Equation de diffusion dans l’espace des échelles: la notion de diffusivité d’échelle Diogo Queiros-Conde Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées Unité Chimie et Procédés

Journée « Géométries multi-échelle, théorie constructale et exergie » Société Française de Thermique, 16 mars 2006

2, ,

2

1( , )x t x tS Sx t

x t

Pour plus de détails: D. Queiros-Conde, Proc. Roy. Soc. Lond. (2003) 459, 3043-3059

Géométrie fractale 

Une avancée incontestable: sensibilisation à la dimension « échelle »

De nombreuses études mais déviations à la fractalité importantes. Le nombre de décades est faible.

Voir Avnir et al. (1998) (histogramme centré sur 1.3 décade)

Dimension fractale dépend de l’échelle : PROBLEME ! !

Pouvoir prédictif faible (sans théorie d’appoint…)

Kadanoff (1986) : “Fractals :Where is the physics ? ”

Saffman (1991): “ I would say that the attempts to represent or describe turbulent flows, or the evolution of chaotic systems using fractals is essentially a botanical description, unless you can do some prediction, or make some theory to say what is happening…”

Besoin d’une description plus fine dans l’espace des échelles.Pour cela, il faut considérer l’espace des échelles comme une dimension spatiale à part entière ---> 4 dimensions d’espace?

Nk,i = Nk,j Nj,i

l i

jl

kl

Multiplicativité dans l’espace des échelles (propriété générale indépendante d’une quelconque fractalité)

Système multi-échelle :Gamme d’échelles li appartenant à [lc, l0] Echelle logarithmique :

x=ln(li/l0)

« Volume-échelle » Vi: volume occupé par le système à l’échelle li

Entropie d ’échelle:Si,0=ln(V0/Vi)

i,o i 1,oi

i 0 i 1 0

S S dS(x)

ln(l / l ) ln(l / l ) dx

Gradient d’entropie d’échelle:

l0

lc

CORPS

CRÊTE

l0 li

i i i(l ) (l )l dV N0 0

dV l

ii

0

(l )(l )

Vf

V

Si,0=ln[W(li)]

i i(l ) 1/ (l )W f

Cas particulier: fractal

-Df( )~i iN l l0

( )d Df

ii

lf l

l

0( ) ( ) ln( / )i f iS l d D l l

Définition de l’entropie d’échelle

Loi générale d’évolution pour l’entropie d’échelle ?

Analyse en échelles

lnN(li)

ln(li )

Equation de bilan en régime permanent

Notations : x=ln(li/l0)

Sx=Si,0, x=i , x=i ,

x=dSx/dx=x-d.

-x+x+dx-x)dx=0 où x) est le puits d’entropie

CAS PARTICULIER 1: FRACTALITE

Le fractal devient un cas particulier : x)=Puits d’entropie nul et régime permanent

CAS PARTICULIER 2: x)=Puits d’entropie uniformément distribué dans l’espace des échelles---> Invariance d’échelle parabolique

INVARIANCE D’ECHELLE PARABOLIQUE : x)=

Puits d’entropie uniforme (“ équipartition ” ) dans l’espace des échelles

d2Sx/dx2-=0 , Sx=(x2+(0-d)x

lni,0=_[(x2+0x] : analyse en échelle est parabolique

i i cΔ =Δ +βln(l /l )Dimension fractale est linéaire en fonction du logarithme de l’échelle

De nombreuses vérifications expérimentalesLien avec principe d ’équipartition de D. Tondeur?

,

j,i

j i

ilNlj

=(i+j)/2,j i

Des expressions remarquables

0

0ln( / )cl l

FLAMME TURBULENTE

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5

ln(li/l0)

ln S

c,i

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

0 1 2 3 4ln(li/lc)

i

2 2

T L L 0 L 0ln(U /U )=(α/2) ln(U'/U ) + αln(l /δ) ln(U'/U )+ (α/2)ln(l /δ)

9α= β

16

U ’

UL

UT

LOI DE VITESSE PARABOLIQUE

Interaction flamme-turbulence

régime des « flammelettes »

U ’

UL

l0

'( ) ?T

L L

U Uf

U U

Analyse en échelle parabolique (/2=0.088)

Dimension fractale linéaire avec logarithme de l’échelle

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Lln(U'/U )Données de Ronney et al. (1995)

2

T L L Lln(U /U )=0.048 ln(U'/U ) + 0.46ln(U'/U )+0.73

=0.177

Taille du champ (Mb) vs rang du champ, distribution « fractale parabolique »J. Lahérrère (Colloque « Energie et développement durable »,Bruxelles, 2000)

Réserves en pétrole du delta du Niger

R. Anderson et A. Boulanger, Mechanical Engineering « Power and Energy », mars 2004

Fréquence des pannes sur le réseau électrique américain en fonction du nombre d’usagers touchés

1,4

1,45

1,5

1,55

1,6

1,65

1,7

1,75

1,8

1,85

4 5 6 7 8

n-1

Agrégation limitée par la diffusion

Capacité à propager une perturbation dans l’espace des échelles (de “ peau en peau ”)

En turbulence : *=Kolmogorov

[(9/16)Re3/2(lnRe)2]/(l02/).

2, ,

2

1( , )x t x tS Sx t

x t

REGIME VARIABLE: DIFFUSIVITE D ’ECHELLE

CRÊTE

lc

l0

CORPS

*

0

20 cln (l /l )

χ=τ*

Diffusivité d’échelle (quantité nouvelle en physique)

* temps « total » de cascade

CAS « FRACTALEMENT MINCE »:

t/S)/1(x/S t,x2

t,x2

Application aux interfaces passives

0 0/ *( )et

t

Temps

Vérification expérimentale sur mesures ( Villermaux, E. & Innocenti, C. 1999)

Yt=Ln[(t-0)/(-0)] en fonction de t/t ( =2 ) -3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 0,5 1 1,5 2t/t

Yt

TRANSFERT D’INFORMATION ENTRE ECHELLES

Experience 1: Expérience de Honoré & Grésillon (2000)(diffusion collective de la lumière sur un jet turbulent)

Experience 2: Mesures Poulain, Baudet, Gagne (2003)(par diffusion d’ultrasons)

Temps de “ liaison ” : gamme [ lc; li]Temps d’auto-correlation à l’échelle li : Fraction du temps total de cascade

c,i = Fc,i0

cF

c

2[ln(l / l )]ic,i 2[ln(l / l )]

En turbulence : *=Kolmogorov

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5Fc,i

*/ty = 5,509x - 0,0027

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

c,i/* mesuré vs c,i/* calculéc,i/* mesuré et calculé vs Fc,i

l0

CORPS

CRÊTE

*

lc

li

c,i

PERSPECTIVES

- Vers une dynamique d’échelle...

- Lien avec des approches modernes de la thermodynamique (M.Feidt)

Interprétation de l’entropie d’échelle

Cas parabolique: connexion avec le principe d’équipartition de la production d’entropie (D. Tondeur)

- Lien avec la théorie constructale (A. Bejan)

Qui se dresse sur la pointe des pieds ne tient pas debout. Qui veut aller jambes écartées ne peut avancer. »

Tao-te-king, verset 14