高次偏導関数，合成関数の微分法 - biglobe · 2020. 7. 19. · 2...

高次偏導関数，合成関数の微分法

黒田紘敏

理学研究院数学部門

2020年 7月 20日

黒田紘敏 (数学部門) 微分積分学 I 2020 年 7 月 20 日 1 / 22

目次

目的高次の偏導関数が計算できる．合成関数の微分法を理解し，具体的な計算が実行できる．

今日の講義は 2本立てです．多変数関数の Taylorの定理は次回に扱うことにします．

Contents1 高次偏導関数

1 定義と計算例2 偏微分の順番と C2 級関数

2 合成関数の微分法1 定理の説明2 具体的な計算例


2次偏導関数

Definition (2次偏導関数)領域 D上で偏微分可能な関数 f (x, y)の偏導関数 fx(x, y)と fy(x, y)がともにまた Dで偏微分可能ならば， f (x, y)は 2回偏微分可能であるといい

( fx)x = fxx, ( fx)y = fxy, ( fy)x = fyx, ( fy)y = fyy

を f (x, y)の 2次偏導関数という．z = f (x, y)に対して，2次偏導関数をそれぞれ

zxx = fxx =∂2 f

∂x2, zyy = fyy =

∂2 f

∂y2

zxy = fxy =∂2 f∂y∂x

, zyx = fyx =∂2 f∂x∂y

と表すこともある．

一般には fxy , fyx であり，偏微分する変数の順番を変えると結果が異なるので気をつけること．


2次偏導関数に関する注意

記号の意味を間違えやすいので注意しておくと

fxy =∂2 f∂y∂x

は『先に xで偏微分してから yで偏微分する』という意味である． fxy で

書くときは左の変数から，∂2 f∂y∂x

で書くときは右の変数から偏微分するこ

とになる．これは fx =∂ f∂xを yで偏微分する際に，それぞれ

( fx)y = fxy,∂

∂y∂ f∂x=

∂2 f∂y∂x

と表すからである．この∂

∂xや

∂

∂yは偏微分作用素と呼ばれる．


2次偏導関数の計算例

例題次の関数の 2次偏導関数を求めよ．

f (x, y) = x sin(xy2)

解答

　 fx(x, y) = sin(xy2) + xy2 cos(xy2)より

fxx(x, y) = 2y2 cos(xy2) − xy4 sin(xy2)

fxy(x, y) = 4xy cos(xy2) − 2x2y3 sin(xy2)

　 fy(x, y) = 2x2y cos(xy2)

fyx(x, y) = 4xy cos(xy2) − 2x2y3 sin(xy2)

fyy(x, y) = 2x2 cos(xy2) − 4x3y2 sin(xy2)


2次偏導関数の性質

2次偏導関数に関する重要な性質は次のものである．

Theoremf (x, y)を領域 Dで定義された関数とする．2次偏導関数 fxy と fyx が存在し，さらに fxy と fyx がともに Dで連続ならば，D上で

fxy(x, y) = fyx(x, y)

が成り立つ．つまり，偏微分の結果は変数の順番によらない．

　応用上は多くの場合， fxx, fxy, fyx, fyy がすべて領域 Dで連続となる．このような関数 f (x, y)を D上の C2級関数という．

　 C2級関数ならば当然上の定理の仮定はみたされるから，偏微分を計算する際に変数の順番を気にする必要はない．そのため， fxx, fxy, fyy の 3つを計算すれば， fyx = fxy より残りも求まる．ただ，独立に fyx を計算すれば検算には使える．



証明 (Part 1)　領域 Dの任意の点 (x, y)をとり固定し，関数 F(h, k)を

F(h, k) = f (x + h, y + k) − f (x + h, y) − f (x, y + k) + f (x, y)

で定める．

　 1変数関数の平均値の定理を x成分，y成分の順に 2回適用すれば，ある 0 < θ1 < 1, 0 < θ2 < 1が存在して

F(h, k) = { f (x + h, y + k) − f (x + h, y)} − { f (x, y + k) − f (x, y)}

= { fx(x + θ1h, y + k) − fx(x + θ1h, y)}h

= fxy(x + θ1h, y + θ2 k)hk

となる．



証明 (Part 2)　同様に，平均値の定理を y成分，x成分の順に 2回適用すれば，ある0 < θ3 < 1, 0 < θ4 < 1が存在して

F(h, k) = fyx(x + θ3h, y + θ4 k)hk

となる．

　ゆえにfxy(x + θ1h, y + θ2 k) = fyx(x + θ3h, y + θ4 k)

が成り立つ．よって，0 < θ j < 1 ( j = 1, 2, 3, 4)と 2次偏導関数 fxy, fyxの連続性より，この式の両辺で (h, k) → (0, 0)とすれば，求める等式

fxy(x, y) = fyx(x, y)

が成り立つ．


高次偏導関数

　 3次以上の偏導関数（および偏微分可能性）も同様に定める．例えば，f (x, y)の 3次偏導関数は 23 = 8個あり，列挙すれば

fxxx, fxxy, fxyx, fyxx, fxyy, fyxy, fyyx, fyyy

である．

Definition (Cn級関数)f (x, y)が領域 D上で n回偏微分可能で，さらに 2n個すべての n次偏導関数が Dで連続であるとき， f (x, y)は Dで Cn級であるという．

f (x, y)が Cn級関数ならば，n次以下の偏導関数 f, fx, fy, fxx, fxy, . . .も連続である（C1級関数の連続性より従う）．よって， f が C3級ならば

∂3 f

∂x2∂y= fxxy = fxyx = fyxx,

∂3 f

∂x∂y2= fxyy = fyxy = fyyx

が成り立つ．黒田紘敏 (数学部門) 微分積分学 I 2020 年 7 月 20 日 9 / 22

高次偏導関数

Definition (C∞級関数)f (x, y)が任意の自然数 nに対して Dで Cn級であるとき，Dで C∞級であるという．

1変数関数として C∞級な初等関数の組み合わせで表される多変数関数の多くは C∞級である．例えば

x3y2 + xy4, log(x2 + y2 + 1), e2x+y sin(x2 + xy), Sin−1 2xy

x2 + y2 + 1

は R2 で C∞級である．同様に

xy (x > 0), Tan−1 yx

(x , 0)

はそれぞれの定義域で C∞級である．C∞級ならば，偏微分する変数の順番は気にしなくてよいので，見た目で判断できるようにしておくこと．


ラプラシアン

理工学系分野でよく現れる偏微分作用素の記号として次が挙げられる．

Definition (ラプラシアン)　 2回偏微分可能な関数 f (x, y)に対して

∆ f = fxx + fyy

とおく．また，偏微分作用素

∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2

をラプラシアン (Laplacian)という．　さらに，定義域で ∆ f = 0を満たす関数を調和関数という．

　ラプラシアン ∆はフーリエの法則やフィックの法則を通して拡散現象など広い分野に関連がある．詳細は必要になった際に，各分野の参考書や偏微分方程式の教科書を見てほしい．なお，∆の記号を用いるが微小変化量を表しているわけではない．


調和関数の例

例題次の関数は調和関数であることを示せ．

f (x, y) = log(x2 + y2)

解答

fx =2x

x2 + y2, fy =

2y

x2 + y2

より

fxx =2(x2 + y2) − 2x · 2x

(x2 + y2)2=−2x2 + 2y2

(x2 + y2)2, fyy =

2x2 − 2y2

(x2 + y2)2

なので

∆ f = fxx + fyy =−2x2 + 2y2

(x2 + y2)2+

2x2 − 2y2

(x2 + y2)2= 0


合成関数の微分法

Theorem (合成関数の微分法)関数 f (x, y)が領域 Dで全微分可能関数 φ(t), ψ(t)は区間 Iで微分可能かつ (

φ(t), ψ(t)) ∈ D (t ∈ I)であれば，合成関数 f (φ(t), ψ(t))は区間 Iで微分可能で

ddt

f (φ(t), ψ(t)) = fx(φ(t), ψ(t)) φ′(t) + fy

(φ(t), ψ(t))ψ′(t)

が成り立つ．

これを z = f (x, y)と x = φ(t), y = ψ(t)との合成と見て

dzdt=∂z∂x

dxdt+∂z∂y

dydt

ように表す．計算の際には記号に注意すること．例えば ft(x, y)という偏導関数は存在しない．



証明 (Part 1)　 F(t) = f (φ(t), ψ(t))とおく．任意の t ∈ Iをとり固定する．このとき

lims→0

F(t + s) − F(t)s

= fx(φ(t), ψ(t)) φ′(t) + fy

(φ(t), ψ(t))ψ′(t)

を示せばよい．まず f (x, y)は全微分可能だから

ε(h, k) = f (φ(t)+h, ψ(t)+k)− f (φ(t), ψ(t))− fx(φ(t), ψ(t))h− fy(φ(t), ψ(t))k

とおけば， lim(h,k)→(0,0)

ε(h, k)√

h2 + k2= 0が成り立つ．そこで

h(s) = φ(t + s) − φ(t), k(s) = ψ(t + s) − ψ(t)

とおいて s → 0とすれば，φ(t), ψ(t)は連続なので (h(s), k(s)) → (0, 0)となり，これは (h, k)の (0, 0)への近づき方を 1つ決めたことになる．



証明 (Part 2)　ここで，平均変化率の分子は

F(t + s) − F(t) = f (φ(t + s), ψ(t + s)) − f (φ(t), ψ(t))= f (φ(t) + h(s), ψ(t) + k(s)) − f (φ(t), ψ(t))= fx

(φ(t), ψ(t))h(s) + fy

(φ(t), ψ(t))k(s) + ε(h(s), k(s))

であるから，s , 0ならば

F(t + s) − F(t)s

= fx(φ(t), ψ(t)) h(s)

s+ fy

(φ(t), ψ(t)) k(s)

s+ε(h(s), k(s))

s

が成り立つ．この右辺について，φ(t), ψ(t)は微分可能だから

lims→0

h(s)s= lim

s→0

φ(t + s) − φ(t)s

= φ′(t), lims→0

k(s)s= ψ′(t)



証明 (Part 3)∣∣∣∣∣∣ε(h(s), k(s))s

∣∣∣∣∣∣ = |ε(h(s), k(s))|√h(s)2 + k(s)2

√(h(s)s

)2

+

( k(s)s

)2

とすれば， f の全微分可能性より

lims→0

∣∣∣∣∣∣ε(h(s), k(s))s

∣∣∣∣∣∣ = 0 ·√{φ′(t)}2 + {ψ′(t)}2 = 0

である．ゆえに

lims→0

F(t + s) − F(t)s

= fx(φ(t), ψ(t)) φ′(t) + fy

(φ(t), ψ(t))ψ′(t)

が成り立つ．従って，合成関数 F(t)は微分可能で

F′(t) = fx(φ(t), ψ(t)) φ′(t) + fy

(φ(t), ψ(t))ψ′(t)


合成関数の微分法の計算例

例題

f (x, y)は R2 で C2級とするとき，x = t2 + 1, y = t3 との合成関数

g(t) = f (t2 + 1, t3)

について，g′′(t)を求めよ．

解答まず

g′(t) = 2t fx(t2 + 1, t3) + 3t2 fy(t2 + 1, t3)

となる．よって， f (x, y)は C2級なので fxy = fyx より

g′′(t) = 2 fx(t2 + 1, t3) + 2t{

fxx(t2 + 1, t3) · 2t + fxy(t2 + 1, t3) · 3t2}

+ 6t fy(t2 + 1, t3) + 3t2{

fyx(t2 + 1, t3) · 2t + fyy(t2 + 1, t3) · 3t2}

= 4t2 fxx(x, y) + 12t3 fxy(x, y) + 9t4 fyy(x, y) + 2 fx(x, y) + 6t fy(x, y)



Theorem (合成関数の微分法)f (x, y)が領域 Dで全微分可能φ(s, t), ψ(s, t)が領域 Eで偏微分可能かつ E上 (

φ(s, t), ψ(s, t)) ∈ Dであれば，合成関数 f (φ(s, t), ψ(s, t))は Eで偏微分可能で

∂

∂sf (φ(s, t), ψ(s, t)) = fx

(φ(s, t), ψ(s, t)) φs(s, t)+ fy

(φ(s, t), ψ(s, t))ψs(s, t)

∂

∂tf (φ(s, t), ψ(s, t)) = fx

(φ(s, t), ψ(s, t)) φt(s, t)+ fy

(φ(s, t), ψ(s, t))ψt(s, t)

が成り立つ．

これを z = f (x, y)と x = φ(s, t), y = ψ(s, t)との合成と見て∂z∂s=∂z∂x

∂x∂s+∂z∂y∂y∂s,

∂z∂t=∂z∂x

∂x∂t+∂z∂y∂y∂t

ように表す．黒田紘敏 (数学部門) 微分積分学 I 2020 年 7 月 20 日 18 / 22


例題

f (x, y)は R2 で C1級とするとき，x = r cos θ, y = r sin θとの合成関数

g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)

について，( fx)2 + ( fy)2 = (gr)2 +1r2

(gθ)2 が成り立つことを示せ．

解答

gr = fx · cos θ + fy · sin θ

gθ = fx · (−r sin θ) + fy · r cos θ

なので

(gr)2+1r2

(gθ)2 = ( fx cos θ+ fy sin θ)2+(− fx sin θ+ fy cos θ)2 = ( fx)2+( fy)2



例題

質量 mの質点 Pの C1級関数 V(x, y)をポテンシャルとする xy平面内の運動を考える．すなわち，質点 Pの時刻 t における位置 P(x(t), y(t))は運動方程式

md2xdt2

(t) = −∂V∂x

(x(t), y(t)), md2y

dt2(t) = −∂V

∂y(x(t), y(t))

に従うとする．このとき，質点 Pの時刻 t における力学的エネルギー

E(t) =12

m(

dxdt

(t))2

+

( dydt

(t))2 + V(x(t), y(t))

は t によらず常に一定であることを示せ．

基準面を設定して，V(x, y) = mgyとすれば，高校物理で習う力学的エネルギー保存則の証明となる．



解答合成関数の微分法より

ddt

V(x(t), y(t)) = Vx(x(t), y(t)) x′(t) + Vy

(x(t), y(t)) y′(t)

である．よって，E(t)を微分すれば

E′(t) =12

m{2x′(t)x′′(t) + 2y′(t)y′′(t)

}+ Vx

(x(t), y(t))x′(t) + Vy(x(t), y(t))y′(t)

=

{mx′′(t) + Vx

(x(t), y(t))}x′(t) +{

my′′(t) + Vy(x(t), y(t))}y′(t)

= 0

であるから，E(t)は t によらない定数である．


まとめ

今日の目標高次の偏導関数が計算できる．

C2級関数の定義を理解し，前回までの講義内容も踏まえて C2級関数の性質の説明ができる．

合成関数の微分を計算することができる．

次回：　第 9章「5. Taylorの定理」「6. 2変数関数の極値」

　今回は計算法を正しく理解して実行できることが重要です．高次の偏導関数は計算が複雑になることが多いので，よく計算練習しておいてください．また，習いたての頃は合成関数の微分法で記号が混乱しやすいので，じっくり考えて身につくまで問題に取り組んでください．

　次回は多変数関数版の Taylorの定理を扱います．1変数関数の場合をよく復習しておいてください．


高次偏導関数，合成関数の微分法 - biglobe · 2020. 7. 19. · 2...

Documents