educational studies in mathematics 6 (1975) 187-205....
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Educational Studies in Mathematics 6 (1975) 187-205. D. Reidel Publishing Company,
Dordrecht-Holland.
UN ENFOQUE EPISTEMOLOGICO SOBRE IDEAS ESTOCASTICAS
FUNDAMENTALES
Dietger Heitele
Traducido por Ana María Ojeda Salazar
La conferencia de Woods Hole de Septiembre de 1959 fue sobresaliente en su tipo
como un encuentro de 35 personas interesadas en educación ―educadores,
psicólogos, médicos y matemáticos, tales como E. Begle y P. C. Rosenbloom―,
quienes discutieron el mejoramiento de la educación científica. Los resultados del
encuentro fueron resumidos y reportados por J. S. Bruner como presidente de la
reunión. El reporte, impregnado de sus propias ideas, resultó en su obra The Process
of Education1. En la última década este trabajo influenció de manera importante al
desarrollo curricular y, en particular, al de matemáticas. Bruner propuso las
siguientes tesis:
(1) El principio decisivo de la enseñanza de un tópico es la transmisión de ideas
fundamentales.
(2) “La hipótesis de que cualquier tema se puede enseñar eficazmente en alguna
forma intelectualmente honesta a cualquier niño en cualquier etapa de su
desarrollo” implica que las ideas fundamentales son necesarias como una guía,
desde el jardín de niños hasta la universidad, para garantizar una cierta
continuidad.
(3) A las ideas fundamentales y conceptos se les tratará en diferentes niveles
cognoscitivos y lingüísticos a lo largo de un curriculum en espiral.
(4) La transición a un nivel cognoscitivo más alto se facilita si se ha preparado al
tema subyacente con una representación apropiada en etapas cognoscitivas más
tempranas. En particular, se cultivará la comprensión intuitiva de relaciones
concretas en la escuela elemental en tanto el niño no pueda aprehenderlas en
una forma analítica más elaborada ―el principio de prefiguración.
La contribución de Bruner me parece de particular interés para la enseñanza
de estocásticos, la cual está actualmente entrando en nuestras escuelas.
Por un lado, partidarios de este tópico están proponiendo sus ideas
fundamentales (o centrales); y, por el otro, se subraya la importancia de vincular la
enseñanza de estocásticos a experiencias intuitivas. En particular, las siguientes
preguntas merecen atención:
(a) ¿Cuál sería una lista de ideas fundamentales de conceptos estocásticos?
(b) ¿Por qué la intuición significa tanto en estocásticos?
(c) ¿Qué significa “intuición (estocástica)”?
(d) ¿Cómo se desarrolla y cómo se le puede mejorar?
En lo siguiente, propondremos algunas ideas sobre (a) y también tocaremos
los otros puntos.
Proponer una lista de ideas fundamentales de estocásticos es una aventura, ya
que tales listas dependen de forma considera de puntos de vista, los cuales pueden
diferir ampliamente. Al argumentar desde el punto de vista del tópico, se podría
obtener otra lista distinta a la obtenida si la finalidad fuera el desarrollo psicológico
de conceptos aleatorios y probabilísticos, o si la enseñanza de estocásticos fuera
vista por un educador como un medio para preparar una “transición continua
desde maneras mágicas y míticas del pensamiento a explicaciones racionales y
causales”2. Más aún, puede importar si se escoge un punto de vista subjetivista o
uno objetivista3, o si se considera a la probabilidad como una función sobre
conjuntos o como un medio para hacer afirmaciones sobre proposiciones y sus
relaciones mutuas.
El autor presente encuentra un primer marco relacional para sus puntos de
vista en la exposición de Bruner, la cual considera a las ideas como fundamentales
si son de un gran valor explicativo. Más todavía, en la famosa hipótesis de Bruner,
el concepto ‘tópico’ no significa un tema arbitrario, sino algo que distingue a la
gente educada4, interpretación que restringe aún más las ideas fundamentales
admisibles.
En lo que sigue, escogeré un punto de vista epistemológico y pragmático en el
sentido de Bruner; por ideas fundamentales entenderé aquellas ideas que
proporcionan al individuo modelos explicativos en cada etapa de su desarrollo, los
cuales son tan eficientes como es posible y que difieren en los distintos niveles
cognoscitivos no de manera estructural, sino solamente en su forma lingüística y en
sus niveles de elaboración.
Por ejemplo, el niño opera un modelo explicativo burdo, pero adecuado, si al
jugar con dos dados asigna una mejor probabilidad a siete puntos que a dos puntos,
debido al número más grande de sumas en las que ocurre el siete. Este modelo
explicativo puede adquirirse en actividades de juego como las que proponen Varga5,
Engel y Winter, en las que no se implica una enseñanza formal, analítica.
Por continuidad, se puede desarrollar este modelo explicativo comparativo
para llegar a uno más cuantitativo, en el que el número de posibilidades favorables
juegue una parte.
Un modelo explicativo aún más elaborado para el mismo tema consistiría en
interpretar la suma de puntos como una variable estocástica y establecer que el
máximo de la distribución de probabilidad de esta variable estocástica se alcanza en
siete.
Lo que importa aquí es la constancia de la estructura del modelo explicativo.
El modelo más intuitivo es una versión más burda ―y por tanto refinable― del
más elaborado. Si, de cualquier modo, los niños explican la frecuencia más grande
de ‘mezclas’ en dos lanzamientos con una moneda bien balanceada argumentando
que después de ‘águilas’ sale más seguido ‘sol’, e inversamente, están usando un
modelo de explicación que los puede satisfacer, pero que no permite la
continuación a una etapa más elaborada. El modelo se apoya en la intuición,
aunque ésta es una ‘intuición opuesta’6, sin continuidad de extensión.
Muy frecuentemente se usan modelos explicativos intuitivos en la enseñanza,
por ejemplo, si las fracciones se visualizan por sectores circulares, o las operaciones
combinatorias por diagramas de árbol. Pero son justo eso, visualizaciones, y un
refugio para los profesores que sienten que han sobreestimado las habilidades de
abstracción de sus alumnos. Sin embargo, en la concepción de Bruner los modelos
explicativos intuitivos tienen dos funciones:
(a) Como modelos burdos en una etapa temprana tienen un valor explicativo
autónomo y contribuyen a que el niño entienda su entorno por sus propios
medios, mucho antes de que pueda entender la complejidad lingüística y la
sofisticación de los modelos matemáticos subyacentes en su forma analítica.
(b) Preestablecen el conocimiento analítico posterior, de manera en que el maestro
de un grado más alto puede presuponer un dominio intuitivo favorable al tratar
con operaciones combinatorias.
El gran número de paradojas en estocásticos, que pueden ser confusas aún
para los expertos7, muestran que un establecimiento intuitivo previo es más urgente
en estocásticos que en ninguna otra parte. Como Feller ha afirmado8, ¡aún los
adultos son capaces de entrenar sus intuiciones estocásticas! Pero, por otro lado, los
modelos explicativos inadecuados adquiridos tempranamente aparentemente
pueden desarrollarse en intuiciones firmemente arraigadas ―"intuiciones opuestas"9―
de las cuales es difícil deshacerse y pueden impedir la adquisición del conocimiento
analítico. Un fenómeno típico es el concepto de independencia. Si pudiera
generalizar mi experiencia, me atrevería a decir que apostarle al ‘rojo’ a la ruleta
después de una larga serie de ‘rojos’ da una sensación de que no es fácil, aún para
matemáticos que conocen muy bien el concepto matemático de independencia.
Esto es de lo más extraño, ya que niños de 4-5 años de edad no se preocupan por
eso, aunque una larga serie de ‘rojos’10 les pudiera parecer divertida. En algún
momento de su desarrollo ellos adquirirán algún modelo explicativo respecto a este
fenómeno, el cual se condensará más tarde en tales intuiciones inadecuadas, como
las que observamos con muchos jugadores y de las cuales no es muy posible
librarse.
Por esta razón, parece muy tentador ofrecer a los niños actividades estocásticas tan
pronto como en las etapas pre-operacional y de las operaciones concretas,
confiando que ellos las desarrollarán como ‘intuiciones auxiliares’11, sobre las cuales se
puede construir la enseñanza más analítica en los grados superiores. Durante
algunos años, Varga12, Winter13 y Engel14 han desarrollado muchas actividades de
juego que pusieron en práctica esa concepción de fondo. Sin embargo, a pesar de lo
valiosas que esas contribuciones puedan ser para el progreso de la didáctica
matemática, es difícil contener la idea herética de que la selección de esas
actividades en estocásticos se ha hecho al azar. Para evitar el peligro de que tales
actividades se ofrezcan sin una meta o propósito, se necesitan principios
organizadores, como por ejemplo ideas fundamentales, las cuales atraviesen a lo
largo del curriculum en espiral como cuerdas guía, como se ilustra en la figura15.
Esta figura no significa que en un plano más alto de verbalización todo pasa de una
manera formalizada. De acuerdo con Fischbein, veo que las actividades icónico-
activas dominan sólo en el plano intuitivo, y las representaciones simbólicas en el
plano formal16. El estadístico D. W. Muller17 formula esto de otra manera: “Las
Matemáticas son una extensión de la intuición con nuevas herramientas”.
La idea del curriculum en espiral se usa a veces como un argumento para introducir
en la escuela primaria actividades de juego que se dice reflejan importantes
principios topológicos y de teoría de grupos; en tiempos recientes, la literatura
didáctica ha sido inundada con propuestas tales. Esto hace aún más urgente
reflexionar sobre qué es realmente ‘fundamental’ en tanto la probabilidad no esté
todavía completamente establecida en la escuela.
Después de estas observaciones generales, trataré de concentrarme en estocásticos
para descubrir sus ideas fundamentales. He llegado a mi primera lista desde cuatro
ángulos:
(1) desde el marco de la concepción de Bruner,
(2) estudiando los resultados de la psicología del desarrollo con respecto a ideas
estocásticas,
(3) estudiando las variadas fallas de los adultos en situaciones estocásticas,
(4) estudiando la historia de la probabilidad.
Ad (1): La mayor parte de lo que es relevante ya se ha dicho. Lo que quiero
enfatizar es que no es mi objetivo o problema principal estructurar la instrucción
probabilística en un buen orden deductivo. En estocásticos, las dificultades no
aparecen en matemáticas sino en las aplicaciones18. De acuerdo con Dinges19,
considero “como el objetivo más importante de la instrucción en estocásticos que
el alumno pueda tratar con más seguridad pretensiones científicas de afirmaciones
estadísticas en la vida diaria”. Esto, en realidad, es parte de lo que Bruner llama
cultura.
Además de esto, mi primer ángulo de visión incluye a la materia. Debería evitarse
que los didácticos traten de elementarizar los contenidos juzgados por los
principales expertos en estocásticos como relativamente sin importancia20.
Ad (2): Ciertamente, la didáctica matemática moderna ya no cultiva un rígido punto
de vista Piagetiano sobre un desarrollo cognoscitivo que ocurre tan regular y
automáticamente como un reloj, y ciertamente busca posibilidades de aceleración21;
no obstante, el valor de la investigación de la psicología del desarrollo todavía no ha
disminuido. Aunque no es una fuente de la cual se puedan deducir cuáles
actividades son óptimas para el proceso de aprendizaje (ver Aebli22), sí es una
plataforma desde la cual se puede uno aventurar en la instrucción.
Ad (3): Mientras (2) hace hincapié en el punto de partida, (3) está más bien
relacionado con el final de un largo desarrollo. La tesis de Piaget de que en un
sentido estricto el desarrollo intelectual no puede extraviarse23 posiblemente no es
cierta en el dominio de estocásticos. Esto está probado por muchos ejemplos24, en
los que los adultos, aún con una educación de preparatoria, no se comportan
mucho más sabiamente que los niños. Hay tanto ideas fundamentales como errores
fundamentales; las primeras son contrapartes de los segundos, y viceversa. Tales
errores pontean los siglos, las edades y las capas culturales, y pueden ser criterios de
lo que realmente es ‘fundamental’.
Ad (4): Se puede dudar de la verdad y aplicabilidad de la tesis de Häckel de que la
ontogénesis es una réplica de la filogénesis25 y aún reconocer analogías de largo
alcance entre ambas líneas. Esta es una idea que exactamente pasa por el trabajo de
Piaget; pero también matemáticos como Thom26 la usan en su argumentación,
aunque para Thom es una idea modelo que se ajusta a un dominio mejor que a
otros. En el mismo sentido, usaré la hipótesis de trabajo de que las ideas que
subyacen en el progreso histórico de estocásticos, pueden ser relevantes también
para aproximaciones didácticas.
Desde mi punto de vista la relación de modelo y realidad es una de las ideas básicas
para matemáticas en general, y para estocásticos en particular. Actualmente, hay
acuerdo en que una teoría matemática no puede representar completamente a la
realidad. “Las teorías pueden representar a la realidad sólo localmente, de la misma
manera que un círculo y su tangente coinciden localmente”27. Se puede interpretar a
las leyes de la naturaleza como hipótesis en el marco de los modelos, donde el
modelo es algo que reemplaza a la realidad como substrato operacional28. Esto
significa que los modelos, más que ser abstraídos de la realidad, son impuestos a la
realidad. Por esta razón, una afirmación dentro de un modelo no es una afirmación
sobre la realidad, pero puede llegar a serlo por interpretación.
Esto se puede ilustrar muy bien con el ejemplo de geometría que muestra el
Esquema A29.
Esquema A
La característica de que la geometría pertenece tanto al, reino del pensamiento
como a la realidad exterior, es importante en sí misma pero no ayuda al alumno a
aplicar su geometría de una manera más eficiente. Interpretar un punto matemático
como un punto físico es demasiado natural como para dudar de esa interpretación.
Pero cuando el esquema se transfiere a estocásticos, se ve un poco diferente, como
el Esquema B.
Esquema B
Se puede ilustrar el esquema B con este ejemplo30:
El juego siguiente, algunas veces llamado “chuck a luck”, se juega en pequeños
carnavales. El jugador paga un níquel por cada 6 que cae. Usualmente, los jugadores
creen que la apuesta les es favorable y lo argumentan con el siguiente modelo
explicativo: correctamente razonan que P(primero = 6) = P(segundo = 6) =
P(tercero = 6) = 1/6 debido a la simetría de los dados, pero de ahí concluyen que la
probabilidad de obtener al menos un seis es 1/6 + 1/6 + 1/6, y sobre esta base
predicen frecuencias relativas y ganancias: “en alrededor del 50% de los juegos
recuperaré la apuesta, pero más allá de esto, tendré la oportunidad de lanzar dos o
más seises en un solo juego”. Si sobre la base de esta predicción aceptan la apuesta,
están probando su modelo, y experimentarán que a la larga perderán. Esto puede
llevar a modificar el modelo y a alcanzar la conclusión más adecuada de que la
ganancia esperada del reembolso es negativa.
Lo que parece problemático en el esquema es la ocurrencia de los conceptos de
frecuencia relativa y simetría en la columna de la izquierda. Algunas veces se objeta
que el modelo de simetría ya es en sí un modelo y registrar frecuencias relativas
significa cuantificar la realidad, lo cual asimismo presupone conceptos de modelo.
Esta aparente inconsistencia se disuelve tan pronto como las relaciones entre
realidad y matemáticas se ven en una estructura de estratos. Sin duda los datos
numéricos de estadística descriptiva se pueden considerar como datos de un
modelo. Desde un nivel más alto, se les puede ver como parte de la realidad, lo cual
significa pasar de la realidad palpable y visible a una “nueva realidad” en la que las
frecuencias relativas emergen como hechos reales. El caso de simetría es similar.
Este es el significado del esquema, de acuerdo al cual las frecuencias relativas y los
grados subjetivos de creencia son mapeados sobre probabilidades, concebidas en
las mentes humanas dentro de un modelo matemático. No es sino hasta tiempos
recientes que el hecho de que las probabilidades sean datos del modelo más que
“seres en sí mismos”, ha sido satisfactoriamente entendido. Se han escrito muchos
absurdos han sido escritos por gente que mezcla los dos dominios “realidad” y
“modelo matemático”, en lugar de separarlos claramente.
En la instrucción elemental en estocásticos, esta separación puede ser significante,
como en el ejemplo estándar de los dos dados. No se puede probar
matemáticamente que el espacio muestra de este experimento aleatorio deba ser el
conjunto de pares ordenados de {1, ..., 6}, ni que a los 36 eventos elementales se les
deba asignar una probabilidad de 1/3631. Aparte de las condiciones de consistencia,
en matemáticas no importa cuáles modelos se escojan. Se puede motivar
heurísticamente la selección estándar de arriba, pero el fundamento real es la
correlación de conclusiones desde el modelo en la realidad (las frecuencias
relativas).
D. W. Müller32 ha llamado este punto de vista racionalización a distancia
(distanzierte Rationalität)”: ...una actitud hacia los hechos ...que no está determinada
por la creencia en leyes intrínsecas sino que está caracterizada por una
aproximación con diseños tales como modelos, hipótesis, hipótesis de trabajo,
definiciones, conclusiones, alternativas, analogías, esto es, con la reservación de
conocimiento parcial, provisional, aproximado”.
Si se acepta el postulado de racionalización a distancia en la enseñanza de
estocásticos, se deben aceptar también sus consecuencias. Esto excluye definir,
como se hace en algunos libros de texto, conceptos como experimento
matemáticamente aleatorio, tanto como definir probabilidad a la manera de Laplace
o de von Mises. Tales definiciones ridículas no contribuyen a la comprensión del
alumno. En lugar de ello, ellas obliteran las fronteras entre realidad y matemáticas.
El alumno se queda con una idea equivocada de cómo se aplican las matemáticas.
Este punto de vista principal y supremo de la racionalización a distancia implica que
en la lección de experimentos aleatorios no se debe explicitar la pregunta “¿qué
pasará?”, sino “¿qué se puede esperar?” o más bien “¿qué esperas tú?”.
I. NORMANDO LAS EXPRESIONES DE NUESTRA CREENCIA
Desde mi punto de vista, la primera idea fundamental de estocásticos es que
nuestras creencias intuitivas, como las expresamos en el lenguaje cotidiano por
expresiones como “así lo creo”, “más bien seguro”, etc., están normadas de manera
que los eventos imposibles tienen la probabilidad 0 y los eventos seguros la
probabilidad, y que la relación de “más probable que” se traduce en la relación
entre números reales “≥”. Esto significa hacer más burdo el complejo mundo que
nos rodea, al mapear su multidimensionalidad sobre el intervalo unitario real
unidimensional. Realmente esto es una idea fundamental. Solamente con una
simplificación apropiada el mundo puede hacerse accesible a los aparatos
matemáticos. En esta primera idea, el punto de vista principal se hace visible en su
aspecto de que el hombre impone entidades matemáticas -números- a la realidad.
Varga33 ha transformado esta idea en la herramienta didácticamente apropiada de la
escala de probabilidad.
Para estar seguros, si incluimos todos los procesos que pueden llevar a tales
números (probabilidades a priori de acuerdo a Laplace, probabilidades a posteriori)
toda la teoría de la probabilidad está contenida en esta primera idea. Pero no es esto
lo que aquí se quiere decir. Solamente se quiere decir medir con una escala los
grados de creencia individual de la manera como se hace con nociones no
cuantificadas, tales como la temperatura.
II. EL CAMPO DE PROBABILIDAD
Desde mi punto de vista, no menos fundamental es la idea de asignar un espacio
muestra de resultados observables a experimentos aleatorios y un 𝜎-campo de
conjuntos del campo de eventos observables, idea llevada a cabo primeramente por
Kolmogorov. Es fundamental no porque el 𝜎 -campo, junto con la aceptación de
una función de medida aditiva normada, lleve a axiomatizar la probabilidad de una
manera satisfactoria y así a resolver el sexto problema de Hilbert34, sino más bien
porque la imposición de un modelo tal permite el estudio de los experimentos
aleatorios. Winter35 ha demostrado cómo desde el nivel elemental en adelante, sin
ningún concepto cuantitativo de probabilidad, se puede tratar con problemas sobre
apuestas de estos campos meramente mediante probabilidad comparativa. Los
diagramas de árbol, indudablemente una herramienta importante, pueden ser
aprehendidos como espacios muestra estructurados en una representación icónica.
Regresaré a este punto en combinatoria.
Esta segunda idea me parece fundamental todavía en otro respecto. En la
investigación sobre el desarrollo del concepto de azar en la psicología del
desarrollo36, con frecuencia se ha afirmado que los niños, de la misma manera que
los salvajes y la gente supersticiosa, están confinados a un determinismo
pobremente entendido: creen en la coacción de causas ocultas o en un “deus ex
machina”. Fischbein37 y Cohen38 explican este fenómeno de concentrarse en un
solo evento en lugar de en la totalidad, con el hecho de que nuestro sistema
educativo “sistemáticamente favorece uno de los dos aspectos de necesidad y
azar”39. Esto se refleja en la actitud de los profesores que enseñan como si cada
problema, cada pregunta tuviera una única respuesta bien definida. Aún la
epistemología sabe de esta actitud -ver, por ejemplo, el principio etiológico de
Hartwig40 de que “a causas generales iguales, iguales conjuntos de efectos posibles
con probabilidades correspondientes”, lo cual, desde su punto de vista, reemplaza a
la causalidad clásica de “a causas iguales, efectos iguales”-.
III. COMBINACION DE PROBABILIDADES. LA REGLA DE ADICION
Una característica general en matemáticas es construir modelos más complejos a
partir de los simples, o reducir modelos complejos a modelos simples, y esos
procedimientos se usan también en estocásticos. Aunque las probabilidades se
pueden establecer por valoraciones subjetivas de acuerdo a las primeras dos ideas,
este procedimiento falla para espacios muestra más complejos tales como el de
ternas de dados. Aquí la idea operativa es la regla de adición, la cual permite que se
deriven nuevas probabilidades a partir de las iniciales dentro del modelo
matemático.
Aunque esta idea no es tan importante en la vida diaria como las otras, no se puede
despreciar su fuerza concluyente en situaciones estocásticas. El juego ‘chuck-a-luck’
anteriormente mencionado es un ejemplo particularmente sorprendente.
IV. COMBINACION DE PROBABILIDADES – INDEPENDENCIA
La característica de las matemáticas en general, y de estocásticos en particular, de
modelo para componer y descomponer, que ya se hizo patente con la tercera idea,
se distingue con más claridad si se combinan los experimentos aleatorios mismos y
se asignan probabilidades a estos experimentos aleatorios de múltiples niveles.
Aquí, lo que es fundamental, antes que nada, es el concepto de probabilidad
condicional 𝑝(𝐴|𝐻), lo cual se interpreta en las aplicaciones como la probabilidad
de A dado que H ha ocurrido; en otras palabras, como una medida de cómo la
nueva información cambia el grado de nuestra creencia. Aunque partiendo de la
experiencia diaria, la idea de independencia es aún más fundamental; si bien
matemáticamente se le puede reducir a probabilidad condicional, ciertamente
merece un análisis independiente. Es una idea fundamental considerar
experimentos aleatorios sin vínculos físicos causales, como estocásticamente
independientes. De hecho, la idea de repetición independiente de experimentos
aleatorios muestra mejor que ninguna otra la discrepancia entre el trato matemático
con un modelo teórico y su aplicación a la realidad. Por un lado, el modelo
matemático de independencia, como se le expresa por la regla del producto, es fácil
de dominar; por el otro lado, ocurre que mucha gente en la vida diaria, aún aquéllos
con una base científica y bien familiarizados con modelos matemáticos todavía más
complejos, no son capaces de aplicar la idea de independencia de manera
consecuente en situaciones prácticas. A este respecto, un ejemplo histórico
prominente es d’Alembert41.
Desde el soldado en la batalla que siempre se esconde en el más reciente agujero
como un refugio porque una explosión en el mismo punto sería improbable, no hay
mucha diferencia con la gente que cree en sistemas de juego absolutamente seguros,
con jugadores en los casinos registrando los resultados de las ruletas, y con
direcciones de la Lotería del Estado que al reverso de los billetes de lotería publican
las estadísticas de números pocas veces aparecidos.
V. EQUIDISTRIBUCION Y SIMETRIA
Las primeras cuatro ideas no dan indicaciones de cómo calcular las probabilidades.
Es una idea heurística descubrir y usar simetrías al tratar un problema. Por ejemplo,
tener simetría en el experimento del lanzamiento de un dado significa que ninguna
cara del dado se distingue o privilegia de las otras. Esto se toma como un
argumento para aceptar la equidistribución, y la regla de Laplace, con todas sus bien
conocidas consecuencias. Si la equidistribución no es evidente desde el principio,
posiblemente se le puede construir refinando el espacio muestra y poniendo al
descubierto sus simetrías. Se debe enfatizar que la equidistribución, la cual no se
debe separar de la simetría estadística, pertenece a la teoría matemática sólo con
respecto a su apariencia formal; en lo que toca a su contenido, su lugar está en la
glacis heurística de situaciones de problemas probabilísticos. Por esta razón es
imposible definir lo que significa simetría estadística. La insuficiencia de este
principio se ilustra con la figura de un experimento de azar con bolas que caen a lo
largo de un sistema de tubos42 (ver la figura de la página siguiente). Aquí, la
equidistribución es una suposición razonable aunque no haya simetría física. El
principio de razón insuficiente cubriría todos los casos pero está formulado
demasiado vagamente y podría llevar a paradojas e inconsistencias, en particular en
lo que concierne a espacios muestra infinitos. Parece que a las ideas de simetría y
equidistribución no se les puede comprender intencionalmente sino sólo a la larga
trabajando con un variado material de ejemplos. Por ejemplo, en muchas
situaciones, como en la que el médico toma una muestra de sangre para analizarla, o
en el problema clásico del encuentro de dos personas43, la equidistribución es la
hipótesis de trabajo más natural, cuya adecuación se prueba solamente a posterori.
Al comienzo de la estadística analítica, en la teoría de Bayes, la equidistribución jugó
una parte importantísima como la distribución a priori que se supone como una
equidistribución en tanto no haya un argumento en contra.
Una de las aplicaciones más bonitas de la equidistribución es la historia del
estudiante44 que cada mañana, de entre dos caminos -dos líneas de igual longitud,
una dirigida hacia la universidad, y la otra hacia donde se encontraba su novia-
escogía el primero; él consideraba como su destino que en nueve de cada diez
ocasiones hubiera llegado con su novia. Si este cuento es cierto, la regla de Laplace
pudo haber contribuido a racionalizar un retrato mágico del mundo.
VI. COMBINATORIA
Considerar a la combinatoria como auxiliar de la probabilidad, como pudiera
parecer desde el punto de vista de la estructura matemática, es una política
demasiado simple. Por ejemplo, extraer de una urna que contiene cuatro objetos
distinguibles tres de ellos, es un experimento aleatorio de tres pasos, que se puede
interpretar de manera significante en el espacio muestra de las permutaciones de
(4, 3). Esta conexión entre permutaciones y experimentos aleatorios de varios pasos
se aclara con un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol, como una representación icónica, es de importancia
fundamental porque hace visible tanto a la estructura de multiplicidad de pasos del
experimento como a todos los resultados posibles, y funciona así con otras
operaciones combinatorias. Por esta razón, las operaciones combinatorias, más que
ser simplemente algoritmos estándar para calcular campos de probabilidad de
experimentos aleatorios complejos, suministran una entrada sencilla, en particular
en su forma icónica y activa45, a la estructura interior de experimentos aleatorios y al
encadenamiento de experimentos sucesivos dentro de un complejo más grande.
Este enfoque se apoya en resultados de la psicología del desarrollo y en las teorías
de Jean Piaget acerca del desarrollo del concepto de azar las cuales, al menos hasta
donde yo sé, aunque datan de alrededor de veinte años46, no han sido checadas
críticamente en su totalidad, ya sea empíricamente o en una aproximación teórica.
Una de las principales tesis de Piaget en este trabajo dice que el camino a la
comprensión de los conceptos de azar y de probabilidad está a lo largo de las
operaciones combinatorias básicas.
Junto a esto está el poder de la combinatoria para clasificar en ciertos tipos estándar
a los experimentos aleatorios desde los más simples hasta los complejos de acuerdo
a su composición, y de esta manera, suministrar al matemático activo modelos
también estándar para procesamiento numérico. Las subideas originales casi
evidentes por sí mismas que conducen a estos modelos estándar de permutaciones,
variaciones, y combinaciones son:
La regla del producto: si n caminos llevan de A a B, y m de B a C, entonces existe
un total de nm caminos de A a C.
La regla del cociente: Si un conjunto de n elementos se particiona en
subconjuntos de m elementos, entonces el número de clases de la partición es
n/m.
Existen buenas razones para creer que la primera subidea de “conteo
combinatorio” es muy necesaria para la adquisición de un concepto de número para
una variedad de aplicaciones, aún si no se ajusta muy bien al marco de las
matemáticas de la escuela elemental, donde se enfatiza equivocadamente el aspecto
cardinal47. Aún niños muy jóvenes, de 5 a 6 años de edad, pueden comprender este
principio de conteo básico en ejemplos concretos y transferirlo con éxito48.
VII. MODELO DE URNA Y SIMULACION
En principio es posible asignar modelos de urnas a la mayor parte de los
experimentos aleatorios, al menos a aquéllos con un espacio muestra numerable. La
idea de urna parece fundamental por varias razones.
Antes que nada, en estocásticos se tienen muy pocos conceptos que están
firmemente arraigados pero que desafían a cualquier definición rigurosa. Un
ejemplo típico es la “selección al azar”. Se puede probar a posteriori si es posible
considerar a una muestra como “aleatoria”, pero el proceso de tener muestras
aleatorias es en principio inaccesible a las definiciones matemáticas. La única
manera de describirla -y altamente eficiente- es concretizarla mediante el modelo de
urna49. En segundo lugar, urnas y experimentos aleatorios se pueden componer en
otros nuevos, las así llamadas hiper-urnas que corresponden al experimento
compuesto. Esto permite, como lo ha mostrado Polya50, estimular procesos
aleatorios tan complejos como el curso del estado del tiempo de la manera más
sorprendente mediante una sucesión de urnas. La palabra clave “simulación”, que
en la jerga estadística significa algo como isomorfismo, indica una tercera razón
para la importancia central del modelo de urna.
En ciertos contextos, parece razonable considerar dos urnas como isomórficas si
las correspondientes razones son iguales. Por la relación entre urnas y experimentos
aleatorios, este concepto de isomorfismo se puede transferir a experimentos
aleatorios: los experimentos aleatorios son isomórficos si las urnas
correspondientes lo son. Esto implica la posibilidad de realizar experimentos
aleatorios mediante urnas, trompos (o perinolas), números aleatorios, etc., esto es,
mediante otros instrumentos aleatorios -éste es el significado del método de Monte
Carlo. Para estar seguros, si se acepta la definición de Sobol51 de que “el método de
Monte Carlo es un método numérico para resolver problemas matemáticos por
medio del modelaje con magnitudes estocásticas”, se piensa en otro aspecto, la idea
de variable estocástica.
VIII. LA IDEA DE VARIABLE ESTOCASTICA
Si ha existido una concepción que elevara a la probabilidad arriba del nivel de la
matematización de experiencias de juego, entonces se puede decir con seguridad
que la concepción de variables estocásticas y el inventario conceptual relacionado
con ella han sido los responsables de las variadas aplicaciones de la estadística. Hay
razones justificadas por las que los matemáticos de siglos pasados que no
conocieron el concepto de variables estocásticas, tuvieron serias dificultades con
problemas tales como la paradoja de Petersburgo, y por qué James Bernoulli
necesitó veinte años para descubrir y probar su ley débil de los grandes números52 -
problemas con los que se trata en el lenguaje actual de variables estocásticas en unas
cuantas líneas. La idea de variable estocástica fue fundamental no sólo para la
probabilidad teórica, sino también en la vida diaria las variables estocásticas son
importantes, como en los juegos de azar, en los problemas de colas, y en muchos
procesos físicos. Acerca del poder de las variadas -aunque inconscientes-
experiencias con variables estocásticas en la vida diaria, se puede estar de acuerdo
con el punto de vista de que la intuición de magnitudes en las que participa el azar,
aparece aún más temprano que la de experimento aleatorio53. Como modelo
explicativo, el concepto de variable estocástica juega un papel importante en tres
respectos: la distribución de una variable estocástica, su esperanza y la composición
de variables estocásticas para obtener otras nuevas.
Para los niños pequeños, las variables estocásticas son en principio equidistribuídas;
es como un principio moral: cada quien tiene su parte.54 Aún los niños más grandes
se inclinan a suponer equidistribución en experimentos tan simples como con los
de dos monedas: águila-águila, sol-sol, y mezcladas. Esto sugiere la pregunta de si se
deberían aproximar las variables estocásticas vía el caso especial de
equidistribución, ó en vez de esto, de acuerdo al principio de Dienes de meterse
hasta el final vía las distribuciones generales. Cualquiera que sea la respuesta, no se
puede negar que junto con la equidistribución, la distribución normal juega una
parte fundamental en la explicación del mundo que nos rodea. El teorema central
del límite suministra un modelo explicativo convincente para este hecho, aunque no
es accesible para una aproximación deductiva en ningún nivel anterior a la
universidad. Esto no excluye considerar si alguna comprensión intuitiva de él, y una
aproximación experimental con carácter inductivo para este teorema, debieran
sumarse al repertorio de conocimientos de cada hombre culto, y que se le
considerara en consecuencia como un “sujeto” en el sentido de Bruner.
Las características más importantes de una función de distribución son su
esperanza y su desviación estándar. Las dos son fundamentales para el hombre en
nuestra sociedad. Ellas le permiten enfrentar críticamente y con seguridad datos
estadísticos. A la larga, no podemos contentarnos con dar a la gente promedios sin
mencionarles nunca medidas de dispersión, como se acostumbra en nuestros
medios.
Un capítulo especial es la esperanza de una variable estocástica. La esperanza juega
una parte puramente biológica en la aproximación probabilística de las teorías del
aprendizaje donde parece que aún los animales sin pensamiento consciente en las
cajas de Skinner pueden aprender esperanzas55. A un nivel más alto, para los
humanos que piensan conscientemente, la esperanza posee un gran valor
explicativo; intuitivamente, la mayoría de las veces se le interpreta como la media
aritmética de los valores de una variable estocástica, obtenida si el experimento
aleatorio básico se repite lo suficientemente seguido bajo “condiciones idénticas”.
La ley de los grandes números hace más precisa esta comprensión intuitiva.
IX. LA LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
Se debe distinguir entre una ley empírica de grandes números, o “principio de
grandes números”, y leyes de los grandes números pura e internamente
matemáticas. El primero es directamente observable en la realidad, por ejemplo en
los bien conocidos ejemplos de las gotas de lluvia cayendo sobre las tejas de un
techo. La lluvia es un fenómeno de masa aleatorio típico donde los eventos
individuales son en principio impredecibles. Filosóficamente es interesante que
aparezca globalmente una regularidad que parece inherente al curso de la naturaleza
–Wagemann56 la llamó de una manera significativa “libertad individual bajo
restricción colectiva”- lo cual posiblemente no se pueda explicar matemáticamente,
pero lo que realmente importa es que este principio de grandes números posee una
correlación matemática interna en la ley de los grandes números que se puede
derivar del modelo del campo de la probabilidad, de tal manera como para
justificarlo por esta consecuencia como un buen modelo. La opinión algunas veces
expresada de que las leyes de los grandes números deberían medir prescripciones
para probabilidades desconocidas o de que el parámetro 𝜌 en la ley de Bernoulli
lim𝑛→∞
{|1
𝑛 (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛) − 𝜌| > 𝜖} = 0
debería ser la probabilidad “genuina”, me parece inadecuada por entremezclar al
“plano del modelo con el plano de los hechos”.
No me atrevo a contestar la pregunta de si el postulado de separación del modelo y
la realidad57, o aún de la conciencia acerca de ella -la racionalización a distancia58,
puede ser posible y efectiva en cada nivel cognoscitivo del desarrollo, pero pienso
que valdría la pena llevar al individuo a experiencias empíricas muy tempranas de
este fenómeno de “libertad individual bajo restricción colectiva”. En particular, el
aspecto parcial de libertad individual causa problemas no sólo a los niños sino
también a muchos adultos, como aparece no sólo de los resultados de Piaget y
Cohen59, sino también de experiencias en casinos y cuentos raros en tratados
científicos en el pasado60. En su mayor parte, dos modelos inadecuados lo son una
y otra vez también para los adultos:
El modelo de la alternancia: “después de ‘águila’, ‘sol’ es más posible que
‘águila’”, o “después de una racha de mala suerte, las cosas cambiarán”; el
modelo de seriación: “si es una racha de buena suerte, no lo abandono”.
En artículos acríticos en los medios61, el segundo modelo ocurre como una “ley de
las series” misteriosa; esta ley parece ser básica en muchos tipos de superstición. En
ambos modelos está involucrada la creencia en la existencia de estrategias para
ganar y la falta de comprensión de la independencia.
Las oportunidades didácticas de experiencias empíricas en esta novena idea están
más restringidas que lo que los textos escolares nos harían creer. Las sucesiones
aleatorias en el salón de clase convergen lentamente62, y posiblemente ni lo hagan
cuando es necesario en demostraciones. Parece una mejor oportunidad construir
tales series con juegos. De hecho, “a la gente no le gusta aprender, pero le gusta
jugar”63.
X. LA IDEA DE MUESTRA
El ejemplo de las gotas de lluvia sobre el pavimento muestra una décima idea, la de
muestreo. Esta idea es fundamental no sólo en ejemplos para mostrar -ejemplos de
investigaciones psicológicas, diagnósticos médicos, control de calidad industrial-
sino que todos nuestros conocimientos y juicios se basan en muestras. Prejuzgar no
es otra cosa que juzgar sobre la base de muestras no representativas.
Ya que pensar, juzgar, inferir, sólo es posible con base en muestras, es importante
tener gente que argumente cuidadosa y críticamente. Como el estadístico
profesional, todos deberían considerar al muestreo y a sus consecuencias como
modelos burdos para explicar la realidad, y entender claramente en cada caso
particular que sus conclusiones son estadísticas, y más aún, cuáles serían sus
consecuencias, y qué daño podría hacer una decisión equivocada. Los niños de la
escuela elemental pueden comprender que las decisiones pueden depender del
accidente de la selección, y que una buena selección es un caso ideal, si se le sugiere
con actividades apropiadas como la siguiente64:
El profesor muestra una bolsa llena de granos de arroz. ¿Cuántos hay?
¿Podemos decirlo sin contarlos? Los granos se esparcen sobre una rejilla de
cuadros y se les muestra con un retroproyector. Este impulso es lo
suficientemente poderoso como para que los niños empiecen. Algunos
cuadrados parecen más apropiados que otros -es obvio cómo se debe continuar.
La razón por la que esta actividad especial funciona tan bien es la exposición
visual simultánea de la totalidad y de muchas muestras. En general, las
actividades parecen prometer más éxito si están encajadas o enmarcadas o
referidas a situaciones geométricas.
En grados escolares superiores, se pueden seleccionar ejemplos menos conectados
con la geometría65. Se da a los alumnos el problema de cuántos niños tiene la
familia promedio. Los alumnos se inclinan a seleccionar su propia clase como una
muestra y evalúan estos datos. En el transcurso de la lección se les ocurre que esta
muestra no puede ser representativa porque en la muestra faltan las familias sin
niños (y las que tienen un número más grande de niños están sobre representadas).
Este es un discernimiento fundamental.
OBSERVACIONES FINALES
Mi lista de ideas fundamentales es una muestra de modelos estocásticos,
prescripciones y hechos. ¿Es representativa?
Como lo dije al principio, esto depende del punto de vista. Mi punto de partida fue
la pregunta: ¿Cuáles situaciones estocásticas encontrará preponderantemente el
individuo, y con cuáles modelos explicativos se les puede cubrir? Este es un marco,
y dentro de él se trataron estructuraciones, se prosiguieron concentraciones en la
forma de ideas generales. La lista resultante es algo como un modelo, aunque no
para resolver problemas estocásticos sino para construir curricula coherentes de
estocásticos. La utilidad de un modelo tal puede mostrarse solamente usándolo en
la enseñanza a todos los niveles. La mayor tarea de didáctica de la probabilidad en
los próximos años no es escribir capítulos sobre estocásticos deductivamente bien
estructurados para el grado escolar n -probabilidad como un dominio matemático
abstracto-, o producir todavía más actividades de juego sin marcos sistemáticos.
Más bien, lo que es necesario es integrar, tan temprano como sea posible,
actividades estocásticas con actividades en aritmética y, más aún, en geometría, y en
todos los casos respetar y desarrollar conexiones significantes con la realidad, con el
mundo del alumno. Para este propósito, se necesitan profesores que sepan lo que
es realmente fundamental en estocásticos. Por ejemplo, estaría muy mal si nuestros
maestros de los niveles elementales enseñaran estocásticos elementales como un
campo de ‘aplicaciones’ de la así llamada teoría de conjuntos. Exactamente esto es
lo que podría pasar si a nuestros maestros de la enseñanza elemental en Alemania
se les enseña mucho de ‘teoría de conjuntos’ pero poco, o nada, de estocásticos.
NOTAS
1 Brunet, J. S., The Process of Education, Cambridge, Massacbusetts, 1960.
2 v. Hentig, H., 'Allgemeine Lernziele in der Gesamtschule', in Lernziele der Gesamtschule, Deutscher Bildungsrat: Gutachten und Studien der Bildungskommission 12, Stuttgart 1969, p. 35.
3 Opinions about the meaning of 'objectivist' are far from unanimous. I follow F. v. Kutschera in Wissenschaftstheorie I, Mimchen 1972, p. 88 sq.
4 Cp. first paragraph (2). 5 G6hner, H. and Weber, H., 'Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in der Grundschule', Die Schulwarte
6 (1971), 40-54.
6 Fiscbbein, E., Barbat, I., and Minzat, L, 'Intuitions primaires et intuitions secondaires dans l'initiation aux probabilit6s', Educational Studies in Mathematics 4 (1971), 264-280.
7 Cp. Lipschutz, S., Theory and Problems oJ Probability, New York 1968, p. 54; and Schrage, G. 'Ein Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung?' PraMs tier Mathematik 12 (1971), 309-312.
8 Cp. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. I, New York 1968, p. 2.
9 Cp. Note 6, p. 265.
10 Piaget, J. and Inhelder, B., La gen~se de l'idde du hasard chez l'enfant, PUF Paris 1951, p. 110-111. (Piaget's experiment is not identical, but isomorphic with the present one.)
11 Cp. Note 6, p. 265.
12 Cp. Note 5 and Varga, T., 'Logic and probability in the lower grades', Educational Studies in Mathematics 4 (1972), 346-357.
13 Winter, H. and Ziegler, T., Neue Mathematik 2, 3, 4 (school texts), Dortmund 1971, 1972. 1973.
14 Engel, A., 'Teaching probability in intermediate grades', Int. d. Math. Ed. Scl. TechnoL 2(1971), 243-294.
15 Taken from: Graf, U. and Barner, M., Darstcllende Geometric, Heidelberg 1961, p. 219.
16 Fischbein, E., 'Enseignement math6matique et d6veloppement intellectuel', Educational Studies in Mathematics 2 (1969), 292.
17 Müller, D. W., 'Thesen zur Didaktik der Mathematik', Mathematisch Physikalische Semesterberichte 21 (1974), 167.
18 Cp. Freudenthal, H., Mathematics as an Educational Task, Dordrecbt, 1972, p. 587-589.
19 Dinges, H., Zum Unterricht der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Unpublished, Frankfurt 1973, p. 1.
20 For instance, people active in instruction, seem to believe that Kolmogorov's axiomatic system has contributed in a decisive way to the progress of probability and statistics, apparently because they endeavour to see mathematics from the
viewpoint of mathematical structures. Statisticians, however, and even probabilists view Kolmogorov's system rather as a finishing touch than as progress in essentials.
21 Cp. Note 16, p. 293.
22 Aebli, H., 'Die geistige Entwicklung als Funktion yon Anlage, Reifung, Umwelt und
Erziehungsbedingungen', in: Begabung und Lernen, Stuttgart 1972, p. 187.
23 Cp. Furth, H., Piagetfar Lehrer, Diisseldorf 1973, p. 100.
24 Cp. Wallis, W.A. and Roberts, H., Methoden der Statistik, Hamburg 1966; and Wagemann, E., Narrenspiegel der Statistik, Miinchen 1950.
25 It would certainly be impossible and ineffective to imitate all errors and deadlocks.
26 Thorn, R., Modern mathematics, does it exist?Developments in mathematical education,
Cambridge University Press 1973, p. 194-209.
27 Otte, M., 'Notizen zum Problem der Interdisziplinarit~it', Schriftenreihe des 1DM Bielefeld, Nr. 1, 1974, p. 94.
28 Frey, G., 'Symbolische und ikonische Modelle', in The Concept and the Role of the Model in Mathematics and Natural and Social Sciences, Dordrecht 1961, p. 90.
29 According to Hinderer, K., Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Berlin 1972, p. 1 sq. (Hinderer does not give an iconic scheme).
30 From Wallis, W. A. and Roberts, H., Methoden der Statistik, Hamburg 1966, p. 274.
31 In the classroom this example causes trouble, for instance if the sum of points is considered as a stochastic variable: The pupils argue on the strength of commutativity of addition that (2,5) and (5,2) need not be distinguished.
32 Cp. note 17, p. 167.
33 Cp. note 12, p. 352 sq.
34 Hilbert, D., 'Mathematische Probleme' Vortrag auf dem internationalen Mathematikkongress zu Paris 1900, reprinted in: Gesammelte Abhandlungen Bd. III, p. 306.
35 Winter, H. and Ziegler, T., Neue Mathematik Bd. 2, Dortmund 1971, p. 112.
36 Cp. Note 10. See also Cohen, J. and Hansel, M., Gl~ck und Risiko, Frankfurt
1961 (19551).
37 Fischbein, E., Pampu, 1., and Minzat, I, L, 'L'intuition probabiliste chez l'enfant', Enfance 2 (1967), 193-208.
38 Cohen, J., 'Subjective probability', Scientific American 197 (1957), 138.
39 Cp. Note 37, p. 203.
40 Hartwig, H., 'Naturwissenschaften and sozialwissenschaftliche Statistik', Zeitschrift f~r die gesamte Staatswissenschaft 112 (1956), 252-266.
41 Cantor, M., Vorlesungen aber Geschichte der Mathematik, Band IV, Stuttgart 1965, p. 225. (Reprint from the 1899 edition.)
42 Cp. Note 37, p. 195.
43 Cp. Note 18, p. 527. See also Menges, G., Grundriss der Statistik 1. K6ln 1968, p. 103 sq.
44 Cp. Menges, G.. Note 43, p. 113.
45 A good example are Lego towers, in particular as 'recollection towers' in games with Galton distributions. Cp. Engel, Varga, and Walser, Zufall oder Strategie, Stuttgart 1974, p. 24.
46 Cp. Note 10.
47 See the example in Freudenthal, Cp. Note 18, p. 190.
48 Freudenthal, H., 'General ideas by comprehension or apprehension', Lecture at the International Colloquium on theoretical problems of mathetical instruction at the primary level.
49 Cp. Freudenthal, H., 'Models in applied probability', in The Concept and Role of the Model in Mathematics and Natural and Social Sciences, Dordrecht 1961, p. 80.
50 Polya, G., Mathematik undplausibles Sehliessen, Bd. 2, Basel 1963, p. 96.
51 Sobol, 1. M., Die Monte-Carlo-Methode, Berlin 1971, p. 7.
52 Cp. Menges, G., Note 43, p. 11.
53 Cp. Note 19, p. 12.
54 Cp. Note 10.
55 Hilgard, E. R. and Bower, G. H., Theorien des Lernens Bd. 2, Stuttgart 1971, p. 432 sq.
56 Cp. Wagemann, E., Note 24, p. 22.
57 See Freudenthal, Note 18, p. 583.
58 Cp. Note 17, p. 167.
59 Cp. Note 36.
60 Cp. Note 41, p. 225-226.
61 Cp. Quick of 7 March 1974: "Ein Unglaek kommt selten allein. (disasters agglomerate -a German proverb, which actually means 'it never rains but it pours'). Millions say itwithout knowing how true it is. Often catastrophes, accidents, diseases pile up in a way which cannot be explained by mere chance. Scientists call it the magical law of the series."
62 Cp. Freudenthal, H., 'The empirical law of large numbers or the stability of frequencies', Educational Studies in Mathematics 4 (1972), 484-490.
63 Steinbuch, K., cited after: Woitschach, M., Strategie des Spiels, Hamburg 1971 (lst edition 1968).
64 Personal communication by G. Miiller, Dortmund.
65 From H. Freudenthal (from a lecture).