PROGRAMA DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA

EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR

DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR

CONTEÚDO: VETORES

DURANTE AS AULAS DE VETORES VOCÊ APRENDERÁ:Diferença entre grandezas escalares e vetoriais Somar e subtrair vetores graficamente;O significado de componentes de um vetor e sua utilização;O que são vetores unitários, características principais e como aplicá-los.A utilizar e compreender as formas de multiplicação de vetores.

PERGUNTAS PRELIMINARES:

O que é um vetor?

O que um vetor representa?

Quais as ferramentas necessárias eu preciso saber para

trabalhar com um vetor?

Qual a aplicação de vetores na engenharia?

GRANDEZA ESCALAR: São grandezas físicas em que apenas o seu valor numérico, com uma unidade correspondente, é o suficientepara fornecer uma informação completa.EXEMPLO DE GRANDEZA ESCALAR: Massa, Tempo, Energia, ...

GRANDEZA VETORIAL: São as grandezas físicas que não podem ser descritas apenas por um único numero com unidade, porém são representadas de uma forma diferenciada, descrita por um módulo ( que indica a “quantidade” ou o “tamanho”), juntamente com uma direção e sentido, no espaço.EXEMPLO DE GRANDEZAS VETORIAS: Deslocamento, Força, Torque, ...

IMPORTANTE! Grandezas vetoriais necessitam de mais informação do quegrandezas escalares. Essas informações são: direção, sentidoe módulo.Grandezas vetoriais precisam de uma orientação espacial.Vetores se combinam com regras bem definidas.

Vetores paralelos: possuem mesmadireção e sentido, possuindo ounão mesmo módulo.

Vetores antiparalelos: possuemmesma direção, sentidos opostospossuindo ou não mesmo módulo.

SOMA VETORIAL:• Propriedade comutativa:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

• Lei dos cossenos:

∣ 𝑎 + 𝑏 ∣2=∣ 𝑎 ∣2+∣ 𝑏 ∣2 +2. ∣ 𝑎 ∣. ∣ 𝑏 ∣. cos 𝛼

𝛼

SOMA VETORIAL• Lei associativa:

( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐= 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

𝑎

𝑐

𝑏

y

x

SOMA VETORIAL-CASOS PARTICULARES

• Soma de vetores paralelos

• Soma de vetores antiparalelos

𝑎 𝑏

𝑐 = 𝑎 + 𝑏

𝑎

𝑏 𝑐 = 𝑎 + 𝑏

SOMA VETORIAL- CASOS PARTICULARES

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ² + 𝑏 ²

VERIFICAR DIFERENTES TIPOS DE SOMA VETORIAL.

Exemplo: De acordo com os vetores da figura 2.6, mostrar, num

gráfico em escala, um representante do vetor 𝑎 − 𝑏,−𝑏 − 𝑎 𝑒 𝑏 − 𝑎.

.

(10º QUESTÃO DA APOSTILA) Uma pessoa caminha do seguinte modo: 3,1 km para o norte, depois 2,4 km para oeste e, finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o diagrama vetorial que representa este movimento. b) Que distância um pássaro deveria voar, em linha reta, e em que direção, de modo a chegar ao mesmo ponto final?

Uma componente de um vetor é a projeção do vetor sobre um eixo! Qual eixo? Perceba que precisamos definir esse eixo! Vamos estabelecer um sistema de referência de eixos coordenados (sistema de coordenadas).Em um sistema cartesiano normalmente a abscissa (horizontal) é o eixo x(coordenada x) e a ordenada (vertical) é designada pelo eixo y (coordenada y). Essa escolha é a mais usual, porém não é uma regra obrigatória.

IMPORTANTE!Só faz sentido falar em componentes de um vetor uma vez que o sistema de coordenadas em que o vetor será decomposto já tenha sido escolhido de maneira explícita.

ATENÇÃOSomente a projeção ortogonal aoeixo (ou seja, perpendicular ao eixo)corresponde à componente dovetor.

ax= |a|cosθ

ay=|a|senθ

a = ax² + ay²

tanθ =ay

ax

(QUESTÃO ADAPTADA) Quais são as componentes x e y do vetor a? Seja |a| = 7,1 m e o ângulo θ = 45˚.

(QUESTÃO ADAPTADA) Quais são as componentes x e y do vetor a? Seja a = 8,0 m e o ângulo θ = 60˚.

Encontre as componentes ax e ay do vetor a na figura

abaixo.

a

Encontre as componentes ax e ay do vetor a na figura

abaixo.

a

Encontre as componentes ax e ay do vetor a na figura

abaixo.

a

Qual é a melhor maneira de resolver o problema?

a

b

y

x

Qual é a melhor maneira de resolver o problema?

a

b

y

x

a

b

y

x

Qual é a melhor maneira de resolver o problema?

a

b

y

x

a

b

a

b

y

x

y

(QUESTÃO ADAPTADA)Quais os sinais das componentes x

de a, b e c na Figura abaixo? (b) Quais são os sinais das

componentes y de a, b e c? (c) Quais são os sinais das

componentes x e y de a + b + c? Dados: |a| = 8 N, |b| = 7 N e | c| = 10 N.

Um VETOR UNITÁRIO também conhecido como VERSOR é um vetor que possui um módulo unitário e é adimensional. Notação: 𝑖 é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta

no sentido positivo do eixo dos x. 𝑗 é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta

no sentido positivo do eixo dos y.

IMPORTANTE!Para cada coordenada temos ume somente um versor associado.O versor serve para indicar osentido positivo da coordenada aqual o versor está associado.

Uma forma de somar vetores é combinar suas componentes eixo por eixo.Depois de encontrar as componentes do vetor resultante temos as informaçõesnecessárias para determinar o vetor resultante.Esse método pode ser utilizado para soma envolvendo uma quantidadequalquer de vetores.

Considere os vetores a e b e suas respectivas componentes 𝑎𝑥 , 𝑏𝑥 e 𝑎𝑦,𝑏𝑦.

Logo, podemos escrever os vetores em termos de seus versores da seguinteforma:

a = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 b = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗

a + b= (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 )î+ (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)ĵ

ATENÇÃO!Para somarmos vetores pelas suascomponentes, devemos somar ousubtrair vetores que estejam na mesmadireção ou eixo coordenado! No nossocaso, analisando o eixo “x” notamos quesobre o eixo encontram-se ascomponentes 𝑎𝑥 e 𝑏𝑥 pois ambas estãoorientadas pelo versor 𝑖 ! Devemosestender o mesmo raciocínio para o eixo“y”.

a + b= (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 )î+ (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)ĵ

APRESENTAR A SOMA VETORIAL A PARTIR DAS SUAS COMPONENTES.

(26º QUESTÃO DA APOSTILA) Determine a soma de 𝑎 + 𝑏,em termos de vetores unitários para 𝑎 = 4,0 𝑚 𝑖 +

3,0 𝑚 𝑗 e 𝑏 = (−13,0 𝑚) 𝑖 + (4,0 𝑚) 𝑗 juntamente com o

seu módulo e a orientação de 𝑎 + 𝑏 relativa a 𝑗.

Obs.: O símbolo 𝑚 é expresso nos vetores para denotar queesses possuem dimensão de comprimento.

(13º QUESTÃO DA APOSTILA) Determine, utilizando os

vetores unitários, a) a soma dos dois vetores 𝑎 = 4 𝑖 +

3 𝑗 e 𝑏 = −3 𝑖 + 4 𝑗. b) Quais são o módulo e a direção

do vetor 𝑎 e 𝑏?

(18ª QUESTÃO DA APOSTILA) Uma força F1, de módulo igual a2 N forma um ângulo de 30° com o eixo Ox no sentido anti-horário. Uma força F2, de módulo igual a 6 N forma um ângulode 80° com o eixo Ox no sentido anti-horário. Calcule: (a) omódulo F da força resultante; (b) o ângulo formado entre aresultante e o eixo Ox.

Pode ser feita de três formas:

Multiplicação de um vetor por um escalar = vetor

Produto escalar: multiplicação de um vetor por um vetor = escalar

Produto vetorial: multiplicação de um vetor por um vetor = vetor

VETOR ESCALARMULTIPLICAÇÃO VETOR

Existem alguns exemplos como: força e momento linear.

Considere um vetor 𝑎 e um escalar w: 𝑎.w = 𝑟

Características do vetor 𝑟: O módulo de 𝑟 é o módulo que resulta da multiplicação

de 𝑎 e w. A direção de 𝑟 é a mesma de 𝑎. O sentido de 𝑟 dependerá do sinal de w. A dimensão do vetor 𝑟 é igual a dimensão do vetor 𝑎

multiplicada pela dimensão do escalar w.

VETOR ESCALARMULTIPLICAÇÃO VETOR

Na física, um exemplo mais conhecido é a grandeza trabalho.

O produto entre os vetores 𝑎 e 𝑏 tem como resultadoum escalar.

O produto escalar é escrito como 𝑎. 𝑏 e descrito pelaequação:

a.b= a b cosθ

Propriedades:

a.b = b.a comutativa

a. b = ax. bx + ay. by + az. bz distributiva

O conceito de Trabalho é um dos mais importantes da

Física. Mede o efeito produzido por uma força 𝐹 queatua sobre um corpo ao longo de um deslocamento 𝑑. O trabalho realizado por essa força é dado pelo

produto escalar de 𝐹 e 𝑑. A unidade de trabalho noSistema Internacional de unidades é1 Joule = (1 Newton).(metro).

Sendo θ o ângulo entre 𝐹e 𝑑.

. . cosW F d F d

Três situações de forças aplicadas sobre um corpo ao longo de um deslocamento retilíneo.

(15ª QUESTÃO DA APOSTILA) Um vetor 𝑎 de módulo igual a

10 unidades e outro vetor 𝑏 de módulo igual a 6 unidadesapontam para direções que fazem um ângulo de 60° entre si.Determine o produto escalar entre os dois vetores.

(27º QUESTÃO DA APOSTILA) O módulo do vetor 𝑎 é 6,00

unidades, o módulo do vetor 𝑏 é 7,00 unidades e 𝑎. 𝑏=14.

Qual o ângulo entre 𝑎 𝑒 𝑏?

VETOR MULTIPLICAÇÃO VETOR

Na física, um exemplo mais conhecido é a grandeza torque.

VETOR

O produto entre os vetores 𝑎 e 𝑏 tem como resultado umvetor.

O produto vetorial é escrito como 𝑎 × 𝑏 e descrito pelaequação:

𝑐 = 𝑎 × 𝑏

“ 𝑎 vetor 𝑏”

Características do vetor 𝑐: Módulo determinado pela equação:

c = a b senθ

A direção do vetor resultante 𝑐 é

perpendicular ao plano definido por 𝑎 e 𝑏. O seu sentido pode ser determinado pela Regra da Mão Direita.

Vá de 𝑎para 𝑏pelo menor percurso angular entre os dois vetores. Quatro dedos da sua mão direita fazem o menor

percurso angular de 𝑎 para 𝑏 e o dedo polegar estendido indica o sentido do vetor resultante.

Módulo : c = a b senθ

• Propriedade:

𝑎 × 𝑏 ≠ 𝑏 × 𝑎 não comutativa

(24º QUESTÃO DA APOSTILA) Um explorador polar foisurpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade apraticamente zero, quando retornava ao acampamento. Parachegar ao acampamento, deveria ter caminhado 5,6 km parao norte, em seguida 3,4 km na direção 30° a nordestemedido do norte e por fim 2,3 km fazendo um ângulo de 85°em relação a oeste no sentido anti-horário. Quantos metrose em que direção o explorador deverá seguir em linha retapara chegar ao acampamento?

(23º QUESTÃO DA APOSTILA) Um engenheiro eletricistadesorientado em uma grande hidrelétrica dirige 3,25 kmpara o norte, depois 4,75 km para o oeste, por seguinte1,50 km para o sul e por fim 2,50 km para o leste.Determine o módulo, a direção e o sentido dodeslocamento resultante feito pelo engenheiro eletricistaem sua obra.

Ache a resultante dos três vetores deslocamentos dodesenho por meio do método das componentes . Osmódulos dos vetores são A= 5,0 m, B= 5,0 m e C=4,0 m.

Se F1 = 300 N e Ɵ = 20°, determine a intensidade e a direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo ‘x’, da força resultante das três forças que atuam sobre o suporte.

(25º QUESTÃO DA APOSTILA) Uma pesquisadora está indo fazeruma pesquisa em uma caverna e para isso ela deve percorrer180 m para oeste, depois 210 m fazendo um ângulo de 45° emrelação a oeste no sentido horário e por fim 280 m fazendo umângulo de 30° em relação a leste no sentido anti-horário. Depoisum quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto departida, pois esqueceu seu material de pesquisa. Determine omódulo, a direção e o sentido desse quarto deslocamento.

Três forças são aplicadas a um objeto, como indicado nodesenho . A força F1 possui módulo igual a 21 N e estáapontando numa direção 30˚ à esquerda do eixo positivo de y. Aforça F2 possui um módulo igual a 15 N e aponta no sentidopositivo do eixo x. Qual deve ser o módulo, a direção e osentido(especificados pelo ângulo Ɵ mostrado no desenho) daterceira força F3, de tal forma que a soma vetorial das três forçasseja igual zero? y

x

𝜃

𝐹2

𝐹1

𝐹3

30°