ele401/501 – 2016/17 gÜz – Ödev 2 - ÇÖzÜmler · lyapunov kararlılık 1. soruda...

1

ELE401/501 – 2016/17 GÜZ – ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER

1-) Lyapunov kararlılığı için

• 0, ( ) 00, ( ) 0

x V xx V x= =

≠ > biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu

• *

0, ( ) 0x V x≠ ≤ eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için

• *

0, ( ) 0x V x≠ < şartı sağlanmalıdır.

Global kararlılık için ise ek olarak ışınsal sınırsızlık şartı sağlanmalıdır, yani

• x →∞ giderken ( )V x →∞ gitmelidir.

Doğrusal sistemler için kararlılığın daima global olduğunu hatırlayınız. Yani ekstradan

globallik koşulunu kontrol etmeye gerek yoktur, kararlılık gösterildiği anda otomatikman

global olur. Lyapunov kararlılığı sıfır giriş altında sistemin durumlarıyla ilgilenir. Bundan

dolayı doğrusal sistemler için durum uzayında ilgilenecek olan matris A matrisidir. *x A x=

doğrusal zamanla değişmez sistemi için Lyapunov fonksiyonu her zaman ( ) * *TV x x P x=

şeklinde seçilebilir; burada P pozitif tanımlı simetrik bir matristir.

Türev alındığında *( ) *[ * * ]*T TV x x A P P A x= + elde edilir. Buradaki * *TA P P A Q+ = −

olarak adlandırılırsa Q matrisi pozitif tanımlı ise sistemin asimptotik kararlılı, pozitif yarı

tanımlı ise Lyapunov kararlı olduğu söylenebilir.

Doğrusal sistemler için önemli bir kolaylık, bu analizde tersten gitmenin de mümkün

olmasıdır. Yani herhangi bir pozitif tanımlı Q seçilip, * *TA P P A Q+ = − denklemi P için

çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem asimptotik kararlıdır denebilir.

Benzer şekilde herhangi bir pozitif yarı tanımlı Q seçilip, * *TA P P A Q+ = − denklemi P

için çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem Lyapunov kararlıdır denebilir.

S1 sistemi için :

*

1

1

0 0A matrisix Ay x u

= → == +

2

• Durum sayısı 1n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q

matrisi birim matris yani 1 seçilerek P matrisi arayalım:

* * 0* *0 1TA P P A P P+ = + = − ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur

çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil.

• Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde

* * 0* *0 0TA P P A P P+ = + = − ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P

bulunabilir, örneğin 1P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır.

S2 sistemi için :

*

1

1

0A matrisix u Ay x

= → ==



* * 0* *0 1TA P P A P P+ = + = − ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur

çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil.


* * 0* *0 0TA P P A P P+ = + = − ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P

bulunabilir, örneğin 1P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır.

S3 sistemi için :

*

1 1

1

1A matrisix x u Ay x

= − + → = −=



* * ( 1)* *( 1) 1TA P P A P P+ = − + − = − ifadesi pozitif tanımlı 0.5P = için sağlanır, o

halde asimptotik kararlıdır. Asimptotik kararlı olduğuna göre otomatikman

Lyapunov kararlıdır.

3

S4 sistemi için :

*

1 0A matrisix u Ay u

= → ==

• S1 ve S2’ye benzer şekilde asimptotik kararlı olmadığı ama Lyapunov kararlı

olduğu açıktır.

S5 sistemi için :

*

1 1*

2 2

2

1 00 1

2*

A matrisi

x x u

x x Ay x u

= +

= − → = − = +

• Durum sayısı 2n = olduğundan P ve Q 2 2× matrisler olacak. Asimptotik kararlılık

için Q matrisi birim matris seçerek 11 12

12 22

p pP

p p

=

matrisini çözelim:

11 12 11 12

12 22 12 22

1 0 1 0 1 0* *

0 1 0 1 0 1p p p pp p p p

− + = − − −

1111 22

22

2* 0 1 00.5, 0.5

0 2* 0 1Çözülürsep

p pp

− = → = − = − −

O halde 12

12

0.50.5p

Pp−

=

. Hiçbir 12p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem

asimptotik kararlı değildir.

• Lyapunov kararlılık için Q’yu pozitif yarı tanımlı, mesela sıfır seçip P’yi çözelim:

11 12 11 12

12 22 12 22

1 0 1 0 0 0* *

0 1 0 1 0 0p p p pp p p p

− + = − − −

1111 22

22

2* 0 0 00, 0

0 2* 0 0Çözülürsep

p pp

= → = = −

4

O halde 12

12

00p

Pp

=

. Hiçbir 12p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem

Lyapunov kararlı değildir.

S6 sistemi için :

*

1 1

1

1A matrisix x u Ay x

= + → ==



* * 1* *1 1TA P P A P P+ = + = − ifadesinin çözümü 0.5P = − olup bu pozitif tanımlı

değildir. O halde sistem asimptotik kararlı değil.


* * 1* *1 0TA P P A P P+ = + = − ifadesinin çözümü 0P = olup bu pozitif tanımlı

değildir. O halde Lyapunov kararlı değil.

2-) Sistemler için Lyapunov kararlık yukarıda incelenmişti. Diğer kararlılık tipleri için

aşağıdaki adımlar takip edilebilir.

S1 sistemi için :

*

1

1

0xy x u== +

verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılmalıdır.

• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.

( ) 0I Aλ λ λ∆ = − → = olarak elde edilir.

• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonundan yararlanılabilir ve bunun için

Laplace dönüşümü kullanılır.

*11

11

( ) 0 ( )0 1( ) ( ) ( ) ( )

Laplace Transfer FonksiyonuX s Y sxY s X s U s U sy x u

== → → = = += +

5

Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutup olmadığı görülmektedir.

Sınırlı girdi-Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olması

gerekir. Burada sistemin kutbu yoktur. Kutup olmadığı durumlarda (sabit kazanç durumu)

sistemin çıkışı girişinin sabit bir katı (burada 1 katı) olur, yani tanım gereği SGSÇ kararlıdır.

Lyapunov kararlılık 1. soruda bulunmuştu, burada da teyit etmek gerekirse, Lyapunov

kararlılık için özdeğerlerin sol yarı düzlemde olması veya sanal eksen üzerinde çakışık kök

olmaması gerekir. Sistemimiz için özdeğer 0λ = olarak elde edildiğinde koşulu sağladığı için

Lyapunov kararlılık görülmektedir.

Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için 0

( )t B dt∞

Φ < ∞∫ ‖ ‖ şartı kontrol

edilebilir. ( ) 0Φ 1At tt e e= = = ve 0B = olduğundan integralin sonucu 0’dır. O halde SGSD

kararlıdır.

Global Asimptotik(GA) kararlılık incelenirken sistemin özdeğerlerine bakılır ve özdeğerlerin

hepsinin sol yarı düzlemde olması istenmektedir. İlgili sistem için özdeğer 0λ = olup sanal

eksen üzerinde olduğu için GA kararlılığa sahip değildir.

S2 sistemi için :

*

1

1

x uy x==

verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa.



• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için


*11

11

* ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )

Laplace Transfer Fonksiyonus X s U s Y sx uY s X s U s sy x

== → → = ==

Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s=0 olarak elde edilir.

6

Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde

olmadığından dolayı ( Kutbumuz sanal eksen üzerinde ) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip

değildir.

Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer 0λ = olarak elde edildiğinden dolayı


Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık

konusunda sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur,

sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir.

S3 sistemi için :

*

1 1

1

x x uy x= − +=



( ) 1I Aλ λ λ∆ = − → = − olarak elde edilir.



*1 11 1

11

* ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1

Laplace Transfer Fonksiyonus X s X s U s Y sx x uY s X s U s sy x

= − += − + → → = = +=

Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz 1s = − olarak elde edilir.

Sınırlı girdi-Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olduğu

için SGSÇ kararlığına sahiptir.

Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğeri 1λ = − olarak elde edildiğinden

(özdeğerimiz sol yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlığa sahiptir.


( )t B dt∞


edilebilir. ( )Φ At tt e e−= = ve 1B = olduğundan

7

00 0 0( ) 1| | |t t tdtt B d dtt e ee

∞ ∞ ∞− − − ∞Φ − == = =∫ ∫ ∫‖ ‖ . O halde SGSD kararlıdır.

Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimizin özdeğeri 1λ = − olduğu için GA

kararlılığı göstermektedir.

S4 sistemi için:

*

1x uy u==






*11

* ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )

Laplace Transfer Fonksiyonus X s U s Y sx uY s U s U sy u

== → → = ==

Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir.

Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı

bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir.

Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer 0λ = olarak elde edildiğinden dolayı



( )t B dt∞


edilebilir. ( ) 0Φ 1At tt e e= = = ve 1B = olduğundan 0 0

( ) 1t B dt dt∞ ∞

Φ = = ∞∫ ∫‖ ‖ . O halde

SGSD kararlı değildir.

8

Global Asimptotik(GA) kararlılık sistemin özdeğeri 0λ = olup sol yarı düzlemde olmadığı

için GA kararlılığa sahip değildir.

S5 sistemi için :

[ ] [ ]

*

1 1 **

2 2

2

1 0 1* *

0 1 02* 0 2 * 1 *

x x ux x u

x xy x u y x u

= + = + −= − →

= + = +



1 2( ) 1; 1I Aλ λ λ λ∆ = − → = − = olarak elde edilir.


aşağıdaki eşitlikten yararlanabiliriz.

[ ]1

1 1 0 1 ( )( ) *( ) * 0 2 * * 1 10 1 0 ( )

İşlemlerYapıldığındas Y sTF s C sI A B D

s U s

−

− − = − + = + → = +

Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir.

Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı

bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir.

Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğerlerinden biri sağ yarı düzlemde

olduğundan dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir.

Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık

konusunda sistemimiz Lyapunov kararlığa sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur

sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir.

S6 sistemi için:

*

1 1

1

x x uy x= +=


9





*1 11 1

11

* ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1

Laplace Transfer Fonksiyonus X s X s U s Y sx x uY s X s U s sy x

= += + → → = = −=

Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s=1 olarak elde edilir.

Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde

olmadığından dolayı ( Kutbumuz sağ yarı düzlemde) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip

değildir.

Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer 1λ = olarak elde edildiğinden (

özdeğerimiz sağ yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir.

Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık

konusunda sistemimiz Lyapunov kararlılık ve Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığa

sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir.

Sistem Lyapunov

Kararlı

Sınırlı Girdi-Sınırlı

Çıktı Kararlı

Sınırlı Girdi-Sınırlı

Durum Kararlı

Global Asimptotik

Kararlı

S1 Evet Evet Evet Hayır

S2 Evet Hayır Hayır Hayır

S3 Evet Evet Evet Evet

S4 Evet Evet Hayır Hayır

S5 Hayır Evet Hayır Hayır

S6 Hayır Hayır Hayır Hayır

10

3-)

a-)

[ ]

*2 4 3 1 14 2 3 * 1 1 *4 4 4 0 2

2 2 3 *

x x u

y x

= + − −

= −

şeklinde verilen sistemin kontrol edilebilirliğini

incelemek için ilk olarak P matrisinin bulunması izlenecek adımdır. Öyleyse P kontrol

edilebilirlik matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi oluşmaktadır.

2

1 1 2 0 4 0* * 1 1 2 0 4 0

0 2 0 0 0 0P B A B A B

− = = − − −

Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin

derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği

göstermesi için ( ) 3Pδ = olmalıdır. Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü iα olarak

adlandırılırsa bu durumda 3 1 5 12* , 4*α α α α= − = şeklinde sütunlar arasında bağlılık

çıkmaktadır. Bu durumlara bağlı olarak ( ) 2 3Pδ = ≠ olmaktadır bundan dolayı sistemimiz

kontrol edilebilir bir sistem değildir.

Kontrol edilebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris

rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde;

[ ]* I A Bλ − formülasyonu kullanılmaktadır.

• İlk olarak karakteristik denklemin kökleri bulunmalıdır. Bunun için ( ) 0I Aλ λ∆ = − =

eşitliğinden yararlanılmaktadır. 3 2( ) 8* 20* 0I Aλ λ λ λ λ∆ = − = − − =

Yukarıdaki eşitlikten özdeğerler 1 2 30, 10, 2λ λ λ= = = − olarak elde edilir.

• İlk olarak 1 0λ = özdeğeri için inceleme yapılırsa;

[ ]2 4 3 1 1

0* 4 2 3 1 14 4 4 0 2

I A B− − − − = − − − − − − − −

11

Yukarıdaki matrisimizin rankı [ ]( )0* 3I A Bρ − = olarak elde edilmektedir ve bu da

sistemin derecesine eşit olduğunu göstermektedir. Diğer özdeğerler için inceleme yapılır.

• 10 özdeğeri için inceleme yapılırsa;

[ ]8 4 3 1 1

10* 4 8 3 1 14 4 6 0 2

I A B− −

− = − − − − − −

Yukarıdaki matrisimizin rankı [ ]( )10* 2I A Bρ − = olarak elde edilmektedir ve bu da

sistemin derecesine eşit olmadığını göstermektedir. Bundan dolayı sistemin kontrol edilebilir

olmadığı anlamına gelmektedir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması

sistemimizi kontrol edilebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya

gerek yoktur.)

b- ) Sistemin Jordan biçimi çeşitli adımlar sonunda aşağıdaki gibi elde edilmektedir.

[ ]

*~ ~

~

0 0 0 0 10 10 0 * 0 0 *0 0 2 1 0

10 0 0 *

x x u

y x

= + −

=

Sistemimizin özdeğerleri çakışık olmadığı için burada bakmamız gereken ~B matrisinin

satırlarıdır. Satırlarından birinin 0’lardan oluşması bunun kontrol edilebilir olmadığını

göstermektedir. Sistemimiz için ~B matrisimiz :

~0 10 01 0

B =

olarak elde edilmiştir.

Elde edilen matrisin 2.satırı 0’lardan oluştuğu için bundan dolayı sistemimiz kontrol

edilebilir değildir.

c-) İlgili sistemin kontrol edilebilir/edilemez kısımlara ayırırken burada T benzerlik

dönüşümünden yararlanılmaktadır. T benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım

izlenmektedir:

12

• T benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve

ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmatadır.

• T benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunanan kontrol edilebilirlik matrisinin (P)

bağımsız sütunları ve yeterli sayıda sütün değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden

küçük sütün matris sayısı olması) P matrisinden alınan sütun matrislerinden bağımsız

ve birbirinden bağımsız alınan sütun matrisleri oluşturmaktadır.

Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa;

• P kontrol edilebilirlik matrisi

2

1 1 2 0 4 0* * 1 1 2 0 4 0

0 2 0 0 0 0P B A B A B

− = = − − −

o Elde edilen bu matrisin bağımsız sütün matrislerini ilk iki sütun matrisi

oluşturmaktadır.

• T matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet sütün matrisi bulunmalıdır bunun 2 tanesini P

matrisinden alıyoruz diğerini de biz belirlersek T benzerlik matrisi son halini şu şekilde

almaktadır.

1 1 01 1 1

0 2 1T

= − −

Artık kontrol edilebilir/edilemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde

edebiliriz. Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır:

~1

~1

~

~

* *

*

*

A T A T

B T B

C T C

D D

−

−

=

=

=

=

Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde

edilmektedir. ( 1

~

cx ve 2

~

cx kontrol edilebilir kısımları ~~

cx ise kontrol edilemez kısmı

göstermektedir.)

13

[ ]

11

2 2

~~

1

2

~

~*

~

~* ~

~ ~*

~

~

~

2 0 6 1 00 0 1 * 0 1 *0 0 10 0 0

0 10 1 *

cc

c c

cc

c

c

c

x x

x x u

xx

x

y x

x

− = +

= −

Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır.

14

d-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak Q matrisinin bulunması izlenecek

adımdır. Q gözlenebilirlik matrisi matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi

oluşmaktadır.

2

2 2 3* 0 0 0* 0 0 0

CQ C A

C A

− = =

Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması

gerekmektedir. Problemimiz için ( ) 3Qρ = olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken

kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0’a eşit değil ise rankı

boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( ) 0Q = olduğu için

( ) 3 ( ( ) 1Q Qρ ρ≠ = 2 ve 3 satırlar sıfırdan oluştuğundan ) sistemimiz gözlenebilir bir sistem

değildir.

Gözlenebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris

rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde;

CI Aλ

−

formülasyonu kullanılmaktadır.

• İlk olarak 1 0λ = özdeğeri için inceleme yapılırsa;

2 2 32 4 34 2 34 4 4

CI Aλ

− − − − = − − − − − − −

Yukarıdaki matrisimizin rankı 3C

I Aρ

λ

= − olarak elde edilmektedir ve sistem derecesine

eşit olduğu görülmektedir.

• 2 10λ = özdeğeri için inceleme yapılırsa;

2 2 38 4 34 8 34 4 6

CI Aλ

− − − = − − − − −

15

Yukarıdaki matrisimizin rankı 2 3C

I Aλρ

= ≠ − olarak elde edildiğinden dolayı sistemimiz

gözlenebilir bir sistem değildir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması

sistemimizi gözlenebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya gerek

yoktur.)

e-) Sistemimizin Jordan biçimini daha önceden elde etmiştik ve şu şekildeydi:

[ ]

*~ ~

~

0 0 0 0 10 10 0 * 0 0 *0 0 2 1 0

10 0 0 *

x x u

y x

= + −

=

Çakışık özdeğerimiz olmadığı için gözlenebilirlik için sadece ~C matrisinin sütun değerlerine

bakmamız yeterli olacaktır. Burada ~C matrisinin sütunlarının 0’dan oluşmaması sistemi

gözlenebilirliğe götürmektedir. Fakat mevcut gösterimde ~C matrisinin 2. ve 3. sütunları 0’dan

oluşmaktadır ve bundan dolayı sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir.

f-) İlgili sistemin gözlenebilir/gözlenemez kısımlara ayırırken burada T benzerlik

dönüşümünden yararlanılmaktadır. T benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım

izlenmektedir:

• T benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve

ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmaktadır.

• T benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunan gözlenebilir matrisinin (Q) bağımsız

satırları ve yeterli sayıda satır değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden küçük satır

matris sayısı olması) Q matrisinden alınan satır matrislerinden bağımsız ve birbirinden

bağımsız alınan satır matrisleri oluşturmaktadır.

Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa;

• Q gözlenebilirlik matrisi

2

2 2 3* 0 0 0* 0 0 0

CQ C A

C A

− = =

16

o Elde edilen bu matrisin bağımsız satır matrislerini sadece ilk satır

oluşturmaktadır.

• T matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet satır matrisi bulunmalıdır bunun 1 tanesini Q

matrisinden alıyoruz diğerlerini de biz belirlersek T benzerlik matrisi son halini şu

şekilde almaktadır.

1

2 2 31 0 11 1 0

T −

− =

Artık gözlenebilir/gözlenemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde edebiliriz.

Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır:

~1

~1

~

~

* *

*

*

A T A T

B T B

C C T

D D

−

−

=

=

=

=

Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde

edilmektedir. (~

ox gözlenebilir kısımları, ~1

~

ox ve ~

2

~

ox ise gözlenemez kısımları

göstermektedir.)

[ ]

~ ~

1 1

~~ 22

~

1

~

2

~*

~

~* ~

~ ~*

~

~

~

0 0 0 0 103 2 14 * 1 1 *2 0 10 0 2

1 0 0 *

oo

o o

oo

o

o

o

x x

x x u

xx

x

y x

x

= − − + − −

=

17


g-) Sistemin tam Kalman ayrışımını elde etmek için çeşitli dönüşüm matrisleri

kullanılmaktadır.

18

~13 ~11

21~

~ ~

~~ ~

*** c c

co

co T x coc T xT x

coc co

cco

xx xx

x xx xx x

−−−

→ → →

İlk adım sistemi kontrol edilebir/edilemez forma dönüştürmektir. Bunun için kontrol

edilebilirlik matrisinden yararlanılacaktır. Bunun için b şıkkında bulduğumuz dönüşüm

matrisinden yararlanacağız. Öyleyse;

1 11 1

1 1 0 0.75 0.25 0.251 1 1 0.25 0.25 0.25

0 2 1 0.5 0.5 0.5

Tersi AlınırsaT T T T− −

− = = − → = = − −

Dönüşüm matrisi kullanılarak sistemin kontrol edilebilir/edilemez ayrışımı aşağıdaki formda

karşımıza çıkmaktadır.

[ ]

11

2 2

~~

1

2

~

~*

~

~* ~

~ ~*

~

~

~

2 0 6 1 00 0 1 * 0 1 *0 0 10 0 0

0 10 1 *

cc

c c

cc

c

c

c

x x

x x u

xx

x

y x

x

− = +

= −

İkinci aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum

uzayı modelinde kontrol edilebilir kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol

edilebilirlik kısım 2.derecedendir çünkü 2 durum kontrol edilebilmektedir. Öyleyse kontrol

edilebilir durumlar için durum uzayı gösterimi;

19

[ ]

1 1

22

1

2

~* ~

~ ~*

~

~

2 0 1 0* *

0 0 0 1

0 10 *

c c

cc

c

c

x xu

xx

xy

x

− = + =

Sistemimiz 2 derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir.

0 10* 0 0C

CQ

C A

= =

T dönüşüm matrisinin boyutu 2 olacaktır ve bunu oluşturacak olan CQ matrisinin bağımsız

sütunları ve eksik olması durumunda da belirleyeceğimiz bağımsız satır matrisleri

oluşturmaktadır. Öyleyse;

• ( ) 1CQδ = olmaktadır ve bağımsız satır ilk satırdır ve bundan bağımsız bir satır

belirlediğimizde oluşan T dönüşüm matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilmektedir;

12

0 101 0

T T− = =

Son aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum

uzayı modelinde kontrol edilemez kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol

edilemez kısım 1.derecedendir çünkü 1 durum kontrol edilemez. Öyleyse kontrol edilemez

durumlar için durum uzayı gösterimi;

[ ]~ ~

~

~* ~

~ ~

10* 0 0 *

1*

c c

c

x x u

y x

= +

= −

Sistemimiz 1 derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir.

[ ]~ 1C

Q C= = −

T dönüşüm matrisinin boyutu 1 olacaktır ve bunu oluşturacak olan ~C

Q matrisi de tek satırdan

oluşup bu da bağımsız olduğu için T dönüşü matrisi aşağıdaki formda olmaktadır:

20

13 1T T− = = −

Kalman doğal ayrışımı için elde ettiğimiz dönüşüm matrislerini tek bir dönüş olarak aşağıdaki

şekilde yazabiliriz:

11 12

113

2.5 2.5 2.50

* 0.75 0.25 0.250

0.5 0.5 0.5

TT T

T

−− −

−

− = = − − − −

Sistemin kalman doğal ayrışımını oluşturacak olan matrisler için kullanacağımız dönüşümler

aşağıdaki gibidir:

~1

~1

~

~

* *

*

*

A T A T

B T B

C C T

D D

−

−

=

=

=

=

İşlemler gerçekleştirildiğinde kalman doğal ayrışımı yapılmış sistemin durum uzayı modeli

aşağıdaki gibi olmaktadır:

[ ]

*

*

~ ~

*

~~

~

~

~~

~ ~

~~

~

~

~

0 0 10 0 100 2 6 * 1 0 *0 0 10 0 0

1 0 1 *

coco

co co

coco

co

co

co

x x

x x u

xx

x

y x

x

− = − − + =

• Sitemimiz 3. dereceden olduğu için kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik

kombinasyonunun hepsi bulunmayacaktır. Elde etmiş olduğumuz kalman doğal

ayrışımında da kontrol edilemez-gözlenemez kısım bulunmamaktadır.

21


h-) Minimal gösterim için sistemin hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olması

gerekmektedir. Önceki incelemelerimizde tam kontrol edilebilir ve gözlenebilir olmadığı için

minimal gösterimi elde edilemez. Transfer fonksiyonu üzerinde uygun sadeleştirmeler

yapılarak minimal gösterim elde edilebilir. İlk olarak sistemimizin en sade şekildeki transfer

fonksiyonu elde edelim. Öyleyse;

22

1 ( ) 10*( ) * ( ) 0( )

Y sC sI A B D G sU s s

− − + = = =

Sistemimizin 2 girişli tek çıkışlı bir sistem olduğu görülmektedir ve girişleri 1 2( ) ( )U s ve U s

olarak adlandırırsak bu durumda çıkış giriş ilişkisi şu hale dönmektedir.

2

( ) 10( )

Y sU s s

=

Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu kontrol edilebilir doğal biçimde yazarsak;

[ ]*

1

2

0* 0 1 *

10*

ux x

uy x

= +

=

(Minimal Gösterim)

Elde etmiş durum uzayı modeli için minimal gösterim olduğunu teyit etmek için kontrol

edilebilirlik ve gözlenebilirlik matrislerine bakılabilir. [ ]0 1P = olup ( ) 1P nρ = = olduğundan

kontrol edilebilirdir. 10Q = olup ( ) 1Q nρ = = olduğundan gözlenebilirdir. Hem kontrol

edilebilir, hem gözlenebilir olduğundan gösterim minimaldir.

• Minimal gösterim üzerinden transfer fonksiyonu elde edilirse;

[ ]1 10( ) *( ) * 10* * 0 1 0TF s C sI A B ss

− = − = =

• Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu ile baştaki durum uzayı modeli ile elde

ettiğimiz transfer fonksiyonu ile örtüşmektedir.

4-)

a-)

[ ]

*1 3 4 10

0 1 0 * 2 *0 4 3 8

0 0 1 *

x x u

y x

− − = − + −

=

durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol

edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur.

2 1* * ... *nP B A B A B A B− = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini

belirtmektedir. Öyleyse;

23

Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır.

2

10 16 54* * 2 2 2

8 16 56P B A B A B

= = −



göstermesi için ( ) 3Pρ = olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ( ) 3Pρ = olarak

karşımıza çıkmaktadır. Öyleyse ilgili sistem için şu yargıya varılabilir sistemimiz kontrol

edilebilir bir sistemdir.

b-) Sistemimiz kontrol edilebilir bir sistem olduğu için kontrol edilebilir doğal biçime

getirilebilir. Kontrol edilebilir biçimi aşağıdaki formda karşımıza çıkmaktadır.

*~ ~

1

~ ~

1

0 1 0 0 0: : : : :

* *0 0 ... 1 0

... 1

[ ... ]* *

n n

n n

x x u

y x D u

α α α

β β β

−

−

= + − − −

= +

Buradaki iα karakteristik polinomun ve iβ ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade

etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa;

• Karakteristik polinom ( ) I Aλ λ∆ = − eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için

oluşan karakteristik polinom; 3 2( ) 5* 3I Aλ λ λ λ λ∆ = − = − − − olarak elde edilmektedir.

• Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. Burada ilk

olarak T dönüşüm matrisini bulmamız gerekecektir. ( ~

*C C T= eşitliği ile ~C matrisini

bulmak için)

• T dönüşü matrisi için 1~

*T P P−

= eşitliğinden yararlanılmaktadır. Buradaki ~P kontrol

edilebilir doğal biçim için kontrol edilebilirlik matrisini ifade etmektedir. Bu matrisin

bulunması için şu eşitlikten yararlanmaktayız: 2~ ~ ~ ~ ~ ~

* *P B A B A B

=

24

sistemin derecesi n=3 olduğundan 2~

A (1~ n

A−

) kadar gidilir. Öyleyse;

~0 0 10 1 11 1 6

P =

olarak elde edilir.

T dönüşüm matrisimiz ise;

1~12 6 10

* 6 4 20 8 8

T P P−

− = = − −

olarak elde edilir.

~*C C T= eşitliğiyle de

~C matrisimiz aşağıdaki gibi oluşur:

[ ]~

* 0 8 8C C T= =

• Elde ettiğimiz matrisleri toplarsak sistemimizin kontrol edilebilir doğal biçimi

aşağıdaki gibi oluşur:

[ ]

*~ ~

~

0 1 0 00 0 1 * 0 *3 5 1 1

0 8 8 *

x x u

y x

= +

=

c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik

matrisi bulunur.

2

1

**:

* n

CC A

Q C A

C A −

=

matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3

olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.

2

0 0 1* 0 4 3* 0 8 9

CQ C A

C A

= = − −




25

boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( ) 0Q = olduğu için

( ) 3 ( ( ) 2 )Q Qρ ρ≠ = matrisin ilk sütunu sıfırlardan oluştuğu için diğer sütun matrisleri

birbirinden bağımsız) olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olmadığını

göstermektedir.

d-) Sistemimiz gözlenebilir bir sistem olmadığı için gözlenebilir doğal biçime getirilemez.

e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol

edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer

fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan

minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ;

• Sistemimizin transfer fonksiyonu için 1( ) *( * ) *TF s C s I A B D−= − + eşitliğinden

yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda:

2

8 *( 1)( )( 3)*( 1)

s sTF ss s

+=

− +

• Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili

sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu:

2

8 8( )( 3)*( 1) 2 3

s sTF ss s s s

= =− + − −

• Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir.

Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir

doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse:

[ ]

* 0 3 0* *

1 2 8

0 1 *

x x u

y x

= +

=

• Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için kontrol edilebilirliği sağlaması

gereklidir. Bunun için de kontrol edilebilir matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda

sistem 2. dereceden olduğu için ( ) 2Pρ = olması istenilmektedir. Öyleyse

gözlenebilirlik matrisi elde edilirse:

8 00 8

P =

26

• Yukarıda elde etmiş olduğumuz kontrol edilebilirlik matrisinin rankı ( ) 2Pρ = olduğu

açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir.

(Minimal gösterim tek değildir.)

5-)

a-)

[ ]

*3 4 6 102 1 2 * 4 *2 4 5 10

0 0.5 1 *

x x u

y x

− − = − − + − −

= −

durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol

edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur.

2 1* * ... *nP B A B A B A B− = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini

belirtmektedir. Öyleyse;

Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır.

2

10 14 58* * 4 4 4

10 14 58P B A B A B

= = −



göstermesi için ( ) 3Pρ = olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ( ) 2Pρ = olarak

karşımıza çıkmaktadır. ( Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü iα olarak

adlandırılırsa bu durumda bağımlı olan sütun 3. sütun ( 1 23* 2*α α+ ) olarak karşımıza

çıkmaktadır. Ekstra bir yöntem olarak matris kare matris olduğu için determinantının 0’a eşit

olup olmadığı incelenir.) Belirtilen durumdan dolayı sistem kontrol edilebilir bir sistem

değildir.

27

b-) Sistem kontrol edilebilir bir sistem olmadığı için kontrol edilebilir doğal biçime

getirilemez.

c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik

matrisi bulunur.

2

1

**:

* n

CC A

Q C A

C A −

=

matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3

olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.

2

0 0.5 1* 1 3.5 4* 2 8.5 7

CQ C A

C A

− = = − − −

olarak elde edilir.




boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( ) 8 0Q = ≠ olduğu için ( ) 3Qρ =

olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olduğunu göstermektedir.

d-) Gözlenebilir bir sistem incelendiği için sistem gözlenebilir doğal biçime dönüştürülebilir.

Gözlenebilir doğal biçim için şu formda karşımıza çıkmaktadır.

*~ ~

1 1

1 1

~ ~

0 0 01 0 0

* *: : : : :0 0 1

[0 0 ... 1]* *

n n

n nx x u

y x D u

α βα β

α β

− −

− − = + −

= +

Buradaki iα karakteristik polinomun ve iβ ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade

etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa;

• Karakteristik polinom ( ) I Aλ λ∆ = − eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için

oluşan karakteristik polinom; 3 2( ) 5* 3I Aλ λ λ λ λ∆ = − = − − − olarak elde edilmektedir.

28

• Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. Transfer

fonksiyonu için 1( ) *( * ) *TF s C s I A B D−= − + eşitliğinden yararlanmaktadır. Bu yol

sistem kontrol edilebilir olsaydı ideal bir çözüm olabilirdi fakat burada kontrol

edilebilirlik söz konusu olmadığında bunun için T dönüşüm matrisi bulunması

gerekmektedir. T dönüşüm matrisi için: 1~

1 *T Q Q−

− = eşitliği ile elde edilmektedir.

• İlk olarak ~Q bulunmasına ihtiyaç vardır. Bu matris gözlenebilir doğal biçimdeki

sistemin gözlenebilirlik matrisini ifade etmektedir ve aşağıdaki eşitlikle elde edilir. ~

~ ~

~2~ ~

1~ ~

*

*:

*n

C

C A

Q C A

C A−

=

Öyleyse gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilebilir. ~

~ ~ ~

2~ ~

0 0 1* 0 1 1

1 1 6*

C

Q C A

C A

= =

Öyleyse T dönüşüm matrisimiz 1~

1

3 2.5 2* 1 3 3

0 0.5 1T Q Q

−−

− − = = − − −

olarak elde edilir.

~B matrisimizin bulunmasında

~1 *B T B−= eşitliği kullanılmaktadır. O halde;

~088

B =

olarak karşımıza çıkmaktadır.

Son olarak yaptığımız işlemleri toplarsak ( Sistemimizi T dönüşüm matrisi kullanarak

gözlenebilir doğal biçime döndürmek) sistemin gözlenebilir doğal biçimi aşağıdaki

şekilde elde edilir:

29

[ ]

*~ ~

~

0 0 3 01 0 5 * 8 *0 1 1 8

0 0 1 *

x x u

y x

= +

=

e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol

edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer

fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan

minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ;

• Sistemimizin transfer fonksiyonu için 1( ) *( * ) *TF s C s I A B D−= − + eşitliğinden

yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda:

2

8 *( 1)( )( 3)*( 1)

s sTF ss s

+=

− +

• Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili

sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu:

2

8 8( )( 3)*( 1) 2 3

s sTF ss s s s

= =− + − −

• Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir.

Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir

doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse:

[ ]

* 0 1 0* *

3 2 1

0 8 *

x x u

y x

= +

=

• Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için gözlenebilir de olması gereklidir.

Bunun için de gözlenebilirlik matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda sistem 2.

dereceden olduğu için ( ) 2Qρ = olması istenilmektedir. Öyleyse gözlenebilirlik matrisi

elde edilirse:

8 00 8

Q =

30

• Yukarıda elde etmiş olduğumuz gözlenebilirlik matrisinin rankı ( ) 2Qρ = olduğu

açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir.

(Minimal gösterim tek değildir.)

ele401/501 – 2016/17 gÜz – Ödev 2 - ÇÖzÜmler · lyapunov kararlılık 1. soruda...

Documents