eje 3 guia de t p def

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA SEMINARIO UNIVERSITARIO

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS EJE TEMÁTICO III:

FUNCIONES [CONTENIDOS: I)FUNCIONES . II)FUNCIÓN LINEAL. III) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. IV)FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO. V) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se

dan cuenta de lo complicada que es la vida.

John Von Neumann

COORDINADORA MODULO MATEMATICA: ING.DURE,DIANA ANALIA

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA MODULO DE

MATEMATICA

SEMINARIO UNIVERSITARIO

Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA

MODULO MATEMÁTICA Página 2

GUIA DE TRABAJO PRACTICO N° 3: FUNCIONES

PRIMERA PARTE: FUNCIONES GENERALIDADES

A. Encontrar los siguientes productos cartesianos:

{ }{ } { }21 donde , )2

5,4,3,2 donde , )1

, y Bd,e AAxB

Q QxQ

===

B. Enumerar el dominio y la imagen de cada una de las siguientes relaciones

{ } { }(8,5)(7,5);(6,0);)2 (8,6)(6,4);(5,2);)1

C. La relación R hace corresponder a cada elemento del conjunto H su correspondiente cuadrado

en el conjunto F.

Si H={ 2,3,4,5} y F={ 20/ ≤∧∈ xNxx }

1) Escribir los pares ordenados que pertenecen a la relación. 2) ¿Cuál es el dominio?¿Cuál es el conjunto imagen? 3) ¿Cuál es la imagen de 4?

D. Graficar la función y vincular con flechas cada función a su dominio:

5)(

+=

x

xxf

[);5(

);25

+∞+∞

25)( −= xxg { }ℜ

−−ℜ 5

xxxf 3)( 2 += +ℜ

4

2)(

+−=

x

xxf { }4

),4()4,(

−−ℜ+∞−∪−−∞

E. Dadas las siguientes funciones:

• Graficarlas • Clasificarlas • Determinar si existe la función inversa y hallarla

13

5 −−=→ xy/RR:f)a 7

4−=→ xy/RR:f)b

4/:) +−=→ xyRZfc 3−−=→ xy/ZZ:f)d

420 −=→− xy/RR:f)e 1

5

20 +=→+ xy/RR:f)f

920 +−=→+ xy/RR:f)g 2

0 xy/RR:f)h =→ +

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F. Les presentamos aquí distintas formas de expresar funciones: gráficos y tablas. Para cada uno de los gráficos siguientes:

o Encontrar, si es posible las tablas y fórmulas algebraicas correspondientes a la misma función, considerándolas en su dominio de definición.

o Clasificar las funciones Gráficas

G. Marcar con una x los gráficos que representan funciones.

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SITUACIONES PROBLEMÁTICAS A. Los teléfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y números, por lo que a muchas

empresas que contratan el servicio de 0800 les asignan números fáciles de memorizar para sus clientes. Así, por ejemplo, una escuela podría tener el 08003728352, que se corresponde con el O800ESCUELA.

i. ¿Qué números habrá que marcar para comunicarse con el 0800 HELADOS? ii. ¿A qué palabra corresponderá el 08001843367? iii. ¿Es 0800 una relación o una función? Justificar la respuesta.

B. Leer el prospecto de un remedio antitérmico para niños (figura)

i. ¿Qué cantidad de remedio se le daría a un bebé que pesa 5 kg y tiene 37,7° de temperatura? ii. ¿Cuánto pesa Nico, si debe tomar 12 ml cada 6 horas y tiene 38,2° de temperatura?

C. La nafta que consume un auto varía con la cantidad de kilómetros que recorre. Si viaja en una ruta, sin detenerse y sin grandes cambios en la velocidad, el consumo es parejo. Completar la tabla que presentamos a continuación, suponiendo que un coche gasta 6 litros cada 100 km:

Distancia recorrida (en km) 100 200 300 10 50 1000 45 Nafta consumida (en litros) 6

Representar en una gráfica cartesiana los pares ordenados de la tabla, y responder las siguientes preguntas:

i. ¿Por qué no marcamos números negativos en ninguno de los dos renglones de la tabla,

ni en los ejes?

Prospecto: Si la temperatura es menor que 38 grados(axilar) , se recomienda tomar una dosis de 0,3 ml cada kg.de peso (equivalente a 6mg/kg de ibupireno) , cada seis a ocho horas .Si la temperatura ,es igual o mayor que 38° (axilar) ,se recomienda una dosis de 0,5 ml cada kg de peso.

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ii. Si el auto tuviera que detenerse o disminuir mucho su velocidad en varias ocasiones, el consumo de nafta variaría. ¿Hasta qué número de kilómetros recorridos sería razonable extender nuestro estudio, considerando que un tanque promedio tiene 50 litros de capacidad?

iii. ¿Cuánta nafta se consumió aproximadamente en 215 km de viaje? Si el tanque de nafta tiene una capacidad de 40 litros ¿cuántos kilómetros podrá recorrer hasta que se acabe la nafta?.

C. Una olla en el fuego.

Se coloca en el fuego una olla con agua a 10 grados centígrados (10 ºC). La temperatura del agua va aumentando 15 ºC cada minuto hasta llegar a hervir (100 ºC) y se mantiene hirviendo hasta que la retiran del fuego, 11 minutos después de haberla colocado. Analizar la gráfica y responder las siguientes preguntas:

i. ¿Qué temperatura tiene el agua 1 minuto después de estar en el fuego? ii. ¿Y a los 3 minutos? iii. ¿Cuántos minutos tarda en llegar a hervir? iv. ¿Cuánto tiempo sigue hirviendo? v. ¿En qué momento alcanzó los 40 ºC? vi. ¿Llegó en algún momento a los 120 ºC?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Tiempo en minutos

Temperatura en ºC

_____________________

D. Observar el siguiente gráfico, extraído del diario La Nación del 6 de marzo de 2001, que representa

la producción y la venta de automóviles en nuestro país durante un año. i. ¿En qué mes fue máxima la producción de autos? ii. ¿En qué período cayeron más las ventas? iii. ¿En qué meses hubo mayor diferencia entre la producción y la venta de automóviles? iv. ¿Como explica que en enero y febrero de 2001 las ventas hayan sido mayores que la

producción? E. En un cuadrado ABCD de 16 cm de lado inscribimos otro cuadrado MNOP . Éste último cuadrado se

puede dibujar de distintas formas, como muestra la figura

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i. Escribir la fórmula de la función S(x), donde x es la longitud de AM en cm y S es el área del

cuadrado MNOP en 2cm . ii. Indicar el dominio y el conjunto imagen de la función A(x) en esta situación.

F. Considerar todos los rectángulos cuya área es 25 2cm y llamen m y r a las medidas de sus lados, expresadas en centímetros. a) ¿Cuál de las siguientes fórmulas representa a la función que relaciona m con r? Explicar por qué.

rm

rmrm

25 III)

25 II) 25. )I ===

INTERPRETACION DE GRAFICAS. 1. Representa gráficamente una carrera de 200 m entre dos corredores, con las siguientes

características: A sale más rápidamente que B, y en 5 segundos le saca 10 m de ventaja. A se cae en el instante 5 segundos, y B le adelanta. Pero A se levanta en 2 segundos y adelanta a B en la misma línea de meta.

SEGUNDA PARTE: FUNCIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECU ACIONES

A. Dadas las fórmulas de las siguientes funciones lineales, determinar en cada caso el valor de la pendiente y de la ordenada al origen:

12956 3523)3

325 85)()2

894 32

1)()1

yx) yx

xy-) xxf

x-) f(x)xxf

=+=+−=+−=

=−=

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B. Dadas las siguientes funciones lineales, determinar cuáles son paralelas, cuáles perpendiculares y cuáles no son ni paralelas, ni perpendiculares:

216 214)3

2225 142)22

1

2

14 12)()1

y x) xy

xy) xy

x) f(x)xxf

=+−=+−=+=+−

+−=+=

C. Dadas tres rectas // , 321321 RRRsiRyRR ⊥ completar la siguiente tabla:

Pendiente de 1R Pendiente de 2R Pendiente de 3R

2−

3

1

5

2−

D. Conociendo algunos datos de una recta se puede hallar su ecuación :

1) Escribir la ecuación de la recta de pendiente 3 cuya ordenada al origen es el opuesto de 6.

2) Escribir las ecuaciones y graficar en un mismo sistema de ejes coordenados las rectas

21 RyR sabiendo que ,b;b- a;-a 20 3 ; 1 1 2121 ====

E. Una función con dominio en el conjunto de los números reales está dada por la fórmula:

32

1 −= xy

1) Explicar por qué, sin necesidad de trazar la gráfica, podemos asegurar que se trata de una función lineal.

2) Anticipar qué punto del eje Y será cortado por la gráfica de la función. 3) Siempre sin trazar la recta, calcular dónde intersecará al eje x.

F. Resolver los siguientes sistemas en forma analítica, clasificar cada uno y graficar tres de ellos:

=−−=+

22

234)1

yx

yx

=+−=−72

12)2

yx

xy

=+−=+−

1622

8)3

yx

yx

=+−=+

233

1)4

yx

yx

+−=−=+

8,532

2,22)5

xy

yx

=+=+

339

113)6

yx

yx

=−+

=+

084212

143

12

)7yx

xy

=−

=+

262

832)8yx

yx

−=−

−=−

45

184

45

6

3

4

)9

yx

yx

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MATEMATICA




+=

−=

61

2

24

3)10yx

xy

+==−

3864

1932)11

yx

yx

−=−=−

xy

yx

482

84

)12

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

1. Hallar dos números sabiendo que la mitad del primero menos dos tercios del segundo es igual a 1 y que el primero más el doble del segundo es 12.

2. Hallar la edad de un señor y la de su hijo sabiendo que la edad del primero es el cuádruplo de la del segundo y que el padre tiene 24 años más que su hijo.

3. Hallar dos números sabiendo que si al menor se le resta el doble del mayor, el resultado es

4

15− y que la novena parte de la suma de ambos números es 4

1.

4. Con 200 monedas de las cuales algunas son de 5 centavos y las restantes de 25 centavos se han juntado $ 40; ¿cuántas monedas de cada clase se tienen?

5. Hallar dos números sabiendo que su razón es 5

3 y su diferencia es 4.

6. Hallar la fracción que es igual a 7

6− cuando a cada uno de sus términos se le resta 1 y es igual

a 5

8− cuando se le suma 1 a cada uno de sus términos.

7. En la sección Economía del diario La Nación del 19 de noviembre de 2003 apareció la siguiente noticia: “La industria creció un 16% en octubre”. Observar la gráfica y contestar:

a) ¿En qué mes creció más la economía tomando el cero como referencia? b) ¿En qué mes se registró mayor variación respecto del mes anterior? Justificar.

La gráfica muestra claramente que la función no es lineal. Pero si restringimos, ”recortamos”, el dominio al intervalo [octubre 2002; enero 2003], en ese período la función resulta aproximadamente lineal.

La gráfica representa el crecimiento de la industria, en %, en función del tiempo, en un dominio de 13 meses: [octubre 2002; octubre 2003].

8. Una empresa de telefonía ofrece el

siguiente servicio: un costo fijo de $20 en concepto de abono, más un costo de $0,25 por cada minuto de uso.Otra empresa ofrece: un costo fijo de $15 en concepto de abono, más un costo de $0,27 por cada minuto de uso. ¿Cuántos minutos debe hablar una persona para que le resulte indistinto contratar los servicios de una u otra empresa? ¿Cuánto debería pagar en ese caso?

9. En un espectáculo teatral las entradas costaban $15 para los mayores y $10 para los menores de 12 años. Un día determinado se recaudaron $4.500. ¿Cuántos mayores y cuántos menores asistieron ese día?

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MATEMATICA




A continuación realice las siguientes actividades. a. identificar las incógnitas, asígneles una letra a cada una y escriba el enunciado del

problema en lenguaje simbólico. b. Graficar los pares que corresponden a las posibles soluciones, en un sistema de ejes

cartesianos. c. Indicar entre qué valores se pueden encontrar

los valores de las soluciones

10. Hallar algebraicamente y verifiquen en el gráfico. i. Las coordenadas de los vértices del

triángulo. ii. La ecuación de la recta que contiene al lado

rs. iii. El perímetro del triángulo (Consideren que

cada unidad mide 1 cm).

11. Consideren el siguiente sistema de

ecuaciones.

=+−=−

ykkx

yx

24

22)1(3

i. Determinar el valor de k para que las rectas sean perpendiculares.

ii. Resolver el sistema y verificar gráficamente la solución obtenida en forma algebraica.

12. Darío tiene una colección de 1 200 estampillas. Las de Europa y África juntas representan las dos terceras partes del total, pero las de Europa son 276 estampillas más que las de África. ¿Cuántas estampillas tiene de cada uno de estos continentes?

13. Dos lanchas, una de pasajeros y otra pesquera, salen del muelle en direcciones opuestas. Cuando están a 32 km de distancia, la lancha de pasajeros recorrió 2800 m menos que la lancha pesquera. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada lancha hasta ese momento?

MÁS ACTIVIDADES.

1. Calcular en cada sistema el coeficiente que falta teniendo en cuenta la solución y/o la clasificación indicada.

................................................. ..........................................

.................................................. ..........................................

adoindetermin compatible Sistema 2;4

3

8532

16________8

27______

5,9)4(3)1(2)

=

−+−=+=+−

−==−−+

s

yxyx

yx b)

yx

yxa

2. a) Calcular en cada sistema el coeficiente k que falta para que el sistema siguiente cumpla la condición pedida en cada caso:

i. Sea compatible indeterminada ii. Sea compatible determinada iii. Sea incompatible.

c) Verificar los resultados en forma analítica.

=+=+

622

3

yx

kyx

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3. Calcular la medida de los ángulos interiores del paralelogramo, teniendo en cuenta los datos que se dan en la figura.

ACTIVIDAD DE INVESTIGACION Se llama inflación a la pérdida del valor adquisitivo del dinero. Si un objeto que costaba 10$ ahora cuesta 12$, la inflación fue del 20%.

i. Verificar que, en efecto, con una inflación del 20% un objeto que costaba 10$ pasa a costar 12$.

ii. Construir una tabla de precios para una inflación del 20%. La función es: los precios aumentados en función de los precios viejos.

iii. Construir la gráfica de la función. iv. Obtener su fórmula.

v. Relacionar la fórmula con la gráfica: ordenada al origen, pendiente, etc.

₪

TERCER PARTE: FUNCIONES CUADRATICAS Y ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

A. Encontrar la fórmula de una función del tipo 2)( axxg = y que pasa por el punto (1; 51 ).

B. Encontrar la fórmula de una función del tipo 2)( axxg = y que pasa por el punto (–5 ; 50).

C. Dadas siguientes funciones definidas en R ,determinar : i. Concavidad ii. Raíces iii. Eje de Simetría iv. Vértice v. Intersección con los ejes vi. Dominio y la imagen vii. Graficar identificando los puntos hallados

1)1 2 −= xy 24)2 xy −= 32)()3 2 −+= xxxf

44)4 2 −+−= xxy 2

9

2

3)5 2 −−= xxy xxy 3)6 2 +=

)5().1()7 −+= xxy D. Calcular el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos(2) raíces reales

iguales , escribir su fórmula y verificarlas:

1) kkxxxf ++= 2)( 2

2) kxkxxf −−+= )1()( 2

E. ¿Cuáles pueden ser los valores de h para que la siguiente ecuación tenga dos soluciones?

353 2 =++− hxx

F. Sea la ecuación 032 =++ kxx . Hallar el valor de k para el cual la ecuación no tiene raíces reales.

G. ¿Cuál debe ser el valor de c para que la ecuación 025

1 2 =++ cxx tenga una raíz doble?.¿Cuál es

el valor de esa raíz?.

H. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado fraccionarias:

6

3512)1 +=− x

xx 3

5

8

2

7)2 =

−+

− xx 1

41)3 =

++

+ x

x

x

x

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MATEMATICA




35

210

13

13

1

)4+−=

+

+

x

x

x

x 1

2

62)5 =

+−+

xx 13

13

210)6

2−=

+−

xx

xx

01

1

3

3)7 =

−++

+−

x

x

x

x 1

11

)8 =−

xx

I. Para cada una de las siguientes parábolas, indicar: Coordenadas del vértice Ordenada al origen Raíces Eje de simetría Imagen a)

b)

a)

b)

PLANTEAR Y RESOLVER CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PROB LEMAS.

1. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85.¿Cuáles son dichos números?

2. La suma entre un número y su recíproca es 6

13 -. ¿De qué números se trata?

3. ¿Cuál es el número entero que sumado a su recíproca da por resultado 7

50?

4. Hallar la base y la altura del paralelogramo abcd, cuya superficie es de 15 2cm

5. La diagonal de un rectángulo tiene una longitud de 13 cm; si la altura es 7cm mayor que la base, ¿cuál es la superficie del rectángulo?

6. Si el perímetro de un rectángulo es 26 cm y su superficie es 40 2cm , hallar la longitud de su diagonal.

7. Se patea una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza medida desde el suelo en función del tiempo está dada por la siguiente fórmula: 862)( 2 ++−= ttth donde h representa la altura, medida en metros y t el tiempo, medido en segundos.

i. ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo?

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ii. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? iii. Graficar la función.

8. El producto entre dos números enteros es 672 y el primero de ellos supera en 11 unidades al

segundo. ¿Cuáles son esos números? 9. Para conocer los resultados de una campaña publicitaria, una fábrica de bebidas gaseosas

midió, a lo largo de 10 meses, la variación en las ventas, partiendo de un porcentaje de 100%. Las mediciones le permitieron establecer la siguiente fórmula: 100324 2 ++−= xxy

Donde x es el tiempo en meses y es el porcentaje de ventas.

i. Determinar el dominio de la función. ii. Construir una tabla y la gráfica de la función. iii. Indicar el porcentaje de demanda a los tres meses de iniciada la

campaña iv. Determinar el momento en que las ventas alcanzaron el máximo, y cuál

fue ese máximo en porcentaje. v. ¿A partir de qué momento la demanda cayó por debajo del nivel inicial?

ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN.

1. Con una soga de 20 cm de largo se pueden construir rectángulos como los siguientes:

¿Cuál de todos los que pueden construirse es el que tendrá mayor área?

₪

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