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R.T DE NGULOS AGUDOS YRESOLUCIN DE TRINGULOS

RECTNGULOS

1. Los lados de un tringulo rectngulo, son: a,(2a 1 ! (2a"1# Si es $a!or ngulo

agudo, calcular el %alor de:

1"&,5Cos'

1 &,2Sen

A 1,2 ) 1,5 C 1,*

+ 2,1 2,

2. l .er/$etro de un tringulo rectngulo es10*$ ! el Seno del $enor ngulo es &,2*#Luego la longitud del cateto $a!or es:

A 15 ) 2 C 5+ 2 5

3. +e la gura $ostrada, calcular Ctg3:

A 4 ) 1 C 5+ 42

4. +e la gura, calcular el %alor de 6 4 Ctg3

A ) 4 C 2+ 1 12

5. Si 3 es un ngulo agudo, donde Tg3512,calcular el %alor de la e3.resi7n

P 12Sec3 " 5Csc3

A 1 ) 2& C 24+ 20 4&

6. Sa8iendo 9ue )CC+ , calcular el %alor de:

' 2 Tg "1

A 1 ) 2 C 12

+ 2 2 2

7. Si:2

Tg03

< >3 &12

Calcular:

43Ctg

2

A 5 ) C 4+ 2 1

8. +el grco, calcular el %alor de: ; Tg " Tg " Tg

A ) 5 C 0+ *

9. +e la gura $ostrada calcular el %alor de la

e3.resi7n:

Tg "Tg

; Tg Tg

A ) * C allar: Sen

A &,2 ) &,4 C &,+ &,5 &,0

14. Se tiene 9ue: 4

Sen "2Cos 2

, deter$ine

el %alor de ?3@

A 1 ) 2 C 4

+ 515. +el grco, o8tener: Tg

A 5 ) 5 4 C 5 2

+ 24 42

16. +e la gura, calcular: Tg "Tg

A &,5 ) &,4 C 1+ 2 4

17. n un tringulo rectngulo A)C, recto en Cse cu$.le 9ue: SecA#Sec)12Calcular : TgA"Tg)

A 4 ) C 0+ < 12

18. >allar ?d@, si: 1

Tg Ctg 42

A 1 ) 2 C 4+ 5

19. +e la gura $ostrada calcular: Tg Tg

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A

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A 1 ) 2 C 4

+ 22 44

9. n el grco adDunto calcule: sen(3 4

Siendo: A) 5 ! )C * 4

4

A 14 ) 4 2 C 12

+ 2 4 5 2 2

10. +el grco $ostrado calcule tg3 siendo:A) AC

A 11 ) 211 C 14+ 11 112

PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGONOMETRICAS Y ANGULOS

NOTALES

1. Siendo ! ngulos agudos, .ara los cualesse cu$.le 9ue:

Tg(2&= 4 Ctg(2 "5=1

Sen( "= Cos(4 "2=

Calcular: "

A 25= ) 20= C 2=

+ 2*= 2

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6. +adas las relaciones:Sen(a " 8= Cos(a 8=

Tg(2a 8Ctg(a"28= 1Calcule el %alor de: Tg2(a"8"Csc(a 8 =

A 5 ) C 4+ 2 1

7. Siendo ?@ ngulo agudo, ade$s: sec(0&= csc( "4&=ctg( "2&= # %alGe:

Cos( " "5&=Sen(2&=" P

4Sen( 1&=

A2

0)

2

C

2

2

+2

5

2

4

8. Si: sec *3 csc 43#Calcular:

sen 03 sec 53 " tg 3# tg 3 "sec23

cscallar:

sec(43"2!"tg(53"!

csc(3"!"ctg(5! 3

A 1 ) 1 C 12

+ 2

13. Si :

sec (23 " 1& 2csc(*& 23 sec

4csc(43 1&

Calcular: sen3

cos3"

sen23

cos43

A 2 ) 52 C 4+ 2512

14.Si :sec(3 " ! " 5 csc(2! 3 " & &tg(43 ! # ctg(23 " ! 1+onde ?3@ e ?!@ son agudos#>allar: sec 23 " tg(3 " ! 2 sen 2!

A & ) 1 C 2+ 4

15. +el grco Iallar tg

A &,4 ) &, C &,*+ 1,0 1,*

16. +el grco calcular: ctg

A 2 ) 4 C 12+ 14 1

17. +el grco calcular: tg

A 1 ) 25 C 15+ 2 4

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18. +e la gura calcular: tg3

A 1* ) 2 C 12

+ 4* 2

19. Calcular:

42sen "3 4tg 3

5 * "4

cos 3 ctg "31& *

A 2 ) 4 C 2

+ 4 5

20. Calcular el %alor de:

4 4

2

Sen 22=4&J Cos 0=4&J"Tg15='

2Csc4&="Sec 5= 5Sen54= 4

A 4 ) 2 C 0

+ 1 4 4

TAREA DOMICILIARIA

1. Si: tg 3 # tg 23 1#

Calcular:

43sen3cos23sen

243

tg4ctg tg32

A 2 2 ) 4 4 C 0 0

+ 5 5 1

2. +eter$ine el %alor de ?3@ :sen(43 2 csc(1* - 23 1

A 0 ) 12 C 15+ 2& 2

3. Sa8iendo 9ue :tg 53 # ctg (3 " & 1#Calcular: cos 43

A 1 ) 12 C 2 2

+ 4 24

4. Calcular : (tg 2& " ctg & (ctg 2& " tg &

A 1 ) 2 C 4

+ *

5. Reducir : (4 sen & " cos 5& csc &

A 1 ) 2 C 4+

6. Calcular:

sec1"sec2"sec4"H"sec*

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A 4 )4

4 C

4

2

+ 40

4 42

12. +el grco Iallar: tg

A &,1 ) &,4 C &,+ &,0 &,*

13. +el grco Iallar: ctg

A 1,0 ) 1, C &,+ &,0 1,

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NGULOS !ERTICALES

1. +esde un .unto u8icado a * $ de la 8ase

de un r8ol se u8ica la .arte su.erior del$is$o con una ele%aci7n angular de 4&=#

>allar la altura del r8ol#A 2 4 ) 4 4 C 2

+ 4 2. Kn a%i7n %uela Ioriontal$ente a una altura

constante ! antes de .asar so8re dos .untosen tierra ?A@ ! ?)@ los o8ser%a con ngulosde de.resi7n de 5= ! 4= res.ecti%a$ente#Cuando est so8re ?)@ es %isto desde ?A@ conun ngulo de ele%aci7n ?@# BCunto %ale?tg@A 1 ) 2 C 4+ 0

3. Kn a%i7n %uela en l/nea recta !Ioriontal$ente ! cuando se u8ica entre 2

.untos A ! ) distantes ( 4 "1 E$ (?A@ a su

i9uierda ! ?)@ a su derecIa los o8ser%a conde.resiones angulares de 4&= ! 5=#Calcular la altura de %uelo#

A 1, 5 E$ ) 4 E$ C 2 E$

+ 1 E$ 4 1

E$

4. Kna .ersona u8icada en la .arte $s alta deun .oste de alu$8rado .G8lico u8ica dos.untos o.uestos a a$8os lados del .oste

con ngulos de de.resi7n de 4= ! 54=# Silos .untos distan entre s/ 2& $etros# >allarla su$a de las %isuales#A 2& ) 22 C 2+ 20 2*

5. Kna .ersona se dirige a un edicio ! o8ser%alo alto del $is$o 8aDo un ngulo deele%aci7n ?3@ des.uMs de ca$inar 1& $o8ser%a la $is$a altura con un ngulo deele%aci7n ?@ si la altura del edicio es 4&$#

>allar:

14Tg3 Ctg "

4A 1 ) 2 C 4+ 5

6. Kna .ersona de 4 $ o8ser%a la .arte

su.erior de un .oste con un ngulo deele%aci7n ?@# Si la distancia se reduce a latercera .arte, la ele%aci7n angular sedu.lica# >allar ?@#A 15= ) 4&= C 5=+ 0&= 4=

7. Kna .ersona o8ser%a la .arte su.erior de unedicio con un ngulo de ele%aci7n de 4=#Si luego ca$ina & $ Iacia el edicio

%uel%e a %er al $is$o .unto con un ngulode ele%aci7n de 54=# +eter$ine a 9uMdistancia del edicio se encuentra la .ersonadesde esta segunda .osici7n

A & $ )

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15. +esde las aoteas de dos edicios de & !12 $etros de altura, se o8ser%a un .unto enel suelo entre a$8os edicios con ngulosde de.resi7n de 54= ! 4= res.ecti%a$ente#Calcular la distancia entre a$8os ediciosA 1 $ ) 21 $ C 2* $

+ 41 $ 4* $

16. +esde la .arte su.erior de un edicio seo8ser%a un .unto en el suelo con unade.resi7n angular ?@# +eter$inar la alturasa8iendo 9ue la %isual $ide ?a@

A aSen ) aCos C aTg+ aSec aCsc

17. +esde un .unto en el suelo se u8ica la .artesu.erior de un r8ol con una ele%aci7nangular de 4= nos acerca$os 5 $ ! lanue%a ele%aci7n angular es 5=# >allar laaltura del r8ol#A * $ ) 1& $ C 12 $+ 15 $ 1* $

18. +esde un .unto en el suelo se o8ser%a la.arte $s alta de una torre con un ngulo deele%aci7n de 0&=, si se retrocede & $ ! se%uel%e a o8ser%ar la .arte $s alta, elngulo de ele%aci7n es de 4&=# >allar laaltura de la torre#

A 2& 4 ) 1& 4 C 4&

+ 15 4 1&

19. +esde lo alto de un edicio de & $ de

altura# Se o8ser%a un .unto en tierra con unngulo de de.resi7n de 54=# BA 9uMdistancia de la 8ase del edicio se encuentrael .untoA 4& ) 2& C 25+ 1* 45

20. Si a 2& $ de un .oste se o8ser%a lo alto conun ngulo de ele%aci7n de 4= ! luego nosacerca$os al .oste una distancia igual a sualtura ! o8ser%a$os su .arte su.erior conun ngulo de ele%aci7n ?@ calcule ?tg@A 1 ) 4 C 5+ 2

TAREA DOMICILIARIA

1. +esde las aoteas de dos edicios de 2 !12 $etros de altura, se o8ser%a un .unto enel suelo u8icado entre a$8os edicios conngulos de de.resi7n de 54= ! 4=res.ecti%a$ente# Calcule la distancia entrea$8os ediciosA 1 $ ) 4 $ C 2* $+ 42 $ 4* $

2. Kna .ersona o8ser%a la .arte su.erior de un$onu$ento con un ngulo de ele%aci7n de

4&= se acerca una deter$inada distancia !%uel%e a o8ser%ar la .arte su.erior del$onu$ento con un ngulo de ele%aci7n de5=# BA 9uM distancia se encuentra la

.ersona en esta Glti$a .osici7n, si

inicial$ente se encontra8a a * 4 $

A 0 $ ) * $ C < $

+ 0 4 $ 4 $

3. +esde la 8ase de un r8ol se o8ser%a la.arte su.erior de un edicio con un ngulode ele%aci7n de 5= ! desde la .artesu.erior del r8ol se o8ser%a el $is$o .untocon un ngulo de ele%aci7n de 4=# Calculela altura del r8ol, si el edicio $ide 2& $A 2 $ ) 4 $ C $+ 5 $ 0 $

4. +esde un .unto en Tierra, se di%isa lo alto deun edicio con un ngulo de ele%aci7n ?@# Sila altura del edicio es I# A 9uM distancia deledicio se encuentra el .unto deo8ser%aci7n#

A Isen ) Icos C Itg+ Ictg Isec

5. +esde un .unto 9ue se encuentra a * $ del.ie de una Torre el ngulo de ele%aci7n .arala .arte $s alta es 5# Cunto de8eacercar dicIo .unto .ara 9ue el nue%ongulo de ele%aci7n sea 54#A 1& $ ) C 12+ 10 *

6. +esde lo alto de una Torre se di%isan dos.untos en Tierra A ! ) con ngulos dede.resi7n !

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de 4 ! 5 res.ecti%a$ente# Si la distanciaentre el $uro ! .oste es * $# >alle la su$ade sus alturas#A 0 $ ) * C 1&+ 12 10

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RAZONES TRIGONOM"TRICAS DEUN NGULO EN POSICIN

NORMAL

1. +el grco, Iallar:

Sen "Sen

Cos "Cos

A 4 ) 1& C 1

+ 2 #A

2. +el grco, calcular Tg

A ) C +

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A (" (" ) (" ( C ( (+ ( (" ( (

13. Si ?@ es un ngulo estndar del cuartocuadrante .ara el cual se cu$.le 9ue:

Tg 2Tg 4

* (Sec5=Calcular el %alor de: Sec Tg

A 14 ) 12 C 2+ 4

14. Siendo Tg Q& ! ade$s:

1

Sec 4 5 5Sen3 Csc3

Calcule el %alor de: Csc Ctg

A 1 ) 4 C + 5