electrotecnia-tema4-ondas de señalonda triangular t f diente de sierra t-bidireccional:polaridad de...
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Tema 4
Ondas de Señal:
Onda Alterna Senoidal
+uAB
A
B
Receptor
Excitación: u(t) Respuesta: u(t)
i(t)
A
B
Receptor
Excitación: i(t) Respuesta: u(t)
i(t)
iAB
Ondas de Señal: Ondas de Excitación y Respuesta
Ondas de señal: Onda alterna senoidal
Una onda es una gráfica o ecuación que da una descripción completa de la señal
en función del tiempo
iAB
f
t
f
tT
A
1
f = E0 sen (ωωωωt + φ)
E0 es la amplitudωωωω es la pulsaciónωωωω t + φ es el ángulo de faseφ es el ángulo de fase inicial
f = 0 t < T1
f = A t > T1
T1 = T. de escalónA = Amplitud
Ondas de señal
f
Función rampa modificada
t
f
Pulso rectangular
t
f
Tren de impulsos
t
f
Exponencial
t
f
Onda rectangular
t
f
Onda Triangular
t
f
Diente de sierra
t
- Bidireccional: Polaridad de la magnitud (+) y (-) y cambia con el tiempo.
Ejemplos: onda senoidal, triangular, etc.
-Unidireccional: Polaridad única.
Ejemplos: tren de impulsos, onda exponencial, dientes de sierra, etc.
En electrotecnia: onda bidireccional senoidalonda exponencialescalón unitario la función rampa.
4.1.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS
Según signo de la magnitud:
Según repetición del valor de la magnitud con el tiempo:
Funciones periódicas: El valor de magnitud se repite con el tiempo a intervalos iguales:
e(t)
tT
e = f(t) = f(t + nT)
Es decir, la función se repite cada vez que transcurre un
tiempo T llamado PERÍODO; n ha de ser entero.
4.1.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS
Según repetición del valor de la magnitud con el tiempo:
Funciones no periódicas: Son aquéllas en el que el valor que toma la función es arbitraria con el tiempo.
e(t)
t
4.1.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS
Valores que definen una onda periódica.
t
T
Cada ciclo está descrito por su propia ecuación
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
t
T
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Valores que definen una onda periódica.
t
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
T
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Valores que definen una onda periódica.
t
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
T
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Valores que definen una onda periódica.
t
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
T
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Valores que definen una onda periódica.
t
T
Fase: Fracción de periodo transcurrido desde el instante que tomamos como referencia
Frecuencia: Numero de ciclos que se repite la onda en la unidad de tiempos f·T = 1
1 sg
Valores que definen una onda periódica.
t
T
Son índices asociados a un ciclo
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
Consideremos una onda periódica e(t):
e(t)
t
Son índices asociados a un ciclo
Consideremos una onda periódica e(t):
CCE
Valor máximoMAXE
Valor de cresta a cresta
Valor Mínimo MINE
e(t)
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
t
T
Son índices asociados a un ciclo
0E
Valor máximo
Valor Mínimo
MAXE
MINE
AmplitudMINEMAXE = =
En una onda simétrica se habla de amplitud:
e(t)
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
∫∫∫∫====T
0meddt)t(e
T1
E
Valor medio
∫∫∫∫====T
0
2
efdt)t(e
T1
Emed
ef
f EE
F ====
ef
Max
C EE
F ====
Valor eficaz Factor de Forma
Factor de Cresta
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
Significado electrotécnico del valor medio de i(t) ∫∫∫∫====T
0meddt)t(i
T1
I
uAB
A
B
Receptor
i(t)
uAB
A
B
Receptor
IMED
∫∫∫∫====T
01dt)t(iQ
TIdtIQ MED
T
0 MED2====∫∫∫∫====
Suponiendo Q1 = Q2
∫∫∫∫====T
0MEDdtiTI
∫∫∫∫====T
0MEDdti
T1
I
(Variable: Carga transportada o almacenada, i = dq/dt)
Significado electrotécnico del valor eficaz de i(t)
uAB
A
B
Receptor
i(t)
uAB
A
B
Receptor
Ief
∫∫∫∫====∫∫∫∫====T
0
2T
0
2
1dtiRdtiRw Suponiendo
W1 = W2
(Variable: Energía consumida o transportada, dw = p dt )
∫∫∫∫====T
0
2
efdti
T1
I
TIRdtIRw 2T
0
2
2====∫∫∫∫====
====∫∫∫∫T
0
2 dtiRTIR 2====
dtiT1
I2T
0ef ∫∫∫∫====
Magnitudes
Valores asociados
Intensidad Tensión f.e.m Potencia
i(t) u(t) e(t) p(t)V. eficaz I U EV. medio Im Um Em P
Amplitud I0 U0 E0 P0V. máximo IMAX UMAX EMAX PMAXV. mínimo IMIN UMIN EMIN PMINV. de cresta a cresta
ICC = IPP UCC = UPP ECC = EPP PCC = PPP
Factor de cresta FC FC FCFactor de forma FF FF FF
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
Nomenclatura de los valores asociados a las magnitudes eléctricas:
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
• E0 es la amplitud (valor máximo de la función)
• ωωωω es la pulsacion (rad/s)
• (ωωωωt + ϕϕϕϕ0) angulo de Fase• ϕ 0 Fase inicial (grados)
• e(t) es el valor que toma la función en un
instante, es el valor instantáneo
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ0)
t
e
T
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ0)
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
t
e
Tϕ0
E0
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ0)
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
t
e
Cicloϕ0
Periodo T = 2ππππ/ωωωω (s)
Frecuencia f = 1/T (Hz)
Pulsación ωωωω = 2ππππf (rad/s)
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ0)
f red Europa: 50 Hz
f red Canada, E.E.U.U. 60 Hz
ωωωω t
T sgωωωω T rad = 2 ππππ rad
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Ventajas Tecnológicas:
• Se puede generar con facilidad
• Su transformación en otras ondas de diferente amplitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores
• Las operaciones para su utilización resultan igualmente sencilla por tratarse de la función seno
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Ventajas Matemáticas:
• Se puede derivar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia. (cambia la amplitud y el ángulo de fase).
i(t) = I0 sen(ωωωωt) ���� di/dt = I0ωωωω cos (ωωωωt) = I0 ωωωω sen (ωωωωt+ππππ/2)
)2
t(senI
))tcos((I
dti 00ππππ
−−−−ωωωωωωωω
====ωωωω−−−−ωωωω
====∫∫∫∫
• La suma de ondas senoidales de igual frecuencia es otra onda senoidal de igual frecuencia pero de parámetros diferentes (valor máximo o mínimo o también de cresta).
a(t) = A0 sen (ωωωωt+φA) b(t) = B0 sen (ωωωωt+φB)
c(t) = C0 sen (ωωωωt+φC)
+
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Excitación: Respuesta: u(t) = ?
U0?ϕϕϕϕ2 ?
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
uAB= uR + uL + uC
uL = L di/dt uC = 1/C IIII i dtuR = i R
iABA B
u(t) = U0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ2)
Excitación:
i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ1 )
Respuesta:
i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ1 )
Generación15-30 kV
TransformadorElevador
Transporte380-400kV
Distribución
TransformadorConsumo240-400 V
Consumo
TransformadorReductor
15kV
f = 50 Hz
f = 50 Hz
230 V
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Ventajas Matemáticas:
• Admite una representación exponencial lo que permite operar con vectores giratorios denominados fasores que admiten una representación en el plano complejo. Por ello la teoría de circuitos en C.A. senoidal utiliza como base los números complejos
ejθθθθ = cos(θθθθ ) + j sen (θθθθ)
A ejθθθθ = A cos(θθθθ ) + j A sen (θθθθ)
A ej(ωωωωt+φ) = A cos(ωωωωt+φ ) + j A sen (ωωωωt+φ )
���� Según Euler
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Excitación: Respuesta: u(t) = ?
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
uAB= uR + uL + uC
uL = L di/dt uC = 1/C IIII i dtuR = i R
iABA B
u(t) = U0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ2)
Excitación:
i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ1 )
Respuesta:
i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ1 )
U0 ωωωωt + ϕϕϕϕ2I0 ωωωωt + ϕϕϕϕ1
componentes armónicas
fundamentales.
Ventajas Matemáticas:
Una onda periódica no senoidal, permite, mediante el desarrollo en serie de fourier, ser descompuesta en un número de funciones senoidales y cosenoidales de frecuencias múltiples de la fundamental (armónicos).
u(t) = u(t + T) ���� Onda periodica ����
Valor medio.
componentes armónicos de orden
superior
....t3cosUt2cosUtcosU
....t3senUt2senUtsenUU)t(u
C03C02C01
S03S02S01CC0
++++ωωωω++++ωωωω++++ωωωω++++
++++++++ωωωω++++ωωωω++++ωωωω++++====
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
+uAB
A
B
Receptor
Excitación: u(t) Respuesta: u(t) ó i(t)
uAB(t) = uAB(t + T) ����
���� Onda periodica ����
....t3cosUt2cosUtcosU
....t3senUt2senUtsenUU)t(u
C03C02C01
S03S02S01CC0
+ω+ω+ω+
++ω+ω+ω+=
+ +
U01S sen ωωωωt U02S sen 2ωωωωt U0CC
+A B
uAB
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Algunos desarrollos interesantes son:
++++ωωωω−−−−ωωωω++++ππππ
==== ...t4cos151
t2cos31
21Um4
)t(f
++++ωωωω−−−−ωωωωππππ
++++ππππ
==== ....t2cos32
tsen2
1Um
)t(f
...t5sen5Um4
t3sen3Um4
tsenUm4
)t(f ++++ωωωωππππ
++++ωωωωππππ
++++ωωωωππππ
====
1.-Rectificación completa:
t
UM
T
2.-Rectificación de media onda:
t
UM
T
3.-Onda cuadrada:
t
UM
-UM
T/2
T/2
T
π=ω2
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
4.3.1.- Generador de corriente alterna
ωt +φ
rS
rB
N S
ω ω ω ω
S
B
ωωωω·t+φ
Velocidad de giro:ωωωω
pulsación
Ley de Faraday
ENUNCIADO: Si el flujo del campo magnético a través de un circuito varía con el tiempo, en dicho circuito aparece una fuerza electromotriz inducida que es igual a la derivada del flujo magnético a través del circuito con respecto al tiempo con signo menos.
dt
dΦ−=ε
Esta fem en el circuito da lugar a una intensidad inducida i=εεεε/R
4.3.1.- Generador de corriente alterna
( ) ( )=
+−=
⋅−=
Φ−=
dt)tcos(SBNd
dtSB·Nd
dtd ϕω
εrr
ωt+ φ
rS
rB
N S
ω ω ω ω
S
B
ωωωω t + φ
Velocidad de giro:ωωωω
pulsación
)tn(es)BNS( ϕ+ωω=)t(cos(dtd
BNS ϕω +−=
4.3.1.- Generador de corriente alterna
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
• Periodo T = 2ππππ/ωωωω (s)
• Frecuencia f = 1/T (Hz)
• Pulsación ωωωω = 2ππππf (rad/s)
• Fase (ωωωω t + ϕϕϕϕ)
• Fase inicial ϕϕϕϕ (grados)
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ)
ωt
T
ϕϕϕϕ
E0
e(t)
e(t) = E0 sen(ωωωωt)
wt
EMAX = E0
EMIN=- E0
e
EMed = 0
Eef
2ππππ
Valor de cresta máximo
Valor de cresta mínimo
Valor eficaz
Valor medio
ECC
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
e(t) = E0 sen(ωωωωt)
∫∫∫∫====T
0mdt)t(e
T1
EValor medio:
T ωωωω = 2ππππ
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
e(t) = E0 sen(ωωωωt)
Valor eficaz: ∫∫∫∫====T
0
2
efdt)t(e
T1
E
====∫∫∫∫==== dt)t(eTE T
0
22
ef
T2E
dt)t(senE2
0T
0
22
0====ωωωω∫∫∫∫====
2E
E 0
ef====
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
Factor de Forma
Factor de Cresta
e(t) = E0 sen(ωωωωt)
22/E
EEE
F0
0
ef
Max
C============
11,1/E22/E
EE
F0
0
med
ef
f====
ππππ========
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
Aparatos de medida ���� valores eficaces
U = 220 V
f = 50 Hz
)t100(sen2202)t(u ππππ====
Receptores ���� valores eficaces
U0= 311,2 V
UCC= 622,4 V
e(t) = E0 sen(ωωωωt)
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
Se utiliza el valor eficaz de la onda senoidalcomo referencia de esta
REPRESENTACION
CARTESIANA Y
SIMBOLOGICA O POLAR
e(t) = E0 sen(ωωωωt ± ϕϕϕϕ0)e(t) = E0 cos(ωωωωt ± ϕϕϕϕ0)
REPRESENTACION
CARTESIANA DE LA
ONDA SENO
e(t) = E0 sen(ωωωωt ± ϕϕϕϕ0)
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
T
Ciclo : Onda seno2ππππ
e
ωωωωt
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
T
Ciclo : Onda seno2ππππ
e
e(t) = E0 sen(ωt)
ωωωωt
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e
Ciclo Seno en ATRASO (-)
ωωωωt
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
T
2ππππ
e
e(t) = E0 sen(ωt - ϕ0)
ϕ0
Ciclo Seno en ATRASO (-)
e(t=0) = E0 sen(- ϕϕϕϕ0)
ωωωωt
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e
Ciclo Seno en ADELANTO (+)
ωωωωt
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
T
2ππππ
e
e(t) = E0 sen(ωt + ϕ0)
ϕ0
Ciclo Seno en ADELANTO (+)
ωωωωt
e(t=0) = E0 sen(ϕϕϕϕ0)
t
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e
e(t) = E0 sen(ωt - ϕ0)
ADELANTO (+)
ATRASO (-)
ωωωωt
e
e(t) = E0 sen(ωt + ϕ0)
REPRESENTACION
CARTESIANA DE LA
ONDA COSENO
e(t) = E0 cos(ωt ± ϕ0)
t
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
t
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
T
Ciclo: Onda Coseno2ππππ
t
T
2ππππ
e
e(t) = E0 Cos(ωt)
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
ωωωωt
Ciclo: Onda Coseno
t
e
Ciclo coseno en ADELANTO (+)
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
t
e
e(t) = E0 cos(ωt + ϕ0)
ϕ0
e(t=0) = E0 cos( ϕϕϕϕ0)
ωωωωt
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
Ciclo coseno en ADELANTO (+)
t
e
Ciclo coseno en ATRASO (-)
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
t
e(t) = E0 cos(ωt - ϕ0)
ϕ0
e(t=0) = E0 cos( -ϕϕϕϕ0)
ωωωωt
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
e
Ciclo coseno en ATRASO (-)
Para representar a esta onda
se escoge el ciclo seno
ONDA ALTERNA
sen(α + π /2) = cos(α )
t
e(t) = E0 sen(ωωωωt +ϕϕϕϕ2)
ϕ1
ωωωωt
e
π /2
ϕ2
e(t) = E0 cos(ωωωωt +ϕϕϕϕ1)
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ2) = E0 sen(ωωωωt + ππππ /2+ ϕϕϕϕ1) = E0 cos(ωωωωt + ϕϕϕϕ1)
ONDA ALTERNA
sen(α + π /2) = cos(α )
t
e(t) = E0 sen(ωωωωt +ϕϕϕϕ2)
ϕ1 ωωωωt
e
π /2
ϕ2
e(t) = E0 cos(ωωωωt - ϕϕϕϕ1)
e(t) = E0 sen(ωt + ϕ2) = E0 sen(ωt + π /2 - ϕ1) = E0 cos(ωt - ϕ1)
ONDA ALTERNA
EXPRESIÓN DE FOURIERLas anteriores expresiones de la función senoidal se puede describir mediante combinación lineal de las funciones seno y coseno:
Las constantes a y b se denominan Coeficientes de Fouriery se definen por: a=e(0) y b=e(T/4) que para la función seno valen:
siendo T el período de la función senoidal.
Los Coeficientes de Fourier tienen las mismas unidades que la onda (Voltios o amperes) y cualquiera de ellos, o ambos, pueden ser negativos.
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ) = a cos(ωωωωt) + b sen(ωωωωt)
e(t) = E0 cos(ωωωωt + ϕϕϕϕ) = a cos(ωωωωt) + b sen(ωωωωt)
a = e(0) = E0 sen(ϕϕϕϕ)
b = e(T/4) = E0 sen(ππππ/2 + ϕϕϕϕ) = E0 cos(ϕϕϕϕ)
EXPRESIÓN DE FOURIER
Con las expresiones anteriores podemos pasar de un tipo de expresión a otro tipo.
e(t) = E0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ) = a cos(ωωωωt) + b sen(ωωωωt)
a = E0 sen(ϕϕϕϕ) b = E0 cos(ϕϕϕϕ)
a2 + b2 = E20 sen2(ϕϕϕϕ) + E20 cos2(ϕϕϕϕ) = E20
22
0baE ++++==== a/b = Tg (ϕϕϕϕ)
Operando con a y b:
e(t) = a cos(ωωωωt) + b sen(ωωωωt) )ba
tgarct(senba 22 ++++ωωωω++++====
A0
)tcos(A)t(ai0
ϕϕϕϕ++++ωωωω⋅⋅⋅⋅====
ωt+ϕi
ωt
ϕi
ω ω ω ω
)t(senA)t(ai0
ϕϕϕϕ++++ωωωω⋅⋅⋅⋅====
Representación simbólica senoidal
a(t) = A0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕi)
x
y
t
a(t) = A0 sen(ωωωωt)
a
Representación simbólica senoidal
Real
Imaginario
A0
ω ω ω ω
Representación simbólica senoidal
Real
Imaginario
A0
ω ω ω ω
)t(senA)t(a0
ωωωω⋅⋅⋅⋅====
Representación simbólica senoidal
ωωωωt
Versor: vector giratorio en el plano complejo
)t(senAj)t(cosAtAeAA000
)t(j
00ωωωω++++ωωωω====ωωωω======== ωωωω
Polar CartesianaExponencial
t
a
Definición de fasor
a(t) = A0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕi)
ωωωωt
φi
ωωωω
i0
)t(j
00tAeAA i ϕϕϕϕ++++ωωωω======== ϕϕϕϕ++++ωωωωVersor
Fasori0
)(j
00AeAA i ϕϕϕϕ======== ϕϕϕϕ
iAA ϕϕϕϕ====
A0
t
a
Cada fasor representa una onda senoidal distinta
a(t) = A0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕi)
ωωωωt
φi
ωωωω
i00AA ϕϕϕϕ====
A0
a(t) = A0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕi) adelanto
t
a
Cada fasor representa una onda senoidal distinta
a(t) = A0 sen(ωωωωt - ϕϕϕϕi)
ωωωωtφi
ωωωω
i00 AA ϕ−=
A0
a(t) = A0 sen(ωωωωt - ϕϕϕϕi) atraso
REPRESENTACIÓN FASORIAL DE LAS MAGNITUDES ELÉCTRICAS SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
u(t) = U0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ1)
i(t) = I0 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ2)
t
a
ωωωωt
φ2
ωωωω
100UU ϕϕϕϕ====
I0
1UU ϕϕϕϕ====
200II ϕϕϕϕ====
2II ϕϕϕϕ====
U0
φ1
φ = φ1- φ2Desfase
ϕ
REPRESENTACIÓN FASORIAL DE LAS MAGNITUDES ELÉCTRICAS SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
100UU ϕϕϕϕ====
200II ϕϕϕϕ====
U0
φ
ωωωω
I0
φ = φ1- φ2Desfase
φ
I0
U0φ
I0 U0
ωωωω
U esta retrasada respecto a I un ángulo φ
I esta adelantada respecto a U un ángulo φ
En electrotecnia, la intensidad se refiere a la tensión
φ = φ1- φ2Desfase
φI0 U0
ωωωω
I esta adelantada respecto a U un ángulo φ (desfase -)
φI0
U0
ωωωω
I esta atrasada respecto a Uun ángulo φ (desfase +)
En electrotecnia, la intensidad se refiere a la tensión
φ = φ1- φ2Desfase
φI0 U0
ωωωω
φI0
U0
ωωωωDiagrama fasorial:
representación de los
fasores en el plano de los
números complejos
)ba
tgarct(senbaT
T2
T
2
T++++ωωωω++++====
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
e1(t) = E01 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ1)
e2(t) = E02 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ2)+
eT(t) = E0T sen(ωωωωt + ϕϕϕϕT)
= a1 cos(ωωωωt) + b1 sen(ωωωωt)
= a2 cos(ωωωωt) + b2 sen(ωωωωt)
= (a1+ a2) cos(ωωωωt) + (b1 +b2) sen(ωωωωt)
= aT cos(ωωωωt) + bT sen(ωωωωt) =
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
e1(t) = E01 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ1)
e2(t) = E02 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ2)+
eT(t) = E0T sen(ωωωωt + ϕϕϕϕT)
221
221OT )bb()aa(E +++=
21
21T bb
aatgarc
++
=ϕ
(b1+ b2) + j (a1+a2) = bT+ j aT
111011011011ajbsenEjcosEEE ++++====ϕϕϕϕ++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ====
222022022022ajbsenEjcosEEE ++++====ϕϕϕϕ++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ====
TOTT EE ϕ=
bT= b1+b2
aT=a1+a2
ϕ
EOT
21
21T bb
aatgarc
++
=ϕ
221
221OT )bb()aa(E +++=
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
e1(t)=E01sen(ωωωωt+ϕϕϕϕ1)
E01
02E
E0T
ϕ
ϕϕ
ω ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
R
=
T
T
EOT
OTE sen
OTE cos
b( +1
)b2+
2+(1a a j)
+b=
sen
1
1
O1E=
= a
1 +
+
cos= EO1 +1
b
senEO2
a 2
2
2=
O2E cos =2
1
j
T
2
t
=e eT
senE0T t +( )
T
ϕ=1
sen01E ( +tω
1)e
2e senE= 02 ω( t + )ϕ
2
b1b2
1a
2a
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
e1(t) = E01 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ1)
e2(t) = E02 sen(ωωωωt + ϕϕϕϕ2)
Representación simbólica
111011ajbEE ++++====ϕϕϕϕ====
222022ajbEE ++++====ϕϕϕϕ====
TTTOTTajbEE ++++====ϕϕϕϕ====
Suma Números complejos
eT(t) = E0T sen(ωωωωt + ϕϕϕϕT)
Por Fourier
Representación simbólica
EJERCICIO: En un nudo de un circuito eléctrico concurren tres
ramas, siendo el valor de las intensidades que circulan por ellas
i1, i2, iT conociéndose dos de ellas. Calcular la tercera.
i1(t) = 240 sen(314 t + 20º)
i2(t) = 210 sen(314 t + 80º)
i1(t)
i2(t)iT(t)
A
a) Por Fourier:
i1 = a1 cos(314 t ) + b1sen(314 t ) = 82,08 cos(314 t ) + 225 sen(314 t)
i2 = a2 cos(314 t ) + b2 sen(314 t ) = 206,8 cos(314 t ) + 36,466 sen(314 t)
iT = i1 + i2 = 288,9 cos(314 t ) +261,97 sen(314 t) =
Solución:
iT = 390 sen (314 t + 47,79)
)97,2619,288
tgarct314(sen97,2619,288 22 ++=
EJERCICIO: En un nudo de un circuito eléctrico concurren tres
ramas, siendo el valor de las intensidades que circulan por ellas
i1, i2, iT conociéndose dos de ellas. Calcular la tercera.
i1(t) = 240 sen(314 t + 20º)
i2(t) = 210 sen(314 t + 80º)
i1(t)
i2(t)iT(t)
A
a) Por la representación simbólica:
Solución:
j9,2889,26179,47390IT +==
j08,825,22520240I1 +==i1(t)
j8,20646,3680210I2 +==i2(t)
iT (t) = 390 sen (314 t + 47,79)
I01sen (ωωωωt+φ1) + I02sen (ωωωωt+φ2) + I03sen (ωωωωt+φ3) = 0
1ª Ley de Kirchhoff
i1 i2 i3+ + = 0
i1
i2i3
I2I1 I3 = 0+ +
Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)
EJERCICIO: Determinar la diferencia de potencial entre A y B
conociendo las tensiones uBC,uCD y uDA.
uBC(t) = 240 sen(314 t + 20º)
uCD(t) = 210 sen(314 t + 80º)
Solución:
uDA(t) = 390 sen(314 t + 48º)
D A
BC
UCD
DAU
ABU
BCU
j08,825,22520240UBC +==
j8,20646,3680210UCD +==
j9,2889,26148390UDA +==
j8,5778,52348780UAB +==−
j8,5778,523228780UAB −−==
uAB (t) = 780 sen (314 t + 228)
uAB + uBC + uCD + uDA= 0 uBC + uCD + uDA= - uAB
UABsen (ωωωωt+φAB) + UBCsen (ωωωωt+φBC) + UCDsen (ωωωωt+φCD) + UDAsen (ωωωωt+φDA) = 0
D A
BC
UCD
DAU
ABU
BCU
2ª Ley de Kirchhoff
uAB uBC uCD uDA+ + + = 0
UBCUAB UCD+ + UDA+ = 0
Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)
Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)
1ª Ley de Kirchhoffi1
i2i3
Las leyes de Kirchoff son aplicables a las ondas y también a los fasores
2ª Ley de KirchhoffD A
BC
UCD
DAU
ABU
BCU
uAB + uBC + uCD + uDA= 0
i1 + i2 + i3 = 0
FIN
TEMA 4