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1
CAPITULO IV
ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
2
INTRODUCCION
•ES ESTUDIADO DESDE 1960.
•PERMITE EL MODELADO UNIFICADO DE LOS
SISTEMAS MODERNOS:
•LINEALES Y NO LINEALES.
•INVARIANTES Y VARIANTES EN EL TIEMPO.
•MUCHAS ENTRADAS.
•MUCHAS SALIDAS.
•Y QUE SE RELACIONAN EN FORMA COMPLICADA.
3
INTRODUCCION (Cont.)
• SE BASA EN LA DESCRIPCIÓN DE LAS
ECUACIONES DE UN SISTEMA EN TERMINOS DE
n ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN, QUE SE COMBINAN EN UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL MATRICIAL DE PRIMER ORDEN.
4
DEFINICION
ESTADO: Es el conjunto mas pequeño de variables
(denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento
de estas variables en t=to, junto con el conocimiento de la entrada
para t>= to, determina por completo el comportamiento del
sistema para cualquier tiempo t >= to.
5
DEFINICION
VARIABLES DE ESTADO: son las que forman el conjunto
más pequeño de variables que determinan el estado del sistema
dinámico.
No necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente.
En la práctica, sin embargo conviene elegir cantidades medibles
con facilidad.
6
DEFINICION
VECTOR DE ESTADO: si se necesitan “n” variables de
estado, estas variables de estado se consideran los “n”
componentes de un vector X, denominado vector de estado.
7
DEFINICION
ESPACIO DE ESTADO: es el espacio de “n” dimensiones
cuyos ejes coordenados están formados por el eje x1, x2, … , xn.
Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el
espacio de estados.
8
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS
TENEMOS TRES TIPOS DE VARIABLES:
•VARIABLES DE SALIDA•VARIABLES DE ENTRADA•VARIABLES DE ESTADO
No hay una representación única, pero si una cantidad única de variables de estado.
La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema.
9
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación
Las “n” ecuaciones de estado de un sistema dinámico de n-esimo orden se representa como:
.____
,...,2,1
,...,2,1
,,...,,,,...,, 2121
menterespectivauyxde
pj
ni
donde
ttutututxtxtxfdttdx
ji
pnii
10
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación
.___,_
,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
,,...,,,,...,, 2121
menterespectivagxde
qk
pj
ni
donde
ttutututxtxtxgty
ki
pnkk
Las ecuaciones de salida se pueden expresar como:
11
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación
Ecuaciones dinámicas: dttdxi tyk
Por facilidad de expresión y manipulación son representadas en forma matricial, definiendose los siguientes vectores:
Vector de estado Vector de entrada Vector de salida
12
1
n
tx
tx
tx
tX
n
12
1
p
tu
tu
tu
tU
p
12
1
q
ty
ty
ty
tY
q
12
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación
La ecuación de estado se puede entonces escribir como:
ttUtXFdttdX
,,
Donde F es una matriz columna de nx1 que contiene las funciones f1, f2, …, fn como elementos.
La ecuación de salida se puede escribir como:
ttUtXGtY ,,
Donde G es una matriz columna de qx1 que contiene las funciones g1, g2, …, gn como elementos.
13
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación
Para un sistema lineal e invariante en el tiempo las ecuaciones de estado se reducen a:
tUBtXAdttdX
..
tUDtXCtY ..
Ecuación de estado
Ecuación de salida
DondeA (n x m) Matriz de EstadoB (n x p) Matriz de EntradaC (q x n) Matriz de SalidaD (q x p) Matriz de Transmisión directa
14
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSEjemplo
ukyybm y
umx
x
m
b
m
kx
x
1010
2
1
2
1
Ecuación de estado
2
101x
xy Ecuación de salida
Para el sistema mecánico Resorte, masa y amortiguador:
15
CORRELACION ENTRE LA FUNCION DE TRANFERENCIA Y LA ECUACION EN EL ESPACIO DE ESTADOS
ijji
nnij
adecofactoreldenotaAdondeen
AdeAadjA
_______
det__.
1121
1222'
2221
1211
aa
aa
AA
AA
adjA
211222113112321131223221
132123113113331131233321
221323123213331232233322'
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
adjA
16
CORRELACION ENTRE LA FUNCION DE TRANFERENCIA Y LA ECUACION EN EL ESPACIO DE ESTADOS
tUBtXAdttdX
.. tUDtXCtY ..
s
s
UsG Y )( Sistema de una sola entrada y una sola salida
DBAIsCsG 1. AadjA
A 1
Ejercicio: Hallar la FT para el sistema del ejemplo anterior.
kbsms
sG
2
1R.
17
Representaciones en el espacio de estados de los sistemas basados en la función de transferencia
ububububyayayay nn
nn
nn
nn
1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
......
•Forma canónica controlable•Forma canónica observable•Forma canónica diagonal o de Jordan
Si un sistema esta definido mediante:
Puede escribirse como:
nnnn
nnnn
s
s
asasas
bsbsbsbUY
11
1
11
10
...
...
18
Forma Canónica Controlable
u
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
nnnn
n
1
0
0
0
1000
0100
0010
1
2
1
121
1
2
1
ub
x
x
x
babbabbaby
n
nnnn 02
1
0110110 .
19
Forma Canónica Observable
u
bab
bab
bab
x
x
x
a
a
a
x
x
x
x
nn
nn
n
n
n
n
n
011
011
0
2
1
1
1
1
2
1
100
001
000
ub
x
x
x
y
n
02
1
.1000
20
Forma Canónica Diagonal
Considerando la función de transferencia donde el denominador sólo posee raíces distintas:
nnn
nn
s
s
pspspsbsbsbsb
UY
21
11
10 ...
n
n
s
s
psc
psc
psc
bUY
2
2
1
10
Expansión en fracciones parciales:
21
Forma Canónica Diagonal
u
x
x
x
p
p
p
x
x
x
x
nnn
n
1
1
1
000
00
000
2
1
2
1
1
2
1
ub
x
x
x
cccy
n
n 02
1
21 .
22
Forma Canónica de Jordan
Considerando la función de transferencia donde el denominador posee raíces múltiples:
nnn
nn
s
s
pspsps
bsbsbsbUY
43
1
11
10 ...
n
n
s
s
psc
psc
psc
ps
c
ps
cb
UY
4
4
1
32
1
23
1
10
Expansión en fracciones parciales:
23
Forma Canónica de Jordan
u
x
x
x
x
x
p
p
p
p
p
nn
nx
x
x
x
x
1
1
1
0
0
0000
0000
0000
0010
0001
4
3
2
1
4
1
1
1
4
3
2
1
ub
x
x
x
cccy
n
n 02
1
21 .
24
Ejercicio
Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y diagonal del siguiente sistema:
23
3)()(
2 ss
ssUsY
2
1
2
1
2
1
13
1
0
32
10
x
xy
ux
x
x
x
2
1
2
1
2
1
10
1
3
31
20
x
xy
ux
x
x
x
2
1
2
1
2
1
12
1
1
20
01
x
xy
ux
x
x
x
Forma Canónica controlable Forma Canónica observable Forma Canónica diagonal
25
Valores característicos de una matriz A de nxn.
Los “valores característicos” o “raíces características” son las raíces de la ecuación característica:
0 AIPor ejemplo considere:
6116
100
010
A
26
0321
6116
6116
10
01
23
AI
AI
AI
La ecuación característica es:
Los valores característicos de A son las raíces de la ecuación característica: -1, -2 y -3.
Valores característicos de una matriz A de nxn.Ejemplo (cont.)
27
Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos
121
1000
0100
0010
aaaa
A
nnn
La transformación x=Pz, donde
112
11
222
21
21
111
nn
nn
n
n
P
Donde son los “n” valores característicos distintos de A
Dada la matriz A:
28
Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (cont.)
…transformará en la matriz diagonal:APP 1
n
APP
0
0
2
1
1
Observación: Si la matriz A contiene valores característicos múltiples, la diagonalización es imposible
29
Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (Ejecicio)
Considere la siguiente representación en el espacio de estados de un sistema:
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
6
0
0
6116
100
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
Hallar los valores característicos de la matriz A y luego obtener otra representación del mismo sistema mediante la transforma-ción x=Pz .
30
Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (Ejecicio)
Respuesta:
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
111
3
6
3
300
020
001
z
z
z
y
u
z
z
z
z
z
z
31
Solución de la ecuación de estado lineal e invariante con el tiempo
Caso homogéneo.
Axx x = vector de dimensión nA = matriz de coef. Constantes de nxn
Por analogía del caso escalar, la solución x(t) se halla como:
)0()(
)0()!
1!2
1()( 22
xAtetx
xtAk
tAAtItx kk
0 !k
kk
ktAAte (Matriz
exponencial)
32
Algunas propiedades de la matriz exponencial
AAteAtAeAtedtd
Converge absolutamente para todos los t finitos.
AseAtestA
e )(
IttA
eAteAteAteAte )(
BteAtetBA
e )( Si AB=BA
33
Solución de la ecuación de estado lineal e invariante con el tiempo
Caso NO homogéneo.
BuAxx x = vector de dimensión nA = matriz de coef. Constantes de nxnu = vector de dimensión rB = matriz de coef. Constantes de nxr
Por analogía del caso escalar, la solución x(t) se halla como:
tduB
tAexAtetx
0).(.
)()0()(
0 !k
kk
ktAAte (Matriz exponencial
34
MATRIZ DE TRANSICION DE ESTADOS.
Se define como una matriz que satisface la ecuación de estado lineal homogénea
Representa la respuesta libre del sistema. Gobierna la respuesta que es debida a las condiciones iniciales solamente.Depende solamente de la matriz A.
Define por completo la transición de estado desde el tiempo inicialt=0 a cualquier tiempo t cuando las entradas son cero.
AteAsILt 11)(
35
Algunos resultados útiles en el análisis matricial.
Teorema de Cayley-Hamilton: plantea que la matriz A satisface su propia ecuación característica.Es muy útil para comprobar teoremas que involucran ecuaciones matriciales o para resolver problemas que involucran ecuaciones matriciales.
0...
0...
11
1
11
1
IaAaAaA
aaaAI
nnnn
nnnn
Considere la matriz A de nxn y su ecuación característica:
36
Algunos resultados útiles en el análisis matricial.
POLINOMIO MINIMO
De acuerdo al Teorema de Cayley-Hamilton toda matriz A satisface su propia ecuación característica, sin embargo la ecuación característica no necesariamente es la ecuación escalar de grado mínimo que A satisface.
El polinomio de grado mínimo que tiene a A como raíz se denomina polinomio mínimo
37
Algunos resultados útiles en el análisis matricial.
POLINOMIO MINIMO
mmmm aaa
11
1 ...
Tal que : 0A
0... 11
1 IaAaAaAA mm
mm
d
AI El polinomio mínimo se determina mediante:
Donde es el máximo común divisor de todos los elementos de:
d)( AIadj
nm
38
Matriz exponencial Ate
Calculo de :Ate
11 AsILeAt
Ejercicio: Considere la matriz A, calcule Ate
20
10A
)2(1
0
)2(11
1
s
sssAsI
t
t
At
e
e
AsILe2
2
11
0
121
1
R:
39
Ejercicio: Obtenga la matriz de transición de estados del sistema siguiente:
)(t
2
1
2
1
32
10
x
x
x
x
11)( AsILAtet
21212
211
213
1
sss
ss
sssss
AsI
tttt
tttt
eeee
eeeeAtet22
22
22
2)(
MATRIZ DE TRANSICION DE ESTADOS.
40
Controlabilidad y Observabilidad
Gobiernan la existencia de una solución de un problema de control óptimo. (Criterios para determinar desde el inicio si la solución de diseño existe o no según los parámetros y objetivos del diseño)
Es la diferencia básica entre la teoría de control óptimo y la teoría clásica de control. En esta última, las técnicas de diseño son dominadas por métodos de prueba y error, donde el diseñador desconoce en el inicio si existe solución.
41
Controlabilidad
•Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.
•Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t).
•Si una de las variables de estado es independiente del control u(t), no habría forma de dirigir esta variable al estado deseado por medio de un esfuerzo del control, por lo tanto, es un estado no controlable y el sistema es no controlable.
42
Controlabilidad
El concepto anterior se refiere a los estados y se conoce como controlabilidad del estado.
También puede definirse para las salidas del sistema y se habla de controlabilidad de la salida.
43
Controlabilidad
Teorema:Para que el sistema descripto por: sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de controlabilidad de “n x nr” tenga rango “n”:
BuAxx
BABAABBS n 12
Obs: El rango de una matriz A es el número máximo de columnas linealmente independientes de A; o es el orden de la matriz no singular más grande contenida en A.
44
Controlabilidad
Ejemplo 1.Considere el sistema siguiente:
ux
x
x
x
0
1
10
11
2
1
2
1
Dado que
El sistema NO es de un estado completamente controlable
singularABB
00
11
45
Controlabilidad
Ejemplo 2.Considere el sistema siguiente:
ux
x
x
x
0
1
12
11
2
1
2
1
Para este caso
El sistema es de un estado completamente controlable
singularnoABB
21
10
46
Controlabilidad de la salida
Un sistema es de salida completamente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfiera cualquier salida inicial y(to) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito 10 ttt
Un sistema es de salida completamente controlable si y solo si la matriz de m x (n+1)r:
DBCABCACABBC n 12
es de rango m.
47
Observabilidad
Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.
Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas.
Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable y el sistema no es observable.
48
Teorema:Para que el sistema descripto por la ecuaciones:
DuCxy
BuAxx
Observabilidad
sea completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de observabilidad de “n x np” tenga rango “n”
1
2
nCA
CA
CA
C
V
49
Ejercicio 1.Considere el sistema siguiente:
Observabilidad
3
2
1
3
2
1
3
2
1
011
1
0
2
101
110
221
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
¿Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable?
50
FIN