routh kararlılık
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 routh kararllk
1/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
1
Otomatik Kontrol
Kararllk (Stability)
Prof.Dr.Galip Cansever
Ders #9
-
7/25/2019 routh kararllk
2/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
2
Kararllk, geici rejim cevab ve srekli hal hatas gibi kontroltasarmcsnn temel unsusrundan en nemli olandr.
Lineer zamanla deimeyen sistemlerin doal cevab zamanla sfragidiyorsa sistem kararldr denir.
Sistem toplam cevab doal(z) ve zorlanm zmn toplamolduu iin kararl sistemlerde doal zm zamanla sfra ulaacaiin toplam cevap zorlanm cevap olur.
)()()( tctctc zzor +=
Lineer zamanla deimeyen sistemlerin doal cevab zamanlasonsuza gidiyorsa sistem kararszdr denir.
Lineer zamanla deimeyen sistemlerin doal cevab zamanlaazalmyorsa ve artmyorsa sistem marjinal kararldr denir. Sabitveya osilasyonlu cevap retiler. Parametre deiimine duyarl
olduklar iin kararsz kabul edilirler.
-
7/25/2019 routh kararllk
3/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
3
Lineer sistemlerde kararllk sistemin kendi zelliidir.
Kararl bir lineer sistemin denge noktasna bir bozucu etki tesirederse, sitem zamanla kendiliinden denge noktasna dner.
Lineer zamanla deimeyen sistemlerde, sistem kutuplar sol yardzlemde ise kararl, dier durumlarda ise kararszdr. denir.
Fiziksel olarak, doal cevab snrsz olan kararsz sistemlerkendilerine, etrafndaki ara gerelere veya insanlara zarar
verebilirler.
Kararlln bir dier tanmda;sistemin giriine uygulananbtn snrl giri iaretleri iin kta snrl kalyorsa sistemkararldr denir.(BIBO)
-
7/25/2019 routh kararllk
4/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
4
KararlBlge
Kararl
Blge
Kararsz
Blge
KararszBlge
s-dzlemi
js =
-
7/25/2019 routh kararllk
5/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
5
-
7/25/2019 routh kararllk
6/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
6
A
B C D
E
F
G
Top A ve F noktalarnda iken kk bir kuvvet uygulanrsa, A ve
F noktalarna bir daha dnemez. Bu durumda A ve F noktalarkararsz noktalardr.
Top E ve G noktalarnda iken kk bir kuvvet uygulanrsa, E veG noktalarna salnm yaparak geri dner. Bu durumda E ve Gnoktalar kararl noktalardr.
Top B ve D noktalar arasnda iken kk bir kuvvet uygulanrsa,yeni noktasnda kalr. C gibi byle noktalara ntr kararl denir.
-
7/25/2019 routh kararllk
7/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
7
rnek:
)(1
)(
)(
)(
sG
sG
sR
sC
+
=
)2)(1(31
)2)(1(
3
+++
++=
sss
sss
323
323
+++
=
ssss1=-2.672, s2,3=-0.164j1.047
KARARLI!
-
7/25/2019 routh kararllk
8/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
8
rnek:
)(1
)(
)(
)(
sG
sG
sR
sC
+
=
)2)(1(71
)2)(1(
7
+++
++=
sss
sss
723
723
+++
=
ssss1=-3.087, s2,3=0.043j1.505
KARARSIZ!
-
7/25/2019 routh kararllk
9/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
9
Sa yar dzlemdeki kutuplar ya stel artmla yada stel artansinsoidal doal cevap oluturur ki doal cevap zamanla sonsuza
kadar artar.
Ayrca, imajiner eksen zerinde katl kk varsa )cos( +tAtn
eklinde bir cevap retir ki buda zamanla sonsuza gider vesistem bu durumda yine kararszdr.
Demek ki bir sistemin kararsz olmas iin en az bir kutbunun sayar dzlemde yada imajiner eksen zerinde katl kknn olmasyeterlidir.
majiner eksen zerinde bir kk varsa sistem cevabosilasyonludur. Bu tip sistemlere marjinal kararl sistemler denir.
-
7/25/2019 routh kararllk
10/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
10
Yukardaki sistemin kararlln belirlemek zere kapal dngkutuplarna ihtiyacmz var. Kapal dng transfer fonksiyonunuoluturduumuzda;
Elde ederiz ki bu polinomun kklerini ancak bilgisayar yardm ilebulabiliriz.
-
7/25/2019 routh kararllk
11/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
11
Lineer zamanla deimeyen sistemlerin kararllklarnbelileyebileceimiz baka kriter ve teoremlere ihtiyacmz var.
Bunlardan bir tanesi Hurwitz testidir.Eer bir kapal dng transfer fonksiyonunun btn kutuplar solyar dzlemde ise, bu sistemim paydasndaki polinomunu, yanikarakteristik denklemini, (s+ai) eklinde arpanlara ayrabiliriz.
ailer pozitif yada pozitif gerel ksma sahip karmak saylardr.
Bylece buradan (s+ai)lerin arpmlarnn btn katsaylarpozitif olan polinom oluturmas gerektiini syleyebiliriz. Ayrcabtn katsaylar var olmaldr.
Buradan bir sistemin kararsz olduunu sylemek iin katsaylarn
iaretlerinden bir tanesinin negatif olmas
n
n yeterli olduunubelirtebiliriz.
Eer sin kuvvetlerinden biri eksik ise sistem ya kararszdr yada
marjinal kararl
d
r.
-
7/25/2019 routh kararllk
12/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
12
Toparlayacak olursak Hurwitz testi der ki: Kararl bir sisteminkarakteristik polinomunun btn katsaylar var olmal ve pozitif
olmal
d
r. Bu test sistemin kararl
l
iin gerekli fakat yeterlideildir.
Routh-Hurwitz Kriteri
Bu yntemle kapal dng sistem kutuplarn zmeden sistemkararll hakknda bilgi sahibi oluruz.
Ayrca sistemin ka tane sol yar dzlemde, ka tane sa yardzlemde ve ka tane imajiner eksen zerinde kutbu olduunubulabiliriz. Bu methoda Routh Hurwitz kriteri ad verilir, 1905.
Bu methot iki admdan oluur:
1. Routh tablosunu oluturmak
2. Tabloyu yorumlamak
-
7/25/2019 routh kararllk
13/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
13
Routh Tablosonun Oluturulmas:
lk kolona snin en yksek derecesiden balayarak 0nc kuvvetine
kadar dereceleri yazlr. Daha sonra il satra en yksek dereceninkatsays ve birer atlayarak dier derecelerin katsaylar yazlr.kinci satra en yksek ikinci derecenin katsays ve birer atlayarakdier derecelerin katsaylar yazlr.
-
7/25/2019 routh kararllk
14/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
14
-
7/25/2019 routh kararllk
15/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
15
rnek:
Kapal dng sistemi iin Routh tablosunu oluturun.
)(1
)(
)(
)(
sG
sG
sR
sC
+=
)5)(3)(2(
10001
)5)(3)(2(
1000
++++
+++=
sss
sss
10303110
100023 +++
=sss
-
7/25/2019 routh kararllk
16/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
16
10303110
100023 +++ sss
0311
10 1030 01 103
7211031
311
=
01
01
01
=
01
01
01
=
10372
072
1031
=
072
072
01
=
072
072
01
=
-
7/25/2019 routh kararllk
17/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
17
Routh Tablosonun Yorumlanmas:
Routh-Hurwitz kriteri derki; birinci kolondaki iaret deiimsays kadar sistemin sa yar dzlemde kk vardr.
Bir nceki rnei dnecek olursak; birin kolon elemanlar:
103
72
1
1
aret deiimi
aret deiimi
2 kere iaret deitirdiine gre sistemin sa yar dzlemdeiki kk vardr. Sistemin sa yar dzlemde en az birkknn olmas kararsz olmas iin yeterli idi, bylece sistemkararszdr diyebiliriz.
-
7/25/2019 routh kararllk
18/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
18
Routh-Hurwitz Kriterinde zel Durumlar
ki zel durum olabilir:1. Satrlardan herhangi birinin ilk elamannn sfr olmas
2. Satrlardan birinin tamamen sfr olmas
1. Satrlardan herhangi birinin ilk elamannn sfr olmas:
Satrlardan birinin ilk elemannm sfr olmas durumunda birsonraki satrn elemanlarn bulunurken sfra blm problemiortaya kar.
Sfra blm nlemek iin sfr yerine yazarz.
-
7/25/2019 routh kararllk
19/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
19
rnek:35632
10)(
2345 +++++=
ssssssT
Yukardaki kapal dng transfer fonksiyonunun kararlln Routhtablosu oluturarak belirleyiniz.
0 7/2 0
0
0
00
0
3
3
76
1412
64942 2
(+) da olabilir ( ) de olabilir
-
7/25/2019 routh kararllk
20/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
20
(+) da olabilir (-) de olabilir.
+
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
+
Grld gibi pozitif de seilse negatifte seilse sistem kararszdrve iki defa iaret deitii iin sa yar dzlemde iki kutup vardr.
-
7/25/2019 routh kararllk
21/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
21
Bu durumda, bir nceki satra gidip yardmc polinom olutururuz.
Polinom ilgili satrn sin derecesi ile balar ve birer atlayarakdevam eder.
Sonra polinomun sye gre trevini alrz.
Bu katsaylar tamam sfr olan satrda kullanrz.
2. Satrlardan Birinin Tamamen Sfr Olmas:
10
-
7/25/2019 routh kararllk
22/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
22
rnek:5684267
10)(
2345 +++++=
ssssssT
Yukardaki kapal dng transfer fonksiyonunun kararlln Routhtablosu oluturarak belirleyiniz.
1 6 8
7 42 561 6 8
000
-
7/25/2019 routh kararllk
23/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
23
Grld gibi nc srann tamam sfr.
Bu durumda, bir nceki satra gidip yardmc polinom olutururuz.
Polinom ilgili satrn sin derecesi ile blar ve birer atlayarakdevam eder.
86)( 24
++= sssPSonra polinomun sye gre trevini alrz.
ssds
sdP124)( 3 +=
Bu katsaylar tamam sfr olan satrda kullanrz.
-
7/25/2019 routh kararllk
24/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
24
16 8
13 0
3 8 0
1/3 0 0
8 0 0
1 6 8
00120
40
Genelletirecek olursak Routh tablosunda bir satrn tamamen sfr
-
7/25/2019 routh kararllk
25/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
25
Genelletirecek olursak Routh tablosunda bir satrn tamamen sfrolmas, polinomda tamamen tek sayl derecelerin yada ift saylderecelerin olmasndan kaynaklanr.
724 ++ssrnek:
ift say derecelerin kkleri orjine gre simetriktir. Bu simetri:
A) Reel simetrik olabilirB)majiner Simetrik olabilir
C)Drt blgeli olabilir.
Sfr satr bize kkleri orjine
gre simetrik olan it say
dereceli polinomun varln
syler.
rnek: 20
-
7/25/2019 routh kararllk
26/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
26
rnek:
20384859392212
20)(
2345678 ++++++++=
sssssssssT
Yukardaki kapal dng transfer fonksiyonunun kararlln Routhtablosu oluturarak belirleyiniz.
-10 -20 10 20 0-1 -2 1 2
20 60 40 0 01 3 2
1 3 2 0 0
0 0 0 0 0
Polinomu oluturacak olursak: 23)( 24 ++ sssP
-
7/25/2019 routh kararllk
27/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
27
Polinomu oluturacak olursak: 23)( ++= sssP
Ve Trevi ss
ds
sdP64
)( 3 +=
-10 -20 10 20 0-1 -2 1 2
20 60 40 0 01 3 2
1 32 0
0
0 0 0 0 04 6 02 3 3
3/2 2 0 0 03 4
1/3 0 0 0 0
4 0 0 0 0
4 d 0 k d i t d i i i l d i i d l d
-
7/25/2019 routh kararllk
28/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
28
s4 den s0 a kadar iaret deiimi olmad iin sa yar dzlemdekutup yoktur.
Eer sa yar dzlemde kutup yoksa simetrisi de olamayandansol yar dzlemde yoktur.
Buradan 4 kknj ekseni zerinde olduunu anlarz.
Dier kutuplar s8 den s4 e kadar olan kutuplardr. Bu iki kuvvet
aras
nda iki iaret deiimi olmutur ki bunun manas
sa yar
dzlemde iki kk mevcuttur.
Sonu olarak transfer fonksiyonunun iki sa yar dlemde, iki sol
yar dzlemde ve 4 imajiner eksen zerinde kutbu vardr. Sayar dzlemde en az bir kutbun olmas sistemin karasz olduunusylemek iin yeterli idi, doalysyla sistem kararszdr.
-
7/25/2019 routh kararllk
29/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
29
rnek:
-
7/25/2019 routh kararllk
30/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
30
Ksss
KsT +++= 7718)( 23
Sistemi kararl, marjinal kararl ve kararsz yapacak K deerlerinibulunuz. (Knn 0dan byk olduunu varsayalm)
Kapal dng TF:
KK1386
K
Eer K
-
7/25/2019 routh kararllk
31/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
31
Eer K 1386 ise s1 deki birinci stundaki ilk eleman negatifolur. lk stunda iki defa iaret deiimi grnr ki kutuplardaniki tanesi sa yar dzlemdedir ve sistem kararszdr.
Eer K =1386 ise s1 deki tm elemanlar 0 olur.
Polinomu oluturacak olursak: 138618)( 2 += ssP
Ve Trevi sds
sdP36
)(
=s2 li terimden sonra iaretdeiimi olmad iin ift
polinomun iki kkj eksenizerindedir. s2 li terimin zerindeiaret deiimi olmad iin dierkk sol yar dzlemdedir. Sistem
marjinal kararldr.
-
7/25/2019 routh kararllk
32/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
32
The FANUC Robot M- 400 can bec configured for 4- or 5-axis of motion.
rnek:234
-
7/25/2019 routh kararllk
33/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
33
20030303 234 ++++ ssss
Polinomunu arpanlarna ayrnz.
Routh tablosunu oluturalm:
20 2001 10
0 02 0
10
10)( 2
+=ssP sds
sdP2
)(
=
10)( 2 += ssP Orjinal polinomun arpandr Dolaysyla dier
-
7/25/2019 routh kararllk
34/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
34
10)( +=ssP Orjinal polinomun arpandr. Dolaysyla dierarpan:
2032 ++ ss
20030303 234 ++++ ssss )203)(10( 22 +++= sss
)213.45.1)(213.45.1)(1623.3)(1623.3( jsjsjsjs ++++=
ZET
-
7/25/2019 routh kararllk
35/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
35
Lineer kapal dng sistemlerin kararllklar kutuplarnn sdzlemindeki konumlar ile belirlenebilir. Eer kutuplardanherhangi biri sa yar dzlemde ise geici rejim cevab monoton
olarak artar veya artan genlikle osilasyon oluturur. Bylesistemler kararsz sistemler olarak adlandrlr. Kararsz sistemler,altrldnda k zamanla art gsterir. Eer herhangi birdoyum fonksiyonu uygulanmadysa veya mekaniksel snrlandrma
getirilmediyse fiziksel sistem mekaniksel hasar grebilir.Dolaysyla kapal dng sistemlerinin kutuplarnn sa ayrdzlemde olmasndan kanlr. Eer sistemin btn kutuplari jwekseninin sol tarafnda yer alyorsa her trl geici rejim snmle
denge noktasna ular.
ZET
-
7/25/2019 routh kararllk
36/36
26 February 2007 Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
36
Kararllk sistemin kendi zelliidir, sistem kararl veya kararsz
olsun sistem giri fonksiyonundan bu zellii ba
ms
zd
r.Sistem girii sistemin kararl veya kararsz olmasnetkileyemez ama zmde kendini gsterir. Matematikselolarak, jw ekseni zerindeki kutuplar osilasyona sebebiyet
verirler ve bu osilasyonlarn genlikleri zamanla ne artar ne deazalr. Pratikte, yani grltl ortamda, grltnn seviyesinegre osilasyonun genlii art gsterir. Dolaysyla, kontrolsistemi jw ekseni zerinde kutup iermemelidir.