ejercicios y cuestiones

8/18/2019 Ejercicios y Cuestiones

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INTRODUCCIÓN TEÓRICA

En 1936, Terzaghi enunció para suelos saturados el “principio de las tensiones

efectivas”, sentando las bases teóricas de la Mecánica de Suelos y explicandoproblemas hasta entonces no resueltos.

Este principio consta de dos partes:

Primera parte

Las tensiones en un punto de una sección a través del suelo pueden calcularse a partir

de las “tensiones totales” (σ) actuantes en ese punto.

Si los huecos del suelo están llenos de agua con una presión u (“presión intersticial”,

“presión neutra” o “presión de poro”), las presiones principales totales consisten en

dos partes. Una parte (u) actúa en el agua y en el sólido en todas direcciones con igual

intensidad, y el balance σ’ = σ – u representa un exceso sobre la presión neutra y se

localiza exclusivamente en la fase sólida del suelo. Esta fracción de las presiones

totales se llama “presión efectiva”.

Segunda parte

Todos los cambios apreciables y medibles debido a un cambio de tensiones, comocompresión, distorsión o variación de la resistencia, se deben exclusivamente al

cambio de estado de tensiones efectivas.



CUESTIONES TEÓRICAS

1. Define los siguientes conceptos

Fuerzas de filtración.

Son fuerzas volumétricas de valor wi que el agua ejerce sobre el terreno al circular

por sus poros en la dirección y sentido de la corriente, y que nos permiten calcular las

tensiones efectivas cuando el agua está en movimiento z i z w ''

Presión efectiva

Presión en exceso sobre la presión neutra u ' que se localiza exclusivamente

en la fase sólida del suelo. Todos los cambios apreciables y medibles debido a un

cambio de tensiones, como compresión, distorsión o variación de resistencia, se deben

exclusivamente al cambio de estado de las tensiones efectivas.

Índice de succión pF

La succión ejercida por un suelo se define mediante el llamado índice de succión

ch pF 10log siendo la altura capilar hc (cm) una medida de la succión ejercida por el

suelo. El pF suele variar entre 0 y 7 decreciendo para un mismo suelo, al aumentar la

humedad.

Gradiente

Considerando un elemento diferencial en una línea de corriente de longitud l y en

donde se produce un pérdida de carga h , se define gradiente comol

hi

l

0lim .

El signo menos produce que el gradiente sea positivo en la dirección de la corriente. El

gradiente es una magnitud vectorial y adimensional, con igual dirección y sentido que

la corriente.

Coeficiente de seguridad frente al sifonamiento



Cociente entre el gradiente crítico (gradiente a partir del cual se produciría

sifonamiento de valor cercano a la unidad) y el gradiente existente.

Nivel freático

Lugar geométrico de los puntos donde la presión del agua es la atmosférica. Por

debajo del él las presiones son positivas (agua freática) y por encima negativas (agua

capilar, si está en comunicación con el agua freática, o agua de contacto si no lo está).

La altura que alcanza el agua al perforar un pozo, define un punto del nivel freático.

Nivel piezométrico

Si tenemos un acuífero confinado donde la presión del agua es mayor que la

atmosférica, llamamos nivel piezométrico al lugar geométrico de las alturas alcanzadas

por el agua en pozos excavados hasta el acuífero. Si este nivel piezométrico se sitúa

por encima de la superficie del terreno, se dice entonces que existen condiciones

artesianas.

Pérdida de carga

El agua no es un fluido perfecto y a lo largo de una línea de corriente la carga no

permanece constante, se produce lo que llamamos una pérdida de carga.

Tensión superficial

Fuerza atractiva ejercida en la superficie de separación entre materiales en diferentes

estados físicos (sólido/líquido, líquido/gas).

Altura de ascensión capilar

Altura hasta la que asciende el agua dentro de un tubo capilar debido a la tensión

superficial, representa una medida de la succión ejercida por el suelo. Se expresa como

10 De

chc

donde

10 D es el diámetro eficaz, e, el índice de poros y C varía entre 10 y

40 mm2.



Ley de Darcy

El caudal por unidad de superficie es proporcional a la pérdida de carga e

inversamente proporcional a la longitud recorrida de la conducción. Se escribe como ,

siendo v la velocidad de filtración, q el caudal a través de la sección A perpendicular a

la dirección del flujo, K un coeficiente denominado “coeficiente de permeabilidad” e i

el gradiente hidráulico en la dirección de la corriente.

Coeficiente de permeabilidad

Velocidad del flujo producido por un gradiente unidad, que depende no sólo de las

características de las partículas constituyentes del suelo, sino de otros factores tales

como la porosidad, el grado de saturación, la viscosidad del agua, etc. según Hazen

210

)/( Dc smm K , donde el diámetro eficaz viene dado en mm y c es un

coeficiente experimental que depende de la naturaleza del suelo.

Líneas equipotenciales

Lugar geométrico de los puntos de igual potencial que tienen por ecuación

cteh K z x ,

Líneas de corriente

Corresponden físicamente a las trayectorias seguidas por las partículas de agua, y en

cada punto, la línea de corriente que pasa por él, es tangente al vector velocidad en

dicho punto. Su ecuación es cte z x , .

Gradiente crítico

Valor de gradiente a partir del cual se produce sifonamientow

críticoi

' .



1. Obtener la expresión del principio de Terzaghi en un suelo parcialmente

saturado.

En un suelo parcialmente saturado, los poros contienen dos fluidos: agua con

presión uw y aire con presión ua (se denomina succión a ua-uw).

Si se considera que el agua actúa en un área Aw y el aire actúa en un área Aa,

Bishop propuso considerar un fluido intersticial equivalente con presión u

actuando en el área total A = Aw + Aa, de manera que:

wwaa u Au A Au

Como se verifica que:

A

A

A

A A A A wa

wa 1

Entonces:

www

aww

aa u

A

A

A

Auu

A

Au

A

Au )1(

Llamando:

A

Aw

Que se anula si el grado de saturación es nulo y es uno cuando es la unidad, se

llega a:

waa uuuu

Pudiéndose adoptar una fórmula equivalente al principio de Terzaghi:

waa uuu '



2. En la excavación mediante muros pantalla que se esquematiza en la figura

adjunta, estímese el caudal que debe bombearse para mantener el nivel de

agua en el fondo de la excavación. Si se detuviese el bombeo ¿Cuál sería la

evolución con el tiempo de la altura de la columna de agua en la excavación?

Se supondrá que la permeabilidad de las gravas es muy elevada, que su nivelpiezométrico coincide con el nivel freático y que el coeficiente de

permeabilidad de las arenas es K.

3. Demuéstrese que, en un suelo con las mismas características geotécnicas, la

permeabilidad horizontal es superior a la permeabilidad vertical.



EJERCICIOS PRÁCTICOS

1. El permeámetro de carga constante, cuyo esquema se indica en la figura adjunta,

se rellena en una altura de 2,5 m con un arena que presenta un coeficiente depermeabilidad K = 4·10-3 m/s. Se pide calcular:

a) Leyes de alturas geométricas, de presión y piezométricas.

b) Caudal de agua que atravesará el permeámetro.



2. En la figura adjunta se muestra una presa de hormigón cimentada sobre un

terreno aluvial arenoso que posee una permeabilidad k = 8 10-5 m/s y un peso

específico saturado de 20,5 KN/m3, y en la que se pretende analizar los efectos

de una pantalla de impermeabilización aguas abajo de misma (caso B). para ello,

se pide:

a) Calcular el caudal infiltrado.

b) Obtener l distribución de subpresiones en la cimentación de la presa.

c) Calcular el gradiente máximo de salida.

SOLUCIÓN



a) Caudal infiltrado

En el problema se proporcionan las redes de flujo para ambos casos.

Conocida la red de flujo, el caudal infiltrado a través de un medio permeable saturado

y una vez establecido el régimen estacionario, se obtiene mediante la siguiente

expresión:

H N

N K Q

e

t

Donde:

K: Permeabilidad del terreno.

t N : Número total de tubos de corriente en la red de flujo.

e N : Número total de intervalos o saltos existentes entre equipotenciales, desde la

equipotencial inicial hasta la equipotencial última del problema.

H : Pérdida de carga total o diferencia de potencial entre la primera y la última

equipotencial del problema.

En ambas situaciones, la primera equipotencial es la superficie sumergida del terrenoaguas arriba; la última equipotencial es la superficie sumergida del terreno aguas

abajo.

En los dos casos, el potencial en el punto A, que pertenece a la equipotencial inicial del

problema, es conocido ya que la presión intersticial es la correspondiente a una

columna de agua de 8 metros de altura.



mmm z u

h A

w

A A 1028

Del mismo modo, en ambos casos, cualquier punto de la equipotencial última del

problema, como B, posee un potencial hidráulico:

mmm z u

h B

w

B B 321

La pérdida de carga total en ambos casos es:

mmmhh H B A 7310

Para cada uno de los casos, los datos existentes y el caudal obtenido con la expresión

anterior son los siguientes:

CASO k (m/s) nt ne ΔH (m) Q

(m3/s/m)

A 8·10-5 4 12 7 1,86·10-4

B 8·10-5 4 14 7 1,6·10-4

b) Distribución de subpresiones

La “subpresión” es la presión intersticial existente en los puntos del cimiento de la

presa. En el problema se pide una distribución o ley que proporcione la presión

intersticial en cualquier punto del cimiento. La metodología a emplear es la obtención

de los valores de presiones intersticiales en algunos puntos del cimiento y se supondrá

la variación de presiones intersticiales entre dos puntos consecutivos como lineal.



Puesto que las redes de flujo han sido dibujadas de manera que las figuras

conformadas entre equipotenciales y líneas de corriente son aproximadamente

“cuadrados curvilíneos”, la pérdida de carga entre dos equipotenciales sucesivases

siempre la misma e igual a:

en

H h

Así, pues se tendrá:

CASO ne ΔH (m) Δh (m)

A 12 7 0,583

B 14 7 0,5

Conocido el potencial del punto A, el potencial en un punto cualquiera Z es igual al

potencial del punto A menos la pérdida de carga existente entre ambos puntos.

Si el punto Z se sitúa en la cimentación de la presa (Z=0) y pertenece a una

equipotencial dibujada en el problema, se debe verificar que:

hnhnhu

z u

h A

w

z

w

z z 10

Donde n es el número de saltos existentes entre la equipotencial del punto A y laequipotencial del punto z. Esta expresión permite obtener la presión intersticial en el

punto Z:

hnhnu w z 1010010

En los puntos de intersección de las equipotenciales con el cimiento, la expresión

anterior proporciona los siguientes valores de la subpresión:



Punto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

An 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,5

uz 91,3 88,34 82,51 76,68 70,85 65,02 59,19 53,36 47,53 41,7 38,78

Bn 1,5 2 3 4 5 6 7 8 8,3

uz 92,5 90 85 80 75 70 65 60 58,5

Puesto que también se conoce el potencial de la última equipotencial, el problema

podría haberse resuelto diciendo que el potencial en el punto Z es el potencial del

punto B más la pérdida de potencial entre ambos puntos:

hnhnh

u

z

u

h Bw

z

w

z

z

3

c) Gradiente máximo de salida

Cuando se viaja a lo largo de una línea de corriente, pasando de un punto situado en

una equipotencial a otro punto situado en la siguiente equipotencial, el gradiente

medio existente entre dichos puntos es.

l

hie

Donde h es la pérdida de carga existente entre ambas equipotenciales y l es la

distancia recorrida a lo largo de la línea de corriente.

Si se observan las redes de flujo, las distancias recorridas desde la penúltima

equipotencial hasta la última (situada en la superficie del terreno sumergida de aguas

abajo) varían según la línea de corriente seguida. Puesto que el problema pide el

gradiente máximo y siendo h constante e independiente de la línea de corriente

seguida, según la expresión anterior se deberá tomar la distancia mínima existente

entre la penúltima y la última equipotencial y ello se produce en la línea de corrienteque sigue el contorno del paramento de la presa.



Aplicando estos conceptos, se obtiene los siguientes resultados:

CASO Δh(m) L (m) ie

A 0,583 1,2 0,485

B 0,5 3 0,166

Como conclusión del problema, la colocación de la pantalla produce los siguientes

efectos:

1. Disminuya el caudal infiltrado.

2.

El gradiente de salida será menor.

3. Las subpresiones en la cimentación de la presa aumentan ligeramente.

3. Durante un periodo de lluvias, se produjo la filtración dibujada en el muro

indicado en la figura adjunta y el cual presentaba un drenaje vertical en su

trasdós. Sabiendo que la permeabilidad de la arena es K = 3·10-1 m/s, que en

ningún momento entró en carga el sistema de drenaje y que la presión intersticial

en el punto M es igual a 60 KN/m2, se pide:

a) Caudal circulante por la sección CC’ del dren.

b) Distribución de presiones intersticiales en el plano π

SOLUCIÓN



a) Caudal circulante por la sección CC’ del dren.

Las presiones en el punto A (presión nula) y en el punto M () son conocidas y

ambos están situados en equipotenciales (primera y tercera).

Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geométricas en la

superficie impermeable, los potenciales de los puntos A y B son:

m z u

h A

w

A A 88

10

0

m z u

h M

w

M M 60

10

60

La diferencia de carga es: mhh M A 268

Esto implica que la diferencia de carga entre dos equipotenciales consecutivas es

mh 1

El caudal infiltrado se obtiene a partir de la siguiente expresión:

H N

N K Q

e

t

El caudal circulante por la sección CC’ del dren es el correspondiente a dos tubos

de corriente:

m smQ //10612103 311



b) Distribución de presiones intersticiales en el plano π

Las presiones intersticiales en el plano se obtienen en los puntos de intersección de

dicho plano con las distintas equipotenciales. Las cotas de dichos puntos se miden en

la figura respecto al plano horizontal de comparación situado en el cimiento del muro.

Los valores que se obtienen son los siguientes:

PUNTO A B C D E F G H I

z(m) 8 6,5 5,2 4 2,9 1,9 1,1 0,5 0

u (KN/m2) 0 5 8 10 11 11 9 5 0

Como el drenaje no entra en carga, es decir, las presiones del agua son nulas, se puede

demostrar que la separación vertical entre equipotenciales en el dren es siempre la

misma.

4. Obtener y representar gráficamente las leyes de presiones totales, intersticiales y

efectivas en el terreno indicado en la figura adjunta.

Las propiedades geotécnicas del terreno son:

ϒsat (KN/m3) ϒd (KN/m3) GRAVA 22 19

ARENA 20



5.

En el terreno esquematizado en la figura adjunta, se sabe que el nivelpiezométrico en las gravas se sitúa 3 m por encima del nivel freático superficial.

Se pide:

a) Nivel piezométrico en las gravas que provocaría el levantamiento de los

paquetes de arcillas.

b) Leyes de presiones efectivas en los paquetes de arcillas suponiendo que

se ha establecido el flujo uniforme.

Las propiedades geotécnicas del terreno son:

TERRENO w (%) Gs K (m/s)

Arcilla 1 25 2,75 10-7

Arcilla 2 30 2,75 2·10-7



6. El terreno que se muestra en la figura adjunta se pretende realizar una

excavación al abrigo de pantallas apoyadas en el nivel de gravas. El nivel freático

se encuentra en la superficie del terreno.

Suponiendo que el nivel piezométrico en las gravas coincide con el nivel freático

y suponiendo que ambos permanecen constantes durante toda la excavación, se

pide:

a) Calcular la máxima profundidad de excavación d que se puede alcanzar si en

todo momento se mantiene con bombeo el nivel de agua en el fondo de la

excavación.

b)

Para una profundidad d = 5 m, determinar el tiempo que tardaría el agua en

alcanzar una altura de 4,5 m en la excavación si se deja de bombear.

Las características del terreno son:



7. Un campo de fútbol está asentado sobre un terreno cuyo corte se adjunta en

la figura siguiente. Si el estrato de calizas tiene una gran potencia y una alta

permeabilidad, se pide:

a) Intensidades horarias en mm/h, suponiendo una lluvia constante, que inician

el encharcamiento del campo de fútbol si:

i. No están saturadas las arenas limosas superiores.

ii. Cuando se ha establecido ya el flujo hacia las calizas.

Se supondrá que la permeabilidad de las arenas limosas es independiente de su

grado de saturación y no existe capilaridad.




8. En el terreno indicado en la figura adjunta, se quiere realizar una excavación

al abrigo de unas pantallas que alcancen el nivel inferior de gravas.

Suponiendo que la presión intersticial en el plano AB es constante e igual a

150 KN/m2, se pide:

a)

Máxima profundidad de excavación que puede realizarse con uncoeficiente de seguridad de 3 frente al sifonamiento.

b) Para la situación anterior, calcúlese la distribución de presiones

intersticiales en el intradós de la pantalla.




9. En el tablestacado indicado en la figura adjunta, ejecutado en un nivel de

arena que tiene una permeabilidad de 4,5·10-5 m/s, una densidad saturada de

2 t/m3. Se sabe que la presión intersticial en el punto 4 vale 71 KN/m2. Se

pide:

1. Calcular el nivel de agua en la excavación y el caudal que se está

bombeando.

2. Mínimo coeficiente de seguridad frente al sifonamiento de la

excavación.

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