ensayo: aplicaciones de centros de gravedad, centroides, primer momento y momento de inercia en la...

Diario, Vol.I, No. 1, 1-5, 2016Viernes, 12 de Febrero del 2016

Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad,Centroides, Primer Momento y Momento de Inerciaen la Ingenierıa CivilRonald Cabrera Loayza1

ResumenLa estatica es una rama de la mecanica que se encarga del estudio y analisis de fuerzas en equilibrio estaticodentro de un sistema determinado, en otras palabras estudia los sistemas en los cuales no exista movimiento.

Esta rama tiene vital importancia en la Ingenierıa Civil ya que con ella se fundamentan muchas de las necesi-dades de la construccion. En este ensayo nos referiremos a 4 temas en especıfico, los cuales son:

Centro de Gravedad, entendiendose como definicion al punto en el que la resultante de las fuerzas gravitatoriasaplicadas en distintas partes del cuerpo incide en dicho elemento; esta estrechamente relacionado al campogravitatorio en el que se encuentre el cuerpo. Es importante recalcar tambien otra definicion vinculada al tema,la cual es el Centroide. Este elemento al igual que el anterior es un punto, con la diferencia que este se asociaa la forma del cuerpo, es decir se fundamenta en la ubicacion geometrica del centro del elemento. Comoaclaracion primordial en muchas ocasiones estos dos elementos coincidiran; siempre y cuando se cumpla lacondicion de que el elemento de estudio sea homogeneo y uniforme.

Entre algunas de las aplicaciones que podemos nombrar se encuentran: Estabilidad de edificios, Construccionde presas, Operaciones con gruas, Analisisis de choques, Concentraciones de pesos y Movimiento de Objetos.Dentro del contenido se especificaran los detalles de dichas aplicaciones.

Otro de los temas a hablarse son el Primer Momento y el Momento de Inercia, al igual que los anteriores estanestrechamente relacionados entre sı, del Primer Momento podemos decir que es una magnitud geometrica enel cual intervienen el centroide en su eje correspondiente y el area o volumen del elemento dependiendo delespacio dimensional en el que se encuentre el cuerpo; en la ingenierıa civil su principal aplicacion se relacionacon el calculo de la Tension cortante en vigas, de aquı parte el siguiente concepto asociado al anterior, el cuales el Segundo Momento o Momento de Inercia definido como la integracion del Primer Momento, dando ası unamagnitud que se interpreta como la oposicion que tiene un cuerpo a ser rotado, este concepto tambien es degran importancia en el ambito de la construccion ya que esta estrechamente relacionado al Momento Flector envigas, lo cual es muy comun en cualquier tipo de obra ya que la viga es uno de los elementos estructuralesfundamentales al momento de construir.

Palabras ClaveCentro de Gravedad — Centroide — Primer Momento — Momento de Inercia

1Unidad Academica de Ingenierıa Civil, Universidad Tecnica de Machala, Machala, Ecuador*Corresponding author: rlcabrera est.utmachala.edu.ec

Indice

Introduccion 2

Desarrollo 2

1 Centros de Gravedad 2

1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Formulas para Calcular Centros de Gravedad . . 2

Lıneas y Areas • Volumenes

1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Disenos Sismoresistentes para Edificios • Construccion de Com-

puertas, Diques y Presas • Operaciones con Gruas • Concentracionde Pesos en Elementos

2 Centroides 3

2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Centroides: Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Formulas para Calcular Centroides . . . . . . . . . . 3

Lıneas • Areas • Volumenes

2.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Momento Resistente en Columnas • Analisis de Choques •Movimiento de Objetos

1

3 Primer Momento 4

3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Formulas para Calcular el Primer Momento . . . . 4

Lıneas y Areas • Volumenes

3.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Diagrama de Desviacion Tangencial • Calculo de la TensionCortante

4 Momento de Inercia 5

4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Formulas para Calcular el Momento de Inercia . 5

Areas • Momento Polar de Inercia • Teorema de los Ejes Parale-los o Teorema de Steiner

4.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Resistencia Maxima de un Elemento Estructural • Construccionde Compuertas, Diques y Presas

Conclusiones 6

Agradecimientos 6

Referencias 6

IntroduccionEn el contexto de la Ingenierıa civil, son muchos los temasteoricos que pueden ser aplicados en el campo de la construccion de manera practica.

En esta ocasion nos centraremos en temas concernientes ala Estatica, entre ellos tenemos: Centros de Gravedad, Cen-troides, Primer Momento y Momento de Inercia, los cualesestaran relacionados especıficamente a su aplicacion de man-era general.

Los temas anteriormente mencionados les proporcionan a losingenieros civiles una gran cantidad de soluciones, al citar porejemplo la utilidad que puedan tener los mismos en el procesoconstructivo.

Por lo tanto es de gran ayuda conocer el empleo de dichostemas en el trabajo de campo; para ası tener una idea o uncriterio formado respecto a los contenidos nombrados conanterioridad, ademas de esto dar a conocer de manera practicay sencilla los usos mas notorios y despertar interes al lector.

A continuacion se iran especificando claramente las aplica-ciones dentro del campo asociado.

Desarrollo

1. Centros de Gravedad1.1 DefinicionEl Centro de Gravedad es “El punto donde incide la Resultantede todas las fuerzas de gravedad que actuan en las diferentespartes del cuerpo”. Referenciar la Figura 1.

Ver en [1]Dicho de otro modo es el punto de equilibrio del sistemade Fuerzas, es decir que la Fuerza Resultante realizara un

Figure 1. Centro de Gravedad

Momento Resultante Nulo en dicho punto. Esta propiamenteligado al campo gravitatorio que se ejerce sobre el.

1.2 Formulas para Calcular Centros de Gravedad1.2.1 Lıneas y Areas

xW =∫

xdW yW =∫

ydW (1)

1.2.2 Volumenes

xW =∫

xdW yW =∫

ydW zW =∫

zdW (2)

Ver en [2]

1.3 Aplicaciones1.3.1 Disenos Sismoresistentes para EdificiosUna de las principales aplicaciones que tienen los centros degravedad, esta en la construccion de edificios, estos elementosson de mucha importancia ya que nos permiten conocer elcomportamiento que tendra la estructura al estar sometida adistintos factores como lo son presion, vientos, choques, etc.

Es importante recalcar tambien que a medida que el centro degravedad este cercano a la superficie del suelo, mayor sera suestabilidad; proporcionandole ası la mayor seguridad para laestructura.Ver en [5]

Referenciar la Figura 2.

Figure 2. Diseno sismoresistente para Edificios

2

Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la IngenierıaCivil — 3/6

1.3.2 Construccion de Compuertas, Diques y PresasOtro tema muy importante es la construccion de compuertas,diques y presas; el centro de gravedad ocupa un lugar funda-mental en este tema, ya que a partir de la determinacion deel se podra analizar la forma de la presa a construir e imple-mentar los refuerzos necesarios para que soporte la carga delagua.

Las presas y muros de contencion estan sometidos a cargasprincipales, secundarias y excepcionales; las cuales ejercenuna presion o empuje sobre la presa, dique o compuerta; heaquı la aplicacion del centro de gravedad ya que a partir de el,se puede determinar el analisis correcto para los aspectos dediseno estructural, manteniendo ası las propiedades necesariaspara que la obra se mantenga estable.


Figure 3. Construccion de compuertas, diques y presas

1.3.3 Operaciones con GruasLas operaciones con gruas son una parte fundamental en losprocesos de construccion, es por tal motivo que se incluyendentro de las aplicaciones inherentes al tema.

En todo trabajo de construccion hay cargas pesadas que trans-portarse, para realizar este proceso se necesita de una grua,consecuentemente para el manejo de la misma se necesitanciertos conceptos basicos; es aquı donde el centro de gravedadjuega un papel fundamental.

Al levantarse una carga, aquella estara sometida a torsion,es por lo tanto que para su transporte es necesario conocerun punto de equilibrio y garantizar que la carga este lo masnivelada posible, ese punto necesario es el centro de gravedaddel cuerpo, logrando ası que el balanceo sea mınimo.


1.3.4 Concentracion de Pesos en ElementosComo aplicacion general tenemos que para cualquier ele-mento utilizado en la construccion, podemos deducir la con-centracion de peso en objetos con distintos tamanos y formas.Cabe recalcar que el punto de concentracion del elemento serael centro de gravedad.

Figure 4. Operaciones con Gruas

El conocer las distintas propiedades de los cuerpos, nos darauna mejor idea para disenar el concepto estructural de lo queestemos construyendo y ver las alternativas estructurales masviables para el proyecto u obra implementado.


Figure 5. Concentracion de Pesos en Elementos

2. Centroides2.1 Definicion2.2 Centroides: DefinicionEl Centroide es “La ubicacion del centro geometrico delcuerpo”. Esta ligado basicamente a la forma de dicho cuerpo.Veren [1] Referenciar la Figura 6.

Figure 6. Centroide

2.3 Formulas para Calcular Centroides2.3.1 Lıneas

xL =∫

xdL yL =∫

ydL (3)


2.3.2 Areas

xA =∫

xdA yA =∫

ydA (4)

2.3.3 Volumenes

xV =∫

xdV yV =∫

ydV zV =∫

zdV (5)

Tanto para lıneas, areas y volumenes, el centroide y el centrode gravedad coincidiran si y solo si el cuerpo es homogeneoy uniforme; si no lo es, las ecuaciones (1), (2) y (3), soloserviran para encontrar el centroide de dicho cuerpo.

Para los centros de gravedad tanto L, A y V se los expresa enmagnitud W sabiendo que:

∆W = γt∆A = γa∆L = γ∆V (6)

Ver en [2]

2.4 Aplicaciones2.4.1 Momento Resistente en ColumnasLos centroides son utilizados muy a menudo en la resistenciao mecanica de los materiales. Para esta ocasion su aplicacionespecıfica sera el momento resistente en vigas verticales ocolumnas. Las columnas son elementos estructurales quetransmiten cargas a compresion, la reciben mediante la placade entrepiso o losa y estas la transmiten hacia la cimentacion.Practicamente todas las columnas que esten en una estructurau obra civil, estan sometidas a flexo-compresion, el centroidees de gran utilidad en este ambito ya que nos permitira calculareste momento y ası evitar que la compresion ejercida provoqueun fracturamiento en dicha columna.

2.4.2 Analisis de ChoquesEn el analisis de choques los centroides son de gran utilidadya que simplifican considerablemente dicho analisis.La ubicacion del centroide en un sistema de n partıculas estadado por:

MR(C) = m1R1+m2R2+ ......................+mnRn (7)

Al moverse las partıculas bajo la accion ya sean de fuerzasinternas o externas, la posicion del centroide tambien lo hara.Por lo tanto si no hay fuerzas que intervengan en dicho cuerpo,el centroide del sistema permanece en reposo, y viceversa.


2.4.3 Movimiento de ObjetosOtra aplicacion que se le puede dar a los centroides es parael movimiento de objetos, hay cuerpos que se comportan demanera muy distinta al ser arrojados, por ejemplo una varilla;al lanzarse tendra un sinnumero de rotaciones antes de llegaral suelo, pero si solo se analiza la trayectoria que hace sucentro de gravedad, podremos tener una idea mas practica, eneste caso una parabola.

Ası tambien desde el mismo concepto se pueden analizar latrayectoria de distintos cuerpos basandose especıficamente

Figure 7. Analisis de Choques

en sus centros de gravedad, siendo de mucha utilidad paracuerpos con trayectorias y comportamientos complejos.Veren [6]


Figure 8. Movimiento de Objetos

3. Primer Momento3.1 DefinicionEl Primer momento es “Una magnitud geometrica para areasy volumenes, se lo conoce tambien como Momento de PrimerOrden o como Momento Estatico”.Ver en [3]

3.2 Formulas para Calcular el Primer Momento3.2.1 Lıneas y Areas

Qy =∫

xdA = xA Qx =∫

ydA = yA (8)

3.2.2 Volumenes

Qyz=∫

xdV = xV Qzx =∫

ydV = yV Qxy=∫

zdV = zV

(9)

Ver en [2]

3.3 Aplicaciones3.3.1 Diagrama de Desviacion TangencialEsta aplicacion esta relacionada al Diagrama de Areas-Momentos.La ordenada B respecto a su tangente en A, sera igual al mo-mento estatico con respecto a B. Referenciar la Figura 9. Esuno de los Teoremas de Mohr y es utilizado generalmente


Figure 9. Desviacion Tangencial. Diagrama Area-Momento

para el calculo de momentos en vigas. Es importante recalcarque solo es aplicable a ciertos tipos de estructuras.

3.3.2 Calculo de la Tension CortanteLa principal aplicacion del Primer Momento o MomentoEstatico esta relacionado al calculo de la tension cortanterespecto a un punto en especıfico, esto normalmente suelesuceder en el calculo de vigas.Para esto se utiliza la Formula de Collignon que se expresamediante la relacion:

τxy =V y(x)Qy(y)

Iztz(y)(10)

Donde Vy es la Fuerza Cortante, Qy es el Primer Momentode Area, Iz el Momento de Inercia y tz el espesor.

En el campo de la construccion esto tiene suma importancia,ya que con el calculo de la tension cortante podemos obtener elesfuerzo cortante, y en base a estos datos elegir o proporcionarlos materiales necesarios para que no se produzca el corte.Por consiguiente garantizar la estabilidad de la estructura.


Figure 10. Tension Cortante

4. Momento de Inercia4.1 DefinicionEl Momento de Inercia se define como “La oposicion quetiene un cuerpo a ser rotado”, esta especıficamente ligado a laforma geometrica de dicho cuerpo. Ver en [4].

4.2 Formulas para Calcular el Momento de Inercia4.2.1 Areas

Ix =∫

y2dA Iy =∫

x2dA (11)

4.2.2 Momento Polar de Inercia

Jo =∫

r2dA Jo = Ix+ Iy (12)

4.2.3 Teorema de los Ejes Paralelos o Teorema de SteinerI = I +Ad2 (13)

Ver en [2]

4.3 Aplicaciones4.3.1 Resistencia Maxima de un Elemento EstructuralEn el campo de la ingenierıa civil, tenemos elementos es-tructurales de suma importancia, presentes en casi todas lasconstrucciones, uno de ellos es la viga.

La viga es un elemento proyectado para soportar cargas transver-sales, transmitiendo las mismas hacia sus apoyos. Debido aque esta sometida a diferentes cargas y fuerzas en ella se pro-duce un efecto de flexion. Es decir tiende al pandeo en suparte media.

Para los ingenieros civiles es fundamental conocer lo quepueda sucederle a las vigas y el comportamiento que tendranal ejercerce cargas sobre ellas.

Aquı es donde entra el calculo del Momento de Inercia, conla Inercia podemos calcular la flexion que tendra la viga y asıtomar decisiones acertadas para el diseno de la estructura.

En otras palabras mientras mayor Momento de Inercia tengala viga, mas resistente sera a la flexion dando ası la seguridadnecesaria para la estructura. El Momento de Inercia nos pro-porciona la resistencia maxima de un elemento bajo flexion.


Figure 11. Resistencia maxima de un Elemento estructural

4.3.2 Construccion de Compuertas, Diques y PresasLa inercia tambien cumple un papel fundamental en la construccion de presas, ya que a mayor momento de inercia, mayorsera la fuerza de empuje que pueda soportar la estructura acausa del agua.

El Agua ejerce fuerzas de presion mayores a mas profundidad.


Es aquı donde el Momento de Inercia toma presencia, ya queel empuje se calcula con una formula donde interviene elmomento de inercia de la pared que limita al agua.

Esta Fuerza tiende a voltear la estructura respecto al pie dela presa; es por tal motivo que para los ingenieros civileses un factor a tomar en consideracion a la hora de construirproyectos de esta magnitud.Ver en [7]


Figure 12. Construccion de compuertas, diques y presas

ConclusionesLuego de haber revisado las principales aplicaciones de losdiferentes temas mencionados anteriormente podemos decirque:

• Los centroides y centros de gravedad aunque son pare-cidos no son lo mismo, es importante saber reconocersu diferenciacion, de esta manera se podra realizar laaplicacion de los mismos en diferentes aspectos de laconstruccion; mientras que el centro de gravedad estaligado estrechamente al campo gravitario, dependiendodel mismo, el centroide se basa especıficamente en laforma geometrica del cuerpo. Coincidiran si y solo sıel cuerpo es homogeneo y uniforme.

• Respecto al Primer Momento, concluimos que aunquees de menor aspectos de aplicacion que el Momento deInercia, igual forma parte importante de los calculosesenciales en el ambito de construccion, necesario paraencontrar tensiones dentro de vigas.

• Finalmente, la Inercia es un tema central con lo que respecta a ingenierıa, con ella podemos saber la oposicionque tiene un cuerpo a ser rotado, este concepto nosayuda mucho para los calculos de resistencia de unaviga asociadas al momento flector y para el diseno demuros de contencion.

Agradecimientos“Cuanto mayor sea el esfuerzo, mayor es la gloria”

Pierre Corneille

Son muchos los agradecimientos que quiero extender paraesta ocasion.En primer lugar a Dios, el cual es el que nos da esa energıa devida, el poder seguir por un buen camino, el que nos brindaoportunidades para cada dıa ser mejor.En segundo lugar a la querida Universidad Tecnica de Machala,la cual ha abierto sus puertas formando profesionales de bien,vinculados a la sociedad y enfocados al desarrollo local ynacional de nuestro paıs.A nuestro docente guıa en esta materia, el Ing. Carlos Loor;por haber sido parte fundamental en este proceso de ensenanzay contribuido a mejorar nuestros saberes y criterios.Y en general a cada una de las personas que aportaron demanera significativa a la realizacion de este ensayo. ¡Graciasa todos ustedes!.

Referencias[1] RUSSEL C. HIBBELER (2010). Ingenierıa Mecanica -

Estatica: Mexico DF, Mexico: Editorial Pearson Edu-cation, pags. 447-484.

[2] BEER, F., JONHSTON, R., MAZUREK, D., EISEMBERG,E., (2010). Mecanica Vectorial para Ingenieros - Estatica:Mexico DF, Mexico: Editorial McGraw Hill, pags. 220-281 y 472-555.

[3] G. CELIS. C (2009). Mecanica Estructural - Estatica:Mexico DF, Mexico: Editorial Universidad Iberoameri-cana,A.C., pags. 367-412.

[4] J. L. MERIAM (2000). Mecanica para Ingenieros -Estatica: Barcelona, Espana: Editorial Reverte S.A, pags.367-412.

[5] A. PYTEL.,J. KIUSALAAS (2000). Engineering Mechanics: Stamford, USA: Editorial Censage Learning.

[6] W. RILEY., L. STURGES (2010). Estatica: Barcelona,Espana: Editorial Reverte S.A.

[7] A. BEDFORD., W. FOWLER (1996). Mecanica para Inge-nierıa - Estatica: Mexico DF, Mexico: Editorial PearsonEducation.