Modelo en el espacio de estados Definiciones: Un modelo en el espacio de estados observa, en el tiempo, las transformaciones de energa que suceden al interior de un circuito, y no solo la relacin salida a entrada. Por esto se nombra a una variable como estado cuando sta describe la energa, como ocurre con el voltaje en una capacidad o la corriente en una bobina. El mtodo divide un modelo de orden n en n ecuaciones de orden uno; cada una llamada ecuacin de estado. En el lado izquierdo de esta ecuacin est la derivada del estado; en la derecha, una combinacin lineal de todos los estados y la fuente. La ley de Ohm de la capacidad e inductancia, en forma diferencial, es la forma ms rpida de comenzar a calcular la ecuacin de estado, pues ya incluye la variacin, o derivada del estado. Una vez se escriben las ecuaciones sigue el recopilarlas en forma matricial. Por ltimo se escribe la ecuacin de salida; esta es una combinacin lineal entre los estados y la fuente, la cual permite observar cualquier parmetro del circuito. De izquierda a derecha en el modelo aparece: un vector columna, con la variacin de los estados; este, igualado a la matriz del sistema A (en ella est la informacin en cuanto a la conexin entre los elementos), multiplicada por el vector columna de estados. A esto se le suma el vector de entrada B, multiplicado por la fuente. En la ecuacin inferior est la salida, igualada al vector fila de salida C, el cual es multiplicado por el vector de estado. Por ltimo, se suma una constante d (la cual describe la influencia directa de la fuente sobre la salida), multiplicada por la fuente. Caractersticas: Cuando se trata de circuitos de orden dos o tres, resulta conveniente realizar el diagrama de estados, en el cual el eje X es un estado, el Y otro, y segn sea el caso, Z uno ms. Resultan curvas que permiten observar el comportamiento del circuito de manera general, sin preocuparse por la variacin temporal, de lo cual, por ejemplo, se desprende el concepto de atractor. En segundo orden, cuando no hay fuentes, (0,0) es un atractor, debido a que cualquier condicin inicial del estado uno y dos se dirige a cero siempre, por la disipacin de la energa en las resistencias. Es posible transformar el modelo en el espacio de estados a una funcin de transferencia o ecuacin diferencial, aunque con esto se pierda la visin interna del circuito. Asimismo, de la funcin de transferencia o ecuacin diferencial se puede pasar al espacio de estados, pero por lo general resultan estados sin sentido fsico. Esto implica que el juego de estados no es nico: existen muchas representaciones en el espacio de estados para un circuito, algunas de las cuales pueden estar formadas por estados con sentido matemtico y no fsico.

Espacio de estado

2.1 Introducci n oLa teora cl sica de control, basada principalemente en la transformada de Laplace, proporciona herramientas efectivas a para el an lisis, modelado y control de sistemas din micos, utilizando un enfoque muy sencillo y de f cil aplicaci n. La transa a a o formada de Laplace permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. Lo anterior simplica grandemente el an lisis pero lleva a las siguientes limitantes: a No proporciona informaci n sobre la estructura fsica del sistema. o Solo es v lida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo. a No proporciona informaci n de lo que pasa dentro del sistema. o Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas. Ning n sistema din mico de inter s cumple con todos estos requisitos, esto es: Los sistemas din micos reales presentan no u a e a linealidades, pueden tener m s de una entrada o m s de una salida, sus par metros cambian en el tiempo y las condiciones a a a iniciales no siempre tienen un valor de cero. Afortunadamente, para muchos sistemas es posible considerar esas limitaciones, trabajar sobre una condici n de inter s, linealizar y utilizar las ventajas de la teora cl sica de control. Sin embargo, muchas o e a veces es de inter s conocer de un sistema algo m s que su relaci n entrada salida. Ya sea por la complejidad del sistema e a o din mico o por el tipo de an lisis resulta muchas veces necesario conocer la m xima informaci n posible del sistema para ser a a a o utilizada en su estudio o control. En estos casos es muy com n el uso del m todo en espacio de estado. El m todo en espacio u e e de estado es considerado la piedra angular de la teora de control moderna. La representaci n es espacio de estado presenta o las siguientes ventajas: Aplicable a sistemas lineales y no lineales. Permite analizar sistemas de m s de una entrada o m s de una salida. a a Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo. Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero. Proporciona informaci n de lo que pasa dentro del sistema. o Resultados sencillos y elegantes.

Figura 1: Modelado y funci n de transferencia o A continuaci n se denen algunos conceptos. o Sistema. Es un conjunto de elementos que act an juntos en un n determinado. Tambi n se entender como una relaci n u e a o entre entradas y salidas. Sistema determinista. Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una salida. 1

Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si el sistema tiene m s de una entrada o m s de una a a salida se llamar sistema multivariable. a Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo t1 , no depende de entradas aplicadas despu s e de t1 . Obs rvese que la denici n implica que un sistema no causal es capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la e o causalidad es una propiedad intrnseca de cualquier sistema fsico. Sistema din mico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 a depende solamente de la entrada aplicada en t1 , el sistema se conoce como sistema est tico o sin memoria. a La salida de un sistema est tico permanece constante si la entrada no cambia. a En un sistema din mico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la entrada, a menos que el sistema ya se a encuentre en estado estable. Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene par metros jos o estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus a caractersticas no cambian al pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con traslaciones en el tiempo.

2.2 Representaci n por medio del espacio de estado oLa principal ventaja de la representaci n en espacio de estado es que es posible el an lisis de cualquier sistema din mico, o a a no importa si es no lineal, lineal, variante en el tiempo o invariante en el tiempo, tampoco hay restricciones en el n mero de u variables, tanto internas, perturbaciones, entradas o salidas. Con la representaci n en espacio de estado tenemos la capacidad o de conocer y controlar en cierta medida la din mica interna de un sistema y su respuesta. Este m todo principia con la a e selecci n de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la din mica o a del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema. En forma general, un sistema visto en espacio de estado tiene la siguiente forma x = f (x, t) + g (x, t) u (1)

o donde x n ,u m ,x = dx , f y g son generalmente mapeos suaves de clase C (una excepci n pueden ser los sistemas dt con discontinuidades). El vector x representa las variables de estado y el vector u representa el control. A la ecuaci n (1) se le o llama ecuaci n del espacio de estado. Para realizar la representaci n en espacio de estado de un sistema din mico, se necesita o o a manipular las ecuaciones del modelo que lo representa, de tal forma que se pueda obtener la raz n de cambio respecto al o tiempo de cada variable de estado seleccionada. A continuaci n se dene la terminologa b sica empleada en espacio de estado: o a Concepto de estado. El estado de un sistema al tiempo t0 es la cantidad de informaci n que junto con una entrada u[t0 , ) o nos permite determinar el comportamiento del sistema de manera unica para cualquier t t0 . Estado. El estado de un sistema din mico es el conjunto m s peque o de variables (denominadas variables de estado) tales a a n que el conocimiento de esas variables en t = t0 , conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t > t0 , determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t > t0 . Variables de estado. Son las variables que constituyen el conjunto m s peque o de variables que determinan el estado de a n un sistema din mico. Si se requieren al menos n variables (x1 , x2 , , xn ) para describir completamente el comportamiento a de un sistema din mico, se dice que el sistema es de orden n. Nota: A veces por comodidad, suele usarse la palabra estaa dospara referirse a las variables de estado. Por ejemplo, -uno de los estados no se puede medir-, en lugar de decir, -una de las variables de estado no se puede medir.-. Esto a veces es confuso y no es totalmente correcto. Vector de estado. Las n variables de estado forman el vector de estado, que generalmente es un vector columna de dimensi n o [n 1]. Donde n es el n mero de variables de estado. u Cuando se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo, la ecuaci n (1), se transforma en: o x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (2) (3)

donde A,B,C y D representan matrices con elementos constantes. Las ecuaciones (2) y (3) representan en forma general un sistema din mico lineal invariante en el tiempo, la ecuaci n (2) representa la din mica del estado, mientras que la ecuaci n a o a o

2

(3) es la ecuaci n de salida del sistema. Las ecuaciones (2) y (3) en forma desglosada se ven o x1 (t) a11 a12 . . . a1n x1 (t) b11 b12 . . . b1m x2 (t) a21 a22 . . . a2n x2 (t) b21 b22 . . . b2m = . + . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn (t) y1 (t) y2 (t) . . . yp (t) an1 c11 c21 . . . cp1 an2 c12 c22 . . . cp2 . . . ann ... ... .. . c1n c2n . . . xn (t) x1 (t) x2 (t) . . . xn (t) bn1 d11 d21 . . . dp1 bn2 d12 d22 . . . dp2 ... ... ... .. . ... bnm d1m d2m . . . dpm

u1 (t) u2 (t) . . . um (t) u1 (t) u2 (t) . . . um (t)

=

+

. . . cpn

Las ecuaciones (2) y (3) tienen la ventaja de que es posible manipularlas utilizando solo las propiedades del algebra lineal. Una de las caractersticas princiales de la representaci n en espacio de estado es que no es unica para cada sistema a re o presentar. Un sistema din mico puede tener varias representaciones en espacio de estado. En algunas representaciones, las a variables de inter s pueden estar m s accesibles para medici n y/o control. A cada representaci n en espacio de estado tame a o o bi n se le llama realizaci n. La multiplicidad de realizaciones para cualquier sistema, puede ser ilustrada por el hecho que de e o una realizaci n en espacio de estado dada es posible obtener otra por medio de un cambio de variables. Sea el sistema: o x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) se aplica el cambio de variables x(t) = T x(t), donde T es una matriz no singular y x(t) son las variables de estado nuevas. La nueva realizaci n queda: o x x(t) = T 1 AT x(t) + T 1 Bu(t) = A(t) + B(t) y(t) = CT x(t) = C x(t) Como es posible encontrar innidad de matrices T que no sean singular, entonces es claro una multiplicidad de realizaciones para el mismo sistema. Las matrices relacionadas por: A = T 1 AT se dice que son similares. Por este motivo a la transformaci n hecha anteriormente se le llama transformaci n de similaridad. o o Con lo visto hasta ahora podemos deducir lo siguiente: El concepto de estado se aplica a cualquier tipo de sistema. La elecci n de las variables de estado no es unica. o El estado de un sistema es una cantidad que puede o no tener un signicado fsico. El estado de un sistema puede consistir de un conjunto nito o innito de n meros. u

2.3 Obtenci n de las ecuaciones de estado o2.3.1 Modelado en espacio de estadoLa representaci n en espacio de estado puede ser derivada desde las ecuaciones diferenciales que representan a un sisteo ma, o desde cualquier arreglo de ecuaciones diferenciales aunque estas no representen ning n sistema. Por otra parte, si se u desconoce o no se tiene el modelo matem tico (ecuaciones diferenciales) de un sistema, ser necesario obtenerlo por medio a a de las leyes o teoras (fsicas, qumicas, monetarias, etc.) que gobiernan su comportamiento. Una procedimiento muy com n para obtener el espacio de estado es el siguiente: u 1. Identicar completamente el sistema. Conocer el sistema, que es lo que hace, cuales son sus variables, su comportamiento, su interrelaci n al exterior, etc. o 3

2. Identicar las leyes o teoras que gobiernan el comportamiento del sistema. Leyes de termodin mica, Leyes din micas, a a segunda ley de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc. 3. Denir las ecuaciones diferenciales que representen el comportamiento del sistema. Aqu se empieza a formular el modelo matem tico. El grado de complejidad depender de que tan elmente se espera que el modelo matem tico a a a represente el comportamiento del sistema y de las necesidades de simulaci n, medici n o control. Los pasos 1,2,3 son o o b sicos de cualquier modelado. a 4. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mnimas que determinan el comportamiento din mico del siste a ma. Si se escogen menos de las necesarias, el espacio de estado no representa todo el comportamiento del sistema, si se denen m s, la representaci n en espacio de estado es redundante. a o 5. Encontrar la din mica de cada estado. Es decir, encontrar la raz n de cambio respecto al tiempo de cada variable de a o estado (su derivada). 6. Desplegar el arreglo de las din micas del estado como en la ecuaci n (1) o como el arreglo de las ecuaciones (2)-(3) a o si las ecuaciones son lineales o linealizadas. Ejemplo 2.1. Represente por medio de espacio de estado el sistema mec nico esquematizado en la gura 2. Donde u(t) es a la fuerza aplicada, b es el coeciente de fricci n viscosa, k es la constante del resorte. La fuerza del resorte se considera o proporcional a la posici n y(t) y la fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad y(t). o

Figura 2: Sistema mec nico (masa, resorte, amortiguador). a soluci n. Utilizando la segunda ley de newton, se obtiene la ecuaci n de sumatoria de fuerzas: o o ma = f uerzas

masa acelaracin = f uerza aplicada f uerza resorte f uerza amortiguador o m(t) = u(t) by(t) ky(t) y Se desea conocer la posici n y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por esa raz n, esas variables se denen como las o o variables de estado. x1 (t) = y(t), x2 (t) = y(t) La representaci n ser entonces de segundo orden (n = 2). Si solo interesara conocer la posici n, tambi n se escogeran dos o a o e variables de estado, ya que la misma ecuaci n diferencial nos indica una doble derivada. Si solo se escogiera la posici n como o o variable de estado, no se representara totalmente el comportamiento del sistema. El siguiente paso es determinar las din micas del estado. Para la variable de estado x1 (t) , su derivada es la variable de a estado x2 (t) x1 (t) = x2 (t) Mientras que la derivada del estado x2 (t) se obtiene de la ecuaci n de sumatorias de fuerzas: o m(t) = u(t) by(t) ky(t) y mx2 (t) = u(t) bx2 (t) kx1 (t) x2 (t) = b 1 k x1 (t) x2 (t) + u(t) m m m

4

Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado: x1 (t) = x2 (t) k x2 (t) = m x1 (t) como la representaci n es lineal, se puede indicar en matrices o x1 (t) x2 (t) = 0 k m 1 b m x1 (t) x2 (t) + 01 m b m x2 (t)

+

1 m u(t)

u(t)

Ejemplo 2.2 Represente por medio de espacio de estado, el circuito RL de la gura 3(a).

Figura 3: Circuitos RL y RC de los ejemplos 2.2 y 2.3 Soluci n. Utilizando la ley de voltajes de Kirchoff, se tiene o V1 (t) = i(t)R + L di(t) dt

Se propone solo una variable de estado, ya que la ecuaci n diferencial que lo representa es de primer orden ( solo existe un o elemento din mico en el circuito). Se dene a la corriente i(t) como la variable de estado, por tener de manera explcita su a derivada. Entonces se tiene: di(t) R 1 = i(t) + V1 (t) dt L L y si se dene x(t) = i(t), u(t) = V1 (t) R 1 x(t) = x(t) + u(t) L L Ejemplo 2.3 Represente por medio de espacio de estado, el circuito RC de la gura 3(b). Soluci n. Utilizando la ley de voltajes de Kirchoff, se tiene o V1 (t) = i(t)R + Vc (t) la ecuaci n anterior muestra una variable de entrada (V1 (t)) y dos variables internas del circuito (i(t) y Vc (t)). No est presente o a de manera explcita ninguna de las derivadas con respecto al tiempo de estas variables. Se reformula (conociendo que el capacitor es el elemento din mico) la ecuaci n como: a o V1 (t) = i(t)R + 1 C i(t)dt

Se dene x(t) = i(t)dt como la unica variable de estado, u(t) = V1 (t), y la salida (y(t)) como el voltaje en el capacitor. La representaci n queda: o 1 1 x(t) = CR x(t) + R u(t) y(t) =1 C x(t)

2.3.2 De la funci n de transferencia a espacio de estado oUn m todo muy com n es el m todo de salida de integradores. Se obtendr n las variables de estado integrando sucesivae u e a mente la funci n de transferencia. o Suponga la siguiente funci n de transferencia o Y (s) b1 s2 + b2 s + b3 = 3 U (s) s + a1 s2 + a2 s + a3 5

Como primer paso, se cruzan los denominadores y numeradores entre ambas partes de la ecuaci n. Las variables en Laplace o (Y (s),U (s)) se cambian directamente a variables en el tiempo (y, u) s3 y + a1 s2 y + a2 sy + a3 y = b1 s2 u + b2 su + b3 u s3 y + a1 s2 y b1 s2 u + a2 sy b2 su + a3 y b3 u = 0 Se realiza la primera integraci n, se toma una s como factor com n en la parte izquierda de la ecuaci n o u o s s2 y + a1 sy b1 su + a2 y b2 u + a3 y b3 u = 0 se dene lo que queda dentro del par ntesis en (4) como la primera variable de estado (x1 ) e x1 = s2 y + a1 sy b1 su + a2 y b2 u ahora la ecuaci n (4) queda: o sx1 + a3 y b3 u = 0 x1 = a3 y + b3 u (6) La ecuaci n (6) es la primera ecuaci n de estado. El procedimiento se repite, ahora se realiza la segunda integraci n, de la o o o ecuaci n (5) se toma s como factor com n o u x1 = s(sy + a1 y b1 u) + a2 y b2 u se dene lo que queda dentro del par ntesis en (7) como la segunda variable de estado (x2 ) e x2 = sy + a1 y b1 u ahora la ecuaci n (7) queda: o x1 = sx2 + a2 y b2 u x2 = x1 a2 y + b2 u (9) La ecuaci n (9) es la segunda ecuaci n de estado. El procedimiento se repite, ahora se realiza la tercera y ultima integraci n o o o (por ser una funci n de transferencia de tercer orden). De la ecuaci n (8) se toma s como factor com n o o u x2 = s(y) + a1 y b1 u se dene lo que queda dentro del par ntesis en (10) como la tercera variable de estado (x3 ) e x3 = y y la ecuaci n (10) queda: o x2 = sx3 + a1 y b1 u x3 = x2 a1 x3 + b1 u Con las ecuaciones (6),(9),(12) y (11), se obtiene la representaci n en espacio de estado o x1 = a3 x3 + b3 u x2 = x1 a2 x3 + b2 u x3 = x2 a1 x3 + b1 u y = x3 El resultado puede expresarse en forma matricial x1 0 x2 = 1 x3 0 (12) (11) (10) (8) (7) (5) (4)

0 a3 x1 b3 0 a2 x2 + b2 u 1 a1 x3 b1 x1 y = 0 0 1 x2 x3 6

2.3.3 Transformada de Laplace de representaciones en espacio de estadoEs posible obtener la transformada de Laplace a partir de una representaci n en espacio de estado. Este procedimiento o est limitado a sistemas lineales invariantes en el tiempo, una entrada, una salida, con condiciones iniciales iguales a cero. a Suponga una representaci n lineal en espacio de estado de la forma (2)-(3) o x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (13)-(14) se obtiene: sX(s) x0 = AX(s) + BU (s) Y (s) = CX(s) + DU (s) realizando algunas modicaciones en (15)-(16) (sI A) X(s) = x0 + BU (s) X(s) = (sI A) Y (s) = C (sI A)1 1

(13) (14)

(15) (16)

x0 + (sI A)1

1

BU (s)

x0 + C (sI A)

BU (s) + DU (s)

Si las condiciones iniciales son iguales a cero, x0 = 0, entonces Y (s) = C (sI A) o como normalmente se escribe: G(s) =1

B + D U (s)

Y (s) 1 = C (sI A) B + D U (s)

(17)

G(s) en (17) es la funci n de transferencia del sistema, es una matriz cuyos elementos son funciones racionales. Tiene tantas o las como salida tiene el sistema y tantas columnas como entradas. Se vuelve a comentar que para tener signicado con la transformada de Laplace de un sistema, se reduce a una entrada y una salida. Si este es el caso, G(s) es una matriz de 1 1 (escalar). Otro m todo usado para obtener la funci n de transferencia a partir de un modelo en espacio de estados lineal (una entrada-una e o salida) es por medio de su representaci n gr ca utilizando bloques integradores, bloques sumadores y bloques multiplicao a dores. Ejemplo 2.4. Obtenga la funci n de transferencia del siguiente modelo en espacio de estado, a)utilizando la f rmula (17)y b) o o por medio de su representaci n gr ca. o a x1 = x2 x2 = 5x1 7x2 + 2u y = x1 Soluci n. a) o Y (s) 1 = C (sI A) B + D U (s) A= (sI A)1

0 1 5 7

,

B=1

0 2 = 1 0

,

C= s 1 5 s+7 s+7 5

1

01

, =

D=0 1 s2 + 7s + 5 0 2 s+7 5 1 s

=

s 0 0 s

0 1 5 7

Y (s) 1 = 2 U (s) s + 7s + 5

1 s

Y (s) 2 = 2 U (s) s + 7s + 5 b) Resolver utilizando su representaci n gr ca. Se usa un bloque integrador por cada ecuaci n diferencial, se coloca primero o a o el bloque integrador de la variable x2 por estar m s directa a la entrada o control a 7

Figura 4: Bloques integradores Del sistema se observa que la derivada de x1 es x2 , por lo que se unen el nal del bloque a la izquierda con el principio del bloque a la derecha (ver gura 4). Mientras que la derivada de x2 es igual a sumatoria de tres elementos. Utilizando dos puntos de suma y tres bloques multiplicadores, se tiene

Figura 5: Diagrama a bloques, ejemplo 2.4 Ahora, utilizando las reglas de reducci n de bloques se obtiene la respuesta esperada o Y (s) 2 = 2 U (s) s + 7s + 5

2.4 Soluci n de la ecuaci n de estado de un sistema lineal o oUna vez que se dene o dise a una representaci n en espacio de estado, se dispone de dos formas de an lisis, el Cualitativo n o a y el Cuantitativo, el primero se reere a las caractersticas y cualidades que tiene el sistema, mientras que el segundo se reere al valor num rico que poseen las variables de estado. En esta secci n trabajaremos sobre el an lisis cuantitativo. Nos e o a enfocaremos a la soluci n en el tiempo de las variables de estado de sistemas lineales, primero sistemas homog neos escalares o e y vectoriales, despu s con excitaci n externa. e o

Figura 6: Soluci n del estado. o Soluci n para una representaci n escalar o o Sea el sistema Homog neo escalar e x(t) = ax(t) suponga que la soluci n de (18) es de la forma o x(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + la derivada con respecto al tiempo de (19) es de la forma x(t) = b1 + 2b2 t + 3b3 t2 + sustituyendo (19) y (20) en (18) se tiene b1 + 2b2 t + 3b3 t2 + = a b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + (20) (19) (18)

8

igualando los coecientes con las mismas potencias de t b1 b2 b3 bk sustituyendo estas igualdades en (19) se tiene 1 1 3 3 x(t) = b0 + ab0 t + a2 b0 t2 + a b0 t + 2 23 x(t) = ahora, utilizando la igualdad

= ab0 = 1 ab1 = 1 a (ab0 ) = 1 a2 b0 2 2 2 1 = 1 ab2 = 1 a 1 ab1 = 1 2 a3 b0 3 3 2 3 1 1 k = k abk1 = k! a b0

1 3 3 1 1 a t + + ak tk b0 1 + at + a2 t2 + 2 23 k!

eat =k=0

1 k k a t k!

y considerando que

b0 = x(0) en t = 0

la soluci n para el sistema (18) es o x(t) = eat x(0) Soluci n para una representaci n vectorial o o Sea el sistema homog neo vectorial e x(t) = Ax(t) donde x(t)T = [x1 , x2 , , xn ] y A es una matriz de dimensi n n n. Suponga que la soluci n para (21) es o o x(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + , donde b = vectores columna derivando (22) y sustituyendo en (21) b1 + 2b2 t + 3b3 t2 + = A b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + Se igualan coecientes con las mismas potencias de t b1 b2 b3 bk sustituyendo estos coecientes en (22) 1 x(t) = b0 + Ab0 t + A2 b0 t2 + 2 1 1 x(t) = I + At + A2 t + + Ak tk + 2 k! utilizando la igualdad eAt = 1 k k k=0 k! A t ,

(21)

(22)

= Ab0 1 1 = 2 Ab1 = 2 A2 b0 1 1 = 3 Ab2 = 23 A3 b0 1 1 = k Abk1 = k! Ak b0

b0

y b0 = x(0), en t = 0, se tiene x(t) = eAt x(0) (23)

donde x(0)T = [x1 (0), x2 (0), , xn (0)], eAt se le llama la matriz exponencial. Se puede obtener la matriz exponencial aplicando la transformada de Laplace a (21) L {x(t) = Ax(t)} sX(s) x(0) = AX(s) (sI A) X(s) = x(0) X(s) = (sI A)1

x(0)

9

y aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene x(t) = L1 (sI A)1

x(0)

(24)

Igualando (23) y (24) se tiene que la matriz exponencial se puede obtener por eAt = L1 (sI A) Ejemplo 2.6. Encontrar la matriz exponencial para el siguiente sistema x1 x2 Soluci n o1 1

(25)

=

0 1 3 4

x1 x21 1

eAt = L1 (sI A) (sI A)1

=

s 0 0 s

0 1 3 41

= = L1

s 1 3 s+4s+4 (s+1)(s+3) 3 (s+1)(s+3)

=

s2

1 + 4s + 3

s+4 3

1 s

eAt = L1 (sI A) eAt =

1 (s+1)(s+3) s (s+1)(s+3)

3 t 1 e3t 2e 2 3 t 2 e + 3 e3t 2

1 t 1 e3t 2e 2 1 t 2 e + 3 e3t 2

x(t) = eAt x(0)

2.5 Valores propios y vectores propios2.5.1 Introducci n oLos conceptos de valores propios y vectores propios son de gran utilidad en el an lisis en espacio de estado de sistemas a lineales. Parten de la idea de encontrar escalares que representen los efectos de una transformaci n lineal del tipo o Y = AX es decir, encontrar escalares de proporcionalidad,tal que AX = X (26)

donde X, Y n son vectores de la misma dimensi n, A es una matriz que mapea el vector X en Y , y son escalares. o Todo vector X que satisfaga la ecuaci n (26) se llama un vector propio de A que pertenece al valor propio . El conjunto de o todos los vectores que satisfagan (26) se le llama espacio propio del valor propio . La ecuaci n (26) tiene soluci n no trivial o o (X = 0) si |I A| = 0 (27) el polinomio igualado a cero que se obtiene de la ecuaci n (27) se llama ecuaci n caracterstica de la matriz A, es de la forma: o o n + a1 n1 + a2 n2 + + an1 + an = 0 y las races de la ecuaci n caracterstica son los valores propios correspondientes a A. Los t rminos eigenvalor y eigenvector o e o valor caracterstico y vector caracterstico o autovalor y autovector, es com n utilizarlos en lugar de valores propios y vec u tores propios. Cualquier matriz cuadrada tiene al menos un valor propio. Todo valor propio de una matriz, tiene las siguientes dos propiedades: Multiplicidad algebraica. Es el orden de como raz de la ecuaci n caracterstica, por ejemplo en el polinomio caracterstico o 3 + 72 + 15 + 9 = ( + 3)2 ( + 1) = 0 el valor propio = 3 tiene multiplicidad algebraica 2, mientras que el valor propio = 1 tiene multiplicidad algebraica 1. Multiplicidad geom trica.La multiplicidad geom trica de un valor propio es la dimensi n del espacio propio generado. e e o 10

2.5.2 Teorema de Cayley-HamiltonToda matriz es un cero de su ecuaci n caracterstica. o 1 2 Ejemplo 2.7 Sea la matriz A = , su polinomio caracterstico es 4 3 P () = |I A| = Entonces P (A) = 1 2 4 32

1 2 4 3 1 4 2 3 1 0

= 2 4 5

4

5

0 1

=

0 0

0 0

2.5.3 Matrices DiagonalizablesMatrices diagonales. Una matriz cuadrada es diagonal si todos sus elementos no diagonales son nulos y algunos o todos sus elementos diagonales pueden ser nulos. Por ejemplo 9 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 9 0 0 7 0 0 9 0 0 0 9 Matrices diagonalizables. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz no singular M tal que D = M 1 AM sea una matriz diagonal. En este caso se dice que A es similar (transformada bajo similitud) a una matriz diagonal D. De hecho, una matriz cuadrada de n n es diagonalizables si tiene n vectores propios linealmente independientes (La obtenci n de vectores propios se ver en el pr ximo tema). Al diagonalizar una matriz se simplican muchos de sus o a o c lculos y operaciones, sin embargo no todas las matrices son diagonalizables, afortunadamente existe otra transformaci n a o bajo similitud llamada forma de Jordan que puede ayudar a simplicar operaciones (ver 2.5.5).

2.5.4 C lculo de valores propios y vectores propios aAlgoritmo de diagonalizaci n o

Paso 1.Hallar el polinomio caracterstico P () de A Paso 2. Hallar las races de P () (los valores propios de A) Paso 3. Para cada valor propio de A, construir P = A I o P = I A y encontrar una base para el espacio de soluci n P X = 0. Los vectores vi de la base son los vectores propios linealmente independiente de o A pertenecientes a i . Paso 4. Construir la matriz M = [v1 |v2 | |vn ] con todos los vectores propios obtenido en el paso 3. Si el rango de M es pleno, entonces la matriz A es diagonalizable, es decir 1 2 = M 1 AM = .. . n donde es la matriz diagonal de valores propios de A, y M se le llama la matriz modal. Ejemplo 2.8 Encuentre los valores propios y vectores propios de A = Paso 1. El polinomio caracterstico es |I A| = 1 2 4 3 = 2 4 5 = ( 5)( + 1) 1 4 2 3

11

Paso 2. ( 5)( + 1) = 0, las races 1 = 5 y 2 = 1, son los valores propios de A Paso 3. El vector propio v1 correspondiente a 1 se obtiene restando este valor propio a los elementos diagonales de A P = A I = y resolviendo el sistema homogeneo PX = 0 4 2 4 2 x y = 0 0 o 4x + 2y = 0 o 2x y = 0 se elige x = 1 entonces y = 2 asi v1 = 4x 2y = 0 1 2 1 4 2 3 5 0 0 5 = 4 2 4 2

donde la elecci n de x = 1 es arbitraria. o De la misma forma se obtiene el vector propio v2 correspondiente a 2 P = A I = resolviendo el sistema homogeneo PX = 0 2 4 2 4 x y = 0 0 o 2x + 2y = 0 o x + y = 0 se elige x = 1 entonces y = 1 asi v2 = 4x + 4y = 0 M= v1 v2 = 1 1 2 1 1 1 1 4 2 3 1 0 0 1 = 2 4 2 4

Paso 4. La matriz modal es

a manera de comprobaci n, se obtiene la matriz diagonal de valores propios: o 1 1 3 3 1 1 1 2 = M 1 AM = 4 3 2 1 1 2 3 3 lo cual concuerda con el resultado en el paso 2. Ejemplo 2.9 Encuentre los valores propios y vectores propios de A = Paso 1. El polinomio caracterstico es |I A| = +2 6 5 +3 2 6 5 3

=

5 0 0 1

= 2 + 5 + 36

Paso 2. ( + 2.5 + 5.454356i)( + 2.5 5.454356i) = 0, las races 1 = 2.5 + 5.454356i y 2 = 2.5 5.454356i, son los valores propios de A Paso 3. El vector propio v1 correspondiente a 1 se obtiene restando este valor propio a los elementos diagonales de A P = A I = 2 6 5 3 2.5 + 5.454356i 0 0 2.5 + 5.454356i PX = 0 0.5 5.454356i 6 5 0.5 5.454356i x y = 0 0 o [0.5 5.454356i] x 6y = 0 5x + [0.5 5.454356i] y = 0 = 0.5 5.454356i 6 5 0.5 5.454356i

y resolviendo el sistema homogeneo

Nota: Las ecuaciones del sistema homog neo anterior son equivalentes, de hecho, para que un sistema de ecuaciones hoe mog neo tenga soluci n no nula se deben de tener m s inc gnitas que ecuaciones. Se toma la primer ecuaci n y se resuelve: e o a o o [0.5 5.454356i] x 6y = 0 se elige x = 1 entonces y = 0.08333 0.909059i asi v1 = 12 1 0.08333 0.909059i

donde la elecci n de x = 1 es arbitraria. o De la misma forma se obtiene el vector propio v2 correspondiente a 2 P = A I = 2 6 5 3 2.5 5.454356i 0 0 2.5 5.454356i PX = 0 x = y = 0.5 + 5.454356i 6 5 0.5 + 5.454356i

y resolviendo el sistema homogeneo 0.5 + 5.454356i 6 5 0.5 + 5.454356i Se toma la primer ecuaci n y se resuelve: o [0.5 + 5.454356i] x 6y = 0 Paso 4. La matriz modal es M= v1 v2 = 1 1 0.08333 0.909059i 0.08333 + 0.909059i se elige x = 1 entonces y = 0.08333 + 0.909059i asi v2 = 1 0.08333 + 0.909059i 0 0 o [0.5 + 5.454356i] x 6y = 0 5x + [0.5 + 5.454356i] y = 0

a manera de comprobaci n, se obtiene la matriz diagonal de valores propios: o = M 1 AM = 0.5 0.04583492i 0 + 0.550019104i 0.5 + 0.04583492i 0 0.550019104i = 2 6 5 3 1 1 0.08333 0.909059i 0.08333 + 0.909059i

2.5 + 5.454356i 0 0 2.5 5.454356i

lo cual concuerda con el resultado en el paso 2.

2.5.5 Forma de Jordan Como se coment al nal de la secci n 2.5.3, la diagonalizaci n de matrices es una herramienta muy util en algebra lineal o o o aunque no siempre es posible. Sin embargo, es posible transformar por similitud cualquier matriz cuadrada a una forma casi diagonal llamada forma de Jordan. En general, una matriz en forma de Jordan se representa como: J1 0 0 . . 0 ... ... . J(A) = . .. .. . . . 0 . 0 0 Jn donde cada elemento Ji es un bloque de Jordan de la forma 1 0 0 1 . .. . . . Ji = . . . 0 0

0 0 .. . . ..

..

. 0

0 0 . . . . . . 1

los elementos de la diagonal del bloque de Jordan son los valores propios de la matriz A tomando en cuenta la multiplicidad algebraica de cada valor propio. Justo arriba de la diagonal los elementos tienen valor 1 y 0 en los dem s elementos. a Ejemplo 2.10. Encontrar la matriz de Jordan asociada a la matriz 2 2 1 0 A = 0 1 1 2 2 13

Soluci n La matriz A tiene el polinomio caracterstico o ( + 1)2 ( + 3) = 0 La multiplicidad algebraica de 1 = 1 es 2 y de 2 = 3 es 1. A n no se conoce la multiplicidad geom trica de 1 , puede u e ser uno o dos (La multiplicidad geom trica siempre es menor o igual a la multiplicidad algebraica). La matriz de Jordan puede e ser alguna de estas dos: 1 1 0 1 0 0 0 0 a) 0 1 b) 0 1 0 0 3 0 0 3 Es la primera (a) si la multiplicidad geom trica del valor propio 1 es uno (Solo se forma un bloque de Jordan de dimensi n e o 2 2). Es la segunda opci n (b) si la multiplicidad geom trica del valor propio 1 es dos. En este caso el valor propio 1 o e tiene dos bloques de Jordan de dimensi n 1 1. o Para conocer la multiplicidad geom trica, es necesario obtener el(los) vectores propios asociados a 1 . Utilizando la sece ci n 2.5.4 se realizan los siguientes pasos. o 1 2 1 0 0 A 1 I = 0 1 2 1 (A 1 I) v1 = 0 x 1 1 2 1 0 0 0 y = 0 v1 = 0 z 1 1 2 1 El espacio propio es de dimensi n uno, por lo tanto la matriz de Jordan es: o 1 1 0 0 J = 0 1 0 0 3 Denir la matriz en forma can nica de Jordan es solo la primera parte de la soluci n. Lo siguiente es encontrar una matriz T o o que transforme por similutud a la matriz A a una forma can nica de Jordan. A partir de la forma de Jordan J ya obtenida y o de los vectores base est ndard del cuerpo complejo C a 0 0 1 e3 = 0 e2 = 1 , e1 = 0 , 1 0 0 se multiplica por separado J con cada uno de los vectores base st ndard a 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 0 = 0 ; 0 1 0 1 = 1 ; 0 1 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 3 y se obtiene Je1 = 1 e1 Je2 = 1 e2 + e1 Je3 = 2 e3 nota : 1 = 1; 2 = 3 Utilizando la estructura obtenida, se dene Av1 = 1 v1 (A 1 I) v1 = 0 Av2 = 1 v2 + v1 (A 1 I) v2 = v1 Av3 = 2 v3 (A 2 I) v3 = 0

donde v1 y v3 son vectores propios de la matriz A y v2 es un vector propio generalizado asociado a 1 . Ya se cuenta con v1 (al inicio del problema), se obtiene ahora v2 (A 1 I) v2 = v1 1 2 1 x 1 0 0 0 y = 0 1 2 1 z 1 14

una posible solici n para v2 es o 1 v2 = 0.5 1 Para v3 se procede igual que para v1 (A 2 I) v3 = 0 1 2 1 x 0 0 2 0 y = 0 1 2 1 z 0 una posible solici n para v3 es o 1 v3 = 0 1 Entonces, con los vectores v1 ,v2 y v3 la matriz de transformaci n T queda o 1 1 1 T = 0 0.5 0 1 1 1 Vericando J = T 1 AT 0.5 2 0.5 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0.5 0 = 0 1 0 J = 0 2 0.5 0 0.5 1 2 2 1 1 1 0 0 3

2.5.6 Criterios para determinar estabilidad por medio de los valores propiosLa estabilidad de un sistema lineal representado en espacio de estados, puede ser determinada por las races de la ecuaci n o caracterstica de su matriz de realimentaci n (matriz A). o Ejemplo 2.9 Determine si es estable el sistema representado por x1 = x2 x2 = 20x1 5x2 + u Soluci n. La matriz de realimentaci n (A) es o o A= la ecuaci n caracterstica se obtiene de: o |I A| = 2 + 5 + 20 = 0 las races de la ecuaci n caracterstica (los valores propios) son o 1 = 2.5 + j3.7081 y 2 = 2.5 j3.7081 ambos valores propios tienen parte real negativa, por lo tanto el sistema es estable. 0 1 20 5

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