unidad no. 2 búsqueda en espacio de estados

INTELIGENCIA ARTIFICIAL - ICIF0021Unidad 2 - Busqueda en Espacio de Estados

Docente: Milton A. Ramırez [email protected]

Universidad San SebastianFacultad de Ingenierıa y Tecnologıa

Primer Semestre 2011

M. Ramırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 1 / 111

Objetivos de la Unidad

Conocen la estructura general de un agente de busqueda.

Identifican los tipos de busqueda que existen y comprenden las diferencias entreambos enfoques.

Conocen las diferentes metricas que existen para evaluar el rendimiento de unalgoritmo determinado en funcion de parametros como completitud, optimalidad,complejidad temporal y complejidad espacial.

Realizan busquedas no informadas empleando las estrategias en anchura y enprofundidad.

Comprenden la problematica que tiene la busqueda no informada y entienden lanecesidad de contar con informacion adicional en un problema.

Resuelven problemas aplicando estrategias de busqueda informada con heurısticasadmisibles.


Contenidos

1 Estructura de un espacio de estados.

2 Arboles de busqueda.

3 Algoritmo general de busqueda.

4 Busqueda no informada: por anchura y en profundidad.

5 Busqueda informada: A*.

6 Admisibilidad de heurısiticas.

7 Metricas para evaluar el rendimiento de una solucion.


Presentacion

Sabemos como plantear un problema.

¿Como lo resolvemos?

Mediante una exploracion del espacio de estados.

El arbol de busqueda es la estructura de datos que permite hacer elescaneo y se construye a partir del espacio de estados.


Presentacion

En lıneas generales, se parte del estado inicial del arbol de busqueday se va evaluando cada operacion posible hasta llegar a la solucion delproblema, respetando en todo momento las restricciones del mismo.


ImportanteLas acciones que lleguen a ¶ deben evitarse siempre.


Espacio de estados

El espacio de estados se puede representar como un grafo donde:

cada nodo corresponde a un estado del problema,los arcos (aristas) representan la aplicacion de un operador.Si f ∈ Φ y para algun x ∈ E : f(x) = y, la representacion grafica deesto es:

x yf


Espacio de estados

NODO INICIAL

NODOS OBJETIVOS

NODO DE FRACASO

NODOSINTERMEDIOS

o1 o2

o1o2

o1

o1

o1

o2 o2

o1

o2

01, 02

o2

01, 02 01, 02

v1

v2 v3

v4 v5 v6

v8 v9v7


Espacio de estados

Identifique todos los elementos del espacio de estados de la figuraanterior:

conjunto de estados Econjunto de operadores Φpara cada operador ∆ ∈ Φ indique en una tabla el valor de ∆(x), x ∈ Econjunto de objetivos M


ImportanteEs facil advertir en general que, independiente del problema P:

(∀m ∈M)(∀∆ ∈ Φ) : ∆(m) = m

Arboles de busqueda

Las definiciones de nodo y arco son las mismas que ocupamos paraexplicar el espacio de estados.

Recordar que en un arbol

existe un unico camino entre cada par de nodos yno hay ciclos.


Arboles de busqueda

Conceptos particulares

La raız del arbol corresponde al estado inicial.

La expansion de un nodo es el proceso que permite encontrar sussucesores inmediatos.

Los sucesores de un nodo reciben el nombre de hijos.

El objetivo es un nodo terminal del arbol que se recibe el nombre dehoja.

NODO N

NODOS SUCESORES DE N

RAÍZ


Esquema general de busqueda

Elementos principales

La lista ABIERTO contiene a los estados que han sido generados perono explorados, lo que quiere decir que hasta el momento no se sabensi son estado final ni cuales son sus estados sucesores (o hijos) dentrodel arbol de busqueda.

La lista CERRADO guarda todos los estados que ya se han visitado.



Entrada: representacion del espacio de estadosSalida: exito o fracaso1: Crear el arbol de busqueda T con X como nodo inicial2: ABIERTO ← [X]3: CERRADO ← []4: mientras ABIERTO 6= [] hacer5: remover un estado X del conjunto ABIERTO6: si X es un estado objetivo entonces7: retornar exito: camino hasta X en T8: sino9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X

10: agregar X al conjunto CERRADO11: eliminar los sucesores que esten en ABIERTO o en CERRADO12: agregar el resto de los sucesores al conjunto ABIERTO13: incorporar los sucesores que queden de X en el arbol T creando los arcos

correspondientes14: fin si15: fin mientras16: retornar fracaso



En la lınea 11 del algoritmo general de busqueda, el hecho deeliminar los sucesores que esten en ABIERTO o en CERRADO evitacaer en ciclos, para que no sean considerados de nuevo.

Dependiendo del orden en que se traten los elementos de ABIERTO,se obtienen diferentes tipos de recorrido.


Espacio de estados

El espacio de estados se puede representar como un grafo donde:

cada nodo corresponde a un estado del problema,los arcos (aristas) representan la aplicacion de un operador.

X Si f ∈ Φ y para algun x ∈ E : f(x) = y, la representacion grafica deesto es:

x yf


Espacio de estados

NODO INICIAL

NODOS OBJETIVOS

NODO DE FRACASO

NODOSINTERMEDIOS

o1 o2

o1o2

o1

o1

o1

o2 o2

o1

o2

01, 02

o2

01, 02 01, 02

v1

v2 v3

v4 v5 v6

v8 v9v7


Espacio de estados

Identifique todos los elementos del espacio de estados de la figuraanterior:

conjunto de estados Econjunto de operadores Φpara cada operador ∆ ∈ Φ indique en una tabla el valor de ∆(x), x ∈ Econjunto de objetivos M


Espacio de estados

ImportanteIndependiente de cual sea P =< E ,Φ,M >, estableceremos que

(∀m ∈M)(∀∆ ∈ Φ) : ∆(m) = m

¿Como se traduce al espanol el comentario de arriba?


Arboles de busqueda

Las definiciones de nodo y arco son las mismas que ocupamos paraexplicar el espacio de estados.

Recordar que en un arbol

existe un unico camino entre cada par de nodos yno hay ciclos.


Arboles de busqueda

Conceptos particulares

La raız del arbol corresponde al estado inicial.

La expansion de un nodo es el proceso que permite encontrar sussucesores inmediatos.

Los sucesores de un nodo reciben el nombre de hijos.

El objetivo es un nodo terminal del arbol que recibe el nombre dehoja.

NODO N

NODOS SUCESORES DE N

RAÍZ



Elementos principales

La lista ABIERTO contiene a los estados que han sido generados perono explorados, lo que quiere decir que hasta el momento no se sabensi son estado final ni cuales son sus estados sucesores (o hijos) dentrodel arbol de busqueda.

La lista CERRADO guarda todos los estados que ya se han visitado.



Entrada: representacion del espacio de estadosSalida: exito o fracaso1: Crear el arbol de busqueda T con X como nodo inicial2: ABIERTO ← [X]3: CERRADO ← []4: mientras ABIERTO 6= [] hacer5: remover un estado X del conjunto ABIERTO6: si X es un estado objetivo entonces7: retornar exito: camino hasta X en T8: sino9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X

10: agregar X al conjunto CERRADO11: eliminar los sucesores que esten en ABIERTO o en CERRADO12: agregar el resto de los sucesores al conjunto ABIERTO13: incorporar los sucesores que queden de X en el arbol T creando los arcos




En la lınea 11 del algoritmo general de busqueda, el hecho deeliminar los sucesores que esten en ABIERTO o en CERRADO evitacaer en ciclos, para que no sean considerados de nuevo.

Dependiendo del orden en que se traten los elementos de ABIERTO,se obtienen diferentes tipos de recorrido.


Metricas para medir el rendimiento de una solucion

Completitud. El algoritmo es completo si es capaz de hallar la solucion delproblema.

Complejidad temporal. Se refiere al costo en tiempo que tarde la ejecuciondel algoritmo para encontrar la solucion – si es que puedehacerlo – en funcion del tamano de la entrada.

Complejidad espacial. Es el espacio requerido para almacenar los nodosque esten o se hayan explorado.

Optimalidad. Si es capaz de encontrar la mejor solucion de acuerdo aalgun criterio de costo determinado.


Metricas para medir el rendimiento de una solucionElementos que intervienen en la complejidad

Complejidad temporal

1 Factor de ramificacion (b): corresponde al maximo numero desucesores de cualquier nodo.

2 Profundidad (d): es la distancia a la que se encuentra el nodoobjetivo mas superficial.

3 Longitud maxima del camino (m): es la profundidad maxima en elarbol de busqueda.

Complejidad espacial

Se mide en funcion del tamano maximo que alcancen los conjuntosABIERTO y CERRADO durante el proceso de busqueda.


Costo total de una busqueda

Entonces, el costo de hacer una busqueda se mide en terminos:

del tiempo de ejecucion de la busqueda

la cantidad de memoria que utilice.

Por lo tanto, el costo total de la solucion es igual a

tiempo de busqueda + costo del camino


¿Que vimos la clase pasada?

Elementos principales de los algoritmos de busqueda.

Metricas para evaluar el rendimiento de los metodos de busqueda.


Hoy veremos

Estrategias de busqueda

X en particular metodos no informados, como algoritmos que operan enprofundidad y en amplitud.

Comparacion entre ambos metodos.


Estrategias de Busqueda

Trabajaremos con dos esquemas:

Busqueda no informada

No hay informacion adicional sobre los estados.

Solo se utiliza la definicion del problema.

Sigue un orden de exploracion del espacio de estados de acuerdo a suestructura.

Busqueda informada

Utilizan una estimacion del costo o de la calidad de la solucion paraguiar la busqueda.

No sigue un orden especıfico para explorar el espacio de estados, sinoque se orientan por el criterio heurıstico aplicado.


Etapas del proceso de codificacion de la solucionindependiente del esquema elegido

PROBLEMA



PROBLEMAEXPRESIÓN

COMO ESPACIODE ESTADOS

abstracción



PROBLEMAEXPRESIÓN


abstracción

IMPLEMENTAC.EN LENG. DE

PROGRAMACIÓN



PROBLEMAEXPRESIÓN


abstracción


PROGRAMACIÓN

APLICACIÓNALGORITMOBÚSQUEDA



PROBLEMAEXPRESIÓN


abstracción


PROGRAMACIÓN

APLICACIÓNALGORITMOBÚSQUEDA

SOLUCIÓN

interpretación


Busqueda no informada

Veremos dos tecnicas:

1 Busqueda en profundidad.

2 Busqueda en anchura.

La diferencia entre uno y otro es la manera en la cual se administre elorden de visita de los nodos del conjunto ABIERTO.


Busqueda en Profundidad

Se le conoce como depth-first search.

El conjunto ABIERTO se maneja como una lista tipo LIFO:

X last in, first outX los elementos de ABIERTO se tratan como a una pila.


Busqueda en Profundidad

De manera mas informal, este algoritmo opera ası:

Se comienza en el nodo raız

Despues se expanden todos los hijos

A continuacion se expanden los hijos de los hijos avanzando enprofundidad

X . . . y ası sucesivamente

En lıneas generales, se visitan primero los ultimos nodos en sergenerados.


Algoritmo de Busqueda en Profundidad

Entrada: representacion del espacio de estadosSalida: exito o fracaso1: Crear el arbol de busqueda T con X como nodo inicial2: ABIERTO ← [X]3: CERRADO ← []4: mientras ABIERTO 6= [] hacer5: remover el primer elemento X del conjunto ABIERTO6: si X es un estado objetivo entonces7: retornar exito: camino en T hasta X8: sino9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X

10: eliminar los sucesores que esten en ABIERTO o en CERRADO11: agregar X al conjunto CERRADO12: agregar el resto de los sucesores al principio del conjunto ABIERTO13: incorporar los sucesores que queden de X en el arbol T creando los arcos



EjemploTraza del algoritmo de busqueda en profundidad

Consideremos, para simplificar, el siguiente espacio de estados donde 1 esel nodo de inicio y 8 el objetivo:

5111

3 7

6

4

2

8



El seguimiento que haremos se hara a traves de una tabla cuyas columnasseran las variables que intervienen en la concepcion del algoritmo:

Lista de estados ABIERTO (sin explorar aun).

Lista de estados CERRADOS (ya explorados).

X, que hace las veces del primer elemento de ABIERTO.

Conjunto de sucesores de X

X los hijos de X los ordenaremos por nombre en forma ascendente.



Tabla de traza del algoritmo:

No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X[1] [] 1 2-3

1 [] [1][2 3]

Evolucion del arbol de busqueda parcial:

111

3

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X2 [3] [1 2] 2 4-6

[4 6 3]


111

3

6

4

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X3 [6 3] [1 2 4] 4 5

[5 6 3]


5111

3

6

4

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X4 [6 3] [1 2 4 5] 5 6-7

[7 6 3] 7


5111

3 7

6

4

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X5 [6 3] [1 2 4 5 7] 7 8

[8 6 3]


5111

3 7

6

4

2

8




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X6 [6 3] 8

El camino final se muestra con flechas mas gruesas: �

5111

3 7

6

4

2

8


Busqueda en Anchura

Se le conoce tambien como busqueda en amplitud o breadth-firstsearch.

El conjunto ABIERTO se maneja como una lista FIFO:

X first in, first outX se maneja como una fila.


Busqueda en Anchura

El recorrido que del espacio de estados lo hace por niveles deprofundidad, de manera que un nodo se visita solamente cuandotodos sus predecesores y sus hermanos anteriores en orden degeneracion ya se han visitado.

NODO INICIAL

OBJETIVO

NIVEL 0

NIVEL 1

NIVEL 2

NIVEL 3


Busqueda en Anchura

Se comienza en el nodo raız.

Despues se expanden todos los hijos.

A continuacion se expanden todos los hijos de los hijos.

X . . . y ası sucesivamenteX se expanden todos los nodos de un nivel antes de expandir el proximo.


Algoritmo de Busqueda en Anchura

Entrada: representacion del espacio de estadosSalida: exito o fracaso1: Crear el arbol de busqueda T con X como nodo inicial2: ABIERTO ← [X]3: CERRADO ← []4: mientras ABIERTO 6= [] hacer5: remover el primer elemento X del conjunto ABIERTO6: si X es un estado objetivo entonces7: retornar exito: camino en T hasta X8: sino9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X

10: eliminar los sucesores que esten en ABIERTO o en CERRADO11: agregar X al conjunto CERRADO12: agregar el resto de los sucesores al final del conjunto ABIERTO13: incorporar los sucesores que queden de X en el arbol T creando los arcos



Ejemplotraza del algoritmo de busqueda en anchura

Consideremos nuevamente el espacio de estados del ejemplo anterior

5111

3 7

6

4

2

8




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X[1] [] 1 2-3

1 [] [1][2 3]


111

3

2





[3 4 6]


111

3

6

4

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X3 [4 6] [1 2 3] 3 4-5-7

[4 6 5 7] 5-7


5111

3 7

6

4

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X4 [6 5 7] [1 2 3 4] 4 5


5111

3 7

6

4

2




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X5 [5 7] [1 2 3 4 6] 6 7-8

[5 7 8] 8


5111

3 7

6

4

2

8




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X6 [7 8] [1 2 3 4 6 5] 5 6-7

——


5111

3 7

6

4

2

8




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X7 [8] [1 2 4 5 6 5 7] 7 8


5111

3 7

6

4

2

8




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X8 [] 8

El camino final se muestra con flechas mas gruesas: �

5111

3 7

6

4

2

8


/* Comentario */

Los ejemplos de seguimiento que hemos hecho hasta el momento hancontemplado solo un grafo en donde hemos encubierto lasoperaciones que permiten ir de un estado a otro.

Esto era solamente para que se entienda bien el espıritu de losalgoritmos que se han revisado.

A continuacion veremos un ejemplo donde el grafo ya no lo vamos atener listo como el de los ejemplos anteriores, sino que va a sernecesario ir generando los nodos siguiendo un orden de aplicacion deoperadores.


EjemploPuzzle 4

Consideremos una adaptacion del puzzle 8 conocida como el puzzle4, el cual sigue las mismas reglas con las mismas operaciones, talcomo fueron definidas para su homologo.

Encuentre una solucion para este problema usando busqueda enprofundidad, indicando la secuencia de operaciones a realizar,sabiendo que los estados inicial y final son, respectivamente:

1 2

3

3 1

2


EjemploPuzzle 4

Los elementos del espacio de estados son:

1 2

3

(1)

1 3

2

(2)

2 1

3

(3)

2 3

1

(4)

3 1

2

(5)

3 2

1

(6)

1 2

3

(7)

1 3

2

(8)

2 1

3

(9)

2 3

1

(10)

3 1

2

(11)

3 2

1

(12)

1

2 3

(13)

1

3 2

(14)

2

1 3

(15)

2

3 1

(16)

3

1 2

(17)

3

2 1

(18)

1

2 3

(19)

1

3 2

(20)

2

1 3

(21)

2

3 1

(22)

3

1 2

(23)

3

2 1

(24)

¶(25)


EjemploPuzzle 4

De acuerdo a este esquema, el estado inicial queda seteado como elnumero 1 y el objetivo como el 5.

El orden que se va a establecer para encontrar los sucesores de cadaestado va a estar dado por:

m→ m← m↑ m↓


/* Comentario */

ImportanteEl criterio que se elija para establecer la secuencia deoperadores es completamente arbitrario.

X lo que implica el orden en que se generen los sucesores decualquier nodo del arbol

Una vez establecido, se debe respetar en todo momento.


EjemploPuzzle 4

Entenderemos que para cualquier estado, sus nodos sucesoresadmisibles son aquellos que sean distintos de ¶.

Veamos, por ejemplo, cuales son los estados sucesores admisibles para

el nodo inicial1 2

3de acuerdo al orden de operadores establecido:

1 m→

(1 23

)= ¶ pues no podemos salir del tablero.

2 m←

(1 23

)=

1 23

3 m↑

(1 23

)=

13 2

4 m↓

(1 23

)= ¶ pues no podemos salir del tablero.


EjemploPuzzle 4

Por lo tanto, de acuerdo al orden que nos dan las funciones md, el orden

de los sucesores admisibles para1 2

3es:

1 2

3(7) ∧ 1

2 3(14)


Puzzle 4traza de solucion usando busqueda en profundidad


No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X1 [1] [] 1 7-14

[7 14] [1]


1

7

14

m

m





[21 14] 21


1

7 21

14

m

m

m




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X3 [14] [1 7 21] 21 15-7

[15 14] 15


1

7 21 15

14

m

m m

m




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X4 [14] [1 7 21 15] 15 21-7

——


1

7 21 15

14

m

m m

m




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X5 [] [1 7 21 15 14] 14 20

[20]


1

7 21 15

14 20m

m

m m

m




No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X6 [] [1 7 21 15 14 20] 20 14-11

[11] 11


1

7 21 15

14 20 11

m

m

m m

m

m



Tabla de traza del algoritmo:No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X

7 [] [1 7 21 15 14 20 11] 11 5-20[5] 5


1

7 21 15

14 20 11

5

m

m

m

m m

m

m



Tabla de traza del algoritmo:No. Iteracion ABIERTO CERRADO X Sucesores de X

8 [] 5


1

7 21 15

14 20 11

5

m

m

m

m m

m

m


/* Comentario */Puzzle 4

De la iteracion 8, se observa que el camino que conduce del estado 1al 5 es

1 m↑ 14 m← 20 m↓ 11 m→ 5

Atendiendo a la numeracion que tenıan los estados, este caminopodemos representarlo graficamente como:

m

mm

m

1 23

(1) 1

13 2

(14)

13 2

(20)

3 12

(11)

3 12

(5)


Busqueda en Profundidad vs Busqueda en AnchuraCriterio: Completitud

En profundidad, el algoritmo encuentra una solucion si se imponeuna profundidad lımite y existe una solucion dentro de ese lımite.

En anchura, el algoritmo siempre encuentra una solucion en caso dehaberla.


Busqueda en Profundidad vs Busqueda en AnchuraCriterio: Complejidad Temporal

En profundidad, si tomamos como medida del costo el numero denodos explorados, el costo es exponencial respecto al factor deramificacion r y la profundidad del lımite de exploracion m, nos daO(rm).

En anchura, si tomamos como medida del costo el numero de nodosexplorados, este crece de manera exponencial respecto al factor deramificacion r y la profundidad m de la solucion: O(rm).


Busqueda en Profundidad vs Busqueda en AnchuraCriterio: Complejidad Espacial

En profundidad, el costo es lineal respecto al factor de ramificacion ry el lımite de profundidad m, es decir O(rm).

En anchura, Dado que tenemos que almacenar todos los nodospendientes por explorar, el costo es exponencial respecto al factor deramificacion y la profundidad de la solucion: O(rm).


Busqueda en Profundidad vs Busqueda en AnchuraCriterio: Optimalidad

En profundidad, no se garantiza que la solucion sea optima, lasolucion que se retornara sera la primera en el orden de exploracion.

En anchura, la solucion obtenida es optima respecto al numero depasos desde la raız. Si los operadores de busqueda tienen costouniforme,el costo de la solucion serıa el optimo.


Busqueda informada

La busqueda no informada comete el error de ser muy ineficiente.

Al no depender del problema para el cual se esten aplicando, operanen cierta medida a ciegas.

El objetivo de las estrategias de busqueda informadas es queincorporen informacion particular del problema para resolverlo:

X se gana en eficienciaX se evita el uso de recorridos innecesarios en el espacio de estados.


Busqueda informada

A diferencia de los metodos no informados, la idea va a ser encontraralgun vertice que presente ventajas comparativas sobre los otroscandidatos:

X uno que en cierta etapa presente mayores posibilidades de abrircaminos que lleven a la solucion.

Este vertice mas promisor puede ser obtenido asociando un costo acada regla, lo que determina una funcion de evaluacion

f : E −→ R+0

que ya veremos.


Busqueda informada

En esta clase de algoritmos, se retira el concepto de aplicabilidad dereglas y se reemplaza por el de costo asociado a una regla, de talmanera que la funcion f ayude a encontrar el proximo estado en serexpandido.

El metodo que veremos en esta etapa recibe el nombre A*.


Algoritmo A*A-estrella

Es muy similar a la busqueda en profundidad.

En este algoritmo la funcion de evaluacion f la calculamos a partir dela suma de dos funciones

g, h : E −→ R+0

de tal manera que para un estado n ∈ E :

g mide el costo acumulado en el arbol de exploracion para ir de la raız(nodo inicial) al nodo n (no necesariamente el optimo).h representa una estimacion del costo mas barato para ir del estado nhasta el objetivo.

h recibe el nombre de funcion heurıstica.Si p es un estado objetivo, entonces h(p) = 0.



ImportanteDe esta manera:

∀n ∈ E : f(n) = g(n) + h(n)

f mide la distancia que hay de la raız hasta el objetivo pasandopor el nodo n.

Por lo tanto, se prefieren los valores mas bajos.


Algoritmo A* I

Entrada: representacion del espacio de estados, estrategia de solucionSalida: exito o fracaso1: Crear el grafo de busqueda T con X como nodo inicial2: ABIERTO ← [X]3: CERRADO ← []4: mientras ABIERTO 6= [] hacer5: remover el primer nodo X de ABIERTO6: colocar X en CERRADO7: si X es un estado objetivo entonces8: retornar exito: camino hasta X en T9: sino

10: generar el conjunto de sucesores del estado X11: ordenar los sucesores en orden creciente de acuerdo a los valores actualizados

de f12: incluir los sucesores de X en T con los arcos correspondientes13: para cada Y en sucesores hacer14: si Y no esta en ABIERTO ni en CERRADO entonces15: agregar Y en la lista ABIERTO


Algoritmo A* II

16: actualizar la lista ABIERTO en orden creciente segun los valores de fmanteniendo el de menor valor

17: fin si18: si Y esta en ABIERTO entonces19: si el nuevo camino a Y es mas corto entonces20: actualizar el camino almacenado en ABIERTO en forma creciente

segun los valores de f manteniendo el de menor valor21: fin si22: fin si23: si Y esta en CERRADO entonces24: si el nuevo camino a Y es mas corto entonces25: remover Y de CERRADO26: agregar Y en ABIERTO27: fin si28: fin si29: fin para30: fin si31: fin mientras32: retornar fracaso



Por notacion, al elaborar el arbol de busqueda, al lado de cada nodo ncolocaremos explıcitamente g(n) + h(n).


Algoritmo A* - Ejemploparte del mapa de Rumania

Bucharest

Arad Fagaras

Zerind Oradea

Sibiu

Timisoara

Lugoj

Mehadia

Dobreta

Craiova

RimnicuVilcea

Pitesti

75

71

15199

211

10197

138

146

80118

111

70

75

120

140


Algoritmo A*Ejemplo de traza del algoritmo

Los nodos representan ciudades y las aristas vienen rotuladas con elcosto para ir de un lugar a otro.

Se pide encontrar el costo mınimo y el camino que se debe seguirpara ir de Arad hasta Bucarest ocupando el algoritmo A*.


De Arad a Bucharest Itraza de A*

En todo problema donde intervengan estrategias de busqueda informadas,debemos considerar la funcion heurıstica.

En este caso, podemos considerar como heurıstica la distancia que hay en lınearecta para ir desde una ciudad n hasta Bucharest. Ası:

h(n) = distancia en lınea recta desde n hasta Bucharest

Los valores se resumen en esta tabla:

Ciudad n h(n) Ciudad n h(n)

Arad 366 Oradea 380

Bucharest 0 Pitesti 100

Craiova 160 Rimnicu Vilcea 193

Dobreta 242 Sibiu 253

Fagaras 176 Timisoara 329

Lugoj 244 Zerind 374

Mehadia 241


De Arad a Bucharest IItraza de A*

Haremos en detalle las dos primeras iteraciones del algoritmo.

Una iteracion habra finalizado cada vez que se salga del ciclo mientras de A*


De Arad a Bucharest IIItraza de A*

Iteracion 1.

El nodo X tiene el valor Arad porque es el estado inicial del problema. Luego:

ABIERTO = [Arad]CERRADO = []

Como ABIERTO no es igual a [], removemos el primer nodo que tiene, en estecaso X=Arad y lo colocamos en CERRADO.

De esta manera, los valores actuales que toman estas listas son

ABIERTO = []CERRADO = [Arad]

Como X=Arad no es el estado objetivo, procedemos a hallar sus sucesores:

TimisoaraZerindSibiu


De Arad a Bucharest IVtraza de A*

Para ordenarlos, debemos evaluar la funcion f en cada uno de ellos y luegoreescribirlos de menor a mayor:

f(Timisoara) = g(Timisoara) + h(Timisoara)

= 118 + 329

= 447

f(Zerind) = g(Zerind) + h(Zerind)

= 75 + 374

= 449

f(Sibiu) = g(Sibiu) + h(Sibiu)

= 140 + 253

= 393


De Arad a Bucharest Vtraza de A*

De esta manera, los sucesores de X los anotamos en este orden:

Sibiu Timisoara Zerind

Arad

ZerindSibiu Timisoara

140+253

118+329

75+374

Ahora hay que hacer el tratamiento de los nodos sucesores de X:

Nodo Y Nuevo f(Y) Actualizacion de ABIERTOSibiu 393 [Sibiu]

Timisoara 447 [Sibiu Timisoara]

Zerind 449 [Sibiu Timisoara Zerind]


De Arad a Bucharest VItraza de A*

Con esto termina la primera iteracion. Hasta el momento:

ABIERTO = [Sibiu Timisoara Zerind]CERRADO = [Arad]

Iteracion 2.

El primer nodo X de ABIERTO es Sibiu.

Tras retirarlo y colocarlo en CERRADO, ambas listas quedan ası:

ABIERTO = [Timisoara Zerind]CERRADO = [Arad Sibiu]

Como X=Sibiu no es estado final, buscamos sus sucesores:

Arad (el hecho que este en CERRADO no significa que haya queexcluirlo como sucesor)OradeaFagarasRomnicu Vilcea


De Arad a Bucharest VIItraza de A*

Como g mide el costo acumulado que se lleva desde la raız hasta el nodo ndebemos considerar que hasta el momento hemos expandido Arad y Sibiu, de talmanera que g(Arad) es igual al costo del camino de Arad a Sibiu (140) mas elretorno de Sibiu a Arad (140).

Ası, g(Arad)=280. Por lo tanto:

g(Oradea) = costo camino Arad - Sibiu - Oradea = 140 + 151 = 291g(Fagaras) = costo camino Arad - Sibiu - Fagaras = 140 + 99 = 239g(Romnicu Vilcea) = costo camino Arad - Sibiu - Romnicu Vilcea =140 + 80 = 220

De esta manera, los valores actualizados de f para cada sucesor y ordenados de

manera creciente son:

f(Romnicu Vilcea) = 413f(Fagaras) = 415f(Oradea) = 646f(Arad) = 671


De Arad a Bucharest VIIItraza de A*

El grafo de busqueda se muestra a continuacion con los nodos actualizados:

Arad

ZerindSibiu Timisoara118+329 75+374

RomnicuVilcea FagarasArad Oradea

220+193 280+366 239+176

291+380


De Arad a Bucharest IXtraza de A*

De los sucesores de Sibiu, el unico que esta en ABIERTO es Arad y mantenemos elcamino acumulado de menor valor en el grafo, que vale 140+253 = 393,descartandose el “nuevo” Arad como nodo para explorar.


De Arad a Bucharest Xtraza de A*

¿Y el resto de las ciudades?


De Arad a Bucharest XItraza de A*

Romnicu Vilcea

Arad


RomnicuVilcea

FagarasArad Oradea

239+176

291+380

Sibiu Craiova Pitesti

366+160 315+100

280+366

300+253


De Arad a Bucharest XIItraza de A*

Fagaras

Arad


RomnicuVilcea

FagarasArad Oradea 291+380


366+160 315+100

280+366

300+253

Sibiu Bucharest

338+253 450+0


De Arad a Bucharest XIIItraza de A*

Pitesti

Arad


RomnicuVilcea



366+160

280+366

300+253

Sibiu Bucharest

338+253 450+0

RomnicuVilcea Bucharest Craiova

414+193 418+0 455+160


De Arad a Bucharest XIVtraza de A*

Bucharest

Arad


RomnicuVilcea



366+160

280+366

300+253

Sibiu Bucharest

338+253 450+0

RomnicuVilcea Bucharest Craiova

414+193 455+160418


De Arad a Bucharest XVtraza de A*

De esta manera, el costo del camino menor para llegar a Bucharest es igual a 418 y laruta a seguir esta dada por

Arad Sibiu Romnicu Vicea Pitesti Bucharest �


Admisibilidad

Un algoritmo de busqueda se dice que es admisible si garantiza que puedaencontrar el camino optimo entre el estado inicial y el objetivo.

Una busqueda basada en una funcion de evaluacion heurıstica

f(n) = g(n) + h(n)

es admisible si h subestima el largo del camino mınimo efectivo.

X Es optimista, ya que “cree” que el costo para ir de un nodo n y elobjetivo es menor de lo que en realidad es.

Para demostrar que un algoritmo de busqueda sea admisible, se define unafuncion

f∗ : E −→ R+0

que entrega el largo del camino optimo del nodo inicial a un nodo objetivopasando por n.


Admisibilidad

A este tipo de funciones se les conoce como funciones oraculo porqueimplica adivinar cual es el mejor camino sin recorrer el espacio de estados.

∀n ∈ E se definef∗(n) = g∗(n) + h∗(n)

en que

g∗(n) es el largo efectivo del camino optimo del nodo inicial al nodon.h∗(n) es el largo efectivo desde n al objetivo.

Siempre se tiene que∀n ∈ E : g(n) ≥ g∗(n)


Admisibilidad

Teorema.

Si ∀n ∈ E : h(n) ≤ h∗(n) entonces la busqueda heurıstica es admisible.

Demostracion

Supongamos por el contrario que

∀n ∈ E : h(n) ≤ h∗(n)

y que la busqueda heurıstica no es admisible bajo esa condicion.

Sea q uno de los nodos objetivo del problema y supongamos que q fue generado a traves

de un camino de largo (o costo) l:

X entonces f(q) = l

Como q fue el ultimo nodo en ser expandido, se tiene que ∀x ∈ ABIERTO: f(x) ≥ f(q)

X por lo tanto, f(x) ≥ l


Admisibilidad

Demostracion (Cont.)

Pero, si el camino que lleva a q no es el optimo debiera existir algun nodo n en la listaABIERTO que se haya generado antes de expandir q y que este en el camino optimo.

Si n estuviera en el camino optimo entonces g(n) = g∗(n), de tal manera que

f(n) = g∗(n) + h(n)

Dado que hemos supuesto h(n) ≤ h∗(n), entonces

[g∗(n) + h(n)] ≤ [g∗(n) + h∗(n)] ⇐⇒ f(n) ≤ f∗(n)

Como dijimos que este algoritmo de busqueda no era admisible, entonces el camino queconduce a q no es el optimo por lo que f∗(n) < l y ası f(n) ≤ f∗(n) < l.

Esto nos conduce a que

f(n) < l

lo que genera una contradiccion. �


Admisibilidad

Teorema.

Si la heurıstica que se use es admisible, el algoritmo A* es optimo sino descartamos nodos.


Fin de la Unidad 2


unidad no. 2 búsqueda en espacio de estados

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