授课教师：张宗新 复旦大学金融研究院

投资学

第五章

因素模型与套利定价理论（APT）

第一节 指数模型

一、因素模型的产生

1、资本资产定价模型（CAPM）在实际应用的两大问题：

（1）要计算风险市场组合，计算量非常巨大。

（2）证券市场线实际上只考虑了风险市场组合的预期回报率对证券或证券组合的期望收益率的影响，即把市场风险（系统风险）全部集中地表现在一个因素中，并没有将影响证券收益的宏观经济变量（如国民收入、利率、通货膨胀率、能源价格等）考虑在内。

2、因素模型的提出

1961年，夏普(William Sharpe)写出博士论文，提出单因素模型。

单因素模型的两个基本假设：

（1）证券的风险分为系统风险和非系统风险，因素对非系统风险不产生影响。

（2）一个证券的非系统风险对其它证券的非系统风险不产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反应而相关联。

二、单因素模型

1、什么是单因素模型？

单因素模型把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。

单因素模型一般形式：

单因素模型中证券收益的三大基本构成因素；

iiii Fbar

实例：因素模型数据

年 度 GDP 增长率（%） 通货膨胀率（%） 公司 i 的收益率（%）

1 5.7 1.1 14.3

2 6.4 4.4 19.1

3 7.9 4.4 23.4

4 7.0 4.6 15.6

5 5.1 6.1 9.3

6 2.9 3.1 13.0

单因素模型回归：证券回报率的构成

tr

已实现的收益

公司特质带来的收益

13%

共同因素下证券的收益

4%

tGDP

%2.3te

ttt bGDPar

由此，可归纳出因素模型的两大基本性质：

（1）因素组合与任何证券的残差值不相关；

（2）对于任意两种不同的证券i与证券j，其残差值不相关 。

0),( iFCov

2、单因子模型的两个重要的性质

（1）单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。

2),(

),(

),(),(

Fjiji

jjii

jjjiiiji

bbFbFbCov

FbFbCov

FbaFbaCovRRCov

0),( jiCov 0),( iFCov 2),( FFFCov

（2）有效实现投资风险的分散化

2222

eiFii b 2222

epFpp b

i

n

i

ip bwb

1

][1

1

22

2

1

1

1

2

21

222

nn

nw

enee

n

i

ei

n

i

eiiep

三、市场模型

（1）市场模型是因素模型的具体化，其中只含有一个因素— —市场指数的回报率。

（2）与CAPM比较

相同点：都是系数决定溢价水平；

不同：a.市场模型不是均衡模型，指数模型具有非均衡性特征；

b.市场模型采用的市场指数；CAPM采用市场组合。

iIiii rar

（3）因素模型的非均衡特征

非均衡特征的体现： 和 的区别；

Fbar iii

)( fMiMfi rrrr

ia fr

四、多因素模型

多因素模型形成：将影响证券收益的系统性因素扩展到多个。

1、双因素模型的一般形式：

实例：（具体化的）双因素模型定价

ittitiiit FbFbaR 2211

tttt CPIbGDPbaR 21

双因素模型的定价

R

非因素回报

零因素

INF

0 GDP

在此，我们同样应用本章第1节中证券 的回报率来说明双因素模型。沿用前面的数据：证券的回报率同时受到国内生产总值GDP和通货膨胀率CPI的双重影响。这样，我们就可以构建一个线性二元方程来解释证券 回报率的生成，这一方程表达为：

回归结果：零因素 等于5.8%，即为国民生产总值GDP和通货膨胀率CPI均为0时的证券预期收益率；

敏感度 和 分别为2.2和-0.7，表示当国民生产总值增长或通货膨胀率上升时，证券收益率分别增加或减少；为证券的特质回报率。

tttt CPIbGDPbaR 21

a

2b

i

t1b

2、多因素模型

同样，考虑到多种因素对证券回报率的影响，可以进一步将因素模型进行拓展，从而形成含有种因素的多因素模型：

itktiktitiiit eFbFbFbaR 2211

五、指数模型估计与因子识别

(一)模型估计方法

1.时间序列法：因素的值是已知的，而敏感度需要估计，且对每个证券的分析是多个时期逐个进行的。

2.横截面法：敏感度是已知的，而因素的值需要估计，且对每一组证券的分析是每一时期逐个进行。

3.因素分析法：

既不知道因素值，也不知道证券对这些因素的敏感度，基于证券过去历史数据来获得一些因素和证券的敏感度。

“连环替代法”；

（二）因子识别——选取影响证券收益的因素的过程

1.外部因子：与证券本身没有内部相关性，但影响证

券好回报率地变量；

2.萃取因子（extracted factors）：从有关证券收益

的已知信息中提取；

3.公司特性因子 ：企业特有的财务指标，如市盈率、分红率、盈利能力预测等。

第二节 套利定价理论（APT）

1976年，斯蒂芬•罗斯（Stephen Ross）提出了套利定价理论（the arbitrage pricing model,APT)

支持APT的理由：

首先，它对投资者关于风险和收益的偏好假设的限制性没有那么强；

其次，APT的支持者认为该模型可以进行实证检验。

一、套利概述

（一）什么是套利？

套利是利用同一实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为。

套利的作用：套利行为是现代有效市场的一个决定性因素。根据套利定价原则，当市场存在错误定价（mispricing）时，市场上的少数理性的投资者立即通过套利操作，构筑大额套利头寸产生巨大的市场力量将偏离的市场价格推至重建市场均衡状态。

（二）套利定价理论的风险——收益关系

套利机会；

套利定价理论的基本假设：

（1）收益率是由某些共同因素一些公司的特定事件决定的，这被称为收益产生过程（a return-generating process）。

（2）市场上存在大量不同的资产；

（3）允许卖空，所得款项归卖空者所有；

（4）投资者偏向于高收益的投资策略。

证券收益率：

iiii eIEIRER ))(()(

二、 套利组合

（一）什么是套利组合？

套利组合（arbitrage portfolios）是指同时满足以下三个条件的证券组合：

（1）不追加任何额外的投资；

（2）不增加组合风险；

（3）套利组合的预期收益大于零。

01

n

i

iW

01

n

i

iiWb

01

n

i

ii RW

（二）如何构造套利组合？

基于三个条件约束，可以构造无数个满足套利条件的潜在套利组合，这些潜在组合必须符合上述三个方程。

实例：假定一个投资者持有3种证券，其预期报酬率分别为15%、21%和12%，敏感度依次为0.9、3.0和1.8。假定每一种证券的市值为100万元，总市值为300万元。

对于一套利组合而言，不新增投资资金，组合中各证券对该

因素的敏感性的加权平均为零

0321 WWW

08.139.0 321 WWW

从上式可以求出无限多组解，在此假定 等于0.1，则上述两方程变为：

1W

08.1309.0 32 WW

01.0 32 WW

012.021.015.0 321 WWW

根据上述方程解出 =0.075， =-0.175。根据套利组合的条件（3），套利组合的预期报酬率必须为正，即：

2W3W

000975.0)175.0(12.0075.021.01.015.0

（三）套利组合对资产定价的影响 当市场存在套利机会，理性投资者必然通过套利投资组

合构建进行套利操作。套利行为将导致有关证券的价格与预期收益的变化，这种变化可以通过考察计算证券预期回报率的方程得到：

其中， 为证券的当前价格， 为证券的预期期末价格。

预期回报率与敏感性之间存在的线性关系，可用下式表达：

这个方程就是套利定价理论的资产定价方程。其中，

是这个方程的截距， 是资产定价线的斜率，表示单位敏感性的组合的预期超额回报率。

10

1 P

Pr

0P 1P

ii br 10

0 1

APT资产定价过程

APT 资产定价线

B

Br 1

Sr S

0

ib

ir

（四）套利均衡状态下的无套利机会

APT的无套利机会的例证

21% B APT 资产定价线

B

Br

Sr C

A C

12% A

0

ib

0.9 1.8 3

ir

三、套利定价理论模型

（一）单因素套利定价模型

（二）双因素套利定价模型

（三）多因素套利定价模型

s.t. )1...(01

n

i

iW

)2...(0),,,(

21

22221

11211

21

nknn

k

k

n

bbb

bbb

bbb

WWW

bW

n

i

iirW1

max

)3...(.....2211 ikikiiii eFbFbFbar

四、APT和CAPM的比较

（一）联系：

APT和CAPM在本质上是一样的，都是一个证券价格的均衡模型。在一定条件约束下，套利定价理论导出的风险收益关系与资本资产定价模型的结论完全一样。

itimiiit

ittiiit

rar

eFbar

市场模型：

单指数模型：

（二）区别：

（1）APT强调的无套利均衡原则，其出发点是排除无套利均衡机会，若市场上出现非均衡机会，市场套利力量必然重建均衡；CAPM是典型的风险收益均衡关系主导的市场均衡，是市场上众多投资者行为结果均衡的结果。这是两者最根本的区别。

（2）CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括马克维茨建立均值-方差模型时所作的假设。 而APT简单的多，更接近现实市场。

（3）风险的来源不同：CAPM仅考虑市场风险；APT除市场风险之外的其他风险。

（4）市场均衡不同：APT不必要求单项资产，只要市场整体即可；CAPM要求单项资产。

（5）投资者的风险认定不同

五、 APT的实证检验与经济意义

对套利定价的实证检验，主要包括两方面的内容：

一是验证证券收益的因素是否仅仅是一个；

二是验证APT模型对股票收益率预测的有效程度如何。

（一）Roll和Ross等人的早期实证检验

（二）豪根（Haugen）的近期检验