ejemplo distribución gumbel

7/23/2019 Ejemplo Distribucin Gumbel

1/14

i. Distribucin Gumbel.

La distribucin de valores Tipo I conocida como distribucin

Gumbel o Doble Exponencial, tiene como funcin de distribucin

de probabilidades la siguiente expresin:

F(x )=ee(x

Utilizando el mtodo de momentos, se obtienen las siguientes

relaciones:

=0.45

=1.2825

Donde:

: !ar"metro de concentracin#

: !ar"metro de localizacin#

$Es tambin conocida con el nombre de distribucin de valores

extremos Tipo I# Este modelo representa la distribucin l%mite

del ma&or valor de n valores independientes e idnticamente

distribuidos con una distribucin tipo exponencial a medida 'ue n

crece indefinidamente(

a. Pruebas de bondad de ajuste.

Las pruebas de bondad de a)uste son pruebas de *iptesis 'ue se

usan para evaluar si un con)unto de datos es una muestra

independiente de la distribucin elegida#

En la teor%a elegida estad%stica, las pruebas de bondad de a)uste m"s

conocida es la +olmogorov -mirnov#

- Prueba Kolmogorov- Smirnov.

La prueba de bondad de a)uste estad%stico +olmogorov. -mirnov

considera la desviacin de la funcin de distribucin de

probabilidades de la muestra !/x0 de la funcin de probabilidades

terica, escogida !o/x0 tal 'ue:


2/14

Dn=max [P (x )P

0(x )]

La prueba re'uiere 'ue el valor D calculado con la expresin

anterior sea menor 'ue el valor tabuladodcrit . para un nivel de

probabilidad /significancia0 re'uerido# Esta prueba es f"cil de

realizar & comprende las siguientes etapas:

El valor estad%stico D es la m"xima diferencia entre la funcin de

distribucin acumulada de la muestra & la funcin de distribucin

acumulada terica escogida# -e fi)a el nivel de probabilidad /nivelde significancia0 a, valores de 1#12 & 1#13 son los m"s usuales#

El valor criticodcrit . de la prueba debe ser obtenido de la Tabla

453, el cual est" en funcin de y n

, pues depende del nivel de

significancia & del n6mero de datos#

-i el valor calculado D es menor 'ue eldcrit . , la distribucin

escogida se debe aceptar# !or el contrario, si el valor calculado D es

ma&or 'ue eldcrit . , la distribucin escogida se debe rec*azar#

Tabla N 1. Valores crticos dcrit . !ara la !rueba Smirnov "

Kolmogorov de #ondad de ajuste.

Tama7o de lamuestra

8 9 1#31 8 9 1#12 8 9 1#13

2

31

32

1

2

;1

1#

1#

1#=

1#


3/14

n grande 3#@/n0A3@ 3#;>@/n0A3@ 3#>;@/n0A3@

$uente% &!aricio' ())1

I. REVICION BIBLIOGRAFICA.

I.1. POBLACIN:

Es el con)unto de ma&or de datos individuales, personas o cosas cu&o estudio

nos interesa obtener informacin# Los datos individuales de una poblacin se

llama unidades elementales u observaciones#

Una poblacin estadstica es un conjunto de observaciones

medibles o descritas para cada uno de sus unidades elementales.

I.2. MUESTRA.

Es una informacin proporcionada por una parte nita de lapoblacin. Tambin es considerado como un sub-conjunto propio nito de la poblacin.

I.3. HISTOGRAMA Y POLGONOS DE FRECUENCIA

Son dos representaciones grcas de las distribuciones de

frecuencia.

!. Un "istograma o "istograma de frecuencias#consiste en unaserie de rectngulos $ue tienen%

-& Sus bases sobre un eje "ori'ontal (el eje )& con centros enlas marcas de clase * longitud igual al tama+o de losintervalos de clase.

-& Supercies proporcionales a las frecuencias de clase.

B# Un pol%gono de frecuencias, es un gr"fico de l%nea trazado sobre las

marcas de clase# !uede obtenerse uniendo los puntos medios de lostec*os de los rect"ngulos en el *istograma3#

C. MEDIA

,a media de un conjunto de datos numricos )# )/# ...# )estrepresentada por * denida por%

#

Ing. MAXIMO VILLON BEJAR Pg. 73


4/14

0ue es el momento de orden .

,a mediana de un conjunto de n1meros ordenados en orden degrande'a# corresponde al valor del punto central ( es un n1meroimpar& o la media aritmtica de los dos valores centrales (en el

caso $ue sea par&/

.

n

Xini

X

n

i

== 3

I.4. MEDIANA

Es el valor de la serie de datos $ue se sit1a justamente en elcentro de la muestra (un 234 de valores son inferiores * otro 234son superiores&.

o presentan el problema de estar in5uido por los valorese6tremos# pero en cambio no utili'a en su clculo toda lainformacin de la serie de datos (no pondera cada valor por eln1mero de veces $ue se "a repetido&.

+=

ni

Nn

CYM

i

iie

3

3:

I.1. MODA

,ocali'a el dato de ma*or frecuencia. Es el valor del dato cu*afrecuencia es m6ima.

7Si la distribucin de frecuencias tienen un solo m6imo (m6imoabsoluto la moda es el valor del dato de ma*or frecuencia# *

se dice $ue la distribucin de frecuencias es uni- modal.

7 Si la distribucin de frecuencias tiene mas de un m6imo(m6imo relativos se dice $ue la distribucin de frecuencia esmultimodal% 8imodal# Trimodal# etc.

7 Si todas las frecuencias son iguales se dice $ue la distribucinno tiene moda * se trata de una distribucin uniforme.

7 9ara :atos ;lasicados ,a moda es la marca de la clase modal.9ara una mejor

/ Ing. MAXIMO VILLON BEJAR Pg. 48.


5/14

apro6imacin se puede usar la siguiente formula

Mom!"o# m$#"%&'#( m)*) ) *m"%+& , -$%"o#*#:

E6isten varias clases de descriptores aritmticos# siendo los momentos elmtodo adecuado para calcular los estadgrafos# es decir con el clculo demomentos se determina los estadgrafos o estadsticos ;omo en los cursosde esttica# resistencia de materiales# fsica# matemticas# etc. se calculan

los momentos de rdenes primero# segundo# etc. generali'ando se tiene%momento con respecto al origen de coordenadas * momentos con respectoa la media

I.1. DESVIACIN MEDIA

Es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviacionesde los datos con respecto a una medida de tendencia central.

n

posiciondefoestadiXi

DM

N

I=

= 3gra

Si el estadgrafo es la media# se tiene%

n

xXi

DM

N

I

=

= 3

< 9ara datos no clasicados

n

nixXi

DM

N

I

=

= 3

< 9ara datos clasicados

I.. D#/*&-*0! E#"!)&% , V&%*&!-*&

=iden el grado de dispersin de los datos numricos en torno de

un valor medio.


6/14

,a :esviacin Estndar de un conjunto de datos )# ...# )n estdenida por%

,a >ariancia es el cuadrado de la desviacin estndar%

,a frmula de la varian'a ser%

( )

n

nXX

V

n

i

ii

x

=

= 3

0/

I.. COVARIANA

El valor de covarian'a entre dos conjuntos de datos numricos a*b# con puntos es denido por%

Este valor indica el grado de similitud entre los conjuntos a* b# osea# como los datos estn correlacionados entre s. ;uanto ma*ores la covarian'a# ma*or es el grado de correlacin entre los datos.

I.. COEFICIENTE DE CORRELACIN

El coeciente de correlacin mide la similitud entre dos conjuntosde datos numricos sobre una escala absoluta de ?-# @. Estecoeciente es

;alculado a travs de la divisin del valor de covariancia entre lara' cuadrada del producto de las desviaciones estndar de losconjuntos de datos a* b%

I.5. COEFICIENTE DE VARIACIN


7/14

El efecto de la variacin o dispersin con relacin a la mediapuede ser medido por la dispersin relativa# denida por%

Dispersin Relativa = Dispersin Absoluta/Media

Si la dispersin absoluta corresponde a la desviacin estndar# ladispersin relativa es denominada coeciente de variacinv%A

El coeciente de variacin deja de ser 1til cuando la media espr6ima de cero. Su formula esta representada por

C311D## 0/X

SVC xx =

I.6. COEFICIENTE DE MOMENTO DE ASIMETRA

,a asimetra de una muestra se mide mediante el coeciente deasimetra# para el clculo del coeciente de asimetra se emplea eltercer momento con respecto a la media * para $ue estecoeciente no tenga dimensiones el tercer momento se divideentre la desviacin estndar elevado a la potencia A.

Es el grado de desvo o alejamiento del eje de simetra de unadistribucin. 9ara distribuciones asimtricas# la media tiende asituarse del lado de la cola ms larga de la distribucin. Estecoeciente puede ser denido usando el A momento centrado enla media * la desviacin estndar%B

( )E3

;;

3 n

i

ix

nm

=

= x-( )( ) ;

;:

:3 Snn

mnCg s

==

S gC3 es una distribucin simtrica

S gD3 es una distribucin sesgada a la derec"a (polgono defrecuencias con cola ms larga a la derec"a&

S g3 es una distribucin sesgada a la i'$uierda (polgono defrecuencias con cola ms larga "acia la i'$uierda&.

El sesgo del polgono de frecuencias se aprecia tra'ando una verticalpor la moda donde se diferencia la cola del polgono de frecuencias.

A Ing. MAXIMO VILLON BEJAR Pg. 107.

B Ing. MAXIMO VILLON BEJAR Pg. 105


8/14

Es importante indicar $ue los tres n1meros son sucientes para teneruna idea de la forma del "istograma.

I.17. COEFICIENTE DE 8URTOSIS

El grado apuntamiento del polgono de frecuencias (forma puntiagudadel polgono de frecuencias& se mide mediante el coeciente decurtosis. 9ara el clculo del coeciente de curtosis se emplea elcuarto momento con respecto a la media * para $ue este coecienteno tenga dimensiones el cuarto momento se divide entre ladesviacin estndar elevado a la potencia B

( )

n

xx

M

n

i

i

=

= 3

ejemplo distribución gumbel

Documents