PelreCdldlin Eugen

.:::a a,a aa,:'a:at: ,a.:.:::a,

N6chil6N6child

Eugen Nild

EXERCTTil Sr PROBTEMEPENTRU CERCURITE DE

MATEMATICA

Pelre N6chil6 cdldlin-Eugen Ndchild Eugen Nitd

Exercilii ti problemepentru cercurilede mqlemqticd

Clqsq o lll-o

Editura Nomina

CUPRINS

Capitolul IMETODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARTIMETICA1.1. Metoda grafrcd. (metoda figurativd) ..................... 51.2. Metoda comparaliei ............. ............ 111.3. Metoda falsei ipoteze ..... 16L4. Metodamersului invers ................... 171.5. Probleme de miqcare..... ...................201.6. Metoda algebricd ............23

Capitolul2TESTE DE VERIFICARE ..,.....,...,........29

Capitolul3TESTE GRILA .....................69

Capitolul4TESTE PENTRU CONCURSURI.......... .................85

soLUTrr.. ..............100capitolul 1. Metode de rezolvare a problemelor de artimeticd................... 100Capitolul2. Teste de verificare................ ............... 100Capitolul 3. Teste gri16.......... ................ l l0Capitolul 4. Teste pentru concursuri. ....ll7

Capitolul I

METODE DE RBZOLVAREA PROBLEMELOR DE ARTIMETICA

Acest capitol este destinat indeosebi copiilor gi parinfilor. Vor fi prezentatecele mai importante metode de rezolvare a problemelor de aritrnetici.

Prczentarea metodei este insolitd de exemple de probleme rezolvate, dar gide probleme propuse.

Toate metodele prezentate sunt folosite gi in capitolele urmltoare ale cdr,tii:testedeverificareacunogtin!elor,-testegril5,testepentruconcursuri'

l.l. MBTODA GRAFTCA onnroDA FTGURATTVA)

in aplicarea metodei grafice se poate apela la orice categorie de elementegrafice (segmente, cercuri, dreptunghiuri etc.). Folosirea unor amrmite elemen-te grafice este impusd de natura datelor problemei, de accesibilitatea lor, darmai ales de utilitatea acestora in rezolvarea problemelor.

l.l.a. DETERMINAREA (AFI-AREA) NUMERELORCUNOSCAND SUMA SI DIFERENTA LOR

1. Doud persoane au impreuna 540 lei.sd se afle ce suma are fiecare persoand, dacd prima persoand are mai mult

decdt a doua persoand cu 120 lei.Solu[ie: Reprezentdm cele doud mdrimi care intervin (sumele celor dou6

persoane) prin douf, segmente, din care unul are lungimea mai mare (sumaprimei persoane este mai mare cu 120 lei):

suma celei de-a'doua persoane

suma pnmel persoane

E

(adicd segmentul DE) re-care reptezintl suma pe

r20

D

Diferenfa dintre lungimile segmentelor CE gi ABprezintd. diferenfa dintre cele dou6 sume. Segmentul

care o au impreund cele doud persoane este format din doud segmente de ace-

eaqi lungime (fiecare segment reprezintd suma celei de-a doua persoane) qi unsegment ce reprezintd suma de 120 lei.

120

Suma celei de-a doua persoane este (540 - I20) :2 :210 (lei).Suma primei persoane este 210 + 120:330 (lei) (sau"S40 -210: 330).

2. Trci gradini au impreund o suprafatd de 3320 -'. A treia grddind este cu220 fi] -ui -ar. decdt a doua, iar prima gradind este cu 180 m2 mai mare de-

cdt a treia.Sd se afle suprafaja fiecdrei gradini.Solulie: Suprafelele celor trei gradini sunt reprezentate astfel:

220

220 I 180

Suprafala celei de-a doua grddini

Suprafafa celei de-a treia grddini

Suprafafa primei grddini

Suprafala celei de-a doua grddini se determind astfel:220 + (220 + 180; : 620; (3320 - 620): 3 : 900 m2.

A treia grddina are: 900 + 220: ll20 t],iar prima grddind are:

1120 + 180: 1300 m2.

OBSERVAIIE: Daca se cunosc suma S qi diferenla D a doud numere a qi

b, & ) b, atunci avem a: (S + D) : 2,b: (S - D) : 2.

intr-adev6r, avem a * b : S, ?- b : D, de unde prin adunare, respectiv sc6-

dere rezultd cE 2 x a : S + D,2 x b : S - D.

I.I.b. DE'TERMINAREA A DOUA NUMBRE CATqN SB CUNOSCSUMA ;I RAPORTUL LOR

Prin raportul a doud numere naturale a qi b, b > 0, inlelegem a : b. Raportul

numerelor a qi b (in aceastd ordine) se noteazd cu :.b

3. Suma a doud numere este 224, iar unul din numere este de trei ori maimare decdt celdlalt numdr.

6

S[ se determine cele doud numere.S olulie : Reprezentim numerele astfel :

numErul mai micnumdrul mai mare

Suma celor doud numere este datd de:

Numdrul mai mic este:224 :4: 56.Numdrul mai mare este: 56 x 3 : 16g (sau224_ 56: 16g).

4' Un muncitor a sdpat trei sferturi din cAt a sipat alt muncitor, impreuni ausdpatTI4 m.

C6t a sdpat fiecare muncitor?S o I u ! i e : Reprezentdm suprafelele sdpate astfel :

suprafala sdpatd de primul muncitor

suprafala sdpatd de al doilea muncitor

Suprafafa sdpatd de cei doi muncitori este suprafala a 4 + 3 : 7 dreptun_ghiuri egale.

Primul muncitor a sdpat: 7I4 :7 x 3:306 m2.Al doilea muncitor a sipat: 714 :7 x 4:409 m2 1rar, 714 -306 : aOg mJ.

OBSERVATIEDacd suma a dou6 numere x $i y este S, iar raportul lor este a : b, atunci cele

doud numere sunt date de *^: S : (a + b) x a qi y : S : (a + b) x b. intr_adevdr.avem S : x + y $i bx : ay. inmulfind prima relafie cu b, avem bS : bx * by ::ay + by : (a + b) x y. Oblinem y : b x S : (a + b). Analog, inmullind primarelalie cu a. avem succesiv aS : ax a ay: ax * bx: (a + b) x x qi deci:

x:axS:(a+b).

I.I.C. DETERMINAREA A DOUI NUMERE CAI\ID SE CT]NOSC

DIFERENTA ;I RAPORTUL LOR

5. Un obiect a este de 4 ori mai scump decAt un obiect b. Obiectul a a costat

cu 369 lei mai mult decdt obiectul b.

Sd se determine cdt costd fiecare obiect'

Solulie: Reprezentdm prelurile celor doud obiecte astfel:

AB# Prelul obiectului b

Prelul obiectului aG

Prelul obiectului b este reprezentat prin segmentul AB, iar prelul obiectului

a prin segmentul cG, care este format din patru segmente cD, DE, EF, FG care

ug u"..u!i lungime ca qi segmentul AB. Diferen{a celor douS preluri este dat[

de segmentul DG, cate ate lungimea de trei ori mai mare dec8t segmentul AB'

obiectul b cost6 369 : 3 : !23 lei, iar obiectul a cost5 I23 x 4 : 492lei.

6. in urmd cr 2 ani, vArsta mamei era de 7 ori vdrsta fiicei. Peste 6 ani, vdr-

sta mamei va fi de trei ori vdrsta fiicei.Sb se determine ce vdrstd are fiecare.

Solulie: VArstele fricei gi mamei in urml cu doi ani sunt reprezentate astfel:

X

DC

xvirsta fiiceivArsta mamei

Peste 6 ani varstele fiicei qi mamei sunt reprezentate astfel:

, * ,216, vdrstafiicei

, x ,2,6, x ,2r6,- * ,2r6,vdrstamamei

Compardm vdrsta mamei de acum doi ani cu cea a mamei de peste 6 ani. Di-ferenla acestor vdrste este de 8 ani. Cu ajutorul ,,segmentelor" avem:

7x+ 2 * 6 : 3 x (x + 2 + 6),de unde 7x-3x: 24 -8' adicd x: 4'

Fiica are 6 ani, iar mama arc 7 x 4 + 2:30 ani.

I.I.d. ALTE PROBLEME REZOLVATE CU METODA FIGURATIVA7. intr-o ferm6 sunt crescute gdini qi oi. Numdrul picioarelor este 450, iarnum[ru] capetelor este 175.Cdte gdini qi cdte oi sunt in fermd?

175\Rdmdn 450 - 350 : 100 picioare, care reprezintd diferenfa d,e 4 - 2 : 2 pi-

cioare pentru fiecare oaie. Numdrur oilor este t0o : 2: 50,iar numarul gainiior175 - 50: 125.

8. Dacd se aqazd c6te doi elevi intr-o bancd, rdmdn 4 elevi. Dacd se agazd. c6-te 3 elevi in bancd rdmAn 3 binci libere.

Cdfi elevi qi c6te bbnci sunt?Solulie: Reprezentdm grafic elevii care au loc in bdnci in ambele variante cu

O, iar cei care nu au loc cu o. Avem urmdtoarea schemi de repaftizare:ffFItrIftrI-fffi"^"oo"Completbm bdncile de la doi elevi la trei elevi, ludnd cei patru elevi rdmaqi,

dar 9i cu elevii in numlr de 3 x 2 din b5ncile rdmase libere. Avem urmdtoarearepafiizare:-

li.ol l.oolt-ooll.ool ... tr-f F..lAvem 4 + 3 x 2"+ 3 : 13 bdnci qi 13 x 2+ 4 :30 elevi.

9. Doi elevi au impreund suma de 120 lei.Sd se determine ce sumd are fiecare elev, dac6 doud treimi din suma unuia

reprezintd doud geptimi din suma celuilalt.Solulie : Folosim urmdtoarea reprezentare grafi cd:

Suma pentru primul elev

Suma pentru al doilea elev

in total avem 3 * Tsegmente egale (congruente). Fiecare segment reprezintF120 lei : 10: 12lei.

Primul elev are 12 x 3:36lei, iar al doilea elev are 12 x 7: g4lei.