ejercicios resuelteos momento cinetico

EJERCICIOS

SUPLEMENTARIOS

[TEOREMA DEL MOMENTO CINETICO] EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

AARON JOSE SOUTADET Pgina 2

Adoptamos un sistema de coordenadas polares para describir el movimiento de la masa m:

=

=

=

+

Determinaremos la derivada del ltimo trmino considerando la siguiente figura:

= lim0

= lim0

+

= lim0

2|| sin (2 )

= lim

0

sin (2 )

2

=

+

K

Vo

r = ro

Una partcula de masa m sujeta

a un hilo inextensible se desliza

sobre una superficie horizontal

sin rozamiento. El otro extremo

del hilo est sujeto a un resorte

de constante elstica K. Cuando

r= 0 el largo del resorte se

corresponde con su longitud

natural. Si en el instante

mostrado en la figura r = ro y Vo

se encuentra en un plano

horizontal, determinar r mx. y

r min.

O



(En el lmite anterior est implcito que cuando 0 , 0)

La expresin para la velocidad nos queda entonces:

=

=

+

Al ser un sistema conservativo podemos plantear una ecuacin de conservacin de energa:

+ = =

=

2 =

2(

+ ) (

+ )

=

2[(

)2

+ 22]

=2

2

=

2[(

)2

+ 22] +2

2

Planteando entre el instante inicial y un instante arbitrario:

[(

)

+ ] +

=

+

Puesto que la anterior es una ecuacin con dos incgnitas, utilizaremos el teorema del momento

cintico respecto al punto o (fijo en la figura):

=

Adems, puesto que no existe fuerza de rozamiento y el resto de las fuerzas actuantes sobre la

partcula son paralelas al versor se tendr que:

=

=( )

= 0

=

= [

+ ] =

2

= 2 = 2 =

( ) = sin



Planteando la conservacin del momento cintico entre el instante inicial y otro instante arbitrario

se tendr:

=

Reemplazando la ecuacin anterior en la de conservacin de energa mecnica y advirtiendo

adems que en un punto extremo (r mx. o r min) es

= 0 se tendr:

. (

+ ).

+

=

Con . = mximo o mnimo

Podemos intentar encontrar algn eje respecto al cual el momento cintico se conserve. Esto nos

conducir a una ecuacin con dos incgnitas (velocidad y posicin), pero como se trata de un

sistema conservativo, podemos agregar a nuestra caja de herramientas una ecuacin de

conservacin de energa mecnica.

Ahora que tenemos un plan de ataque, necesitaremos adoptar un conjunto de parmetros para

posicionar la partcula. Emplearemos los parmetros , , (coordenadas cilndricas) como se

muestra en la siguiente figura:

Vo m

Z

X

Y

Una partcula de masa m puede desplazarse sobre la

superficie interna de un cono sin friccin. En el instante

mostrado en la figura, la masa m se encuentra a una

altura Z = h y la velocidad Vo est en un plano

horizontal y es tangente al cono.

Se pide encontrar las cotas mximas y mnimas (Z mx.

y Z min) del movimiento.

Z

X

Y



De esta manera, el vector posicin que va desde el origen del sistema hasta la masa m ser:

= =

Para encontrar la velocidad en coordenadas esfricas, solo derivamos la expresin anterior:

=

=

+

Para efectuar la derivada del versor respecto del tiempo, relacionemos los versores en

coordenadas esfricas con los versores , , que son constantes en el tiempo:

{

} = [sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

sin cos 0] {

}

Luego, derivando la fila primera con respecto al tiempo y recordando que en este caso = cte y

por ende = 0 nos queda:

= sin sin + sin cos = sin

De esta manera, la expresin para la es:

=

+ sin

Ahora estamos en condiciones de plantear la ecuacin de conservacin de la energa:

+ = =

Donde T = energa cintica; V= energa potencial; E = energa mecnica (constante).

=

2 =

2(

+ sin ) (

+ sin )

=

2(2 + 22 sin2 )

= cos

=

2(2 + 22 sin2 ) + cos



Como en el instante inicial se nos suministr el dato de la velocidad y de la altura (Zo = h),

podemos escribir:

=

2

2 +

Por lo cual, la ecuacin de conservacin de la energa nos queda:

+ + = +

Para completar nuestro paquete de ecuaciones, recurrimos al teorema del momento cintico, que

respecto a un punto fijo o se expresa como:

=

Por otro lado, las fueras que actan sobre la partcula son su peso y la reaccin de vnculo que

expresadas en coordenadas cilndricas resultan:

=

=

(

)

Siendo f la ecuacin de ligadura:

: tan = 0

= + =(00

) + (

10

tan)

El vector posicin en coordenadas cilndricas se expresa como:

= ( 0 )

Por lo tanto:

= = [( + tan) + ]

De aqu surge que

=

=()

= 0

=

AaronNota adhesivaFe de erratas: la segunda componente del gradiente en coordenadas cilndricas debe estar multiplicada por (1/r)



Para efectuar el producto escalar expresado anteriormente, es necesario expresar al versor en

funcin de {

} :

= cos sin

De esta manera tendremos finalmente:

= (

+ sin ) =

2 sin

= 2 sin (cos sin )

De donde surge que

2 =

En el instante inicial = y = . Por otra parte, el mdulo de la velocidad inicial Vo est

dado por:

0 = sin

Por lo cual la ecuacin de conservacin de momento cintico ser:

=

Combinando la ecuacin anterior con la de conservacin de la energa mecnica, recordando que

= cos y que en un punto extremo (mximo o mnimo) es = 0, resulta finalmente:

. (

+ ). +

=

Con . = cota mxima o mnima



Utilizaremos la segunda ley de Newton y el teorema del momento cintico para determinar las

ecuaciones que gobiernan el movimiento de cada barra:

Para la barra I:

Aceleracin del centro de masa:

= + + ( )

Al ser O un punto fijo y ser nula la velocidad angular en el instante inicial, la aceleracin del

centro de masas queda:

= =

2

(Hemos supuesto incgnita- como positiva)

De esta manera tendremos:

=

A B

C

Determinar las reacciones

y aceleraciones en el

instante inicial si el

sistema de barras de la

figura se deja librado a la

accin del campo

gravitatorio.

I

II

O P

Q



[(

+ )

( +

)]

2[0

] = [0

]

Por otro lado, tomando como polo al punto fijo O, tenemos:

=

= + ( +

) =

2 () =

(2 )

2

=

2

3

Por lo cual tenemos una nueva ecuacin:

(

3) = /2

Quedando finalmente para la barra I el sistema de 3 ecuaciones con 5 incgnitas:

[

( +

)

( +

)

] [

0 0 0

0 1 2 0

0 0 1 3

] . [0

] = [

01

12]

Para la barra II:

Aceleracin del centro de masa:

= + + ( )



Al ser nula la velocidad angular en el instante inicial, la aceleracin del centro de masas queda:

= + = (

0) + (

2

2) = (

2)

2

De esta manera tendremos:

=

[

( )

] [

0] [

2

2] = [

0

]

Por otro lado, tomando como polo al punto mvil P, tenemos:

= +

= + = ( 2

)

=(

2 + 2)

12

= ( 2

2 ) (

2

2) = (

2

2

4

2

4)

Por lo cual tenemos una nueva ecuacin:

2+ (1

3

)(2 + 2)

4 =

2

Quedando finalmente para la barra II:

[

( )

] [

0

2

] + [

2

2

] = [

01

12]

Con = (1 3)

(2+2)

4

Por ahora, en total, tenemos 6 ecuaciones y 8 incgnitas. Obtendremos la informacin faltante

planteando compatibilidad de aceleraciones en el punto P respecto de O y de Q:

=

= +



Con lo cual, igualando, se obtienen las dos ecuaciones faltantes:

= 0

+ = 0

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