CAPITOLO 1

Elementi di Geometria Analitica del Piano e delloSpazio

0.0.1 Vettori nel piano e nello spazio

Vettori applicatiDati due punti A e B nel piano, denotiamo

−→AB il segmento

orientato il cui primo estremo e A ed il secondo estremo e B.

Diciamo che tale segmento orientato e un vettore applicatoin A, con secondo estremo B e lo rappresentiamo come unafreccia che parte da A e termina in B.A questa semplice nozione possiamo associare tre importantielementi:

1. una direzione, che e quella della retta AB.

2. un verso, che e quello individuato percorrendo il segmentoda A verso B.

3. un numero reale, detto modulo del vettore e denotatoAB, che esprime la lunghezza del segmento AB, calcolatarispetto ad una assegnata unita di misura.

Il segmento orientato−→BA e detto opposto di

−→AB e denotato

−−→AB. Diciamo che due segmenti orientati sono paralleli se ap-partengono a rette parallele.Due segmenti orientati e paralleli, applicati in punti distinti,

−→AB

e−−→CD hanno lo stesso verso se, tracciata la retta AC, i punti B

e D appartengono ad uno solo dei due semipiani delimitati dalla

1

retta AC. Inoltre due segmenti orientati hanno lo stesso modulose i segmenti corrispondenti hanno la stessa lunghezza.

Due vettori−→AB e

−−→CD sono detti equipollenti se hanno la

stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo. In tal casoscriviamo

−→AB ∼ −−→CD.

Denotiamo V 2O l’insieme dei vettori applicati in un punto O del

piano.Il vettore applicato in O, il cui secondo estremo coincide ancoracon O, e denotato

−→O e chiamato il vettore nullo di V 2

O.

Due vettori−→OA e

−−→OB sono detti allineati se i punti O,A,B sono

allineati.Nell’insieme dei vettori appplicati in O possiamo introdurre dueoperazioni, denominate somma e prodotto per uno scalare.

Somma di vettoriDati due vettori

−→OA,−−→OB ∈ V 2

O, si dice somma dei due vet-tori, denotata −→

OA+−−→OB,

il vettore−→OC, tale che:

1. se A e B non sono allineati con O, allora C e il quartovertice del parallelogramma che ha come lati

−→OA e

−−→OB;

2. se A e B sono allineati con O, allora C e il secondo estremodel vettore applicato in A, con la stessa lunghezza e lostesso verso di

−−→OB.

Il procedimento al punto 1 e noto come regola del paral-lelogrammo. Notiamo che la costruzione data al punto 2 puoessere utilizzata anche per il punto 1, ottenendo lo stesso risul-tato; in altre parole la somma di

−→OA e

−−→OB e il vettore

−→OC, ove

C e il secondo estremo del vettore applicato in A ed equipollentea−−→OB (oppure applicato in B ed equipollente ad

−→OA).

2

Questo secondo procedimento e noto come regola del trian-golo.

Dalla definizione segue facilmente che−→OA + (−−→OA) =

−→O e

−→OA+

−→O =

−→OA.

Rispetto a tale operazione gli elementi di V 2O hanno proprieta

analoghe a quelle degli elementi di Z, insieme degli interi rela-tivi, rispetto alla usuale somma tra interi.In particolare valgono le seguenti proprieta:

1. associativa:(−→OA+

−−→OB) +

−→OC =

−→OA+ (

−−→OB +

−→OC)

2. di esistenza dello zero :−→OP +

−→O =

−→OP

3. di esistenza dell’ opposto: per ogni vettore−→OP esiste un

unico vettore−−→OP ′ tale che

−→OP +

−−→OP ′ =

−→O . Il vettore

−−→OP ′

e detto l’opposto di−→OP e denotato −−→OP .

4. commutativa:−→OA+

−−→OB =

−−→OB +

−→OA.

Avendo definito la somma di due vettori applicati in O, vienespontaneo pensare alla differenza. Chiamiamo differenza didue vettori

−→OA e

−−→OB il vettore

−→OA − −−→OB =

−→OA + (−−−→OB).

Pertanto la differenza consiste nella somma del primo vettorecon l’opposto del secondo vettore.

Prodotto per uno scalare

Dati un vettore−→OP ∈ V 2

0 ed uno scalare λ ∈ R, si dice

prodotto di−→OP per λ, denotato λ

−→OP , il vettore

−→OQ, tale che:

1.−→OQ =

−→O se λ = 0 oppure

−→OP =

−→O .

2. nel caso di λ 6= 0 e−→OP 6= −→O , il vettore che ha la stessa

direzione di−→OP , lo stesso verso o l’opposto a seconda che

risulti λ > 0 oppure λ < 0 e modulo dato da | λ | OP .

3

Valgono le proprieta:

1. distributiva rispetto alla somma in V 20 : λ(

−→OA +

−−→OB) =

λ−→OA+ λ

−−→OB;

2. distributiva rispetto alla somma in R: (λ+µ)−→OA = λ

−→OA+

µ−→OA;

3. associativa mista: (λµ)−→OA = λ(µ

−→OA);

4. dell’unita: 1−→OA =

−→OA.

Combinazione lineare di vettori

Dati due vettori−→OA,

−−→OB di V 2

O e due scalari λ, µ ∈ R, si

definisce combinazione lineare dei vettori−→OA e

−−→OB con coeffi-

cienti λ, µ il vettore:λ−→OA+ µ

−−→OB. (1)

I numeri λ e µ sono le componenti del vettore rispetto ad−→OA e−−→

OB.Dalle definizioni e dalle operazioni enunciate segue che tale vet-tore e ancora un elemento di V 2

O.Viceversa si puo dimostrare che ogni vettore di V 2

O puo essereespresso nella forma (1). Vale infatti il seguente teorema.

Teorema 1 Siano−→OA e

−−→OB due vettori arbitrari, non allineati;

allora ogni vettore−→OP puo essere scritto in uno ed un solo modo

nella forma −→OP = λ

−→OA+ µ

−−→OB. (2)

con λ e µ opportuni numeri reali.

Dim. Dalla condizione che−→OA e

−−→OB non sono allineati, ne

segue che il vettore nullo−→O puo essere scritto in modo unico

nella forma −→O = 0

−→OA+ 0

−−→OB. (3)

4

Dimostriamo, ora, che un vettore−→OP puo essere espresso univo-

camente nello forma (2). Supponiamo, per assurdo, che valganole due relazioni:

−→OP = λ

−→OA+ µ

−−→OB.

e −→OP = λ′

−→OA+ µ′

−−→OB.

per opportuni λ, λ′, µ, µ′ ∈ R. Sottraendo membro e mebro laseconda dalla prima relazione, si ottiene

−→O = (λ− λ′)−→OA+ (µ− µ′)−−→OB

e quindi, per la (3), λ = λ′ e µ = µ′.Dimostriamo, ora, l’esistenza della (2). Siano r ed s le rette OAe OB.Si presentano due casi:

1.−→OP giace su una delle rette, per esempio r. In tal caso−→OP = α.

−→OA ove α e il rapporto dei moduli OP e OA

con segno positivo o negativo a seconda che i due vet-tori abbiano o non abbiano lo stesso verso. Poiche

−→OP =

α−→OA + 0

−−→OB, ne segue che

−→OP puo essere scritto nella

forma (2).

2. Il vettore−→OP non giace su una delle rette. In tal caso,

denotiamo A′(B′) l’intersezione della retta r(s) con la par-allela alla retta s(r) passante per P . Chiaramente risulta

−→OP =

−−→OA′ +

−−→OB′ =

λ−→OA+ µ

−−→OB.

per opportuni coefficienti reali λ e µ, cosı completando la di-mostrazione.

2

Osserviamo che la nozione di combinazione lineare puo essereestesa al caso di n vettori, con n > 2. Inoltre le nozioni e

5

proprieta relative agli elementi di V 2O possono essere estese ai

vettori applicati in un punto O dello spazio, il cui insieme edenotato V 3

O.

Vettori nel piano e nello spazio

La relazione di equipollenza tra vettori applicati nel pianoe nello spazio e una relazione di equivalenza, poiche gode delleproprieta:

1. riflessiva:−→AB ∼ −→AB

2. simmetrica: se−→AB ∼ −−→CD, allora

−−→CD ∼ −→AB.

3. transitiva: se−→AB ∼ −−→CD e

−−→CD ∼ −→EF , allora

−→AB ∼ −→EF .

Chiamiamo vettore libero (o geometrico) o semplicementevettore ogni classe di equivalenza introdotta nell’insieme deisegmenti orientati nel piano o nello spazio dalla relazione diequipollenza.Un vettore di modulo 1 e detto versore.Si puo osservare che un vettore libero ha infiniti vettori applicatiche lo rappresentano, uno per ogni punto dello spazio.In particolare, fissato nel piano un punto arbitrario O e consid-erato un vettore applicato

−→AB, esiste uno ed un solo vettore

−→OC

equipollente ad−→AB.

Se il vettore u¯

e rappresentato dal vettore−→OC, possiamo scri-

vere u¯

=−→OC.

Denotiamo V 2 e V 3 l’insieme dei vettori liberi del piano e dellospazio rispettivamente.Dalla definizione possiamo trasferire agli elementi di V 2 e V 3 leoperazioni di somma e prodotto per uno scalare definite per ivettori applicati.

0.0.2 Riferimenti cartesiani

Su una retta

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Sia r una retta, O un punto di r ed i¯

un vettore di r, di mod-ulo 1, applicato in O. Assegnamo ad r un verso di percorrenzache coincide con quello di i

¯e fissiamo su r una unita di misura

che coincide con la lunghezza del vettore i¯. Allora ad ogni punto

A di r corrisponde il vettore applicato−→OA che sara multiplo di

i¯

secondo un numero reale x, ovvero−→OA = xi

¯.

Il sistema costituito dal punto O e dal versore i¯

e detto sistemadi riferimento cartesiano sulla retta r e denotato (O;x) oanche (O; i

¯). Il punto O e origine del sistema di riferimento ed

il numero x e ascissa del punto A rispetto al sistema (O;x).

Nel pianoSia π un piano, i

¯e j

¯due versori paralleli a π, ortogonali tra

loro e tali che l’angolo convesso i¯j¯

valga +π2.

Ricordiamo che un angolo convesso e la parte di piano individu-ata da due semirette aventi la stessa origine, che non contiene alsuo interno il prolungamento delle semirette. In caso contrarioe detto concavo.Siano r ed s due rette, incidenti in un punto O, orientate econcordi con i

¯e j

¯;

Ad ogni punto A del piano corrisponde il vettore−→OA di

componenti x ed y rispetto ad i¯

e j¯, ovvero

−→OA = xi

¯+ yj

¯.

I coefficienti x e y sono le coordinate di A, rispettivamentel’ascissa e l’ordinata, e le due rette r ed s costituiscono l’assedelle ascisse e l’asse delle ordinate. Il sistema costituito dalpunto O, detto origine, e dai versori i

¯e j

¯e detto sistema di rifer-

imento cartesiano nel piano e denotato (O;x, y) o anche (O; i¯, j¯).

Il sistema e monometrico, ovvero sulle due rette e assegnata lastessa unita di misura. Si conviene che i

¯e j

¯abbiano la stessa

lunghezza e che tale lunghezza sia l’unita di misura.Si e quindi stabilita una corrispondenza biunivoca tra l’insiemedei punti del piano e l’insieme R2 = {(a, b) | a, b ∈ R} delle

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coppie ordinate di numeri reali.

Nello spazioAngolo di due retteDue rette r ed s non orientate e incidenti in un punto P

formano quattro angoli, due qualunque dei quali sono o ugualio supplementari. Le due rette formano due angoli convessi.Supponiamo, ora, che le rette siano orientate, ovvero sia fissatoun vettore direttore per ogni retta. In tal caso l’angolo e quelloconvesso fissato dalle due semirette positive uscenti da P e sit-uate su r ed s.Consideriamo il caso in cui le due rette orientate siano sghembe.Sia A un punto arbitrario dello spazio ed r′, s′ due rette passantiper A, con la stessa direzione e verso di r ed s rispettivamente.Ricordiamo che due rette orientate e parallele hanno lo stessoverso se tale condizione si verifica per due vettori appartenentialle rette date, con verso concorde al verso delle rette.Definiamo angolo delle rette r ed s l’angolo convesso formatodalle due semirette positive uscenti da A e individuate su r′ es′.

Un riferimento cartesiano nello spazio, denotato (O;x, y, z)oppure (O; i

¯, j¯, k¯), e costituito da un punto O e da tre versori

i¯, j¯, k¯, applicati in O, a due a due ortogonali che formano una

terna destrorsa; in tal caso deve verificarsi che un osservatore,posto al secondo estremo di k

¯, vede descrivere l’angolo convesso

i¯j¯

ruotando in senso antiorario i¯

fino a sovrapporsi a j¯.

Il sistema e monometrico, ovvero sulle tre rette e assegnata lastessa unita di misura, in particolare il segmento non orientatoassociato ad i

¯.

Le tre rette, denotate rispettivamente asse x, asse y, asse z, cos-tituiscono gli assi fondamentali del sistema dato.Ricordiamo che, dato, nello spazio, un punto P ed una retta r,la proiezione ortogonale di P su r e il punto P ′, intersezione dir con il piano passante per P e perpendicolare ad r.

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Siano A,B,C i punti proiezione ortogonale di P sugli assi fon-damentali. Le misure dei segmenti orientati

−→OA,

−−→OB ed

−→OC,

sono le coordinate di P , rispettivamente l’ascissa, l’ordinata ela quota.Viceversa, ad ogni terna ordinata di numeri reali corrisponde unpunto dello spazio, ottenuto ripetendo al contrario il precedenteprocedimento.

E stata ottenuta quindi una corrispondenza biunivoca tral’insieme dei punti dello spazio e l’insieme R3 = {(a, b, c) |a, b, c ∈ R} delle terne ordinate di numeri reali.

Rappresentazione cartesiana di vettori

Dato un punto P e univocamente determinato il segmentoorientato

−→OP e il vettore libero v

¯rappresentato da

−→OP ; possi-

amo allora scrivere v¯

=−→OP .

SianoA,B,C le proiezioni ortogonali di P rispettivamente sull’assex, sull’asse y e sull’asse z e sia P1 la proiezione ortogonale di Psul piano xy. Si puo stabilire che

−−→OB e equipollente a

−−→AP1 e−→

OC e equipollente a−−→P1P .

E facile stabilire che−→OP =

−→OA+

−−→AP1 +

−−→P1P=

−→OA+

−−→OB+

−→OC; i

numeri OA = x, OB = y e OC = z sono le coordinate cartesianedel punto P . Vale pertanto la relazione

v¯

= x.i¯

+ yj¯

+ zk¯

detta rappresentazione cartesiana del vettore libero v¯.

Tale scrittura e molto utile nel calcolo delle operazioni disomma e prodotto per uno scalare.Per la somma di vettori, assegnato il vettore w

¯= x′i

¯+ y′j

¯+ z′k

¯,

si hav¯

+ w¯

= (x+ x′)i¯

+ (y + y′)j¯

+ (z + z′)k¯,

mentre per il prodotto con lo scalare λ otteniamo

λv¯

= λxi¯

+ λyj¯

+ λzk¯.

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Poiche il vettore v¯

e univocamente determinato dai coefficientix, y, z, possiamo anche scrivere v

¯= (x, y, z).

Esempio. Si consideri, nel piano, il vettore−→AB, ove A =

(2, 4) e B = (5, 6). Poiche−→AB =

−−→OB − −→OA, ne segue

−→AB =

5i¯

+ 6j¯− (2i

¯+ 4j

¯) = 3i

¯+ 2j

¯, e anche

−→AB = (3, 2).

0.0.3 Prodotto scalare di vettori

Siano u¯, v¯

due vettori di V 2 oppure V 3. Chiamiamo prodottoscalare di tali vettori il numero reale

u¯· v¯

=‖ u¯‖ . ‖ v

¯‖ .cosu

¯v¯.

ove u¯v¯

denota l’angolo convesso formato da u¯

e v¯

ed ‖ u¯‖ e

‖ v¯‖ i moduli di u

¯e v

¯.

Osserviamo che, poiche due vettori liberi sono rappresentatida vettori applicati in un punto arbitrario, allora il prodottoscalare di due vettori liberi coincide con il prodotto scalare deicorrispondenti vettori applicati in O.Naturalmente se uno dei due vettori e il vettore nullo, l’angoloconvesso e indeterminato; tuttavia dalla definizione segue che

u¯· 0¯

= 0.

Nel caso in cui nessuno dei due e il vettore nullo, segue dalladefinizione che

cosu¯v¯

=u¯· v¯

‖ u¯‖ . ‖ v

¯‖

Poiche | cosu¯v¯|≤ 1, ne segue la disuguaglianza di Cauchy-

Schwarz:| u

¯· v¯|≤‖ u

¯‖ . ‖ v

¯‖ .

Valgono, inoltre, le proprieta di

1. simmetria: u¯· v¯

= v¯· u¯;

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2. omogeneita: (λu¯) · v

¯= u

¯· (λv

¯) = λ(u

¯· v¯).

3. distributivita: u¯· (v

¯+ w

¯) = u

¯· v¯

+ u¯· w

¯.

4. positivita: v¯· v¯≥ 0 e v

¯· v¯

= 0 se e solo se v¯

= 0¯.

Si ha inoltre che due vettori non nulli sono perpendicolarise e solo se cosu

¯v¯

= 0, ovvero

u¯· v¯

= 0.

Sia u¯

un vettore non nullo di R3. Per ogni vettore v¯∈ R3,

la proiezione ortogonale di v¯

sulla retta individuata da u¯

e ilvettore

pu¯

(v¯) =

v¯.u¯

u¯.u¯

u¯.

Si puo dimostrare che ogni versore v¯∈ R3 puo essere scritto

nella formav¯

= cosαi¯

+ cosβj¯

+ cosγk¯

ove α, β, γ sono gli angoli di v¯

e dei vettori i¯, j¯, k¯

rispettivamente.I coefficienti cosα, cosβ, cosγ sono detti coseni direttori di v

¯.

Rappresentazione cartesiana del prodotto scalare

Sia (O; i¯, j¯, k¯) un sistema di riferimento cartesiano dello spazio.

Si stabilisce facilmente che i¯· i¯

= j¯· j¯

= k¯· k

¯= 1 e inoltre

i¯· j¯

= i¯· k¯

= j¯· k¯

= 0.

Dati i vettori u¯

= x1.i¯

+ y1.j¯

+ z1.k¯

e v¯

= x2.i¯

+ y2.j¯

+ z2.k¯, si

ottiene

u¯· v¯

= (x1i¯

+ y1j¯

+ z1k¯) · (x2i

¯+ y2j

¯+ z2k

¯) =

x1x2i¯· i¯

+ x1y2i¯· j¯

+ x1z2i¯· k¯

+

+y1x2j¯· i¯

+ y1y2j¯· j¯

+ y1z2j¯· k¯

+

+z1x2k¯· i¯

+ z1y2k¯· j¯

+ z1z2k¯· k¯

=

11

= x1x2 + y1y2 + z1z2

che costituisce la rappresentazione cartesiana del prodotto scalareu¯· v¯.

Analoga relazione vale nel caso di due vettori del piano.

Si puo inoltre osservare che ‖ u¯‖= √u

¯· u¯

=√x2

1 + y21 + z2

1 .

0.0.4 Prodotto vettoriale di vettori

Siano u¯, v¯∈ V 3. Chiamiamo prodotto vettoriale di tali vettori il

vettore denotatou¯× v

¯definito nel seguente modo:

1. u¯× v

¯= 0

¯se u

¯e v

¯sono paralleli;

2. altrimenti u¯× v

¯ha:

• modulo: ‖ u¯‖‖ v

¯‖ sinu

¯v¯

• direzione: ortogonale sia a u¯

che a v¯.

• verso: tale per cui la terna (u¯, v¯, u¯× v

¯) sia destrorsa.

Osserviamo che l’annullarsi del prodotto vettoriale dei vet-tori u

¯e v

¯caratterizza il parallelismo di tali vettori.

Inoltre si puo dimostrare che il modulo del vettore u¯×v

¯coincide

con l’area del parallelogrammo costruito su u¯

e v¯.

Valgono, infine, le seguenti proprieta di:

1. antisimmetria: u¯× v

¯= −v

¯× u

¯.

2. omogeneita: (ku¯)× v

¯= u

¯× (kv

¯) = k(u

¯× v

¯), ove k ∈ R.

3. distributivita rispetto alla somma in V 3: (u¯

+ v¯) × w

¯=

u¯× w

¯+ v

¯× w

¯e analogamente per u

¯× (v

¯+ w

¯).

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Rappresentazione cartesiana del prodotto vettoriale

In relazione alla terna i¯, j¯, k¯

si verifica che i¯× i

¯= j

¯× j

¯=

k¯× k

¯= 0

¯, i

¯× j

¯= k

¯, j

¯× k

¯= i

¯, k¯× i

¯= j

¯e inoltre j

¯× i

¯= −k

¯,

k¯× j

¯= −i

¯, i¯× k

¯= −j

¯.

Pertanto, dati u¯

= x1i¯

+ y1j¯

+ z1k¯

e v¯

= x2i¯

+ y2j¯

+ z2k¯, con

semplici calcoli si ottiene

u¯× v

¯= (y1z2 − y2z1)i

¯− (x1z2 − x2z1)j

¯+ (x1y2 − x2y1)k

¯.

0.0.5 Prodotto misto

Dati i vettori u¯, v¯,w

¯∈ V 3, definiamo prodotto misto di tali

vettori il numero :u¯· v¯× w

¯.

Non e necessario precisare una priorita tra le due operazioni,poiche necessariamente si dovra prima operare il prodotto vet-toriale e poi il prodotto scalare.Si verifica che tale prodotto vale zero se e soltanto se u

¯, v

¯, w

¯sono complanari.

0.1 Elementi di Geometria analitica

del piano e dello spazio

0.1.1 Elementi di Geometria analitica del pi-ano

Iniziamo con alcuni elementi della geometria della retta. Denoti-amo r una retta alla quale e assegnato un riferimento cartesianoche indichiamo (O; i

¯).

Distanza di due punti

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Siano A = (a) e B = (b) due punti di r. Poiche−→AB =

−→AO+

−−→OB = −−→OA+

−−→OB ne segue che la lunghezza del segmento

orientato−→AB vale b− a.

Punto medio di un segmento

Sia M = (x) il punto medio del segmento AB. Allora lelunghezze dei segmenti AM e MB devono coincidere, ovverox− a = b− x, da cui x = a+b

2.

TraslazioneSe l’origine e spostata in un punto O′ = (a) e un generico puntoP ha ascissa x ed x′ rispetto ai due diversi riferimenti, il legametra le due ascisse vale x = a+ x′; tale equazione rappresenta latraslazione da O ad O′.

Supponiamo, ora, assegnato un sistema di riferimento carte-siano ortogonale (O; i

¯, j¯) nel piano.

Distanza di due punti

Siano A = (a1, a2) e B = (b1, b2) due punti del piano. Poiche

risulta−→AB =

−→AO+

−−→OB = −−→OA+

−−→OB = (b1− a1).i

¯+ (b2− a2).j

¯ne segue che la distanza dei due punti A e B, ovvero il modulodel vettore AB

¯vale√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2.

Punto medio di un segmento

Sia M = (x, y) il punto medio del segmento AB, ove A =(a1, a2) e B = (b1, b2) sono punti distinti del piano. DenotiamoA′,M ′, B′ le proiezioni ortogonali dei punti A,M,B sull’asse x.Per il teorema di Talete, se M e punto medio del segmento AB,allora M ′ e punto medio del segmento A′B′. Pertanto

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x =a1 + b1

2

In modo analogo si ottiene

y =a2 + b2

2.

Rappresentazione analitica di una retta nel pianoUna retta r puo essere univocamente individuata:

1. da un punto P = (x0, y0) e da un vettore u¯, non nullo, ad

essa ortogonale;

2. da un punto P = (x0, y0) e da un vettore non nullo v¯

adessa parallelo;

3. da due punti distinti.

Primo caso

Sia u¯

= a.i¯

+ b.j¯; allora un punto Q = (x, y) appartiene alla

retta r se e soltanto se i vettori u¯

e P¯Q sono ortogonali, ovvero

seu¯· P

¯Q = 0.

Tale equazione, detta equazione vettoriale della retta, eespressa dalla equazione

a.(x− x0) + b.(y − y0) = 0,

che equivale aa.x+ b.y + c = 0,

ove c = −a.x0−b.y0. L’equazione e detta equazione cartesianao anche equazione generale della retta.

Secondo caso

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Denotiamo v¯

= li¯

+ mj¯; in questo caso un punto Q = (x, y)

appartiene alla retta r se e soltanto il vettore PQ¯

e multiplo div¯, ovvero se esiste un numero reale t per cui P

¯Q = t.v

¯. Passando

alle coordinate cartesiane otteniamo le equazioni{x = x0 + l.ty = y0 +m.t

dette equazioni parametriche della retta r. I numeri l,msono detti parametri direttori della retta r. Notiamo chenelle precedenti considerazioni il vettore v

¯potrebbe essere sos-

tituito da un qualsiasi vettore v¯′ multiplo di v

¯. Pertanto esistono

infinite equazioni parametriche della retta assegnata.

Terzo caso

Dati due punti distinti A = (x1, y1) e B = (x2, y2), si di-mostra che la retta AB puo essere rappresentata dalla equazione

(y − y1)(x2 − x1)− (x− x1)(y2 − y1) = 0

oppure dalla equazione vettoriale

−→OQ =

−→OA+ t.u

¯,

ove Q = (x, y), u¯

= (x2 − x1, y2 − y1) e t ∈ R; ne segue larappresentazione parametrica{

x = x1 + (x2 − x1).ty = y1 + (y2 − y1).t

.

Una retta r del piano puo anche essere rappresentata dalleseguenti equazioni:

1. canonica: y = m.x + q, ove m e il coefficiente angolaredella retta, ovvero m = tan xr. In questo caso si supponeche r non sia parallela all’asse y.

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2. segmentaria: xp+yq

= 1, ove p e q sono le misure con segnodei segmenti non nulli intercettati sugli assi coordinati.Osserviamo che in questo caso la retta r non passa perl’origine.

Condizioni di parallelismo e perpendicolarita.

Siano (a, b) e (a′, b′) i parametri direttori di due rette r ed s;allora tali rette sono parallele se e solo se (a, b) = k.(a′, b′) ovek ∈ R e sono perpendicolari se e solo se a.a′ + b.b′ = 0.Se m1 ed m2 sono i coefficienti angolari di tali rette, esse risul-tano parallele se m1 = m2 e perpendicolari se m1 = − 1

m2.

Distanza di un punto da una retta.

Si consideri il punto P = (x0, y0) e la retta r : ax+ by + c =0. Si definisce distanza del punto P dalla retta r la misuradel segmento che ha per estremi il punto P e la sua proiezioneortogonale P ′ sulla retta. Con semplici calcoli si ottiene che taledistanza misura:

| a.x0 + b.y0 + c |√a2 + b2

.

Asse di un segmento.

Dati nel piano due punti distinti A e B, il luogo dei punti delpiano equidistanti da A e da B costituisce una retta, che prendeil nome di asse del segmento AB. Tale retta passa per il puntomedio del segmento AB ed e perpendicolare alla retta AB.

Fascio di retteSiano r ed s due rette distinte, incidenti in un punto P ;

definiamo fascio proprio di rette individuato da r e s l’insiemedi tutte le rette che passano per P .Se r ed s sono rappresentate rispettivamente dalle equazioniax+ by+ c = 0 e a′x+ b′y+ c′ = 0, allora tale fascio e l’insieme

17

di tutte le rette del piano la cui equazione cartesiana puo essereespressa come combinazione lineare delle equazioni di r ed s:

λ(ax+ by + c) + µ.(a′x+ b′y + c′) = 0

ove λ e µ sono parametri reali non contemporaneamente nulli.Nel caso in cui le due rette r e s siano parallele il fascio indi-viduato da tali rette e l’insieme di tutte le rette parallele ad r.In questo caso l’equazione che rappresenta il generico piano delfascio risulta

ax+ by + k = 0

ove k e un generico numero reale. In questo caso il fascio e dettoimproprio.

Traslazione

Sia O′ un punto distinto da O; chiamiamo traslazione individ-

uata dal segmento orientato−−→OO′ la corrispondenza che associa

ad un punto Q il punto Q′ tale che il segmento orientato−−→QQ′

sia equipollente al segmento−−→OO′.

Denotiamo (O′;X, Y ) un nuovo sistema di riferimento carte-siano ortogonale, ottenuto spostando l’origine O nel punto O′ elasciando invariata la direzione e il verso degli assi x ed y.

Sia O′ = (a, b) e P un punto qualsiasi del piano, di coordi-nate (x, y) e (X, Y ) rispetto ai due diversi sistemi di riferimento.Vogliamo determinare il legame tra le due coppie di coordinate.

A tal scopo basta osservare che vale la relazione−→OP =

−−→OO′

+−−→O′P , che, in termini di coordinate, implica (x, y) = (a, b) +

(X, Y ) e quindi le equazioni

x = X + a

y = Y + b.

18

Tali equazioni sono chiamate le equazioni della traslazione.

Esempio. Determinare le coordinate del punto P = (2,−3)rispetto alla nuova origine O′ = (1, 0).In questo caso le equazioni della traslazione sono x = X+1, y =Y ; si ha pertanto X = 1, Y = −3.

0.1.2 Elementi di Geometria Analitica delloSpazio

Primi elementi

Supponiamo assegnato un sistema di riferimento cartesiano or-togonale monometrico (O; i

¯, j¯, k¯) nello spazio.

Distanza di due punti, punto medio di un segmentoSeguendo un procedimento perfettamente analogo a quello uti-lizzato nel caso del piano possiamo stabilire che la distanza didue punti A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) vale√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2.

e, inoltre, il punto medio del segmento AB, risultaM = (a1+b1

2, a2+b2

2, a3+b3

2).

Equazione vettoriale ed equazione cartesiana di un pi-ano

Sia π un piano, P = (x0, y0, z0) un punto di π e v¯

= a.i¯+b.j

¯+c.k

¯un vettore non nullo ad esso ortogonale.Osserviamo che un punto Q = (x, y, z) appartiene a π se esoltanto se il vettore P

¯Q e ortogonale a v

¯, ovvero

v¯· P

¯Q = 0. (4)

Tale equazione e detta equazione vettoriale del piano π.Passando alla rappresentazione cartesiana dei vettori v

¯e PQ

¯

19

ovvero v¯

= (a, b, c) e PQ¯

= (x − x0, y − y0, z − z0) si ottienel’equazione

a.(x− x0) + b.(y − y0) + c.(z − z0) = 0. (5)

detta equazione cartesiana del piano.

I numeri a, b, c sono detti parametri direttori del piano;essi non sono univocamente determinati, ma possono essere sos-tituiti da una terna di numeri ad essi proporzionali.

Rappresentazione parametrica di un piano

Un piano α puo anche essere fissato univocamente dal passaggioper un punto P = (x0, y0, z0) e dal parallelismo a due vettori u

¯e v

¯, non paralleli. In particolare possiamo supporre u

¯=−→PQ

e v¯

=−→PR, ove Q = (x1, y1, z1) e R = (x2, y2, z2) sono due

punti non allineati con P . Ne viene che un punto S = (x, y, z)appartiene al piano se risulta

−→OS =

−→OP +

−→PS =

−→OP + s.u

¯+ t.v

¯per opportuni valori dei parametri reali s e t. Si stabilisce quindiuna corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppieordinate di numeri reali. Tale equazione costituisce una rapp-resentazione parametrica del piano, ove P e il punto inizialeed i vettori u

¯e v

¯determinano la giacitura.

Ponendo u¯

= (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = (m1, n1, p1) e v¯

=(x2 − x0, y2 − y0, z2 − z0) = (m2, n2, p2) e sviluppando i conti, siottiene il sistema formato dalle tre equazioni

x = x0 +m1.s+m2.ty = y0 + n1.s+ n2.tz = z0 + p1.s+ p2.t

.

che costituisce un sistema di equazioni parametriche del piano.

20

Rappresentazione di una retta

Sia r una retta che passa per l’origine O e v¯

= (a, b, c) un vettore,non nullo, applicato nell’origine, che giace su r. Allora un puntoQ = (x, y, z) variabile su r verifica l’equazione vettoriale

−→OQ = t.v

¯,

ove t e parametro reale. Ne segue il sistema di equazioni para-metriche:

x = aty = btz = ct

che rappresenta la retta r.La terna (a, b, c) costituisce una terna di parametri direttoridi r. Se sostituiamo il vettore v

¯con un altro vettore non nullo

w¯

= (a′, b′, c′), applicato nell’origine, che giace su r, ripetendolo stesso procedimento, possiamo rappresentare la retta r con ilsistema

x = a′ty = b′tz = c′t

.

La terna (a′, b′, c′) e ancora una terna di parametri direttori dir, proporzionale alla terna (a, b, c), ovvero (a′, b′, c′) = k(a, b, c)per un opportuno valore reale k.Ne segue che i parametri direttori di una retta r sono definiti ameno di un fattore di molteplicita.

Supponiamo che la retta r non passi per l’origine. Sia P =(x0, y0, z0) un punto di r e v

¯= (a, b, c) un vettore parallelo ad

r. Un generico punto Q = (x, y, z) di r verifica la relazione

−→OQ =

−→OP +

−→PQ =

−→OP + t.u

¯,

con t reale.

21

Sviluppando i conti, si ottiene che la retta r e rappresentatadal sistema di equazioni parametriche

x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct

.

Dati due punti distinti A = (x0, y0, z0) e B = (x1, y1, z1) il

vettore v¯

=−→AB ha coordinate (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0); tali

valori sono i parametri direttori della retta AB, che risulta rap-presentata dal sistema

x = x0 + (x1 − x0)ty = y0 + (y1 − y0)tz = z0 + (z1 − z0)t

.

Eliminando il parametro t nelle precedenti equazioni si ottieneun sistema di due equazioni nelle coordinate cartesiane x, y, z.Pertanto ogni retta nello spazio puo essere rappresentata medi-ante un sistema di due equazioni della forma{

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

tali che (a′, b′, c′) 6= k.(a, b, c) per ogni numero reale k, che pren-dono il nome di equazioni cartesiane della retta. Si puo no-tare che ogni retta dello spazio puo essere rappresentata medi-ante equazioni cartesiane in infiniti modi; basta considerare duepiani distinti che la contengono.

Coseni direttori di una retta orientataI coseni direttori di una retta orientata r sono i coseni degli

angoli formati con gli assi coordinati, ovvero gli angoli xr, yr, zr.Essi verificano la relazione

cosxr2 + cosyr2 + coszr2 = 1.

Se v¯

= (a, b, c) e un vettore parallelo alla retta r, ovvero se a, b, csono parametri direttori di r, allora i coseni direttori risultano

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cos xr = ± a‖v¯‖ , cos yr = ± b

‖v¯‖ , cos zr = ± c

‖v¯‖ , ove ‖v

¯‖ =

√a2 + b2 + c2. L’ambiguita del doppio segno e causata dalla

indeterminazione dell’orientazione di r.Se l’angolo zr e acuto, allora coszr > 0 e il radicale ha segnopositivo.

Condizioni di parallelismo e perpendicolarita

Ricordiamo che due rette r ed s sono dette:incidenti se si intersecano in un punto,parallele se non si intersecano, ma sono complanari,coincidenti se costituiscono la stessa retta,sghembe se non sono ne incidenti ne parallele.Inoltre una retta e parallela ad un piano se giace sul piano op-pure se non ha alcun punto in comune con il piano.Richiamiamo, ora, alcune proprieta coinvolgenti relazioni di par-allelismo e perpendicolarita tra rette e piani.

• Le infinite perpendicolari ad una retta r in un suo puntoP giacciono tutte in uno stesso piano.

• Una retta r ed un piano π sono perpendicolari se e solose ogni piano che contiene r interseca π secondo una rettaperpendicolare ad r.

• Due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono fra loroparallele.

• Se due rette sono parallele, ogni piano perpendicolare all’unae perpendicolare anche all’altra.

• Per ogni punto dello spazio passa uno ed un solo pianoperpendicolare ad una retta data.

23

• Date due rette sghembe, ovvero non parallele e non inci-denti, esiste una ed una sola retta perpendicolare ed in-cidente ad entrambe ed il segmento di questa, compresotra le rette date, e minore di qualunque altro segmentocompreso fra le rette date.

Presentiamo, ora, le relazioni che esprimono le possibili con-dizioni di parallelismo e perpendicolarita tra rette e piani intermini di parametri direttori.

1. TRA DUE RETTE.Siano r ed s due rette di parametri direttori (a, b, c) ed(a′, b′, c′) rispettivamente. Dalla definizione di parametridirettori di una retta, possiamo stabilire che la condizionedi parallelismo tra r ed s equivale alla relazione

(a′, b′, c′) = k.(a, b, c)

ove k e parametro reale, mentre la relazione di perpendi-colarita e rappresentata dalle relazione

a.a′ + b.b′ + c.c′ = 0.

2. TRA DUE PIANISiano α e β due piani di parametri direttori (a, b, c) e(a′, b′, c′) rispettivamente.Poiche i parametri direttori di un piano coincidono con iparametri direttori di una retta ortogonale al piano stesso,ne segue dal punto precedente che α e β sono paralleli see soltanto se

(a′, b′, c′) = k.(a, b, c),

per un opportuno valore reale k; inoltre la condizione diperpendicolarita tra tali piani e rappresentata dalla re-lazione

a.a′ + b.b′ + c.c′ = 0.

24

3. TRA RETTA E PIANOSia r una retta di parametri direttori (a, b, c) ed α un pianodi parametri direttori (a′, b′, c′). Si ha che la retta r eparallela al piano α se e soltanto se r e ortogonale ad unaqualsiasi retta perpendicolare ad α, per cui risulta

a.a′ + b.b′ + c.c′ = 0;

inoltre r e perpendicolare ad α se e soltanto se

(a′, b′, c′) = k.(a, b, c),

ove k e parametro reale.

Fascio di piani

Siano α e β due piani distinti, non paralleli; definiamo fascio dipiani individuato da α e β l’insieme di tutti i piani che hannoin comune la retta r intersezione di α e β.Se α e β sono rappresentati rispettivamente dalle equazioni ax+by + cz + d = 0 e a′x+ b′y + c′z + d′ = 0, allora si dimostra chetale fascio e l’insieme di tutti i piani la cui equazione cartesianapuo essere espressa come combinazione lineare delle equazionidi α e β:

λ(ax+ by + cz + d) + µ(a′x+ b′y + c′z + d′) = 0 (6)

ove λ e µ sono parametri reali non contemporaneamente nulli.Se λ 6= 0, l’equazione (6) puo essere scritta nella forma

(ax+ by + cz + d) + k.(a′x+ b′y + c′z + d′) = 0

ove k = µλ. Tale equazione pertanto rappresenta ancora il fascio

di piani di sostegno la retta r, con l’unica eccezione del pianoa′x+ b′y+ c′z + d′ = 0, che non corrisponde ad alcun valore delparametro k.

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Nel caso in cui i due piani α e β siano paralleli il fascio indi-viduato da tali piani e l’insieme di tutti i piani paralleli ad α.In questo caso l’equazione che rappresenta il generico piano delfascio risulta

ax+ by + cz + h = 0,

ove h e un generico numero reale. Nel primo caso il fascio edetto proprio, nel secondo caso improprio.

Distanza di un punto da un piano, da una retta

Si consideri un punto P = (x0, y0, z0) ed un piano α : ax +by + cz + d = 0; si definisce distanza di P da α la lunghezzadel segmento che ha per estremi il punto P e la sua proiezioneortogonale P ′ su α. Si puo dimostrare che tale distanza vale

dist(P, α) =| ax0 + by0 + cz0 + d |√

a2 + b2 + c2.

La distanza di un punto P da una retta r e la misura delsegmento che ha per estremi il punto P e la sua proiezione ortog-onale P ′ sulla retta r. In questo caso e preferibile determinareprima il piano π passante per P e ortogonale ad r, poi il puntoP ′ intersezione di π con r e infine la distanza PP ′.Si puo osservare che la distanza di due rette parallele puoessere definita e quindi calcolata come la distanza di un puntodi una delle due rette dall’altra retta.

Minima distanza di due rette sghembe

Definiamo minima distanza ( o anche semplicemente distanza)di due rette sghembe r ed s la misura del segmento staccato dar ed s sulla retta perpendicolare ed incidente ad entrambe.Si puo dimostrare che tale valore coincide anche con la distanzadi un punto P di una delle due rette, per esempio la r, dal pianoπ passante per s e parallelo ad r.

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Simmetria di un punto rispetto ad un piano, rispettoad una retta

Simmetria di un punto rispetto ad un pianoSia α un piano ed A un punto che non appartiene ad α.Sia H il punto proiezione ortogonale di A su α ovvero il puntointersezione di α con la retta passante per A e perpendicolaread α.Definiamo simmetrico di A rispetto ad α il punto A′ della rettaAH per cui H e punto medio del segmento AA′.

Simmetria di un punto rispetto ad una rettaSia r una retta nello spazio ed A un punto che non appartienead r; sia inoltre Q il punto proiezione ortogonale di A su r,ovvero il punto intersezione di r con il piano passante per A eperpendicolare ad r.Definiamo simmetrico di A rispetto ad r il punto A′ della rettaAQ per cui Q e punto medio del segmento AA′.

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