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ECONOMETRIA II(2001/2002)

Modelizao Univariada de Sries Temporais: uma IntroduoArtur C. B. da Silva Lopes

Instituto Superior de Economia e Gesto Universidade Tcnica de Lisboa

Nota Introdutria Estas notas foram elaboradas com o propsito de apoiar o estudo dos alunos da disciplina de Econometria II do ISEG, no ano lectivo de 2001/2002, relativamente matria do captulo 4 do programa. A principal fonte empregue foi o livro de Jonhston, J. e DiNardo, J. (1997), Econometric Methods, 4th ed. [JD], mas procurouse simplicar a abordagem a seguida. No entanto, por vezes este texto segue esse livro de perto. O leitor interessado tambm poder consultar, entre muitas outras, as seguintes obras adicionais: Franses, Philip Hans (1998), Time Series Models for Business and Economic Forecasting, Mills, Terence C. (1992), Time Series Techniques for Economics e Mills, Terence C. (1999), The Econometric Modelling of Financial Time Series, 2nd ed. . Todos estes livros so da Cambridge University Press. Tambm o texto de Cochrane, J. H. (1997), Time Series for Macroeconomics and Finance, disponvel (em formato PDF) em http://gsbwww.uchicago.edu/fac/john.cochrane.research/Papers/timeser1.pdf, embora no contendo uma abordagem estatstica, recomendado pela sua acessibilidade. Agradeo os comentrios da colega Isabel Proena. Comentrios adicionais, sugestes e crticas sero muito bem-vindos!

Lisboa, 25 de Abril de 2002 Artur C. B. da Silva Lopes

2

ndice1 Introduo 2 Preliminares 2.1 O operador de desfasamento (lag operator) 2.2 O operador de diferenciao . . . . . . . . 2.3 Polinmios em L . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Modelizao ARMA . . . . . . . . . . . . 3 Sries Estacionrias e 3.1 O Caso do AR(1) . 3.2 Raiz Unitria . . . 3.3 Anlise Grca . . No . . . . . . . . . 4 5 5 6 6 6 7 8 9 10 13 16 19 20 20 21 22 24 (TSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ou por . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . diferenci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 29 29 32 33

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Estacionrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Modelos ARMA para Sries Estacionrias 5 Previso 6 Modelos Autoregressivos 6.1 Estimao . . . . . . . 6.2 Seleco . . . . . . . . 6.3 Testes-diagnstico . . . 6.4 Exemplo . . . . . . . .

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7 Anlise de Estacionaridade 7.1 Sries econmicas: estacionrias em tendncia ao (DSP)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Testes de razes unitrias: Testes DF e ADF . 7.2.1 Testes DF . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Testes ADF . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1

Introduo

Neste captulo o estudo incide exclusivamente sobre a modelizao de sries temporais econmicas, isto , de variveis econmicas observadas ao longo do tempo. Mais ainda: trata-se apenas da chamada modelizao univariada ou extrapolativa. Diz-se univariada porque se despreza a possibilidade de existirem relaes entre a varivel de interesse (yt ) e outras variveis econmicas. Assim, o comportamento de yt explicado apenas com base na sua histria passada e nos valores corrente e passados de um erro estocstico, assumido evoluir segundo um processo rudo branco ({ t }): yt = f (yt1 , yt2 , . . . , t ,t1 , . . .), t

iid(0, 2 ).

Para tornar operacional esta relao necessrio especicar: a) a sua forma funcional e b) os nmeros de desfasamentos (lags) de yt e de t . Relativamente ao primeiro aspecto saliente-se que s consideraremos modelos lineares (mas note-se que o estudo dos modelos no-lineares est em franca expanso). Relativamente ao segundo, de acordo com a sua estrutura e o seus desfasamentos teremos vrios modelos, j apresentados no captulo 2: AR(1) : MA(1) : MA(q) : yt =t

yt = yt1 + t , yt = 1 t1 , tq .

AR(p) : yt = 1 yt1 + . . . + p ytp + t ,t

t1

. . . q

Como sabido, todos estes modelos podem ser vistos como casos particulares do modelo (misto) ARMA(p, q): yt = 1 yt1 + 2 yt2 + . . . + p ytp +t

1

t1

. . . q

tq .

Note-se ainda que todos estes modelos podem ser aumentados atravs da introduo de variveis determinsticas: constante, tendncia, dummies sazonais, etc.. Porqu modelizao extrapolativa? Porque o principal objectivo destes modelos o de prever os valores futuros das variveis extrapolando o seu comportamento passado. Contudo, note-se que esta extrapolao algo sosticada, pois baseia-se em mtodos estatsticos. Porqu e quando utilizar este tipo de abordagem? Como se disse, este tipo de modelizao puramente estatstico e despreza a informao dada pela teoria econmica sobre a relao da varivel com outras. Isto faz algum sentido? No a modelizao multivariada, que toma em considerao essas relaes, prefervel? No necessariamente. Porqu? 4

a) Porque quando o objectivo a previso de curto prazo, estes modelos so bastante baratos" (porque dispensam a obteno de informao sobre outras variveis) e a sua relao qualidade/preo pode ser (quase) imbatvel. Na verdade, modelos simples deste tipo podem fornecer melhores previses de curto prazo do que modelos com muitas equaes e muitas variveis explicativas. b) Porque a relao com outras variveis pode no estar bem fundamentada teoricamente. Adicionalmente, como veremos mais adiante, a boa modelizao multivariada de sries temporais requer que tenha sido efectuada previamente uma anlise univariada de cada srie.

22.1

PreliminaresO operador de desfasamento (lag operator)1

Aplicado a uma srie, o operador de desfasamento, L, atrasa-a perodo: L(yt ) = yt1 .

ou desfasa-a num

Assim, L2 (yt ) = L[L(yt )] = L(yt1 ) = yt2 . Mais geralmente, com s inteiro: Ls (yt ) = yts . Note-se que este operador : comutativo com a multiplicao: L(yt ) = L(yt ) = yt1 ; distributivo relativamente adio: L(yt + xt ) = yt1 + xt1 . Note-se ainda que, embora nas manipulaes algbricas o operador L possa ser tratado como um escalar, no se deve perder de vista que um operador.Na literatura tradicional de sries temporais mais comum a utilizao de B, como operador de atraso (backward shift).1

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2.2

O operador de diferenciao

O operador de diferenciao, , pode escrever-se como 1 L, isto , 1 L. De facto, yt = yt yt1 = (1 L)yt . Repare-se que tambm pode aparecer sob a forma de potncia: 2 yt = (yt ) = (yt yt1 ) = yt yt1 yt1 + yt2 = yt 2yt1 + yt2 .

2.3

Polinmios em L

Um polinmio simples em L , por exemplo, (1 L)L, isto , L. Assim, (1 L)Lyt = yt1 = yt1 yt2 . Um exemplo mais interessante o seguinte: yt + 0.8yt1 0.2yt2 + 0.3yt3 = (1 + 0.8L 0.2L2 + 0.3L3 )yt . Fazendo (L) = (1 + 0.8L 0.2L2 + 0.3L3 ), podemos escrever yt + 0.8yt1 0.2yt2 + 0.3yt3 = (L)yt . Uma operao importante com os polinmios em L a da inverso. O caso que se apresenta a seguir, embora simples, dos mais importantes. Seja agora (L) = 1 L. Repare-se ento que (1 L)(1 + L + 2 L2 + . . . + p Lp ) = 1 p+1 Lp+1 . E desde que || < 1, quando p p+1 Lp+1 0. Ento, o polinmio inverso de (L) 1 = 1 + L + 2 L2 + 3 L3 + . . . , 1 (L) = 1 L isto , um polinmio innito. Uma forma intuitiva de ver isto consiste em olhar para o terceiro termo da igualdade como uma srie geomtrica com primeiro termo 1 e razo L.

2.4

Modelizao ARMA

A modelizao (e previso) ARMA consiste basicamente em 3 passos:

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1. Anlise de estacionaridade da srie. Muito frequentemente necessrio transformar a srie (logaritmiz-la e/ou diferenci-la) para a estacionarizar". Saliente-se que os modelos ARMA pressupem a estacionaridade da srie 2 . 2. Com base na anlise das propriedades de autocorrelao da srie (eventualmente transformada) escolhemos algum ou alguns modelos que a possam representar aproximadamente. Trata-se da chamada anlise de identicao". No caso de considerarmos vrios modelos alternativos procede-se seleco de um modelo com base em testes-diagnstico" e em estatsticas como a AIC ou a SC. Note-se que o estudo que faremos desta fase ser muito limitado pois apenas consideraremos modelos autoregressivos. Por outro lado, a escolha de um modelo bom e simples , em boa medida, uma arte, requerendo muita experincia. 3. O modelo seleccionado utilizado para efectuar previso.

3

Sries Estacionrias e No Estacionrias

J sabemos que para que uma srie temporal (ou melhor, um processo estocstico) seja estacionria(o) (fracamente ou em covarincia), devem ser satisfeitas as seguintes condies: 1. E(yt ) = , t = 0, 1, 2, . . ., 2. E[(yt )(ytj )] = j , t = 0, 1, . . . , j = 0, 1, 2, . . .. Mas note-se que fazendo j = 0 nesta igualdade resulta E[(yt )2 ] = 2 = 0 , t = 0, 1, 2, . . . . y Assim, uma srie temporal estacionria se a sua mdia, a sua varincia e as suas autocovarincias so independentes do tempo, isto , so constantes ao longo do tempo. Note-se que esta denio de estacionaridade se baseia apenas nos dois primeiros momentos do processo estocstico.Os modelos para sries que no so estacionrias mas que se tornam estacionrias quando diferenciadas sero chamados de ARIMA. O I" abrevia a palavra integrated".2

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3.1

O Caso do AR(1)