2015/08/11 数教協・全国中学校研究集会＠明星学園

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小島 順　　　　　　　　　　　　　　　　　正負の数の加減

1. はじめに

(1) 加法/減法（足し算と引き算）の話をする。当然，正負の数を対象とする。(2) 一つの数直線の上での加減を対象とする。計算の幾何学的イメージ（あるいはアナログ的な感覚）を，ここでは，強調する。(3)「一つの直線の上での加減」という場合，第一に 二つのベクトル の加減があり，第二に 点とベクトル に関する計算がある。後者は “点 ＋ ベクトル = 点”, “点 - ベクトル = 点”, ”点 - 点 = ベクトル” の三つである。(4) 表に出すのは数直線だが，真の対象は様々な量である。　(5) “長さ” の位置づけ：人間の脳は長さ処理の部位を転用しながら，各種の量を処理する。したがって，”長さ”は普遍的である。(6) ”引き算”と”符号を変えての足し算”，それぞれの意味を確認しながら両者を関連づける。(7) 本質的には ”一つの数直線” の上の計算だが，それを “計算尺” の形で実行する。それは普通の乗除計算用の対数的計算尺でなく，非対数的，加法的計算尺である。上側の固定尺と下側のスライド尺という二つの物差しのセットとして存在する。

2. GeoGebra による加減装置

2本の数直線のセットで加減の計算（足し算と引き算）を行う。GeoGebra による動的構成である。　２つの数直線は目盛りの部分で接している。上側の数直線を P尺，下側の数直線を V尺と呼ぶことにする。P尺 は固定されていて，その上で変数 a が動く。それに応じて， a の真下に V 尺の原点 0 がくるように V尺 がスライドする。その V尺 上を変数 b が動く。b の真上にある P尺上の点が和の a + b である。下に a = 7 ，b = 4のときの様子を示す。

変数を 0.1 単位で変化させる例として a = 7.3, b = 3.5 と変えてみる。

1

乗除についての対数計算尺と原理は同じである。二つのカーソル（cursor, すなわち，走るタテ線分）がある。一つは固定 P尺 上の a の位置にあり，変数（すなわち，動点）aとともに P尺 上をスライドする。このカーソルは一方では V尺 の 0 の位置に固定されているから，V尺 は a に合わせて左右にスライドする。 もう一つのカーソルはV尺 上の b の位置にあり，変数（すなわち動点 ）bとともに V尺 上をスライドする。b の真上の，カーソルが指し示す P尺上の点が

a + bである。

第一段階：点と矢線を重ねる第一段階として，この数直線は“変化量”を扱うものとする。数直線の点1 a は，“変化量”であり，

それは有向線分 として視覚化される。有向線分は矢線あるいはベクトルという呼び方もす

る。ここでは点 a を有向線分（矢線，ベクトル） とと重ねて（同一視して）話を進める。　以下では，a = 7, b = 4 として説明を続けている。P尺 上の点 0 からa = 7 への有向線分　

を赤の色で示した2。（向きの問題は後回しにして）aの大きさ（magnitude）が有向線分

の長さ（length）に置き換えられて表現されている（長さによって視覚化されている）。一

方，V尺 上の 0 から b = 4 に向かう有向線分 を青の色で示した。その長さが b の大

きさを表現し視覚化する3。　2数 a, b の和 a + b はベクトルとしての和である。 それは有向線分としての連結に対応する。　

　ベクトル b = 4 は V尺 上にあり， と表現されている。P尺の a = 7 の下に V尺の

0 があり，V尺の 4 の上に P尺の 11 があり，したがって， V尺の有向線分 にP尺の有向線

分 が対応する。そして のように，P尺の上で有向線分の連結を作っている。この結果が 7 + 4 = 11に対応し，記号で書くと

　　　　　　　　　　を実行している。

2

1 幾何的対象としての直線と実数体 ! が同一視されている。“点 a ” は “実数 a ” でもある。

2 線分と言うには幅が広過ぎるが，幅は無視して線分と考える。矢印もついていないが，“0 から a へ” という向きも合わせもつ概念とする。有向線分のまたの名はベクトル，より適切には束縛ベクトルである。3 P尺という呼び方 は point（点）の p による。V尺という呼び方 は vector（ベクトル）の v のによる。

　和 a + b に対応する有向線分 を緑の色の hatch（ハッチ，平行斜線群）で示した。

それはP尺 上の有向線分だから，このケースのように a の有向線分 と一部が重なることがある。

出発点この議論は小さな子のための “タイルの連結” による加法の把握の延長上にある。一つの直線上での連結が出発点にある。

　　　　　　　　

3. 扱う量の例(1) 長さそのもの　今の議論での“長さ”は相対的な長さに留まる。直線上に 0 と1が目盛られることで長さの単位 1が決まるが，それは GeoGebra の画面で絶えず伸縮されている。さらにこの pages (というワープロ・ソフト）の中で伸縮している。しかしながら人間は，それを　　　　　　　　　　　7m + 4m = 11m, 7.3km + 3.5km = 10.8km

のような，現実の確定した長さについての計算の表現と思うことができる。計算式の後者は　「初めに 7.3 km 走り、次に 3.5 km走ったとき，合わせて 10.8 km 走ることになる」

という事実を表現している（直線でなく曲がった道でもよい）。

(2) 温度変化 摂氏あるいは絶対温度での a 度の変化を adeg で示すと，

温度変化の連結が和であり，初めに 7deg の温度変化があり，次に 4 degの温度変化があったと

きに，２つを合わせた温度変化は　　　　　　　　　　　　　　　7deg + 4deg = 11deg　

で表現される。

(3) 高さの変化　「今いる高さ」を数値化するのは一般に困難だが，「高さの変化」ははっきりしている。ここでは離散的なケースとしての，階段の上がり・下がり（昇降）を取り上げる。これは整数値だけの計算となる。

(4) お金（money) の入りと出　我が家にどれだけの現金（money stock, 銀行の普通預金も含める）があるかは，よく知らないが，最近の入金，出金（money flow）という 現金の変化 は把握できる。

3

　　　　　　　　　　　　　 7.3万円+ 4.5万円 = 11.8 万円

4. 足し算と二つの引き算をセットとして

c := a + bとして，ここには二つの引き算が隠れている。a = c − bとb = c − a　である。

前者の a = c − b は方程式 c = x + b の解であり，“追加変位” b をキャンセルして（取り除いて）

c から“初期変位” a に戻る計算である。 有向線分 （の到達点）から に沿って後退する

ことで，有向線分 が作られる。　後者の b = c − a は方程式 c = a + x の解であり，初期変位 a が最終変位 c に達するために要

求される“追加変位” ，つまり，二つの変位 a, c の差を求めている。有向線分 と有向線分

の差としての有向線分 が P尺上に作られ，それにV尺上で対応するのが である。（ここは数値例に即して議論すべきであった。）

足し算の順序交換a + b とb + a を対比させる。a = 8, b = 3, c := a + b = b + a = 11の場合を図示する。

　　　　　b + a は 「bに a を加える」であり，あるいは「はじめに b , つぎにa」という，二つの変位の合成と思うことができる。

足し算の可換ペアから導かれる4個の引き算

　二つの数（あるいは “二つの変化量”） c, b に対して 引き算 c − b が２つの異なる背景のもと

に発生する。　一つは上側のa + b の図で c := a + b と置いたときの，後退（取り除き）の引き算 c − bであ

り，引き算の結果のaは P尺の赤い有向線分 で示される。　c, bを与えたときの，引き算 c − b のもう一つの出現の仕方は，下側の b + a の図で c := b + a

4

と置いたときの，b と c の差（補充変化量）を求める計算としての c − bである。それは P尺の

有向線分 で，つぎに V尺上の 　で視覚化される。　上の a + b とb + aのペアでは，a = 8, b = 3としているので c = 11である。二つの c − b すな

わち11− 3 = 8 を図の上で確認しよう（赤い有向線分 として）。

　このペアを使うと，二つの c − a すなわち 11− 8 = 3 を図の上で見ることができる（青い有向

線分 として）。　結局，この 8 + 3と3+ 8という可換な足し算の構成のペアを引き算に流用して，二つの引き算 11− 3= 8 と二つの引き算 11− 8 = 3 を取り出すことができた。　

5. 負の数を含む加減

　現在の小学校のような正の数に限った加減でなく，正負の数一般の間の加減を理解するために，このような動的構成が大変役立つ。変数の値を変化させながら結果がどう変わるかを観察できるからである。　まず　最初の変数 a をa = 7のままにして，bだけを動かしてみる。変化の刻みを 0.1 に設定

するとかなり滑らかに動く。今は刻み 1 にしてbの値を 1ずつ減らしていく。 b = − 5, b = −10

のときの様子を下に取り出した。

　　

−10度という温度変化は温度が 10度下がることを意味し，温度が 7度上がったあとに10度下がると全体として3度下がったことになる（全体としての温度変化が −3 度）。階段を 7段上がり10段下りると結果は3 段下りることになり，全体としての昇降は −3 段となる。つぎに，a = − 8と変えた上で，b = − 3, 5, 12と変化させる。

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6. 点とベクトルの枠組み

足し算（加法，和）については変化量（ベクトル，矢線）の間での演算の他に　　　　　　　　　　　　　　　　 “点 ＋ ベクトル”という形のものがあり，前者とは別の数学的構造をもつ。たとえば温度と温度変化についての　　　　　　　　　　　　　　　7°C + 4deg = 11°C

はその例である。このような状況に上の（GeoGebraによる）構成を流用できる。実は最初の稿は

この “点とベクトル” から出発していた。この場合，　P尺の点 a は a°C という温度を表し，V尺の点 b は bdegという温度変化を示す。

　階段の例では，ある段を 0 とし，順番に数を振って各段を整数で表す。P尺の点 a はこのよう

な段を表し，V尺の点 b は段数の変化（昇降数）を表す。後の方で V尺の a,b を !a,!b と書いてい

る場面がある。“ベクトル ＋ ベクトル” と “ 点 ＋ ベクトル” という二つの基本的枠組みのつながりは，P尺上の

点 a にその位置ベクトルとしての赤い有向線分 を対応させ，一方，V尺上の点 b はまず自

由ベクトルとしての青い有向線分 を対応させることで得られる。　和 a + b においては，自

由ベクトル b が P尺の点 a に束縛されるベクトル a,a + b! "!!!!!!

として扱われる。

　和の順序交換6

　ここから後は，“点とベクトル”の枠組みに沿って話がすすんでいる。　私たちはこれまで a + b を変化量の和として扱い，“初めにa，次に b ” と考えてきたが，これからは“a から b だけ増える”と考える。つまり和を “点 ＋変位” として計算する。これを b + a

に変える。 その意味は b を P尺 におき，a を V尺 におき， “b から a だけ増える” として計算することである。状況は異なるが結果は一致する。二つの数の和は二つの変数について交換可能（commutative），すなわち，和は対称的（symmetric）である。　a = − 9, b = 3の場合に a + b = − 9 + 3 = − 6 と b + a = 3+ − 9 = − 6 を対比する。結果の −6

は共通である。温度と温度変化に関しては　　　　　　　　　　−9°C+ 3 deg = − 6°C, 3°C + (−9deg) = − 6°C

となる。

　　　　　　　　　　−9°C = 0°C + (−9deg), 3°C = 0°C + 3deg

のように点を位置ベクトルで置き換えて考えると，これは ベクトルの和の可換性に帰着する。0 から出発してそれに到達するプロセスは対称的である

足し算に伴う二つの引き算これから先の一時的便法として，ベクトルとして振る舞う b には

!bのように上に矢線を置いて点

と区別することにする。 加法のデータ a,!b に対しては， c := a +

!b と置き， b,

!aに対しては

c := b + !aと置くことで

　　　　　　　　　　のように計算の三組みが二つ（足し算の順序交換に対応して）発生する。引き算には　　　　　　　　 “点 - ベクトル　＝　点”,　“点 - 点 = ベクトル”の二タイプがある。これまでのデータからは

　　　　　−6°C − 3 deg = − 9°C, − 9°C + 3deg = − 6°C, − 6°C − (−9°C) = 3deg−6°C − 3°C = − 9deg, 3°C+ (−9deg) = − 6°C, − 6°C − (−9deg) = 3°C

が出る。

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7. 引き算の装置 : 動的構成

以下では（和の装置の流用でなく）与えられたデータ c, d から c − d の形の２つの引き算を実行

している。ここでは “点 ＋ ベクトル” の枠組みの方で考察しよう。c = 7, d = −4, 5,10 のとき

と，c = −8, d = 3, − 5, −12のとき，計 6 個のケースを示した。それぞれのケースで二つの場合を

扱った。　考えを固定するために，c = 7, d = 5のケースに沿って検討する。cはいつも点，dは初めはベ

クトル，次に点である。二つの引き算の違いはベクトルまで戻れば，和の順序の違いに帰着し，結果の一致は当然である。初めの c − d は x + d = c の解であり，つぎの c − d は（点 d をその位

置ベクトルと読み替えて） d + x = c の解を求めている。

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8. 引き算と“符号を変えての足し算”の比較

これは引き算の二タイプのうち，“点 - ベクトル” のケースだけに意味をもつ。“点 - 点”　については,“点の符号を変える”という言葉に意味がないし，仮に符号を変えたとしても，“点 ＋ 点” という計算が存在しない。例として a = 8, b = −3に対する a + b = 5 と，c = 8, d = 3に対する

c − d = 5 を対比する。

　　　　　　　　　

　　　　　 　　　

8 + (−3)は，点 8 を出発し，矢線 −3!"!

= 0,−3! "!!!

に沿って前進する。結果として点 5 に達する。V尺

の 0 を P尺の 8 に合わせ，V尺の −3 の上の点 5 を読み取る。

8 − 3は点 8 から矢線 !3 = 0,3" !"""

に沿って後退する。すると 5 に戻る。これは !3 = 0,3" !"""

に沿って

前進して 8 に達したとして，その前進をキャンセルし，前進の前にいた点，すなわち 5，に戻る計算と述べることもできる。人でも車でも，前進のキャンセルを動画でみるとバックしている。それは 180度ターンして前進することと少しだけだが違う。　　「 8°C + (−3 deg) = 5°C 」は単純に「8°Cから気温が “3度下がる”と5°Cになる」と言って

いる。 「 8°C − 3deg = 5°C 」 は　「3度の気温上昇を取り消す（なかったことにする）」計算で

あり，「最高気温が昨日から3 度上がって今日は8°Cになった。それならば昨日の最高気温は

5°C」というような状況がピッタリくる。もう一つだけ例を：　−8 + 5 = − 3 と −8 − (−5) = − 3を比較しよう。

　　 　　

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負の数を引く−8 − (−5)も完全に同じ原理で処理する。矢線 −5! "!

= 0,−5! "!!!

に沿う後退で、確かに，

−8から −3に戻る。「8と−5をカーソルで合わせて，0 の上の目盛りを見ると−3」という手順も

これまでと全く同じである。「5度下がって今日 −8°C ならば，昨日は −3°C であったはず」のような意味付けも全く同じ。

GeoGebraによる動的テキスト

9. “点と矢線”方式の図示

　より簡潔な“点と矢線”表現も併用する。二つの場面のそれぞれに一本の直線を使うが，その上下にそれぞれ目盛りがあり，下側の目盛りはヨコにスライドしている（第1の場面で，上の a = 8の下に，ベクトル b = 3 の始点としての 0 が来ている）。実際には二本の直線が重なって

いる。

　　　　　

引き算についての動的テキストと“点と矢線”方式の図示

　　　　　　（おわり）

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