
- e- a
x - a.
解 所给极限为00型,由洛必达法则有
limx→ a
e- x
- e- a
x - a= lim
x→ a
(e- x
- e- a
)′( x - a)′
= limx→ a
- e- x
1= - e
- a.
例 2 求 limx→ + ∞
1x
arccot x.
解 所给极限为00型,由洛必达法则有
limx→ + ∞
1x
arccot x= lim
x→ + ∞
1x
′
(arccot x)′= lim
x→ + ∞
-1x2
- 11 + x
2
= 1.
·69·
如果利用洛必达法则之后所得到的导数之比的极限仍是00型,且符合洛必达法则的条件,那
么可以重复应用洛必达法则.
例 3 求 limx→0
ex- e
- x- 2 x
x - sin x.
解 所给极限为00型,由洛必达法则有
limx→0
ex- e
- x- 2 x
x - sin x[= lim
x→0
ex+ e
- x- 2
1 - cos x00型
= limx→0
ex- e
- x
sin x00型
= limx→0
ex+ e
- x
cos x= 2.
例 4 求 limx→2
x3- x
2- 8 x + 12
x3- 6 x
2+ 12 x - 8
.
解 所给极限为00型.由洛必达法则有
limx→ 2
x3- x
2- 8 x + 12
x3- 6 x
2+ 12 x - 8
�= limx→ 2
3 x2- 2 x - 8
3 x2- 12 x + 12
00型
= limx→ 2
6 x - 26( x - 2)
= ∞.
二、∞∞型
对于∞∞
型,我们给出下面两个定理,其证明略去.
定理 4.6 如果函数 f( x), g( x)满足下列条件:
(1) limx→ a
f( x) = ∞, limx→ a
g( x) = ∞,
(2) 在 x = a 的某去心邻域内, f′( x)与 g′( x)存在,且 g′( x)≠0,
(3) limx→ a
f′( x)g′( x)
存在(或为无穷大),
那么
limx→ a
f( x)g( x)
= limx→ a
f′( x)g′( x)
.
定理 4.7 如果函数 f( x), g( x)满足下列条件:
(1) limx→ ∞
f( x) = ∞, limx→ ∞
g( x) = ∞,
(2) 当| x|足够大时, f′( x)与 g′( x)存在,且 g′( x)≠0,
(3) limx→ ∞
f′( x)g′( x)
存在(或为无穷大).
那么
·79·
limx→ ∞
f( x)g( x)
= limx→ ∞
f′( x)g′( x)
.
例 5 求 limx→0
+
ln cot xln x
.
解 所给极限为∞∞
,由洛必达法则
limx→0
+
ln cot xln x
�= limx→0
+
1cot x
( - csc2x)
1x
= limx→ 0
+
- xsin x cos x
= limx→0
+
- xsin x
·limx→ 0
+
1cos x
= - 1.
例 6 求 limx→ + ∞
ex
x.
解 所给极限为∞∞
,由洛必达法则
limx→ + ∞
ex
x= lim
x→ + ∞
ex
1= ∞.
三、可化为00型或∞
∞型极限
1. 如果 limx→ a
( x→∞)
f( x) = 0, limx→ a
( x→ ∞)
g( x) = ∞,则称 limx→ a
( x→∞)
[f( x)·g( x)]为 0·∞型.
对于 0·∞型极限,常见的求解方法是先将函数变形,化为00型或
∞∞
型.再由洛必达法则求
之.如
limx→ a
( x→∞ )
[ f( x)·g( x)] = limx→ a
( x→∞ )
g( x)1
f( x)
,
或
limx→ a
( x→ ∞)
[ f( x)·g( x)] = limx→ a
( x→ ∞)
f( x)1
g( x)
,
前者化为∞∞
型,后者化为00型.
至于将 0·∞型是化为∞∞
型还是化为00型,要看哪种形式便于计算来决定.
2. 如果 limx→ a
( x→∞ )
f( x) = + ∞, limx→ a
( x→∞ )
g( x) = + ∞(或同为 - ∞),则称 limx→ a
( x→∞ )
[ f( x) - g( x)]为∞
- ∞型极限.
对于∞ - ∞型极限,常见的求解方法是将函数进行恒等变形,化为00型或
∞∞
型,再由洛必达
·89·
法则求之.
例 7 求 limx→0
+x ln x.
解 所给极限为 0·∞型,不难发现将其化为∞∞
型要较化为00型的计算简便些.
limx→0
+x ln x = lim
x→0+
ln x1
x
.
上式右端为∞∞
型,可以直接利用洛必达法则求之.如果先令 x = t, x→0+时,t→0
+,因此
limx→ 0
+x ln x �= lim
t→ 0+
ln t2
1t
= 2 limt→ 0
+
ln t1t
= 2 limt→0
+
1t1- t
2
= 0.
例 8 求 limx→1
xx - 1
-1
ln x.
解 所给极限为∞ - ∞型,先将所给函数变形.
原式 �= limx→1
x ln x - ( x - 1)( x - 1)ln x
00型
= limx→1
ln x +xx
- 1
ln x + ( x - 1)1x
= limx→ 1
xln xx ln x + x - 1
00型
= limx→1
ln x + x·1x
ln x + x·1x+ 1
= limx→ 1
1 +ln x2 +ln x
=12.
例 9 求limx→0
x3cos x
x - sin x.
解 所给极限为00型,可以由洛必达法则求之.如果注意到lim
x→0cos x = 1,而 lim
x→0
x3
x - sin x=
limx→0
3 x2
1 - cos x=lim
x→0
6 xsin x
= 6,于是
原式 = limx→ 0
cos x limx→ 0
x2
x - sin x= 6.
说明 如果00型或
∞∞
型极限中含有非零因子,应该单独求极限,不要参与洛必达法则运算,
可以简化运算.
例 10 求 limx→ 0
ln (1 + 2 x)sin 3 x
.
解 所给极限为00型,可以由洛必达法则求之.注意极限过程为 x→0,又 ln(1 + 2 x)～2 x,
sin 3 x～3 x.如果引入等价无穷小量代换,则
·99·
原式 = limx→0
2 x3 x
=23.
说明 如果能将等价无穷小量代换、代数恒等变形等配合使用洛必达法则,常可简化运算.
例 11 求 limx→ + ∞
ln 1 +1x
cos1x
arccot x.
解 所给极限为00型,可以考虑使用洛必达法则.但是注意到所求极限的函数中含有因子
cos1x,且 lim
x→ + ∞cos
1x= 1,因此极限不为零的因子 cos
1x不必参加洛必达法则运算.又当 x→ + ∞
时,ln 1 +1x
～1x,故
原式 = limx→ + ∞
cos1x·lim
x→ + ∞
1x
arccot x= lim
x→ + ∞
-1x2
-1
1 + x2
= 1.
习题 4.2
求下列极限
(1) limx→0
sin x - xxsin x
; w(2) limx→0
ex- x - 1x2 ;
(3) limx→0
tan x - xx - sin x
; (4) limx→3
+
cos x ln ( x - 3)ln(ex - e3 )
;
(5) limx→ + ∞
ln (1 + x2 )ln (1 + x4 )
; (6) limx→0
+
1x-ln ( x + 1)
x2;
(7) limx→ + ∞
xπ2
- arctan x ; (8) limx→ + ∞
ex
xn ( n 为自然数).
§4.3 函数的单调性
函数的单调性是函数的一个重要特性.由几何图形可以看出,如图 4.3 所示,如果函数 f( x)
在某区间上单调增加,则它的图形是随 x的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非
铅直的切线,则曲线上各点处的切线斜率非负,即f′( x)≥0,如图 4.3(a)所示.如果函数 f( x)在
某区间上单调减少,则它的图形是随 x 的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非
铅直的切线,则曲线上各点处的切线斜率非正,即 f′( x)≤0,如图 4.3(b)所示.
反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢 ? 由拉格朗日中值定理可以得出判定函
数单调性的一个判定法.
定理 4.8 设函数 f( x)在[ a, b]上连续,在( a, b)内可导.则有
(1) 如果在( a, b)内 f′( x) > 0,那么,函数 f( x)在[ a, b]上严格单调增加.
(2) 如果在( a, b)内 f′( x) < 0,那么,函数 f( x)在[ a, b]上严格单调减少.
·001·
图 4.3
证 在[ a, b]上任取两点 x1 , x2 ,不妨设 x1 < x2 .由定理的条件可知, f( x)在[ x1 , x2 ]上连
续,在( x1 , x2 )内可导.由拉格朗日中值定理可知,至少存在一点 ξ∈( x1 , x2 ),使得
f( x2 ) - f( x1 ) = f′(ξ)( x2 - x1 ).
由于在( a, b)内有 x2 > x1 ,因此( x2 - x1 ) > 0.
如果在( a, b)内 f′( x) > 0,则必定有 f( x2 ) - f( x1 ) > 0,即
f( x1 ) < f( x2 ).
由于 x1 , x2 为[ a, b]上任意两点,因而表明 f( x)在[ a, b]上严格单调增加.
同理,如果在( a, b)内 f′( x) < 0,可推出 f( x)在[ a, b]上严格单调减少.
有必要指出,上述定理中[ a, b]为闭区间,如果换为开区间、半开区间或换为无穷区间仍然
有相仿的结论.
例 1 讨论函数 f( x) =ln xx
的单调性.
解 f( x) =ln xx
的定义域为(0, + ∞).
f′( x) =1 - ln x
x2 .
f′( x)在(0, + ∞)内为连续函数.令 f′( x) = 0,可有 1 - ln x = 0,解得 x = e.
当 0 < x < e 时,有 ln x < 1,因此 f′( x) =1 - ln x
x2 > 0.从而知 f( x) =
ln xx
为严格单调增加
函数.
当 e < x < + ∞时,有 ln x > 1,因此 f′( x) =1 - ln x
x2 < 0.从而知 f( x) =
ln xx
为严格单调减
少函数.
说明 如果 f′( x)为连续函数,为了判定 f′( x)的符号,可以先求出 f′( x) = 0 的点.这样往
往能简化运算.
例 2 讨论函数 y = 2 x3+ 3 x
2- 12 x 的单调性.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
y′= 6( x2+ x - 2) = 6( x - 1)( x + 2).
令 y′= 0 得 x1 = - 2, x2 = 1.
在( - ∞, - 2)内, y′> 0.
·101·
在( - 2,1)内, y′< 0.
在(1, + ∞)内, y′> 0.
由此可知,在( - ∞, - 2)内及(1, + ∞)内,所给函数严格单调增加,在( - 2,1)内所给函数严
格单调减少.
例 3 讨论函数 y = 3 - 2( x + 1)13 的单调性.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
y′=- 2
33
( x + 1)2.
当 x≠ - 1 时, y′不存在.
当 x≠ - 1 时, y′< 0,从而知所给函数在( - ∞, - 1)与( - 1, + ∞)时为严格单调减少函数.
由于函数在 x = - 1 处连续,因此所给函数在( - ∞, + ∞)内为严格单调减少函数.
例 4 讨论函数
y =x2, x≤0,
4x + 1
, x > 0
的单调性.
解 所给函数为分段函数,其定义域为( - ∞, + ∞).由于 limx→ 0
-y = lim
x→ 0-x2= 0; lim
x→ 0+y =
limx→ 0
+
4x + 1
= 4.因此 limx→0
y 不存在,可知 y 在 x = 0 处不连续.
当 x < 0 时, y′= ( x2)′= 2 x < 0,可知 y 为严格单调减少函数.
当 x > 0 时, y′=- 4
( x + 1)2 < 0,可知 y为严格单调减少函数.
由于 y 在 x = 0 处不连续,且 f(0) < f(0 + 0),因此只能说 y在( - ∞,0)与(0, + ∞)内为严
格单调减少函数.(不能说 y 在( - ∞, + ∞)内为严格单调减少函数 !)
例 5 讨论 y =38
x83 -
32
x23 的单调性.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
y′= x53 - x
-13 = x
-13 ( x
2- 1) =
( x + 1)( x - 1)3
x
令 y′= 0,可得 x = - 1, x = 1.
当 x = 0 时, y′不存在.
所给三个点 x = - 1,0,1 将 y 的定义域( - ∞, + ∞)分为( - ∞, - 1),( - 1,0),(0,1),(1,
+ ∞)四个子区间. 为了研究函数的单调性,我们只关心 y′在上述四个子区间内的符号,因此可
将函数导数的符号及函数的单调性列于表中.表中第一栏由小至大标出函数定义域被三个特殊
点分划的四个区间.第二栏标出 y′在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列
表:
·201·
x ( - ∞, - 1 Q) - 1 �( - 1 �,0) 0 9(0 9,1) 1 �(1 O, + ∞)
y′ - 0 �+ 不存在 - 0 �+
y ↘ ↗ ↘ ↗
可知所给函数严格单调增加区间为( - 1,0)与(1, + ∞).严格单调减少区间为( - ∞, - 1)与
(0,1).
往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是:
欲证明当 x > x0 时,有 f( x)≥ g( x),可令
F( x) = f( x) - g( x),
如果 F( x)满足下面的条件:
(1) F( x0 )≥0,
(2) 当 x > x0 时,有 F′( x)≥0.
则由 F( x)为单调增加函数可知,当 x > x0 时, F( x)≥0,即
f( x)≥ g( x).
如果 x < x0 时, F′( x)≤0,则由 F( x)为单调减少函数,可知当 x < x0 时, F( x)≥ F( x0 )≥0,即
f( x)≥ g( x).
例 6 试证当 x≠1 时,ex> e x.
证 令 F( x) = ex- e x,易见 F( x)在( - ∞, + ∞)内连续,且 F(1) = 0.
F′( x) = ex- e
当 x < 1 时, F′( x) = ex- e < 0,可知 F( x)为( - ∞,1]上的严格单调减少函数.即 F( x) >
F(1) = 0.
当 x > 1 时, F′( x) = ex- e > 0,可知 F( x)为[1, + ∞)上的严格单调增加函数.即 F( x) >
F(1) = 0.故对任意 x≠1,都有 F( x) > 0,即
ex> e x.
习题 4.3
1. 选择题.请选出符合题意的选项:
(1) 设 y = f( x)在( - ∞, + ∞)内可导,且 f′( x) > 0,则 f( x)在( - ∞, + ∞)内( ).
A. 严格单调减少; 1B. 严格单调增加;
C. 是个常数; D . 不是严格单调函数.
(2) 函数 y = ln(1 + x2 )的严格单调增加区间为( ).
A. ( - 5,5); B. ( - ∞,0);
C. (0, + ∞); D . ( - ∞, + ∞).
2. 解答题.讨论下列函数的单调性:
(1) y = 3 x4 - 4 x3 ; n(2) y = 2 x - x2 ;
(3) y =23
x -3x; (4) y = x2 - ln x;
(5) y = ex - x.
·301·
3. 利用单调性证明下列不等式:
(1) x > ln (1 + x); (2)arctan x
x< 1 ( x≠0).
§4.4 函数的极值与最值问题
在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题,
这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题,这里统称为最值
问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.
一、函数的极值
定义 设函数 f( x)在 x0 的某邻域内有定义.如果对于该邻域内任何异于 x0 的 x 都有
(1) f( x)≤ f( x0 )成立,则称 f( x0 )为 f( x)的极大值;称 x0 为 f( x)的极大值点.
(2) f( x)≥ f( x0 )成立,则称 f( x0 )为 f( x)的极小值;称 x0 为 f( x)的极小值点.
极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.
图 4.4 极值点
如图 4.4 所示, x1 , x3 为所给函数的极大值点; x2 , x4 为所给函数
的极小值点.
我们关心的是如何寻求函数的极值点,这里先考察极值点的特性.
定理 4.9(极值的必要条件) 设函数 f( x)在点 x0 处可导,且 x0
为 f( x)的极值点,则 f′( x0 ) = 0.
由§4.1 引理可知定理 4.9 成立.
若 f′( x0 ) = 0,则称 x0 为 f( x)的驻点.
定理 4.9 表明: 可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意,函数的驻点并不一定是
函数的极值点.例如 y = x3, x = 0 为其驻点,但是 x = 0 不是 y = x
3的极值点.
还要指出,有些函数的不可导的点也可能是其极值点,例如图 4.4 所示的函数在点 x4 处不
可导,但 x4 为其极小值点.
由上述可知,欲求函数的极值点,先要求出其驻点和导数不存在的点,然后再用下面的充分
条件判别它们是否为极值点:
定理 4.10(判定极值的第一充分条件) 设函数 y = f( x)在点 x0 连续,且在 x0 的某邻域内
可导(点 x0 可除外).如果在该邻域内
(1) 当 x < x0 时, f′( x0 ) > 0;当 x > x0 时, f′( x) < 0,则 x0 为 f( x)的极大值点.
(2) 当 x < x0 时, f′( x) < 0;当 x > x0 时, f′( x) > 0,则 x0 为 f( x)的极小值点.
如果 f′( x)在 x0 的两侧保持同符号,则 x0 不是 f( x)的极值点.
分析 对于情形(1),由函数单调性的判别定理可知,当 x < x0 时, f( x)严格单调增加;当
·401·
x > x0 时, f( x)严格单调减少,因此可知 x0 为 f( x)的极大值点.
对于情形(2)也可以进行类似分析.
由定理 4.10 可知,利用极值第一充分条件判定函数极值点的一般步骤为:
(1) 求出 f′( x).
(2) 求出 f( x)的所有驻点和 f′( x)不存在的点 x1 ,⋯, xk.
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点 xi(i= 1,2,⋯, k)两侧(在 xi 较小的邻域内) f′( x)的
符号,依定理 4.10 判定 xi 是否为f( x)的极值点.
例 1 求 y = x3-
32
x2- 6 x 的极值与极值点.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
y′ �= 3 x2- 3 x - 6
= 3( x + 1)( x - 2).
令 y′= 0,可得函数的两个驻点: x1 = - 1, x2 = 2.
y′在( - ∞, + ∞)内存在,函数的两个驻点 x1 = - 1, x2 = 2 把( - ∞, + ∞)分成( - ∞,
- 1),( - 1,2),(2, + ∞)三个子区间.在上述三个子区间的每个子区间内, y′的符号都是一定的.
而判定定理中只要求知道导数的符号,并不关心其值为多大.
在( - ∞, - 1)内, y′的符号为( - )·( - ) = ( + ),故 y′> 0.在( - 1,2)内, y′的符号为( + )·
( - ) = ( - ),故 y′< 0.因此 x = - 1 为 y 的极大值点,极大值 f( - 1) =72.
在(2, + ∞)内, y′的符号为( + )·( + ) = ( + ),故 y′> 0.因此 x = 2 为 y 的极小值点,极小值
f(2) = - 10.
上述分析及分析结果可以用表格列出,这样一则可以简化说明,二则可以更清晰.
x ( - ∞, - 1 h) - 1 �( - 1 �,2) 2 ~(2 �, + ∞)
y′ + 0 �- 0 ~+
y ↗
极大值
7 �2
↘极小值
- 10 �↗
例 2 求 y = 3 x4- 8 x
3+ 6 x
2的极值与极值点.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
y′ �= 12 x3- 24 x
2+ 12 x = 12 x( x - 1)
2.
令 y′= 0 可得驻点 x1 = 0, x2 = 1. y′在( - ∞, + ∞)内存在.列表分析:
x ( - ∞,0 :) 0 �(0 h,1) 1 ~(1 �, + ∞)
y′ - 0 �+ 0 ~+
y ↘极小值
0 �↗ 非极值 ↗
·501·
可知 x = 0 为 y 的极小值点,极小值为 0.
例 3 求 y =38
x83 -
32
x23 的极值与极值点.
解 所给函数定义域为( - ∞, + ∞).
y′= x53 - x
-13 = x
-13 ( x
2- 1) =
( x + 1)( x - 1)3
x.
令 y′= 0,可得 y的驻点 x1 = - 1, x2 = 1.
当 x = 0 时, y 为连续函数, y′不存在.在 x≠0 处, y′存在.
x ( - ∞, - 1 Q) - 1 �( - 1 �,0) 0 9(0 9,1) 1 �(1 O, + ∞)
y′ - 0 �+ 不存在 - 0 �+
y ↘
极小值
-9 �8
↗极大值
0 9↘
极小值
-9 �8
↗
定理 4.11(判定极值的第二充分条件) 设函数 f( x)在点 x0 处具有二阶导数,且 f′( x0 )
= 0, f″( x0 )≠0,则
(1) 当 f″( x0 ) < 0 时, x0 为 f( x)的极大值点.
(2) 当 f″( x0 ) > 0 时, x0 为 f( x)的极小值点.
证 由于 f( x)在 x0 处二阶可导,且 f′( x0 ) = 0,由皮亚诺型余项的泰勒公式有
f( x) �= f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+ o(( x - x0 )
2)
= f( x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+ o(( x - x0 )
2).
当 x 充分接近于 x0 时,易见,上式右端12
f″( x0 ) ( x - x0 )2+ o(( x - x0 )
2)的符号取决于
f″( x0 ).
如果 f″( x0 ) > 0,则由上式可知当 x 充分接近于 x0 时,有 f( x) > f( x0 ),即 x0 为 f( x)的极
小值点.
如果 f″( x0 ) < 0,则由上式可知当 x 充分接近于 x0 时,有 f( x) < f( x0 ),即 x0 为 f( x)的极
大值点.
当二阶导数易求,且驻点 x0 处的二阶导数 f″( x0 )≠0 时,利用判定极值的第二充分条件判
定驻点 x0 是否为极值点比较方便.
例 4 利用判定极值的第二充分条件,求函数 y = x4-
83
x3- 6 x
2的极值与极值点.
解 所给函数定义域为( - ∞, + ∞).
y′ �= 4 x3- 8 x
2- 12 x = 4 x( x + 1)( x - 3).
令 y′= 0 得 y 的驻点 x1 = - 1, x2 = 0, x3 = 3.
y″= 12 x2- 16 x - 12.
·601·
由于 y″ x1= - 1 = 12 + 16 - 12 = 16 > 0
y″ x2= 0 = - 12 < 0
y″ x3= 3 = 48 > 0
可知 x1 = - 1 为函数的极小值点,相应的极小值为 y x = - 1 = -73.
x2 = 0 为函数的极大值点,相应的极大值为 y x = 0 = 0.
x3 = 3 为函数的极小值点,相应的极小值为 y x = 3 = - 45.
上述求函数极值与极值点的方法可总结为:
欲求连续函数 f( x)的极值点,需
(1) 求出 f( x)的定义域.
(2) 求出 f′( x).在 f( x)的定义域内求出 f( x)的全部驻点及导数不存在的点.
(3) 判定在上述点两侧 f′( x)的符号,利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.
(4) 如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求,可以利用判定极值第二充分条件判定其是
否为极值点.
二、函数的最大值与最小值
由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知,如果 f( x)在[ a, b]上连续,则 f( x)在[ a,
b]上必定能取得最大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、最小值是本段的基
本问题.
如果函数 f( x)在[ a, b]上连续,那么 f( x)在[ a, b]上的最大值、最小值可能在( a, b)内取
得,也可能在区间的两个端点上取得.如果最大(小)值点在( a, b)内,则最大(小)值点必定是极
大(小)值点.
综合之,可以得知连续函数 f( x)在[ a, b]上的最大值点、最小值点必定是 f( x)在( a, b)内
的驻点、导数不存在的点,或者是区间的端点.
由此可以得知求[ a, b]上连续函数的最大值、最小值的步骤:
(1) 求出 f( x)的所有位于( a, b)内的驻点 x1 , x2 ,⋯, xk .
(2) 求出 f( x)在( a, b)内导数不存在的点珔x1 ,珔x2 ,⋯,珔xl.
(3) 比较 f( x1 ),⋯,f( xk ), f(珔x1 ),⋯, f(珔xl), f( a), f( b)值的大小.其中最大的值即为 f( x)
在[ a, b]上的最大值,相应的点,即为 f( x)在[ a, b]上的最大值点.而其中最小的值,即为 f( x)在
[ a, b]上的最小值,相应的点,即为 f( x)在[ a, b]上的最小值点.
由上述分析可以看出,最大值与最小值是函数 f( x)在区间[ a, b]上的整体性质.而极大值
与极小值是函数 f( x)在某点邻域内的局部性质.
例 5 设 f( x) =13x3-
52x2+ 4 x,求 f( x)在[ - 1,2]上的最大值与最小值.
解 由于所给函数为[ - 1,2]上的连续函数. f′( x) = x2- 5 x + 4 = ( x - 4)( x - 1).
令 f′( x) = 0,可以得出 f( x)的两个驻点 x1 = 1, x2 = 4.
·701·
由于 x2 = 4 [ - 1,2],因此应该舍掉.又
f(1) =116, f( - 1) = -
416, f(2) =
23,
可知 f( x)在[ - 1,2]上的最大值点为 x = 1,最大值为 f(1) =116.最小值点为 x = - 1,最小值为
f( - 1) = -416.
例 6 设 f( x) = 1 -23( x - 2)
23 ,求 f( x)在[0,3]上的最大值与最小值.
解 所给函数为[0,3]上的连续函数.
由于 f′( x) = -49( x - 2)
-13 ,在 x = 2 处 f′( x)不存在.在(0,3)内 f( x)没有驻点.又
f(2) = 1, f(0) = 1 -23
3
4, f(3) =13,
可知 f( x)在[0,3]上的最大值点为 x = 2,最大值为 f(2) = 1.最小值点为 x = 0,最小值为 f(0)
= 1 -23
3
4.
例 7 在椭圆x2
a2 +
y2
b2 = 1 上找点 M 0 ( x0 , y0 ), x0 > 0, y0 > 0,使过点 M 0 的切线与两坐标轴
所围成的三角形面积最小.并求出此面积.
解 任取椭圆x2
a2 +
y2
b2 = 1 上的点 M ( x, y),且 x > 0, y > 0.
由隐函数求导法则可以得出过 M 点的切线斜率 k = -b2x
a2y.因而过 M ( x, y)的切线方程为
Y - y = -b2x
a2y( X - x).
令 Y = 0,得切线在 x 轴的截距 X =a2
x.令 X = 0,得切线在 y 轴上的截距 Y =
b2
y.
由此可以得知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S =12
X Y =a2b2
2 xy.
由于 y =ba
a2- x
2,因此
S =a2b2
2 xba
a2- x
2 (0 < x < a).
如果求此函数的最小值,运算较复杂.但是 S 最小当且仅当其分母2 bxa
a2- x
2最大,又因
a, b 为正常数, x a2- x
2> 0,所以 S 最小当且仅当 u = x
2( a
2- x
2)最大.由于
u′= 2 a2x - 4 x
3= 2 x( a
2- 2 x
2),
令 u′= 0,解出在(0, a)内的惟一驻点 x0 =22
a.此时 y0 =22
b.
·801·
S =a2b2
2 x0 y0= ab.
由问题的实际意义可知,所围三角形面积存在最小值,而且所求的驻点惟一,因此点
M 022
a,22b 为所求点,最小面积为 ab.
有必要指出,对于在实际问题中求其最大(小)值,首先应该建立函数关系,通常也称之为建
立数学模型或目标函数.然后求出目标函数在定义区间内的驻点.如果目标函数可导,其驻点惟
一,且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的端点上达到),那么所求驻点就是
函数的最大(小)值点.
如果驻点有多个,且函数既存在最大值点也存在最小值点,只需比较这几个驻点处的函数
值,其中最大值即为所求最大值;其中最小值即为所求最小值.
例 8 欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米 6 元,其
余三面是每平方米 3 元.问场地的长、宽各为多少米时,才能使所用材料费最少 ?
分析 设所围矩形场地正面长为 x m,另一边长为 y m,则矩形场地面积为 xy = 150, y =
150x.设四面围墙的高相同,都为 h.则四面围墙所使用材料的费用 f( x)为
f( x) = 6 xh + 3(2 yh) + 3 xh = 9 h x +100x
,
f′( x) = 9 h 1 -100x2 .
令 f′( x) = 0 可得驻点 x1 = 10, x2 = - 10(舍掉).
f″( x) =1 800 h
x3 , f″(10) = 1.8 h > 0.
由于驻点惟一,由实际意义可知,问题的最小值存在,因此当正面长为 10 米,侧面长 15 米时,所
用材料费最小.
习题 4.4
1. 求下列函数的极值与极值点:
(1) f( x) = x3 - 3 x2 - 9 x + 5; �(2) y = ( x - 1)3x2 ;
(3) f( x) = c( x2 + 1)2 ,其中 c为常数; (4) y = 2 x - x2 ;
(5) y =23
x -3x.
2. (1)设 y = f( x)在点 x0 处可导,且 y = f( x)有极小值 f( x0 ),求曲线 y = f( x)上( x0 , f( x0 ))处的切线
方程.
(2) 设 y = f( x)在点 x0 处可导,且 f( x0 )为极大值,求limΔx→0
f( x0 +Δx) - f( x0 )Δx
.
3. (1) 若两个正数之和为 8,其中之一为 x,求这两个正数的立方和 S( x),及其最小值与最小值点.
(2) 将边长为 a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图 4.5 所示的阴影部分),然后将其沿虚线折
起,做成一个无盖正三棱柱盒子.问当图中的 x取何值时,该盒子的容积最大 ? 并求出最大容积.
(3) 求 f( x) = x3 - 3 x2 - 9 x + 10 在[ - 2,2]上的最大值、最小值、最大值点与最小值点.
·901·
图 4.5
4. 设 y = 2 x2+ ax + 3 在点 x = 1 取得极小值,求 a的值.
§4.5 曲线的凹凸性与拐点
研究函数的单调性与极值为我们提供了求解最大值与最小值问题的方法.它也提供了描绘
图 4.6
函数图形的重要依据.但是只依赖这些知识,还难以准确地描绘出函
数的图形.如函数 y = x2与 y = x都过点(0,0)与(1,1),且两个函数
在[0,1]上都是单调增加函数,但是这两个函数的图形弯曲的方向不
同,如图 4.6 所示.由此可以给人以启示,如果我们能确定曲线弯曲的
方向,必然有助于准确地描绘出函数的图形.
一、曲线的凹凸性
定义 设函数 y = f( x)在[ a, b]上连续,在( a, b)内可导.
(1) 若对于任意的 x0 ∈( a, b),曲线弧 y = f( x)过点( x0 , f( x0 ))的切线总位于曲线弧
y = f( x)的下方,则称曲线弧 y = f( x)在[ a, b]上为凹的.
(2)若对于任意的 x0 ∈( a, b),曲线弧 y = f( x)过点( x0 , f( x0 ))的切线总位于曲线弧
图 4.7
y = f( x)的上方,则称曲线弧 y = f( x)在[ a, b]上为凸的.
如图 4.7 所示,图中所给曲线 y = f( x)在[ a, b]上为凹的.在
[ b, c]上为凸的.
如果 y = f( x)在( a, b)内二阶可导,则可以利用二阶导数的符
号来判定曲线弧的凹凸性.
定理 4.12 (曲线弧凹凸性的判定法) 设函数 y = f( x)在
[ a, b]上连续,在( a, b)内二阶可导.
(1) 若在( a, b)内 f″( x) > 0,则曲线弧 y = f( x)在[ a, b]上为凹的.
(2) 若在( a, b)内 f″( x) < 0,则曲线弧 y = f( x)在[ a, b]上为凸的.
·011·
证 任意取定一点 x0 ∈( a, b).则曲线弧 y = f( x)上点 M ( x0 , f( x0 ))处的切线方程为
Y = f( x0 ) + f′( x0 )( X - x0 ).
任取 x1 ∈( a, b),且 x1 ≠ x0 ,则切线上对应 x1 的点 M 1 ( x1 , Y 1 )的纵坐标
Y 1 = f( x0 ) + f′( x0 )( x1 - x0 ).
而曲线弧上对应于 x1 的点 M ( x1 , f( x1 )).由于 f( x)在( a, b)内二阶可导,由具有拉格朗日型
余项的泰勒公式有
f( x1 ) = f( x0 ) + f′( x0 )( x1 - x0 ) +12 !
f″(ξ)( x1 - x0 )2,
其中ξ介于 x0 , x1 之间.
对于情形(1),如果在( a, b)内 f″( x) > 0,则 f″(ξ) > 0,因此总有
f( x1 ) > f( x0 ) + f′( x0 )( x1 - x0 ) = Y1 ,
即 f( x1 ) > Y 1 ,由 x1 的任意性,可知曲线弧 y = f( x)总位于所给定的曲线弧的切线的上方.因
此曲线弧在[ a, b]上为凹的.
相仿可证情形(2).
例 1 判定曲线弧 y = xarctan x 的凹凸性.
解 所给曲线在( - ∞, + ∞)内为连续曲线弧.由于
y′= arctan x +x
1 + x2 ,
y″=1
1 + x2 +
(1 + x2) - x·2 x
(1 + x2)2 =
2(1 + x
2)2 > 0,
可知曲线弧 y = xarctan x 在( - ∞, + ∞)内为凹的.
例 2 判定曲线弧 y = x3的凹凸性.
解 所给曲线在( - ∞, + ∞)内为连续曲线弧.由于
y′= ( x3)′= 3 x
2,
y″= (3 x2)′= 6 x.
因此当 x < 0 时, y″< 0,可知曲线弧 y = x3为凸的.
当 x > 0 时, y″> 0,可知曲线弧 y = x3为凹的.
二、曲线的拐点
定义 连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线弧的拐点.
例 3 试判定点 M (0,0)是否为下列曲线弧的拐点.
(1) y1 = x3; (2) y2 = x
53 ; (3) y3 = x
13 .
分析 所给三个函数皆为( - ∞, + ∞)内的连续函数.
对于题(1), y1 = x3由例 2 可知,点(0,0)为曲线弧 y1 = x
3的拐点.
对于题(2), y′2 =53
x23 , y″2 =
109
x-
13 , y″2 在 x = 0 处不存在.
·111·
当 x < 0 时, y″2 < 0,曲线弧 y2 = x53 为凸的.
当 x > 0 时, y″2 > 0,曲线弧 y2 = x53 为凹的.
从而知点(0,0)为曲线弧 y2 = x53 的拐点.
对于题(3), y′3 =13
x-
23 , y″3 = -
29
x-
53 . y″3 在 x = 0 处不存在.
当 x < 0 时, y″3 > 0,曲线弧 y3 = x13 为凹的.
当 x > 0 时, y″3 < 0,曲线弧 y3 = x13 为凸的.
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 = x13 的拐点.
仔细分析上述三个函数, y″1 在 x = 0 处连续,且 y″1 x = 0= 0.而 y″2 x = 0
, y″3 x = 0都不存在.但
是后两种情形中 y′2x = 0
存在, y′3x = 0
= ∞(意味着曲线 y3 = x13 在点 x = 0 处有铅直切线 !).
求连续曲线弧 y = f( x)的拐点的一般步骤为:
(1) 在 f( x)所定义的区间内,求出二阶导数 f″( x)等于零的点.
(2) 求出二阶导数 f″( x)不存在的点.
(3) 判定上述点 xi 两侧, f″( x)是否异号.如果 f″( x)在 xi 的两侧异号,则( xi, f( xi ))为曲线
弧 y = f( x)的拐点.如果 f″( x)在 xi 的两侧同号,则( xi, f( xi))不为曲线弧 y = f( x)的拐点.
例 4 讨论曲线弧 y = x4- 6 x
3+ 12 x
2- 10 的凹凸性,并求其拐点.
解 所给函数 y = x4- 6 x
3+ 12 x
2- 10 在( - ∞, + ∞)内连续.
y′= 4 x3- 18 x
2+ 24 x,
y″= 12 x2- 36 x + 24 = 12( x - 1)( x - 2),
y″在( - ∞, + ∞)内连续.令 y″= 0,得 x = 1, x = 2.仿§4.4 列表分析:
x ( - ∞,1 :) 1 �(1 h,2) 2 ~(2 �, + ∞)
y″ + 0 �- 0 ~+
y 凹拐点
(1 Q, - 3)凸
拐点(2 P,6)
凹
可知所给曲线弧在( - ∞,1)与(2, + ∞)内为凹的.在(1,2)内为凸的.
拐点为点(1, f(1)) = (1, - 3)与点(2, f(2)) = (2,6).
例 5 讨论曲线 y = ( x - 1)3
x2的凹凸性,并求其拐点.
解 所给函数在( - ∞, + ∞)内为连续函数.
y′ �= ( x - 1)3
x2 ′= x
53 - x
23 ′=
53x
23 -
23
x-
13 ,
y″=109
x-
13 +
29
x-
43 =
109
x-
43 x +
15
.
当 x = 0 时, y″不存在.当 x≠0 时, y″为连续函数.
·211·
令 y″= 0,可得 x = -15.
列表分析可得:
x - ∞, -1 �5
-1 �5
-1 �5,0 0 ~(0 �, + ∞)
y″ - 0 Q+ 不存在 +
y 凸
拐点
-1 �5, -
65
315
凹 非拐点 凹
可知所给曲线在 -∞, -15
为凸的.在 -15, + ∞ 内为凹的.
拐点为点 -15, f -
15
= -15, -
6
53
15.
习题 4.5
1. 讨论下列曲线的凹凸性,并求出曲线的拐点:
(1) y = xln x; �(2) y = 3 x5+ 5 x
4+ 3 x - 5;
(3) y =1
x2+ 3
; (4) y = ln (1 + x3 );
(5) y =ln xx
.
2. 已知曲线 y= ax3 + bx2 + x + 2 有一个拐点( - 1,3),求 a, b 的值.
§4.6 函数的作图
这一节将研究怎样准确地作出函数的图形.
由函数的单调性、函数的极值、曲线的凹凸性可以描绘出函数图形的基本性态.下面再介绍
渐近线的概念,以便能进一步了解曲线上的点无限远离坐标原点时的性态.
一、渐近线
关于渐近线,在第二章中曾给过描述,现在再给出确切的定义.
定义 点 M 沿曲线 y = f( x)无限远离坐标原点时,若点 M 与某定直线 L 之间的距离趋于
零,则称直线 L 为曲线 y = f( x)的一条渐近线.
思考题 图 4.8 中所给直线 L 是否为曲线 y = f( x)的渐近线 ?
若渐近线 L 与 x 轴平行,则称 L 为曲线 y = f( x)的水平渐近线.如图 4.8(a)、(b)、(c)、(d)
·311·
所示.
若渐近线 L 与 x 轴垂直,则称 L 为曲线 y = f( x)的铅直渐近线.如图 4.8(e)、(f)、(g)所示.
若渐近线 L 既不与 x 轴平行,也不与 x 轴垂直,则称 L 为曲线 y = f( x)的斜渐近线.如图
4.8(h)所示.
图 4.8
1. 水平渐近线
容易看出,当且仅当下列三种情形之一成立时,直线 y = c 为曲线 y = f( x)的水平渐近线:
limx→ + ∞
f( x) = c, limx→ - ∞
f( x) = c, limx→∞
f( x) = c.
图 4.8(a)和(d)属于第一种情形.图 4.8(b)属于第二种情形.图 4.8(c)属于第三种情形.
2. 铅直渐近线
容易看出,当且仅当下列三种情形之一成立时,直线 x = x0 为曲线 y = f( x)的铅直渐近线:
·411·
limx→ x
+0
f( x) = ∞, limx→ x
-0
f( x) = ∞, limx→ x
0
f( x) = ∞,
图 4.8(e),(f),(g)分别属于这三种情形.
斜渐近线的情形超出教学基本要求,这里不讨论.
例 1 求曲线 y =1
x2- 2 x - 3
的水平渐近线与铅直渐近线.
解 由于 x2- 2 x - 3 = ( x + 1)( x - 3),可知当 x = - 1 及 x = 3时所给函数没有定义.因此
函数的定义域为( - ∞, - 1),( - 1,3),(3, + ∞).
limx→∞
1x2- 2 x - 3
= limx→ ∞
1( x - 1)
2- 4
= 0,
可知 y = 0 为所给曲线的水平渐近线.
又由于
limx→ - 1
-f( x) = lim
x→ - 1-
1( x + 1)( x - 3)
= + ∞,
limx→ - 1
+f( x) = lim
x→ - 1+
1( x + 1)( x - 3)
= - ∞,
可知 x = - 1 为所给曲线的铅直渐近线(在 x = - 1 的两侧 f( x)的趋向不同 !) �
limx→ 3
-f( x) = lim
x→3-
1( x + 1)( x - 3)
= - ∞,
limx→ 3
+f( x) = lim
x→3+
1( x + 1)( x - 3)
= + ∞,
可知 x = 3 为所给曲线的铅直渐近线(在 x = 3 的两侧 f( x)的趋向也不同 !)
例 2 求曲线 y =ln xx
的渐近线.
解 所给函数的定义域为(0, + ∞).
由于
limx→ + ∞
ln xx
= limx→ + ∞
1x1
= 0,
可知 y = 0 为所给曲线 y =ln xx
的水平渐近线.
由于
limx→0
+
ln xx
= - ∞,
可知 x = 0 为曲线 y =ln xx
的铅直渐近线.
二、函数的作图
对函数的单调性、极值、曲线的凹凸性及曲线的渐近线进行了研究,则可以得到有关图形的
全面信息,从而能比较准确地作出函数的图形.
·511·
作函数图形的一般步骤为:
(1) 确定函数 y = f( x)的定义域及不连续点.
(2) 判定函数 y = f( x)的奇偶性与周期性.
如果函数 y = f( x)为奇函数或偶函数,只需研究当 x≥0 时函数的性质,作出其图形.而另
一半曲线的图形可由对称性得出.
如果函数 y = f( x)为周期函数,只需研究其在一个周期内的性质,作出其图形.其余部分利
用周期性可得.
(3) 求函数的一阶导数 y′.
求 y = f( x)的驻点,导数不存在的点,以便确定函数的增减性、极值.
(4) 求函数的二阶导数 y″.求 y″= 0 的点和 y″不存在的点.以便确定曲线的凹凸性和拐点.
(5) 确定曲线的渐近线.
(6) 将上述所求得的结果按自变量由小到大的顺序列入一个表中,并将函数图形的性态列
于表中,然后描绘成图形.
例 3 作出函数 y = x3- 6 x
2+ 9 x - 2 的图形.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞),是连续的非奇非偶函数;非周期函数.
y′= 3 x2- 12 x + 9 = 3( x - 1)( x - 3).
令 y′= 0 可得驻点 x1 = 1, x2 = 3.
y″= 6 x - 12 = 6( x - 2).
令 y″= 0,得 x = 2.
列表分析:
x ( - ∞,1 #) 1 �(1 �,2) 2 9(2 9,3) 3 �(3 O, + ∞)
y′ + 0 �- - 0 �+
y″ - - 0 9+ +
y ↗凸极大
2 �↘凸
拐点
(2 �,0)↘凹
极小
- 2 �↗凹
所给函数图形无渐近线.
图 4.9
再补充点(0, - 2).描绘函数图形,如图 4.9 所示.
例 4 作出函数 y =x
1 + x2 的图形.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
所给函数为奇函数,只需研究[0, + ∞)内函数的性态.
y′=1 - x
2
(1 + x2)2 ,令 y′= 0 可得函数的驻点 x = 1.
y″=2 x( x
2- 3)
(1 + x2)3 ,令 y″= 0 可得 x = 0, x = 3.
由于 limx→ + ∞
y = limx→ + ∞
x1 + x
2 = 0,可知 y = 0 为该曲线的水平渐近线.
该曲线没有铅直渐近线.
·611·
列表分析:
x (0 �,1) 1 �(1 O, 3) 3 �( 3 �, + ∞)
y′ + 0 �- -
y″ - - - 0 ~+
y ↗凸极大1 �2
↘凸拐点
3 F,34
↘凹
因为函数为连续的奇函数,在 x > 0 的邻域内,曲线是凸的,故在 x < 0 的邻域内,曲线是凹
的.所以点(0,0)为拐点.
描绘图形如图 4.10 所示.
图 4.10
例 5 作出函数 y = e- x
2
的图形.
解 所给函数的定义域为( - ∞, + ∞).
所给函数为偶函数,因此其图形关于 y轴对称.
y′= - 2 xe- x
2
,令 y′= 0 可得函数的惟一驻点 x1 = 0.
y″= 2(2 x2- 1)e
- x2
,令 y″= 0,可得 x2 = -22, x3 =
22.
由于limx→ ∞
y = limx→∞
e- x
2
= 0,可知 y = 0 为该曲线的水平渐近线.
该曲线没有铅直渐近线.
列表分析:
x - ∞, -2 O2
-2 2
-2 2,0 0 90 �,
22
2 �2
2 d2, + ∞
y′ + + 0 9- -
y″ + 0 �- - 0 �+
y ↗ 凹
拐点
-2 �2,e -
12
↗ 凸极大值
1 9↘ 凸
拐点
2 C2,e-
12
↘ 凹
·711·
描绘图形如图 4.11 所示.
图 4.11
习题 4.6
1. 求曲线 y = x sin1x的水平渐近线与铅直渐近线.
2. 求曲线 y =2 x2 + 3 x - 4
x2的水平渐近线与铅直渐近线.
3. 求曲线 y =( x - 1)2
( x + 1)3的渐近线.
4. 作出函数 y= x - ln ( x + 1)的图形.
5. 作出函数 y= 2 x3- 3 x
2的图形.
6. 作出函数 y= ln | x|的图形.
§4.7 曲率
曲线的凹凸性定性地描述了曲线弯曲的形状.在许多工程技术中,例如道路的弯曲、桥梁或
隧道的拱形,齿轮轮廓曲线的形状,常常需要定量研究曲线弯曲的程度.为此我们将引入曲线的
曲率的概念,并利用导数建立曲率的计算公式.下面先引入弧长微分的概念,再定义曲线的曲率.
一、弧微分
图 4.12
在曲线 y = f( x)上取定点 M 0 ( x0 , y0 )作为度量曲线弧长的起点.设 M ( x, y)为该曲线弧上
任意一点.规定依 x 增大的方向为曲线弧的正向.用 s表示曲线弧段 M 0 M 的长度,则 s= s( x) =
M 0 M.
当自变量自点 x 取得增量Δx 时,设 x + Δx 对应于曲线弧上
点 N,如图 4.12 所示.则自点 M 取得弧长增量为
Δs = M 0 N - M 0 M = M N.
当Δx > 0 时,Δs > 0;当Δx < 0 时,Δs = M N < 0,因此
ΔsΔx
�=M NΔx
=M N
| M N|·| M N|Δx
·811·
=M N
| M N|(Δx)
2+ (Δy)
2
Δx
=M N
| M N|1 +
ΔyΔx
2
, (1)
其中| M N|为弦 M N的长.(弦长| M N|与弧长 M N有相同的正负号.)
设函数 y = f( x)具有一阶连续导数,注意到当Δx→0 时, N 沿曲线弧趋于 M .可以证明
limΔ x→0
M N| M N|
= 1.于是,对(1)式两端取Δx→0 时的极限,即得
dsd x
�= limΔx→ 0
ΔsΔx
= limΔ x→0
M N| M N|
1 +ΔyΔx
2
= 1 +d yd x
2
= 1 + y′2,
从而
ds = 1 + y′2d x.
我们称 ds为弧长 s的微分.简称弧微分.
例 1 求曲线 y = a2- x
2的弧微分.
解 当 x≠± a 时,有 y′=- x
a2- x
2.
ds= 1 + y′2d x %= 1 +
- x
a2- x
2
2
d x =a
a2- x
2d x.
二、曲率
为了定量研究曲线弧的弯曲程度,先来分析曲线弧的弯曲程度与哪些因素有关.
设曲线弧有连续转动的切线,且曲线弧 A B与C D的长度相同,如图 4.13 所示.易见曲线弧
A B的弯曲程度较曲线弧C D的弯曲程度小.如果动点 M 沿曲线弧A B,由点 A 转动到点 B,相应
的曲线弧上点 A 处的切线沿曲线弧 A B转动到点 B 处,它所转过的角,称之为切线的转角,那么
由图 4.13 可见, A B切线的转角为α, C D切线的转角为β,且 α< β.不难明白,如果曲线弧长相
等,切线的转角越大,曲线的弯曲程度越大.
同样由图 4.14 可见,如果曲线弧的切线的转角相等,那么曲线弧长越小,曲线弧的弯曲程度
越大.
图 4 �.13图 4 u.14
由上述分析可以看出,曲线的弯曲程度与切线的转角有关,也与曲线弧长有关.
设曲线弧 M N的长为Δs,曲线弧的切线的转角为Δα.则称ΔαΔs
为曲线弧 M N的平均曲率.
·911·
平均曲率表示曲线弧 M N的平均弯曲程度.显然,点 N 越接近于点 M ,曲线弧 M N的平均曲
率越接近于曲线弧在点 M 处的曲率.因此,我们用 M N的平均曲率当点 N 沿曲线趋于 M (即
Δs→0)时的极限来定义曲线弧在点 M 处的曲率,即如果
图 4.15
limΔs→ 0
ΔαΔs
存在,就称其极限值为曲线弧在点 M 处的曲率.记为 K,即
K = limΔs→ 0
ΔαΔs
=dαds
.
设函数 y = f( x)具有二阶导数.如图 4.15 所示,曲线 y = f( x)
在点 M ( x, f( x))处切线的倾角 α满足
y′= tan α, α= arctan y′,
因此 dα=1
1 + y′2 y″d x.
而弧长的微分 ds = 1 + y′2d x,因此,曲线 y = f( x)在点 M ( x, f( x))处的曲率为
K =dαds
=| y″|
(1 + y′2)3�/2 .
例 2 求直线 L 上任意一点处的曲率.
解 建立直角坐标系之后,不妨认为直线 L 的方程为 y = ax + b.可得 y′= a, y″= 0.由曲
率公式可知,直线上任意一点处的曲率
K = 0.
例 3 求圆周( x - a)2+ ( y - b)
2= R
2上任意一点处的曲率.
解 设 M ( x, y)为圆周的任意一点,则由平面几何知识可知
Δs= RΔα.
因此 K = limΔs→0
ΔαΔs
= limΔs→0
1R=
1R.
即圆周上各点处的曲率相同,皆等于该圆半径的倒数.
例 4 求曲线 xy = a2( a > 0)在点( a, a)处的曲率.
解 由 xy = a2可得 y =
a2
x.
y′=- a
2
x2 , y″=
2 a2
x3 ,
K =| y″|
(1 + y′2)3�/2 =
2 a2
x3
1 + -a2
x2
2 3�/2 =2 a
2| x
3|
( x4+ a
4)3�/2 ,
因此在点( a, a)处,
K( a, a)
=2 a
2a3
( a4+ a
4)3�/2 =
1
2 a.
·021·
三、曲率圆
如果曲线 y = f( x)上点 M ( x, y)处的曲率 K≠0,则称曲率 K 的倒数1K为曲线在点 M 处
的曲率半径.记为 R,即
R =1K=(1 + y′
2)3�/2
| y″|.
图 4.16
以下设 K≠0,过曲线 y = f( x)上点 M ( x, y)作曲线的法线,
如图 4.16 所示.在法线上沿曲线凹向的一侧取点 D,使| M D| =1K
= R,以 D 为圆心,以 R =1K为半径作圆,则称此圆为曲线 y =
f( x)在点 M 处的曲率圆,称曲率圆的半径为曲线 y = f( x)在此点
的曲率半径,称曲率圆的圆心 D 为曲线 y = f( x)在点 M 处的曲率
中心.
由上述定义可知曲率圆有如下性质:
(1) 它与曲线 y = f( x)在点 M 处相切.
(2) 在点 M 处,曲率圆与曲线 y = f( x)有相同的曲率.
(3) 在点 M 处,曲率圆与曲线 y = f( x)的凹向相同.
例 5 试判定曲线(抛物线) y = ax2+ bx + c 上哪一点处的曲率半径最小 ?
解 由 y = ax2+ bx + c,可得 y′= 2 ax + b, y″= 2 a.因此
R =(1 + y′
2)3�/2
| y″|=[1 + (2 ax + b)
2]3�/2
|2 a|.
由于分母为常数,可知当 2 ax + b = 0,即 x = -b2 a
时, R 最小.此时 R =1
2| a|,曲线上相应点为
-b2 a
,4 ac - b
2
4 a.此乃抛物线的顶点,直观上也容易得知抛物线在顶点处的曲率最大.
例 6 如果有一个工件,内表面的截线为抛物线 y = 0.4 x2的欲用砂轮磨削其内表面,试判
定砂轮直径最大为多少才合适 ?
解 为了在磨削时能保证工件合格,砂轮的半径应小于抛物线形工件上各点处曲率半径的
最小值.由例 5 可知 y = 0.4 x2, a = 0.4, b = 0, c = 0.因此其曲率半径在 -
b2 a
,4 ac - b
2
4 a=
(0,0)处最小.
由于 y′= 0.8 x, y″= 0.8,因此 y′ x = 0 = 0, y″ x = 0 = 0.8,
R =(1 + y′
2)3�/2
| y″|=
10.8
= 1.25,
因此选用砂轮的直径最大为 2.50 单位.
·121·
习题 4.7
1. 求曲线 y = x2+ x 的弧微分.
2. 计算曲线 y= x2 在点( 2,2)处的曲率.
3. 计算曲线 y= ln(1 + x + x2)在点(0,0)处的曲率.
4. 求曲线 y = ln(1 - x2 )上曲率最大的点.
5. 求抛物线 y= x2- 4 x + 3 上曲率半径最小的点及相应的曲率半径.
复 习 题 四
一、选择题
1. 下列函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).
A. ln[ln x]; ZB. ln x;
C.1
ln x; D. ln(2 - x).
2. 函数 f( x) = sin x 在[0,2π]上满足罗尔定理结论的ξ= ( ).
A. 0; B.π2;
C.π; D.32π.
3. 若 x0 为 f( x)的极值点,则下列命题( )正确.
A. f′( x0 ) = 0; B. f′( x0 )≠0;
C. f′( x0 ) = 0 或 f′( x0 )不存在; D. f′( x0 )不存在.
4. 设函数 f( x),在[ a, b]上连续,在(a, b)内可导,f( a) = f( b).则曲线 y = f( x)在( a, b)内平行于 x 轴的
切线( ).
A. 仅有一条; B. 至少有一条;
C. 不一定存在; D. 不存在.
5. 函数 y = x +4x的严格单调减少区间为( ).
A. ( - ∞, - 2),(2, + ∞); B. ( - 2,2);
C. ( - ∞,0),(0, + ∞); D. ( - 2,0),(0,2).
6. 曲线 y = x3 - 12 x + 1 在(0,2)内( ).
A. 严格单调上升; B. 严格单调下降;
C. 凹的; D. 凸的.
7. 设 a < x < b, f′( x) < 0, f″( x) < 0,则在区间( a, b)内,函数 y= f( x)的图形( ).
A. 沿 x 轴正向下降且为凹的; B. 沿 x 轴正向下降且为凸的;
C. 沿 x 轴正向上升且为凹的; D. 沿 x 轴正向上升且为凸的.
8. 设函数 y = f( x)二阶可导,且 f′( x) < 0, f″( x) < 0,又Δy = f( x +Δx) - f( x),d y = f′( x) d x,则当
Δx > 0 时,有( ).
A. Δy > d y > 0; B. Δy < d y < 0;
C. d y >Δy > 0; D. d y <Δy < 0.
·221·
二、填空题
1. 设 f( x) =1 + xx
,则 f( x)在[1,2]上满足拉格朗日中值定理的ξ= .
2. limx→0
+ xln x = .
3. y = x +4x的凹区间为 .
4. y = x2 + (2 - x)2 在[0,2]上的最大值点为 ,最大值为 .
5. y =4( x - 1)
x2 的水平渐近线为 .
三、解答题
1. 求limx→0
e2 x - 2e x + 1x2cos x
. 2. 求limx→0
(1 + x)1x - e
x.
3. 设 f( x) = xa ( a 为正数), g( x) = ln x,求 limx→ + ∞
f( x) + g( x)2 f( x)
.
4. 求 f( x) = c( x2+ 1)
2的极值与极值点.
5. 试证当 x≥0 时, x≥arctan x.
6. 要造一个长方体无盖蓄水池,其容积为 500 立方米,底面为正方形,设底面与四壁的单位造价相同,问底
边和高各为多少米时,才能使所使用材料最省 ?
7. 已知曲线 y= ax3 + bx2 + cx 在点(1,2)处有水平切线,且原点为该曲线的拐点,求 a, b, c 的值,并写出
此曲线的方程.
8. 设 y = f( x)在点 x0 处可导,且 f( x0 )为 f( x)的极小值,求曲线 y = f( x)过点( x0 , f( x0 ))处的切线方
程与法线方程.
9. 作出 y = x - ln x 的图形.
·321·
第五章 不 定 积 分
前面两章中,讨论了一元函数的微分学,下面我们将讨论一元函数的积分学.一元函数积分
学包含两部分,即不定积分与定积分,本章先介绍不定积分的概念、基本性质与基本积分方法.
§5.1 不定积分的概念与性质
在微分学中,我们讨论了求已知函数的导数(或微分)的问题,例如,质点作变速直线运动,已
知运动规律(即位移函数)为
s = s( t),
则质点在时刻 t的瞬时速度
v = s′( t).
在运动学中我们也常常遇到相反的问题,即已知作变速直线运动的质点在时刻 t的瞬时速
度
v = v(t),
而要求出其运动规律(即位移 s与时间 t的关系)
s = s( t).
这个相反问题实际上是:所求的函数 s= s( t),应满足
s′(t) = v(t).
上述问题在自然科学及工程技术中是普遍存在的,即已知一个函数的导数或微分,去寻求原
来的函数.为了便于研究这类问题,我们首先引入原函数与不定积分的概念.
一、原函数与不定积分
1. 原函数
定义 设函数 f( x)在区间 I上有定义,如果对任意的 x∈I,都有
F′( x) = f( x) 或 d F( x) = f( x)d x,
则称函数 F( x)为已知函数 f( x)在该区间上的一个原函数.
例如:因为x3
3′= x
2,所以
x3
3是函数 x
2在( - ∞, + ∞)上的原函数;因为(sin x)′= cos x,
所以 sin x 是函数 cos x 在( - ∞, + ∞)上的原函数.
现在的问题是:如果函数 f( x)的原函数存在,那么 f( x)的原函数是否惟一 ?
例如x3
3′= x
2,
x3
3+ 1
′= x
2,
x3
3+ 2
′= x
2,⋯,
x3
3+ C
′= x
2(这里 C 是任意常
·421·
数),这就是说x3
3,x3
3+ 1,
x3
3+ 2,⋯,
x3
3+ C 都是 x
2在( - ∞, + ∞)上的原函数.由此可见,如果
已知函数 f( x)有原函数,那么 f( x)的原函数就有无穷多个.
f( x)的全体原函数之间的内在联系是什么呢 ? 为此,介绍以下定理.
定理 5.1 若函数 f( x)在区间 I上存在原函数,则其任意两个原函数只差一个常数项.
证 设 F( x), G( x)是 f( x)在区间 I上的任意两个原函数,所以
F′( x) = G′( x) = f( x),
于是
[ G( x) - F( x)]′= G′( x) - F′( x) = f( x) - f( x) = 0.
由于导数恒为零的函数必为常数(参看§4.1 拉格朗日中值定理的推论),所以有
G( x) - F( x) = C0 ,
即
G( x) = F( x) + C0 ( C0 为某常数).
这个定理表明:若 F( x)是 f( x)在区间 I上的一个原函数,则函数族 F( x) + C(其中 C 是
任意常数)都是 f( x)在该区间上的原函数.可以说,如果 f( x)有原函数,那么它就有无穷多个
原函数.由于 C 是任意常数,则 F( x) + C 是 f( x)在区间 I上的全体原函数的一般表达式.
一个函数具备怎样的条件,就能保证它的原函数存在呢 ? 这里给出一个充分条件:如果函数
f( x)在某区间 I上连续,则 f( x)在区间 I上存在原函数,简言之,连续函数必有原函数.由于初
等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数.
下面,引入不定积分的概念.
2. 不定积分
定义 如果函数 F( x)是 f( x)在区间 I上的一个原函数,那么 f( x)的全体原函数称为函
数 f( x)在区间 I上的不定积分,记作
∫f( x)d x,
函数 f( x)的不定积分的一般表达式为 F( x) + C( C 是任意常数),即
∫f( x)d x = F( x) + C,
其中记号“∫”称为积分号, f( x)称为被积函数, f( x)d x 称为被积表达式, x 称为积分变量, C
称为积分常数.
求不定积分∫f( x)d x,就是求被积函数 f( x)的全体原函数.为此,只需求得 f( x)的一个
原函数 F( x),然后再加任意常数 C 即可.
例 1 求∫x4d x.
解 由于x5
5
′= x
4,所以
∫x4d x =
x5
5+ C.
·521·
例 2 求∫ 11 + x
2 d x.
解 由于(arctan x)′=1
1 + x2 ,所以
∫ 11 + x
2 d x = arctan x + C.
例 3 求∫1xd x.
解 当 x > 0 时,有(ln x)′=1x,
∫1x
d x = ln x + C ( x > 0).
当 x < 0 时,有[ln( - x)]′=1- x
·( - x)′=1- x
·( - 1) =1x,
∫1xd x = ln(- x) + C ( x < 0).
又因为
ln| x| =ln x, 当 x > 0,
ln ( - x), 当 x < 0,
所以,综上,就有
∫1xd x = ln | x| + C ( x≠0).
例 4 验证下式成立:
∫xαd x =
1α+ 1
xα+ 1
+ C (α≠ - 1).
解 因为
1α+ 1
xα+ 1 ′
=1
α+ 1(α+ 1) x
α= x
α (α≠ - 1),
所以
∫xαd x =
1α+ 1
xα+ 1
+ C (α≠ - 1).
例 4 所验证的正是幂函数的积分公式,其中指数 α是不等于 - 1 的任意实数.
例 5 利用例 4 的结果,计算下列不定积分:
(1)∫3
xd x. (2)∫ 1
xd x. (3)∫ 1
x2 d x.
解 @(1)∫3
xd x =∫x13 d x =
113
+ 1x
13
+ 1
+ C =34
x43 + C.
(2)∫ 1
xdx =∫x
-12 d x =
1
-12
+ 1x
-12
+ 1+ C = 2 x + C.
·621·
(3)∫ 1x2 d x n=∫x
- 2d x =
1- 2 + 1
x- 2 + 1
+ C = -1x+ C.
其中(2)、(3)常用,要记住它们的结果.
3. 不定积分的几何意义
函数 f( x)在某区间上的一个原函数 F( x),在几何上表示一条曲线 y = F( x),称为积分曲
线.这条曲线上点 x 处的切线斜率等于 f( x),即满足 F′( x) = f( x).
图 5.1
由于函数 f( x)的不定积分是 f( x)的全体原函数
F( x) + C( C 为任意常数),对于每一个给定的 C 的值,
都有一条确定的积分曲线,当 C 取不同的值时,就得到
不同的积分曲线,所有的积分曲线组成积分曲线族.由于
积分曲线族中每一条积分曲线,在点 x 处的切线斜率都
等于 f( x),因此它们在点 x 处的切线互相平行,因为任
意两条积分曲线的纵坐标之间只相差一个常数,所以它
们都可由曲线 y = F( x)沿纵坐标轴方向上下平行移动
而得到.如图 5.1 所示.
如果已知 f( x)的原函数满足条件:在点 x0 处原函数的值为 y0 ,就可以确定积分常数 C 的
值,从而找到特定的一个原函数.在几何上,就是过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线.具体做法是把
点( x0 , y0 )代入 y = F( x) + C,就可以求得 C = y0 - F( x0 ),于是所要求的积分曲线为
y = F( x) + [ y0 - F( x0 )].
例 6 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标,求此曲线方程
图 5.2
解 设所求的曲线方程为 y = f( x),依题意可知,曲线在点
( x, y)处的切线斜率为 x,即
y′= x,
所以
y =∫xd x =12x2+ C.
它是一族抛物线,如图 5.2 所示.由于所求的曲线经过点(2,3),
把(2,3)代入上述曲线方程,则有 3 = 2 + C,得 C = 1.因此所求的
曲线方程为
y =x2
2+ 1.
例 7 某物体以初速度为 0,速度为 at( a 为大于零的常数)作匀加速运动,且已知在时刻
t= t0 时位移 s= s0 ,求物体的运动规律(即位移函数)s = s( t).
解 依题意可知,物体运动速度 s′(t) = at,所以有
s(t) =∫s′(t)dt=∫atdt=12
at2+ C
因为当 t= t0 时 s = s0 ,于是可得
s0 =12at
20 + C, C = s0 -
12at
20 ,
·721·
所以物体的运动规律为
s=12at
2+ s0 -
12at
2
0 =12a(t
2- t
2
0 ) + s0 .
二、不定积分的性质
根据不定积分的定义,不定积分有以下性质.(假定以下所涉及的函数,其原函数都存在).
性质 1 微分运算与积分运算互为逆运算.
(1) v∫f( x)d x′= f( x) 或 d∫f( x)d x = f( x)d x,
(2) v∫F′( x)d x = F( x) + C 或 ∫d F( x) = F( x) + C.
即若先积分后求导数(或求微分),则两者作用互相抵消;反之,若先求导数(或求微分)后积分,则
抵消后要多一个任意常数项.
特别地,有 ∫d x = x + C.
性质 2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差),即
∫[ f( x)± g( x)]d x =∫f( x)d x±∫g( x)d x.
证 只要证明上式右端的导数等于左端中的被积函数即可.
由导数运算法则以及不定积分性质 1.有
∫f( x)d x±∫g( x)d x′=∫f( x)d x
′±∫g( x)d x
′= f( x)± g( x).
这说明∫f( x)d x±∫g( x)d x 是函数 f( x)± g( x)的不定积分,所以欲证的等式成立.
以后,凡一个不定积分,用另外的不定积分表示时(如性质 2),任意常数都不另外写出,意味
着它含于积分号中,一旦该端不再含积分号时,则应立即添上任意常数.
性质 2 可以推广到有限多个函数代数和的情形,即
�+∫[ f1 ( x)±f2 ( x)±⋯± fn ( x)]d x
=∫f1 ( x)d x±∫f2 ( x)d x±⋯±∫fn ( x)d x.
性质 3 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面,即
∫kf( x)d x = k∫f( x)d x ( k 是常数, k≠0).
性质 3 的证明与性质 2 的证明相仿,读者可自证.
三、基本积分公式
不定积分的性质 1 明确指出,微分运算与积分运算互为逆运算,因此由基本导数公式或基本
微分公式,可以得到不定积分相应的基本积分公式.
·821·
例如,因为ax
ln a′= a
x ( a > 0, a≠1),所以
ax
ln a是 a
x的原函数,于是可得
∫axd x =
ax
ln a+ C ( a > 0, a≠1).
类似地,可以得到其它积分公式,常用的基本积分公式有:
1.∫k d x = kx + C ( k 为常数). �2.∫xαd x =
1α+ 1
xα+ 1
+ C (α≠ - 1).
3.∫1xd x = ln| x| + C. 4.∫a
xd x =
ax
ln a+ C.
5.∫exd x = e
x+ C. 6.∫sin x d x = - cos x + C.
7.∫cos x d x = sin x + C. 8.∫ 1sin
2xd x =∫csc
2x d x = - cot x + C.
9.∫ 1cos
2xd x =∫sec
2x d x = tan x + C. 10.∫sec xtan x d x = sec x + C.
11.∫csc x cot x d x = - csc x + C. 12.∫ 1
1 - x2d x = arcsin x + C.
13.∫ 11 + x
2 d x = arctan x + C.
以上 13 个基本积分公式组成基本积分表.基本积分公式是计算不定积分的基础,必须牢记.
以后,我们将利用各种不同的积分方法,推导出更多的积分公式.
利用不定积分的性质,以及基本积分表,可以直接计算一些简单函数的不定积分.
例 8 求∫(2 x3- 5 x
2+ 4 x - 3)d x.
解 ∫(2 x3- 5 x
2+ 4 x - 3)d x �=∫2 x
3d x -∫5 x
2d x +∫4 xd x -∫3d x
= 2∫x3d x - 5∫x
2d x + 4∫xd x - 3∫d x
=12
x4-
53
x3+ 2 x
2- 3 x + C.
注意:此题中被积函数是积分变量 x 的多项式函数,在利用不定积分性质 2 之后,拆成了四
项分别求不定积分,从而可得到四个积分常数,因为有限个任意常数的和仍为任意常数,因此无
论“有限项不定积分的代数和”中的有限项为多少项,在求出原函数之后只加上一个积分常数 C.
例 9 求∫(3x- 2 sin x)d x
解 ∫(3x- 2 sin x)d x =∫3
xd x - 2∫sin x d x =
3x
ln 3+ 2 cos x + C.
注意,计算不定积分所得到的结果是否正确,可以进行检验,检验的方法很简单,只需看所得
到的结果(全体原函数)的导数是否等于被积函数即可.例如在例 9 中,因为有
3x
ln 3+ 2 cos x + C
′=
3x
ln 3′+ (2cos x)′= 3
x- 2 sin x,
所以所求结果是正确的.
·921·
有些不定积分虽然不能直接使用基本积分公式,但当被积函数经过适当的代数或三角恒等
变形,便可以利用不定积分的基本性质及基本积分公式计算不定积分.
例 10 求∫ x( x - 1)2d x.
解 因为被积函数
x( x - 1)2= x( x
2- 2 x + 1) = x
52 - 2 x
32 + x
12 ,
所以有
∫ x( x - 1)2d x �=∫ x
52 - 2 x
32 + x
12 d x
=∫x52d x - 2∫x
32d x +∫x
12d x =
27x
72-
45
x52+
23
x32+ C.
例 11 求∫( x - 1)( x + 1)3
xd x.
解 因为被积函数
( x - 1)( x + 1)3
x=
x - 13
x= x
23 - x
-13 ,
所以有
∫( x - 1)( x + 1)3
xd x C=∫( x
23 - x
-13 )d x
=∫x23 d x -∫x
-13 d x =
35
x53 -
32
x23 + C.
例 12 求∫(ex + 2
-1x+ 3
x·4
- x)d x.
解 因为被积函数
ex + 2
-1x+ 3
x·4
- x= e
x·e
2-
1x+
34
x
,
所以有
∫(ex + 2
-1x+ 3
x·4
- x)d x �=∫ e
x·e
2-
1x+
34
x
d x
= e2∫e
xd x -∫1
xd x +∫ 3
4
x
d x = e2·e
x- ln| x| +
34
x
ln34
+ C.
运算熟练之后,运算步骤可以简略一些.
例 13 求∫ x2
x2+ 1
d x.
解 将被积函数化为下面的形式:
x2
x2+ 1
=x2+ 1 - 1x2+ 1
= 1 -1
x2+ 1
.
即有
·031·
∫ x2
x2+ 1
d x �=∫ 1 -1
x2+ 1
d x =∫d x -∫ 1x
2+ 1
d x
= x - arctan x + C.
例 14 求∫x4- 2
x2+ 1
d x.
解 与上例类似,可先将被积函数作恒等变形,再逐项积分,即有 l
∫x4- 2
x2+ 1
d x =∫( x2- 1)( x
2+ 1) - 1
x2+ 1
d x
=∫ ( x2- 1) -
1x2+ 1
d x =∫x2d x -∫d x -∫ 1
x2+ 1
d x
=x3
3- x - arctan x + C.
在这里我们顺便指出:例 13、例 14 中的被积函数的分子、分母都为 x 的多项式函数,这样的
函数称为 x 的有理函数.
例 15 求∫tan2xd x.
解 本题不能直接利用基本积分公式,但被积函数可以经过三角恒等变形为
tan2x = sec
2x - 1.
所以有
∫tan2xd x �=∫(sec
2x - 1)d x
=∫sec2xd x -∫d x = tan x - x + C.
类似地,有∫cot2xd x = - cot x - x + C.
例 16 求∫sin2 x
2d x.
解 本题也不能直接利用基本积分公式.可以用半角公式将被积函数进行恒等变形,然后再
逐项积分.
∫sin2 x
2d x q=∫1 - cos x
2d x =
12∫d x -
12∫cos x d x
=12x -
12sin x + C.
类似地有∫cos2 x
2d x =
12
x +12sin x + C.
例 17 求∫ cos 2 xsin
2xcos
2xd x.
解 与前两例类似,可先用余弦的倍角公式
cos 2 x = cos2x - sin
2x
将被积函数作恒等变形,再逐项积分,即有
∫ cos 2 xsin
2xcos
2xd x �=∫cos
2x - sin
2x
sin2xcos
2x
d x =∫ 1sin
2x-
1cos
2x
d x
·131·
=∫ 1sin
2xd x -∫ 1
cos2xd x = - cot x - tan x + C.
习题 5.1
1. 填空题:
(1) 函数 x2的原函数是 .
(2) 函数 x2是函数 的原函数.
(3) 函数 cos 2 x 的原函数是 .
(4) 函数 cos 2 x 是函数 的原函数.
(5) 函数 32 x的原函数是 .
(6) 函数 32 x是函数 的原函数.
2. 解下列问题:
(1) 求过点(1,2),且点( x, f( x))处的切线斜率为 3 x2 的曲线方程 y = f( x).
(2) 已知在曲线 y = f( x)上任一点( x, f( x))的切线斜率为1
2 x,且曲线经过点(4, - 1),求此曲线方程.
(3) 已知动点在时刻 t时的速度为 v = 3 t - 2,且 t= 0 时 s= 5,求此动点的运动方程.
(4) 已知质点在时刻 t时的加速度为 t2 + 1,且当 t= 0 时,速度 v = 1,求质点运动时的速度函数.
3. 选择题:
(1)∫( x + 1)( x3 + 1)d x = ( ).
A.x3
3+
25
x52 +
23
x32 + x + C; %B. 2 x +
32
x12 +
1
2 x+ C;
C.613
x136 +
35
x53 +
23
x32 + x + C; D.
76
x16 +
23
x-
13 -
12 x
+ C.
(2)∫3 x4 + 3 x2 + 1x2 + 1
d x = ( ).
A. x3 + tan x + C; B. 9 x3 + arctan x + C;
C. x3 + arctan x + C; D. 6 x + arctan x + C.
(3)∫d arctan x = ( ).
A. arctan x; B. arccot x;
C. arctan x + C; D. arccot x + C.
(4) 若 f′( x) = g( x),则( )成立.
A.∫g( x)d x = f( x) + C; B.∫f( x)d x = g( x) + C;
C.∫g′( x)d x = f( x) + C; D.∫f′( x)d x = g( x) + C.
(5) 下列各等式中不正确的是( ).
A.∫f( x)d x′= f( x); B. d∫f( x)d x = f( x)d x;
C.∫f′( x)d x = f( x) + C; D.∫d F( x) = F( x).
(6) 设 f( x)的原函数是1x,则 f′( x) = ( ).
·231·
A. ln| x|; B.1x;
C. -1x2 ; D.
2x3 .
(7) 如果∫d f( x) =∫d g( x),则下列各式中不正确的是( ).
A. f′( x) = g′( x); B. d f( x) = d g( x);
C. f( x) = g( x); D. d∫f′( x)d x = d∫g′( x)d x .
(8)∫ 11 + cos 2 x
d x = ( ).
A. 2tan x + C; B.12tan x + C;
C. -1
sin2x+ C; D. -
12sin 2 x
+ C.
(9) 导数∫f′( x)d x′= ( ).
A. f′( x); B. f′( x) + C;
C. f″( x); D. f″( x) + C.
4. 验证下列等式:
(1)∫ x( x3 - 2)d x =29
x4 x -43
x x + C;
(2)∫ x
1 + x2d x = 1 + x2 + C;
(3)∫sin2x d x =
12
x -14
sin 2 x + C;
(4)∫ 1
x2- a
2d x = ln x + x
2- a
2 + C;
(5)∫x cos x d x = x sin x + cos x + C;
(6)∫ef( x)
f′( x)d x = ef( x)
+ C.
5.求下列不定积分:
(1)∫(4 x3 + 3 x2 + 2 x - 1)d x; (2)∫x4 - 2 x2 + 5 x - 3x2 d x;
(3)∫(1 - x)2
3x
d x; (4)∫ x x x d x;
(5)∫3 xe x d x; (6)∫e2 x - 1e x - 1
d x;
(7)∫cot2x d x; (8)∫ cos 2 x
cos x + sin xd x;
(9)∫e x 1 -e - x
1 - x2 d x; (10)∫ x2 + 2
x2(1 + x
2)d x;
(11)∫ 1x2 (1 + x2 )
d x; (12)∫ex+ e
- x
2d x.
·331·
§5.2 换元积分法
前一节中介绍了不定积分的概念、基本性质及基本积分公式,并通过例题说明如何应用不定
积分的性质与基本积分公式直接计算不定积分,但能直接积分的简单函数是很有限的,下面介绍
换元积分法,简称为换元法.用换元法解题的基本思路是:利用变量代换,使得被积表达式变形为
基本积分表中所列积分的形式,从而计算不定积分.
换元积分法可以分为第一换元积分法和第二换元积分法,先介绍第一换元积分法.
一、第一换元积分法
例 1 求∫cos 2 xd x.
分析 计算此不定积分,如果直接套用基本积分公式∫cos xd x = sin x + C,似乎所求答案
应为 sin 2 x + C.显然这一结果是不正确的,因为(sin 2 x + C)′= 2cos 2 x.也就是说 sin 2 x 不是
cos 2 x的原函数.事实上,因为12sin 2 x
′= cos 2 x,所以
12sin 2 x 才是 cos 2 x 的原函数,于是正
确的答案应当是
∫cos 2 xd x =12sin 2 x + C.
计算不定积分∫cos 2 xd x 为什么不能直接套用基本积分公式 ? 原因在于被积函数 cos 2 x
与公式∫cos xd x 中的被积函数不一样.如果令 u = 2 x,则 cos 2 x = cos u,d u = 2d x,从而 d x =
12d u,所以有
∫cos 2 xd x =∫cos u·12d u =
12∫cos ud u.
由于dd u
sin u = cos u,即对新的积分变量 u 而言,sin u 是被积函数 cos u 的原函数,因此有
12∫cos ud u =
12sin u + C.
再把 u = 2 x 代回,则
∫cos 2 xd x =12sin 2 x + C.
这种解法对于复合函数的积分具有普遍意义,一般地,有如下定理:
定理 5.2 设
∫f( u)d u = F( u) + C,
·431·
如果 u = φ( x)具有连续导数,则有
∫f[φ( x)]φ′( x)d x = F[φ( x)] + C. (1)
证 只要能够证明(1)式的右端对 x 的导数等于左端的被积函数即可.
依题意有 ∫f( u)d u = F( u) + C,即有 dd u
F( u) = f( u),又由复合函数的微分法可得
dd x
F[φ( x)] �令 u = φ( x) d
d uF( u)·
d ud x
= f( u)·φ′( x)
= f[φ( x)]φ′( x).
根据不定积分定义,则有
∫f[φ( x)]φ′( x)d x = F[φ( x)] + C.
公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式,应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称
为第一换元积分法.
例 2 求∫(3 x - 1)2 0 08
d x.
解 令 u = 3 x - 1,得 d u = 3d x,得 d x =13d u,
于是有
∫(3 x - 1)2 0 08
d x �=∫u2 008 1
3d u =
13∫u
2 008d u =
13×
12 009
u2 009
+ C
=1
6 027(3 x - 1)
2 009+ C.
例 3 求∫ 1
3 - 2 xd x.
解 令 u = 3 - 2 x,得 d u = - 2d x,得 d x = -12d u,于是有
∫ 1
3 - 2 xd x �=∫ 1
u· -
12
d u = -12∫
1
ud u = -
12·2 u + C
= - 3 - 2 x + C.
由以上各例的解题过程可以看出,用第一换元积分法求不定积分的步骤是:
1. 换元 若能将被积表达式化为 f[φ( x)]φ′( x)d x 的形式,作变量代换,令 u = φ( x),
d u = φ′( x)d x,于是有
∫f[φ( x)]φ′( x)d x =∫f( u)d u.
2. 积分 换元后的积分变量是 u,若被积函数 f( u)是容易积分的,即如果容易求得 F( u),
使得 F′( u) = f( u),则
∫f( u)d u = F( u) + C.
3. 还原 把 u = φ( x)代入已求出的 F( u) + C 中,还原为原积分变量 x 的函数即得答案
为 F[φ( x)] + C.
·531·
上述过程可表示为 �
∫f[φ( x)]φ′( x)d x令 u = φ( x)
d u = φ′( x)d x
∫f( u)d u若 F′( u) = f( u)
F( u) + C把 u = φ( x)代回
F[φ( x)] + C.
例 4 求∫x x2+ 4 d x.
解 令 u = x2+ 4,则 d u = 2 xd x,d x =
12 x
d u,则
∫x x2+ 4 d x G=
12∫ ud u =
12·
23
u32 + C =
13( x
2+ 4)
32 + C.
还应注意到,在换元———积分———还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量
代换 φ( x) = u,还需要在被积表达式中再凑出 φ′( x)d x 即 dφ( x),也就是 d u,这样才能以 u
为积分变量作积分,也就是将所求积分化为∫f[φ( x)]dφ( x) =∫ f( u)d u = F[φ( x)] + C.在
上述解题过程中变量 u 可不必写出,从这个意义上讲,第一换元积分法也称为“凑微分法”.
例 5 求∫ A( x - a)
n d x ( n≠1).
解 ∫ A( x - a)
n d x )= A∫ 1( x - a)
n·d ( x - a) = A·1
1 - n( x - a)
- n + 1+ C =
A1 - n
·
1( x - a)
n - 1 + C ( n≠1).
例 6 求∫ Ax - a
d x.
解 ∫ Ax - a
d x = A∫ 1x - a
d( x - a) = A ln | x - a| + C.
例 7 求∫ 2 x - 3x2- 3 x - 1
d x.
解 因为 (2 x - 3)d x = d( x2- 3 x - 1),所以有
∫ 2 x - 3x2- 3 x - 1
d x e=∫ 1x2- 3 x - 1
d( x2- 3 x - 1)
= ln| x2- 3 x - 1| + C.
例 8 求∫(ln x)2 d xx.
解 因为 1xd x = dln x,所以有
∫(ln x)2 d xx
=∫(ln x)2dln x =
13
(ln x)3+ C.
例 9 求∫earctan x
1 + x2 d x.
解 因为 1
1 + x2 d x = d(arctan x),所以有
·631·
∫earctan x
1 + x2 d x =∫e
arctan xd(arctan x) = e
arctan x+ C.
在例 5—例 9 的解题过程中,不再写出换元的过程,而是凑微分后,直接积分,自然也就不再
有还原过程,所以用凑微分法计算不定积分可以简化解题书写过程.
用凑微分法计算不定积分时,熟记凑微分公式是十分必要的.以下是常用的凑微分公式(在
下列各式中, a, b 均为常数,且 a≠0):
1. d x =1ad( ax + b). �2. xd x =
12 a
d( ax2+ b).
3. xαd x =
1a(α+ 1)
d( axα+ 1
+ b) (α≠ - 1). 4.1
xd x =
2ad( a x + b).
5.1x2 d x = -
1ad
ax+ b . 6.
1xd x = d(ln| x| + b).
7. exd x = d(e
x+ b). 8. cos xd x =
1ad( asin x + b).
9. sin xd x = -1ad( acos x + b).
10.1
1 - x2d x = darcsin x = - darccos x.
11.1
1 + x2 d x = darctan x = - darccot x.
上述公式 f( x)d x = d( F( x)),实际上表示 f( x)的原函数是 F( x).
应用凑微分法计算积分时,有时,需要先将被积函数作适当的代数式或三角函数式的恒等变
形,再用凑微分法求不定积分.
例 10 求∫ 1a2+ x
2 d x.
解 ∫ 1a2+ x
2 d x �=1a2∫ 1
1 +xa
2 d x =1a∫
1
1 +xa
2 dxa
=1aarctan
xa+ C.
例 11 求∫ 1
a2- x
2d x.
解 ∫ 1
a2- x
2d x �=
1a∫
1
1 -xa
2d x
=∫ 1
1 -xa
2d
xa
= arcsinxa
+ C.
例 12 求∫ 1x2- a
2 d x.
解 ∫ 1x2- a
2 d x �=12 a∫
1x - a
-1
x + ad x =
12 a∫
1x - a
d x -∫ 1x + a
d x
=12 a∫
1x - a
d( x - a) -∫ 1x + a
d( x + a)
·731·
=12 a
[ln| x - a| - ln| x + a|] + C =12 a
lnx - ax + a
+ C.
类似地,有
∫ 1a2- x
2 d x =12 a
lna + xa - x
+ C.
例 13 求∫tan xd x.
解 ∫tan xd x H=∫sin xcos x
d x = -∫ 1cos x
d cos x = - ln|cos x| + C.
类似地,有∫cot xd x = ln |sin x| + C.
第一换元积分法还适合求一些简单的三角函数有理式的积分.如计算形如
∫sinmx cos
nxd x
的积分,若 m , n 中至少有一个为奇数时,当 m 为奇数时.可将 sin xd x 凑成 - d cos x,并把被积
函数化为关于 cos x 的多项式函数;而当 n 为奇数时,可将 cos xd x 凑成 d sin x,并把被积函数
化为关于 sin x 的多项式函数,然后逐项按幂函数计算不定积分.
例 14 求∫sin4x cos xd x.
解 ∫sin4x cos xd x =∫sin
4xd sin x =
15sin
5x + C.
例 15 求∫sin3xcos
4xd x.
解 因为被积函数
sin3xcos
4x �= sin xsin
2xcos
4x
= sin x(1 - cos2x)cos
4x
= sin x(cos4x - cos
6x),
所以有
∫sin3xcos
4xd x �=∫sin x(cos
4x - cos
6x)d x
= -∫(cos4x - cos
6x)dcos x =
17cos
7x -
15cos
5x + C.
还需要说明的是,计算某些积分时,由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成,所以求
出的不定积分在形式上也可能不尽相同,但是它们之间至多只相差一个常数项,属同一个原函数
族.
例 16 求∫sin 2 xd x.
解法 1 ∫sin 2 xd x =12∫sin(2 x)d(2 x) = -
12cos 2 x + C.
解法 2 ∫sin 2 xd x = 2∫sin xcos xd x = 2∫sin xdsin x = sin2x + C.
解法 3 ∫sin 2 xd x ,= 2∫sin xcos xd x = - 2∫cos xd(cos x) = - cos2x + C.
·831·
因为 sin2x = - cos
2x + 1 = -
12cos 2 x +
12,可知 sin
2x, - cos
2x, -
12cos 2 x 相互间只差一个
常数项,所以上述三种解法所得的结果都属同一个原函数族,也就是说,三种解法都是正确的.
二、第二换元积分法
计算不定积分,第一换元积分法使用的范围相当广泛,但对于某些无理函数的积分,则需应
用第二换元积分法.
例 17 求∫ 1
1 + xd x.
解 作变量代换,令 x = t,于是 x = t2,这样作变换的目的是把被积函数中的根号去掉.在
上述代换下,有
1
1 + x=
11 + t
, 且 d x = 2 tdt,
于是可将无理函数的积分化为有理函数的积分,所以有
∫ 1
1 + xd x �=∫ 2 t
1 + tdt=∫2(t + 1) - 2
1 + tdt
=∫ 2 -2
1 + tdt = 2∫dt- 2∫ 1
1 + td(1 + t)
= 2t - 2ln|1 + t| + C = 2 x - 2ln(1 + x) + C.
一般地说,若积分∫f( x)d x不易计算,可以作适当变量代换 x = φ( t),把原积分化为
∫f[φ( t)]φ′( t)dt 的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后,还要将 t = φ- 1
( x)代
回,还原成 x 的函数,这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.
定理 5.3 设 f( x)连续, x = φ(t)及 φ′(t)均连续, x = φ(t)的反函数 t = φ- 1( x)存在,且
φ′(t)≠0,若 Φ(t)是 f[φ(t)]φ′(t)的一个原函数,即
则 K∫f[φ( t)]φ′( t)dt = Φ(t) + C,
∫f( x)d x = Φ[φ- 1( x)] + C. (2)
证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式,有
dd x
Φ[φ- 1( x)] V=
dΦdt
·dtd x
= f[φ(t)]·φ′(t)·1
φ′(t)
= f[φ( t)] = f( x).
这就说明了 Φ[φ- 1( x)]是 f( x)的原函数,即公式(2)成立.
公式(2)称为第二换元积分公式.
例 18 ∫ x
1 - xd x.
解 令 1 - x = t, x = 1 - t2,d x = - 2tdt,所以有
·931·
∫ x
1 - xd x �= -∫1 - t
2
t·2tdt = 2∫( - 1 + t
2)dt
= - 2t +23t3+ C = - 2 1 - x +
23(1 - x) 1 - x + C.
例 19 求∫ 1
x +3
xd x.
解 令6
x = t, x = t6,d x = 6t
5dt,所以有
∫ 1
x +3
xd x �=∫ 6t
5
t3+ t
2 dt = 6∫ t3
t + 1dt = 6∫(t
3+ 1) - 1t+ 1
dt
= 6∫ t2- t + 1 -
1t + 1
dt = 6t3
3-t2
2+ t - ln|t + 1| + C
= 2t3- 3t
2+ 6t - 6ln|t + 1| + C
= 2 x - 33
x + 66
x - 6 ln (6
x + 1) + C.
归纳以上各例的解题过程,用第二换元积分法求不定积分时,可按以下步骤进行:
1. 换元 选择适当的变量代换 x = φ( t),要求 φ(t)单调且有连续的导数又 φ′( t)≠0,则
∫f( x)d x =∫f[φ(t)]φ′(t)dt.
2. 积分 换元后的不定积分∫f[φ( t)]φ′( t)dt,可以直接或通过恒等变形或再经过适当
的换元,直至最后求出原函数Φ(t).即
∫f[φ( t)]φ′( t)dt = Φ(t) + C.
3. 还原 由 x = φ( t)解出其反函数 t = φ- 1( x),并把 t= φ
- 1( x)代回求出的原函数 Φ(t)
中,还原为原积分变量 x 的函数Φ[φ- 1( x)],即
∫f( x)d x = Φ( t) + C = Φ[φ- 1( x)] + C.
例 20 求∫ a2- x
2d x ( a > 0).
解 解题的关键是利用三角函数的关系式
sin2t + cos
2t= 1,
去掉被积函数中的根号,具体作法是:
令 x = asin t,d x = acos tdt,而
a2- x
2= a
2- a
2sin
2t = a 1 - sin
2t = acos t -
π2
< t<π2
,
于是有
∫ a2- x
2d x ]=∫acos t·acos tdt= a
2∫cos2tdt
= a2∫1 + cos 2 t
2dt =
a2
2∫dt+∫cos 2tdt
=a2
2[t +
12sin 2 t] + C =
a2
2[t + sin tcos t] + C.
·041·
因为 x = asin t,sin t =xa,则 t= arcsin
xa,可由图 5.3 所示的直角三角形而直接写出:
图 5.3
cos t =邻边斜边
=a2- x
2
a.
所以有
∫ a2- x
2d x =
a2
2arcsin
xa
+x a
2- x
2
2+ C.
例 21 求∫ 1
x2+ a
2d x ( a > 0).
解 为了去掉被积函数中的根号,利用
tan2t+ 1 = sec
2t,
令 x = atan t,于是
1
x2+ a
2=
1
a2tan
2t + a
2=
1asec t
=1acos t,
d x = a sec2tdt,
所以有
∫ 1
x2+ a
2d x �=
1a∫cos t·asec
2tdt =∫sec tdt
=ln |sec t+ tan t| + C.
根据 tan t=xa,利用图 5.4 所示的直角三角形,可得
sec t =斜边邻边
=x2+ a
2
a,
所以有
∫ 1
x2+ a
2d x �= ln x
2+ a
2
a+
xa
+ C1
= ln x2+ a
2+ x + C (其中 C = C1 -ln a).
图 5.4 图 5 �.5
例 22 求∫ 1
x2- a
2d x ( a > 0).
解 为了去掉被积函数中的根号,利用
sec2t - 1 = tan
2t,
可令 x = asec t,于是1
x2- a
2=
1
a2sec
2t - a
2=
1atan t
,d x = asec t·tan tdt,所以有
·141·
∫ 1
x2- a
2d x �=∫asec t·tan t
atan tdt =∫sec tdt
=ln|sec t+ tan t| + C.
根据 sec t =xa,利用如图 5.5 所示的直角三角形.易得
tan t=对边邻边
=x2- a
2
a,
所以有
∫ 1
x2- a
2d x += ln x
a+
x2- a
2
a+ C1
= ln| x2- a
2+ x| + C ( 6其中 C = C1 - ln a).
例 20～例 22 中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.
例 17～例 19 中的解题方法称为根式代换法.
一般地说,应用三角换元法作积分时适用于如下情形:
∫R( x, a2- x
2)d x,可令 x = asin t,d x = acos tdt;
∫R( x, a2+ x
2)d x,可令 x = atan t,d x = asec
2tdt;
∫R( x, x2- a
2)d x,可令 x = asec t,d x = asec ttantdt.
其中 R x, a2- x
2 表示由 x 和 a2- x
2构成的有理函数,三角换元法的目的是去掉被
积函数中的根号.
本节介绍了两类换元积分法,无论是第一换元积分法,还是第二换元积分法,都是为了把不
容易求出的积分转化为能够直接积分或便于直接积分.
习题 5.2
1. 在下列各式的横线上填入适当的系数,使等式成立:
(1) d x = d(3 x - 2); ;(2) xd x = d( x2 + 1);
(3) x2 d x = d(1 - 2 x3 ); (4)1x2d x = d 1 +
1x
;
(5)1
xd x = d( x - 1); (6)
1xd x = d(3ln x - 1);
(7) xex2
d x = d(ex2
); (8) sin 2 xd x = d(cos 2 x);
(9) cosx3d x = dsin
x3; (10) sec2 5 xd x = d tan 5 x;
(11)1
1 - 4 x2d x = darcsin (2 x); (12)
d x4 + x2 = darctan
x2.
2. 填空:
(1) xd x = d( ); (2) x2 d x = d( );
(3)1x2 d x = d( ); (4)
1xd x = d( );
·241·
(5)1xd x = d( ); (6) e
3 xd x = d( );
(7) 2 x d x = d( ); (8) sinx2d x = d( );
(9) cos 2 xd x = d( ); (10)1
cos2 3 xd x = d( );
(11)1
1 - 9 x2d x = d( ); (12)
d xx(1 + ln2 x)
= d( ).
3. 求下列不定积分:
(1)∫(3 x - 2)5 d x; (2)∫ 11 - 2 x
d x;
(3)∫xsin x2d x; (4)∫ x
1 - x2d x;
(5)∫ x2
x3 - 1d x; (6)∫x
2ex3
d x;
(7)∫cos xx
d x; (8)∫sec
2 1x
x2d x;
(9)∫e1x
x2d x; (10)∫
1
x(1 + x)d x;
(11)∫ ex
2 + ex d x; (12)∫ex (2 - ex )d x;
(13)∫ln2 xx
d x; (14)∫ 1 + ln xx
d x;
(15)∫ 1x(1 + ln x)
d x; (16)∫ 1
x 1 - ln2 xd x;
(17)∫ 1cos2 (3 x - 1)
d x; (18)∫ 1sin2 (4 x - 3)
d x;
(19)∫1
4 - 9 x2d x; (20)∫
14 + 9 x2 d x;
(21)∫ 1x2+ 6 x + 5
d x; (22)∫ 2 x + 2x2+ 2 x - 10
d x;
(23)∫(arctan x)2
1 + x2 d x; (24)∫ d x
(arcsin x)2
1 - x2.
4.求下列不定积分:
(1)∫sin2xd x; (2)∫cos
22 xd x;
(3)∫sin4xd x; (4)∫sin
4xcos
3xd x;
(5)∫cos 3 xcos 2 xd x; (6)∫sin 3 xcos 5 xd x.
5. 求下列不定积分:
(1)∫x x + 1d x; (2)∫ 11 + 2 x
d x;
(3)∫ 1x + 1 + 2
d x; (4)∫ xx - 1
d x;
·341·
(5)∫ 13x + 1
d x; (6)∫ 1
x +3x2
d x.
6. 求下列不定积分:
(1)∫ 1 - x2 d x; (2)∫ 1
x2
1 - x2d x;
(3)∫ 1
1 + x2d x; (4)∫(1 + x2 )
-32 d x;
(5)∫ 1
x x2 - 1d x; (6)∫ x2 - 1
xd x.
§5.3 分部积分法
设函数 u = u( x), v = v( x)的导数连续,由函数乘积的微分公式
d( uv) = vd u + ud v,
移项后,得
ud v = d( uv) - vd u.
对上式两端同时积分,并利用微分法与积分法互为逆运算的关系,得
∫ud v = uv -∫vd u (1)
或
∫uv′d x = uv -∫vu′d x. (2)
公式(1)或(2)称为分部积分公式,利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法.
应用分部积分公式的作用在于:把不容易求出的积分∫ud v 或∫uv′d x 转化为容易求出的积分
∫vd u 或∫vu′d x.
例 1 求∫xsin xd x.
解 令 u = x,d v = sin xd x,则 d u = d x, v = - cos x.利用分部积分公式,得
∫xsin xd x �= - xcos x -∫( - cos x)d x
= - xcos x +∫cos xd x = - xcos x + sin x + C.
注: �1. 使用分部积分公式由 d v 求 v 时,在 v 后不必添加常数 C.
2. 利用分部积分公式的目的在于化难为易.解题的关键在于恰当地选择 u 与 d v,如果
此题
令 u = sin x, d v = xd x,
则 d u = cos xd x, v =x2
2,
·441·
利用分部积分公式,则有
∫xsin xd x =x2
2sin x -∫x
2
2cos xd x.
显而易见,不定积分∫x2
2cos xd x 比所要求的不定积分∫x sin xd x更复杂,因此这样选择 u
与 d v 是错误的.
那么怎样才能恰如其分地选择 u 与 d v 才合适呢 ? 一般地说:
(1) 先要考虑 d v,要便于求出原函数 v.
(2) 再考虑利用分部积分公式后,∫vd u 比∫ud v 便于计算.
例 2 求∫xarctan xd x.
解 令 �u = arctan x, _d v = xd x,
则 d u =1
1 + x2 d x, v =
x2
2.
利用分部积分公式,得
∫xarctan xd x �=12x2arctan x -∫x
2
2·
11 + x
2 d x
=12x2arctan x -
12∫ 1 -
11 + x
2 d x
=12x2arctan x -
x2
+12arctan x + C.
例 3 求∫x2e
xd x.
解 令 u = x2, d v = e
xd x,
则 d u = 2 xd x, v = ex.
利用分部积分公式,得
∫x2e
xd x = x
2e
x- 2∫xe
xd x.
此时,虽然没有完全去掉积分号,但是不定积分∫xexd x 要比原积分∫x
2e
xd x 容易计算,因为
在被积函数中 x 的幂次下降了一次,可继续使用分部积分公式, �
令 u = x, d v = exd x,
则 d u = d x, v = ex.
于是有
∫x2e
xd x �= x
2e
x- 2 xe
x-∫e
xd x = x
2e
x- 2 xe
x+ 2e
x+ C
= ex( x
2- 2 x + 2) + C.
此题是两次利用分部积分公式求不定积分,应注意的是先后两次选择 u 与 d v 的方法要保
持一致,即两次都选择了 x 的幂函数部分为 u,而 exd x 为 d v,否则是计算不出结果的.
在熟悉了用分部积分法解题的基本思路后,并且在熟练地掌握了凑微分公式的基础上,中间
·541·
过程 u 与 d v 可不写出,直接利用分部积分公式计算.
例 4 求∫x4ln xd x.
解 ∫x4ln xd x �=∫ln xd
x5
5=
x5
5ln x -
15∫x
4d x
=x5
5ln x -
x5
25+ C.
例 5 求∫excos xd x.
解 ∫excos x d x �=∫cos xde
x= e
xcos x -∫e
xsin xd x
= excos x +∫sin x d e
x= e
xcos x + e
xsin x -∫e
xcos xd x.
经过两次分部积分之后,在上式右端又出现了所求的积分∫excos x d x,这样便出现了循环
公式
∫excos x d x = e
xsin x + e
xcos x -∫e
xcos xd x.
只要将等式右端的 -∫excos xd x 移项到左端,可得
2∫excos xd x = e
x(sin x + cos x) + C1 .
移项之后,右端已没有积分号了,所以应加上任意常数,由此即得
∫excos xd x =
ex
2(sin x + cos x) + C 其中 C =
C1
2.
类似地有
∫exsin xd x =
ex
2(sin x - cos x) + C.
综合以上各例,一般情况下, u 与 d v 按以下规律选择
1. 形如∫xnsin kxd x,∫x
ncos kxd x,∫x
ne
kxd x(其中 n 为正整数)的不定积分,令 u = x
n,
余下的为 d v(即 sin kxd x = d v,cos kxd x = d v 或 ekxd x = d v).如例 1、例 3.
2. 形如∫xnln xd x,∫x
narctan xd x,∫x
narcsin xd x(其中 n 为正整数)的不定积分,令 d v
= xnd x,余下的为 u(即 u = ln x, u = arctan x 或 u = arcsin x).如例 2、例 4.
3. 形如∫eaxsin bxd x,∫e
axcos bxd x 的不定积分,可以任意选择 u 和 d v,但应注意,因为
要使用两次分部积分公式,两次选择 u 和 d v 应保持一致,即如果第一次令 u = eax,则第二次也
须令 u = eax,只有这样才能出现循环公式,然后用解方程的方法求出积分.如例 5.
例 6 求∫ln xd x.
解 利用分部积分公式,被积函数 ln x 可看作 u,而 d x 可看作 d v,即有
·641·
∫ln xd x �= xln x -∫xd ln x = xln x -∫d x
= xln x - x + C.
例 7 求∫arcsin xd x.
解 与上例相仿,把被积函数 arcsin x 看作 u,而把 d x 看作 d v,有
∫arcsin xd x �= xarcsin x -∫x·darcsin x = xarcsin x -∫ x
1 - x2d x
= xarcsin x + 1 - x2+ C.
类似地有
∫arctan xd x = xarctan x -12ln(1 + x
2) + C.
在计算不定积分时,也常常同时使用换元积分法与分部积分法.
例 8 求∫cos xd x.
解 被积函数中含有 x,先用第二换元法去掉根号,即
令 x = t,于是 x = t2,d x = 2 tdt, 有
∫cos xd x = 2∫tcos tdt,
再对右端用分部积分法,得
∫tcos tdt `=∫tdsin t = tsin t-∫sin tdt= tsin t + cos t + C1 ,
于是
∫cos xd x �= 2 [ tsin t + cos t+ C1 ]
= 2 xsin x + 2cos x + C (其中 C = 2 C1 ).
例 9 求∫xarctan x
1 + x2d x.
解一 作变换,令 arctan x = t, x = tan t,d x = sec2tdt,于是有
∫xarctan x
1 + x2
d x �=∫ t·tan t
1 + tan2tsec
2tdt =∫t·tan t·sec tdt
=∫tdsec t
= tsec t-∫sec tdt
= tsec t- ln |sec t + tan t| + C1
= 1 + x2·arctan x -ln | x + 1 + x
2| + C.
解二
∫xarctan x
1 + x2
d x D=∫arctan xd 1 + x2
·741·
= 1 + x2arctan x -∫ 1 + x
2darctan x
= 1 + x2arctan x -∫ 1 + x
2·
11 + x
2 d x
= 1 + x2arctan x -∫ 1
1 + x2d x
= 1 + x2arctan x - ln| x + 1 + x
2| + C.
习题 5.3
1. 求下列不定积分:
(1)∫xcos xd x; �(2)∫xe - x d x;
(3)∫x(arctan x)2 d x; (4)∫arctan xd x;
(5)∫x2ln xd x; (6)∫xsin x cos xd x;
(7)∫e - x cos xd x; (8)∫e x d x;
(9)∫ln2xd x; (10)∫lnln x
xd x;
(11)∫ln( x + 1)d x; (12)∫ln( x + 1 + x2 )d x.
2. 设 f( x)的一个原函数是ln xx
,求∫xf′( x)d x.
3. 设 f( x)的一个原函数是 xln x,求∫xf( x)d x.
§5.4 积分表的使用
一般说来,计算不定积分比求导数运算或微分运算要复杂,并有很强的技巧性;还有很多简
单的函数其原函数存在,但不一定是初等函数,例如: e- x
2
, sin ( x2), sin x,
sin xx
,1
ln x,
1 + x3,
1
1 + x3等函数的原函数都不是初等函数,它们都不能用现在介绍的方法求积分.为了
便于应用,前人已把一些常用函数的积分计算出来并汇编成表(参看本书的附录),读者学会了查
积分表,在实际工作中计算积分时,就可以查积分表.
本书中所列的积分表(参看本书的附录)是按被积函数所属的类型编排成六类:有理函数积
分、无理函数积分、三角函数积分、指数函数积分、对数函数积分、反三角函数积分.
查积分表时,首先要确定被积函数属于哪种类型,然后在这一类型的积分表中对照,选用适
当的公式.
·841·
例 1 求∫ 1x2(3 x + 2)
d x.
解 被积函数为有理函数,因此属于积分表中的类型 1,与公式(8)同型:
∫ d xx2( ax + b)
= -1bx
+ab2 ln
ax + bx
+ C
现令 a = 3, b = 2.得
∫ d xx2(3 x + 2)
= -12 x
+34ln
3 x + 2x
+ C.
例 2 求∫ d x
x x2+ 4
.
解 被积函数为无理函数,属于积分表中的类型 2,与公式(21)同型:
∫ d x
x x2+ a
2= -
1aln a + x
2+ a
2
x+ C,
现令 a = 2,得
∫ d x
x x2+ 4
= -12
ln 2 + x2+ 4
x+ C.
例 3 求∫x2
1 - 9 x2d x.
解 积分表中没有与此题的被积函数完全相同的类型,但在类型 2 中公式(12):
∫x2
a2- x
2d x =
x8(2 x
2- a
2) a
2- x
2+
a4
8arcsin
xa+ C,
与之相似,可以作变量代换,令 3 x = u, x =u3,d x =
13d u,则有
∫x2
1 - 9 x2d x �=
132∫u
21 - u
2·
13d u
=127∫u
21 - u
2d u,
再令 a = 1,由公式(12)得
∫u2
1 - u2d u =
u8(2 u
2- 1) 1 - u
2+
18arcsin u + C.
再把 u = 3 x 代回还原,得
∫x2
1 - 9 x2d x =
127
3 x8(18 x
2- 1) 1 - 9 x
2+18arcsin (3 x) + C.
例 4 求∫ 1( x
2+ x + 3)
2 d x.
解 被积函数的分母是一个二重二次质因式,经过配方和变量代换,可以利用类型 1 中公式
(9): b
∫ 1( x
2+ a
2)
n d x =x
2( n - 1) a2( x
2+ a
2)
n - 1
+2 n - 3
2( n - 1) a2∫ d x
( x2+ a
2)
n - 1 ,
·941·
于是先配方,再作变量代换,令 x +12
= u,于是 d x = d u,则有
∫ 1( x
2+ x + 3)
2 d x =∫ 1
x +12
2
+114
2 d x =∫ 1
u2+114
2 d u.
再令 n = 2, a2=114,由公式(9)得:
∫ 1
u2+114
2 d u �=u
2·1·114
u2+114
+2·2 - 3
2·1·114
∫ d u
u2+114
=2 u
11 u2+114
+211∫
d u
u2+114
=2 u
11 u2+114
+211·
2
11arctan
2 u
11+ C.
把 u = x +12代回还原,所以有
∫ 1( x
2+ x + 3)
2 d x �=2 x +
12
11( x2+ x + 3)
+4
11 11arctan
2 x +12
11+ C
=2 x + 1
11( x2+ x + 3)
+4
11 11arctan
2 x + 1
11+ C.
查积分表算不定积分简便易行,在实际工作中算不定积分可用查表的方法,然而,不能因为
有了积分表,就可以不掌握基本的积分方法,从例 3、例 4 可见,如果不掌握第一类换元法,连积
分表都没法查,此外在以后的数学课和其它学科中常用到积分,若不掌握基本积分方法,学习也
会遇到不少困难.
习题 5.4
查积分表计算下列各题:
(1)∫ x(4 x + 3)2 d x; �(2)∫ 9 x
2+ 2 d x;
(3)∫ x2- 4 x + 8 d x; (4)∫sin
4xd x.
复 习 题 五
一、选择题
1. 若 F( x), G( x)都是函数 f( x)的原函数,则必有( ).
A. F( x) = G ( x); �B. F( x) = C G( x);
C. F( x) = G( x) + C; D. F( x) =1CG( x)
·051·
( C 为不为零的常数).
2. 函数 f( x) = e- x的不定积分为( ).
A. e- x
; B. - e- x
;
C. e- x + C; D. - e - x + C.
3. 设 f′( x)存在且连续,则∫d f( x)′
= ( ).
A. f( x); B. f′( x);
C. f′( x) + C; D. f( x) + C;
4. 设 f( x) = ktan 2 x 的一个原函数为23
lncos 2 x,则 k 等于( ).
A. -23; B.
32;
C. -43; D.
34.
5.∫cos 2 xd x = ( ).
A. sin xcos x + C; B. -12
sin 2 x + C;
C. 2sin 2 x + C; D. sin 2 x + C;
6.∫f( x)d x = xex+ C,则 f( x) = ( ).
A. ( x + 2)ex ; B. ( x - 1)ex ;
C. xex ; D. ( x + 1)ex .
7. 如果 f( x) = e- x ,则∫f′(ln x)x
d x = ( ).
A. -1x
+ C; B.1x
+ C;
C. - ln x + C; D. ln x + C.
8. 若∫f( x)d x = x2+ C,则∫xf(1 - x
2)d x = ( ).
A. 2(1 - x2)2+ C; B. - 2(1 - x
2)2+ C;
C.12(1 - x2 )2 + C; D. -
12(1 - x2 )2 + C.
9.∫ f′( x)1 + [ f( x)]2
d x = ( ).
A. ln |1 + f( x)| + C; B.12ln |1 + [ f( x)]2 | + C;
C. arctan [ f( x)] + C; D.12arctan [ f( x)] + C.
10. 设 f( x) = sin ax,则∫xf″( x)d x = ( ).
A.xacos ax - sin ax + C; B. axcos ax - sin ax + C;
C.xasin ax - acos ax + C; D. axsin ax - a cos ax + C.
二、填空题
1. 一曲线经过点(1,0),且在其上任一点 x处的切线斜率为 3 x2 ,则此曲线方程为 .
·151·
2. 设 f′( x) = 1,且 f(0) = 0,则∫f( x)d x = .
3. 若 F′( x) = f( x),则∫sin xf(cos x)d x = .
4.∫1
1 - xd x = .
5.∫e- x
sine- x
d x = .
6. 若 uv = xsin x,∫u′vd x = cos x + C,则∫uv′dx = .
7.∫ex- 1
e x + 1d x = .
8.∫ d x = xe x + C.
9. 若 f′( x)(1 + x2 ) = 1,且 f(0) = 4,则 f( x) = .
10. 设 f( x)是连续函数且∫f( x)d x = F( x) + C,则∫F( x) f( x)d x = .
三、解答题
1. 求∫(5 - 2 x)9 d x. 2. 求∫e x
ex + 1d x.
3. 求∫ sin x + cos x(sin x - cos x)3 d x. 4. 求∫ sin x
cos3 x31 + sec2 x
d x.
5. 求∫ 11 + e2 x
d x. 6. 求∫ 1x2 - x - 6
d x.
7. 求∫x42 x + 3 d x. 8. 求∫ 1
x2 x2 + 3d x.
9. 求∫ xe x
(1 + x)2 d x. 10. 求∫ln x
x3 d x.
·251·
第六章 定积分及其应用
定积分是从大量的实际问题中抽象出来的,在自然科学与工程技术中有着广泛的应用.本章
将从几何问题与物理问题出发引出定积分的概念.然后讨论它的性质及计算方法.作为定积分的
推广,还将介绍广义积分.最后讨论定积分的简单应用.
§6.1 定积分的概念
一、引入定积分概念的实例
为了引入定积分概念,先讨论两个典型问题———曲边梯形的面积及变力作功.
引例 1 曲边梯形面积
设函数 f( x)在区间[ a, b]( a < b)上非负且连续,由曲线 y = f( x),直线 x = a, x = b 及 x
图 6.1
轴围成的图形称为曲边梯形,如图 6.1 所示.其中曲线弧 y = f( x)称为
曲边,线段 ab 称为底边.
怎样计算曲边梯形的面积呢 ? 不难看出,曲边梯形的面积取决于
区间[ a, b]及定义在这个区间上的函数 f( x).如果 f( x)在[ a, b]上为
常数 h,即曲边梯形为矩形,则其面积等于 h( b - a),现在的问题是
f( x)在[ a, b]上是变化着的,因此它的面积就不能用矩形面积公式来
计算了,由于 f( x)是区间[ a, b]上的连续函数,当 x 变化不大时, f( x)
的变化也不大,因此,如果将区间[ a, b]分割成许多小区间,相应地将
曲边梯形分割成许多小曲边梯形,每个小区间上对应的小曲边梯形可以近似看成小矩形.所有的
小矩形面积的和,可以认作为整个曲边梯形面积的近似值.显然,分割得愈细,近似的程度就愈
好,因此将区间[ a, b]无限地细分,并使每个小曲边梯形的底边长都趋于零时,小矩形的面积之
和的极限,定义为所要求的曲边梯形的面积.
根据上述分析,求曲边梯形的面积 A 的具体作法是:
(1) 分割 在( a, b)内插入 n - 1 个分点
a = x0 < x1 < ⋯ < xi - 1 < xi < ⋯ < xn - 1 < xn = b
把区间[ a, b]分成 n 个小区间
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],⋯,[ xi - 1 , xi],⋯,[ xn - 1 , xn ].
记每一个小区间[ xi - 1 , xi]的长度为
Δxi = xi - xi - 1 (i= 1,2,⋯, n),
·351·
过每个分点 xi (i= 1,2,⋯, n)作 y 轴的平行线,将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形,如图 6.2
所示.其面积依次记作ΔAi(i = 1,2,⋯, n).
图 6.2
(2) 近似、求和 在每一个小区间[ xi - 1 , xi]上任取一点 ξi,以Δxi 为底边,以 f(ξi )为高作
小矩形,其面积为 f(ξi )Δxi.以此作为相应的小曲边梯形面积的近似值,即
ΔAi≈ f(ξi )·Δxi (i = 1,2,⋯, n),
n 个小矩形面积的和即为整个曲边梯形面积的近似值
A = ∑n
i = 1
ΔAi ≈ ∑n
i = 1
f(ξi)·Δxi.
(3) 取极限 记所有小区间长度的最大值为
λ= max1≤ i≤ n
{Δxi}.
当λ→0 时和式 ∑n
i = 1
f(ξi)Δxi ( n 个小矩形面积之和)的极限存在,则定义此极限值为曲边
梯形的面积,即
A = limλ→0 ∑
n
i = 1
f(ξi)·Δxi.
这里实际上是用上述和式的极限值来定义曲边梯形的面积.
我们同样可以用这种“分割,近似、求和,取极限”的方法解决变力作功的问题.
引例 2 变力作功
设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力 F 是恒力时,物体位移为 s,力
F 所作的功就是
w = F·s.
但是,在实际问题中,物体在运动中所受的力常常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算
变力所作的功.如果已知 F(s)是位移 s的连续函数,物体位移区间为[ a, b](即位移 s从 a变到
b),则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数 F(s),如果把位移区间分成许多
小区间,总功应等于对应于各小区间上变力所作功之总和.由于在位移的每个小区间上位移变化
很小,所以力 F 也相应地变化很小(因为 F( s)是 s 的连续函数),从而可以近似地看作不变,于
是就可以利用恒力作功的公式求得每个位移小区间上力 F 作功的近似值,把它们求和就得到力
F 在位移区间[ a, b]上所作之功的近似值,这个近似值在每个位移小区间的长度都趋于零时的
极限值,定义为变力 F 在位移区间[ a, b]上所作之功.
·451·
具体作法如下:
(1) 分割 在( a, b)中插入 n - 1 个分点:
a = s0 < s1 < ⋯ < si - 1 < si < ⋯ < sn - 1 < sn = b
把 s 的变化区间[ a, b]分成 n 个小区间:
[s0 ,s1 ],[s1 ,s2 ],⋯,[ si - 1 , si ],⋯,[sn - 1 ,sn ].
记小区间[si - 1 ,si]的长度为
Δsi = si - si - 1 (i= 1,2,⋯, n).
(2) 近似、求和 在每一个小区间[si - 1 ,si]上任取一点 ξi,把物体在小区间[si - 1 ,si ]上所受
的力近似地看作 F(ξi ).于是 F(ξi )·Δsi 可作为力 F 在位移小区间[si - 1 , si]上对物体所作之功
的近似值,即
Δ W i≈ F(ξi )·Δsi (i= 1,2,⋯, n).
把各小区间上力 F 所作之功的近似值加起来,作为力 F 在[ a, b]上所作之功的近似值,即
W = ∑n
i = 1
Δ W i ≈ ∑n
i = 1
F(ξi)Δsi.
(3) 取极限 把所有小区间长度中的最大值记为
λ= max1≤ i≤ n
{Δsi},
则λ→0 时,和式∑n
i = 1
F(ξi)Δsi 的极限值定义为变力 F 在区间[ a, b]上对物体所作之功,即
W = limλ→0∑
n
i = 1
F(ξi)Δsi.
从以上两个实例可以看出,所计算的量,即曲边梯形的面积及变力所作的功的实际意义显然
不同,但是它们都取决于某个变量的一个变化区间[ a, b]以及定义在这个区间上的函数,并且在
求所要求的量时使用的方法与步骤完全相同,最后都归结为计算具有相同结构的一种和式的极
限.这个和式的极限,在数学上把它抽象为函数在一个区间上的定积分.
二、定积分的概念
1. 定积分的定义
定义 设函数 f( x)在区间[ a, b]上有界,在( a, b)中插入 n - 1 个分点
a = x0 < x1 < ⋯ < xi - 1 < xi < ⋯ < xn - 1 < xn = b
把区间[ a, b]分成 n 个小区间,
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],⋯,[ xi - 1 , xi],⋯,[ xn - 1 , xn ],
各个小区间的长度为
Δxi = xi - xi - 1 (i= 1,2,⋯, n).
在每个小区间[ xi - 1 , xi]上任取一点ξi( xi - 1 ≤ξi≤ xi)作和式(称为积分和式)
∑n
i = 1
f(ξi )Δxi,
·551·
记λ= max1≤ i≤ n
{Δxi },如果对区间[ a, b]的任一分法和小区间[ xi - 1 , xi]上点 ξi 任意取法,只要当 λ
→0 时,上述和式的极限都存在且相等,则称此极限值为函数 f( x)在区间[ a, b]上的定积分.记
作∫b
af( x)d x ,即
∫b
af( x)d x = lim
λ→ 0∑n
i = 1
f(ξi)Δxi,
其中 f( x)称为被积函数, f( x)d x 称为被积表达式, x 称为积分变量, a 称为积分下限, b 称为
积分上限,[ a, b]称为积分区间.
根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述:
曲线 f( x)( f( x)≥0)、x 轴及直线 x = a, x = b 所围成的曲边梯形面积 A 等于函数f( x)在
区间[ a, b]上的定积分,即
A =∫b
af( x)d x.
物体在变力 F(s)作用下作直线运动,由起始位置 a 移动到 b,变力对物体所作之功等于函
数 F(s)在[ a, b]上的定积分,即
W =∫b
aF( s)ds.
如果函数 f( x)在区间[ a, b]上的定积分存在,则称函数 f( x)在区间[ a, b]上可积.
关于定积分的概念,还应注意两点:
(1) 定积分∫b
af( x)d x 是积分和式的极限,是一个数值,定积分值只与被积函数 f( x)和积
分区间[ a, b]有关,而与积分变量的记号无关,即有
∫b
af( x)d x =∫
b
af( t)dt =∫
b
af( u)d u.
(2) 在定积分∫b
af( x)d x 的定义中,总是假设 a < b,为了今后使用方便,对于 a = b, a > b 的
情况,特作如下规定:
当 a = b 时,∫b
af( x)d x = 0;
当 a > b 时,∫b
af( x)d x = -∫
a
bf( x)d x.
这就是说,当定积分的上、下限相同时,定积分的值为零,当交换定积分的上、下限时,定积分
的绝对值不变,但相差一个负号.
2. 定积分的几何意义
如果在区间[ a, b]上 f( x)≥0,则定积分∫b
af( x)d x 在几何上表示由曲线 y = f( x),直线
x = a, x = b及 x 轴所围成的曲边梯形的面积.
如果在区间[ a, b]上 f( x)≤0,此时由曲线 y = f( x),直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方,则定积分∫b
af( x)d x 在几何上表示上述曲边梯形的面积 A 的相反数(如
·651·
图 6.3 所示).
如果在区间[ a, b]上 f( x)既可取正值又可取负值,则定积分∫b
af( x)d x 在几何上表示介于
曲线 y = f( x),直线 x = a, x = b 及 x 轴之间的各部分面积的代数和(如图 6.4 所示).
图 6 �.3 图 6 �.4
三、定积分的存在定理
函数 f( x)满足怎样的条件,其定积分∫b
af( x)d x 一定存在 ? 这里只给出定积分存在的两个
充分条件,其证明略去.
定理 6.1 若函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,则 f( x)在[ a, b]上可积.
定理 6.2 若函数 f( x)在区间[ a, b]上有界,且只有有限个第一类间断点,则 f( x)在
[ a, b]上可积.
本节的最后再举一例说明如何用定义计算定积分.
例 用定义计算∫1
0x2d x .
解 因为被积函数 f( x) = x2在区间[0,1]上连续,所以定积分∫
1
0x2d x 存在,于是,由定积
分的定义可知,它与积分和式中区间[0,1]的分法以及小区间[ xi - 1 , xi ]上任一点 ξi 的取法无
关.为了便于计算,采取等分区间[0,1]及点ξi 均取在小区间[ xi - 1 , xi]的右端点的方法,具体作
法如下:
(1) 分割 插入 n - 1 个分点把区间[0,1]分成 n 等分,各分点的坐标依次是
x0 = 0, x1 =1n, x2 =
2n,⋯, xi =
in,⋯, xn =
nn
= 1,
每个小区间的长度均为Δxi =1n (i = 1,2,⋯, n).
(2) 近似、求和 取每小区间[ xi - 1 , xi]的右端点为ξi,即
ξ1 = x1 =1n,ξ2 = x2 =
2n,⋯,ξi = xi =
in,⋯,ξn = xn = 1,
作乘积
f(ξi)·Δxi =in
2
·1n=
i2
n3 (i = 1,2,⋯, n).
·751·
∑n
i = 1
f(ξi)·Δxi 0= ∑n
i = 1
i2
n3 =
1n3·
16
n( n + 1)(2 n + 1) =16
1 +1n
2 +1n
.
这里用了正整数平方和公式
∑n
i = 1
i2= 1
2+ 2
2+ ⋯ + n
2=
16
n( n + 1)(2 n + 1).
(3) 取极限 当 λ= max1 ≤ i≤ n
{Δxi} =1n→0,即 n→∞时,取上式右端的极限,得
limλ→0∑
n
i = 1
f(ξi)Δxi = limn→ ∞
16
1 +1n
2 +1n
=13,
所以所求的定积分
∫1
0x2d x =
13.
由定积分的几何意义可知,∫1
0x2d x 为曲线 y = x
2, y = 0, x = 1 所围成区域的面积,经计算得其面
积为13.
习题 6.1
* 1. 利用定积分的定义,计算定积分∫2
0(2 x + 1)d x.
2. 试用定积分表示下列几何量或物理量,例如,由曲线 y =1
1 + x2,直线 x = - 1, x = 1 及 x 轴所围成的曲
边梯形的面积 A = - 聸∫1
- 1
11 + x2 d x .
(1) 由抛物线 y = x2 + 1,直线 x = - 1, x = 3 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A = .
(2) 一物体受位移方向的力 F 的作用作直线运动,力 F 是位移 s的函数, F = F( s) = s2+ 1,则物体由 s= 2
移动到 s= 5 时,变力对物体所作的功 w = .
(3) 设有一质量分布不均匀的细棒,其长度为 2m,在距离左端 x m 处的线密度(单位长度的质量)为
ρ= 2 + 5 x (g�/m )
则细棒的质量为 .
(4) 一质点作直线运动,其速率为 v = t2+ 3,则从 t= 0 到 t= 4 的时间内,该质点所走的路程 s= .
3. 利用定积分的几何意义计算下列定积分:
(1)∫2
- 1| x|d x; (2)∫
3
0( x - 1)d x.
§6.2 定积分的基本性质
由定积分的定义及极限的运算法则,可以推出定积分有以下性质.为了叙述方便,我们假设
各性质中所涉及的函数都是可积的.
性质 1 函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差),即
·851·
∫b
a[ f( x)± g( x)]d x =∫
b
af( x)d x±∫
b
ag( x)d x.
证 ∫b
a[ f( x)± g( x)]d x S=lim
λ→ 0 ∑n
i = 1
[ f(ξi)± g(ξi)]Δxi
=limλ→ 0 ∑
n
i = 1
f(ξi)Δxi ±∑n
i = 1
g(ξi )Δxi
=limλ→ 0 ∑
n
i = 1
f(ξi)Δxi ±limλ→ 0∑
n
i = 1
g(ξi)Δxi
=∫b
af( x)d x±∫
b
ag( x)d x .
推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和,即
∫b
a[ f1 ( x)± f2 ( x)±⋯± fn ( x)]d x
=∫b
af1 ( x)d x±∫
b
af2 ( x)d x±⋯±∫
b
afn ( x)d x .
性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面,即
∫b
akf( x)d x = k∫
b
af( x)d x ( k 为常数).
性质 3 如果积分区间[ a, b]被分点 c分成区间[ a, c]和[ c, b],则
∫b
af( x)d x =∫
c
af( x)d x +∫
b
cf( x)d x .
按定积分的补充规定有:不论 a, b, c的相对位置如何(如 a < b < c, c < a < b等),总有等式
∫b
af( x)d x =∫
c
af( x)d x +∫
b
cf( x)d x .
性质 3 表明定积分对积分区间具有可加性,这个性质可以用于求分段函数的定积分.
例 1 已知
f( x) =1 + x, x < 0,
1 -x2, x≥0,
求∫2
- 1f( x)d x.
解 由于被积函数是分段函数,所以定积分应分段积分.根据性质 3,有
∫2
- 1f( x)d x =∫
0
- 1(1 + x)d x +∫
2
01 -
x2
d x.
利用定积分的几何意义,可分别求出
∫0
- 1(1 + x)d x =
12;∫
2
01 -
x2
d x = 1.
所以有
∫2
- 1f( x)d x =
12
+ 1 =32.
性质 4 如果在区间[ a, b]上恒有 f( x) = 1,则
∫b
ad x = b - a.
·951·
性质 5 如果在区间[ a, b]上恒有 f( x)≥0,则
∫b
af( x)d x≥0.
由这个性质不难得出以下推论:
推论 1 如果在区间[ a, b]上恒有 f( x)≤ g( x),则
∫b
af( x)d x ≤∫
b
ag( x)d x .
推论 2 ∫b
af( x)d x ≤∫
b
a| f( x)|d x ( a < b).
性质 6(估值定理) 设 M 和 m 分别是函数 f( x)在区间[ a, b]上的最大值和最小值,则
m( b - a)≤∫b
af( x)d x≤ M ( b - a).
证 因为 m≤ f( x)≤ M ( a≤ x≤ b),由性质 5 的推论 1 可知
图 6.5
∫b
am d x ≤∫
b
af( x)d x ≤∫
b
aM d x,
再由性质 2、性质 4,可得
m( b - a)≤∫b
af( x)d x≤ M ( b - a).
这个性质表明,由被积函数在积分区间上的最大值及最小值,
可以估计积分值的大致范围,如图 6.5 所示.
例 2 试估计定积分∫π3
π6
sin xd x 的值.
解 在区间π6,π3
上,函数 y = sin x 是增函数,且最大值 fπ3
= sinπ3
=32, 最小值
fπ6
= sinπ6
=12.根据性质 6,则有
12
π3
-π6
≤∫π3
π6
sin xd x≤32
π3
-π6
,
即π12
≤∫π3
π6
sin xd x ≤3π12
.
性质 7(积分中值定理) 如果函数 f( x)在闭区间[ a, b]上连续,则在[ a, b]上至少存在一
点ξ,使下式成立,
∫b
af( x)d x = f(ξ)( b - a).
证 因为函数 f( x)在闭区间[ a, b]上连续.根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定
理, f( x)在[ a, b]上一定有最大值 M 和最小值 m ,由定积分的性质 6,有
m( b - a)≤∫b
af( x)d x≤ M ( b - a),
即
·061·
m≤1
b - a∫b
af( x)d x≤ M .
即数值1
b - a∫b
af( x)d x 介于 f( x)在[ a, b]上的最大值 M 和最小值 m 之间.根据闭区间上连续
函数的介值定理,在[ a, b]上至少存在一点ξ,使得下式
f(ξ) =1
b - a∫b
af( x)d x.
成立,即有
∫b
af( x)d x = f(ξ)( b - a) ( a≤ξ≤ b).
图 6.6
积分中值定理的几何意义是:在区间[ a, b]上至少存在一点
ξ,使得以区间[ a, b]为底边,以曲线 y = f( x)为曲边的曲边梯形
的面积等于同一底边而高为 f(ξ)的一个矩形的面积,如图 6.6.
如果函数 f( x)在闭区间[ a, b]上连续,我们称1
b- a∫b
af( x)dx为
函数 f( x)在[ a, b]上的平均值.
如已知某地某日自 0 至 24 时天气温度曲线为 f(t), t 为时
间,则124∫
2 4
0f(t)dt表示该地、该日的平均气温.
如已知某河流在某处截面上各点的水深为 h( x),0≤ x≤ a( a 为河流在该截面处水面之宽
度),则该河流在该截面处的平均水深为1a∫
a
0h( x)d x.
习题 6.2
1. 选择题:
(1) 定积分∫b
af( x)d x 是( ).
A. f( x)的一个原函数; �B. 任意常数;
C. f( x)的全体原函数; D . 确定常数.
(2)∫2
12
|ln x|d x = ( ).
A.∫1
12
ln xd x +∫2
1ln xd x; �B. -∫
1
12
ln xd x +∫2
1ln xd x;
C.∫1
12
ln xd x -∫2
1ln xd x; D . -∫
1
12
ln xd x -∫2
1ln xd x.
(3)∫12
0exd x 与∫
12
0ex2
d x 相比,有关系式( ).
A.∫12
0ex d x >∫
12
0ex
2
d x; B.∫12
0ex d x <∫
12
0e x
2
d x;
C.∫12
0exd x =∫
12
0e
x2
d x; D . 两个积分值不能比较.
(4) 设 f( x)在[ a, b]上连续,则 f( x)在[ a, b]上的平均值为
·161·
A.f( a) + f( b)
2; B.∫
b
af( x)d x;
C.12∫
b
af( x)d x; D .
1b - a∫
b
af( x)d x .
(5) 函数 f( x)在区间[ - 3, - 1]上连续且平均值为 6,则∫- 1
- 3f( x)d x = ( ).
A.12; B. 2;
C. 12; D . 18;
2. 不计算定积分,利用定积分的性质和几何意义比较下列各组积分值的大小.
(1)∫1
0x2 d x 和∫
1
0x3 d x; (2)∫
2
1ln xd x 和∫
2
1ln2 xd x;
(3)∫π4
0cos xd x 和∫
π4
0sin xd x; (4)∫
π
0e
- x2
cos2xd x 和∫
2π
0e- x
2
cos2xd x.
3. 利用定积分的性质,估计下列定积分的值:
(1)∫4
1( x
2+ 1)d x; (2)∫
2
-1e- x
2
d x.
4. 利用定积分的几何意义,计算下列定积分:
(1)∫3
0|2 - x|d x.
(2)∫1
- 1f( x)d x,其中 f( x) =
1 + x, - 1≤ x < 0,
1 - x2, 0≤ x≤1.
§6.3 微积分学基本定理
在§6.1 中,我们介绍了定积分的概念.用定义计算定积分,一般地说,计算复杂,难度较大.
我们必须寻找一种简便易行的计算定积分的新方法.
先考察物体作变速直线运动的路程问题.如果物体运动的速度函数为 v = v( t),那么在时
间区间[ a, b]内物体走过的路程 s可以用定积分表示为 s=∫b
av(t)dt.(参见§6.1 习题 2(4).)
另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数 s = s( t),则在时间区间[ a, b]内物体所走过的
路程为 s( b) - s( a),所以又有
∫b
av(t)dt = s( b) - s( a).
由于 s′(t) = v(t),即 s( t)是 v( t)的原函数,这就是说,定积分∫b
av(t)dt等于被积函数 v( t)的
原函数 s(t)在区间[ a, b]上的增量 s( b) - s( a).这样的计算方法是否具有普遍意义 ? 如果具有
普遍意义,这不但说明了定积分与不定积分(原函数)之间有密切关系,而更重要的是提供了由原
函数计算定积分的方法.下面先介绍变上限积分的概念,然后揭示不定积分与定积分之间的内在
联系,证明微积分的基本定理———牛顿 - 莱布尼茨公式(用 f( x)的原函数计算 f( x)在[ a, b]上
·261·
的定积分).
一、变上限积分与对积分上限变量求导数
设函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,则对于任意的 x( a≤ x≤ b),积分∫x
af( x)d x 存在,且对
于给定的 x( a≤ x≤ b),就有一个积分值与之对应,所以上限为变量的积分∫x
af( x)d x 是上限 x
的函数.这里要特别注意:积分上限 x 与被积表达式 f( x)d x 中的积分变量 x 是两个不同的概
念,在求积分时(或说积分过程中)上限 x 是固定不变的,而积分变量 x 是在下限与上限之间变
化的.为了使初学者区分它们的不同含义,我们根据定积分与积分变量记号无关的性质,另用字
母 t表示积分变量,于是变上限积分记为Φ( x),即
Φ( x) =∫x
af(t)dt.
函数 Φ( x)具有以下重要性质.
定理 6.3 如果函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,则变上限的积分所确定的函数
图 6.7
Φ( x) =∫x
af( t)dt ( a≤ x≤ b)
在[ a, b]上可导,且
Φ′( x) =dd x∫
x
af(t)dt= f( x)
( a≤ x≤ b).
证 如图 6.7 所示,不妨设Δx > 0,因为
ΔΦ �= Φ( x +Δx) - Φ( x)
=∫x +Δx
af(t)dt-∫
x
af(t)dt
=∫x +Δx
af(t)dt+∫
a
xf( t)dt
=∫x +Δx
xf(t)dt.
由积分中值定理,得
∫x +Δx
xf( t)dt = f(ξ)Δx (ξ在 x 与 x +Δx 之间).
即
ΔΦΔx
=f(ξ)ΔxΔx
= f(ξ).
当Δx→0 时,有 x +Δx→ x,从而ξ→ x,根据导数的定义以及函数的连续性,有
Φ′( x) = limΔx→0
ΔΦΔx
= limξ→ x
f(ξ) = f( x),
即
·361·
Φ′( x) =dd x∫
x
af( t)dt = f( x).
这一定理表明:变上限积分所确定的函数∫x
af(t)dt对积分上限 x 的导数等于被积函数f( t)
在积分上限 x 处的值 f( x).
根据原函数的定义,又得到如下定理:
定理 6.4(原函数存在定理) 如果函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,则
Φ( x) =∫x
af(t)dt
是 f( x)在[ a, b]上的一个原函数.
原函数存在定理一方面说明连续函数必有原函数,这样就回答了在§5.1 中提出的问题,而
另一方面又揭示了连续函数的定积分(这里是指变上限定积分)与不定积分之间的联系,并由此
可以得到利用原函数计算定积分的公式(称为微积分基本定理).
二、微积分基本定理
定理 6.5(微积分学基本定理) 设函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,且 F( x)是 f( x)在
[ a, b]上的任一个原函数,则
∫b
af( x)d x = F( b) - F( a),
或记作
∫b
af( x)d x = F( x)
b
a= F( b) - F( a).
证 已知 F( x)是 f( x)在[ a, b]上的一个原函数.而 Φ( x) =∫x
af( t)dt 也是 f( x)在[ a, b]
上的一个原函数,所以 Φ( x) - F( x)是某一个常数,即
Φ( x) =∫x
af(t)dt = F( x) + C0 .
令 x = a,得
0 =∫a
af(t)dt= F( a) + C0 , 则 C0 = - F( a),
即有
∫x
af( t)dt = F( x) - F( a).
再令 x = b,得
∫b
af(t)dt= F( b) - F( a),
即
∫b
af( x)d x = F( b) - F( a).
·461·
上式称为牛顿( Newton)▲- 莱布尼茨(Leibniz)
▲公式,也称为微积分基本公式.
▲ 关于牛顿和莱布尼茨的简介,请见书末的附录一.
牛顿 - 莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积
函数 f( x)的一个原函数 F( x),然后计算原函数在区间[ a, b]上的增量 F( b) - F( a)即可.该
公式把计算定积分归结为求原函数的问题,揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.
例 1 求∫1
0x2d x.
解 因为x3
3是被积函数 x
2的一个原函数,根据牛顿 - 莱布尼茨公式,有
∫1
0x2d x =
x3
3
1
0=13
3-03
3=
13.
例 2 求∫1
- 1
11 + x
2 d x.
解 因为 arctan x 是被积函数1
1 + x2 的一个原函数,根据牛顿 - 莱布尼茨公式,有
∫1
- 1
11 + x
2 d x �= arctan x1
- 1= arctan 1 - arctan( - 1)
=π4
- -π4
=π2.
应当注意的是,利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分时,要求被积函数在积分区间上连续,
否则会产生错误,例如下列定积分的计算
∫1
- 1
1x2 d x = -
1x
1
- 1= - [1 - ( - 1)] = - 2,
显然是错误的,因为被积函数 f( x) =1x2 在区间[ - 1,1]上不连续,点 x = 0 是其无穷间断点.被
积函数不满足牛顿 - 莱布尼兹公式条件.
对于分段函数的积分,只要满足定积分存在的充分条件,保证定积分存在,则可根据定积分
具有区间可加性,把它拆成几项积分之和,并使每项积分都符合利用牛顿 - 莱布尼茨公式的条
件.
在这节最后再列举几个变上限积分对上限求导数的例子.
例 3 求dd x∫
x
- 1ln (1 + t
2)dt .
解 根据定理 6.3,有
dd x∫
x
- 1ln(1 + t
2)dt = ln(1 + x
2).
更进一步有:
若 f( x)为连续函数,则有dd x∫
b
xf( t)dt = - f( x).
若 f( x)为连续函数,φ( x)为可导函数,则有
·561·
dd x∫
φ( x)
af(t)dt= f(φ( x))·φ′( x),
dd x∫
b
φ( x)f(t)dt= - f(φ( x))·φ′( x).
例 4 求 limx→0
∫x
0arctan tdt
x2 .
解 这属于00型的极限问题,利用洛必达法则,有
limx→0
∫x
0arctan tdt
x2 = lim
x→0
∫x
0arctan tdt ′
( x2)′
= limx→ 0
arctan x2 x
00型
=12limx→0
(arctan x)′( x)′
=12
limx→0
11 + x
2
1=
12.
习题 6.3
1. 选择题:
(1) 变上限积分∫x
af(t)d t是( ).
A. f′( x)的一个原函数; kB. f′( x)的全体原函数;
C. f( x)的一个原函数; D . f( x)的全体原函数.
(2)dd x∫
x
0ln (t2 + 1)dt = ( ).
A. ln ( x2+ 1); B. ln ( t
2+ 1);
C. 2 x ln( x2 + 1); D . 2 tln ( t2 + 1).
(3) 下列等式中不正确的是( ).(其中 f( x)为连续函数, F( x),φ( x)为可导函数.)
A.dd x∫
x
af( t)d t = f( x); B.
dd x∫
b
af( t)d t = f( x);
C.dd x∫
φ( x)
af( t)d t = f[φ( x)]φ′( x); D .
dd x∫
x
aF′(t)d t = F′( x).
(4) 设 F( x) =∫2
x3 + t
2dt,则 F′(1) = ( )
A. 7 - 2; B. 2 - 7;
C. 2; D . - 2.
(5) 下列积分中可以用牛顿 - 莱布尼茨公式计算的是( ).
A.∫1
0xex d x; B.∫
1
-1
11 - x2 d x;
C.∫3
0
1x - 1
d x; D .∫e
1e
1x ln x
d x.
(6) 设 F( x) =∫1
xt et dt,则 F′( x) = ( ).
A. xe- x
; B. - xe- x
;
C. xex ; D . - xex .
·661·
(7) limx→0
∫x
0sin td t
∫x
0td t
= ( ).
A. - 1; B. 0; C. 1; D. 不存在.
(8) 设 f( x) =∫x
0( t - 1) d t,则 f( x)有( ).
A. 极小值12; B. 极小值 -
12;
C. 极大值12; D . 极大值 -
12.
(9) 设 f( x)为连续函数, f( x) = 4 x -∫1
0f( x)d x,则∫
1
0f( x)d x = ( ).
A. 1; B.2; C. 3; D. 4.
(10) 若∫1
0(2 x + k)d x = 2,则 k = ( ).
A. 0; B. - 1; C.12; D. 1.
2. 求下列各函数的导数 F′( x).
(1) F( x) =∫x
0cos ( t + 1)dt; (2) F( x) =∫
0
xte- td t;
(3) F( x) =∫x2
01 + t
2 d t; (4) F( x) =∫x3
x2etd t.
3. 求下列定积分:
(1)∫3
1(3 x2 - x + 1)d x; (2)∫
2
1x +
1x
2
d x;
(3)∫3
13
11 + x2 d x; (4)∫
12
-12
1
1 - x2d x;
(5)∫1
0
1x2+ 6 x + 9
d x; (6)∫5
0
x3
x2+ 1
d x;
(7)∫π4
0tan
2θdθ; (8)∫
π
0cos
2 x2d x;
(9)∫2π
0|sin x|d x; (10)∫
3
0f( x) d x, 其中 f( x) =
x, 0≤ x≤1,
e x , 1 < x≤3.
§6.4 定积分的换元法与分部积分法
一、换元积分法
用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分,需要求被积函数的原函数,所以由不定积分法可得到相
应的定积分的积分法.先介绍定积分的换元积分法.
·761·
定理 6.6 设函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,若 x = φ(t)满足下列条件:
(1) φ(α) = a,φ(β) = b;
(2) 当 t在α与β之间变化时,φ(t)的值在区间[ a, b]上单调地变化,且 φ′(t)连续,则
∫b
af( x)d x =∫
β
αf[φ(t)]φ′(t)dt.
上述公式称为定积分的换元积分公式,简称换元公式.
证 因为函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,所以 f( x)在[ a, b]上可积.
设 F( x)为 f( x)在[ a, b]上的一个原函数,由牛顿 - 莱布尼茨公式,有
∫b
af( x)d x = F( b) - F( a).
因为∫f( x)d x = F( x) + C,令 x = φ(t),由不定积分的换元公式,有
∫f[φ(t)]φ′(t)dt= F[φ(t)] + C,
于是可得
∫β
αf[φ(t)]φ′(t)dt T= F[φ(β)] - F[φ(α)] = F( b) - F( a),
所以
∫b
af( x)d x =∫
β
αf[φ(t)]φ′(t)dt.
这里应当注意,定积分的换元法与不定积分的换元法不同之处在于:定积分的换元法在换元
后,积分上、下限也要作相应的变换,即“换元必换限”.在换元之后,按新的积分变量进行定积分
运算,不必再还原为原变量.新变元的积分限可能 α> β,也可能 α<β,但一定要求满足 φ(α) =
a,φ(β) = b,即 t= α对应于 x = a; t =β对应于 x = b.
例 1 求∫9
4
x
x - 1d x.
解 令 x = t,则 x = t2,d x = 2 tdt,且当 x = 4 时,t = 2; x = 9 时, t= 3.所以有
∫9
4
x
x - 1d x U=∫
3
2
tt - 1
·2tdt = 2∫3
2
t2- 1 + 1t - 1
dt
= 2∫3
2t+ 1 +
1t - 1
dt= 2t2
2+ t+ ln |t - 1|
3
2= 7 + ln 4.
例 2 求∫π2
0sin
4xcos xd x.
解 令 sin x = t,则 cos xd x = dt,且当 x = 0 时,t = 0;当 x =π2时, t= 1.所以有
∫π2
0sin
4xcos xd x q=∫
1
0t4dt =
15
t5
1
0=
15.
在例 2 中,如果用凑微分法求定积分可以更方便些,即不引入新的积分变量 t,那么积分上、
下限也不需要作相应的变换,也就是说“不换元也不换限”,具体解法如下:
·861·
∫π2
0sin
4xcos xd x �=∫
π2
0sin
4xdsin x =
15
sin5x
π2
0
=15
sinπ2
5
- (sin 0)5
=15.
例 3 求∫e
1
1 + ln xx
d x.
解 用凑微分法求解
∫e
1
1 + ln xx
d x |=∫e
1(1 + ln x)d(1 + ln x) =
12(1 + ln x)
2e
1
=12
[(1 + ln e)2- (1 + ln 1)
2] =
32.
例 4 求∫3
1
1
x2
1 + x2d x.
解 令 x = tan t,则 d x = sec2tdt,且当 x = 1 时,t =
π4;当 x = 3时,t =
π3.
∫3
1
1
x2
1 + x2d x �=∫
π3
π4
1tan
2t·sec t
·sec2tdt=∫
π3
π4
cos tsin
2tdt
=∫π3
π4
1sin
2tdsin t= -
1sin t
π3
π4
= -2
3-
2
2= 2 -
23
3.
例 5 证明
(1) 若 f( x)在[ - a, a]上连续,且为偶函数,则
∫a
- af( x)d x = 2∫
a
0f( x)d x.
(2) 若 f( x)在[ - a, a]上连续且为奇函数,则
∫a
- af( x)d x = 0.
证 因为
∫a
- af( x)d x =∫
0
- af( x)d x +∫
a
0f( x)d x.
对于积分∫0
- af( x)d x,作变量代换.令 x = - t,d x = - dt,当 x = - a 时, t = a;当 x = 0 时, t =
0.于是有
∫0
- af( x)d x = -∫
0
af( - t)dt =∫
a
0f( - t)dt =∫
a
0f( - x)d x,
所以
∫a
- af( x)d x �=∫
a
0f( - x)d x +∫
a
0f( x)d x
=∫a
0[ f( - x) + f( x)]d x.
(1) 若 f( x)为偶函数,即 f( - x) = f( x)即 f( - x) + f( x) = 2 f( x)
·961·
则有
∫a
- af( x)d x = 2∫
a
0f( x)d x.
(2) 若 f( x)为奇函数,即 f( - x) = - f( x),即 f( - x) + f( x) = 0,则有
∫a
- af( x)d x = 0.
例 5 表明了奇、偶函数在对称区间[ - a, a]上的积分性质,即偶函数在[ - a, a]上的积分等
于区间[0, a]上积分的两倍;奇函数在对称区间上的积分等于零,可以利用这一性质,简化奇、偶
函数在对称区间上的定积分的计算.
例 6 求∫1
- 1
sin x + (arctan x)2
1 + x2 d x.
解 ∫1
- 1
sin x + (arctan x)2
1 + x2 d x =∫
1
- 1
sin x1 + x
2 d x +∫1
- 1
(arctan x)2
1 + x2 d x,
其中 sin x1 + x
2 在区间[ - 1,1]上为奇函数,则有
∫1
- 1
sin x1 + x
2 d x = 0.
而(arctan x)
2
1 + x2 在[ - 1,1]上为偶函数,则有
∫1
- 1
(arctan x)2
1 + x2 d x $= 2∫
1
0
(arctan x)2
1 + x2 d x = 2∫
1
0(arctan x)
2d (arctan x)
=23(arctan x)
31
0=
23
π4
3
=π
3
96,
所以有
∫1
- 1
sin x + (arctan x)2
1 + x2 d x =
π3
96.
例 7 证明∫π2
0sin
nxd x =∫
π2
0cos
nx d x.
证 令 x =π2
- t,则 d x = - dt,且当 x = 0 时, t=π2;当 x =
π2时, t= 0.于是有
∫π2
0sin
nxd x �= -∫
0
π2
sinn π
2- t dt =∫
π2
0cos
ntdt =∫
π2
0cos
nxd x.
二、分部积分法
设函数 u( x), v( x)在区间[ a, b]上的导数 u′( x), v′( x)连续,则有
( uv)′= u′v + uv′,
分别求上式两端在[ a, b]上的定积分,得
∫b
a( uv)′d x =∫
b
au′vd x +∫
b
auv′d x,
·071·
因为
∫b
a( uv)′d x = uv
b
a,
所以有
∫b
au′vd x = uv
b
a-∫u′vd x.
这个公式称为定积分的分部积分公式.用分部积分公式计算定积分的方法称为分部积分法.
例 8 求∫1
0xe
2 xd x.
解 令 u = x, d v = e2 xd x,
d u = d x, v =12
e2 x,
代入分部积分公式,得
∫1
0xe
2 xd x [=
12xe
2 x1
0-
12∫
1
0e2 x
d x =12e2-
14
e2 x
1
0
=12e2-
14e2-
14
=14[e
2+ 1].
例 9 求∫1
2
0arcsin xd x.
解 令 u = arcsin x,d v = d x,则
d u =1
1 - x2d x, v = x,
代入分部积分公式,得
∫1
2
0arcsin xd x �= xarcsin x
1
2
0-∫
1
2
0
x
1 - x2d x
=1
2·π4
+12∫
1
2
0
1
1 - x2d(1 - x
2)
=2π8
+ 1 - x2
1
2
0=
2π8
+22
- 1.
例 10 求∫1
0e
xd x.
解 令 x = t,则 x = t2,d x = 2 tdt,且当 x = 0 时,t = 0;当 x = 1 时,t = 1.于是有
∫1
0e
xd x = 2∫
1
0te
tdt
= 2∫1
0tde
t
= 2 tet
1
0-∫
1
0etdt
= 2 e - et
1
0
·171·
= 2[e - (e - 1)] = 2.
习题 6.4
1. 利用换元法计算下列定积分:
(1)∫5
1
x - 1x
d x. �(2)∫5
0
12 x + 3 x + 1
d x.
(3)∫π3
π4
1sin2 x cos2 x
d x. (4)∫e2
1
1x 1 + ln x
d x.
(5)∫2
1
x2 - 1x
d x. (6)∫1
22
1 - x2
x2d x.
(7)∫1
0
x2
(1 + x2)2 d x. (8)∫
1
0
1ex+ e
- x d x.
2. 利用函数的奇偶性,计算下列定积分:
(1)∫1
- 1ln( 1 + x2 + x)d x. (2)∫
1
- 1( x
2+ 2 x - 3) d x.
3. 设 f( x)是连续函数,又 F( x) =∫x
0f( t)dt,
证明: �(1) 若 f( x)是奇函数,则 F( x)是偶函数.
(2) 若 f( x)是偶函数,则 F( x)是奇函数.
4. 证明∫a
0x3f( x
2)d x =
12∫
a2
0xf( x)d x.
5. 用分部积分法计算下列定积分:
(1)∫π2
0xcos 3 xd x. (2)∫
1
0xe
2 xd x.
(3)∫e
1
ln xx3 d x. (4)∫
1
0ln( x2 + 1)d x.
(5)∫2π
0e2 x
cos xd x. (6)∫ln 2
0x3ex2
d x.
(7)∫12
0arctan 2 xd x. (8)∫
π2
π4
xsin2 x
d x.
§6.5 广义积分
前面讨论的定积分,其积分区间[ a, b]是有限的,被积函数 f( x)是有界的.然而,对一些实
际问题的研究,需要把积分区间推广到无限区间,被积函数推广为无界函数.这样的积分不是通
常意义下的积分(即定积分),所以称它们为广义积分.
一、无穷区间上的广义积分
例 1 求曲线 y =1x2 ,直线 x = 1 及 x 轴为边界的开口图形(或称区域)的面积(如图 6.8(a)
·271·
所示).
图 6.8
由曲线 y =1x2 ,直线 x = 1, x = b( b > 1)及 Ox 轴所围成的曲边梯形的面积 A(如图 6.8(b)
所示),可以用下面的定积分计算:
A =∫b
1
1x2 d x = -
1x
b
1 = -1b- 1 = 1 -
1b.
当 b = 10 时, A =∫10
1
1x2 d x = -
1x
1 0
1 = 1 -110
= 0.9,
b = 100 时, A =∫100
1
1x2 d x = -
1x
1 00
1 = 1 -1
100= 0.99,
b= 1 000 时, A =∫1 000
1
1x2 d x = -
1x
1 000
1 = 1 -1
1 000= 0.999,
⋯⋯⋯⋯
而当 b的值愈来愈大时,曲边梯形面积 A 也愈来愈接近于我们所求的开口图形(区域)的面积,
因此我们把 b→ + ∞时,曲边梯形的面积 A 的极限值,即
limb→ + ∞
A = limb→ + ∞∫
b
1
1x2 d x = lim
b→ + ∞1 -
1b
= 1
定义为所求开口图形(区域)的面积,并称定积分 A 的极限为函数 y =1x2 在区间[1, + ∞)上的广
义积分,记作∫+ ∞
1
1x2 d x,即
∫+ ∞
1
1x2 d x = lim
b→ + ∞∫b
1
1x2 d x.
下面给出一般定义
定义 1 设函数 f( x)在区间[ a, + ∞)上连续,取 b > a,如果极限
limb→ + ∞∫
b
af( x)d x
存在,则称此极限为函数 f( x)在无限区间[ a, + ∞)上的广义积分,记作∫+ ∞
af( x)d x,即
∫+ ∞
af( x) d x = lim
b→ + ∞∫b
af( x)d x.
·371·
此时,也称广义积分∫+ ∞
af( x)d x 收敛.如果上述极限不存在,则称广义积分∫
+ ∞
af( x)d x 发散.
类似地,无限区间( - ∞, b]上的广义积分定义为
∫b
- ∞f( x) d x = lim
a→ - ∞∫b
af( x)d x ( a < b).
无限区间( - ∞, + ∞)上的广义积分定义为
∫+ ∞
- ∞f( x)d x =∫
0
- ∞f( x) d x +∫
+ ∞
0f( x)d x.
此时,如果上式右端的两个广义积分∫0
- ∞f( x) d x与∫
+ ∞
0f( x)d x 都收敛,则称广 义积分
∫+ ∞
- ∞f( x)d x 收敛,否则称广义积分∫
+ ∞
- ∞f( x)d x发散.
上述三种积分统称为无限区间上的广义积分.
由定义 1 和例 2 可见,如果 f( x)在[ a, + ∞)上连续,且 F′( x) = f( x),则
∫+ ∞
af( x)d x = lim
b→ + ∞( F( b) - F( a)) = F( x)
+ ∞
a. (1)
上式最后的记号代入 + ∞得 F( + ∞),其意义是
F( + ∞) = limx→ + ∞
F( x).
类似地,如果 f( x)在( - ∞, b]上连续, F′( x) = f( x),则
∫b
- ∞f( x)d x = F( x)
b
- ∞= F( b) - F( - ∞), (2)
其中 F( - ∞) = limx→ - ∞
F( x).
例 2 求∫+ ∞
0e
- 3 xd x.
解 ∫+ ∞
0e
- 3 xd x �= lim
b→ + ∞∫b
0e
- 3 xd x = -
13
limb→ + ∞∫
b
0e
- 3 xd( - 3 x)
= -13
limb→ + ∞
e- 3 x
b
0= -
13
limb→ + ∞
1e3 b - 1 =
13.
例 3 求∫+ ∞
- ∞
11 + x
2 d x.
解 根据定义,有
∫+ ∞
- ∞
11 + x
2 d x =∫0
- ∞
11 + x
2 d x +∫+ ∞
0
11 + x
2 d x,
而
∫0
- ∞
11 + x
2 d x = lima→ - ∞∫
0
a
11 + x
2 d x = lima→ - ∞
arctan x0
a= 0 - -
π2
=π2,
∫+ ∞
0
11 + x
2 d x = limb→ + ∞∫
b
0
11 + x
2 d x = limb→ + ∞
arctan xb
0=π2
- 0 =π2,
所以,广义积分∫+ ∞
- ∞
11 + x
2 d x 收敛,且
·471·
∫+ ∞
- ∞
11 + x
2 d x =π2
+π2
=π.
例 4 证明广义积分∫+ ∞
1
1xαd x 当α> 1 时收敛,当 α≤1 时发散.
证 当α= 1 时,
∫+ ∞
1
1xd x = lim
b→ + ∞∫b
1
1xd x = lim
b→ + ∞ln x
b
1= + ∞.
当α≠1 时,
∫+ ∞
1
1xαd x = lim
b→ + ∞∫b
1
1xαd x = lim
b→ + ∞
11 -α
x1 - α
b
1=
1α- 1
, 当α> 1,
+ ∞, 当α< 1.
所以广义积分∫+ ∞
1
1xαd x 当α> 1 时收敛,且其值为
1α- 1
;当α≤1 时发散.
二、无界函数的广义积分
现在把定积分的概念推广到被积函数为无界函数的情况.
定义 2 设函数 f( x)在区间( a, b]上连续,且 limx→ a
+f( x) = ∞.取ε> 0,如果极限
limε→ 0
+∫b
a+ εf( x)d x
存在,则称此极限为函数 f( x)在( a, b]上的广义积分,记作∫b
af( x)d x,即
∫b
af( x)d x = lim
ε→ 0 +∫b
a+ εf( x)d x,
此时,也称广义积分∫b
af( x)d x 收敛.如果上述极限不存在,则称广义积分∫
b
af( x)d x 发散.
类似地,函数 f( x)在[ a, b) 上连续,且 limx→ b
-f( x) = ∞,广义积分定义为
∫b
af( x)d x = lim
ε→ 0 +∫b -ε
af( x)d x (ε> 0).
函数 f( x)在[ a, b]上除点 x = c∈( a, b)外都连续,且limx→ c
f( x) = ∞,则广义积分定义为
∫b
af( x)d x =∫
c
af( x)d x +∫
b
cf( x)d x.
此时,当上式右端的两个广义积分∫c
af( x)d x 和∫
b
cf( x)d x 都收敛时,称广义积分∫
b
af( x)d x 收
敛,否则就称广义积分∫b
af( x)d x 发散.
上述三种积分统称为无界函数的广义积分.
例 5 求∫1
0ln xd x.
解 因为被积函数ln x 当 x→0+时无界,所以这是无界函数的广义积分,此时仍可用分部
·571·
积分法求此积分,即
∫1
0ln xd x �= lim
ε→0+∫
1
εln x d x = lim
ε→0+
xln x1
ε-∫
1
εx
1xd x
= limε→0
+-εln ε- x
1
ε= - 1.
所以广义积分∫1
0ln xd x = - 1.
例 6 证明广义积分∫1
0
1xαd x 当α< 1 时收敛;当α≥1 时发散.
证 当α= 1 时,
∫1
0
1xαd x �=∫
1
0
1xd x = lim
ε→ 0+[ln x]
1
ε = + ∞.
当α≠1 时,
∫1
0
1xαd x = lim
ε→ 0+∫
1
ε
1xαd x = lim
ε→0+
11 -α
x1 - α
1
ε=
+ ∞, 当 α> 1,
11 -α
当α< 1.
所以广义积分∫1
0
1xαd x 当α< 1 时收敛,且其值为
11 - α
;当 α≥1 时发散.
习题 6.5
1. 判断下列广义积分的收敛性,如果收敛,再计算其值:
(1)∫+ ∞
1
1x3 d x; �(2)∫
+ ∞
1
13xd x;
(3)∫+ ∞
0e- x d x; (4)∫
+ ∞
1
x1 + x
2 d x;
(5)∫+ ∞
- ∞
1x2+ 2 x + 2
d x; (6)∫+ ∞
0
1
xe- x d x.
2. 判别下列广义积分的收敛性,如果收敛,再计算其值.
(1)∫1
0xln xd x; (2)∫
1
0
1(1 - x)2 d x;
(3)∫1
- 1
x
1 - x2d x. (4)∫
1
0
1(2 - x) 1 - x
d x;
(5)∫1
0
arcsin x
1 - x2d x; (6)∫
e
1
d x
x 1 - (ln x)2.
3. 试讨论广义积分∫+∞
2
d xx(ln x)
k的收敛性,若收敛,计算其值.
4. 试讨论广义积分∫3
2
1( x - 2)
αd x (α> 0)的收敛性,若收敛,计算其值.
§6.6 定积分的应用
本节主要介绍定积分在几何、物理及经济中的一些应用,读者不仅要掌握这些几何量和物理
·671·
量的具体计算公式,更重要的是学会用本节将要介绍的“微元法”分析实际问题的思想方法.
在§6.1 中,我们知道需要用定积分来表示(或度量)的量 I具有以下共同的特征:(1) I 取
决于某量(记作 x)的变化区间[ a, b]和定义在该区间上的一个函数 f( x);(2) I 对区间具有可
加性,即对应区间[ a, b]的总量 I等于[ a, b]分割为若干个子区间后,对应于各子区间上部分量
ΔIi 之和;(3) 在[ a, b]的子区间[ x, x +Δx]上对应的部分量ΔI的近似值与Δx 成正比,即ΔI
≈f( x)Δx,后者记为 dI,它与真值之差是比Δx 高阶的无穷小量.因为从
I( x) =∫x
af( x)d x
对上限 x 的导数 I′( x) = f( x),可知 d I = f( x)d x,即 f( x)Δx.
通常,我们把ΔI的近似值 d I = f( x)d x 称为量 I的微元(或积分元素).
在解决具体问题时,如果确定了某个量 I 需要用定积分来度量,就要先选取一个积分变量
x,并确定积分区间[ a, b],然后在[ a, b]上取一个典型区间[ x, x + Δx],求出相应于这个小区
间的部分量ΔI的近似值
dI = f( x)d x,
则 I =∫b
af( x)d x.
上述方法称为定积分的微元法或称积分元素法.
下面我们用微元法讨论定积分在几何、物理及经济中的一些应用.
一、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积
(1) 直角坐标下平面图形的面积
设函数 f( x), g( x)在区间[ a, b]上连续,且 g( x)≤ f( x).求由曲线 y = f( x), y = g( x)及
直线 x = a, x = b ( a < b)所围成的图形的面积 A(如图 6.9 所示).
用微元法分析:
① 在区间[ a, b]上任取一小区间[ x, x + d x],设此小区间上的面积为ΔA,则ΔA 近似于高
为 f( x) - g( x),底为 d x 的小矩形的面积,从而得到面积微元
d A = [ f( x) - g( x)]d x.
② 所求的图形的面积
A =∫b
a[ f( x) - g( x)]d x.
在这个公式中,无论曲线 y = f( x), y = g( x)在 O x 轴的上方或下方都成立,只要求 y =
g( x)在曲线 y = f( x)的下方.
类似地,设函数 φ( y),ψ( y)在区间[ c, d]上连续,且 ψ( y)≤φ( y),则由曲线 x = φ( y), x
= ψ( y)及直线 y = c, y = d( c < d)所围成的图形的面积 A(如图 6.10 所示)为
A =∫d
c[φ( y) - ψ( y)]d y.
·771·
图 6 �.9 图 6 u.10
例 1 求由曲线 y = x2与 y = x所围成的图形的面积 A(如图 6.11 所示).
图 6.11
解 先求出曲线 y = x2与 y = x的交点(0,0),(1,1).
取 x 为积分变量,积分区间为[0,1],面积微元为[ x - x2]
d x,则所求图形的面积为
A �=∫1
0x - x
2 d x
=23
x32 -
13
x3
1
0=
13.
例 2 求由抛物线 2 y2= x 与直线 x - 2 y = 4 所围成的图形的
面积(如图 6.12 所示).
解 先求抛物线 2 y2= x 与直线 x - 2 y = 4 的交点(2, - 1),(8,2).
取 y 为积分变量(若取 x 为积分变量,要分区间积分,计算较繁)积分区间为[ - 1,2],面积
微元为[(2 y + 4) - 2 y2]dy,则所求的面积为
A P=∫2
- 1(2 y + 4 - 2 y
2)d y
= y2+ 4 y -
23y3
2
- 1= 9.
(2) 极坐标下平面图形的面积
设曲线的极坐标方程为 r = r(θ), r(θ)在区间[α,β]上连续,且 r(θ) > 0,求由此曲线 r =
r(θ)与射线θ=α,θ=β所围成的曲边扇形(如图 6.13 所示)的面积.
用微元法分析
① 在区间[α,β]上任取一小区间[θ,θ+ dθ],设此小区间上的曲边扇形的面积为ΔΑ,则
ΔA 近似于半径为 r(θ),中心角为 dθ的圆扇形面积,从而得到面积元素
d A =12r2(θ)dθ.
② 以12r2(θ)dθ为被积表达式,在区间[α,β]上作定积分,所得就是曲边扇形的面积
A =12∫
β
αr2(θ)dθ.
·871·
图 6 �.12 图 6 v.13
例 3 求心形线 r = a(1 + cos θ)所围成的面积(如图 6.14 所示).
解 心形线的图形如图 6.14 所示,当θ从 0 变到π时, r = a(1 + cos θ)的图形为上半部分,
所以心形线所围图形面积 A 为极轴上方那部分的面积 A1 的两倍,即
图 6.14
A �= 2 A1 = 2·12∫
π
0a2(1 + cosθ)
2dθ
= a2∫
π
0(1 + 2cosθ+ cos
2θ)dθ
= a2∫
π
0
32
+ 2cosθ+12cos 2θ dθ
= a2 3
2θ+ 2sin θ+
14sin 2θ
π
0=
32πa
2.
2. 体积
(1) 平面图形绕坐标轴旋转所成的旋转体的体积
由连续曲线 y = f( x),直线 x = a, x = b( a < b)及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周
而成的旋转体(如图 6.15 所示),求其体积.
用微元法分析
取 x 为积分变量,它的变化区间为[ a, b].
① 在区间[ a, b]上任取一小区间[ x, x + d x],设与此小区间相对应的那部分旋转体的体积
为ΔV,则ΔV 近似于以 f( x)为底半径,以 d x 为高的扁圆柱体的体积,从而得体积微元为
d V =π[ f( x)]2d x.
图 6.15
·971·
② 以π[ f( x)]2d x 为被积表达式,在区间[ a, b]上作定积分,就是所求的旋转体的体积
V =π∫b
a[ f( x)]
2d x.
类似地,由连续曲线 x = φ( y),直线 y = c, y = d(c < d)及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋
转一周所成的旋转体的体积为
V =π∫d
c[φ( y)]
2d y.
例 4 求椭圆x2
a2 +
y2
b2 = 1 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积(如图 6.16 所
示).
图 6.16
解 这个旋转体可以看作上半椭圆
y =ba
a2- x
2.
与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体.
取 x 为积分变量,它的变化区间为[ - a, a],体积微元是
d V =πba
a2- x
22
d x.
于是旋转体(椭球体)的体积为
V {=π∫a
- a
ba
a2- x
22
d x =πb
2
a2∫
a
- a( a
2- x
2)d x
=2πb
2
a2∫
a
0( a
2- x
2)d x =
2πb2
a2 a
2x -
x3
3
a
0=
43πab
2.
例 5 求圆 x2+ y
2= a
2与抛物线 y
2= 2 ax( a > 0)围成的图形( x≥0 部分)绕 x 轴旋转一
周所成的旋转体体积(图 6.17 所示).
解 圆 x2+ y
2= a
2与抛物线 y
2= 2 ax 的交点为(( 2 - 1) a, 8 - 2 a),(( 2 - 1) a,
- 8 - 2 a).
取 x 为积分变量,它的变化区间是[0, a],在[0,( 2 - 1) a]上,体积微元是π2 axd x 在[( 2
- 1) a, a]上,体积微元是π( a2- x
2)d x.于是所求的体积为
V �= V 1 + V 2
=π∫( 2 - 1) a
02 axd x +π∫
a
( 2 - 1) a( a
2- x
2)d x
= 2 aπ·x2
2
( 2 - 1 ) a
0+π a
2x -
x3
3
a
( 2 - 1 ) a
=7 - 4 2
3πa
3.
(2) 平行截面面积为已知的立体的体积
设有一立体介于过点 x = a, x = b( a < b)且垂直于 x 轴的两平面之间(如图 6.18 所示),以
A( x)表示过点 x 且垂直于 x 轴的平面截它所得的截面面积,又知 A( x)为 x 的连续函数,求此
立体的体积.
·081·
图 6 �.17 图 6 v.18
用微元法分析.
取 x 为积分变量,它的变化区间为[ a, b].
① 在区间[ a, b]上任取一小区间[ x, x + d x],设与此小区间相对应的那部分立体的体积为
ΔV,则ΔV 近似于以 A( x)为底,以 d x 为高的扁柱体的体积,从而得到体积微元为
d V = A( x)d x.
② 以 A( x)d x 为被积表达式,在区间[ a, b]上作定积分,就是所求的立体的体积,即
V =∫b
aA( x)d x.
类似地,设有一立体介于过点 y = c, y = d( c < d)且垂直于 y轴的两平面之间,以 A( y)表
示过点 y 且垂直于 y轴的平面截它所得截面面积.又知 A( y)为 y 的连续函数,则此立体的体积
为
V =∫d
cA( y)dy.
3. 平面曲线的弧长
设平面曲线弧 A B的直角坐标方程为
y = f( x) ( a≤ x≤ b).
图 6.19
其中 f( x)在区间[ a, b]上的一阶导数连续,如何求这曲线弧 A B
(如图 6.19 所示)的弧长 ?
用微元法分析.
由§4.7 可知弧长微元为
ds = 1 + y′2d x.
于是曲线弧 A B的弧长为
s=∫b
a1 + y′
2d x.
若平面曲线弧 A B由参数方程
x = φ(t),
y = ψ( t), (α≤t≤β)
给出,其中 φ(t),ψ(t)在区间[α,β]上具有一阶连续导数,在区间[α,β]上任一小区间[t, t +
Δt],对应的弧长微元为
·181·
ds �= (d x)2+ (d y)
2= φ′
2(t)(dt)
2+ ψ′
2(t)(dt)
2
= φ′2(t) + ψ′
2(t)dt,
所以所求的平面曲线弧 A B的弧长为
s =∫β
αφ′
2(t) + ψ′
2(t)dt.
例 6 求曲线 y = x32 在 x 从 0 到 4 之间的一段弧的长度.
解析 取 x 为积分变量,它的变化区间为[0,4],在其上任取一小区间[ x, x + d x],则弧长
微元为
ds = 1 + y′2d x = 1 +
32x
12
2
d x = 1 +94
xd x.
因此所求的弧长为
s �=∫4
01 + y′
2d x =∫
4
01 +
94xd x (用凑微分法)
=49∫
4
01 +
94
x
12
d 1 +94
x =49
23
1 +94
x
32
4
0
=827
(10 10 - 1).
二、定积分的物理应用
由§6.1 可知,如果质点在外力 F( x)的作用下,沿 x 轴由点 a 移到点 b,变力 F( x)对质点
所作的功 W 为:
W =∫b
aF( x)d x.
例 7 一物体作直线运动的运动方程为 x = t3,其中 x 是位移, t是时间,已知运动过程中介
质的阻力与运动速度成正比,求物体从 x = 0 移动到 x = 8 时,克服阻力所作的功.
解 质点的运动速度 v 为
v =d xdt
= 3t2.
依题意,介质阻力 F = 3 kt2,其中 k为比例系数.
取 x 为积分变量,它的变化区间为[0,8],功的微元为
d W = F( x)d x = 3 kt2d x = 3 kt
2·3t
2dt = 9 kt
4dt.
于是克服阻力作的功为
W =∫2
0F( x) d x = 9 k∫
2
0t4dt =
9 k5
t5
2
0=288 k
5.
三、定积分在经济中的应用
设 y = f( x)是经济量的函数(如需求函数、生产函数、成本函数,总收益函数等),则导数 f′( x)称为 f( x)的
·281·
边际函数或变化率.在经济管理中,可以利用积分法,根据边际函数求出总函数(即原函数)或总函数在区间
[a, b]上的改变量.
1. 若已知某产品总产量 Q 的变化率为d Qdt
= f( t),则从时间 t = a 到 t= b( a < b)时该产品的总产量为 Q
=∫b
af( t)d t.
2. 设某产品的产量为 Q,若已知此产品成本对产量的变化率为 f( Q ),则产量从 a 到 b时的总成本为 C
=∫b
af( Q )d Q.
3. 若某商品收益的变化率为 f( Q )已知时,则销售 N 个单位商品的总收益为 R =∫N
0f( Q )d Q.
例 8 设某产品生产 Q 个单位,总收益 R 的变化率为 f( Q ) = 20 -Q10
( Q≥0).
(1) 求生产 40 个单位产品时的总收益,
(2) 求从生产 40 个单位到 60 个单位产品时的总收益.
解 (1) 生产 40 个单位产品时总收益为
R =∫40
020 -
Q10
d Q = 20 Q -Q 2
20
40
0= 720(单位).
(2) 从产量 Q = 40 增加到 60 时的总收益为
R =∫60
4020 -
Q10
d Q = 20 Q -Q 2
20
60
40= 300(单位).
习题 6.6
1. 求下列各题中平面图形的面积:
(1) 抛物线 y = x与直线 y = x 所围的图形.
(2) 曲线 y =1x及直线 y = x, x = e 所围的图形.
(3) 抛物线 y = x2 , y = 2 x2 与直线 y = 1 所围的图形.
(4) 曲线 y = sin x 与 y = cos x 所围的介于 x = 0 与 x = 2π的图形.
(5) 曲线 y =14
x2及 y =
8x2 + 4
所围的图形.
2. 求抛物线 y2 = 2 px 及其在点p2, p 处的法线所围的图形的面积.
3. 求由曲线 y= x2 与 y = 1 所围的平面图形绕 y轴旋转一周而成的旋转体的体积.
4. 求椭圆x2
22 +y2
32 = 1 分别绕 x 轴、y轴旋转一周而成的旋转椭球体的体积.
5. 曲线 xy = 1 和直线 y = 4 x, x = 2, y = 0 所围的图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
复 习 题 六
一、选择题
1.dd x∫
b
aarctan xd x = ( ).
·381·
A. arctan x; �B.1
1 + x2 ;
C. arctan b - arctan a; D. 0.
2. 设函数 f( x) =∫x
0( t - 1)( t + 2)dt,则 f′( - 2) = ( ).
A. 0; B.1;
C. 2; D. - 1.
3. 若∫x
0f( t)d t = e2 x ,则 f( x)等于( ).
A. 2e2 x ; B. e2 x ;
C. 2 xe2 x ; D. 2 xe2 x - 1 .
4.∫e
1
ln xx
d x 等于( ).
A.12; B.
e2
2-
12;
C.12e
2 -12; D. - 1.
5.∫a
0f( x)d x = ( ).
A.∫a2
0[ f( x) + f( x - a)]d x; B.∫
a2
0[ f( x) + f( a - x)]d x;
C.∫a2
0[ f( x) - f( a - x)]d x; D.∫
a2
0[ f( x) - f( x - a)]d x.
6. 若∫1
0(2 x + k)d x = 2,则 k = ( ).
A. 0; B. 1;
C. 2; D. - 1.
7. 若∫1
0e x f(ex )d x =∫
b
af( u)d u,则( ).
A. a = 0, b = 1; B. a = 0, b = e;
C. a = 1, b = 10; D. a = 1, b = e.
8. 设函数 Φ( x) =∫x2
0te
- td t,则 Φ′( x) = ( ).
A. xe- x ; B. - xe - x ;
C. 2 x3 e- x2
; D. - 2 x3 e - x2
.
9. 下列广义积分中收敛的是( ).
A.∫+ ∞
e
ln xx
d x; B.∫+∞
e
1xln x
d x;
C.∫+ ∞
e
1x(ln x)2 d x; D.∫
+∞
e
1x
3ln x
d x.
10. 当( )时,广义积分∫1
a
1xαd x 收敛.
A. a = 0,α= 1; B. a = 0,α=12;
C. a = 0,α= 2; D. a = - 1,α= 2.
·481·
二、填空题
1. 函数 y =1
3x在区间[1,8]上的平均值为 .
2.∫a
x2 f( t)dt
′= . 3.∫
x
0(et
2
)′dt = .
4. limx→0
∫x
0cos2 t dt
x= . 5.∫
a
0x2d x = 9,则 a = .
6. 设 f( x) =x, x≥0
1, x < 0,则∫
2
-1f( x)d x = . 7.∫
π2
-π2
sin x2 + cos x
d x = .
8. 已知 f(0) = 2, f(2) = 3, f′(2) = 4,则∫2
0xf″( x)d x = .
9. 广义积分∫+∞
-∞
A1 + x
2 d x = 1,则 A = . 10.∫π2
4
0cos xd x = .
三、解答题
1. 计算下列定积分:
(1)∫4
0
1
1 + xd x. �(2)∫
6
3
x9 - x
d x.
(3)∫ln 2
0ex- 1d x. (4)∫
e
1e
|ln x|d x.
2. 求函数 Φ( x) =∫x
0te
- t2
d t的极值点.
3. 证明:若在区间[0, + ∞)上有连续函数 f( x) > 0,则当 x > 0 时,φ( x) =∫
x
0t f( t) dt
∫x
0f( t)dt
为单调增加函数.
4. 设函数
f( x) =x + 1, | x|≤1,
11 + x2 , 1 < | x|≤ 3.
计算∫3
- 3f( x)d x.
5. 求由曲线 y= x3 及 y = x所围图形的面积.
6. 求由抛物线 y = x2及 x = y
2所围图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
·581·
第七章 空间解析几何与向量代数
解析几何是用代数方法研究几何图形的学科.若仅限于研究平面上的几何图形,则称为平面
解析几何;若仅限于研究三维空间的几何图形,则称为空间解析几何.
解析几何的实质是建立点与实数对间的关系,把代数方程与曲线、曲面对应起来,从而能用
代数方法研究几何图形.
借助于解析几何,几何概念可以用代数表示,几何目标可以通过代数达到.反过来,借助于解
析几何能给代数语言以几何解释,使人们能直观地掌握代数语言的意义,并启发人们提出新的结
论.这两方面构成了解析几何的基本问题.也可以更明确地说,解析几何的基本问题为:
(1) 已知点的几何轨迹,如何建立它的代数方程 ?
(2) 已给代数方程,如何确定它的几何轨迹 ?
§7.1 空间直角坐标系
由平面解析几何学可知,笛卡儿(Descartes)▲试图建立起一种通用的数学,使算术、代数和
几何统一起来.他给出平面上点与实数对( x, y)间的关系,进而将方程与曲线对应起来,将“形”
与“数”统一起来.这种能用代数方法研究几何图形的理论是以坐标法为基础的.同样,空间的
“形”与“数”联系的媒介是空间直角坐标系.
▲ 关于笛卡儿的简介,请见书末的附录一.
一、空间直角坐标系
下面先来介绍空间直角坐标系.
所谓空间直角坐标系是指:给定一点 O,过该点引出过这点三条互相垂直的数轴 Ox, Oy,
图 7.1
Oz(它们通常具有相同的长度单位).常称 O 为坐标原点;分
别称 O x, Oy, Oz 三个轴为 x 轴(或横轴), y 轴(或纵轴), z
轴(或竖轴).常记这个坐标系为 O xyz.
如果将一只手的大拇指、食指、中指表为两两垂直的形态,
令它们依次表示 Ox, Oy, Oz 轴.若用的是右手,则称所表示的
这个坐标系 Oxyz为右手系,否则称为左手系.今后若不加声明,
所给坐标系皆为右手坐标系.通常右手坐标系如图 7.1 所示.
·681·
三个坐标轴 O x, Oy, Oz 两两决定三个互相垂直平面,统称之为坐标平面,由 O x, Oy 轴组
成的坐标平面记为 Oxy.由 Ox, Oz 轴组成的坐标平面记为 Ozx.由 Oy, Oz 轴组成的平面记为
Oyz.
设 M 为空间一点,过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴,与 x 轴、y轴、z轴的交
点依次为 A, B, C.设 O A = x, O B = y, O C = z,则点 M 惟一决定了一组有序的三个数 x, y, z.
反过来,在三个坐标轴上依次给定三个点 A, B, C,且 O A = x, O B = y, O C = z,分别过点 A, B,
C 作三个平面依次垂直于 O x 轴, Oy 轴, Oz 轴,则这三个平面相交于一点,即一组有序的三个
数 x, y, z 惟一决定了空间一点.于是空间的点 M 与一组有序的三个数 x, y, z 建立了一一对应
关系.常称这组数 x, y, z 为点 M 的坐标,并称 x 为 M 的横坐标, y 为 M 的纵坐标, z 为 M 的竖
坐标,常记为 M ( x, y, z).如图 7.2 所示.
图 7 H.2 图 7 C.3
三个坐标平面将空间分为八个部分,称其每个部分为卦限,这八个卦限用下述方法规定其顺
序,如图 7.3 所示:
第一卦限 x > 0, y > 0, z > 0;
第二卦限 x < 0, y > 0, z > 0;
第三卦限 x < 0, y < 0, z > 0;
第四卦限 x > 0, y < 0, z > 0;
第五卦限 x > 0, y > 0, z < 0;
第六卦限 x < 0, y > 0, z < 0;
第七卦限 x < 0, y < 0, z < 0;
第八卦限 x > 0, y < 0, z < 0.
有必要指出,位于坐标平面或坐标轴上的点,我们约定它不属于任何卦限.这些点的坐标有
以下特性:
原点的三个坐标都是 0,即坐标为(0,0,0).
在 x 轴上点的坐标为( x,0,0).
在 y 轴上点的坐标为(0, y,0).
在 z 轴上点的坐标为(0,0, z).
·781·
在 O xy 平面上的点的坐标为( x, y,0).
在 Oyz 平面上的点的坐标为(0, y, z).
在 Ozx 平面上的点的坐标为( x,0, z).
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点.过点 M 1 , M 2 各作三个分别垂直于三条坐
图 7.4
标轴的平面,这六个平面围成一个以 M 1 M 2 为对角线的长
方体,如图 7.4 所示.由勾股定理可得
| M 1 M 2 |2= | M 1 P|
2+ | M 1 Q|
2+ | M 1 R|
2.
| M 1 M 2 |2= | M 1 N|
2+ | N M 2 |
2
注意到
| M 1 P| = | P1 P2 | = | x2 - x1 |,
| M 1 Q| = | Q 1 Q 2 | = | y2 - y1 |,
| M 1 R| = | R1 R2 | = | z2 - z1 |,
可知
| M 1 M 2 |2= ( x2 - x1 )
2+ ( y2 - y1 )
2+ ( z2 - z1 )
2,
因而
| M 1 M 2 | = ( x2 - x1 )2+ ( y2 - y1 )
2+ ( z2 - z1 )
2. (1)
上式(1)又称为 M 1 , M 2 两点间的距离公式.
例 1 已知两点 M 1 ( - 1,0,2), M 2 (0,3, - 1),求此两点间的距离.
解 由空间两点间的距离公式(1),有
| M 1 M 2 | = ( x2 - x1 )2+ ( y2 - y1 )
2+ ( z2 - z1 )
2
= [0 - ( - 1)]2+ (3 - 0)
2+ ( - 1 - 2)
2= 19.
例 2 在 y 轴上求一点 M ,使其到两点 M 1 (2,0, - 1)与 M 2 (1, - 1,3)的距离相等.
解 由于点 M 在 y 轴上,可设其坐标为(0, y,0),由题意有
| M M 1 | = | M M 2 |,
即 (0 - 2)2+ ( y - 0)
2+ (0 + 1)
2= (0 - 1)
2+ (y + 1)
2+ (0 - 3)
2.
解此方程得 y = - 3.因此所求点为 M (0, - 3,0).
例 3 试判定以 A(4,1,9), B(10, - 1,6), C(2,4,3) 为顶点的三角形 A B C 的几何特性.
解 由空间两点间距离公式(1)有
| A B|2= (10 - 4)
2+ ( - 1 - 1)
2+ (6 - 9)
2= 49,
| A C|2= (2 - 4)
2+ (4 - 1)
2+ (3 - 9)
2= 49,
| B C|2= (2 - 10)
2+ [4 - ( - 1)]
2+ (3 - 6)
2= 98.
由于| AB|2= | A C |
2,可知 A B = A C,因而△ A BC 为等腰三角形.又由于| B C|
2= | A B|
2+
| A C|2,可知△ A B C 为直角三角形.
·881·
故知△ A B C 为等腰直角三角形.
习题 7.1
1. 指出下列各点在空间中的哪一个卦限 ?
(1) ( - 1,3,2); (2) (3,3, - 1); (3) ( - 5, - 2, - 2); (4) ( - 5,1, - 1).
2. 若空间点 M ( x, y, z)的坐标满足条件: xyz < 0,问 M 点可能在空间中的哪几个卦限 ?
3. 求点 M( a, b, c)分别关于(1) Ozx 面,(2) x 轴,(3) 原点对称点的坐标.
4. 设 A( - 3, x,2)与 B(1, - 2,4)两点间的距离为 29,试求 x.
5. 证明: A( - 3,2, - 7), B(2,2, - 3), C( - 3,6, - 2)是一个等腰三角形的三个顶点.
6. 证明: A(1,2,3), B(3,1,5), C(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点.
§7.2 向量的概念与线性运算
一、向量的概念
向量是用代数方法研究几何图形的基本工具.在力学、物理学等问题中所遇到的量,可以分
为两大类:其中一类在取定一个单位以后完全可以用数值来决定,比如质量、温度、时间、面积、体
积等,常称这种量为数量.另一类量不仅有大小,而且有方向,比如力、速度、加速度等等,常称这
类量为向量.
可以把向量用具有一定长度和方向的线段来表示.这种有确定长度和确定方向的线段常称
为有向线段.称这个确定的长度为向量的大小,向量的大小又称为向量的模;称这个确定的方向
为向量的方向.
模为 1 的向量称为单位向量.
特别定义模为零的向量为零向量,记为 0.零向量的方向可以看作是任意的.
若 A 为向量的始点, B 为终点,常记为 A B →.通常也用小写黑体字母 a, b 等表示向量.
若向量 a, b 的模相等,且它们的方向也相同,则称向量 a 与 b相等,记为 a = b.
与向量 a的模相等,而方向相反的向量,称为 a 的负向量,记为 - a.
由向量相等的定义可以看出,它有两个要素:两个向量的模相等,方向相同(与向量的始点与
终点无关 !).通常称与始点及终点无关的向量为自由向量.下面所研究的向量除特殊声明外,概
指自由向量.
仿照力、加速度的合成法则,可以定义向量的线性运算.
二、向量的加法
由物理学可以知道:如果有两个力 F1 与 F2 作用在某物的同一点上,则合力 F 的方向是如
·981·
图 7.5 所示的以 F1 , F2 为邻边的平行四边形的对角线的方向. F 的大小为该对角线之长.
仿此可以定义向量的加法.设 a, b 为不位于同一条直线上的两个向量.将它们的始点移到
同一点 O,并记 a = O A →, b = O B →.以 O A →, O B →为邻边作平行四边形 O A C B,如图 7.6(a)所示.则称
O C →= c 为 a 与 b 的和向量.记为 c = a + b.
图 7 �.5 图 7 .6
上述用平行四边形对角线确定两个向量和的方法,常称为向量加法的平行四边形法则.
注意图 7.6(a)中 A C →= b,可以简化向量的求和:自 a 的终点 A,作 A C →= b,连接 O C,则向量
O C →即为 a 与 b的和向量.如图 7.6(b)所示.这种求和常称为向量加法的三角形法则.
向量加法的三角形法则可以推广到任意有限多个向量之和的问题中去.若给定了向量 a, b,
⋯, d, e,则从任一点 O 引出向量 a,然后从 a的终点引出 b,⋯,从 d 的终点引出 e.则以点 O 为
图 7.7
始点,以上述向量折线中 e的终点为终点的向量记为 s,则 s为上述向量 a, b,
⋯, d, e之和,记为
s = a + b + ⋯ + d + e,
如图 7.7 所示.
若 a, b 方向相同或相反时,可称 a 与 b 平行.此时 a, b 之和可依三角形
法则确定.即当 a与 b 方向相同时,定义其和向量与这两个向量方向相同,其
模为这两个向量模的和.当 a 与 b 方向相反时,定义其和向量的方向与 a, b
中模较大的向量的方向相同,而和向量的模等于 a, b 中较大的模与较小的模
之差.
三、向量的减法
定义 a - b = a + ( - b).利用上面求向量和的平行四边形法则可以求出 a - b.如图 7.8 所
示.作出 a, - b 为邻边的平行四边形 O A C′B′,其对角线 O C′ →即为所求,注意 O C′ →= B A →,为简化
图 7.8
运算,可以定义为:
将 a与 b的始点移到点 O,记 O A →= a, O B →= b.则由 O B →的终
点 B 到 O A →的终点 A 的向量B A →即为 a - b,称之为 a 与 b之差.
上述简化运算求向量之差的方法常称为向量减法的三角形
法则.
·091·
四、向量与数的乘法
若给定向量 a和数量λ,则定义 λa(或 aλ)为向量与数的乘积,它表示一个向量:
(1) λa 的模等于 a的模的|λ|倍(|λ|为λ的绝对值);常记| a|为 a 的模,因此有|λa| = |λ|
| a|.注意|λ|表示数λ的绝对值,| a|表示向量 a 的模.
(2) 当 λ> 0 时,λa 与 a 方向相同.
当λ< 0 时,λa 与 a 方向相反.
特别,当 λ=1
| a|时,则 λa =
1
| a|a 为与 a 同方向的单位向量.常记为 ea =
1
| a|a.
可以验证 W
(λ+ μ) a = λa + μa,
λ(μa) = (λμ) a,
λ( a + b) = λa + λb.
习题 7.2
1. 设 u = a + b, v = a - b, w = - a.求 u + v + w.
2. 设 A 1 A2 A3 A 4 A5 A 6 是一个正六边形,并设 u = A1 A 2 →, v = A 1 A6 →
,试用 u, v 表出 A1 A 2 →, A2 A3 →
, A 3 A4 →,
⋯, A6 A1 →.
3. 根据向量加法的平行四边形法则说明| a + b|≤| a| + | b|,并指出等号何时成立.
4. 设 u= - a + 3 b - 2 c, v = 2 a - b + c,试用向量 a,b, c表示 2u - 3 v .
5. 已知△ AB C 两边的向量A B →和 AC →, D 是 BC 边上的中点,试用 AB →和A C →表示中线向量A D →.
图 7.9
§7.3 向量的代数表示
一、向量的坐标表示式
为了能将向量作为研究几何图形的工具,需要将向量运算用代
数表示.因此先建立空间直角坐标系,若将向量的始点移到坐标原
点 O,则这个向量完全由其终点所确定.反过来,任给空间一点 M ,
总可以惟一确定一个向量 O M →,因此可以说,空间的点与始点在原
点的向量有一一对应关系.设点 M 的坐标为( x, y, z),即
O A = x, O B = y, O C = z,
如图 7.9 所示.
由向量的加法法则可知
·191·
O M →<= O A →+ A P →+ P M →= O A →+ O B →+ O C →.
如果在 x 轴、y 轴、z轴上分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向量,并依次记为 i,j, k,称
其为基本单位向量.由向量的数与向量乘法运算可知
O A →= xi, O B →= yj, O C →= zk.
称它们为向量 O M →在三个坐标轴上的分向量.可以记为
O M →= xi + yj + zk. (1)
常称(1)式为向量 O M →的坐标表示式或向量在坐标轴上的分解.为了方便,也常记为
O M →= ( x, y, z). (2)
二、向量在轴上的投影
若给定一轴 u 及轴外一点 A.过点 A 引出与轴 u 垂直的平面π,设轴 u 与平面π的交点为
A′,如图 7.10 所示,则称 A′为点 A 在轴 u 上的投影.
图 7 0.10 图 7 �.11
若给定向量 A B →及轴 u,设 A′, B′分别为点 A, B 在轴 u 上的投影,则称 A′B′为向量A B →在轴
u 上的投影,如图 7.11 所示,常记作
Prju A B →= A′B′.
若轴 u1 与 u2 相交于点 O,将其中任一轴绕点 O 在两轴所决定的平面上旋转,使其正向与
另一轴正向重合所确定的角度,定义为这两轴的夹角.由于旋转方向有逆时针与顺时针两种可
能,因此夹角可有两个.通常规定二轴间夹角限定在 0 与π之间,且不分轴的顺序.
若轴 u1 与 u2 不相交,可在空间任取一点 O,自点 O 引出分别与轴 u1 , u2 有相同方向
的轴 u′1 与 u′2 .定义 u′1 与 u′2 之间的夹角为 u1 与 u2 的夹角.
若给定空间轴 u 与向量 a,则任意引出一轴 u′,使其方向与 a 的方向相同,则定义轴 u 与 u′
间的夹角为向量 a与轴 u 间的夹角.
相仿,给定两个向量 a, b.任意引出两轴 u1 , u2 ,使它们的方向分别与 a, b 的方向相同,则
定义 u1 与 u2 间的夹角即为向量 a 与 b间的夹角,常记为( a, b).
向量在轴上的投影有以下性质:
性质 1 Prju A B →= | A B →|cos φ,其中 φ为轴 u 与A B →间的夹角.
性质 2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于各向量在该轴上投影之和.即
Prju ( a + b + ⋯ + e) = Prju a + Prju b + ⋯ + Prjue.
·291·
三、向量线性运算的代数表示
由上述两段可知,若向量 O M →= ( x, y, z),则可知向量 O M →在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次
为 x, y, z.因此又称向量 O M →在三条坐标轴上的投影 x, y, z 为向量O M →的坐标.
利用向量的坐标及投影的性质,可以将向量的线性运算代数化.
设 a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ),即
a = x1 i + y1 j + z1 k,
b = x2 i+ y2 j + z2 k,
则
a + b = ( x1 + x2 )i + ( y1 + y2 ) j + ( z1 + z2 ) k, (3)
a - b = ( x1 - x2 )i + ( y1 - y2 ) j + ( z1 - z2 ) k, (4)
λa = λx1 i + λy1 j + λz1 k. (5)
例 1 已知 a = i- j + 2 k, b = 3i + j - k,求 2 a + 3 b,2 a - 3 b,并求 2 a - 3 b 在 x 轴上的投
影及分向量.
解 由于 a = i- j + 2 k, b = 3 i+ j - k,可知
2 a = 2i- 2 j + 4 k,3 b = 9i+ 3j - 3 k,
2 a + 3 b = (2 + 9)i + ( - 2 + 3)j + (4 - 3) k = 11 i+ j + k,
2 a - 3 b = (2 - 9)i + ( - 2 - 3) j+ [4 - ( - 3)] k = - 7i- 5j + 7 k.
可知 2 a - 3 b 在 x 轴上的投影为 - 7,分向量为 - 7i.
四、向量的模与方向余弦的代数表示
由§7.1 可知若点 M 的坐标为( x, y, z),则| O M →| = x2+ y
2+ z
2,因而可知
| O M →| = x2+ y
2+ z
2.
即向量 O M →的模等于其坐标平方和的算术平方根.
描述向量的方向,常用该向量与各坐标轴之间的夹角的余弦来表示.设向量 O M →与 x 轴、y
轴、z 轴的正向间夹角分别为α,β,γ.则由几何知识可知(如图 7.9 所示) �
O A = | O M |cos α, O B = | O M |cosβ,
O C = | O M |cos γ,
即 cosα=O A
| O M |, cos β=
O B| O M |
, cos γ=O C
| O M |.
常称 cos α,cosβ,cos γ为该向量的方向余弦.
如果用向量 O M →的坐标表示,可得
cos α=x
x2+ y
2+ z
2,
cos β=y
x2+ y
2+ z
2,
·391·
cos γ=z
x2+ y
2+ z
2,
因此可得知
cos2α+ cos
2β+ cos
2γ= 1. (6)
常称与方向余弦成比例的一组实数 m, n, p 为方向数,即若
mcos α
=n
cos β=
pcos γ
,
则称 m, n, p 为方向数.
由单位向量的定义可知(cos α,cos β,cos γ)为与 O M →同方向的单位向量.
例 2 已知向量 a 与 x 轴, y 轴间的夹角分别为α= 60°, β= 120°,求该向量 a 与 z 轴间的夹
角 γ.
解 由方向余弦间的关系(6)
cos2α+ cos
2β+ cos
2γ= 1,
及α= 60°,β= 120°,从而 cosα= cos 60°=12,cos
2α=
14; cosβ= cos 120°= -
12,cos
2β=
14.因此
cos2γ= 1 - cos
2α- cos
2β= 1 -
14
-14
=12,
cos γ= ±22,
可得 γ= 45°或 135°.
例 3 已知点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ),求 A, B 联线的中点 M 的坐标.
解 设 A, B 联线中点 M 的坐标为( x, y, z).由题设可知 A M →= M B →.且
A M →= ( x - x1 , y - y1 , z - z1 ),
M B →= ( x2 - x, y2 - y, z2 - z),
因此 x - x1 = x2 - x,
y - y1 = y2 - y,
z - z1 = z2 - z.
可解得
x =x1 + x2
2, y =
y1 + y22
, z =z1 + z2
2. (7)
常称上式(7)为中点公式.
例 4 设 a = (1,2, - 3),求与 a 平行的单位向量.
解 由于向量 a的模
| a| = 12+ 2
2+ ( - 3)
2= 14,
可知与 a平行的单位向量为
±1
14(1,2, - 3).
·491·
习题 7.3
1. 设向量 a的模是 5,它与 x轴的夹角为π4,求向量 a在 x轴上的投影.
2. 一向量的终点在点 B(2, - 1,7),它在 x轴、y轴和 z轴上的投影依次为 4, - 4,7.求该向量的起点 A 的
坐标.
3. 已知空间中的三点 A(0, - 1,2), B( - 1,3,5), C(3, - 1, - 2),计算 2 A B →- 3 A C →, A B →+ 4 A C →.
4. 设 a = (2,0, - 1), b = (1, - 2, - 2),试求 a - b,2 a + 5 b,3 a + b.
5. 设 a = (2, - 2,1),试求与 a 同方向的单位向量 ea .
6. 已知 a = 3 i + 5 j + 2 k, b = 2 i - 4 j - 7 k, c = 5 i + j - 4 k, u = 4 a + 3 b - c.试求(1) u 在 y 轴上的投影;(2)
u 在 x 轴和 z轴上的分向量;(3) | u|.
§7.4 向量的数量积与向量积
一、两向量的向量积
引例 外力作功问题
由物理学可以知道,若质点受外力 F 的作用,沿直线移动,得到位移 s.设位移方向与力的方
向间的夹角为( F, s),则这个力所作的功 W 为
W = | F||s|cos( F, s).
依据上述运算,引入向量的一种结构性运算定义.
定义 1 若给定向量 a, b,定义| a|| b|cos( a, b)为向量 a与 b的数量积,常记为 a·b,即
a·b = | a|| b|cos( a, b), (1)
又称之为点积.
由数量积的定义可知:
性质 两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零.
由数量积的定义可以证明:
a·b = b·a,
(λa)·b = a·(λb) =λ( a·b),其中λ为一数量,
( a + b)·c = a·c + b·c.
若 a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ),则向量的数量积可以用向量的坐标来表示:
a·b �= ( x1 i+ y1 j+ z1 k)·( x2 i + y2 j + z2 k)
= ox1 x2 i·i+ x1 y2 i·j + x1 z2 i·k +
y1 x2 j·i+ y1 y2 j·j+ y1 z2 j·k +
z1 x2 k·i + z1 y2 k·j + z1 z2 k·k.
由于 i,j, k 是互相垂直的基本单位向量,因此
·591·
i·j = 0, j·i= 0, i·k = 0,
k·i= 0, j·k = 0, k·j = 0,
i·i= 1, j·j = 1, k·k = 1.
于是可得
a·b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . (2)
由此可以得知两个非零向量 a, b 垂直的充分必要条件的坐标表达式:
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0.
特别地,当 a = b 时,有
a2= a·a = x
2
1 + y2
1 + z2
1 = | a|| a|cos( a, a) = | a|2.
注意到 a·b = | a|| b|cos( a, b),可知当 a, b 都是非零向量时,它们间夹角的方向余弦可以
由坐标表达式表示为
cos( a, b) =a·b
| a|| b|=
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
x21 + y
21 + z
21 x
22 + y
22 + z
22
.
例 1 证明( a + b)·( a - b) = a2- b
2.
证 @( a + b)·( a - b) = a·a - a·b + b·a - b·b
= a2- a·b + a·b - b
2= a
2- b
2.
例 2 已知 a = (3,0, - 1), b = ( - 2, - 1,3),求 a·b,( a, b).
解 由
a·b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ,
可得知 a·b = 3·( - 2) + 0·( - 1) + ( - 1)·3 = - 9.
由于 cos( a, b) =a·b
| a|| b|,且
| a| = x21 + y
21 + z
21 = 3
2+ 0
2+ ( - 1)
2= 10,
| b| = x22 + y
22 + z
22 = ( - 2)
2+ ( - 1)
2+ 3
2= 14,
因此
cos( a, b) =- 9
10 14=
- 9 3570
,
故 ( a, b) = arccos- 9 35
70.
例 3 设 a = ( - 1,1,2), b = (2,0,1),则向量 a 与 b的夹角为
A. 0; B.π6; C.
π4; D.
π2.
解 由于 cos( a, b) =a·b
| a|| b|,且
a = ( - 1,1,2), b = (2,0,1).
可得 | a| = 6,| b| = 5,
a·b = - 1×2 + 1×0 + 2×1 = 0,
·691·
从而 cos( a, b) = 0,故应选 D.
例 4 设 a = 2i + xj - k, b = 3i - j+ 2 k,且 a⊥ b,求 x.
解 由于 a⊥ b,可知必有
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0,
即 2·3 + x·( - 1) + ( - 1)·2 = 0.
整理可得方程 - x + 4 = 0,解方程得
x = 4.
二、两向量的向量积
引例 当用扳手拧螺母时,若扳手沿逆时针方向转动,则其螺母朝外移动.若扳手沿顺时针
方向转动,则螺母朝里移动,而其移动的距离,取决于所施外力及扳手的臂的长短.其移动的方向
垂直于外力方向与扳手的臂所决定的平面.从力学上看螺母移动取决于力矩 M ,而力矩又取决
于力臂 L 和力 F.且
| M | = | L|| F|sin( L, F).
为此引入向量的向量积的定义.
定义 2 由向量 a, b 可以作出向量 c,使 c满足下列三个条件:
(1) | c| = | a|| b|sin( a, b);
(2) c⊥ a, c⊥b;
(3) a, b, c 成右手系.
则称 c为 a, b 的向量积,常记为 c = a× b.通常也称 c为 a, b 的叉积.
对于 O A →, O B →的向量积 O C →也可以给以几何解释: O C →的模在数值上等于以 O A →, O B →为两邻边
图 7.12
的平行四边形的面积,而 O C →垂直于 O A →, O B →所决定的平面,且 O A →,
O B →, O C →成右手系.如图 7.12 所示.
由两向量的向量积定义可以得知:
性质 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的向量积为零.
由向量积的定义可以证明: >
b× a = - ( a× b),
(λa)×b = λ( a× b),
a×(λb) = λ( a× b),
( a + b)×c = a×c + b× c.
若 a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ),可以导出 a×b 的坐标表达式.
a× b �= ( x1 i+ y1 j+ z1 k)×( x2 i+ y2 j+ z2 k)
= x1 x2 ( i×i) + x1 y2 (i×j) + x1 z2 (i× k) +
y1 x2 (j×i) + y1 y2 (j×j) + y1 z2 ( j× k) +
z1 x2 ( k×i) + z1 y2 ( k×j) + z1 z2 ( k× k).
由于 i,j, k 为互相垂直的基本单位向量,可得知
·791·
�
i×i= 0,j×j = 0, k× k = 0,
i×j = k, j×i= - k, j× k = i,
k×j= - i, k×i = j, i× k = - j.
因此可得
a× b = ( y1 z2 - y2 z1 )i+ ( z1 x2 - z2 x1 )j + ( x1 y2 - x2 y1 ) k.
若利用行列式的形式,上式可以写为形式记法
a× b =
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
. (3)
注意 a× b = 0 意味着:
y1 z2 - y2 z1 = 0, z1 x2 - z2 x1 = 0, x1 y2 - x2 y1 = 0.
当 x2 , y2 , z2 都不为零时,有
x1
x2=y1
y2=
z1z2,
当 x2 , y2 , z2 中有一个为零时,不妨设 x2 = 0,而 y2 , z2 不为零,则约定 x1 = 0,此时上述比例记
法仍可以认为有意义.因此可以说:
若 a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ),则 a∥b 的充分必要条件为
x1
x2=y1
y2=
z1z2. (4)
例 5 设 α= 3i - k,β= 2i - 3j + 2 k,则 α×β= .
解 由向量积的定义可得
α×β L=
i j k
3 0 - 1
2 - 3 2
=0 - 1
- 3 2i -
3 - 1
2 2j+
3 0
2 - 3k
= - 3i- 8j - 9 k.
例 6 设 a = (0,1, - 2), b = (2, - 1,1),求与 a 和 b都垂直的单位向量.
解 令 c = a× b,由向量积的定义可知 c与 a 和 b都垂直.由于
c �=
i j k
0 1 - 2
2 - 1 1
=1 - 2
- 1 1i-
0 - 2
2 1j +
0 1
2 - 1k
= - i- 4j - 2 k.
而与 c同方向的单位向量 ec =c
| c|,
|c| = ( - 1)2+ ( - 4)
2+ ( - 2)
2= 21.
因此 ec =1
21( - i - 4j - 2 k),
所以与 a和 b 都垂直的单位向量为±ec,即
·891·
1
21( - i- 4 j- 2 k)与
1
21(i + 4j + 2 k).
例 7 已知空间中的三点 A(1,1,0), B( - 2,1,3), C(2, - 1,2),求△ AB C 的面积.
解 由向量积的定义可以得到启发,作向量 A B →, A C →,则
A B →= ( - 2 - 1,1 - 1,3 - 0) = ( - 3,0,3),
A C →= (2 - 1, - 1 - 1,2 - 0) = (1, - 2,2).
以 A B →, A C →为邻边的平行四边形的面积值等于| A B →× A C →|.而该平行四边形的面积 = 2 S△ A B C .
由于
AB →× A C →�=
i j k
- 3 0 3
1 - 2 2
=0 3
- 2 2i-
- 3 3
1 2j +
- 3 0
1 - 2k
= 6i + 9j + 6 k,
| A B →× A C →| = 62+ 9
2+ 6
2= 3 17.
因此
S△ A B C =12| A B →× A C →| =
32
17.
习题 7.4
1. (1) 设 a∥ b,求 a·b; (2) 若| a| = | b| = 1,求 a·b.
2. 设| a| = 3,| b| = 5.试确定常数 k,使得 a + kb 与 a - kb 相互垂直.
3. 设向量 a与 b相互垂直,( a, c) =π3, ( b, c) =
π6,且|a| = 1,| b| = 2,| c| = 3,求| a + b + c|.
4. 设 a = i - 3 j + 5 k, b = - 2i - j + 3 k,求 a·b.
5. 设 a = 3 i - 6 j - k, b = i + 4 j - 5 k,求(1) a·a;(2) (3 a + 2 b)·(a - 3 b); (3) a 与 b 的夹角.
6. 设( a, b) =π6,且| a| = 1,| b| = 3.求| a× b|.
7. 已知| a| = 3, | b| = 26, | a× b| = 72,求 a·b.
8. 设 a 与 b 相互垂直,且| a| = 3,| b| = 4.试求:
(1) |( a + b)×( a - b)|; (2) |(3 a - b)×( a - 2 b)|.
9. 设 a + b + c = 0,证明:
a× b = b× c= c× a.
10. 已知 a = 3 i + 2 j - k, b = i - j + 2 k,求:
(1) a×b; (2) ( a + 2 b)×(2 a - 3 b); (3) ( a + b)×i; (4) a×i+ b.
11. 已知△ A BC 的三个顶点坐标分别为 A(0,1, - 1), B(2, - 1, - 4), C(4,1,5),求△ AB C 的面积.
12. 求与向量 a = (2,2,1)和 b = ( - 8, - 10, - 6)都垂直的单位向量.
§7.5 曲面方程与空间曲线方程
回忆平面解析几何可以知道,人们利用坐标系将点与数联系起来,由于点动成线,而点变动
·991·
时,其坐标 x, y 也将随之变动.当点沿一定几何轨迹移动时, x, y 之间将遵循一定规律 F( x, y)
= 0,因此利用坐标系把曲线与方程联系起来.相仿,利用空间直角坐标系可以将空间的点与三维
数组( x, y, z)联系起来,空间点移动时,其点的坐标也遵循一定的规律.因此可以将曲面、空间曲
线与方程联系起来.
一、曲面方程
与平面解析几何中曲线方程的定义相仿,可以定义空间曲面的方程.
定义 1 若曲面上每一点的坐标都满足某方程,而不在这曲面上的点的坐标都不满足这个
方程,则称这个方程是所给曲面的方程.
在这个意义下,三元方程
F( x, y, z) = 0
总表示一张空间曲面.
曲面中也有本章开头提出的解析几何两类问题:
1. 已知一曲面作为点的几何轨迹,建立这曲面的方程.
2. 已知一曲面的方程,研究这曲面的几何形状.
例 1 求与定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )距离等于 R 的几何轨迹的方程.
解 此问题为第一类问题.不妨设 M ( x, y, z)为轨迹上任意一点.由题意可知
| M 0 M | = R,
即 ( x - x0 )2+ ( y - y0 )
2+ ( z - z0 )
2= R.
两端平方得
( x - x0 )2+ ( y - y0 )
2+ ( z - z0 )
2= R
2. (1)
其几何解释为上述方程(1)表示以点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )为中心,以 R 为半径的球面方程.
例 2 研究方程
x2+ y
2+ z
2+ M x + Ny + Sz + Q = 0
所表示的曲面的几何特性.
解 所给问题为第二类基本问题.由例 1 可以得到启发.可以先配方,将所给方程化为方程
(1)的形式:
x2+ M x + y
2+ Ny + z
2+ Sz = - Q,
x +M2
2
+ y +N2
2
+ z +S2
2
=M
2
4+
N2
4+
S2
4- Q.
若14( M
2+ N
2+ S
2) - Q > 0,则记 R
2=
14( M
2+ N
2+ S
2) - Q,则所给方程表示以点
-M2, -
N2, -
S2
为中心,半径为 R 的球面.
若14( M
2+ N
2+ S
2) - Q = 0,则所给方程化为
x +M2
2
+ y +N2
2
+ z +S2
2
= 0.
·002·
这时只能 x =- M2
, y =- N2
, z =- S2
,即所给方程表示一个点- M2
,- N2
,- S2
,可称其为点
球.
若14( M
2+ N
2+ S
2) - Q < 0,则所给方程无图形,可称其为虚球.
上述所给方程中关于 x2, y
2, z
2系数相等;不含混合项 xy, yz, zx.由上述推导可知,凡是具
有上述两个特点的二次方程所表示的曲面必定为球面.
二、曲线方程
一般说来,空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1 ( x, y, z) = 0 和 F2 ( x, y, z) = 0
为空间两曲面的方程.若它们相交得到一条曲线 L,则 L 上任一点的坐标必定满足这两个曲面
的方程.反过来,同时满足这两个曲面方程的点也必定在它们的交线 L 上.因此空间曲线 L 的方
程可以表示为:
F1 ( x, y, z) = 0,
F2 ( x, y, z) = 0,(2)
常称之为曲线的一般式方程.
三、母线平行于坐标轴的柱面方程
研究方程 F( x, y) = 0 所表示的曲面的几何特性.
所给问题为第二类基本问题.
在 O xy 坐标平面上, F( x, y) = 0 表示一条平面曲线 L,在空间直角坐标系中 F( x, y) = 0
表示一张曲面.
在( O xy 平面上)曲线 L 上任取一点 M 0 ( x, y,0),过该点作平行于 z轴的直线.在该直线上
任取一点 M ( x, y, z),则点 M 的坐标必定满足方程 F( x, y) = 0.这表明所给过 M 0 的与 z 轴平
行的直线落在曲面 F( x, y) = 0 上.由于 M 0 的任意性可以理解:将上述平行于 z 轴的直线沿 L
移动,并始终保持该直线与 z轴平行,所得到的曲面上的点,必定满足 F( x, y) = 0.满足这种特
性的曲面,称之为柱面.相应的平面曲线 L 称为准线,平行于 z轴而沿 L 移动的直线称为母线.
特别,如果准线 L 为 Oxy 平面上的二次曲线,则称 F( x, y) = 0 为二次柱面.有时依据准线
特性,称 x2+ y
2= a
2为圆柱面;称
x2
a2 +
y2
b2 = 1 为椭圆柱面;称
x2
a2 -
y2
b2 = 1 为双曲柱面;称 y
2=
2 px 为抛物柱面.如图 7.13 所示.
同理, F( y, z) = 0 表示母线平行于 x 轴的柱面; F( x, z) = 0 表示母线平行于 y 轴的柱面.
四、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面
若给定 Oyz 平面上的一条曲线 L:
·102·
图 7.13
f( y, z) = 0,
x = 0.
将 L 绕 z 轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.称 z 轴为旋转轴.下面来建立所形成的旋转
曲面的方程,如图 7.14 所示.
图 7.14
这类问题为第一类基本问题.
设 M ( x, y, z)为旋转曲面上任意一点,它的原始位置在曲线 L 上的
点 M 0 (0, y0 , z0 ).
当曲线 L 绕 z轴旋转时,点 M 0 也绕 z轴旋转到点 M ,这时 z = z0 保
持不变,且点 M 到 z轴距离恒等于| y0 |.于是点 M 的坐标满足
z = z0 , x2+ y
2= | y0 |. (3)
由于 M 0 (0, y0 , z0 )在 L 上,因此
f( y0 , z0 ) = 0. (4)
将(3)式代入(4),可得点 M 的坐标应满足的方程为
·202·
f(± x2+ y
2, z) = 0. (5)
此式为曲线f( y, z) = 0,
x = 0
绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面方程.
同理,曲线f( y, z) = 0,
x = 0绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 f( y,± z
2+ x
2) = 0.
例 3 求 Oyz 平面上的椭圆:
y2
b2 +
z2
c2 = 1,
x = 0
绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.
解 由旋转曲面公式得
(± x2+ y
2)2
b2 +
z2
c2 = 1,
即
x2+ y
2
b2 +
z2
c2 = 1
为所求旋转曲面.
相仿可求出 Ozx 平面上的曲线绕 z 轴或绕 x 轴旋转一周所形成的旋转曲面.及 O xy 平面
上的曲线绕 x 轴或 y 轴旋转一周所形成的旋转曲面.
习题 7.5
1. 求与点 A(2,1,0)和点 B(1, - 3,6)等距离的点的轨迹方程.
2. 求到 z轴有定距离 a( a > 0)的点的轨迹方程.
3. 求球心在点( - 1, - 2,3),半径为 4 的球面方程.
4. 方程
x2 + y2 + z2 - 4 x - 2 y + 2 z - 19 = 0
是否为球面方程,若是球面方程,求出其球心坐标及半径
5. 将曲线
z2 = 5 x,
y = 0
绕 x 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
6. 将曲线
4 x2 + 9 y2 = 36,
z = 0
绕 y 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
7. 说明下列旋转曲面是怎样形成的:
(1)x2
3+y2
4+z2
3= 10; 9(2) x
2-
y2
4+ z
2= 2;
(3) x2 - y2 - z2 = 1; (4) ( z - a)2 = x2 + y2 .
8. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形.
(1) 3 x2 + 4 y2 = 1; (2)x2
2-
y2
3= 1;
·302·
(3) z2= 4 x; (4) 4 y
2+z2
3= 1.
9. 求母线平行于 x 轴而且通过曲线
2 x2+ y
2+ z
2= 16,
x2+ z
2- y
2= 0
的柱面方程.
§7.6 平面方程
空间曲面的最简单形式是平面,这一节研究平面方程及平面的有关问题.
一、平面的点法式方程
由常识可知,过空间一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )可以作无数多个平面.但是过空间一点 M 0 ( x0 ,
y0 , z0 )且垂直于一个已知向量 n 只能确定一个平面.
若向量 n 垂直于已知平面π,则称向量 n 为平面π的法线向量.
若已知平面 π过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),且以向量 n = ( A, B, C)为法线向量.下面利用向量运
算建立平面 π的方程.
设点 M ( x, y, z)为平面 π上的任意一点,则向量 M 0 M →= ( x - x0 , y - y0 , z - z0 )必定位于
平面 π上.由于向量 n 垂直于平面π,因此 n 必定与平面π上的任一向量垂直.从而有 n⊥
M 0 M →,则
n·M 0 M →= 0.
由两向量数量积的坐标表示法可得
A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 ) = 0. (1)
上述方程(1)即为过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以 n = ( A, B, C)为法线向量的平面方程.常称之为平
面的点法式方程.
例 1 求过点(1,2, - 1)且以 n = (2,1, - 1)为法线向量的平面方程.
解 由平面的点法式方程可知,过点(1,2, - 1),且以 n = (2,1, - 1)为法线向量的平面方程
为
2( x - 1) + ( y - 2) - ( z + 1) = 0.
二、平面的一般式方程
若将平面的点法式方程
A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 ) = 0
变形,并记 D = - Ax0 - By0 - Cz0 ,则可化为方程
·402·
A x + By + Cz + D = 0. (2)
这表明过点 M 0 且垂直于一已知向量的平面总可以表示为 x, y, z 的一次方程.
反过来,对于任给三元一次方程(2),总有解 x0 , y0 , z0 ,即有
A x0 + By0 + Cz0 + D = 0. (3)
式(2)减去式(3),可得
A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 ) = 0.
即表明任何一个三元一次方程总表示平面,因此称式(2)为平面的一般式方程.
例 2 研究平面 A x + By + Cz = 0 的几何特性.
解 注意 Ax + By + Cz = 0 等价于
A( x - 0) + B( y - 0) + C( z - 0) = 0.
这表示所给平面为过原点 O(0,0,0),且以 n = ( A, B, C)为法线向量的平面.
即 Ax + By + Cz = 0 表示过原点的平面.
例 3 研究 A x + By + D = 0,所表示平面的几何特性.
解 所给平面的法线向量 n = ( A, B,0),而 z 轴的方向向量为(0,0,1).由两向量数量积的
坐标表示法可得
( A, B,0)·(0,0,1) = A·0 + B·0 + 0·1 = 0.
可知 n 与 z轴方向垂直.因此平面 Ax + By + D = 0 平行于 z 轴.
特别当 C = D = 0 时,平面 Ax + By = 0 过 z 轴.
同理可知 Ax + Cz + D = 0 和 By + Cz + D = 0 分别表示平行于 y轴和 x 轴的平面.
例 4 研究平面 Cz + D = 0 的几何特性.
解 所给平面的法线向量 n = (0,0, C).易知 n 的方向与 z 轴的方向平行.因此可知 Cz +
D = 0 表示平行于 Oxy 坐标平面的平面.
同理 Ax + D = 0 和 By + D = 0 分别表示平行于 Oyz 坐标面与 Oxz 坐标面的平面.
例 2 至例 4 的分析结论可以作为性质使用.
例 5 求过 x 轴,且过点(1,1, - 1)的平面方程.
解 由例 3 可知,可设过 x 轴的平面方程为
By + Cz = 0.
由于平面过点(1,1, - 1),因此有
B - C = 0,
即 B = C.将其代入所设方程,有
By + Bz = 0,
即 y + z = 0
为所求平面方程.
例 6 已知空间中的点 M 1 (2,0, - 1), M 2 ( - 1, - 1,1), M 3 ( - 3, - 2,1),求过这三点的平
面方程.
解法 1 设 n 为所求平面的法线向量.由于 M 1 , M 2 , M 3 在所求平面上,因此 M 1 M 2 →=
( - 1 - 2, - 1 - 0,1 - ( - 1)) = ( - 3, - 1,2)与 M 1 M 3 →= ( - 3 - 2, - 2 - 0,1 - ( - 1)) = ( - 5, - 2,
·502·
2)在所求平面上.可知 n⊥ M 1 M 2 →,且 n⊥ M 1 M 3 →
.可取
n �= M 1 M 2 →× M 1 M 3 →
=
i j k
- 3 - 1 2
- 5 - 2 2
= 2i - 4j + k.
由平面的点法式方程,可得
2( x - 2) - 4( y - 0) + ( z - ( - 1)) = 0,
即 2( x - 2) - 4 y + ( z + 1) = 0
为所求平面方程.
也可以将上述方程表示为
2 x - 4 y + z - 3 = 0.
有必要指出上述两种表示都正确,前者为平面的点法式方程,后者为平面的一般式方程.
解法 2 可以利用平面的一般式方程,设所求平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0.由于平面过
点 M 1 , M 2 , M 3 .因此这三点的坐标必定满足平面方程,即有
2 A - C + D = 0,
- A - B + C + D = 0,
- 3 A - 2 B + C + D = 0.
解上述联立方程得
A = -23
D, B =43
D, C = -D3,
代入所设平面方程,得
-23
D x +43
Dy -D3z + D = 0,
整理可得
2 x - 4 y + z - 3 = 0.
三、平面的截距式方程
设平面 π过点 M 1 ( a,0,0), M 2 (0, b,0), M 3 (0,0, c)三点,下面研究平面 π的方程(其中 a,
b, c皆不等于 0).
设平面 π的方程为
A x + By + Cz + D = 0.
由于 M 1 ( a,0,0)在平面 π上,因此
Aa + D = 0,
可得 A = -Da.
同理可得 B = -Db, C = -
Dc.将上述 A, B, C 代入所设的平面方程.有
-Dax -
Dby -
Dcz + D = 0,
·602·
整理可得
xa
+yb
+zc
= 1,
即为所求方程.常称之为平面的截距式方程.称 a, b, c 为平面在 x 轴、y轴、z轴上的截距.
例 7 若已知某平面在 x, y, z 轴上的截距分别为 1,2, - 1.求这个平面的方程.
解 由平面的截距式方程,可知所求平面方程为
x1
+y2
-z1
= 1,
即 2 x + y - 2 z - 2 = 0.
由于过不在同一条直线上的三点可以惟一确定一个平面.而截距式方程又给出了平面与三
图 7.15
个坐标轴的交点,因此,为了画出平面图形,常常将平面的一般式
方程化为截距式方程,然后利用平面与三个坐标轴的交点确定该
平面的图形.
例 8 试画出平面 3 x + 2 y + 6 z - 12 = 0 的图形.
解 先将所给平面的一般式方程化为截距式方程:
x4
+y6
+z2
= 1.
可知该平面与 x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为(4,0,0),(0,6,0),
(0,0,2).所求平面即以上述三点为顶点的三角形所在平面.如图
7.15 所示.
四、两平面间的关系
为了描述平面间的关系,先引入两平面夹角的定义.两个平面若相交,则可以得到两个二面
角,这两角中的任何一个都可以认定是这两个平面的夹角.上述两个二面角中有一个等于两平面
法线向量间的夹角.因此定义两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的夹角.
设两平面 π1 ,π2 的方程分别为
A 1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
它们的法线向量分别为 n1 = ( A1 , B1 , C1 ), n2 = ( A2 , B2 , C2 ),设这两个法线向量间的夹角为
φ,则由两向量的夹角余弦公式可知
cos φ=n1·n2
| n1 || n2 |=
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2
A21 + B
21 + C
21 A
22 + B
22 + C
22
,
这也是两平面夹角的余弦公式.
由两平面夹角公式可知,平面 π1 和 π2 垂直的充分必要条件为
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0.
两平面平行的充分必要条件为
A1
A2=
B1
B2=
C1
C2.
·702·
例 9 设平面 π1 ,π2 的方程分别为
2 x - y + z - 7 = 0,
x + y + 2 z - 11 = 0,
求 π1 ,π2 的夹角.
解 π1 ,π2 的法线向量分别为 n1 = (2, - 1,1), n2 = (1,1,2).由两平面间夹角公式有
cos φ �=A1 A2 + B1 B2 + C1 C2
A2
1 + B2
1 + C2
1 A2
2 + B2
2 + C2
2
=2·1 + ( - 1)·1 + 1·2
22+ ( - 1)
2+ 1
212+ 1
2+ 2
2=
12.
故所给两平面的夹角 φ=π3.
例 10 设平面 π过点(1,0, - 1)且与平面 π1 :4 x - y + 2 z - 8 = 0 平行,求平面 π的方程.
解 由题意可知平面 π∥π1 ,因此平面 π的法线向量 n 必定平行于平面π1 的法线向量 n1 .
由于
n1 = (4, - 1,2)
可以取 n = n1 = (4, - 1,2).
由平面的点法式方程可知
4( x - 1) - y + 2( z + 1) = 0
为平面 π的方程.
五、点到平面的距离
设点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )为平面 π: A x + By + Cz + D = 0 外一点.我们来推导点 M 0 到平面 π
的距离.
过点 M 0 向平面 π作垂线,设垂足为 M 1 ( x1 , y1 , z1 ),如图 7.16 所示.则点 M 0 到平面π的
图 7.16
距离 d = | M 0 M 1 |.作向量 M 0 M 1 →,则 M 0 M 1 →
∥ n,其中 n = ( A, B,
C)为平面 π的法线向量.而
M 0 M 1 →= ( x1 - x0 , y1 - y0 , z1 - z0 )
从而有 M 0 M 1 →=λn,即
x1 - x0 = λA, y1 - y0 = λB, z1 - z0 = λC.
x1 = x0 + λA, y1 = y0 + λB, z1 = z0 + λC.
由于 M 1 ( x1 , y1 , z1 )在平面 π上,可知
A( x0 + λA) + B( y0 + λB) + C( z0 + λC) + D = 0,
可解得 λ= -A x0 + By0 + Cz0 + D
A2+ B
2+ C
2 .
由于 | M 0 M 1 →| = d,可知
·802·
d �= | M 0 M 1 →| = |λ|| n| =
| Ax0 + By0 + Cz0 + D|A
2+ B
2+ C
2 A2+ B
2+ C
2
=| Ax0 + By0 + Cz0 + D|
A2+ B
2+ C
2
例 11 求点 M 0 (1,2,1)到平面 π:3 x - 4 y + 5 z + 2 = 0 的距离.
解 由点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )到平面 π: Ax + By + Cz + D = 0 的距离公式可得
d =| A x + By + Cz + D|
A2+ B
2+ C
2=|3·1 - 4·2 + 5·1 + 2|
32+ ( - 4)
2+ 5
2=
2
50=
25.
例 12 平面 �π1 :2 x + 3 y + 4 z + 4 = 0,
π2 :2 x - 3 y + 4 z - 4 = 0,
的位置关系是:
A. 相交且垂直; �B. 相交但不重合,不垂直;
C. 平行但不重合; D. 重合.
解 记 n1 = (2,3,4), n2 = (2, - 3,4)分别为平面 π1 ,π2 的法向量.
易见 n1 , n2 的分量不成比例,因此 n1 与 n2 不平行.又由于
n1·n2 = 2·2 + 3·( - 3) + 4·4 = 11≠0,
可知 n1 与 n2 也不垂直.
由此可知 π1 与 π2 两平面不平行,不重合,不垂直,因此应选 B.
例 13 判定平面 wπ1 : x - y + 2 z = 1,
π2 : - 3 x + 3 y - 6 z = 2,
之间的位置关系,如果平面 π1 与 π2 平行,求这两平面间的距离.
解 记 n1 = (1, - 1,2), n2 = ( - 3,3, - 6)为平面 π1 ,π2 的法线向量.由于
n2 = - 3 n1 ,
可知平面 π1 ∥π2 .
由几何知识可知:两平行平面之间的距离等于其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.
不妨在平面 π1 上取定一点 M 0 ,令 y = 0, z = 0,可得 x = 1,即 M 0 (1,0,0)在平面 π1 上,则
点 M 0 到平面 π2 的距离
d L=| A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 |
A22 + B
22 + C
22
=| - 3·1 + 3·0 - 6·0 - 2|
( - 3)2+ 3
2+ ( - 6)
2
=5
54=5 618
.
因此可知平面 π1 与 π2 间的距离为518
6.
习题 7.6
1. 求过点 P0 (7,2, - 1),且以 n = (2, - 4,3)为法向量的平面方程.
2. 建立下列平面方程:
·902·
(1) 过点 P0 (1,0, - 1),且平行于平面 x - y - 3 z = 5;
(2) 过点 M 0 (1, - 3,2),且垂直于过点 A(2,2, - 1)与 B(3,2,1)的直线;
(3) 过三点 A(3, - 1,2), B(4, - 1, - 1), C(2,0,2);
(4) 过点 P0 (2,1,1)且平行于向量 a = (2,1,1)和 b = (3, - 2,3);
(5) 过点 M 0 (1, - 1,1)且垂直于平面 x - y - z + 1 = 0 及 2 x + y + z + 1 = 0.
3. 将平面方程 2 x + 3 y - z + 18 = 0 化为截距式方式,并指出其在各坐标轴上的截距.
4. 指出下列各平面的特殊位置:
(1) 2 y - 4 = 0; (2) 3 x + 2 y - z = 0; (3) 2 x - y = 4; (4) 3 y + 2 z = 0.
5. 建立下列平面方程:
(1) 过点( - 3,1, - 2)及 z 轴;
(2) 过点 A( - 3,1, - 2)和 B(3,0,5)且平行于 x 轴;
(3) 平行于 Oxy 面且过点 A(3,1, - 5);
(4) 过点 P1 (1, - 5,1)和 P2 (3,2, - 2)且垂直于 Oxz 面.
6. 求下列各对平面间的夹角:
(1) 2 x - y + z = 6, x + y + 2 z = 3;
(2) 3 x + 4 y - 5 z - 9 = 0, 2 x + 6 y + 6 z - 7 = 0.
§7.7 空间直线方程
一、直线的点向式方程
由常识可以知道,过一点且平行于一个已知方向能惟一确定一条直线.
设有已知点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )和非零向量 s = ( m, n, p).下面考虑如何建立过点 M 0 且平行
于向量 s的直线.常称 s为该直线的方向向量.
图 7.17
设 M ( x, y, z)为所求直线上任意一点,如图 7.17 所示.则
M 0 M →= ( x - x0 , y - y0 , z - z0 )
由于所作出的直线平行于向量 s,因此 M 0 M →∥s,从而有
x - x0
m=y - y0
n=z - z0
p(1)
常称式(1)为直线的点向式方程,或称为标准方程,或称为对称式方程.称 m, n, p 为直线的方向数.
直线的点向式方程描绘了直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),且平行于向量 s = ( m, n, p)的特点.
有必要指出,如果 m = 0,则直线的点向式方程中约定 x - x0 = 0,等等.
例 1 求过点 M 0 (1,2, - 1),且平行于向量 s = (2, - 1,1)的直线方程.
解 由直线的点向式方程可知所求直线的方程为
x - 12
=y - 2- 1
=z - ( - 1)
1,
·012·
即x - 12
=y - 2- 1
=z + 11
.
二、直线的一般式方程
由于空间曲线可以看作是两个空间曲面的交线,因此空间直线可以看作是两个不平行平面
的交线.由于平面方程为三元一次方程.因此,两个系数不成比例的三元一次方程组
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0(2)
表示一条直线,常称方程组(2)为空间直线的一般式方程.
例 2 试由直线的点向式方程
x - 12
=y - 2- 1
=z + 11
导出该直线的一般式方程.
解 所给直线的点向式方程等价于
x - 12
=y - 2- 1
,
y - 2- 1
=z + 11
.
整理可化为
x + 2 y - 5 = 0,
y + z - 1 = 0,
即为所求直线的一般式方程.
有的时候需要由直线的一般式方程
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
导出该直线的点向式方程.为此
首先应该求出直线上的一点( x0 , y0 , z0 ),即上述方程组的任意一组解.为此可以先给定 x0 ,
y0 , z0 中的任一个.比如给定 x0 ,再将 x0 代入上述方程组,解出上述二元联立方程组的解 y0 ,
z0 .
其次求出直线的方向向量 s,设 n1 , n2 分别表示方程组中所给出的两张平面的法线向量,即
n1 = ( A1 , B1 , C1 ), n2 = ( A2 , B2 , C2 ).则应有
s⊥ n1 , s⊥ n2 .
由两向量向量积的定义,可以取
s = n1 × n2 =
i j k
A1 B1 C1
A2 B2 C2
=B1 C1
B2 C2
i-A1 C1
A2 C2
j +A1 B1
A2 B2
k.
有了( x0 , y0 , z0 )及 s,则可以写出该直线的点向式方程.
·112·
例 3 将直线的一般式方程
x - y + 2 z + 1 = 0,
2 x + z + 2 = 0
化为点向式方程.
解 先求直线上的一点( x0 , y0 , z0 ).由所给方程组可以发现,若令 x0 = - 1,则有
- 1 - y + 2 z + 1 = 0,
- 2 + z + 2 = 0.
可解得 z0 = 0, y0 = 0.即( x0 , y0 , z0 ) = ( - 1,0,0).
记 n1 = (1, - 1,2), n2 = (2,0,1).取
s �= n1 × n2 =
i j k
1 - 1 2
2 0 1
=- 1 2
0 1i-
1 2
2 1j +
1 - 1
2 0k
= - i+ 3 j + 2 k.
因此所给直线的点向式方程为
x - ( - 1)- 1
=y - 03
=z - 02
,
即x + 1- 1
=y3
=z2.
三、直线的参数式方程
若直线由点向式表示为
x - x0
m=
y - y0n
=z - z0
p.
令其比值为 t,即
x - x0
m=y - y0
n=z - z0
p= t
则可以得
x - x0 = mt, y - y0 = nt, z - z0 = pt, (3)
或
x = x0 + mt, y = y0 + nt, z = z0 + pt. (4)
上述两种表示式(3)、(4)称为直线的参数式方程.称 t为参数.
直线的参数式方程在后面的章节中还将遇到.
四、两直线间的关系
若给定两条直线 L1 , L2 ,定义这两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
·212·
L1 :x - x1
m 1=y - y1n1
=z - z1
p1,
L2 :x - x2
m 2=y - y2n2
=z - z2
p2,
则它们的方向向量分别为 s1 = ( m 1 , n1 , p1 )和 s2 = ( m 2 , n2 , p2 ).由两向量夹角余弦公式可知,
这两条直线的夹角 φ满足
cos φ=m 1 m 2 + n1 n2 + p1 p2
m2
1 + n2
1 + p2
1 m2
2 + n2
2 + p2
2
. (5)
若两条直线垂直,则它们的方向向量也垂直,反之亦然.所以两条直线垂直的充分必要条件为
m 1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0. (6)
由于两条直线平行,则它的方向向量也平行,反之亦然,所以两条直线平行的充分必要条件为
m 1
m 2=
n1
n2=
p1p2. (7)
例 4 已知直线
L1 :x + 21
=y - 1- 4
=z + 11
,
L2 :x - 22
=y + 1- 2
=z - 1- 1
,
求 L1 与 L2 的夹角.
解 由于 L1 与 L2 的方向向量分别为 s1 = (1, - 4,1), s2 = (2, - 2, - 1).因此 L1 , L2 的夹
角 φ满足
cos φ �=m 1 m 2 + n1 n2 + p1 p2
m21 + n
21 + p
21 m
22 + n
22 + p
22
=1·2 + ( - 4)·( - 2) + 1·( - 1)
12+ ( - 4)
2+ 1
222+ ( - 2)
2+ ( - 1)
2=
22.
故 φ=π4.
例 5 已知直线
L1 :x + 21
=y - 1- 4
=z + 11
,
L2 :x - 23
=y + 11
=z - 11
,
判定 L1 与 L2 的关系.
解 由于 L1 与 L2 的方向向量分别为 s1 = (1, - 4,1), s2 = (3,1,1).因此 L1 , L2 的夹角φ
满足
cos φ R=m 1 m 2 + n1 n2 + p1 p2
m2
1 + n2
1 + p2
1 m2
2 + n2
2 + p2
2
=1·3 + ( - 4)·1 + 1·1
12+ ( - 4)
2+ 1
232+ 1
2+ 1
2= 0,
·312·
故 φ=π2,可知 L1 与 L2 垂直.
例 6 求过点(1, - 1,0)且与直线x - 12
=y + 31
=z - 10
平行的直线方程.
解 设过点(1, - 1,0)的直线方程为
x - 1m
=y + 1n
=zp.
由于所求直线与已知直线平行,因此有
m2
=n1
=p0,
其中 m, n, p 为直线的一组方向数.由上述比例式的约定,应取 p = 0.不妨设前两项m2
=n1
= 1,
则 m = 2, n = 1.故
x - 12
=y + 11
=z0
为所求直线方程.
例 7 设有直线x0
=y4
=z- 3
,则该直线必定( )
A. 过原点且垂直于 x 轴; �B. 过原点且平行于 x 轴;
C. 不过原点,但垂直于 x 轴; D. 不过原点,且不平行于 x 轴.
解 首先指出,若直线的标准方程为
x - x0
0=
y - y0n
=z - z0
p,
则约定 x - x0 = 0,y - y0
n=
z - z0
p,这意味着所给直线在平面 x = x0 上.
由直线的标准方程x0
=y4
=z- 3
可知所给直线过原点.所给直线的方向向量 s = (0,4, - 3),
而 x 轴正方向上的单位向量 i = (1,0,0),则
s·i= 0·1 + 4·0 + ( - 3)·0 = 0,
因此 s⊥i,即所给直线与 x 轴垂直.故知所给直线过原点且垂直于 x 轴,应选 A.
五、直线与平面之间的位置关系
若给定直线 L 与平面π,其方程分别为
L:x - am
=y - bn
=z - cp
,
π: A x + By + Cz + D = 0.
过直线 L 作一个与平面π垂直的平面π1 ,则称 π1 与 π的交线为直线 L 在平面 π上的投影线
L′.直线 L 与它在平面 π上的投影线 L′相交可以确定两个角.定义其中介于 0 与π2之间的角 φ为直
·412·
线与平面间的夹角.如图 7.18 所示.直线 L与平面π的法线向量 n之间的夹角为π2- φ或
π2+ φ.由
于
图 7.18
sin φ= cosπ2
- φ = cosπ2
+ φ
由两向量间夹角余弦公式可得
sin φ=| A m + Bn + Cp|
A2+ B
2+ C
2m
2+ n
2+ p
2. (8)
上述公式就是直线与平面间夹角公式.
若 φ= 0,意味着直线 L 与平面π平行.因此有:
直线 L 与平面π平行的充分必要条件为
A m + Bn + Cp = 0.
进而,若 Aa + Bb + Cc + D = 0,表明点( a, b, c)在平面 π上.说明直线 L 既与平面π平行,又与
平面 π有交点.因此可知直线 L 落在平面π上.
若 φ=π2,则意味着直线 L 与平面π垂直.因此有:
直线 L 与平面π垂直的充分必要条件为
Am
=Bn
=Cp.
例 8 判定下列各组平面与直线间的位置关系:
(1) L:x - 2- 2
=y + 2- 7
=z - 33
, �(2) L:x - 23
=y + 21
=z - 3- 4
,
π: 4 x - 2 y - 2 z = 3; π: x + y + z = 3;
(3) L:x3
=y- 2
=z7, (4) L:
x - 13
=y + 21
=z + 12
,
π: 3 x - 2 y + 7 z = 8; π: x - y + z = 1.
解 只需判定直线的方向向量与平面的法线向量之间的关系.
(1) L 的方向向量 s = ( - 2, - 7,3),π的法线向量 n = (4, - 2, - 2).由于
s·n = ( - 2)·4 + ( - 7)·( - 2) + 3·( - 2) = 0,
可知 L∥π.由于 M 0 (2, - 2,3)在直线 L 上,将 M 0 的坐标代入 π的方程可得
4·2 - 2·( - 2) - 2·3 = 6≠3,
即 M 0 (2, - 2,3)不在平面 π上,因此知直线 L 平行于π,但不在 π上.
(2) L 的方向向量 s = (3,1, - 4),π的法线向量 n = (1,1,1).由于
s·n = 3·1 + 1·1 + ( - 4)·1 = 0,
可知 L∥π.由于点 M 0 (2, - 2,3)在直线 L 上.将点 M 0 的坐标代入平面 π的方程
2 + ( - 2) + 3 = 3,
可知点 M 0 在平面 π上.因此直线 L 落在平面π上.
(3) 直线 L 的方向向量 s = (3, - 2,7),平面 π的法线向量 n = (3, - 2,7),易见 s = n,可知
L⊥π.
·512·
(4) 直线 L 的方向向量 s = (3,1,2),平面 π的法线向量 n = (1, - 1,1).易见 s与 n 的分量
不成比例.又
s·n = 3·1 + 1·( - 1) + 2·1 = 4,
可知 s也不垂直于 n,故 L 与π斜交.且交角 φ满足
sin φ �=| A m + Bn + Cp|
A2+ B
2+ C
2m
2+ n
2+ p
2
=4
12+ ( - 1)
2+ 1
232+ 1
2+ 2
2
=4
42=2 4221
.
从而
φ= arcsin2 4221
.
例 9 已知直线 l:x + 13
=y - 12
=z- 1
,若平面 π过点 M (2,1, - 5)且与 l垂直,求平面 π的
方程.
解 由题设可知,直线 l的方向向量 s = (3,2, - 1)必定平行于所求平面 π的法线向量 n,因
此可取
n = s = (3,2, - 1),
利用平面的点法式方程可知
3( x - 2) + 2( y - 1) - ( z + 5) = 0,
为所求平面方程.
例 10 设直线 l的方程为 x = - 1 + t, y = 2 - t, z = 3 t,求过点 M (1, - 2, - 1)且垂直于 l
的平面方程.
解 所给直线 l的方程为参数式方程, l的方向向量 s = (1, - 1,3).所求平面 π与已知直线
l垂直,则平面的法线向量 n必定平行于直线 l的方向向量 s,因此可以取
n = s = (1, - 1,3).
由平面的点法式方程可知
( x - 1) - ( y + 2) + 3( z + 1) = 0
为所求平面方程.
例 11 求过点 M 0 (1,3, - 2)且垂直于已知平面 π:2 x + 3 y - z = 1 的直线方程.
解 由于所求直线 l垂直于已知平面π,可知直线 l的方向向量s必定与平面π的法线向量
n 平行,因此可取
s= n = (2,3, - 1).
由直线的点向式方程可知
x - 12
=y - 33
=z + 2- 1
为所求直线方程.
·612·
例 12 求过点 M 0 ( - 1,2,1)且平行于两平面 π1 ,π2 的直线 l的方程.其中
π1 : x + y - 2 z - 1 = 0,
π2 : x + 2 y - z + 1 = 0.
解 设所求直线 l的方向向量为 s,平面 π1 ,π2 的法线向量分别为 n1 , n2 .由于 l∥π1 ,
l∥π2 ,可知 s⊥ n1 , s⊥ n2 .因此可以取 s = n1 × n2 .由题设知
n1 = (1,1, - 2), n2 = (1,2, - 1).
因此
n =
i j k
1 1 - 2
1 2 - 1
= 3i - j + k,
由直线的点向式方程可知
x + 13
=y - 2- 1
=z - 11
为所求直线方程.
习题 7.7
1. 求下列直线方程:
(1) 过点 M 0 (2, - 1, - 3)且平行于向量 s= ( - 3, - 2,1);
(2) 过点 M 0 (3,4, - 2)且平行 z轴;
(3) 过点 M 1 (1,2,3)和 M 2 (1,0,4);
(4) 过原点,且与平面 3 x - y + 2 z - 6 = 0 垂直.
2. 将下列直线方程化为标准式方程:
(1)x - 2 y + 3 z - 4 = 0,
3 x + 2 y - 4 z - 8 = 0;
(2)x = 2 y + 2,
y = z - 4; (3)
3 x + 2 z - 1 = 0,
y + z = 0.
3. 将下列直线方程化成参数式方程:
(1)x - 5 y + 2 z - 1 = 0,
5 y = z - 2; (2)
x - 62
=z + 15
,
y - 2 = 0.
4. 求过点(1,1,1)且同时平行于平面 x + y - 2 z + 1 = 0 及 x + 2 y - z + 1 = 0 的直线方程.
5. 求过点(3,1, - 2)且通过直线
x - 45
=y + 32
=z1
的平面方程.
6. 求下列各对直线的夹角:
(1)x - 11
=y- 2
=z + 47
,x + 65
=y - 21
=z - 3- 1
;
(2)5 x - 3 y + 3 z - 9 = 0,
3 x - 2 y + z - 1 = 0,
2 x + 2 y - z + 23 = 0,
3 x + 8 y + z - 18 = 0.
7. 证明直线
·712·
x - 14
=y- 1
=z + 13
与 x + 7 y + z = 0,
x + y - z - 2 = 0
相互平行.
8. 设直线 L 的方程为
x - 11
=y - 3- 2
=z + 4n
,
问当 n 为何值时,直线 L 与平面 2 x - y - z + 5 = 0 平行 ?
§7.8 常见的二次曲面
通常称一次方程所表示的曲面为一次曲面,实质上它是平面,称二次方程表示的曲面为二次
曲面.下面介绍几类常见的二次曲面方程.
一、椭球面
由方程
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1 (1)
所确定的曲面称为椭球面.
为了由所给二次方程研究其图形的几何特性,下面采用截痕法:用三组平行于坐标面的平面
截割所给曲面,然后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性.
用 O xy 坐标平面(即 z = 0)截所给曲面,截痕为椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1,
z = 0.
用平行于 O xy 坐标平面的平面 z = h 截所给曲面,截痕为椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 -
h2
c2 ,
z = h.
当 h = ±c 时,截痕为x2
a2 +
y2
b2 = 0,即截痕缩为一点.当| h| > c 时,截痕为虚椭圆,说明椭球面与
平面 z = h(| h| > c)不相交.
因此椭球面介于 - c≤ z≤c的范围内.
同理,用 O xz 面截所给曲面的截痕为椭圆
x2
a2 +
z2
c2 = 1,
y = 0.
用平行于 O xz 面的平面 y = h 截所给曲面,截痕为椭圆
·812·
x2
a2 +
z2
c2 = 1 -
h2
b2 ,
y = h.
当 h = ± b 时,截痕缩为一点;当| h| > b 时,无截痕.因此,椭球面介于 - b≤ y≤ b 的范围内.
用 Oyz 坐标面截所给曲面的截痕为椭圆
y2
b2 +
z2
c2 = 1,
x = 0.
用平行于 Oyz 坐标面的平面 x = h 截所给曲面的截痕为椭圆
y2
b2 +
z2
c2 = 1 -
h2
a2 ,
x = h.
当 h = ± a 时,截痕缩为一点;当| h| > a 时,无截痕.因此,椭球面介于 - a≤ x≤ a 的范围内.
由上述截痕可以画出椭球面的图形,如图 7.19 所示.
图 7 0.19 图 7 ,.20
二、二次锥面
由方程
x2
a2 +
y2
b2 -
z2
c2 = 0 (2)
确定的曲面称为二次锥面.
利用截痕法可作出其图形,如图 7.20 所示.
三、椭圆抛物面
由方程
·912·
x2
2 p+
y2
2 q= z ( p, q 同号) (3)
确定的曲面称为椭圆抛物面.
图 7.21
若 p > 0, q > 0.利用截痕法可作出其图形.如图 7.21 所示.
例 1 在空间直角坐标系中,方程 x2- 4( y - 1)
2= 0 表示
A. 两个平面; {B. 双曲柱面;
C. 椭圆柱面; D. 圆柱面.
解 由于所给曲面方程 x2- 4( y - 1)
2= 0 中不含 z,可知所给曲面为
柱面,但是由于所给方程可以化为
x2= 4( y - 1)
2,
进而可以化为 x = 2( y - 1)与 - x = 2( y - 1),即
x - 2 y + 2 = 0,
x + 2 y - 2 = 0
为两个平面.可知应选 A.
由上面例题可以得知,识别二次曲面并不只是看方程是否为二次方程,还要注意与标准形式
对照.
例 2 方程 x2+ y
2- z
2= 0 表示的二次曲面是
A. 球面; �B. 旋转抛物面;
C. 圆锥面; D. 圆柱面.
解 对照二次曲面方程的标准形式可知,所给二次曲面为圆锥面,即应选 C.
例 3 方程 z = x2+ y
2表示的二次曲面是
A. 椭球面; B. 柱面;
C. 圆锥面; D. 抛物面.
解 对照二次曲面方程的标准形式可知,所给二次曲面为抛物面,即应选 D.
习题 7.8
说明下列方程表示什么图形,并画出草图:
1. x2+
y2
4+
z2
9= 1; 22. x
2+ y
2+ z
2= 2;
3. x2 + y2 - z2 = 0; 4. x2 - y2 + z2 = 0;
5.x2
4+
y2
9= z.
复 习 题 七
一、选择题
1. 设向量 a = ( - 1,1,2), b = (2,0,1),则向量 a 与 b 的夹角为
A. 0; wB.π6; }C.
π4; �D.
π2.
·022·
2. 设 a = - i + j + 2 k, b = 3 i + 4 k,则向量 a + b 在 y 轴上的投影为
A. 0; B. 1; C. 2; D. 6.
3. 设 a, b 为两个非零向量,λ为非零常数,若向量 a + λb 垂直于向量 b,则λ等于
A.a·bb2 ; B. -
a·bb2 ; C. 1; D. a·b.
4. 设有单位向量 ea ,它同时与 b = 3 i + j + 4 k 及 c= i + k 垂直,则 ea 为
A.13i +
13j -
13k; B. i+ j - k; C.
13i -
13j +
13k; D. i - j + k.
5. 平面π1 :2 x + 3 y + 4 z + 4 = 0,π2 :2 x + 3 y + 4 z - 4 = 0 的位置关系是
A. 相交且垂直; B. 相交但不重合; C. 平行但不重合; D. 重合.
6. 设有直线x0
=y4
=z- 3
,则该直线必定
A. 过原点且垂直于 x 轴; B. 过原点且平行于 x轴;
C. 不过原点但垂直于 x 轴; D . 不过原点但平行于 x轴.
7. 平面π: x + 2 y - z + 3 = 0 与直线 l:x - 13
=y + 1- 1
=z - 21
的位置关系为
A. 互相垂直; B. 平行但直线不在平面上;
C. 既不平行也不垂直; D. 直线在平面上.
8. 方程 x2+ y
2- z
2= 0 表示的二次曲面是
A. 球面; B. 旋转抛物面; C. 锥面; D. 柱面.
9. 方程 x2- y
2= 2 表示的二次曲面是:
A. 球面; B. 旋转抛物面; C. 锥面; D. 柱面.
二、填空题
1. 设 a = i - 2 j + 3 k, b = 3 i+ j - 2 k,则 a·b = .
2. 设 a = 3 i - k, b = 2 i - 3 j + 2 k,则 a× b = .
3. 设 a = i + 3 j - 2 k, b = 2 i+ 6 j + lk,则当向量 a与 b垂直时,l= .
4. 过点 M(1, - 1,2)且与平面 2 x + y - 3 z + 5 = 0 垂直的直线方程为 .
5. 过点 M(1,2,3)且与直线 x = 2 + 3 t, y = 2 t, z = - 1 + t垂直的平面方程为 .
三、解答题
1. 已知 a = (3, - 6, - 1), b = (1,4, - 5), c = (3, - 4,12),求( a·c) b + ( a·b) c在向量 z轴上的投影.
2. 设 a + 3 b 与 7a - 5 b 垂直, a - 4 b 与 7 a - 2 b 垂直,求非零向量 a与 b的夹角.
3. 求过原点且与直线y + z + 1 = 0,
x + 2 z = 0垂直的平面方程.
4. 判断方程
x2+ y
2+ z
2- 2 x + 6 y - 4 z = 11
是否表示球面方程.若是球面方程,指出球心坐标及球半径.
5. 指出下列旋转曲面的一条母线及旋转轴:
(1) z = 4( x2 + y2 ); (2) x2 -y2
3-
z2
3= 1.
·122·
第八章 多元函数微分学
在自然科学和工程技术中常常遇到依赖于两个或更多个自变量的函数,这种函数统称为多
元函数,本章将在一元函数的基础上,讨论多元函数的基本概念和多元函数的微分法及其应用.
本书主要讨论二元函数,因为从一元函数到二元函数,在内容和方法上有一些实质性的差别.而
从二元函数到三元函数或三元以上的函数,没有本质上差别,仅会产生一些技术上的困难.学习
本章时,在方法上要注意与一元函数对照,类比,注意它们之间的区别和联系,以便更好地掌握多
元函数微分学的基本概念和方法.
§8.1 多元函数的概念
一、多元函数的概念
1. 引例
在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系,如
例 1 矩形面积 S 与长 x,宽 y 有下列依赖关系
S = x·y ( x > 0, y > 0),
其中长 x 和宽 y 是两个独立的变量,在它们变化范围内,当 x, y 的值取定后,矩形面积 S 有一
个确定值与之对应.
例 2 理想气体的压强 P 与容积 V,绝对温度 T 之间有下列依赖关系
P =R TV
( V > 0, T > 0, R 为常量),
其中 V, T 是独立取值的两个变量,在它们的变化范围内,对 V, T 的每一组值,压强 P 有一个
确定值与之对应.
例 3 直流电通过导体所产生的热量 Q 与电压 U,电流 I及时间 t有下列的依赖关系
Q = 0.24 UIt ( I > 0, U > 0, t> 0),
其中 U, I,t 是独立取值的三个变量,对 I, U, t的变化范围内的每一组值,热量 Q 有一个确定
的值与之对应.
以上几例的具体意义虽不相同,但从数学上考虑具有其共性,抽出其共性就可得出多元函数
的定义.
2. 二元函数的定义
定义 1 设有三个变量 x, y, z,如果对于变量 x, y 在它们的变化范围内所取的每一对值,
·222·
变量 z都按照一定的规则,有一个确定的值与之对应,则称 z为 x, y 的二元函数,记作
z = f( x, y) 或 z = z( x, y),
其中 x, y 称为自变量, z 称为函数(或因变量).自变量 x, y 的变化范围称为函数的定义域.
当自变量 x, y 分别取 x0 , y0 时,函数 z的对应值 z0 ,记作 z0 = f( x0 , y0 ),称为二元函数 z =
f( x, y),当 x = x0 , y = y0 时的函数值.
类似地,可以定义三元函数 u = f( x, y, z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数
统称为多元函数.
函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.从实际问题建立的函数,一般是根据实际问
题确定函数的定义域.如例 1,矩形面积的长 x,宽 y 及例 2 中的理想气体的容积 V,绝对温度 T
都是取正值.对于由数学式子表示但未说明具体意义或使用的具体范围的函数 z = f( x, y),其
定义域理解为由该数学式子使 z 有意义的那些自变量取值的全体.求函数的定义域,就是求出
使函数有定义的所有自变量的取值范围.
例 4 求二元函数 z = 1 - x2- y
2的定义域.
解 容易看出,自变量 x, y 满足不等式
x2+ y
2≤1,
函数 z才有意义,所以函数的定义域为
x2+ y
2≤1.
即函数定义域的图形是以原点为圆心,半径为 1 的圆内及圆周上点的全体,如图 8.1 所示.
例 5 求函数 z = ln( x + y)的定义域.
解 函数的定义域为 x + y > 0.其几何图形为 O xy 平面上位于直线 y = - x 右方的半平
面,但不包括直线本身,如图 8.2 阴影部分所示.
图 8 @.1 图 8 �.2
例 6 求函数 z = arcsinxa+ arcsin
yb的定义域( a > 0, b > 0).
解 函数的定义域由不等式组
| x|≤ a,| y|≤ b,
即
- a≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
·322·
构成,其图形是矩形内部(包括边界),如图 8.3 所示.
例 7 求函数 z =1
1 - x2- y
2的定义域.
解 函数的定义域为
1 - ( x2+ y
2) > 0,
即
x2+ y
2< 1.
它的图形是单位圆内部(不包括边界),如图 8.4 所示.
图 8 H.3 图 8 C.4
例 8 求函数 z =1
xln( x + y)的定义域.
解 函数 z可看成是两个函数的乘积,第一个函数1
x,由于分式的分母不能等于零,开偶
次方根号下的表达式大于等于零,因此应有 x > 0,第二个函数 ln( x + y)中真数必须大于零,即
x + y > 0.故所求函数的定义域为
图 8.5
x > 0
x + y > 0.
其几何图形如图 8.5 所示.
二元函数定义域的图形可以是全平面,也可以是一条或几条曲线
围成的平面的一部分,或者是一些孤立点.
全平面,或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域,简称
平面区域.这三个条件是:
(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成;
(2) 点集内不包含边界上的点;
(3) 点集内任意两点,存在一条全部含于该点集内的折线,将该两点连接起来.
如果上述条件(1)、(3)不变,将(2)改为(2′):
(2′) 点集内包含边界上所有的点.
这种平面点集称为平面闭区域.
如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内,则称此区域为有界区域.否则称
·422·
其为无界区域.
例 4、例 6 的定义域为有界闭区域.例 7 的定义域为有界开区域.例 5、例 8 的定义域为无界
区域.
3. 二元函数的几何意义
我们知道,一元函数 y = f( x)的图形在 O xy 平面上一般表示一条曲线.对于二元函数 z =
f( x, y),设其定义域为 D, P0 ( x0 , y0 )为函数定义域中的任一点,与 P0 点对应的函数值记为
z0 = f( x0 , y0 ),于是,可在空间直角坐标系 Oxyz 中作出点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ).当点 P( x, y)在定义
域 D 内变动时,对应点 M ( x, y, z)的轨迹就是函数 z = f( x, y)的几何图形.一般说,它通常是
一张曲面.这就是二元函数的几何意义.如图 8.6 所示.而定义域 D 正是这曲面在 O xy 平面上的
投影.
三元和三元以上的多元函数没有直观的几何意义.
例 9 作二元函数 z = 1 - x - y 的图形.
解 由空间解析几何,可知它的图形是一张平面.在三个坐标轴上的截距均为 1,它的图形
在第一卦限的部分,如图 8.7 所示.
图 8 $.6 图 8 !.7 图 8 B.8
例 10 作二元函数 z = x2+ y
2的图形.
解 这是一张开口向上的旋转抛物面,定义域为全平面,图 8.8 为该曲面在 z≤ z0 部分的
图 8.9
图形.
例 11 作函数 z = 1 - x2- y
2的图形.
解 函数的定义域为 x2+ y
2≤1,它的图形是单位圆的内部及其边界.
函数图形是球心在原点,半径为 1 的上半球面,如图 8.9 所示.
二、二元函数的极限
研究函数的极限,即是研究函数的变化趋势.二元函数的自变量有两个,
自变量的变化过程比一元函数的自变量的变化过程要复杂得多.
设点 P( x, y), P0 ( x0 , y0 )都是函数 z = f( x, y)定义域内的点,现考虑当点 P( x, y)趋于点
·522·
P0 ( x0 , y0 )时,函数 z = f( x, y)的变化趋势.在平面上,点 P( x, y)趋于定点 P0 ( x0 , y0 )的方式
可以是多种多样的,不管采取哪种方式,只要点 P( x, y)趋于点 P0 ( x0 , y0 ),则动点 P( x, y)与定
点 P0 ( x0 , y0 )的距离
ρ= | P0 P| = ( x - x0 )2+ ( y - y0 )
2
趋于零.因此,总可以用 ρ→0 表示 P( x, y)→ P0 ( x0 , y0 )的变化过程.为此,先给出平面上点的
邻域概念.
图 8.10
邻域 以点 P0 ( x0 , y0 )为圆心,δ> 0 为半径的开圆域,称为点 P0 的
δ邻域,如图 8.10 所示.该邻域内的点 P( x, y),满足不等式
( x - x0 )2+ ( y - y0 )
2< δ.
点 P0 的去心 δ邻域(即不含圆心的邻域)可表示为
0 < ( x - x0 )2+ ( y - y0 )
2< δ.
仿照一元函数的极限定义,可以给出二元函数的极限描述性定义.
定义 2 设函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某一去心邻域内有定
义,如果动点 P( x, y)在该邻域内以任意方式趋于定点 P0 ( x0 , y0 )时,函数的对应值 f( x, y)趋
于一个确定数 A,则称 A 为函数 z = f( x, y),当 x→ x0 , y→ y0 时的极限,记作
limx→ x
0y→ y
0
f( x, y) = A,或 lim( x, y)→ ( x
0, y
0)f( x, y) = A,
或 limρ→0
f( x, y) = A,其中 ρ= ( x - x0 )2+ ( y - y0 )
2.
从二元函数极限定义可以看到,二元函数的极限要比一元函数的极限复杂得多.对于一元函
数如果 x 从左侧趋于 x0 与从右侧趋于 x0 的极限存在且相等,则limx→ x
0
f( x)存在,其逆也真.对于
二元函数的极限存在,是指当点 P( x, y)以任意方式趋于定点 P0 ( x0 , y0 ),函数都无限接近于
A.因此,如果动点 P( x, y)以某些特殊路径,例如沿着一条或几条直线或曲线趋于 P0 ( x0 , y0 )
时,函数 f( x, y)都无限趋近于同一定值,我们仍然不能由此断定函数的极限存在.但是,当
P( x, y)以不同路径趋于 P0 ( x0 , y0 )点时,函数趋于不同的值,则可以断定函数在 P0 ( x0 , y0 )点
的极限不存在.为了说明二元函数极限的复杂性,我们举下例讨论.
例 12 讨论二元函数
f( x, y) =
xyx2+ y
2 , x2+ y
2≠0,
0, x2+ y
2= 0
当 P( x, y)→ O(0,0)时,极限是否存在.
解 当点 P( x, y)沿 x 轴趋于点 O(0,0)时,即 y = 0, f( x, y) = f( x,0) = 0 ( x≠0),所以
limx→ 0
f( x,0) = 0.
当点 P( x, y)沿 y 轴趋于点 O(0,0)时,即 x = 0, f( x, y) = f(0, y) = 0 ( y≠0),所以
limy→0
f(0, y) = 0.
当点 P( x, y)沿直线 y = kx 趋于点 O(0,0)时,即 f( x, y) = f( x, kx) =k
1 + k2 ( x≠0),
·622·
所以
limy = kxx→ 0
f( x, y) = limx→0
k1 + k
2 =k
1 + k2 .
其极限值是随直线斜率 k的不同而不同.即动点 P( x, y)沿着不同路径趋于点 P0 ( x0 , y0 )时,函
数趋于不同值.因此,limx→0y→ 0
f( x, y)不存在.
一元函数极限的有些运算法则(如四则运算法则,夹逼定理等),可以相应地推广到二元函
数.
三、二元函数的连续性
类似于一元函数连续的定义,我们利用二元函数极限,给出二元函数连续的定义.
定义 3 设函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某一邻域内有定义,如果当点 P( x, y)趋于
定点 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 z = f( x, y)的极限等于 f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 ) 处的函数值
f( x0 , y0 ),即
limx→ x
0y→ y
0
f( x, y) = f( x0 , y0 ),
则称函数 f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处连续.
函数在一点处连续的定义,也可以用增量形式表示.如果在点 P0 ( x0 , y0 )处,自变量 x, y 各
取增量Δx,Δy,函数随之取得增量Δz,即
Δz = f( x0 +Δx, y0 +Δy) - f( x0 , y0 ).
称Δz为函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )上的全增量.现在用函数的全增量来表述函数在一点
处连续的定义.记 x = x0 +Δx, y = y0 +Δy,于是定义 3 中的等式
limx→ x
0y→ y
0
f( x, y) = f( x0 , y0 )
就相当于
limΔ x→0Δy→ 0
[ f( x0 +Δx, y0 +Δy) - f( x0 , y0 )] = 0,
即
limΔ x→0Δy→ 0
Δz = 0.
与定义 3 等价的函数连续的另一个定义是:
定义 4 设函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某一邻域内有定义,在点 P0 处的增量为
Δz,如果
limΔ x→0Δy→ 0
Δz = 0,
则称函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处连续.
如果函数 z = f( x, y)在开区域 D 上各点都连续,则称函数 z = f( x, y)在开区域 D 上连
续.连续的二元函数 z = f( x, y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.
·722·
例 13 证明函数 z = x2+ y
2在整个 Oxy 平面上连续.
证 在 O xy 平面上任取一点( x, y),分别给 x, y 以增量Δx,Δy,得函数 z 的全增量
Δz �= [( x +Δx)2+ ( y +Δy)
2] - ( x
2+ y
2)
= 2 xΔx + 2 yΔy + (Δx)2+ (Δy)
2.
根据二元函数极限的运算法则,有
limΔ x→0Δy→ 0
Δz = 0,
即函数 z = x2+ y
2在整个 Oxy 平面内连续.
如果函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )不连续,则称点 P0 ( x0 , y0 )是函数 f( x, y)的不连续
点,或称间断点.与一元函数情形类似,如果函数 z = f( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处无定义,或虽有
定义但当点 P( x, y)趋向于点 P0 ( x0 , y0 )时,函数的极限不存在,或极限虽然存在,但极限值不
等于函数在该点的函数值,则点 P0 ( x0 , y0 )为函数 z = f( x, y)的间断点.
二元函数间断的情况要比一元函数复杂.它除了有间断点外,还可能有间断线.
例 14 函数 z =1
x2+ y
2- 1
在圆周 x2+ y
2= 1 上的每一点都是间断点,因为在圆周上的
点,函数无定义.圆周 x2+ y
2= 1 是该函数的一条间断线.
一元连续函数的运算法则完全可以相应地推广到二元连续函数,简单地说,二元连续函数的
和、差、积、商(分母不为零)和复合函数仍是连续函数.
如果 z = f( x, y)在闭区域 D 的边界上每一点都连续,而且在域 D 内任一点也连续,则称
z = f( x, y)在闭区域 D 上连续.在边界点 P0 ( x0 , y0 )处的连续性定义为:当点 P( x, y)在闭区
域 D 上以任意方式趋于点 P0 ( x0 , y0 )时, f( x, y)→ f( x0 , y0 ).
与闭区间上一元连续函数的性质相似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质:
性质 1 (最大值和最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数在 D 上一定有最大值
和最小值.
性质 2 (介值定理)在有界闭区域 D 上的多元函数,如果在 D 上取得两个不同的函数值,
则它在 D 上取得介于这个值之间的任何值至少一次.
以二元函数为例,给出多元初等函数的定义:
由变量 x, y 的基本初等函数及常数经过有限次四则运算与复合步骤而构成的,且用一个数
学式子表示的函数称为二元初等函数.根据以上所述,我们得到如下结论:
多元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域内的区域)内是连续的.
如函数 z = sin x2+ y
2, z = ln
1
x2+ y
2, z =
3 y - 2 x + 5x2+ y
2 等,都是二元初等函数,在它们有
定义的区域内都是连续的.
设( x0 , y0 )是初等函数 f( x, y)定义区域内的一点,则有
limx→ x
0y→ y
0
f( x, y) = f( x0 , y0 ).
例如, limx→0
y→12
arcsin x2+ y
2= arcsin
14
=π6.
·822·
习题 8.1
1. 设 F( x, y) =x - 2 y2 x - y
,求 F(1,3), F( s,1).
2. 设ψ( x, y) = ( x + y) x - y ,求 ψ(0,1),ψ(2,3).
3. 已知函数 f( x, y) = x2 + y2 - xytanxy,求 f( tx, ty).
4. 设 f( x, y) = 2 x2 + y2 ,求 f( - x, - y).
5. 已知 f( x, y) = ( xy) x + y ,求 f( x - y, x + y).
6. 试证 F( x, y) = ln x·ln y 满足关系式 F( xy, uv) = F( x, u) + F( x, v) + F( y, u) + F( y, v).
7. 已知 f x + y,yx
= x2 - y2 ,求 f( x, y).
8. 求下列函数的定义域,并画出定义域的图形:
(1) z =xy
x - y; �(2) u =
1
x-
1
y-
1
z;
(3) z = ln( xy); (4) z = 1 -x2
a2 -
y2
b2 ;
(5) z = 4 - x2 - y2 + ln( y2 - 2 x + 1);
(6) u = R2 - x2 - y2 - z2 +1
x2 + y2 + z2 - r2 ( R > r).
9. 指出下列函数的连续范围:
(1) f( x, y) = sin( x2+ y
2); (2) f( x, y) = xy.
10. 下列函数在何处间断:
(1) u = ln( x2 + y2 ); (2) z =1
y2 - 2 x.
11. 描绘下列函数的图形:
(1) z = 1 - x2- y
2; (2) z =
x2
a2+y2
b2.
§8.2 偏导数
一、偏导数的概念
1. 偏导数的定义
在研究一元函数时,是从研究函数的变化率引入导数的概念.对于多元函数同样需要讨论它
的变化率.但是多元函数的自变量不止一个,多元函数与自变量的关系要比一元函数复杂得多.
我们先研究多元函数关于一个自变量的变化率.以二元函数 z = f( x, y)为例,如果自变量 x 变
化,而自变量 y保持不变(可看作常量),这时函数 z 可视为 x 的一元函数,这函数对 x 求导,就
·922·
称为二元函数 z对 x 的偏导数.下面给出偏导数的定义.
定义 1 设函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内有定义,当 y 固定在 y0 ,而 x 在 x0
处有增量Δx 时,相应函数有增量
f( x0 +Δx, y0 ) - f( x0 , y0 ).
如果极限
limΔ x→0
f( x0 +Δx, y0 ) - f( x0 , y0 )Δx
存在,则称此极限值为函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数.记作
�z�x ( x
0, y
0),�f�x ( x
0, y
0), fx ( x0 , y0 )或 zx ( x0 , y0 ),
即
�z�x ( x
0, y
0)= lim
Δx→ 0
f( x0 +Δx, y0 ) - f( x0 , y0 )Δx
.
类似地,可定义函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y的偏导数为
�z�y ( x
0, y
0)= lim
Δy→ 0
f( x0 , y0 +Δy) - f( x0 , y0 )Δy
.
又可记为
�f�y ( x
0, y
0), fy( x0 , y0 )或 zy ( x0 , y0 ).
如果函数 z = f( x, y)在区域 D 内每一点( x, y)都存在对 x 的偏导数,即
limΔx→0
f( x +Δx, y) - f( x, y)Δx
, ( x, y)∈ D
存在,显然这个偏导数仍是 x, y 的函数,称它为函数 z = f( x, y)对 x 的偏导函数,记作
�z�x
,�f�x
, fx ( x, y)或 zx ( x, y).
上述记号是指函数 z = f( x, y)中,把变量 y 暂时看作常量而对自变量 x 求导,与一元函数 y =
f( x)的导数记号“ y′”或“dyd x
”是不同的.
类似地,可以定义函数 z = f( x, y)在区域 D 内对自变量 y的偏导函数为
limΔy→ 0
f( x, y +Δy) - f( x, y)Δy
,
记作
�z�y
,�f�y
, fy ( x, y)或 zy( x, y).
函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )对 x 的偏导数 fx ( x0 , y0 ),就是偏导函数 fx ( x, y)在点
( x0 , y0 )处的函数值,而 fy( x0 , y0 )就是偏导函数 fy ( x, y)在点( x0 , y0 )处的函数值.在不至于
混淆的情况下,常把偏导函数简称为偏导数.
二元以上的多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数 u = f( x, y, z)在点( x, y, z)
处对 x 的偏导数定义为
·032·
�u�x
= limΔx→0
f( x +Δx, y, z) - f( x, y, z)Δx
.
同样地,可以定义偏导数�u�y
,�u�z
.
2. 二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数 fx ( x0 , y0 ),就是一元函数 z = f( x, y0 )
在( x0 , y0 )点处的导数.其几何意义是曲线的切线斜率.二元函数 z = f( x, y)的图形表示空间一
张曲面.当 y = y0 时,曲面 z = f( x, y)与平面 y = y0 的交线方程为
z = f( x, y),
y = y0 .
上式表示 y = y0 平面上的一条曲线 z = f( x, y0 ).根据导数的几何意义可知: fx ( x0 , y0 )就是这
条曲线在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )处的切线关于 x 轴的斜率,如图 8.11 所示.
图 8.11
同样, fy ( x0 , y0 )是曲面 z = f( x, y)与平面 x = x0 的交
线
z = f( x, y),
x = x0
在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )处的切线关于 y轴的斜率.
二、偏导数的求法
在多元函数的偏导数的定义中,只有一个自变量是变化
的,而其他自变量都保持不变,这实际上可将多元函数看成是
一元函数,所以多元函数的偏导数可视为一元函数的导数.所
谓“偏”就是指,只对其中一个自变量而言.因此,求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导
数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.
例如,给定一个二元函数 z = f( x, y),求�z�x
时,可将自变量 y 看成常数(即将 z 看成 x 的
一元函数),只需 z对 x 求导即可.
若求函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数,根据偏导函数与偏导数的关系,只需
先求出偏导函数 fx ( x, y)(如果偏导函数 fx ( x, y)是容易求出的),然后再求 fx ( x, y)在点
( x0 , y0 )处的函数值,即 fx ( x, y) ( x0, y
0) = fx ( x0 , y0 ),这样就得到了函数 z = f( x, y)在点
( x0 , y0 )处对 x 的偏导数.也可以先将 y = y0 代入 z = f( x, y)中,得 z = f( x, y0 ),然后对 x 求
导数fx ( x, y0 ),再以 x = x0 代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中, y 为常数 y0 .
例 1 求函数 f( x, y) = x2+ 2 xy - y
2在点(1,3)处对 x 和 y的偏导数.
解 将 y 看作常量,函数 f( x, y)对 x 求导数,得
fx ( x, y) = 2 x + 2 y.
将 x 看作常量,函数 f( x, y)对 y 求导数,得
·132·
fy ( x, y) = 2 x - 2 y.
将点(1,3)代入上两式,得
fx (1,3) = 2×1 + 2×3 = 8, fy (1,3) = 2×1 - 2×3 = - 4.
例 2 求函数 z = xy的偏导数.
解 �z�x
= yxy - 1
,�z�y
= xyln x.
例 3 求 z = ex2+ y
2
的偏导数.
解 @�z�x
= ex2+ y
2
·( x2+ y
2)′x = 2 xe
x2+ y
2
.
�z�y
= ex2+ y
2
·( x2+ y
2)′y = 2 ye
x2+ y
2
.
例 4 求 r = x2+ y
2+ z
2的偏导数.
解 将 y, z 都看作常数,对 x 求导数,得
�r�x
=x
x2+ y
2+ z
2=
xr.
类似地,得
�r�y
=yr,
�r�z
=zr.
例 5 求函数 z = tan( xy2)的偏导数.
解 @�z�x
=1
cos2( xy
2)y2=
y2
cos2( xy
2).
�z�y
=1
cos2( xy
2)·2 xy =
2 xycos
2( xy
2).
例 6 求函数 z =1xy
的偏导数.
解 @�z�x
=1y· -
1x2 = -
1x2y.
�z�y
=1x· -
1y2 = -
1xy
2 .
例 7 设 f( xy, x - y) = x2+ y
2,求
�f( x, y)�x
+�f( x, y)
�y.
解 先由给出的表达式 f( xy, x - y) = x2+ y
2求出 f( x, y),然后再求两个偏导数之和.
因为
f( xy, x - y) = x2+ y
2= ( x - y)
2+ 2 xy,
所以
f( x, y) = y2+ 2 x.
于是
�f( x, y)�x
= 2, �f( x, y)
�y= 2 y.
即
·232·
�f( x, y)�x
+�f( x, y)
�y= 2 + 2 y.
例 8 已知理想气体的状态方程 P V = R T( R 为常量),求证:�P�V
·�V�T
·�T�P
= - 1.
证 因为 P =R TV
,�P�V
= -R TV
2 , V =R TP
, �V�T
=RP, T =
P TR
,�T�P
=VR.
所以�P�V
·�V�T
·�T�P
= -R TV
2 ·RP·
VR
= -R TV P
= - 1.
上式这个结果说明,偏导数的记号是个整体记号,不能看作分子与分母之商,否则这三个偏
导数的积将是 1.这一点与一元函数导数记号d yd x
是不同的,d yd x
可看成函数的微分 d y 与自变量微
分 d x 之商.
例 9 设
f( x, y) =
xyx2+ y
2 , x2+ y
2≠0,
0, x2+ y
2= 0.
求 f( x, y)在原点(0,0)处的偏导数.
解 根据函数偏导数定义,在原点(0,0)处对 x 的偏导数为
fx (0,0) P= limΔ x→0
f(0 +Δx,0) - f(0,0)Δx
= limΔ x→0
(Δx)·0(Δx)
2+ 0
2 - 0
Δx= lim
Δx→ 00 = 0.
在原点处对 y 的偏导数为
fy (0,0) U= limΔy→0
f(0,0 +Δy) - f(0,0)Δy
= limΔy→0
0·(Δy)0
2+ (Δy)
2 - 0
Δy= lim
Δy→ 00 = 0.
在上节例 12 中,已知该函数在点(0,0)处极限不存在,因而在(0,0)点是不连续的.在上面的
讨论中我们知道该函数在点(0,0)处的两个偏导数存在,这说明对于多元函数偏导数存在,不能
保证函数在该点处连续,这与一元函数不同.一元函数在其可导点处,一定连续的结论,对多元函
数是不成立的.这是因为偏导数存在,只能保证当点( x, y)沿着平行坐标轴的方向趋于( x0 , y0 )
点时,函数值 f( x, y)趋于 f( x0 , y0 ),但不能保证当点( x, y)以任意方式趋于点( x0 , y0 )时,函
数 f( x, y)趋于 f( x0 , y0 ).
同样还可以举出函数在( x0 , y0 )点连续,而在该点的偏导数不存在的例子.
例如,二元函数 f( x, y) = x2+ y
2,在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点的偏导数不存在.
事实上, f( x, y) = x2+ y
2是初等函数,(0,0)点是定义区域内的一点,故 f( x, y)在(0,0)
点是连续的.
固定 y = 0,让 x→0,考察在(0,0)点处对 x 的偏导数.此时, f( x,0) = x2+ 0 = | x|,已知
·332·
函数| x|在 x = 0 处是不可导的,即 f( x, y)在点(0, 0)处对 x 的偏导数不存在,同样可证
f( x, y)在(0,0)点对 y的偏导数也不存在.
以上两例说明,在点( x0 , y0 )处二元函数连续,推不出偏导数存在,而偏导数存在也推不出
函数在该点处连续,所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.
三、高阶偏导数
设函数 z = f( x, y)在区域 D 内有偏导数
�z�x
= fx ( x, y),�z�y
= fy ( x, y).
一般说来 fx ( x, y), fy( x, y)仍是 x, y 的函数.如果二元函数 fx ( x, y), fy ( x, y)的偏导数存在,
则称 fx ( x, y), fy( x, y)的偏导数是函数 z = f( x, y)的二阶偏导数.二元函数可得到下列四个
二阶偏导数:
��x
�z�x
=�
2z
�x2 = zx x ( x, y) = fxx ( x, y),
��y
�z�x
=�
2z
�x�y= zxy( x, y) = fxy ( x, y),
��x
�z�y
=�
2z
�y�x= zyx ( x, y) = fyx ( x, y),
��y
�z�y
=�
2z
�y2 = zyy ( x, y) = fyy ( x, y).
其中 fxy( x, y)和 fyx ( x, y)称为混合偏导数, fxy( x, y)是先对 x 后对 y 求偏导, fyx ( x, y)是先对
y后对 x 求偏导.
同样可得三阶、四阶以至 n 阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的 n - 1 阶偏导数的偏
导数,称为原来函数的 n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.
例 10 求 z = x3y - 3 x
2y3的二阶偏导数.
解 @�z�x
= 3 x2y - 6 xy
3, �
�z�y
= x3- 9 x
2y2,
�2z
�x2 = 6 xy - 6 y
3,
�2z
�x�y= 3 x
2- 18 xy
2,
�2z
�y2 = - 18 x
2y,
�2z
�y�x= 3 x
2- 18 xy
2.
该题两个二阶混合偏导数�
2z
�x�y,�
2z
�y�x相等,与对 x 和 y的求导次序无关,但这不是对任何函
数的混合偏导数都是这样的.当混合偏导数�
2z
�x�y,�
2z
�y�x连续时,这结论成立,我们给出下面定理.
定理 8.1 如果函数 z = f( x, y)在开区域 D 上二阶混合偏导数�
2z
�x�y,�
2z
�y�x连续,则在该
区域上任一点处必有
�2z
�x�y=
�2z
�y�x.
·432·
证明从略.
这个定理说明,在二阶混合偏导数连续的条件下,它与求导次序无关,对更高阶的混合偏导
数也有同样的结论.
例 11 设 f( x, y, z) = xy2+ yz
2+ zx
2,求 fxx (1,1,2), fxyz(1,1,1).
解 @fx ( x, y, z) = y2+ 2 xz, fx x ( x, y, z) = 2 z,
fxx (1,1,2) = 4,
fxy ( x, y, z) = 2 y, fxyz ( x, y, z) = 0,
fxyz(1,1,1) = 0.
例 12 证明函数 u =1
te
-x2
4 t 满足方程
�u�t
=�
2u
�x2 .
证 �u�t
= -12t
-32 e
-x2
4 t +1
te
-x2
4 t·x2
4 t2 = -
12t-
32 +
x2
4t
-52 e
-x2
4 t .
�u�x
=1
te
-x2
4 t· -x2t
= -12t-
32 xe
-x2
4 t .
�
2u
�x2 = -
12t
-32 e
-x2
4 t -12t
-32 xe
-x2
4 t· -x2t
= -12t
-32 +
x2
4t-
52 e
-x2
4 t .
所以, u =1
te
-x2
4 t 满足方程
�u�t
=�
2u
�x2 .
例 13 设 z = xexsin y,求
�2z
�x2 ,
�2z
�x�y,
�2z
�y�x.
解 @�z�x
= exsin y + xe
xsin y = e
x( x + 1)sin y.
�2z
�x2 = e
x( x + 1)sin y + e
xsin y = e
x( x + 2)sin y.
�2z
�x�y= e
x( x + 1)cos y.
�z�y
= xexcos y.
�2z
�y�x= e
xcos y + xe
xcos y = e
x(1 + x)cos y.
从得到的两个混合偏导数可看出它们是连续的,故两者相等.
习题 8.2
1. 求下列各函数的一阶偏导数:
(1) z = x2ln( x2 + y2 ); �(2) u = exy;
(3) z = xy +xy; (4) z = arctan
yx;
·532·
(5) z =xy
x2 + y2; (6) z = (1 + xy)
y.
2. 设 f( x, y) = ln x +y2 x
,求 fx (1,0), fy(1,0)
3. 设 z = e x (cos y + xsin y),求�2 z�x
20,
π2
,�2 z�x�y 0,
π2
,�2 z�y
20,
π2
.
4. z = ln( x + y),证明: x�z�x
+ y�z�y
=12.
5. 设 z =xy
x + y,证明: x
�z�x
+ y�z�y
= z.
6. 求下列各函数的二阶偏导数:
(1) u =12ln( x2 + y2 ); �(2) f( x, y) = xsin( x + y) + ycos( x + y);
(3) z = sin2 ( ax + by); (4) z = arctanyx.
7. 设 z = ln(ex+ e
y),证明:
�2 z�x
2·�2 z�y
2 =�2 z�x�y
2
.
8. 证明: u = e- kn2tsin nx 满足方程
�u�t
= k�
2u
�x2.
9. 验证: u( x, y) = excos y 满足方程
�2 u�x2
+�2 u�y2
= 0.
10. 设 r = x2 + y2 + z2 ,证明:�2 r�x
2 +�2 r�y
2 +�2 r�z
2 =2r.
§8.3 全微分
一元函数 y = f( x)在点 x0 处的微分定义是:设 f( x)在点 x0 的某邻域内有定义,且 x 在
x0 点的该邻域内取得增量Δx 时,如果函数增量
Δy = f( x0 +Δx) - f( x0 ),
可以表示为Δy = AΔx + o(Δx),其中 A 是与Δx 无关的常数,当Δx→0 时 o(Δx)为Δx 高阶
的无穷小,则称 AΔx 为函数y = f( x)在 x = x0 处的微分,记为 d y = AΔx.
根据微分的定义,我们证明了 A = f′( x0 ).
设二元函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义.当自变量 x, y 在点( x0 , y0 )的该
邻域内分别取得增量Δx 和Δy时,函数的全增量为
Δz = f( x0 +Δx, y0 +Δy) - f( x0 , y0 ).
下面我们先通过具体例子分析一下全增量Δz,然后给出二元函数微分(通常称全微分)的定义.
例 1 设矩形金属薄板长为 x,宽为 y,则面积 S = xy.薄板受热膨胀,长自 x0 增加Δx,宽
·632·
自 y0 增加Δy,其面积相应增加ΔS(如图 8.12),
图 8.12
ΔS �= ( x0 +Δx)( y0 +Δy) - x0 y0
= y0Δx + x0Δy +Δx·Δy.
全增量ΔS 由 y0Δx, x0Δy,Δx·Δy 三项组成.从图 8.12 可以看出Δx·Δy
这项比其余两项小得多.令 ρ= (Δx)2+ (Δy)
2,当 ρ→0 时,Δx·Δy 是
比ρ高阶的无穷小,即Δx·Δy = o(ρ).又因为 x0 , y0 为常数,所以全增量
ΔS 只是Δx,Δy 的函数.令 x0 = B, y0 = A,则ΔS 可以表示为
ΔS = AΔx + BΔy + o(ρ).
这里与一元函数类似,将增量ΔS 分离为Δx 和Δy的线性部分 AΔx + BΔy,再加上一项比ρ高
阶的无穷小 o(ρ),下面给出二元函数的全微分定义.
定义 设二元函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义,如果 z = f( x, y)在点
( x0 , y0 )的全增量
Δz = f( x0 +Δx, y0 +Δy) - f( x0 , y0 )
可表示为
Δz = AΔx + BΔy + o(ρ),
其中 A, B 与Δx,Δy 无关,ρ= (Δx)2+ (Δy)
2, o(ρ)是比ρ高阶的无穷小,则称 AΔx + BΔy
为函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处的全微分,记作 d z,即
d z = AΔx + BΔy.
也称函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处可微.
与一元函数类似,全微分 d z 是 Δx,Δy 的线性函数,Δz - d z 是比ρ高阶的无穷小.当
|Δx|,|Δy|充分小时,可用全微分 dz 作为函数的全增量Δz的近似值.
一、全微分存在的必要条件
有了全微分概念,我们还要进一步研究全微分与连续、偏导数几个概念之间的关系,还要找
出全微分中的 A, B 与函数的关系以解决全微分的计算问题.
定理 8.2 (全微分存在的必要条件)如果函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处可微,则 f( x, y)
在该点的两个偏导数存在,并且
A = fx ( x0 , y0 ), B = fy ( x0 , y0 ).
证 因为 f( x, y)在点( x0 , y0 )处可微,则有
Δz = AΔx + BΔy + o(ρ),
对任意的Δx,Δy 都成立.取Δy = 0,此时,ρ= |Δx|,则有
Δz = f( x0 +Δx, y0 + 0) - f( x0 , y0 ) = AΔx + o(|Δx|),
两边同除以Δx,再令Δx→0,取极限,得
limΔx→ 0
f( x0 +Δx, y0 ) - f( x0 , y0 )Δx
= limΔx→ 0
AΔx + o(|Δx|)Δx
= A.
·732·
这就证明了 fx ( x0 , y0 )存在,且 A = fx ( x0 , y0 ).
同理可证 fy ( x0 , y0 )存在,且 B = fy ( x0 , y0 ).
这个定理说明了函数可微的条件比两个偏导数存在的条件要强,而且得到了全微分的计算
公式:
d z = fx ( x0 , y0 )Δx + fy ( x0 , y0 )Δy.
与一元函数微分类似,规定自变量 x, y 的增量等于自变量的微分 d x,dy,即Δx = d x,Δy = d y.
于是全微分又可写成
d z = fx ( x0 , y0 )d x + fy ( x0 , y0 )d y.
如果函数 f( x, y)在开区域 D 内每一点处都可微,则称 f( x, y)在域 D 内是可微的.这样,
域 D 内任一点处的全微分为
d z = fx ( x, y)d x + fy ( x, y)d y,
或写成
d z =�z�x
d x +�z�y
d y. (1)
定理 8.3 (全微分存在的必要条件)如果函数 z = f( x, y)在( x0 , y0 )点可微,则函数 z =
f( x, y)在点( x0 , y0 )处连续.
证 根据函数可微的定义,有
Δz = AΔx + BΔy + o(ρ),
当Δx→0,Δy→0 时,有ρ→0,于是 o(ρ)→0.因此,
limΔ x→0Δy→ 0
Δz = 0.
根据函数连续性定义, z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处是连续的.
二、全微分存在的充分条件
在一元函数中,可导与可微是等价的,即一元函数导数存在,是微分存在的充分必要条件.但
对多元函数情形就不同了,函数的偏导数存在,不一定能保证函数可微.这是因为,由定理 8.3 可
知,不连续一定不可微.而偏导数存在不能保证函数连续,因此,更不能保证可微了.
例如,以§8.2 中例 9 所研究的函数
f( x, y) =
xyx2+ y
2 , x2+ y
2≠0,
0, x2+ y
2= 0
为例,我们知道该函数在点(0,0)处不连续,故由定理 8.3 可知,在(0,0)点是不可微的.但这个函
数在(0,0)点的两个偏导数是存在的,且
fx (0,0) = 0, fy (0,0) = 0.
该例说明,尽管函数在(0,0)点的两个偏导数存在,但函数在(0,0)点仍是不可微的,即定理 8.2
的逆定理是不成立的.下面的定理给出了函数 z = f( x, y)可微的充分条件.
定理 8.4 (全微分存在的充分条件) 设函数 z = f( x, y)在点( x, y)存在连续的偏导数
·832·
fx ( x, y), fy ( x, y),则函数 z = f( x, y)在点( x, y)可微.
证明从略.
定理 8.4 是很有用的,常见的二元函数都满足定理 8.4 的条件,因而它们都是可微的,公式
(1)就是 z = f( x, y)在( x, y)点处的全微分表达式.但要注意,偏导数连续不是可微的必要条
件.有兴趣的读者,可以证明:
f( x, y) =( x
2+ y
2)sin
1x2+ y
2 , x2+ y
2≠0,
0, x2+ y
2= 0
在原点 O(0,0)处可微,但偏导数在原点 O(0,0)不连续.
上面三个定理说明,偏导数连续,函数一定可微;函数可微,偏导数一定存在;函数可微,函数
一定连续.
二元函数全微分定义,以及上面讨论的三个定理可以完全类似地推广到三元和三元以上的
多元函数.如三元函数 u = f( x, y, z)的全微分存在,则有
d u =�u�x
d x +�u�y
dy +�u�z
d z.
例 2 求 z = x3y - 3 x
2y3的全微分.
解 �z�x
= 3 x2y - 6 xy
3,�z�y
= x3- 9 x
2y2,而且它在 O xy 平面上处处连续,所以在点( x, y)
处的全微分为
d z =�z�x
d x +�z�y
d y
= (3 x2y - 6 xy
3)d x + ( x
3- 9 x
2y2)d y.
例 3 求 z = arctanxy的全微分.
解 �z�x
=1
1 +xy
2·1y=
yx2+ y
2 ,
�z�y
=1
1 +xy
2·- xy2 = -
xx2+ y
2 .
当 y≠0 时,两个偏导数连续,由全微分存在的充分条件可知 dz 存在,且
d z =�z�x
d x +�z�y
dy =y
x2+ y
2 d x -x
x2+ y
2 d y =yd x - xd yx2+ y
2 .
例 4 求 z = exy在点(2,1)处的全微分.
解 由于�z�x
= yexy,�z�y
= xexy是连续函数,且
�z�x x = 2
y = 1
= e2,�z�y x = 2
y = 1
= 2e2,
所以在点(2,1)处的全微分为
d z x = 2y = 1
= e2d x + 2e
2d y.
·932·
例 5 求 z = xy 在点(2,3)处,关于Δx = 0.1,Δy = 0.2 的全增量与全微分.
解 @Δz = ( x +Δx)( y +Δy) - xy = yΔx + xΔy +Δx·Δy.
d z =�z�x
d x +�z�y
d y = yd x + xd y = yΔx + xΔy.
将 x = 2, y = 3,Δx = 0.1, Δy = 0.2 代入上式,得到
Δz = 0.72, d z = 0.7.
例 6 求 u = x + siny2
+ eyz的全微分.
解 �u�x
= 1,�u�y
=12cos
y2
+ zeyz,�u�z
= yeyz,
d u = d x +12cos
y2
+ zeyz
d y + yeyzd z.
习题 8.3
1. 求下列函数的全微分:
(1) z =x
x2 + y2; V(2) z = x
y;
(3) z = exy ; (4) z = xsin( x2 + y2 );
(5) z = xy +xy; (6) z = ( x2 + y2 )e
x2+ y
2
xy .
2. 求函数 z = x2 y3 ,当 x = 2, y = - 1,Δx = 0.02,Δy = - 0.01 的全微分.
3. 求函数 z = 2 x + 3 y2 ,当 x = 10, y = 8,Δx = 0.2,Δy = 0.3 的全增量Δz和全微分 dz.
4. 求函数 u = zcot( xy)的全微分.
§8.4 复合函数微分法
一、复合函数的链式法则
在一元函数中,我们已经看到,复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用.对于多元
函数来说,情况也是如此.下面就二元复合函数进行讨论.
设 z = f( u, v)是变量 u, v 的函数,而 u, v 又是 x, y 的函数,即 u = φ( x, y), v = ψ( x, y),
如果能构成 z是 x, y 的二元复合函数:
z = f[φ( x, y),ψ( x, y)],
对于上述的复合函数,在什么条件下能保证函数 z 对自变量 x 与 y的偏导数存在,又如何求出函
数 z对自变量 x, y 的偏导数呢 ? 我们给出下面定理,即复合函数的链式法则.
定理 8.5 设函数 u = φ( x, y), v = ψ( x, y)在点( x, y)处有偏导数,而函数 z = f( u, v)在
对应点( u, v)有连续偏导数,则复合函数 z = f[φ( x, y),ψ( x, y)]在点( x, y)处的偏导数�z�x
,
·042·
�z�y
存在,且有下面公式:
�z�x
=�z�u
·�u�x
+�z�v
·�v�x
,
�z�y
=�z�u
·�u�y
+�z�v
·�v�y
.(1)
证明从略.
公式(1)是求二元复合函数偏导数的基本公式.
为了掌握多元复合函数求偏导数的链式法则,常借助于复合函数的结构图.由结构图可清楚
地看出哪些是复合函数的中间变量,哪些是自变量,以及它们的个数,形象地表示出复合函数中
变量之间的关系,它可以帮助我们掌握和记忆复合函数的偏导数公式.如定理中给出的复合函数
的结构图是
公式(1)给出 z对 x 的偏导数是
�z�x
=�z�u
·�u�x
+�z�v
·�v�x
( * )
公式( * )与结构图两者之间的对应关系是:偏导数�z�x
是由两项组成的,每项又是两个偏导
数的乘积,公式( * )的这两条规律,可以通过函数的结构图得到,即
(1) 公式( * )的项数,等于结构图中自变量 x 到达 z 的路径的个数.函数结构中自变量 x
到达 z的路径有两条.第一条是 x→ u→ z,第二条是 x→ v→ z,所以公式( * )由两项组成.
(2) 公式( * )每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数的个数.如第一条路径 x→
u→ z,有两个函数, z 是 u 的函数, u 是 x 的函数,因此,第一项就是两个偏导数�z�u
与�u�x
的乘积.
上面的对应法则虽然是通过定理 8.5 中的公式(1)与复合函数结构图两者对照总结出来的,
但它具有一般性.对于中间变量或自变量不是两个,复合步骤多于一次的各种形式的复合函数,
都可借助于相应的函数结构图,按照上面的两条法则得到复合函数的偏导数公式.也就是说,复
合函数的结构虽然是多种多样,求复合函数的偏导数公式也不完全相同,但借助函数的结构图,
运用上面的法则,可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式
法则.
下面对于不同形式的多元复合函数,借助于函数的结构图,利用链式法则写出偏导数公式.
1. 设 z = f( u, v, w)有连续偏导数,而 u = φ( x, y), v = ψ( x, y), w = α( x, y)都有偏导
数,求复合函数 z = f[φ( x, y),ψ( x, y),α( x, y)]的偏导数�z�x
,�z�y
.
函数的结构图是:
·142·
由结构图看出自变量 x 到达 z 的路径有三条,因此�z�x
由三项组成.而每条路径上都有两个
函数,所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应自变量的偏导数的乘积,即
�z�x
=�z�u
·�u�x
+�z�v
·�v�x
+�z�w
·�w�x
. (2)
同理可得到,
�z�y
=�z�u
·�u�y
+�z�v
·�v�y
+�z�w
·�w�y
. (3)
2. 设函数 w = f( u, v)有连续偏导数,而 u = φ( x, y, z), v = ψ( x, y, z)都有偏导数,求复
合函数 w = f[φ( x, y, z),ψ( x, y, z)]的偏导数�w�x
,�w�y
,�w�z
.
函数的结构图是:
借助于结构图,可得
�w�x
=�w�u
·�u�x
+�w�v
·�v�x
,
�w�y
=�w�u
·�u�y
+�w�v
·�v�y
,
�w�z
=�w�u
·�u�z
+�w�v
·�v�z
.
(4)
3. 设函数 z = f( u, v)有连续偏导数,而 u = φ( x), v = ψ( x)可导,则复合函数 z =
f[φ( x),ψ( x)]只是自变量 x 的函数,求 z对 x 的导数d zd x
.
函数的结构图是:
借助于函数的结构图,可得
d zd x
=�z�u
·d ud x
+�z�v
·d vd x
. (5)
·242·
在这里,函数 z是通过二元函数 z = f( u, v)而成为 x 的一元复合函数.因此, z 对 x 的导数
dzd x
又称为 z对 x 的全导数.对公式(5)应注意,由于 z, u, v 这三个函数都是 x 的一元函数,故对
x 的导数应写成d zd x
,d ud x
,d vd x
,而不能写成�z�x
,�u�x
,�v�x
.
公式(5)是公式(1)的特殊情形,两个函数 u, v 的自变量都缩减为一个.更特殊地,如果函数
z不含 v,只是 u 的函数,于是公式(5)变成
d zd x
=d zd u
·d ud x
.
这正是一元复合函数的求导公式.
4. 设函数 z = f( x, v)有连续偏导数, v = ψ( x, y)有偏导数,求复合函数 z = f[ x,ψ( x, y)]的
偏导数�z�x
,�z�y
.
函数的结构图是:
由结构图看出,自变量 x 到达 z的路径有二条,第一条路径上只有一个函数.即 z是 x 的函
数.第二条路径上有两个函数 z和 v.自变量 y到达 z 的路径只有一条,于是�z�x
,�z�y
的偏导数公
式应是:
�z�x
=�f�x
+�f�v
·�v�x
,
�z�y
=�f�v
·�v�y
.
(6)
注 这里的�z�x
与�f�x
是代表不同的意义.其中�z�x
是将函数f[ x,ψ( x, y)]中的 y 看作常量而
对自变量 x 求偏导数,而�f�x
是将函数 f( x, v)中的 v看作常量而对第一个位置变量 x 求偏导数,
所以两者的含意不同,为了避免混淆,将公式(6)右端第一项写成�f�x
,而不写成�z�x
.
例 1 设 z = eusin v, u = xy, v = x + y,求
�z�x
,�z�y
.
解法 1 由复合函数的结构图,可得 h
�z�x
�=�z�u
·�u�x
+�z�v
·�v�x
= eusin v·y + e
ucos v·1 = e
xy[ ysin( x + y) + cos( x + y)].
�z�y
�=�z�u
·�u�y
+�z�v
·�v�y
= eusin v·x + e
ucos v·1 = e
xy[ xsin( x + y) + cos( x + y)].
解法 2 对于具体的二元复合函数,可将中间变量 u, v,用 x,
·342·
y 代入,则得到
z = exysin( x + y),
z 是 x, y 的二元复合函数,根据复合函数的链式法则,得
�z�x
= yexysin( x + y) + e
xycos( x + y) = e
xy[ ysin( x + y) + cos( x + y)].
�z�y
= xexysin( x + y) + e
xycos( x + y) = e
xy[ xsin( x + y) + cos( x + y)].
例 2 设 z = (ln y)xy,求
�z�y
,�z�x
.
解 用复合函数的链式法则求�z�y
.
此时可设
z = (ln y)xy= u
v,
其中 u = ln y, v = xy.
由复合函数的结构图可得,
�z�y
9=�z�u
·d ud y
+�z�v
·�v�y
= vuv - 1
·1y+ u
vln u·x
= ( xy)·(ln y)xy - 1
·1y+ (ln y)
xy·ln(ln y)·x
= (ln y)xy x
ln y+ xln(ln y) .
求�z�x
,显然用一元复合函数求导公式比较方便,即
�z�x
t= (ln y)xy·ln(ln y)·y
= y(ln y)xy·ln(ln y).
例 3 设 z = f( x2- y
2, xy),其中 f( u, v)为可微函数,求
�z�x
,�z�y
.
解 令 u = x2- y
2, v = xy,由函数的结构图,可得 C
�z�x
�=�z�u
·�u�x
+�z�v
·�v�x
= 2 x�z�u
+ y�z�v
.
�z�y
�=�z�u
·�u�y
+�z�v
·�v�y
= - 2 y�z�u
+ x�z�v
.
其中�z�u
,�z�v
不能再具体计算了,这是因为外层函数 f 是抽象的函数记号,没有具体给出函数表
达式.
例 4 设 w = f( x2, xy, xyz),其中 f( u, v, w)为可微函数,求
�w�x
,�w�y
,�w�z
.
解 令 u = x2, v = xy,t = xyz.由函数的结构图,可得
��w�x
�=�w�u
·d ud x
+�w�v
·�v�x
+�w�t
·�t�x
·442·
= 2 x�w�u
+ y�w�v
+ yz�w�t
. �
�w�y
�=�w�v
·�v�y
+�w�t
·�t�y
= x�w�v
+ xz�w�t
.
�w�z
=�w�t
·�t�z
= xy�w�t
.
注 由于题中没有写出 u, v, t等于什么,仅是在解题过程中引入的,所以必须写明 u = x2,
v = xy,t = xyz,不要只是演算的人“心里有数”.
例 5 设 z = f( x, v) = xsin v + 2 x2+ e
v, v = x
2+ y
2,求
�z�x
.
解 由函数的结构图,可得
�z�x
�=�f�x
+�f�v
·�v�x
= (sin v + 4 x) + ( xcos v + ev)·2 x
= �(sin( x2+ y
2) + 4 x) + ( xcos( x
2+ y
2) + e
x2+ y
2
)·2 x
在该例中,我们清楚看出�z�x
与�f�x
含意是不同的.
�f�x
= sin v + 4 x = sin( x2+ y
2) + 4 x.
显然,�f�x
不等于�z�x
.
例 6 设 z = xy, x = e
2 t, y = ln t,求
d zdt
.
解 由函数的结构图,得
d zdt
�=�z�x
·d xdt
+�z�y
·dydt
= yxy - 1
·2e2 t
+ xyln x·
1t
= 2 yxy+ 2 x
y= 2 x
y( y + 1) = 2 t
2 t(ln t + 1)
例 7 设 z = f( x, xcos y),其中 f( u, v)为可微函数,求�z�x
,�z�y
.
解 令 v = xcos y,由函数的结构图,得
�z�x
=�f�x
+�f�v
·�v�x
=�f�x
+ cos y�f�v
.
�z�y
=�f�v
·�v�y
= - xsin y·�f�v
.
求复合函数的二阶偏导数,不需要新的方法和新的公式,只需把一阶偏导数看作一个新的函
数,应用链式法则对它再求偏导数即可.
例 8 设 w =1u, u = x
2+ y
2+ z
2,求证:
�2w
�x2 +
�2w
�y2 +
�2w
�z2 = 0.
解 �w�x
�=d wd u
·�u�x
= -1u2·
x
x2+ y
2+ z
2= -
xu3 = ( - x)·
1u3 .
·542·
�
2w
�x2 �= -
1u3 - x
��x
1u3 = -
1u3 - x
dd u
1u3 ·
�u�x
= -1u3 +
3 xu4·
x
x2+ y
2+ z
2= -
1u3 +
3 x2
u5 .
由于 x, y, z 在函数中的地位是相同的,所以同样有
�2w
�y2 = -
1u3 +
3 y2
u5 ,
�2w
�z2 = -
1u3 +
3 z2
u5 .
因此,
�2w
�x2 +
�2w
�y2 +
�2w
�z2 = -
3u3 +
3( x2+ y
2+ z
2)
u5 = -
3u3 +
3u3 = 0.
二、全微分形式不变性
与一元函数的微分形式不变性类似,多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论函数
z = f( u, v)中的 u, v 是自变量还是中间变量,它的全微分的形式是一样的,即
d z =�z�u
d u +�z�v
d v. (7)
这个性质称为全微分的形式不变性.
事实上,设 z = f( u, v)有连续偏导数,当 u, v 是自变量时,显然(7)式成立.
如果 u, v 是中间变量,即 u = φ( x, y), v = ψ( x, y),且这两个函数具有连续偏导数,则复
合函数
z = f[φ( x, y),ψ( x, y)]
的全微分为
d z =�z�x
d x +�z�y
d y,
其中�z�x
=�z�u
·�u�x
+�z�v
·�v�x
,
�z�y
=�z�u
·�u�y
+�z�v
·�v�y
.
将�z�x
,�z�y
代入上式,得
d z �=�z�u
�u�x
+�z�v
�v�x
d x +�z�u
�u�y
+�z�v
�v�y
dy
=�z�u
�u�x
d x +�u�y
dy +�z�v
�v�x
d x +�v�y
d y
=�z�u
d u +�z�v
d v.
即,当 u, v 是中间变量时,(7)式也成立.这就证明了全微分形式不变性.
利用全微分形式不变性,比较容易地得出全微分的四则运算公式, �
d( u± v) = d u±d v,
d( u·v) = ud v + vd u,
·642·
duv
=vd u - ud v
v2 ( v≠0).
例如,d( uv) �=�( uv)�u
d u +�( uv)�v
d v = vd u + ud v.
利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公式,求函数的全微分会更简便些.
例 9 求 u =x
x2+ y
2+ z
2 的全微分及偏导数.
解 d u �=( x
2+ y
2+ z
2)d x - xd( x
2+ y
2+ z
2)
( x2+ y
2+ z
2)2
=( x
2+ y
2+ z
2)d x - x(2 xd x + 2 yd y + 2 zd z)( x
2+ y
2+ z
2)2
=( y
2+ z
2- x
2)d x - 2 xyd y - 2 xzdz
( x2+ y
2+ z
2)2 .
求出 d u,也同时得到了 u 的三个偏导数,即 '
�u�x
=y2+ z
2- x
2
( x2+ y
2+ z
2)2 ,
�u�y
=- 2 xy
( x2+ y
2+ z
2)2 ,
�u�z
=- 2 xz
( x2+ y
2+ z
2)2 .
例 10 设 z = f( x2+ xy,sin
2x),其中 f( u, v)有连续偏导数,求 d z 及
�z�x
,�z�y
.
解 设 u = x2+ xy, v = sin
2x,
d z �=�f�u
d u +�f�v
d v =�f�u
[(2 x + y)d x + xd y] +�f�v
(2sin xcos xd x)
= (2 x + y)�f�u
+ sin 2 x�f�v
d x + x�f�u
d y.
并同时得到
�z�x
= (2 x + y)�f�u
+ sin 2 x�f�v
, �z�y
= x�f�u
.
习题 8.4
1. 设 u = e x - 2 y, x = sin t, y = t3 ,求d ud t
.
2. 设 z = xay , y = ln x,求d zd x
.
3. 设 z = u2 v - uv2 , u = xcos y, v = xsin y,求�z�x
.
4. 设 z = ln( u2 + ysin x), u = ex + y ,求�z�x
,�z�y
.
5. 设 z = arctanxy, x = u + v, y = u - v,证明:
�z�u
+�z�v
=u - v
u2 + v2.
6. 设 z = (1 + 3 x)2 y,求
�z�x
,�z�y
.
7. 设 z = arcsin( y x),求�z�x
,�z�y
.
·742·
8. 设 z = xe- xy
+ sin( xy),求 dz.
9. 求下列函数的一阶偏导数(其中 f具有一阶连续偏导数)
(1) u = f( x2 - y2 ,exy); �(2) u = fxy,yz
;
(3) u = f( x, xy, xyz); (4) z = f( x2+ y
2);
(5) z = f xy,xy
.
10. 设 z = xy - x F( u)(其中 F( u)是可导函数), u =yx,证明:
x�z�x
+ y�z�y
= z + xy.
11. 设 z =y
f( x2- y
2),其中 f是可导函数,证明:
1x�z�x
+1y�z�y
=zy2
.
12. 设 z = f( u),其中 f有连续的导数, u = xy +yx,求 dz.
13. 设 u = xy + xφyx
,其中φ有连续的偏导数,证明:
x�u�x
+ y�u�y
= u + xy.
14. 设 u = f( x2+ y
2+ z
2),其中 f有连续导数,证明:y
�u�x
- x�u�y
= 0.
15. 设 z = f xy,xy
,其中 f有连续的偏导数.求 d z.
§8.5 隐函数微分法
一、由方程 F( x, y) =0所确定的隐函数 y= y( x)的求导公式
若函数 F( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处的偏导数�F�y P
0
≠0,则方程 F( x, y) = 0 在点 P0 的一个
邻域内,确定了一个隐函数 y = y( x),并假定 y( x)可导, F( x, y)可微,那么如何求d yd x
呢 ? 我们
在第三章已经给出了求隐函数的导数的方法.现在,利用二元复合函数的求导法则导出隐函数求
导的一般公式.
首先将方程确定的函数 y = y( x),代入方程 F( x, y) = 0,得恒等式
F[ x, y( x)]≡0,
将左端看成 x 的复合函数,两端对 x 求导,得
Fx + Fyd yd x
= 0.
·842·
由于假定 Fy ≠0,故有
d yd x
= -Fx
Fy. (1)
公式(1)就是由方程 F( x, y) = 0 确定的隐函数 y = y( x)的导数公式.需注意的是,公式(1)中的
Fx , Fy ,是二元函数 F( x, y)的两个偏导数,计算 Fx, Fy 要把 x 与 y 看成两个独立的自变量,不
能把 y 看成 x 的函数.
例 1 设 xsin y + yex= 0,求
d yd x
.
解 令 F( x, y) = xsin y + yex,则有
Fx = sin y + yex, Fy = xcos y + e
x.
代入公式(1),得
dyd x
= -Fx
Fy= -
sin y + yex
xcos y + ex .
例 2 设 x = y -12sin y,求
d yd x
.
解法 1 将方程写成 x - y +12sin y = 0.两端对 x 求导( y 是 x 的函数),得
1 -dyd x
+12cos y·
dyd x
= 0,
由于 cos y - 2≠0,所以得到
d yd x
=2
2 - cos y.
解法 2 用公式(1)求d yd x
.
令 F( x, y) = x - y +12sin y,则 Fx = 1, Fy = - 1 +
12cos y,代入公式(1),得
d yd x
= -Fx
Fy= -
1
- 1 +12cos y
=2
2 - cos y.
二、由方程 F( x, y,z) = 0所确定的隐函数 z= z( x, y)的偏导数公式
类似于一元隐函数情形,如果三元方程 F( x, y, z) = 0 确定了一个可导的二元隐函数 z =
z( x, y),假定 Fz ( x, y, z)≠0,应用同样的方法可以导出隐函数的两个偏导数公式.
将方程确定的函数 z = z( x, y),代入方程 F( x, y, z) = 0,得恒等式
F[ x, y, z( x, y)]≡0.
将上式左端看成 x, y 的复合函数,应用多元复合函数求导法则,两端分别对 x 和 y 求偏导,得
Fx·1 + Fy·0 + Fz·�z�x
= 0, Fx·0 + Fy·1 + Fz·�z�y
= 0,
前面已假定 Fz ≠0,由上式解出�z�x
,�z�y
,得
·942·
�z�x
= -Fx
Fz,
�z�y
= -Fy
Fz(2)
例 3 设 x2+ y
2+ z
2= 2 Rx,求
�z�x
,�z�y
( R 为常数).
解 将方程写成 x2+ y
2+ z
2- 2 R x = 0,令
F( x, y, z) = x2+ y
2+ z
2- 2 Rx,
得 Fx = 2 x - 2 R, Fy = 2 y, Fz = 2 z.
若 Fz = 2 z≠0,方程 F( x, y, z) = 0 确定的函数 z = z( x, y)的偏导数由公式(2),得
�z�x
= -Fx
Fz=
R - xz
, �z�y
= -Fy
Fz= -
yz.
例 4 设函数 z = z( x, y)由方程xz
= lnzy所确定,求
�z�x
,�z�y
.
解 将方程化简得
xz
= ln z - ln y.
令 F( x, y, z) = ln z - ln y -xz,
得
Fx = -1z, Fy = -
1y, Fz =
1z+
xz2 =
x + zz2 .
由偏导数公式得
�z�x
= -Fx
Fz= -
-1z
x + zz2
=z
x + z,
�z�y
= -Fy
Fz= -
-1y
x + zz2
=z2
( x + z) y.
例 5 设函数 z = z( x, y)由方程 x2+ z
2= 2 ye
z确定,求 dz.
解 先由方程求出两个偏导数,再求全微分.
令 F( x, y, z) = x2+ z
2- 2 ye
z,
得
Fx = 2 x, Fy = - 2ez, Fz = 2 z - 2 ye
z.
所以
�z�x
= -Fx
Fz
= -2 x
2 z - 2 yez =
xye
z- z
.
�z�y
= -Fy
Fz= -
- 2ez
2 z - 2 yez =
ez
z - yez .
因此有
·052·
d z =x
yez- z
d x +e
z
z - yez d y.
例 6 设 F( x - az, y - bz) = 0( a, b 为常数), F( u, v)为可微函数, Fz ≠0,证明由方程所
确定的函数 z = z( x, y)满足方程
a�z�x
+ b�z�y
= 1.
证 令 u = x - az, v = y - bz,得
�u�x
= 1,�u�y
= 0,�u�z
= - a,
�v�x
= 0,�v�y
= 1,�v�z
= - b.
Fx = Fu·�u�x
+ Fv·�v�x
= Fu,
Fy = Fu·�u�y
+ Fv·�v�y
= Fv ,
Fz = Fu·�u�z
+ Fv·�v�z
= - aFu - bFv.
由于 Fz ≠0,所以得
�z�x
= -Fx
Fz= -
Fu
- aFu - bFv=
Fu
aFu + bFv,
�z�y
= -Fy
Fz= -
Fv
- aFu - bFv=
Fv
aFu + bFv,
从而有
a�z�x
+ b�z�y
= aFu
aFu + bFv+ b
Fv
aFu + bFv= 1.
习题 8.5
1. 设方程 sin y + ex - xy2 = 0 确定函数 y= f( x),求d yd x
.
2. 设方程 x2 - 2 y2 + z2 - 4 x + 2 z - 5 = 0 确定函数 z= f( x, y),求�z�x
,�z�y
.
3. 设 ez= xyz 确定函数 z = f( x, y),求
�z�x
,�z�y
.
4. 设 x = x( y, z), y = y( x, z), z = z( x, y)都是由方程 F( x, y, z) = 0 所确定的,其中 F 有连续的偏导数,
且非零.证明:
�x�y
·�y�z
·�z�x
= - 1.
5. 设 F( x, u, v)为可微函数,求由方程 F( x, x + y, x + y + z) = 0 所确定的函数 z = f( x, y)关于 x 的偏
导数�z�x
.
6. 设 F( u, v)为可微函数,证明由方程
F x +zy, y +
zx
= 0
·152·
所确定的函数 z= z( x, y)满足
x�z�x
+ y�z�y
= z - xy.
§8.6 多元函数的极值
一、多元函数的极值
多元函数的极值在许多实际问题中有广泛的应用.现以二元函数为主,介绍多元函数的极值
概念、极值存在的必要条件和充分条件.
定义 设函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内有定义,如果在该邻域内任何点( x,
y)的函数值恒有
f( x, y)≤ f( x0 , y0 ) (或 f( x, y)≥ f( x0 , y0 )),
则称点( x0 , y0 )为函数的极大值点(或极小值点). f( x0 , y0 )为极大值(或极小值),极大值和极小
值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.
例 1 函数 f( x, y) = 1 + x2+ 2 y
2,在原点(0,0)处取得极小值 1.因为,对于任何点( x, y)
≠(0,0),都有
f( x, y) > f(0,0) = 1.
这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面(图 8.13).在曲面上点(0,0,1)的 z 坐标小
于曲面上其它点的 z坐标.
图 8 1.13 图 8 -.14
例 2 函数 f( x, y) = 1 - x2- 2 y
2,在原点(0,0)处取得极大值 1.因为对于任何( x, y)≠
(0,0)的点,都有
f( x, y) < f(0,0) = 1.
这函数的图形是椭圆抛物面(图 8.14),在曲面上点(0,0,1)的 z 坐标大于曲面上其它点的 z 坐
标.
如何求二元函数的极值呢 ? 我们知道,对于可微的一元函数,可以利用一阶、二阶导数来求
极值,对于可微的二元函数,也可以用偏导数给出极值存在的必要条件和充分条件.
·252·
定理 8.6(极值存在的必要条件) 设函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )取得极值,且在该点的
偏导数存在,则必有
fx ( x0 , y0 ) = 0, fy ( x0 , y0 ) = 0.
证 由于 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处有极值,所以当 y 保持常量 y0 时,对一元函数 z =
f( x, y0 )在 x0 点也必有极值,根据一元函数极值存在的必要条件,得 �
fx ( x0 , y0 ) = 0.
同理可得 fy ( x0 , y0 ) = 0.
使 fx ( x, y) = 0, fy ( x, y) = 0 同时成立的点( x0 , y0 ),称为函数 f( x, y)的驻点.
极值存在的必要条件为我们提供了寻找极值点的途径.对于偏导数存在的函数,如果有极值
点,则极值点一定是驻点.
应该注意,驻点不一定是极值点.例如,函数 z = xy,在点(0,0)处的两个偏导数同时为零,
即
zx (0,0) = 0, zy (0,0) = 0.
容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点.事实上,在点(0,0)的任意一个邻域内,总有使函数值为
正的点和为负的点存在,而点(0,0)处的函数值为 0,它既不是极大值也不是极小值.所以驻点
(0,0)并不是该函数的极值点.
还要注意:极值点也可能不是驻点,因为偏导数不存在的点也可能是极值点,如函数 z = 1 -
x2+ y
2在(0,0)点偏导数不存在,但在该点处取得极大值,故点(0,0)为极值点.
定理 8.6 告诉我们,在偏导数存在的条件下,函数的极值只能在驻点处取到,所以求函数的
极值点只需在函数的驻点中去寻找.但是如何判断这些驻点,哪些是极值点,哪些不是极值点 ?
如果是极值点,是极大值点还是极小值点 ? 下面给出驻点是极值点的充分条件.
定理 8.7(极值存在的充分条件) 设函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内有连续的
一阶与二阶偏导数,且( x0 , y0 )是函数的一个驻点,即 fx ( x0 , y0 ) = 0, fy ( x0 , y0 ) = 0,记 A =
fxx ( x0 , y0 ), B = fxy( x0 , y0 ), C = fyy ( x0 , y0 ),则
(1) 当 B2- A C < 0,且 A < 0 时,( x0 , y0 )为极大值点, f( x0 , y0 )为极大值;当 B
2- A C < 0,
且 A > 0 时,( x0 , y0 )为极小值点, f( x0 , y0 )为极小值.
(2) 当 B2- A C > 0 时, f( x0 , y0 )不是极值.
(3) 当 B2- A C = 0 时, f( x0 , y0 )可能是极值,也可能不是极值,此法失效.
证明从略.
综合定理 8.6,定理 8.7,对于具有二阶连续偏导数的函数 z = f( x, y),求极值的步骤如下:
1. 求方程组
fx ( x, y) = 0,
fy( x, y) = 0
的一切实数解,得到所有驻点.
2. 求出二阶偏导数 fx x ( x, y), fxy ( x, y), fyy ( x, y),并对每一驻点,求出二阶偏导数的值
A, B, C.
·352·
3. 对每一驻点( x0 , y0 ),算出 B2- A C 的符号,按照定理 8.7 的结论判定 f( x0 , y0 )是否为
极值,是极大值还是极小值.
例 3 求函数 z = x2- xy + y
2- 2 x + y 的极值.
解 求方程组
zx = 2 x - y - 2 = 0,
zy = - x + 2 y + 1 = 0
的一切实数解,得驻点(1,0).
求函数的二阶偏导数, zxx = 2, zxy = - 1, zyy = 2.
在(1,0)点处,有 A = 2, B = - 1, C = 2.
B2- A C = 1 - 4 = - 3 < 0,且 A > 0,
由极值存在的充分条件,得点(1,0)为极小值点, f(1,0) = - 1 为极小值.
例 4 求函数 f( x, y) = ex - y
( x2- 2 y
2)的极值.
解 求方程组
fx ( x, y) = ex - y
( x2- 2 y
2) + 2 xe
x - y= 0,
fy ( x, y) = - ex - y
( x2- 2 y
2) - 4 ye
x - y= 0
的一切实数解,得两个驻点(0,0),( - 4, - 2).
求函数 f( x, y)的二阶偏导数, �
fxx ( x, y) = ex - y
( x2- 2 y
2+ 4 x + 2),
fxy = ex - y
(2 y2- x
2- 2 x - 4 y),
fyy = ex - y
( x2- 2 y
2+ 8 y - 4).
在(0,0)点处,有 A = 2, B = 0, C = - 4.
B2- A C = 8 > 0.
由极值存在的充分条件,知点(0,0)不是极值点.
在( - 4, - 2)点处,有 A = - 6e- 2, B = 8e
- 2, C = - 12e
- 2.
B2- A C = 64e
- 4- 72e
- 4= - 8e
- 4< 0,
而 A < 0,由极值存在的充分条件,知点( - 4, - 2)为极大值点, f( - 4, - 2) = 8e- 2是函数的极大
值.
二、多元函数的最大值与最小值
如果函数 z = f( x, y)在有界闭域 D 上连续,则在闭区域 D 上函数一定能取得最大值和最
小值.如何求函数 z = f( x, y)在区域 D 上的最大值,最小值呢 ? 如果 f( x, y)在 D 上可微,可
先求出函数在该区域内一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函
数值中的最大的就是函数在 D 上的最大值,最小的就是函数在 D 上的最小值.
由于要求出函数 f( x, y)在域 D 的边界上的最大值与最小值,这种做法比较复杂(它与后面
第三段中要讲的条件极值有关).在通常遇到的实际问题中,如果知道函数 f( x, y)的最大值或
最小值一定在域 D 的内部取到,而函数在 D 内只有一个极值点,则可以断定该点处的函数值就
·452·
是 f( x, y)在 D 上的最大值或最小值.
例 5 要用铁板做一个体积为常数 a的有盖的长方形水箱,问水箱各边的尺寸多大时,用材
料最省.
图 8.15
解 设水箱的长、宽、高分别为 x, y, z(如图 8.15),于是体积 a =
xyz.设长方形水箱的表面积为 A,则有
A = 2( xy + xz + yz).
将 z =axy
代入 A 的表达式中,得
A( x, y) = 2 xy +ax+
ay
.
这样问题归结为当 x > 0, y > 0 时,求函数 A( x, y)的最小值.即,当表面积 A 最小时,所用的材
料最省.为此,求函数 A( x, y)的驻点.
�A�x
= 2 y -ax2 = 0,
�A�y
= 2 x -ay2 = 0.
由第一个方程,得 y =ax2 ,将 y =
ax2 代入第二个方程,得
ax - x4= 0
因 x≠0,所以 x =3
a,于是 y =3
a,求得函数 A( x, y)在 D 内惟一的一个驻点(3
a,3
a).
根据实际问题可以断定, A( x, y)在 D 内一定有最小值,而我们求得的结果在 D 内只有惟
一驻点(3
a,3
a),故该驻点就是 A( x, y)的最小值点,即当 x =3
a, y =3
a时,表面积 A 取得最
小值.此时高 z =axy
=3
a,即水箱为正立方体,每边长为3
a时,所用材料最省.
三、条件极值
从上述例 5 我们看到,求水箱用料最省这一实际问题转化为数学问题就是求二元函数
A( x, y) = 2 xy +ax
+ay
(1)
在 x > 0, y > 0 时的最小值问题.但是,从函数 A( x, y)的建立过程也可以看成是求三元函数
A = 2( xy + xz + yz)
的最小值,其中 x, y, z 满足条件
xyz = a.
将条件 xyz = a 称为约束条件,这就是所谓的条件极值问题.条件极值的一般提法是:
求函数 z = f( x, y),在约束条件 φ( x, y) = 0 下的极值,称这种类型的极值问题为条件极值
问题.相对于条件极值,我们把函数(1)的极值问题称为无条件极值.实际问题中的最大、最小值
问题,很多都是条件极值.从例 5 可看到,对条件极值问题,可以把约束条件代入函数,化成无条
件极值来解决.
·552·
但是,将条件极值问题化为无条件极值问题有时是很困难的.下面我们以二元函数为例,介
绍求条件极值的拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法 求函数 z = f( x, y)在条件 φ( x, y) = 0 下的极值,按以下方法进行:
构造辅助函数 F( x, y,λ) = f( x, y) + λφ( x, y),其中 λ称为拉格朗日乘数.
求 F( x, y,λ)的偏导数,并建立方程组
Fx ( x, y,λ) = fx ( x, y) + λφx ( x, y) = 0,
Fy ( x, y,λ) = fy ( x, y) + λφy ( x, y) = 0,
Fλ( x, y,λ) = φ( x, y) = 0.
解该方程组,得 x, y 及λ,则( x, y)是可能极值点的坐标.至于如何判定所求得的可能极值点是
否为极值点,已超出本书的要求.但在实际问题中,通常可根据问题本身的性质来确定.这种求条
件极值的方法称为拉格朗日乘数法(证明从略).
例 6 设周长为 2 p 的矩形,绕它的一边旋转构成圆柱体,求矩形的边长各为多少时,圆柱体
的体积最大.
解 设矩形的边长分别为 x 和 y,且绕边长为 y的边旋转,得到的旋转圆柱体的体积为
V =πx2y, x > 0, y > 0,
其中矩形边长 x, y 满足的约束条件是
2 x + 2 y = 2 p,即 x + y = p.
现在问题是,求函数 V = f( x, y) =πx2y,在条件 x + y - p = 0 下的最大值.
构造辅助函数:
F( x, y,λ) =πx2y + λ( x + y - p),
求 F( x, y,λ)的偏导数,并建立方程组
Fx ( x, y,λ) = 2πxy + λ= 0,
Fy ( x, y,λ) =πx2+ λ= 0,
Fλ( x, y,λ) = x + y - p = 0.
由方程组中的第一、二两个方程消去 λ,得 2 y = x,代入第三个方程,得
y =p3, x =
23
p.
根据实际问题,最大值一定存在,且只求得惟一的可能极值点,所以函数的最大值必在点
23p,
13p 处取到.即,当矩形边长 x =
23
p, y =13p 时,绕 y 边旋转所得的圆柱体的体积最大,
V m ax =427πp
3.
例 7 某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同.第一个工厂生产 x 个产品和第
二个工厂生产 y 个产品时的总成本为 z = x2+ 2 y
2+ 5 xy + 700,若公司的生产任务是 500 个产
品,问每个工厂各生产多少个产品才能使总成本最小 ?
解 根据题意,就是求函数 z = f( x, y) = x2+ 2 y
2+ 5 xy + 700 在条件 x + y = 500 下的最
小值.
构造辅助函数
·652·
F( x, y,λ) = x2+ 2 y
2+ 5 xy + 700 + λ( x + y - 500),
求 F( x, y,λ)的偏导数,并建立方程组
Fx = 2 x + 5 y + λ= 0,
Fy = 4 y + 5 x + λ= 0,
Fz = x + y - 500 = 0.
解该方程组,前两个方程相减,得 y = 3 x,将 y = 3 x 代入第三个方程解得 x = 125, y = 375.
根据题意,最小值一定存在,且只求得惟一的可能极值点.所以函数的最小值必在 x = 125,
y = 375 处取到.即当第一个工厂生产 125 个产品,第二个工厂生产 375 个产品时,所需的总成本
最小.
习题 8.6
1. 求下列函数的驻点,并判断是否为极值点(说明是极大值点,还是极小值点).
(1) z = x2+ y
2; (2) z = ( x - y + 1)
2;
(3) z = x3+ y
3- 3( x
2+ y
2).
2. 求函数 f( x, y) = 4( x - y) - x2 - y2 的极值.
3. 求函数 f( x, y) = e2 x ( x + y2 + 2 y)的极值.
4. 求函数 f( x, y) = x3+ y
3- 9 xy + 27 的极值.
5. 求函数 z = xy 在条件 x + y = 1 下的极大值.
6. 将正数 a分成三个正数之和,使它们的乘积为最大,求这三个正数.
7. 在平面 x + z = 0 上求一点,使它到点 A(1,1,1)和 B(2,3, - 1)的距离平方和最小.
8. 建造容积为 V 的开顶长方体水池,长、宽、高各应为多少时,才能使表面积最小.
复 习 题 八
一、选择题
1. z = ln x2 - y2 的定义域为( ).
A. x2 - y2 ≥1; (B. x2 - y2≥0; �C. x2 - y2 > 1; �D. x2 - y2 > 0.
2. 如果 f( x, y)在( x0 , y0 )的某邻域内 limx→ x
0y→ y
0
f( x, y)存在,则 f( x, y)在( x0 , y0 )处( ).
A. 连续; B. 可微; C. 间断; D . 不一定连续.
3. 函数 z = f( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数为( ).
A. limΔx→0
f( x0 +Δx, y0 +Δy) - f( x0 , y0 )Δx
; B. limΔy→0
f( x0 +Δx, y0 +Δy) - f( x0 , y0 )Δy
;
C. limΔx→0
f( x0 +Δx, y0 ) - f( x0 , y0 )Δx
; D. limΔy→0
f( x0 , y0 +Δy) - f( x0 , y0 )Δy
.
4. 如果 f( x, y)有连续二阶偏导数,则�2 f( x, y)�x�y
= ( ).
A. 0; B.�2 f( x, y)
�x2 ; C.�2 f( x, y)
�y2; D .
�2 f( x, y)�y�x
.
5. 如果( x0 , y0 )为 f( x, y)的极值点,且 f( x, y)在( x0 , y0 )处的两个一阶偏导数存在,则( x0 , y0 )点必为
·752·
f( x, y)的( ).
A. 最大值点; B. 驻点; C. 连续点; D . 最小值点.
二、填空题
1. 设 z = e x2y ,则
�z�x
= .
2. 设 f( x, y) = e- xsin( x + 2 y),则 fx 0,
π4
= .
3. 设 z = f( x, y), x = ρcosθ,y = ρsin θ,则�z�θ
= .
4. 设方程 x2 + 2 y2 + 3 z2 - yz = 0 确定了函数 z= z( x, y),则�z�y
= .
5. 设 z = x2+ sin y, x = cos t, y = t
3,则
dzdt
= .
三、解答题
1. 已知 f( x, y) = 1 + x - y2 ,求 f( x +Δx, y +Δy) - f( x, y).
2. 若 fyx
=x2+ y
2
x( x > 0),求 f( x).
3. 求下列函数关于各个自变量的偏导数:
(1) z = ln x2 + y2 ; �(2) u = xyz ;
4. 设 f( x, y) =3
x2+ y
2,求 fx (1,1), fy (1,2).
5. 验证下列各式:
(1) z =yxarcsin
xy,满足 x
�z�x
+ y�z�y
= 0;
(2) z = ln x2+ y
2 ,满足�2 z�x2 +
�2 z�y2
= 0.
6. 设 u =1
x2 + y2,求
�2u
�x2 +�
2u
�y2.
7. 设 u = eax + by + cz ,求 du.
8. 设 z = u2ln v, u =
yx, v = 3 y - 2 x,求
�z�x
,�z�y
.
9. 设 z = arcsinxy,求
�z�x
,�z�y
,d z.
10. 设 z = f( u, v), u = ln( x2 - y2 ), v = xy2 , f( u, v)为可微函数,求�z�x
,�z�y
.
11. 设 z = e( x - 2 y) +1t, x = sin t, y = t3 ,求
dzd t
.
12. 设 z = f x,xy
, f是可微函数,求�z�x
,�z�y
.
13. 证明下列各式:
(1) z = Fyx
, F 是可微函数,满足 x�z�x
+ y�z�y
= 0;
(2) z = yφ[cos( x - y)],φ是可微函数,满足�z�x
+�z�y
=zy.
14. 求方程x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1 所确定的函数 z= z( x, y)的偏导数.
·852·
15. 求由方程xz
= lnzy所确定的函数 z = z( x, y)的偏导数.
16. 求函数 z = x2+ xy + y
2- 3 ax - 3 by 的极值.
·952·
第九章 二 重 积 分
二重积分属于二元函数积分学的内容,它是定积分的推广.
§9.1 二重积分的概念及性质
一、引例
引例 1 质量问题
已知平面薄板 D 的面密度(即单位面积的质量)μ= μ( x, y)随点( x, y)的变化而连续变化,
求 D 的质量(图 9.1).
图 9.1
解 像引入定积分定义一样,这里分三步解决这个问题.
分割 由于质量分布非均匀,为了得到质量的近似值,将 D 用两组曲
线任意分割成 n 个小块:
Δσ1 ,Δσ2 ,⋯,Δσn ,
其中任意两小块Δσi 和 Δσj (i≠ j)除边界外无公共点.与一元函数的情况
类似,我们用符号 Δσi 既表示第 i 个小块,也表示第 i 个小块的面积
(i = 1,2,⋯, n).
近似、求和 记λi 为Δσi 的直径(即λi 表示Δσi 中任意两点间距离的最大值),则当λi 很小
时,可近似地认为在Δσi 上,质量分布是均匀的,而将任意一点(ξi,ηi )∈Δσi 处的密度μ(ξi,ηi)
近似看作为整个小块Δσi 的面密度(因为 μ( x, y)是连续函数,它在Δσi 上变化很小).得
Δ mi≈μ(ξi,ηi )Δσi.
故所要求的质量 m 的近似值为
m≈ ∑n
i = 1
μ(ξi,ηi )Δσi.
取极限 上面的近似值当λi 越小越精确,若记 λ= max {λ1 ,⋯,λn },则定义
limλ→0 ∑
n
i = 1
μ(ξi,ηi)Δσi (1)
为所求薄板 D 的质量 m.
引例 2 曲顶柱体的体积.
若有一个柱体,它的底是 Oxy 平面上的闭区域 D,它的侧面是以 D 的边界曲线为准线,且
母线平行于 z 轴的柱面,它的顶是曲面 z = f( x, y),设 f( x, y)≥0 为 D 上的连续函数.我们称
·062·
这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.
解 像引例 1 一样,也分三步解决这个问题,如图 9.2 所示.
图 9.2
分割 由于曲顶柱体顶高 f( x, y)是个变量,先将区域 D 用
两组曲线任意分割成 n 个小块:
Δσ1 ,Δσ2 ,⋯,Δσn ,
其中任意两小块Δσi 和Δσj (i≠ j)除边界外无公共点.其中Δσi
既表示第 i个小块之名,也表示第 i个小块的面积.
近似、求和 记 λi 为Δσi 的直径(即 λi 表示Δσi 中任意两
点间距离的最大值),则当 λi 很小时,在Δσi 中任取一点(ξi,
ηi),以 f(ξi,ηi)为高而底为Δσi 的平顶柱体体积为
f(ξi,ηi)Δσi.
可以将其认作为小曲顶柱体体积的近似值,故曲顶柱体的近似值可以取为
∑n
i = 1
f(ξi,ηi)Δσi.
取极限 若记λ= max{λ1 ,λ2 ,⋯,λn },则定义
limλ→0 ∑
n
i = 1
f(ξi,ηi)Δσi
为所讨论的曲顶柱体的体积.
上面两个引例的实际意义不同,但是都归结为同一形式的和的极限.我们把这种和的极限抽
象为二元函数在平面闭区域 D 上二重积分的定义.
二、二重积分的定义
现在,我们可以仿照定积分的定义,给出二重积分的定义.
定义 1 设 f( x, y)在闭区域 D 上有定义且有界.
分割 将 D 用任意两组曲线分割成 n 个小块 Δσ1 ,Δσ2 ,⋯,Δσn ,其中任意两小块Δσi 和
Δσj(i≠j)除边界外无公共点,Δσi 既表示第 i小块之名,也表示第 i小块的面积.
近似、求和 对任意点(ξi,ηi)∈Δσi,作和式
∑n
i = 1
f(ξi,ηi)Δσi.
取极限 记λ= max{λ1 ,λ2 ,⋯,λn }, 若极限limλ→0 ∑
n
i = 1
f(ξi,ηi)Δσi.存在,且它不依赖于区域
D 的分法,也不依赖于点(ξi,ηi)的取法,称此极限为 f( x, y)在 D 上的二重积分.记为
� D
f( x, y)dσ=limλ→ 0 ∑
n
i = 1
f(ξi,ηi)Δσi. (2)
称 f( x, y)为被积函数; D 为积分区域; x, y 为积分变元;dσ为面积微元(或面积元素).
由这个定义可知,质量非均匀分布的薄板 D 的质量等于其面密度μ( x, y)在 D 上的二重积
·162·
分.因此二重积分� D
f( x, y)dσ的物理意义可以解释为:二重积分的值等于面密度为 f( x, y)的
平面薄板 D 的质量.
像定积分那样,二重积分� D
f( x, y)dσ的几何意义也可以解释为:
(1) 如果在区域 D 上 f( x, y)≥0,则� D
f( x, y)dσ表示以区域 D 为底,以 f( x, y)为曲顶的
曲顶柱体的体积.
(2) 如果在区域 D 上 f( x, y)≤0,则上述曲顶柱体在 O xy 面的下方,二重积分� D
f( x, y)dσ
的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积.
(3) 如果 f( x, y)在 D 的某些子区域上为正的,在 D 的另一些子区域上为负的,则� D
f( x,
y)dσ表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在 O xy 平面之上的曲顶柱体体积减去
O xy 平面之下的曲顶柱体的体积).
二重积分的存在定理 若 f( x, y)在有界闭区域 D 上连续,则 f( x, y)在 D 上的二重积分
必存在(即 f( x, y)在 D 上必可积).
三、二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.为了叙述方便,假设下面各性质中所涉及的函数 f( x,
y), g( x, y)在区域 D 上都是可积的.
性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积,且函数代数和的积分等于各函数积分的代数
和,即
� D
[ f( x, y)± g( x, y)]dσ =� D
f( x, y)dσ±� D
g( x, y)dσ.
性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面,即
� D
kf( x, y)dσ = k� D
f( x, y)dσ ( k 为常数).
性质 3 若 D 可以分为两个区域 D1 , D2 ,它们除边界外无公共点,则
� D
f( x, y)dσ =� D1
f( x, y)dσ+� D2
f( x, y)dσ.
性质 4 若在积分区域 D 上有 f( x, y) = 1,且用 S( D)表示区域 D 的面积,则
� D
dσ = S( D) .
性质 5 若在 D 上处处有 f( x, y)≤ g( x, y),则有
� D
f( x, y)dσ≤� D
g( x, y)dσ.
推论
·262·
� D
f( x, y)dσ ≤� D
| f( x, y) | dσ.
性质 6(估值定理) 若在 D 上处处有 m≤f( x, y)≤ M ,且 S( D)为区域 D 的面积,则
m S( D) ≤� D
f( x, y)dσ≤ M S( D) . (3)
性质 7(二重积分中值定理) 设 f( x, y)在有界闭区域 D 上连续,则在 D 上存在一点(ξ,
η),使
� D
f( x, y)dσ = f(ξ,η) S( D) . (4)
证 由 f( x, y)在 D 上连续知, f( x, y)在 D 上能达到其最小值 m 和最大值 M,因而估值
式(3)成立.即有
m≤1
S( D)� D
f( x, y)dσ≤ M
成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知,存在(ξ,η)∈ D,使
f(ξ,η) =1
S( D)� D
f( x, y)dσ. (5)
在(5)式的等号右边的式子称为函数 f( x, y)在 D 上的平均值.因而,积分中值定理又可以
这样说:“对有界闭区域 D 上连续函数 f( x, y),必在 D 上存在一个点(ξ,η),使 f(ξ,η)取 f( x,
y)在 D 上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值定理.
例 1 设 D 是圆环域:1≤ x2+ y
2≤4,证明
3πe≤� D
ex2+ y
2
dσ≤3πe4.
解 在 D 上, f( x, y) = ex2+ y
2
的最小值 m = e,最大值 M = e4.而 D 的面积 S( D) = 4π-π=
3π.由估值公式(3)得
3πe≤� D
ex2+ y
2
dσ≤3πe4.
习题 9.1
1. 证明不等式πe
≤� D
e- x2- y
2
dσ≤π,其中 D: x2 + y2≤1.
2. 设 D1 是以(1,1),( - 1,1),( - 1, - 1)和(1, - 1)为顶点的一个正方形区域, D 2 是圆域 x2 + y2 ≤2, D3
是以 x = ±1.5 及 y = ±1.5 四条直线围成的正方形区域, f( x, y)是非负的连续函数.试证明
� D1
f( x, y)dσ≤� D2
f( x, y)dσ≤� D3
f( x, y)dσ.
§9.2 二重积分的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算,简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重
·362·
积分的几何意义来引出这种计算方法.
一、二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中,如果用平行于两个坐标轴的两组直线段,将区域 D 分割成 n 个小块Δσ1 ,
Δσ2 ,⋯,Δσn .则除了包含区域 D 的边界曲线的小块外,其余小块都为矩形,其面积为边长Δxi
与Δyj 之积.因此,在直角坐标系中,面积元 dσ= d xd y,从而有
� D
f( x, y)dσ =� D
f( x, y)d xd y .
由定积分的几何应用:设一立体满足 a≤ x≤ b,在区间[ a, b]上任取一点 x,过该点作垂直
于 x 轴的平面与所给立体相截,若截面面积为 S( x),则所给立体体积
V =∫b
aS( x)d x .
设区域 D 的边界曲线与平行于 y 轴的直线至多有两个交点.区域 D 可以用不等式表示为
y1 ( x)≤ y≤y2 ( x) a≤ x≤ b. (1)
在[ a, b]上取定一点 x,过该点作垂直于 x 轴的平面截曲顶柱体,所得截面为一曲边梯形,
如图 9.3(a)所示.将所截得的曲边梯形投影到 Oyz 坐标面,如图 9.3(b)所示,它是在区间
[ y1 ( x), y2 ( x)]上,以 z = f( x, y)为曲边的曲边梯形(将 x 认定为不变),因此这个截面的面积
可以由对变元 y 的定积分来表示.
S( x) =∫y2( x)
y1( x)
f( x, y)d y .
图 9.3
故曲顶柱体的体积,也就是二重积分为
� D
f( x, y)d xd y =∫b
aS( x)d x =∫
b
a∫
y2( x)
y1( x)
f( x, y)d y d x. (2)
称之为将二重积分化成了先对 y 积分,后对 x 积分的二次积分.
需要指出,计算∫y2( x)
y1( x)
f( x, y)d y 时,应将 x 视为常量,按定积分的计算方法解之.
·462·
为了简便常记为
� D
f( x, y)d xdy =∫b
ad x∫
y2( x)
y1( x)
f( x, y)dy .
同样,设区域 D 的边界曲线与平行于 x 轴的直线至多有两个交点.区域 D 可以用不等式表
示为
x1 ( y)≤ x≤ x2 ( y) c≤y≤ d. (3)
在[c, d]上取定一点 y,过该点作垂直于 y 轴的平面截曲顶柱体,所得截面也为一曲边梯
形,如图 9.4(a)所示.若截面面积为 S( y),则
S( y) =∫x2( y)
x1( y)
f( x, y)d x .
所给立体体积
V =∫d
cS( y)d y .
因此
� D
f( x, y)d xd y =∫d
cS( y)d y =∫
d
c∫
x2( y)
x1( y)
f( x, y)d x dy =∫d
cd y∫
x2( y)
x1( y)
f( x, y)d x. (4)
图 9.4
即化成先对变元 x 积分,后对变元 y 积分的二次积分.
在上述讨论中,我们假定 f( x, y)≥0,但是实际上,上述结论并不受此限制.
先对 x 积分时,∫x2( y)
x1( y)
f( x, y)d x 中的 y应视为常量,按定积分的计算方法解之.
如果积分区域 D 的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交,其交点多于两个,则可以先将区
域 D 划分为几个子区域,其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时,交点不多
于两个,利用前述方法及二重积分的可加性可求区域 D 上的二重积分.
由前面分析可知,将二重积分表示为二次积分(2)的关键是将积分区域 D 用不等式组(1)表
示.将二重积分表示为二次积分(4)的关键是将积分区域 D 用不等式组(3)表示.
为了便于确定积分区域 D 的不等式表达式,通常可以采用下述步骤:
(1) 画出积分区域 D 的图形.
·562·
(2) 若先对 y积分,且平行于 y 轴的直线与区域 D 的边界线的交点不多于两点,那么确定
关于 y 的积分限的方法是:
作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交,沿着 y轴的正向看,所作出的直线与区域 D 先相交的
边界曲线 y = y1 ( x),称之为入口曲线,作为积分下限.该直线离开区域 D 的边界线 y = y2 ( x),
称之为出口曲线,作为积分上限.
而后对 x 积分时,其积分区间为区域 D 在 O x 轴上投影区间[ a, b], a 是下限, b 是上限,即
� D
f( x, y)d xdy =∫b
ad x∫
y2( x)
y1( x)
f( x, y)d y.
如果所作出的平行于 y 轴的直线与区域 D 相交时,在不同的范围内,入口曲线或出口曲线
不同,则应该将积分区域 D 分为几个部分,在每个部分区域上,所作出的直线与区域 D 的入口
曲线与出口曲线惟一确定.
图 9.5
例 1 用二重积分计算由平面 2 x + 3 y + z = 6
和三个坐标平面所围成的四面体的体积.
解 如图 9.5(a),即求以 z = 6 - 2 x - 3 y 为顶,
以△ A B O 围成区域 D 为底的柱体体积.也就是计算
二重积分
� D
(6 - 2 x - 3 y)dσ.
解法 1 积分域 D 的图形如图 9.5(b)所示,先
对 y 积分.
作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交,沿 y 轴正
向看,入口曲线为 y = 0,作为积分下限.出口曲线为
y = 2 1 -x3
,作为积分上限.
积分区域 D 在 x 轴上投影区间为[0,3],所以 �
� D
(6 - 2 x - 3 y)dσ=∫3
0d x∫
2 1 -x3
0(6 - 2 x - 3 y)d y
=∫3
0(6 - 2 x) y -
32y2
2 1 -x3
0d x
=∫3
012 1 -
x3
2
- 6 1 -x3
2
d x = 6∫3
01 -
x3
2
d x = 6.
说明 先作内层积分∫2 1 -
x3
0(6 - 2 x - 3 y)d y 时,应将 x 视为常量,按定积分的计算方法解
之.
解法 2 也可先对 x 积分,作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交,沿 x 轴正向看,入口曲线为
x = 0,作为积分下限.出口曲线为 x = 3 1 -y2
,作为积分上限.积分区域 D 在 y轴上投影区间
为[0,2],所以,则
·662·
� D
(6 - 2 x - 3 y)dσ �=∫2
0dy∫
3 1 -y2
0(6 - 2 x - 3 y)d x =∫
2
0[6 x - x
2- 3 yx]
3 1 -y2
0 d y
=∫2
09 1 - y +
y2
4d y = 6.
这个结果与我们熟知的四面体的体积 V =13底×高 =
13
12×2×3 ×6 = 6 是一致的.
例 2 计算积分 � D
yx2 d x dy,其中 D 是正方形区域:1≤ x≤2,0≤ y≤1.
解 像这样的正方形区域可以不必画,即得
� D
yx2 d x d y =∫
2
1d x∫
1
0
yx2 d y =∫
2
1
12 x
2 y2
1
0
d x =12∫
2
1
d xx2 =
14.
例 3 计算积分 � D
sin x cos yd xd y,其中 D 是由 y = x, y = 0 和 x =π2所围成的三角形区
图 9.6
域(图 9.6).
解法 1 先对 y 积分.作平行于 y轴的直线与积分区域 D 相交,沿着
y轴的正方向看,入口曲线为 y = 0;出口曲线为 y = x. D 在 x 轴上的投
影区间为 0,π2
.所以 �
� D
sin x cos y d xd y =∫π2
0d x∫
x
0sin x cos y dy
=∫π2
0sin x·sin y
x
0d x =∫
π2
0sin
2x d x =
π4.
解法 2 先对 x 积分.作平行于 x 轴的直线与积分区域 D 相交,沿 x 轴的正方向看,入口曲
线为 x = y,出口曲线为 x =π2. D 在 y 轴上的投影区间为 0,
π2
.故
图 9.7
\ � D
sin x cos y d x d y =∫π2
0d y∫
π2
ysin x cos y d x
=∫π2
0cos y·[- cos x]
π2
ydy =∫
π2
0cos
2y dy =
π4.
例 4 计算积分� D
y d x d y,其中 D 由 x2+ y
2≤1, y≥0 确定.
解法 1
积分区域 D 如图 9.7 所示.
先对 y 积分,作平行于 y轴的直线与区域 D 相交,沿着 y 轴正方向
看,入口曲线为 y = 0;出口曲线为 y = 1 - x2,因此
0≤ y≤ 1 - x2.
积分区域 D 在 x 轴上的投影区间为[ - 1,1].故
·762·
� � D
y d x d y =∫1
- 1d x∫
1 - x2
0y d y
=∫1
- 1
12y2
1 - x2
0d x =
12∫
1
- 1(1 - x
2)d x =
23.
解法 2 先对 x 积分.作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交,沿着 x 轴正方向看,入口曲线为
x = - 1 - y2,出口曲线为 x = 1 - y
2,因此
- 1 - y2≤ x≤ 1 - y
2
积分区域 D 在 y 轴上的投影区间为[0,1].故 v
� D
y d x d y =∫1
0d y∫
1 - y2
- 1 - y2y d x =∫
1
0yx
1 - y2
- 1 - y2dy
= 2∫1
0y 1 - y
2d y =
23[ - (1 - y
2)
32 ]
10 =
23.
比较两种解法可知,解法 1 比解法 2 简便些.说明将二重积分化为二次积分时,应注意选择
积分次序.
例 5 计算积分� D
xy cos( xy2) d x dy,其中 D 是由不等式:
0≤ x≤π2,0≤ y≤2 所确定的长方形区域.
解 像这个题可以不必画积分区域.分析被积函数可知,如果先对 x 积分,需用分部积分
法.而如先对 y积分则不必用分部积分,计算会简单些.因此,我们选择先对 y 积分,即 �
� D
xy cos( xy2) d x dy �=∫
π2
0d x∫
2
0xy cos( xy
2)d y
=12∫
π2
0[sin( xy
2)]
2
0 d x =
12∫
π2
0sin 4 x d x = 0.
图 9.8
例 6 计算� D
x2
y2 d x d y,其中 D 由不等式 y≤ x,1≤ xy 及 x≤2 所确
定.
解 积分区域如图 9.8 所示
解法 1 化为先对 y积分后对 x 积分的二次积分.
作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交,沿 y轴正方向看,入口曲线为
y =1x;出口曲线为 y = x,因此
1x≤ y≤ x.
为了求出区域 D 在 x 轴上的投影区间,可以先求解方程组y = x,
xy = 1,可得解
x = 1,
y = 1.求解方程
·862·
组xy = 1,
x = 2,可得
x = 2,
y =12.可知区域 D 在 x 轴上的投影区间为[1,2].
故
� D
x2
y2 d xd y �=∫
2
1x2d x∫
x
1x
1y2 dy =∫
2
1x2
x -1x
d x
=14( x
4- 2 x
2)
2
1=
94.
解法 2 化为先对 x 积分后对 y 积分的二次积分.
作平行于 x 轴的直线与积分区域 D 相交,可知入口曲线不惟一,这需要将积分区域分为两
个子区域.
求解方程组y = x,
x = 2,可得解
x = 2,
y = 2.因此可知区域 D 在 y轴上的投影区间为
12,2 .
当12≤y≤1 时,平行于 x 轴的直线与区域 D 相交时,沿 x 轴正方向看,入口曲线为 x =
1y;
出口曲线为 x = 2.
当 1≤ y≤2 时,平行于 x 轴的直线与区域 D 相交时,沿 x 轴正方向看,入口曲线为 x = y;
出口曲线为 x = 2.
故
� D
x2
y2 d xdy :=∫
1
12
d y∫2
1y
x2
y2 d x +∫
2
1dy∫
2
y
x2
y2 d x
=∫1
12
13
8y2 -
1y5 d y +∫
2
1
13
8y2 - y d y
=13
14 y
4 -8y
1
12
+13
-8y-y2
2
2
1=1712
+56
=94.
显然解法 1 比解法 2 简便.因此可以说选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问
题.
图 9.9
例 7 计算积分� D
sin xx
d xdy ,其中区域 D 由直线 y = x, y = 0 与 x = 1 围成的区域.
解 由不定积分可知∫sin xx
d x 不能用初等函数表示出来,因此,所给积分不能化为先对 x
积分后对 y积分的积分次序.
积分区域 D 的图形如图 9.9 所示.
欲化为先对 y积分后对 x 积分的二次积分.作平行于 y 轴的直线与
区域 D 相交,沿 y轴正方向看,入口曲线为 y = 0;出口曲线为 y = x,因此
0≤ y≤ x.
将积分区域 D 投影到 x 轴上,投影区间为[0,1].故
� D
sin xx
d xd y $=∫1
0d x∫
x
0
sin xx
dy =∫1
0
sin xx
yx
0
d x
·962·
=∫1
0sin xd x = 1 - cos 1 .
例 8 计算二次积分
∫1
0d y∫
1
y
sin xx
d x .
解 由不定积分可知∫sin xx
d x 其被积函数sin xx
的原函数不能用初等函数表示,因此依题
中所给积分次序不能计算出此二重积分.对此类问题常考虑采用交换积分次序的方法来解决.其
一般步骤为:
(1) 先依给定的二次积分限,写出积分区域 D 的范围,并依此作出 D 的图形.
(2) 再依区域 D 的图形,依前述确定积分限的方法,确定出另一种积分次序的积分限.
本例的具体演算如下:
由给定的积分限可知积分区域 D 的范围为
0≤ y≤1(外层积分限所确定),
y≤ x≤1(内层积分限所确定).
依上述不等式组可作出区域 D 的图形,如图 9.9 所示.
再按例 7 化为先对 y 积分后对 x 积分的二次积分.
于是
∫1
0d y∫
1
y
sin xx
d x =∫1
0d x∫
x
0
sin xx
d y = 1 - cos 1.
例 8 通常又称为交换二重积分次序问题.
例 9 交换二次积分 I =∫1
0d y∫
y
0f( x, y)d x +∫
2
1dy∫
2 - y
0f( x, y)d x 的积分次序.
解 所给积分由两部分组成,设它们的积分区域分别为 D 1 与 D2 .先依给定的积分限将积
分区域 Di 用不等式表示:
D 1 :0≤ y≤1,
0≤ x≤y, D2 :
1≤ y≤2,
0≤ x≤2 - y.
积分区域 D1 , D2 的图形如图 9.10 所示.由于y = 1
x = y的解为(1,1),
y = 1,
x = 2 - y的解也为(1,
图 9.10
1),且 D1 , D2 有一条公共边界 y = 1.因此可知 D1 与 D2 可以合并
为区域 D.
如果转换为先对 y 积分,后对 x 积分,只需作平行于 y 轴的直
线与区域 D 相交,沿 y轴正方向看,入口曲线为 y = x,出口曲线为
y = 2 - x,因此 x≤y≤2 - x,在 D 中 0≤ x≤1,于是
I =∫1
0d x∫
2 - x
xf( x, y)d y .
例 10 交换二次积分
I =∫1
0d x∫
x2
0f( x, y)d y +∫
2
1d x∫
2 - x
0f( x, y)d y
·072·
的积分次序.
解 所给积分由两部分组成,设它们的积分区域分别为 D1 与 D2 .
先依给定的积分限将积分区域 Di 用不等式表示:
D 1 :0≤ x≤1,
0≤ y≤ x2, D2 :
1≤ x≤2,
0≤ y≤2 - x.
积分区域 D1 , D2 的图形如图 9.11 所示.
图 9.11
区域 D1 , D 2 有公共边界 x = 1,且由于y = x
2
x = 1的解为(1,1),而
y = 2 - x
x = 1的解为(1,1),可知 D1 , D 2 可以合并为 D.
如果换为先对 x 积分,后对 y 积分,作平行于 x 轴的直线与 D
相交,沿 x 轴正方向看,入口曲线为 x = y,出口曲线为 x = 2 - y,
因此 y≤ x≤2 - y.在区域 D 中 0≤ y≤1,于是
I =∫1
0dy∫
2 - y
yf( x, y)d x .
二、二重积分在极坐标下的计算
在极坐标系中,平面上点的位置可以由极坐标 r,θ来确定.当 r = 常数时,表示以极点为圆
心的圆周;当 θ= 常数时,表示从极点 O 出发的一条射线.若点 M 在直角坐标系中坐标为
( x, y),在极坐标系中坐标为( r,θ),则有如下关系:
x = rcosθ, y = rsin θ.
根据极坐标系的这个特点,假设在极坐标系中区域 D 的边界曲线与从极点 O 出发且穿过 D
的内部的射线相交不多于两点,我们用 r = 常数和θ= 常数来分割区域 D(图 9.12(a)).设Δσ是
由半径为 r和 r +Δr 的两个圆弧与极角等于θ和θ+Δθ的两条射线所围成的小区域(图 9.12
(b)).这个小区域可近似地看作是边长为Δr和 rΔθ的小矩形,所以它的面积
Δσ≈ rΔrΔθ,
图 9.12
因此,在极坐标系中的面积元素为
·172·
dσ= rd rdθ.
于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为
� D
f( x, y)dσ =� D
f( rcos θ, rsin θ) rd rdθ. (5)
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.
由于在直角坐标系中,二重积分� D
f( x, y)dσ也常记作� D
f( x, y)d xd y ,所以公式(5)也可写
成
� D
f( x, y)d xd y =� D
f( rcos θ, rsin θ) rdrdθ (6)
有必要指出,公式(6)左端区域 D 的边界曲线方程应该利用直角坐标来表示,而公式(6)右
端区域 D 的边界曲线方程应该利用极坐标来表示.
与直角坐标系相仿,在极坐标系中计算二重积分也是将其化为二次积分,其关键也是确定二
次积分限.
设自极点引出的射线与 D 的边界曲线至多有两个交点.现在分三种情形讨论:
图 9.13
若极点在区域 D 之外.如图 9.13 所示.为了确定 θ的变化范
围,过原点作两射线:θ=α和θ=β,使 D 恰好被夹在此二射线之间,
且α<β.那么,便知 θ的取值范围是α≤θ≤β;再确定 r 的取值范
围.注意到两条射线θ=α与θ=β将 D 的边界曲线分为两部分,记
之 r = r1 (θ)与 r = r2 (θ)两部分.对固定的 θ∈(α,β),从原点出发
作射线.如果射线从 r = r1 (θ)进入 D(入口曲线为 r = r1 (θ)),从 r
= r2 (θ)出(出口曲线为 r = r2 (θ)),则 D 可以记为
α≤θ≤β, r1 (θ)≤ r≤ r2 (θ),
从而有
� D
f( rcosθ, rsin θ) rd rdθ =∫β
αdθ∫
r2(θ)
r1(θ)
f( rcos θ, rsin θ) rd r.
这里强调指出,与直角坐标系中计算二次积分相仿,在计算内层积分∫r2(θ)
r1(θ)
f(rcosθ, r·sinθ)rdr
时,应该将 θ认为常量,按定积分的计算方法解之.
若极点在区域 D 的边界线上,设 D 的边界曲线为 r = r(θ),又设射线θ=α与θ=β刚好夹
住区域 D,且 α<β,则 D 可以表记为
α≤θ≤β, 0≤ r≤ r(θ).
如图 9.14 所示.则有 �
� D
f( rcos θ, rsin θ) rdrdθ
=∫β
αdθ∫
r(θ)
0f( rcosθ, rsin θ) rd r.
若极点在区域 D 的内部, D 的边界曲线为 r = r(θ).则 D 可以表记为
·272·
0≤θ≤2π,0≤ r≤ r(θ).
图 9 0.14 图 9 ,.15
如图 9.15 所示.则有 �
� D
f( rcos θ, rsin θ) rdrdθ
=∫2π
0dθ∫
r(θ)
0f( rcos θ, rsin θ) rdr .
如果积分区域 D 为圆、半圆、圆环、扇形域等,或被积函数为 f( x2+ y
2)形式,利用极坐标常
能简化计算.
这里强调指出,通常出现下面两类问题:
1. 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分,需依下列步骤进行:
(1) 将 x = rcos θ, y = rsin θ代入被积函数.
(2) 将区域 D 的边界曲线换为极坐标系下的表达式,确定相应的积分限.
(3) 将面积元 d xd y 换为 rdrdθ.
2. 将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与 1 相似,只需依反方向
进行.
例 11 计算二重积分
� D
x2+ y
2d xd y
其中区域 D 为由 x2+ y
2= 2 y 及 x = 0 围成的第一象限内的区域.
图 9.16
解 积分区域 D 如图 9.16 所示.
区域 D 为第一象限内的圆心为(0,1),半径为 1 的右半圆,极点在 D 的
边界线上.
D 的边界曲线为 x2+ y
2= 2 y,将 x = rcos θ, y = rsin θ代换,可得极坐
标表达式 r = 2sin θ.此时 D 可以表示为
0≤θ≤π2, 0≤ r≤2sin θ
于是
� D
x2+ y
2d xd y R=∫
π2
0dθ∫
2sin θ
0r· rd r
·372·
=13∫
π2
0r3
2sin θ
0
dθ =83∫
π2
0sin
3θdθ
=83∫
π2
0- (1 - cos
2θ)dcos θ
=83
13cos
3θ- cos θ
π2
0=169.
例 12 计算二重积分
图 9.17
� D
( x2+ y
2- xy)d xd y
其中 D 为 x2+ y
2≤1.
解 积分区域 D 的图形如图 9.17 所示.
区域 D 为圆心在原点,半径为 1 的圆内区域.即极点在区域
D 内.
区域 D 的边界曲线为 x2+ y
2= 1,将 x = rcosθ, y = rsin θ
代换,可得极坐标系下的表达式 r = 1.因此 D 可以表示为
0≤θ≤2π, 0≤ r≤1.
于是
� D
( x2+ y
2- xy)d xdy �=∫
2π
0dθ∫
1
0( r - r
2cosθsin θ) rdr
=∫2π
0
13r3-
14r4cos θsin θ
1
0dθ
=∫2π
0
13
-14cos θsin θ dθ
=13θ-
18sin
2θ
2π
0
=2π3.
例 13 求� D
(1 - x2- y
2)d xdy ,其中 D 是由 y = x, y = 0, x
2+ y
2= 1 在第一象限内所围成
的区域.
图 9.18
解 所给积分区域 D 如图 9.18 所示,为圆的一部分,利用极坐
标较宜.
将区域 D 的边界曲线 x2+ y
2= 1 化为极坐标下表达式 r = 1.
区域 D 可以表示为
0≤θ≤π4, 0≤r≤1.
因此
� D
(1 - x2- y
2)d xd y �=∫
π4
0dθ∫
1
0(1 - r
2) rd r
·472·
=∫π4
0
12r2-
14r4
1
0
dθ =14∫
π4
0dθ =
π16
.
例 14 计算二重积分 � D
ln(1 + x2+ y
2)d xd y ,其中 D 是单位圆域: x
2+ y
2≤1.
解 用极坐标知:
� D
ln(1 + x2+ y
2)d xd y =�
D
rln(1 + r2)drdθ,
原点在 D 内部,故 D 可以表示为:0≤θ≤2π,而 0≤ r≤1.故
� D
rln(1 + r2)d rdθ �=∫
2π
0dθ∫
1
0rln(1 + r
2)d r
= π (1 + r2)ln(1 + r
2)
1
0- 2∫
1
0rdr
=π(2ln 2 - 1).
例 15 计算积分 �
π2≤ x
2+ y
2≤4π
2
sin x2+ y
2d xdy.
解 积分域是圆环,故 D 可以表示为:0≤θ≤2π,π≤ r≤2π.于是
�
π2≤ x
2+ y
2≤ 4π
2
sin x2+ y
2d xd y �=∫
2π
0dθ∫
2π
πrsin rd r
= 2π - r cos r2π
π+∫
2π
πcos rd r
= - 6π2.
例 16 用极坐标计算例 4 中的二重积分.积分域同例 4 中的 D.
解 显然 D 可以表示为:有 0≤θ≤π,而 0≤ r≤1,故
� D
yd xdy w=∫π
0dθ∫
1
0r2sin θd r =∫
π
0
r3
3
1
0sin θdθ
=∫π
0
13sin θdθ=
23.
例 17 计算二重积分� D
xd xd y,其中 D 是由不等式 x≤ y≤ 2 x - x2所确定的区域.
解 积分区域 D 如图 9.19 所示,是由 y = x 和圆弧 x2+ y
2= 2 x 所围的弓形区域.
π4≤θ≤
图 9.19
π2.半圆的极坐标方程是 r = 2cos θ,故 0≤ r≤2cosθ.所以
� D
xd xd y =∫π2
π4
dθ∫2cos θ
0r2cosθd r =
83∫
π2
π4
cos4θdθ.
而 ∫π2
π4
cos4θdθ �=
14∫
π2
π4
(1 + cos 2θ)2dθ
·572·
=18∫
π
π2
(1 + cost)2dt
=18∫
π
π2
1 + 2cos t +1 + cos 2t
2dt
=18
34π- 2 =
132
[3π- 8],
故
� D
xd xd y =132
[3π- 8].
例 18 计算积分 � D
ydσ,其中 D 是由不等式 x2+ y
2≤4, x
2+ y
2≥2 x 及 y≥0, x≥0 所确
定的区域.
图 9.20
解 积分区域如图 9.20 所示.
极点在区域 D 的边界曲线上,但是过极点引出的射线与区域 D 的边界
曲线有三个交点.不符合前面讨论的标准情形.这里可以仿直角坐标系中确
定积分限的方法:过极点 O 引射线与积分区域 D 相交,沿射线方向看,入口
曲线为 x2+ y
2= 2 x,在极坐标系中其方程为 r = 2cos θ;出口曲线为 x
2+ y
2
= 4,在极坐标系中其方程为 r = 2.因此
2cosθ≤ r≤2,
又 0≤θ≤π2,
故
� D
ydσ =∫π2
0dθ∫
2
2cos θr2sin θd r =
83∫
π2
0sin θ(1 - cos
3θ)dθ = 2.
例 19 设 f( x)为区间[ a, b]上的连续函数,证明:对任意 x∈( a, b),总有
∫b
ad x∫
x
af( y)d y =∫
b
af( x)( b - x)d x .
解 通常证明这类问题的思路是将二重积分交换积分次序,再将里层的积分计算出来化为
定积分.
图 9.21
由于 f( y)为抽象函数,因此∫x
af( y)d y 不能积出来,需考虑交换
积分次序.由于区域 D 可以表示为
a≤ x≤ b, a≤y≤ x,
其图形如图 9.21 所示.
作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交,沿 x 轴正方向看,入口曲
线为 x = y,出口曲线为 x = b.因此 y≤ x≤ b,区域 D 上有 a≤ y≤
b.可得知
∫b
ad x∫
x
af( y)d y �=∫
b
ady∫
b
yf( y)d x
·672·
=∫b
af( y) x
b
ydy =∫
b
af( y)( b - y)d y
=∫b
af( x)( b - x)d x ,
故原命题成立.
习题 9.2
1. 将二重积分� D
f( x, y)d xd y 化为在直角坐标下两种顺序的二次积分.其中 D 是以 A(1,1), B(2,4)和
C(3,3)三个点为顶点的三角形区域.
2. 将二重积分� D
f( x, y)d xd y 化为在极坐标下先对 r后对θ的二次积分.其中 D 由 x2 + y2≤2 x 和 x + y≥
2 所确定.
3. 计算积分� D
xyd xd y,其中 D 由 y = x 和 y = x3 所围成.
4. 计算积分� D
xd xd y,其中 D 由 y≥ x2 , y≤4 - x2 所确定.
5. 计算积分� D
x2+ y
2d xd y,其中 D: x
2+ y
2≤ a
2.
6. 计算积分� D
e- x2- y
2
d xd y,其中 D: x2 + y2 ≤ a2 .
7. 计算积分� D
( x + y)d xd y,其中 D: x2+ y
2≤2ax.
8. 计算积分� D
ln(1 + x2 + y2 )d xd y.其中 D:1≤ x2 + y2≤9.
9. 设 I =∫π2
0d y∫
πy2
y
sin xx
d x,
(1) 改变积分次序; (2) 计算 I的值.
§9.3 二重积分的应用
由二重积分的几何解释可以知道,以曲面 z = f( x, y)为顶,以 D 为底的直曲顶柱体的体积
为:
V =� D
f( x, y) d xdy .
特别当 f( x, y) = 1 时,平面 D 的面积为:
S =� D
d xd y .
由二重积分的物理解释可以知道,密度为 f( x, y)的平面薄板 D 的质量为:
·772·
M =� D
f( x, y)d xd y .
图 9.22
例 1 求由抛物线 x = y2和直线 x - y = 2 所围成图形的面积.
解 所给曲线围成的平面图形如图 9.22 所示.记其面积为 S.
则
S =� D
d xdy .
本题宜采用先对 x 积分后对 y积分的二次积分次序.
由于x = y
2,
x - y = 2的解为
x = 1,
y = - 1与
x = 4,
y = 2.
作平行于 x 轴的直线与 y轴相交,沿 x 轴正方向看,入口曲线为 x = y2;出口曲线为 x = 2
+ y.因此
y2≤ x≤2 + y.
区域 D 在 y 轴上的投影区间为[ - 1,2].故
S =∫2
- 1d y∫
2 + y
y2
d x =∫2
- 1(2 + y - y
2)dy =
92
.
例 2 设平面 x = 1, x = - 1, y = 1 和 y = - 1 围成的柱体被坐标平面 z = 0 和平面 x + y +
z = 3 所截,求截下部分立体的体积.
解 由于所截得的形体是一个曲顶直柱体,其曲顶为 z = 3 - x - y,而其底
- 1≤ x≤1,
- 1≤ y≤1.
因此,由二重积分的几何应用可得知
V =� D
(3 - x - y)d xd y
=∫1
- 1d x∫
1
- 1(3 - x - y)dy
=∫1
- 1(3 - x) y -
12y2
1
- 1
d y
= 2∫1
- 1(3 - x)d x = (6 x - x
2)
1
- 1= 12 .
例 3 求半球体 0≤ z≤ a2- x
2- y
2在圆柱 x
2+ y
2≤ ax( a > 0)内形体的体积.
解 所给形体如图 9.23 所示.它是以球面 z = a2- x
2- y
2为曲顶,以圆 x
2+ y
2≤ ax 为
底的曲顶柱体.
本题用极坐标计算较好.此时 D 可以表记为: -π2≤θ≤
π2,0≤ r≤ acosθ.故
V �=� D
a2- x
2- y
2d xd y =∫
π2
-π2
dθ∫acos θ
0r a
2- r
2d r
=23∫
π2
0a3(1 - cos
3θ)dθ=
π3
-49
a3.
·872·
图 9.23
例 4 设平面薄片 D 是由 x + y = 2, y = x 和 x 轴所围成的区域,它的密度 ρ( x, y) = x2+
y2,求该薄片的质量.
解 所给平面薄片 D 的图形如图 9.24 所示, M =� D
ρ( x, y)d xd y.
图 9.24
由区域 D 的图形可以看出,求二重积分 M,宜于采用直角坐标
系计算,且为先对 x 积分,后对 y积分的次序.先解方程组
x = y,
x + y = 2,
得两曲线的交点为(1,1),于是 D 可用不等式表示为
y≤ x≤2 - y,
0≤ y≤1.
于是
M �=∫1
0d y∫
2 - y
y( x
2+ y
2)d x =∫
1
0
13
x3+ y
2x
2 - y
yd y
=∫1
0
13(2 - y)
3+ 2 y
2-
73y3
d y
=34.
图 9.25
例 5 设平面薄片 D 为介于圆 r = 2sin θ之外而在圆 r = 4sin θ之
内的区域,且 D 内点( x, y)处的密度ρ( x, y) =1y,求该平面薄片质量.
解 所给平面薄片 D 的图形如图 9.25 所示.
M =� D
ρ( x, y)d xd y =� D
1yd xdy
由区域 D 的图形可以看出,采用极坐标系计算二重积分比较好.此时极
点在区域 D 的边界上.区域 D 在极坐标系下的不等式表达式为
·972·
0≤θ≤π,
2sin θ≤ r≤4sin θ.
将所给直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分,注意到 x = rcosθ, y = rsin θ,
则
� D
1yd xd y �=∫
π
0dθ∫
4sin θ
2sin θ
1rsin θ
rd r
=∫π
0
1sin θ
· r4sin θ
2sin θ
dθ=∫π
02dθ = 2π.
例 6 设平面薄片所占 Oxy 平面上的区域 D 为 1≤ x2+ y
2≤4, x≥0, y≥0,其面密度为
μ( x, y) = x2+ y
2,求该薄片的质量 m .
解 由二重积分的物理意义可知
m =� D
μ( x, y)dσ =� D
( x2+ y
2)d xd y
=∫π2
0dθ∫
2
1r3d r =
158π,
习题 9.3
1. (1) 求由曲线 y = e x ,直线 x = 0, y = x 及 x = 1 所围成的平面区域 D 的面积.
(2) 求以曲面 z = y 为顶,以题(1)中 D 为底的直曲顶柱体的体积.
2. 利用二重积分求由平面xa
+yb
+zc
= 1 和三个坐标平面所围成的立体的体积(其中 a > 0, b > 0, c > 0).
3. 设有平面三角形薄片,其边界线可由方程 y = 0, y = x 及 x = 1 表示,薄片上点( x, y)处的密度ρ( x, y) =
x2 + y2 ,求该三角形薄片的质量.
4. 设半径为 1 的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,求该薄片的质量.
复 习 题 九
一、选择题
1. 设 D 是由 y = kx( k > 0), y = 0 和 x = 1 所围成的三角形区域,且� D
xy2 d xd y =115
,则 k = ( ).
A. 1; B.3
45; C.
3115
; D .3
25.
2. 设 D 1 是正方形区域, D2 是 D 1 的内切圆区域, D3 是 D1 的外接圆区域, D 1 的中心点在( - 1,1)点.记
I1 =� D1
e2 y - x2- y
2- 2 x d xd y,
I2 =� D2
e2 y - x2- y
2- 2 x d xd y,
I3 =� D3
e2 y - x
2- y
2- 2 x
d xd y,
·082·
则 I1 , I2 , I3 的大小顺序为( )
A. I1 ≤I2≤I3 ; B. I2≤ I1≤ I3 ;
C. I3 ≤I1≤ I2 ; D. I3≤ I2 ≤I1 .
3. 将极坐标系下的二次积分:
I =∫π
0dθ∫
2sin θ
0rf( rcosθ,rsin θ)d r
化为直角坐标系下的二次积分,则 I= ( )
A.∫1
- 1d y∫
1 + 1 - y2
1 - 1 - y2
f( x, y)d x; �B.∫2
0d x∫
2 x- x2
- 2 x - x2
f( x, y)d y;
C.∫1
- 1d y∫
2 y- y2
- 2 y- y2 f( x, y)d x; D.∫
1
- 1d x∫
1 + 1 - x2
1 - 1 - x2 f( x, y)d y.
4. 设 D 是第二象限内的一个有界闭区域,而且 0 < y < 1.记 I1 =� D
yxdσ,I2 =� D
y2 xdσ,I3 =� D
y12 xdσ,则
I1 , I2 , I3 的大小顺序是( )
A. I1 ≤I2≤I3 ; B. I2≤ I1≤ I3 ;
C. I3 ≤I1≤ I2 ; D. I3≤ I2 ≤I1 .
二、填空题
1. 设 D 是正方形 0≤ x≤1,0≤ y≤1,则� D
xyd xd y = .
2. 已知 D 是长方形 a≤ x≤ b,0≤ y≤1,又已知� D
yf( x)d xd y = 1,则∫b
af( x)d x = .
3. 若 D 是由 x + y = 1 和两坐标轴围成的三角形区域,则二重积分� D
f( x)d xd y 可以表示为定积分
� D
f( x)d xd y =∫1
0φ( x)d x,
那么φ( x) = .
4. 若∫1
0d x∫
x
0f( x, y)d y =∫
1
0d y∫
x2( y)
x1( y)
f( x, y)d x,那么[ x1 ( y), x2 ( y)] = .
5. 若∫0
- ad x∫
a2- x
2
0f( x, y)d y =∫
β
αdθ∫
a
0rf( rcos θ, rsin θ)d r,则(α,β) = .
三、解答题
1. 计算二重积分� D
(sin x + cos y)d xd y,其中 D 是长方形区域:0≤ x≤π;0≤ y≤π2.
2. 计算积分� D
xy3 d xd y,其中 D 是长方形区域:0≤ x≤2,1≤ y≤2.
3. 计算积分� D
cos( x + y)d xd y,其中 D 是由 y = x, y = 0 和 x =π所围成的三角形区域.
4. 计算积分� D
ln yx
d xd y,其中 D 是由 y = x, y = 1 和 x = 2 所围成的三角形区域.
5. 计算积分� D
xysin ( x2y)d xd y, D:0≤ x≤1,0≤ y≤
π2.
6. 计算积分� D
ex d xd y,其中 D 由 x = 0, y = x 和 y = 2 所围成.
·182·
7. 计算积分� D
x2
y2d xd y,其中 D 由 x = 2, y = x 及 xy = 1 所围成.
8. 计算积分� D
xd xd y,其中 D 由 x2+ y
2≤2 及 x
2+ y
2≥2 x 所确定.
9. 交换下列积分的顺序:
(1)∫1
0d y∫
y
yf( x, y)d x; 0(2)∫
e
1d x∫
ln x
0f( x, y)d y;
(3)∫2
0d x∫
2 x
xf( x, y)d y; (4)∫
1
0d x∫
x
0f( x, y)d y +∫
2
1d x∫
2 - x
0f( x, y)d y;
(5)∫1
0d x∫
x2
0f( x, y)d y +∫
2
1d x∫
2- x
0f( x, y)d y.
10.交换下列积分顺序,并化为极坐标下的二次积分:
(1)∫1
0d y∫
1 - y2
- 1 - y2
f( x, y)d x; �(2)∫a
0d x∫
2 ax- x2
0f( x, y)d y( a > 0);
(3)∫1
0d x∫
2 x- x2
xf( x, y)d y; (4)∫
1
0d y∫
2 - y
yf( x, y)d x.
11. 计算积分 �
x2+ y
2≤ R
2
( ax + by + c)d xd y( a, b, c是常数).
12. 计算积分 �
x2+ y
2≤1
d xd y
1 - x2- y
2.
13. 计算积分� D
arctanyxdσ, D :1≤ x2 + y2≤4,0≤ y≤ x.
用二重积分计算以下图形的面积:
14. 由 y = ex , y = e2 x , x = 1 所围成.
15. 由 y2 = x, x + y = 2 所围成.
用二重积分计算下列曲面所围成的立体的体积:
16. z = 1 - x2 - y2 及 z = 0.
17. z = x2+ y
2及 z = 1.
18. 设 D 为半圆环: 4 - x2 ≤ y≤ 9 - x
2 的薄片,其点 M ( x, y)处的密度ρ( x, y) = x2 + y2 ,求其质量.
·282·
第十章 无 穷 级 数
无穷级数是高等数学的重要组成部分,就它跟微积分学的基本概念与规律的关系而言,它居
于一种专门工具的地位.它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的工具.本章将介绍
常数项级数、函数项级数的基本内容,着重介绍如何将初等函数展开为幂级数.
§10.1 无穷级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
对于公比为 r的等比数列 a, ar,⋯, arn,其前 k项和
Sk = a + ar + ⋯ + ark - 1
=a(1 - r
k)
1 - r.
这种有限项求和的运算常常遇到.
如果等比数列有无穷多项 a, ar,⋯, arn - 1
,⋯,那么 a + ar + ⋯ + arn - 1
+ ⋯,这个“和”怎么
计算 ?
为计算这无穷多项“求和”问题,下面引入无穷级数的概念.
定义 1 对于数列 u1 , u2 ,⋯, un ,⋯,用“ +”号将其连接起来,得
u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯,
简记为∑∞
n = 1
un .称其为无穷级数,简称级数,称其第 n 项 un 为通项或一般项.
上述表达式中含有无穷多项,且各项之间都用加号连接,这似乎意味着无限地加下去.然而
注意到以往数的加法运算只是就有限项相加而定义的,因此这里遇到了新问题:无穷多项相加意
味着什么 ? 怎样进行这种“相加”运算 ?“相加”的结果是什么 ?
定义 2 称
Sn = ∑n
i = 1
ui = u1 + u2 + ⋯ + un
为级数∑∞
n = 1
un 的前 n 项和( n = 1,2,⋯).简称部分和.
由此可由无穷级数∑∞
i = 1
ui 得到一个部分和数列
S1 , S2 ,⋯, Sn ,⋯.
·382·
若limn→∞
Sn = S 存在,则称级数 ∑∞
n = 1
un 收敛.并称此极限值 S 为级数的和,记为 ∑∞
n = 1
un = S. 若
limn→ ∞
Sn 不存在,则称级数∑∞
n = 1
un 发散.
定义 3 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,则称
rn = S - Sn = un + 1 + un + 2 + ⋯
为级数∑∞
n = 1
un 的余项.
定义 4 若 ∑∞
n = 1
un 中每项 un 皆为常数,则称∑∞
n = 1
un 为常数项级数.
若 un≥0( n = 1,2,⋯)且为常数,则称 ∑∞
n = 1
un 为正项级数.
若对于某些 n, un 可以取正值,对于另一些 n, un 可以取负值,则称 ∑∞
n = 1
un 为任意项级数.
若∑∞
n = 1
un 中至少有一项 ui 为(非常数)函数,则称 ∑∞
n = 1
un 为函数项级数.特别如果 un =
an xn ( n = 0,1,2,⋯),则称 ∑
∞
n = 0
an xn为幂级数.
例 1 试判定级数 ∑∞
n = 1
un = ∑∞
n = 1
1 = 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯的收敛性.
解 所给级数的前 n 项和
Sn = ∑n
i = 1
ui = ∑n
i = 1
1 = 1 + 1 + ⋯ + 1 = n,
limn→∞
Sn = limn→ ∞
n = ∞,
因此所给级数∑∞
n = 1
1 = 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯发散.
例 2 判定级数 ∑∞
n = 1
rn - 1
= 1 + r + r2+ ⋯ + r
n - 1+ ⋯的收敛性.
解 此级数为几何级数(或称等比级数).若 r = 1,则所给几何级数转化为例 1,可知其发散.
若 r≠1,所给级数前 n 项和
Sn = 1 + r + r2+ ⋯ + r
n - 1=1 - r
n
1 - r=
11 - r
-rn
1 - r.
当| r| < 1 时,limn→ ∞
rn
1 - r= 0,因而lim
n→ ∞Sn =
11 - r
,即级数∑∞
n = 1
rn收敛,且其和为
11 - r
.
当| r| > 1 时,limn→ ∞
rn
1 - r= ∞,因而lim
n→ ∞Sn 不存在,即级数 ∑
∞
n = 0
rn发散.
当 r = - 1 时,∑∞
n = 1
rn - 1
= 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯.其前 n 项和
Sn �= 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ + ( - 1)n - 1
·482·
=0, n 为偶数,
1, n 为奇数.
可知limn→ ∞
Sn 不存在.因此 ∑∞
n = 1
( - 1)n - 1
发散.
综合上述,可知
∑∞
n = 1
rn - 1
为收敛,且和 =
11 - r
, | r| < 1,
发散, | r|≥1.
几何级数的收敛性应该熟记,以后将作为标准级数使用.
例 3 判定级数 ∑∞
n = 1
2(2 n - 1)(2 n + 1)
的收敛性.
解 所给级数的前 n 项和
Sn 3=21·3
+23·5
+ ⋯ +2
(2 n - 1)(2 n + 1)
=11
-13
+13
-15
+15
-17
+ ⋯ +
1
2 n - 1-
12 n + 1
= 1 -1
2 n + 1,
可知
limn→∞
Sn = limn→ ∞
1 -1
2 n + 1= 1,
故所给级数收敛,且其和为 1.
利用级数的定义可以判定一些特殊级数的收敛性.但是一般的数项级数前 n 项之和很难表
示为易于求极限的表达式,因此,必须另寻途径判断其收敛性,这将在以后几节讨论.
二、级数的基本性质
由级数的定义不难验证级数具有下列基本性质:
性质 1 (i) 若级数 ∑∞
n = 1
un 收敛,其和为 S,又设 k为常数,则 ∑∞
n = 1
kun 也收敛,且和为 kS.
(ii) 若∑∞
n = 1
un 发散,且 k≠0,则 ∑∞
n = 1
kun 必定发散.
证 (i) 设 Sn = u1 + u2 + ⋯ + un ,由于∑∞
n = 1
un 收敛,因此应有limn→ ∞
Sn = S.又设
σn = ku1 + ku2 + ⋯ + kun = k( u1 + u2 + ⋯ + un ) = kSn,
由极限的性质可知
limn→ ∞
σn = limn→ ∞
kSn = k limn→∞
Sn = kS,
·582·
即 ∑∞
n = ∞
kun 收敛,且其和为 kS.
(ii) 用反证法.设 ∑∞
n = 1
kun 收敛,则由(i)知 ∑∞
n = 1
1k( kun ) =
∑∞
n = 1
un 亦收敛,矛盾.故∑∞
n = 1
kun 发散.
例 4 判定级数 ∑∞
n = 1
arn - 1
( a≠0)的收敛性.
解 由例 2 与性质 1 可知
∑∞
n = 1
arn - 1
为a
1 - r, | r| < 1,
发散, | r|≥1.
性质 2 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,其和为 S;∑∞
n = 1
vn 收敛,其和为 σ,则 ∑∞
n = 1
( un ± vn )必收敛,其和为
S±σ.
例 5 判定 ∑∞
n = 1
12
n - 1 +5
3n - 1 的收敛性.
解 注意到∑∞
n = 1
12
n - 1 与∑∞
n = 1
53
n - 1 皆为几何级数,其公比分别为 r =12与 r =
13,由例 4 可知
∑∞
n = 1
12
n - 1 与 ∑∞
n = 1
53
n - 1 皆收敛,且
∑∞
n = 1
12
n - 1 =1
1 -12
= 2,
∑∞
n = 1
53
n - 1 =5
1 -13
=152,
由性质 2 可知∑∞
n = 1
12
n - 1 +5
3n - 1 收敛,且其和为 2 +
152
=192.
性质 3 在 ∑∞
n = 1
un 中去掉或添加有限项,所得新级数与原来级数的收敛性相同.
证 在∑∞
n = 1
un 中去掉或添加有限项所成新级数记为 ∑∞
n = 1
vn,当项数给定之后,两者的部分
和之差是一个常数,因此这两个部分和同收敛或同发散,所以两个级数的收敛性相同.
性质 3 表明,级数 ∑∞
n = 1
un 的收敛性,与其前面有限项无关,而是取决于 n 充分大以后的 un
的状况.
例 6 判定123 +
124 + ⋯ +
12
n + ⋯的收敛性.
解 级数 1 +12
+122 + ⋯ +
12
n + ⋯为等比级数,公比 r =12,因此 1 +
12
+122 + ⋯ +
12
n + ⋯
·682·
收敛.由性质 3 可知123 +
124 + ⋯ +
12
n + ⋯收敛.
性质 4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛,且其和不变.
证 若 u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯收敛.任意添括号得到一个新级数,如
u1 + ( u2 + u3 ) + ( u4 + u5 + u6 + u7 ) + ⋯.
设 Sn 与σn 分别表示上述两个级数的前 n 项之和,设limn→ ∞
Sn = S.若
σn �= u1 + ( u2 + u3 ) + ⋯ + ( uk + ⋯ + um )
= u1 + u2 + ⋯ + u m = Sm ( m > n),
即第二个级数的前 n 项之和等于第一个级数的前 m 项之和.由于limn→∞
Sn = S,所以limm→ ∞
Sm = S.因此
limn→ ∞
σn = limm → ∞
Sm = S,
即加括号之后所得新级数收敛,且其和不变.
注 收敛级数去括号之后所得到的新级数不一定为收敛级数.例如
(1 - 1) + (1 - 1) + ⋯ + (1 - 1) + ⋯
收敛于 0,但是去括号后可得新级数
1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ + ( - 1)n - 1
+ ⋯
为发散级数.
这表明不能将有限项求和的所有代数性质随意用在无限项求和的运算之中.
以下几个结论请读者自己证明或举出反例.
(1) 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,∑∞
n = 1
vn 发散,则 ∑∞
n = 1
( un + vn )必定发散.
(2) 若 ∑∞
n = 1
un 发散,∑∞
n = 1
vn 也发散,则 ∑∞
n = 1
( un + vn )不一定发散.
(3) 若 ∑∞
n = 1
( un + vn )发散,则 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 不一定都发散.
(4) 若添括号之后的级数发散,则原级数必定发散.
(5) 若 ∑∞
n = 1
un 发散,则添括号的新级数不一定发散.
性质 5 (级数收敛的必要条件)若 ∑∞
n = 1
un 收敛,则必有
limn→ ∞
un = 0.
证 这只需注意 un = Sn - Sn - 1 .由于 ∑∞
n = 1
un 收敛,因此
limn→ ∞
Sn = S,limn→ ∞
Sn - 1 = S.由极限的运算可知
limn→∞
un w= limn→ ∞
( Sn - Sn - 1 ) = limn→∞
Sn - limn→ ∞
Sn - 1
= S - S = 0.
有必要指出,这个性质的逆命题不正确,即级数的通项的极限为零,并不一定能保证 ∑∞
n = 1
un
收敛.因此上述性质为级数收敛的必要条件而不是充分条件.
·782·
例 7 判定级数 1 +12
+13
+ ⋯ +1n+ ⋯的收敛性.
解 对这级数自第三项起,将 3、4 两项,5 至 8 项(共四项),9 至 16 项(共八项),⋯⋯分别添
括号括在一起,得到新级数:
1 +12
+13
+14
+15
+ ⋯ +18
+19
+ ⋯ +116
+ ⋯.
取其前 n 项(每个括号内算一项),记其和为σn,则
σn >12
+12
+14
+14
2项
+18
+ ⋯ +18
22项
+
116
+ ⋯ +116
23项
+ ⋯ +1
2n - 1 + ⋯ +
12
n - 1
2n - 2
项
=12
+12
+ ⋯ +12
n项
=n2.
可见limn→ ∞
σn = ∞,即添括号以后的级数发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛,由性质 4
知,添括号以后级数亦必收敛,从而矛盾.
级数
∑∞
n = 1
1n= 1 +
12
+13
+ ⋯ +1n+ ⋯
称为调和级数,是常用的标准级数.应熟记.
调和级数∑∞
n = 1
1n的一般项 un =
1n,它满足lim
n→∞un = 0,但 ∑
∞
n = 1
un 不收敛.
利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知:
若limn→ ∞
un ≠0 或limn→∞
un 不存在,则 ∑∞
n = 1
un 必定发散.
这个结论可以作为判定级数发散的充分条件.
例 8 判定级数23
+34
+ ⋯ +n + 1n + 2
+ ⋯的收敛性.
解 所给级数的通项 un =n + 1n + 2
,
limn→ ∞
un = limn→ ∞
n + 1n + 2
= 1≠0,
可知23
+34
+ ⋯ +n + 1n + 2
+ ⋯为发散级数.
思考题 设级数∑∞
n = 1
un 为收敛级数,下列各级数是否收敛 ?
1.∑∞
n = 1
2 un ; �2.∑∞
n = 1
( un + 2) ;
3. 2 + ∑∞
n = 1
un ; 4.∑∞
n = k
un .
·882·
分析 由级数的基本性质 1 及题设条件可知级数∑∞
n = 1
2 un 收敛.
由于∑∞
n = 1
un 收敛,由性质 4(级数收敛的必要条件)可知limn→∞
un = 0,因此limn→ ∞
( un + 2) = 2≠0.
由前述级数发散的充分条件可知∑∞
n = 1
( un + 2)发散.即不收敛.
由级数的基本性质 3 可知,级数 2 + ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = k
un 也收敛.
习题 10.1
1. limn→∞
un = 0 是 ∑∞
n = 1
un 收敛的( ).
A. 充分而非必要条件; �B. 必要而非充分条件;
C. 充分必要条件; D. 既非充分也非必要条件.
2. 若级数 ∑∞
n = 1
un 收敛,则下列命题( )正确 其中 Sn = ∑n
i = 1
ui .
A. limn→∞
Sn = 0; B. limn→∞
Sn 存在;
C. limn→∞
Sn 可能不存在; D. { Sn }为单调数列.
3. 利用定义判定下列级数的收敛性:
(1) ∑∞
n = 1
( n + 1 - n); (2)11·2
+1
2·3+ ⋯ +
1n·( n + 1)
+ ⋯;
(3) 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ + ( - 1)n - 1
+ ⋯.
4. 利用级数的基本性质及标准级数(几何级数、调和级数)判定下列级数的收敛性:
(1) -89
+82
92 -83
93 + ⋯ + ( - 1) n 8 n
9 n + ⋯;
(2)12
+14
+ ⋯ +12 n + ⋯;
(3)13
+34
+132 +
32
42 + ⋯ +
13
n +3 n
4n + ⋯.
5. 本题给出银行理想状态贷款方案.假设银行最初只有 100 万元存款,统计规律表明:在任何一个时刻平
均只有 8 % 的存款会被存款人提取.这样银行就能放心地将其余 92 % 的存款贷出.即存款的 92 % 贷给其它顾客.
此 92 % 的贷款迟早变为某些人的收入再次存入银行,从而银行又可以再将其 92 % 贷出,如果理想状态是能如此
无穷尽地发展下去,
(1) 求银行的总存款额;
(2) 总存款额除以原始存款额称为信贷乘数,那么理想状态下银行的信贷乘数为多少 ?
§10.2 正项级数
在§10.1 中已指出,若 un ≥0( n = 1,2,⋯),则称 ∑∞
n = 1
un 为正项级数.正项级数是常数项级
·982·
数中最重要的情形,也是级数中的基础内容.
一、正项级数收敛的充分必要条件
对于正项级数∑∞
n = 1
un ,由于 un ≥0, n = 1,2,⋯,因此
Sn + 1 = u1 + u2 + ⋯ + un + un + 1 = Sn + un + 1 ≥ Sn ,
可知数列 S1 , S2 ,⋯, Sn ,⋯为单调增加数列.由数列极限存在准则知:如果数列{ Sn }单调且有
界,则limn→ ∞
Sn 必存在.另一方面,由收敛数列性质推知,若limn→ ∞
Sn 存在,则数列{ Sn }必定有界.于是
可以得出正项级数收敛的充分必要条件:
定理 10.1 正项级数 ∑∞
n = 1
un 收敛的充分必要条件为:它的前 n 项和所构成的数列{ Sn }有
上界.
由此利用反证法可以推知:
若正项级数∑∞
n = 1
un 的前 n 项和所构成的数列{ Sn }无上界,则 ∑∞
n = 1
un 必定发散,且 ∑∞
n = 1
un =
+ ∞.
若正项级数∑∞
n = 1
un 发散,则其前 n 项和所构成的数列{ Sn }必定无上界.
二、正项级数的比较判别法
依据前述定理可以导出较为实用的正项级数收敛的充分条件.
设有两个正项级数∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn .若 un ≤ vn ( n = 1,2,⋯, n),则有
0≤ Sn = u1 + u2 + ⋯ + un ≤ v1 + v2 + ⋯ + vn =σn ,
如果∑∞
n = 1
vn 收敛,由前述定理可知{σn }有上界,从而知{ Sn }有上界.再由正项级数收敛的充分必
要条件可知∑∞
n = 1
un 收敛.
如果 ∑∞
n = 1
un 发散,则∑∞
n = 1
vn 必定发散.因为若后者收敛,由前述可知 ∑∞
n = 1
un 应收敛而引起
矛盾.
将上述结论归纳为定理,称为比较判别法.
定理 10.2 (比较判别法) 设两个正项级数 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn.如果满足
un ≤ vn ( n = 1,2,⋯),
那么 (1) 若 ∑∞
n = 1
vn 收敛,则∑∞
n = 1
un 收敛.
·092·
(2) 若 ∑∞
n = 1
un 发散,则 ∑∞
n = 1
vn 发散.
注 比较判别法的条件 un ≤ vn ,其实不必从 n = 1 起始就要求上述不等式成立.因为由
§10.1 性质 3 可知,改变一个级数的有限项并不影响这个级数的收敛性,所以只要从某一项起
un ≤ vn ( n = N, N + 1,⋯)
就可以.这将比定理 10.2 更实用.
例 1 判定级数 ∑∞
n = 1
sinπ2
n 的收敛性.
解 由题设可知,所给级数的通项 un = sinπ2
n ,且 un > 0 ( n = 1,2,⋯),因而 ∑∞
n = 1
sinπ2
n 为
正项级数.当 x > 0 时,有 sin x < x,因此
un = sinπ2
n <π2
n .
若取 vn =π2
n ,则 ∑∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
π2
n 为几何级数,公比 r =12,因此 ∑
∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
π2
n 为收敛级数.由
比较判别法可知∑∞
n = 1
sinπ2
n 收敛.
不难看出,利用比较判别法判定正项级数的收敛性,免掉了对{ Sn }有界性的讨论,简化了运
算.
例 2 判定 p - 级数.
∑∞
n = 1
1np = 1 +
12
p +13
p + ⋯ +1n
p + ⋯
的收敛性,其中 p > 0 为常数.
解 若 p = 1,则原级数化为调和级数 1 +12
+13
+ ⋯ +1n+ ⋯,发散.
若 0 < p < 1,注意 un =1n
p ≥1n,由于正项级数∑
∞
n = 1
1n发散,由比较判别法可知 ∑
∞
n = 1
1n
p 发散.
仿对调和级数的讨论,当 p > 1 时,将原级数依下列形式添括号,构成新级数
1 +12
p +13
p +14
p +15
p +16
p +17
p +18
p + ⋯ +1
15p + ⋯,
它的各项不大于下列级数中的对应项 �
1 +12
p +12
p +14
p +14
p +14
p +14
p +18
p + ⋯ +18
p
8 项
+ ⋯
= 1 +1
2p - 1 +
12
p - 1
2
+1
2p - 1
3
+ ⋯.
后者级数为几何级数,公比 r =1
2p - 1 < 1,因此,利用比较判别法可得知,当 p > 1 时,∑
∞
n = 1
1n
p 收敛.
综合上述有
∑∞
n = 1
1np 为
收敛, p > 1,
发散, 0 < p≤1.
·192·
以后也将 p - 级数作为标准级数,应熟记.
需要指出,欲利用比较判别法判定正项级数 ∑∞
n = 1
un 的收敛性,需先找到已知收敛性的正项
级数 ∑∞
n = 1
vn .而这正是问题的难点.为了能找准方向,利用比较判别法判定正项级数收敛性之
前,应该对所给正项级数的收敛性作一个猜想,然后再选择一个标准级数作为比较级数 ∑∞
n = 1
vn .
如果猜想∑∞
n = 1
un 收敛,只需适当放大 un ,使其放大之后的表达式能≤ vn ,而正项级数 ∑∞
n = 1
vn 收
敛.如果猜想∑∞
n = 1
un 发散,只需适当缩小 un,使其缩小后的表达式≥ vn ≥0,而∑∞
n = 1
vn 发散.常用
的作为比较对象的级数有:
几何级数( a > 0)
∑∞
n = 0
arn为
收敛, 0 < r < 1,
发散, r≥1.
调和级数 ∑∞
n = 1
1n发散.
p - 级数
∑∞
n = 1
1np 为
收敛, p > 1,
发散, 0 < p≤1.
例 3 判定级数 ∑∞
n = 1
1
1 + n2的收敛性.
解 所给级数的通项 un =1
1 + n2当 n→∞时与
1n为同阶无穷小,因此可考虑 vn =
1n.由
于∑∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
1n发散,有理由猜想所给级数发散,只需适当缩小 un ,使其缩小后的表达式≥
vn .
un =1
1 + n2>
1
1 + 2 n + n2=
1n + 1
= vn ,
又∑∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
1n + 1
= ∑∞
n = 2
1n为去掉第一项的调和级数,可知其发散.故 ∑
∞
n = 1
1
1 + n2发散.
例 4 判定级数 ∑∞
n = 1
1
1 + n3的收敛性.
解 所给级数的通项 un =1
1 + n3当 n→∞时与
1n3�/2 为同阶无穷小,因此可考虑 vn =
1n3�/2 ,
由 p - 级数可知,∑∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
1n3�/2 收敛,因此有理由猜想所给级数收敛.只需适当放大 un ,使其
放大后的表达式≤ vn .
un =1
1 + n3≤
1n3�/2 = vn,
·292·
由比较判别法可知∑∞
n = 1
1
1 + n3收敛.
注意到§10.1 所给出的级数的基本性质 1 与性质 3,即级数的各项同乘以不为零的常数 k,
去掉或添加有限项而不改变级数的收敛性.可以得到更实用的
推论 若正项级数∑∞
n = 1
vn 收敛,且存在 N,当 n≥ N 时,有0≤ un ≤ kvn,则正项级数 ∑∞
n = 1
un
也收敛.
若正项级数 ∑∞
n = 1
vn 发散,且存在 N,当 n≥ N 时,有 un ≥ kvn ( k > 0),则正项级数 ∑∞
n = 1
un 也
发散.
顺便指出,由比较判别法及极限定义可以导出一个更实用的极限形式的比较判别法:
定理 10.3 (极限形式的比较判别法) 设 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 都是正项级数,且limn→ ∞
un
vn= k( >
0),则 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 的收敛性相同.
利用极限形式的比较判别法,可以免去放大或缩小 un 的困难.
如前述例 3,limn→ ∞
un
vn= lim
n→ ∞
1
1 + n2
1n
= 1,∑∞
n = 1
1n发散,可知∑
∞
n = 1
1
1 + n2发散.这里免去了缩
小 un 的麻烦.
如前述例 4,limn→ ∞
un
vn
= limn→ ∞
1
1 + n3
1n3�/2
= 1, ∑∞
n = 1
1n3�/2 收敛,可知 ∑
∞
n = 1
1
1 + n3收敛,免去了放大
un 的麻烦.
三、正项级数的比值判别法
利用上述推论及几何级数的收敛性可以得到利用级数自身 un 的性质来判定其收敛性的常
用方法.
定理 10.4 (比值判别法,又称达朗贝尔(d’Alembert)▲判别法)若正项级数 ∑
∞
n = 1
un 满足
limn→ ∞
un + 1
un
=ρ,则
▲ 关于达朗贝尔的简介,请见书末的附录一.
当ρ< 1 时,∑∞
n = 1
un 收敛;
·392·
当ρ> 1 时,∑∞
n = 1
un 发散,并且此时limn→ ∞
un ≠0;
当ρ= 1 时,∑∞
n = 1
un 可能收敛,也可能发散,即此时不能利用比值判别法判定 ∑∞
n = 1
un 的收敛
性.
例 5 判定 ∑∞
n = 1
3n
5n- 4
n 的收敛性.
解 所给级数为正项级数,其通项 un =3
n
5n- 4
n , un + 1 =3
n + 1
5n + 1
- 4n + 1 .
limn→∞
un + 1
un "= lim
n→ ∞
3n + 1
5n + 1
- 4n + 1
3n
5n- 4
n
= limn→∞
3n + 1
5n + 1
1 -45
n + 1
3n
5n
1 -45
n
= limn→ ∞
35·
1 -45
n
1 -45
n + 1 =35
= ρ,
由比值判别法可知所给级数收敛.
例 6 判定级数
∑∞
n = 1
nn
ann !
( a > 0, a≠e)
的收敛性.
解 所给级数为正项级数,其通项 un =nn
ann !
, un + 1 =( n + 1)
n + 1
an + 1
( n + 1) !
limn→ ∞
un + 1
un �= limn→∞
( n + 1)n + 1
an + 1
( n + 1) !nn
ann !
= limn→∞
( n + 1)n
ann
=1alimn→∞
1 +1n
n
=ea= ρ,
由比较判别法可知,当 a > e 时,原级数收敛;当 0 < a < e 时,原级数发散.
例 7 判定级数 ∑∞
n = 1
2 n + 1n2+ 1
的收敛性.
解 所给级数为正项级数,其通项 un =2 n + 1n2+ 1
, un + 1 =2( n + 1) + 1( n + 1)
2+ 1
.
limn→∞
un + 1
un= lim
n→ ∞
2( n + 1) + 1( n + 1)
2+ 1
2 n + 1n2+ 1
= 1 = ρ,
这表明不能利用比值判别法判定所给级数的收敛性.注意到 un 当 n→∞时, un =2 n + 1n2+ 1
与1n为
·492·
同阶无穷小量,令 vn =1n,则∑
∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
1n为发散级数.由于
limn→∞
un
vn= lim
n→∞
2 n + 1n2+ 11n
= 2
由极限形式的比较判别法可知∑∞
n = 1
2 n + 1n2+ 1
发散.
例 8 判定级数 ∑∞
n = 1
1n(2 n + 1)
的收敛性.
解 所给级数为正项级数,其通项 un =1
n(2 n + 1), un + 1 =
1( n + 1)[2( n + 1) + 1]
.
limn→ ∞
un + 1
un= lim
n→∞
1( n + 1)[2( n + 1) + 1]
1n(2 n + 1)
= 1 =ρ,
这表明此题也不能利用比值判别法判定所给级数的收敛性.注意到当 n→∞时, un =1
n(2 n + 1)
为1n的二阶无穷小量,由 p - 级数有理由猜想所给级数收敛.
令 vn =1n2 ,则 ∑
∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
1n2 为收敛级数,由于
limn→ ∞
un
vn= lim
n→ ∞
1n(2 n + 1)
1n2
=12
由极限形式的比较判别法可知∑∞
n = 1
1n(2 n + 1)
收敛.
例 7 中limn→ ∞
un + 1
un= 1,所给级数 ∑
∞
n = 1
un 发散,例 8 中limn→∞
un + 1
un= 1,所给级数 ∑
∞
n = 1
un 收敛.所
以,正项级数 ∑∞
n = 1
un 的比值判别法,对于limn→ ∞
un + 1
un= 1 的情形失效.只能考虑利用其他方法判定.
在本节结束之前我们再强调指出,判定正项级数 ∑∞
n = 1
un 的收敛性应注意以下几点:
1.如果limn→ ∞
un 易求,应先判定是否limn→∞
un = 0 ? 若limn→ ∞
un ≠0,则可知 ∑∞
n = 1
un 发散.
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un 中含有因子 n ! 的情形,利用比值
判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时,应先对 ∑∞
n = 1
un 的收敛性作一个猜想.如果猜想所给级数收敛,只需适
当放大 un ,使其放大之后的表达式≤ vn ,而正项级数 ∑∞
n = 1
vn 收敛.如果猜想所给级数发散,只需
·592·
适当缩小 un ,使其缩小后的表达式≥ vn,而正项级数 ∑∞
n = 1
vn 发散.利用极限形式的比较判别法
常可免掉放大或缩小 un 的麻烦.
习题 10.2
1. 设 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 都是正项级数.且 un≤ vn( n = 1,2,⋯),则下列命题正确的是( ).
A. 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,则 ∑∞
n = 1
vn 收敛; �B. 若 ∑∞
n = 1
un 发散,则 ∑∞
n = 1
vn 发散;
C. 若 ∑∞
n = 1
vn 发散,则 ∑∞
n = 1
un 发散; D. 若 ∑∞
n = 1
vn 收敛,则 ∑∞
n = 1
un 收敛.
2. 判定下列级数的收敛性:
(1) ∑∞
n = 1
n3 n + 1
; (2) 1 +1 + 21 + 22 +
1 + 31 + 32 + ⋯ +
1 + n1 + n2 + ⋯;
(3)12
+15
+ ⋯ +1
n2 + 1+ ⋯; (4) ∑
∞
n = 1
n !nn ;
(5)31 !
+32
2 !+33
3 !+ ⋯ +
3n
n !+ ⋯; (6) ∑
∞
n = 1
n2
( n !)2;
(7)12
+1·23·4
+1·2·34·5·6
+ ⋯ +1·2·3⋯ n
( n + 1)( n + 2)⋯(2 n)+ ⋯; (8) ∑
∞
n = 1
1(2 n + 3)2 ;
(9) ∑∞
n = 1
2 + ( - 1) n
2 n ; (10) ∑∞
n = 1
sin1n;
(11)∑∞
n = 1
n + 1n( n + 2)
; (12) ∑∞
n = 1
ln 1 +1n2
.
§10.3 任意项级数
在§10.1 中已指出,如果对于某些 n, un 可以取正值,对于另一些 n, un 可以取负值,则称
∑∞
n = 1
un 为任意项级数.对于一般的任意项级数,其收敛性的判定很困难.本节介绍交错级数的判
定方法及任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念.
一、交错级数
交错级数是指它的各项是正负相间(或负正相间)的级数.设 un > 0( n = 1,2,⋯)其一般形
式为
u1 - u2 + u3 - u4 + ⋯ + ( - 1)n - 1
un + ⋯ = ∑∞
n = 1
( - 1)n - 1
un.
交错级数是任意项级数中最简单而又最重要的特殊情形.
·692·
交错级数具有下面重要的结论:
定理 10.5 (莱布尼茨定理) 若交错级数 ∑∞
n = 1
( - 1)n - 1
un (其中 un > 0, n = 1,2,⋯)满足:
1. un ≥ un + 1 ( n = 1,2,⋯);
2.limn→ ∞
un = 0,
则∑∞
n = 1
( - 1)n - 1
un 必定收敛,且其和 S≤ u1 ;其余项 rn 的绝对值| rn |≤ un + 1 .
到目前为止,我们只有关于任意项级数的收敛性的定义,而没有其他信息.因此,为了研究其
收敛性应该由定义入手.先考察所给级数前 2 n 项的部分和 S2 n ,
S2 n �= u1 - u2 + u3 - u4 + ⋯ + u2 n - 1 - u2 n
= ( u1 - u2 ) + ( u3 - u4 ) + ⋯ + ( u2 n - 1 - u2 n ).
由条件 1 可知,上式所有括号中的值皆非负,所以 S2 n ≥0,且{ S2 n }为单调增加数列.
如果将 S2 n 变型为
S2 n �= u1 - u2 + u3 - u4 + ⋯ + u2 n - 1 - u2 n
= u1 - ( u2 - u3 ) - ( u4 - u5 ) - ⋯ - ( u2 n - 2 - u2 n - 1 ) - u2 n ,
由条件 1 可知上式所有括号中的值皆非负,因此
S2 n < u1 ,
即{ S2 n }为单调增加且有上界.由极限存在准则可知limn→ ∞
S2 n存在,记limn→∞
S2 n = S,则 S≤ u1 .
由于 S2 n + 1 = S2 n + u2 n + 1 ,再由条件limn→∞
un = 0,知limn→ ∞
u2 n + 1 = 0,从而可得
limn→∞
S2 n + 1 = limn→∞
( S2 n + u2 n + 1 ) = limn→ ∞
S2 n = S.
由极限性质:若{ Sn }中的子列{ S2 n }与{ S2 n + 1 }都有极限,且两极限值相等,则{ Sn }必有极
限.因此 ∑∞
n = 1
( - 1)n - 1
un 收敛,且其和 S≤ u1 .
再来看其余项 rn.由于
rn = ±( un + 1 - un + 2 + un + 3 - ⋯),
若 n 为偶数,则等式右方括号前取“ +”号;若 n 为奇数,则等式右方括号前取“ - ”号.故可知
| rn | = un + 1 - un + 2 + un + 3 - ⋯
为交错级数.由前述讨论,知其收敛,且其和| rn |≤ un + 1 .
例 1 判定 1 -12
+13
-14
+ ⋯ + ( - 1)n - 1 1
n+ ⋯的收敛性.
解 所给级数为交错级数,且
1n>
1n + 1
( n = 1,2,⋯),
limn→∞
1n= 0.
由莱布尼茨定理可知交错级数 1 -12
+13
-14
+ ⋯ + ( - 1)n - 1 1
n+ ⋯收敛.
此级数常称为莱布尼茨级数,以后将此级数认作为标准级数,应熟记.
·792·
二、绝对收敛与条件收敛
前面曾指出,对于一般任意项级数没有判定其收敛性的通用法则.对于任意项级数
∑∞
n = 1
un = u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯
(其中 un 可能取正数,负数或零)的收敛性问题,通常先研究
∑∞
n = 1
| un | = | u1 | + | u2 | + ⋯ + | un | + ⋯
的收敛性.且有下述性质:
定理 10.6 若 ∑∞
n = 1
| un |收敛,则 ∑∞
n = 1
un 必定收敛.
证 令
vn =12( un + | un |) ( n = 1,2,⋯),
则 vn ≥0,且 vn ≤| un |.由正项级数的比较判别法可知,若 ∑∞
n = 1
| un |收敛,则 ∑∞
n = 1
vn 必定收敛.再
由收敛级数的基本性质 1 可知∑∞
n = 1
2 vn 收敛.由基本性质 2 可知 ∑∞
n = 1
(2 vn - | un |)也收敛.由于
un = 2 vn - | un |,即知∑∞
n = 1
un 收敛.
如果∑∞
n = 1
| un |收敛,则称 ∑∞
n = 1
un 绝对收敛.因此可以说,若级数 ∑∞
n = 1
un 绝对收敛,则该级数
∑∞
n = 1
un 必定收敛.
注意到前面莱布尼茨级数 1 -12
+13
-14
+ ⋯ + ( - 1)n - 1 1
n+ ⋯收敛,而其各项绝对值所
构成的级数 1 +12
+13
+14
+ ⋯ +1n+ ⋯为调和级数,是发散级数.又如利用莱布尼茨定理可判
定1 -122 +
132 -
142 + ⋯ + ( - 1)
n - 1 1n2 + ⋯收敛,其各项绝对值所构成的级数 1 +
122 +
132 + ⋯ +
1n2
+ ⋯为 p = 2 的 p - 级数,亦为收敛级数.因此 ∑∞
n = 1
| un |与∑∞
n = 1
un 的收敛性并不一致.
由前述例子可知∑∞
n = 1
un 收敛,并不一定能保证 ∑∞
n = 1
| un |收敛.
如果∑∞
n = 1
un 收敛,而 ∑∞
n = 1
| un |发散,则称 ∑∞
n = 1
un 条件收敛.
绝对收敛和条件收敛这两类级数之间有很大的差别.大体上说,几乎一切有限和的代数性质
都可以搬到绝对收敛级数中来.但对于条件收敛级数来说,许多有限和的重要性质都不能搬用.
从运算的角度来看,对于任意项级数的一个基本问题是:判定所给级数是绝对收敛、条件收
·892·
敛、还是发散.通常判定的步骤是:首先考察所给级数是否绝对收敛.如果所给级数不绝对收敛,
再考察 ∑∞
n = 1
un 是否条件收敛.对于一般任意项级数我们没有给出判定其收敛性的法则(这超出
了我们的教学要求),因此我们所研究的条件收敛的级数通常为交错级数.
例 2 判定级数 ∑∞
n = 1
( - 1)n sin n
n3�/2 的收敛性.如果它收敛,那么是绝对收敛,还是条件收敛 ?
解 所给级数形似交错级数,但实际上并非如此,因为sin n随着 n 的变大,其符号不规则
地变化.注意其通项 un = ( - 1)n sin n
n3�/2 ,| un | =
|sin n|n3�/2 ≤
1n3�/2 = vn ,而 ∑
∞
n = 1
vn = ∑∞
n = 1
1n3�/2 为 p
=32的 p - 级数,它为收敛级数.从而知 ∑
∞
n = 1
( - 1)n sin n
n3�/2 收敛,且为绝对收敛.
例 3 判定级数 ∑∞
n = 1
( - 1)n + 1 1
np 的收敛性,如果其收敛,那么是绝对收敛,还是条件收敛(其
中 p > 0) ?
解 记 un = ( - 1)n + 1 1
np ,则| un | =
1np .即 ∑
∞
n = 1
| un |为 p - 级数,因此可知:
当 p > 1 时, ∑∞
n = 1
| un | = ∑∞
n = 1
1np 收敛,因此 ∑
∞
n = 1
( - 1)n + 1 1
np 绝对收敛.
当0 < p ≤ 1 时, ∑∞
n = 1
| un | = ∑∞
n = 1
1n
p 发散, 即 ∑∞
n = 1
( - 1)n + 1 1
np 不绝 对收敛, 但由 于
∑∞
n = 1
( - 1)n + 1 1
np 为交错级数,当 0 < p≤1 时, �
1np >
1( n + 1)
p > 0 ( n = 1,2,⋯),
limn→∞
1np = 0,
由莱布尼茨定理可知∑∞
n = 1
( - 1)n + 1 1
np 为条件收敛.
综上可知
级数∑∞
n = 1
( - 1)n + 1
np 为
绝对收敛,当 p > 1 时,
条件收敛,当 0 < p≤1 时.
例 4 判定级数 ∑∞
n = 1
( - 1)n cos nπ
nπ的收敛性.
解 此题形似为交错级数,但由 cos nπ= ( - 1)n,可知
∑∞
n = 1
( - 1)n cos nπ
nπ= ∑
∞
n = 1
( - 1)n( - 1)
n 1
nπ
= ∑∞
n = 1
1
nπ=
1
π∑∞
n = 1
1n1�/2
为 p =12的 p - 级数乘以常数
1
π,因此 ∑
∞
n = 1
( - 1)n cos nπ
nπ发散.
·992·
这表明对于给定的级数先识别其类型,依类型选择相应的判别法是判定收敛性值得注意的
问题.
在本节的最后,请读者考虑:
思考题 1 若任意项级数 ∑∞
n = 1
un 发散,是否 ∑∞
n = 1
| un |必定发散 ?
思考题 2 若 ∑∞
n = 1
| un |发散,是否 ∑∞
n = 1
un 必定发散 ?
习题 10.3
1. 下列级数中条件收敛的是( ).
A. ∑∞
n = 1
( - 1) n nn + 1
; �B. ∑∞
n = 1
( - 1) n 1
n;
C. ∑∞
n = 1
( - 1)n 1n2 ; D. ∑
∞
n = 1
( - 1)n
n.
2. 判定下列级数的收敛性,如果是收敛级数,它是绝对收敛,还是条件收敛 ?
(1) 1 -1
2+
1
3-
1
4+ ⋯; 5(2)
1ln 2
-1
ln 3+
1ln 4
-1
ln 5+ ⋯;
(3) 1 -132
+152
-172
+ ⋯; (4)∑∞
n = 1
( - 1)nsin
πn
π2 ;
(5)12
-84
+278
-6416
+ ⋯; (6)∑∞
n = 1
( - 1) n n( n + 1)
2 .
§10.4 幂级数
在§10.1 中已指出,设 un ( x) ( n = 1,2,⋯)是定义在区间( a, b)内的函数(其中至少有一
个 un ( x)不是常数),则称 ∑∞
n = 1
un ( x) = u1 ( x) + u2 ( x) + ⋯ + un ( x) + ⋯为定义在( a, b)内的函
数项级数.
函数项级数的基本问题有两个:一是该级数在何处收敛 ? 二是若该级数收敛,其和等于什么 ?
首先注意到,对于( a, b)内的每一个值 x0 ,函数项级数都化为常数项级数,即
∑∞
n = 1
un ( x0 ) = u1 ( x0 ) + u2 ( x0 ) + ⋯ + un ( x0 ) + ⋯.
定义 1 如果∑∞
n = 1
un ( x0 )收敛,则称 x0 为 ∑∞
n = 1
un ( x)的收敛点,级数 ∑∞
n = 1
un ( x)的收敛点
的全体称为该级数的收敛域.如果 ∑∞
n = 1
un ( x0 )发散,则称 x0 为∑∞
n = 1
un ( x)的发散点.
记
Sn ( x) = u1 ( x) + u2 ( x) + ⋯ + un ( x).
·003·
若在∑∞
n = 1
un ( x)的收敛域内有limn→ ∞
Sn ( x) = S( x),则称 S( x)为级数 ∑∞
n = 1
un ( x) 的和函数.同样称
rn ( x) = S( x) - Sn ( x)为∑∞
n = 1
un ( x)的余项.在收敛域内总有limn→∞
rn ( x) = 0.
一、幂级数
定义 2 形如
∑∞
n = 0
an ( x - x0 )n= a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 )
2+ ⋯ + an ( x - x0 )
n+ ⋯
或
∑∞
n = 0
an xn= a0 + a1 x + a2 x
2+ ⋯ + an x
n+ ⋯
(其中 a0 , a1 ,⋯, an,⋯都是常数)的函数项级数,称为幂级数.称 a0 , a1 ,⋯, an ,⋯为幂级数的系
数.又可称它们为定义在( - ∞, + ∞)内的幂级数.前者又称为( x - x0 )的幂级数,后者又称为 x
的幂级数.
如 1 + x + x2+ ⋯ + x
n+ ⋯为 x 的幂级数,对于任意给定的 x 值,上述级数都是公比为 x
的几何级数,可知当| x| < 1 时,这个级数收敛,其和函数为1
1 - x.当| x|≥1 时,上述几何级数发
散.故所给级数的收敛域为( - 1,1).
对于一般的幂级数,其基本问题依然有两个:一是何处收敛,收敛域是否为一个区间 ? 二是
其和等于什么 ? 对此,首先给出:
定理 10.7(阿贝尔( Abel)▲定理) (1)∑
∞
n = 0
an xn在 x = 0 处收敛.
▲ 关于阿贝尔的简介,请见书末的附录一.
(2) 若∑∞
n = 0
an xn在 x = x0 ( x0 ≠0)处收敛,则对于一切适合| x| < | x0 |的 x,∑
∞
n = 0
an xn绝对收敛.
(3) 若 ∑∞
n = 0
an xn在 x = x0 ( x0 ≠0)处发散,则对于适合| x| > | x0 |的 x,∑
∞
n = 0
an xn发散.
证 (1) 显然.
(2) 若级数 ∑∞
n = 0
an xn
0 收敛,则由级数收敛的必要条件可知有limn→ ∞
an xn
0 = 0.由极限的性质可
知必定存在 M > 0,使
| an xn
0 |≤ M ( n = 0,1,2,⋯),
因此
| an xn| = an x
n
0·xn
xn0
= | an xn0 |
xx0
n
≤ Mxx0
n
.
由于| x| < | x0 |,可知xx0
< 1,从而几何级数 ∑∞
n = 0
Mxx0
n
收敛.由正项级数的比较判别法可
·103·
知∑∞
n = 0
| an xn|收敛,即 ∑
∞
n = 0
an xn绝对收敛.定理第 2 部分得证.
定理的第 3 部分可利用反证法:设| x| > | x0 |时, ∑∞
n = 0
an xn收敛,则依第 2 部分的结论
∑∞
n = 0
an xn在 x0 处收敛,矛盾.
这表明如果幂级数∑∞
n = 0
an xn在 x0 处收敛,则在区间( - | x0 |,| x0 |)内绝对收敛;如果幂级
数在 x1 处发散,则在[ - | x1 |,| x1 |]之外的任何点 x 处必定发散.不妨设 0 < x0 < x1 ,如果沿数
轴向右方走,必然会出现这样的情况,在这个点的左方( > x0 )都是幂级数的收敛点,在这个点的
右方都是幂级数的发散点,相仿在原点的左方也有一个与之对称的点.为此我们可以将其归纳
为:
推论 如果幂级数∑∞
n = 0
an xn不是仅在 x = 0 处收敛,也不是在整个数轴都收敛,则必有一个
完全确定的正数 R 存在,使得
当| x| < R 时,∑∞
n = 0
an xn绝对收敛;
当| x| > R 时,∑∞
n = 0
an xn发散;
当 x = R 与 x = - R 时,∑∞
n = 0
an xn可能收敛,也可能发散.
定义 3 通常称上述 R 为幂级数 ∑∞
n = 0
an xn的收敛半径,称( - R, R)为幂级数的收敛区间.
如果对于任意 x,幂级数 ∑∞
n = 0
an xn都收敛,则说其收敛半径为 R = + ∞, 收敛区间为
( - ∞, + ∞).
如果幂级数∑∞
n = 0
an xn仅在 x = 0 处收敛,则说收敛半径 R = 0.
定理 10.8 对于幂级数 ∑∞
n = 0
an xn,设 an ≠0, n = 1,2,⋯,并设
limn→∞
an + 1
an= ρ,
若
1. ρ≠0,则 R =1ρ;
2. ρ= 0,则 R = + ∞;
3. ρ= + ∞,则 R = 0.
证 如果认定 x 为某确定的数值且 x≠0,则可以认定 ∑∞
n = 0
an xn为常数项级数.考察其各项
绝对值所构成的常数项级数
·203·
∑∞
n = 0
| un | = ∑∞
n = 0
| an xn| = | a0 | + | a1 x| + | a2 x
2| + ⋯ + | an x
n| + ⋯.
于是
limn→∞
un + 1
un= lim
n→ ∞
an + 1 xn + 1
an xn = lim
n→ ∞
an + 1
an| x| = ρ| x|.
因此,由正项级数的比值判别法可知,当ρ| x| < 1(ρ≠0),即| x| <1ρ时, ∑
∞
n = 0
an xn绝对收敛,当
ρ| x| > 1,即| x| >1ρ时, ∑
∞
n = 0
an xn发散,所以 R =
1ρ是其收敛半径.
当ρ= 0 时,对于任意的 x 值,总有ρ| x| = 0 < 1,所以幂级数 ∑∞
n = 0
an xn在( - ∞, + ∞)内绝
对收敛.
当ρ= + ∞时,对于任何 x≠0,都有ρ| x| = + ∞,所以幂级数∑∞
n = 0
an xn对任何 x≠0 时都发
散.它只在 x = 0 处收敛,即收敛半径为 R = 0.
例 1 求幂级数 ∑∞
n = 1
xn
n的收敛半径与收敛区间.
解 由于 an =1n, an + 1 =
1n + 1
,因此
limn→∞
an + 1
an= lim
n→∞
1n + 11n
= 1 = ρ,
可知收敛半径 R =1ρ
= 1.收敛区间为( - R, R) = ( - 1,1).
有必要指出,若 ∑∞
n = 0
an xn的收敛半径为 R,则在( - R, R)内 ∑
∞
n = 0
an xn绝对收敛;当| x| > R
时,∑∞
n = 0
an xn发散.当 x = ± R 时,∑
∞
n = 0
an xn可能收敛,可能发散.对于例 1, R = 1,可知当 x =
- 1 时,原级数化为
- 1 +12
-13
+14
- ⋯ + ( - 1)n 1
n+ ⋯,
为交错级数,由莱布尼茨定理知其收敛.
当 x = 1 时,原级数化为
1 +12
+13
+14
+ ⋯ +1n+ ⋯,
为调和级数,因而发散.
故原幂级数的收敛域为[ - 1,1).
例 2 求幂级数 ∑∞
n = 1
n ! xn的收敛半径与收敛区间.
解 由于 an = n !,因而
·303·
limn→∞
an + 1
an= lim
n→∞
( n + 1) !n !
= + ∞,
可知收敛半径 R = 0,所给级数仅在 x = 0 处收敛.
例 3 求幂级数 ∑∞
n = 0
xn
n !的收敛半径与收敛区间.
解 由于 an =1n !
,有
limn→ ∞
an + 1
an= lim
n→ ∞
1( n + 1) !
1n !
= 0 = ρ,
可知收敛半径 R = + ∞,收敛区间为( - ∞, + ∞).
例 4 求幂级数 ∑∞
n = 1
1n( x - 1)
n的收敛半径与收敛区间.
解 由于所给级数不是所讨论的标准形式,可设 y = ( x - 1),则原级数化为 ∑∞
n = 1
1nyn.此处
an =1n,
limn→∞
an + 1
an= lim
n→∞
nn + 1
= 1 = ρ,
可知收敛半径 R =1ρ
= 1,收敛区间为 - 1 < y < 1,从而
- 1 < x - 1 < 1,即 0 < x < 2.
例 5 求级数x2
1·3+
x4
2·32 +
x6
3·33 + ⋯的收敛半径与收敛区间.
解 有必要指出,前述定理只适用于 ∑∞
n = 0
an xn, an ≠0, n = 1,2,⋯.我们称之为不缺项情形.
而本例中只含 x 的偶次幂,不含 x 的奇次幂.我们称之为缺项情形.对于缺项情形不能用前述定
理.本例中可以设 y = x2,将原级数化为不缺项情形而利用定理.为了具有一般性.本例采用通常
的方法.考察后项与前项绝对值之比的极限,得
limn→ ∞
un + 1
un
= limn→∞
1( n + 1)3
n + 1 x2( n + 1)
1n·3
n x2 n
= limn→ ∞
nx2
3( n + 1)=
13x2,
根据正项级数的比值判定法可知当13x2< 1 即 - 3 < x < 3时,所给级数绝对收敛,当| x| > 3
时,所给级数发散.因此所给级数收敛半径 R = 3,收敛区间为( - 3, 3).
例 6 幂级数 ∑∞
n = 1
( x - 2)n
n2 的收敛半径为 .
解 ∑∞
n = 0
an ( x - x0 )n的收敛半径的求法与级数∑
∞
n = 0
an xn的求法一样.
·403·
由于 an =1n2 , an + 1 =
1( n + 1)
2 ,可知
limn→∞
an + 1
an
= limn→ ∞
n2
( n + 1)2 = 1 =ρ
因此 R =1ρ
=11,故所给级数收敛半径为 1.
二、幂级数的性质
由前面的推导可知,若幂级数 ∑∞
n = 0
an xn的收敛半径为 R≠0,则在( - R, R)内 ∑
∞
n = 0
an xn绝
对收敛.
幂级数还有许多基本性质,在将初等函数展开为幂级数或求幂级数的和函数时常常用到.
若∑∞
n = 0
an xn的收敛半径 R≠0,收敛区间为( - R, R ),又设其和函数为 S( x),则幂级数
∑∞
n = 0
an xn有下列性质:
性质 1 幂级数 ∑∞
n = 0
an xn的和函数S( x)在其收敛区间( - R, R)内为连续函数.
性质 2 若幂级数 ∑∞
n = 0
an xn的收敛半径为 R,则其和函数 S( x)在其收敛区间( - R, R)内
是可积的,且有逐项积分公式:
∫x
0S( x)d x =∫
x
0∑∞
n = 0
an xnd x = ∑
∞
n = 0∫
x
0an x
nd x = ∑
∞
n = 0
an
n + 1xn + 1
,
且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是 R.
性质 3 若幂级数 ∑∞
n = 0
an xn的收敛半径为 R,则其和函数 S( x)在其收敛区间( - R, R)内
是可导的,且有逐项求导公式:
S′( x) = ∑∞
n = 0
an xn′= ∑
∞
n = 0
( an xn)′= ∑
∞
n = 1
nan xn - 1
,
且逐项求导(或逐项微分)后所得到的幂级数收敛半径也是 R.(注意上式两端和式符号∑的下
标变化 !)
若∑∞
n = 0
an xn与 ∑
∞
n = 0
bn xn的收敛区间分别为( - R1 , R1 )与( - R2 , R2 ),和函数分别为 S( x)与
σ( x),则有下列的性质 4.
性质 4 两幂级数 ∑∞
n = 0
an xn与 ∑
∞
n = 0
bn xn可以逐项相加,即 S( x) ± σ( x) = ∑
∞
n = 0
an xn±
∑∞
n = 0
bn xn= ∑
∞
n = 0
( an ± bn ) xn, 且 ∑
∞
n = 0
( an ± bn ) xn在区间( - R, R)内收敛,其中 R = min{ R1 ,
R2 }.
·503·
性质 5 两幂级数 ∑∞
n = 0
an xn与 ∑
∞
n = 0
bn xn可按下述规则相乘,即 S( x)·σ( x) = ∑
∞
n = 0
an xn·
∑∞
n = 0
bn xn
= a0 b0 + ( a0 b1 + a1 b0 ) x + ( a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) x2+ ⋯ + ( a0 bn + a1 bn - 1 + ⋯ +
an b0 ) xn+ ⋯ = ∑
∞
k = 0
ck xk
其中 ck = ∑i+ j = k
aibj ,等式右端的幂级数在区间( - R, R)内收敛,其中
R = min{ R1 , R2 }.
性质 6 如果 bn ≠0,两幂级数 ∑∞
n = 0
an xn与 ∑
∞
n = 0
bn xn可以相除,
S( x)σ( x)
=∑∞
n = 0
an xn
∑∞
n = 0
bn xn
= ∑∞
n = 0
cn xn,
其中 cn ( n = 0,1,2,⋯)可由 ∑∞
n = 0
bn xn· ∑
∞
n = 0
cn xn
= ∑∞
n = 0
an xn比较等式两端同类项系数来确
定,但其收敛半径可能比 R1 , R2 两者都小得多.
利用幂级数的基本性质,可以求某些幂级数的和函数.还可以借助于这些性质将某些初等函
数展开为幂级数.
例 7 求 x -x2
2+
x3
3-
x4
4+ ⋯的收敛区间与和函数.
解 所给级数的系数 an = ( - 1)n - 1 1
n,
limn→∞
an + 1
an
= limn→ ∞
( - 1)n 1
n + 1
( - 1)n - 1 1
n
= limn→ ∞
nn + 1
= 1,
因而收敛半径 R =1ρ
= 1,收敛区间为( - 1,1).
由于几何级数 1 - x + x2- x
3+ ⋯的收敛区间为( - 1,1),和函数为
11 + x
,所给级数与几何
级数相比,相应项的系数分母中含有 n.令所给级数在收敛区间( - 1,1)内的和函数为 S( x),即
S( x) = x -x2
2+
x3
3-
x4
4+ ⋯,
利用幂级数在其收敛区间内可以逐项求导的性质,可得
S′( x) = x -x2
2+
x3
3-
x4
4+ ⋯
′= 1 - x + x
2- x
3+ ⋯ =
11 + x
,
因而当 x∈( - 1,1)时有
S( x) - S(0) =∫x
0S′( x)d x =∫
1
0
11 + x
d x,
其中 S(0) = 0,所以
S( x) = ln(1 + x),
·603·
即
x -x2
2+
x3
3-
x4
4+ ⋯ =ln(1 + x), - 1 < x < 1.
例 8 求 1 - 2 x + 3 x2- 4 x
3+ ⋯的收敛区间与和函数.
解 所给级数∑∞
n = 0
an xn的系数 an = ( - 1)
n( n + 1),
limn→ ∞
an + 1
an= lim
n→∞
( - 1)n + 1
( n + 2)( - 1)
n( n + 1)
= 1 =ρ,
因此收敛半径 R =1ρ
= 1,收敛区间为( - 1,1).
所给级数与几何级数相比,相应项的系数分子中含有 n,令所给级数在收敛区间( - 1,1)内
的和函数为 S( x),即
S( x) = 1 - 2 x + 3 x2- 4 x
3+ ⋯.
利用幂级数在其收敛区间内可以逐项积分的性质,当 x∈( - 1,1)时有
∫x
0S( x)d x 5=∫
x
0(1 - 2 x + 3 x
2- 4 x
3+ ⋯)d x
= x - x2+ x
3- x
4+ ⋯ =
x1 + x
,
故
S( x) =∫x
0S( x)d x ′=
x1 + x
′=1
(1 + x)2 ,
即
1 - 2 x + 3 x2- 4 x
3+ ⋯ =
1(1 + x)
2 , - 1 < x < 1.
习题 10.4
1. 求下列级数的收敛半径与收敛区间:
(1) ∑∞
n = 1
n ! xn ; �(2)x2
+x2
2·4+
x3
2·4·6+ ⋯;
(3) 1 - x +x2
22 -x3
32 + ⋯; (4) ∑∞
n = 1
n2
n2 + 1xn;
(5) ∑∞
n = 1
( - 1)n - 1 ( x + 1)
n
n; (6) ∑
∞
n = 1
( - 1)n 12 n + 1
x2 n + 1
.
§10.5 初等函数展开为幂级数
我们由§4.1 知道,若函数 f( x)在区间( a, b)内有直到( n + 1)阶导数, x0 ∈( a, b),则有
f( x) E= f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2
·703·
+ ⋯ +1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n+ R n ( x), x∈( a, b),
其中 Rn ( x) =f( n + 1 )
(ξ)( n + 1) !
( x - x0 )n + 1
,ξ介于 x0 与 x 之间.常称此公式为 f( x)在点 x0 处的拉
格朗日型余项的泰勒公式,其中系数 ak =1k !
f( k)
( x0 )称为泰勒系数 ( k = 0,1,⋯, n).
多项式
Pn ( x) = �f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 )
+12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+ ⋯ +
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n
与 f( x)在 x = x0 有相同的函数值,且有相同的直到 n 阶的导数.常称此 Pn ( x)为 f( x)在点 x
= x0 处的 n 次泰勒多项式,上述泰勒公式为用多项式逼近函数提供了理论基础.
例 1 设 f( x) = cos x,求 f( x)在点 x = 0 处的 1 次、2 次、4 次、6 次、8 次泰勒多项式.
解 f(0) = cos 0 = 1,
f′( x) = - sin x, f′(0) = 0,
所以 cos x 在点 x = 0 处的 1 次泰勒多项式为
cos x≈1 = P1 ( x).
再有,
f″( x) = - cos x, f″(0) = - 1,
因此 cos x 在 x = 0 处的 2 次泰勒多项式为
cos x≈1 -12
x2= P2 ( x).
相应地 cos x 在 x = 0 处的 4 次、6 次、8 次泰勒多项式依次为
图 10.1
cos x≈1 -x2
2 !+
x4
4 != P4 ( x),
cos x≈1 -x2
2 !+
x4
4 !-
x6
6 != P6 ( x),
cos x≈1 -x2
2 !+
x4
4 !-
x6
6 !+
x8
8 != P8 ( x),
其图像如图 10.1 所示.
由上述的讨论可以看到 P2 ( x), P4 ( x), P6 ( x), P8 ( x)每一个都比前一个在 x = 0 附近能更
好地逼近 cos x.且每个更高次泰勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多项式.为此引进泰
勒级数.
一、泰勒级数
由上述分析可以知道,在点 x = x0 处的泰勒多项式 Pn ( x)的次数 n 越高,其逼近 f( x)的效
果越好. 因 此我 们 提出 问题: 如 果 在 x0 的某 邻域 内 f( x) 存 在任 意 阶 导数, 则 有 级 数
·803·
∑∞
n = 0
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n,我们称之为 f( x)在 x = x0 处的泰勒级数.
这里出现了一个问题:如果在 x = x0 的某邻域内, f( x)存在任意阶导数,是否必定有
f( x) = ∑∞
n = 0
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n.
实际上,上述问题隐含着两层意义: f( x)在 x = x0 处的泰勒级数是否收敛 ? 在其收敛区间内,
其和函数是否等于 f( x) ?
为此,记
Sn ( x) = �f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+ ⋯ +
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n.
由泰勒公式有
Rn ( x) = f( x) - Sn ( x).
由此可知limn→ ∞
Sn ( x) = f( x)的充分必要条件是limn→∞
Rn ( x) = 0.于是有
定理 10.9 设 f( x)在包含点 x = x0 在内的某区间内有任意阶导数. f( x)在 x = x0 处的
泰勒级数在该区间内收敛于 f( x)的充分必要条件是在该区间内
limn→ ∞
R n ( x) = 0.
如果 x0 = 0,称级数 ∑∞
n = 0
1n !
f( n)
(0) xn为 f( x)的麦克劳林级数.
综上所述,若 f( x)在 x = x0 的某邻域内有任意阶导数,将 f( x)展开为泰勒级数的一般步
骤为:
1. 求出 f( x)的各阶导数 f′( x), f″( x),⋯, f( n)
( x),⋯;
2. 计算 f( x0 ), f′( x0 ),⋯, f( n)
( x0 ),⋯;
3. 写出 f( x)在 x0 处的泰勒级数
f( x0 ) + f′( x0 )( x - x0 ) +12 !
f″( x0 )( x - x0 )2+ ⋯ +
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n+ ⋯;
4. 求出上述泰勒级数的收敛区间( - R, R);
5. 在收敛区间内考察
limn→ ∞
R n ( x) = limn→ ∞
f( n + 1)
(ξ)( n + 1) !
( x - x0 )n + 1
(ξ介于 x 与 x0 之间)
是否为零;若为零则有
f( x) = ∑∞
n = 0
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n,
否则即使∑∞
n = 0
1n !
f( n)
( x0 )( x - x0 )n收敛,其和函数也不一定为f( x).
例 1 将 f( x) = ex展开为麦克劳林级数.
解 由于 f( x) = ex在 x = 0 的某邻域内存在任意阶导数,且
f′( x) = ex= f″( x) = f″( x) = ⋯ = f
( n)( x).
因此
f(0) = f′(0) = f″(0) = ⋯ = f( n)
(0) = 1.
·903·
故 ex的麦克劳林级数为
1 + x +12 !
x2+ ⋯ +
1n !
xn+ ⋯,
其收敛区间为( - ∞, + ∞).任取 x,则对于任何介于 0 与 x 之间的ξ,有
| Rn ( x)| = eξ x
n + 1
( n + 1) !< e
| x| | x|n + 1
( n + 1) !.
对于给定的 x,可知 e| x|
有界.而| x|
n + 1
( n + 1) !可以看作是收敛级数 ∑
∞
n = 0
| x|n + 1
( n + 1) !的一般项 un =
| x|n + 1
( n + 1) !,可知其当 n→∞时趋于零,因此lim
n→ ∞Rn ( x) = 0,于是有
ex= ∑
∞
n = 0
xn
n ! ( - ∞, + ∞).
例 2 将 f( x) = sin x 在 x = 0 处展开为泰勒级数.
解 由前面分析可知,“将 f( x)展开为麦克劳林级数”,“将 f( x)展开为 x 的幂级数”,“将
f( x)在 x = 0 处展开为泰勒级数”,这三种提法实质相同.
由于 sin x 在 x = 0 的邻域内有任意阶导数,且
f′( x) = cos x = sinπ2
+ x ,
f( n)
( x) = sinnπ2
+ x ( n = 1,2,⋯),
故
f(0) = 0, f′(0) = 1, f″(0) = 0, f�(0) = - 1,⋯
顺次循环取这四个值,故有麦克劳林级数
x -13 !
x3+
15 !
x5-
17 !
x7+ ⋯ +
( - 1)n
(2 n + 1) !x2 n + 1
+ ⋯,
其收敛区间为( - ∞, + ∞),再注意到
| Rn ( x)| = sin ξ+( n + 1)
2π·
xn + 1
( n + 1) !≤
| x|n + 1
( n + 1) !,
ξ位于 0 与 x 之间.
由于∑∞
n = 0
| x |n + 1
( n + 1) !为收敛级数,其通项的极限为零,因此lim
n→∞Rn ( x) = 0,故有
sin x = ∑∞
n = 0
( - 1)n
(2 n + 1) !x2 n + 1
( - ∞ < x < + ∞),
或写为
sin x = x -13 !
x3+
15 !
x5-
17 !
x7+ ⋯ +
( - 1)n
(2 n + 1) !x2 n + 1
+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞).
由上述演算可以发现,利用上述方法将 f( x)展开为幂级数有两个困难:一是要求出 f( x)
的各阶导数,这往往要找出其规律,写出 f( n)
( x)的表达式;二是要求出余项 R n ( x),并且判定
limn→ ∞
R n ( x)是否为零.一般说来这两者都很困难,通常按上述方法将 f( x)展开为幂级数,称之为
直接法.
·013·
二、展开的惟一性与间接展开法
前述函数的直接展开法是很困难的.那么是否有好一点的办法将函数展开为泰勒级数呢 ?
换句话说是否可以避开求各阶导数 f( n)
( x0 ) ( n = 1,2,⋯)以及避开去讨论limn→ ∞
R n ( x) = 0 而达
到同样的目的呢 ?
设 f( x)在 x0 的某对称区间( - R + x0 , R + x0 )内可以展开成收敛于它自身的( x - x0 )的
幂级数
f( x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 )2+ ⋯ + an ( x - x0 )
n+ ⋯, ( * )
以 x0 代入( * )两端,有
f( x0 ) = a0 ,
可将它写为 a0 = f( 0)
( x0 ).
将( * )两端对 x 求导数,然后再以 x = x0 代入其两端,有
f′( x0 ) = a1 ,
即 a1 = f′( x0 ).
将( * )两端对 x 求二阶导数,然后再以 x = x0 代入其两端,有
f″( x0 ) = 2 a2 ,
即 a2 =12 !
f″( x0 ).
依次下去可得 an =1n !
f( n)
( x0 ).
这样就证明了下述定理:
定理 10.10(函数展开为幂级数的惟一性定理) 设 f( x)在某区间内可以展开为( x - x0 )
的幂级数
f( x) = ∑∞
n = 0
an ( x - x0 )n,
其系数必定为泰勒系数 an =1n !
f( n)
( x0 ) ( n = 0,1,2,⋯).
此定理表明 f( x)如能展开为( x - x0 )的幂级数,则此级数必是 f( x)在 x = x0 处的泰勒级
数.
下面介绍“间接展开法”,所谓间接展开法,就是利用已知的幂级数展开式,利用幂级数在其
收敛区间内的运算性质,例如两个幂级数可逐项加、减,逐项求导,逐项积分等,将所给函数展开
为泰勒级数.
常用的展开式有
1
1 - x= 1 + x + x
2+ ⋯ + x
n+ ⋯ ( - 1 < x < 1),
ex= 1 + x +
x2
2 !+ ⋯ +
xn
n !+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞),
·113·
sin x = x -x3
3 !+
x5
5 !+ ⋯ + ( - 1)
n x2 n + 1
(2 n + 1) !+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞).
欲将 f( x)展开为幂级数,首先与上述标准展开式对照,如果 f( x)的形式与标准形式相近,
则可以利用标准展开式与幂级数性质将其展开.
例 3 设 f( x) =1
x - a ( a > 0).
(1) 将 f( x)在 x = 0 处展开为幂级数;
(2) 将 f( x)展开为( x - b)的幂级数( b≠ a).
解 由于 f( x) =1
x - a与
11 - x
相近,可以先将其恒等变型.
(1)1
x - a=
1- a
1
1 -xa
= -1a ∑
∞
n = 0
xa
n
= - ∑∞
n = 0
xn
an + 1 ,
此级数的收敛区间由下式确定,
- 1 <xa< 1,
即有 - a < x < a.因此
1x - a
= - ∑∞
n = 0
xn
an + 1 ( - a < x < a).
(2)
1x - a
�=1
( x - b) + ( b - a)=
1b - a
1
1 +x - bb - a
=1
b - a∑∞
n = 0
( - 1)n x - b
b - a
n
= ∑∞
n = 0
( - 1)n ( x - b)
n
( b - a)n + 1 .
此级数的收敛区间由下式确定,
- 1 <x - bb - a
< 1,
因此当 a < b 时,有 a < x < 2 b - a;当 b < a 时有 b < x < 2 a - b,记之为 D.
1x - a
= ∑∞
n = 0
( - 1)n ( x - b)
n
( b - a)n + 1 ( x∈ D).
例 4 将函数 f( x) = x2e
x2
展开为 x 的幂级数.
解 由于 ex
= ∑∞
n = 0
xn
n ! ( - ∞ < x < + ∞),所以
ex2
= ∑∞
n = 0
( x2)
n
n != ∑
∞
n = 0
x2 n
n !.
故
x2e
x2
= x2
∑∞
n = 0
x2 n
n != ∑
∞
n = 0
x2( n + 1 )
n ! ( - ∞ < x < + ∞).
例 5 将 f( x) = ln(1 + x)展开为麦克劳林级数.
解 所给函数与四个标准展开式中的形式皆不一致,但是由于[ln(1 + x)]′=1
1 + x,而
·213·
11 + x
= ∑∞
n = 0
( - 1)nx
n ( - 1 < x < 1),
因此
ln(1 + x) -ln(1 + 0) =∫x
0
11 + x
d x =∫x
0∑∞
n = 0
( - 1)nx
nd x
= ∑∞
n = 0
( - 1)nx
n + 1
n + 1= x -
x2
2+
x3
3- ⋯ + ( - 1)
n - 1 xn
n+ ⋯ ( - 1 < x < 1),
即 ln(1 + x) = x -x2
2+
x3
3- ⋯ + ( - 1)
n - 1 xn
n+ ⋯ ( - 1 < x < 1).
例 6 将 f( x) = cos x 展开为麦克劳林级数.
解 由于 cos x = (sin x)′,而
sin x = x -13 !
x3+
15 !
x5-
17 !
x7+ ⋯ +
( - 1)n
(2 n + 1) !x2 n + 1
+ ⋯,
由幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质可知
cos x �= x -13 !
x3+
15 !
x5-
17 !
x7+ ⋯ +
( - 1)n
(2 n + 1) !x2 n + 1
+ ⋯′
= 1 -12 !
x2+
14 !
x4-
16 !
x6+ ⋯ +
( - 1)n
(2 n) !x2 n
+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞).
有必要指出,除上述三个展开式可以作为标准展开式之外,还可以将
cos x = 1 -12 !
x2+
14 !
x4- ⋯ + ( - 1)
n x2 n
(2 n) !+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞),
ln(1 + x) = x -x2
2+
x3
3- ⋯ + ( - 1)
n - 1 xn
n+ ⋯ ( - 1 < x < 1)
作为标准展开级数.
例 7 将 f( x) =3
2 + x - x2 展开为 x 的幂级数.
解 只需将 f( x)化为1
1 - x的形式.
由于
32 + x - x
2 =3
(2 - x)(1 + x)=
12 - x
+1
1 + x,
11 + x
= ∑∞
n = 0
(- 1)nxn ( - 1 < x < 1) ,
12 - x
=12·
1
1 -x2
=12∑
∞
n = 0
x2
n
= ∑∞
n = 0
xn
2n + 1 -
12
< x <12
.
因此有
f( x) = ∑∞
n = 0
12
n + 1 + ( - 1)n
xn -
12
< x <12
.
例 8 将 f( x) = ln x 在 x = 1 点处展开为幂级数.
解 利用ln(1 + x)的展开式.可得
·313·
ln x = ln[1 + ( x - 1)] = ∑∞
n = 1
(- 1)n- 1
n ( x - 1)
n,
其中 - 1 < x - 1 < 1,因此 0 < x < 2.
三、幂级数在近似计算中的应用
1. 近似计算
利用函数的泰勒级数展开式可以计算函数的近似值,并对计算的精确度给出可靠的估计.
例 9 计算 e的近似值,精确到小数四位.
解 由 ex的麦克劳林级数有
ex= 1 + x +
12 !
x2+
13 !
x3+ ⋯ +
1n !
xn+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞).
令 x = 1,则有
ex= 1 + 1 +
12
+13 !
+ ⋯ +1n !
+ ⋯.
取 e≈1 + 1 +12 !
+ ⋯ +1n !
,欲精确到小数四位,只需取 rn <110
4 .由于
rn �=1n !
+1
( n + 1) !+ ⋯ =
1n !
1 +1
n + 1+
1( n + 1)( n + 2)
+ ⋯
<1n !
1 +1n+
1n2 + ⋯ =
1( n - 1)( n - 1) !
,
只需取 n = 8,则有 r8 <110
4 ,于是
e≈1 + 1 +12 !
+13 !
+ ⋯ +17 !
≈2.718 3
例 10 计算∫1
0
sin xx
d x 的近似值,精确到小数四位.
解 在积分学中曾指出∫sin xx
d x 等积分虽然形式不复杂,但是不能用初等函数表示出来.
然而这类积分不难利用幂级数形式表示出来.只需注意
sin x = x -13 !
x3+
15 !
x5-
17 !
x7+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞),
由幂级数的基本性质可知
sin xx
= 1 -13 !
x2+
15 !
x4-
17 !
x6+ ⋯,
∫1
0
sin xx
d x =∫1
01 -
x2
3 !+
x4
5 !-
x6
7 !+ ⋯ d x
= x -x3
3·3 !+
x5
5·5 !-
x7
7·7 !+ ⋯
1
0= 1 -
13·3 !
+1
5·5 !-
17·7 !
+ ⋯
为交错级数,由于1
7·7 !<
110
4 ,可取其前三项则可精确到小数四位,即
·413·
∫1
0
sin xx
d x≈1 -1
3·3 !+
15·5 !
≈0.946 1.
*2. 欧拉公式
前面讨论的级数都在实数范围内,下面研究复数项级数 ∑∞
n = 1
( un + ivn ),其中 un , vn ( n = 1,
2,⋯)为实常数或实函数.
若上述复数项级数的各项的实部组成的级数 ∑∞
n = 1
un 收敛,其和为 u.又各项的虚部组成的
级数∑∞
n = 1
vn 也收敛,其和为 v.则称该复数项级数收敛,且其和为 u + iv.
若 z = x + iy,其中 x, y 为实数.通常定义
ez= 1 + z +
12 !
z2+
13 !
z3+ ⋯ +
1n !
zn+ ⋯(| z| < ∞).
当 x = 0 时,有 z = iy,因此
eiy
= 1 + iy +12 !
(iy)2+
13 !
(iy)2+ ⋯ +
1n !
(iy)n+ ⋯.
由于i2= - 1,上式可化为
ei y �
= 1 -12 !
y2+
14y4+ ⋯ + i y -
13 !
y3+
15 !
y5- ⋯
= cos y + i sin y,
即
eix
= cos x +i sin x.
常称之为欧拉公式.这个公式在微分方程中将要使用.
习题 10.5
1. 将下列函数展开为麦克劳林级数:
(1) e- x
2
. �(2)12(e
x- e
- x).
(3)1
2 + x. (4)
1(1 - x)2 .
(5) arctan x. (6)1
1 - 3 x + 2 x2 .
2. 将下列函数在给定点展开为泰勒级数:
(1) ln x 在 x = 1 处. (2)1x在 x = 1 处.
(3) sin x 在 x =π4处.
§10.6 傅里叶级数
函数项级数的各项由三角函数形式表示为
·513·
a0
2+ ∑
∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx)
的级数,称为三角级数.级数理论在数学本身、其他科学和技术中极其重要.在声学、电动力学、光学、热力学中为
了研究周期运动常借助于三角级数.在电气工程问题中,诸如开关元件的频率性态或脉冲的传输问题也可以借
助于三角级数解决.潮汐预报和水文预报的仪器也是借助于三角级数理论而构造的.
一、傅里叶(Fourier)▲级数
▲ 关于傅里叶的简介,请见书末的附录一.
傅里叶级数理论的基本思想是用三角级数表示一般的周期函数.
先考察三角级数
a0
2+ ∑
∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx)
(其中 a0 , a1 , b1 ,⋯都是常数)的特点.若其在长度为 2π的区间上收敛,不妨设该级数在[ -π,π]上收敛,其和函
数为 f( x),即在[ -π,π]上有
f( x) =a02
+ ∑∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx).
由于 sin nx,cos nx 都是以 2π为周期的函数,可知上述三角级数也以 2π为周期,所以对于任何实数 x 皆收敛.
换句话说,研究三角级数在[ -π,π]上的性态,利用三角函数的周期性则可得知三角级数在整个数轴上的整体性
态.
这里有两个反问题:
1.在什么条件下函数 f( x)才能表示为三角级数 ?
2.如果 f( x)可以表示为三角级数,又应该如何确定 a0 , a1 , b1 ,⋯ ?
为了解决上述两个问题,先注意下列性质:
∫π
-πcos nxd x = 0 ( n = 0,1,2,⋯),
∫π
-πsin nxd x = 0 ( n = 1,2,⋯),
∫π
-πcos m xcos nxd x = 0 ( m≠ n) ( n = 0,1,2,⋯),
∫π
-πsin m xsin nxd x = 0 ( m≠ n) ( n = 1,2,⋯),
∫π
-πsin m xcos nxd x = 0 ( n = 0,1,2,⋯),
通常称上述性质为三角函数族:1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,⋯,在区间[ -π,π]上的正交性,即上述三角函数族
中任何不同的两个函数的乘积在区间[ -π,π]上的积分等于零.上述性质读者可以通过计算定积分来验证.
另外,还可得:∫π
-π12d x = 2π,∫
π
-πsin
2nxd x =π ( n = 1,2,⋯),∫
π
-πcos
2nxd x =π ( n = 1,2,⋯).
再考察第二个问题的反问题,假定三角级数在[ -π,π]上收敛于和函数 f( x),且假设定积分与求和可交换
顺序,若
f( x) =a02
+ ∑∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx), ( * )
对( * )式从 -π到π逐项积分,可得
·613·
∫π
-πf( x)d x =∫
π
-π
a02
+ ∑∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx) d x =πa0 ,
于是
a0 =1π∫
π
-πf( x)d x.
相仿,用 cos nx 乘( * )式两端,并从 -π到π逐项积分,可得
∫π
-πf( x)cos nxd x �=∫
π
-π
a02
+ ∑∞
n = 1
( ancos nx + bn sin nx) cos nxd x
=∫π
-πan cos
2nxd x = anπ,
于是
an =1π∫
π
-πf( x)cos nxd x ( n = 1,2,⋯).
同理,用 sin nx 乘( * )式两端,并从 -π到π逐项积分,可得
bn =1π∫
π
-πf( x)sin nxd x ( n = 1,2,⋯).
上述的 a0 , an , bn ( n = 1,2,⋯)的表达式又称之欧拉 - 傅里叶公式.
由欧拉 - 傅里叶公式确定 a0 , an , bn( n = 1,2,⋯)得到的三角级数
a0
2+ ∑
∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx)
称为 f( x)的傅里叶级数.
对傅里叶级数有以下结论:
定理 10.11(狄利克雷(Dirichlet)▲ 定理) 设 f( x)为周期等于 2π的函数, f( x)在[ -π,π]上有定义且有
界.假定[ -π,π]可以分成有限个子区间,在每个子区间上 f( x)是连续且单调的,则由欧拉 - 傅里叶公式确定
a0 , an , bn ( n = 1,2,⋯)得到傅里叶级数
▲ 关于狄利克雷的简介,请见书末的附录一.
a0
2+ ∑
∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx)
在[ -π,π]上收敛,且满足:
1. 当 x 为 f( x)的连续点时,和等于 f( x);
2. 当 x 为 f( x)的间断点时,和等于f( x + ) + f( x - )
2;
3. 当 x 为区间端点,即 x = -π, x =π时,和等于f( -π+ ) + f(π- )
2.
上述区间换为( -π,π]或[ -π,π)也正确.
二、在[ - π,π]上的傅里叶级数
如果 f( x)只是定义在( -π,π]上的函数,可以将 f( x)延拓为周期函数 F( x),使 F( x)在[ -π,π]上等于
f( x),且 F( x)是以 2π为周期的函数,由欧拉 - 傅里叶公式有
a0 =1π∫
π
-πF( x)d x =
1π∫
π
-πf( x)d x,
an =1π∫
π
-πF( x)cos nxd x =
1π∫
π
-πf( x)cos nxd x ( n = 1,2,⋯),
·713·
bn =1π∫
π
-πF( x)sin nxd x =
1π∫
π
-πf( x)sin nxd x ( n = 1,2,⋯),
由此得到定义在[ -π,π]上的 f( x)的傅里叶级数
a02
+ ∑∞
n = 1
( an cos nx + bnsin nx).
此级数也满足前述傅里叶级数的收敛定理.
实际计算时,不必经过 F( x)这一道手续,只要直接使用傅里叶公式计算 a0 , an , bn 即可.
例 1 将
f( x) =x, -π≤ x≤0,
0, 0 < x <π
展开为傅里叶级数.
解 由欧拉 - 傅里叶公式有
a0 =1π∫
π
-πf( x)d x =
1π∫
0
-πxd x = -
π2,
an =1π∫
π
-πf( x)cos nxd x =
1π∫
0
-πxcos nxd x =
1n2π[1 - ( - 1) n ] ( n = 1,2,⋯),
bn =1π∫
π
-πf( x)sin nxd x =
1π∫
0
-πxsin nxd x =
( - 1) n + 1
n ( n = 1,2,⋯).
可以得到 f( x)的傅里叶级数
-π4
+2π
112 cos x +
132 cos 3 x +
152 cos 5 x + ⋯ + sin x -
12sin 2 x +
13sin 3 x - ⋯ ( * )
由于 f( x)在 -π< x <π内连续,因此在 -π< x <π内,( * )所给出的傅里叶级数收敛于 f( x).在 x = -π, x =π
处,( * )所给出的傅里叶级数收敛于
f( -π+) + f(π
-)
2=
-π+ 02
=-π2
.
例 2 将
f( x) =- 1, -π< x≤0,
1, 0 < x≤π
展开为傅里叶级数.
解 由欧拉 - 傅里叶公式有
a0 =1π∫
π
-πf( x)d x = 0 (因为 f( x)为奇函数),
an =1π∫
π
-πf( x)cos nxd x = 0 ( n = 1,2,⋯), (因为 f( x)cos nx 为奇函数).
bn =1π∫
π
-πf( x)sin nxd x =
2π∫
π
0sin nxd x =
2nπ
[1 - ( - 1) n ] ( n = 1,2,⋯).
因此 f( x)的傅里叶级数为
4π
sin x +13sin 3 x + ⋯ +
1(2 k + 1)
sin(2 k + 1) x + ⋯ .
由于 f( x)在 -π< x < 0,0 < x <π内连续,因此依傅里叶级数的收敛定理可知,在 -π< x < 0,0 < x <π内有
f( x) =4π
sin x +13sin 3 x + ⋯ +
1(2 k + 1)
sin(2 k + 1) x + ⋯ .
由于 x = 0 为 f( x)的间断点,因此上述傅里叶级数在 x = 0 处收敛于f(0
-) + f(0
+)
2=
- 1 + 12
= 0.当 x = -π, x
=π时,上述傅里叶级数收敛于f( -π+ ) + f(π- )
2=
- 1 + 12
= 0.
·813·
三、在[0,π]上的傅里叶级数
如果 f( x)为定义在 0≤ x <π上的函数,可以仿(二、)的处理方法,先将 f( x)进行延拓,即构造 F( x)在[0,
π]上与 f( x)相等,而在[ -π,0)内可以随意定义.如果构造 F( x)使其为[ -π,π]上的奇函数,则称此延拓为奇延
拓.由此可以推得欧拉 - 傅里叶级数的系数
an = 0 ( n = 0,1,2,⋯),
(因为 F( x)和 F( x)cos nx 为奇函数),
bn =2π∫
π
0f( x)sin nxd x ( n = 1,2,⋯),
(因为 F( x)sin nx 为偶函数).
此时相应的傅里叶级数为 ∑∞
n = 1
bnsin nx.此级数也满足前述收敛定理.通常称上述工作为将 f( x)在[0,π]上展开
成正弦级数.
如果将 F( x)构造为[ -π,π]上的偶函数,使其在[0,π]上等于 f( x),则可称之将 f( x)在[ -π,0)上偶延拓,
由此可以推得
bn = 0 ( n = 1,2,⋯),
a0 =2π∫
π
0f( x)d x,
an =2π∫
π
0f( x)cos nxd x ( n = 1,2,⋯).
可得傅里叶级数a02
+ ∑∞
n = 1
an cos nx,此级数也满足前述收敛定理,通常称上述工作为将 f( x)在[0,π]上展开为
余弦级数.
实际计算也不必构造上述 F( x),只要直接使用上述得出的 a0 , an , bn 计算即可.
例 3 将 f( x) = x (0≤ x≤π)展开为正弦级数.
解 由于
an = 0 ( n = 1,2,⋯),
bn =2π∫
π
0f( x)sin nxd x =
2π∫
π
0xsin nxd x =
2n( - 1) n - 1 ( n = 1,2,⋯).
因此可得正弦级数2 sin x -12sin 2 x +
13sin 3 x - ⋯ .由于 f( x) = x 为 0 < x <π内的连续函数,因此在 0 <
x <π内有
x = 2 sin x -12sin 2 x +
13sin 3 x - ⋯ .
在 x = 0, x =π处,上述正弦级数分别收敛于
f(0+) + f(0
-)
2= 0,
f( -π+) + f(π
-)
2=
-π+π2
= 0.
例 4 将 f( x) = x(0≤ x≤π)展开为余弦级数.
解 由于
·913·
bn = 0( n = 1,2,⋯),
a0 =2π∫
π
0f( x)d x =
2π∫
π
0xd x =π,
an =2π∫
π
0f( x)cos nxd x =
2π∫
π
0xcos nxd x =
2n2π
[( - 1)n- 1].
因此 f( x)的余弦级数为
π2
-4π
cos x +132 cos 3 x +
152 cos 5 x + ⋯ .
由于在 0 < x <π内 f( x) = x 为连续函数,因此在 0 < x <π内有
x =π2
-4π
cos x +132 cos 3 x +
152 cos 5 x + ⋯ .
在 x = 0 时,上述余弦级数收敛于
f(0-) + f(0
+)
2= 0.
当 x =π时,上述余弦级数收敛于
f( -π+ ) + f(π- )2
=π+π2
=π.
四、在[ - l,l]上的傅里叶级数
将定义在[ - l,l]上的 f( x)展开为傅里叶级数的问题也包含两重意思:
1. 展开成什么形式的傅里叶级数 ?
2. 怎样展开 ?
若令 z =πxl,则当 x = - l时,z = -π;当 x = l时, z =π.而 f( x) = f
lπ
z .这样就把定义在[ - l, l]上的
f( x)的展开问题转化为定义在[ -π,π]上的 flπ
z 的展开问题.
记 F( z) = flπ
z ,由欧拉 - 傅里叶公式确定其展开式的系数,由定积分的换元法则,令 x =lπ
z,即
z =πlx,于是 F( z) = f
lπ
z = flπ
πlx = f( x),d z =
πld x,从而可得
a0 =1π∫
π
-πF( z)d z =
1l∫
l
- lf( x)d x,
an =1π∫
π
-πF( z)cos nzd z =
1l∫
l
- lf( x)cos
nπxl
d x ( n = 1,2,⋯),
bn =1π∫
π
-πF( z)sin nzd z =
1l∫
l
- lf( x)sin
nπxl
d x ( n = 1,2,⋯).
由此可确定傅里叶级数
a02
+ ∑∞
n = 1
an cosnπxl
+ bnsinnπxl
.
对于傅里叶级数有收敛定理:
定理 10.12 在区间[ - l,l]上,若 f( x)满足收敛定理 10.10 相对应的条件,则 f( x)可以在[ - l, l]上展开
为下列形式的傅里叶级数
a02
+ ∑∞
n = 1
an cosnπxl
+ bnsinnπxl
,
·023·
其中
a0 =1l∫
l
- lf( x)d x,
an =1l∫
l
- lf( x)cos
nπlxd x ( n = 1,2,⋯),
bn =1l∫
l
- lf( x)sin
nπlxd x ( n = 1,2,⋯).
此级数收敛,它的和满足:
(1) 当 x 为 f( x)的连续点时,和等于 f( x);
(2) 当 x 为 f( x)的间断点时,和等于f( x - ) + f( x + )
2;
(3) 当 x = - l或 l时,和等于f( - l+ ) + f( l- )
2.
例 5 将 f( x) = x( - 2≤ x < 2)展开为傅里叶级数.
解 由于 f( x) = x 在 - 2≤ x < 2 上展开,因此 l= 2.
a0 =1l∫
l
- lf( x)d x =
12∫
2
-2xd x = 0 (对称区间上奇函数的积分等于 0),
an =1l∫
l
- lf( x)cos
nπlxd x =
12∫
2
- 2xcos
nπ2
xd x = 0 (对称区间上奇函数的积分等于 0) ( n = 1,2,⋯),
bn �=1l∫
l
- lf( x)sin
nπlxd x =
12∫
2
- 2xsin
nπ2
xd x
=∫2
0xsin
nπ2
xd x (对称区间上偶函数积分性质)
= x- 2nπ
cosnπx2
-- 4n2π
2 sinnπx2
2
0=
- 4nπ
cos nπ=4( - 1)
n + 1
nπ ( n = 1,2,⋯).
由此可得傅里叶级数
4π ∑
∞
n = 1
( - 1)n + 1
nsin
nπx2
.
由于 f( x) = x 为 - 2 < x < 2 内的连续函数,因此在 - 2 < x < 2 内有
x =4π ∑
∞
n = 1
( - 1) n + 1
nsin
nπx2
.
在 x = - 2, x = 2 处,上述傅里叶级数收敛于
f( - 2 + ) + f(2 - )2
=- 2 + 2
2= 0.
相仿,如果 f( x)只定义在[0, l]上,也可以将 f( x)在[0, l]上展开为正弦级数 ∑∞
n = 1
bn sinnπxl
,其中 bn =
2l∫
l
0f( x)sin
nπxl
d x( n = 1,2,⋯),或将 f( x)在[0, l]上展开为余弦级数a02
+ ∑∞
n = 1
ancosnπxl
,其中 an =
2l∫
l
0f( x)cos
nπxl
d x ( n = 0,1,2,⋯).
习题 10.6
1. 将下列函数展开为傅里叶级数:
(1) f( x) = 2 x2 ( -π≤ x≤π); �(2) f( x) = x ( -π< x≤π);
(3) f( x) =- x, -π< x < 0,
x, 0≤ x≤π.
·123·
2. 将下列函数展开为正弦级数:
(1) f( x) = 2 x2 (0≤ x <π); (2) f( x) =π- x
2 (0≤ x <π).
3. 将下列函数展开为余弦级数:
(1) f( x) = 2 x + 3 (0≤ x <π); (2) f( x) =1, 0≤ x < h,
0, h < x <π.
复 习 题 十
一、选择题
1. 下列命题( )正确.
A. 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,则必有limn→∞
un = 0; �B. 若limn→∞
un = 0,则 ∑∞
n = 1
un 必收敛;
C. 若 ∑∞
n = 1
un 发散,则必有limn→∞
un≠0; D . 若limn→∞
un≠0,则 ∑∞
n = 1
un 未必发散.
2. 下列命题( )正确.
A. 若 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 都发散,则 ∑∞
n = 1
( un + vn )必发散;
B. 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,∑∞
n = 1
vn 发散,则 ∑∞
n = 1
( un + vn )必发散;
C. 若 ∑∞
n = 1
( un + vn ) 发散,则 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 都发散;
D. 若 ∑∞
n = 1
( un + vn )收敛,则 ∑∞
n = 1
un 与 ∑∞
n = 1
vn 都收敛.
3. 下列级数中绝对收敛的有( ).
A. ∑∞
n = 1
( - 1) n nn + 2
; B.∑∞
n = 1
( - 1) n 1
n;
C. ∑∞
n = 1
( - 1) n 1n2 ; D .∑
∞
n = 1
( - 1) n n.
4. 若幂级数 ∑∞
n = 1
an xn 在 x = 3 处收敛,则该级数在 x = 1 处必定( ).
A. 发散; B. 条件收敛;
C. 绝对收敛; D. 收敛性不能确定.
5. 下列命题( )正确.
A. 若 ∑∞
n = 1
| un |收敛,则 ∑∞
n = 1
un 必定收敛;
B. 若 ∑∞
n = 1
| un |发散,则 ∑∞
n = 1
un 必定发散;
C. 若 ∑∞
n = 1
un 收敛,则 ∑∞
n = 1
| un |必定收敛;
D. 若 ∑∞
n = 1
un 发散,则 ∑∞
n = 1
| un |未必发散.
·223·
二、填空题
1. ∑∞
n = 1
n ! xn的收敛半径为 .
2. ∑∞
n = 1
xn
n !的收敛区间为 .
3. ∑∞
n = 1
13 n ( x - 1)
n的收敛区间为 .
4. ∑∞
n = 1
x2 n - 1
2 n 的收敛区间为 .
5. ∑∞
n = 1
x2 n
3n 的收敛半径为 .
三、解答题
1. 判定下列级数的收敛性
(1) ∑∞
n = 1
nn
n !; (2) ∑
∞
n = 1
n4 n2 - 3
;
(3) ∑∞
n = 1
n
1 +1n
n ; (4) ∑∞
n = 1
3 n - 12
n .
2. 判定下列级数的收敛性,如果收敛,是绝对收敛,还是条件收敛
(1) 1 -12+
13-
14+ ⋯ + ( - 1)
n - 1 1n+ ⋯;
(2) - 1 +122
-142
+162 - ⋯;
(3) ∑∞
n = 1
( - 1)n n( n + 1)2 ; (4) ∑
∞
n = 1
( - 1)n n( n + 1)5�/2 .
3. 求下列级数的收敛半径与收敛区间
(1) ∑∞
n = 1
n2 + 1n
xn ; (2) ∑∞
n = 1
n + 1n !
xn .
4. 将下列给定函数在指定点展开为幂级数
(1) 将 f( x) =1
2 + x - x2展开为 x 的幂级数;
(2) 将 f( x) = lnx
1 + x展开为( x - 1)的幂级数.
·323·
第十一章 常微分方程
高等数学的主要研究对象是函数.当利用数学知识作为工具研究自然界各种现象及其规律
时,往往不能直接得到反映这种规律的函数关系,但可以根据实际问题的意义及已知的定律或公
式,建立含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的关系式,这种关系式就是微分方程.
通过求解微分方程,便可得到所要寻找的函数关系.本章将主要介绍微分方程的一些基本概念,
讨论几种常见的微分方程的解法,并通过举例介绍微分方程在几何、物理等实际问题中的一些简
单应用.
§11.1 微分方程的一般概念
一、引例
例 1 一曲线通过点(1,2),且该曲线上任意点 P( x, y)处的切线斜率等于该点的横坐标的
平方,求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为 y = y( x).由导数的几何意义知,曲线 y = y( x)上任一点 P( x,
y)处的切线斜率为dyd x
.于是按题意可得
dyd x
= x2,
即
dy = x2d x. (1)
又因曲线通过点(1,2),故 y = y( x)应满足条件:
yx = 1
= 2 (或记作 y(1) = 2). (2)
把(1)式两端求不定积分,得
y =13
x3+ C, (3)
其中 C 为任意常数.
把条件(2)代入(3)式,有
2 =13
+ C,即 C =53.
于是,所求曲线方程为
·423·
y =13x3+
53. (4)
例 2 设有一质量为 m 的物体,从空中某处不计空气阻力而只受重力作用由静止状态自由
降落.试求物体的运动规律(即物体在自由降落过程中,所经过的路程 s与时间 t的函数关系).
图 11.1
解 建立坐标系如图 11.1 所示.取物体下落的起点为原点 O,过点 O
作铅垂线 Os,并指定向下为正,构成 Os轴(图 11.1).
设物体在时刻 t所经过的路程为 s = s( t),则物体运动的加速度为d2s
dt2 .
根据牛顿第二定律可知,作用在物体上的外力 mg(重力)应等于物体的质量
m 与加速度d2s
dt2 的乘积,于是得
md2s
dt2 = m g,
即d2s
dt2 = g, (5)
其中 g是重力加速度,它是一常数.
将上式改写为
ddt
dsdt
= g,
因此可得
ddsdt
= gdt.
由于物体由静止状态自由降落,所以 s= s( t)还应满足条件:
st = 0
= 0, dsdt t = 0
= 0. (6)
对(5)式两端积分一次,得
dsdt
= gt+ C1 , (7)
再对上式变形为 ds= ( gt+ C1 )dt,再两端积分,得
s =12gt
2+ C1 t + C2 , (8)
其中 C1 , C2 是两个任意常数.
把(6)式中的条件分别代入(8)式和(7)式,可得
C1 = 0, C2 = 0.
于是,所求的自由落体的运动规律为
s =12gt
2. (9)
在上面的两个例子中,都无法直接找出每个问题中两个变量之间的函数关系,而是通过题设
条件、利用导数的几何或物理意义等,首先建立了含有未知函数的导数的方程(1)和(5),然后通
过积分等手段求出满足该方程和附加条件的未知函数.这类问题及其解决问题的过程具有普遍
·523·
意义,下面从数学上加以抽象,引进有关微分方程的一般概念.
二、微分方程的一般概念
1. 微分方程及微分方程的阶
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.若未知函数是一元函数,则称为常微分方
程;若未知函数是多元函数,则称为偏微分方程.本书中只介绍常微分方程的一些初步知识,今后
为方便起见,也简称为微分方程(或方程).如例 1 中的(1)式和例 2 中的(5)式都是微分方程.
微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.如例 1 中微分方程(1)是一阶
的,例 2 中微分方程(5)是二阶的.
2. 微分方程的解、通解与特解
如果把某个定义在区间 I上的连续可导的函数代入微分方程中,能使该方程成为恒等式,
则称此函数为该微分方程在区间 I的一个解.例如,函数(3)和(4)都是微分方程(1)的解;函数
(8)和(9)都是微分方程(5)的解.
微分方程的解有两种形式.如果微分方程的解中包含任意常数,且独立的(即不可合并而使
个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解;能由通解
确定,而不包含任意常数的解,称为微分方程的特解.例如,函数(3)和(8)分别是微分方程(1)和
微分方程(5)的通解,而函数(4)和(9)分别是微分方程(1)和微分方程(5)的特解.
3. 微分方程的初值条件及其提法
从上面二例看到,通解中的任意常数一旦由某种特定条件确定后,就得到微分方程的特解.
通常,用以确定通解中任意常数的特定条件,如例 1 中的条件(2)和例 2 中的条件(6),都是初值
条件.一般地,当自变量取定某个特定值时,给出未知函数及其导数的已知值,这种特定条件称为
微分方程的初值条件(初始条件).
由于一阶微分方程的通解中只含一个任意常数,所以对于一阶微分方程的初值条件的提法
是:
当 x = x0 时, y = y0 ,
记作 yx = x
0
= y0 或 y( x0 ) = y0 ,
其中 x0 , y0 都是已知值.
同理可知,二阶微分方程需给出的初值条件是:
当 x = x0 时, y = y0 , y′= y′0 ,
记作 yx = x
0
= y0 , y′x = x
0
= y′0 或 y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y′0 ,
其中 x0 , y0 和 y′0 都是已知值.
一般地, n 阶微分方程的初值条件是:
y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y′0 ,⋯, y( n - 1 )
( x0 ) = y( n - 1)0 .
其中, x0 , y0 , y′0 ,⋯, y( n - 1)0 都是已知值.
4. 微分方程解的几何意义
·623·
微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.由于微分方程的通解中含有任意常数,当任
意常数取不同的值时,就得到不同的积分曲线,所以通解的图形是一族积分曲线,称为微分方程
的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定的初值条件的某一条特
定的积分曲线.例如,在例 1 中,微分方程(1)的积分曲线族是立方抛物线族 y =13
x3+ C,而满
足初值条件(2)的特解 y =13
x3+
53就是过点(1,2)的立方抛物线(图 11.2).这族曲线的共性
是:
在点 x0 处,每条曲线的切线是平行的,它们的斜率都是 y′( x0 ) = x20 .
图 11.2
例 3 验证函数 y = C1 e2 x
+ C2 e- 2 x
( C1 、C2 为任意常数)是二阶微分方程
y″- 4 y = 0 (10)
的通解,并求此微分方程满足初值条件:
yx = 0
= 0, y′x = 0
= 1 (11)
的特解.
解 要验证一个函数是否是一个微分方程的通解,只需将该函数及其导数代入微分方程中,
看是否使方程成为恒等式,再看通解中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.
将函数 y = C1 e2 x
+ C2 e- 2 x
分别求一阶及二阶导数,得
y′= 2 C1 e2 x
- 2 C2 e- 2 x
,
y″= 4 C1 e2 x
+ 4 C2 e- 2 x
.
把它们代入微分方程(10)的左端,得
y″- 4 y = 4 C1 e2 x
+ 4 C2 e- 2 x
- 4 C1 e2 x
- 4 C2 e- 2 x
= 0,
所以函数 y = C1 e2 x
+ C2 e- 2 x
是所给微分方程(10)的解.又因这个解中含有两个独立的任意常
数,任意常数的个数与微分方程(10)的阶数相同,所以它是该方程的通解.
要求微分方程满足所给初值条件的特解,只要把初值条件代入通解中,定出通解中的任意常
数后,便可得到所需求的特解.
把(11)式中的条件:“ yx = 0
= 0”及“ y′x = 0
= 1”分别代入
·723·
j
y = C1 e2 x
+ C2 e- 2 x
,
y′= 2 C1 e2 x
- 2 C2 e- 2 x
中,得
C1 + C2 = 0,
2 C1 - 2 C2 = 1,
解得 C1 =14, C2 = -
14.于是所求微分方程满足所给初值条件的特解为
y =14(e
2 x- e
- 2 x).
习题 11.1
1. 指出下列方程中哪些是微分方程 ? 并说明它们的阶数:
(1)d2 yd x2 - y = 2 x; �(2) y2 - 3 y + x = 0;
(3) x( y′)2 + y = 1; (4) ( x2 + y2 )d x - xyd y = 0.
2. 验证下列各微分方程后面所列出的函数(其中 C1 , C2 , C 均为任意常数)是否为所给微分方程的解 ? 如
果是解,是通解还是特解 ?
(1)d2x
dt2+ 4 x = 0, �x = C1 cos 2t + C2sin 2 t;
(2) y″+ 9 y = x +12, y = 5cos 3 x +
x9
+118
;
(3) y″- 2 y′+ y = 0, y = C1 ex + C2 e
- x ;
(4) xd x + yd y = 0, x2 + y2 = C.
3. 验证函数 y = ( C1 + C2 x)e2 x是微分方程 y″- 4 y′+ 4 y = 0 的通解,并求此微分方程满足初值条件 y(0) =
1, y′(0) = 0 的特解.
4. 已知一曲线通过点(1,2),且曲线上任一点 P( x, y)处的切线斜率为(2 x + 1),求该曲线的方程.
5. 从地面上以初速度 v0 将一质量为 m 的物体垂直向上发射,如不计空气阻力,试求该物体所经过的路程
s与时间 t的函数关系.(提示:取坐标轴铅直向上为正,原点在地面上;列出微分方程及初值条件,再求特解.)
§11.2 变量可分离的微分方程
一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y′) = 0 或 F x, y,d yd x
= 0. (1)
如果能从这个方程解出未知函数的导数 y′=d yd x
,那么就可得到如下的形式:
y′= f( x, y) 或 d yd x
= f( x, y). (2)
有时,也可将方程(2)写成微分对称形式:
·823·
P( x, y)d x + Q( x, y)d y = 0 (3)
在方程(3)中,变量 x 与 y对称,既可将 y看作自变量 x 的函数,也可将 x 看作自变量 y 的函数.
我们指出,并不是所有的一阶微分方程都能求得它的解的.下面只介绍导数可解出的一阶微
分方程的几种类型及其解法.本节先讨论变量可分离的微分方程.
如果一阶微分方程可以写成
g( y)d y = f( x)d x, (4)
则称原方程为变量可分离的方程.方程(4)的特点是:方程一端只含变量 y 的函数与 dy,另一端
只含变量 x 的函数与 d x.把原一阶微分方程变形为形如方程(4)的过程,称为分离变量.
设方程(4)中的函数 f( x)和 g( y)都是连续函数,则将方程(4)两端同时积分,便得微分方
程(4)的通解为
∫g( y)d y =∫f( x)d x + C, (5)
其中 C 为任意常数.一般地说,由于方程(4)是由原一阶微分方程变形而得,所以(5)式也就是原
方程的通解.
应当注意,在求解微分方程时,凡写上不定积分记号,在其后应立即加上任意常数 C,而
∫f( x)d x 仅表示 f( x)的某一确定的原函数.这与第五章中不定积分∫f( x)d x 的含义略有不
同.
例 1 求微分方程d yd x
= 2 xy 的通解.
解 将所给方程两端同除以 y( y≠0),且同乘以 d x,即可分离变量得
d yy
= 2 xd x.
两端同时积分,有
∫d yy
=∫2 xd x + C1 .
积分后得
ln| y| = x2+ C1 ,
即 | y| = ex2+ C
1 = eC1 e
x2
,
或记作 y = ±eC1 e
x2
.
若记 C = ±eC1 ,它仍是任意常数且可正可负,便得所给微分方程的通解为
y = Cex2
.
注 今后为了使运算方便起见,可把 ln| y|写成 ln y,只要记住最后得到的任意常数 C 可正
可负就是了.但当 y < 0 时,仍应写成 ln| y|才有意义.
例 2 求微分方程 x(1 + y2)d x - (1 + x
2) yd y = 0 的通解.
解 移项得(1 + x2) yd y = x(1 + y
2)d x,这是变量可分离的方程.两端同除以(1 + x
2)(1 +
y2),即分离变量可得
y1 + y
2 d y =x
1 + x2 d x.
·923·
两端同时积分,有
∫ y1 + y
2 d y =∫ x1 + x
2 d x + C1 ,
积分后得
12ln(1 + y
2) =
12ln(1 + x
2) + C1 .
由于积分后出现对数函数,为了便于利用对数运算性质①来化简结果,可把任意常数 C1 表
示为12ln C,即
① 主要是指:loga M + loga N = loga ( M N )及 loga M - loga N = logaMN.
12ln(1 + y
2) =
12ln(1 + x
2) +
12ln C ( C > 0),
化简得
1 + y2= C(1 + x
2).
这就是所要求的所给微分方程的通解.
例 3 求微分方程 2 xsin yd x + ( x2+ 1)cos yd y = 0 满足初值条件 y
x = 1=π6的特解.
解 先求所给方程的通解.移项并同除以( x2+ 1)sin y(sin y≠0),即可分离变量得
cos ysin y
dy = -2 x
x2+ 1
d x.
两端同时积分,有
∫cos ysin y
d y = -∫ 2 xx2+ 1
d x + C1 .
积分后得
ln sin y = - ln ( x2+ 1) + ln C ( C > 0,ln C = C1 ),
化简后便得所给方程的通解为
( x2+ 1)sin y = C (其中 C 是任意常数).
这是由隐函数形式给出的通解.
再求满足初值条件的特解.把初值条件 yx = 1
=π6代入通解中,得
(12+ 1)sin
π6
= C,即 C = 1.
于是,所求方程满足初值条件的特解为
( x2+ 1)sin y = 1.
例 4 求微分方程 d yd x
=y2+ 1
y( x2- 1)
( y≠0, x≠±1)的通解.
解 将所给方程分离变量,得
yy2+ 1
dy =1
x2- 1
d x
·033·
两端同时积分,有
∫ yy2+ 1
d y =∫ 1x2- 1
d x + C1 ,
积分后,得
12ln( y
2+ 1) =
12ln
x - 1x + 1
+12ln C( C1 =
12ln C)
化简后,即得所求原微分方程的通解为
y2+ 1 = C
x - 1x + 1
( C 为任意常数).
有时,所给的微分方程虽然不是变量可分离的微分方程,但是我们可以根据方程的特点,对
未知函数作适当的变量代换,将所给方程化为变量可分离的方程.
例 5 求微分方程dyd x
= 2yx
+yx( x≠0)的通解.
解 所给方程不是变量可分离的方程.但是,由于方程右端是yx的函数,故可作未知函数代换:令
yx
= u,则
y = xu,d yd x
= u + xd ud x
.代入原方程,得
u + xd ud x
= 2 u + u,
即
xd ud x
= 2 u.
这是变量可分离的方程.分离变量得
d u2 u
=d xx
( u≠0, x≠0).
两端同时积分,有
∫d u
2 u=∫
d xx
+ C1 .
积分后得
u = ln x + ln C (ln C = C1 ),
即 u = [ln( Cx)]2 .
最后,以 u =yx代回原变量,即得原方程的通解为
y = x[ln( Cx)]2 .
一般地,形如
dyd x
= φyx
(6)
的方程,称为齐次方程.通过未知函数代换:令yx
= u,便可化为变量可分离的方程.求得通解后,只要用 u =yx
代回原来的变量,即可得到原齐次方程(6)的通解.
习题 11.2
1. 求下列微分方程的通解:
·133·
(1)d yd x
= 2 xy2; (2)
d yd x
= e2 x - y
;
(3) y(1 - x2)d y + x(1 + y
2)d x = 0;
(4) sec2 x·cot y d x - csc2 y·tan x d y = 0.
2. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解:
(1) y′=1 - y
2
1 - x2, y
x = 0= 1;
(2) sin y cos x d y - cos y sin xd x = 0, yx = 0
=π4;
(3) (1 + e x ) yd yd x
= e x , yx = 0
= 1.
§11.3 一阶线性微分方程
如果一阶微分方程可化为形如
d yd x
+ P( x) y = Q( x) (1)
的方程,则称此方程为一阶线性微分方程,方程(1)是它的标准形式.其中, P( x)和 Q ( x)为已知
的连续函数, P( x)是未知函数 y 的系数, Q( x)称为自由项.
线性微分方程的特点是:方程中关于未知函数及未知函数的导数都是一次的.如果 Q( x)á
0,则称方程(1)为一阶线性非齐次方程;如果 Q( x)≡0,即
d yd x
+ P( x) y = 0 (2)
则称方程(2)为一阶线性齐次方程,也称(2)为方程(1)所对应的齐次方程.
例如,方程
d yd x
+1xy = sin x
中关于未知函数 y 及其导数d yd x
是一次的,所以它是一阶线性微分方程;而右端 Q ( x) = sin xá
0,因此它是一阶线性非齐次方程.它所对应的齐次方程就是
d yd x
+1xy = 0.
而方程
d yd x
= x2+ y
2,( y′)
2+ xy = e
x,2 yy′= xln x
等,虽都是一阶微分方程,但都不是线性方程.
下面来讨论一阶线性非齐次方程(1)的解法.
(i) 先求线性非齐次方程(1)所对应的齐次方程
d yd x
+ P( x) y = 0 (2)
·233·
的通解.
方程(2)是变量可分离的微分方程,分离变量后得
dyy
= - P( x)d x,
两端同时积分,并把任意常数写成 ln C 的形式,得
ln y = -∫P( x)d x + ln C,
化简后,即得线性齐次方程(2)的通解为
y = Ce-∫P( x) d x
, (3)
其中 C 为任意常数.
(ii) 利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解.
由于方程(1)与(2)的左边相同,只是右边不相同,因此,如果我们猜想方程(1)的通解也具有
(3)的形式,那么其中的 C 不可能是常数,而必定是一个关于 x 的函数,记作 C( x).于是,可设
y = C( x)e-∫P ( x)d x
(4)
是线性非齐次方程(1)的解,其中 C( x)是待定函数.
下面来设法求出待定函数 C( x).为此,把(4)式求其对 x 的导数,得
dyd x
= C′( x)e-∫P ( x)d x
- P( x) C( x)e-∫P( x) d x
,
代入方程(1)中,得
C′( x)e-∫P( x)d x
- P( x) C( x)e-∫P( x)d x
+ P( x) C( x)e-∫P( x)d x
= Q( x),
化简后,得
C′( x) = Q( x)e∫P( x) d x.
将上式积分,得
C( x) =∫Q( x)e∫P( x) d xd x + C, (5)
其中 C 是任意常数.
把(5)式代入(4)式中,即得线性非齐次方程(1)的通解为
y = e-∫P( x)d x∫Q( x)e∫P( x)d x
d x + C . (6)
这就是一阶线性非齐次方程(1)的通解公式.
上面第(ii)步中,通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数,然后求出
线性非齐次方程的通解,这种方法称为常数变易法.
下面来分析线性非齐次方程(1)的通解结构.由于方程(1)的通解公式(6)也可改写为
y = Ce-∫P ( x)d x
+ e-∫P( x)d x∫Q ( x)e∫P( x) d x
d x.
容易看出,通解中的第一项就是方程(1)所对应的线性齐次方程(2)的通解;第二项就是原线性非
齐次方程(1)的一个特解(它可从通解(6)中,取 C = 0 得到).由此可知,一阶线性非齐次方程的
通解是由对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解相加而构成的.这个结论揭示了一阶
线性非齐次微分方程的通解结构.
·333·
例 1 求微分方程d yd x
+ 2 xy = 2 xe- x
2
的通解.
解 这是一阶线性非齐次微分方程,下面用两种方法求解.
解法 1 按常数变易法的思路求解
(i) 先求对应齐次方程dyd x
+ 2 xy = 0 的通解.分离变量,得
d yy
= - 2 xd x.
两端同时积分,得
ln y = - x2+ ln C,
即
y = Ce- x
2
,
这就是所求对应齐次方程的通解.
(ii) 设 y = C( x)e- x
2
为原线性非齐次方程的解,其中 C( x)为待定函数,则
d yd x
= C′( x)e- x
2
- 2 xC( x)e- x
2
,
将 y 及dyd x
代入原线性非齐次方程,得
C′( x)e- x
2
- 2 xC( x)e- x
2
+ 2 xC( x)e- x
2
= 2 xe- x
2
.
化简后得
C′( x) = 2 x.
积分得
C( x) =∫2 xd x = x2+ C.
其中 C 为任意常数.故得原线性非齐次方程的通解为
y = ( x2+ C)e
- x2
( C 为任意常数).
解法 2 直接利用通解公式(6).
现在, P( x) = 2 x, Q( x) = 2 xe- x
2
,代入公式(6),得
y D= e-∫2 xd x∫2 xe
- x2
·e∫2 xd xd x + C
= e- x
2
∫2 xe- x
2
·ex2
d x + C
= e- x
2
∫2 xd x + C = e- x
2
( x2+ C).
于是,所求原方程的通解为
y = ( x2+ C)e
- x2
( C 为任意常数).
注意,使用一阶线性非齐次方程的通解公式(6)时,必须首先把方程化为形如(1)式的标准形
式,再确定未知函数 y的系数P( x)及自由项 Q( x).
例 2 求微分方程 xd yd x
+ y = xex的通解.
·433·
解 把所给方程变形,当 x≠0 时,化为
d yd x
+1xy = e
x.
这是一阶线性非齐次方程.未知函数 y的系数 P( x) =1x,自由项 Q( x) = e
x.代入一阶线性非齐
次方程的通解公式(6),得
y \= e-∫
1xd x∫e
x·e∫
1xd xd x + C = e
ln1x∫e
x·e
ln xd x + C
=1x∫xe
xd x + C =
1x( xe
x- e
x+ C) ( x≠0),
或写成
y = ex-e
x
x+
Cx
( x≠0).
于是,所求原方程的通解为
y = ex-e
x
x+
Cx
( x≠0, C 为任意常数).
例 3 求微分方程 y′cos x - ysin x = 1 满足初值条件 y(0) = 0 的特解.
解 把所给方程化为形如(1)的标准形式为
y′- ytan x = sec x.
这里 P( x) = - tan x, Q( x) = sec x.直接代入通解公式(6),得
y �= e-∫( - tan x)d x∫sec x·e∫( - tan x)d x
d x + C
= e- ln cos x∫sec x·e
ln cos xd x + C
=1
cos x∫sec x·cos xd x + C
=1
cos x∫d x + C =1
cos x( x + C).
于是,所给方程的通解为
y =1
cos x( x + C) ( C 为任意常数).
把初值条件 y(0) = 0 代入通解中,得 C = 0.故得所求特解为
y =x
cos x= xsec x.
例 4 求微分方程d yd x
=y
x + y3 的通解.
解 所给方程对于未知函数 y,它不是线性方程.但是,如果把方程改写为
d xdy
=x + y
3
y=
1yx + y
2,
即
d xd y
-1yx = y
2, (7)
·533·
则对于未知函数 x( y 为自变量)来说,所给方程就是一阶线性非齐次方程.
在一阶线性非齐次方程(1)的通解公式(6)中,把未知函数 y 换成 x,而把自变量 x 换成 y,
即得相应的一阶线性非齐次方程.
d xd y
+ P( y) x = Q( y) (8)
的通解公式为
x = e-∫P( y) d y∫Q( y)e∫P( y)d y
dy + C . (9)
在方程(7)中, P( y) = -1y, Q( y) = y
2.代入(9)式,得
x �= e-∫ -
1y
d y∫y2·e∫ -
1y
d yd y + C
= eln y∫y
2·e
- ln yd y + C = y∫y
2· y
- 1dy + C
= yy2
2+ C .
于是,所求原方程的通解为
x = yy2
2+ C ( C 为任意常数).
本例说明,有时需要把 x 看作未知函数,而把 y当作自变量,这样对于未知函数 x 来说,就
可识别它是属于一阶线性微分方程.
习题 11.3
1. 求下列微分方程的通解:
(1)d yd x
+ 3 y = e - 2 x ; �(2) xy′- y = x3 + x2 ;
(3) ( x2 - 1) y′+ 2 xy = cos x; (4) y′+ ycos x = e - sin x ;
(5) ( xln x) y′- y = 3 x3(ln x)
2; (6) ( y
2- xy) y′+ 2 y = 0.
2. 求微分方程 y′+yx
=sin xx
满足所给初值条件的 yx =π
= 1 特解.
3. 设 y = y1 ( x)与 y = y2 ( x)是一阶线性非齐次微分方程 y′+ P( x) y = Q ( x)的两个特解,证明 y = y1 ( x)
- y2 ( x)是线性齐次微分方程 y′+ P( x) y = 0的解.
4. 设 y = y1 ( x)与 y = y2 ( x)分别是线性非齐次方程 y′+ P( x) y = Q1 ( x)和 y′+ P( x) y = Q 2 ( x)的两个
特解,证明 y = y1 ( x) + y2 ( x)是线性非齐次方程
y′+ P( x) y = Q1 ( x) + Q 2 ( x)
的解.
§11.4 一阶微分方程的应用举例
在前两节中,主要介绍了几类常见的一阶微分方程的求解方法.本节将列举一阶微分方程在几
·633·
何、物理等方面的简单应用的例子.
运用微分方程解决科学技术中的实际问题的一般步骤如下:
(i) 根据问题的几何或物理等方面的意义,利用已知的公式或定律,建立描述该问题的微分
方程并确定初值条件;
(ii) 判别所建立的微分方程的类型,求出该微分方程的通解;
(iii) 利用初值条件,定出通解中的任意常数,求得微分方程满足初值条件的特解;
(iv) 根据某些问题的需要,利用所求得的特解来解释问题的实际意义或求得其他所需的结
果.
例 1 一曲线通过点(1,2),它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分,求这曲线的
方程.
图 11.3
解 (i) 建立微分方程并确定初值条件.
设所求曲线的方程为 y = y( x).由导数的几何意义可知,曲线上任一点
P( x, y)处的切线斜率为 y′,切线方程为
Y - y = y′( X - x),
如图 11.3.令 Y = 0,得切线在 x 轴上的截距为
X0 = x -yy′.
按题意, X0 = 2 x,故得
x -yy′
= 2 x,
即得曲线 y = y( x)应满足的微分方程为
y′= -yx 或
d yd x
= -yx. (1)
由于曲线过点(1,2),故得初值条件为
yx = 1
= 2. (2)
(ii) 求通解 将方程(1)分离变量,得
d yy
= -d xx.
两端积分,得
ln y = - ln x + ln C,
即得方程(1)的通解为
xy = C,
其中 C 是任意常数.
(iii) 求特解 把初值条件(2)代入通解中,得 C = 2.故得所求方程满足初值条件的特解为
xy = 2.
这就是所要求的曲线方程.
例 2 设质量为 m 的降落伞从飞机上下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离
开飞机时(t = 0)速度为零.求降落伞下落的速度与时间的函数关系.
·733·
解 (i) 建立微分方程并确定初值条件.
设降落伞下落速度为 v(t).降落伞在空中下落时,同时受到重力 P 与阻力 R 的作用(图
11.4).重力大小为 m g,方向与 v 一致;阻力大小为 kv ( k > 0 为比例系数),方向与 v 相反,于
图 11.4
是降落伞所受外力为
F = mg - kv.
根据牛顿第二运动定律: F = ma 其中 a为运动加速度dvdt
,可得函数 v(t)应
满足的微分方程为
md vdt
= m g - kv. (3)
按题意,初值条件为
vt = 0
= 0. (4)
(ii) 求通解
解法 1 按可分离变量方程求解.将方程(3)分离变量后得
d vm g - kv
=dtm,
两端同时积分,有
∫ d vm g - kv
=∫dtm,
积分后,得
-1kln( m g - kv) =
tm
-1kln C1
①,
① 这里把任意常数取为 -1kln C1 ,是为了便于利用对数运算化简.
化简得
m g - kv = C1 e-
kmt,
即得 v =m gk
-C1
ke
-kmt.
记 C = -C1
k,即得所求通解为
v =mgk
+ Ce-
kmt, (5)
其中 C 为任意常数.
解法 2 按一阶线性微分方程求解.将方程(3)变形为
d vdt
+kmv = g.
这是一阶线性非齐次方程,这里 P(t) =km, Q(t) = g.利用§11.3中通解公式(6),可得
v m= e-∫P( t)d t∫Q( t)e∫P ( t) dt
dt + C
·833·
= e-∫
kmd t∫g·e∫
kmd tdt + C
= e-
kmt
g∫ekmtdt + C = e
-kmt m g
ke
kmt+ C
=m gk
+ Ce-
kmt.
故得通解为
v =mgk
+ Ce-
kmt.
与(5)式对照,可见,以上两种解法所得通解结果相同.
(iii) 求特解
把初值条件(4)代入上面的通解中,得 C = -m gk
.故得所求特解为
v =m gk
1 - e-
kmt
, 0≤t≤ T, (6)
其中 T 为降落伞着地时间.
(iv) 特解的物理意义解释
由(6)式可以看到,当 t→ + ∞时,e-
kmt→0, v→
m gk
,速度 v 随时间 t的变化曲线如图 11.5
图 11.5
所示.可见,降落伞在降落过程中,开始阶段是加速运动,随着时间的增大,
后来逐渐接近于匀速运动.因此,跳伞者从高空驾伞跳下或从飞机上空降物
品到地面上,只要 k较大,从理论上讲都是有安全保障的.
例 3 把温度为 100℃的沸水注入杯中,放在室温为 20℃的环境中自然
冷却,经 5 min 时测得水温为 60℃,试求:(1) 水温 T(℃)与时间 t ( min)之
间的函数关系;
(2) 问水温自 100℃降至 30℃所需经过的时间.
解 (1) 这是一个热力学中的冷却问题.取 t = 0 为沸水冷却开始的时刻,设经 t分钟时水
温为 T℃,即 T = T(t).此时水温下降的速度为d Tdt
.
根据牛顿冷却定律,物体冷却的速度与当时物体和周围介质的温差成正比.从而得水温函数
T(t)应满足的微分方程为
d Tdt
= - k( T - 20), (7)
其中比例常数 k > 0,等号右端添上负号是因为当时间 t增大时,水温 T (t)下降,d Tdt
< 0 的缘
故.
按题意,当开始冷却( t= 0)时,水温为 100℃,即有初值条件:
Tt = 0
= 100. (8)
将方程(7)分离变量,得
·933·
d TT - 20
= - kdt.
两端同时积分,有
∫ d TT - 20
= -∫kdt + C1 ,
积分后,得
ln( T - 20) = - kt + ln C (ln C = C1 ),
即
ln( T - 20) = ln e- kt
+ ln C = ln( Ce- kt
),
化简后并移项,即得所求通解为
T = 20 + Ce- kt
, (9)
其中 C 是任意常数.
把初值条件(8)代入通解(9)中,得 C = 80.于是,所求特解为
T = 20 + 80e- kt
. (10)
下面来确定比例常数 k.由已知条件:“经 5 min 时测得水温为 60℃”,即“当 t = 5 时, T =
60”.把它代入(10)式,得
60 = 20 + 80e- 5 k
.
由此解得
k = -15ln
12≈0.138 6,
所以水温 T 与时间 t之间的函数关系约为
T(t) = 20 + 80e- 0 .138 6 t
. (11)
图 11.6
水温 T 随时间 t的变化曲线如图 11.6 所示.由(11)式可知,
当 t→ + ∞时, T→20.这表示随着时间 t无限增大,水温将接近
(略高于)室温.从图 11.6 可以看出,大约经 50 分钟后水温已接近
室温,实用上,可以认为这种沸水的冷却过程至此已基本结束.
(2) 求水温自 100℃降至 30℃所需经过的时间.
在(11)式中,令 T = 30,代入得
30 = 20 + 80e- 0.1 38 6 t
,
即 e- 0 .13 8 6 t
=18,
从而解得所需经过的时间为
t =3ln 2
0.138 6≈15( min).
习题 11.4
1. 已知曲线通过点(3,4),且在曲线上任一点 P( x, y)处的切线与线段 O P 垂直,求此曲线的方程.
2. 设炼钢炉内温度为 1 150℃,炉外环境温度为 30℃,钢坯出炉 10s后温度降为 1 000℃.试求:
(1) 钢坯出炉后的温度 T(℃)与时间 t(s)之间的函数关系;
·043·
(2) 若钢坯温度降到 750℃以下锻打将会影响钢坯质量,问应该在钢坯出炉后几秒钟内把它锻打好 ?
3. 设一质量为 m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致、大小与时间成正比
(比例系数为 k1 > 0)的力作用于它,此外受到一个与速度成正比(比例系数为 k2 > 0)的阻力的作用,求质点的运
动速度与时间的函数关系.
4. 放射性元素镭和铀等,由于不断地有原子放射出,微粒子变成其他元素,从而使它们的含量就不断地减
少,这种现象叫做衰变.由原子物理学知道,镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量 R 成正比.由
经验材料得知,镭经过 1600 年后,只剩原始量 R0 的一半.试求镭的衰变规律(即镭的剩余量 R 与时间 t的函数
关系).
5. 设某生物群体的出生率为常数 a,由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因,死亡率与当时群体中的个体
量成正比(比例常数为 b> 0).如果 t= 0 时生物个体总数为 x0 ,求时刻 t时的生物个体的总数.(注:将生物群体
中的个体量当作时间 t的连续可微变量看待.)
§11.5 可降阶的高阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.本节将介绍两种特殊类型的高阶微分方
程,它们可以通过积分或变量代换,降为较低阶的微分方程来求解.这种求解方法也称为降阶法.
一、y( n) = f( x)型.
微分方程
y( n)
= f( x) (1)
的右端只含有自变量 x,由于 y( n)
=dd x
( y( n - 1)
),所以方程(1)可改写为
dd x
( y( n - 1)
) = f( x) 或 d( y( n - 1)
) = f( x)d x,
将上式两端分别积分一次,便得一个( n - 1)阶微分方程
y( n - 1)
=∫f( x)d x + C1 .
再积分一次,便得到一个( n - 2)阶微分方程
y( n - 2)
=∫∫f( x)d x + C1 d x + C2 .
依次积分 n 次,即可得到方程(1)的含有 n 个任意常数的通解.
例 1 求微分方程 y�= 2 x + sin x 的通解.
解 对所给方程依次积分三次,得
y″=∫(2 x + sin x)d x = x2- cos x + C1 ,
y′=∫( x2- cos x + C1 )d x =
13
x3- sin x + C1 x + C2 ,
·143·
y �=∫ 13
x3- sin x + C1 x + C2 d x + C3
=112
x4+ cos x +
C1
2x2+ C2 x + C3 .
记 C1
2= C1 ,即得所给微分方程的通解为
y =112
x4+ cos x + C1 x
2+ C2 x + C3 ,
其中 C1 , C2 , C3 都是任意常数.
二、y″= f(x, y′)型.
微分方程
y″= f( x, y′) (2)
的右端不显含未知函数 y.在这种情形中,可通过变量代换,把方程(2)降为一阶微分方程求解.
令 y′= p,则 y″=d pd x
.代入方程(2),得
d pd x
= f( x, p).
这是关于变量 x 和 p 的一阶微分方程.若能求出其通解,设为 p = φ( x, C1 ),即有
d yd x
= φ( x, C1 )或 dy = φ( x, C1 )d x.
两端积分,便得所给微分方程(2)的通解为
y =∫φ( x, C1 )d x + C2 .
其中 C1 , C2 为任意常数.
例 2 求微分方程 y″-1xy′= xe
- x的通解.
解 所给方程中不显含未知函数 y,可设 y′= p,则 y″=d pd x
.代入原方程后,得
d pd x
-1xp = xe
- x.
这是一阶线性非齐次方程.利用通解公式(见§11.3 公式(6)),可得
p �= e-∫
- 1x
d x∫xe- x·e∫ -
1x
d xd x + C1
= eln x∫xe
- x·e
-ln xd x + C1
= x∫e- x
d x + C1 = x( - e- x
+ C1 )
于是有
d yd x
= x( - e- x
+ C1 ).
·243·
再积分一次,得
y 0=∫x(- e- x
+ C1 )d x =∫(- xe- x
+ C1 x)d x
= ( x + 1)e- x
+ C1
2x2+ C2
= ( x + 1)e- x
+ C1 x2+ C2 C1 =
C1
2,
故得原方程的通解为
y = ( x + 1)e- x
+ C1 x2+ C2 ,
其中 C1 , C2 是任意常数.
例 3 求微分方程 y″=2 x
1 + x2 y′满足初值条件: y
x = 0= 1, y′
x = 0= 3的特解.
解 所给方程中不显含未知函数 y,可设 y′= p,则 y″=d pd x
.代入原方程得
d pd x
=2 x
1 + x2 p.
这是变量可分离的一阶微分方程,分离变量得
d pp
=2 x
1 + x2 d x.
两端积分后,得
ln p = ln (1 + x2) + ln C1 ,
化简得
p = C1 (1 + x2),
即 y′= C1 (1 + x2).
以初值条件: y′x = 0
= px = 0
= 3 代入上式,得 C1 = 3.
故得
y′= 3(1 + x2).
这是一阶微分方程.积分得
y = 3∫(1 + x2)d x = 3 x + x
3+ C2 .
再以初值条件: yx = 0
= 1 代入,得 C2 = 1.于是,所求特解为
y = x3+ 3 x + 1.
注意,利用降阶法求满足所给初值条件的特解时,应像本例中的解法那样,对积分过程中出
现的任意常数,应及时用初值条件定出,这样可使降阶后的积分计算简便些.
习题 11.5
1. 求下列微分方程的通解:
(1) y″=1
1 + x2; �(2) y�= 2 x - cos x;
·343·
(3) y″= 1 + y′2; (4) y″-
1xy′= xe
x.
2. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解:
(1) y�= ln x, y(1) = 0, y′(1) = -34, y″(1) = - 1;
(2) y″- ay′2 = 0( a > 0 为常数), yx = 0
= 0, y′x = 0
= - 1.
§11.6 二阶常系数线性齐次微分方程
形如
y″+ P( x) y′+ Q( x) y = f( x) (1)
的方程,称为二阶线性微分方程.方程右端的 f( x)称为自由项.当 f( x)≡0 时,方程(1)成为
y″+ P( x) y′+ Q( x) y = 0 (2)
称为二阶线性齐次微分方程;当 f( x)á 0 时,方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.
当系数 P( x), Q( x)分别为常数 p, q 时,则称方程
y″+ py′+ qy = 0 (3)
为二阶常系数线性齐次微分方程;称方程
y″+ py′+ qy = f( x) ( f( x)á 0) (4)
为二阶常系数线性非齐次微分方程.
本节将讨论二阶常系数线性齐次微分方程(3)的求解问题.
一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构
定理 11.1 设 y1 ( x), y2 ( x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) +
C2 y2 ( x)也是方程(3)的解,其中 C1 , C2 是任意常数.
证 因为 y1 ( x), y2 ( x)都是方程(3)的解,所以
y″1 ( x) + py′1 ( x) + qy1 ( x) = 0,
y″2 ( x) + py′2 ( x) + qy2 ( x) = 0.
将 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)代入方程(3)的左端,得 �
[ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)]″+ p[ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)]′+ q[ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)]
= C1 [ y″1 ( x) + py′1 ( x) + qy1 ( x)] + C2 [ y″2 ( x) + py′2 ( x) + qy2 ( x)]
= 0.
即 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)满足方程(3),所以它是方程(3)的解.
这个定理表明,二阶线性齐次微分方程任何两个解 y1 ( x), y2 ( x)的线性组合: C1 y1 ( x) +
C2 y2 ( x),仍是方程的解.
·443·
从表面上看, y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 含有两个任意常数,那么要问, y = C1 y1 ( x) +
C2 y2 ( x)是不是方程(3)的通解呢 ? 下面先来看一个例子.
例 1 对于二阶常系数线性齐次微分方程
y″- 2 y′+ y = 0,
容易验证: y1 ( x) = ex, y2 ( x) = 2e
x都是它的解.由定理 11.1 知
y �= C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) = C1 ex+ 2 C2 e
x
= ( C1 + 2 C2 )ex= Ce
x.
也是它的解.但这个解中实质上只含有一个任意常数 C,显然它不是所给方程的通解.
由此可见,对于二阶常系数线性齐次微分方程(3),它的任何两个特解 y1 ( x)与 y2 ( x)线性
组合后并不都能构成方程(3)的通解的.于是,我们进一步要问:方程(3)的两个特解 y1 ( x)与
y2 ( x)满足什么条件时,由它们线性组合后得到的解 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) ( C1 , C2 为两个任
意常数)才是方程(3)的通解呢 ?
容易看出,在例 1 中,由于所给方程的两个特解 y1 ( x) = ex与 y2 ( x) = 2e
x的比值
y2 ( x)y1 ( x)
=
2ex
ex = 2,即 y2 ( x)是 y1 ( x)的常数倍,所以 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)中的两个任意常数可以合
并,从而实质上只含有一个任意常数,因此不能构成所给方程的通解.由此可以猜想,如果方程
(3)中的两个特解 y1 ( x)与 y2 ( x),两者之间不是常数倍的关系,那么由它们线性组合后得到的
解 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)( C1 , C2 是任意常数)就会是方程(3)的通解.
例如,在例 1 中,除 y1 ( x) = ex, y2 ( x) = 2e
x外,还可以验证 y3 ( x) = xe
x也是所给方程的
一个解,由于
y3 ( x)y1 ( x)
=xe
x
ex = x≠常数,
所以 y1 ( x)与 y3 ( x)的线性组合
y = C1 ex+ C2 xe
x= ( C1 + C2 x)e
x.
就是所给方程 y″- 2 y′+ y = 0 的通解,其中 C1 , C2 是两个任意常数.
为了使上面的表述简便而又严密,下面来引进函数的线性相关和线性无关的概念.
定义 设 y1 ( x)与 y2 ( x)是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数 k(或存在
不全为零的常数 k1 , k2 ),使得对于该区间内的一切 x,有
y2 ( x)y1 ( x)
= k (或 k1 y1 ( x) + k2 y2 ( x) = 0)
成立,则称函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在该区间内线性相关;否则称 y1 ( x)与 y2 ( x)线性无关.
例如,在例 1 中, y1 ( x) = ex与 y2 ( x) = 2e
x是线性相关的;而 y3 ( x) = xe
x与 y1 ( x) = e
x是
线性无关的.
综上所述,可得二阶常系数线性齐次微分方程(3)的通解结构定理如下:
定理 11.2 如果函数 y1 ( x)与 y2 ( x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关
的特解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)就是方程(3)的通解,其中 C1 , C2 是两个任意常数.
·543·
证明从略.
例 2 验证 y1 ( x) = e- x
与 y2 ( x) = e2 x都是微分方程
y″- y′- 2 y = 0
的解,并写出该微分方程的通解.
解 所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程.对 y1 ( x) = e- x
及 y2 ( x) = e2 x分别求导,得
y′1 ( x) = - e- x
, y″1 ( x) = e- x
;
y′2 ( x) = 2e2 x, y″2 ( x) = 4e
2 x.
把它们分别代入所给方程左端,得
e- x
+ e- x
- 2e- x
= 0, 4e2 x
- 2e2 x
- 2e2 x
= 0.
故 y1 ( x) = e- x
与 y2 ( x) = e2 x都是所给微分方程的解.由于
y2 ( x)y1 ( x)
=e2 x
e- x = e
3 x≠常数,
所以 y1 ( x) = e- x
与 y2 ( x) = e2 x是线性无关的两个特解,由定理 11.2 即可写出所给方程的通解
为
y = C1 e- x
+ C2 e2 x,
其中 C1 , C2 是任意常数.
我们指出,以上两个定理可以推广到系数 P( x), Q( x)不为常数的二阶线性齐次微分方程
(2),定理的结论也都成立.
二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法
对于二阶常系数线性齐次微分方程(3),由上面的定理 11.2 可知,只需找出方程(3)的两个
线性无关的特解,即可得到它的通解.如何求得方程(3)的两个线性无关的特解呢 ? 我们知道,指
数函数 y = erx( r 为常数)的各阶导数仍是指数函数 e
rx乘以一个常数因子,考虑到方程(3)的系
数是常数的特点,因此猜想,如果适当选取常数 r,有可能使函数 y = erx满足方程(3).
现设 y = erx是方程(3)的解,则 y′= re
rx, y″= r
2erx,把 y, y′及 y″代入方程(3),整理后得
( r2+ pr + q)e
rx= 0.
由于 erx≠0,故得
r2+ pr + q = 0. (5)
这表明,只要常数 r满足方程(5),函数 y = erx就是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的解.
我们称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.特征方程(5)中, r2, r
的系数及常数项,依次是微分方程(3)中 y″, y′及 y的系数.
由一元二次方程的求根公式,可得特征方程(5)的根(简称特征根)为
r1 ,2 =- p± p
2- 4 q
2.
下面按照特征根的三种不同情况,分别讨论二阶常系数线性齐次微分方程(3)的通解求法.
(i) 当 p2- 4 q > 0 时,特征方程(5)有两个不相等的实根 r1 及 r2 ( r1 ≠ r2 ),即
·643·
r1 =- p + p
2- 4 q
2, r2 =
- p - p2- 4 q
2,
于是 y1 = er1x与 y2 = e
r2x都是方程(3)的解,且
y2
y1
=er2x
er1x = e
( r2- r
1) x≠常数,
即 y1 = er1x与 y2 = e
r2x线性无关.因此,由定理 11.2 可得微分方程(3)的通解为
y = C1 er1x+ C2 e
r2x, (6)
其中 C1 , C2 是任意常数.
(ii) 当 p2- 4 q = 0 时,特征方程(5)有两个相等的实根: r1 = r2 = -
p2.于是,只得到方程(3)
的一个特解: y1 = er1x,还要设法找出方程(3)的另一个特解 y2 ,且使得 y2 与 y1 线性无关,即
y2y1
≠常数.
设y2y1
= u( x),即 y2 = er1xu( x)是方程(3)的另一个解,其中 u( x)是某个待定函数(不为常
数),则对
y2 = er1xu( x)
求导两次,得 v
y′2 = er1x( u′+ r1 u),
y″2 = er1x( u″+ 2 r1 u′+ r
2
1 u).
将 y2 , y′2 及 y″2 代入方程(3),整理后得
er1x[ u″+ (2 r1 + p) u′+ ( r
21 + pr1 + q) u] = 0.
由于 er1x≠0,故得
u″+ (2 r1 + p) u′+ ( r21 + pr1 + q) u = 0.
因为 r1 = -p2是特征方程(5)的重根,所以
r2
1 + pr1 + q = 0, 2 r1 + p = 0.
于是前式成为
u″( x) = 0.
由此可知,只要取一个满足上式且不为常数的函数 u( x),即可得到所要求的 y2 .将上式积
分两次,得
u( x) = C1 x + C2 .
可取 C1 = 1, C2 = 0,得 u( x) = x.于是得到微分方程(3)的另一个特解 y2 = xer1x.显然, y1 =
er1x与 y2 = xe
r1x线性无关,故得微分方程(3)的通解为
y = C1 er1x+ C2 xe
r1x,
或写成
y = ( C1 + C2 x)er1x, (7)
·743·
其中 C1 , C2 是任意常数.
(iii) 当 p2- 4 q < 0 时,特征方程(5)有一对共轭复根: r1,2 = α±iβ(β> 0),其中实部和虚部
分别为
α= -p2,β=
4 q - p2
2> 0.
这时, y1 = e(α+ iβ) x
与 y2 = e(α- iβ) x
是微分方程(3)的两个复函数形式的特解,但是,对于实系数线性
微分方程,我们自然要求找到实函数形式的解,根据欧拉公式
eiθ= cosθ+ isin θ,
将 y1 与 y2 改写为
y1 = e(α+ iβ) x
= eαx·e
iβx= e
αx(cos βx + isin βx),
y2 = e(α- iβ) x
= eαx·e
- iβx= e
αx(cos βx - isin βx).
再由定理 11.1 可知,函数
珔y1 =12( y1 + y2 ) = e
αxcosβx
与
珔y2 =12i( y1 - y2 ) = e
αxsin βx
也都是微分方程(3)的解,且
珔y2珔y1
=eαxsin βx
eαxcos βx
= tan βx≠常数,
即珔y1 与珔y2 线性无关.故得微分方程(3)的通解为
y = eαx( C1 cos βx + C2 sin βx), (8)
其中 C1 , C2 是任意常数.
综上所述,求二阶常系数线性齐次微分方程(3)的通解步骤如下:
第一步:写出特征方程,并求出特征方程的两个根;
第二步:根据两个特征根的不同情况,按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.为使用
方便起见,现可列表如下:
特征方程 r2 �+ pr + q = 0 的两个根 r1 , r2 微分方程 y″+ py′+ qy = 0 =的通解
两个不相等的实根 r1 )≠ r2 y = C1 -er1x+ C2 e
r2x
两个相等的实根 r1 �= r2 y = ( C1 [+ C2 x)er1 x
一对共轭复根 r1 o,2 = α±iβ(β> 0) y = eαx ( C1 �cos βx + C 2sin βx)
例 3 求微分方程 y″- 2 y′- 3 y = 0 的通解.
解 这是二阶常系数线性齐次微分方程,它的特征方程为
r2- 2 r - 3 = 0,即( r + 1)( r - 3) = 0.
特征方程的两个根是
r1 = - 1, r2 = 3.
·843·
因 r1 与 r2 是两个不相等的实根,故所给微分方程的通解为
y = C1 e- x
+ C2 e3 x.
例 4 求微分方程
4d2s
dt2 - 4
dsdt
+ s= 0
满足初值条件
st = 0
= 1, dsdt t = 0
= 2
的特解.
解 将所给方程两边同除以 4,即得二阶常系数线性齐次方程的标准形式
s″- s′+14s = 0.
它的特征方程为
r2- r +
14
= 0,即 r -12
2
= 0.
因特征方程有两个相等的实根 r1 = r2 =12,故得所给微分方程的通解为
s = ( C1 + C2 t)et2 .
为了求特解,将上式对 t求导,得
dsdt
=12( C1 + C2 t)e
t2 + C2 e
t2 .
将初值条件:st = 0
= 1,dsdt t = 0
= 2 分别代入上面二式,得
C1 = 1, C2 =32.
故得所给微分方程满足初值条件的特解为
s= 1 +32t e
t2 .
例 5 求微分方程 y″+ 2 y′+ 3 y = 0 的通解.
解 所给方程是二阶常系数线性齐次微分方程,它的特征方程为
r2+ 2 r + 3 = 0,
解出特征方程的根是
r1 ,2 =- 2± 2
2- 4×3
2= - 1± 2i,
它们是一对共轭复根(α= - 1,β= 2).于是,所给方程的通解为
y = e- x
( C1 cos 2 x + C2 sin 2 x).
从上面的讨论可以看到,求解二阶常系数线性齐次微分方程,不必通过积分,只要用代数方
法求出特征方程的根,就可以写出微分方程的通解.我们指出,这种求解方法,也可推广用于求解
高于二阶的常系数线性齐次微分方程.本书中就不作介绍了.
·943·
习题 11.6
1. 在下列函数组中,哪些是线性无关的,哪些是线性相关的 ?
(1) ex ,e - x ; a(2) ex ,ex - 1 ;
(3) exsin 2 x,e xcos 2 x; (4) sin 2 x,sin xcos x;
(5) e2 x, xe
2 x; (6) cos
2x,1 + cos 2 x.
2. 求下列微分方程的通解:
(1) y″+ y′- 2 y = 0; �(2) y″+ 3 y′= 0;
(3) y″- 10 y′+ 25 y = 0; (4) y″+ 6 y′+ 13 y = 0;
(5)d2s
dt2+ ω2 s = 0(常数 ω> 0); (6) 4
d2x
dt2- 20
d xd t
+ 25 x = 0.
3. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解:
(1) y″- 4 y′+ 3 y = 0, yx = 0
= 6, y′x = 0
= 10;
(2) 4 y″+ 4 y′+ y = 0, yx = 0
= 2, y′x = 0
= 0;
(3) y″- 4 y + 13 y = 0, yx = 0
= 0, y′x = 0
= 3.
§11.7 二阶常系数线性非齐次微分方程
在上一节中已指出,二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为
y″+ py′+ qy = f( x), (1)
其中 p, q 为常数.它所对应的齐次方程为
y″+ py′+ qy = 0, (2)
本节中将讨论上述方程(1)的求解问题.
一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性.
在§11.3 中我们已经看到,一阶线性非齐次微分方程的通解,等于它所对应的线性齐次微
分方程的通解与它的一个特解之和.这个结论对于二阶线性非齐次微分方程也是正确的.
定理 11.3 设 y*( x)是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解, Y = C1 y1 ( x) +
C2 y2 ( x)是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解,则
y = Y + y*= C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + y
*( x)
是方程(1)的通解.
证 由于 y*是方程(1)的解,而 Y 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解,所以有
y*″+ py
*′+ qy
*= f( x)
及
·053·
Y″+ pY′+ qY = 0.
把 y = Y + y*代入方程(1)的左端,得 �
( Y + y*)″+ p( Y + y
*)′+ q( Y + y
*)
= ( Y″+ pY′+ qY) + ( y*″+ py
*′+ qy
*)
= 0 + f( x) = f( x),
即 y = Y + y*满足方程(1),从而是方程(1)的解.又因为 Y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)是方程(1)所
对应的齐次方程(2)的通解,其中已含有两个独立的任意常数,所以 y = Y + y*中也含有两个独
立的任意常数,从而它是方程(1)的通解.
例 1 对于二阶常系数线性非齐次微分方程
y″- y = x2,
容易验证: y*= - x
2- 2 是它的一个特解.又可以用上一节中的方法求得所给方程对应的齐次
微分方程
y″- y = 0
的通解为
Y = C1 ex+ C2 e
- x.
因此,由定理 11.3 可知,
y = Y + y*= C1 e
x+ C2 e
- x- x
2- 2
是所给方程 y″- y = x2的通解.
定理 11.4 设 y*1 ( x)和 y
*2 ( x)分别是二阶常系数线性非齐次方程
y″+ py′+ qy = f1 ( x)
和 y″+ py′+ qy = f2 ( x)
的特解,则 y*= y
*1 ( x) + y
*2 ( x)是微分方程
y″+ py′+ qy = f1 ( x) + f2 ( x) (3)
的特解,其中 p、q 为常数.
仿定理 11.3 可证.
二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
由定理 11.3 知道,二阶常系数线性非齐次方程(1)的通解结构为
y = Y + y*,
其中 Y 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解, y*是方程(1)的一个特解.关于 Y 的求法在上
一节中已经讨论过,因此,剩下的问题只需讨论如何求非齐次方程(1)的一个特解 y*.
本节仅就方程(1)的右端函数 f( x)为两种常见形式时介绍求特解 y*的方法.这种方法的
特点是不用积分就可求出 y*来,通常称它为待定系数法. f( x)的两种常见形式是
(i) f( x) = eλxP m ( x),其中λ是常数, P m ( x)是 x 的一个 m 次多项式
P m ( x) = a0 xm+ a1 x
m - 1+ ⋯ + am - 1 x + am ;
(ii) f( x) = Acos ωx + Bsin ωx,其中 A, B 及ω(ω> 0)均是常数.
·153·
下面分别介绍 f( x)为上述两种形式时 y*的求法.
(一) f( x) = eλxP m ( x)型
此时,二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为
y″+ py′+ qy = eλxP m ( x). (4)
我们知道,方程(4)的特解 y*是使(4)式成为恒等式的函数.什么样的函数能使(4)式成为恒等
式呢 ?因为(4)式右端是多项式 Pm ( x)与指数函数 eλx的乘积,而多项式与指数函数乘积的导数仍
是同一类型的函数,根据方程(4)左端各项的系数均为常数的特点,因此我们可以猜想 y*= Q( x)
eλx(其中 Q( x)是某个多项式)有可能是方程(4)的特解.把 y
*, y
*′及 y
*″代入方程(4),然后考虑
能否选取适当的多项式 Q( x),使 y*= Q( x)e
λx满足方程(4).为此,可设方程(4)的特解为
y*= Q( x)e
λx,
则 �
y*′= Q′( x)e
λx+ λQ( x)e
λx,
y*″= Q″( x)e
λx+ 2λQ′( x)e
λx+ λ
2Q( x)e
λx.
将 y*、y
*′及 y
*″代入方程(4),得
[ Q″( x) �+ 2λQ′( x) + λ2Q( x)]e
λx+ p[ Q′( x) + λQ( x)]e
λx+ qQ( x)e
λx= P m ( x)e
λx,
约去 eλx≠0,并整理得
Q″( x) + (2λ+ p) Q′( x) + (λ2+ pλ+ q) Q( x) = P m ( x). (5)
下面分三种情形来讨论:
(i) 若 λ不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的根,即 λ2+ pλ+ q≠0.这时,方程
(5)的左端的最高次幂项在 Q( x)中,要使(5)式两端恒等, Q( x)必须是 m 次多项式.因此,可设
方程(4)的一个特解为
y*= Q m ( x)e
λx,
其中
Q m ( x) = b0 xm+ b1 x
m - 1+ ⋯ + bm - 1 x + bm ,
b0 , b1 ,⋯, bm - 1 , bm 是( m + 1)个待定系数.
将 y*, y
*′,y
*″代入方程(4),比较等式两端 x的同次幂的系数,得到含有未知系数 b0 , b1,⋯, bm
的( m + 1)个方程,由此可以定出( m + 1)个未知系数 b0 ,b1,⋯, bm ,从而得到方程(4)的特解 y*.
(ii) 若λ是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的单根,即 λ2+ pλ+ q = 0,2λ+ p≠
0.这时方程(5)的左端只含 Q′( x)与 Q″( x)的项,而多项式求导一次后它的次数要降低一次.因
此,要使(5)式两端恒等, Q( x)必须是( m + 1)次多项式.于是,可设方程(4)的一个特解为
y*= xQ m ( x)e
λx.
求出 y*′及 y
*″后,把它们代入方程(4),经化简整理后,使用与情形(i)中类似的方法求出 Q m ( x)
中的待定系数 b0 , b1 ,⋯, bm - 1 , bm ,即可求得方程(4)的特解 y*.
(iii) 若 λ是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根,即 λ2+ pλ+ q = 0,2λ+ p =
0.这时,方程(5)的左端只含 Q″( x)的项,要使(5)式成为恒等式, Q ( x)必须是( m + 2)次多项
式.因此,可设方程(4)的一个特解为
y*= x
2Q m ( x)e
λx.
·253·
求出 y*′及 y
*″后,把它们代入方程(4),用与前面类似的方法可求出 Q m ( x)中的待定系数 b0 ,
b1 ,⋯, bm - 1 , bm ,即可求得方程(4)的特解 y*.
综上所述,对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4),可假设它的特解形式为
y*= x
kQ m ( x)e
λx,
其中 Q m ( x)是与 P m ( x)同次的多项式,即
Q m ( x) = b0 xm+ b1 x
m - 1+ b2 x
m - 2+ ⋯ + bm - 1 x + bm ,
这里, b0 ,b1 ,b2 ,⋯, bm - 1 ,bm 是( m + 1)个待定系数; k的取法如下:
(i) 当λ不是对应齐次方程的特征根时,取 k = 0;
(ii) 当λ是对应齐次方程的特征单根时,取 k = 1;
(iii) 当 λ是对应齐次方程的特征重根时,取 k = 2.
例 2 求微分方程 y″- 2 y′- 3 y = ( x + 2)e2 x的一个特解.
解 所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程.它所对应的齐次方程 y″- 2 y′- 3 y = 0 的
特征方程为
r2- 2 r - 3 = 0,即( r + 1)( r - 3) = 0.
它有两个不相等的实根: r1 = - 1, r2 = 3.
由于所给方程的右端 f( x) = ( x + 2)e2 x
= P1 ( x)eλx, P1 ( x) = x + 2是一次多项式,而 λ= 2
不是特征方程的根,取 k = 0.因此,可设所给方程的特解为
y*= ( b0 x + b1 )e
2 x,
则
y*′= b0 e
2 x+ 2( b0 x + b1 )e
2 x,
y*″= 4 b0 e
2 x+ 4( b0 x + b1 )e
2 x.
将 y*, y
*′及 y
*″代入所给方程,整理后并约去 e
2 x,得
- 3 b0 x + (2 b0 - 3 b1 ) = x + 2.
比较上式两端 x 同次幂的系数,得
- 3 b0 = 1,2 b0 - 3 b1 = 2.
解得 b0 = -13, b1 = -
89.
于是,所求特解为
y*= -
13
x -89
e2 x.
例 3 求微分方程 y″- 2 y′+ y =12e
x的通解.
解 所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程.先求所给方程对应的齐次方程的通解 Y.
对应齐次方程 y″- 2 y′+ y = 0 的特征方程为
r2- 2 r + 1 = 0,即( r - 1)
2= 0.
它有二重实根 r1 = r2 = 1,故得对应齐次方程的通解为
Y = ( C1 + C2 x)ex.
·353·
再求所给方程的一个特解 y*.这里 f( x) =
12e
x= P0 ( x)e
λx, P0 ( x) =
12是常数(零次多项
式),而λ= 1 是特征方程的重根,取 k = 2.因此,可设所给方程的特解为
y*= bx
2e
x.
则
y*′= (2 bx + bx
2)e
x,
y*″= (2 b + 4 bx + bx
2)e
x.
将它们代入所给微分方程,整理并约去 ex,得
2 b =12,即 b =
14.
故得所给方程的一个特解为
y*=
14
x2e
x.
因此,所给方程的通解为
y = Y + y*= ( C1 + C2 x)e
x+
14
x2e
x.
例 4 求微分方程 y″+ y′= 2 x2- 3 满足初值条件: y(0) = 0, y′(0) = - 1 的特解.
解 所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程.先求它所对应的齐次方程的通解 Y.
对应的齐次方程 y″+ y′= 0 的特征方程为
r2+ r = 0,即 r( r + 1) = 0.
它有两个不相等的实根: r1 = 0, r2 = - 1.故得
Y = C1 + C2 e- x
.
再求所给方程的一个特解 y*,这里 f( x) = 2 x
2- 3 = P2 ( x)·e
λx, P2 ( x) = 2 x
2- 3 是二次多
项式,而 λ= 0 是特征方程的单根,取 k = 1.因此,可设所给方程的特解为
y*= x( b0 x
2+ b1 x + b2 )e
0 x= b0 x
3+ b1 x
2+ b2 x,
则
y*′= 3 b0 x
2+ 2 b1 x + b2 ,
y*″= 6 b0 x + 2 b1 .
把它们代入所给方程,得
(6 b0 x + 2 b1 ) + (3 b0 x2+ 2 b1 x + b2 ) = 2 x
2- 3,
即
3 b0 x2+ (6 b0 + 2 b1 ) x + (2 b1 + b2 ) = 2 x
2- 3.
比较上式两端 x 的同次幂项的系数,得
3 b0 = 2,
6 b0 + 2 b1 = 0,
2 b1 + b2 = - 3.
解此方程组,得
b0 =23, b1 = - 2, b2 = 1.
·453·
故得所给方程的特解为
y*=
23
x3- 2 x
2+ x.
因此得到所给方程的通解为
y = Y + y*= C1 + C2 e
- x+
23x3- 2 x
2+ x
最后,我们来求所给方程满足所给初值条件的特解.这里附带说一下:微分方程的特解(不含
任意常数的解)都是满足一定初值条件的解.上面所求的特解 y*,一般不会满足题设初值条件,
因此需要从通解中找出一个满足该初值条件的特解.
将上面的通解对 x 求导,得
y′= - C2 e- x
+ 2 x2- 4 x + 1.
把初值条件: y(0) = 0, y′(0) = - 1 分别代入通解及上式,得
C1 + C2 = 0, - C2 + 1 = - 1,
即得 C1 = - 2, C2 = 2.
于是得所求特解为
y = - 2 + 2e- x
+23
x3- 2 x
2+ x,
或 y = 2e- x
+23
x3- 2 x
2+ x - 2.
(二) f( x) = Acos ωx + Bsin ωx 型
此时,二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为
y″+ py′+ qy = Acos ωx + Bsin ωx, (6)
其中 A, B,ω是实常数,且 ω> 0.
可以证明(从略),方程(6)具有如下形式的特解
y*= x
k( acos ωx + bsin ωx),
其中 a, b 为待定系数, k 的取法如下:
(i) 当±iω不是方程(6)所对应的齐次方程的特征根时,取 k = 0;
(ii) 当±iω是方程(6)所对应的齐次方程的特征根时,取 k = 1.
应当注意,无论方程(6)中 A 与 B 是否有一个为零,假设特解 y*的形式都应具有待定系数
a和 b 的两项.可见下例.
例 5 求微分方程 y″+ 3 y′+ 2 y = cos x 的一个特解.
解 所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程,属于方程(6)的类型.这里 A = 1, B = 0,
ω= 1,所给方程对应的齐次方程 y″+ 3 y′+ 2 y = 0 的特征方程为
r2+ 3 r + 2 = 0,即( r + 2)( r + 1) = 0.
它有两个不相等的实根: r1 = - 2, r2 = - 1.因为±iω= ±i不是特征方程的根,取 k = 0,故可设
所给方程的一个特解形式为
y*= acos x + bsin x,
其中 a, b 为待定系数.
则
·553·
y*′= - asin x + bcos x,
y*″= - acos x - bsin x,
把它们代入所给方程,经整理后得
( a + 3 b)cos x + ( - 3 a + b)sin x = cos x.
比较上式两端同类项的系数,得
a + 3 b = 1, - 3 a + b = 0.
解得 a =110
, b =310
.故得所给方程的一个特解为
y*=
110
cos x +310
sin x.
例 6 求微分方程 y″+ 4 y = 2cos 2 x + 4sin 2 x 的通解.
解 所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程,属于方程(6)的类型.这里 ω= 2, A = 2,
B = 4.
先求对应齐次方程 y″+ 4 y = 0 的通解 Y.特征方程为
r2+ 4 = 0.
它有一对共轭复根 r1 ,2 = ±2i,故得
Y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x.
再求所给方程的一个特解 y*.因±iω= ±2i是特征方程的根,取 k = 1.因此,可设所求特解
的形式为
y*= x( acos 2 x + bsin 2 x),
其中 a, b 为待定系数.
则
y*′= ( acos 2 x + bsin 2 x) + x( - 2 asin 2 x + 2 bcos 2 x),
y*″ U= 2( - 2 asin 2 x + 2 bcos 2 x) + x( - 4 acos 2 x - 4 bsin 2 x)
= (4 b - 4 ax)cos 2 x - (4 a + 4 bx)sin 2 x.
把它们代入所给方程,化简得
4 bcos 2 x - 4 asin 2 x = 2cos 2 x + 4sin 2 x.
比较上式两端同类项的系数,得
- 4 a = 4, 4 b = 2,
即得 a = - 1, b =12.
故得所给方程的一个特解为
y*= x - cos 2 x +
12sin 2 x .
于是所给方程的通解为
y = Y + y*= C1 cos 2 x + C2 sin 2 x + x - cos 2 x +
12sin 2 x .
例 7 求微分方程 y″- 2y′+ y =12e
x+ sin x 的一个特解.
·653·
解 根据定理 11.4 可知,只需分别求出下面两个方程
y″- 2 y′+ y =12e
x(7)
和 y″- 2 y′+ y = sin x (8)
的两个特解 y*1 和 y
*2 ,那么 y
*= y
*1 + y
*2 就是所给方程的一个特解.
由例 3 知,方程(7)的一个特解为
y*1 =
14
x2e
x.
下面来求方程(8)的一个特解 y*2 .由例 3 知,方程(8)所对应的齐次方程的特征方程有二重
根: r1, 2 = 1.而方程(8)是属于方程(6)的类型,±iω= ±i不是特征方程的根,取 k = 0.因此,可设
特解形式为
y*
2 = acos x + bsin x.
则
y*
2 ′= - asin x + bcos x,
y*
2 ″= - acos x - bsin x,
把它们代入方程(8),并化简得
2 asin x - 2 bcos x = sin x.
比较上式两端同类项的系数,得
2 a = 1, - 2 b = 0.
即得 a =12, b = 0.
于是,求得方程(8)的一个特解为
y*
2 =12cos x.
因此,所给方程 y″- 2 y′+ y =12e
x+ sin x 的一个特解为
y*= y
*1 + y
*2 =
14x2e
x+
12cos x.
习题 11.7
1. 求下列各微分方程的通解:
(1) y″- 2 y′- 3 y = 3 x + 1; �(2) y″+ 3 y′+ 2 y = 3 xe - x ;
(3) y″- 6 y′+ 9 y = e3 x ( x + 1); (4) y″+ 3 y′= cos x - sin x;
(5) y″- 2 y′+ 5 y = sin 2 x; (6) y″+ y = x2+ cos x.
2. 求下列各微分方程满足所给初值条件的特解:
(1) y″- 3 y′+ 2 y = 5, y(0) = 1, y′(0) = 2;
(2) y″- y = 4 xex, y(0) = 0, y′(0) = 1;
(3) y″+ y = sin x, yπ2
= 1, y′π2
= 0.
·753·
§11.8 二阶微分方程的应用举例
在§11.4 中,我们曾介绍过利用一阶微分方程解决实际问题的步骤,并列举了一些有关一
阶微分方程应用的实例.利用二阶微分方程解决实际问题的一般步骤与一阶微分方程的情形类
似,这里不再重复.本节将通过举例,着重介绍可降阶的高阶微分方程及二阶常系数线性微分方
程在某些实际问题中的应用.
例 1 设火车经提速后,以 30 m�/s(相当于 108 k m�/h)的速度在平直的轨道上行驶(假设不计
空气阻力和摩擦力).当制动(刹车)时获得加速度 - 0.6 m�/s2,问开始制动后经过多少时间火车
才能停住 ? 又在这段时间内火车行驶了多少路程 ?
解 设火车开始制动时为 t = 0,制动后经 t秒钟行驶了s = s(t)( m).根据题意,反映制动后
火车运动规律的函数 s = s(t)应满足微分方程
d2s
dt2 = - 0.6 (1)
及初值条件
st = 0
= 0, vt = 0
=dsdt t = 0
= 30. (2)
下面来求方程(1)的通解及满足初值条件(2)的特解.
方程(1)是属于 y( n)
= f( x)型的可降阶的二阶微分方程.对方程(1)两边积分一次,得
v =dsdt
= - 0.6t + C1 , (3)
再积分一次,得方程(1)的通解为
s= - 0.3 t2+ C1 t + C2 . (4)
把初值条件(2)中的“ vt = 0
=dsdt t = 0
= 30”代入(3),得 C1 = 30;把“ st = 0
= 0”代入(4),得 C2
= 0.将 C1 , C2 的值代入(3)和(4)式,得
v = - 0.6t + 30, (5)
s= - 0.3t2+ 30t. (6)
由于火车停住时速度为零,所以在(5)式中令 v = 0,得到火车从开始制动到完全停住所需的
时间为
t =300.6
= 50(s).
将 t= 50 代入(6)式,即得火车在制动后行驶的路程为
s= ( - 0.3t2+ 30 t)
t = 5 0= 750( m).
例 2 如图 11.7 所示,位于坐标原点处的军舰,向位于 x 轴上点 A(1,0)处的敌舰发射制导
鱼雷,鱼雷始终对准敌舰.设敌舰以常速 v0 沿平行于 y 轴的直线行驶,又设鱼雷的速率为 2 v0 ,
求鱼雷的航行曲线方程.
·853·
解 设鱼雷航行的曲线方程为 y = y( x),在时刻 t时鱼雷位于点 P( x, y)处,敌舰位于点
Q(1, v0 t)处.
图 11.7
因鱼雷始终对准敌舰,故 P Q 是曲线 y = y( x)在点 P( x, y)处的切
线(图 11.7).由导数的几何意义可知
y′= tan θ=C QPC
≈v0 t - y1 - x
.
又曲线弧 O P的长度为
∫x
01 + y′
2d x = 2 v0 t.
从上面两式消去 v0 t,得
∫x
01 + y′
2d x = 2(1 - x) y′+ 2 y.
将上式两端对 x 求导,得
1 + y′2= - 2 y′+ 2(1 - x) y″+ 2 y′
即
y″=1 + y′
2
2(1 - x). (7)
这就是曲线 y = y( x)应满足的微分方程.
按题意,有初值条件为
y(0) = 0, y′(0) = 0. (8)
下面来求方程(7)满足初值条件(8)的特解.
方程(7)是属于 y″= f( x, y′)(不显含未知函数 y)型的可降阶的二阶微分方程.令 y′= p,
则 y″=d pd x
代入方程(7),得
d pd x
=1 + p
2
2(1 - x).
分离变量,得
d p
1 + p2=
d x2(1 - x)
,
积分后,得
ln( p + 1 + p2) = -
12ln(1 - x) + ln C1 ,
化简后,得
p + 1 + p2= C1 (1 - x)
-12 .
以 y′(0) = p(0) = 0 代入上式,得 C1 = 1.所以
p + 1 + p2= (1 - x)
-12 , (9)
而
·953·
1
p + 1 + p2= (1 - x)
12 ,
即 1 + p2- p = (1 - x)
12 . (10)
由(9)式和(10)式,可解出
p =12(1 - x)
-12 -
12(1 - x)
12 ,
即得 y′=12(1 - x)
-12 -
12(1 - x)
12 .
再对 x 积分,得
y b=12∫(1 - x)
-12 d x -
12∫(1 - x)
12 d x + C2
= - (1 - x)12 +
13(1 - x)
32 + C2 .
以 y(0) = 0 代入,得 C2 =23.故得鱼雷的航行曲线方程为
y = - (1 - x)12 +
13(1 - x)
32 +
23.
在机械振动、电磁振荡等问题中,经常会遇到二阶常系数线性微分方程.下面以弹簧振动问
题为例,作些简单介绍.
例 3 设有一弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为 m 的物体.当物体处于静止状态时,
作用于物体的重力与弹簧的弹性恢复力的大小相等、方向相反.这时物体的位置称为平衡位置
(图 11.8).如果有一外力使物体离开平衡位置,并随即撤去外力,那么物体便在平衡位置附近作
上下运动.设物体在运动过程中只受弹簧的弹性恢复力的作用,且在开始时刻 t= 0 时,物体离开
平衡位置的位移为 x0 ,初速度为 v0 ( x0 > 0, v0 > 0).试求物体的运动规律.
图 11.8
解 取坐标系如图 11.8 所示.以物体的平衡位置为坐标原点,取 x 轴铅直向下.
设在时刻 t物体所在的位置为 x,则函数 x = x(t)就是所要求的物体的运动规律.
首先来建立函数 x(t)应满足的微分方程并确定初值条件.
由虎克定律可知,在弹簧的弹性范围内,弹性恢复力 f(它不包括在平衡位置时和
弹簧自身重力相平衡的那一部分弹性力)与物体离开平衡位置的位移成正比,即有
f = - cx,
其 c > 0 为弹簧的弹性系数,负号表示弹性恢复力的方向与物体位移的方向相反.
根据牛顿第二定律,得
md
2x
dt2 = - cx,
移项,并记 k2=
cm,则上式可化为
d2x
dt2 + k
2x = 0. (11)
这就是物体的位移函数 x(t)所应满足的微分方程,通常称为物体的无阻尼的自由振动的微分方
程.
·063·
按题意,初值条件为
xt = 0
= x0 , d xdt t = 0
= v0 . (12)
再来求方程(11)的通解及满足初值条件(12)的特解.
方程(11)是二阶常系数线性齐次微分方程,其特征方程为
r2+ k
2= 0.
它有一对共轭复根: r1, 2 = ± ki( k > 0).于是得方程(11)的通解为
x = C1 cos kt+ C2 sin kt.
利用初值条件(2),定出 C1 = x0 , C2 =v0
k.因此所求特解为
x = x0 cos kt+v0
ksin kt. (13)
为了便于分析特解(13)所反映的振动现象,把它改写为
x = x20 +
v20
k2
x0
x20 +
v20
k2
cos kt +v0
k x20 +
v20
k2
sin kt.
令x0
x20 +
v20
k2
= sin φ, v0
k x20 +
v20
k2
= cos φ,
则上式又可化为
x = A(sin φcos kt + cos φsin kt) = Asin ( kt+ φ), (14)
其中
A = x2
0 +v2
0
k2 , tan φ=
kx0
v0.
函数(14)所描述的运动称为简谐振动.这种振动的振幅(物体离开平衡位置的最大位移)为
A,初相角为 φ,它们都由初值条件所确定.
由于正弦函数的周期为 2π,从(14)式可知,每当 kt增加 2π,即 t增加2πk时,运动又回复到原
来的状态,这表明在2πk这段时间内,物体往复振动了一次. T =
2πk称为振动的周期,它表示振动
一次所需的时间. f =1T表示每秒振动的次数,称为振动的频率.由 k = 2π
1T= 2πf 可知, k 与频
率 f成正比,它表示 2π秒内振动的次数;而 f是每秒振动的次数,每振动一次改变 2π弧度,因此
k也表示每秒变化的弧度,我们称 k为角频率.由于 k =cm,它完全由振动系统(在本例中就是
由弹簧和物体组成的系统)本身所确定,因此角频率 k 也称为系统的固有频率.它是反映振动系
统特性的一个重要参数.
反映简谐振动的函数(14)的图形,如图 11.9 所示(图中假定 x0 > 0, v0 > 0).*例 4 (阻尼自由振动)
·163·
图 11.9 ( x0 > 0, v0 > 0)
在例 3中,设物体除受弹簧的恢复力 f的作用外,另外还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力 R
的作用,且在开始时刻 t= 0 时的位置 x = x0,初速度为 v0.求反映物体运动规律的函数 x = x(t).
解 先来建立函数 x(t)应满足的微分方程并确定初值条件.
物体在运动过程中,除受到弹性恢复力 f = - cx( c > 0 为弹簧的弹性系数)作用外,还受到
介质阻力 R 的作用.由实验知道,当物体运动速度不大时,阻力 R 的大小与运动速度成正比,而
阻力的方向与物体运动方向相反.因此可设
R = - μd xdt
,
其中 μ> 0 是常数,称为阻尼系数.根据物体在运动过程中的受力情况,由牛顿第二定律得
md2x
dt2 = - cx - μ
d xdt
.
移项,并记
2 n =μm, k
2=
cm,
则上式化为
d2x
dt2 + 2 n
d xdt
+ k2x = 0. (15)
这就是在有阻尼的情况下,物体位移函数 x(t)应满足的微分方程,称为物体有阻尼的自由振动
微分方程.
按题意,初值条件仍为
xt = 0
= x0 , d xdt t = 0
= v0 . (16)
下面来求二阶常系数线性齐次微分方程(15)满足初值条件(16)的特解.分三种情形来讨论.
(i) 当 0 < n < k 时,称为小阻尼情形.
这时,方程(15)的特征方程
r2+ 2 nr + k
2= 0
有一对共轭复根
r1,2 = - n±i k2- n
2.
若记 ω= k2- n
2,则方程(15)的通解为
x = e- nt
( C1 cos ωt + C2 sin ωt).
应用初值条件(16),定出
·263·
C1 = x0 , C2 =v0 + nx0
ω.
于是所求特解为
x = e- nt
( x0 cos ωt +v0 + nx0
ωsin ωt).
令 x0 = Asin φ,v0 + nx0
ω= Acos φ,上式可化为
x = Ae- nt
sin (ωt + φ) = Ae- nt
sin ( k2- n
2t+ φ). (17)
其中
A = x2
0 +( v0 + nx0 )
2
ω2 , tan φ=
ωx0
v0 + nx0,ω= k
2- n
2.
从(17)式看出,物体的运动是以频率为ω2π
的振动.但与简谐振动不同,它的振幅 Ae- nt
随时
间 t的增大而逐渐减小,因此物体随时间 t的增大而趋于平衡位置.函数(17)的图形如图 11.10
所示(图中假定 x0 = 0, v0 > 0).
(ii) 当 n = k 时,称为临界阻尼情形.
这时,特征方程的根为重实根: r1 = r2 = - n,故得方程(15)的通解为
x = ( C1 + C2 t)e- nt
.
利用初值条件(16),定出
C1 = x0 , C2 = v0 + nx0 .
于是所求特解为
x = [ x0 + ( v0 + nx0 ) t]e- nt
. (18)
从(18)式可看出,使 x = 0 的 t 值最多只有一个,即物体最多经过平衡位置一次,因此物体
不产生振动现象.又由于
limt→ + ∞
te- nt
= limt→ + ∞
te
nt = limt→ + ∞
1ne
nt = 0,
图 11 �.10 ( x0 = 0, v0 > 0) 图 11 �.11 ( x0 < 0, v0 > - nx0 )
所以,当 t→ + ∞时, x→0,即物体随时间 t的增大而趋于平衡位置.又仅当 x0 + ( v0 + nx0 ) t =
0,即 t=- x0
v0 + nx0
时,才有 x = 0,所以函数(18)的图形最多与 t轴只有一个交点,如图 11.11 所
·363·
示(图中假定 x0 < 0, v0 > - nx0 ).
(iii) 当 n > k 时,称为大阻尼情形.
这时,特征方程 r2+ 2 nr + k
2= 0 有两个不相等的负实根:
r1,2 = - n± n2- k
2.
故得方程(15)的通解为
x �= C1 e- ( n - n
2- k
2) t
+ C2 e- ( n + n
2- k
2) t
= e- nt
( C1 en2- k
2t+ C2 e
- n2- k
2t) (19)
其中任意常数 C1 及 C2 均可由初值条件(16)确定.
由于特征根 r1 = - ( n - n2- k
2)及 r2 = - ( n + n
2- k
2)都是负数,所以当 t→ + ∞时,
er1t→0,e
r2t→0,从而有 x→0;且由(19)式可知, x(t)按指数规律迅速衰减,因此也不会发生振
动现象,且随时间 t的增大,物体很快趋于平衡位置.函数(19)的图形与图 11.11 类似.
总之,在有阻尼介质的阻力作用下,物体的自由振动都将逐渐趋向停止.
例 5 (无阻尼的强迫振动)
在例 3 中,设物体受弹性恢复力 f和与物体运动方向一致的铅直干扰力 F = Hsin pt( p > 0)
的作用,试求物体的运动规律.
解 由牛顿第二定律,可得物体的位置函数 x(t)应满足的微分方程为
md2x
dt2 = Hsin pt- cx.
记cm
= k2,Hm
= h,则上式变成
d2x
dt2 + k
2x = hsin pt. (20)
这是物体无阻尼的强迫振动微分方程.
先求出无阻尼强迫振动微分方程(20)的通解.容易求得方程(20)所对应的齐次方程的通解
为
X = C1 cos kt + C2 sin kt.
令 C1 = Asin φ, C2 = Acos φ,则上式又可写成
X = Asin ( kt+ φ),
其中 A,φ为任意常数.
方程(20)右端的函数 f(t) = hsin pt( p > 0)属于§11.7 方程(6)的类型.这里 λ= 0,ω= p,
A = 0, B = h.下面分别按 p≠ k和 p = k 两种情形进行讨论.
(i) 若 p≠ k,则 λ±iω= ±ip 不是特征方程 r2+ k
2= 0 的根 r1, 2 = ± ki,故设方程(20)的一
个特解形式为
x*= a1 cos pt + b1 sin pt.
用待定系数法可求得
a1 = 0, b1 =h
k2- p
2 .
·463·
于是
x*=
hk2- p
2 sin pt.
从而当 p≠ k时,方程(20)的通解为
x = X + x*= Asin ( kt+ φ) +
hk2- p
2 sin pt. (21)
(21)式表示,物体的运动由两部分组成,这两部分都是简谐振动.(21)式第一项表示自由振
动,第二项所表示的振动叫做强迫振动.强迫振动是由干扰力引起的,它的角频率即是干扰力的角
频率 p.当干扰力的角频率 p与振动系统的固有频率 k很接近时,它的振幅h
k2- p
2 可以很大.
(ii) 若 p = k,则 λ±iω= ±ip = ±ik,正好是特征方程的根.因此可设方程(20)的特解形式
为
x*= t( a1 cos kt + b1 sin kt).
用待定系数法可求得 a1 = -h2 k
, b1 = 0.故得特解为
x*= -
h2 k
tcos kt.
因此,当 p = k 时,方程(20)的通解为
x = X + x*= Asin ( kt+ φ) -
h2 k
tcos kt. (22)
由(22)式右端第二项可以看出,强迫振动的振幅h2 k
t随时间 t的增大而无限增大.这就产生
所谓共振现象.为了避免共振现象,应使干扰力的角频率 p 不要靠近振动系统的固有频率 k.反
之,如果要利用共振现象,则应使 p = k 或使 p 与 k尽量靠近.
有阻尼的强迫振动问题讨论方法类似,这里从略.
习题 11.8
1. 设火车在平直的轨道上以 16m�/s 的速度行驶.当司机发现前方约 200 m 处有行人(假设行人不能走开)
时,立即以加速度 - 0.8 m�/s2制动(刹车).试问:
(1) 自刹车后需经多长时间火车才能停车 ?
(2) 自开始刹车到停车,火车行驶了多少路程 ?
(3) 前方的行人有无危险 ?
2. 试求 y″= x 的经过点 P(0,1),且在此点处与直线 y =x2
+ 1 相切的积分曲线.
3. 一个单位质量的质点在 Ox 轴上从原点 O 处以初速度 v0 开始运动.在运动过程中,受到一个大小与质点
到原点的距离成正比(比例系数为 3)而方向与初速 v0 一致的力的作用,又介质的阻力与速度成正比(比例系数
为 2).求该质点的运动规律.* 4. 一质量为 m 的潜水艇从水面由静止状态开始下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为 k > 0),
求潜水艇下沉的深度 x与时间 t的函数关系.
5. 设有一弹性系数为 c(c > 0)的弹簧水平地放置在一光滑的桌面上,它的左端固定,右端连结一质量为 m
的物体.开始时将物体向右拉至距离弹簧的右端点为 lcm 处,然后突然无初速地放手,使物体产生振动.如果不
·563·
计介质阻力和桌面的摩擦力,试求物体的运动规律.
复习题十一
一、选择题
1. 微分方程( y′)2 + y′(y″)3 + xy4 = 0 的阶数是( ).
A. 1; �B. 2; �C. 3; OD. 4.
2. 下列函数中,是微分方程 d y - 2 xd x = 0 的解的是( ).
A. y = 2 x; B. y = x2 ; C. y = - 2 x; D. y = - x2 .
3. 下列函数中,可以是微分方程 y″+ y = 0 的解的函数是( ).
A. y = 1; B. y = x; C. y = sin x; D. y = ex.
4. 微分方程 y�- x2 y″- x5 = 1 的通解中应含独立的任意常数的个数为( ).
A. 3; B. 5; C. 4; D. 2.
5. 微分方程dyd x
-1xy = 0 的通解是 y = ( ).
A.Cx; B. Cx; C.
1x+ C; D. x + C.
6. 微分方程 y′- y = 1 的通解是( ).
A. y = Cex ; B. y = Cex + 1;
C. y = Cex- 1; D. y = ( C + 1)e
x.
7. 微分方程 yln xd x = xln yd y 满足初值条件:yx = 1
= 1 的特解是( ).
A. ln2 x + ln2 y = 0; B. ln2 x + ln2 y = 1;
C. ln2 x = ln2 y; D. ln2 x = ln2 y + 1.
8. 微分方程 y′= 3 y23 的一个特解是( ).
A. y = x3 + 1; B. y = ( x + 2)3 ;
C. y = ( x + C)2 ; D. y = C( x + 1)3 .
9. 下列函数组中线性无关的是( ).
A. x2,23
x2; B. sin 2 x,sin xcos x;
C. 1 + cos x,cos2 x
2; D. e
x,e
- 2 x.
10. 在下列微分方程中,其通解为 y = C1 cos x + C2sin x 的是( ).
A. y″- y′= 0; B. y″+ y′= 0;
C. y″+ y = 0; D. y″- y = 0.
11. 用待定系数法求微分方程 y″+ 3 y′+ 2 y = x2的一个特解时,应设特解的形式为 y
*= ( ).
A. ax2; B. ax
2+ bx + c;
C. x( ax2 + bx + c); D. x2 ( ax2 + bx + c).
12. 用待定系数法求微分方程 y″- 3 y′+ 2 y = sin x 的一个特解时,应设特解的形式为 y*= ( ).
A. bsin x; B. acos x;
C. acos x + bsin x; D. x( acos x + bsin x).
·663·
13. 用待定系数法求微分方程 y″- y′= ex+ 3 的一个特解时,应设特解的形式为 y
*= ( ).
A. aex + b; B. axex + b;
C. axex + bx; D. x2 ( a + be x ).
二、填空题
1. 微分方程 xdyd x
= y 的类型是属于 方程,其通解为 .
2. 微分方程 xdyd x
= y + x2sin x 的类型是属于 方程,其通解为 .
3. 微分方程 y′+ 2 xy = 0 的通解是 .
4. 微分方程 xyy′= 1 - x2的通解是 .
5. 微分方程 y″+ 2 y = 0 的通解是 .
6. 微分方程 y″+ y′- 2 y = 0 的通解是 .
7. 微分方程 y″+ 6 y′+ 9 y = 0 的通解是 .
8. 微分方程 y″+ 4 y′+ 5 y = 0 的通解是 .
9. 微分方程 xy′+ y = 3 满足初值条件 y(1) = 0 的特解是 .
10. 用待定系数法求微分方程 y″+ 2 y′= 2 x2 - 1 的一个特解时,应设特解的形式为 y * = .
11. 用待定系数法求微分方程 y″+ 4 y′+ 4 y = xe- 2 x 的一个特解时,应设特解的形式为 y * = .
12. 用待定系数法求微分方程 y″+ y′- 2 y = 3cos x - 4sin x 的一个特解时,应设特解的形式为 y*
=
.
三、解答题
1. 求下列微分方程的通解:
(1) (1 + x2 )(1 + y2 )d x + 2 xyd y = 0; "(2) ( x + y)d x - xd y = 0;
(3)d yd x
=1
x - y2; (4) ( x + 1)
d yd x
- 2 y = ( x + 1)52 ;
(5) y″- 2 y′+ 2 y = 0; (6) 3 y″- y = 0;
(7) y″- 4 y′+ 4 y = 3e2 x; (8) 2 y″+ 5 y′= 29cos x.
2. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解:
(1) xy′+ x + sin ( x + y) = 0; yπ2
= 0;
(2) y′- ytan x = sec x, y(0) = 0;
(3) 2 xy′y″= 1 + ( y′)2, y(1) = 0, y′(1) = 1;
(4) y″+ y′- 2 y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 1;
(5) y″+ y + sin 2 x = 0, y(π) = 1, y′(π) = 1.
3. 已知由微分方程 y″- y = 0 所确定的一条积分曲线通过点(0,1),且在该点处与直线 y = 3 x + 1 相切.试
求该积分曲线的方程.
4. 设质量为 m 的物体在一冲击力作用下获得初速度 v0 ,使物体在一水平面上滑动.已知物体所受的摩擦
力大小为 km( k > 0 为常数).求该物体的运动规律,并问物体能滑多远 ?
5. 一汽艇连其载荷的质量为 2000 kg,在水面上以 30 k m�/h 的速度沿直线方向行驶.将发动机关闭 5 min
后,汽艇的速度降至 6 km�/h.设水面对汽艇的阻力与汽艇的速度成正比,求发动机关闭 15 min 后汽艇的速度.
6. 把一个加热到 100 ℃的物体,放在 20 ℃的恒温室中冷却,经 10 min 时测得物体温度为 60 ℃.问要使物
体温度降至 30 ℃需经多长时间 ?
7. 一曲线通过点(1,0),已知曲线上任一点 P( x, y)处的切线在 y轴上的截距恰好等于 OP 之长.求此曲线
的方程.
·763·
8. 质量为 m 的物体自高 h0 处以初速 v0 竖直上抛,设空气阻力与速度成正比.求物体运动速度与时间的关
系,并求物体上升到最高点所需的时间.(提示:取原点 O 在高 h0 处,并设 Os轴铅直向上为正向.)
·863·
习题答案或提示 �
第 一 章
习题 1.1
1. (1) ( - ∞,0]; (2) [ - 1,2); (3) (2 - ε,2 +ε); (4) ( a - δ,a +δ).
习题 1.2
1. (1) [ - 3, 3]; (2) ( - ∞, - 3)∪( 3, + ∞);
(3) ( - ∞, - 1)∪( - 1,1)∪(1, + ∞); �(4) [ - 2,0)∪(0,1);
(5) ( - ∞,1)∪(1,2)∪(2, + ∞); (6) [ - 1,1); (7) [0,π).
2. (1) 不同; (2) 不同; (3) 不同;
(4) 相同; (5) 相同.
3. (1) f(4) = 19; f(1) = 2; f(0) = 3;
f( - 1) = 2; f( x0 ) = 3 + x20 ; f
1a
=3 a
2+ 1
| a|.
(2) f(1) = 5; f(1 + h) = 5 + 3 h; f(1 + h) - f(1)
h= 3.
(3) φ(2) = 4; [φ(3)]3 = 729; φ( - 1) = 1.
(4) φ(3) = 2; φ(2) = 1; φ(0) = 2; φ(0.5) = 2; φ( - 0.5) = 2 - 0.5 =1
2.
4. V = x( l - 2 x)2 , 0 < x <l2. 5. F =
μmgcos α+ μsin α
,0≤α<π2.
题 1 图
习题 1.3
1.
·963·
2. (1) 偶函数; (2) 奇函数; (3) 奇函数;
(4) 奇函数; (5) 奇函数; (6) 非奇非偶函数.
3. (1) 在( - ∞, + ∞)上严格单调增加; �(2) 在( - ∞,1]上严格单调减少,在[1, + ∞)上严格单调增加;
(3) 在( - ∞, + ∞)上严格单调增加; (4) 在 -π2,π2
上严格单调增加.
4. (1) 4π; (2)π; (3) 非周期函数; (4)π; (5)π; (6) 2π.
习题 1.4
1. (1) y = x3- 2; (2) y =
1 - x1 + x
; (3) y = 10x - 2
- 1.
2. (1) y = arcsin (1 - x2 ), [ - 2, 2];
(2) y = tan2 x, x≠ kπ+π2
( k = 0,±1,±2,⋯);
(3) y = sin 2 x, kπ,kπ+π2
( k = 0,±1,±2,⋯).
3. (1) y = u, u = 1 - x; �(2) y = u2 , u = sin v, v = 3 x +π4;
(3) y = 5 u2 , u = x + 2; (4) y = u, u = tan v, v =x2.
4. f[ g( x)] = 22 x , g[ f( x)] = 2 x2
. 5. f1
f( x)= 1 - x ( x≠0, x≠1).
习题 1.5
2. (1)、(2)、(4)为初等函数; (3)、(5)、(6)为非初等函数.
4. y =59( x - 32),其中 y 为摄氏温度, x 为华氏温度. �
复 习 题 一
一、1. B; 2. D; 3. B; 4. D; 5. C; 6. C; 7. A ; 8. B; 9. D ; 10. B.
二、1. ( - ∞, - 3)∪(2, + ∞); R2.x + 12 x + 1
,( x≠ - 1, x≠ -12);
3. y = arcsin u, u = 2 x ; 4. y = log3 ( x - 1);
5. [ - 1,1]; 6. f( x)
三、1. [1,3)∪(3,4); 2. f(1x) =
1x2
-1x+ 3, f( x + 1) = x
2+ x + 3;
3. 偶函数; 4. y = 1 + x3 ;
5. r =3 Vπh
,0 < h < + ∞.
·073·
�
第 二 章
习题 2.1
1. (1) 2,32,43; (2) 2,
32
2
,43
3
; (3) 0,2,0; (4) 0,2,3 32
.
2. (1) 1; (2) 1; (3) 0; (4) 无极限.
3.12,14,⋯,
12
n ,⋯,极限为 0.
习题 2.2
1. f(0 - 0) = f(0 + 0) = 1,limx→0
f( x) = 1;
φ(0 - 0) = - 1,φ(0 + 0) = 1,limx→0
φ( x)不存在.
习题 2.3
1. (1)34; (2)
12; (3)
12,提示:1 -
1n2
=n - 1n
·n + 1n
, xn =12·
n + 1n
; (4) -34; (5) - 7;
(6)14; (7)
12; (8) 0; (9) 2; (10) 0; (11) 2 x; (12) 0; (13)
14.
J2. (1)23; (2) 5; (3) 1; (4) 2; (5) x; (6) e- 1 ; (7) e3 ; (8) e2 ; (9) 1; (10) e.
习题 2.4
1. (1) 无穷大; (2) 无穷小; (3) 都不是; (4) 无穷小; (5) 无穷大; (6) 无穷小.
2. (1) 当 x→ - 1 时是无穷小,当 x→1时是无穷大;
(2) 当 x→ - 2 时是无穷小,当 x→0 时是无穷大;
(3) 当 x→1 时是无穷小,当 x→ - 1 时是无穷大.
3. (1) 0; (2) 0; (3) ∞; (4) ∞.
4. 当 x→0 时 x2- x
3= o(3 x + x
2).
5. (1) 同阶,但不等价; (2) 等价.
6. (1) 同阶但不等价; (2) 同阶但不等价; (3) 等价; (4) 高阶; (5) 等价; (6) 高阶.
8. (1) 4; (2)12; (3)
13.
习题 2.5
1. (1) x = 1 为第一类间断点(可去间断点), x = 2 为第二类间断点;
·173·
(2) x = 0 和 x = kπ+π2为第一类间断点(可去间断点), x = kπ( k≠0)为第二类间断点,k 为整数;
(3) x = 0 为第二类间断点;
(4) x = 2 为第一类间断点(跳跃间断点);
(5) x = a 为第一类间断点(跳跃间断点).
2. x = 0 为可去间断点,可补充定义 f(0) = 2.
3. f( x)在 x = 1 处连续.
习题 2.6
1. (1) 在[0,2]上连续;
(2) 在 x = - 1 点以外连续, x = - 1 是第一类间断点(跳跃间断点).
2. a = - 1.
3. x = 0 是第一类间断点(可去间断点), x = - 1 是第二类间断点(无穷间断点),连续区间为( - ∞, - 1),
( - 1,0)和(0, + ∞).
4. (1) e; (2)e
- 2+ 1
- 2; (3) 1; (4) 0; (5) 1; (6)
12; (7) 1; (8) 1; (9)
1a. �
复 习 题 二
一、1. A; 2. D; 3. B; 4. B; 5. D; 6. B; 7. B; 8. A; 9. A; 10. C.
二、1.13; 2. 0; 3. 2; 4.10; 5. e- 1 ; 6. 不连续; 7. 5; 8. 一; 9. 3; 10. 0,二.
三、1. 0; 2.23; 3.
1 - b1 - a
; 4. 3; 5. e- 2 ; 6. 3; 7.23; 8.
1a. �
第 三 章
习题 3.1
1.12,14. 2. - 1, - 4.
3. (1) y =xe, y = - e x + e2 + 1; (2) y = - 2 x + 3, y =
12
x +12; (3) y = 0, x = 0.
4. 当且仅当 a = 1, b = 0 时,f( x)在 x = 0 可导.
习题 3.2
1. (1)1x-
13x2
; (2) 1 +1x2 +
4πx3; (3)
x( x + x)2
;
(4)2 + 2 x - x2
( x2 + 2 x)2 ; (5) 2ex cos x; (6)1
1 - sin t;
(7) ln x; (8)1 - 2 xarctan x
(1 + x2 )2 .
·273·
J2. (1)2 x
2- 1
x2 - 1; (2) 2 xsec
2x tan x; (3) -
1
x2 + 4;
(4) -1
2 1 - x2; (5)
4 x2 + x x + 2 x + 1
8 x + x + x x2 + x x; (6)
78
x -18 ;
(7) - sec x; (8)4x
- 1; (9)12ln 2·2
tan tan x·sec
2tan x·sec
2x
tan x;
(10)1
xln xln ln x; (11)
12
xx - 1
2 (2 + ln x);
(12) xsin x
cos x ln x +sin xx
+ (sin x)x(ln sin x + xcot x);
(13) xxx
[ xx(1 + ln x)ln x + x
x - 1];
(14)x2 e2 x
(1 + x) 2 + x2x
+ 2 -1
1 + x-
12(2 + x)
;
(15)3( x - 1)( x - 2)2
x( x + 1)
13( x - 1)
+2
3( x - 2)-
16 x
-1
6( x + 1).
3. (1)3 x2 + y - 13 y
2- x + 1
; (2)ycos( xy) - 11 - xcos( xy)
; (3)ey - yex - 1e
x- xe
y ;
(4)y2 (ln x - 1)x2(ln y - 1)
.
4. (1) -xy; (2)
sin t + tcos tcos t - tsin t
; (3)2 t
1 - t2 ; (4)
t(1 + 2ln t)1 + ln t
.
5. y = 2 x - e. 6. y =e3
x + 1, y = -3e
x + 1.
7. y = x + 2 -π2
a, y =π2
a - x. 10.dθdt
=1
120(rad�/s) 或 0.477(度�/s).
习题 3.3
J1. (1)- 2(1 - 3 x2 )(1 + x
2)3 ; (2) 36 x + 22; (3)
2 x2 + 1
( x2- 1)
2x2- 1
;
(4) 2ex2
(1 + 2 x2); (5) 2
x( x
2ln
22 + 4 xln 2 + 2); (6) 6 xln x + 5 x;
(7) - 2ex sin x; (8) ex (cos2 x - 2sin 2 x - 2cos 2 x);
(9) -1 + 3 x
4 x x(1 + x)2;(10) - 4csc 2 x cot 2 x;
(11)3 - 2 x
4( x - 1) 1 - x x; (12) x
x(1 + ln x)
2+ x
x - 1.
2. (1)32; (2) 0; (3)
154e2π; (4) - 1.
3. (1)34 t
; (2) 2(1 + t)3 ; (3)1
3 sin t cos4t; (4) -
2t3 e
- t .
4. (1) y′= 1 + ln x, y( n)
= ( - 1)n·( n - 2) !
xn - 1 , n≥2; (2)( - 1)
n
2·n !
1( x - 2)
n + 1 -1
xn + 1 ;
(3) ex( x + n); (4) - 2
n - 1cos 2 x +
nπ2
.
·373·
习题 3.4
1. (1) 7.937 5; (2) 2.083; (3) 0.790 4. 2. 0.094 2(cm 3 ). �
复 习 题 三
一、1. B; 2. A; 3. B; 4. B; 5. C; 6. A .
二、1. α> 0,α> 1; 2. 5 x + 6 y - 11 = 0,6 x - 5 y - 1 = 0;
3. 4 x - 3 y + 1 = 0,3 x + 4 y - 18 = 0;4. ( n !)2.
三、1. (1)3 x
2- x + 1
2 x x; (2)
2 + x2 1 + x
2 ; (3)2(1 - 3 x
3)
(1 - x + x3 )2;
(4) 4 csc 4 xd x; (5) xx (1 + ln x) + xx2+ 1 (1 + 2ln x); (6) 1 -
4π2 ; (7) 0;
(8)n( n + 1)
2; (9)
1 + ysin x - sin yxcos y + cos x
; (10) t + 1 -1
t + 1,
t2 + 2 t + 2et( t + 1)3 .
J2. (1) e2 x (22 x + n·2 n - 1 ); (2) ( - 1) n - 1 ( n - 1) !1
( x + 1) n +1
( x + 2) n ;
(3) ( - 1)ne- x
( x - n).
3. a = -12, b =
12. 4. y = - x.
5. y = 3 x - 4. 6. 2 x - 4 y + 1 = 0,4 x + 2 y - 3 = 0.
8. 2 xf′( x2 ), 2 f′( x2 ) + 4 x2 f″( x2 ). �
第 四 章
习题 4.1
1. (1) B ; (2) B, D.
2. 提示:令 f( x) = ex,在[0, x]上利用拉格朗日中值定理.
3. 提示:令 f( x) = ex,在[1, x]上利用拉格朗日中值定理.
习题 4.2
(1) 分母中先将 sin x 用 x 代换,0; (2)12; (3) 2;
(4) 先将分子中 cos x 单独求极限,cos 3; (5)12; (6)
12; (7) 1; (8) ∞.
习题 4.3
1. (1) B; (2) C.
·473·
2. (1) 在( - ∞,1)内 y 严格单调减少,在(1, + ∞)内 y 严格单调增加;
J(2) 定义域为 0≤ x≤2,在(0,1)内 y 严格单调增加,在(1,2)内 y 严格单调减少;
J(3) 定义域为( - ∞, + ∞),在 - ∞, -24
, 24, + ∞ 内 y 严格单调增加,在 -
24,
24
内 y 严格单调
减少;
J(4) 定义域为(0, + ∞),在 0,22
内 y 严格单调减少,在 22, + ∞ 内严格单调增加;
J(5) 在( - ∞,0)内 y 单调减少,在(0, + ∞)内 y 单调增加.
3. (1) 令 f( x) = x - ln(1 + x),可证;
(2) 令 f( x) = arctan x - x,考察 f( x)在( - ∞,0),(0, + ∞)内的严格单调性,f(0) = 0.
习题 4.4
J1. (1) 极大值点为 x = - 1,极大值 f( - 1) = 10.极小值点为 x = 3,极小值 f(3) = - 22;
J(2) 极大值点为 x = 0,极大值为 f(0) = 0.极小值点为 x =25,极小值为 -
35
3425
;
J(3) 当 c> 0 时,极小值点为 x = 0,极小值 f(0) = c.当 c< 0 时,极大值点为 x = 0,极大值 f(0) = c;
(4) 极大值点为 x = 1,极大值 f(1) = 1.没有极小值点;
J(5) 极大值点为 x = -24,极大值 f -
24
=23.极小值点为 x =
24,极小值 f 2
4= -
23.
2. (1) y = f( x0 ); (2) 0.
3. (1) S( x) = x3+ (8 - x)
3.当 x = 4 时, S( x)取得极小值 S(4) = 128;
(2) x =a6, V (
a6) =
a3
54;
(3) 最大值点为 x = - 1.最大值 f( - 1) = 15,最小值点为 x = 2,最小值 f(2) = - 12;
4. a = - 4.
习题 4.5
1. (1) 定义域为(0, + ∞),在(0, + ∞)内函数曲线为凹的.无拐点;
J(2) 定义域为( - ∞, + ∞),在( - ∞, - 1)内曲线为凸的.在( - 1, + ∞)内为凹的.拐点为( - 1, - 6);
I(3) 定义域为 ( - ∞, + ∞).在( - ∞, - 1), (1, + ∞) 内曲线为凹的.在 ( - 1, 1) 内为凸的.拐点为
- 1,14
, 1,14
;
F(4) 定义域为( - 1, + ∞).在( - 1,0), 32 , + ∞ 内曲线为凸的.在 0,
32 内为凹的.拐点为(0, 0),
32,ln 3 ;
J(5) 定义域为(0, + ∞),在(0,e32 )内曲线为凸的.在 e
32 , + ∞ 内为凹的.拐点为 e
32 ,
32e- 3
2 ;
2. a = 1, b = 3.
习题 4.6
1. y = 1 为水平渐近线.没有铅直渐近线.
·573·
2. y = 2 为水平渐近线, x = 0 为铅直渐近线.
3. y = 0 为水平渐近线. x = - 1 为铅直渐近线.
4.
x ( - 1 �,0) 0 9(0 !, + ∞)
y′ - 0 9+
y″ + + +
y ↘凹 极小 0 �↗凹
x = - 1 为铅直渐近线,无水平渐近线.
图形如题 4 图所示.
题 4 图
5.
x ( - ∞,0 �) 0 i0 �,12
1 �2
1 "2,1 1 ~(1 8, + ∞)
y′ + 0 i- - 0 ~+
y″ - - - 0 �+ + +
y ↗凸 极大 0 �↘ 凸拐点
1 I2, -
12
↘凹 极小 - 1 �↗凹
无水平渐近线,也无铅直渐近线.
图形如题 5 图所示.
题 5 图
题 6图
6.
x ( - ∞,0 Q) 0 9(0 !, + ∞)
y′ + 不存在 +
y″ - -
y ↗凸 没定义 ↗凸
·673·
利用对称性只需研究(0, + ∞),至于( - ∞,0),由对称性得出. x = 0 为铅直渐近线.图形如题 6 图所示.
习题 4.7
1. ds = 1 + (2 x + 1)2 d x. 2.227
. 3.24.
4. (0,0). (5) (2, - 1). 12. �
复 习 题 四
J一、1. B; 2. B, D; 3. C; 4. B; 5. D; 6. B, C; 7. B; 8. B.
J二、1. 2 ; 2. 0; 3. (0, + ∞); 4. x = 0, x = 2,最大值 f(0) = f(2) = 4; 5. y = 0.
三、1. limx→0
cos x 单独求极限,不参与洛必达法则运算,1;
2. -e2; 3.
12;
4. 当 c > 0 时, x = 0 为 y 的极小值点.极小值 f(0) = c.
当 c< 0 时, x = 0 为 y 的极大值点.极大值 f(0) = c;
5. 令 f( x) = x - arctan x.利用单调性证;
6. x = 10(米), y = 5(米); 7. a = - 1, b = 0, c = 3;
8. k = ±28;
9. 切线方程为 y = f( x0 ).法线方程为 x = x0 ;
10.
x (0 �,1) 1 9(1 !, + ∞)
y′ - 0 9+
y″ + + +
y ↘凹 极小 1 �↗ 凹
x = 0 为铅直渐近线.图形如题 10 图所示.
题 10 图
·773·
�
第 五 章
习题 5.1
J1. (1)x3
3; (2) 2 x; (3)
12sin 2 x; (4) - 2sin 2 x; (5)
12ln 3
·32 x ; (6) 2ln 3·32 x .
J2. (1) y = x3+ 1; (2) y = x - 3; (3) s =
32
t2- 2 t + 5; (4) v =
13
t3+ t + 1.
J3. (1) A ; (2) C; (3) C; (4) A ;
(5) D ; (6) D; (7) C; (8) B; (9) A .
5. (1) x4 + x3 + x2 - x + C; �(2)13
x3 - 2 x + 5ln | x| +3x
+ C;
(3)32
x23 -
65
x53 +
38
x83 + C; (4)
815
x158 + C;
(5)3 x ex
1 + ln 3+ C; (6) e x + x + C;
(7) - cot x - x + C; (8) sin x + cos x + C;
(9) ex- arcsin x + C; (10) -
2x- arctan x + C;
(11) -1x- arctan x + C; (12)
e x - e - x
2+ C.
习题 5.2
1. (1)13; (2)
12; (3) -
16; (4) - 1; (5) 2; (6)
13; (7)
12;
(8) -12; (9) 3; (10)
15; (11)
12; (12)
12.
J2. (1)x2
2; (2)
x3
3; (3) -
1x; (4) 2 x; (5) ln x; (6)
13e3 x;
(7)2 x
ln 2; (8) - 2cos
x2; (9)
12sin 2 x; (10)
13tan 3 x;
(11)13arcsin 3 x; (12) arctan (ln x).
3. (1)118
(3 x - 2)6 + C; �(2) - 1 - 2 x + C;
(3) -12cos x2 + C; (4) - 1 - x2 + C;
(5)23
x3- 1 + C; (6)
13ex3
+ C;
(7) 2sin x + C; (8) - tan1x
+ C;
(9) - e1x + C; (10) 2 arctan x + C;
(11) ln (2 + ex ) + C; (12) 2ex -12e2 x + C;
·873·
(13)13ln
3x + C; (14)
23(1 + ln x)
32 + C;
(15) ln |1 + ln x| + C; (16) arcsin (ln x) + C;
(17)13tan (3 x - 1) + C; (18) -
14cot (4 x - 3) + C;
(19)112
ln2 + 3 x2 - 3 x
+ C; (20)16
arctan3 x2
+ C;
(21)14ln
x + 1x + 5
+ C; (22) ln | x2 + 2 x - 10| + C;
(23)13(arctan x)
3+ C; (24) -
1arcsin x
+ C.
4. (1)x2
-14sin 2 x + C; (2)
x2
+18sin 4 x + C;
(3)38
x -14sin 2 x +
132
sin 4 x + C; (4)15sin5 x -
17
sin7 x + C;
(5)12sin x +
110
sin 5 x + C; (6)14cos 2 x -
116
cos 8 x + C.
5. (1)25( x + 1)
52 -
23( x + 1)
32 + C; (2) 2 x - ln (1 + 2 x) + C;
(3) 2 x + 1 - 4ln ( x + 1 + 2) + C; (4) x + 2 x + ln ( x - 1)2+ C;
(5)32
3
x2 - 3
3x + 3ln |
3x + 1| + C; (6) 3
3x - 6
6x + 6ln (
6x + 1) + C.
6. (1)12arcsin x +
12
x 1 - x2+ C; (2) -
1 - x2
x+ C;
(3) ln | 1 + x2 + x| + C; (4)x
1 + x2+ C;
(5) arccos1x
+ C; (6) x2 - 1 - arccos1x
+ C.
习题 5.3
1. (1) xsin x + cos x + C; (2) - xe- x - e - x + C;
(3)x2
2(arctan x)2 - xarctan x +
12
ln (1 + x2 ) +12(arctan x)2 + C;
(4) xarctan x -12ln (1 + x2 ) + C; (5)
x3
3ln x -
19
x3 + C;
(6) -x4cos 2 x +
18
sin 2 x + C; (7)12
e- x
(sin x - cos x) + C;
(8) 2 e x ( x - 1) + C; (9) xln2 x - 2 xln x + 2 x + C;
(10) (lnln x - 1)ln x + C; (11) x ln( x + 1) - x + ln(1 + x) + C;
(12) x ln( x + 1 + x2 ) - 1 + x2 + C;
2.1 - 2ln x
x+ C. 3.
x2
4+
x2
2ln x + C.
习题 5.4
(1)116
ln |4 x + 3| +3
4 x + 3+ C;
·973·
(2)x2
9 x2 + 2 +13
ln |3 x + 9 x2 + 2| + C;
(3)x - 22
x2 - 4 x + 8 + 2ln | x - 2 + x2 - 4 x + 8| + C;
(4) -14
sin3xcos x -
38sin xcos x +
38
x + C. �
复 习 题 五
一、1. C ; 2. D; 3. B; 4. C; 5. A; 6. D; 7. B; 8. D; 9. C; 10. B.
J二、1. y = x3 - 1; 2.x2
2+ C; 3. - F(cos x) + C; 4. - ln | x - 1| + C; 5. cos e- x + C;
6. xsin x - cos x + C; 7. x + 2ln (1 + e- x
) + C; 8. (1 + x)ex; 9. arctan x + 4; 10.
12
F2( x) + C.
三、1. -120
(5 - 2 x)10 + C; 2. 2 (ex + 1)12 + C;
3. -12(sin x - cos x)
- 2+ C; 4.
34
3
1 + sec2 x2+ C;
5. x -12
ln (1 + e2 x ) + C; 6.15ln
x - 3x + 2
+ C;
7.19
(2 x + 3)94 -
35(2 x + 3)
54 + C; 8. -
x2 + 33 x
+ C;
9.ex
1 + x+ C; 10. -
12 x
2 ln x +12
+ C. �
第 六 章
习题 6.1
1. 6.
2. (1)∫3
- 1( x
2+ 1)d x; (2)∫
5
2( s
2+ 1)ds;
(3)∫2
0(2 + 5 x)d x; (4)∫
4
0( t2 + 3)d t.
3. (1)52; (2)
32.
习题 6.2
1. (1) D ; (2) B; (3) A ; (4) D; (5) C.
2. (1) > ; (2) > ; (3) > ; (4) < .
3. (1) 6≤∫4
1( x2 + 1)d x≤51; (2)
3e4 ≤∫
2
- 1e - x
2
d x≤3.
4. (1)52; (2)
12
+π4.
·083·
习题 6.3
J1. (1) C; (2) A ; (3) B; (4) D; (5) A ; (6) D; (7) C; (8) B; (9) A; (10) D .
2. (1) F′( x) = cos ( x + 1); (2) F′( x) = - xe- x ;
(3) F′( x) = 2 x 1 + x4 ; (4) F′( x) = 3 x2 ex3
- 2 xe x2
.
3. (1) 24; (2)296; (3)
π6; (4)
π3; (5)
112
; (6)12(25 - ln 26); (7) 1 -
π4; (8)
π2; (9) 4;
(10)23
+ e3 - e.
习题 6.4
1. (1) 2(2 - arctan 2); (2)15ln 7 +
45ln 2;
(3)23
3; (4) 2( 3 - 1);
(5) 3 -π3; (6) 1 -
π4;
(7)14
π2
- 1 ; (8) arctan e -π4.
2. (1) 0; (2) -163.
5. (1) -π6
-19; (2)
14(e2 + 1);
(3)14
-34e2
; (4) ln 2 - 2 +π2;
(5)25
(e4π
- 1); (6) ln 2 -12;
(7)π8
-14ln 2; (8)
π4
- ln22.
习题 6.5
1. (1)12; (2) 发散; (3) 1; (4) 发散; (5) π; (6) 2.
2. (1) -14; (2) 发散; (3)π; (4)
π2; (5)
π2
8; (6)
π2.
3. 当 k > 1 时收敛,且∫+∞
2
d xx(ln x) k =
1k - 1
(ln 2)1 - k .
当 k≤1 时发散.
4. 当 0 < α< 1 时收敛,且∫3
2
1( x - 2)
αd x =1
1 - α.
当α≥1 时,发散.
·183·
习题 6.6
J1. (1)16; (2)
12(e2 - 3); (3)
23(2 - 2); (4) 2 2 ; (5) 2 π-
23
.
2.163
P2. 3.
π2. 4. 24π; 16π. 5.
136π. �
复 习 题 六
一、 �1. D; 2. A; 3. A; 4. A; 5. B; 6. B; 7. D; 8. C; 9. C; 10. B.
二、 �1.914
; 2. - 2 x f( x2); 3. e
x2
- 1; 4. 1; 5. 3; 6. 3; 7. 0; 8. 7; 9.1π
; 10.π- 2.
三、1. (1) 4 - ln 9; (2) 9arctan24; (3) 2 -
π2; (4) 2 1 -
1e
.
2. x = 0. 4.π6
+43
2 . 5.512
. 6.310π. �
第 七 章
习题 7.1
1. (1) 第Ⅱ卦限; (2) 第Ⅴ卦限; (3) 第Ⅶ卦限; (4) 第Ⅵ卦限.
2. 可能在第Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅶ卦限.
3. (1) ( a, - b, c); (2) ( a, - b, - c); (3) ( - a, - b, - c).
4. x = 1 或 x = - 5.
6. (提示:利用勾股定理.)
习题 7.2
1. a.
2. A 1 A2 →= u, A 2 A3 →
= u + v , A 3 A4 →= v , A 4 A5 →
= - u, A5 A6 →= - ( u + v ), A 6 A1 →
= - v .
3. 当 a 与 b 方向相同时等号成立. 4. - 8 a + 9 b - 7 c.
5. A D →=12( A B →+ A C →).
习题 7.3
1.52
2. 2. A( - 2,3,0).
3. 2 A B →- 3 A C →= ( - 11,8,18), A B →+ 4 A C →= (11,4, - 13).
4. a - b = (1,2,1),2 a + 5 b = (9, - 10, - 12),3 a + b = (7, - 2, - 5).
·283·
5. ea =23, -
23,13
.
6. (1) 7;(2) u 在 x 轴上的分向量;13i, u 在 z 轴上的分向量 - 9 k; (3) | u| = 299.
习题 7.4
1. (1) 若 a 与 b 同向,则 a·b = | a|| b|;若 a 与 b 反向,则 a·b = - | a|| b|. (2) cos ( a, b).
2. k = ±35. 3. | a + b + c| = 17 + 6 3 . 4. a·b = 16.
5. (1) 46; (2) - 2; (3) ( a, b) =π- arccos8
483.
6.32. 7. ±30. 8. (1) 24; (2) 60.
10. (1) 3 i - 7 j - 5 k; (2) - 21 i+ 49j + 35 k;(3) j - k; (4) i - 2 j.
11. 14. 12. ±13, -
23,23
.
习题 7.5
1. 2 x + 8 y - 12 z + 41 = 0. 2. x2 + y2 = a2 .
3. ( x + 1)2 + ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 16.
4. 球心坐标(2,1, - 1),半径 R = 5.
5. y2 + z2 = 5 x.
6. 4 x2 + 9 y2 + 4 z2 = 36.
7. �(1) 由曲线x2
3+
y2
4= 10,
z = 0
绕 y 轴旋转而成;
(2) 由曲线x2 -
y2
4= 2,
z = 0
绕 y 轴旋转而成;
(3) 由曲线x2- y
2= 1,
z = 0绕 x 轴旋转而成;
(4) 由曲线(z - a)2 = x2 ,
y = 0绕 z 轴旋转而成.
8. (1) 母线平行于 z轴的椭圆柱面;
(2) 母线平行于 z轴的双曲柱面;
(3) 母线平行于 y轴的抛物柱面;
(4) 母线平行于 x 轴的椭圆柱面.
9. 3 y2 - z2 = 16.
习题 7.6
1. 2( x - 7) - 4( y - 2) + 3( z + 1) = 0 或 2 x - 4 y + 3 z - 3 = 0.
·383·
2. �(1) x - y - 3 z - 4 = 0; �(2) x + 2 z - 5 = 0;
(3) 3 x + 3 y + z - 8 = 0; (4) 5 x - 3 y - 7 z = 0;
(5) y - z + 2 = 0.
3. 截距式方程: -x9
-y6
+z18
= 1;在 x 轴上的截距为 - 9,在 y 轴上的截距为 - 6,在 z 轴上的截距为 18.
4. (1) 平行于 Oxz 面; (2) 过原点; (3) 平行于 z轴; (4) 平行于 x 轴且过原点.
5. (1) x + 3y = 0; (2) 7 y + z - 5 = 0; (3) z + 5 = 0; (4) 3 x + 2 z - 5 = 0.
6. (1)π3; (2)
π2.
习题 7.7
1. �(1)x - 2- 3
=y + 1- 2
=z + 31
; �(2)x - 30
=y - 40
=z + 21
;
(3)x - 10
=y - 2- 2
=z - 31
; (4)x3
=y- 1
=z2.
2. �(1)x - 42
=y - 613
=z - 48
; (2)x - 22
=y1
=z - 41
;
(3)x - 12
=y - 13
=z + 1- 3
.
3. �(1) x = - 5 t + 2, y = t - 1, z = 5 t - 3; (2) x = 2 t + 6, y = 2, z = 5 t - 1.
4.x - 13
=y - 1- 1
=z - 11
. 5. 8 x - 9 y - 22 z - 59 = 0.
6. (1) arccos2 227
; (2)π2. 8. n = 4.
习题 7.8
1. 椭球面; 2. 球面; 3. 锥面; 4. 锥面; 5. 椭圆抛物面. �
复 习 题 七
一、(1) D; (2) B; (3) B; (4) A ; (5) C; (6) A ; (7) D; (8) C; (9) D.
二、(1) - 5; (2) 3i- 8j - 9 k; (3) 10; (4)x - 12
=y + 11
=z - 2- 3
; (5) 3( x - 1) + 2( y - 2) + ( z - 3) = 0.
三、1. - 312; 2.π3; 3. 2 x + y - z = 0; 4. 是球面方程、球心(1, - 3,2);半径为 5.
5. (1) 可以认定其是以 z轴为旋转轴,母线为z = 4 x2
y = 0;也可以认定是以 z轴为旋转轴,母线为
z = 4 y2 ,
x = 0.
(2) 可以认定其是以 x 轴为旋转轴;母线为x2 -
y2
3= 1,
z = 0;
也可以认定其是以 x 轴为旋转轴,母线为
x2-
z2
3= 1,
y = 0.
·483·
�
第 八 章
习题 8.1
1. F(1,3) = 5, F( s,1) =s - 22s - 1
. +2. ψ(0,1) = 1, ψ(2,3) =15.
3. f( tx, ty) = t2 f( x, y). 4. f( - x, - y) = 2 x2 + y2 .
5. f( x - y, x + y) = ( x2- y
2)2 x. 7. f( x, y) = x
2 1 - y1 + y
.
8. �(1) x - y≠0,即平面 Oxy 上除直线 y = x 外的其余部分.
(2) x > 0, y > 0, z > 0,即空间 Oxyz 中第一卦限内部(不包含坐标平面).
(3) xy > 0,即平面 Oxy 上的第Ⅰ,Ⅲ象限内部(不包含坐标轴).
(4)x2
a2+y2
b2≤1,即 Oxy 平面上椭圆
x2
a2+
y2
b2= 1 的边界及其内部.
(5)x2 + y2 ≤4,
y2+ 1 > 2 x.
(6) r2 < x2 + y2 + z2≤ R2 ,即中心在原点,半径为 r和 R 的二同心球面之间的部分(包含大球面,不包
含小球面).
9. �(1) 在 Oxy 面上连续.
(2) xy≥0,即在平面的Ⅰ、Ⅲ象限(包含坐标轴)上连续.
10. (1) (0,0), (2) y2= 2 x.
习题 8.2
1. �(1)�z�x
= 2 xln( x2 + y2 ) +2 x3
x2+ y
2 , ��z�y
=2 x2 yx2+ y
2 .
(2)�u�x
= yexy , �u�y
= xe xy .
(3)�z�x
= y +1y,
�z�y
= x -xy2
.
(4)�z�x
= -y
x2 + y2,
�z�y
=x
x2 + y2.
(5)�z�x
=y( y2 - x2 )( x
2+ y
2)2 ,
�z�y
=x( x2 - y2 )( x
2+ y
2)2 .
(6) n�z�x
= y2 (1 + xy) y - 1 ,
�z�y
= (1 + xy) y ln(1 + xy) +xy
1 + xy.
2. fx (1,0) = 1. fy(1,0) =12.
3.�2 z�x
2(0,
π2 )
= 2, �2 z�x�y (0,
π2 )
= - 1, �2 z�y
2(0,
π2 )
= 0.
·583·
6. �(1) n�
2u
�x2=
y2- x
2
( x2 + y2 )2,
�2u
�x�y= -
2 xy( x2 + y2 )2
,�
2u
�y�x= -
2 xy( x2 + y2)2
,
�2u
�y2=
x2- y
2
( x2 + y2 )2 .
(2) nfxx = (2 - y)cos ( x + y) - xsin( x + y),
fyy = ( - 2 - x)sin( x + y) - ycos( x + y),
fxy = (1 - y)cos( x + y) - (1 + x)sin( x + y) = fyx .
(3) n�2 z�x2
= 2 a2cos2( ax + by),
�2 z�y2
= 2 b2cos2( ax + by),
�2 z�x�y
= 2 abcos2( ax + by) =�2 z�y�x
.
(4) n�
2z
�x2=
2 xy( x2 + y2 )2 ,
�2z
�y2=
- 2 xy( x2 + y2 )2
, �
2z
�x�y=
y2- x
2
( x2 + y2 )2=�
2z
�y�z.
习题 8.3
1. �(1) d z =y2 d x - xyd y( x2 + y2 )3�/2 .
(2) d z = yxy - 1
d x + xyln xd y.
(3) d z = exy( yd x + xd y).
(4) d z = [sin( x2 + y2 ) + 2 x2 cos( x2 + y2 )]d x + 2 xycos( x2 + y2 )d y.
(5) d z = ( y +1y)d x + ( x -
xy2 )d y.
(6) d z = ex2+ y
2
xy 2 x +x4- y
4
x2 yd x + 2 y +
y4- x
4
xy2d y .
2. - 0.2. 3. Δz = 15.17,d z = 14.8.
4. d u = - yzcsc2( xy)d x - xzcsc
2( xy)d y + cot( xy)d z.
习题 8.4
1.d udt
= ex - 2 y (cos t - 6 t2 ) = esin t - 2t3
(cos t - 6 t2 ).
2.d zd x
= ay(1 + ln a) = a
ln x(1 + ln a).
3.�z�x
= 3 x2sin ycos y(cos y - sin y).
4.�z�x
=2e
2( x + y)+ ycos x
e2( x + y) + ysin x,
�z�y
=2e
2( x + y)+ sin x
e2( x + y) + ysin x.
6.�z�x
= 3 y(1 + 3 x)2 y - 1 , y�z�y
= 2(1 + 3 x)2 yln(1 + 3 x).
7.�z�x
=1
1 - xy2·
y2 x
,�z�y
=x
1 - xy2.
8. d z = [e- xy - xye - xy + ycos( xy)]d x + [ - x2 e - xy + xcos( xy)]d y.
9. �(1) 设 s= x2 - y2 , t = e xy ,则�u�x
= 2 xfs + ye xy ft, �u�y
= - 2 yfs + xe xy ft .
·683·
(2) 设 s=xy, t =
yz,则
�u�x
=1yfs ,
�u�y
= -xy2
fs +1zft,
�u�z
= -yz2
ft.
(3) n设 s= xy, t = xyz,则�u�x
= fx + yfs + yzft, �u�y
= xfs + xzft , �u�z
= xyft .
(4) 设 u = x2 + y2 ,则�z�x
= 2 xd zd u
, �z�y
= 2 yd zd u
.
(5) 设 s= xy, t =xy,则
�z�x
= y�z�s
+1y�z�t
, �z�y
= x�z�s
-xy2�z�t
.
12. d z =d zd u
y -yx2 d x +
d zd u
x +1x
d y.
15. �设 s= xy, t =xy,则 d z = y
�z�s
+1y�z�x
d x + x�z�s
+ -xy2
�z�x
d y.
习题 8.5
1.d yd x
=y2 - ex
cos y - 2 xy. 2.
�z�x
=2 - xz + 1
, �z�y
=2 yz + 1
.
3.�z�x
=yz
ez - xy,
�z�y
=xz
ez - xy.
5.�z�x
= - 1 +Fx + F u
Fv,其中 u = x + y, v = x + y + z.
习题 8.6
1. �(1) (0,0),极小值点. (2) 驻点在直线 x - y + 1 = 0 上,无极值.
(3) 驻点(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).(0,0)为极大值点,(2,2)为极小值点.
2. 极大值 f(2, - 2) = 8. 3. 极小值 f12, - 1 = -
e2.
4. 极小值 f(3,3) = 0. 5. 极大值 z12,12
=14.
6. x = y = z =a3. 7. M 0
34,2, -
34
.
8. 长 x =32 V ,宽 y =
32 V ,高 z =
12
32 V . �
复 习 题 八
一、1. D; 2. D; 3. C; 4. D; 5. B.
二、1. 2 xyex2y ; 2. - 1; 3. - y
�z�x
+ x�z�y
; 4.z - 4 y6 z - y
; 5. - sin 2 t + 3 t2 cos t3 .
三、1.Δz =Δx - 2 yΔy - (Δy)2 . 2. f( x) = 1 + x2 .
3. �(1)�z�x
=x
x2 + y2,
�z�y
=y
x2 + y2.
(2)�u�x
=zyx
yz- 1 ,
�u�y
=1zx
yz ln x,
�u�z
= xyz ln x -
yz2
.
·783·
4. fx (1,1) =13
32, fy (1,2) =
415
35.
6.�2 u�x2 +
�2 u�y2
=1
( x2 + y2 )3.
7. d u = eax + by + cz ( ad x + bd y + cd z).
8.�z�x
=2 y
2
x2 (2 x - 3 y)-2 y
2
x3ln(3 y - 2 x),
�z�y
=3 y
2
x2 (3 y - 2 x)+2 yx2ln(3 y - 2 x).
9. ��z�x
=| y|
y y2 - x2,
�z�y
=- x| y|
y2 y2 - x2, d z =
| y|
y y2 - x2d x -
xyd y .
10.�z�x
=2 x
x2 - y2·�z�u
+ y2·�z�v
, �z�y
=2 y
y2 - x2·�f�u
+ 2 xy·�f�v
.
11.d zdt
= esin t - 2 t
3
·(cos t - 6 t2) -
1t2.
12.�z�x
=�f�x
+1y�f�u
, �z�y
= -xy2·�f�u
(设 u =xy).
14.�z�x
= -c2 xa2z,
�z�y
= -c2 yb2z.
15.�z�x
=z
x + z,
�z�y
=z2
y( x + z).
16. 极小值:3( ab - a2- b
2). �
第 九 章
习题 9.2
1.�D
f( x, y)dσ �=∫2
1d x∫
3 x -2
xf( x, y)d y +∫
3
2d x∫
- x +6
xf( x, y)d y
=∫3
1d y∫
y
y+ 23
f( x, y)d x +∫4
3d y∫
- y+ 6
y+ 23
f( x, y)d x.
2.�D
f( x, y)d xd y =∫π4
0dθ∫
2cos θ
2�/(sinθ+ cosθ)rf( rcos θ,rsin θ)d r.
3.18. 4. 0.
5.23πa3 . 6.π(1 - e - a
2
).
7.πa3.
8.π(10ln 10 - 2ln 2 - 8).
9. (1)∫π2
0d x∫
x
2 x2
π
sin xx
d y ; (2) 1 -2π
.
习题 9.3
1. (1) e -32; (2)
14
e2 -53
. 2.16
abc; 3.13; 4.
π3.
·883·
�
复 习 题 九
一、1. A; 2. B; 3. D; 4. C; 5. C.
二、1.14; 2. 2; 3. (1 - x) f( x); 4. [ y,1]; 5.
π2,π .
三、1. 2π; 2.34; 3. - 2; 4. 2(ln 2 - 1)ln 2; 5.
14(π- 2); 6. e
2- 3; 7.
94; 8.
π2
-23.
9. �(1)∫1
0d x∫
x
x2 f( x, y)d y; (2)∫
1
0d y∫
e
ey f( x, y)d x;
(3)∫2
0d y∫
y
y�/2f( x, y)d x +∫
4
2d y∫
2
y�/2f( x, y)d x;
(4)∫1
0d y∫
2 - y
yf( x, y)d x; (5)∫
1
0d y∫
2 - y
yf( x, y)d x.
10. �(1)∫1
-1d x∫
1 - x2
0f( x, y)d y =∫
π
0dθ∫
1
0rf( rcosθ, rsin θ)d r;
(2) �∫a
0d y∫
a
a- a2- y
2 f( x, y)d x
=∫π�/4
0dθ∫
acosθ
0rf( rcosθ,rsinθ)d r +∫
π�/2
π�/4dθ∫
2 acosθ
0rf( rcosθ,rsinθ)d r;
(3)∫π�/2
π�/4dθ∫
2cosθ
0rf( rcos θ, rsin θ)d r =∫
1
0d y∫
y
1 - 1 - y2 f( x, y)d x;
(4) �∫1
0d x∫
x
0f( x, y)d y +∫
2
1d x∫
2 - x
0f( x, y)d y =∫
π�/4
0dθ∫
2�/(cosθ+sin θ)
0rf( rcosθ,rsin θ)d r.
11. cπR2 ; 12. 2π; 13.3π
2
64; 14.
12(e - 1)2 ; 15.
76; 16.
π2; 17.
π2; 18.
654π. �
第 十 章
习题 10.1
1. B. 2. B. J
3. (1) 发散. (2) 收敛. (3) 发散.
4. (1) 收敛. (2) 收敛. (3) 收敛.
5. (1) 0.92 + (0.92)2+ (0.92)
3+ ⋯ + (0.92)
n+ ⋯(单位:百万元). (2) 11.5.
习题 10.2
1. B, D.
2. �(1) limn→∞
un =13≠0.原级数发散.
(2) 利用比较判别法.原级数发散.
(3) un =1
n2 + 1.利用比较判别法.原级数收敛.
(4) 利用比值判别法.原级数收敛.
·983·
(5) 利用比值判别法.原级数收敛.
(6) 利用比值判别法.原级数收敛.
(7) un =n !
( n + 1)( n + 2)⋯(2 n).利用比值判别法.原级数收敛.
(8) 利用比较判别法.原级数收敛.
(9) 利用比较判别法.原级数收敛.
(10) 利用比较判别法.原级数发散.
(11) 利用比较判别法.原级数发散.
(12) 利用比较判别法.原级数收敛.
习题 10.3
1. B.
2. �(1) 条件收敛. �(2) 条件收敛.
(3) 绝对收敛. (4) 条件收敛.
(5) 发散. (6) 条件收敛.
习题 10.4
1. �(1) R = 0.级数仅在 x = 0 处收敛.
(2) R = + ∞.收敛区间为( - ∞, + ∞).
(3) R = 1.收敛区间( - 1,1)(端点处收敛性没讨论.事实上,如果考虑端点处收敛性.可得[ - 1,1]).
(4) R = 1.收敛区间( - 1,1)(端点处收敛性没讨论).
(5) 收敛半径 R = 1.收敛区间( - 2,0).
(6) 收敛半径 R = 1.收敛区间为( - 1,1).
习题 10.5
1. �(1) e- x2
= ∑∞
n = 0
(- 1)nx2 n
n ! ( - ∞ < x < + ∞).
(2)12(ex - e- x) = x +
x3
3 !+
x5
5 !+ ⋯ +
x2 n - 1
(2 n - 1) !+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞).
(3)1
2 + x= ∑
∞
n = 0
( - 1) n xn
2 n+ 1 ( - 2 < x < 2).
(4)1
(1 - x)2 =1
1 - x′= ∑
∞
n = 0
( n + 1) xn
(- 1 < x < 1).
(5) arctan x �=∫x
0
11 + x
2 d x =∫x
0 ∑∞
n = 0
( - 1) n x2 n d x
= ∑∞
n = 0
( - 1)nx2 n+ 1
(2 n + 1) ( - 1 < x < 1).
(6) n1
1 - 3 x + 2 x2 =1
(1 - x)(1 - 2 x)= -
11 - x
+2
1 - 2 x
·093·
= 1 + (22- 1) x + (2
3- 1) x
2+ ⋯ + (2
n + 1- 1) x
u+ ⋯ ( - ∞ < x < + ∞).
2. �(1) ln x = ∑∞
n = 1
( - 1) n- 1 ( x - 1) n
n (0 < x < 2).
(2)1x
= ∑∞
n = 0
( - 1) n ( x - 1) n (0 < x < 2).
(3) nsin x =1
21 + x -
π4
-12 !
x -π4
2
-13 !
x -π4
3
+14 !
x -π4
4
+15 !
x -π4
5
- ⋯
( - ∞ < x < + ∞).
习题 10.6
1. �(1) 2 x2 =23π2 + 8∑
∞
n = 1
( - 1)n
n2cos nx ( -π≤ x≤π).
(2) x = 2(sin x -12sin 2 x +
13sin 3 x - ⋯) ( -π< x <π).
(3) f( x) =π2
-4π
cos x +132 cos 3 x +
152 cos 5 x + ⋯ ( -π≤ x≤π).
2. �(1) 2 x2
=4π∑
∞
n = 1
- 2n3 + ( - 1) n 2
n3 -π
2
n sin x (0 ≤ x < π).
(2)π- x
2= ∑
∞
n = 1
1nsin nx (0 < x ≤π).
3. �(1) 2 x + 3 = π+ 3 -8π∑
∞
n = 0
cos (2 n + 1) x(2 n + 1)
2 (0 ≤ x ≤π) ,
(2) f( x) =8 hπ2 ∑
∞
n = 1
( - 1) n -1
(2 n - 1)2sin (2 n - 1) x (0 ≤ x ≤π). �
复 习 题 十
一、1. A; 2. B; 3. C; 4. C; 5. A .
二、1. 0; 2. ( - ∞, + ∞); 3. ( - 2,4); 4. ( - 2, 2); 5. 3.
三、 �1. (1) 发散; (2) 发散; (3) limn→∞
un≠0,所给级数发散; (4) 收敛.
2. (1) 条件收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 绝对收敛.
3. (1) R = 1.收敛区间( - 1,1); (2) R = + ∞.收敛区间( - ∞, + ∞).
4. (1)1
2 + x - x2 �=1
(2 - x)(1 + x)=
13
12 - x
+1
1 + x
=13 ∑
∞
n = 0
12 n + 1 + ( - 1) n xn ( - 1 < x < 1);
(2) lnx
1 + xo= ln x - ln(1 + x) = ln[1 + ( x - 1)] - ln 2 1 +
x - 12
= - ln 2 + ∑∞
n = 1
( - 1) n+ 1
n1 -
12 n ( x - 1) n (0 < x < 2).
·193·
�
第 十 一 章
习题 11.1
1. �(1) 是,二阶; (2) 不是; (3) 是,一阶; (4) 是,一阶.
2. (1) 是通解; (2) 是特解; (3) 不是解; (4) 是通解.
3. y = (1 - 2 x)e2 x . 4. y = x2 + x. 5. s = v0 t -12
gt2 .
习题 11.2
1. �(1) y = -1
x2 + C; �(2) y = ln
12e2 x + C ;
(3) 1 + y2= C(1 - x
2); (4) tan x·cot y = C.
2. (1) arcsin y - arcsin x =π2; (2) y = arccos 2
2cos x ;
(3) y2 = 2ln (1 + ex ) + (1 - 2ln2).
习题 11.3
1. �(1) y = e- 3 x
(ex+ C); J(2) y = Cx + x
2 x2
+ 1 ;
(3) y =sin x + Cx2- 1
; (4) y = ( x + C)e - sin x ;
(5) y = ( x3+ C)ln x; (6) x = Ce
y2 + y + 2.
2. y =1x(π- 1 - cos x).
习题 11.4
1. x2 + y2 = 25. 2. (1) T = 30 + 1120e- 0.014t , (2) 大约 t≤31.56(s).
3. v =k1k2
t -m k1k22
1 - e -k2m t . 4. R = R 0 e
- 0.433×10- 3
t(时间 t以年为单位).
5. x =ab
+ x0 -ab
e- bt
.
习题 11.5
1. �(1) y = xarctan x - ln 1 + x2 + C1 x + C2 ;
(2) y =112
x4 + sin x + C1 x2 + C2 x + C3 ;
·293·
(3) y = - ln|cos( x + C1 )| + C2 ; (4) y = ( x - 1)ex+ C1 x
2+ C2 .
2. �(1) y =16
x3ln x -1136
( x3 - 1); (2) y = -1aln| ax + 1|.
习题 11.6
1. (1)(3)(5)线性无关; (2)(4)(6)线性相关.
2. �(1) y = C1 ex + C2 e
- 2 x ; �(2) y = C1 + C 2 e- 3 x ;
(3) y = ( C 1 + C2 x)e5 x; (4) y = e
- 3 x( C1 cos 2 x + C2 sin 2 x);
(5) s = C1 cos ωt+ C2 sin ωt; (6) x = ( C 1 + C2 t)e52t.
3. �(1) y = 4ex + 2e3 x ; �(2) y = (2 + x)e-x2 ; (3) y = e2 xsin 3 x.
习题 11.7
1. �(1) y = C1 e- x + C2 e
3 x - x +13;
(2) y = C1 e- x
+ C2 e- 2 x
+32
x( x - 2)e- x
;
(3) y = ( C 1 + C2 x)e3 x +x2
6( x + 3)e3 x ;
(4) y = C1 + C2 e- 3 x +
15(cos x + 2sin x);
(5) y = ex ( C1 cos 2 x + C2 sin 2 x) +417
cos 2 x +117
sin 2 x;
(6) y = C1 cos x + C2 sin x + x2- 2 +
12
xsin x.
2. �(1) y = - 5ex +72e2 x +
52;
(2) y = ( x2 - x + 1)ex - e - x ;
(3) y =π4cos x + sin x -
12
xcos x.
习题 11.8
1. (1) 20(s); (2) 160 ( m ); (3) 无危险. J
2. y =x3
6+
x2
+ 1. 3. x =14
v0 (1 - e- 4 t)et.
* 4. x =m gk
t -m
2g
k21 - e-
km t .
5. 取弹簧的右端点为原点 O, O x 轴向右为正,则 x = lcoscmt.
·393·
�
复 习 题 十一
一、 �1. B; 2. B; 3. C; 4. A; 5. B; 6. C; 7. C; 8. B; 9. D; 10. C; 11. B; 12. C; 13. C.
二、 �1. 变量可分离,y = C x.
2. 一阶线性非齐次,y = x( - cos x + C).
3. y = Ce- x2
. 4.y2
2= ln| x| -
x2
2+ C.
5. y = C1 cos 2 x + C2sin 2 x. 6. y = C 1 e- 2 x
+ C2 ex.
7. y = ( C1 + C2 x)e- 3 x .
8. y = e- 2 x ( C1 cos x + C2 sin x).
9. y = 3 1 -1x
. �10. x( ax2 + bx + c).
11. x2( ax + b)e
- 2 x. 12. acos x + bsin x.
三、1. o(1) x(1 + y2 )ex2
2 = C; #(2) y = x(ln| x| + C);
(3) x = Cey+ y
2+ 2 y + 2; (4) y = C( x + 1)
2+ 2( x + 1)
52 ;
(5) y = e x( C1 cos x + C2 sin x); (6) y = C 1 e-
x3 + C2 e
x3 ;
(7) y = ( C1 + C2 x)e2 x
+32
x2e2 x; (8) y = C 1 + C2 e
- 52
x- 2cos x + 5sin x.
2. �(1) y = 2arctanπ2 x
- x; (2) y = xsec x; (3) y =13(2 x - 1)
32 -
13;
(4) y = e - 2 x + 3ex ; (5) y = - cos x -13sin x +
13sin 2 x.
3. y = 2ex- e
- x.
4. s = v0 t -12
kt2,物体能滑的距离为
v20
2 k.
5. vt= 15
= 4( m�/min). 6. t = 30 ( min). 7. y =12
1 - x2 .
8. v = -m gk
+m gk
+ v0 e-kmt , t =
mkln 1 +
kv0m g
.
·493·
附录一 本书中出现的数学家简介
笛卡儿(Descartes,Rene)
笛卡儿是法国数学家、哲学家、物理学家、生理学家.1596 年 3 月 31 日生于图伦省拉埃(今
称拉埃 - 笛卡儿);1650 年 2 月 11 日卒于瑞典斯德哥尔摩.
笛卡儿生于一个富有的律师家庭,年仅 1 岁母亲就去世了.他自幼体
弱多病,患有慢性气管炎,被允许早晨在床上读书,养成了宁静好思的习
惯,他对周围的世界充满了好奇心,因此其父说他是“小哲学家”.1612 年
从法国最好的学校之一———拉费里舍的耶稣会学校毕业,同年去普瓦捷大
学攻读法学,1616 年获该校博士学位.取得学位之后,他就暗下决心:今后
不再仅限于书本里求知识,更要向“世界这本大书”求教,以“获得经验”,而
且要靠理性的探索来区别真理和谬误.
此后,他背离家庭的传统职业,开始探索人生之路.自 1618 年起,先在
军队里当过几年兵,离开军队之后便到德国、丹麦、荷兰、瑞士、意大利等国游历,所见所闻丰富了
他的见识,更重要的是对当时科学的最新成果增强了了解.1628 年定居荷兰,在那里生活了 20
年,写出了哲学、数学和自然科学一系列著作.
笛卡儿是欧洲近代哲学的主要开拓者之一.他主张抛弃中世纪以来的神学世界观,声称一切
知识只有经过合理的鉴定,才能得到逻辑上的承认.他先后出版了《形而上学的沉思》和《哲学原
理》两本名著,前者是关于物理学的主要基础,后者主要是阐述他在物理学和生物学方面的研究
成果.由于其观点触犯了经院哲学和教会的教义,因而受到教会的迫害,这些著作也被列为当时
的禁书.然而他的哲学思想受到很多人的推崇,黑格尔( Hegel)称他是“现代哲学之父”.他是将哲
学思想从传统的经院哲学束缚中解放出来的第一个人,是惟理论的创始人.“我思故我在”是笛卡
儿举起的唯理主义大旗的核心,他号召人们用“怀疑”的手段代替盲从和迷信,人们只有依靠理性
才能获得真理.
笛卡儿对数学的最大贡献是创立了解析几何学.他认为数学比其他科学更符合理性的要求.
他是以下列三种身份的结合来研究数学的,作为哲学家、作为自然界的探索者、作为一个关心科
学用途的人.他的基本思想是要建立起一种普遍的数学,使算术、代数和几何统一起来.他曾说:
“我决心放弃那种仅仅是抽象的几何,这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练习思维的问题.我
这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何.”为此他写了《几何学》.他的
《几何学》是作为 1637 年他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书中第三个附录出
现的(一本书的附录比书的正文更重要、更有名,在科学史中是不多见的,另一个例子是两个世纪
·593·
后波尔约(Bolyai)的一个关于非欧几何的附录),其他两个附录是《折光》和《大气现象》.笛卡儿在
《几何学》所阐发的思想,被弥尔( Mill)称做“精密科学进步中最伟大的一步.”
笛卡儿的理论以两个观念为基础:坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数
方程看成平面上的一条曲线.他的《几何学》共分三个部分:第一部分包括对一些代数式作几何的
原则解释,在这一部分中,笛卡儿把几何算术化了;第二部分讨论了曲线的分类法以及作曲线的
切线的方法;第三部分涉及高于二次方程的解法,指出了,方程可能有和它的次数一样多的根,还
提出了著名的笛卡儿符号法则.在他的《几何学》中第一次出现变量与函数的思想,不过没有使用
这两个术语.笛卡儿所谓的变量,是指具有变化长度而不变方向的线段,还指连续经过坐标轴上
所有点的数字变量,正是变量的这两种形式使笛卡儿试图创造一种几何与代数互相渗透的科学.
笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形”与“数”统一起来,并在数学中引入“变量”,完成了数
学史上一项划时代的变革.对此恩格斯给予了极高的评价:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有
了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必
要的了.”
应该指出,笛卡儿的坐标系是不完备的,他未曾引入第二条坐标轴,即 y 轴,y 轴是由 18 世
纪的瑞士数学家克拉默(Cramer)在他的著作《代数曲线分析引论》中引入的.另外笛卡儿也没有
考虑横坐标的负值.
笛卡儿对韦达所采用的符号作了改进,他用字母表中开头几个字母 a, b, c 等表示已知数,
而用末尾几个字母 x, y, z 等表示未知数,这种表示法一直沿用至今.笛卡儿还最先得出凸多面
体顶点数 V、边数 E 和面数 F 之间存在的关系: V - E + F = 2.他又是最先讨论所谓笛卡儿叶形
线的.在他的通信中发现,他还考虑过高次抛物线( yn= px, n > 2),并且给出了作摆线切线的相
当精巧的方法.
笛卡儿孜孜不倦、勤于思考,他不喜欢读带有详细解释的科学论著.他读书的方法是把书拿
来后,先弄清作者的主要意图,他只读完开头部分,而那些应由作者得出的结论,他总是力求自己
得出.他认为这种方法是值得所有读者效仿的,为此他自己的著作总是阐述得很简洁.例如,他在
《几何学》开头部分的某一页上写道:“我不准备比较详细地叙述,因为那样会使你们失去独立分
析的愉快,会使你们的头脑失去在进行这种练习时所得到的好处.这种好处,依我看,是能从这门
科学中吸取到的主要的好处.”
笛卡儿认为科学的本质是数学.他说:“我尤其对数学推理的确实性与明了性感到高兴.”他
强调科学的目的在于“造福人类”,使人成为自然界的“主人和统治者”.
笛卡儿终生未娶.瑞典女王克里斯蒂娜( Christina)为了有哲学家的侍奉以光耀她的宫廷,
1649 年邀请笛卡儿为她讲授哲学,女王要求每周三天早晨五点钟为她上课.在瑞典的冬季寒冷
的早晨,每周三次乘马车去王宫,对于肺部不太健康且有晚起习惯的笛卡儿来说简直太不适应
了,这个冬天还未过去,他就不幸死于肺炎.在教会控制下的学术界,对笛卡儿的逝世十分冷淡,
只有几个友人为他送葬.随着笛卡儿的数学和哲学思想影响的扩大,法国政府在笛卡儿去世后
18 年,才将其骨灰运回安葬在巴黎名人公墓.在评论笛卡儿的骨灰回归他的故土法国时,德国数
学家雅可比幽默地说:“占有伟人的骨灰,通常比他们活着的时候占有他们本人更方便.”1799 年
又将其骨灰厝置于历史博物馆.1819 年移入圣日耳曼圣心堂中,其墓碑上刻着:“笛卡儿,欧洲文
艺复兴以来,第一个为争取并保证理性权利的人.”
·693·
笛卡儿有一句名言:“天下之理,非见之极明,勿遽下断语.”他还强调:“没有正确的方法,即
使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目探索.”
费马(Ferm at,Pierre de)
费马是法国数学家.1601 年 8 月 20 日(另一说 17 日)生于图卢斯附近的波蒙特;1665 年 1
月 12 日卒于卡斯特尔.
费马出生于皮革商人家庭,他在家乡上完中学后,考入了图卢斯大学,
1631 年获奥尔良大学民法学士学位,毕业后任律师,并担任过图卢斯议会
议员.虽然数学只是他的业余爱好,但他对解析几何、微积分、数论、概率论
都作出了杰出的贡献,被誉为“业余数学家之王”.
费马是解析几何的两个发明者之一.在笛卡儿的《几何学》发表之前,
他在 1629 年就已发现了解析几何的基本原理.他考虑任意曲线和它上面
的一般点 M (见图 1): M 的位置用 A, E 两个字母定出: A 是从点 O 沿底
线到点 Z 的距离, E 是从 Z 到 M 的距离.他所用的是倾斜坐标,但 y轴没
有出现,而且不用负数,他的 A, E 相当于现在用的 x, y.费马叙述了他的一般原理:“只要在最后
的方程里出现了两个未知量,我们就得到一条轨迹,这两个量之一,其末端就绘出一条直线或曲
线”.图中对于不同位置的 E,其末端 M , M 1 , M 2 ⋯⋯就把“线”描出.费马采用韦达的代数符号
给出了直线和圆锥曲线的方程.他还领会到坐标轴可以平移或旋转,并给出一些较复杂的二次方
图 1
程及其化简后的形式.他肯定:一个联系 A 和 E 的方程,如果是
一次的就代表直线,如果是二次的就代表圆锥曲线.他还提出了
许多以代数方程定义的新曲线,例如,曲线 xmyn= a, y
n= ax
m
和rn= aθ,现在仍被称作费马双曲线、抛物线和螺线.费马在
1643 年又谈到了空间解析几何,他谈到柱面、椭圆抛物面、双叶
双曲面和椭球面.他在 1650 年的一篇文章中指出,含有三个未知
量的方程表示一个曲面.
费马是微积分学的杰出先驱者.他在 1629 年就获得了求函数极值的法则,他的法则可用现
在的记号表示如下:欲求 f( x)(费马先取个别整有理函数)的极值,先把表达式f( x + h) - f( x)
h
按 h 的乘幂展开,并弃去含 h 的各项,再令所得的结果为零,这时方程的根就可能使 f( x)在这
一点上有极值.他还应用类似的方法求出平面曲线 y = f( x)的切线,实际上他是写出了所谓次
切线的表达式f( x) h
f( x + h) - f( x),约掉 h 后再弃去含 h 的各项.费马在这两个问题中的计算,都用
到了相当于求极限limh→ 0
f( x + h) - f( x)h
的式子.他的求极值的法则给出了(可微函数的)有极值
的必要条件 f′( x) = 0,而所谓次切线的求法导致求表达式f( x)f′( x)
的结果.他还用类似的方法求
出了抛物体截段的重心,这有别于用求积方法求得的重心,在微积分史上是独特的.他还有区分
·793·
极大和极小的准则,并有求拐点的方法.费马在讨论抛物线 y = xn( n 为正整数)下的面积时,以
等距离的纵坐标把面积分成窄长条,算出了相当于 xn的积分.后来他在横坐标做成几何级数的
那些点上引出纵坐标而把他的结果推广到 n 为分数与负数的情形,同时那些近似于 yd x 的长条
面积组成容易求和的几何级数,其结果当 n > 0 时,相当于∫a
0x
nd x 的计算,当 n < - 1, a > 0 时,
相当于今天的广义积分∫a
0xnd x 的计算.他还得出了求半立方抛物线长度的方法,他用这种方法
处理了许多几何问题,例如,求球的内接圆锥的最大体积、球的内接圆柱的最大表面积等.费马这
些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响,正如牛顿所说:“我从费马的切线作法中得到了
这个方法的启示,我推广了它,把它直接地并且反过来应用于抽象的方程.”
费马被誉为近代数论之父.他对数论的研究是从阅读丢番图的著作《算术》一书开始的,他对
数论的大部分贡献都批注在这本书页的边缘或空白处,有些则是通过给朋友的信件传播出去的.
例如,费马在丢番图著的《算术》第二卷第八命题———“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写
道:“相反,要将一个立方数分为两个立方数、一个四次幂分为两个四次幂,一般地将一个高于二
次幂分为两个同次幂,都是不可能的.关于此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里的空白处
太小写不下它.”这就是数学史上著名的费马大定理.这个定理可用现代的术语简述如下:
不可能有满足: xn+ y
n= z
n, xyz≠0, n > 2 的正整数 x, y, z, n 存在.
在数论这个领域中,费马具有非凡的直觉能力,他提出了数论方面的许多重要定理,但他对
这些定理只是略述大意,很少给出详细证明.对这些定理的补充证明曾强烈的吸引着 18 世纪和
19 世纪许多杰出的数学家,从而推动了 19 世纪数论的发展.“费马大定理”提出以来直至 1994
年三百多年,其间最优秀的数学家都未能给出一般性的证明.但在试图证明这个定理的过程中,
却创造出大量新颖的数学方法,引出了不少新的数学理论.所以希尔伯特( Hilbert)称它是“会下
金蛋的老母鸡.”直到 1994 年,“费马大定理”才被英国数学家怀尔斯( Wiles)给出了严格证明.
费马在 1654 年写的一批信件中,他还同帕斯卡共同建立了概率论的一些基本概念.
费马研究了几何光学,并在此基础上于 1657 年发现了光的最小时间原理及与光的折射现象
的关系,这是走向光学统一理论的最早一步.
费马性情谦抑,好静成癖.他对数学的许多研究成果都不愿发表.(他的儿子在他去世后,才
将其著作、信件、注记汇集成书出版.)这不但使他当时的成就无缘扬名于世,并在他的暮年也脱
离了数学研究的主流,所以直到 18 世纪费马还不太知名.然而进入 19 世纪中叶,随着数论的兴
起,数学家和数学史家对费马及其著作产生了浓厚的兴趣,争先发表研究费马的著作,其中尤以
查尔斯·亨利(Cherles Henry)和保罗·坦纳(Paul Tannery)的 4 卷论文集最为全面,从中可以看出
费马对数学和光学所作出的广泛而杰出的贡献.美国数学史家贝尔(Bell)说:“费马是一个第一
流的数学家,一个无可指摘的诚实人,一个历史上无与伦比的数论学家.”
牛顿(Newton,Isaac)
牛顿是英国数学家、物理学家、天文学家.1643 年 1 月 4 日(儒略历 1642 年 12 月 25 日)生于
·893·
英格兰林肯郡的伍尔索普;1727 年 3 月 31 日(儒略历 1727 年 3 月 20 日)卒于伦敦.
牛顿出身于农民家庭,幼年颇为不幸:他是一个遗腹子,又是早产儿,3
岁时母亲改嫁,把他留给了外祖父母,从小过着贫困孤苦的生活.他在条件
较差的地方学校接受了初等教育,中学时也没有显示出特殊的才华.1661
年考入剑桥大学三一学院,由于家庭经济困难,学习期间还要从事一些勤
杂劳动以减免学费.由于他学习勤奋,并有幸得到著名数学家巴罗教授的
指导,认真钻研了伽利略、开普勒、沃利斯、笛卡儿、巴罗等人的著作,还做
了不少实验,打下了坚实的基础,1665 年获学士学位.
1665 年,伦敦地区流行鼠疫,剑桥大学暂时关闭.牛顿回到伍尔索普,
在乡村幽居的两年中,终日思考各种问题、探索大自然的奥秘.他平生三大发明,微积分、万有引
力定律、光谱分析,都萌发于此,这时他年仅 23 岁.后来牛顿在追忆这段峥嵘的青春岁月时,深有
感触地说:“当年我正值发明创造能力最强的年华,比以后任何时期更专心致志于数学和科学.”
并说:“我的成功当归功于精力的思索.”“没有大胆的猜想就作不出伟大的发现.”1667 年,他回
到剑桥攻读硕士学位,在获得学位后,成为三一学院的教师,并协助巴罗编写讲义,撰写微积分和
光学论文.他的学术成就得到了巴罗的高度评价.例如,巴罗在 1669 年 7 月向皇家学会数学顾问
柯林斯(Collins)推荐牛顿的《运用无穷多项方程的分析学》时,称牛顿为“卓越的天才.”巴罗还坦
然宣称牛顿的学识已超过自己,并在 1669 年 10 月把“卢卡斯教授”的职位让给了牛顿,牛顿当时
年仅 26 岁.
牛顿发现微积分,首先得助于他的老师巴罗,巴罗关于“微分三角形”的深刻思想,给他极大
影响;另外费马作切线的方法和沃利斯的《无穷算术》也给了他很大启发.牛顿的微积分思想(流
数术)最早出现在他 1665 年 5 月 21 日写的一页文件中.他的微积分理论主要体现在下述三部论
著里.
《运用无穷多项方程的分析学》,在这一著作中他给出了求瞬时变化率的普遍方法,阐明了求
变化率和求面积是两个互逆问题,从而揭示了微分与积分的联系,即沿用至今的所谓微积分的基
本定理.当然,牛顿的论证在逻辑上是不够严密的.正如他所说:“与其说是精确的证明,不如说是
简短的说明.”他还应用这一方法得到许多曲线下的面积,并解决了一些能够表示成积分和式的
其他问题.在 1669 年牛顿将这本专论印成小册子给朋友,直到 1711 年才正式出版.
《流数术和无穷级数》,在这一论著中,牛顿对他的微积分理论作了更加广泛而深入的说明,
并在概念、计算技巧和应用各方面作了很大改进.例如,他改变了过去静止的观点,认为变量是由
点、线、面连续运动而产生的.他把变量叫做“流”,把变量的变化率叫做“流数”,并引进了高阶流
数的概念.他用更清晰准确的语言阐明了微积分的基本问题:一是,已知两个流 x 与 y 之间的关
系,求它们的流数之间的关系;二是,已知流数�x 与�y 之间的关系,求它们的流之间的关系,并指
出这是两个互逆问题.该书中,牛顿还把流数法用于隐函数的微分,求函数的极值,求曲线的切
线、长度、曲率和拐点,并给出了直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,附了一张积分简表.这部
著作完成于 1671 年,但却经历了半个多世纪直到 1736 年才正式出版.
《求曲边形的面积》,这是一篇研究可积分曲线的经典文献.这篇论文的一个主要目的是为澄
清一些遭到非议的基本概念.牛顿试图排除由“无穷小”而造成的混乱局面.为此他把流数定义为
“增量消逝”时获得的最终比和“初生增量”的最初比,尽管这种说法仍然是含糊其辞而有失严格,
·993·
但把求极限的思想方法作为微积分的基础在这里已初露端倪.这篇论文写成于 1676 年,发表于
1704 年.
牛顿上述三个论著是微积分发展史上的重要里程碑,也为近代数学甚至近代科学的产生与
发展开辟了新纪元.
牛顿的名著《自然哲学的数学原理》不仅首次以几何形式发表了流数术及其应用,更重要的
是它完成了对日心地动说的力学解释,把开普勒的行星运动规律、伽利略的运动论和惠更斯的振
动论等统一成为力学的三大定律.这部巨著 1687 年一问世,立刻被公认为人类智慧的最高结晶,
哈雷赞誉它是“无与伦比的论著”.出版后不胫而走,很快被抢购一空,有人买不到,就用手抄写.
这本书在社会上引起了强烈的反响,例如,过去许多人认为彗星是魔鬼的产物,它是预示将要发
生不祥事件的信号,《自然哲学的数学原理》出版之后,受过教育的人再也不相信这种鬼话了.
由于牛顿对科学作出了巨大贡献,因而受到了人们的崇敬:1688 年当选为国会议员,1689 年
被选为法国科学院院士,1703 年当选为英国皇家学会会长,1705 年被英国女王封为爵士.牛顿的
研究工作为近代自然科学奠定四个重要基础:他创建的微积分,为近代数学奠定了基础;他的光
谱分析,为近代光学奠定了基础;他发现的力学三大定律,为经典力学奠定了基础;他发现的万有
引力定律,为近代天文学奠定了基础.1701 年莱布尼茨说:“纵观有史以来的全部数学,牛顿做了
一半多的工作.”汤姆生(Thomson)说:“牛顿的发现对英国及人类的贡献超过所有英国国王.”
牛顿不但对科学作出了巨大贡献,而且很有自知之明,他临终时说:“我不知道世人对我怎样
看法,但是在我看来,我只不过像一个在海滨玩耍的孩子,偶尔很高兴地拾到几颗光滑美丽的石
子或贝壳,但那浩瀚无涯的真理的大海,却还在我的前面未曾被我发现.”他还说:“如果我之所见
比笛卡儿等人要远一点,那只是因为我是站在巨人肩上的缘故”.
牛顿终生未娶.他死后安葬在威斯敏斯特大教堂之内,与英国的英雄们安葬在一起.当时法
国大文豪伏尔泰正在英国访问,他看到英国的大人物们都争抬牛顿的灵柩时感叹地评论说:“英
国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王.”牛顿墓碑上拉丁语墓志铭的最后一句是:“他是人
类的真正骄傲,让我们为之欢呼吧 !”
莱布尼茨(Leibniz, Gottfried W ilhelm )
莱布尼茨是德国数学家、自然主义哲学家、自然科学家.1646 年 7 月 1 日生于莱比锡;1716
年 11 月 14 日卒于汉诺威.
莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的哲学教授,在莱布尼茨 6 岁时就去世
了,留给他十分丰富的藏书.莱布尼茨自幼聪敏好学,经常到父亲的书房里
阅读各种不同学科的书籍,中小学的基础课程主要是自学完成的.16 岁进
莱比锡大学学习法律,并钻研哲学,广泛地阅读了培根、开普勒、伽利略等
人的著作,并且对前人的著述进行深入的思考和评价.1663 年 5 月,他以
题目为《论个体原则方面的形而上学争论》的论文获得学士学位.1664 年 1
月,他又写出论文《论法学之艰难》又取得该校哲学学士学位.从 1665 年开
始,莱比锡大学审查他提交的博士论文《论身份》,但 1666 年以他年轻(20 岁)为由,不授予他博
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士学位.对此他气愤地离开了莱比锡前往纽伦堡的阿尔特多夫大学,1667 年 2 月阿尔特多夫大
学授予他法学博士学位,该校要聘他为教授,被他谢绝了.1672—1676 年,任外交官并到欧洲各
国游历,在此期间他结识了惠更斯等科学家,并在他们的影响下深入钻研了笛卡儿、帕斯卡、巴罗
等人的论著,并写下了很有见地的数学笔记.这些笔记显示出他的才智,从中可以看出莱布尼茨
深刻的理解力和超人的创造力.1676 年,他到德国西部的汉诺威,担任腓特烈公爵(Duke John
Frederick)的顾问及图书馆馆长近 40 年,这使他能利用空闲探讨自己喜爱的问题,撰写各种题材
的论文,其论文之多浩如烟海.莱布尼茨 1673 年被选为英国皇家学会会员,1682 年创办《博学文
摘》,1700 年被选为法国科学院院士,同年创建了柏林科学院,并担任第一任院长.
莱布尼茨把一切领域的知识作为自己追求的目标.他企图扬弃机械论的近世纪哲学与目的
论的中世纪哲学,调和新旧教派的纷争,并且为发展科学制定了世界科学院计划,还想建立通用
符号、通用语言,以便统一一切科学.莱布尼茨的研究涉及数学、哲学、法学、力学、光学、流体静力
学、气体学、海洋学、生物学、地质学、机械学、逻辑学、语言学、历史学、神学等 41 个范畴.他被誉
为“17 世纪的亚里士多德”,“德国的百科全书式的天才”.他终生努力寻求的是一种普遍的方法,
这种方法既是获得知识的方法,也是创造发明的方法.他最突出的成就是创建了微积分的方法.
莱布尼茨才气横溢.美国数学史家贝尔(Bell)说:“莱布尼茨具有在任何地点、任何时候、任
何条件下工作的能力,他不停地读着、写着、思考着.”他思如泉涌,有哲人的宏识.
莱布尼茨的微积分思想的最早记录,是出现在他 1675 年的数学笔记中.
莱布尼茨研究了巴罗的《几何讲义》之后,意识到微分与积分是互逆的关系,并得出了求曲线
的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)的比;而求面积则依赖于在横
坐标的无穷小区间上的纵坐标之和或无限窄矩形面积之和.并且这种求和与求差的运算是互逆
的.即莱布尼茨的微分学是把微分看作变量相邻二值的无限小的差,而他的积分概念则以变量分
成的无穷多个微分之和的形式出现.
莱布尼茨的第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理
量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,于 1684 年发表在《博学文摘》上,这也是历史上最早公
开发表的关于微分学的文献.文中介绍了微分的定义,并广泛采用了微分记号 d x,d y,函数的
和、差、积、商以及乘幂的微分法则,关于一阶微分不变形式的定理、关于二阶微分的概念以及微
分学对于研究极值、作切线、求曲率及拐点的应用.他关于积分学的第一篇论文发表于 1686 年,
其中首次引进了积分号∫,并且初步论述了积分或求积问题与微分或求切线问题的互逆关系,该
文的题目为《探奥几何与不可分量及无限的分析》.关于积分常数的论述发表于 1694 年,他得到
的特殊积分法有:变量替换法、分部积分法、在积分号下对参变量的积分法、利用部分分式求有理
式的积分方法等.他还给出了判断交错级数收敛性的准则.在常微分方程中,他研究了分离变量
法,得出了一阶齐次方程通过用 y = vx 的代换可使其变量分离,得出了如何求一阶线性方程的
解的方法.他给出用微积分求旋转体体积的公式等等.
莱布尼茨是数学史上最伟大的符号学者,他在创建微积分的过程中,花了很多时间来选择精
巧的符号.他认识到好的符号不仅可以起到速记作用,更重要的是它能够精确、深刻地表达某种
概念、方法和逻辑关系.他曾说:“要发明,就得挑选恰当的符号,要做到这一点,就要用含义简明
的少量符号来表达或比较忠实地描绘事物的内在本质,从而最大限度减少人的思维劳动.”现在
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微积分学中的一些基本符号,例如,d x,d y,d yd x
,dn,∫,log 等等,都是他创立的.他的优越的符号
为以后分析学的发展带来了极大方便.然而他在创建微积分时,甚至比牛顿更不注意严格的逻辑
性与严密性,尽管他的方法更富有想像力与启发性.
莱布尼茨和牛顿研究微积分学的基础,都达到了同一个目的,但各自采用了不同的方法.莱
布尼茨是作为哲学家和几何学家对这些问题产生兴趣的,而牛顿则主要是从研究物体运动的需
要而提出这些问题的.他们都研究了导数、积分的概念和运算法则,阐明了求导数和求积分是互
逆的两种运算,从而建立了微积分的重要基础.牛顿在时间上比莱布尼茨早 10 年,而莱布尼茨公
开发表的时间却比牛顿早 3 年.
作为一个数学家,莱布尼茨的声望虽然是凭借他在微积分的创建中树立起来的,但他对其他
数学分支也是有重大贡献的.例如,对笛卡儿的解析几何,他就提出过不少改进意见,“坐标”及
“纵坐标”等术语都是他给出的.他提出了行列式的某些理论,他为包络理论作了很多基础性的工
作.并给出了曲率中的密切圆的定义.莱布尼茨还是组合拓扑的先驱,也是数理逻辑学的鼻祖,他
系统地阐述了二进制记数法.
莱布尼茨是现代机器数学的先驱,他在帕斯卡加、减法机械计算机的基础上进行改进,使这
种机械计算机能进行乘法、除法、自乘的演算.
莱布尼茨是著名的哲学家,并以“单子论”闻名于世,他认为现实世界是由形成先定和谐的无
数个精神活动实体———单子组成的.他还是具有特殊天才的外国语专家,曾赢得过梵文学者的称
号.
莱布尼茨很重视和其他学者交流、讨论问题.例如,他在挑选数学符号时,就很注意征求别人
的意见;他与多方面的人士保持通信和接触,最远的到达锡兰和中国.
莱布尼茨十分爱好和重视中国的科学文化和哲学思想.1696 年他编辑出版的《中国新事萃
编》一书内容多为在中国传教士的报告、书信、旅行记略等,他在该书的序言中说:“中国和欧洲各
居世界大陆的东西两端,是人类伟大的教化和灿烂文明的集中点.”“我们从前谁也不相信这个世
界还有比我们的理论更美满,立身处世之道更进步的民族存在,现在从东方的中国,给我们以一
大觉醒 ! 东西双方比较起来,我们觉得在工艺技术上,彼此难分高低;关于思想理论方面,我们虽
优于东方一筹,而在哲学实践方面,实在不能不承认我们相形见绌.”他主张东西方应在文化、科
学方面互相学习、平等交流.他曾写了一封长达四万字的信,专门讨论中国的哲学.信的最后谈到
伏羲的符号、《易经》中的六十四个图形与他的二进位制,他说中国许多伟大的哲学家“都曾在这
六十四个图形中寻找过哲学的秘密⋯⋯这恰恰是二进制算术,这种算术是这位伟大的创造者(伏
羲)所掌握而几千年之后由我发现的.”莱布尼茨因为从二进制数学理解了六十四卦图而高兴地
说:“几千年来不能很好地被理解的奥秘由我理解了,应该让我加入中国籍吧 !”据说他还送过一
台他制作的计算机的复制品给康熙皇帝.
莱布尼茨虽然脾气急躁,但容易平息.他一生没有结婚,一生不愿进教堂.作为一位伟大的科
学家和思想家,他把自己的一生奉献给了科学文化事业.他的著述如林.20 世纪初,柏林科学院
曾计划出版 40 卷的莱布尼茨全集,后因世界大战而未实现.仅是 1850—1863 年编辑的《莱布尼
茨数学著作集》就有 7 卷.
莱布尼茨曾说:“我有非常多的思想,如果别人比我更加深入透彻地研究这些思想,并把他们
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心灵的美好创造与我的工作结合起来,总有一天会有某些用处.”
法国数学家、天文学家丰唐内尔(Fontenelle)评论道:“莱布尼茨是乐于看到自己提供的种子
在别人的植物园里开花的人.”
罗尔(Rolle, Michel)
罗尔是法国数学家.1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特;1719 年 11 月 8 日卒于巴黎.
罗尔出生于小店主家庭,只受过初等教育,且结婚很早,年轻时贫困潦倒,靠充当公证人与律
师抄录员的微薄收入养家糊口.他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作,并很有心得.
1682 年,他解决了数学家奥扎南( Ozanam)提出的一个数论难题,受到了学术界的好评,从而声名
鹊起也使他的生活有了转机,此后,担任初等数学教师和陆军部行政官员.1685 年进入法国科学
院,担任低级职务,到 1699 年才获得科学院发给的固定薪水.此后他一直在科学院供职,1719 年
因中风去世.
罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长是对丢番图方程的研究.1690 年他的专著《代
数学讲义》问世,在这本书中他论述了仿射方程组,并使用欧几里得法则系统地解决了丢番图的
线性方程问题.罗尔已掌握了方程组的消元法,并提出了用所谓“级联”(Cascades)法则分离代数
方程的根.他还研究了有关最大公约数的某些问题.
罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼茨的微积分诞生不久,由于这一新生事物还存在逻辑上的
缺陷,从而遭受多方面的非议,其中也包括罗尔,并且他是反对派中最直言不讳的一员.1700 年,
在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战.在这场论战中,罗尔认为无穷小方法
由于缺乏理论基础将导致谬误,并说:“微积分是巧妙的谬论的汇集.”瓦里格农( Varignon)则为
无穷小分析的新方法辩护,从而在罗尔和瓦里格农、索弗尔(Saurin)等人之间,展开了邀烈的争
论.约翰·伯努利(Johann Bernoulli)还讽刺罗尔不懂微积分.由于罗尔对此问题表现得异常激动,
致使科学院不得不屡次出面干预.直到 1706 年秋天,罗尔才向瓦里格农、丰唐内尔(Fontenelle)
等人承认他已经放弃自己的观点,并且充分认识到无穷小分析新方法的价值.
罗尔于 1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了:在多项式方程
f( x) = 0 的两个相邻的实根之间,方程 f′( x) = 0 至少有一个根.(但罗尔并没有使用导数的概
念和符号,后一个多项式实际上是前一个多项式的导数.)罗尔只叙述了这个结论,而没有给出证
明.这个定理本来和微分学无关,因为当时罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者,他拒绝使用微
积分,而宁肯使用繁难的代数方法.但在一百多年之后,即 1846 年,尤斯托·伯拉维提斯(Giusto
Bellavitis)将这一定理推广到可微函数,即如果函数 f( x)在区间[ a, b]上连续,且在这个区间内
部 f′( x)存在,又 f( a) = f( b),则在[ a, b]内至少有一点 c,使 f′( c) = 0.尤斯托·伯拉维提斯还
把此定理命名为罗尔定理.
罗尔还研究并得到了与现在相一致的实数集的序的观念.他促成了目前所采用的负数大小
顺序性的建立,而在他之前,笛卡儿及同时代的许多人都认为 - 2 < - 5,罗尔自 1691 年就已采用
了现在的负数的大小排列顺序.他明确说:“我认为 - 2 a 是一比 - 5 a 大的量.”(其中 a 是一个正
实数)另外,罗尔在《代数学讲义》一书中设计了一个数 a 的 n 次方根的符号为n
a(而在他之前,
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则是用符号 na来表示 a的 n 次方根),他的这个符号立刻被普遍地接受,并沿用至今.
洛必达(L’Hospital, G uillau m e Francis A ntoine de)
洛必达是法国数学家.1661 年生于巴黎;1704 年 2 月 2 日卒于巴黎.
洛必达出生于法国贵族家庭,他拥有圣梅特(Saimte- Mesme)侯爵昂特
尔芒(d’Entremont)伯爵的称号.青年时期一度任骑兵军官,因眼睛近视而
自行告退,转向从事学术研究.
洛必达很早即显示出其数学才华,15 岁时解决了帕斯卡所提出的一
个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒,并且是约翰·伯努利(Jo-
hann Bernoulli)的高足,成功地解答过约翰·伯努利提出的“最速降线”问
题.他是法国科学院院士.
洛必达最大的功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程———《用
于理解曲线的无穷小分析》,因此,美国数学史家伊夫斯( Eves)说:“第一本微积分课本出版于
1696 年,它是由洛必达写的.”后来多次修订再版,为在欧洲大陆,特别是在法国,普及微积分起
了重要作用.这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例,以定义和公理为出发点.在这本书中,先
给出了如下定义和公理:“定义 1,称那些连续地增加或减少的量为变量,⋯⋯”“定义 2,一个变量
在其附近连续地增加或减少的无穷小部分称为差分(微分),⋯⋯”然后给出了两个公理,第一个
是说,几个仅差无穷小量的量可以互相代替;第二个是说,把一条曲线看作是无穷多段无穷小直
线的集合,⋯⋯在这两个公理之后,给出了微分运算的基本法则和例子.第二章应用这些法则去
确定曲线在一个给定点处的斜率,并给出了许多例子,采用了较为一般性的方法.第三章讨论极
大、极小问题,其中包括一些从力学和地理学引来的例子,接着讨论了拐点与尖点问题,还引入了
高阶微分.以后几章讨论了渐屈线和焦散曲线等问题.
洛必达这本书中的许多内容是取材于他的老师约翰·伯努利早期的著作.其经过是这样的:
约翰·伯努利在 1691 年—1692 年间写了两篇关于微积分的短论,但未发表.不久以后,他答应为
年轻的洛必达侯爵讲授微积分,定期领取薪金,作为报答.他把自己的数学发现传授给洛必达,并
允许他随时利用.于是洛必达根据约翰·伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得,撰
写了《用于理解曲线的无穷小分析》.这部著作不但普及了微积分,而且帮助约翰·伯努利完成并
传播了平面曲线的理论.特别值得指出,在这部书的第九章中有求分子分母同趋于零的分式极限
的法则,即所谓“洛必达法则”:如果 f( x)和 g( x)是可微函数,且 f( a) = g( a) = 0,则 limx→ a
f( x)g( x)
= limx→ a
f′( x)g′( x)
,当然,须在右端的极限存在或为∞的情况下.但当时洛必达的论证没有使用函数的
符号,是用文字叙述的,相当于断言
f( a + d x)g( a + d x)
=f( a) + f′( a)d xg( a) + g′( a)d x
=f′( a)d xg′( a)d x
=f′( a)g′( a)
当 f( a) = g( a) = 0,他的结论是:如果把给定曲线的纵坐标 y“表示为一个分式,且 x = a 时分子
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和分母都等于零”,那么“如果求出分子的微分,再除以分母的微分,最后在其中令 x = a,便得到
(当 x = a 时的纵坐标 y的)值.”这个法则实际上是约翰·伯努利在 1694 年 7 月 22 日写信告诉
他的.至于现在一般微积分教材上用来解决其他未定式求极限的法则,是后人对洛必达法则所作
的推广(例如,未定式∞∞
,∞ - ∞的法则就是后来欧拉(Euler)给出的),但现在都笼统地叫做“洛
必达法则”.
洛必达曾计划出版一本关于积分学的书,但在得悉莱布尼茨也打算撰写这样一本书时,就放
弃了自己的计划.他还写过一本关于圆锥曲线的书———《圆锥曲线分析论》,此书在他逝世之后
16 年才出版.
洛必达豁达大度,气宇不凡.由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往,从而成为全欧传
播微积分的著名人物.
泰勒(Taylor,Brook)
泰勒是英国数学家.1685 年 8 月 18 日生于埃德蒙顿;1731 年 12 月 29 日卒于伦敦.
泰勒出生在富裕的家庭,经常有音乐家、艺术家来往,使他自幼就受到
了良好的音乐艺术上的感染与熏陶.他 1705 年进入剑桥大学圣约翰学院
学习,1709 年毕业并获法学学士学位,随后移居伦敦.由于他在英国《皇家
学会会报》发表一系列高水平的论文而崭露头角.27 岁时当选为英国皇家
学会会员,1714 年获法学博士学位,1714—1718 年任皇家学会秘书.这也
是他的科研成果最多产的时期.为解决牛顿与莱布尼茨关于微积分发明权
之争的问题,他被任命为仲裁委员会委员.
泰勒和牛顿、哈雷都是亲密的朋友,也是牛顿流数法的一位拥护者和
推广者.
泰勒 1715 年出版了《增量法及其逆》,在本书中“他力图搞清微积分的思想,但他把自己局限
于代数函数与代数微分方程.”这本书发展了牛顿的方法,并奠定了有限差分法的基础.在这本书
中载有现在微积分教程中以他的姓氏命名的单元函数的幂级数展开公式,这个公式是他通过对
格雷戈里 - 牛顿插值公式求极限而得到的.用现代的标准衡量,证明有失严格,和他同时代人一
样,他没有认识到在处理无穷级数时,必须先考虑它的收敛性.对此,德国著名数学家克莱因
( Klein)曾评注道:“无先例的大胆地通过极限,”“泰勒实际上是用无穷小(微分)进行运算,同莱
布尼茨一样认为其中没有什么问题.有意思的是,一个 20 多岁的年轻人,在牛顿的眼皮底下,却
离开了他的极限方法.”另外,泰勒级数的重要性最初并未引起人们的注意,直到 1755 年欧拉把
泰勒级数用于他的微分学时才认识到其价值;稍后拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的
基础,从而进一步确认泰勒级数的重要地位.“泰勒级数”这个名词大概是由瑞士数学家吕利埃
(L’Huillier)在 1786 年首先使用的.在此之前法国数学家孔多塞(Condorcet)在 1784 年对此级数
既用了泰勒的名称又用了达朗贝尔的名称.特别是在“1880 年,魏尔斯特拉斯又把泰勒级数引进
为一个基本概念,用现代术语来讲,泰勒级数是解析函数的萌芽.”泰勒也以函数的泰勒展式而闻
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名于后世.《增量法及其逆》一书,不仅是微积分发展史上重要著作,而且还开创了一门新的数学
分支,现在称为“有限差分”.虽然有限差分法在 17 世纪时已广泛用于插值问题,但正是泰勒的工
作才使之成为一个数学分支.在书中还讨论了微积分在物理上的许多应用,例如弦的振动.在该
书中还包括微分方程奇解的认识和确定,涉及变量替换及反函数的导数公式,确定振动中心、曲
率及振动弦问题.
泰勒在《皇家学会会报》上也发表过关于物理学、动力学、流体动力学、磁学和热学方面的论
文,其中包括对磁引力定律的实验说明.泰勒还是一位富有才华的音乐家和画家.他曾将几何方
法应用于绘画中的透视,并于 1715 年、1719 年先后编写出版了《直线透视》、《直线透视的新原
理》两本论著,这是关于透视画法的权威性著作,包含了对“没影点”原理最早的一般论述.泰勒这
些工作受到了后人的高度赞扬.例如,画法几何学的奠基人蒙日( M onge)及其学生拉克鲁瓦( La-
croix)在 1801 年说:“由于创造性和富有成果的原理,从而高出其他研究透视的工作.”库利奇
(Coolidge)在 1940 年称泰勒的工作是透视学“整个大建筑的拱顶石”.他对空中屈折现象首先作
出了正确解释.他还有未发表的论著《论音乐》,这是打算与牛顿合写论文的一部分.
泰勒对数学发展的贡献,本质上要比那个以他的姓氏命名的级数大得多,他涉及的、创造的
但未能进一步发展的主要概念之多非常惊人.然而泰勒的写作风格过于简洁,从而令人费解.这
也是他的许多创见未能获得更高声誉的一个原因.
泰勒虽然生在富裕之家,但一生深受疾病及悲剧事件的困扰.第一个妻子因出身贫寒而遭到
具有门阀观念的父亲的冷遇,导致父子之间激烈的争吵与不和,妻子不久死于分娩;第二个妻子
后来也死于分娩.爱妻的不幸去世、父子的不和、疾病的折磨使他痛苦不堪.到了晚年,为求解脱,
便把精力与爱好转向了宗教和神学.
麦克劳林( M aclaurin,Colin)
麦克劳林是英国数学家.1698 年 2 月生于苏格兰的基尔莫登;1746 年 1 月 4 日卒于爱丁堡.
麦克劳林是一位牧师的儿子,半岁丧父,9 岁丧母,由其叔父抚养成
人,叔父也是一位牧师.麦克劳林是个“神童”.为了当牧师,他 11 岁考入了
格拉斯哥大学学习神学,但入校不久却对数学发生了浓厚兴趣,一年后转
攻数学.17 岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的
公开答辩;19 岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数
学系工作;两年后被选为英国皇家学会会员;1722—1726 年在巴黎从事研
究工作,并在 1724 年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院奖金;
回国后任爱丁堡大学教授.
1719 年麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿,从此便成为牛顿的门生.1724 年,由于牛顿的大
力推荐与资助,他获得了爱丁堡大学的职务.
麦克劳林 21 岁时发表了第一本重要著作《构造几何》,在这本书中描述了作圆锥曲线的一些
新的巧妙方法,精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质.例如,证明了一条 n 次不可
约曲线的二重点的最多个数是( n - 1)( n - 2)�/2.还给出了各类更高重数多重点的个数的上界.
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他引进了代数曲线亏数的概念.还推广了帕斯卡的六线形.1742 年撰写的《流数论》以泰勒级数
作为基本工具,是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书.此书之意图是为牛顿
流数法提供一个几何框架,以答复贝克来(Berkeley)大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击.
该书写得相当审慎周到,以致在 1821 年柯西的著作问世之前,一直是比较严密的微积分标准教
材.著名的麦克劳林级数就是在本书中提出的.他用牛顿的逐次微分法引入泰勒级数而得出,然
后应用这个级数导出局部极大值和极小值存在的充分条件.他还首先给出如何区别一般极大极
小的理论,并指出这种区别在曲线的多重点理论中的重要性.在《流数论》中他把级数用作求积分
的标准方法,他说:“当一个流量不能真正地用代数项表示时,则它应可表示成一个收敛级数.”他
还认为,收敛级数的项必须持续下降并小于任意指定的小量.“在这时,级数开头几项就几乎等于
它整个的值了.”在《流数论》中,他给出了(独立于柯西)无穷级数收敛性的判别方法: ∑∞
n = 1
f( n)
收敛,当且仅当∫∞
af( x)d x 有穷,其中 f( x)在 0 < a≤ x < ∞有穷并且是同号的,他用几何形式
给出了这个判别法.在此书中还证明了等速旋转均匀流体的平衡形状是旋转椭圆体,现在称之为
麦克劳林椭圆体.美国数学史家克兰( Kline)说:“麦克劳林在《流数论》中,企图建立微积分理论
的严密性.”这无疑是值得赞扬的,而且他在这方面作出了相当多的贡献.但是他和希腊人一样,
常常用怀疑的眼光来看待无穷小概念,他相信大多数问题不依靠极限概念就能解决,因而试图根
据希腊几何和穷竭法建立流数学说.不但他自己擅长于几何,而且也常劝别人多用几何,以致妨
碍了更有力的分析的发展.
麦克劳林的《代数论》一书,开创了用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知量的联立线
性方程的先例.虽然书中的记叙法不太好,但是他的法则实质上就是我们今天所用的法则.只是
后来克拉默(Cramer)又重新发现了这个法则,所以后来叫克拉默法则.
麦克劳林给《皇家学会会报》写过不少论文,其中有论曲线的构造和度量的,还有论述所谓有
奇异根的方程的.1740 年发表的论文《论潮汐》使他与丹尼尔·伯努利、欧拉共享法国科学院的一
项奖金.他还改进了奥克尼和谢特兰岛的地图,并且为保险公司进行统计方面的计算.麦克劳林
也是一位实验科学家,他设计了很多精巧的机械装置.
麦克劳林不但学术成就斐然,而且关心政治.1745 年,当支持查理·斯图尔特( Charles Stu-
art)的苏格兰高地军队进攻爱丁堡时,他以非凡的勇气领导了这次保卫战,直到苏格兰高地的詹
姆斯二世党人占领爱丁堡时,才被迫离开.但詹姆斯只得势一时,麦克劳林很快又返回了爱丁堡.
然而经过这次保卫战,他的健康已经受到损害,不久就逝世了.
麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培,并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗.他曾打算写一
本《关于伊萨克·牛顿爵士的发现说明》,但未能完成便去世了.死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿
的推荐”以表达他对牛顿的感激之情.
达朗贝尔(D’Ale m bert,Jaen Le Rond)
达朗贝尔是法国数学家、力学家、哲学家.1717 年 11 月 17 日(另一说 16 日)生于巴黎;1783
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年 10 月 29 日卒于巴黎.
达朗贝尔是贵族希凡利·得斯陶切斯的私生子,他出生不久,其母亲为
了她自己的名誉,竟然将他抛弃在巴黎圣让勒隆(Saint Jean Le Rond)教堂
附近的路旁,幸被一位宪兵发现,这位好心的宪兵即以其发现的地名给他
起了教名,然后交给了一位贫穷而又善良的玻璃匠抚养.玻璃匠不但抚养
他长大,并且送他上学(其中也得到其生父的暗中资助)接受正规教育.达
朗贝尔 1735 年毕业于马扎林学院,早先研究医学和法律,并当过律师,后
来转攻数学和自然科学,他的数学几乎全靠自学.22 岁时向法国科学院呈
交了关于固体在流体中的运动与积分学方面的两篇论文.在第一篇论文
中,他提出了绕圆柱体无环量流动问题,即著名的“达朗贝尔疑题”.这篇论文受到科学院的高度
评价.1741 年,年仅 24 岁便进入法国科学院任助理院士,1746 年提拔为副院士,1754 年当选为
终身院士.他的才能表现出来后,他的生母试图认他,但遭到了达朗贝尔的毅然拒绝,他说:“玻璃
匠的妻子是我的母亲.”他就这样唾弃了他的亲生母亲,就像母亲曾经抛弃她亲生的儿子一样.普
鲁士国王腓特烈二世(Frederick Ⅱ)多次邀请他担任柏林科学院院长,1762 年俄国女皇叶卡捷林
娜(Catherine)邀请他去任皇子的家庭教师,他都谢绝了.
达朗贝尔是数学和力学的大师,是一位多产的科学家,仅 1805 年和 1821 年在巴黎出版的达
朗贝尔《文集》就有 23 卷.
在数学方面,他针对当时人们对微积分的基础缺乏严密性而掉以轻心,提出了尖锐的批评.
他说:“直到现在⋯⋯表现出更多关心的是去扩大建筑,而不是在入口处张灯结彩;是把房子盖得
更高些,而不是给基础补充适当的强度.”他推进了牛顿的极限概念,并认为“极限的完整理论对
于把分析置于牢固的基础上是完全必要的.”他称一个量为另一个量的极限,就是后者趋向前者,
比任何给定的量都更接近于前者,但不等同于前者.他说微分学的基础同流数法一样,可以建立
在极限的概念之上.“求方程的导数只要求方程中所包含的两个变量的差分比的极限.”他第一个
把导数明确定义为增量比的极限,认为这是微分学的真正理论基础.他实质上把微分学建立在
“理性的”极限观念上,为此马克思曾说达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣.达朗贝尔的观点和工
作为使欧洲大陆上的微积分转变到以极限为中心的思想上来,起了积极作用.达朗贝尔提出应区
别对待收敛级数和发散级数,并对随便使用发散级数表示了怀疑,他在其 1768 年出版的《数学手
册》第五卷中写道:“所有基于不收敛级数的推理,在我看来都是十分可疑的.”他给出了级数
u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯绝对收敛的一个检验法,即现行微积分教材中所介绍的达朗贝尔准则.他
在 1744 年与 1745 年的动力学著作中推广了偏导数的演算.对于常微分方程,他加强了从特殊积
分鉴别奇解的判别法,研究过里卡蒂( Riccati)方程,研究过那些可以用有限个初等函数表示其解
的常微分方程,并把椭圆积分列入了可接受的解答中.他得出了描述弦横向振动的二阶偏微分方
程的解法.他与欧拉、丹尼尔·伯努利共同奠立了数学物理的基础;在解流体力学中的一个椭圆形
偏微分方程时,他首先运用了复变函数;他与欧拉最先得出了解析函数实部与虚部的一些基本方
法并发现复变函数可微的条件.在代数中,他得出了代数基本定理的辅助定理.
在力学方面,达朗贝尔原理是基本原理之一,它包含在 1743 年的《动力学论文》中,大大改进
了动力学的一般推导.1744—1747 年他发表了《关于风的成因的推论》的论文,因而荣获柏林科
学院奖,并被选为该院院士.在天文学方面,他建立了行星摄动的理论,并对二分点和章动的问题
·804·
作了严格解释.他是第一个给悬而未决的岁差问题以完整解答的人.在哲学上,他赞成感觉性学
说,反对笛卡儿的天赋观念论,其著作有《哲学原理》.
达朗贝尔是 18 世纪法国《百科全书》的编纂人.他主张按培根(Bacon)的原则,将人类知识分
为历史、哲学(科学)、美术三大类;强调技术和科学的关系,并指出《百科全书》的目的不仅在于提
供知识,而更重要的在于改变读者的思想.这套百科全书的出版,对普及科学知识、改变社会舆
论、动摇王位权势、推翻神坛礼义、推动社会文明和进步,都起到了很大作用.
达朗贝尔是数学家拉格朗日的忠实朋友和衷心的钦佩者,并非常关心拉格朗日的婚姻和幸
福,他曾对拉格朗日诚挚诙谐地说:“一个大数学家首先应该知道怎样计算他的幸福.”达朗贝尔
是 18 世纪思想启蒙运动的杰出代表.他的名言“向前进,你就会产生信念”不但鞭策了他自己,而
且也鼓舞了许多有志之士,特别是青年人.
拉格朗日(Lagrange,Joseph-Louis)
拉格朗日是法国数学家、力学家、天文学家.1736 年 1 月 25 日生于意大利西北部的都灵;
1813 年 4 月 10 日卒于巴黎.
拉格朗日的祖父是法国人、祖母是意大利人.他的父亲是一位富商,曾
想把拉格朗日培养成自己商业上的接班人,因此希望他学法律.但拉格朗
日在中学时代读了天文学家哈雷写的一篇谈论计算方法的小品文———《在
解决求光学玻璃的焦点问题时,近世代数优越性的一个实例》之后,就对数
学和天文学发生了兴趣,不久进入都灵皇家炮兵学院学习.通过自学的方
式钻研数学,尚未毕业就担任了该院的部分数学教学工作.18 岁时开始撰
写论文,19 岁被正式聘任为该院的数学教授.
1755 年,拉格朗日开始和欧拉通信讨论“等周问题”,从而奠定了变分
法的基础.
1757 年,拉格朗日和几位年轻科学家创办了都灵科学协会和学术杂志《都灵文集》,在《都灵
文集》上他发表了大量论文,1764 年和 1766 年因在天文学研究中取得的成果,先后两次获得法
国科学院奖,从而在世界范围赢得了很高的声誉.
1766 年,在柏林科学院物理数学所任所长的欧拉,要重回彼得堡,临行前普鲁士国王腓特烈
大帝(Frederick the Great)要欧拉推荐一位称职的继任者.欧拉认为非拉格朗日莫属,同时达朗贝
尔也作了同样的推荐.于是腓特烈大帝亲自写信给拉格朗日说:“欧洲最伟大的君王希望欧洲最
伟大的数学家到他的宫廷里来.”于是拉格朗日到了柏林,就任柏林科学院物理数学所所长职务,
这时他年仅 30 岁.
拉格朗日在柏林科学院整整工作了 20 年,在这期间,他对代数、数论、微分方程、变分法、力
学和天文学都进行了广泛而深入的研究,并取得了丰硕的成果,其作品浩如烟海.
对于微积分学,拉格朗日试图抛弃自牛顿以来模糊不清的无穷小概念.拉格朗日的学生们发
现无限小和无限大的概念很难掌握,而传统形式的微积分学充满了这些概念.为了克服这些困
难,拉格朗日试图不用莱布尼茨的“无穷小”和牛顿的极限的特殊概念来建立微积分学,为此他写
·904·
成《解析函数论》.此书的副标题是:“不用无穷小,或正在消失的量或极限与流数等概念,而归结
为有限的代数分析的艺术”.他试图把微分、无穷小和极限等概念从微积分中完全排除.他先用代
数方法证明了泰勒展开式,接着定义导数(微商)是 f( x + h)的泰勒展开式中 h 的系数,然后建
立起全部分析学.他认为这样就可以克服极限理论的困难,可是无穷级数的收敛问题,仍然无法
逃避极限.尽管他的“纯代数的微分学”没有成功.但他另辟蹊径的探讨得到高度的赞赏,并推动
了柯西和其他一些人去创立一种令人满意的微积分学,从而对后来微积分基础理论的逻辑发展
产生了深远的影响.特别是《解析函数论》对函数的抽象处理,可说是实变函数论的起点.他还给
出了泰勒级数的余项公式,研究了二元函数极值,阐明了条件极值的理论,并研究了三重积分的
变量代换等问题.
在微分方程中,他也获得了很多重要结果:例如,对奇解与通解的联系作了系统的研究,用明
确而漂亮的手法从通解中消去常数而得到奇解,从而给出了一般性的方法;他还发现,线性齐次
方程的通解是一组独立的特解的线性组合,而且在知道了 n 阶线性齐次方程的 m 个特解后,可
以把方程降低 m 阶;在解线性非齐次微分方程时,他提出了常数变易法.
拉格朗日对代数和数论曾作出过杰出贡献.他是最早意识到一般五次和一般更高次的代数
方程,不存在根式求解法的数学家之一.他的《关于方程的代数解的研究》,开辟了代数发展的新
时期.
拉格朗日最得意的著作是《分析力学》,撰写这部巨著,他倾注了大量的智慧和精力,整整经
历了 37 个春秋.在这部著作中,他利用变分原理建立了优美、和谐的力学体系,把宇宙描绘成为
一个由数字和方程组成的有节奏的旋律.这部著作里的精辟论述,使得动力学这门科学达到了登
峰造极的地步,它还把固体力学和流体力学这两个分支统一了起来,从而奠定了现代力学的基
础.哈密顿( Hamilton)把这部著作誉之为一部“科学诗篇”.
拉格朗日 1759 年被选为柏林科学院院士,1772 年被选为法国科学院院士,1776 年被选为彼
得堡科学院名誉院士,1766—1786 年担任柏林科学院的主席.
拉格朗日虽然是一个伟大的天才,但他非常谦逊,虚怀若谷,善于向前辈及同时代的科学家
学习,不断地从各个学科吸取营养丰富自己.他曾说:“我欣赏他人的工作更甚于我自己的工作,
我总是不满自己的工作.”他的研究充满了诗人般的想像力.由于他在学术上成就辉煌、道德上品
格高尚,赢得了世人的崇敬.例如,1793 年 9 月法国资产阶级革命政府颁布一项法令:将一切在
敌国境内出生的人驱逐出境并没收其财产,但特别声明尊贵的拉格朗日先生除外.
拉格朗日在逝世前的两天曾平静地说:“我此生没有什么遗憾,死亡并不可怕,它只不过是我
要遇到的最后一个函数.”
拉格朗日去世后,意大利百科全书说他是意大利数学家,法国百科全书说他是法国数学家,
德国的数学史说他一生的主要科学成就是在柏林完成的.拉格朗日的著作极为丰富,但未能全部
收集齐.他去世后,法兰西研究院汇集了他留在该学院内的全部著作,编辑出版了十四卷《拉格朗
日文集》.拿破仑( Napoleon)赞美“拉格朗日是一座高耸在数学世界的金字塔”.
·014·
傅里叶(Fourier,Jean Baptiste Joseph Baron)
傅里叶是法国数学家、物理学家.1768 年 3 月 21 日生于奥塞尔;1830 年 5 月 16 日卒于巴
黎.
傅里叶是一个裁缝的儿子,8 岁(另一说 9 岁)时父母双亡,沦为孤儿,
一位慈善的太太被这个孩子的良好态度和风度举止深深吸引住了,就把他
推荐给奥塞尔主教,从而被教堂收养.12 岁时被送入地方军事学校读书.
13 岁开始学习数学,即对数学产生了浓厚的兴趣.16 岁就独立发现笛卡儿
符号法则的一个新证法.但他的志向是当一名军官,在他申请参加炮兵时,
当局在其申请书上批道:“傅里叶出身低微,不得加入炮兵,虽然他是第二
个牛顿.”他只得转谋教士职位,不久在他就读的学校当了讲师,数学变成
了他的终生爱好,每当同事们生病时,傅里叶就替他们代课,从数学、物理
到古典文学,什么都教,而且通常都比他们教得好.通过代课,傅里叶的学识更宽广了.后来被聘
为巴黎综合工科学校教授.
傅里叶参加了法国大革命,曾和蒙日一道随拿破仑到埃及远征并进行科学考察,恪尽职守,
深得拿破仑器重.于 1798 年被任命为下埃及的总督,1809 年被封为男爵,1817 年被选为法国科
学院院士,1822 年任该院终身秘书.1827 年任法兰西学院终身秘书,同年接替拉普拉斯兼任巴黎
综合工科学校校务委员会主席.他还是英国皇家学会会员,彼得堡科学院荣誉院士.
傅里叶是法国分析学派公认的代表,他认为:“数学分析与自然界本身同样的广阔.”1807 年
他开始热传导的数学研究工作,此项目 1812 年荣获巴黎科学院的格兰德( Grand)奖.他 1822 年
出版的名著《热的分析理论》,是一本将数学理论应用于物理学的典范,是数学物理学的一个里程
碑.在此书里他把半个世纪前欧拉和伯努利在关于弦振动的研究工作中,曾就一些孤立的、特殊
的情况所采用的三角级数方法作了加工处理,最后发展成为一般理论.他杰出的贡献就在于阐述
并列举了相当一类函数(连续的或不连续的)能用形如 ∑∞
n = 0
( A n cos nx + Bnsin nx) 的三角级数来
表示,但没有给出明确的条件和完整的证明.傅里叶这项工作的重大意义是,它不仅推动了偏微
分方程理论的发展,而且改变了数学家们对函数概念的一种传统的有局限的认识,动摇了 18 世
纪以来的这样一个观念:所有的函数不管它们是以何种形式出现的,总都是代数函数的繁衍.傅
里叶的观念使代数函数甚至初等超越函数都不再是函数的原型了.由于代数函数的性质不能搬
到一切函数上去,所以这种更广意义下的函数及其连续性、可微性、可积性以及其他性质,其真实
意义究竟是什么自然也就作为一个新问题被提出来.傅里叶的工作标志着人们能够而且应该从
解析函数或可展成泰勒级数的函数的圈子里解脱出来,从而大大地扩充了函数概念的本身.现在
数学中用变量的对应方式来定义函数的方法就是狄利克雷( Dirichlet)1837 年研究了傅里叶级数
理论后提出的.此外,许多数学家还用傅里叶级数构造一些特殊函数,例如,处处连续而处处不可
微的函数.由此不难理解,某些函数不仅可以展成为三角级数,而且还可以就其他各种不同的正
交函数系(如切比雪夫(Чебышев)多项式、勒让德多项式、埃尔米特( Hermite)多项式、拉盖尔
·114·
(Laguerre)多项式、雅可比多项式等等)展成为级数,此即广义的傅里叶级数理论.傅里叶级数还
对积分概念产生了重要影响,它重申和强调定积分可作为和式的极限来定义,致使黎曼( Rie-
mann)于 1854 年在用三角级数表示函数的文章中第一次阐述了目前教科书中通用的积分定义.
此外,傅里叶级数对一致收敛性概念、无穷行列式、康托尔的集合论的建立和发展都起到了促进
作用.
傅里叶在 1811 年首先给出了级数收敛及级数和的正确定义,并指出了拉格朗日的一个错
误,通项趋近于零并非级数收敛的充要条件,而仅是必要条件.
总之,傅里叶在级数方面的工作,引出了分析学的许多重大问题,从而开辟了分析学的新时
代.他的论著简洁而清晰,具有很强的几何直观和实际的物理意义.而在处理问题时,又表现出高
超的分析技巧和使用符号的才能.因此,著名物理学家麦克斯韦( M axwell)称“傅里叶的论著是一
部伟大的数学诗”.英国数学家汤姆逊(Thomson)认为自己在数学物理上的成就受益于傅里叶的
热学著作.他评论道:“傅里叶的定理不仅是现代分析学最美妙的结果之一,也可以说它为解决现
代物理学中许多难解的问题提供了一个不可缺少的工具.”恩格斯( Engels)则把傅里叶的数学成
就与他所推崇的哲学家黑格尔( Hegel)相提并论,他写道:“傅里叶是一首数学的诗,黑格尔是一
首辩证法的诗.”
傅里叶还写过一本《方程测定分析》(1831 年),其中包括他 16 岁时对笛卡儿符号法则的改
进证法和在此基础上得到的给定范围内 n 次代数方程实根个数的判别法.他从埃及远征回国
后,负责《埃及情况》的出版工作,并在该书绪言中全面评述了埃及从古至法军远征时的历史,因
此傅里叶也被人称为埃及学学者.
傅里叶有极好的口才、广泛的兴趣和丰富的想像力.一生忠诚老实、勤奋好学且见义勇为,曾
因保护无辜进过监狱,青年时代就为故乡奥塞尔办过不少好事,深受乡里人们的爱戴.在雅各宾
党执政的“恐怖时期”,他曾挺身而出保护了一些无辜受害的科学家,如施图姆(Sturm)等.当他发
现法国科学院埋没了阿贝尔这个天才后,立刻公开表示内疚,并把科学院大奖发给了阿贝尔.
由于傅里叶对热力学有深入的研究,导致了他对“热”的偏执追求.曾有这样一个有趣的传
说,据说他在埃及的实验和他的热力学研究使他深信:沙漠地带的热是使身体健康的理想条件.
他因此经常穿着厚厚的衣服住在难以忍受的高温房间中,有人说,由于他对“热”如此地着迷,加
剧了他的心脏病,使他在 63 岁的年龄就逝世了,死前浑身热得像煮过一样.
傅里叶对数学发表了下列言简意赅的见解:“对自然界的深入研究是数学发现的最丰富的源
泉.”“数学分析与自然界本身同样的广阔.”“数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解
释.”
《傅里叶著作集》共 2 卷,1888—1890 年在巴黎出版.他逝世后,他的乡里为他塑了一尊青铜
塑像,近年来还以他的姓名命名了一所中学.
柯西(Cauchy,Augustin-Louis)
柯西是法国数学家.1789 年 8 月 21 日生于巴黎;1857 年 5 月 23 日卒于巴黎附近的索镇.
柯西的父亲是一位精通古典文学的律师,曾任法国参议院秘书长,和拉格朗日、拉普拉斯等
·214·
人交往甚密,因此柯西从小就认识了一些著名的科学家.柯西自幼聪敏好
学,在中学时就是学校里的明星,曾获得希腊文、拉丁文作文和拉丁文诗
奖.在中学毕业时赢得全国大奖赛和一项古典文学特别奖.拉格朗日曾预
言他日后必成大器.1805 年他年仅 16 岁就以第二名的成绩考入巴黎综合
工科学校,1807 年又以第一名的成绩考入道路桥梁工程学校.1810 年 3 月
柯西完成了学业离开了巴黎,“行李不多(在行李中有四本书:拉普拉斯的
《天体力学》;拉格朗日的《解析函数论》;托马斯的《效法基督》和一册维吉
尔的作品)满怀希望”前往瑟堡就任对他的第一次任命.但后来由于身体欠
佳,又颇具数学天赋,便听从拉格朗日与拉普拉斯的劝告转攻数学.从 1810 年 12 月,柯西就把数
学的各个分支从头到尾再温习一遍,从算术开始到天文学为止,把模糊的地方弄清楚,应用他自
己的方法去简化证明和发现新定理.柯西于 1813 年回到巴黎综合工科学校任教,1816 年晋升为
该校教授.以后又担任了巴黎理学院及法兰西学院教授.
柯西创造力惊人,数学论文像连绵不断的泉水在柯西的一生中喷涌,他发表了 789 篇论文,
出版专著 7 本,全集共有十四开本 24 卷.从他 23 岁写出第一篇论文到 68 岁逝世的 45 年中,平
均每月发表一到两篇论文.1849 年,仅在法国科学院 8 月至 12 月的 9 次会上,他就提交了 24 篇
短文和 15 篇研究报告.他的文章朴实无华、充满新意.柯西 27 岁即当选为法国科学院院士,还是
英国皇家学会会员和许多国家的科学院院士.
柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法.正如著名数学
家冯·诺伊曼所说:“严密性的统治地位基本上由柯西重新建立起来的.”在这方面他写下了三部
专著:《分析教程》(1821 年)、《无穷小计算教程》(1823 年)、《微分计算教程》(1826—1828 年).他
的这些著作,摆脱了微积分单纯的对几何、运动的直观理解和物理解释,引入了严格的分析上的
叙述和论证,从而形成了微积分的现代体系.在数学分析中,可以说柯西比任何人的贡献都大,微
积分的现代概念就是柯西建立起来的.有鉴于此,人们通常将柯西看作是近代微积分学的奠基
者.阿贝尔称颂柯西“是当今懂得应该怎样对待数学的人”.并指出:“每一个在数学研究中喜欢严
密性的人,都应该读柯西的杰出著作《分析教程》.”柯西将微积分严格化的方法虽然也利用无穷
小的概念,但他改变了以前数学家所说的无穷小是固定数.而把无穷小或无穷小量简单地定义为
一个以零为极限的变量.他定义了上下极限.最早证明了 limn→∞
1 +1n
n
的收敛,并在这里第一次
使用了极限符号.他指出了对一切函数都任意地使用那些只有代数函数才有的性质,无条件地使
用级数,都是不合法的.判定收敛性是必要的,并且给出了检验收敛性的重要判据———柯西准则.
这个判据至今仍在使用.他还清楚的论述了半收敛级数的意义和用途.他定义了二重级数的收敛
性,对幂级数的收敛半径有清晰的估计.柯西清楚的知道无穷级数是表达函数的一种有效方法,
并是最早对泰勒定理给出完善证明和确定其余项形式的数学家.他以正确的方法建立了极限和
连续性的理论.重新给出函数的积分是和式的极限,他还定义了广义积分.他抛弃了欧拉坚持的
函数的显示式表示以及拉格朗日的形式幂级数,而引进了不一定具有解析表达式的函数新概念.
并且以精确的极限概念定义了函数的连续性、无穷级数的收敛性、函数的导数、微分和积分以及
有关理论.柯西对微积分的论述,使数学界大为震惊.例如,在一次科学会议上,柯西提出了级数
收敛性的理论.著名数学家拉普拉斯听过后非常紧张,便急忙赶回家,闭门不出,直到对他的《天
·314·
体力学》中所用到的每一级数都核实过是收敛的以后,才松了一口气.柯西上述三部教程的广泛
流传和他一系列的学术演讲,他对微积分的见解被普遍接受,一直沿用至今.当然,在柯西的时
代,实数的严格理论还未建立起来,对连续性、一致连续性、可微性、可积性以及它们之间的关系
也不可能彻底地阐述清楚,所以在他的论著中也存在一些错误.例如,他曾断言如果 U n ( x)连续
且∑∞
n = 0
U n ( x) 收敛于 F( x),则 F( x)也连续,且可以逐项积分∫b
aF( x)d x = ∑
∞
n = 0∫
b
aU n ( x)d x ;他
甚至还断言,对于连续函数 f( x, u)有��u∫
b
af( x, u)d x =∫
b
a
�f�u
d x ;并且断言二元函数若对每个
变量连续则它必是连续的等等.他的这些错误,相继被后来的数学家澄清.现今所谓极限的柯西
定义或“ε-δ”定义乃是经过魏尔斯特拉斯的加工.
柯西的另一个重要贡献,是发展了复变函数的理论,取得了一系列重大成果.特别是他在
1814 年关于复数极限的定积分的论文,开始了他作为单复变量函数理论的创立者和发展者的伟
大业绩.他还给出了复变函数的几何概念,证明了在复数范围内幂级数具有收敛圆,还给出了含
有复积分限的积分概念以及残数理论等.
柯西还是探讨微分方程解的存在性问题的第一个数学家,他证明了微分方程在不包含奇点
的区域内存在着满足给定条件的解,从而使微分方程的理论深化了.在研究微分方程的解法时,
他成功地提出了特征带方法并发展了强函数方法.
柯西在代数学、几何学、数论等各个数学领域也都有创建.例如,他是置换群理论的一位杰出
先驱者,他对置换理论作了系统的研究,并由此产生了有限群的表示理论.他还深入研究了行列
式的理论,并得到了有名的宾内特(Binet) - 柯西公式.他总结了多面体的理论,证明了费马关于
多角数的定理等等.
柯西对物理学、力学和天文学都作过深入的研究.特别在固体力学方面,奠定了弹性理论的
基础,在这门学科中以他的姓氏命名的定理和定律就有 16 个之多,仅凭这项成就,就足以使他跻
身于杰出的科学家之列.
柯西一生对科学事业作出了卓越的贡献,但也出现过失误,特别是他作为科学院的院士、数
学权威在对待两位当时尚未成名的数学新秀阿贝尔、伽罗瓦( Galois)都未给予应有的热情与关
注,对阿贝尔关于椭圆函数论一篇开创性论文,对伽罗瓦关于群论一篇开创性论文,不仅未及时
作出评论,而且还将他们送审的论文遗失了.这两件事常受到后世评论者的批评.
柯西在政治上属于保皇派,终身守节,非常执拗,1830 年法王查理十世(Charles Ⅹ)被逐,路
易·菲力普(Louis Phillippe)称帝.柯西由于拒绝宣誓效忠新皇帝,被革去职务,并出走意大利都
灵,后移居布拉格.1848 年,路易·菲力普君主政体被推翻,成立法兰西第二共和国,宣誓的规定
废除,柯西才回到巴黎高等工艺学院任教授.1852 年政变,共和国又变帝国,恢复了宣誓仪式,但
拿破仑三世( Napoleon Ⅲ)特地豁免柯西和物理学家阿拉哥(Arago)两人可以免除效忠宣誓,对于
皇帝的屈尊迁就,柯西的回报是将他的薪金捐赠给他曾住过的地方的穷人.
柯西有一句名言:“人总是要死的,但他们的业绩应该永存.”
·414·
阿贝尔(Abel,Niels H enrik)
阿贝尔是挪威数学家.1802 年 8 月 5 日生于芬岛(另一说克里斯蒂安桑),1829 年 4 月 6 日
卒于弗鲁兰.
阿贝尔的父亲是村子里的基督教牧师,家庭贫困.阿贝尔中学时代,得
到一位很有才华的数学教师霍尔姆博( Holmb�e)的教诲,引导他走上了数
学研究的道路.从 16 岁开始、就自学了牛顿、欧拉、拉格朗日、勒让德等人
的数学著作,被同学称为“数学迷”.阿贝尔 18 岁时,父亲便去世了,本来就
贫苦的家庭又失去了惟一的经济支持,全靠着几位教授和邻居的资助维持
生计.在 19 岁那年,阿贝尔进入了奥斯陆大学学习.
阿贝尔有惊人的早慧.当他还是一个中学生的时候,就按照高斯对二
项式方程的处理方法探讨高次方程的可解性问题.起初,他认为自己用根
式已经解决了一般的五次方程,但很快就发现了自己的错误.进大学后他继续研究这一问题,终
于在 1824 年证明了一般五次方程是不能像低次方程那样用根式求解,从而解决了使数学家困惑
300 年之久的一个难题,这时他年仅 22 岁.他自己出资印发了这个证明.另外,在 1823 年还发表
了其他一些论文,其中包括用积分方程解古典的等时线问题,可以说它是这类方程的第一个解
法,为积分方程在 19 世纪末 20 世纪初的全面发展开辟了道路.
阿贝尔深刻的数学思想超出了挪威数学界所能理解的水平,因此他渴望出访德、法等国.在
朋友和教授们的支持下,经过和政府的多次交涉,才获取了一笔不大的出国奖学金.
在柏林期间,他接受了高斯、柯西学派注重严格推导的学风,对分析中逻辑混乱、概念不清以
及证明中的有失严格深为不满.他曾尖锐地指出:“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之
处.这样一个完全没有计划和体系的分析,竟有那么多人研究过它,真是奇怪.最坏的是,从来没
有严格地对待过分析.”他给出了二项式定理对于所有复指数都是正确的证明,从而奠定了幂级
数收敛的一般理论,也是第一次给出这种级数展开式成立的可靠证明,从而解决了在实数和复数
范围内分别求幂级数的收敛区间和收敛半径的问题.他还纠正了柯西关于连续函数的一个收敛
级数的和一定连续的错误,并给出了例子:sin x -sin2 x
2+sin3 x3
+ ⋯,虽然此级数的每一项都是
连续的,但是,当 x = (2 n + 1)π,而 n 是整数时,此级数的和是不连续的.他还利用一致收敛的思
想,正确地证明了“连续函数为项的一个一致收敛级数的和,在收敛域内是连续的”,可惜他当时
未能从中把一致收敛的性质抽象概括出来,形成普遍的概念.阿贝尔这些工作有力地推进了分析
学的严格化.
阿贝尔在柏林结识了一位热情的业余数学爱好者克莱尔(Crelle),克莱尔对阿贝尔的才华十
分敬佩.阿贝尔则鼓励克莱尔创办《纯粹与应用数学学报》,这是世界上专载数学研究的第一个学
术刊物.该刊物前 3 期便登载了阿贝尔 22 篇文章,他的《五次方程代数解法不可能存在的证明》
就发表在创刊号上.阿贝尔把他关于五次方程的小册子寄给哥廷根大学的高斯,想借此作为晋谒
高斯的通行证.但不知什么原因高斯根本未看(因为在高斯死后 30 年,人们发现其遗物中的这本
·514·
小册子还没有启封),阿贝尔觉得受到冷遇,决心不再见高斯而径自去巴黎.
在巴黎他会见了柯西、勒让德、狄利克雷等人,但这些会面也是虚与敷衍,因为《纯粹与应用
数学学报》这个新刊物当时在法国几乎无人知道,而阿贝尔又太腼腆,不好意思在陌生人面前谈
论自己的著作,因此人们并没有真正认识到他是天才.在巴黎期间他完成了论著《论一类广泛的
超越函数的一般性质》.在这一论著中研究了∫R( x, y)d x 类型的积分,其中 R( x, y)是 x, y 的
任意有理函数,而 y表示 x 的代数函数.这时,特别要区别下列两种情况:若 y 表示三次和四次
多项式的平方根,则积分为椭圆积分;若 y高于四次多项式的平方根,则积分称为超椭圆积分.
形如∫R( x, y)d x 的积分,在数学中称为阿贝尔积分.阿贝尔当时把该论著呈给法国科学院,希
望这能引起法国数学家们对他的注意,勒让德和柯西被任命为评审人.但不幸稿件被柯西带回家
时,不知放在什么地方了,完全把它忘记了.阿贝尔空等了一段时间,终因旅资用尽而不得不返回
柏林.
在柏林他完成了关于椭圆函数的一篇开创性论文后就回到了挪威.他原希望回国后能被聘
为大学教授,但希望又一次落空.只能靠给私人补课谋生,或当代课教师,生活极其困苦,用他自
己的话来说“穷得就像教堂里的老鼠”.在这样艰苦的条件下,他仍坚持搞科研工作,主要研究椭
圆函数论,并开创这一数学分支.后来阿贝尔的声誉随着他的研究成果逐渐传到欧洲的所有数学
中心,但他却身处消息闭塞之地,毫无所知.更不幸的是 1829 年染上肺病,不久在贫病交加中去
世,终年不足 27 岁.死后的第三天柏林大学给他的数学教授聘书才寄到挪威,这也是常使后世数
学家无不为之深深惋惜的事情.
阿贝尔短促的一生,却在数学史上留下了光辉的篇章.数学中以他的姓氏命名的有:阿贝尔
群、阿贝尔变换、阿贝尔求和法、阿贝尔函数、阿贝尔范畴、阿贝尔扩张、阿贝尔定理、阿贝尔遍历
定理、阿贝尔连续性定理、阿贝尔方程、阿贝尔积分方程、阿贝尔微分、阿贝尔积分、阿贝尔射影算
子、阿贝尔问题⋯⋯著名数学家埃尔米特曾说:“阿贝尔留下来的问题,够数学家忙 500 年.”克莱
尔在他主编的《纯粹与应用数学学报》里写道:“阿贝尔在他的所有著作里都打下了天才的烙印,
表现出了不起的思维能力.我们可以说他能够穿透一切障碍深入问题的根底,具有似乎是无坚不
摧的气势⋯⋯他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众,使他的人品也像他的天才那样受
到不同寻常的爱戴.”德国著名数学家魏尔斯特拉斯( W eierstrass)说:“阿贝尔做出了永恒、不朽
的东西 ! 他的思想将永远给我们的科学以丰饶的影响.”
狄利克雷(Dirichlet,Peter Gustav Lejeune)
狄利克雷是德国数学家.1805 年 2 月 13 日生于迪伦;1859 年 5 月 5 日卒于哥廷根.
狄利克雷出生于一个具有法兰西血统的家庭.先在迪伦学习,后到哥廷根受业于高斯.1822
年到 1827 年间旅居巴黎当家庭教师.在此期间,他参加了以傅里叶为首的青年数学家小组的活
动,深受傅里叶学术思想的影响.1827 年在波兰布雷斯劳大学任讲师.从 1839 年起任柏林大学
教授.1855 年,高斯逝世后,他作为高斯的继任者被哥廷根大学聘任为教授,直至逝世.他 1831
年被选为普鲁士科学院院士,1855 年被选为英国皇家学会会员.
·614·
狄利克雷在数学和力学两个领域都作出了名垂史册的重大贡献,尤以
分析、数论、位势论为最.著名数学家阿贝尔说:“狄利克雷是一位极有洞察
力的数学家.”
在分析方面,他最卓越的工作是对傅里叶级数收敛性的研究.他在
1822—1825 年期间在巴黎会见傅里叶之后,对傅里叶级数产生了兴趣.日
本数学家丸山哲郎说:“把任意函数用三角级数表示出来的傅里叶方法,被
狄利克雷所继承,他给出了关于傅里叶级数的收敛性证明.”即 1829 年在
其论文《关于三角级数的收敛性》中,第一次对傅里叶级数的收敛性给出了
严谨的证明,得到了函数 f( x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件:“对于在[ -π,π]内有定义
且有限的、逐段连续且逐段单调的函数 f( x),其傅里叶级数在( -π,π)内收敛于12[ f( x + 0) +
f( x - 0)],在端点 x = ±π处收敛于12[ f( -π+ 0) + f(π- 0)].”这一研究还促使他将函数作了
一般化的推广.他给出了现今仍在使用的(单值)函数的定义:如果对于给定区间上的每一个 x
的值,有惟一的 y值同它对应,则 y就是 x 的一个函数.他还强调指出,在整个区间上 y 是否按
照一种或多种规律依赖于 x 或者 y依赖于 x 的方式能否用数学运算式来表达,都是无关紧要的.
在 1829 年,他给出了如下具有典型意义的例子:
y =c, 当 x 为有理数,
d, 当 x 为无理数.
这种与传统上迥然不同的函数表示,正是数学从研究函数的“计算”转变到研究函数的“概念、性质、
结构”的开始,他还讨论了当 μ无限增加时积分∫a
0f( x)
sinμxsin x
d x ( a > 0) 与∫b
af( x)
sinμxsin x
d x
( b > a > 0)的极值,这些积分至今仍以狄利克雷的姓氏命名.1837 年他证明了:对于一个绝对收
敛的级数,可以把它的项加以组合或重新排列,而不改变原级数的和.并且举例说明一个条件收
敛的级数其项经过一定的重新排列,而使级数的收敛和发生改变,例如,
1 -12
+13
-14
+15
-16
+17
-18
+ ⋯ = log2 (1)
若将其重排为
1 +13
-12
+15
+17
-14
+ ⋯ (2)
(即(2)中的项是(1)中的头两个正项之后接第一个负项,然后是其次两个正项之后接第二个负
项,如此等等)可以验证重排后的级数(2)收敛于32log2.他曾明确指出,由连续函数构成的函数
项级数,其和函数未必是连续函数.
狄利克雷是解析数论的创始人之一.1837 年,他在证明每个算术序列{ a + nb}(式中 a 与 b
互素)包含无穷多个素数时,创立了狄利克雷级数 ∑∞
n = 1
an n- z
,式中 an, z 是复数.他还证明了在
序列{ a + nb}中的素数的倒数之和是发散的.1838 年到 1839 年间,他得到了确定二次型类数的
公式.他用“若在 n 个抽样中,存在 n + 1 个事物,那么至少在 1 个抽样中,至少包含 2 个事物”的
·714·
狄利克雷抽样法,阐明代数数域的单位群的结构.狄利克雷发展了代数数域中关于单位的一般理
论.他的《数论讲义》(1863 年)及其补编中有许多关于理想方面的重要内容.在此书的第三版
(1879 年)中,还对阿贝尔群的特征指标作了一般性的描述。在 1841 年,他证明了关于在复数 a
+ bi 的级数中的素数的一个定理.他在 20 岁时的第一篇数学论文中,就证明当 n = 5 时,费马大
定理是正确的,但勒让德指出他的证明不完全,狄利克雷把自己的证明修改后,得出了完整的证
明并于 1828 年发表,当时他年仅 23 岁.
在力学和物理中,特别是位势理论方面,他有突出的贡献.例如,他把所谓狄利克雷原理引入
到变分法中.这一原理假定在已知边界条件下使积分∫[ V2
x + V2
y + V2
z ]dτ达到极小的函数 V 是
存在的,后来,这成为黎曼在位函数论中解决问题的一个强有力的工具.
狄利克雷是高斯的学生和继承人.他毕生敬仰高斯,对高斯的《算术研究》爱不释手,即使在
旅行中也总是随身携带并反复研究,睡觉前他总要努力阅读一些难懂的段落,睡觉时把它放在枕
头下面,希望在夜里醒来,重读一下,这些段落就清楚了.在 1849 年 7 月 16 日,哥廷根大学为高
斯获得博士学位 50 周年举行庆祝会,席间高斯要用《算术研究》的一页原稿点烟,狄利克雷发现
后不胜惊恐,立即冒失地从高斯手里夺了过来,并终生加以珍藏.他的《数论讲义》是高斯《算术研
究》的进一步发展.它不仅全面清晰地阐明了高斯的《算术研究》,而且也包含了他自己的不少创
见.《数论讲义》对后来很多的数学家,如黎曼、克罗内克( Kronecker)、艾森斯坦( Eisenstein)等都
产生过很大的影响.
自狄利克雷于 1855 年从柏林到哥廷根接替高斯的工作后,在德国便形成了两个重要的数学
研究中心,也可以说是具有不同风格柏林学派和哥廷根学派.狄利克雷很注重同德国、法国数学
家的交流.其主要论文收集在《狄利克雷论文集》里,共两卷,分别出版于 1889 年和 1897 年.
皮亚诺(Peano, Giuseppe)
皮亚诺是意大利数学家、逻辑学家.1858 年 8 月 27 日生于意大利的斯皮内塔(Spinetta),
1932 年 4 月 20 日卒于意大利的都灵.
皮亚诺 1876 年就读于都灵大学,1880 年以优异成绩毕业,继而担任
其导师的助手,1895 年升为教授.他还兼任过军事学院的教授,是都灵科
学院及其他许多科学机构的成员,1908 年被选为世界语研究所所长.
皮亚诺对数学作出了重要贡献:他在其名著《算术原理新方法》中完成
了对整数的公理化处理,并对逻辑符号有许多创新,例如他用∈表示属于,
用�表示包含,用 N0 表示自然数类,用 a + 表示后继于 a 的下一个自然
数,⋯,他引出这些符号的目的在于使推理更加简洁,虽然将数学完全符号
化而进行的努力,可以追溯到莱布尼茨,但与今日的符号逻辑相近的内容,
则是由皮亚诺等人开始建立的.他花费十多年,编著了五卷本的《数学公式》,这部巨著囊括了数
学各分支的 4 200 余条定理,并且完全采用纯粹数理逻辑的符号予以证明,但是他并不试图将数
学建立在逻辑上,对于他,逻辑只是数学的仆人;皮亚诺还将其公理化方法应用于其他领域,给出
·814·
了几何学上的几个公理系统;皮亚诺深入考察了大量数学概念,作出了充满空间的曲线(皮亚诺
曲线)等著名反例,他的工作所引起的另一个问题是曲线本身的定义;为了克服容量理论的局限
性,并为了把一个区域的面积概念严格化,他在其《无穷小计算的几何应用》中引进了区域的内容
量和外容量概念;皮亚诺第一个证明了当 f( x, y)连续时,一阶微分方程 y′= f( x, y)可解,以后
又将此结果进一步推广;皮亚诺在代数型理论,射影几何,向量分析,数值计算,数学史等方面都
有重要建树.在数学中以他的姓氏命名的有:皮亚诺型余项,皮亚诺曲线,皮亚诺曲面,皮亚诺公
理系统等.
值得指出,皮亚诺在都灵大学任教时,由于没有认真考虑学生的理解、接受能力,在讲课时大
量地使用了他自己创立的逻辑符号,学生不易理解,从而造了他的反,他许愿在考试时都让学生
成绩及格来取悦他们,但没有起作用,因而他被迫辞去了都灵大学的教授职位.然而他创立的逻
辑符号,可以使推理干净利落、书写简洁,受到了数学家们的推崇并沿用至今,从而大大地推动了
符号逻辑的发展.
·914·
附录二 简单不定积分表
1. 有理函数积分表:
(1)∫( ax + b)nd x =
( ax + b)n + 1
a( n + 1)+ C ( n≠ - 1).
(2)∫ d xax + b
=1aln| ax + b| + C.
(3) .∫x( ax + b)nd x =
( ax + b)n + 2
a2( n + 2)
-b( ax + b)
n + 1
a2( n + 1)
+ C
( n≠ - 1, - 2).
(4)∫ xd xax + b
=xa
-ba2 ln| ax + b| + C.
(5)∫ xd x( ax + b)
2 =b
a2( ax + b)
+1a2 ln| ax + b| + C.
(6)∫ x2d x
ax + b=
1a3
12( ax + b)
2- 2 b( ax + b) + b
2ln| ax + b| + C.
(7)∫ d xx( ax + b)
= -1bln
ax + bx
+ C.
(8)∫ d xx2( ax + b)
= -1bx
+ab2 ln
ax + bx
+ C.
(9)∫ d x( x
2+ a
2)
n = �x
2( n - 1) a2( x
2+ a
2)
n - 1 +2 n - 3
2( n - 1) a2∫ d x
( x2+ a
2)
n - 1 .
(10)∫ d xx2- a
2 =12 a
lnx - ax + a
+ C.
2. 无理函数积分表:
(11)∫ a2- x
2d x =
12
x a2- x
2+ a
2arc sin
xa
+ C (| x|≤ a).
(12)∫x2
a2- x
2d x = �
x8(2 x
2- a
2) a
2- x
2+
a4
8arcsin
xa+ C (| x|≤ a).
(13)∫ d x
a2- x
2= arcsin
xa+ C (| x|≤ a).
(14)∫ x2d x
a2- x
2= -
x2
a2- x
2+a2
2arcsin
xa
+ C (| x|≤ a).
(15)∫ a2+ x
2d x =
12 x a
2+ x
2+ a
2ln ( x + a
2+ x
2) + C.
(16)∫x a2+ x
2d x =
13( a
2+ x
2)3�/2
+ C.
·024·
(17)∫ a2+ x
2
xd x = a
2+ x
2- aln a + a
2+ x
2
x+ C.
(18)∫ d x
x2+ a
2= ln x + x
2+ a
2 + C.
(19)∫ xd x
x2+ a
2= x
2+ a
2+ C.
(20)∫ x2d x
x2+ a
2=
x2
x2+ a
2-a2
2ln ( x + x
2+ a
2) + C.
(21)∫ d x
x x2+ a
2= -
1aln a + x
2+ a
2
x+ C.
(22)∫ d x
x2
x2+ a
2= -
x2+ a
2
a2x
+ C.
(23)∫ x2- a
2d x =
12
x x2- a
2- a
2ln x + x
2- a
2+ C.
(24)∫x x2- a
2d x =
13( x
2- a
2)3�/2
+ C (| x|≥ a).
(25)∫ x2- a
2
xd x = x
2- a
2- a·arccos
ax+ C (| x|≥ a).
(26)∫ d x
x2- a
2= ln| x + x
2- a
2| + C (| x| > a).
(27)∫ xd x
x2- a
2= x
2- a
2+ C (| x| > a).
(28)∫ x2d x
x2- a
2= �
12 x x
2- a
2+ a
2ln| x + x
2- a
2| + C (| x| > a).
3. 三角函数类积分表:
(29)∫sin axd x = -1acos ax + C.
(30)∫sinnaxd x = -
sinn - 1
ax·cos axna
+n - 1n ∫sin
n - 2axd x ( n > 0).
(31)∫xsin axd x =sin axa2 -
xcos axa
+ C.
(32)∫xnsin axd x = -
xn
acos ax +
na∫x
n - 1cos axd x ( n > 0).
(33)∫ d xsin ax
=1aln|tan
ax2| + C.
(34)∫ d x1 + sin ax
=1atan
ax2
-π4
+ C.
(35)∫ d x1 - sin ax
=1atan
ax2
+π4
+ C.
(36)∫cos axd x =1asin ax + C.
·124·
(37)∫cosnaxd x =
cosn - 1
ax·sin axna
+n - 1n ∫cos
n - 2axd x ( n > 0).
(38)∫xcos axd x =cos ax
a2 +
xsin axa
+ C.
(39)∫xncos axd x =
xnsin axa
-na∫x
n - 1sin axd x ( n > 0).
(40)∫ d xcos ax
=1aln tan
ax2
+π4
+ C.
(41)∫ d x1 + cos ax
=1atan
ax2
+ C.
(42)∫ d x1 - cos ax
= -1acot
ax2
+ C.
(43)∫sin axcos axd x =12 a
sin2ax + C.
(44)∫sinnax·cos axd x =
1a( n + 1)
sinn + 1
ax + C.
(45)∫sin ax·cosnaxd x =
- 1a( n + 1)
cosn + 1
ax + C.
(46)∫ d xsin ax·cos ax
=1aln|tan ax| + C.
(47)∫sin axcos
nax
d x =1
a( n - 1)cosn - 1
ax+ C ( n≠1).
(48)∫ d xtan ax + 1
=x2
+12 a
ln|sin ax + cos ax| + C.
(49)∫ d xtan ax - 1
= -x2
-12 a
ln|sin ax - cos ax| + C.
4.指数函数积分表:
(50)∫ea xd x =
1aea x
+ C.
(51)∫xneaxd x =
1ax
nea x
-na∫x
n - 1e
axd x.
(52)∫ea x·sin bxd x =
eax
a2+ b
2 [ asin bx - bcos bx] + C.
(53)∫ea x·cos bxd x =
ea x
a2+ b
2 [ acos bx + bsin bx] + C.
(54)∫ea xsin
nxd x =
eaxsin
n - 1x
a2+ n
2 ( asin x - ncos x) +n( n - 1)a2+ n
2∫eaxsin
n - 2xd x.
(55)∫ea xcos
nxd x =
eaxcos
n - 1x
a2+ n
2 ( acos x + nsin x) +n( n - 1)a2+ n
2∫eaxcos
n - 2xd x.
5. 对数函数积分表:
(56)∫lnnxd x = xln
nx - n∫ln
n - 1xd x ( n∈N).
·224·
(57)∫xmln
nxd x =
xm + 1
lnnx
m + 1-
nm + 1∫x
mln
n - 1xd x ( m≠ - 1, n∈N).
(58)∫lnnx
xd x =
1n + 1
lnn + 1
x + C ( n≠ - 1).
(59)∫lnnx
xm d x = -
lnnx
( m - 1) xm - 1 +
nm - 1∫
lnn - 1
xx
m dx ( m≠1, n∈N).
(60)∫ 1xln x
d x =ln|ln x| + C ( x≠1).
(61)∫ d xx(ln x)
n = -1
( n - 1)lnn - 1
x+ C ( n≠1, x≠1).
(62)∫sin(ln x)d x =x2[sin(ln x)] - cos(ln x) + C.
(63)∫cos(ln x)d x =x2[sin(ln x) + cos(ln x)] + C.
6. 反三角函数积分表:
(64)∫arcsinxad x = xarcsin
xa
+ a2- x
2+ C.
(65)∫xarcsinxad x =
x2
2-a2
4arcsin
xa
+x4
a2- x
2+ C.
(66)∫arccosxad x = xarccos
xa- a
2- x
2+ C.
(67)∫xarccosxad x =
x2
2-
a2
4arccos
xa-
x4
a2- x
2+ C.
(68)∫arctanxad x = xarctan
xa
-a2ln( a
2+ x
2) + C.
(69)∫xarctanxad x =
12( a
2+ x
2)arctan
xa
-ax2
+ C.
(70)∫xnarctan
xad x =
xn + 1
n + 1arctan
xa
-a
n + 1∫xn + 1
a2+ x
2 d x ( n≠1).
(71)∫arccotxad x = xarccot
xa
+a2ln( a
2+ x
2) + C.
(72)∫xarccotxad x =
12( a
2+ x
2)arccot
xa+
ax2
+ C.
(73)∫xnarccot
xad x =
xn + 1
n + 1arccot
xa
+a
n + 1∫xn + 1
a2+ x
2 d x ( n≠ - 1).
由于本书篇幅所限,这个“简单不定积分表”,仅仅列出了 73 个常用的积分公式.在一般的数
学公式手册中,都用了较大的篇幅列出了大量积分公式,读者可去查用.
·324·
附录三 二阶、三阶行列式简介
一、二阶行列式
考察二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 = b2 .
利用消元法可得 �
x1 ( a11 a2 2 - a12 a21 ) = b1 a22 - b2 a1 2 ,
x2 ( a11 a2 2 - a12 a21 ) = b2 a11 - b1 a2 1 .
若 a1 1 a22 - a12 a21 ≠0,则可得
x1 =b1 a22 - b2 a12a1 1 a22 - a12 a21
, x2 =b2 a11 - b1 a21
a11 a22 - a1 2 a21
.
为了便于记忆与推广,引入二阶行列式的概念.
将四个数排成二行二列的表格,表示为
a1 1 a12
a2 1 a22
.
它表示一个数值 a1 1 a22 - a12 a21 .则称之为二阶行列式.其中 aij称为行列式的元素;横排称为行;
竖排称为列; aij中下标第一个数字表示这个元素所在的行数,第二个下标表示这个元素所在的
列数.
利用行列式可将所给方程组的解表示为
x1 =
b1 a12
b2 a22
a11 a1 2
a21 a2 2
, x2 =
a1 1 b1
a2 1 b2
a11 a12
a21 a22
.
二、三阶行列式
将九个数排成三行三列的表格,表示为
a11 a12 a1 3
a21 a22 a2 3
a31 a32 a3 3
,
并定义它表示一个数值,其数值为
a1 1 a12 a13
a2 1 a22 a23
a3 1 a32 a33
= a11a2 2 a23
a3 2 a33
- a12
a21 a23
a31 a33+ a1 3
a21 a22
a31 a32
,
·424·
则称这个表为三阶行列式.
三、三阶行列式的性质
性质 1 将行列式的行改为列,将列改为行,但原来的序号不变,则行列式的值不变.即
a11 a2 1 a31
a12 a2 2 a32
a13 a2 3 a33
=
a11 a12 a1 3
a21 a22 a2 3
a31 a32 a3 3
.
这个性质表明对于行列式行成立的性质,对于其列也一定成立.
性质 2 交换行列式的两行,则行列式的符号改变,但绝对值不变.即
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
= -
a11 a1 2 a13
a21 a2 2 a23
a31 a3 2 a33
.
性质 3 行列式有两行元素相同,则其值为零.
性质 4 行列式的某行的所有元素同乘以 k,则其值等于数 k 乘这个行列式.即
ka11 ka12 ka13
a2 1 a2 2 a23
a3 1 a3 2 a33
= k
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
又可以说若行列式某行元素有公因子 k,则其公因子 k可以提到行列式外面来.
推论 1 行列式中有两行元素对应成比例,则其值为零.
推论 2 行列中有一行元素全为零,则其值为零.
行列式某一行元素为两项式,则此行列式可以化为两个行列式之和,例如:
性质 5
a1 1 + b11 a12 + b12 a13 + b13
a21 a2 2 a2 3
a31 a3 2 a3 3
=
a11 a12 a1 3
a21 a22 a2 3
a31 a32 a3 3
+
b11 b12 b1 3
a2 1 a22 a23
a3 1 a32 a33
.
性质 6 行列式的某一行所有元素同乘以一个常数加到另一行对应元素上去,行列式的值
不变.例如
a11 a12 a13
a21 + ka31 a2 2 + ka3 2 a23 + ka33
a31 a32 a33
=
a11 a12 a1 3
a21 a22 a2 3
a31 a32 a3 3
.
例 1 计算行列式1 3
2 - 5.
解 1 3
2 - 5= 1·( - 5) - 3·2 = - 11.
例 2 计算行列式
1 - 2 - 1
2 1 3
0 2 1
.
解 依三阶行列式定义,有
·524·
1 - 2 - 1
2 1 3
0 2 1
= 1·1 3
2 1- ( - 2)
2 3
0 1+ ( - 1)
2 1
0 2
= (1·1 - 2·3) + 2(2·1 - 3·0) - (2·2 - 1·0)
= - 5.
例 3 计算
1 2 - 1
2 1 5
- 2 - 4 2
.
解 由于第一行元素与第三行元素成比例,可知
1 2 - 1
2 1 5
- 2 - 4 2
= 0.
有了三阶行列式,易于导出三元线性方程组的解表达式.
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .
若记
D =
a11 a12 a1 3
a21 a22 a2 3
a31 a32 a3 3
, D1 =
b1 a12 a1 3
b2 a22 a2 3
b3 a32 a3 3
,
D2 =
a1 1 b1 a13
a2 1 b2 a23
a3 1 b3 a33
, D 3 =
a1 1 a12 b1
a2 1 a22 b2
a3 1 a32 b3
,
当 D≠0 时,所给方程组的解为
x1 =D1
D, x2 =
D2
D, x3 =
D3
D.
·624·
附录四 常用的初等数学公式
一、代数式
1. 乘法公式
( a + b)( a - b) = a2- b
2;
( a± b)2= a
2±2 ab + b
2;
( a± b)3= a
3±3 a
2b + 3 ab
2± b
3;
( a± b)( a2ê ab + b
2) = a
3± b
3.
2. 根式运算公式n
ab =n
a·n
b ( a≥0, b≥0);n
ab
=n
an
b ( a≥0, b > 0);
(n
a)m=
n
am ( a≥0);
mn
a =m n
a ( a≥0).
二、一元二次方程求根公式
ax2+ bx + c = 0 ( a≠0),
求根公式 x =- b± b
2- 4 ac
2 a.
三、指数运算公式
a0= 1 ( a≠0);
a- n
=1an ( a≠0);
amn =
n
am ( a≥0);
a-
mn =
1n
am ( a > 0);
am·a
n= a
m + n,( a
m)
n= a
m n;
( ab)m= a
m·b
m.
四、对数运算公式
loga ( M N) = log a M + loga N;
logaMN
=loga M - log a N;
loga Mn= nlog a M ;
loga
n
M =1nlog a M .
·724·
基本恒等式 alog
aN= N.
换底公式 loga N =logb Nlogb a
( b > 0, b≠1),
以 10 为底的对数称为常用对数,记作lg N.
以 e 为底的对数称为自然对数,记作 ln N.
五、三角公式
1. 平方和关系
sin2α+ cos
2α= 1; 1 + tan
2α= sec
2α; 1 + cot
2α= csc
2α.
2. 倍角关系
sin 2α= 2sin α·cos α;
cos 2α= cos2α- sin
2α= 1 - 2sin
2α= 2cos
2α- 1.
3. 两角和差公式
sin (α±β) = sin α·cos β±cosα·sin β
cos (α±β) = cos α·cosβê sin α·sin β
六、数列
1. 等差数列
一般形式 a1 , a1 + d, a1 + 2 d,⋯, a1 + ( n - 1) d,⋯.
通项公式 an = a1 + ( n - 1) d.
前 n 项和公式:
Sn =n( a1 + an )
2 或 Sn = na1 +
n( n - 1)2
d.
2. 等比数列
一般形式 a1 , a1 q, a1 q2,⋯, a1 q
n - 1,⋯.
通项公式 an = a1 qn - 1
.
前 n 项和公式:
Sn =a1 (1 - q
n)
1 - q 或 Sn =
a1 - an q1 - q
( q≠1).
·824·
附录五 检 测 题
检测题(一)
1999 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
(非 师 范 类)
高等数学(一)试题
考生注意:根据国标要求,试卷中正切函数、余切函数、反正切函数和反余切函数分别用
tan x、cot x、arctan x 和 arccot x 表示.
一、选择题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.
1. 设 f( x) =1 - cos
2x
x2 .当 x≠0 时, F( x) = f( x).若 F( x)在点 x = 0 处连续,则 F(0)等
于
A. - 1; aB. 0;
C. 1; D. 2. 【 】
2. 若级数∑∞
n = 1
un 收敛,记 Sn = ∑n
i = 1
ui ,则
A. limn→ ∞
Sn = 0; B. limn→∞
Sn 存在;
C. limn→ ∞
Sn 可能不存在; D. { Sn }为单调数列. 【 】
3. 设有直线x0
=y4
=z- 3
,则该直线必定
A. 过原点且垂直于 x 轴; B. 过原点且平行于 x 轴;
C. 不过原点,但垂直于 x 轴; D. 不过原点,但平行于 x 轴. 【 】
4. 设 f( x)为[ - a, a]上的连续函数,则定积分∫a
- af(- x)d x 等于
A. 0; B. 2∫a
0f( x) d x;
C. -∫a
- af( x)d x; D.∫
a
- af( x)d x. 【 】
5. 设函数 f( x)在[ a, b]上连续,在( a, b)内可导,则
A. 至少存在一点ξ∈( a, b),使得 f′(ξ) = 0;
·924·
B. 当ξ∈( a, b)时,必有 f′(ξ) = 0;
C. 至少存在一点ξ∈( a, b),使得 f′(ξ) =f( b) - f( a)
b - a;
D. 当 ξ∈( a, b)时,必有 f′(ξ) =f( b) - f( a)
b - a. 【 】
二、填空题:本大题共 10 个小题,共 10 个空,每空 4 分,共 40 分.把答案填在题中横线上.
6. 设 y = 3u, u = v
2, v = tan x,则复合函数 y = f( x) = .
7. 设 y = xe+ e
x+ln x + e
e,则 y′= .
8. 设函数 y = f( x)在点 x0 处可导,且在点 x0 处取得极小值,则曲线 y = f( x)在点( x0 ,
f( x0 ))处的切线方程为 .
9. 函数 f( x) =x
3
3 - x的间断点为 x = .
10. 定积分∫1
12
1x2 e
1x d x = .
11. 设 ex+ sin x 是 f( x)的一个原函数,则 f′( x) = .
12. 若广义积分∫+ ∞
0
k1 + x
2 d x = 1,其中 k 为常数,则 k = .
13. 二阶常系数线性齐次微分方程 y″+ y′- 2 y = 0 的通解为 .
14. 设二元函数 z =ln( x + y2),则 d z x = 1
y = 0
= .
15. 级数 ∑∞
n = 1
( x - 1)n
2 n的收敛区间(不考虑端点) 为 .
三、计算题与证明题:本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分.
16. 设 F( x) = (2x+ 2
- x) f( x),其中 f( x)为( - ∞, + ∞)内的奇函数,判定 F( x)在
( - ∞, + ∞)内的奇偶性.
17. 求点 M 0 (1,2,1)到平面 π:3 x - 4 y + 5 z + 2 = 0 的距离.
18. 求极限limx→ ∞
x(cos1x- 1).
19. 设函数 y = xcos x
,求 y′.
20. 求曲线 y =( x - 1)
2
( x + 1)3 的渐近线.
21. 计算定积分∫e
1
d xx(2 x + 1)
.
22. 设二元函数 z = tan ( xy2),求
�z�x
,�z�y
.
23. 研究级数 ∑∞
n = 1
( - 1)n - 1 1
na 的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散),其中
常数 a≥0.
24. 计算二重积分�D
xd xd y,其中区域 D 是由 x2+ y
2≤4, x≥0, y≥0 所确定的平面区域.
·034·
25. 设 f( x)是区间[ a, b]上的连续函数,证明:对于任意 x∈( a, b),总有
∫b
ad x∫
x
af( y)d y =∫
b
af( x)( b - x)d x.
四、解答题:本大题共 3 个小题,每小题 10 分,共 30 分.
26. 求微分方程( x + 1) y″- y′+ 1 = 0 满足条件 y′(0) = 2, y(0) = 1的特解.
27. 设 y =∫x
0te
- tdt,求该函数的极值及曲线 y =∫
x
0te
- tdt的拐点.
28. 设抛物线 y2= 2 x 与该曲线在点(
12,1)处的法线所围平面图形为 D,求 D 的面积.
检测题(一)
1999 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学(一)试题参考答案
一、选择题:每小题 4 分,共 20 分.
1. C; 2. B; 3. A ; 4. D; 5. C.
二、填空题:每空 4 分,共 40 分.
6. 3tan2x ; �7. e xe - 1 + e x +
1x;
8. y = f( x0 ); 9. 3;
10. e2 - e; 11. ex - sin x;
12.2π
; 13. y = C1 ex+ C2 e
- 2 x;
14. d x; 15. (0,2)[或 0 < x < 2].
三、计算题与证明题:每小题 6 分,共 60 分.
16. 设 F( x) = (2 x + 2 - x ) f( x),其中 f( x)为( - ∞, + ∞)内的奇函数,判定 F( x)在( - ∞, + ∞)内的奇偶
性.
解 �F( - x) = (2 - x + 2 x ) f( - x),
由于 f( x)为( - ∞, + ∞)内的奇函数,
因此, f( - x) = - f( x),
F( - x) = - (2 - x + 2 x ) f( x) = - F( x),
故知 F( x)为( - ∞, + ∞)内的奇函数.
17. 求点 M 0 (1,2,1)到平面π:3 x - 4 y + 5 z + 2 = 0 的距离.
解 d b=| Ax0 + By0 + Cz0 + D|
A2 + B2 + C2
=|3×1 - 4×2 + 5×1 + 2|
32+ ( - 4)
2+ 5
2
=2
50=
25.
18. 求极限limx→∞
x cos1x
- 1 .
·134·
解法 1 ` limx→∞
x cos1x
- 1 = limx→∞
cos1x- 1
1x
令 x =1t
limt→0
cos t - 1t
= limt→0
( - sin t) = 0.
解法 2 ` limx→∞
x cos1x
- 1
令 x =1t
limt→0
cos t - 1t
= limt→0
- 2sin2 t
2t
= - limt→0
t2
= 0.
19. 设函数 y = xcos x ,求 y′.
解 �对 y= xcos x两边取对数,
ln y = cos xln x,
1yy′= - sin x·ln x +
1xcos x,
y′= xcos x 1
xcos x - sin x·ln x .
20. 求曲线 y =( x - 1)2
( x + 1)3的渐近线.
解 �limx→ - 1
y = limx→ - 1
( x - 1)2
( x + 1)3 = ∞,
因此, x = - 1 为铅直渐近线.
limx→∞
y = limx→∞
( x - 1)2
( x + 1)3 = 0,
因此, y = 0 为水平渐近线.
21. 计算定积分∫e
1
d xx(2 x + 1)
.
解法 1 ` ∫e
1
d xx(2 x + 1)
=∫e
1
1xd x - 2∫
e
1
12 x + 1
d x
= ln xe
1
- ln(2 x + 1)e
1
= 1 - ln (2e + 1) + ln 3(或 = 1 - ln13(2e + 1)).
解法 2 ` ∫e
1
d xx(2 x + 1)
=∫e
1
d x2 x
2+ x
=∫e
1
d x
2 x +14
2
-18
= 8∫e
1
d x
16 x +14
2
- 1
= 4∫e
1
1(4 x + 1) - 1
-1
(4 x + 1) + 1d x
= ln4 x
4 x + 2
e
1
= ln2e
2e + 1- ln
23
或 =ln3e
2e + 1.
22. 设二元函数 z = tan( xy2),求
�z�x
,�z�y
.
解 ��z�x
= y2sec
2( xy
2) 或
�z�x
=y2
cos2 ( xy2 ),
·234·
�z�y
= 2 xysec2 ( xy2 ) 或�z�y
=2 xy
cos2 ( xy2 ).
23. 研究级数 ∑∞
n = 1
( - 1) n - 1 1na 的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散),其中常数 a≥0.
解 �∑∞
n = 1
( - 1) n - 1 1na为交错级数. un = ( - 1) n - 1 1
na ,| un | =
1na ,
当 a > 1 时,由 p 级数可知,∑∞
n = 1
| un |收敛,因此
∑∞
n = 1
( - 1) n - 1 1na绝对收敛.
当 0 < a≤1 时,由 p 级数可知,∑∞
n = 1
| un |发散.若记珔u n =1na,则lim
n→∞珔u n = 0,且珔un + 1 < 珔un .由莱布尼茨准
则可知当 0 < a≤1 时,∑∞
n = 1
( - 1) n - 1 1na 条件收敛.当 a = 0 时,原级数为 ∑
∞
n = 1
( - 1) n - 1发散.
24. 计算二重积分�D
xd xd y,其中区域 D 是由 x2+ y
2≤4, x≥0, y≥0 所确定的平面区域.
解法 1 �用极坐标计算
D:0≤r≤2,0≤θ≤π2,
则 �D
xd xd y =∫π2
0dθ∫
2
0r2cos θdr =
13∫
π2
0cosθ·r3
2
0
dθ
=83∫
π2
0cosθdθ=
83.
解法 2 �用直角坐标计算,化为先对 x 积分,后对 y积分
�D
xd xd y =∫2
0d y∫
4 - y2
0xd x =
12∫
2
0x2
4 - y2
0
d y
=12∫
2
0(4 - y2 )d y =
83.
解法 3 �用直角坐标计算,化为先对 y积分,后对 x积分
�D
xd xd y =∫2
0d x∫
4 - x2
0xd y =∫
2
0x 4 - x2 d x
=- 13
(4 - x2 )32
2
0
=83.
25. �设 f( x)为区间[ a, b]上的连续函数,
证明:对于任意 x∈( a, b),总有
∫b
ad x∫
x
af( y)d y =∫
b
af( x)( b - x)d x.
证法一 积分区域 D 为:
a≤ x≤ b, a≤ y≤ x,
交换积分次序
∫b
ad x∫
x
af( y)d y =∫
b
ad y∫
b
yf( y)d x
=∫b
af( y) x
b
yd y =∫
b
af( y)( b - y)d y
·334·
=∫b
af( x)( b - x)d x.
因此原命题成立.
证法二 令 g( x) =∫x
af( y)d y 则 g( a) = 0, g( b) =∫
b
af( y)d y =∫
b
af( x)d x,且 g′( x) = f( x),
∫b
ad x∫
x
af( y)d y =∫
b
ag( x)d x
= xg( x)b
a
-∫b
axf( x)d x
= b·g( b) -∫b
axf( x)d x
= b·∫b
af( x)d x -∫
b
axf( x)d x
=∫b
a( b - x) f( x)d x.
四、解答题:每小题 10 分,共 30 分.
26. 求微分方程( x + 1) y″- y′+ 1 = 0 满足条件 y′(0) = 2, y(0) = 1 的特解.
解 �令 y′= p,则 y″= p′,
( x + 1) p′- p + 1 = 0,
d pp - 1
=d xx + 1
,
ln( p - 1) = ln( x + 1) + C1 ,
又 x = 0 时, p = y′(0) = 2 得 C1 = 0,
故 p = x + 2,即d yd x
= x + 2.
可得 y =12
x2 + 2 x + C2 .
又 x = 0 时, y(0) = 1,
可得 C2 = 1,
故 y =12
x2 + 2 x + 1.
27. 设 y =∫x
0te
- td t,求该函数的极值及曲线 y =∫
x
0te
- tdt的拐点.
解 �y′= xe - x ,令 y′= 0,得惟一驻点 x = 0,
y″= e - x - xe- x = (1 - x)e - x ,
y″x = 0
= 1 > 0,
因此, x = 0 为极小值点,且 yx = 0
=∫0
0te
- tdt = 0 为极小值.
令 y″= 0,得 x = 1,
当 x < 1 时,y″> 0; x > 1 时,y″< 0. �
且 y(1) R=∫1
0te
- td t = - te
- t1
0+∫
1
0e- tdt
= - e- 1
- e- t
1
0= 1 -
2e
·434·
因此(1,1 -2e)为拐点.
28. 设抛物线 y2= 2 x 与该曲线在点
12,1 处的法线所围平面图形为 D,求 D 的面积.
解法 1
y2= 2 x,则 y′=
1y.
故抛物线 y2 = 2 x 在点12,1 处法线方程的斜率 k = -
1y′ 1
2,1
= - 1,
因而,法线方程为 y- 1 = - ( x -12)或 x + y =
32.
由
y2 = 2 x,
x =32
- y,
得法线与抛物线交点12,1 ,
92, - 3 .
S D =∫1
- 3
32
- y -y2
2d y =
32
y -12
y2 -16
y31
- 3
=163.
解法 2 前面部分同解法一
SD �=∫12
0( 2 x - ( - 2 x))d x +∫
92
12
32
- x - ( - 2 x) d x
=43
2· x32
12
0+
32
x -x2
2+
23
2 x32
92
12
=163.
·534·
检测题(二)
2002 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学(一)试题
一、选择题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.
1. 极限 limx→ ∞
sin 2 xx
等于
A. 0; �B.12; �C. 1; XD. 2. 【 】
2. 设 f( x)为连续函数,则dd x∫f( x)d x 等于
A. f( x) + C; B. f′( x) + C; C. f( x); D. f′( x). 【 】
3. 设常数 k≠0,则级数 ∑∞
n = 1
( - 1)n kn2 为
A. 条件收敛; B. 绝对收敛; C. 发散; D. 收敛性与 k有关. 【 】
4. 方程 z = x2+ y
2表示的二次曲面是
A. 椭球面; B. 柱面; C. 圆锥面; D. 抛物面. 【 】
5. 设函数 f( x)在[ a, b]上连续,在( a, b)内可导, f( a) = f( b).则曲线 y = f( x)在( a, b)
内平行于 x 轴的切线
A. 仅有一条; B. 至少有一条; C. 不一定存在; D. 不存在. 【 】
二、填空题:本大题共 10 个小题,共 10 个空,每空 4 分,共 40 分.把答案填在题中横线上.
6. 设 f( x) =1x,则 f( f( x)) = .
7. 极限limx→ 2
x2+ x - 6x2- 4
= .
8. 由曲线 y = x3, y = 0, x = - 1, x = 1 所围图形的面积为 .
9. 曲线 y = x3- 3 x
2- x 的拐点坐标为 .
10. 设 x2为 f( x)的一个原函数,则 f( x) = .
11. 设平面 π过点(1, 0, - 1)且与平面 4 x - y + 2 z - 8 = 0 平行,则平面 π的方程为
.
12. 设 z =ln x +y2 x
,则�z�x (1 ,0)
= .
13. 交换二次积分次序:∫1
0d x∫
x
0f( x, y)d y = .
14. 幂级数 ∑∞
n = 1
( x - 2)n
n2 的收敛半径为 .
·634·
15. 微分方程 y″+ y′= 0 的通解为 .
三、计算题:本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分.
16. 计算 limx→0
ex+ e
- x- 2
x2 .
17. 计算 limx→0
2 + x2 - x
1x
.
18. 设函数 f( x) =
tan axx
, x < 0,
x + 2, x≥0
在 x = 0 处连续,求 a 的值.
19. 设函数 y = y( x)由方程 y + arcsin x = ex + y
确定,求 d y.
20. 设x =∫
t
0sin u
2d u,
y = cos t2,
,求dyd x
.
21. 计算∫ ex
1 + ex d x.
22. 计算∫4
1
1
x(1 + x)d x.
23. 设函数 z = arctan ( xy) + 2 x2+ y,求 d z.
24. 设函数 z =ln (1 - x + y) + x2y,求
�2z
�x�y.
25. 将函数 f( x) = x2e2 x展开成 x 的幂级数.
四、综合题:本大题共 3 个小题,每小题 10 分,共 30 分.
26. 求函数 f( x) =∫x
12
ln tdt 的极值点与极值.
27. 设曲线 y = f( x)上任一点( x, y)处的切线斜率为yx
+ x2,且该曲线经过点 1,
12
.
(1) 求函数 y = f( x);
(2) 求由曲线 y = f( x), y = 0, x = 1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V.
28. 设平面薄板所占 xOy 平面上的区域 D 为 1≤ x2+ y
2≤4, x≥0, y≥0,其面密度为
μ( x, y) = x2+ y
2,求该薄板的质量 m .
检测题(二)
2002 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学(一)试题参考答案
一、选择题
1. A; I2. C; 3. B; 4. D; 5. B.
·734·
二、填空题
6. x; 7.54; 8.
12; 9. (1, - 3);
10. 2 x; 11. 4( x - 1) - y + 2( z + 1) = 0(或 4 x - y + 2 z - 2 = 0);
12. 1; 13.∫1
0d y∫
1
yf( x, y)d x ;
14. 1; 15. y = C1 + C 2 e- x .
三、计算题
16. 计算 limx→0
ex + e- x - 2x2 .
解: limx→0
ex + e- x - 2x2 = lim
x→0
ex - e - x
2 x= lim
x→0
e x + e - x
2= 1.
17. 计算 limx→0
2 + x2 - x
1x.
解法 1 limx→0
2 + x2 - x
1x= lim
x→0
1 +x2
1 -x2
1x
= limx→0
1 +x2
1x
1 -x2
1x
=e
12
e- 12
= e.
解法 2 limx→0
2 + x2 - x
1x
= limx→0
1 +2 x2 - x
2 - x2 x
·2
2 - x
= e.
18. 设函数 f( x) =tan ax
x, x < 0,
x + 2, x≥0
在 x = 0 处连续,求 a 的值.
解: Rlimx→0
-f( x) = lim
x→0-
tan axx
= a,
limx→0
+f( x) = lim
x→0+( x + 2) = 2.
由于 f( x)在 x = 0 处连续,所以
limx→0
-f( x) = lim
x→0+f( x),
故 a = 2.
19. 设函数 y = y( x)由方程 y+ arcsin x = ex + y确定,求 d y.
解法 1 �将方程两端求微分,得
dy + d arcsin x = dex + y ,
d y +1
1 - x2d x = e
x + y(d x + d y),
d y =1 - x2 ex + y - 1
1 - x2 (1 - e x + y )d x.
解法 2 将方程两端关于 x 求导,得
y′+1
1 - x2= (1 + y′)ex + y ,
y′=1 - x
2ex + y
- 1
1 - x2(1 - e
x + y),
d y = y′d x =1 - x2 e x + y - 1
1 - x2 (1 - ex + y )d x.
·834·
20. 设x =∫
t
0sin u2 d u,
y = cos t2,
,求dyd x
.
解: 2d xdt
= sin t2,d yd t
= - 2 tsin t2,
d yd x
=
d ydtd xdt
=- 2 tsin t
2
sin t2= - 2 t.
21. 计算 ∫ ex
1 + ex d x.
解:∫ ex
1 + e x d x =∫ 11 + ex de
x = ln(1 + ex) + C.
22. 计算∫4
1
1
x(1 + x)d x.
解法 1 设 t= x,则 x %= t2 ,d x = 2 tdt,代入即得
∫4
1
1
x(1 + x)d x �=∫
2
1
2 tt(1 + t2 )
dt
= 2∫2
1
11 + t
2 d t
= 2arctan t2
1
= 2 arctan 2 -π4
.
解法 2 ∫4
1
1
x(1 + x)d x z=∫
4
1
2
1 + ( x)2d x = 2arctan x
4
1
= 2 arctan 2 -π4
.
23. 设函数 z = arctan ( xy) + 2 x2+ y,求 d z.
解法 1 将方程两端求微分,得
dz �=1
1 + x2y2 d( xy) + 4 xd x + d y =
11 + x
2y2 ( yd x + xd y) + 4 xd x + d y
=y
1 + x2 y2+ 4 x d x +
x1 + x2 y2
+ 1 d y.
解法 2 将方程两端分别对 x, y 求偏导,得
�z�x
=y
1 + x2 y2+ 4 x,
�z�y
=x
1 + x2 y2+ 1,
d z �=�z�x
d x +�z�y
d y
=y
1 + x2y2 + 4 x d x +
x1 + x
2y2 + 1 d y.
24. 设函数 z = ln (1 - x + y) + x2y,求
�2z
�x�y.
解: ��z�x
=- 1
1 - x + y+ 2 xy,
�2z
�x�y=
1(1 - x + y)2
+ 2 x.
25. 将函数 f( x) = x2 e2 x展开成 x 的幂级数.
·934·
解: 2e x = ∑∞
n = 0
xn
n !,e2 x = ∑
∞
n = 0
2nxn
n !,
x2e2 x
= ∑∞
n = 0
2nxn+ 2
n !, x ∈ (- ∞, + ∞).
四、综合题:
26. 求函数 f( x) =∫x
12
ln tdt 的极值点与极值.
解法 1 �f′( x) = ln x,
令 f′( x) = 0,得 x = 1.
而 f″( x) =1x, f″(1) = 1 > 0,
所以 x = 1 为 f( x)的极小值点.
f( x)的极小值为
∫1
12
ln td t = tlnt1
12
-∫1
12
dt =12(ln 2 - 1).
解法 2 �f( x) �= tlntx
12
-∫x
12
dt = xln x - x +12(1 + ln2),
f′( x) = ln x,
令 f′( x) = 0,得 x = 1.
而 f″( x) =1x, f″(1) = 1 > 0,
所以 x = 1 为 f( x)的极小值点.
f( x)的极小值为
f(1) = - 1 +12(1 + ln 2) =
12(ln 2 - 1).
27. 设曲线 y = f( x)上任一点( x, y)处的切线斜率为yx
+ x2,且该曲线经过点 1,
12
.
(1) 求函数 y = f( x);
(2) 求由曲线 y = f( x), y = 0, x = 1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V.
解: (1) �d yd x
=yx
+ x2 , y′-1xy = x2 , �
y B= e-∫ - 1
xd x∫x
2e∫ - 1
xd xd x + C
= x12
x2 + C ,
由 yx = 1
=12知 C = 0,故 f( x) =
12
x3 .
(2) V =∫1
0πf2 ( x)d x =
π4∫
1
0x6 d x =
π28
.
28. 设平面薄板所占 xOy 平面上的区域 D 为 1≤ x2+ y
2≤4, x≥0, y≥0,其面密度为μ( x, y) = x
2+ y
2,求
该薄板的质量 m.
解法 1 �m =�D
μ( x, y)dσ =�D
( x2 + y2 )d xd y .
在极坐标系下,区域 D 可表示为:
0≤θ≤π2,1≤ r≤2.
·044·
因此 m =∫π2
0dθ∫
2
1r3 d r =
π8(24 - 1) =
158π.
解法 2 m �=�D
μ( x, y)dσ =�D
( x2+ y
2)d xd y
=∫1
0d x∫
4- x2
1- x2( x2 + y2 )d y +∫
2
1d x∫
4 - x2
0( x2 + y2 )d y
=∫1
0x2y +
y3
3
4 - x2
1 - x2d x +∫
2
1x2y +
y3
3
4 - x2
0d x
=158π.
·144·