mak669 lineer robust kontrol -...

1 1

MAK669 LINEER ROBUST

KONTROL

Prof.Dr. Selim SİVRİOĞLU

[email protected]

17.10.2014

2 2

lineer sistemi sadece ve sadece bütün kökleri

sol yarı düzlemde ise kararlıdır yani

Re{ ( )} 0,

A gibi bir matris böyle bir özelliğe sahipse "kararlı"

veya Hurw

: (

it

)

i

Teorem Hur

x Ax

t

A

B

w z

u

i

i

z denir. Karekteristik denklemin kökleri

0

bulunur.

sI A

Kararlılık analizi

Sistem kararlılığı

-

+ +

+

d

er( )K s ( )G s

yu

When a dynamic system is just described by its input/output relationship such as a transfer function (matrix), the system is stable if it generates bounded outputs for any bounded inputs. This is called the bounded-input-bounded-output (BIBO) stability. For a linear, time-invariant system modeled by a transfer function matrix (G(s) ), the BIBO stability is guaranteed if and only if all the poles of G(s) are in the open-left-half complex plane, i.e. with negative real parts.

1( ) ( )G s C sI A B D (I)

An essential issue in control-systems design is the stability. An unstable system is of no practical value. This is because any control system is vulnerable to disturbances and noises in a real work environment, and the effect due to these signals would adversely affect the expected, normal system output in an unstable system.

Sistem kararlılığı

When a system is governed by a state-space model such as (II), a stability concept called asymptotic stability can be defined. A system is asymptotically stable if, for an identically zero input, the system state will converge to zero from any initial states. For a linear, time-invariant system described by a model of (II), it is asymptotically stable if and only if all the eigenvalues of the state matrix A are in the open-left-half complex plane, i.e. with positive real parts.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

(II)

5

The concept of Lyapunov stability is one of the most prominent

and fundamental in dynamics and control. It is primarily

concerned with analyzing behavior of system trajectories near

equilibrium but without explicit computation of those solutions.

System stability can be interpreted as a continuity of the

system trajectories, with respect to initial conditions, over

infinite time interval. The keywords here are “over infinite time

interval.” They highlight the difference between the notions of

the stability and continuity on initial conditions.

Lyapunov kararlılık tanımı-

yörüngesel kararlılık

1 2

Sistemin aşağıdaki şekilde tanımlandığını düşünelim.

( , ) (1)

Burada durum vektörüdür ve ( , ) elemanlarının

, , , ve nin fonksiyonu olduğu bir n-vektördür.

Den

n

x f x t

x f x t

x x x t

0 00 0

0

klem (1) deki sistemin verilen bir başlangıç değerinde başlayan

. Bu çözümü gözlemlenen zaman olmak üzere

olarak gösterelim. Burada

tek

,

b

dir. Buradan

ir çözümü ol

(

( ;

u

,

n

;

s

) t x

t

x x t t

t x

t

0 0 0, )

yazılabilir.

t x

Lyapunov kararlılık analizi

: (1) sisteminde gibi bir durum vektorü

( , ) 0 (bütün değerleri için) (2)

sağlıyor ise sistem denge durumundadır denir. Eger sistem

l

D

i

enge durumu

neer ve zamandan b

e

e

x

f x t t

ağımsız bir sistem ise

( , )

( singüler degil ise).

Eger singüler ise sonsuz sayıda denge durumu vardır.

Nonlineer sistemlerde bir

tek bir denge durumu var

veya birden çok denge

durumu ol

d r

abi

ı

ef x t Ax

A

A

lir. Bu durum değişkenleri sistemin sabit

çözümlerine karşılık gelir ( bütün değerleri için).

Denge durumlarının bulunması sistemin deferansiyel denklemini

yani denklem (1) in çözümünü gerektirmez

ex x t

fakat sadece (2)

denkleminin çözümünü gerektirir.


8 8

2 2 2 1/2

1 1 2 2

gibi bir denge durumu etrafını yarıçapı olan küresel bir bölge ile

Lyapunov anlamında kararlılı

gösterelim.

[( ) ( ) ( ) ] Euclid

k:

ean norm

( ) bölgesi aşağıdaki b

e

e

e e e n ne

x k

x x k

x x x x x x x x

S

0 0 0

ütün noktalardan ibaret olsun:

( ) bölgesi de aşağıdaki bütün noktalardan ibaret olsun:

( ; , ) için

e

e

x x

S

t x t x t t


0xex

( )S

( )S

0x

xex

9 9

Kararlı Kararsız


(1) denklemindeki sistemin gibi bir denge durumu olsun.

Eger zaman sonsuza doğru artarken ( ) bölgesinde

başlayan ( ) bölgesini terk etmeyen ( ) yörüngesi var ise

Lyapunov anlamında ka

r

arl

ex

t S

S S

0 0

denir. reel sayısı genelde

sayısına ve bağlıdır. Eğer sayısı bağlı değilse denge

durumu uniform olarak karar

ıdır

lı denir.

t t

0 0( ; , )t x t

10 10

Asimptotik Kararlı

Zaman sonsuza doğru artarken ( ) bölgesi içinde başlayan

her çözüm ( ) terketmeden yakınsıyor ise sist

Asimptotik Karalıl

em asimptotik

kararlıdır denir.

ık:

e

t S

S x

( ) 0 x t t


0xx

11 11


Kararlı Asimptotik Kararlı

Kararsız

12 12

Küresel bölgede her bir durum değişkeninin ve

tanımlı bölgelerin düzlem üzerindeki

iz düşümü:


13

0 0 0

0

Let ( ; ) denote a solution of (1) with the initial condition ( ) . Suppose that

this solution is unique and exists on a finite, possibly open-ended interval [ , ).

The continuity property of

x t x x t x

t T

0 0 ( ; ) due to changes in can be described as follows:

Given any positive constant 0, there must exist a sufficiently small positive

constant > 0, such that for all perturbed initial con

x t x x

0 0 0

0 0

0 0 0 0

ditions with ,

the corresponding perturbed solution ( ; ) deviates from the original

by no more than , that is, ( ; ) ( ; ) , for all .

Figure illustrates

x x x

x t x x

x t x x x t x t t T

the continuity property for a scalar system.


14 14


( , )

(0, ) 0 bütün değerleri için

sistemi eğer aşağıdaki şartları sağlayan bir Layapunov fonksiyonu

var ise asimtotik kararlıdır.

( ) 0 0

( ) 0 0

( ) 0 0

( ) 0

x f x t

f t t

V x x

V x x

V x x

V x x

0

15 15

( ) skalar fonksiyonu sıfır olmayan bütün durum değişkenleri için ( ) 0 sağlıyors

Pozitif tanımlı(posit

pozitif tanımlıdır

a

de

ive definite) skalar fon

nir. Sadece durum uzayının orijininde (

ksiyon:

V x x V x

V

Negatif tanımlı skalar fonksiyon:

Pozitif yarı tanımlı(positive semide

0) 0.

Eğer ( ) pozitif tanımlı ise

finite) skalar fonksiyon

( ) denir.

( ) fonksi

negatif tanımlıdır

yonu orijinde ve bazı dur

:

um d

V x V x

V x

Tan

eği

ıms

şkenle

ız ska

rinde sıfır

lar fonksiyo

olup

diğer bütün durum değişkenlerinde pozitifse denir.

Hem pozitif ve hemde negatif değerler alıyorsa V(x)

pozitif yarı tanımlıdır

tanımsız skalar

fon

n:

ksiyon denir.

2 2

1 2

2

1 2

2 2

1 1 2

2

1 2 2

( ) 2 pozitif tanımlı

( ) ( ) pozitif yarı tanımlı

( ) (3 2 ) negatif tanımlı

( ) tanımsız

V x x x

V x x x

V x x x x

V x x x x


16 16


1 2 1

3

2 2 1

3

2

sisteminin asimtotik kararlı olduğunu gösteriniz.

x x x

x x x

2 2

1 2 1 1 2

2 2

2 1 2 1 2

( )

( )

sisteminin asimtotik kararlı bir sistem olup olmadığını gösteriniz.

x x x x x

x x x x x

1-

2-

17 17

Ödev

1 2

2 1 2

2 2

1 1 2

2 2

2 1 2 1 2

2 2

3 1 2 1 2

6 5

sisteminin

1 6

2

3 2

aday Lyapunov fonksiyonlari icin

asimtotik kararlı olup olmadiğini gösteriniz.

x x

x x x

V x x

V x x x x

V x x x x

2 2

1 1 1 2 2

2 2

2 1 2 1 2

( 1)

( 1)

sisteminin asimtotik kararlı

bir sistem olup olmadığını gösteriniz.

x x x x x

x x x x x

1- 2-

18 18

1

1 1

özdeğerlerinin negatif reel kısımlara sahip olmas

lineer bir sisteminin asimptotik kararlı olması için matrisinin

bütün

veya karakteristik denklemin

kökleri negatif r

ı

eel

n n

n n

x Ax

A

sI A s a s a s a

Lyapunov yaklaşımı cebirsel bir yaklaşımdır ve karakteristik

denklemin bulunmasını ger

o

e

lmalıd

kti

ır.

rmez.

Eğer singüler olmayan bir matris ise ve bu durumda denge

durumu sadece orijin 0 dir.

A

x

Lineer sistemlerin Lyapunov kararlılık analizi

(I)

19 19

asimptotik kararlılık için fonksiyonun

türevi ( ) negatif tanımlı

( ) pozitif tanımlı seçildiğinden

Bu yüzden

( )

olacak şekilde

olmalıd

seçilebilir. Bu durumda

poz

ır.

i

T

T T T

T

V x

V x x Qx

x Qx x A P PA x

Q A P

V x

PA

tif tanımlı


pozitif tanımlı reel bir matris. reel bir

Durum uzayı denklemi (I) için aşağıdaki

Lay

vektör ve reel bir matris olarak kabul

punov denklemini seçelim:

( )

. ( ) zamana bağlı tür

ed eiyoruz vi:

TV x x Px

V x

P x

A

( )

( )

T T

T T

T T T

T T

V x x Px x Px

Ax Px x PAx

x A Px x PAx

x A P PA x

20 20

pozitif tanımlı seçiliyor

pozitif tanımlı mı

V

erilen yakl

diye kontrol ediliyor

aşımda:

P

Q

Eger pozitif tanımlı seçilir nin pozitif tanımlı olup olmadığına

karar verilirse

TA P

Q P

PA Q

seçilirse

T

Q I

A P PA I


1 1

2 2

11 12 11 12

12 22 12 22

12 22 12 11 12

11 12 12 22 22 12 22

0 1

1 1

0 1 0 1 1 0

1 1 1 1 0 1

1 0

0 1

2

( ) T

T

x x

x x

p p p p

p p p p

p p p p p

p p p p p

V x x Px

A P PA I

p p

p

12 12

11 12 22 11

12 22 22

11

2

30

2

2 2 1 1

p

p p p p

p p p

11 12

12 22

3/ 2 1/ 2

1/ 2 1

3/ 2 1/ 230, 0 pozitif tanımlı

1/ 2 12

p p

p p

Örnek:


sisteminin kararlı olup olmadığını Lyapunov analizi ile bulunuz.

1 2 2

1 2 1 1 2 2

2

1 2 1 2 1 2

1 2

1

1

2

P yerine yazılırsa Lyapunov fonksiyonu:

3 11 1( ) (3 2 2 )

1 22 2

Lyapunov fonksiyonunun türevi elde edilirse:

(3 ) (2 )

(3

( )

T

dx dxV VV x

x dt x

xV x x Px x x x x x

dt

xx

x x x x x x

x x

1

2 2 1

2

1 1

1 2 2 1 2 1 1 2

2 2

2 2

2 1 1

2

2 1 2

2

1 2

) (2 )

0 1(3 ) (2 ) ( 2 ) (2 )

( ) ( )

1 1

2 2

Ax

xx x

x

x xx x x x x x

V x x x

x xx x

x x x x x x


1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2 1 2 2 1

1 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0

m y k y c y k y y c y y

m y k y y c y y

m y c c c y k k k y

m y c c y k k y

yMq Cq Kq q

y

1c 1k

2m

1m

2c2k

1y

2y

Mekanik sistemler ve Lyapunov fonksiyonu

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2

1( )

2

1[ ( ) ]

2

1( ( ) )

2

KE m y m y

PE k y k y y

TE k y k y y m y m y

kinetik enerji denklemi

potansiyel enerji denklemi

toplam enerji denklemi


1 1

1 2 2 1

2 2 2

1 2 1 2

1 1

2 2

1 2 1 2

0,

01, pozitif tanımlı secilsin.

02

0 0

0 01

0 0 02

0 0 0

1( )

2

T

x Ax

q Ix A

q M K M C

KV x Px P

M

k k k y

k k yV y y y y

m y

m y

k k y k y

22 2 1

1

2

2 2 1 2 2 1 1 2 2

1

2

2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 22 1 1 2 2

( )Toplam enerji

2

11( )

2( ( ) )

2k y y

y

yk y k y m

k

y m yy

y

k y k y k y y k y y k y m y m y k y y m y m yy

Lyapunov fonksiyonu mekanik sistemlerde örnekte oldugu gibi sistemin toplam enerji ile ilişkilendirilebilir.


Mekanik bir sistemde Lyapunov

fonksiyonunun türevinin

0

olması demek sistemin toplam

enerjisinin

ile sistemin toplam

enerjisinin

azalması anlamındadır.

Dola

zamanla azalması kararlı

bir

yı

s t

sı

is em

V

oldugunu gösterir.

Seçilen P ve sistem matrisi A aşağıdaki eşitliği sağlaması için Q:

0 00

0

olarak bulunur. Bu sonuçtan Q pozitif fakat singuler

olduğundan dolayı Lyapunov kararlılık krite

TA P PA Q QC

ri olarak

çok küçük bir sayı olmak üzere 0 ve P aşağıdaki şekilde

seçilirse:

01 1

0 02 2 2

pozitif tanımlı bir

sisteminin kararlı

matr

olduğunu ispat

i t

l m

s

a az.

K C M K C MP

M M M M

P

x Ax

ir. Bu durumda Q

0

0

olarak bulunur. Yeterince küçük 0 için

pozitif tanımlı aynı zamanda Q pozitif

tanımlıdır. Bu nedenle sistemi kararlıdır.

KQ

C M

C M

x Ax

26 26

Kontrol edilebilirlik

1

1 1

0

şeklindeki dinamik bir sistem veya ( , ) matris

çifti herhangibir 0 zamanında

ve herhangibir (0) başlangıç şartında iken

eğer sistem durum vektörünü

Tanım:

( ) gibi sonlu

bir de

x t x

x Ax Bu

A B

t

x x

ğere yaklaşmasını sağlayan

kontrol edilebilirdir.

Diğer durumlarda ( , ) kontrol edilebilir değildi

( ) gibi bir giriş

r

varsa

.A B

u t

27 27


0

0

0

( ) ( )

0

Durum uzayı denkleminin cevabı ( )

( ) ( ) ( )t

A t t A t

t

t t

x t e x t e Bu d

1 1

1 1

( ) 1

1 0 1

1

( )

0 1

0

1 1 zamanında ( ) olmasını sağlayan

özel bir giriş aşağıdaki şekilde olsun

( ) gibi

( ) ( ) ( )

Burada ( ) kontrol

( )

T

T

T

A t t A tT

c

A t t A tT

c

tA T A

u t

u t B e W t e x x

B e

t t

e x

x t

x

e BB e

x

W

d

t

0

edilebilirlik Gramian matrisidir ve

aşağıdaki şekilde tanıml

(

ı ır:

)

d

TtA T A

cW t e BB e d

(A)

(B)

28 28


11 1 1

1

11 1

1 1

1 0 0 0

( ) ( )

0 1 01 0

( ) ( )

0

1 0 0 1

1 1

, 0, ( )

( )( )

( ) ( )

( )

T

T

tA t A t A tT

A t

tA t A tT

A t A t

t t t x t x

e BB e e x x dx t e x

e BB e d

x t e x e x x

x t x

(A) denkleminde (B) yerine yazılır ve

0

0

( ) ( )

0

1 0

Bir önceki çözüm özel bir durum için yapıldı.

Genel kontrol edilebilirlik için durum uzayı denkleminin çözümünü

düşünelim:

( ) ( ) ( )

, 0 ve durum uzayının alacağı son

tA t t A t

tx t e x t e Bu d

t t t

11 1

11 1

11 1

1

1

( )

10

( )

0

0

( )

0

değer ( ) 0 kabul edersek:

( ) 0 (0) ( )

(0) ( )

(0) ( )

elde ed(0 il) .( ) ir

tAt A t

tAt A t

tAt A

A

t

t

x t

x t e x e Bu d

e x e Bu d

x e e Bu

x e Bu

d

d

Kontrol edilebilirlik matrisinin elde edilmesi

1

1

1

2 1

0 1 2 1

1

0

1

00

1

0

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) , ( 0,1,2, 1)

oldugundan

( ) yazılabi

(0) ( )

lir.

(0) ( ) ( )

(0) ( )

(

At m

m

nA

t

k

k

k

ntk

k

k

n

A

tk

k

x e Bu d

e t I t A t A t A k m

e A

x A Bu d

x A B u

1

0

1

0

0

11

Kontrol edilebilirlik matrisi

1

)

( ) ( ) kabul edilirse

(0)

t

k

nk

k

k

n

n

d

u d

x A B

B AB A B

Kontrol edilebilirlik matrisinin elde edilmesi

31 31

Bir sistemin kontrol edilebilir olduğunu test etmenin bir çok yolu olmakla

birlikte birinci yöntem kontrol edilebilirlik matrisinin rankına bakmaktır.

( , ) sisteminin kontrol edilebilir olması içinA B

1

sadece ve sadece kontrol

edilebilirlik matrisi

rankının (tam rank) olması gerekir. Burada durum değişkeni sayısıdır.

nM B AB A B

n n

Kontrol edilebilirlik matrisi

Bir sistemin kontrol edilebilirligini hesaplamanin diger bir yolu

kontrol Gramian matrisinin hesaplanmasıdır.

( , ) sisteminin kontrol edilebilir olması için 0 herhangibir zaman için

sadece ve sade

A B t

(

ce Gramian matrisi ( ) nin tam rank(pozitif tanımlı)

olması gerekir.

Kararlı bir sistem için şeklinde kabul edebiliriz yani

( , ) sisteminin kontrol edilebilir ise kontrol edilebilirlik Gram

)

c

cP W

W t

A B

0

ian:

pozitif tanımlı 0 ve tam ranka sahiptir. aşağıdaki Lyapunov denkleminin

çözümünden elde edilir.

TtA T A

T T

P e BB e d

P P

AP PA BB

Kontrol edilebilirlik Gramian matrisi

1 1

2 2

1

2

2 0 1

3 5 0

1 1

x xu

x x

xy

x

1 1

2

1 2

0 3

n

n

M B A B

2 0 1 2

3 5 0 3AB

rank(M)=2 sistem kontrol edilebilirdir.

Örnek 1:


1 1

2 2

1

2

2 0 1

3 5 0

1 1

x xu

x x

xy

x


% ornek 2 A=[ -2 0 ; 3 -5]; B=[1;0]; C=[1 -1]; D=0; %Kontrol edilebilirlik sys=ss(A,B,[],[]); Wc=gram(sys,'c') n=rank(Wc) % Lyapunov denklemi kullanarak Wc1=lyap(A,B*B') n1=rank(Wc1)

Örnek 2:

kontrol edilebilirligini kontrol Gramian matrisi ile bulunuz.

0 1

0 1

Eger u(t) kontrol girişi zaman aralığında

verilen herhangi bir ( ) başlangıç çıkış değerinden ( )

herhangi bir sonlu çıkış değerine transer ediyorsa

kontrol sistemi çıkış ola

x Ax Bu

y Cx Du

t t t

y t y t

2 1

( 1)

rak kontrol edilebilirdir.

çıkış kontrol edilebilir olması için matrisinin rankı

olmalıdır.

n

C m n

C

M CB CAB CA B CA B D

M

n

Çıkış kontrol edilebilirlik

1 0

1

şeklindeki dinamik bir sistem veya ( , ) matris çifti eğer

herhangibir 0 zamanındaki (0) baslangıç şartı olmak uzere

[0, ] zaman aralığında çıkış ( ) ni

Tanım:

ngiriş ( ) ve

x Ax Bu

y Cx D

y t

u

A C

t x x

t u t

bulunabiliyorsa ölçülebilir denir.

Aksi durumlarda ( , ) öl

zaman geçm

çülebilir d

işind

eği r.

en

ldiA C

Ölçülebilirlik

-1

( , ) sistemi olculebilirlik matrisinin ranki n ise olculebilirdir.

n

A C

C

CAN

CA

0

0

Ölçülebilirlik Gramiani:

( )

( )

Lyapunov denklemi:

T

T

tA T A

o

o

tA T A

T T

W t e C Ce d

Q W

Q e C Ce d

A Q QA C C

Ölçülebilirlik matrisi ve Gramianı

0

0

1

0

( ) ( )

0

0

[0, ] zaman aralığında verilen bir ( ) girişi

ve baslangıç şartı için sistemin çıkış cevabı:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0, =0 kabul edilirse:

( ) (0)

tA t t A t

t

At

At

t u t

x

y t Ce x t Ce Bu d Du t

u t t

y t Ce x

e

1

0

1

0

1

0 1 1

0 1 1

1

( ) olduğundan

( ) ( ) (0)

( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0)

( ) ( ) ( ) ( ) (0)

nk

k

k

nk

k

k

n

n

n

n

t A

y t t CA x

y t t Cx t CAx t CA x

C

CAy t t t t x

CA

Ölçülebilirlik matrisinin elde edilmesi

Sensör

Aktüatör

1. Mod

2. Mod

3. Mod

Sensör ve aktüatorün 3. Modun nodal noktasına

yerleştirilmesinden dolayı 3. Modun hem kontrol

edilebilirliği hemde ölçülebilirliği yoktur.

Kontrol edilebilirlik ve ölçülebilirliğin fiziksel

olarak anlaşılması

1 1 2

2 2 1

( )

( )

mq k q q

mq k q q

1 1 2 2 3 1 4 2

1 1

2 2

3 3

4 4

, , , degisken donusumu

yapilirsa:

0 0 1 0

0 0 0 1

/ / 0 0

/ / 0 0

x q x q x q x q

x x

x xx Ax

x xk m k m

x xk m k m

1

1

2

1

3

1

1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) 2 Ölçülebilir i değ l

C

C AN

C A

C A

rank N

1

2

1 2

3

4

1

2

1

3

4

1 1 0 0

1 0 0 0

x

xy x x

x

x

x

xy x

x

x

1

1

2

1

3

1

1 0 0 0

0 0 1 0

-40 40 0 0

0 0 -40 40

( ) 4

C

C AN

C A

C A

rank N

Yari tanımlı(semidefinite) sistem

2q

m m

k

1q

Ölçülebilirlik örneği Şekildeki sistem birbirine yay ile tutturulmuş iki kütleyi göstermektedir. Kütleler sürtünmesi olmayan bir yüzey üzerinde hareket etmektedir. Hareket denklemi:

İki farklı ölçüm matrisi durumu için ölçülebilirliği hesaplayalım.

Sistemde 2 kütle olmasına rağmen 1 tek kütle gibi hareket etme durumu olan sistemlerdir. Bu nedenle yarı tanımlı sistemler olarak isimlendirilmektedir.

mak669 lineer robust kontrol -...

Documents