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Espacio de estados

En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo

matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y

variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se

combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del

número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las

ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse

cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de

espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio del tiempo)

provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples

entradas y salidas. Con 𝑝 entradas y 𝑞 salidas, tendríamos que escribir 𝑞𝑥𝑝 veces la

transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de

la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios

de estado no está limitado a sistemas con componentes lineales ni con condiciones

iníciales iguales a cero.

El espacio de estado se refiere al espacio de 𝑛 dimensiones cuyos ejes coordenados están

formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un

vector dentro de ese espacio.

Variables de estado

Modelo típico de espacios de estado

Las 'variables de estado son el conjunto más pequeño de variables que pueden representar

al sistema dinámico completo en un tiempo cualquiera. Las variables de estado deben ser

linealmente independientes; una variable de estado no puede ser una combinación lineal

de otras variables de estado. El número mínimo de variables de estado necesarias para

representar un sistema dado es 𝑛, es normalmente igual al orden de la ecuación diferencial

que define al sistema. Si el sistema es representado en forma de función de transferencia,

el número mínimo de variables de estado es igual al orden del denominador de la función

transferencia después de haber sido reducido a una fracción propia. Cabe destacar que al

convertir una representación de espacios de estados a una forma de función transferencia

podría perderse alguna información interna sobre el sistema, indicando que dicho sistema

es estable, cuando la representación de espacios de estados indica que es inestable en

ciertos puntos. En circuitos eléctricos, el número de variables de estados es a menudo,

pero no siempre, igual al número de elementos que almacenan energía en los circuitos,

como capacitores e inductores.

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Una variable de estado de un sistema dinámico es una señal del sistema, es decir, una

magnitud medible del mismo: Temperatura, posición, velocidad, capacidad, tensión...

Éstas podrán ser:

Entradas: Son las causantes de la evolución del sistema (en sistemas no

autónomos).

Salidas: Son las que interesa medir y analizar para controlar al sistema.

Internas: El resto de las infinitas señales; puede haber tantas como queramos, ya

sean reales o virtuales, puesto que podemos inventar combinaciones de las

existentes con sumas, productos... aunque carezcan de sentido tecnológico o

interpretación física.

Vector de estado

Si se necesitan 𝑛 variables de estado para describir completamente el comportamiento de

un sistema dado, entonces esas 𝑛 variables de estado se pueden considerar como las 𝑛

componentes de un vector 𝑿. Este vector se denomina vector de estado. Un vector de

estado es, por lo tanto, un vector que determina unívocamente el estado del sistema 𝒙(𝒕)

en cualquier instante de tiempo 𝑡 ≥ 𝑡0 especificado.

Sistemas lineales

Una forma general de representación de espacios de estado de un sistema lineal con 𝑝

entradas, 𝑞 salidas y 𝑛 variables de estado se escribe de la siguiente forma:

�̇�(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐷(𝑡)𝑢(𝑡)

Donde

𝑥(𝑡) ∈ 𝑅𝑛; 𝑦(𝑡) ∈ 𝑅𝑞; 𝑢(𝑡) ∈ 𝑅𝑝

𝑑𝑖𝑚𝐴(⋅) = 𝑛𝑥𝑛

𝑑𝑖𝑚𝐵(⋅) = 𝑛𝑥𝑝

𝑑𝑖𝑚𝐶(⋅) = 𝑞𝑥𝑛

𝑑𝑖𝑚𝐷(⋅) = 𝑞𝑥𝑝

�̇�(𝑡) =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

𝑥: 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐

𝑦: 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

𝑢: 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍

3

𝐴: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐

𝐵: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒆𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂

𝐶: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

𝐷: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒎𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂

Por simplicidad, 𝐷(. ) normalmente se toma como la matriz cero, p. ej.: se elige que el

sistema no tenga transmisión. Nótese que en esta formulación general se supone que todas

las matrices son variantes en el tiempo, p. ej.: algunos o todos sus elementos pueden

depender del tiempo. La variable temporal 𝑡 puede ser una "continua" (p. ej.:𝑡 ∈ 𝑅) o una

discreta (p. ej.:𝑡 ∈ 𝑍): en éste último caso la variable temporal es generalmente indicada

como 𝑘. Dependiendo de las consideraciones tomadas, la representación del modelo de

espacios de estado puede tomar las siguientes formas:

Tipo de sistema Modelo de espacio de estados

Continuo e invariante en el tiempo �̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)

Continuo y variante en el tiempo �̇�(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐷(𝑡)𝑢(𝑡)

Discreto e invariante en el tiempo 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) + 𝐷𝑢(𝑘)

Discreto y variante en el tiempo 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴(𝑘)𝑥(𝑘) + 𝐵(𝑘)𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶(𝑘)𝑥(𝑘) + 𝐷(𝑘)𝑢(𝑘)

Transformada de Laplace de

continua e invariante en el tiempo

𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)

Transformada de Z discreta e

invariante en el tiempo

𝑧𝑋(𝑧) = 𝐴𝑋(𝑧) + 𝐵𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧) = 𝐶𝑋(𝑧) + 𝐷𝑈(𝑧)

La estabilidad y la respuesta natural característica de un sistema pueden ser estudiadas

mediante los 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 (o valores propios) de la matriz 𝐴. La estabilidad de un

modelo de espacio de estados invariante en el tiempo puede ser fácilmente determinado

observando la función transferencia del sistema en forma factorizada. Tendría una forma

parecida a la siguiente:

4

𝐺(𝑠) = 𝑘(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2)(𝑠 − 𝑧3)

(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2)(𝑠 − 𝑝3)(𝑠 − 𝑝4)

El denominador de la función transferencia es igual al polinomio característico

encontrado tomando el determinante de 𝑠𝐼 − 𝐴,

𝜆(𝑠) = |𝑠𝐼 − 𝐴|

Las raíces de este polinomio (los 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) proporcionan los polos en la función

transferencia del sistema. Dichos polos pueden ser utilizados para analizar si el sistema

es asintótica o marginalmente estable. Los ceros encontrados en el numerador de 𝑮(𝒔)

puede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase mínima.

El sistema podría ser estable con respecto a sus entradas y salidas aún si es internamente

inestable. Este podría ser el caso si polos inestables son cancelados por ceros.

Función de transferencia

La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en

el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace de

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)

tenemos que

𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)

Luego, agrupamos y despejamos 𝑋(𝑠), dando

(𝑠𝐼 − 𝐴)𝑋(𝑠) = 𝐵𝑈(𝑠)

𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)

esto es sustituido por 𝑋(𝑠) en la ecuación de salida

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)

nos queda

𝑌(𝑠) = 𝐶((𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑠)) + 𝐷𝑈(𝑠)

Como la función de transferencia está definida como la razón de salida sobre la entrada

de un sistema, tomamos (condiciones iniciales iguales a cero)

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)

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y sustituimos las expresiones previas por 𝒀(𝒔) con respecto a 𝑼(𝒔), quedando

𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷

Claramente 𝑮(𝒔) debe tener 𝑞 por 𝑝 dimensiones, así como un total de 𝑞𝑝 elementos.

Entonces para cada entrada hay 𝑞 funciones de transferencias con uno por cada salida.

Esta es la razón por la cual la representación de espacios de estados puede fácilmente ser

la elección preferida para sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO, por

sus siglas en inglés: Multiple-Input, Multiple-Output).

II.- Modelos de Estado

Un modelo de estado puede describir sistemas lineales y no lineales, proporcionando un

fundamento matemático potente para la aplicación de diversas técnicas analíticas. En esta

sección se presenta el desarrollo de modelos de estado lineales.

2.1 Representación de sistemas dinámicos en el espacio de estado

Primer caso: La función excitadora no incluye términos derivativos. Sea el siguiente

sistema de orden 𝑛:

𝑑𝑛𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1

𝑑𝑛−1𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯+ 𝑎𝑛−1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎𝑛𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) (2.1)

Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferenciales de primer orden, para

ello se tiene que elegir n variables, con la siguiente asignación:

𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡)

𝑥2(𝑡) = �̇�(𝑡)

𝑥3(𝑡) = �̈�(𝑡)

⋮

𝑥𝑛(𝑡) =𝑑𝑛−1𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛−1

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (𝑛 ecuaciones diferenciales de primer orden)

�̇�1(𝑡) = �̇�(𝑡) → �̇�1(𝑡) = 𝑥2(𝑡)

�̇�2(𝑡) = �̈�(𝑡) → �̇�2(𝑡) = 𝑥3(𝑡)

⋮

�̇�𝑛(𝑡) =𝑑𝑛𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛 → �̇�𝑛(𝑡) = −𝑎𝑛𝑥1(𝑡) − 𝑎𝑛−1𝑥2(𝑡) − ⋯− 𝑎1𝑥𝑛(𝑡) + 𝑢(𝑡)

El conjunto de ecuaciones de estado, se representa matricialmente así:

[

�̇�1

�̇�2

⋮�̇�𝑛

] = [

0 1 0 … 00 0 1 … 0⋮

−𝑎𝑛

⋮−𝑎𝑛−1

⋮ −𝑎𝑛−2

……

⋮−𝑎1

] [

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

] + [

00⋮1

] 𝑢 (2.2)

y su forma compacta es la siguiente:

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�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (2.3)

Si consideramos que la salida del sistema y es la variable de estado 𝑥1, entonces dicha

salida se puede escribir de la siguiente forma:

𝑦 = [1 0 … 0] [

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

] (2.4)

o en su forma compacta

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (2.5)

donde

𝐴 = [

0 1 0 … 00 0 1 … 0⋮

−𝑎𝑛

⋮−𝑎𝑛−1

⋮ −𝑎𝑛−2

……

⋮−𝑎1

] ; 𝐵 = [

00⋮1

]

𝐶 = [1 0 … 0]; 𝐷 = [0]

El diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida se muestra en

la figura

Fig.- Diagrama de bloques detallado del sistema de orden 𝑛

Segundo caso: La función excitadora incluye términos derivativos. Sea el siguiente

sistema de orden 𝑛:

𝑑𝑛𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1

𝑑𝑛−1𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯+ 𝑎𝑛−1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎𝑛𝑦(𝑡)

= 𝑏0

𝑑𝑛𝑢(𝑡)

𝑑𝑡𝑛+ 𝑏1

𝑑𝑛−1𝑢(𝑡)

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯+ 𝑏𝑛−1

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑏𝑛𝑢(𝑡) (2.6)

con salida 𝑦 = 𝑥1.

El problema principal al definir las variables de estado para este caso, consiste en los

términos derivativos del miembro derecho de la ecuación (2.6).

Las variables de estado deben ser tales que eliminen las derivadas de 𝑢 en la ecuación de

estado. Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir

las siguientes variables como un conjunto de 𝑛 variables de estado:

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𝑥1 = 𝑦 − 𝛽0𝑢

𝑥2 = �̇� − 𝛽0�̇� − 𝛽1𝑢 = �̇�1 − 𝛽1𝑢

𝑥3 = �̈� − 𝛽0�̈� − 𝛽1�̇� − 𝛽2𝑢 = �̇�2 − 𝛽2𝑢 (2.7)

⋮

𝑥𝑛 = 𝑦(𝑛−1) − 𝛽0𝑢(𝑛−1) − 𝛽1𝑢

(𝑛−2) − ⋯− 𝛽𝑛−2�̇� − 𝛽𝑛−1𝑢

donde

𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛

vienen a ser:

𝛽0 = 𝑏0

𝛽1 = 𝑏1 − 𝑎1𝛽0

𝛽2 = 𝑏2 − 𝑎1𝛽1 − 𝑎2𝛽0

𝛽3 = 𝑏3 − 𝑎1𝛽2 − 𝑎2𝛽1 − 𝑎3𝛽0 (2.8)

⋮ 𝛽𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑎1𝛽𝑛−1 − ⋯− 𝑎𝑛−1𝛽1 − 𝑎𝑛𝛽0

Con esta elección de 𝑛 variables de estado (nótese que no es la única selección posible de

las variables de estado), se obtiene:

�̇�1 = 𝑥2 + 𝛽1𝑢

�̇�2 = 𝑥3 + 𝛽2𝑢

⋮ �̇�𝑛−1 = 𝑥𝑛 + 𝛽𝑛−1𝑢 (2.9)

�̇�𝑛 = −𝑎𝑛𝑥1 − 𝑎𝑛−1𝑥2 − ⋯− 𝑎1𝑥𝑛 + 𝛽𝑛𝑢

La ecuación anterior y la ecuación de salida pueden reescribirse así:

[

�̇�1

�̇�2

⋮�̇�𝑛

] = [

0 1 0 … 00 0 1 … 0⋮

−𝑎𝑛

⋮−𝑎𝑛−1

⋮ −𝑎𝑛−2

……

⋮−𝑎1

] [

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

] + [

𝛽1

𝛽2

⋮𝛽𝑛

] 𝑢 (2.10)

𝑦 = [1 0 … 0] [

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

] (2.11)

y su forma compacta es como sigue:

�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (2.12)

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

La matriz 𝐴 es exactamente la misma que la del primer caso. Las derivadas del miembro

derecho de la ecuación (2.6) afectan únicamente a los elementos de la matriz 𝐵.

Modelos de sistemas lineales

Ejemplo 2.1 Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura

mostrado en la figura, usando el método del espacio de estado

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Figura: Diagrama de un motor DC controlado por armadura

Solución

Ecuaciones:

Circuito eléctrico: Aplicando la ley de Kirchhoff a la entrada del circuito del motor,

se obtiene:

𝑒𝑎(𝑡) = 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑎𝑑𝑖𝑎(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑒𝑏(𝑡) (2.13)

Conversión de energía eléctrica en mecánica: El torque 𝑇 desarrollado por el

motor es proporcional al producto de 𝑖𝑎 y al flujo 𝜓 en el entrehierro, el que a su

vez es proporcional a la corriente de campo, donde:

𝜓 = 𝐾𝑓𝑖𝑓

𝑇(𝑡) = 𝐾𝑓𝑖𝑓𝐾1𝑖𝑎

donde 𝐾𝑓 y 𝐾1 son constantes. Luego 𝐾𝑓𝑖𝑓𝐾1. Por consiguiente, el torque desarrollado

por el motor puede expresarse por:

𝑇(𝑡) = 𝐾𝑖𝑎(𝑡) (2.14)

Circuito mecánico:

Aplicando la ley de Newton se obtiene:

𝑇(𝑡) = 𝐽𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝜃

𝑑𝑡 (2.15)

Tensión contra-electromotriz:

Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:

𝑒𝑏(𝑡) = 𝐾𝑏

𝑑𝜃

𝑑𝑡 (2.16)

Ahora, se debe escoger convenientemente las variables de estado, veamos:

La ecuación (2.13) es una ecuación diferencial de primer orden, entonces elegimos una

variable de estado:

𝑥1 = 𝑖𝑎 (2.17)

En la ecuación (6.18) el torque depende linealmente de 𝑖𝑎 (esta variable de estado ya fue

definida en la ecuación anterior).

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La ecuación (2.15) es una ecuación diferencial lineal de 2do. orden, por consiguiente

necesitamos definir 2 variables de estado, las cuales son:

𝑥2 = 𝜃 (2.18)

𝑥3 = �̇� (2.19)

En la ecuación (2.16) la variable de estado �̇� ya fue definida.

Ahora debemos obtener las ecuaciones de estado. Reemplazando la ecuación (2.16) en la

ecuación (2.15) y usando las variables de estado elegidas, se obtiene:

𝑒𝑎 = 𝑅𝑎𝑥1 + 𝐿𝑎�̇�1 + 𝐾𝑏𝑥3

⟹ �̇�1 = −𝑅𝑎

𝐿𝑎𝑥1 −

𝐾𝑏

𝐿𝑎𝑥3 +

1

𝐿𝑎𝑒𝑎 (2.20)

Ahora, derivando la ecuación 2.18 se obtiene la ecuación de estado siguiente:

�̇�2 = 𝜃

�̇�2 = 𝑥3 (2.21)

y, finalmente reemplazando las variables de estado en las ecuaciones (2.18) y (2.15):

𝐽�̇�3 + 𝑏𝑥3 = 𝐾𝑥1

⟹ �̇�3 =𝐾

𝐽𝑥1 −

𝑏

𝐽𝑥3 (2.22)

Las ecuaciones de estado (2.20), (2.21) y (2.22) se pueden representar matricialmente:

[

�̇�1

�̇�2

�̇�3

] =

[ −

𝑅𝑎

𝐿𝑎0 −

𝐾𝑏

𝐿𝑎

0 0 1𝐾

𝐽0 −

𝑏

𝐽 ]

[

𝑥1

𝑥2

𝑥3

] + [

1

𝐿𝑎

00

] 𝑒𝑎 (2.23)

o en su forma compacta:

�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (2.24)

con 𝑢 = 𝑒𝑎.

Si escogemos como salida a la posición angular 𝜃 = 𝑥2, entonces:

(2.25)

y su forma compacta es como sigue:

(2.26)

con

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Ejemplo 2.2 Dado el circuito 𝑅𝐿𝐶 mostrado en la figura 2.3, obtenga el modelo

matemático usando el método del espacio de estado

Solución

Usando la ley de Kirchhoff para tensiones, se obtiene:

(2.27)

donde:

(2.28)

Elegimos las variables de estado siguientes:

𝑥1 = 𝑉𝑐𝑥2 = 𝑖 (2.29)

Derivando la variable de estado 𝑥1 respecto del tiempo, se obtiene:

�̇�1 =1

𝐶𝑥2 (2.30)

Idénticamente, derivando la variable de estado 𝑥2 respecto del tiempo, se obtiene:

�̇�2 = −1

𝐿𝑥1 −

𝑅

𝐿𝑥2 +

1

𝐿𝑉𝑖𝑛 (2.31)

Las ecuaciones 2.30 y 2.31 pueden reescribirse en su forma matricial:

Efectuando la siguiente asignación: 𝑅 = 10 ohmios, 𝐿 = 0.2 𝐻𝑦 , y 𝐶 = 0.0015𝐹 ,

obtenemos:

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(2.32)

Si podemos medir 𝑉𝑐 entonces tenemos:

(2.33)

donde:

2.2 Diagramas de estado

El diagrama de estado es una representación gráfica de las relaciones algebraicas de un

modelo de estado usando la transformada de Laplace. La transmitancia o ganancia total

puede determinarse usando la fórmula de Mason, tal como veremos en la siguiente

sección, correspondiente al modelado de un sistema usando la función de transferencia.

Ejemplo 2.3 Obtener el diagrama de estado del siguiente modelo en el espacio de estado:

(2.34)

Solución

La ecuación de estado (2.34) se puede reescribir así:

(2.35)

(2.36)

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (2.35) y (2.36) se obtiene:

(2.37)

El diagrama de estado correspondiente se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4: Diagrama de estado

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2.3 Gestión de los modelos de estado utilizando software de simulación

El modelo de estado de procesos lineales se representa por las matrices A, B, C y D, las

cuales se utilizan en un formato común de órdenes de Matlab. Los algoritmos en el

espacio de estado se representan fácilmente en Matlab; aunque algunas órdenes sirven

para modelos de función de transferencia. La conversión de modelos de estado a función

de transferencia se realiza usando la orden ss2tf, y la conversión de modelos de función

de transferencia a espacio de estados se realiza por medio de la orden tf2ss.

Las órdenes series, parallel, feedback y cloop pueden aplicarse a modelos de función de

transferencia y a modelos de espacio de estados de bloques interconectados con solamente

una ligera variación en la sintaxis.

Los ejemplos de conversión de modelos utilizando Matlab, se presentan en la siguiente

sección.

Otra alternativa de describir el modelo de estados, es usando el diagrama de bloques de

SIMULINK. Por ejemplo, en la figura 2.5 se representa un sistema de control, donde los

bloques G2 y H2 se representan en el espacio de estado. El modelo de estado de cada

bloque se puede especificar haciendo doble click sobre el bloque y a continuación

introduciendo las correspondientes matrices A, B, C y D. Asimismo, se puede fijar la

condición inicial de cada bloque. El diagrama de bloques en SMIMULINK (en nuestro

caso) tiene el nombre sim1, cuyo modelo de estado se puede obtener aplicando la orden

de Matlab

[A,B,C,D] = linmod('sim1')

Figura 2.5: Diagrama de estado en SIMULINK

2.4 Modelos de función de transferencia

2.4.1 Función de transferencia de sistemas físicos

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada

de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada,

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suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero. La función de transferencia solo

se define para sistemas lineales y de parámetros constantes. En general, la función de

transferencia de un sistema dada por la ecuación diferencial de orden n:

𝑑𝑛𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1

𝑑𝑛−1𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯+ 𝑎𝑛−1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎𝑛𝑦(𝑡)

= 𝑏0

𝑑𝑛𝑢(𝑡)

𝑑𝑡𝑛+ 𝑏1

𝑑𝑛−1𝑢(𝑡)

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯+ 𝑏𝑛−1

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑏𝑛𝑢(𝑡) (2.38)

tiene la siguiente forma:

(2.39)

El método es particularmente útil, ya que los ceros y polos en el plano 𝑠 de la función de

transferencia, representan la respuesta transitoria del sistema.

2.4.2 Transformaciones de modelos matemáticos lineales

De espacio de estados a función de transferencia

Dado un sistema o proceso en el espacio de estado:

puede transformarse fácilmente a la relación de entrada/salida, usando la siguiente

ecuación de transformación:

(2.40)

De función de transferencia a espacio de estados

Supongamos que la función de transferencia de un proceso viene dada por:

(2.41)

la cual puede reescribirse en la siguiente forma:

(2.42)

Ahora, tomando la transformada inversa de Laplace a esta última ecuación, obtenemos:

(2.43)

A partir de aquí se aplican los criterios de elección de variables de estado y, luego la

derivación de las ecuaciones de estado (ver la sección 2.1).

2.4.3 Modelado utilizando software de simulación

Función de transferencia a espacio de estados

La orden

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

convierte el sistema de función de transferencia

(2.44)

a la representación de espacio de estados

(2.45)

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Espacio de estados a Función de transferencia

Para un sistema de una entrada y una salida, la orden

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

proporciona la función de transferencia 𝑌 (𝑠) = 𝑈(𝑠). Para un sistema de más de una entrada, utilice la orden

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu)

que convierte el sistema en representación de espacio de estados a función de

transferencia, donde "iu" es un índice dentro de las entradas sistema y especifica que

entrada se va a utilizar para la respuesta.

Ejemplo 2.5 Dado el circuito RLC del ejemplo 2.2, obtenga la transformación del

modelo de espacio de estados a función de transferencia

Solución:

Editaremos un archivo en Matlab, de nombre sstf:m, cuyo programa se muestra en la

siguiente pantalla: Al ejecutarse el programa, se obtienen los coeficientes del numerador

y denominador, así como la relación polinómica de la función de transferencia. Veamos:

num/den =

3333.3333

----------------------

s^2 + 50 s + 3333.3333

num

15

num =

1.0e+003 *

0 0 3.3333

Den

den =

1.0e+003 *

0.0010 0.0500 3.3333

Nota: Como tarea, obtenga la transformación del modelo de función de transferencia a

espacio de estados.