Науково технічний журнал № 6(62) 2008contents economy and organization of...

Національного технічного університету України"Київський політехнічний інститут"

Науково–технічний журнал

6(62) 2008Започаткований у вересні 1997 року

Редакційна колегія:

Головний редакторМ.З. Згуровський

Заступник головногоредактораМ.Ю. Ільченко

ВідповідальнийсекретарП.П. Маслянко

Члени редколегії –координаторинаукових напрямків

С.Г. Бунін,М.І. БобирВ.Ю. ГорчаковІ.А. Дичка,О.В. ЗбруцькийБ.В. НовіковО.М. НовіковЄ.М. ПисьменнийА.В. ПраховникД.Ф. ЧернегаО.Г. ЮрченкоЮ.І. Якименко

Редакційна рада

Адреса редакції:03056, Київ-56,проспект Перемоги, 37,Національний технічнийуніверситет України"Київський політехнічнийінститут",Тел. 454-91-23

У номері:Економіка та організаціявиробництва

Електроніка, радіотехніка тазасоби телекомунікацій

Інформаційні технології,системний аналіз та керування

Матеріалознавствота машинобудування

Приладобудування та інформа-ційно-вимірювальна техніка

Проблеми біотехнології

Проблеми хімії та хімічноїтехнології

Теоретичні та прикладніпроблеми фізико-математичних наук

© Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, 2008

Засновник – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

Свідоцтво про державну реєстрацію журналу – серія КВ 2863, видане 26 вересня 1997 року

Рекомендовано Вченою Радою Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”, протокол 12 від 8.12.08 р.

Члени редакційної ради(за галузями науки)

Фізико-математичні науки

Математика Фізика МеханікаІнформатикаі кібернетика

В.В. Булдигін В.Г. Бар’яхтар А.Е. Бабаєв Ю.М. Данілін

Н.О. Вірченко Ю.І. Горобець С.О. Довгий О.С. Макаренко

А.А. Дороговцев В.М. Локтєв Я.Ф. Каюк Н.Д. Панкратова

M.M. Кухарчук С.І. Сидоренко В.В. Матвєєв В.В. Остапенко

А.М. Самойленко А.П. Шпак Ю.М. Шевченко В.М. Панін

Хімічні науки Біологічні науки Технічні науки Економічні наукиО.О. Андрійко Л.Б. Бондаренко В.І. Губар Є.А. Мачуський О.Ф. Балацький

I.М. Астрелін П.І. Гвоздяк В.С. Коваленко О.А. Павлов В.Г. Герасимчук

А.К. Дорош О.М. Дуган В.І. Костюк М.Г. Попович Є.В. Крикавський

Ю.А. Малетін Л.А. Лившиць Ю.Ю. Лукач В.М. Прохоренко М.П. Панченко

А.А. Фокін С.С. Малюта Г.М. Любчик Н.С. Равська Г.К. Яловий

В.С. Підгорський В.О. РумбештаЮ.М. Сиволап В.І. Сенько

С.С. Ставська В.П. Тарасенко

Секретар редакції Л.Д. Калько

Редактор Т.С. Мельник

Графічний дизайн Б.В. ВалуєнкаКомп’ютерна верстка О.С. Фрадінa, O.M. НестеренкоКоректор Я.В. Мельник

Підписано до друку 31.12.2008. Формат 60×84 1/8. Папір офс. Гарнітура Times.Спосіб друку – ризографія. Ум. др. арк. 18,60. Обл.-вид. арк. 31,68. Зам. . Наклад 200 прим.

НТУУ “КПІ” ВПІ ВПК “Політехніка”. 03056, Київ, вул. Політехнічна, 14, корп. 15.Тел./факс (044) 241-68-78

З М І С ТЕкономіка та організація виробництваДергачова В.В. Розвиток фондового ринку Укра-їни як складової національної інвестиційної полі-тики ......................................................................... 5

Електроніка, радіотехніка та засоби теле-комунікаційМариненко О.А. Оптичні і пасивувальні властивос-ті нітриду кремнію .................................................. 14

Інформаційні технології, системний аналізта керування

Гриша С.М., Іотко О.А. Стратегічне плануванняфункціональності ERP/MRP-систем із врахуван-ням множинних заміщень ...................................... 20

Ємець О.О., Ємець Ол-ра О. Побудова математич-ної моделі однієї комбінаторної задачі упакуванняпрямокутників з нечіткими розмірами .................. 25

Маслянко П.П., Майстренко О.С. Системна інже-нерія проектів інформатизації організаційних сис-тем ........................................................................... 34

Повещенко Г.П. Динамічні i часові характеристикипроцесу співіснування ............................................ 43

Матеріалознавство та машинобудування

Кулініч А.А. Механічні властивості сплаву ВАЛ11при різних режимах температурно-часової оброб-ки ............................................................................. 51

Легеза В.П. Узагальнення варіаційної задачі про бра-хістохрону у випадку кочення однорідного цилінд-ра ............................................................................. 55

Магазій П.М., Мікульонок І.О., Ружинська Л.І. Мо-дельні дослідження процесів переробки термоплас-тичних матеріалів із застосуванням вторинної си-ровини ..................................................................... 60

Малежик М.П. Числовий перерахунок динамічнихнапружень з фотопружних ортотропних моделей нанатурне тіло ............................................................. 68

Сахаров О.С., Сівецький В.І., Сокольський О.Л. Диск-ретні математичні моделі для розрахунку пружно-в’язкопластичних середовищ із змінною стисливіс-тю при термосилових навантаженнях .................... 74

Хижняк В.Г., Курило Н.А., Летвицька І.В., Серди-тов О.Т. Азототитанування сталей і твердих спла-вів ............................................................................ 83

Приладобудування та інформаційно-вимірю-вальна техніка

Мелащенко О.М., Рижков Л.М. Оптимізація магніт-ної системи стабілізації мікросупутника за змішанимH2/H∞-критерієм ...................................................... 89

Міхеєнко Л.А., Микитенко В.І. Методи, засоби та мет-рологічне забезпечення калібрування еталонних ви-промінювачів ........................................................... 94

Проблеми біотехнологіїКлечак І.Р., Бісько Н.А., Поєдинок Н.Л., АнтоненкоЛ.О. Закономірності росту перспективних об’єктівбіотехнології – базидіоміцетів роду Coriolus у по-верхневій культурі ................................................... 100

Проблеми хімії та хімічної технологіїАстрелін І.М., Синюшкін О.М., Іванюк О.В. Лужневилучення міді з гальванічних шламів ................... 108

Ізотов В.Ю., Громадський Д.Г., Малєтін Ю.А. Мо-делювання і розрахунок робочих параметрів супер-конденсатора ........................................................... 114

Фроленкова С.В., Донченко М.І. Вплив оксоаніонівна анодну і хімічну пасивацію сталі в слабомінера-лізованій воді .......................................................... 119

Теоретичні та прикладні проблеми фізико-математичних наукБулдигін В.В., Тимошенко О.А. Точний порядок рос-ту розв’язків стохастичних диференціальних рів-нянь ......................................................................... 127

Вірченко Н.О., Заїкіна С.М. Узагальнені інтегральніперетворення і їх застосування ............................... 133

Капустян В.О., Когут О.П. Достатні умови стійкос-ті відносно збурень області одного класу задач опти-мального керування ................................................ 138

Касьянов П.О. Періодичні розв’язки для класу ди-ференціально-операторних включень з відображен-нями типу Sk ........................................................... 144

Овчаренко О.В. Асимптотичні розвинення і новізастосування узагальненої гіпергеометричної функ-ції Гаусса ................................................................. 149

Реферати ................................................................. 155

Автори номера ........................................................ 158

C O N T E N T S

Economy and organization of production

Dergachova V.V. The development of the ukrainian stockmarket as a part of the national investment policy ....... 5

Electronics, radio engineering and telecom-munications

Marinenko O.A. The optical and passivating propertiesof silicon nitride ........................................................ 14

Information technology, system analysis andguidance

Grysha S.M., Gnatenko N.S. The strategic planning ofERP/MRP-systems functionality with regard to pluralsubstitutions .............................................................. 20

Yemets′ Oleg O., Yemets′ Oleksandra O. The construc-tion of the mathematical model of the one combinato-rial problem of rectangles packing with fuzzy sizes ....... 25

Maslyanko P.Р., Maystrenko O.S. The system engineeringof organizational system informatization projects ......... 34

Poveshchenko G.P. The dynamic and temporal descrip-tions of the coexistence process ................................... 43

Materials science and machine building

Kylinich А.A. The mechanical properties of alloy VAL-11at various treatment modes ........................................ 51

Legeza V.P. The generalization of variation problemon brahistochrone in the case of rolling homogeneouscylinder ..................................................................... 55

Magaziy P.M., Mikulionok I.O., Ruzhinska L.I. The mo-deling research of thermoplastic materials processing usingsecondary raw material .............................................. 60

Malezhyk M.P. The numerical recalculation of dyna-mic stress with photoelastic ortotropic models on a natu-ral body .................................................................... 68

Saharov О.S., Sivetskiy V.I., Sokolskiy О.L. The disc-rete mathematical models for calculation of elastic-vis-cid-plastic environments with variable compressibilityat thermopower loadings ............................................ 74

Khizhniak V.G., Kurilo N.A., Letvitska І.V., Serditov О.T.Nitrogentitaning of steels and firm alloys ................... 83

Instrument manufacturing and informationmeasuring technologyMelaschenko O.M., Ryzhkov L.M. The optimizationof microsatellite magnetic stabilizing system on the mi-xed Н2/Н∞-criterion .................................................. 89

Mikheenko L.A., Mykytenko V.I. The approaches, meansand metrological assurance of calibration of the stan-dard radiators ............................................................ 94

Problems of biotechnologiesKlechak I.R., Bisko N.A., Poyedinok N.L., AntonenkoL.O. The growth mechanisms of the promising researchsubjects of biotechnology – basidiomycetes mushroomsof the genus Coriolus on agar mediums ...................... 100

Problems of chemistry and chemical engine-eringAstrelin I.M., Sinyushkin O.M., Ivanyuk O.V. The alka-line extraction of copper from galvanic dross ............. 108

Izotov V.Yu., Gromadskyi D.G., Maletin Yu.A. The mo-deling and calculation of performance parameters of ul-tracapacitor ............................................................... 114

Frolenkova S.V., Donchenko M.I. The influence of theoxyanions on anodic and chemical steel passivation inpoorly mineralized water ........................................... 119

Theoretical and applied problems of physico-mathematical sciences

Buldygin V.V., Tymoshenko O.A. The asymptotic beha-viour of the solutions of stochastic differential equati-ons ........................................................................... 127

Virchenko N.O., Zaikina S.M. The generalized integraltransformations and their application ......................... 133

Kapustyan V.O., Kogut O.P. The sufficient conditionsof the shape stability for perturbation of the one class ofoptimal control problems .......................................... 138

Kasyanov P.O. The periodic solutions for a class of dif-ferential-operator inclusions with Sk type maps .......... 144

Ovcharenko O.V. The asymptotic expansions and newapplication of the generalized hypergeometric Gaussi-an functions .............................................................. 149

Reports ..................................................................... 155

Contributors to the issue ........................................... 158

5

ЕКОНОМІКА ТА ОРГАНІЗАЦІЯ ВИРОБНИЦТВА

УДК 336.767:330.322

В.В. Дергачова

РОЗВИТОК ФОНДОВОГО РИНКУ УКРАЇНИЯК СКЛАДОВОЇ НАЦІОНАЛЬНОЇ ІНВЕСТИ-ЦІЙНОЇ ПОЛІТИКИ

Вступ

Досвід розвинутих країн свідчить про те, щовагомий вклад у розвиток національної інвести-ційної політики з метою залучення до реально-го сектора економіки вільних грошових ресурсівінвесторів робить фондовий ринок, ефективнефункціонування якого сприяє залученню, кон-центрації та перерозподілу інвестиційних ресур-сів на користь як перспективних галузей взага-лі, так і окремих підприємств. Національна еко-номіка в умовах інтеграції в сучасне світове гос-подарство не може бути конкурентоспроможноюбез розвинутого ринку цінних паперів. Українанині проходить складний історичний період дер-жавного становлення. Розвиток ефективного ідійового фондового ринку є важливим етапом за-вершення трансформації національної економі-ки. Високий потенціал промисловості і сільсько-го господарства, наявність природних ресурсівта інфраструктури є підґрунтям для перспективстановлення й розвитку вітчизняного фондово-го ринку, який формально існує вже понад п’ят-надцять років (з часу прийняття Закону України“Про цінні папери та фондову біржу”). Але про-цес інституційного становлення, набуття необ-хідних якісних параметрів ринку ще далеко не за-вершено. Все це актуалізує проблеми виведенняфондового ринку України на конкурентні пози-ції щодо світових фінансових ринків, здійснен-ня докорінних перетворень у технології органі-зації та програмно-апаратному забезпеченні віт-чизняних фондових бірж, а також підвищенняїх конкурентоспроможності.

Наукове обґрунтування функціонування рин-ку цінних паперів є необхідною умовою розвит-ку механізмів реалізації національної інвестицій-ної політики. Дослідженням проблем формуван-ня, розвитку і вдосконалення ринку цінних па-перів займається багато українських науковців.Напрямки їх досліджень дуже різноманітні. Цепраці, присвячені проблемам становлення [1, 2]і шляхам удосконалення фондового ринку Укра-їни [3, 4], особливостям [5, 6] та перспективам [7,8] розвитку вітчизняного ринку цінних паперів.

Розглядаються також дещо вужчі проблеми фон-дового ринку перехідного типу: інвестиційні ри-зики [9], ринок акцій [10], регіональні фондовіринки [11] тощо. Втім, на сьогодні актуальнимизалишаються дослідження у сфері розвитку ефек-тивно функціонуючого ринку цінних паперів якджерела фінансування технологічного оновлен-ня та структурно-інноваційних перетворень у ре-альному секторі національної економіки. Важ-ливість такого напрямку досліджень зумовленазначенням ринку цінних паперів для трансфор-маційної економічної системи і його роллю взабезпеченні її фінансовими ресурсами, необ-хідними для розвитку реального сектора еконо-міки.

В умовах обмежених можливостей самофі-нансування підприємств (відсутності нагромад-жень, низького рівня прибутків, знецінення амор-тизаційних відрахувань) проблемою подальшогодинамічного розвитку національної економікистає недостатність фінансування відтворюваль-ного процесу, заснованого на новітніх досягнен-нях технологічного прогресу. В економічній си-туації, що склалася в Україні, розвиток ринку цін-них паперів, за допомогою якого можуть бути за-безпечені умови для залучення інвестицій на під-приємства, має розглядатись як один із реаль-них способів подолання інвестиційного спаду танаправлення значних фінансових ресурсів у про-мисловість. Інакше кажучи, фондовий ринок якмеханізм переміщення коштів від інвесторів доемітентів сприятиме ринковому перерозподілу ка-піталів і направленню їх до сфер найефективні-шого використання.

З огляду на все це, першими заходами що-до розвитку фондового ринку України має бутипідвищення якості ресурсної бази підприємств-емітентів, що позначиться на рівні їх потенці-альної ринкової капіталізації на національних іміжнародних фондових майданчиках. Для цьо-го необхідно подолати депресію ресурсної базинаціональної економіки послідовним реформу-ванням її балансової системи [12], що забезпе-чить підвищення інтересу потенціальних інвес-торів до вітчизняного фондового ринку і поси-лить його конкурентоспроможні позиції на між-народних фондових ринках. Чому саме балан-сової системи? Тому що якраз система фінан-сових балансів має індикатори стану вітчизня-ної ресурсної бази (основних фондів), який урозвинутих країнах є ключовим показником на-ціонального розвитку. Основні положення і на-прямки такого реформування було запропонова-но автором у дисертаційній роботі.

6 Наукові вісті НТУУ "КПІ" 2008 / 6

Постановка задачі

Мета даної статті полягає у визначенні аль-тернативних джерел фінансування відтворюваль-ного процесу в реальному секторі національноїекономіки в умовах знецінення амортизаційнихвідрахувань і недостатнього їх нагромадження вмежах національної інвестиційної політики шля-хом розвитку фондового ринку України, а та-кож підвищення його конкурентоспроможностів міжнародній кредитно-фінансовій системі.

Економічні і історичні передумови знецінен-ня ресурсної бази національної економіки

У національній економіці знецінення фі-нансових балансів товарного виробництва ви-ражається у скороченні оборотних засобів, дефі-циті власних інвестиційних ресурсів, мораль-ному і технічному старінні основних фондів тавтраті конкурентних позицій багатьох галузей віт-чизняного господарства. Знецінення ресурсноїбази може тривалий час відбуватися на фоні по-зитивної динаміки основних показників еконо-мічного розвитку (зростання валового продук-ту, стабільності національної валюти і відсутностідефіциту бюджету), про що свідчать показникиміжнародних порівнянь [13].

В економічній і фінансовій літературі голов-ні показники розвитку національної економікипов’язуються з індикаторами Систем національ-них рахунків (СНР), в основі яких лежить стан-дартизована система, схвалена Статистичною ко-місією ООН. Поява першої стандартизованої СНРООН у 1968 р. не випадкова. Це були часи, колиінтереси трансграничного капіталу, зорієнтованіна реалізацію принципів вільної торгівлі, стика-лися з реаліями захисту національних інтересів збоку провідних країн світу. Тому в 1950 р. США,переживаючи ревальвацію долара до його дійс-ного паритету під впливом післявоєнного віднов-лення економік і валютних систем Німеччини,Японії та інших країн, твердо відмовилися відумов ГАТТ, сформованих на переговорах у Же-неві в 1947 р. У 1971 р. президент США Р. Ніксонприйняв безпрецедентну програму підтриманнядолара і скасував його розмін на золото. Це озна-чало, що США стали на шлях емісії та стиму-лювання власного експорту без будь-яких гаран-тій щодо забезпечення долара в міжнародних кре-дитах. Після цього в 1973 і 1978 рр. вибухнулисвітові нафтові кризи, наслідком чого стали гі-гантські обсяги трансграничного капіталу (не по-

в’язаного з національною територією), здатні ви-кликати валютні, фондові та цінові деформаціїсвітового ринку, а також нагромаджувати при-бутки в одній країні, а збитки – в іншій.

Саме в цей складний період відбуваєтьсярозпад колоніальної системи світу – провіднікраїни-виробники втрачають як дешеві ринкисировини, так і величезні ринки збуту. Транс-граничний капітал (так звані “нафтодолари”), щовиріс у геометричній прогресії, шукає сприятли-ві умови для свого подальшого зростання, длячого йому потрібні були орієнтири для вливан-ня в ту чи іншу економіку. Створення міжнарод-них правил обліку і звітності спрямовуються назбереження цих орієнтирів. Контроль за дина-мікою ВВП у Системах національних рахунківслаборозвинутих країн (колишніх колоній) даєорієнтири розвинутим країнам (колишнім мет-рополіям) для розміщення надлишкового транс-граничного капіталу. Контроль же за станом фі-нансових балансів – справжнього сховища ре-сурсів і капіталу національних економік – між-народними правилами обліку та звітності непередбачається, що позбавляє слаборозвинутікраїни можливості об’єктивно оцінювати своїактиви і власні позиції в процесах глобалізаціїсвітового розвитку. В таких умовах Франція,Великобританія, США та ряд інших країн збе-рігають власні СНР, зорієнтовані на індикато-ри саме фінансових балансів [14]. На жаль, ра-дянська економічна наука залишила такий іс-торичний поворот без уваги. У той період еко-номіка СРСР працювала в закритому режимі ібула зорієнтована тільки на марксистську тео-рію додаткової вартості. Так у сучасній CНР скла-лися подвійні стандарти: у розвинутих країнахнаціональним багатством вважається наявністьактивів економіки, а в Україні та на всьому пост-радянському просторі національне багатство асо-ціюється з експлуатацією активів і пов’язуєтьсятільки з валовим внутрішнім продуктом. Тому го-ловні орієнтири економічного розвитку цих дер-жав націлено на збільшення ВВП.

За своїм економічним змістом ВВП пов’я-заний з обліком активів вітчизняних підпри-ємств, які під впливом інфляції перебуваютьу депресії (тобто знецінені). Але міжнароднийстандарт СНР не має відповідних індикаторівабо коригуючих коефіцієнтів щодо стану наці-ональних активів. Депресія активів видається задефіцит грошей в економіці, що створює ши-рокі можливості для відкритої та прихованої емі-сій грошей.

ЕКОНОМІКА ТА ОРГАНІЗАЦІЯ ВИРОБНИЦТВА 7

В економіці активів, притаманній розвину-тим країнам сучасного світу, головні орієнтиринаціонального розвитку, крім ВВП, націлені напідвищення вартості і якості національних акти-вів, для характеристики стану яких вітчизнянастатистика надає досить широкий набір фінан-сових індикаторів. Для компенсації інфляційнихнаслідків депресії активів вживаються заходи що-до вибіркової емісії активів економіки: черезамортизаційну політику та гнучку систему пе-реоцінки. Активні заходи щодо відновлення вар-тості і якості національних активів можна від-значити в діяльності Франкліна Делано Рузвель-та у США, Людвіга Ерхарда в Німеччині та Шар-ля де Голля у Франції. Такі заходи посідаютьважливе місце в сучасній політиці США, країнЄС і багатьох інших провідних економіках світу.

Так, неадекватність валової економіки по-требам міжнародної конкурентоспроможності ста-ла однією з базових причин розпаду СРСР і всі-єї соціалістичної системи. Національна економі-ка Радянського Союзу мала закритий характер ібула націлена на валові орієнтири зростання про-дуктивності праці та прибутку. Титули власнос-ті на активи економіки із загального обороту ви-лучались, оскільки власник був один – держа-ва. Ціни товаровиробників теж регулювалися дер-жавою. Все це нібито слугувало підвищенню між-народної конкурентоспроможності країни, оскіль-ки захищало баланси економіки від негативнихкурсових, інфляційних та інших впливів іззов-ні. Але штучна природа економічного середови-ща СРСР, у свою чергу, створювала і штучнийхарактер її міжнародної економічної безпеки тастабільності – радянська національна балансо-ва система відчувала депресію національних ак-тивів. Однією з важливих причин цього стала по-даткова ідеологія економічної діяльності, орієн-тована, як і сучасна, на валові результати. Під-приємства віддавали в доход бюджету майже весьприбуток (за винятком невеликих фондів ви-робничого і соціального розвитку, а також мате-ріального заохочення). При цьому держава підсвої бюджетні потреби створювала, знову ж та-ки, штучний обсяг прибутку, всіляко занижуючинорми витрат на реновацію основного капіталу.Дефіцит інвестиційних процесів і, як наслідок,амортизаційних активів при інтенсивному тех-нологічному змаганні з розвинутими країнами (вкосмічній галузі, гонці озброєнь) весь час зрос-тав, що тримало національну економіку в станіпостійного недоінвестування. Централізовані капі-тальні вкладення частково компенсували дефі-цити відтворення ресурсної бази економіки, але

їх було недостатньо. Національна балансова сис-тема відреагувала на це латентною схованою ін-фляцією, коли плани підвищення продуктивнос-ті праці виконувалися масовим переходом до ви-пуску дедалі більш ресурсомістких і дорогих ви-робів. За відсутності офіційної інфляції вимива-лася номенклатура дешевих товарів. На руках унаселення накопичувалися доходи, не забезпече-ні товарною масою. Національна валюта реаль-но знецінювалась. У такий спосіб відбулася де-градація фінансових балансів національної еко-номіки, що, в свою чергу, спричинилося до де-пресії її активів. Таким чином, маючи один іздосить високих показників темпів зростання ВВПу світі, ми прийшли до сумних наслідків, колибалансова вартість багатьох великих українськихкомпаній стала меншою від їх річного прибутку.

Проблема знецінення системи фінансовихбалансів набула вже хронічного характеру і немає простого вирішення через механічний пере-рахунок їх вартості на підвищення за допомогоювикористання цільової індексації чи офіційногоіндексу-дефлятора. В умовах нестабільності еко-номіки і ревальвації курсу національної валютицей індекс штучно занижується, що зумовленодешевим споживчим імпортом, зниженням ефек-тивності експорту та залежністю від світовогоринку енергоносіїв. А енергія (у будь-якому про-яві: електроенергії, нафти, газу, бензину, вугіл-ля) – це універсальний товар, наявність якого вбудь-якому іншому товарі або послузі є обов’яз-ковою. Цей факт разом з критичною залежніс-тю від імпортних поставок енергоресурсів, над-мірною енергомісткістю вітчизняного виробницт-ва і загальною світовою тенденцією до зростан-ня цін на первинні види палива стає причиноюштучного заниження індексу реальної інфляції.

Таким чином, реальна вартість активів на-ціональної економіки знижується через підви-щення вартості ресурсів, які необхідно купува-ти за ринковими поточними цінами для здійс-нення виробничого циклу. А в межах чинногозаконодавства прийнятий порядок індексації вар-тості активів національної економіки та існу-ючої схеми їх амортизації не дають можливостіпроводити не тільки розширене, але й просте від-творення.

Своєчасні заходи щодо відтворення акти-вів – передумова для відновлення ресурсної ба-зи національної економіки та зміцнення еконо-мічної безпеки держави і на цій основі – підви-щення довіри інвесторів, що є основними факто-рами забезпечення та утримання конкурентнихпозицій країни на міжнародних фондових рин-ках.


Інвестиційний потенціал амортизації як еко-номічного ресурсу розвитку фондового ринкуУкраїни

Стан основних фондів як економічногоресурсу розвитку фондового ринку України маєнадзвичайно високу залежність від національноїамортизаційної політики. Про значення інвести-цій в активи реального сектору економіки в ме-жах національної інвестиційної політики країнив умовах нерозвинутого вітчизняного фондовогоринку свідчить те, що найбільший приріст про-дукції в період становлення незалежної економі-ки України одержали виробництва, які інвесту-вали в основний капітал більше за інших: підпри-ємства зв’язку, паливно-енергетичного та мета-лургійного комплексів. Для порівняння – серед-ньорічні капіталовкладення в економіку про-тягом 1995–2003 рр. здійснювалися на рівні 24%від обсягів 1990 р. у промисловість у цілому –27%, тоді як розвиток зазначених галузей (під-приємства зв’язку, паливно-енергетичного і ме-талургійного комплексів) забезпечувався капітало-вкладеннями, що порівняно з 1990 р. становили79, 44 і 48%, відповідно [15, с. 659–668].

Обсяги іноземних інвестицій останнім ча-сом зросли: станом на 1 березня 2007 р. вони ста-новили суму в 211,89млрд дол. (для порівнян-ня – інвестиції в економіку Росії тільки в 2007 р.дорівнювали 52млрд дол.). Обсяги інвестицій восновний капітал на кінець 2006 р. становили125,2млрд грн. Однак деяке пожвавлення інвес-тиційної діяльності, що спостерігається нині вукраїнській економіці, ще не можна вважати занадійну базу для забезпечення стабільного фінан-сування розвитку й оновлення, оскільки, по-пер-ше, воно йде від безпрецедентно низької бази,що стало результатом занепаду інвестиційної ді-яльності в роки ринкових перетворень в еконо-міці України, по-друге, це пожвавлення покищо є тенденцією, яка не перетворилася в зако-номірність такого розвитку процесу інвестуван-ня, а по-третє, не ліквідовано фундаментальні не-доліки національної економіки, серед яких зно-шеність виробничого апарату реального секторуекономіки, що є найтяжчим та найвагомішимпроявом передкризового стану економіки.

Відомо, що сучасна економіка переванта-жена морально і фізично застарілою технікою табудівлями, що негативно відображається на тех-нічному і структурному стані наявних фондовихнагромаджень і є наслідком ще радянської інвес-тиційної політики, яка протягом багатьох деся-тиріч знижувала ефективність нагромадження ос-новного капіталу і продукувала регресивні тен-денції в економіці в цілому. За останні 25 років,

що передували встановленню державності в Ук-раїні, середньорічні капіталовкладення номіналь-но зросли в 3,6 раза, балансова оцінка засобівпраці збільшилася в чотири рази, а її динаміка –у п’ять разів, тоді як фондовіддача в цей час зни-зилася наполовину, а ще 25% капіталовкладеньвтрачалося у зв’язку із збільшенням строків ка-пітального будівництва та прихованою інфляці-єю [15, с. 659–668].

Таким чином, найбільш відчутними нега-тивними передумовами для сучасного етапутрансформації вітчизняної економіки були на-слідки “радянської моделі” капіталоутворення,тобто послідовне і тривале згортання амортиза-ційних процесів, уповільнення обсягів введен-ня нових та ліквідації спрацьованих основнихфондів, постійне перевищення нормативних стро-ків їх служби і збільшення фізичного та мораль-ного зносу.

Сучасна модель амортизаційної політикитільки сповільнює технічне оновлення матері-альної бази економіки. Так, протягом 1997–2003 рр. середня норма амортизації основнихфондів, обумовлена вітчизняним законодавст-вом, у перерахунку на лінійну становила 13%,що передбачало списання авансованої вартостіпротягом 7,7 року. Коефіцієнт введення основ-них фондів скоротився з 9,8 до 4,3%, а коефі-цієнт ліквідації застарілих – знизився з 2,5до1,5%; середній строк експлуатації основних фон-дів підвищився з 37 до 43 років, рівень їх фізич-ного і морального зносу досяг критичного рів-ня [15, с. 659–668]. За останні чотири роки вправовому полі в цьому сегменті економічноїполітики не було позитивних зрушень, тому насьогодні стан ресурсної бази національної еко-номіки має такі самі тенденції розвитку, що під-тримується і закріплюється політичною кризоюу владі.

Таким чином, діюча амортизаційна практи-ка протидіє цілям національної інвестиційноїполітики і її продовження матиме негативні на-слідки для розвитку національного фондовогоринку в подальшій перспективі. Мало того, щоамортизаційних ресурсів катастрофічно не виста-чає, вони ще й знеособлені при поверненні напідприємства у вигляді виторгу від реалізації, ітому часто відволікаються на оборотні потребиу зв’язку із зростаючими дефіцитами коштів,тобто для цілей розширеного відтворення, від-новлення і модернізації устаткування на під-приємствах реального сектору національної еко-номіки утворюється постійно зростаючий дефі-цит коштів. До того ж, бюджет нашої країнипротягом всього часу реформ приховано запо-зичує кошти з активів економіки для створен-


ня штучного рівня рентабельності за допомогоюоблікової політики відносно основного капіта-лу і його амортизації. Саме цим викликаний хро-нічний інвестиційний голод у більшості галузейнаціональної економіки, неконкурентоспромож-ність вітчизняних товаровиробників і все біль-ше згортання національних позицій на ринку ви-соких технологій.

Нині конкурентоспроможність розвиненихкраїн ґрунтується насамперед на конкуренції їхактивів. Стан і якість ресурсної бази економікиє основою високих темпів їх розвитку. Знеці-нення фінансових балансів економіки під впли-вом інфляції компенсується в розвинутих кра-їнах регулярним перерахунком вартості акти-вів, але вся різниця криється в його методоло-гії, тобто переоцінка національних активів маєіншу ідеологію, що переносить акценти в рено-вації активів із трудових ресурсів на матеріаль-ні і нематеріальні виробничі активи як основуефективної зайнятості населення. Важливим ін-струментом тут є амортизаційна політика, якамає розвинуте законодавство і поширюється навсі види активів: основний і фінансовий капі-тал, інтелектуальні ресурси, венчурний капіталтощо. Тому відповідність амортизаційних норма-тивів реальним умовам відтворення (при певно-му ефекті випередження) є важливим елементомдержавної амортизаційної політики, що врівнова-жує об’єктивні інвестиційні потреби економікиз можливостями розвитку фондового ринку.

Таким чином, на сучасному етапі розвиткунаціональної економіки пріоритетною задачеюдля розвитку вітчизняного фондового ринку маєстати не тільки стимулювання національної ін-вестиційної політики, але й налагодження ме-ханізму відшкодування та відновлення активівекономіки. Значущість амортизаційної політикияк фактора національної інвестиційної політи-

ки треба розглядати за двома основними пара-метрами: у кількісному аспекті – як найбільшмасштабне джерело фінансування основних фон-дів, а також в якісному – як напрямок роз-витку фондового ринку України та оновленняйого елементів, один з вагомих важелів еконо-мічного впливу держави на фінансовий стансуб’єктів господарювання, інвестиційний роз-виток та ефективність національної економікив цілому. Отже, амортизаційна складова інвес-тиційної політики поки ще не вичерпала свогопотенціалу і підлягає системному реформуванню.

Проблеми і перспективи розвитку фондовогоринку України як складової національної ін-вестиційної політики

В умовах невідповідності діючої політикиамортизації стрімким інфляційним процесамнизький рівень покриття відтворювальних про-цесів у реальному секторі національної економі-ки змушує підприємства відволікати кошти напідтримку виробничого процесу замість проход-ження процедур лістингу та IPO на фондовомуринку України (оскільки це досить затратна про-цедура). До того ж, такі підприємства навітьякби і розмістили свої акції на ринку ціннихпаперів, то внаслідок відсутності до них ін-тересу з боку потенціальних інвесторів були бзмушені пройти процедуру делістинга, що нега-тивно позначилося б на їх репутації. Розвиток жевітчизняного фондового ринку сприяє зростан-ню додаткових джерел фінансування реальногосектора національної економіки, що позитивновпливає на відтворювальні процеси в цьому сек-торі, а це, в свою чергу, викликає інтерес по-тенціальних інвесторів до підприємств-емітен-тів і позитивно впливає на розвиток вітчизня-ного фондового ринку (рисунок).

Реальний секторнаціональноїекономіки

(активи підприємств)

Взаємозалежність стану фондового ринку і реального сектора національної економіки

Відновлення ресурсної бази національної економіки зумовлюєінтерес потенціальних інвесторів до підприємств-емітентів, щопозитивно впливає на розвиток вітчизняного фондового ринку

Позитивнийнапрямокрозвитку

Розвиток фондового ринку слугує зростанню альтернативнихджерел фінансування, реального сектора національної економіки,що позитивно впливає на відтворювальні процеси щодо активів

підприємств

Слабкий вітчизняний фондовий ринок має низький рейтинг інвестиційноїпривабливості, що негативно позначається на процесах залучення на цейринок як іноземних інвесторів, так і вітчизняних підприємств-емітентів,

які віддають перевагу іншим фондовим майданчикам

Фондовий ринокУкраїни

Низький рівень покриття відтворювальних процесів щодо активівпідприємств (внаслідок невідповідності політики амортизації

стрімким інфляційним процесам) змушує їх відволікати кошти напідтримку виробничого процесу замість проходження процедурлістінгу та ІРО на фондовому ринку України, що негативно по-

значається на перспективах його розвитку

Негативнийнапрямокрозвитку


Отже, сталий, стабільно функціонуючий ри-нок цінних паперів є одним із чинників, якийможе поліпшити інвестиційний клімат у країні,сприятиме залученню й перерозподілу інвести-ційного капіталу в найперспективніші сфери еко-номіки. Фондовий ринок є важливим елементоммобілізації національних заощаджень і транс-формації їх в інвестиційні ресурси.

Тим часом, успішне функціонування фон-дового ринку передбачає наявність цілого рядупередумов – таких, як свобода переміщення ка-піталу, забезпечення ліквідності цінних паперів,наявність розвинутої інфраструктури фондовогоринку, чітка специфікація прав власності, інфор-маційна прозорість ринку, макроекономічна ста-більність, високий рівень довіри до держави та їїінституцій, а також між суб’єктами господарю-вання. Наявність цих передумов сформувала бпривабливий і сприятливий інвестиційний клі-мат, який, в свою чергу, забезпечив би надход-ження в економіку додаткових фінансових ресур-сів.

На жаль, сьогоднішній стан вітчизняногофондового ринку не відповідає тій ролі, яку маєвідігравати у створенні сприятливого інвестиційно-го клімату, хоч деяке пожвавлення торгів у Пер-шій фондовій торговельній системі (ПФТС), наякій зосереджено понад 90% операцій з ціннимипаперами в цілому спостерігалося (до іпотечноїкризи на світовому фінансовому ринку). Протя-гом 2000–2007 рр. обсяг ринку акцій в Українізріс від одного з найменших – 10% ВВП – домайже 35% ВВП, що є порівнянним з розміра-

ми ринків акцій Чехії, Польщі та Румунії [4].Наприкінці 2006 р. (для порівняння беретьсяперіод до фінансової кризи в США, яка впли-нула на стан торгів на фондових майданчикахусієї Європи) капіталізація ринку акцій в Ук-раїні становила 222,84 млрд грн (у 2007 р. –564,65 млрд грн), тоді як загальний обсяг тор-гів акціями – 6,1 млрд грн, що майже удвічіперевищує відповідно показник 2005 р. (таблиця).Зареєстрований обсяг торгів облігаціями ста-новив 21,3 млрд грн, що також майже удвічі пе-ревищує показник 2005 р., з них корпоративни-ми – 12,3 млрд грн, державними – 8,0 млрд грн,муніципальними – 1,0 млрд грн. За 2006 р. по-рівняно з 2005 р. обсяг торгів у ПФТС подвоївсяі досяг 27,6 млрд грн (у 2007 р. – 31,49 млрд грн).

Тим часом, зростання обсягу торгів у ПФТСне відтворює реального зростання фондового рин-ку. Наведені показники стосуються виключно ор-ганізованого ринку цінних паперів, представлено-го в Україні переважно ПФТС. Але тут, за оцінка-ми експертів, понад 90% обсягу угод з ціннимипаперами виконуються поза межами організова-ного ринку [4]. Так, у 2003 р. частка органі-зованого ринку становила лише близько 3%,у 2004 р. – 4,1%, у 2005 р. – до 5% [16], щозумовлено поточними нормами регулювання віт-чизняного фондового ринку цінних паперів, згід-но з якими учасники ринку не зобов’язані фік-сувати інформацію про такі угоди на організо-ваному ринку. Тому фактичний обсяг торгів цін-ними паперами може перевищувати зафіксова-ний на організованому ринку в кілька разів, що

Таблиця. Динаміка обсягу і якості торгів у ПФТС за 2000–2007 рр.∗

РікПоказник

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Загальний обсяг торгів на фондовому рин-ку України, млн грн

Немаданих

Немаданих

108610 202960 321300 403800 492800 Немаданих

Загальний обсяг торгів на організованомуринку, млн грн

2820 9241 6536 3533 9400 16400 29100 Немаданих

Загальний обсяг торгів у ПФТС, млн грн 1463 6285 6272 3216 7000 14490 27630 31490

Частка ПФТС в організованому ринку, % 68,01 95,97 91,03 74,7 88,2 96,3 Немаданих

Відношення обсягу торгів фондового рин-ку до ВВП, %

21,40 29,01 45,20 76,02 90,63 96,50 69,12 Немаданих

Капіталізація, млрд грн 12,02 8,062 23,280 25,616 71,078 147,09 222,84 564,65

∗Джерело інформації: http://www.pfts.com/uk


підтверджується випереджаючими темпами зрос-тання загального обсягу торгів на ринку ціннихпаперів порівняно з обсягом торгів за допомо-гою організаторів ринку. Такій ситуації спри-яла недостатня глибина приватизації великихпідприємств, яка спричинила низьку активністьна українських ринках цінних паперів страте-гічних покупців, наслідками чого, в свою чергу,стали дефіцит ліквідних цінних паперів і “тіні-зація” організованого ринку. Новий імпульс длярозвитку фондового ринку України могли б да-ти вторинні емісії підприємств-емітентів, але че-рез їх незначний обсяг, зумовлений знеціненнямресурсної бази вітчизняних підприємств, збіль-шення їх обігу на ринку не відбувається.

Наступним фактором, який може сприятирозвиткові вітчизняного фондового ринку, є ор-ганізатори торгівлі, діяльність яких підвищує ін-вестиційну привабливість емітента за рахунок за-безпечення ліквідності та прозорості ринку цін-них паперів. Існування в нашій державі кількохфондових бірж, кожна з яких діє автономно іпроводить угоди з цінними паперами за власни-ми правилами, вносить диспропорції в єдинийпростір біржової діяльності. Тому в Україні, надумку багатьох вітчизняних науковців [4, 7, 16],доцільно мати єдину біржову фондову систему,оскільки капіталізація ринку цінних паперів єще незначною, а концентрація попиту і пропо-зиції в одній системі дасть змогу підвищуватиліквідність ринку і його інформативну відкри-тість. До того ж, за такої системи можливим стаєвикористання в біржовій торгівлі єдиного клі-рингового та депозитарного центру.

На сьогодні в Україні роль центрального де-позитарію виконують три структури: Національ-ний депозитарій України, Міжрегіональний фон-довий союз (для корпоративних цінних паперів)і Національний банк України (для державнихцінних паперів), що не відповідає вимогам інвес-торів і аналогічним системам розвинутих країн (дезабезпечується обслуговування 95% організова-ного ринку центральними депозитаріями) [16].Водночас існуюча національна депозитарна систе-ма не відповідає вимогам сучасного міжнародно-го ринку капіталу – вона технологічно відстаєвід вітчизняної платіжної системи і гальмує обігфінансових інструментів.

Таким чином, незважаючи на нещодавніпозитивні тенденції на фондовому ринку Укра-їни (зростання обсягу торгів і відношення капі-талізації до ВВП), фондовий ринок залишається

одним із найслабших елементів вітчизняної фі-нансової системи, що, в свою чергу, зумовленоінертністю розвитку та різноспрямованістю зав-дань, які він вирішує. На попередніх етапах ста-новлення фондового ринку України організова-ний фондовий ринок виконував вузькі і специ-фічні функції – був одним із технічних засобівпід час приватизації державних підприємств.Завдяки цьому в Україні виник первинний ри-нок, щоправда, зі специфічними характеристи-ками – він використовувався лише в привати-заційних процесах, тоді як первинне розміщен-ня акцій там практично не відбувалося. Такийфондовий ринок не забезпечував підприємствареальними інвестиційними ресурсами. За сучас-них умов функція перерозподілу прав власностіпоступово вичерпує своє початкове значення. То-му на сучасному етапі перед фондовим ринкомнеобхідно поставити нові завдання, зорієнтова-ні на вирішення проблеми забезпечення еконо-міки інвестиційними ресурсами, які мають пе-реваги над іншими видами інвестування:

• переваги внутрішнього інвестування: на від-міну від акумулювання і перерозподілу коштів че-рез банківську систему фондовий ринок пови-нен орієнтуватися на перерозподіл довгостроко-вих і відносно дешевих фінансових ресурсів, щомає зробити його альтернативним і більш кон-курентоспроможним джерелом фінансування на-ціональної економіки;

• переваги іноземного інвестування: залучен-ня іноземних інвестицій саме через фондовийринок вбачається найпривабливішою формоюіноземного інвестування, оскільки правила функ-ціонування фондового ринку забезпечують мо-більність руху капіталів і ліквідність вкладів. Занаявних нестабільних умов функціонування еко-номіки України ліквідність вкладів можна вва-жати одним iз вирішальних чинників, які змо-жуть вплинути на поліпшення інвестиційної ді-яльності.

Отже, ліквідний і прозорий фондовий ри-нок має забезпечити реалізацію національних ін-тересів України, сприяти підвищенню конкурен-тоспроможності національної економіки через:акумулювання і перерозподіл інвестиційних ре-сурсів між різними галузями та підприємства-ми, які потребують додаткового фінансування длясвого подальшого розвитку; формування корект-ної ринкової вартості підприємств; утворення ін-


формаційних індикаторів для інвесторів, інди-кації загального стану економіки для всіх суб’єк-тів господарювання; залучення коштів для по-криття дефіциту державного і місцевих бюдже-тів; фінансування державних та місцевих про-грам розвитку.

Висновки

Протидія сучасної амортизаційної політи-ки (у межах чинного законодавства) цілям наці-ональної інвестиційної політики негативно впли-ває на розвиток вітчизняного фондового ринкуі породжує хронічний інвестиційний голод yбільшості галузей національної економіки. При-чини занепаду її ресурсної бази криються ще вісторичній спадщині – в соціалістичній системігосподарювання, що мала бюджетні пріорите-ти, для реалізації яких вона стимулювала під-вищення оподатковуваного прибутку за раху-нок скорочення частки амортизаційних відра-хувань у витратах.

Недостатня увага до відновлення ресурсноїбази національної економіки, в свою чергу, спри-чиняє дефіцит уваги інвесторів до підприємств їїреального сектора. Розвиток фондового ринку Ук-раїни дасть можливість диверсифікувати і стабі-лізувати джерела фінансування підприємств-емі-тентів через мобілізацію тимчасово вільних кош-тів населення, а також іноземних і вітчизнянихсуб’єктів господарської діяльності з метою подаль-шого перерозподілу цих коштів у ті сектори еко-номіки, які потребують додаткового фінансуван-ня для свого подальшого розвитку.

Але істотне превалювання неорганізовано-го фондового ринку над організованим, мала кіль-кість цінних паперів, якими торгують біржі, об-межена кількість інструментів фондового рин-ку, низькі темпи приведення нормативної бази увідповідність до вимог міжнародних стандартів,низька зацікавленість стратегічних іноземних ін-весторів у вітчизняному фондовому ринку, слаб-кість внутрішніх інституційних інвесторів (па-йові інвестиційні фонди, недержавні пенсійніфонди та страхові компанії) і низька активністьфізичних осіб на ринку цінних паперів нега-тивно позначаються на прозорості вітчизняногофондового ринку безпосередньо та інвестиційно-му кліматі в країні взагалі. З огляду на це, важ-ливим є подальший розвиток фондового рин-ку України в межах національної інвестиційноїполітики, який залежить від конкретних заходів

держави щодо розбудови національної фінан-сової системи. Необхідність втручання державив даний сектор економіки зумовлена тим, щосаморегуляція ринкових відносин у фінансовійсфері України не можлива у зв’язку з їх незріліс-тю (що притаманна нещодавно утвореним рин-кам). Тому темпи розвитку вітчизняного фондо-вого ринку та розкриття його інвестиційного по-тенціалу залежать від конкретних заходів дер-жавної політики у фінансовій сфері, які доцільнозосередити на таких напрямах:

• налагодження тісного співробітництва на-ціональної економіки з глобальною в рамках між-народних організацій з метою створення пози-тивного іміджу фондового ринку України середіноземних і вітчизняних інвесторів;

• узгодження вітчизняного законодавства зміжнародними нормами і сучасними вимогамирозвитку фінансових відносин; підвищення ви-мог до корпоративного управління; чітке визна-чення прав і обов’язків емітентів та інвесторів;

• створення єдиного клірингового і депози-тарного центру на принципах незалежності, про-зорості, некомерційного характеру діяльності, дер-жавної підтримки; запровадження доступних тарівних умов і тарифів для всіх користувачів; міні-мізація витрат;

• удосконалення механізму продажу акційпідприємств, які перебувають у державній влас-ності, з метою справедливої оцінки реальної рин-кової вартості підприємства та створення умовдля зростання його капіталізації;

• врівноваження амортизаційних нормати-вів із реальними умовами відтворення (при пев-ному ефекті випередження) через параметри від-творення і відшкодування основного капіталу, щовиведе з існуючого конфлікту об’єктивні інвес-тиційні потреби національної економіки та мож-ливості розвитку вітчизняного фондового ринку;

• формування механізму активного залучен-ня широких верств населення до участі в діяль-ності ринку цінних паперів через становлення наньому рейтингової інфраструктури.

Для іноземних інвесторів Україна – це хо-роша можливість диверсифікації вкладів. Із здійс-ненням окреслених у статті заходів державної по-літики у фінансовій сфері та стабілізації еконо-мічних і політичних процесів наша держава здо-буватиме дедалі більшу довіру і привабливість уміжнародному середовищі.


В.В. Дергачeва

РАЗВИТИЕ ФОНДОВОГО РЫНКА УКРАИНЫ КАКСОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАЦИОНАЛЬНОЙ ИНВЕСТИ-ЦИОННОЙ ПОЛИТИКИ

Рассмотрены альтернативные источники финан-сирования воспроизводственных процессов в ре-альном секторе национальной экономики, выяв-лены экономические и исторические предпосыл-ки обесценивания ресурсной базы национальнойэкономики, исследовано состояние государствен-ной амортизационной политики как экономическо-го ресурса развития фондового рынка Украины,рассмотрены проблемы и перспективы развитиярынка ценных бумаг как составляющей нацио-нальной инвестиционной политики.

V.V. Dergachova

THE DEVELOPMENT OF THE UKRAINIAN STOCKMARKET AS A PART OF THE NATIONAL INVEST-MENT POLICY

The paper considers the alternative sources of re-producible processes financing in the real sector ofthe national economy. Moreover, this paper revealsthe economic and historical pre-conditions of deva-luation of the national economy’s resource base,studies the current state of the Ukrainian depreciati-on policy as an economic resource for the Ukrainianstock market development and addresses the prob-lems and future trends of the stock market develop-ment as a part of the national investment policy.

1. Федоренко В. Інвестиції та економіка України // Еко-номіка України. – 2007. – 5. – С. 12–16.

2. Терещенко Г.М. Проблеми становлення та напрями удос-

коналення функціонування ринку цінних паперів в Ук-раїні // Фінанси України. – 2007. – 6. – С. 97–104.

3. Карпенко Г.В. Досвід розвитку фондового ринку країнЄвропи та його використання в Україні // Там же. –С. 90–95.

4. Поворозник В.О. Фондовий ринок України на сучасно-

му етапі: проблеми та шляхи їх вирішення // Страте-гічні пріоритети. – 2007. – 1(2). – С. 127–132.

5. Міньков В.І. Деякі особливості розвитку фондового рин-ку України // Фінанси України. – 2005. – 12. –С. 104–111.

6. Яценюк А. Фондовий ринок України: проблеми таперспективи розвитку // Вісн. Нац. банку України. –2004. – 11. – С. 4–9.

7. Ватаманюк З.Г., Баула О.В. Перспективи розвитку рин-ку цінних паперів в Україні // Фінанси України. –2007. – 5. – С. 75–85.

8. Корнєєв В. Еволюція та перспективи фінансового ринкуУкраїни // Економіка України. – 2007. – 9. – С.

21–29.

9. Кондрашкін А. Інвестиційні ризики українського ринку

цінних паперів // Банківська справа. – 2002. – 2. – С. 62–70.

10. Евстигнеев Р. Рынок акций в экономике переходного

периода // Мировая экономика и междунар. отноше-ния. – 2004. – 9. – С 47–56.

11. Прутник Э., Ретинский Ю., Назарчук М. Региональ-

ный фондовый рынок и инвестирование экономикиДонецкой области // Экономика Украины. – 2003. – 1. – С. 13–17.

12. Дергачова В.В. Міжнародна конкурентоспроможність

національної економіки в контексті забезпечення еко-номічного зростання. – Донецьк: ДонДУЕТ, 2006. –

392 с.

13. Статистичний щорічник України за 2005 рік / Держ-

комстат України / За ред. О.Г. Осауленка; Відп. за ви-пуск В.А. Головко. – К.: Консультант, 2006. – 576 с.

14. Савельев Н.Н. Река времени: История глобализации ми-рового развития. – Краснодар: Пересвет, 2002. – 264 с.

15. Економіка України: Стратегія і політика довгостроково-го розвитку / За ред. В.М. Геєця. – К.: Фенікс, 2003. –

1008 с.

16. Ватаманюк З.Г., Звонар Н.В. Ринок цінних паперів вумовах фінансової глобалізації // Фінанси України. –2007. – 6. – С. 82–89.

Рекомендована Радою факультету ме-неджменту та маркетингу НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції17 вересняя 2008 року

14

ЕЛЕКТРОНІКА, РАДІОТЕХНІКА ТА ЗАСОБИТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

УДК 621.383

О.А. Мариненко

ОПТИЧНІ І ПАСИВУВАЛЬНІ ВЛАСТИВОС-ТІ НІТРИДУ КРЕМНІЮ

Вступ

Напівпровідникові фотоелектричні пере-творювачі забезпечують безпосереднє перетво-рення сонячної енергії в електричну. Основнапроблема у значному поширенні фотоенерге-тичних систем полягає в необхідності під-вищення коефіцієнта корисної дії (ККД) і зни-женні питомої вартості вироблюваної енергії. До-сягнення ККД рівня 15–18% для кремнієвих фо-тоелектричних перетворювачів (ФЕП) з питомоювартістю вироблюваної електричної потужності3,0–3,5 дол./Вт дало новий поштовх розвитковіфотоенергетичних систем. Основними напрям-ками в цій галузі слід вважати фотоелектричніперетворювачі на основі монокристалічного,мультикристалічного, аморфного кремнію, по-трійних напівпровідникових з’єднань А3В5 і сис-тем Cu–In–Se [1–8].

Ключові моменти широкого розвитку фо-тоенергетики у світі і в Україні зосереджено назначному підвищенні ефективності перетворен-ня сонячної енергії в електричну та зниженні со-бівартості вироблюваної енергії. Відповідно допрограми США SAI (“Сонячна американськаініціатива”) [9] передбачена могутня підтрим-ка американських фірм і університетів (більше10 млрд дол.), що займаються розробкою і ве-ликомасштабним виробництвом фотоелектрич-них модулів і систем. Для забезпечення конку-рентоздатності фотоенергетичних систем з ві-домими джерелами енергії (викопне паливо, атом-на енергетика та інші види поновлюваної енер-гії) необхідно знизити вартість одного вата пі-кової потужності як мінімум у два рази (менше2,2 дол./Вт) і збільшити до 2030 р. обсяг вироб-ництва в 1000 разів [10, 11]. При цьому треба вра-ховувати поширеність базового матеріалу в при-роді, екологічну чистоту не тільки готових фо-тоенергетичних систем (ФЕС), але й технологіч-них процесів їх виготовлення, енерговитрати ви-робництва і термін їх окупності. В даний час біль-ше 90% всього обсягу виробництва ФЕС станов-лять плоскопанельні модулі з кристалічного імультикристалічного кремнію [11]. У цьому на-прямку планується підвищення ефективності пе-

ретворення з 12–16 до 20–22% за рахунок удос-коналення конструктивно-технологічних парамет-рів і зниження витрати кремнію більше ніж удва рази, оскільки 50% вартості модуля стано-вить ціна вихідних кремнієвих пластин.

За останні роки розмір основних фото-електричних перетворювачів зріс від 100×100до 156×156мм, що забезпечує зниження втратенергії на вузлах з’єднання при роботі фотоелект-ричних перетворювачів у складі фотоелектрич-ного сонячного модуля. Такі планарні розміри,безумовно, ведуть до збільшення впливу стануповерхні на вихідні електрофізичні параметриФЕП.

Відносно низька ефективність перетворен-ня сучасних фотоелектричних перетворювачів накремнії зумовлена втратами перетворення корот-кохвильової і інфрачервоної області спектра со-нячного випромінювання, втратами в результа-ті поверхневої й об’ємної рекомбінації, а такожоптичного відображення. Це висуває проблемунеобхідності розробки нових методів перетво-рення короткохвильового випромінювання, тех-нологічних прийомів пасивації, гетерування і на-ноструктурування поверхні.

Поглинання сонячного випромінюваннявідбувається в приповерхній зоні ФЕП, тому длядосягнення високої ефективності перетвореннясонячної радіації необхідно забезпечити мінімаль-ні втрати, зумовлені процесами відображеннясвітла, рекомбінацією і нефотоактивним погли-нанням.

У розробленій технології виготовлення ФЕПна основі монокристалічного і полікристалічно-го кремнію (1980 р.) і при наступному впровад-женні її в серійне виробництво було запропоно-вано як покриття, що просвітлює і пасивує, ніт-рид кремнію, який одержували плазмохімічнимметодом при температурах осадження 350°С [12–14]. Синтез нітриду кремнію в тліючому розря-ді із силану та аміаку приводив до ефективноїпасивації поверхні кремнію воднем. Зараз цейметод широко застосовується при виробництвіФЕП багатьох закордонних фірм, але процес по-требує подальшого удосконалення.


Мета даної статті полягає в дослідженні ос-новних фізико-технологічних процесів виготов-лення кремнієвих фотоелектричних перетворю-вачів ФEП, установленні впливу технологічнихпараметрів осадження плазмохімічного нітридукремнію на характеристики ФЕП та режимів оп-тимізації для підвищення ККД.

ЕЛЕКТРОНІКА, РАДІОТЕХНІКА ТА ЗАСОБИ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ 15

Задачами, що розв’язуються для досягнен-ня вказаної мети, є порівняльна характеристи-ка плівки нітриду кремнію з іншими типамиантивідбивальних і пасивувальних шарів, щошироко використовуються в крупносерійних ви-робництвах ФЕП на великоформатних кремні-євих пластинах, встановлення особливостей фор-мування плівки нітриду кремнію при викорис-танні як бази фотоелектричного перетворювачамонокремнієвої та мультикремнієвої пластин.

Параметри антивідбивальних покриттів длякремнієвих ФЕП

Основним призначенням антивідбивальнихпокриттів (АВП) є зменшення коефіцієнта від-биття світла від поверхні робочої поверхні при-ладу. При створенні кремнієвого ФЕП першочер-гово треба звернути увагу на його власну спект-ральну характеристику (рис. 1). При цьому стаєочевидним, що для кремнієвого ФЕП потрібновибирати АВП, який забезпечує мінімальний ко-ефіцієнт відбиття в діапазоні довжин хвиль 0,4–1мкм. Не існує поверхонь, оптичні властивостіяких є неселективними в дуже широкому діапа-зоні спектра. Поглинаючи частину випроміню-вання з видимої частини спектра, поверхні тіл від-бивають іншу частину спектра, визначаючи ко-лір поверхні.

Отже, при виборі АВП для ФЕП першочер-гово слід визначити основні параметри необхід-ної плівки АВП. Вихідними даними при розра-хунку є спектральна залежність коефіцієнта від-биття та спектральна чутливість (відношення гус-тини струму короткого замикання при даній дов-жині хвилі до одиниці падаючої енергії опромі-нення) кремнієвого елемента з текстурованою по-верхнею і глибиною залягання емітерного пере-ходу менш ніж 1мкм [15].

Внаслідок відносно великого значення ко-ефіцієнта заломлення (при λ = 0,6мкм, n = 3,94)фронтальна поверхня кремнієвого ФЕП відби-ває значну частину падаючого світла в усьому“робочому” діапазоні (рис. 2).

Розрахунок оптимальних параметрів покрит-тя зводиться в загальному випадку до знаход-ження оптичної товщини та коефіцієнта залом-лення плівки, що для непрозорих пластин ви-значається співвідношенням

− + +=

+ − +

2 2 22 0 2 1

2 2 21 0 2 1

( ) ( )

( ) ( )

n n n n k

n n n n k, (1)

де n0 = 1, n1, n2 – коефіцієнти заломлення по-вітря, антивідбивального покриття та пластини(кремнію), відповідно; k = αλ/4π і α – показ-ник і коефіцієнт поглинання кремнію.

Використовуючи ряд припущень, наведениху [16], для довжини хвилі більше ніж 500нмотримуємо

=1 2n n . (2)

Виходячи з (2) і коефіцієнта заломленнякремнію 3,94 (при довжині хвилі більше ніж500нм), отримуємо, що оптимальна плівка повин-на мати коефіцієнт заломлення близько 1,98–2.

Внаслідок дисперсії n2 оптимальна товщи-на покриття дорівнює чверті довжини хвилі примінімальному коефіцієнті відбиття (λмін/4). Алевизначення оптимальної товщини покриттяускладнюється тим, що потрібно враховувати нелише оптичні властивості, але й електрофізичніхарактеристики ФЕП. При цьому максимумспектра розподілу енергії сонячного випромі-нювання (0,5–0,6мкм) і максимум спектраль-ної чутливості ФЕП (0,5–0,85мкм) не збігати-муться. Наслідком цього буде те, що λмін по-винна бути в діапазоні 120–200нм, але більшточне визначення λмін без проведення експери-

Рис. 1. Спектральний розподіл густини струму короткогозамикання кремнієвого ФЕП без антивідбивально-го покриття

Довжина хвилі, нм

Нор

мов

аний с

трум

коро

тког

о за

мика

ння,

%

1150

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1

950750550350

Рис. 2. Коефіцієнт відбиття кремнієвого ФЕП без антивід-бивального покриття

Кое

фіц

ієнт

відб

итт

я, %

Довжина хвилі, нм1000800600400

50

40

30

20

10

0


ментальних робіт для конкретного випадку не-можливе, оскільки максимум спектральної чут-ливості ФЕП має сильну залежність від таких па-раметрів, як глибина залягання емітерного пере-ходу, рівень легування вихідної пластини, рівеньповерхневої концентрації домішки емітера тощо.

Отже, для точного визначення оптималь-них параметрів антивідбивальної плівки потріб-не проведення експериментальної роботи із вста-новленням емпіричної залежності спектральноїчутливості ФЕП від товщини плівки.

Пасивувальні властивості нітриду кремнію

За останні роки площа поверхні ФЕП збіль-шилась від 100 (для ФЕП із стороною квадрата100мм) до 250см2 (для ФЕП із стороною квад-рата 156мм), а товщина пластини невпиннозменшується (від 300мкм в 2002 р. до 150мкм у2007 р.). Таким чином, відбувається зменшеннявпливу об’ємних ефектів і збільшення впливуприповерхневих ефектів. Крім пасивувальнихвластивостей плівки, яка буде використана дляпасивації поверхні, потрібно знайти оптичні ха-рактеристики плівки, узгодженість технології фор-мування з технологічним маршрутом виготов-лення ФЕП, враховувати подальшу можливістьформування контактної системи без використан-ня фотолітографічних процесів.

Звичайно, найбільш прийнятною, з точкизору узгодженості властивостей, є плівка окси-ду кремнію, але якщо взяти до уваги коефіці-єнт заломлення світла на рівні 1,5 (що неприй-нятно з погляду на вимоги до оптичних влас-тивостей) та деякі інші фізико-хімічні явища(зокрема, інверсію провідності) [17], то стає оче-видним, що для даного випадку ця плівка не-прийнятна.

Іншою, досить поширеною в кремнієвій тех-нології пасивувальною плівкою є нітрид крем-нію.

Існує два принципово різних методи фор-мування плівки нітриду кремнію: піролітичнеосадження і осадження, стимульоване плазмоюпри пониженому тиску. Виходячи з властивос-тей плівок, отриманих цими методами [18], мож-на дійти висновку, що більш прийнятним є дру-гий варіант, особливо з позицій насичення плів-ки і приповерхневого шару пластини воднем, та-кож він не потребує високої температури про-цесу, що призводить до можливості “температур-ного старіння” пластини [15].

Для процесу пасивації поверхні ФЕП сти-мульованим плазмою осадженням плівки ніт-

риду кремнію з газів моносилану та аміаку (чиазоту) мають додатково до росту плівки на по-верхні пластини суттєвий механізм: проникнен-ня іонів водню в приповерхневий шар пласти-ни з наступним заміщенням дефектів кристаліч-ної решітки.

При дослідженні пасивувальних властивос-тей плівки нітриду кремнію було отримано, щонайкраща пасивація поверхні досягається притаких режимах процесу, які забезпечують фор-мування плівки нітриду кремнію, збагачену крем-нієм, таку, що має коефіцієнт заломлення біль-ше ніж 2,3 [19], тобто збагачених кремнієм. Алетаке значення коефіцієнта заломлення значно по-гіршує оптичні властивості системи ФЕП (рис. 3).

Дослідження властивостей плівок SiN:Н,виготовлених при використанні суміші силан/ар-гон, показали, що при оптимізації процесу осад-ження до конкретних умов (процентне співвід-ношення силан/аргон, температура процесу тощо)дозволяє досягнути прийнятної поверхневої па-сивації при використанні стехіометричної плів-ки SixNy :Н замість збагачених кремнієм плівокSiN. Вони також не поглинаються в ультрафіоле-товому діапазоні сонячного спектра, мають до-статню механічну та хімічну стійкість при зви-чайних умовах і досить легко розчинні при фор-муванні контактної системи.

Вплив режимних параметрів на властивостіплівки нітриду кремнію

Традиційно вважалося, що показник залом-лення плівки змінюється від 1,95 до 2,0 залеж-но від умов проведення процесу [18]. При цьо-му, змінюючи режимні параметри процесу, бу-ло отримано більш широкий діапазон 1,9–2,8,що ще раз свідчить про необхідність проводити

Рис. 3. Залежність спектрального коефіцієнта відбиття по-верхні ФЕП від показника заломлення плівки ніт-риду кремнію (значення показника заломлення вка-зано при λ = 0,6 мкм): 1 – без покриття;2 – 1,95; 3 –1,97; 4 – 2

Кое

фіц

ієнт

відб

итт

я, %

Довжина хвилі, нм1000800600400

50

40

30

20

10

0

1

2 3 4


оптимізацію процесу для кожного конкретноговипадку (тип обладнання, технологія підготовкипластин тощо).

Оскільки методи, що використовувалися длявизначення оптичних характеристик, здатні ана-лізувати лише абсолютно рівні поверхні (класповерхні не гірше ніж 10), то під час проведен-ня процесів поряд із текстурованими (“робочи-ми”) пластинами встановлювалися поліровані(“контрольні”) пластини КДБ-1, які попередньобули проведені по такому ж маршруту виготов-лення ФЕП, що й “робочі” пластини, крім про-цесу текстурування.

Експериментальне дослідження проводилосяна установці осадження діелектричних покрит-тів “Ізоплаз-150”. Для формування плівки вико-ристовувалися робочі гази аміак (NH3) та мо-носилан (SiH4).

Вплив робочої температури. При зміні темпе-ратури процесу встановлено більш сильну залеж-ність для коефіцієнта заломлення (рис. 4) плів-ки, яку було сформовано на поверхні пласти-ни, ніж наведено в [18]. Цей факт було пов’яза-но з різним якісним складом аміаку (а саме біль-шим вмістом кисню і парів води), що викорис-товувався як робочий газ. Це призводить (принизьких температурах проведення процесу) дочасткового формування плівки SixNy :(H, О), щомає значно менший коефіцієнт заломлення.

Якість пасивації далі оцінювалася за на-пругою холостого ходу ФЕП, параметром, щопрямо залежить від якості пасивації поверхні(від швидкості поверхневої рекомбінації) і мен-шою мірою залежить від оптичних властивос-тей ФЕП, ніж струм короткого замикання. Дляцього пластини (“робочі”) було проведено по та-кому маршруту:

• вихідна пластина: µКДБ-1;• хімічна очистка поверхні (розчин СР-4);• структурування поверхні (суміш кислот

HF:HNO3);• формування мілкозалягаючого емітера

(830°С, 30хв) [15];• ізоляція емітерного переходу методом трав-

лення бокової частини пластини (до р-шару)[20];

• видалення фосфорносилікатного скла;• формування плівки нітриду кремнію;• формування контактної системи ФЕП.Для порівняння бралися ФЕП, що не про-

ходили операцію зняття шару фосфорносилікат-ного скла і формування плівки нітриду крем-нію. Як антивідбивальна плівка на ці пластининаносилася плівка оксиду титану.

Для визначення впливу температури нагрі-ву пластини було проведено дослідження темпе-ратурного діапазону 25–600°С.

Проведені вимірювання показали залеж-ність напруги холостого ходу Ux.x від температуринагріву камери (рис. 5). У наведеному графікучітко виділяються три характерні області: 25–200°С; 200–400°С; 400–600°С.

У діапазоні 25–200°С рівень напруги хо-лостого ходу майже незмінний. Цей факт по-яснюється тим, що при проведенні процесу підвпливом наявності омічного опору електродіввідбувається саморозігрів пластин. При цьому рі-вень додаткового нагріву нижчий, ніж рівень са-морозігріву. Таким чином, фактичний рівень на-гріву пластин знаходиться на рівні близько 250°С.Цей факт пояснюється (як і у випадку з оптич-ними властивостями) рівнем наявності сторон-ніх домішок у плівці.

У наведеному графіку чітко простежуєтьсядосить сильний вплив температури пластини нанапругу холостого ходу ФЕП у температурномудіапазоні 200–400°С.

Рис. 4. Залежність коефіцієнта заломлення плівки SixNy :Hz

від температури проведення процесу (значення по-казника заломлення вказано при λ = 0,6 мкм)

Пок

азник

зало

мле

ння

Температура проведення процесу, °С400300200100

1,9

2

2,1

1,6

1,7

1,8

1,5

Рис. 5. Залежність напруги холостого ходу Ux.x ФЕП відтемператури нагріву камери проведення процесу

T, °C600

640

Ux.x, мВ

4002000

630

620

610


Вплив співвідношення робочих газів. Співвід-ношення робочих газів впливає на те, з якимелементом (кремнієм чи азотом) пов’язаний во-день. При цьому, крім оптичних властивостей(впливу на коефіцієнт заломлення) [18], зміню-ються й пасивувальні властивості плівки.

Змінюючи співвідношення робочих газів(моносилану і аміаку), при збереженні сумар-ного розходу газів можна побудувати графіки за-лежності напруги холостого ходу від цього спів-відношення газів (рис. 6):

При цьому, проводячи аналіз отриманих за-лежностей, можна зробити відповідні висновки.

1. При великих значеннях NH3/SiH4 на-явність у зоні реакції значної кількості аміаку (зсупутніми киснем, парами води тощо) пасиву-вальні властивості досить слабкі, плівка в гранич-ній області насичена значною кількістю домі-шок (кисень, групи ОН, азот тощо), рівень на-пруги холостого ходу ФЕП низький. При цьо-му відчувається значний вплив температури до-даткового нагріву пластин.

2. При збільшенні розходу моносилану вграничній області зростає рівень кремнію, щопозитивно відбивається на якості пасивації, рі-вень напруги холостого ходу збільшується.

3. При значеннях NH3/SiH4, близьких до 1,5(і менше), склад плівки набуває властивостей по-лікремнію, пасивувальні властивості стабілізу-ються, криві стають менш похилими.

Виходячи з наведених результатів, можназапропонувати, що для досягнення високої ефек-тивності ФЕП необхідно формувати плівки ніт-риду кремнію, збагачені кремнієм, але при цьомукоефіцієнт заломлення плівки буде більшим, ніж2,2, що призведе до значного погіршення оптич-них властивостей ФЕП та зниження значенняструму короткого замикання, і, як результат, призначеннях співвідношення NH3/SiH4, меншихніж 5, зменшення складової струму короткого за-микання у виразі ефективності ФЕП стає більшзначимим, ніж зростання напруги холостого хо-ду.

Отже, для отримання високої ефективнос-ті фотоелектричного перетворення потрібно привирощуванні плівки нітриду кремнію для фото-електричних перетворювачів витримувати спів-відношення робочих газів у діапазоні 4–7.

Висновки

Одним із визначальних технологічних про-цесів підвищення ефективності перетвореннякремнієвих фотоелектричних перетворювачів єстворення антивідбивального покриття, що маєнеобхідні просвітлювальні і пасивувальні влас-тивості. Встановлені основні закономірності фор-мування плазмохімічного нітриду кремнію доз-волили підвищити ефективність перетворення до16,5–19%.

А.А. Мариненко

ОПТИЧЕСКИЕ И ПАССИВИРУЮЩИЕ СВОЙСТ-ВА НИТРИДА КРЕМНИЯ

Рассмотрены физико-технологические процессыповышения эффективности преобразования фо-тоэлектрических преобразователей на основе мо-нокристаллического и мультикристаллическогокремния. Исследованы оптические и пассивиру-ющие свойства пленок нитрида кремния, получен-ных плазмохимическим осаждением.

O.A. Marinenko

THE OPTICAL AND PASSIVATING PROPERTIESOF SILICON NITRIDE

This paper considers physical and technological pro-cesses of enhancing transformation efficiency ofphotoelectric transducers on the basis of singlecrys-talline and multicrystalline silicon. The core of thiswork is the study of optical and passivating properti-es of silicon nitride films, produced by the plasmachemical deposition technology.

Рис. 6. Залежність напруги холостого ходу Ux.x ФЕП від спів-відношення робочих газів при різній температурі на-гріву камери проведення процесу, °С: – 200;і – 350; – 400

640

Аміак/моносилан151050

630

620

610

600

590

580

Ux.x, мВ


1. Фаренбрух А., Бьюб Р. Солнечные элементы: теория иэксперимент / Пер. с англ. – М.: Энергоатомиздат,

1987. – 280 с.

2. Амброзяк А. Конструкция и технология полупровод-никовых фотоэлектрических приборов. – М.: Сов.

радио, 1970. – 392 с.

3. Green M.A. Third generation photovoltaic – theoretical and

experimental progress // Proc. of the 19th European Pho-tovoltaic Solar Energy Conf. and Exhibition. – Paris (Fran-

ce), 2004. – P. 12–19.

4. Roca F., Carabe J. Silicon heterojunction cells // Ibid. –P. 1321–1328.

5. Yasler C., Koch W., Krumbe W., Thurm S. Multicrystalli-

ne Baysix silicon for high-efficient solar cells from the new

freiberg production facility // Proc. of the 2nd WorldConf. and Exhibition on Solar Energy Conversion. – Vi-

enna, 1998. – P. 463.

6. Longo C., De Paoli M. Dye-Sensitized Solar Cells: A Suc-cessful Combination of Materials // J. Braz. Chem. Soc. –2003. – 14, N 6. – P. 889–901.

7. Шмырева А.Н. Назначение, состав и основные харак-

теристики электроснабжения космических аппаратов //

Матер. региональной школы-семинара “Украинскиймолодежный спутник”. – К., 2004. – С. 32–43.

8. Bergmann R.B. Crystalinne Si thin-film solar cells: a revi-ew // Appl. Phys. – 1999. – A69. – P. 187–194.

9. Barne tt A., Honsberg C., Kirkpatrick D. New US Ultra High

Efficiency R&D Programme // Proc. of the 21st Europe-an Photovoltaic Solar Energy Conf. – Dresden (Germa-

ny), 2006. – P. 124–128.

10. Swanson R.M. A Vision for crystalline silicon solar cells //Proc. 19th European Photovoltaic Solar Energy Conf. –Paris (France), 2004. – P. 968–974.

11. Унтила Г.Г., Кост Т.Н., Чеботарёва А.Б. и др. Новый

тип высокоэффективных двусторонних кремниевых сол-

нечных элементов с внешними шинами и проволоч-

ной контактной сеткой // Физика и техника полупро-

водников. – 2005. – 39, вып. 11. – С. 1393–1398.

12. Шмырева А.Н., Иващук А.И. Фотоэлектрические свойст-

ва МДП-фототранзисторов при высоких уровнях воз-буждения // Физика и техника полупроводников. –1979. – 13, 9. – С. 1835–1838.

13. Шмырева А.Н., Кирпатенко Л.Т. Солнечные элементы

с поверхностными барьерами // Матер. Всесоюз. семи-

нара “Полупроводниковые приборы с барьерами Шот-тки”. – К., 1980. – С. 72.

14. Шмырева А.Н., Кирпатенко Л.Т. Фотоэлектрические

свойства кремниевых МДП-структур с инверсионны-ми слоями // Диэлектрики и полупроводники. – К.:

Наук. думка, 1987. – Вып. 31. – С.71–73.

15. Мариненко О.А. Вплив параметрів дифузійних проце-

сів на характеристики фотоелектричних перетворюва-чів // Электроника и связь. – 2007. – 1. – С. 12–16.

16. Колтун М.М. Селективные оптические поверхности пре-образователей солнечной энергии. – М.: Наука, 1979. –

246 с.

17. Лукомський Д.В., Мариненко О.А., Пашков О.С. Паси-

вація поверхні фотоелектричних перетворювачів за до-

помогою окислу кремнію в умовах серійного вироб-

ництва // Вісник Київського нац. ун-ту ім. Тараса Шев-ченка. Військово-спеціальні науки. – 2007. – 14. –С. 17–19.

18. Толливер Д., Новицки Р., Хесс Д. и др. Плазменная тех-

нология в производстве СБИС / Пер. c англ. под ред.Н. Айнспрука, Д. Брауна. – М.: Мир, 1987. – C. 387.

19. Schmidt J., Moschner J.D., Henze J. Recent progress in

the surface passivation of silicon solar cells using silicon

nitride 19th European Photovoltaic Solar Energy Conf.,7–11 June 2004. – Paris (France), 2004. – Р. 391–996.

20. Fedorovich O.A., Kruglenko M.P., Lukomskij D.V., Mari-

nenko A.A., Polozov B.P. Modernization of the plasma che-

mical etching equipment for isolation of the p-n junction at

the photoconverters production // Proc. 11th Intern. Con-

ference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion,Alushta (Ukraine), 11–16 September, 2006. – Алушта,

2006. – P. 142–143.

Рекомендована Радою факультетуелектроніки НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції19 липня 2008 року

20

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ, СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТАКЕРУВАННЯ

УДК 51-74

С.М. Гриша, О.А. Іотко

СТРАТЕГІЧНЕ ПЛАНУВАННЯ ФУНКЦІО-НАЛЬНОСТІ ERP/MRP-СИСТЕМ ІЗ ВРАХУ-ВАННЯМ МНОЖИННИХ ЗАМІЩЕНЬ

Вступ

Розширення задачі планування функціональ-ності комп’ютеризованих інтегрованих систем(КІС) [1], що полягає в можливості заміщенняпідмножин елементів забезпечення іншими під-множинами таких елементів у контексті елемен-тів функціональності, має велике практичне зна-чення, але в існуючих методологіях розробки КІСзадача вибору функцій, які підлягають реаліза-ції в системі з множини потенційно можливихелементів, розв’язується експертним способом,тобто інтуїтивно, а отже, кінцевий успіх критич-но залежить від суб’єктивного фактора [2].

В існуючих підходах часто виходять з того,що структура функціональності вже визначена,і забезпечують аналітика лише засобами візуаль-ної оцінки системної цілісності. Такий стан справможна пояснити тим, що зазначені методикизорієнтовані на вирішення проблем програмноїінженерії, а відповідальність за вибір функцій уних перекладається на замовника.

Сучасний бізнес, що функціонує в умовахтурбулентного оточення, потребує адекватних заоперативністю і об’єктивністю засобів стратегіч-ного управління функціональністю, підхід достворення яких розглядається в даній статті іполягає у визначенні оптимального цілісного на-бору вимог за допомогою інформаційно-вартіс-ного аналізу.


Мета статті – розробка підходу, який міні-мізує вплив людського фактора на плануванняфункціональності. Засіб досягнення мети – звіль-нення аналітиків від рутинних задач переборуможливих варіантів при їх концентрації на та-ких задачах:

1) оцінювання корисності кожної функціїсистеми (далі – ситуаційного елемента) окремо;

2) виділення множин ситуаційних елемен-тів, що дають синергетичний ефект, та його оцін-ка;

3) оцінювання вартості реалізації кожногоелемента забезпечення окремо;

4) виділення множин ситуаційних елемен-тів та елементів забезпечення, що дають синер-гетичний ефект зниження вартості володіння зарахунок інтеграційних процесів;

5) вибір оптимальної за критерієм “вартістьволодіння” функціональної структури системи дляпослідовності витків “спірального” процесу роз-витку.

Запропонована методологія забезпечує змен-шення залежності від суб’єктивності експертів,прискорює розв’язання задачі планування роз-витку функціональності при збільшенні глиби-ни “варіантності” аналізу.

Для подання всієї функціональності, яка мо-же бути реалізована в системі, та елементів їїзабезпечення використовується двошаровий орі-єнтований ациклічний граф. Елементам функці-ональності або підсистемам відповідають верши-ни першого шару, а елементам забезпечення –вершини другого шару. Вартості підсистем та еле-ментів забезпечення – це, власне, вартісна функ-ція, а залежність підсистем від елементів функці-ональності задається дугами графа. Відношеннязаміщення задає альтернативні можливості приреалізації підсистем.

Провівши інформаційно-вартісний аналіз,можна зробити висновок про недоцільність ре-алізації певних прецедентів з точки зору їх еко-номічної неефективності внаслідок перевищен-ня вартості володіння забезпечуючими інформа-ційними технологіями (ІТ) над вигодами від зрос-тання інформованості процесу прийняття рішен-ня. Результатом роботи алгоритму буде оптималь-ний узгоджений підграф.

Для розв’язання задачі без альтернатив забез-печуючих ІТ використовується поліноміальнийалгоритм редукції [1], а для розширеної задачіпропонується оригінальнє поєднання генетич-ного алгоритму з алгоритмом редукції. Як базадля порівняння використовується метод Монте-Карло та повний перебір на задачах відповідноїрозмірності.

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ, СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА КЕРУВАННЯ 21

Безальтернативнa задачa

Задано двошаровий орграф , G V U= .Множина вершин V B O= U , де B – верши-

ни першого шару, а O – вершини другого ша-ру, тобто для всіх дуг ( , )u b o U= ∈ виконується

умова ,b B o O∈ ∈ .

На множині вершин задана вагова функ-ція, причому виконуються нерівності

( ) 0, ,

( ) 0, .

w b b B

w o o O

> ∈< ∈

Потрібно знайти такий підграф

, ,

,

,

G V B O U

B B

O O

′ ′ ′ ′ ′= =′ ⊆′ ⊆

U

для якого виконуються співвідношення

, ( , )b B b o U o O′ ′∈ ∈ ⇒ ∈ , (1)

( , ) , ,u b o U b B o O u U′ ′ ′= ∈ ∈ ∈ ⇒ ∈ (2)

i цільова функція

( ) ( ) maxv V

c G w v∀ ∈

′ = →∑ .

Умова (1) означає, що коли вершина пер-шого шару належить шуканому підграфу, то йо-му мають належати і всі інцидентні їй вершинидругого шару, а умова (2) означає, що коли дуганалежить вихідному графу і її вершини належатьшуканому підграфу, то вона також належить шу-каному підграфу, тобто, по суті, задача полягаєв пошуку підграфа з максимальною сумою вагвершин, що містить деякі вершини першогошару, а також всі інцидентні вершини другогошару.

Алгоритм розв’язання безальтернативноїзадачі

Як було показано в [1], безальтернативна за-дача розв’язується за допомогою такого поліно-міального алгоритму.

1. Створення графа G ′ спеціальної структу-ри на базі G таким чином:

1) додавання до графа G ′ вершин витокуs i стоку t ;

2) від витоку дуги ідуть до вершин першо-го шару b B∈ ; потужність дуг ( , )s b bw w= ;

3) від вершин другого шару o O∈ дугиідуть до стоку; потужність дуг ( , )o t ow w= − ;

4) потужність дуг ( , )b ow = ∞.

2. Розв’язання допоміжної задачі про макси-мальний потік на G ′.

3. Проведення редукції вилученням вер-шин другого шару, для яких виконується умо-ва ( , ) ( , )o t o tw f> .

4. Проведення редукції вилученням всіх вер-шин першого шару, інцидентних із вилучени-ми вершинами другого шару.

5. У випадку, коли на попередньому кроціредукції було піддано хоч одну вершину, повер-нення до кроку 2 з графом G ′.

В [1] доведено, що граф G ′ і буде оптималь-ним розв’язком задачі.

Оскільки на кожній ітерації алгоритму ре-дукції піддається принаймні хоч одна вершина(або алгоритм припиняє роботу) і задача про мак-симальний потік розв’язується за поліноміаль-ний час [3], то час роботи алгоритму також є по-ліноміальним.

Розширена задача

Розглянемо розширення задачі, в якомуна дугах графа задано відношення заміщення.

Ця задача має велике практичне значення,але для неї не знайдено алгоритму з поліномі-альним часом роботи. Для її розв’язання, крімповного перебору, методу гілок і границь та ін-ших перебірних алгоритмів, пропонується вико-ристати генетичний алгоритм. Було поставленообчислювальні експерименти, що засвідчили ви-соку ефективність роботи даного підходу порівня-но з перебірними алгоритмами та методом Мон-те-Карло. Як структурне різноманіття тут виступаєграф з кольоровими дугами. Кожній вершині пер-шого шару b B∀ ∈ поставимо у відповідність мно-жину, що задає покриття всіх інцидентних b

вершин b biV V= , де b

iV O⊆ і b bi

i

V O=U , O b –

множина всіх вершин другого шару, інцидент-них b. Множини b

iV можна отримати cпособомтранзитивного замикання багатошарового графаз альтернативами [1].

Розглянемо задачу із зміненою таким чиномумовою (1):

,b bi ib B V V O′ ′∈ ⇒ ∃ ⊆ , (4)

тобто, якщо в безальтернативній задачі для вклю-чення вершини першого шару в шуканий графвимагалось включення всіх інцидентних їй вер-


шин другого шару, то в нашому випадку до-статньо, щоб у шуканому підграфові були всі вер-шини принаймні однієї підмножини b

iV .

Алгоритм розв’язання розширеної задачі

Введемо означення множини варіантів як X

X b

iV V b B= ∀ ∈ , тобто, по суті, множина варіан-

тів складається з множин biV , вибраних певним

чином по одній для кожної вершини першогошару b. Для розв’язання такої задачі пропонуємовикористати генетичний алгоритм [4].

1. Генеруємо початкову популяцію множинваріантів P = (V X ).

2. Для кожного елемента популяції V X об-числюємо цільову функцію, розв’язуючи задачутаким чином:

1) проводимо редукції виключенням всіхдуг, таких, що ( , ) X

b

ib o V∉ ;

2) розв’язуємо оригінальну безальтернатив-ну задачу з використання редукованого графа;

3) використовуємо результат, отриманий валгоритмі безальтернативної задачі як значенняцільової функції генетичного алгоритму.

3. Якщо критерію зупинки алгоритму не до-сягнуто, то генеруємо наступну популяцію і пе-реходимо до кроку 2.

4. Результатом буде найкраще значення,досягнуте на кроці 2.

Ефективність роботи алгоритму, очевидно,залежить від реалізації генетичного алгоритму,що задається такими параметрами [5, 6]:

• правила створення початкової популяції;• реалізація операції селекції;• реалізація операції кросовера;• реалізація операції мутації;• розмір популяції на кожному кроці;• критерій зупинки.Для визначення значень параметрів було по-

ставлено багатофакторний обчислювальний екс-перимент на згенерованих тестових даних, щодозволило виявити значення параметрів, прияких досягаються найкращі результати:

1) початкова популяція генерується випад-ково;

2) селекція вибирає до участі в наступній по-пуляції 30% кращих елементів;

3) операція кросовера вибирає випадково дваелементи популяції V X і V Y і для кожного b B∈включає в результат кросовера V R такий еле-

мент з X

b

iV і Y

b

iV , для якого кількість елементів за-

безпечення, що не були наслідком попередніхкросоверів, є мінімальною; операція кросоверагенерує 60% елементів популяції;

4) операція мутації елемента популяції V X

має бути випадковою та непріоритезованою, тоб-то вибраний випадково елемент X

b X

iV V∈ заміню-

ємо Y

b

iV ; в разі необхідності усувається перекрит-

тя забезпечень. Операція мутації генерує 10% еле-ментів популяції;

5) розмір популяції на кожному кроці фік-сований і дорівнює кількості вершин графа;

6) критерій зупинки алгоритму залежить відобмежень на час роботи алгоритму і може бутикомбінованим – з перериванням за часом та іззупинкою прогресу більш ніж на два кроки.

Випробування алгоритму

Було проведено випробування роботи запро-понованого алгоритму. Результати роботи алго-ритму з найкращими параметрами та порівнян-ня з методами Монте-Карло і повним перебо-ром наведено у таблиці. Експеримент було по-будовано так, щоб кількості ітерацій для Мон-те-Карло та запропонованого алгоритму збіга-лися. Під ітерацією розуміється кількість безаль-тернативних задач, розв’язаних у процесі робо-ти алгоритму. Під варіантністю розуміється мак-симальна кількість варіантів реалізації кожногоелемента першого шару.

За результатами експерименту можна зроби-ти відповідні висновки.

1. На задачах, розмірність яких дозволяє про-вести експеримент з повним перебором (не біль-ше 15 вершин першого шару з варіантністю небільше 4), отриманий результат не гірший опти-мального.

2. При одній і тій же кількості ітерацій часроботи запропонованого алгоритму в середньомуна 36,4% менший за час роботи методу Монте-Карло.

3. При одній і тій же кількості ітерацій ре-зультат роботи запропонованого алгоритму в се-редньому на 8,2% більший за результат роботиметоду Монте-Карло і немає жодного випадку,коли б результат роботи запропонованого алго-ритму був би нижчий результату роботи методуМонте-Карло.


Висновки

У статті запропоновано постановку розши-реної задачі стратегічного планування функці-ональності ERP-систем з відношенням заміщен-ня, заданому на дугах графа. Аналіз науковихрезультатів показав, що немає конструктивних ме-тодів розв’язання задач цього класу.

Результатами роботи є розроблений гібрид-ний алгоритм, який складається з поліноміаль-ної і експоненційної частин. Алгоритм розв’язуєполіноміальну складову задачі методом редукціїдо задачі про максимальний потік на мережі, аекспоненційну – за допомогою оригінального ге-

нетичного алгоритму. Для доведення ефектив-ності такого підходу створено програмне забез-печення та розроблено план обчислювальногоексперименту. Проведений обчислювальний екс-перимент показав перевагу запропонованого під-ходу над комбінацією метод Монте-Карло–ре-дукція.

Отримані результати мають велике практич-не значення, оскільки запропонована методоло-гія планування функціональності КІС забезпечуєзначне зменшення залежності від суб’єктивностіекспертів та прискорює розв’язання задачі плану-вання розвитку функціональності при збільшен-ні глибини “варіантності” аналізу.

С.Н. Гриша , А.А. Иотко

СТРАТЕГИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ФУНКЦИ-ОНАЛЬНОСТИERP/MRP-СИСТЕМСУЧЕТОМ МНО-ЖЕСТВЕННЫХ ЗАМЕЩЕНИЙ

Рассматривается расширенная задача стратеги-ческого планирования функциональности ERP-сис-

S.M. Grysha, O.A. Iotko

THE STRATEGIC PLANNING OF ERP/MRP-SYS-TEMS FUNCTIONALITY WITH REGARD TO PLU-RAL SUBSTITUTIONS

Much prominence is given in this paper to the ex-tended problem of the strategic planning of the ERP

Таблиця. Порівняння результатів роботи методів

Час роботи РезультатРозмірність

Метод

Кількістьітерацій

Метод

Вершинипершого

шару

Вершинидругогошару

Варіант-ність

Монте-Карло

Запропонованийалгоритм

Повнийперебір

Монте-Карло

Запропонованийалгоритм

Повнийперебір

5 5 2 < 1мс 1мс <1мс 20 49 49 49

5 20 5 <1мс 1мс 2мс 20 43 43 43

10 20 3 13мс 8мс 776мс 70 284 328 328

15 40 3 29мс 28мс 24с 90 374 449 449

15 40 4 42мс 39мс 61с 90 514 611 611

20 20 5 76мс 50мс – 120 7317 7574 –

20 50 5 86мс 81мс – 120 2681 3188 –

50 50 3 1,2 с 1с – 250 19306 19420 –

50 50 10 1,4 с 802мс – 250 18609 18624 –

50 200 15 9с 5,5 с – 400 16577 19088 –

100 100 15 20с 11,2 с – 700 44127 45338 –

100 400 20 66с 45с – 800 39124 43437 –

500 500 20 47хв 36с 42хв 52 с – 3000 2360048 2368535


тем с отношением замещения, заданным на дугахграфа. Для решения задачи предлагается исполь-зовать гибридный алгоритм, состоящий из полино-миальной и экспоненциальной частей. Алгоритмрешает полиномиальную составляющую задачиметодом редукции к задаче о максимальном по-токе на сети, а экспоненциальную – с помощьюоригинального генетического алгоритма. Приво-дятся результаты численного эксперимента.

systems functionality with the substitution relation,specified on the graph arcs. To solve this problem, ahybrid algorithm, composed of the polynomial andexponential parts is proposed to be used. This algo-rithm solves a polynomial component of the prob-lem by reduction to the maximum network flow prob-lem, and an exponential one – by means of the ori-ginal genetic algorithm. Thus, we also provide thenumerical experimental results.

1. Гриша С.М., Стенін О.А., Іотко О.А., Хедоят Хейдорі.

Стратегічне планування розвитку функціональності КІС

методом редукції // Адаптивні системи автоматичногоуправління. – 2007. – 10(30). – С. 45–53.

2. Скурихин В.И., Павлов А.А., Путилов Э.П., Гриша С.Н.

Автоматизированные системы управления гибкими тех-нологиями. – К.: Техніка, 1987. – 166 с.

3. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы. Постро-ение и анализ. – М.: МЦНМО, 2002. – 960 с.

4. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейрон-

ные сети, генетические алгоритмы и нечеткие систе-мы. – М.: Горячая линия–Телеком, 2007 – 452 с.

5. Mitchell M. An introduction to Genetic algorithms. – Cam-

bridge (USA): MIT Press, 1996. – 222 p.

6. Reeves C.R., Rowe J.E. Genetic Algorithms: Principles andPerspectives. A Guide to GA Theory. – Boston (USA): Klu-

wer Academic Publishers, 2002. – 344 p.

Рекомендована Радою навчально-нау-кового комплексу “Інститут приклад-ного системного аналізу” НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції19 листопада 2008 року


УДК 519.85

О.О. Ємець, Ол-ра О. Ємець

ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОД-НІЄЇ КОМБІНАТОРНОЇ ЗАДАЧІ УПАКУВАН-НЯ ПРЯМОКУТНИКІВ З НЕЧІТКИМИ РОЗ-МІРАМИ

Вступ

У прикладних задачах комбінаторної опти-мізації (див., наприклад, [1–8]) часто постаєпроблема більш адекватного врахування вихід-них даних. У більшості праць із комбінаторної оп-тимізації невизначеність вхідних даних до цихпір не враховується.

Відомі праці, пов’язані з комбінаторною оп-тимізацією, в яких враховується невизначеністьвхідних даних за допомогою інтервальної (див.,зокрема, [7]) та стохастичної невизначеностей(див. [9]).

Але на сьогодні в задачах комбінаторноїоптимізації немає апарата врахування невизна-ченості, яка адекватно моделюється нечіткимимножинами (див., наприклад, [10]). У працях[11, 12] робляться певні кроки моделювання за-дачами комбінаторної оптимізації із врахуван-ням невизначеності нечіткими множинами, вво-дяться та досліджуються деякі необхідні для цьо-го операції над нечіткими числами.


Мета статті – показати, як враховувати не-визначеність даних, заданих нечіткими множи-нами, при моделюванні задачі геометричного про-ектування на прикладі задачі упакування пря-мокутників у смугу.

Моделювання однієї задачі геометричногопроектування

Нехай є деяка напівнескінченна (достатньодовга) смуга, яка розділена на смужки однако-вої ширини h (рис. 1). Задано ще p прямокут-ників з довжинами 1, , pa aK , шириною h. Задача

полягає в розміщенні прямокутників без накла-дань один на одного у смузі на її початку такимчином, щоб довжина зайнятої частини смуги бу-ла мінімально можливою.

Під довжиною зайнятої частини смужкибудемо розуміти суму довжин прямокутників, щорозміщуються в цій смужці. Серед цих сум ви-беремо найбільшу. Вона й буде відповідати дов-жині зайнятої частини смуги.

При розгляді питання упакування прямо-кутників у смугу з метою врахування невизна-ченості вхідних даних можна метричні характе-ристики об’єктів розглядати як нечіткі числа.

Означення 1∗ [12]. Нечітким числом a на-зивають нечітку множину виду 1 1( ),a a= µ K,

( )k ka µ , де 1 2 , , , ka a aK ( 1ia R∈ ki J∀ ∈ ) – носій

нечіткої множини; 1 2 , , , kµ µ µK , ( 1i Rµ ∈ ki J∀ ∈ ) –

множина значень функції приналежності, 0 ≤1i≤ µ ≤ ki J∀ ∈ [10]. Тут і надалі Jk позначаємо

множину перших k натуральних чисел.Зауважимо, що дійсне число α можна пред-

ставити як нечітке число ( 1,0)a = α .Розглянемо задачі упакування прямокутни-

ків у смугу (або прямокутник, якщо довжина пря-мокутника така, що її треба враховувати, не вва-жаючи смугу достатньо довгою – “напівнескін-ченною”).

Нехай розміри прямокутника (смуги) зада-ються дійсними числами h0 i d0 (рис. 2). Зв’я-жемо з нижнім лівим кінцем смуги початок пря-мокутної декартової системи координат, спря-мувавши осі так, як показано на рис. 2.

Розглянемо прямокутник Π, який розміщу-ється в смузі. Розміщення прямокутників будеморозглядати такі, що осі системи координат, зв’я-заної з кожним із прямокутників, паралельні осямOx1x2 (див. рис. 2) та направлені в той же бік.

∗ Означення 1–6 та деякі поняття взяті із статті [12].

Рис. 2. Розміщення прямокутника Π в смузі

2x Π

1x Π

h0

h

d0

d

x2

x1

ν

ξ

OΠ

O

Рис. 1. Ілюстрація задачі упаковки прямокутників

т − 1

т

123

h


Зручно початок О Π власної системи коор-динат прямокутника поміщати в лівий нижнійкут прямокутника. Цю точку О Π прямокутникабудемо називати полюсом. Прямокутники роз-міщатимемо в смузі, щоб його сторони були па-ралельні (перпендикулярні) сторонам смуги (див.рис. 2). Тоді прямокутник Πi відносно смуги Hвизначається такими параметрами:

ξi – абсциса полюса в системі координатOx1x2;

νi – ордината полюса в системі координатOx1x2;

hi – ширина (висота) прямокутника;di – довжина прямокутника.Прямокутник позначатимемо ( , , , )i i i i ih dΠ ξ ν

або просто Π i.Нехай числа ξi, νi, hi – звичайні (дійсні чис-

ла) і нехай di – нечітке число 1 1( ),i iid d= µ K

, ( )i in nd µK . Виникає питання: щó таке прямокут-

ник Π з висотою h (“чітке” число) та довжиною

1 1( ), , ( )n nd d d= µ µK ?

Оскільки число d – це:1) d1 із значенням функції приналежності

µ1;2) d2 із значенням функції приналежності

µ2;

…………………………………………………………. .

і) di із значенням функції приналежностіµi;

…………………………………………………………. .

n) dn із значенням функції приналежності µn,то Π – це прямокутник з розмірами:

1) 1h d× із значенням функції приналежності

µ1;2) 2h d× із значенням функції приналежності

µ2;

…………………………………………………………. .

і) ih d× із значенням функції приналежнос-

ті µi;…………………………………………………………. .

n) nh d× із значенням функції приналежності

µn,тобто Π – це звичайний прямокутник з розміра-ми ih d× , тільки di набуває одного з n можливих

значень, що характеризується значенням функ-ції приналежності µi.

Для математичної постановки задач розмі-щення (упаковки) прямокутників Πi в смузі тре-ба дати означення:

1) розміщення прямокутника в смузі (по-падання в смугу);

2) взаємного перетину прямокутників Π i іΠ j, i j≠ , які розміщені в смузі;

3) взаємного неперетину прямокутників Π i

і Π j, i j≠ , які розміщені в смузі;

4) дотику прямокутників Π i і Π j, i j≠ , приїх розміщенні в смузі.

Ці означення можна дати, ввівши поряд ізпоняттями суми та лінійної впорядкованості не-чітких чисел поняття характеристичної функції(функціонала) H(x) нечіткого числа х як Н(х):

1X R→ , яка діє з множини нечітких чисел X вR1 (множину дійсних чисел) та узагальнює такіметричні властивості дійсного числа:

1) якщо x ∈ R1, то H(x) = x;2) для будь-яких двох нечітких чисел і харак-

теристичної функції H виконувалась рівністьH(A + B) = H(A) + H(B);

3) для будь-яких трьох нечітких чисел х =

1 1( ), ,( )x xx xα α= µ µK , 1 1( ), , ( )y yy y yβ β= µ µK , 1 1( )zz z= µ ,

, ( )zz γ γµK , таких, що 1 1 1

1x y zk k k

k k k

β γα

= = =

µ = µ = µ =∑ ∑ ∑ , 1x <

... xα< < , 1 ...y yβ< < , 1 ...z zγ< < , виконувалось таке

правило: якщо x yp , то x z y z+ +p , де “p ”означає лінійну впорядкованість;

4) x yp тоді і тільки тоді, коли ( ) ( )H x H y≤ .

Також необхідно, щоб для операції додаван-ня нечітких чисел виконувались комутативність іасоціативність, тобто А + B = B + A і (A + B) ++ D = A + (B + D).

Таким чином, необхідно ввести поняття су-ми, лінійної впорядкованості та характеристич-ної функції, які б відповідали перерахованимвластивостям.

Поняття суми нечітких чисел було введенонами в статті [12].

Сума A + B двох нечітких чисел A 1 1( )Aa= µ ,

, ( )Aaα αµK і 1 1( ), , ( )B BB b bβ β= µ µK утворювалась

за допомогою побудови множини пар [12]:

1 1( ), , ( )C CC c cη η= µ µ =% %% % %K

1 1 11 1 1

1 11 1

, , ,

BA B A

A AB Bi ij j

i ij j

a b a bβα β α β

= == =

µ µ µ µ β = + +

µ µµ µ ∑ ∑∑ ∑

K


2 1 22 1 2

1 11 1

, ,

BA B A

A AB Bi ij j

i ij j

a b a bβα β α β

= == =

µ µ µ µ β + +

µ µµ µ

∑ ∑∑ ∑K , (1)

………………………………………………………….

11

1 11 1

, ,

BA B A

A AB Bi ij j

i ij j

a b a bα αα α βα β α β

= == =

µ µ µ µ β + +

µ µµ µ ∑ ∑∑ ∑

K .

Перші елементи 1, ,с сη% %K , де η = αβ, цих пар

утворюють мультимножину *1 , , C с сη=% % %K [12].

Ocнова *( )S C% мультимножини * *1це ( ) ,C S C с=% % K

, rсK – носій нечіткого числа 1 1( )A B c+ = µ ,

, ( )r rc µK . Значення функції приналежності зна-

ходять за правилом [12]

:

, ,

t

Ct i r

i Jc c

i J t Jη

η∀ ∈

=

µ = µ ∈ ∈∑%

%

, (2)

тобто значення µt визначають як суму таких чи-

сел Ciµ%, для яких i tc c=% , а r – число різних еле-

ментів в *C% .Отже, маємо такі означення (див. [12]).Означення 2 [12]. Сумою A + B двох нечіт-

ких чисел A і B називається нечітке число C =

1 1( ), , ( )r rc c= µ µK , де *1 , , ( )rс с S C= %K – основа

мультимножини 1 , , с сη% %K , якa визначається за

правилом (1), а значення µ t – за правилом (2).Означення 3 [12]. Сумою трьох нечітких чи-

сел 1 1( ), , ( )A AA a aα α= µ µK , 1 1( ), , ( )B BB b bβ β= µ µK

та 1 1( ), , ( )D DD d dδ δ= µ µK називають нечітке чис-

ло A + B + D = E + D, де E = A + B.Один iз можливих варіантів означення ха-

рактеристичної функції (функціоналa) H(x) не-чіткого числа x H(x): X → R1 є такий.

Означення 4 [12]. Характеристичною функ-цією (функціоналом) H(x): X → R1 нечіткого чис-ла 1 1( ), , ( )A AA a aα α= µ µK називають функцію, яка

нечіткому числу A ∈ X ставить у відповідність чис-ло H(A) ∈ R1 за правилом

1

1

( )

Ai i

i

Ai

i

aH A

α

=α

=

µ=

µ

∑

∑.

Нехай задано два нечіткі числа: 1 1( )AA a= µ ,

, ( )Aaα αµK і 1 1( ), , ( )B BB b bβ β= µ µK . Позначимо a =

1 , , a aα= K , 1 , , b b bβ= K , 1 , , u a b u uγ= =U K . Тоді

число А можна записати у вигляді

1 1( ), , ( )u uu A AA u uγ γ= µ µK ,

де A , якщо ,

0, якщо .

uAj i j

i

i

u a a

u a

µ = ∈µ = ∉

Число B запишемо у вигляді

1 1( ), , ( )u uu B BB u uγ γ= µ µK ,

де , якщо ,

0, якщо .

uB

B j i ji

i

u b b

u b

µ = ∈µ = ∉

Наведемо означення впорядкованості нечіт-ких чисел, які були дані в [12].

Означення 5 [12]. Два нечіткі числа A i Bназиваються впорядкованими за зростанням (A << B), якщо:

а) або 1 1

1 1

A Bi i j j

i j

A Bi j

i j

a bβα

= =α β

= =

µ µ<

µ µ

∑ ∑

∑ ∑, тобто, коли H(A) <

< H(B);

б) або H(A) = H(B), тобто 1 1

1 1

A Bi i j j

i j

A Bi j

i j

a bβα

= =α β

= =

µ µ=

µ µ

∑ ∑

∑ ∑,

але 1 1

u uA Bµ = µ , …, u uA B

k kµ = µ , 1 1

u uA Bk k+ +µ < µ , (k < γ).

Говоритимемо, що А передує В за зростан-ням.

Означення 6 [12]. Два нечіткі числа A і B на-зиваються впорядкованими за неспаданням (по-значається A Bp ), якщо:

а) або A < B;б) або A = B, тобто тоді, коли ai = bi і A

iµ =Bi= µ ∀i.

Для введеної таким чином характеристич-ної функції, операції додавання та лінійної впо-рядкованості виконуються зазначені вище влас-тивості [12].

Маючи характеристичну функцію H(A) длянечіткого числа A можна перейти до формалі-зації понять дотику прямокутників, неперетинуїх, перетину (накладання) прямокутників тощо.


Нехай смуга (прямокутник), в якій відбува-ється розміщення, задана у вигляді 0 0 0( , )h dΠ , де

10 0,h d R∈ , h0 – ширина (висота) прямокутника,

d0 – його довжина. Cистема координат розміще-на так, як показано на рис. 2.

Розглянемо розміщення двох прямокутни-ків ( , , , )i i i i ih dΠ ξ ν і ( , , , )j j j j jh dΠ ξ ν за умови, що

10i jh h h R= = ∈ , а ,i jd d X∈ – множині нечітких

чисел, ,i jξ ξ , взагалі кажучи, також належать X

(нагадаємо, що R1 ∈ X ).Нехай 1

i x Rξ = ∈ . Тоді отримаємо таке озна-

чення.Означення 7. Прямокутник Πj назвемо таким,

що дотикається до прямокутникаΠi справа (в сму-зі Π 0), якщо

( ) ( )i jH x d H+ = ξ . (3)

Зауваження. Враховуючи властивості харак-теристичної функції H(A) нечіткого числа A з (3)маємо

( ) ( ) ( ) ( )i i iH x d H x H d x H d+ = + = + .

Отже, рівність (3) набуває вигляду

( ) ( )i jx H d H+ = ξ , (4)

тобто прямокутник Πj називається таким, що до-тикається до прямокутника Πi справа (в смузі Π 0),якщо значення характеристичної функції абсци-си його полюса дорівнює сумі абсциси полюсапрямокутника Πi та характеристичної функції йо-го (Π i) довжини.

Приклад 1. Нехай смуга задана так: 0 0 0( , )h dΠ ,

де 10 0,h d R∈ .

Розглянемо розміщення двох прямокутни-

ків 1 1 1 1 1( , , , )h dΠ ξ ν і Π ξ ν2 2 2 2 2( , , , )h d за умови, що1

0 1 2h h h R= = ∈ , а 1 2 1 2, , ,d d Xξ ξ ∈ .

Нехай 0 2h = , 0 10d = , 1 1 1 1( (11), 0, 2hΠ ξ = ν = = ,

1 (1 0,4),(6 0,6))d = і 2 2 2 2( (51), 0, 2hΠ ξ = ν = = , d2 =(2 0,1),(3 0,5),(4 0,2))= .

Тоді

1

1 1( ) 1

1H

⋅ξ = = , 1

1 0,4 6 0,6( ) 4

0,4 0,6H d

⋅ + ⋅= =

+, 1 1( )H dξ + =

1 4 5= + = , 2

5 1( ) 5

1H

⋅ξ = = ,

2

2 0,1 3 0,5 4 0,2( ) 3,25

0,1 0,5 0,2H d

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +,

2 2( ) 5 3,25 8,25H dξ + = + = .

Оскільки 5 = 5, тобто 1 1 2( ) ( )H d Hξ + = ξ , і

справджується рівність (4), то прямокутник Π 2

дотикається до прямокутника Π 1 справа.Означення 8. Прямокутник Π j розміщений

правіше прямокутника Π i в смузі Π 0 (тобто Π i іΠ j називаються такими, що не перетинаються,не налягають один на одного), якщо

( ) ( )i jH x d H+ < ξ ,

або, те ж саме,( ) ( )i jx H d H+ < ξ , (5)

тобто прямокутник Πj розміщений правіше пря-мокутника Π i в смузі Π 0, якщо значення харак-теристичної функції абсциси його полюса біль-ше, ніж сума абсциси полюса прямокутника Π i

та характеристичної функції його (Πi) довжини.Приклад 2. Нехай смуга задана так: 0 0 0( , )h dΠ ,

де 10 0,h d R∈ .Розглянемо розміщення двох прямокутни-

ків 1 1 1 1 1( , , , )h dΠ ξ ν і Π ξ ν2 2 2 2 2( , , , )h d за умови, що1

0 1 2h h h R= = ∈ , а 1 2 1 2, , ,d d Xξ ξ ∈ .

Нехай 0 2h = , 0 11d = , 1 1 1 1( (11), 0, 2hΠ ξ = ν = = ,

1 (1 0,1),(2 0,5),(3 0,4))d = , 2 2 2 2( (61), 0, 2hΠ ξ = ν = = ,

2 (2 0,1),(3 0,5),(4 0,2))d = .Тоді

1

1 1( ) 1

1H

⋅ξ = = , 1

1 0,1 2 0,5 3 0,4( ) 2,3

0,1 0,5 0,4H d

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +,

1 1( ) 3,3H dξ + = ,

2

6 1( ) 6

1H

⋅ξ = = , 2

2 0,1 3 0,5 4 0,2( ) 3,25

0,1 0,5 0,2H d

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +,

2 2( ) 6 3,25 9,25H dξ + = + = .

Оскільки 3,3 < 6, тобто 1 1 2( ) ( )H d Hξ + < ξ , i

справджується нерівність (5), то прямокутник Π 2

розміщений правіше прямокутника Π 1.Означення 9. Прямокутники Πi і Πj (що роз-

міщені в смузі Π 0) називаються такими, що пе-ретинаються, якщо

( ) ( ) ( )j iH x H H x d≤ ξ < + ,

або, що те ж саме,

( ) ( )j ix H x H d≤ ξ < + . (6)

Нехай смуга, в якій відбувається розміщен-ня, задана так: 0 0 0( , )h DΠ , де 1

0h R∈ , D 0 ∈ X.Розглянемо розміщення двох прямокутни-

ків ( , , , )i i i i ih dΠ ξ ν і ( , , , )j j j j jh dΠ ξ ν за умови, що1

0i jh h h R= = ∈ , а , , ,i j i jd d Xξ ξ ∈ .


Нехай i x Xξ = ∈ . Тоді маємо означення.

Означення 10. Прямокутник Πj назвемо та-ким, що:

1) дотикається до прямокутника Πi справа(в смузі Π0), якщо

( ) ( )i jH x d H+ = ξ ,

або( ) ( ) ( )i i jH H d Hξ + = ξ ;

2) розміщений правіше прямокутника Πі всмузі Π0 (тобто Πі і Πj називаються такими, щоне перетинаються, не налягають один на одно-го), якщо

( ) ( )i jH x d H+ < ξ ,


( ) ( ) ( )i i jH H d Hξ + < ξ ;

3) перетинаються, якщо

( ) ( ) ( )j iH x H H x d≤ ξ < + ,


( ) ( ) ( ) ( )i j i iH H H H dξ ≤ ξ < ξ + .

Приклад 3. Нехай смуга, в якій відбува-ється розміщення, задана так: Π0(h0, D0), де h0 ∈∈ R1, D 0 ∈X.

Розглянемо розміщення двох прямокут-ників 1 1 1 1 1( , , , )h dΠ ξ ν і Π ξ ν2 2 2 2 2( , , , )h d за умови

10 1 2 1 2 1 2, , , ,h h h R d d X= = ∈ ξ ξ ∈ .

Нехай h0 = 2,0

(121)D = , 1 1 1( (11), 0Π ξ = ν = ,

1 12, (1 0,4),(60,6))h d= = , 2 2 2 2( (51), 0, 2hΠ ξ = ν = = , 2 (2 0,1),(3 0,5),(4 0,2))d = ,

2 (2 0,1),(3 0,5),(4 0,2))d = , 3 3 3 3( (81), 0, hΠ ξ = ν = =

32, (2 0,5),(4 0,5))d= = .

Тоді

1

1 1( ) 1

1H

⋅ξ = = , 1

1 0,4 6 0,6( ) 4

0,4 0,6H d

⋅ + ⋅= =

+, 1( )H ξ +

1( ) 1 4 5H d+ = + = ,

2

5 1( ) 5

1H

⋅ξ = = , 2

2 0,1 3 0,5 4 0,2( ) 3,25

0,1 0,5 0,2H d

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +,

2 2( ) ( ) 5 3,25 8,25H H dξ + = + = ,

3

8 1( ) 8

1H

⋅ξ = = , 3

2 0,5 4 0,5( ) 3

0,5 0,5H d

⋅ + ⋅= =

+, 3( )H ξ +

3( ) 8 3 11H d+ = + = , 0

12 1( ) 12

1H D

⋅= = .

Оскільки 5 = 5, тобто ξ + = ξ1 1 2( ) ( ) ( )H H d H ,

то прямокутник Π2 дотикається до прямокутни-ка Π1 справа.

Оскільки 5 < 8, тобто 1 1 3( ) ( ) ( )H H d Hξ + < ξ ,

то прямокутник Π3 розміщений правіше прямо-кутника Π1.

Оскільки 5 < 8 < 8,25, тобто 2 3( ) ( )H Hξ < ξ <

2 2( ) ( )H H d< ξ + , то прямокутник Π2 перетинається

з прямокутником Π3.Нехай смуга, в якій відбувається розміщен-

ня, задана так: Π0(H0, D0), де H0, D0 ∈ X.Розглянемо розміщення двох прямокут-

ників ( , , , )i i i i ih dΠ ξ ν і ( , , , )j j j j jh dΠ ξ ν за умови

, , , , , , ,i j i j i j i jh h d d Xξ ξ ν ν ∈ .

Означення 11. Прямокутник Πi назвемо та-ким, що розміщyється (поміщається) в смузі Π0

(рис. 3), якщо

0

0

0 ( ),

( ) ( ),

0 ( ),

( ) ( ),

i

i i

i

i i

H

H d H D

H

H h H H

≤ ξ ξ + ≤ ≤ ν ν + ≤


0

0

0 ( ) ( ) ( ),

0 ( ) ( ) ( ),i i

i i

H H D H d

H H H H h

≤ ξ ≤ − ≤ ν ≤ −

(7)

а умови (7) назвемо умовами розміщення пря-мокутника Πі в смузі Π0.

Приклад 4. Нехай смуга, в якій відбуваєтьсярозміщення, задана так: Π0(H0, D0), де H0, D0 ∈ X.

Розглянеморозміщенняпрямокутника 1 1(Π ξ ,

1 1 1, , )h dν за умови 1 1 1 1, , ,h d Xξ ν ∈ .Нехай 0 (6 1)H = , 0 (12 1)D = . Прямокутник

Π ξ ν1 1 1 1 1( , , , )h d задається так:

Π ξ = ν =1 1 1( (1 0,5), (2 0,5), (2 0,5), (4 0,5), h1 == =1(10,5), (30,5), (10,4), (6 0,6))d .

Рис. 3. Ілюстрація розміщення прямокутника Πі в смузі Π0

Π0

Πi

x2

x1

H(νi)

H(νi + hi)

H(H0)

H(ξi + di)H(ξi) H(D0)O


Тоді

⋅ + ⋅ξ = =

+1

1 0,5 2 0,5( ) 1,5

0,5 0,5H ,

⋅ + ⋅= =

+11 0,4 6 0,6

( ) 40,4 0,6

H d ,

ξ + = + =1 1( ) ( ) 1,5 4 5,5H H d ,

⋅ + ⋅ν = =

+12 0,5 4 0,5

( ) 30,5 0,5

H , 11 0,5 3 0,5

( ) 21

H h⋅ + ⋅

= = ,

1 1( ) ( ) 3 2 5H H hν + = + = ,

0

6 1( ) 6

1H H

⋅= = , 0

12 1( ) 12

1H D

⋅= = ,

− = − =0 1( ) ( ) 6 2 4H H H h , 0 1( ) ( ) 12 4 8H D H d− = − = .

Прямокутник Π1 поміщається в смузі Π0, ос-кільки

0 5,5 8,

0 3 4,

< < < <

тобто справджується умова (7).Означення 12. Прямокутники Πі та Πj назве-

мо такими, що перетинаються, якщо викону-ється або (рис. 4) умова

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),i j i i

i j i i

H H H H d

H H H H h

ξ ≤ ξ < ξ + ν ≤ ν < ν +

(8)

або (рис. 5) умова

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( );i j i i

j i j j

H H H H d

H H H H h

ξ ≤ ξ < ξ + ν ≤ ν < ν +

(9)

умови (8) та (9) назвемо умовами взаємного пе-ретинy двох прямокутників.


Розглянемо розміщення двох прямокут-ників Π ξ ν1 1 1 1 1( , , , )h d і Π ξ ν2 2 2 2 2( , , , )h d за умови

ξ ξ ν ν ∈1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,h h d d X .

Задано два прямокутники:

Π ξ = ν =1 1 1( (10,5), (2 0,5), (2 0,5), (4 0,5), h1 == =1(10,5), (30,5), (10,4), (6 0,6))d ,

2 2 2( (20,6), (70,4), (10,6), (3,50,5)Π ξ = ν = , h2 == =2(10,5), (30,5), (2 0,1), (30,5), (4 0,2))d .

Тоді ⋅ + ⋅

ξ = =+1

1 0,5 2 0,5( ) 1,5

0,5 0,5H ,

⋅ + ⋅ν = =

+12 0,5 4 0,5

( ) 30,5 0,5

H , ⋅ + ⋅

= =+1

1 0,5 3 0,5( ) 2

0,5 0,5H h ,

⋅ + ⋅= =

+11 0,4 6 0,6

( ) 40,4 0,6

H d ,

ξ + = + =1 1( ) ( ) 1,5 4 5,5H H d , 1 1( ) ( ) 3 2 5H H hν + = + = ,

22 0,6 7 0,4

( ) 40,6 0,4

H⋅ + ⋅

ξ = =+

, ⋅ + ⋅ν = =

+21 0,6 3,5 0,4

( ) 20,6 0,4

H ,

⋅ + ⋅= =

+21 0,5 3 0,5

( ) 20,5 0,5

H h ,

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +22 0,1 3 0,5 4 0,1

( ) 3,250,1 0,5 0,2

H d ,

2 2( ) ( ) 5,5 3,25 8,75H H dξ + = + = , 2 2( ) ( ) 2 2 4H H hν + = + = .

Оскільки 1,5 < 4 < 5,5, тобто ξ < ξ <1 2( ) ( )H H

< ξ +1 1( ) ( )H H d , тобто справджуються умови (9),

то прямокутники Π1 і Π2 перетинаються.Рис. 4. Ілюстрація умови перетину прямокутників Πj i Πi

H(ξi + di)H(ξi) H(D0)

H(νi)

H(νj + hj)

H(H0)

O

x2

x1

Π0

H(νi + hi)H(νj)

H(ξj) H(ξj + dj)

Πi

Πj

Рис. 5. Ілюстрація умови перетину прямокутників Πi i Πj

H(νj + hj)

H(νi + hi)

H(ξj + dj) x1

x2

Π0

Πj

Πi

H(νj)

H(νi)

H(ξi + di)H(ξi) H(ξj)O

H(H0)

H(D0)


Означення 13. Прямокутники Πi i Π j назвемо

такими, що не перетинаються (рис. 6), якщо ви-конується:або умова

ξ > ξ +( ) ( ) ( )j i iH H H d ,

або умоваν > ν +( ) ( ) ( )j i iH H H h .

Іншими словами, виконується сукупністьнерівностей

ξ > ξ + ν > ν +

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ).j i i

j i i

H H H d

H H H h



ξ ξ ν ν ∈1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,h h d d X .

Задано два прямокутники:

Π ξ = ν =1 1 1( (10,5), (2 0,5), (2 0,5), (4 0,5), h1 =

= =1(10,5), (30,5), (10,4), (6 0,6))d ,

Π ξ = ν =2 2 2( (4 0,5), (80,5), (10,6), (3,50,5), h2 =

= =2(10,5), (30,5), (2 0,1), (30,5), (4 0,2))d .

Тоді⋅ + ⋅

ξ = =+1

1 0,5 2 0,5( ) 1,5

0,5 0,5H ,

⋅ + ⋅ν = =

+12 0,5 4 0,5

( ) 30,5 0,5

H , ⋅ + ⋅

= =+1

1 0,5 3 0,5( ) 2

0,5 0,5H h ,

⋅ + ⋅= =

+11 0,4 6 0,6

( ) 40,4 0,6

H d ,

ξ + = + =1 1( ) ( ) 1,5 4 5,5H H d , 1 1( ) ( ) 3 2 5H H hν + = + = ,

24 0,5 8 0,5

( ) 60,5 0,5

H⋅ + ⋅

ξ = =+

, ⋅ + ⋅ν = =

+21 0,6 3,5 0,4

( ) 20,6 0,4

H ,

⋅ + ⋅= =

+21 0,5 3 0,5

( ) 20,5 0,5

H h ,

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +22 0,1 3 0,5 4 0,1

( ) 3,250,1 0,5 0,2

H d ,

2 2( ) ( ) 5,5 3,25 8,75H H dξ + = + = ,

2 2( ) ( ) 2 2 4H H hν + = + = .

Оскільки 6 > 5,5, тобто ξ > ξ +2 1 1( ) ( ) ( )H H H d ,

то прямокутники Π1 і Π2 не перетинаються.

Означення 14. Прямокутники Πi i Π j назве-

мо такими, що дотикаються, якщо виконується:або умова

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),j i i

i j i i

H H H d

H H H H h

ξ = ξ + ν ≤ ν ≤ ν +

або( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),j i i

i j j i i

H H H d

H H H h H H h

ξ = ξ + ν ≤ ν + ≤ ν +

або( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),j i i

i j i i

H H H h

H H H H d

ν = ν + ξ ≤ ξ ≤ ξ +

або

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),j i i

i j i i i

H H H h

H H H d H H d

ν = ν + ξ ≤ ξ + ≤ ξ +

або деякі з цих умов виконуються одночасно (рис.7).

Рис. 6. Ілюстрація умови неперетину прямокутників Πj i Πi

x1

x2

Πj

Πi

Π0

H(H0)

H(νj + hj)

H(νi + hi)H(νj)

H(νi)

O H(ξi) H(ξj)H(ξi + di) H(ξj + dj) H(D0)

H(νj + hj)

H(νі + hі)

Рис. 7. Ілюстрація дотику прямокутників

x2

H(H0)

H(νm)

H(νj)

H(νi)

O

Πj

Πi

Πk

Πm

H(ξi)

H(ξj)

H(ξi + di)

H(ξk + dk)

H(D0)

H(ξk)

H(ξj + dj) x1

H(νk+ hk)

H(νk)




ξ ξ ν ν ∈1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,h h d d X .

Задано два прямокутники:Π ξ = ν =1 1 1( (10,5), (2 0,5), (20,5), (4 0,5), h1 == =1(10,5),(30,5), (10,4),(6 0,6))d ,

Π ξ = ν =2 2 2( (50,5), (60,5), (10,6), (3,50,5), h2 == =2(10,5), (3 0,5), (2 0,1), (30,5), (4 0,2))d .

Тоді⋅ + ⋅

ξ = =+1

1 0,5 2 0,5( ) 1,5

0,5 0,5H ,

⋅ + ⋅ν = =

+12 0,5 4 0,5

( ) 30,5 0,5

H ,⋅ + ⋅

= =+1

1 0,5 3 0,5( ) 2

0,5 0,5H h ,

⋅ + ⋅= =

+11 0,4 6 0,6

( ) 40,4 0,6

H d , ξ + = + =1 1( ) ( ) 1,5 4 5,5H H d ,

1 1( ) ( ) 3 2 5H H hν + = + = ,

⋅ + ⋅ξ = =

+25 0,5 6 0,5

( ) 5,50,5 0,5

H , ⋅ + ⋅ν = =

+21 0,6 3,5 0,4

( ) 20,6 0,4

H ,

⋅ + ⋅= =

+21 0,5 3 0,5

( ) 20,5 0,5

H h ,

⋅ + ⋅ + ⋅= =

+ +22 0,1 3 0,5 4 0,1

( ) 3,250,1 0,5 0,2

H d ,

ξ + = + =2 2( ) ( ) 5,5 3,25 8,75H H d ,ν + = + =2 2( ) ( ) 2 2 4H H h .

Оскільки 5,5 = 5,5, тобто ξ = ξ +2 1 1( ) ( ) ( )H H H d ,

то прямокутники Π1 і Π2 дотикаються.

Означення 15. Розміщенням прямокутникаΠ ξ ν( , , , )i i i i ih d в смузі Π0 0 0( , )H D , де H0, D0 є не-

чіткими числами, називатимемо розміщення пря-мокутника в смузі Π0 0 0( , )h d , де =0 0( )h H H , d0 == 0( )H D .

Означення 16. Розміщенням прямокутникаΠ ξ ν( , , , )i i i i ih d в смузі Π0 0 0( , )h d , де ξ ν ∈, , ,i i i ih d

∈ X , 10 0,h d R∈ , називатимемо розміщення прямо-

кутника Π ( , , , )i i ii ix y h d в Π0, де = ξ( )i ix H , =iy

= ν( )iH , = ( )iih H h , = ( )i

id H d .

Ввівши означення 15 і 16, одержуємо такеочевидне твердження.

Твердження. Означення 15, 16 та відповідніпопередні означення еквівалентні.

Зауважимо, що підхід, розглянутий у данійстатті, може бути застосований до будь-якого уза-гальнення прямокутника (чи то з “інтервальни-ми” розмірами (як інтервал), чи то з “ймовірніс-

ними” (як випадкова величина) тощо), що врахо-вують невизначеність вимірювання розмірів.

Означення 17. Нечітке число A1 називаєтьсямінімальним серед нечітких чисел A1, A2, …, Ak

числом, якщо p p p1 2 ... kA A A .Означення 18. Нечітке число Ak називається

максимальним серед нечітких чисел A1, A2, …, Ak

числом, якщо p p p1 2 ... kA A A .Побудуємо математичну модель сформульо-

ваної задачі упакування прямокутників з нечіт-кими розмірами, вважаючи, що довжини пря-мокутників ai задаються нечіткими числами.

У кожній смужці в оптимальному розв’яз-ку, очевидно, може розміщуватися від одного доp − (m − 1) = p − m + 1 прямокутників, де m –кількість смужок, на яку розділено смугу, тобтоціла частина частки від ділення ширини смугина h. Позначимо n = m(p − m + 1) та введемо дорозгляду n − p прямокутників з шириною h тадовжиною a0, де a0 є нечітким числом виглядуa0 = (01), тобто звичайним нулем, а0 ∈ R1.

Тоді можна вважати, що в кожній смужцістоїть рівно p − m + 1 прямокутників. Позначимоxi j – нечітку довжину прямокутника, що стоїтьу i-й смужці на j-му від початку смуги місці, i ∈∈ Jm, j ∈ Jp − m + 1.

Розглянемо вектор x вигляду

− + − += K K K11 1, 1 21 2, 1( , , , , , ,p m p mx x x x x ,

− + − +K K K1 , 1 1 , 1, , , , , , )i i p m m m p mx x x x .

Утворимо мультимножину G = a1, ..., ap, a0, ......, a0, в якiй елемент a0 зустрічається n − p раз.Тоді вектор x можна розглядати як елементмножини En(G ) переставлень з елементів мульти-множини G, тобто x ∈ En(G ). При цьому кож-ному переставленню x буде відповідати певне роз-міщення прямокутників у смузі і навпаки.

Використовуючи введені операції додаван-ня, лінійної впорядкованості, знаходження мак-симального і мінімального нечіткого числа, ма-тематичнy модель сформульованої задачі упаку-вання прямокутників з нечіткими розмірами мож-на подати в такому вигляді:

1

( )1 1

( ) min maxn

p m

i jx E G i m j

F x x− +

∗ ∗

∈ ≤ ≤ =

= ∑ , (10)

1

( ) 1 1

arg min maxn

p m

i jx E G i m j

x x− +

∗

∈ ≤ ≤ =

= ∑ , (11)

де arg f (x) позначає точку х, що доставляє зна-чення f (x) функції f.

Формула (10) дає мінімально можливу дов-жину зайнятої частини смуги у вигляді нечіт-


кого числа, а формула (11) – переставлення x*,на якій ця довжина F *(x *) досягається. Задача мо-же бути розв’язана методом гілок та меж, анало-гічно, як це зроблено в [11].

Висновки

У задачах комбінаторної оптимізації вико-ристовуються, як правило, параметри, що не міс-тять невизначеності, оскільки її важко врахову-вати. У статті здійснено врахування невизначе-ності в одній із комбінаторних оптимізаційних

задач – задачі упакування прямокутників у ви-падку, коли один із параметрів прямокутникає нечітким числом. Розглянутий підхід до мо-делювання такої ситуації може поширюватисяна будь-які інші задачі евклідової комбінаторноїоптимізації, якщо необхідно враховувати ту чи ін-шу невизначеність за допомогою нечіткої множи-ни.

У подальшому доцільно направити зусилляна розробку точних та наближених методів роз-в’язування таких задач.

О.А. Емец, А.О. Емец

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОД-НОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧИ УПАКОВКИ ПРЯ-МОУГОЛЬНИКОВ С НЕЧЕТКИМИ РАЗМЕРАМИ

Определено расположение прямоугольников с не-четкими размерами в полосе: касание, пересече-ние, непересечение, а также расположение пря-моугольников с нечеткими размерами в полосе не-четкого размера: попадание в полосу, касание, пе-ресечение, непересечение. Построена новая ма-тематическая модель одной задачи упаковки пря-моугольников в виде задачи комбинаторной оп-тимизации на множестве нечетких перестановок.

Oleg O. Yemets′, Oleksandra O. Yemets′

THE CONSTRUCTION OF THE MATHEMATICALMODEL OF THE ONE COMBINATORIAL PROBLEMOF RECTANGLES PACKING WITH FUZZY SIZES

In this paper, we define the arrangement of rectang-les with fuzzy sizes in a breadth – tangency, in-tersection, non-intersection. We also define the ar-rangement of rectangles with fuzzy sizes in the fuz-zy size breadth – tangency, intersection, non-inter-section. Finally, we construct a new mathematicalmodel of the one problem of the rectangle packingas a problem of the Euclidian combinatorial optimi-zation on a set of fuzzy permutations.

1. Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной опти-мизации: проблемы, методы исследования, решения. –К.: Наук. думка, 2003. – 264 с.

2. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової ком-бінаторної оптимізації. – К.: Ін-т системних дослід-

жень освіти, 1993. – 188 с.

3. Стоян Ю.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Оптимізація наполірозміщеннях: теорія та методи. – Полтава: РВЦ

ПУСКУ, 2005. – 104 с.

4. Емец О.А., Барболина Т.Н. Комбинаторная оптимиза-ция на размещениях. – К.: Наук. думка, 2008. – 160 с.

5. Панишев А.В., Плечистый Д.Д. Модели и методы опти-мизации в проблеме коммивояжера. – Житомир:

ЖГТУ, 2006. – 300 с.

6. Гуляницький Л.Ф. Розробка моделей і наближених

методів комбінаторної оптимізації та їх застосування

в інформаційних технологіях: Автореф. дис. ... д-ра

техн. наук: 01.05.02 / Ін-т кібернетики ім. В.М.Глуш-кова НАН України. – К., 2005. – 32 с.

7. Гребеннік І.В. Математичні моделі та методи комбіна-

торної оптимізації в геометричному проектуванні: Ав-

тореф. дис. … д-ра техн. наук: 01.05.02 / Ін-т проб-лем машинобудування ім. А.М. Підгорного. – Харків,

2006. – 34 с.

8. Павлов О.А., Павлова Л.О. Принцип розпаралелюван-

ня обчислень як засіб підвищення ефективності ПДС-

алгоритмів для важкорозв’язуваних комбінаторних за-дач // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 1997. – 1. –С. 22–26.

9. Емец О.А., Роскладка А.А. О комбинаторной оптими-

зации в условиях неопределенности // Кибернетика исистемный анализ. – 2008. – 5. – С. 35–44.

10. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. –М.: Радио и связь, 1982. – 432 с.

11. Роскладка А.А., Емец А.О. Решение одной комбина-

торной задачи упаковки с учетом неопределенности дан-

ных, описанной нечеткими числами // Радиоэлектро-ника и информатика. – 2007. – 2. – С. 132–141.

12. Ємець О.О., Ємець Ол-ра О. Деякі операції та відно-

шення над нечіткими числами // Наукові вісті НТУУ“КПІ”. – 2008. – 5. – С. 39–46.

Рекомендована Радою факультету прик-ладної математики НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції3 грудня 2007 року


УДК 004.75

П.П. Маслянко, О.С. Майстренко

СИСТЕМНА ІНЖЕНЕРІЯ ПРОЕКТІВ ІНФОР-МАТИЗАЦІЇ ОРГАНІЗАЦІЙНИХ СИСТЕМ

Вступ

Міжнародні стандарти системної інженерії і сучасні методології реалізації проектів інфор-матизації організаційних систем базуються на фундаментальних основах прикладного систем-ного аналізу та теорії систем. Згідно з міжнаро-дними стандартами і рекомендаціями INCOSE (International Council on Systems Engineering) та OMG (Object Management Group), теоретичні по-ложення і практичні рекомендації, опубліковані в [1—5], дають можливість удосконалювати існу-ючі та розробляти нові методи щодо реалізації процесів системної інженерії проектів інформа-тизації організаційних систем (Орг.С) [6—12].

Цілком зрозуміло, що інформаційно-кому-нікаційна система (ІКС) створюється для за-безпечення діяльності Орг.С, а не навпаки. Саме тому вкрай необхідно при проектуванні моделі ІКС безпосередньо спиратися на модель Орг.С. Обидві моделі повинні еволюціонувати під час створення проекту інформатизації та бути взаємозалежними. Зокрема, таким прин-ципом керується методологія MDA (Model Dri-ven Architecture — архітектура, що базується на моделі) [2]. Фаза моделювання, яка передбаче-на MDA, забезпечує створення двох моделей: моделі бізнес-процесів PIM (Platform Indepen-dent Model), що фактично не залежать від про-грамної реалізації, та моделі PSM (Platform Specific Model), що базується на вибраній тех-нології створення ІКС. Реалізація взаємозв’яз-ку між даними моделями є одним із ключових питань при дослідженні та впровадженні цієї методології.

Створення сучасних інформаційно-комуні-каційних систем для інформатизації Орг.С по-требує проведення попереднього аналізу Орг.С, варіантів реалізації ІКС, впровадження методо-логії їх розробки та підтримки протягом всього життєвого циклу ІКС [10,11]. Існуючі підходи та процеси розробки проектів інформатизації не пристосовані до створення ІКС для широ-кого класу Орг.С [11]. Тому актуальною постає задача розробки технології системної інженерії із застосуванням прикладного системного ана-

лізу та сучасних процесів розробки (develop-ment process) на основі графічних мов моделю-вання.


Мета дослідження — розробка основних положень технології системної інженерії проек-тів інформатизації Орг.С на основі методів прикладного системного аналізу і компонент-ного процесу реалізації проектів інформатиза-ції Орг.С. Системний аналіз проектів інформа-тизації передбачає декомпозицію проекту ін-форматизації на компоненти за загальносистем-ними ознаками та розробку ІКС із застосуван-ням UML (Unified Modeling Language).

Об’єкт дослідження — організаційні сис-теми всіх форм власності.

Предмет дослідження — структурне і ди-намічне представлення процесів інформатиза-ції організаційних систем на всіх етапах їх жит-тєвого циклу.

Системна інженерія проектів інформатизації організаційних систем

Системна інженерія — це, як правило, між-дисциплінарний ітеративно-інкрементний про-цес розробки продуктів або процесів на основі теорії систем, що базується на використанні певних принципів декомпозиції системи на частини і створення таких систем на основі вимог користувачів.

Тут під “системою” ми розуміємо множи-ну визначених сутностей і відношень між ни-ми, необхідну і достатню для існування систе-ми [10, 11].

Тоді, за аналогією, інформаційно-комуні-каційна система — це множина визначених сутностей інформатизації і обумовлених зв’яз-ків між ними, необхідна і достатня для забез-печення досягнення мети інформатизації Орг.С.

Системна інженерія проектів інформати-зації Орг.С спрямована насамперед на розроб-ку максимально ефективних ІКС, скорочення витрат та часу на проектування і експлуатацію, автоматизацію проектування, генерацію кодів програмних систем і програмних продуктів.

Виходячи з цього методологія системної інженерії SE (System Engineering) проектів ін-форматизації організаційних систем склада-ється з розв’язання трьох класів задач: виді-лення множини сутностей, необхідних і достат-ніх для реалізації проекту інформатизації Орг.С;


розробки бізнес-моделі Орг.С; розробки проек-ту інформаційно-комунікаційної системи для реалізації та досягнення мети проекту інформа-тизації Орг.С [10, 11].

Процес системної інженерії проектів ін-форматизації, фази, стадії та ітерації, відповід-но до стандартів і рекомендацій INCOSE та OMG, наведено на рис. 1.

Процес розробки (development process) ви-значається як упорядкований, достатній і функ-

ціонально повний ряд робіт з розробки проек-тів інформатизації організаційних систем із за-даними показниками ефективності.

Для реалізації методології системної інже-нерії проектів інформатизації Орг.С в [11] за-пропоновано один із можливих варіантів удос-коналеного бізнес-профілю, який забезпечує представлення Орг.С і процесів інформатизації Орг.С як систему визначених сутностей та від-ношень між ними (рис. 2).

Рис. 1. Фази, стадії та ітерації системної інженерії проектів інформатизації Орг.С

Рис. 2. Удосконалений бізнес-профіль Орг.С. Діаграма класів у нотації UML


Бізнес-профіль є підмножиною існуючої базової метамоделі, тобто містить множину ви-значених стереотипів та обмежень. У моделі стереотип застосовується до елемента відповід-ного метатипу, а значення метаатрибуту при-своюються розробником моделі. Стереотипи являють собою визначені базові сутності Орг.С (див. рис. 2).

Бізнес-модель Орг.С, що базується на за-пропонованому бізнес-профілі, виконується за допомогою мови графічного моделювання UML. З точки зору автоматизації проектування ІКС і представлення результатів системного аналізу Орг.С, найдоцільніше виконувати графічне мо-делювання. Однак на деяких стадіях системно-го аналізу і системного проектування для більш точного дослідження особливостей Орг.С та її складових сутностей слід також виконувати і математичне моделювання.

Процес графічного моделювання передба-чає застосування механізму профілювання допу-стимими засобами уніфікованої мови моделю-вання (profile in Unified Modeling Language), тобто визначення множини обмежених розши-рень базової метамоделі, які адаптують її для конкретної платформи або області [9].

Методологія бізнес-моделювання базуєть-ся на виділенні базових системних сутностей

Орг.С: меті діяльності, бізнесі-процесу, бізнесі-правил, персоналі і ресурсах, необхідних і дос-татніх для проведення визначеної діяльності [5, 9, 11]. Ці сутності разом із процесом інформа-тизації і загальносистемними критеріями де-композиції ІКС на окремі компоненти і фор-мують бізнес-профіль.

Під бізнес-профілем в загальному випадку розуміється набір стандартів і технологій ін-форматизації, які зорієнтовані на реалізацію системної інженерії проектів інформатизації Орг.С [5, 9, 11].

Системні сутності організаційних систем

Бізнес-профіль базується на основних сис-темних сутностях Орг.С: мета діяльності, біз-нес-процес, бізнес-правила, ресурси [5,11].

Сутність мета діяльності визначає цілі і мету діяльності як Орг.С в цілому, так і кожно-го бізнес-процесу, зокрема. Мета задається для вирішення однієї або більше проблем і виражає бажаний стан ресурсів.

Сутність бізнес-процес — це стійка, ціле-спрямована сукупність взаємопов’язаних видів діяльності, що, згідно з певною технологією, перетворюють вхідні ресурси у вихідні, які ма-ють цінність для користувача [5, 13, 14] (рис. 3).

Рис. 3. Фрагмент діаграми діяльності UML AD бізнес-процесів Орг.С


Найбільш широкі класи бізнес-процесів, які використовуються практично в усіх Орг.С, це — корпоративне управління, стратегічний мене-джмент, маркетинг, продаж, виробництво, на-бір персоналу, підтримка інформаційних ресур-сів та фінансовий менеджмент.

Динамічне представлення бізнес-процесів за допомогою діаграми діяльності в нотації UML (UML AD) являє собою моделювання бізнес-процесів із використанням семантики мереж Петрі (див. рис. 3). При цьому маркерами (“фішками”) мережі Петрі є об’єкти, які пере-даються в діяльності (activity) між діями (ac-tion) через вхідні та вихідні з’єднання (input, output pins).

Сутність бізнес-правила накладає статичні і динамічні обмеження на бізнес-процес для до-сягнення мети. Обмеження, що накладаються на бізнес-моделі, можуть бути представлені біз-нес-правилами з використанням структурованої природної мови. Бізнес-правила формуються стратегічним менеджментом Орг.С і описують завдання, які повинні виконувати бізнес-про-цеси.

Прикладами узагальнених бізнес-правил є маркетингові стратегії, політика ціноутворення, практика керування взаємовідносинами із за-мовниками, політика роботи з персоналом та законодавчі обмеження.

Бізнес-правила регламентують реалізацію, поведінку і взаємодію бізнес-процесів Орг.С. Їх можна представити за допомогою елементів теорії множин. При цьому необхідно надати правила переходу між елементами графічного представлення (асоціації між класами, атрибути

класів, операції класів, асоційовані класи) та функціональними елементами. Для інтеграції в бізнес-модель бізнес-правила можуть бути ви-ражені з використанням мови OCL (Object Constraint Language — мова об’єктних обме-жень). Наприклад, вираження асоціації між класами 0С і 1С (рис. 4) можна описати в та-

кому вигляді:

0 1 1 0

0 1

: : ( ( ) ( ) ),

якщо 1;

С x С y r x y r y x

m m

∀ ∀ = < − > =

= =

0 1 1 0

0 1

: : ( ( ) ( ) ),

якщо 1, 1;

С x С y y r x r y x

m m

∀ ∀ ∈ < − > =

= ≠

0 1 1 0

0 1

: : ( ( ) ( )),

якщо 1, 1.

С x С y r x y x r y

m m

∀ ∀ = < − > ∈

≠ =

Рис. 4. Фрагмент представлення діаграми класів у нотації UML

Сутність ресурси — об’єкти (матеріальні і нематеріальні сутності), які діють або викорис-товуються при реалізації бізнес-процесів. Ре-сурси — це сутності, що споживаються, ство-рюються або використовуються бізнес-проце-сами [5, 9—11, 13, 14]. На рис. 5 і 6 показано представлення ресурсів Орг.С відповідно до їх

Рис. 5. Системне представлення ресурсів відносно процесів

0С 1С0r 1r

0m 1m


застосування та класифікації. Прикладами ре-сурсів є організаційна структура, фізичний ре-сурс, людина, документ, дані, інформація та знання.

Використання UML State Charts реалізує процес моделювання ресурсів на основі теорії скінченних автоматів. На рис. 7 наведено пере-творення вхідних даних, інформації і знань під впливом бізнес-процесів обробки даних, обро-бки інформації та синтезу знань.

Рис. 7. Фрагмент діаграми UML State Chart бізнес-ресурсів

Таким чином, четвірка < мета діяльності, бізнес-процес, бізнес-правила, ресурси > реалізує систему сутностей, що необхідна і достатня для побудови бізнес-моделі Орг.С для обгрунту-вання та реалізації максимально ефективного проекту інформатизації Орг.С.

Безпосередньо процес моделювання біз-нес-процесів як основної складової частини

Орг.С виконується в нотації BPMN (Business Process Modeling Notation — нотація моделю-вання бізнес-процесів) або з використання діа-грам діяльності UML. Для представлення ін-ших сутностей Орг.С і їх зв’язків із бізнес-процесами використовуються діаграми класів (class diagram), діаграми діяльності (activity diagram) та діаграми станів (state chart diagram) UML.

Бізнес-модель ІКС

Визначення системних сутностей і розроб-ка ефективної бізнес-моделі Орг.С створює пе-редумови для розробки ефективної ІКС. Мо-дель ІКС забезпечує логічний перехід від тех-ніко-економічного обґрунтування до ескізного і технічного проектування, створення дослідно-го зразка та проведення випробувань. На рис. 8 показано структурне представлення процесів мо-делювання інформаційно-комунікаційної систе-ми Орг.С і засоби його реалізації.

Конкретні варіанти бізнес-моделей і моде-лей ІКС використовуються при узгодженні та реалізації ІКС, а також при генерації програм-ного коду засобами автоматизації проектування.

Системна інженерія ІКС передбачає ви-користання основних засобів інформатизації Орг.С для реалізації бізнес-моделі ІКС [6]:

Рис. 6. Системне представлення ресурсів відповідно до їх сутностей


• організаційних технологій, технологій керування проектами інформатизації, техноло-гій прикладного системного аналізу та CASE-технологій розробки проектів інформатизації;

• інтегрованих засобів здійснення кому-нікацій із загальнодержавним інформаційним простором та здійснення зовнішніх комуніка-цій з Орг.С інших держав;

• термінального обладнання і засобів дос-тупу до інформаційних ресурсів як багатофунк-ціональних платформ різних виробників і пос-тачальників;

• мереж: первинного доступу, телефонних мереж, IP-мереж, безпроводових мереж, оптич-них мереж та мультисервісних мереж;

• послуг — обробки, передачі і збережен-ня голосу, даних та відео, інтеграції в структуру мереж інтелектуальних серверів;

• інформаційних ресурсів — файлових си-стем, персональних і розподілених баз даних, інформаційних сховищ, інформаційних колек-торів, Web-ресурсів, публічних ресурсів зовніш-ніх Орг.С.

• технологій підготовки, підтримки прий-няття та реалізації рішень:

— засобів автоматизації комунікацій, під-готовки документів і корпоративного докумен-тообігу, контролю за виконанням наказів і роз-поряджень, персональних баз даних, класифі-каторів і довідників, предметно-орієнтованих ін-формаційних систем;

— інтелектуалізованих систем і технологій керування бізнес-процесами;

— інтелектуалізованих комунікаційних тех-нологій;

— інтелектуалізованих систем навчання і тренування;

— інтелектуалізованих інформаційних тех-нологій керування безпекою корпоративних ІКС.

Системна інженерія передбачає застосуван-ня ітеративно-інкрементного і компонентного процесів розробки із загальносистемним кри-терієм поділу проекту інформатизації на части-ни. Такий підхід може представляти ІКС набо-ром незалежних компонентів, які реалізуються та взаємодіють між собою на основі специфі-кацій [15]. В цьому випадку модель ІКС являє собою діаграму компонентів (component diag-ram) в нотації UML (рис. 9).

Компоненти — програмно-апаратні систе-ми, такі як корпоративний портал, інформаційні ресурси та інші, що створюються окремо й не-залежно один від одного, але інтегруються на системному рівні в єдиний компонент — ІКС на основі відкритих іменованих специфікацій та інтерфейсів; тобто компонент має специфі-кацію, відповідає стандартам, може бути пред-ставлений структурою модулів, встановлений в ІКС і має реалізацію. Компоненти поєднані між собою через пари іменованих інтерфейсів (required і provided interfaces).

Необхідний набір характеристик і парамет-рів моделі реалізується з використанням об’єкт-ної мови OCL. Це дає можливість вже на етапі “Початок” [11, 12] отримати варіант специфі-кації ІКС в цілому, тобто формалізований опис властивостей, характеристик і функцій об’єк-тів, компонентів, пакетів та способів і правил їх взаємодії в системі. Характеристики форму-ються на основі результатів проведення проце-дур системного аналізу [1] — цільового, ситуа-ційного та інформаційного.

Рис. 8. Структурне представлення процесу моделювання ІКС


Основні компонентні елементи бізнес-моделі ІКС

Переважна більшість ІКС містить у собі такі основні компоненти, як інформаційний ре-сурс і засоби доступу до інформаційного ресурсу.

Корпоративний портал — це інтегрований інтерфейс із персоналізацією доступу до кор-поративної системи, систематизованих інфор-маційних технологій та інформаційних ресурсів ІКС [16]. Під поняттям “корпоративний пор-тал” слід розуміти функціонально повну части-ну організаційної системи, яка надає користу-вачам єдину точку доступу до внутрішніх і зов-нішніх інформаційних ресурсів, необхідних для прийняття обґрунтованих управлінських рішень.

Для представлення множини виключно біз-нес-процесів на програмному рівні можна ви-користовувати поняття “сервіс” або ж “веб-сервіс” теорії корпоративних порталів — це ціл-ком окремий об’єкт, який виконує індивіду-альну, особливу бізнес-функцію або функцію інфраструктури. Таке представлення викону-ється за допомогою BPEL4WS (Business Process Execution Language for Web Service — мова ви-конання бізнес-процесів для веб-сервісів). Пе-рехід від бізнес-моделі до моделі “Компоненти порталу” можливий з використанням автома-тизованих засобів, що генерують програмну та програмно-апаратну модель з моделі опису біз-нес-процесів.

Дані, інформація і знання — сутності, які можуть відображати об’єкти, процеси та явища навколишнього середовища і є абстрактними

об’єктами [17]. Засобом їх матеріалізації є ін-формаційний ресурс.

Інформаційний ресурс, згідно із законодав-ством України, — це сукупність документів в інформаційних системах (бібліотеках, архівах, банках даних тощо) [17]. Інформаційні ресурси використовуються під час реалізації бізнес-процесів. Модель Орг.С описує вимоги до ін-формаційних ресурсів, регламентує порядок їх обробки, зберігання та використання. Відповід-но до цих вимог розробляється необхідний ін-формаційний ресурс Орг.С. Продукування ін-формаційних ресурсів — одне з основних зав-дань системної інженерії проектів інформати-зації Орг.С. Під продукуванням інформаційних ресурсів розуміється створення нових видів ін-формаційних ресурсів на основі існуючих да-них, інформації, знань [17].

Специфікація вимог до ресурсу і визна-чення іменованих інтерфейсів дозволяє розді-лити процес розробки ресурсу на незалежні компоненти, які можуть бути спроектовані і розроблені окремо. Визначені вимоги дають можливість обґрунтовано вибрати засоби ство-рення окремих компонентів ресурсу. Викори-стання компонентного процесу та іменованих специфікацій забезпечує інтеграцію розробле-них окремо компонентів інформаційного ре-сурсу на стадіях реалізації та розгортання.

Висновки

Запропоноване рішення технології систем-ної інженерії проектів інформатизації Орг.С на

Рис. 9. Бізнес-модель ІКС


основі методів прикладного системного аналізу та компонентного процесу реалізації проектів інформатизації дає змогу систематизувати та упорядкувати процес розробки проектів інфо-рматизації Орг.С.

Системний аналіз проектів інформатизації передбачає декомпозицію проекту інформати-зації на компоненти за загальносистемними ознаками та розробку ІКС із застосуванням UML (Unified Modeling Language).

Таким чином, технологія створення про-ектів інформатизації Орг.С специфікує і дає можливість налагодити процес розробки й роз-гортання ІКС на всіх етапах її життєвого цик-лу. На основі фаз розробки ітеративного про-цесу із загальносистемним критерієм поділу визначається принцип застосування технології моделювання Орг.С. Профіль моделювання застосується при створенні графічної моделі на етапі бізнес-моделювання, що визначає всі не-обхідні і достатні складові сутності Орг.С для реалізації, впровадження і оцінки проекту ін-

форматизації. Безпосередньо процес реалізації компонентів (програмних систем) виконується автоматизовано за рахунок використання ін-струментарію мови UML.

Результати дослідження пропонуються для реалізації системної інженерії проектів інфор-матизації організаційних систем в частині:

1) застосування прикладного системного аналізу для виділення та представлення бізнес-сутностей Орг.С і відношень між ними;

2) використання удосконаленого бізнес-профілю для реалізації бізнес-моделювання Орг.С;

3) створення компонентної моделі інфор-маційно-комунікаційної системи Орг.С.

Таким чином, застосування прикладного системного аналізу і компонентного процесу розробки дає можливість автоматизувати про-цеси системної інженерії проектів інформати-зації Орг.С на всіх етапах життєвого циклу ма-лих (локальних), середніх (регіональних) та ве-ликих (глобальних) ІКС.

П.П. Маслянко, А.С. Майстренко

СИСТЕМНАЯ ИНЖЕНЕРИЯ ПРОЕКТОВ ИНФОР-МАТИЗАЦИИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Системная инженерия проектов информатизации организационных систем охватывает все этапы жизненного цикла информационно-коммуникаци-онных систем. Итеративно-инкрементный про-цесс разработки, в соответствии с международ-ными стандартами, на всех фазах и итерациях обеспечивает выделение множества сущностей, необходимых и достаточных для реализации проекта информатизации Орг.С, разработку биз-нес-модели Орг.С и разработку проекта инфор-мационно-коммуникационной системы для реа-лизации и достижения цели проекта информати-зации Орг.С. Процесс бизнес-моделирования реализуется с помощью бизнес-профиля, кото-рый выделяет системные сущности и отношения между ними.

P.Р. Maslyanko, O.S. Maystrenko

THE SYSTEM ENGINEERING OF ORGANIZATIO-NAL SYSTEM INFORMATIZATION PROJECTS

In this paper, we highlight that the system engineer-ing of organizational system informatization projects includes all stages of informative-communicative systems lifecycle. We consider the iterative-incre-mental development process, which complies with international standards and provides the abstraction of a set of entities necessary and sufficient for im-plementation of Org.S informatization projects, de-velopment of Org.S business model and informa-tive-communicative system to achieve the goal of Org.S informatization project. Thus, we show that a business profile, which separates the system enti-ties and their relations contributes to the implemen-tation of the business modeling process.

1. Згуровский М.З., Панкратова Н.Д. Системный анализ.

Проблемы, методология, приложения. — К.: Наук.

думка, 2005. — 744 с.

2. MDA Explained: The Model Driven Architecture-Practice

and Promise 9780321194428 (032119442X), Addison

Wesley, 2003.

3. OMG Unified Modeling Language (OMG UML), Superstructure, V2.1.2 November. — 2007 http://www.

omg. org/docs/formal/07-11-02.pdf

4. Koehler J., Hauser R., Sendall S., Wahler M. Declarative

techniques for model-driven business process integration // IBM systems journal. — 2005. — 44, N 1.


5. Буч Г., Якобсон А., Рамбо Дж. UML. Классика CS. —2-е изд. / Пер. с англ.; под общей ред. С. Орлова. —

СПб.: Питер, 2006. — 736 с.

6. Маслянко П.П. Концепція інформатизації корпоратив-них структур // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2001. —

3. — С. 45—50.

7. Маслянко П.П. Технология информатизации корпо-ративных структур. Ч.1 // Корпоративные системы. —2001. — 1. — С. 17—19.

8. Маслянко П.П. Технология информатизации корпора-тивных структур. Ч.2 // Там же. — 4. — С. 19—23.

9. Ericsson H.-E., Penker M. Business Modeling with UML: Business Patterns at work — Wileu Computer Publishing,

2000.

10. Маслянко П.П. Основні положення методологій сис-

темного проектування інформаційно-комунікаційних систем // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2007. — 6. — С. 54—60.

11. Маслянко П.П. Системне проектування процесів ін-форматизації // Там же. — 2008. — 1. — С. 28—36.

12. Maslyanko P., Maystrenko O. The research of business

modeling technologies for informative-communicative sys-

tems design // Materials of international conference TCSET 2008. — Lviv, 2008.

13. Маслянко П.П., Майстренко О.С. Система моделю-

вання бізнес-процесів організаційної структури //

Праці ХІІІ Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. — Львів,

2006. — С. 103.

14. Репин В.В., Елиферов В.Г. Процессный подход к управлению. Моделирование бизнес-процесов. — М.:

РИА “Стандарты и качество”, 2004. — 408 с.

15. Маслянко П.П. Компонентні процеси cистемного про-

ектування інформаційно-комунікаційних систем // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 29—

38.

16. Маслянко П.П., Стокоз К.В. Розробка та дослідження

технологій автоматизованого проектування корпора-

тивних порталів // Сучасні проблеми прикладної ма-тематики та інформатики. — Львів, 2006.

17. Маслянко П.П., Ліссов П.М. Інформаційні ресурси та

засоби їх створення // Вісн. Східноукр. нац. ун-ту ім. Володимира Даля. — 2007. — 5 (111). — С. 141—

145.

Рекомендована Радою факультету прикладної математики НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції 10 листопада 2008 року


УДК 581.52

Г.П. Повещенко

ДИНАМІЧНІ I ЧАСОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИПРОЦЕСУ СПІВІСНУВАННЯ

Вступ

Природа створила замкнутий трофічний(харчовий) ланцюг, тобто органічна речовинапланети здійснює замкнутий цикл перетворен-ня життя. Це стратегія природи за принципом“з’їсти пирога, щоб він був цілим” (Ю. Одум).Жодна система не може існувати без викорис-тання ресурсів, які майже завжди є обмежени-ми, що й спричиняє конкуренцію за них та від-повідне насичення процесу. Незмінність обсягуресурсів означає або їх відновлюваність, або та-ку кількість, що споживання практично їх не змі-нює. Необмежений обсяг ресурсів до існуван-ня популяції має своїм наслідком її необмеженезростання, що в більшості реальних ситуацій невідповідає дійсності [1–3].


Характеристики структури і поведінки сис-теми істотно змінюються під впливом взаємнихпотоків ресурсів до існування між системою та їїоточенням. Задачею даного дослідження є спро-ба визначити основні динамічні і часові харак-теристики системи на прикладі моделі процесуспівіснування видів, прототипом якої є відомамодель Лоттки–Вольтерри [2, 3]. Припускається,що термін “співіснування” може бути поширенийза межі тваринного світу.

Модель співіснування видів з обмеженнямресурсів

Видами співіснування є “жертва”, “хижак”та “ресурси для жертви”. Для врахування об-меженості ресурсів модель співіснування видів“жертва”–“хижак”–“ресурси для жертви”можна записати у вигляді системи [1]

= −τ * *( )

dxx y z yz

d, (1)

= −τ * *( )

dyy xz x z

d, (2)

= −τ * *( )

dzz x y xy

d. (3)

Тут x = X/N; y = Y/N; z = Z/N – зведені значеннябіомаси “жертви”, “хижака”, “ресурсів для жерт-ви” (за припущенням, відновлюваності ресурсів);X, Y, Z – абсолютні значення біомаси “жерт-ви”, “хижака”, “ресурсів для жертви”; x*, y*, z* –відповідні зведені стаціонарні значення; τ == t/Ts; t – поточний час; Ts – характерний часеволюції системи або її часовий масштаб, одназ часових характеристик системи; N = X + Y ++ Z = const – загальна біомаса системи або їїнесуча здатність, яка вважається незмінною напевному інтервалі часу. Це – потенціал, потуж-ність, ступінь можливостей, одна з динамічниххарактеристик системи. Зауважимо, що визна-чення несучої здатності системи є одним з ета-пів системного аналізу.

В разі незмінного обсягу ресурсів

= *z z (4)

система (1)–(3) набуває вигляду загальновідомоїмоделі співіснування видів “жертва–хижак” Лот-тки–Вольтерри [2–4]

= −τ *( )

dxx y y

d, (5)

= −τ *( )

dyy x x

d, (6)

де τ = z*t/Ts, що означає уповільнення процесівпри малих обсягах ресурсів і, навпаки, приско-рення процесів при зростанні ресурсів.

Припущення про незмінність (або неви-черпність) ресурсів у моделі Лоттки–Вольтерриможна пояснити тим, що в часи її створення (по-чаток ХХ ст.) людство ще практично не зважа-ло на стан довкілля. Крім того, в цій моделі необмежується співвідношення біомаса “хижа-ка”/біомаса “жертви”, хоч у реальності й існу-ють поняття “ареал існування”, “щільність засе-лення” та ін. (наприклад, для тигрів реальна щіль-ність заселення становить одну особ на сто квад-ратних кілометрів довкілля). Порушення такогопараметра системи співіснування часто призво-дить до негативних наслідків.

Зауважимо, що в термінах темпів змін сис-тема (1)–(3) має вигляд

= −* *temp_x y z yz , (7)


= −* *temp_y xz x z , (8)

= −* *temp_z x y xy . (9)

Використання темпів змін пояснюється тим,що багато загальновідомих математичних моде-лей “живих” систем побудовано саме в термі-нах темпів. Таку формалізацію можна вважатиоднією з концептуальних засад моделювання про-цесів у “живих” системах. Темпи мають одна-кову розмірність, що надає можливість для кіль-кісного порівняння розрахунків, оцінок, рішень,висновків тощо.

Загальні інтеграли системи

Система (1)–(3) має загальні інтеграли

+ + =τ τ τ

0dx dy dzd d d

, (10)

+ + =τ τ τ

* * * 0x y zdx dy dzx d y d z d

. (11)

Вони відповідають співвідношенням

+ + = 1x y z , (12)

∗ ∗ ∗ = =[ (0), (0), (0)] constx y zx y z C x y z , (13)

де x(0), y(0), z(0) – початкові умови.Співвідношення (10), (12) є умовою внут-

рішньої конкуренції (агресивної взаємодії) в сис-темі “за обмежені ресурси до існування”, яка, заМ. Ейгеном, має назву “константа загальної ор-ганізації”. А співвідношення (11), (13) є інтегра-лом руху, що обмежує загальний темп системи.Обидва інтеграли з певним припущенням мож-на інтерпретувати як “закони збереження” ма-си та енергії в “живій” системі.

Зауважимо, що наявність загального інтег-рала в будь-якій системі є ознакою конкурент-ності процесів у системі, тобто наявності пред-мета конкуренції (на зразок загальної суми бюд-жету, загального обсягу заробітної плати, загаль-ної суми пенсійного фонду, загального обсягуспоживання газу тощо).

Стаціонарні стани

В області існування система (1)–(3) має ста-ціонарний стан:

= = =* * *, ,x x y y z z . (14)

На границях системи існують такі стаці-онарні стани:

= = =1, 0, 0x y z , (15)

= = =0, 1, 0x y z , (16)

= = =0, 0, 1x y z . (17)

Очевидно, що на границях системи відбува-ється дезінтеграція її структури, тобто зника-ють два елементи.

Здатність системи до опору зовнішнімзбуренням

Здатність системи до опору зовнішнім збу-ренням характеризується властивостями стійкостіабо характеристичними числами. Аналіз цієї здат-ності – перший обов’язковий етап і наріжний ка-мінь системного аналізу процесів. Адже нестій-ких процесів у природі не існує.

Із врахуванням (12) систему (1)–(3) можназаписати у вигляді

= − − − − −τ * * *(1 ) (1 )

dxxy x y xy x y

d, (18)

= − − − − −τ * * *(1 ) (1 )

dyxy x y x y x y

d; (19)

характеристична матриця системи має вигляд

− − −−* * * *

* * * *

(1 )

(1 )

x y x x

y y x y; (20)

слід (дивергенція) матриці –

= 0S ; (21)

детермінант –∆ = * * *x y z ; (22)

характеристичні корені –

1, 2λ = ± −∆. (23)

Очевидно, що стаціонарний стан (14) є “цент-ром”, коливальний рух навколо якого у фазо-вій площині системи відбувається по замкну-тих траєкторіях (орбітах) (рис. 1). Період коли-вань в околі стаціонарної точки (14) має ви-гляд

π=

∆

2

s

TT

. (24)


Очевидно, зростання обсягу ресурсів зменшуєперіод коливань і, навпаки, за малих обсягівресурсів період зростає. Періодичний процес усистемі показано на рис. 2.

Наведені динамічні характеристики визна-чають здатність системи до опору зовнішнім збу-ренням. Аналіз показує, що стаціонарний стан(14) є нейтрально стійким і за будь-яких збу-рень у системі починаються орбітальні коли-вання, тобто система не має механізму компен-сації збурень. Зауважимо, що “будь-які збурен-ня” в системі (18), (19) – це збурення початко-вих умов або стаціонарного стану.

Граничні випадки процесу співіснування

За початкової гіпотетичної умови відсутнос-ті “жертв”

= =(0) 0x x (25)

рівняння (19) набуває вигляду логістичного рів-няння Фергульста [2]

= − −τ * [1 ]

dyx y y

d, (26)

згідно з яким “хижаки” зникають:

→ 0y . (27)

Система дезінтегрується і перетворюється на ре-сурс для “жертв”:

→ 1z . (28)

Отже, початок координат x = y = 0, z = 1 прак-тично означає відсутність системи як такої.

За початкової умови відсутності “хижаків”

= =(0) 0y y (29)

рівняння (18) набуває вигляду логістичного рів-няння

= −τ * [1 ]

dxy x x

d, (30)

згідно з яким біомаса “жертв” зростає домаксимального рівня:

→ 1x . (31)

Це призводить до голоду:

→ 0z . (32)

Виходить, що “хижаки” необхідні для поперед-ження голоду серед “жертв”.

За граничної умови

+ = =1, 0x y z (33)

система (18), (19) набуває вигляду

= − − − −τ * *(1 )(1 )

dxx x x y

d, (34)

= − − −τ * *(1 )(1 )

dyy y x y

d. (35)

Це означає, що за відсутності ресурсів до існу-вання для “жертв” (33) їх знищують “хижаки”, якіпотім самі зникають згідно з (26). І граничнийцикл повторюється.

Рис. 1. Фазовий портрет системи співіснування видів (сис-тема “хижак”–“жертва”–“ресурс для жертви” (стріл-ки вказують напрямок руху))

y x p/ = min

yx

p

/=

max

Границяz =

0

xy

xy

+=

+*

*

zmin =

const

zmax =

const

1

0,9

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

010,7 0,80,5 0,60,3 0,40,20 0,1

х (“жертва”)

x*, y*GM R

B

AL

D

FK

С

у(“х

иж

ак”)

y xy x

/ = * *

Рис. 2. Періодичний процес у системі співіснування видів;коливання в системі “хижак”–“жертва”–“ресурс дляжертви”: – х (“жертва”); – у (“хижак”);s – z (“ресурс для жертви”); – y/x (“хи-iжак”/“жертва”)

Зве

дена

біом

аса

Зведений поточний час

1

50

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0403020100

A A

B

C

D


Граничні параметри процесу співіснування

Мінімум і максимум біомаси “жертви” xmin,xmax визначаються з рівняння

= − =τ * *( ) 0

dxx y z yz

d, (36)

тобто як точки перетину А, С (див. рис. 1) пря-мої

= −−

*

*

(1 )1

yy x

x(37)

з фазовою траєкторією процесу (13)

* *

* * *

* *

(1 ) (1 )1 1

y zx

xy z

f x x xx x

= − − − − −

− =0 0( , ) 0C x y . (38)

Мінімум і максимум біомаси “хижака” ymin,ymax визначаються з рівняння

= − =τ * *( ) 0

dyy xz x z

d, (39)

тобто як точки перетину В, D (див. рис. 1) пря-мої

−= − *

*

11

yy x

x(40)


− = − − =

* ** * *

0 0* *

11 ( , ) 0

y zx

yy z

f x x x C x yx x

. (41)

Мінімум i максимум біомаси “ресурсів дляжертви” zmin, zmax визначаються з рівняння

= − =τ * *( ) 0

dzx y xy z

d, (42)

тобто як точки перетину K, M (див. рис. 1) пря-мої

= *

*

yy x

x(43)


− = − − =

* *

* * *0 0

* *

11 ( , ) 0

y zx

zy z

f x x x C x yx x

. (44)

Мінімум і максимум співвідношення біома-са“хижака”/біомаса “жертви” (y/x)min, (y/x)max ви-значаються з умов

=temp_

1temp_

yx

(45)

або з рівняння

−= =

−* *

* *

( )( )

y xz x zdy ydx x y z yz x

, (46)

звідки отримуємо геометричне місце однаковихтемпів і точок дотику

+ = +* *x y x y (47)

прямої

=y

px

(48)

до фазової траєкторії процесу (13). Тут p – за-дане співвідношення біомаса “хижака”/біомаса“жертви”. Звідси маємо координати точки доти-ку G (див. рис. 1)

+=

+* *

min 1x y

xp

, (49)

+=

+* *

minmin 1

x yy p

p(50)

та точки L (див. рис. 1)

+=

+* *

max 1x y

xp

, (51)

+=

+* *

maxmax 1x y

y pp

. (52)

Таким чином, задання величини p автома-тично задає початкові умови (та інтеграл руху)процесу в точці дотику:

при

= > =*max *

*

yp p p

x(53)

маємо обмеження максимального значення спів-відношення біомаса “хижака”/біомаса “жерт-ви”;

при

= < =*min *

*

yp p p

x(54)

отримуємо обмеження мінімального значенняспіввідношення біомаса “хижака”/біомаса “жерт-ви”. Тут p* – співвідношення, що забезпечуєнейтральну стійкість системи – будь-яке пору-шення цього співвідношення призводить до коли-вального руху.


Якщо початкові умови задані, то значенняpmin і pmax можна визначити як корені рівняння

+ + = − + +

* *** * * *

/ 0 0* ( , )1 1

x yz

y xx y x y

f p z C x yp p

. (55)

Отже, співвідношення біомаса “хижака”/біомаса “жертви” входить у математичну модельчерез початкові умови процесу. Якщо взаємодіяпопуляцій характеризується як “хижацтво”, то цеспіввідношення зазвичай менше одиниці, а як-що як “паразитизм”, то більше одиниці [3, 4].

У термінах мінімальних і максимальних зна-чень еволюція процесу є динамічним ланцюгомпричинно-наслідкових подій: мінімум біомаси“жертв” → максимум біомаси “ресурсів дляжертв” → мінімум біомаси “хижаків” → міні-мум співвідношення “хижак”/“жертва” → мак-симум біомаси “жертв” → мінімум біомаси “ре-сурсів для жертв” → максимум біомаси “хижа-ків” → максимум співвідношення “хижак”/“жерт-ва” → мінімум біомаси “жертв”…

Часові і динамічні характеристики

Граничні параметри системи і напрямок ру-ху, показані на рис. 1, природним чином поді-ляють процес еволюції кожної популяції на ста-дії розвитку, зростання, спаду та занепаду. Роз-глянемо їх на прикладі процесу еволюції попу-ляції “жертви” (рис. 3).

Для початку розвитку процесу взагалі не-обхідна рушійна сила: початковий капітал, ідея,винахід, освіта або просто запуск двигуна автомо-біля. Даний процес розвитку популяції “жертв”починається з максимального прискорення (щосвідчить про наявність рушійної сили), нульо-вих швидкості, ривка та темпу.

Стадія розвитку АR згідно з рис. 3 харак-теризується додатною швидкістю, додатним при-скоренням, від’ємним ривком та додатним тем-пом. Розвиток популяції “жертв” за часом збі-гається із зниженням рівня популяції “хижа-ків”, яка в цей час знаходиться на стадії зане-паду. До того ж, популяція “жертв” має на ційстадії обсяг ресурсів до існування значно біль-ший за стаціонарний рівень: z > z*. Тому можнасказати, що розвиток популяції “жертв” збіга-ється із сприятливим станом оточення. Про цесвідчать досягнення максимального темпу про-цесу та додатне прискорення як індикатор на-явності позитивних рушійних сил процесу наданій стадії еволюції. В той же час від’ємнийривок нагадує, що не буває безмежного розвит-

ку, і ця стадія врешті-решт переходить у стадіюзростання з максимальною швидкістю, міні-мальним ривком, нульовим прискоренням та до-датним темпом.

Рис. 3. Процес Х (а ) та його динамічні характеристики: б –швидкість; в – прискорення; г – ривок; д – темп

50453530201510 402550

г

д

Тем

п

504535302015105 4025

50454035302520105 150

в

Зростання

Розвиток Занепад

Спад

a50454035302520151050

A

R

BC

F

DA

б

50454035302520151050

A

R

C

F

A

Зведений поточний час

0

Риво

кП

риск

орен

ня

Шви

дкіс

тьП

роцес


Стадія зростання RС характеризується до-датною швидкістю, додатним темпом, від’єм-ними прискоренням та ривком. Це означає, щорушійна сила процесу перетворюється на галь-муючу, тобто оточення починає протидіяти зрос-танню еволюції “жертв”: збільшується популя-ція “хижаків”, зменшується обсяг ресурсів до іс-нування. Зростання закінчується, коли процесдосягає максимального рівня (точка С ). В цеймомент швидкість, ривок і темп – нульові,прискорення – мінімальне. Складається вражен-ня, що на стадії зростання процес рухається на-че за інерцією, яку він набрав під час свого ін-тенсивного розгону на попередній стадії роз-витку.

На стадії спаду CF швидкість, прискорен-ня і темп від’ємні, ривок – додатний. Рушійнасила, як і на попередній стадії зростання, вико-нує гальмуючу роль (зростає чисельність “хижа-ків”), але наприкінці стадії це гальмування при-пиняється; інерція системи, що її було набранопід час розгону на стадії розвитку, згасає, однакпочинається мобілізація сил системи, що проти-діють спаду. В кінці спаду швидкість мінімаль-на, ривок – максимальний, прискорення – ну-льове, а темп – від’ємний.

На стадії занепаду FA зниження чисельнос-ті “жертв” продовжується, швидкість і темп ли-шаються від’ємними, але прискорення і ривок –додатні. Це означає, що відбувається наростан-ня рушійної сили – мобілізація сил, яка поча-лася на стадії спаду, тобто спроба сил опору зу-пинити процес занепаду. Результатом цього спа-лаху сил опору є гальмування процесу занепадуі переведення його на новий виток еволюції(завдяки зростанню ресурсів для “жертви”).

Цікаво зауважити, що змістовна специфікахарактерних стадій еволюційного процесу і пев-ний порядок їх чергування в часі досить типовіне тільки для досліджуваного нами процесу, а йвзагалі, мабуть, для будь-якої “живої” системи,тобто для еволюції будь-якого “організму” – по-літичного, економічного, соціального, культурно-го тощо. Ці властивості “живих” систем зумов-лені їх головною ознакою: протидією (бороть-бою) внутрішнього позитивного зворотного зв’яз-ку і опору зовнішнього середовища.

Наведені суто математичні факти на зміс-товному рівні нашого прикладу означають, щоперший з них (позитивний зворотний зв’язок) якоснова феномену життя переважає на стадіях роз-виток–зростання, другий (опір зовнішнього се-редовища) як прояв конкуренції переважає настадіях спад–занепад.

Аналіз конкретної якісної специфіки ха-рактерних стадій процесу надає можливість ви-явити змістовний зв’язок, що існує між його ча-совими та динамічними характеристиками (таб-лиця).

Отже, основними часовими характеристи-ками і характерними моментами еволюції (“жит-тя”) процесу є: початок стадії розвитку (макси-мум прискорення); момент максимального роз-витку (максимум темпу); кінець розвитку – по-чаток зростання (максимум швидкості); кінецьзростання – початок спаду (максимальний рі-вень); кінець спаду – початок занепаду (макси-мум ривка); характерний час процесу (часовиймасштаб); частота відтворення ресурсів (вичерп-ність, відновлюваність); період індукції (співвід-ношення між гальмуванням і розгоном); періодколивань; момент паритету процесів (момент,коли y = x).

Таблиця. Зв’язок між динамічними та часовими характе-ристиками процесу

Динамічні характеристикиЧасові характе-

ристикиШвидкість Прискорення Ривок Темп

Початок роз-витку А

0 max 0 0

Стадія розвит-ку AR

> 0 > 0 < 0 > 0

Момент мак-симальногорозвитку

> 0 > 0 < 0 max

Кінець розвит-ку R

max 0 min > 0

Стадія зро-стання RC

> 0 < 0 < 0 > 0

Момент мак-симуму проце-су C

0 min 0 0

Стадія спадуCF

< 0 < 0 > 0 < 0

Кінець спаду F min 0 max < 0

Стадія занепа-ду FA

< 0 > 0 > 0 < 0

Момент мак-симальногозанепаду

< 0 > 0 > 0 min

Кінець занепа-ду А

0 max 0 0


Основними динамічними характеристика-ми процесу можна вважати: швидкість, приско-рення, ривок, темп, рушійні сили (градієнти аборізниці параметрів), здатність до опору (характе-ристичні числа), несучу здатність системи (функ-цію обмеження), умову конкуренції (константа за-гальної організації).

Аналогічно можна аналізувати інші два про-цеси даної системи. Визначення наведених та ін-ших характеристик можна вважати прикладомстворення системної інформації про процес. Під-вищення ж доданої вартості інформації (як то-вару) сприяє перетворенню системного аналізу напродуктивну силу суспільства.

Приклад

Міжнародна громадськість і відомі міжна-родні організації започаткували загальну стра-тегію сталого розвитку (sustainable development) якнову концепцію подолання глобальних проб-лем [5]. Деякі результати досліджень Інститутуприкладного системного аналізу НТУУ “КПІ”з цієї проблеми наведено на рис. 4. Очевидно, щоза абсолютними економічними, соціальними таекологічними вимірами Україна значно посту-пається першим десяти країнам світу. Але про-порції між цими складовими стратегії сталого роз-витку першої десятки та України, наведені нарис. 4 і 5, практично збігаються. І це надзвичай-но важливий суспільний фактор України. Тут

=+ +

ек.в

ек. в с.в е. в

Ix

І І І, (56)

=+ +

с.в

ек.в с.в е.в

Іy

І І І, (57)

=+ +

е.в

ек. в с.в е.в

Іz

І І І, (58)

де Іек.в, Іс.в, Іе.в – індекси економічного,соціального та екологічного вимірів.

В рамках наведеної моделі елементами струк-тури системи є зведені індекси економічного, со-ціального та екологічного вимірів x, y, z. Ке-рування можна здійснювати зміною пропорційміж їх стаціонарними рівнями (x*, y*, z*), що вУкраїні вже майже реалізовано, а також зміноюпочаткових умов, які обмежують темпи проце-сів згідно з (11), (13).

Загальний індекс сталого розвитку можнавизначати в такий спосіб:

α β γ=с. р ек. в с.в е.вІ І І І , (59)

α + β + γ = 1, (60)

де α, β, γ - вагові коефіцієнти, що забезпечу-

ють однакову вагу економічного, соціального таекологічного вимірів в індексі сталого розвитку.За даними Інституту прикладного системногоаналізу, α = 0,381, β = 0,327, γ = 0,292 [5].

Рис. 5. Індекси економічного, соціального і екологічноговимірів 10 кращих країн світу та України (зведе-ні значення); – 10 кращих країн (середнє); –Україна; – 10 кращих країн; –Україна;і – z = 0,328 (10 країн); – z = 0,353(Україна)

1,0

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10,0

0,2360,4100,353

0,2690,4030,328

х(Іек.в)

у(Іс.в)

zI(

е.в )0

=

x =y =z =

x =y =z =

1,0

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10,0

0,5420,8110,659

0,3190,5540,477

Іс.в

Іек.в

Рис. 4. Індекси економічного, соціального і екологічноговимірів 10 кращих країн світу та України (абсолют-ні значення); – 10 кращих країн (середнє); –Україна; – 10 кращих країн; – Україна

Іс.в =Іек.в =

Іe.в =

Іс.в =Іек.в =

Іe.в =


Стратегію сталого розвитку можна форма-лізувати у вигляді

αtemp_x + βtemp_y + γtemp_z = 0, (61)

що означає узгоджену зміну відповідних індек-сів. В такому разі рух системи відбувається за тра-єкторією

α β γ= = =+ +

с. рс. р

ек. в с.в е. в

constI

i x y zI І І

. (62)

Першим наближенням такої стратегії мо-жуть бути S-технології, основою яких є підви-щення несучої здатності системи (рис. 6). Од-ним із механізмів реалізації стратегії сталого роз-

витку є коливальний рух навколо заданого ста-ціонарного стану, параметри якого й відобра-жають бажану пропорційність. Така технологіязабезпечується ергодичністю процесів у даній сис-темі, тобто масштабом часу має бути період ко-ливань, характерний для кожної країни. Відомо,що періодичний рух знижує ентропію системи іє ознакою впорядкованості. Крім того, оскількиобласть коливань має бути обмеженою, а рух сис-теми повинен бути в напрямку зростання ін-дексу сталого розвитку, то в модель необхідновводити відповідні параметри керування.

Висновки

Врахування загальної біомаси системи спів-існування видів моделює умову внутрішньої кон-куренції за обмежені ресурси до існування. Об-меження співвідношення біомаса “хижака” (“па-разита”)/біомаса “жертви” поділяє область існу-вання популяцій на простір “хижацтво”, колице співвідношення менше одиниці, та простір“паразитизм”, коли співвідношення більше оди-ниці.

Перспектива розвитку моделі полягає у ви-діленні типів взаємодії (міжвидова конкуренція,“хижак”–“жертва”, “паразит”–“господар”, симбі-оз), а також в її застосуванні до системного ана-лізу суспільних процесів, зокрема, для створеннясистемної інформації типу “як співіснувати”.

Г.П. Повещенко

ДИНАМИЧЕСКИЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИ-СТИКИ ПРОЦЕССА СОСУЩЕСТВОВАНИЯ

В наше время существует насущная общециви-лизационная проблема создания системной ин-формации типа “как сосуществовать”. Приведен-ные динамические и временные характеристикирассматриваются как некоторая попытка созда-ния такой системной информации о процессе со-существования видов.

G.P. Poveshchenko

THE DYNAMIC AND TEMPORAL DESCRIPTIONSOF THE COEXISTENCE PROCESS

At present there is a global problem of coexistence,sparking a vital necessity to create system informati-on on “how to coexist”. The key assumption behindthis work is that dynamic and temporal descriptionsobtained can be an attempt to create the system in-formation of the kinds coexistence in the world.

1. Повещенко Г.П. Динаміка спілкування та регуляції //Системні дослідження та інформаційні технології. –2007.– 4. – С.125–139.

2. Марри Дж. Нелинейные диференциальные уравненияв биологии. – М.: Мир, 1983. – 398 с.

3. Ризниченко Г.Ю.,РубинА.Б.Биофизическая динамика про-

дукционных процессов. –М.: АНО “ИКС”, 2004.– 464 с.

4. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизи-ке и экологии. – М.: АНО “ИКС”, 2003. – 184 с.

5. Згуровський М.З. Сталий розвиток у глобальному і регі-ональному вимірах. – К.: Політехніка, НТУУ “КПІ”,

2006. – 84 с.


Надійшла до редакції7 жовтня 2008 року

Рис. 6. Процес сталого розвитку в режимі розвиток–зрос-тання

Поточний час

Еко

ном

іка,

еко

логі

я,со

ціу

м

Несучаздатність



51

МАТЕРІАЛОЗНАВСТВО ТА МАШИНОБУДУВАННЯ

УДК 661.74:669.14.046.554

А.А. Кулініч

МЕХАНІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СПЛАВУ ВАЛ11ПРИ РІЗНИХ РЕЖИМАХ ТЕМПЕРАТУРНО-ЧАСОВОЇ ОБРОБКИ

Вступ

Сплав ВАЛ11 належить до ливарних спла-вів системи Al–Mg–Zn [1–3]. Він характеризу-ється високою корозійною стійкістю, добримпоєднанням характеристик як міцності, так іпластичності [2]. Сплави даної системи мікро-легуються комплексом добавок, що може змі-нювати оптимальні технологічні параметри їхобробки. Зокрема, структура і рівень механіч-них властивостей ливарних сплавів системи Al–Mg–Zn істотно залежить від температурно-часо-вих параметрів обробки в рідкому стані, попе-редньої обробки шихтових матеріалів та швидкос-ті охолодження при кристалізації [2, 3].


Мета статті – дослідження впливу темпе-ратурно-часових параметрів обробки в рідкомустані, впливу кількості переплавів і швидкостіохолодження при кристалізації на структуру (роз-мір зерна) та механічних властивостей ливарно-го сплаву ВАЛ11.

Методика досліджень

Об’єкт дослідження – ливарний сплавВАЛ11, який має такий хімічний склад, %: Mg == 6–7, Zn = 2–2,5, Zr = 0,1–0,35, Ti = 0,1–0,3,Mn = 0,1–0,2, Cr = 0,005–0,15, Be = 0,07–0,15.Середній хімічний склад сплаву ВАЛ11 бравсяяк Mg = 6,2%, Zn =2,3%, Zr = 0,15%, Ti == 0,15%, Mn = 0,15%, Cr = 0,1%, Be = 0,1%.

Відомо, що добавки цирконію, титану, мар-ганцю і хрому істотно підвищують рівень меха-нічних і технологічних властивостей досліджу-ваного сплаву [1–3]. Добавки берилію вводилисьз метою протидії окисненню сплаву ВАЛ11 прийого виробництві та для модифікування небажа-них залізомістких фаз [2, 4, 5]. Сплави для до-сліджень виготовлялись сплавленням таких ших-тових матеріалів, як алюміній марки А99, маг-ній марки Мg90, цинк марки ЦО, лігатур Al–Be,Al–Ti, Al–Zr, Al–Cr, Al–Mn. Проводились плав-ки в лабораторній печі опору в графітошамот-ному тиглі.

Після різної температурно-часової обробкив рідкому стані розплав охолоджувався з швид-кістю охолодження від 30 до 270°С/хв. Отрима-ні стандартні зразки діаметром 10мм піддава-лись термічній обробці (відпалу, гартуванню іштучному старінню) за стандартним режимом,після чого визначались їх механічні властивості(міцність на розрив, межа текучості та відноснеподовження). Вимірювався також розмір зернадосліджуваного сплаву в литому стані при різ-них технологічних режимах обробки. Випробу-вання механічних властивостей проводились нарозривній машині TIRA-TEST за стандартнимиметодиками.Середньоквадратичні відхилення зна-чень механічних властивостей становили σв –±20,0МПа; σ0,2 – ±10,0МПа; δ – ±15,0%. Хі-мічний аналіз зразків досліджуваних сплавів про-водився при використанні методу оптичної спект-роскопії випарним розрядом.

Якісний і кількісний металографічний ана-ліз виконано на мікроскопі NEOFOT-31.

Експериментальна частина

Вплив температури витримки розплаву (припостійному часі витримки 0,5год) на рівень ме-ханічних властивостей сплаву ВАЛ11 показанов табл. 1, з якої видно, що максимальний рі-вень механічних властивостей досліджуваногосплаву відповідає температурному інтервалу (700–720) °С, а мінімальний рівень – температурнимінтервалам недогріву розплаву (680–700)°С абойого перегріву (740–760) °С. Було встановленооптимальні температурно-часові параметри оброб-ки розплаву сплаву ВАЛ11: температурний інтер-вал – (700–720) °С та часовий – (0,3–0,7) год.

Таблиця 1. Вплив температури витримки розплавуна механічні властивості сплаву ВАЛ11

Твитр, °С σв, МПа σ0,2, МПа δ, %

680 326 226 4

700 345 270 6

720 360 285 7

740 337 248 5

760 304 214 3

Примітка. Час витримки розплаву τвитр – 0,5 год, швид-

кість охолодження розплаву – 150 °С/хв.Температура витримки розплаву збігаєтьсяз температурою його розливки.


Пояснити отримані експериментальні даніможна таким чином.

1. При невеликому перегріві розплаву ви-ще температури плавлення зберігаються акти-вовані підкладинки, які можуть бути центрамикристалізації при охолодженні розплаву. Якщотемпература перегріву збільшується, то кількістьактивованих підкладинок зменшується.

2. Значне підвищення температури і часувитримки розплаву викликає зростання швидкостіокиснення сплавів системи Al–Mg–Zn, за знач-ного перегріву розплаву вище температури плав-лення спостерігається значний угар магнію тацинку і відповідно – істотне зниження рівня ме-ханічних властивостей.

Було досліджено вплив кількості перепла-вів на структуру і механічні властивості сплавуВАЛ11. На рис. 1 і 2 показано залежність меха-нічних властивостей досліджуваного сплаву відкількості переплавів. З наведених експеримен-тальних даних можна зробити висновок, що припершому переплаві зростає як міцність, так і від-носне подовження сплаву ВАЛ11. Під час дру-гого і третього переплаву механічні властивостідосліджуваного сплаву зменшуються.

Було встановлено, що при другому і тре-тьому переплаві сильно вигоряють магній і цинк,що підтверджується результатами хімічного спект-ральногота мікрозондовогоаналізів зразків (табл.2).Це, в свою чергу, призводить до зменшення кіль-кості зміцнювальної інтерметалідної Т-фази(Al2Mg3Zn3), яка відповідає за підвищення ха-рактеристик міцності сплаву під час штучногостаріння. Підвищення кількості переплавів спри-яє також додатковому окисненню сплавів.

Підвищення рівня механічних властивос-тей сплаву ВАЛ11 після першого переплаву мож-на пояснити таким чином.

1. Відбувається більш рівномірний перероз-поділ головних легуючих компонентів (магнію іцинку) в алюмінієвому розчині. Це підтверджу-ється даними металографічного аналізу. Наявнідо першого переплаву в структурі сплаву ВАЛ11світлі зерна (рис. 3, а) свідчать про низькийвміст у них магнію та цинку. Цей факт підтверд-жується і даними рентгеноспектрального аналі-зу. На рентгенівському мікроаналізаторі JXA-8900RL було встановлено хімічний склад алюмінієво-го твердого розчину досліджуваних сплавів. Ви-мірювання проводилось на поверхні зразків у250 точках. Відстань між двома точками рентге-нівського променя становила 40мкм. Встанов-лено, що в окремих світлих зернах алюмінієво-го твердого розчину вміст магнію знижувався до4,37%, а вміст цинку – до 1,95% (див. рис. 3, а).

2. За рахунок першого переплаву усуваєтьсяспадковий зв’язок між структурою вихідної ших-ти і структурою сплаву ВАЛ11 після кристалі-зації. На рис. 3, б наведено структуру досліджу-ваного сплаву після першого переплаву. З дано-го рисунка видно, що структура сплаву ВАЛ11після першого переплаву характеризується більшдрібним зерном алюмінієвого твердого розчинупорівняно з вихідною структурою. Це зумовлюєзростання рівня механічних властивостей спла-ву після першого переплаву.

Таблиця 2. Вплив кількості переплавів на вміст магніюі цинку у сплаві ВАЛ11

Кількість пере-плавів

Масовий вмістмагнію, %

Масовий вмістцинку, %

0 6,43 2,32

1 6,39 2,31

2 6,12 2,11

3 5,96 1,94

Примітка. Температура лиття – 710 °С, час витримкирозплаву при даній температурі – 0,4 год.

Рис. 1. Вплив кількості переплавів на міцність сплаву ВАЛ11

0Кількість переплавів

Міц

ніс

ть σ

в,М

Па

380

370

360

350

3401 2 3

Рис. 2. Вплив кількості переплавів на відносне подовженнясплаву ВАЛ11

Від

нос

не

под

овж

ення

δ,%

0Кількість переплавів

1 2 3

9

4

5

6

7

8

МАТЕРІАЛОЗНАВСТВО ТА МАШИНОБУДУВАННЯ 53

Вплив швидкості охолодження при криста-лізації на структуру і механічні властивості до-сліджуваного сплаву показано в табл. 3. З цихданих видно, що при збільшенні швидкостіохолодження зменшується розмір зерна спла-ву ВАЛ11 та істотно підвищується рівень йогомеханічних властивостей.

Висновки

1. З проведених досліджень випливає, що до-датковим резервом для керування структурою ірівнем механічних властивостей сплаву ВАЛ11є застосування оптимальних температурно-часо-вих параметрів обробки в рідкому стані, пере-плаву шихтових матеріалів та швидкості охо-лодження при кристалізації.

2. При одночасному застосуванні оптималь-них параметрів обробки в рідкому стані і збіль-шенні швидкості охолодження при кристаліза-ції можна підвищити рівень характеристик міц-ності сплаву ВАЛ11 до 20%, а пластичність – утри рази.

3. Перспективність подальших дослідженьу даному напрямку полягає в можливості встанов-лення оптимальних технологічних параметрів об-робки ливарних сплавів системи Al–Mg–Zn з різ-ним хімічним складом, що є додатковим резер-вом підвищення рівня їх механічних властивос-тей.

А.А. Кулинич

МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СПЛАВА ВАЛ11ПРИ РАЗНЫХ РЕЖИМАХ ТЕМПЕРАТУРНО-ВРЕ-МЕННОЙ ОБРАБОТКИ

Исследовано влияние температурно-временныхпараметров обработки расплава и скорости охлаж-

А.A. Kylinich

THE MECHANICAL PROPERTIES OF ALLOY VAL-11 AT VARIOUS TREATMENT MODES

The paper reports on the influence of temperature-time treatment parameters of fusion and coolingrate at crystallization on a structure and level of the

Таблиця 3. Вплив швидкості охолодження при криста-лізації на розмір зерна і механічні власти-вості сплаву ВАЛ11

Vох, °С/хв d, мкм σв, МПа σ0,2, МПа δ, %

30 50 305 253 3

90 45 332 262 5,5

150 40 360 285 7

210 38 369 292 7,5

270 35 378 298 9

Примітка. Твитр = 720 °С; τвитр = 0,5 год.

Рис. 3. Вплив переплаву на структуру сплаву ВАЛ11: а – сплав до переплаву; б – сплав після першого переплаву; а, б –×100

а б


дения при кристаллизации на структуру и уровеньмеханических свойств сплава ВАЛ11. Установле-ны оптимальные технологические параметры об-работки исследуемого сплава, которые позволяютповысить уровень его характеристик прочностина 20%, а пластичность – в три раза.

mechanical properties of the alloy VAL-11. The ex-perimental results obtained demonstrate the opti-mum technological treatment parameters of the al-loy under study, which allow increasing the level ofits durability characteristics by 20% and plasticity bythree times.

1. Мондольфо Л.Ф. Структура и свойства алюминиевыхсплавов. – М.: Металлургия, 1979. – 640 с.

2. Постников Н.С. Упрочнение алюминиевых сплавов иотливок. – М.: Металлургия, 1963. – 120 с.

3. Альтман М.Б., Амбарцумян С.М. Промышленные де-

формируемые, спеченные и литейные алюминиевыесплавы. – М.: Металлургия, 1972. – 552 с.

4. Гаврилюк В.П., Рябініна О.О., Кулініч А.А., Доній О.М.

Вплив берилію на фазово-структурний склад і меха-

нічні властивості сплаву Al–6%Mg–2%Zn з підвище-

ним вмістом заліза // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. –2006. – 3. – С. 45–48.

5. Кулініч А.А., Гаврилюк В.П., Рябініна О.О., Доній О.М.

Фазово-структурний склад і механічні властивостісплаву Al–6%Mg–2%Zn–0,5%Fe–0,5%Si з добавками

берилію після різних режимів відпалу // Там же. –2007. – 3. – С. 101–104.

Рекомендована Радою інженерно-фі-зичного факультету НТУУ “КПІ”



УДК 531+534

В.П. Легеза

УЗАГАЛЬНЕННЯ ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ ПРОБРАХІСТОХРОНУ У ВИПАДКУ КОЧЕННЯОДНОРІДНОГО ЦИЛІНДРА

Вступ

Для значної кількості віброзахисних при-строїв (гасників, амортизаторів, демпферів тощо)головним критерієм ефективності їх функціону-вання є мінімум переміщень деяких точок несу-чого тіла або мінімум зусиль (моментів) у найбільшнебезпечних перерізах, які виникають у процесійого вимушених коливань [1–5]. Проте існує рядвіброзахисних пристроїв, для яких таким го-ловним критерієм є мінімум часу, протягом яко-го вдається знизити рівень амплітуд вимушенихколивань несучих конструкцій до унормовано-го [6–9].

У даній статті цей критерій використову-ється для віброзахисних пристроїв коткового ти-пу [10–13]. Тому виникла проблема визначен-ня форми напрямної кривої циліндричної по-верхні, по якій важкий циліндр здійснює най-швидший спуск. При цьому в статті припуска-ється, що рух циліндра вздовж напрямної кри-вої являє собою кочення без ковзання, а самциліндр вважається однорідним.


Розглядається нова варіаційна задача прокочення важкого однорідного циліндра по ци-ліндричній виїмці, напрямна крива якої забез-печує його найшвидше перекочування без про-ковзування. Наші дослідження є узагальненнямдосліджень І. Бернуллі про брахістохрону, за до-помогою яких було знайдено рівняння кривої,що забезпечує найшвидший спуск по ній матері-альної точки. Як відомо, ця крива являє собоюциклоїду [14, 15].

Мета статті – методами варіаційного чис-лення визначити диференціальне і алгебричнірівняння напрямної лінії найшвидшого спускуважкого однорідного циліндра, що котиться поній без ковзання.

Побудова цільового функціонала

Нехай однорідний циліндр з масою m і ра-діусом r перекочується без ковзання по деякійциліндричній виїмці з напрямною кривою AKL(рис. 1), яка лежить у вертикальній площині, тапочинає свій рух з точки A без початкової швид-кості. На рис. 1 позначено: крива AKL – траєк-торія точки дотику важкого циліндра при йогонайшвидшому перекочуванні по ній без проков-зування; дуга MN – траєкторія центра мас ци-ліндра; гравітація діє вертикально вниз.

Знайдемо час, який витрачається при пе-реміщенні циліндра з точки A в точку K. Ви-беремо початок координат у точці O, вісь OZнаправимо вертикально вниз, вісь OX – гори-зонтально вправо (точка A лежить на осі OZ ).

Запишемо вираз для вектора одиничної внут-рішньої нормалі, проведеної до шуканої кривої вдовільній її точці K. Він має такий вигляд:

= α β =(cos ; 0; cos )Kn

′= − ′ ′+ +

T

2 2

1; 0;

1 ( ) 1 ( )

z

z z, (1)

де z = z(x) – рівняння шуканої кривої AKL; ′ =z

=dzdx

; α – кут між вектором Kn та додатним на-

прямком осі ОХ; β – кут між вектором Kn тадодатним напрямком осі OZ.

Тоді вираз для потенціальної енергії цилінд-ра матиме такий вигляд:

Π = − + β + =0( cos )mg z r C

Загальний вигляд напрямної кривої

∠α

nK

K

O

N

X

Z L

A O1

nL

∠βM


= − − + ′+

021 ( )

rmg z C

z, (2)

де r = KM = LN – радіус циліндра.Запишемо вираз для інтеграла енергії в цій

задачі ϕ

+ = − − ′+

&2 2

022 2 1 ( )

mv J rmg z C

z, (3)

де =2

2mr

J – момент інерції однорідного цилінд-

ра відносно його центра мас; = ϕ&v r – швид-кість центра мас циліндра, записана через йогокутову швидкість ϕ& при відсутності ковзання.

Оскільки відповідно до прийнятих початко-вих умов руху при = =& &0 0(0) , (0)z z z z швидкістьцентра мас циліндра буде нульовою (v = 0), а

стала становитиме

= − ′+ 0 0 2

01 ( )

rC mg z

z, то

дістанемо

ϕ= − + ′+

& 2

2

3 ( )4 1 ( )

m r rmg z C

z,

де

= −′+

0201 ( )

rC z

z. (4)

Для диференціала дуги ds кривої KL ма-ємо

′= + = +2 2 2( ) ( ) 1 ( )ds dx dz z dx . (5)

Використовуючи співвідношення (5) дляds, знаходимо вираз для диференціала дуги MN.Спочатку запишемо вираз для радіуса кривиниρ = KO1 у точці K кривої:

′+ρ =

′′

2 3/2[1 ( ) ]zz

. (6)

Вважаючи дуги MN і KL малими (KO1 == LO1 = ρ), для трикутників O1MN і O1KL запи-суємо співвідношення їх подібності:

= ⇒1 1

MN KLMO KO

⋅ ρ −= = =

ρ ρ1 ( )KL MO ds r

MN

′ ′′+ −=

′+

2 3/2

2

[1 ( ) ]

1 ( )

z r zdx

z. (7)

Позначимо ° =ds MN . Оскільки ° =ds vdt ,то з цього рівняння можна знайти диференціал

часу dt ϕ = & v

r. Вважаємо, що знак у другої

похідної z ′′ від’ємний, тобто шукана криваопукла на досліджуваному інтервалі (нагада-ємо, що вісь OZ спрямована вертикальновниз). Запишемо вираз для диференціала часуdt:

° °= = =

ϕ&ds ds

dtv r

′ ′′+ +=

′+ − + ′+

2 3

2

2

(1 ( ) )

4[1 ( ) ]

3 1 ( )

z rzdx

g rz z C

z

. (8)

Вираз для проміжку часу, протягом якогоциліндр перекотиться по кривій з точки A в точкуK, дістанемо інтегруванням співвідношення (8):

′ ′′+ +=

′+ − + ′+

∫2 3

0 2

2

[1 ( ) ]

4[1 ( ) ]

3 1 ( )

KXz rz

T dxg r

z z Cz

. (9)

Отже, вираз (9) для часу T є функціоналомтакого загального вигляду:

′ ′′= ∫0

[ ( )] ( , , )X

T z x F z z z dx . (10)

Особливістю і відмінністю цієї задачі від за-дачі І. Бернуллі є те, що знайдена підінтеграль-на функція у формулі (9) містить як другу по-хідну ′′z шуканої кривої, так і радіус r циліндра,який перекочується по ній.

Відомо [16], що умови стаціонарності дляфункціоналів вигляду (10) приводять до такогодиференціального рівняння екстремалей (рівнян-ня Ейлера–Пуассона):

∂ ∂ ∂ − + = ′ ′′∂ ∂ ∂

2

20

F d F d Fz dx z zdx

. (11)

Це рівняння є узагальненням рівняння Ейле-ра–Лагранжа на випадок ′ ′′= ( , , , )F F x z z z . По-

кажемо, що у випадку ′ ′′= ( , , )F F z z z для рівнян-

ня (11) можна дістати перший інтеграл.

Редукція рівняння Ейлера–Пуассона для ви-падку ′ ′′= ( , , )F F z z z

Розглянемо варіаційну задачу, для якоїпідінтегральна функція (9) не залежить від x :


′ ′′= ( , , )F F z z z . Доведемо, що для такого випад-

ку рівняння (11) дає змогу знайти перший інтег-рал. Домножимо рівняння (11) на ′z :

∂ ∂ ∂ ′ ′ ′− + = ′ ′′∂ ∂ ∂

2

20

F d F d Fz z z

z dx z zdx. (12)

Перетворимо другий доданок у виразі (12)в такий спосіб:

∂ ∂ ∂ ′ ′ ′′= + ⇒ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ d F d F F

z z zdx z dx z z

∂ ∂ ∂ ′ ′ ′′⇒ = − ′ ′ ′∂ ∂ ∂ d F d F F

z z zdx z dx z z

. (13)

Виконаємо аналогічні перетворення над тре-тім доданком у виразі (12):

∂ ∂ ∂ ′ ′ ′′= + = ′′ ′′ ′′∂ ∂ ∂

2

2

d F d d F Fz z z

z dx dx z zdx

∂ ∂ ∂ ′ ′′ ′′′= + + ′′ ′′ ′′∂ ∂ ∂

2

22

d F d F Fz z z

z dx z zdx. (14)

Запишемо подвоєний доданок у (14) в ін-шому вигляді:

∂ ∂ ∂ ′′ ′′ ′′′= + ⇒ ′′ ′′ ′′∂ ∂ ∂ 2 2 2

d F d F Fz z z

dx z dx z z

∂ ∂ ∂ ′′ ′′ ′′′⇒ = − ′′ ′′ ′′∂ ∂ ∂ 2 2 2

d F d F Fz z z

dx z dx z z. (15)

Із співвідношень (14) і (15) знайдемо вираздля третього доданку в рівнянні (12):

∂ ∂ ′ ′= + ′′ ′′∂ ∂

2 2

2 2

d F d Fz z

z zdx dx

∂ ∂ ′′′ ′′+ − ′′ ′′∂ ∂ 2

F d Fz z

z dx z. (16)

Підставимо вирази (13) і (16) у рівняння (12).В результаті дістанемо

∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′′ ′ ′+ − + + ′ ′ ′′∂ ∂ ∂ ∂

2

2

F F d F d Fz z z z

z z dx z zdx

∂ ∂ ′′′ ′′+ − = ′′ ′′∂ ∂ 2 0

F d Fz z

z dx z. (17)

Крім того, якщо ′ ′′= ( , , )F F z z z , то маємо

∂ ∂ ∂′ ′′ ′′′= + +′ ′′∂ ∂ ∂

dF F F Fz z z

dx z z z. (18)

Перепишемо рівняння (17) із врахуваннямспіввідношення (18):

∂ ∂ ∂ ′ ′′ ′− − + = ′ ′′ ′′∂ ∂ ∂

2

22 0

dF d F d F d Fz z z

dx dx z dx z zdx,

або∂ ∂ ∂ ′ ′′ ′− − + = ′ ′′ ′′∂ ∂ ∂

2 0d F F d F

F z z zdx z z dx z

. (19)

Проінтегруємо вираз (19):

∂ ∂ ∂ ′ ′′ ′− − + = ′ ′′ ′′∂ ∂ ∂ 2

F F d FF z z z C

z z dx z, (20)

де C – довільна стала.Спростимо рівняння (20) і запишемо оста-

точний вираз для першого інтеграла рівнянняЕйлера–Пуассона (11):

∂ ∂ ∂ ′ ′′ ′− − + = ′ ′′ ′′∂ ∂ ∂ F F d F

F z z z Cz z dx z

. (21)

Визначення диференціального рівняннянапрямної кривої

Запишемо підінтегральну функцію =F′ ′′= ( , , )F z z z для функціонала (9):

′ ′′+ +′ ′′ =′+ − +

′+

2 3/2

2

2

3 [1 ( ) ]( , , )

4[1 ( ) ]

1 ( )

z rzF z z z

g rz z C

z

. (22)

Підставимо функцію (22) у рівняння (21).Спочатку визначимо вираз для частинної по-

хідної ∂

′∂Fz

:

′ + + −

′∂ + = −′∂ ′+ − +

′+

2 3/2

2

3/2

2 2

2

3[1 ( ) ]

23 1 ( )4

[1 ( ) ]1 ( )

rz z C

F zz g r

z z Cz

′′ + + −

′+ ′−

′+ − + ′+

2

3/2

2 2

2

3[1 2( )

2 1 ( )

[1 ( ) ]1 ( )

rr z z C

zz

rz z C

z

. (23)

Тепер дістанемо вираз для ∂

′′∂Fz

:


∂=

′′∂′+ − +

′+2

2

34

[1 ( ) ]1 ( )

F rz g r

z z Cz

. (24)

Після цього продиференціюємо вираз (24)по x. В результаті знайдемо

∂ ′= − × ′′∂ 34

d Fr z

dx z g

′′ + − ′+ × +

′+ − + ′+

2

32

2 2

2

21 ( )

[1 ( ) ]1 ( )

rz z C

z

rz z C

z

′′ ′+ + ′+ +

′+ − + ′+

22 3/2

3

22 2

2

1[1 ( ) ] 1

2 [1 ( ) ]

[1 ( ) ]1 ( )

rzz

z

rz z C

z

. (25)

Підставимо вирази (22)–(25) у рівняння (21)і після деяких громіздких перетворень дістанемодиференціальне рівняння шуканої кривої z(x):

′+ + −2( )[1 ( ) ]z C z

′− + =211 ( )r z C , ′ ′= =0 0(0) , (0)z z z z , (26)

де −

=

2

143g

C C ; g – прискорення вільного па-

діння; r – радіус циліндра.Важливим, цікавим і очікуваним фактом у

рівнянні (26) є те, що в окремому випадку приr = 0 (тобто якщо розглядається рух матеріаль-ної точки) воно перетворюється на відоме рівнян-ня циклоїди, а саме ′+ + =2

1( )[1 ( ) ]z C z C [14, 15].

Інтегрування диференціального рівняннянапрямної кривої

Інтегрування рівняння (26) проводитиме-мо з використанням параметризації кривої z == z(x). Параметризацію введемо в такий спосіб:

′ = ϕ ⇒ = ϕtg ctgz dx dz , (27)

= ϕ + ϕ − ⇒21cos cosz C r C

⇒ = − ϕ ϕ + ϕ ϕ1(2 cos sin sin )dz C r d . (28)

Підставимо праву частину співвідношення(28) у вираз (27):

= − ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ⇒1(2 cos sin sin )ctgdx C r d

⇒ = − ϕ + ϕ ϕ21(2 cos cos )dx C r d . (29)

Після інтегрування співвідношення (29) діста-немо вираз для x як функцію параметра ϕ:

ϕ = − ϕ + ϕ − ϕ + 1 2

1( ) sin2 sin

2x C r C , (30)

ϕ = ϕ + ϕ −21( ) cos cosz C r C . (31)

Система параметричних рівнянь (30), (31) івизначає шукану напрямну криву зазначеної ви-ще циліндричної поверхні.

Для прикладу визначимо систему парамет-ричних рівнянь кривої для такого окремого варі-

анта крайових умов: π

ϕ =0 2;

π =

02

x ; π =

0

2z ;

π ′ → ∞ 2

z . Знайдемо константу C2 із співвідно-

шення

π π π = ⇒ − − + = ⇒ = + 1 2 2 10 02 2 2

x C r C C r C . (32)

Підставимо праву частину виразу (32) дляC2 у (30). В результаті дістанемо таку систему па-раметричних рівнянь:

π ϕ = − ϕ + − ϕ − ϕ 1

1( ) (1 sin ) sin2

2 2x r C , (33)

ϕ = ϕ + ϕ21( ) cos cosz C r . (34)

Висновки

Отримані результати у вигляді диференці-ального рівняння (26) і алгебричних параметрич-них рівнянь кривої (30), (31) є новим узагальнен-ням класичних досліджень І. Бернуллі в рамках ва-ріаційної задачі про брахістохрону.

Узагальнення полягає в тому, що в новійваріаційній задачі розглядається найшвидше ко-чення важкого однорідного циліндра (а не рух ма-теріальної точки) без ковзання по циліндричнійвиїмці з шуканою напрямною кривою z(x). Ди-ференціальне рівняння (26) дає можливість здійс-нити його квадратуру і дістати алгебричне рів-няння шуканої напрямної кривої в парамет-ричному вигляді (30), (31).

В окремому випадку, якщо радіус r ци-ліндра дорівнює нулю (r = 0), то знайдене рів-няння (26) перетворюється на відоме рівнянняциклоїди.


У наступних дослідженнях форма кривої,визначена в даній статті, буде використана длярозробки нових віброзахисних пристроїв, для якихголовним критерієм ефективності їх функціону-вання є мінімум часу, протягом якого вдаєтьсязни знизити рівень амплітуд вимушених коли-вань несучих конструкцій до унормованого.

Результати даного дослідження становлятьяк теоретичний, так і практичний інтерес длянауковців – у галузі теоретичної механіки, ди-наміки та міцності машин і механізмів, опоруматеріалів, а також для інженерів-розробниківкоткових гасників і амортизаторів.

В.П. Легеза

ОБОБЩЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ О БРА-ХИСТОХРОНЕ В СЛУЧАЕ КАЧЕНИЯ ОДНОРОД-НОГО ЦИЛИНДРА

Движение тяжелого однородного цилиндра рас-сматривается как качение вдоль искомой кривойбез скольжения. Получен функционал в виде сум-марного времени качения цилиндра и решена со-ответствующая вариационная задача по миними-зации этого функционала. В параметрическом ви-де определено алгебраическое уравнение направ-ляющей линии наибыстрейшего спуска цилиндра.

V.P. Legeza

THE GENERALIZATION OF VARIATION PROB-LEM ON BRAHISTOCHRONE IN THE CASE OFROLLING HOMOGENEOUS CYLINDER

The paper under scrutiny considers the motion of aheavy homogeneous cylinder as a rolling along a re-quired curve without sliding. Through experimentsconducted, the functional was obtained as a totaltime of the cylinder motion. Furthermore, the varia-tion problem of this functional minimization was sol-ved. Finally, the algebraic equation of a directive li-ne of the fastest descent of the cylinder was defi-ned in the parametrical form.

1. Fisher O. Same experience with the use of vibration ab-sorbers on aerial masts // ACTA Technica CSAV. –1974. – Roc. 19, N 2. – S. 32–38.

2. Simure E., Scanlan R. Wind Effects on Structures. An In-troduction to Wind Engineering. – New York, 1978. –

348 p.

3. Фролов К.В., Фурман А.Ф. Прикладная теория вибро-защитных систем. – М.: Машиностроение, 1980. –

320 с.

4. Snowdon J.C. Vibration and shock in damped mechanicalsystems. – New York: John Willey and Sons, 1968. –

324 p.

5. Hashish M.G., Abu-Sitta S.H. Free Vibrations of Hyper-bolic Cooling Towers // J. Eng. Mech. Div. ASCE. –1971. – April. – P. 32–38.

6. Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear Oscillations, Dy-namical System and Bifurcations of Vector Fields. – New

York: Springer, 1993. – 460 p.

7. Balandin D.V., Bolotnik N.N., Pilkey W.D. Optimal Pro-tection from Impact, Shock and Vibration. – Amsterdam:

Gordon and Breach, 2001. – 436 p.

8. Постнов В.А., Калинин В.О., Ростовцев Д.М. Вибра-ции корабля. – Л.: Судостроение, 1983. – 248 с.

9. Шмырев А.Н., Мореншильдт В.А., Ильина С.Г. Успоко-ители качки судов. – Л.: Судпромгиз, 1961. – 516 с.

10. Legeza V.P. Rolling of a heavy ball in a spherical recess ofa translationally moving body // Int. Appl. Mechanics. –2002. – 38, N 6. – P. 758–764.

11. Легеза В.П. Динамика виброзащитных систем с роли-

ковым гасителем низкочастотных колебаний // Пробл.прочности. – 2004. – 2. – С. 106–118.

12. Borisov A.V., Mamaev J.S., Kilin A.A. Rolling of a Ball

on a Surface. New Integrals and Hierarchy of Dynamics //Reg. and Chaot. Dyn. – 2001. – 7, N 2. – P. 201–220.

13. Легеза В.П. Исследование динамического поведения

нового гасителя вынужденных колебаний высотных со-оружений // Изв. РАН. Механика твердого тела. –2003. – 5. – С. 31–38.

14. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механи-ки. Ч. І. – М.: Наука, 1969. – 468 с.

15. Фарлоу С. Уравнения с частными производными. –М.: Мир, 1985. – 384 с.

16. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вари-ационное исчисление. – М.: Наука, 1965. – 424 с.

Рекомендована Радою Механіко-маши-нобудівного інституту НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції11 вересня 2008 року


УДК [678.027+678.029]002.8.001.53

П.М. Магазій, І.О. Мікульонок,Л.І. Ружинська

МОДЕЛЬНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСІВ ПЕ-РЕРОБКИ ТЕРМОПЛАСТИЧНИХ МАТЕРІ-АЛІВ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ВТОРИННОЇ СИ-РОВИНИ

Вступ

Рада Євросоюзу затвердила директиву, щозмінює основи управління відходами і заохочуєдо їх повторного використання та утилізації і пе-редбачає п’ятиступеневу ієрархію варіантів управ-ління ними: попередження виникнення відхо-дів; повторне використання; фізичну переробку;енергетичну та хімічну переробку; безпечне розмі-щення або захоронення їх [1]. Незважаючи наочевидну необхідність реалізації перших трьохваріантів, значну частку відходів ще піддаютьзахороненню. Тільки в Україні щороку нако-пичується 35млн м3 лише твердих побутових від-ходів, які захороняють на 770 полігонах загаль-ною площею майже 3000га і частково спалюютьна сміттєспалювальних заводах [2].

Одним із важкоутилізовуваних видів від-ходів є полімерні. У зв’язку з постійним зростан-ням масштабів виробництва та асортименту по-лімерів і матеріалів на їх основі, а також необ-хідністю утилізації полімерних відходів набува-ють поширення нові термопластичні матеріали(ТпМ), в тому числі й термопластичні компози-ційні матеріали (ТпКМ). При цьому майже кож-ний полімер або композиція потребує певної кон-струкції робочих органів обладнання і режимівпереробки, при яких досягається раціональне ви-користання енергетичних і матеріальних ресур-сів, а також необхідна якість продукції [3].

На кафедрі машин та апаратів хімічних інафтопереробних виробництв НТУУ “КПІ” бу-ло здійснено теоретичні дослідження основно-го полімерпереробного обладнання для перероб-ки ТпКМ [4–8], зокрема комплексної перероб-ки вторинних полімерів у листові матеріали.


Мета модельних досліджень – експери-ментальна перевірка адекватності розробленихматематичних моделей процесів переробки тер-мопластичних композиційних матеріалів із за-

стосуванням вторинної сировини реальним про-цесам одержання, формування і термообробкиназваних матеріалів.

Модельні дослідження процесів виробницт-ва листових ТпКМ із застосуванням вторинноїсировини було здійснено на базі екструзійного івалкового обладнання кафедри МАХНВ і ВАТ«НВП “Більшовик”».

Опис модельної технологічної лінії іїї основного обладнання

Модельна технологічна лінія призначенадля дослідження процесу одержання листовихматеріалів із застосуванням поліолефінів і різ-них наповнювачів, насамперед целюлозовміс-них (деревної стружки, борошна, подрібненої ма-кулатури тощо).

Виготовлення листового матеріалу на лініїзалежно від методу одержання листової заготовкиможе бути реалізовано в такі способи (рис. 1):

• змішуванням наповнювача і одержувано-го в дисковому екструдері розплаву полімеру, атакож подальшим формуванням ТпКМ за до-помогою одночерв’ячного екструдера та екстру-зійної головки;

• змішуванням наповнювача і одержувано-го в дисковому екструдері розплаву полімеру, атакож подальшим формуванням ТпКМ за допо-могою змішувальних вальців;

• змішуванням наповнювача і полімеру, а та-кож подальшим формуванням ТпКМ за допомо-гою змішувальних вальців.

За умови реалізації першого чи другого ме-тодів одержання листової заготовки гранули абоотримані після подрібнення вторинної полімер-ної сировини частинки полімеру дозуються в дис-ковий екструдер. Далі одержаний розплав за до-помогою розплавопроводу подається до одночер-в’ячного екструдера після ділянки дозування внього наповнювача (перший метод) або в між-валковий проміжок змішувальних вальців (дру-гий метод). У першому випадку розплав поліме-ру під тиском надходить в об’єм наповнювача,омиваючи його частинки, і ефективно розподі-ляється в міжвитковому просторі одночерв’ячно-го екструдера, що сприяє одержанню високого-могенізованого ТпКМ, який у в’язкоплинномустані за допомогою екструзійної головки форму-ється в листову заготовку. У другому випадку роз-плав полімеру потрапляє в міжвалковий промі-жок вальців, куди також дозується і наповню-вач; листова заготовка при цьому одержуєтьсяпісля вальцювання отримуваного ТпКМ.


За умови реалізації третього методу одер-жання листової заготовки гранули або частин-ки полімеру і наповнювач одночасно дозуютьсяв міжвалковий проміжок вальців. За рахунок теп-лообміну з валками і енергії дисипації полімерплавиться і поступово змішується з наповнюва-чем. Після досягнення необхідної однорідностіТпКМ листова заготовка одержується зрізан-ням і відокремленням її від поверхні відповід-ного валка.

Листова заготовка, незалежно від методу їїодержання, надходила на двовалковий гладиль-ний каландр, потім на охолоджувальний і тя-говий пристрої. Після цього охолоджена безпе-рервна заготовка на пристрої поперечного різан-ня розрізалась на мірні листи, які потім по-трапляли в нагромаджувальний пристрій.

Каскадна екструзійна установка складаласьз дискового екструдера з двощілинним оберто-вим диском діаметром 200мм і шнековим жи-вильником полімеру, а також одночерв’ячногоекструдера (діаметр черв’яка 90мм, довжина –450мм) із шнековим дозатором наповнювача іплоскощілинною екструзійною головкою.

Експериментальні дослідження калібруван-ня і охолодження листової заготовки (за умови ре-

алізації першого або другого методів одержаннялистової заготовки), а також одержання листо-вої заготовки і подальшого її калібрування таохолодження (за умови реалізації третього ме-тоду) проводилось на двовалковій машині типувальців з діаметром і довжиною бочки 0,2м і0,25м, відповідно [9].

Після валкової установки відформована лис-това заготовка потрапляла на охолоджувальнийпристрій, який являє собою набір паралельнихсталевих роликів, змонтованих на зварній основіз можливістю вільного обертання. Пристрій спо-ряджено знімним кожухом, сполученим із нагні-тальною магістраллю повітряного вентилятора.

Контрольовані параметри

Для каскадної екструзійної установки буловизначено: кутову швидкість робочих органів екс-трудерів; кутову швидкість шнеків живильників;масову продуктивність установки; споживану по-тужність приводних електродвигунів; температу-ру корпусу дискового екструдера і циліндра од-ночерв’ячного екструдера; температуру розпла-ву на виході з дискового екструдера і темпера-

Рис. 1. Схема модельної технологічної лінії: 1 – змішувальні вальці; 2 – розплавопровід; 3 – дисковий екструдер; 4 – жи-вильник полімеру; 5 – дозатор наповнювача; 6 – одночерв’ячний екструдер; 7 – екструзійна головка; 8 – гладиль-ний каландр; 9 – охолоджувальний пристрій; 10 – тяговий пристрій; 11 – пристрій поперечного різання; 12 – на-громаджувальний пристрій

4

12

Наповнювач

Полімер

Наповнювач

56 7 8 9 11

32

1

10


туру композиції на виході з одночерв’ячного екс-трудера; тиск на вході в екструзійну головку од-ночерв’ячного екструдера.

Для валкової установки визначались коловашвидкість валків, споживана потужність електро-двигуна, температура валків, температура матері-алу на вході в міжвалковий проміжок, величинаміжвалкового проміжку, величина розпірних зу-силь і крутних моментів, а для охолоджувально-го пристрою – товщина листового матеріалу і тем-пература листового матеріалу по його товщині.

Дослідження процесу одержання ТпКМ наекструзійній установці

Експериментальні дослідження здійснюва-лись для поліолефінів: поліетилен низької гус-тини (ПЕНГ) марки 15803–020 ГОСТ 16337, по-ліетилен високої густини (ПЕВГ) марки 277–73ГОСТ 16338 і поліпропілен марки 21030 ГОСТ26996. За наповнювач було взято фракціонова-ну на ситах деревну тирсу з розміром частинок до1мм, а також папір поверхневої густини 75г/м2 зрозміром частинок до 5мм. Вміст наповнювачав перероблюваному ТпКМ змінювався від 21 до60% (за масою). Було встановлено, що темпе-ратурний режим переробки залежить від видуполімеру і ступеня його наповнення. Із збіль-шенням масової частки наповнювача від 30 до60% необхідно збільшувати температуру розпла-ву на 10–30°С (кутову швидкість диска на 20–30об/хв) для забезпечення зростання темпера-тури ТпКМ над температурою плавлення полі-меру на 10–20°С. Результати визначення темпе-ратурного режиму переробки різних ТпКМ за ма-сової продуктивності 15кг/год наведено в табл. 1.

Дослідження процесу одержання ТпКМ навалковій установці

Дослідження проводилось для таких компо-зицій (за масою):

1) вторинний ПЕНГ – 60% і дубова тирса –40%;

2) вторинний ПЕВГ – 60% і дубова тирса –40%;

3) вторинний ПЕНГ – 30%, вториннийПЕВГ – 30% і дубова тирса – 40%.

Реологічні властивості полімерів досліджува-них композицій, якіпроводились методом капіляр-ної віскозиметрії на приладі типу ИИРТ-3, такі:

1) вторинний ПЕНГ:Т = 160°С; К = 1,15⋅104Па⋅сn; п = 0,38;Т = 180°С; К = 3,38⋅103Па⋅сn; п = 0,72;2) вторинний ПЕВГ:Т = 160°С; К = 2,69⋅104Па⋅сn; п = 0,23;Т = 180°С; К = 6,96⋅103Па⋅сn; п = 0,96,

де K – коефіцієнт консистенції, визначений затемператури T ; n – індекс течії.

Щостосуєтьсяреологічних властивостей одер-жуваних ТпКМ, які можуть суттєво відрізнятисявід властивостей полімерів, що утворюють матри-цю ТпКМ, то на практиці доцільно застосовуватирезультати дослідів, проведених безпосередньо навідповідному переробному обладнанні. Врахову-ючи сказане, реологічні властивості одержуванихТпКМ були визначені в результаті обробки екс-периментальних даних процесу вальцювання.

У результаті обробки експериментальних да-них було отримано такі реологічні властивості до-сліджених ТпКМ (за масою):

1) вторинний ПЕНГ – 60% і дубова тирса –40%:

Т = 117°С; К = 1,34⋅105Па⋅сn; п = 0,245;Т = 137°С; К = 6,35⋅104Па⋅сn; п = 0,345;

Таблиця 1. Температурний режим переробки ТпКМ за продуктивності 15 кг/год

Композиційний матеріал Температура, °С

Дисковий екструдер Черв’ячний екструдерПолімер Наповнювач Масова частка наповнювача

корпус диск розплав корпус головка розплав

ПЕНГ Тирса 0,5 160 180 185 170 180 185

ПЕВГ Тирса 0,4 170 190 190 180 190 195

ПП Тирса 0,3 180 190 195 180 195 195

ПЕНГ Папір 0,5 160 180 185 175 185 185

ПЕНГ Папір 0,5 160 180 185 170 180 185


2) вторинний ПЕВГ – 60% і дубова тирса –40%:

Т = 131°С; К = 1,11⋅105Па⋅сn; п = 0,305;Т = 147°С; К = 2,74⋅105Па⋅сn; п = 0,103;3) вторинний ПЕНГ – 30%, вторинний

ПЕВГ – 30% і дубова тирса – 40%:Т = 143°С; К = 5,54⋅105Па⋅сn; п = 0,027;Т = 157°С; К = 4,86⋅104Па⋅сn; п = 0,484.Як видно, реологічні характеристики на-

повнених ТпКМ із застосуванням вторинної си-

ровини істотно відрізняються від характеристикпервинних полімерів.

Досліджені матеріали належать до наповне-них ТпМ, тому їх теплофізичні властивості визна-чались залежно від властивостей компонентів,складу і структури матеріалу [10].

З табл. 2 видно, що основні енергосилові па-раметри процесу вальцювання ТпКМ – питомі(на одиницю довжини бочки валків) розпірні зу-силля і потужність – зростають із збільшенням

Таблиця 2. Енергосилові параметри процесу вальцювання ТпКМ

Вторинний ПЕНГ – 60% (за масою) і дубова тирса – 40% (за масою)

0,03 210 0,43 25 37,2 571

0,04 200 0,41 25 35,7 675

0,05 210 0,40 116 118 117 28 43,9 857

0,06 210 0,35 24 47,8 881

0,07 230 0,34 28 60,3 935

0,03 245 0,46 25 22,1 286

0,04 240 0,44 25 27,1 396

0,05 240 0,42 136 138 137 27 35,5 667

0,06 235 0,39 25 43,7 702

0,07 240 0,39 28 44,6 729

Вторинний ПЕВГ – 60% (за масою) і дубова тирса – 40% (за масою)

0,03 185 0,41 25 46,8 595

0,04 190 0,41 24 45,6 605

0,05 190 0,40 130 132 131 23 47,9 737

0,06 200 0,40 21 48,7 775

0,07 165 0,38 26 57,8 939

0,03 155 0,45 21 40,7 129

0,04 160 0,44 23 41,5 156

0,05 160 0,44 146 148 147 22 41,4 375

0,06 170 0,43 20 45,2 441

0,07 170 0,43 19 46,4 559

Шири

на

ТпК

М,

мм

Тем

пер

атур

апер

едньо

го в

алка

,°С

Тем

пер

атур

аза

дньо

го в

алка

,°С

Між

валк

овий

про

між

ок,м

м

Кол

ова

шви

дкіс

тьва

лків

,м/с

Пито

мі ро

зпір

ні

зуси

лля,

кН

/м

Пито

ма

пот

ужніс

ть,

Вт/

м

Вел

ичи

на

обер

тово

гоза

пас

у ТпК

М,м

м

Тем

пер

атур

а ТпК

М н

авх

оді в

про

між

ок,°

С


колових швидкостей валків і із зменшенням се-редньої температури ТпКМ у міжвалковому про-міжку незалежно від виду перероблюваного ма-теріалу.

Дослідження процесу калібрування листовогоТпКМ на валковій установці

Для визначення температури в центрі (потовщині) листового ТпКМ у нього закладавсятермоелектричний перетворювач. Листова заго-товка, одержана або формуванням крізь екст-рузійну головку, або на валковій установці, на-грівалась у термошафі до температури закін-чення її формування, а потім пропускалась крізьміжвалковий проміжок. При цьому заміряласьтемпература в центрі досліджуваного зразка, роз-пірні зусилля, а також крутні моменти, що ді-ють на валки.

Досліджуваним матеріалом були вториннийПЕНГ – 60% (за масою) і дубова тирса – 40% (замасою).

Під час калібрування листової заготовкив міжвалковому проміжку завдяки відповіднійтемпературі валків здійснювалось охолодженняТпКМ у міжвалковому проміжку з одночаснимтвердненням її поверхневих шарів.

З табл. 3 видно, що питомі розпірні зусил-ля зростали із збільшенням колових швидкос-тей валків і зменшенням товщини вихідної за-готовки (величини міжвалкового проміжку). Прицьому питома потужність, що витрачається в між-валковому проміжку, також зростала із збіль-шенням колових швидкостей валків і майже незмінювалась у діапазоні досліджених величин тов-щини вихідної заготовки. Останній факт мож-на пояснити тим, що за умови зменшення мі-німальної товщини оброблюваного листа змен-шується зона деформування ТпКМ у міжвалко-вому проміжку (як по ширині, так і по довжи-ні). При цьому збільшення товщини листа при-водить, з одного боку, до збільшення спожива-ної потужності (за рахунок збільшення довжи-ни зони деформування), а з другого – до її змен-шення (за рахунок зменшення швидкості зсу-ву по ширині проміжку). Також під час калібру-вання порівняно з процесом вальцювання (див.табл. 2) не було обертального запасу на вході вміжвалковий проміжок. Крім того, із зменшен-ням товщини листа зростала відносна частка тов-щини затверділого матеріалу.

Кінець табл. 2

Вторинний ПЕНГ – 30% (за масою), вторинний ПЕВГ – 30% (за масою) і дубова тирса – 40% (за масою)

0,03 155 0,51 22 44,1 516

0,04 165 0,50 20 41,4 606

0,05 165 0,50 144 142 143 21 43,5 697

0,06 170 0,49 22 44,0 735

0,07 160 0,49 20 48,2 969

0,03 170 0,50 22 38,3 235

0,04 170 0,49 24 38,3 441

0,05 185 0,50 156 158 157 19 37,0 541

0,06 180 0,49 18 39,9 750

0,07 175 0,51 19 41,0 771

Шири

на

ТпК

М,

мм

Тем

пер

атур

апер

едньо

го в

алка

,°С

Тем

пер

атур

аза

дньо

го в

алка

,°С

Між

валк

овий

про

між

ок,м

м

Кол

ова

шви

дкіс

тьва

лків

,м/с

Пито

мі ро

зпір

ні

зуси

лля,

кН

/м

Пито

ма

пот

ужніс

ть,

Вт/

м

Вел

ичи

на

обер

тово

гоза

пас

у ТпК

М,м

м

Тем

пер

атур

а ТпК

М н

авх

оді в

про

між

ок,°

С


Порівняння експериментальних і теоретич-них даних визначення величин розпірних зусильі потужностей, які витрачаються на процеси валь-цювання і калібрування, підтверджує їх достат-ню збіжність (похибка не перевищує 10–15%).

Дослідження процесу охолодження відкаліб-рованого листового ТпКМ в охолоджуваль-ному пристрої

Було досліджено листові зразки, одержані навалковій установці після їх калібрування, спів-відношення ширини і довжини яких до їх тов-щини перевищувало 10, що давало можливістьнехтувати перенесенням теплоти по ширині ідовжині зразків та розглядати процес охолоджен-ня як одновимірний.

Експериментальні значення температурилиста (склад матеріалу листа: 60% (за масою)вторинний ПЕНГ і 40% (за масою) тирси) ви-значались за допомогою термоелектричних пе-

ретворювачів, розміщених на глибині 0,5мм відповерхні листа (температура T1), а також по йо-го центру (температура T2).

Після виходу зразків завтовшки 6 і 10мм зміжвалкового проміжку гладильного каландра іподальшого охолодження на відкритому повітрітемпература поверхневих шарів листа спочаткузбільшувалась завдяки перенесенню теплоти зйого внутрішніх шарів, після чого охолодженняповерхневих і внутрішніх шарів відбувалосясинхронно (рис. 2, 3).

На графіках зміни температури ТпКМ в ча-сі (див. рис. 2 і 3) є майже горизонтальна ді-лянка, що відповідає процесу кристалізації полі-меру ТпКМ, після якої характер процесу охолод-ження зберігається, як і до неї.

Для інтенсифікації охолодження листовихматеріалів завтовшки понад 6 мм процес мож-на здійснювати в умовах вимушеної конвекції, на-приклад, обдуванням повітрям у пристрої ту-нельного типу.

Таблиця 3. Енергосилові параметри процесу калібрування ТпКМ на гладильному каландрі (вториннийПЕНГ – 60% (за масою) і дубова тирса – 40% (за масою))

0,01 3,30 40,0 45,0 180,0 26,7 31,0

0,02 3,25 40,5 44,7 179,9 27,9 49,1

3 0,04 160 3,30 41,0 44,5 180,0 30,5 74,7

0,06 3,20 41,2 45,1 180,1 31,6 113,5

0,08 3,15 40,7 44,8 180,1 33,5 147,0

0,01 7,20 39,9 44,5 180,0 20,2 29,8

0,02 7,20 40,5 44,7 179,9 21,5 49,4

26 0,04 170 715 40,0 44,9 180,0 23,0 73,1

0,06 7,10 40,2 45,2 180,1 23,1 104,4

0,08 7,10 39,7 44,8 180,1 25,7 144,5

0,01 11,90 40,4 45,1 179,5 10,4 31,7

0,02 11,90 40,2 44,9 179,7 10,9 54,0

10,1 0,04 150 11,85 41,1 44,5 180,1 12,6 78,1

0,06 11,80 41,2 45,3 180,0 14,7 107,9

0,08 11,85 40,3 44,7 179,5 15,5 150,5

Шири

на

ТпК

М,

мм

Тем

пер

атур

апер

едньо

го в

алка

,°С

Тем

пер

атур

аза

дньо

го в

алка

,°С

Між

валк

овий

про

між

ок,м

м

Кол

ова

шви

дкіс

тьва

лків

,м/с

Пито

мі ро

зпір

ні

зуси

лля,

кН

/м

Пито

ма

пот

ужніс

ть,

Вт/

м

Тем

пер

атур

а ТпК

М н

авх

оді в

про

між

ок,°

С

Тов

щина

ТпК

М,

мм


З рис. 2 і 3 також видно, що під час охо-лодження відносно товстих листів (зазвичай, біль-ше 8–10мм) перепад температури між внутріш-німи і поверхневими шарами може перевищува-ти 30–40°С. Це може призвести до різних умовструктуроутворення листового ТпКМ у різнихйого шарах і, як наслідок, до нерівномірностівластивостей готового листа, зокрема до виник-нення надмірних залишкових деформацій, що не-гативно впливає на експлуатаційні показники ви-робу.

Таким чином, інтенсифікація процесу охо-лодження товстостінних листів сприяє зменшен-ню часу охолодження, але може негативно впли-нути на якісні показники готової продукції і бу-ти недоцільною.

Висновки

1. Експериментальними дослідженнями про-цесу переробки композицій на основі поліоле-фінів з деревними і паперовими наповнювачамидоведено можливість переробки таких компози-цій у листові матеріали на технологічних лініяхна основі екструзійно-валкового обладнання.

2. Для визначення реологічних характерис-тик наповнених ТпКМ із застосуванням вто-ринної полімерної сировини, які істотно відріз-няються від характеристик первинних полімерів,на практиці доцільно застосовувати результати до-слідів, проведених безпосередньо на відповідно-му переробному обладнанні. Це підтверджує до-цільність переробки вторинної полімерної сиро-вини безпосередньо в місцях її утворення, колиє необхідна кількість сировини з визначенимивластивостями. Можливість же ефективної пере-робки вторинної полімерної сировини невизна-ченого складу і властивостей є досить проблема-тичною, тому зазначену сировину можна засто-совувати як добавку до полімерної сировини зпевними властивостями в кількості, що істотнона них не впливає.

3. Температурний режим екструзії дослідже-них ТпКМ залежить від виду полімеру і ступе-ня його наповнення. Із збільшенням масової част-ки наповнювача від 30 до 60% слід збільшуватитемпературу розплаву на 10–30°С.

4. Під час охолодження відносно товстих лис-тів перепад температури між внутрішніми і по-верхневими шарами може перевищувати 30–40°С, що призводить до різних умов структуро-утворення листового ТпКМ у різних його ша-рах і, як наслідок, – до нерівномірності власти-востей готового листа, зокрема до виникнення

Рис. 3. Зміна температури листового ТпКМ завтовшки10,1 мм по його товщині в часі на відкритому по-вітрі в умовах вимушеної конвекції: 1 – поверхне-вий шар (розрахунок); 2 – центр зразка (розраху-нок); – поверхневий шар (експеримент); –центр зразка (експеримент)

а

T, °C

140

180

60

100

20540480420360300240180120600 600

в

Рис. 2. Зміна температури листового ТпКМ завтовшки3 мм (а ), 6 мм (б ) і 10,1 мм (в ) по його товщинів часі на відкритому повітрі в умовах вільної кон-векції: 1 – поверхневий шар (розрахунок); 2 –центр зразка (розрахунок); – поверхневий шар(експеримент); – центр зразка (експеримент)

2

1

140

180

60

100

540480420360300240180120600 600б

2

1

140

180

60

100

t, c540480420360300240180120600 600

2

1

T, °C

140

180

60

100

t, c540480420360300240180120600 600

2

1


надмірних залишкових деформацій. Таким чи-ном, інтенсифікація процесу охолодження товсто-стінних листів, з одного боку, сприяє зменшен-ню часу охолодження, але в той же час може не-гативно впливати на якісні показники готовоїпродукції і виявитися недоцільною.

5. Порівняння експериментальних і теоре-тичних даних окремих процесів одержання лис-тових матеріалів із композицій на основі полі-олефінів з деревними і паперовими наповнюва-

чами підтверджує адекватність розроблених ма-тематичних моделей черв’ячної екструзії, валь-цювання, калібрування на гладильному калан-дрі, а також термообробки ТпКМ із застосуван-ням вторинної сировини реальним процесам.

Беручи до уваги перспективність застосуван-ня виробів з композиційних матеріалів із засто-суванням вторинної сировини, доцільно провес-ти дослідження процесів одержання і переробкибільш широкого спектра цих матеріалів.

П.Н. Магазий, И.О. Микулёнок, Л.И. Ружинская

МОДЕЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ПЕ-РЕРАБОТКИ ТЕРМОПЛАСТИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВС ПРИМЕНЕНИЕМ ВТОРИЧНОГО СЫРЬЯ

Рассмотрены экспериментальные исследованияпроцесса переработки вторичных наполненных тер-мопластов в листовые материалы на экструзион-но-валковом оборудовании. Приведены результа-ты измерений энергосиловых параметров процес-сов получения, калибрования и охлаждения лис-товых материалов, которые удовлетворительносогласовываются с результатами теоретических ис-следований. Сделаны рекомендации относитель-но проведения технологического процесса полу-чения целлюлозосодержащих вторичных полио-лефинов.

P.M. Magaziy, I.O. Mikulionok, L.I. Ruzhinska

THE MODELING RESEARCH OF THERMOPLAS-TIC MATERIALS PROCESSING USING SECONDA-RY RAW MATERIAL

This study provides important insights into the pro-cessing of secondary filled thermoplastic materials in-to sheet materials on the extrusion-roll equipment.The experimental results of the measurements of po-wer and power force parameters of production, cali-bration and cooling of the sheet materials conformto the theoretical data gained. In this paper, we alsogive some recommendations on how to carry out theprocess of production of cellulose secondary poly-olefines.

1. Запропоновано нові пріоритети управління відходами //

Євробюлетень : Інформ. видання Представництва Єв-ропейської Комісії в Україні. – 2008. – 11. –

С. 21.

2. Програма поводження з твердими побутовими відхо-

дами. Затверджена Постановою Кабінету Міністрів Ук-раїни від 04.03.2004 р., 265 // Урядовий кур’єр. –2004. – 24 берез. ( 55). – С. 8–9.

3. Мікульонок І.О., Радченко Л.Б. Переробка вторинної си-ровини екструзією. – К.: ІВЦ «Видавництво “Політех-

ніка”», 2006. – 184 c.

4. Мікульонок І.О. Енергосилові параметри процесу фор-

мування термопластичних композиційних матеріалів увалкових машинах // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. –2003. – 5. – С. 70–76.

5. Мікульонок І.О., Лукач Ю.Ю., Ружинська Л.І. Енерго-

силові параметри процесу калібрування листів з полі-

мерних композиційних матеріалів у гладильному ка-ландрі // Там же. – 2003. – 6. – С. 86–92.

6. Мікульонок І.О., Радченко Л.Б., Ружинська Л.І. Моделю-

вання термообробки погонних композитних матері-алів // Там же. – 2005. – 2. – С. 66–71.

7. Лукашова В.В., Мікульонок І.О., Радченко Л.Б. Черв’яч-

на екструзія. Узагальнена математична модель // Хіміч-на промисловість України. – 2007. – 1. – С. 32–35.

8. Мікульонок І.О. Неперервні вироби з термопластич-

них композитних матеріалів. Основні принципи моделю-вання процесів одержання // Там же. – 2007. – 2. –С. 36–39.

9. Доброногова С.И., Демчук В.А., Трохин М.И. Исследова-

ние энергосиловых параметров валковых машин тензо-

метрическим методом // Химическое машинострое-ние. – К.: Техніка, 1974. – Вып. 18. – С. 52–56.

10. Мікульонок І.О. Полімерні композиційні матеріали. Ви-

значення теплофізичних властивостей // Хімічна про-мисловість України. – 2003. – 5. – С. 25–28.

Рекомендована Радою інженерно-хіміч-ного факультету НТУУ “КПІ”



УДК 539.4: 620.17

М.П. Малежик

ЧИСЛОВИЙ ПЕРЕРАХУНОК ДИНАМІЧНИХНАПРУЖЕНЬ З ФОТОПРУЖНИХ ОРТО-ТРОПНИХ МОДЕЛЕЙ НА НАТУРНЕ ТІЛО

Вступ

Метод динамічної фотопружності анізотроп-них тіл дає можливість визначити динамічнийнапружено-деформований стан у плоских мо-делях з оптично-чутливого анізотропного матері-алу [1]. Зокрема, метод застосовується при ви-значенні динамічних коефіцієнтів концентраціїпоблизу отворів в анізотропних пластинах [2],вивченні розподілу хвильового поля напруженьпоблизу вільних і зв’язаних границь в анізо-тропних шаруватих середовищах [3], визначеннідинамічних коефіцієнтів інтенсивності напру-жень у вершині тріщини, що знаходиться в орто-тропній пластині [4, 5]. Проте актуальним є пи-тання про ефективність і доцільність застосуван-ня цього методу для розв’язування динамічнихзадач із наступним переходом від напружень умоделі до напружень у деталі чи конструкції знатурного анізотропного матеріалу. Слід зазна-чити, що через ускладнений характер напруже-ного стану анізотропного пружного середовища,який виникає при його динамічному наванта-женні, такі питання до цього часу не розгляда-лися.

Для подібності процесів у натурному тілі імоделі необхідно та достатньо виконання такихумов: модель має бути геометрично подібна до на-турного тіла; процеси в моделі і натурному тіліповинні належати до одного класу, а їх описмає здійснюватися однаковими рівняннями; по-чаткові і граничні умови в моделі необхідно ре-алізовувати таким чином, щоб безрозмірні по-чаткові і граничні умови моделі тотожно збіга-лися з такими ж умовами в натурному тілі; од-нойменні безрозмірні параметри, що входять урівняння процесів, а також початкові і гранич-ні умови в моделі і натурному тілі мають бутивідповідно однаковими. Отже, визначення умовподібності із загальних фізичних законів, під якіпідпадає досліджуване явище, дає змогу при мо-делюванні окремих задач не складати рівняння,які описують окреме явище, а будувати моделі заправилами теорії подібності.


У даній статті на основі загальних принци-пів моделювання напруженого стану методом фо-топружності та загальної теорії подібності роз-роблено спосіб перерахунку динамічних напру-жень із фотопружної моделі на натурне тіло вплоских задачах механіки ортотропних тіл.

Деякі співвідношення теорії подібностінапруженого стану

Розглянемо загальні принципи моделюван-ня в методі динамічної фотопружності. При мо-делюванні натурного середовища та побудові мо-делі насамперед необхідно вибрати матеріал длямоделі. В цьому випадку задаються три масшта-би: ρ = σ α2

0 0 0/ , α0 = l0/ t0, γ = α 20 0 0/l .

Геометричний масштаб l0 і масштаб часу t0визначаються однозначно, що призводить доускладнення при створенні потрібного ди-намічного навантаження і необхідного для ме-тоду фотопружності розміру моделі. Щобуникнути цього, потрібно довільно задаватигеометричний масштаб l0, тобто мати йогофіксованим, або, використовуючи принципсуперпозиції, дослідити окремо напруженийстан середовища від дії динамічного наванта-ження і від дії власної ваги.

Розглянемо деякі критерії подібності. Якщо(Сp/a0)н = (Сp/a0)м поділити на (Сs/a0)н = (Сs/a0)м,то отримаємо рівність відношень швидкостейпоздовжніх хвиль до швидкостей поперечниххвиль у натурному тілі і моделі

= н м

p p

s s

C C

C C. (1)

Критерій подібності (1) передбачає рівністькоефіцієнтів Пуассона ν для натурного і модель-ного середовища

νн = νм. (2)

Залежність (2) справедлива для випадку, ко-ли натурне і модельне середовища знаходяться воднакових умовах напруженого стану. Враху-ємо, що фотопружне моделювання динамічнихнапружень проводиться на плоских моделях, тоб-то в умовах плоского напруженого стану. Тодівиконання рівності (1) приведе до умови

νν =

+ νм

нм1

. (3)


Модулі пружності матеріалів натурного ті-ла і моделі повинні бути зв’язані співвідношен-ням

+ ν=

+ νм м

н 2м

(1 2 )

(1 )

EE . (4)

Згідно із загальним критерієм при моделю-ванні деформацій [6, 7], відповідні зміщення вусіх точках змінюються пропорційно зміні відпо-відних геометричних розмірів. Внаслідок цього де-формації в моделі мають дорівнювати деформа-ціям у натурному тілі:

εн = εм. (5)

Практично при моделюванні виконати умо-ву (5) в більшості випадків не вдається і тоді до-водиться масштаб швидкостей точок вибиратина основі виразу

= ε00 0

0

lV

t, (6)

де V0 – масштаб швидкості частинок.Виразимо масштаб швидкостей частинок V0

у вигляді V0 = u0/t0, де u0 – масштаб зміщень,підставимо його у вираз (6) і отримаємо

ε=0 0 0

0 0

u lt t

або u0 = l0ε0. (7)

Отже, при розширеній подібності масштабзміщень визначається не тільки геометричниммасштабом, але і масштабом деформацій.

Складність задачі моделювання напружено-го стану анізотропних тіл значною мірою поясню-ється залежністю напруженого стану від пружнихсталих [8].

Отримання співвідношень для перерахункунапружень із моделі на натурне тіло

Припустимо, що є два однорідні тіла, виго-товлені з різних матеріалів, і знаходяться вони вузагальненому плоскому напруженому стані. Бу-демо вважати, що тіла мають однакову форму,розміри й навантаження.

Виділимо два випадки задачі.1. Область пластини однозв’язна і багато-

зв’язна, але навантаження таке, що на будь-яко-му внутрішньому контурі Хk = Yk = 0. Тут Хk і Yk –проекції головного вектора заданого наванта-ження на k-му контурі, віднесені до одиниці дов-жини твірної L :

( )k

k x y xy xL

X d d= − σ − σ∫ ,

( )k

k y x xy xL

Y d d= σ − σ∫ .

2. Область багатозв’язна, але навантаженнятаке, що відзначені вище умови не виконуються.

Отримаємо умови, якими повинні бути зв’я-зані пружні сталі S i j двох тіл, щоб напруженняσх, σу, σху в обох тілах були однакові. Відомо [9],що функція напружень Ері Φ в плоскій задачі тео-рії пружності ортотропного тіла задовольняє рів-няння сумісності деформацій

∂ Φ ∂ Φ− + +

∂ ∂ ∂

4 4

22 26 124 32 (2S S S

x x y

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ+ − + =

∂ ∂∂ ∂ ∂

4 4 4

66 16 112 2 4) 2 0S S S

x yx y y(9)

та граничні умови в напруженнях

∂Φ ∂Φ = = ± ∂ ∂ % %m ,

d dX Y

dS y dS x. (10)

Для багатозв’язної області мають виконува-тись умови однозначності переміщень, які черездеформації виражаються у вигляді

02 2

k

xy y xyх

L

dx dyу x x y

∂γ ∂ε ∂γ∂ε − − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ , (11)

12 2

k

xyxx xy

L

dx dy y dxy x

∂γ∂ε ε + γ − − − ∂ ∂ ∫∂ε ∂γ − − = ∂ ∂

02

y xy dyx y

, (12)

12 2

k

xyxy xy

L

dy dx x dxy x

∂γ∂ε ε + γ + − − ∂ ∂ ∫∂ε ∂γ − − = ∂ ∂

02

y xy dyx y

. (13)

Виразимо в (11), (12), (13) деформації через на-пруження за законом Гука, додамо і віднімемо злівих частин (12), (13) інтеграли

66

2k

y

L

Sdxσ∫ і 66

2k

x

L

Sdyσ∫ .

(8)


Відповідно, із врахуванням (9) отримаємо

ω =∫ 0к

zL

d ; (14)

6611 12 162

k

x y xy

L

SS S S dx σ + + σ + σ + ∫

σσ + + − ω =

2616к 661

2 2 2yx

z

SSdy yd Y S , (15)

6622 12 262

k

y x xy

L

SS S S dy σ + + σ + σ + ∫

σσ + + + ω = −

2616к 661

2 2 2yx

z

SSdx xd X S , (16)

де

6611 12 2

k

yxz

L

Sd S S

y y

∂σ∂σ ω = + + − ∂ ∫∂σ∂σ

− − −∂ ∂ 16 26

1 12 2

yxS S dxx x

∂σ ∂σ − + + − ∂ ∂ 66

22 12 2y xS

S Sx x

∂σ ∂σ − − =∂ 26 16

1 10

2 2y xS S dy

x y.

При виведенні рівнянь (14)–(16) на основірівнянь рівноваги плоскої задачі здійснювалася

заміна ∂σ

∂xy

xна

∂σ−

∂y

y,

∂σ

∂xy

yна

∂σ−

∂x

x.

Поділимо ліві і праві частини рівнянь (10),(14)–(16) на одну із сталих, наприклад S11, от-римаємо, що при Xk = Yk = 0 напруження σх, σу,σху залежать від чотирьох безрозмірних сталихS22/S11, S26/S11, S16/S11, (2S16 + S66)/S11, а при Xk ≠≠ Yk ≠ 0 додається ще одна безрозмірна сталаS66/S11.

У системі координат, суміщеній з головни-ми напрямками ортотропії (S16 = S26 = 0) для збі-гу σх, σу, σху, у випадку Xk = Yk = 0 необхідно ідостатньо, щоб збіглися головні напрямки обохтіл і дві безрозмірні сталі E1/E2 і E1/G12 − 2ν1 од-ного тіла дорівнювали відповідним безрозмір-ним сталим другого тіла. У випадку Xk ≠ 0, Yk ≠ 0має ще додатково збігатися безрозмірна сталаE1/G12. Як бачимо, підібрати матеріал для мо-делі за відомими значеннями пружних сталих на-турного матеріaлу так, щоб збігалися наведені ви-

ще сталі, надзвичайно важко. При виборі модель-них оптично-чутливих матеріалів це ще більшеускладнюється, оскільки вимоги до прозорості ма-теріалу обмежуються кількістю і властивостямиармуючого елемента, що обмежує варіюванняпружними константами.

Розглянемо спосіб перерахунку напруженьз моделі на натурне тіло, що не вимагає жорст-ких обмежень на властивості модельних мате-ріалів. Використаємо комплексні параметриГ.С. Лехницького [9] µ1, µ2, які характеризуютьанізотропію тіла і є основними величинами,від яких залежить розподіл напружень у пло-ских задачах ортотропної теорії пружності.Припустимо, що область моделі Sм подібна до об-ласті натурного тіла Sн, тобто всі лінійні розмі-ри l в області Sм змінені порівняно з тими жрозмірами в області Sн в а раз (геометрична по-дібність):

lн = alм . (17)

Нехай також зусилля, прикладені до контурівмоделі, подібні до зусиль, прикладених до кон-турів натурного тіла (силова подібність):

= = = = βн н н

м м м

...P Q RР Q R

. (18)

Загальний вираз для напружень у плоско-му ортотропному тілі подамо у вигляді [9]

ϕ µ + ψ µ + λ λ 1 2

1 2 2 3 4

1( ) , ( ) ,

P x y Q x yT f f

h l l l l

+ λ 3

3 5 6

,R x y

fl l

, (19)

де P, Q, R – множники, що мають розмірністьсили; f1, f2, f3 – безрозмірні функції; li, λi – ве-личини, що мають розмірність довжини; ϕ(µ),ψ(µ) – дійсні функції комплекcних параметрів;h – товщина.

Виразимо напруження в моделях, що задо-вольняють умови силової і геометричної подіб-ності відносно натурного тіла у вигляді

= ϕ µ + λ 1

1 1 2

1( ) ,i i i

i ii i i i

P x yT f

h l l

+ ψ µ + λ λ 2 3

2 3 4 3 5 6

( ) , ,i i i i i ii

i i i i i i

Q x y R x yf f

l l l l, (20)

де Ti, ϕi(µ), ψi(µ) – відомі величини, а функціїмають такий самий вигляд, як і в (19).


Враховуючи умови геометричної (17) і си-лової (18) подібностей, співвідношення (20) по-дамо у вигляді

= ϕ µ + ψ µ + β λ λ 1

1 1 2 2 3 4

( ) , ( ) ,ii i i

i i

a P x x Q x xT f

h l l l l

+ λ 3

3 5 6

,R x x

fl l

. (21)

У (21) входять невідомі величини λ 1

1

Pf ,

λ 22

Qf ,

λ 33

Rf , які є і у виразах для напружень у натур-

ному тілі (19).Якщо з експерименту відомі напруження

Tі в трьох геометрично подібних і подібно на-вантажених моделях, які виготовлені з конст-руктивно-ортотропних матеріалів і мають різніпружні сталі, то з (21) отримаємо три рівняння

для визначення трьох невідомих величин: λ 1

1

Pf ,

λ 22

Qf і

λ 33

Rf .

Запишемо рівняння (21) для трьох моде-лей і розв’яжемо їх відносно невідомих. Отри-маємо

= ×λ ϕ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ − ϕ ϕ − ϕ

1

1 1 2 1 3 1 3 1 2

1( )( ) ( )( )

Pf

× − ψ − ψ −1 1 2 2 1 2[( )( )T k T k

− − ψ − ψ1 1 3 3 1 2( )( )]T k T k , (22)

= ×λ ϕ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ − ϕ ϕ − ϕ

2

2 1 2 1 3 1 3 1 2

1( )( ) ( )( )

Qf

× − ψ − ψ −1 1 2 2 1 3[( )( )T k T k

− − ψ − ψ1 1 3 3 1 2( )( )]T k T k , (23)

= − ϕ − ψλ λ λ

3 1 21 1 1 1

3 1 2

Rf Pf QfT k . (24)

У формулах (22)–(24) коефіцієнти ki == βihi/ai визначаються за відомими значеннямисилової βi і геометричної аі подібності, напру-ження Ті у моделях знаходяться експерименталь-но методом динамічної фотопружності, а функ-ції комплексних параметрів ϕі, ψі – за відомимизначеннями пружних констант для моделей. Точ-ний вираз функцій ϕі, ψі для даного класу за-

дач або конкретної задачі невідомий. Тому ви-гляд цих функцій будемо задавати наближено.Аналіз відомих теоретичних розв’язків деяких за-дач [9] показує, що у вирази для напружень вхо-дять комбінації комплексних параметрів (µ1 + µ2),µ1µ2, µ + µ2 2

1 2 , їх добутки, а також коефіцієнти

Пуассона.Тоді подамо функції ϕі(µ), ψі(µ) у вигляді

ϕ µ = + µ + µ + µ + µ +2 2 21 2 1 2( ) 1 ( ) ( )i i i

+ µ µ + ν µ µ − µ − µ2 21 2 2 1 2 1 2(1 )i i i i ,

ψ µ = + + +µ + µ µ + µ2 2 2

1 21 2

1 1( ) 1

( ) ( )i i i

ν+ + µ µ

νµ µ22

1 2211 2

1i

i.

Слід зауважити, що вирази (23), (24), (25) дляфункцій ϕі і ψі не єдині. Можна побудувати іншівирази, наприклад так, як це зроблено в [10].

Проведемо перерахунок динамічних на-пружень з моделей на натурне тіло в задачі, щомає теоретичний розв’язок для випадку статич-ного навантаження. Пластина з центральним ко-ловим отвором навантажена з двох країв імпуль-сом розтягу. Для перерахунку напружень на на-турне тіло досліджувалися три моделі, виготов-лені з оптично-чутливих анізотропних матері-алів з різними механічними та оптичними влас-тивостями.

Модель 1. Механічні параметри: Е1 = 4,30 ×× 103МПа; E2 = 6,08⋅103МПа; ν12 = 0,33; ν21 = 0,47;G = 1,79⋅103МПа. Оптичні сталі: σd1 = 25 ×× 10−1МПа⋅см/смуга; σd2 = 41⋅10−1МПа⋅см/смуга;εd = 4,95⋅10−4см/смуга; µ1 = 1,91; µ1 = 0,67.

Модель 2. Механічні параметри: Е1 = 6,70 ×× 103МПа; E2 = 8,43⋅103 МПа; ν12 = 0,31; ν21 = 0,39;G = 1,56⋅103МПа. Оптичні сталі: σd1 = 17 ×× 10−1МПа⋅см/смуга; σd2 = 32⋅10−1МПа⋅см/смуга;εd = 3,98⋅10−4см/смуга; µ1 = 2,08; µ2 = 0,54.

Модель 3. Механічні параметри: Е1 = 4,38 ×× 103МПа; E2 = 6,40⋅103МПа; ν12 = 0,26; ν21 = 0,37;G = 1,4⋅103МПа. Оптичні сталі: σd1 = 12 ×× 10−1МПа⋅см/смуга; σd2 = 21⋅10−1МПа ⋅см/смуга;εd = 4,55⋅10−4см/смуга; µ1 = 2,21; µ2 = 0,57.

Натурна пластина виготовлена з ортотропно-го матеріалу, який має механічні характеристи-ки: Е1 = 14⋅103МПа; E2 = 14⋅103МПа; ν12 = 0,47;ν21 = 0,47; G = 1,4⋅103МПа; µ1 = 3,1; µ2 = 1,1.

Підставимо у формулу (25) значення комп-лексних параметрів і визначимо ϕі і ψі для кож-

(25)


ної моделі, а також для натурного тіла. Припус-тимо, що натурне тіло й моделі мають однаковігеометричні розміри, а імпульсне навантаження,прикладене до натурної пластинки, вдвічі біль-ше, ніж у кожній з моделей, тобто k = 2.

Напруження для деяких точок на контуріотвору, визначені в трьох моделях за формула-ми (9) і (10), наведені в таблиці. Тут же дано ре-зультати перерахунку з моделі на натурне тіло звикористанням формул (19) і (22)–(24), а такожзначення напружень у натурній пластині, визна-чені за формулою С.Г. Лехницького (11) для ста-тичного розтягу.

ВисновкиЕкспериментальні дані свідчать, що запро-

понований спосіб перерахунку з моделі на натур-не тіло надає можливість із достатньою для інже-нерних розрахунків точністю визначати динаміч-ні напруження в натурних деталях з ортотроп-них матеріалів. Для цього необхідно тільки зна-ти напруження в трьох геометрично подібних мо-делях, а також потрібно, щоб динамічне наванта-ження моделей було подібним. Щодо останньоїумови, існують певні складності у відтворенні по-дібності імпульсного навантаження, якщо вико-ристовувати для цього вибухові засоби. Найбіль-ше ця умова задовольняється при використаннімагнітноіндуктивного пристрою [11].

М.П. Малежик

ЧИСЛЕННЫЙ ПЕРЕСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ НА-ПРЯЖЕНИЙ С ФОТОУПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХМОДЕЛЕЙ НА НАТУРНОЕ ТЕЛО

Предлагается способ пересчета динамическихнапряжений с фотоупругой модели на натурноетело в плоских задачах механики ортотропныхтел. Для оценки способа проводится пересчетнапряжений с модели на натурное тело в задаче,имеющей теоретическое решение.

M.P. Malezhyk

THE NUMERICAL RECALCULATION OF DYNA-MIC STRESS WITH PHOTOELASTIC ORTOTRO-PIC MODELS ON A NATURAL BODY

This paper proposes a method of recalculation of dy-namic pressure from a photoelastic model on a natu-ral body in the flat tasks of mechanics of orthotropicbodies. To estimate the proposed method, the pres-sure recalculation from the model on the natural bo-dy in the task with the theoretical decision was con-ducted.

Таблиця. Значення напружень для деяких точок на контурі отвору, визначені в трьох моделях

σθ/σсeр = Т

Тн

θ, град

Т1 Т2 Т3

За формулами(19) i (22)–(24)

Статичні зна-чення [5]

0 −0,92 -0,88 −0,82 −0,35 −0,29

15 −0,65 -0,58 −0,59 −0,21 −0,20

30 0,05 0,04 −0,02 −0,15 −0,15

45 0,57 0,73 0,72 0,16 0,15

60 1,61 1,61 1,69 0,79 0,92

75 3,05 2,82 2,85 2,94 2,99

90 3,75 3,62 3,50 5,20 5,20


1. Малежик М.П. Визначення динамічних напружень в

конструктивно-анізотропних тілах поляризаційно-оптичним методом // Доп. НАН України. – 2002. – 10. – С. 44–48.

2. Зирка А.И., Малежик М.П., Чернышенко И.С. О концент-

рации напряжений в ортотропной пластине с круговым

отверстием при динамическом нагружении // Прикл.механика. – 2004. – 40, 2. – С. 128–133.

3. Зирка А.И., Малежик М.П., Чернышенко И.С., Шере-

мет Г.П. Волновое поле напряжений возле свободной

и связанной границы в анизотропных пластинах при им-пульсном нагружении // Там же. – 7. – С. 123–128.

4. Малежик М.П. Моделювання напруженно-деформо-

ваного стану поблизу тріщин в анізотропних ліній-

но-в’язкопружних пластинах // Фіз.-хім. механіка ма-теріалів. – 2003. – 2. – С. 93–95.

5. Малежик М.П. Динамічна фотопружність анізотропнихтіл. – К.: Ін-т геофізики ім. C.I. Субботіна НАН Ук-

раїни, 2001. – 200 с.

6. Седов Л.И. Методы подобия размерности в механике. –М.: Наука, 1967. – 280 с.

7. Варданян Г.С. Основы теории подобия и анализа раз-мерности. – М.: Изд-во МИСИ, 1977. – 122 с.

8. Журба В.Г., Мишин В.В. Определение оптических по-

стоянных по деформациям-напряжениям при динами-ческом нагружении // Изв. Днепропетр. горного ин-та. –1967. – 48. – С. 147–151.

9. Лехницкий Г.С. Анизотропные пластинки. – Л.: Гос-

техиздат, 1957. – 300 с.

10. Нетребко В.П., Васильченко И.П. Поляризационные ме-тоды механики композиционных материалов. – М.:

Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 160 с.

11. Малежик М.П., Зубов В.І., Шеремет Г.П., Губар І.М.

Динамічне навантаження моделей імпульсами зі змін-

ними амплітудно-часовими параметрами // Наукові віс-ті НТУУ “КПІ”. – 2003. – 6. – С. 80–85.

Рекомендована Радою Механіко-маши-нобудівного інституту НТУУ “КПІ”



УДК 66.02.011

О.С. Сахаров, В.І. Сівецький,О.Л. Сокольський

ДИСКРЕТНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДЛЯРОЗРАХУНКУ ПРУЖНОВ’ЯЗКОПЛАСТИЧ-НИХ СЕРЕДОВИЩ ІЗ ЗМІННОЮ СТИСЛИ-ВІСТЮ ПРИ ТЕРМОСИЛОВИХ НАВАНТА-ЖЕННЯХ

Вступ

Сучасні технології хімічних виробництв су-проводжуються використанням високих тисківта температур, які суттєво впливають і на ма-теріали, що переробляються, і на обладнання [1,2]. У багатьох випадках врахування взаємодії ма-теріалів із силовими елементами машин та апа-ратів є необхідною умовою при розробці техно-логічних процесів і проектуванні обладнання хі-мічних виробництв. Відповідні задачі належатьдо зв’язаних нелінійних задач механіки, які по-требують одночасного розрахунку твердих тіл, рі-дин та газів, що взаємодіють між собою та термо-силовими полями з врахуванням реальних змінвластивостей матеріалів у досліджуваних проце-сах.

Для адекватного описання взаємодії тіл різ-ної природи використовуються загальні співвід-ношення нелінійної механіки суцільних сере-довищ (МСС), які базуються на фундаменталь-них законах збереження імпульсу та балансу ме-ханічної енергії, збереження енергії та маси [3].Це вимагає розробки універсальних нелінійнихмоделей та методів їх дослідження, які можутьбути побудовані тільки на базі методів чисель-ного аналізу, орієнтованих на потужну обчислю-вальну техніку. До найбільш ефективних чи-сельних методів розв’язання складних реологіч-них і динамічних задач механіки суцільних се-редовищ належить метод скінченних елементів(МСЕ), який дає можливість на базі комп’ю-терної техніки моделювати і досліджувати тех-нологічні процеси разом із визначенням напру-жено-деформованого стану і міцності обладнан-ня хімічних виробництв.

Можливості МСЕ з точки зору описання ре-альних термомеханічних процесів визначаютьсяпереважно властивостями скінченних елементів(СЕ), відображених матрицями жорсткості, в’яз-кості, теплопровідності та ін.


Метою даної статті є побудова на базі мо-ментної схеми [4–6] універсальних співвідно-шень МСЕ, що дають можливість моделюватитермонапружений стан і процеси переробки таформування таких нелінійних робочих середо-вищ, як розплави полімерів, сипучі та пластич-ні маси у вироби із врахуванням процесів тверд-нення і впливу залишкових напружень на влас-тивості кінцевих виробів.

Вихідні рівняння математичної моделі

Наведемо основні співвідношення МСС увигляді системи диференціальних рівнянь в ейле-рових координатах для стаціонарних процесів:

рівняння руху$⋅ σ + = ρ ⋅f v v∇ ∇ ; (1)

рівняння збереження енергії

$⋅ = ⋅ λ + σ ⋅ ⋅ ς +$( )( )T T Vc T T Qv ∇ ∇ ∇ , (2)

де для внутрішньої енергії враховано співвідно-шення

∂ ρ = = + ⋅ ∂ T T

d dT TE c c T

dt d t tv ∇ ; (3)

рівняння збереження маси

∇⋅(ρv) = 0, (4)

де ρ – маса одиниці об’єму (густина) матері-алу; v – вектор швидкості точки тіла; f – век-тор зовнішньої сили, що діє на одиницю об’є-

му тіла; $σ – тензор напружень; ∇v – градієнтвектора швидкості; Q(V ) – віднесена до одиницімаси швидкість зовнішнього об’ємного прито-ку тепла разом з іншою немеханічною енергі-єю; E – питома внутрішня енергія (внутрішняенергія одиниці маси тіла).

До системи рівнянь (1)–(4) необхідно та-кож додати геометричні рівняння Коші

ε = +$ т1( ( ) )

2u u∇ ∇ , ς = +$ т1

( ( ) )2

v v∇ ∇ , (5)

які зв’язують тензор деформацій ε$ з векторомпереміщень u та тензор швидкостей деформа-

цій ς$ з вектором швидкостей v. Для замиканнясистеми рівнянь (1)–(5) до неї треба додати рів-няння стану

$ $ϕ σ ε ς =$ $( , , , ) 0T , (6)


які дають змогу описати основні властивості ма-теріалів реальних тіл.

При формулюванні рівнянь стану (6) сере-довища приймаються такі загальні допущення:

• режим руху середовища – стаціонарний,достатньо повільний, щоб силами інерції мож-на було б знехтувати;

• матеріали мають нелінійні в’язкопружно-пластичні властивості, що залежать від напру-жено-деформованого стану і температури;

• між твердими тілами і рідинами (газами)виконуються умови прилипання – швидкості настінках дорівнюють швидкостям стінок (положен-ня поверхонь контакту визначається з врахуван-ням переміщень твердих тіл);

• у процесі переробки і деформування ма-теріали можуть змінювати властивості стисли-вості – від стисливих до нестисливих і навпаки.

Будемо вважати, що повні деформації ε$ та

їх швидкості ξ$ можна подати у вигляді сум:

ε = ε + ε + ε$ $ $ $e p T , ς = ς + ς + ς$ $ $ $e p T,

де ε$e, ξ$

e– пружні деформації та їх швидкості,

для яких має місце узагальнений закон Гука

$ $σ = ⋅ ⋅ε$e

E , $ $ε = Λ ⋅ ⋅σ$ e, $ $σ

ς = Λ ⋅ ⋅$e dd t

,

$ $Λ,E – тензори пружності 4-го рангу, які в загаль-

ному випадку можуть залежати від температу-

ри; ε$p, ξ$

p– пластичні деформації та їх швид-

кості, зумовлені в’язкопластичністю матеріалів:

$ µ $σ = ⋅ ⋅ς −$ pM pg , $ς = ⋅ ⋅σ$$ p

B ,

µM , $B, p, $g – тензори в’язкопластичності 4-го

рангу, які залежать від температури і ε$p, ς$

p,

гідростатичний тиск та метричний тензор; ε$т,

ς$т

– теплові деформації і їх швидкості:

$ε = β −$ т т0( )g T T , $ς = β$

т т dTg

d t,

βт, T0, T – коефіцієнт лінійного теплового роз-ширення, початкова і кінцева температури.

Із врахуванням прийнятих допущень рівнян-ня стану можна записати через повні деформа-ції або їх швидкості:

$ $ $σ = ⋅ ⋅ ε − ε − σ$ $ т( )

pE ,

$ $ $ $σσ + Γ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ς − − σ$ $ $ т

Vd

B pgdt

,

$σ = −$т

0( )A T T , $σ = $ тт

V

dTh

dt,

де $Γ = ⋅ ⋅ Λ$ $B – тензор в’язкопружності; =$ тh

$= β ⋅ ⋅$TB g – тензор об’ємної термов’язкості; =$A$ $= β ⋅ ⋅тE g – тензор термопружності; $σт , $σт

V – тен-

зори теплових напружень. Із врахуванням стаці-онарності процесів маємо

$ $ $σ + Γ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ς − − σ$ $ $ т( )

VB pgv ∇σ ,

$σ = ⋅ ∇$ тт( )

Vh Tv .

В іншому варіанті при високому рівні в’яз-кості, коли стан середовища наближається дотвердого, фізичні рівняння доцільно подати че-рез деформації у вигляді

$ $σ = ⋅ ⋅ ε − ε − σ$ $ т( )p

E ,

$ $ε = ς = ⋅ ⋅ σ∫ ∫$ $p p

t t

dt H dt .

Особливості чисельного моделюванняпружнов’язкопластичних середовищ ізврахуванням стисливості і термосило-вих навантажень

Попередні дослідження [4, 6] показали, щопри комп’ютерному моделюванні напружено-деформованого стану тонкостінних тіл або сла-бостисливих середовищ традиційні варіанти МСЕпризводять до значних похибок, які виникаютьчерез некоректну апроксимацію об’ємних де-формацій і деформацій зсуву. Це явище спос-терігається, наприклад, при розрахунках плоско-щілинних головок, де діють високі перепади тис-ку і прогнозується неадекватне стиснення роз-плаву, або при розрахунках згину тонкостіннихвиробів під дією термосилових навантажень. То-му для дискретизації наведених вище рівнянь ви-користана моментна схема МСЕ, яка дає змогузвільнитись від негативних властивостей тради-ційних елементів поєднанням варіаційного ме-тоду з методом моментів [5]. У статті [7] це ви-конано для в’язкої неньютонівської рідини, деотримані співвідношення для матриць в’язкості


методом переміщень із врахуванням стисливос-ті, а також співвідношення МСЕ змішаним ме-тодом для нестисливої рідини. На численнихприкладах встановлено, що при послідовномузменшенні стисливості результати розрахунківнаближаються до розв’язків, які відповідають не-стисливим матеріалам. Методика виправдала се-бе при незмінних властивостях об’ємного дефор-мування тіл. Але у випадках, коли характерис-тики стисливості матеріалу є змінними величи-нами і наближені до умов нестисливості, то ви-никає нестабільність обчислень (µ/λ < 10−6), якаможе викривити результати і вимагає контролюза процесами розв’язання систем рівнянь, що сут-тєво ускладнює автоматизацію розрахунків.

У даній статті пропонується узагальненняпідходу [7] для побудови єдиних співвідношеньМСЕ в змішаному варіанті незалежно від стис-ливості матеріалів при збереженні переваг мо-ментної схеми МСЕ.

При чисельному моделюванні задач меха-ніки суцільних середовищ необхідно розв’язува-ти системи нелінійних рівнянь високого поряд-ку, для яких не існує прямих методів. Томувикористовуються ітераційні методи на базі лі-неаризованих рівнянь. Для процесів, що намирозглядаються, лінеаризація повинна виконува-тись для фізичних рівнянь (рівнянь стану). Якпоказали чисельні дослідження МСЕ, це мож-на зробити на рівні визначення дискретних спів-відношень для скінченних елементів, якщо за ос-нову взяти матриці жорсткості та в’язкості, яків комбінації дадуть змогу моделювати властивос-ті широкого класу матеріалів.

Для побудови лінеаризованих рівнянь МСЕв переміщеннях або швидкостях переміщень зви-чайно застосовується метод Рітца, який забезпе-чує симетрію матриць (якщо це можливо) систе-ми рівнянь завдяки застосуванню варіаційнихпринципів. Так, при отриманні матриці жорст-кості для пружного тіла можна використати ви-раз для роботи внутрішніх сил скінченних еле-ментів на можливих переміщеннях:

δ = δ ε σ = δ ε σ∫ ∫CE CE

т т

CE1

2

V V

W dV dV , (7)

де VCE – область навколо початку координат;

σ = σ σ σ σ σ σ11 22 33 12 13 23 т [ ] – вектор напружень,

який визначається через вектор деформацій ε == ε ε ε ε ε ε11 22 33 12 13 23 т[ 2 2 2 ] і матрицю [E] парамет-

рів пружності матеріалів:

σ = [E]ε, (8)

=

1111 1122 1133 1112 1113 1123

2222 2233 2212 2213 2223

3333 3312 3313 3323

1212 1213 1223

1313 1323

2323

[ ]

C C C C C C

C C C C C

C C C CE

C C C

C C

C

,

µ =+ ν

0,51

e E , ν

λ =+ ν − ν(1 )(1 2 )

e E– коефіцієнти пруж-

ності, що залежать від температури і деформа-цій; = µ + + λ( )ijkl e ik jl il jk e ij kl

VC g g g g g g – ком-

поненти тензора пружності ізотропних пружнихматеріалів; gij – компоненти метричного тензоракоординатної системи. Беручи до уваги співвід-ношення з [7. с. 59], що дають змогу записатизалежність деформацій від вузлових переміщеньу вигляді

ε = [B ]U , (9)

можна привести (7) до остаточного варіанта:

δ = δ ε ε =∫CE

т

CE [ ] V

W E dV

= δ = δт тт

[ ] [ ][ ] [ ] eU B E B U U K U ,

де [K e] = [B]т[E][B] – матриця жорсткості СЕ;δ U – вектор можливих вузлових переміщень.

При розгляді в’язкотекучих матеріалів ви-значається матриця в’язкості СЕ. Для цього ви-користовується потужність роботи внутрішніх сил:

•δ = δ ς σ = δ ς σ∫ ∫

CE CE

т тCE

1

2 V V

W dV dV , (10)

де σ – вектор напружень, зв’язаний з векто-

ром швидкостей деформацій ς = [ς11 ς22 ς33 2ς12

2ς13 2ς23]т

матричним співвідношенням σ == [M ]ς; [M] – матриця в’язкості, яка форму-

ється з компонент тензора в’язкості ijklVC ана-

логічно (8); = µ + + λ( )ijkl V ik jl il jk V ij klVC g g g g g g ; µV,

λV – коефіцієнти в’язкості першого та другогороду, що є функціями температури та швидкос-тей деформацій. Із врахуванням залежності міжвекторами швидкостей переміщень V і дефор-мацій ς = [B ]V потужність роботи (9) можназаписати у вигляді

•δ = δ ς ς =∫

тCE [ ]

CEV

W M dV

симетрично


= δV т[B ]

т[M ][B ] V =

= δV т[KV ]V , (11)

де [KV] = [B ]т[M ][B ] – матриця в’язкості СЕ.

У випадку формування системи рівняньМСЕ змішаного типу, коли невідомими, крім пе-реміщень, є напруження, використовуються уза-гальнені варіаційні принципи, які можна сфор-мулювати з допомогою множників Лагранжа.Так, при розгляді слабостисливих ізотропних тілдо складу невідомих доцільно приєднати се-реднє напруження σs. Для цього рівняння станудля пружного тіла необхідно записати у вигляді

σ = + σ = ε + σ% [ ]s ss g E g , (12)

де s – вектор девіатора напружень; g = [g11

g22 g33 g12 g13 g23]т

– вектор, елементами якого єконтраваріантні компоненти метричного тензо-ра, а матриця пружності %[ ]E відрізняється від [E ]

тим, що при обчисленні lVijkC замість λe підстав-

ляється коефіцієнт λ% e λ = − µ%( 2 /3)e e для виді-

лення девіатора напружень. Об’ємна деформа-ція ізотропного матеріалу залежить тільки відсереднього напруження:

σθ − = θ − η σ = 0es

sek,

де − ν

η = =1 3(1 2 )e

ee ek E

– коефіцієнт об’ємної стис-

ливості, який прямує до нуля (ν → 0,5e ; η → 0e ;

→ ∞ek ), коли матеріал стає нестисливим; E e –модуль Юнга; νe – коефіцієнт Пуассона. По-множивши ліву частину (12) на варіацію серед-нього напруження δσs як множник Лагранжа,додамо цей добуток до підінтегрального ви-разу (7) і з врахуванням (11) отримаємо варі-ант відображення варіації δWCE скінченного еле-мента змішаного типу:

°•

δ =CEW

= δ ε ε + σ δθ + θ − η σ δσ∫ %CE

т( [ ] ( ) )es s s

V

E dV . (13)

Як показали чисельні експерименти, для об-числення зміни об’єму СЕ в цілому ΘCE до-статньо обмежитись однією точкою інтегруванняв центрах граней. При розгляді полілінійного СЕз позицій моментної схеми МСЕ об’ємна дефор-мація θ та середні напруження σs в межах СЕвважаються сталою величиною, що дає можли-

вість обчислити другий і третій члени інтеграла(13):

σ δθ + θ − η σ δσ =∫CE

( ( ) )es s s

V

dV

= σ δθ + θ − η σ δσ =CE( ( ) )es s s V

= σ δΘ + Θ − η σ δσCE CE CE( )es s sV . (14)

Беручи до уваги (10), (12) і (14), запишемо(13) у вигляді

δ = δ ε ε +∫ %%CE

тCE [ ]

V

W E dV

+ σ δΘ + Θ − η σ δσ =CE CE CE( )es s sV

= δ + δ σ +%т т [ ] esU K U U N

+ δσ − δσ η σ = δ Φ Η Φ%т тCE [ ] e e

s s sN U V ,

де %[ ]eH – змішана матриця для пружного СЕ:

=

− η

%%

тCE

[ ] [ ]

( )

ee

e

K NH

N V.

Тут %[ ]eK – матриця жорсткості СЕ відноснозміни його форми; N – вектор впливу вузло-вих переміщень на об’ємну деформацію СЕ;

Φ = σ

s

U– змішаний вектор невідомих СЕ,

який складається з вектора вузлових перемі-щень та середнього напруження, яке вважаєтьсявіднесеним до центра СЕ.

Аналогічно знаходиться матриця змішано-го типу для в’язкого стисливого СЕ, коли за не-відомі величини береться вектор вузлових швид-костей v разом із середнім напруженням σs.

Для врахування стисливості скористаємось рів-нянням збереження маси (4) у вигляді

⋅ ρ = ⋅ + ⋅ ρ =ρ ρ1 1

( )v v v∇ ∇ ∇

= ⋅ − η ⋅ σ = 0esv v∇ ∇ , (15)

де вважається, що зміна початкової густини ρ0

матеріалу залежить від напруження σs: ρ = ρ0 ×× − η σ(1 )e

s . За допомогою множника Лагранжа

δσ та рівняння (15) враховується стисливість дляв’язкого середовища в змішаній матриці %[ ]VH

для в’язкого СЕ:


=

− η

%%

TCE

[ ] [ ]

( )

VV

V

K NH

N V, (16)

де %[ ]VK – матриця в’язкості СЕ; N – векторвпливу вузлових швидкостей на швидкість об’єм-

ної деформації СЕ; Ψ = σ

s

V– змішаний век-

тор невідомих для в’язкого стисливого СЕ, якийскладається з вектора вузлових швидкостей i се-реднього напруження. Коефіцієнт стисливості

ηV в (16) є змінною величиною ⋅ σ

η =σ

V s

s

v ∇, яка

на початку при σ = 0s покладається рівною ну-

лю ( η = 0V ) – умова нестисливості. Градієнт σs∇обчислюється через вузлові значення σs, які до-рівнюють середньоарифметичним значенням тихнапружень СЕ, що входять у “зірку” скінчен-них елементів відповідного вузла.

Важливим застосуванням матриць СЕ змі-шаного методу є дослідження слабостисливих танестисливих середовищ незалежно від їх стану іособливо тоді, коли в процесі переробки мате-ріалів або будь-якої взаємодії тіл різної приро-ди властивості їх змінюються в широкому діапа-зоні, куди включається, зокрема, і перехід відстисливого до повністю нестисливого стану, інавпаки. Це характерно для процесів екструзії талиття полімерів, пресування пористих матеріалівтощо. Але слід зазначити, що дослідження тількистисливих матеріалів на основі використання за-значених матриць і запропонованого змішаногопідходу до розв’язання задач механіки не завждиє раціональним, оскільки результати, отриманізмішаним методом, повністю збігаються з ре-зультатами прямого методу переміщень СЕ (набазі матриць жорсткості [K e] або в’язкості [K V ]).

Багато процесів хімічних виробництв є не-ізотермічними і супроводжуються явищами теп-ло- і масопереносу. Математичне моделюванняїх здійснюється за допомогою спільного розв’я-зання рівнянь руху (1) та збереження енергії (2),яке з точки зору застосування МСЕ доцільнозаписати у вигляді варіаційного рівняння:

λ ⋅ δ + ⋅ δ −∫ ∫T T( )V V

T T dV c T TdVv∇ ∇ ∇

− δ + α − δ =∫ ∫T T c( ) 0V S

D TdV T T TdV , (17)

де $= σ ⋅ ⋅ ς +$T ( )vD Q – швидкість надходження теп-

ла до одиниці об’єму тіла за рахунок дисипаціїенергії руху та зовнішнього джерела тепла; αт –

коефіцієнт тепловіддачі (може залежати від тем-ператури) на зовнішній поверхні тіла S; Тс –температура зовнішнього середовища.

Рівняння МСЕ для теплопередачі будуютьсяна основі матриць СЕ, що характеризують пере-несення тепла за рахунок температурної дифу-зії і руху середовища. Як і при розгляді рівняньруху, зупинимось на виводі матриці теплопере-дачі для шестигранного криволінійного елемен-та. Розподіл температури T в межах СЕ подає-мо аналогічно компонентам швидкостей на ба-зі полілінійних функцій форми ( )iN :

= + + + +(1) (2) (3) (4)(1) (2) (3) (4)T T N T N T N T N

+ + + +(5) (6) (7) (8)(5) (6) (7) (8)T N T N T N T N

або в матричному вигляді

= ( ) [ ] iT L T ,

= (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)[ ] [ ]L N N N N N N N N .

Вектор-градієнт температури визначаєтьсяформулами

= =( ) ( ) [ ][ ] [ ] i iT L T G T∇ ∇ ,

′ ′ ′

∂ ∂ ∂ = ∂ξ ∂ξ ∂ξ

T

1 2 3[ ]∇ ,

=[ ] [ ][ ]G L∇ .

Матриця теплопередачі СЕ T[ ]K дорівнює

сумі двох матриць: = Π + ΞT T T[ ] [ ] [ ]K – матриці

теплопровідності Π T[ ] та конвекції ΞT[ ], які ви-значаються з першого та другого членів рівнян-ня (17) і записуються у вигляді матриць:

Π = λ =∫T

T T*

0,5

[ ] [ ] [ ] [ ]CEV

G g G dV

−

= λ ξ ξ ξ∫ TT

0,51 2 3*

0,5

[ ] [ ] [ ]G g G gd d d , (18)

Ξ = =∫ T T TT T

CE

*[ ] [ ] [ ] [ ]V

L J v G c dV

−

= ξ ξ ξ∫ T T TT

0,5* 1 2 3

0,5

[ ] [ ] [ ] [ ]L J V N G c gd d d , (19)

де *[ ]g – матриця контраваріантних компонент

метричного тензора; −= 1*[ ] [ ]J J – обернена мат-


риця Якобі; V – вектор вузлових швидкостейСЕ. На основі багатьох чисельних експеримен-тів встановлено [3, 4], що завдяки малим розмі-рам СЕ теплотехнічні (λт, ст) та геометричні па-раметри ( *[ ]J , *[ ]g , g ) в об’ємі СЕ мало змі-нюються і можна їх вважати сталими величина-ми і обчислювати матриці теплопередачі в замкну-тому вигляді. В результаті суттєво зменшується об-сяг обчислювальної роботи і підвищуються ефек-тивність та можливості процесів чисельного мо-делювання. Розроблені рівняння МСЕ введені вінтегровану систему VESNA [8] для моделю-вання технологічних процесів, пов’язаних із про-цесами тепломасопереносу. При цьому слід під-креслити, що з формул (18), (19) випливає симет-рія матриці теплопровідності Π T[ ] і несиметрич-

ність матриці конвекції ΞT[ ]. У системі VESNA цевраховується шляхом реалізації методу Хaлець-кого для розв’язання систем алгебричних рів-нянь із несиметричними матрицями.

Аналіз результатів чисельних досліджень

Дослідження взаємного впливу пружної де-формації конструктивних елементів формую-чого устаткування та параметрів течії полімер-ного матеріалу в його формуючих каналах про-водилося на модельній конструкції плоскощі-линної головки.

Схему нанесення сіткової області на конст-руктивні елементи та формуючі канали головки,що моделюється, наведено на рис. 1.

Оскільки конструкція симетрична по двохосях, розрахунки проводилися по чверті форму-вальної порожнини та конструктивних елемен-тів головки.

На рис. 2 показано відмінність між розпо-ділами швидкостей руху поліетилену високої гус-тини на виході з формуючої щілини плоскощі-линної головки без врахування і з врахуваннямпружної деформації її корпусу.

З отриманих результатів чисельних дослід-жень (див. рис. 2) випливає, що за наявностіпружної деформації конструктивних елементівкорпусу картина течії розплаву у формуючихканалах якісно змінилася і різниця швидкостейу центральній зоні і на краях формуючої щі-лини навіть стала зворотною. Моделювання те-чії розплаву на виході з головки, в якій форму-ючі канали спрофільовані без врахування пружноїдеформації конструктивних елементів, показуємайже рівномірний розподіл швидкостей поширині з невеликим збільшенням по краях. В той

же час, моделювання процесу формування із вра-хуванням деформації корпусу головки показує,що висота щілини в центральній зоні збільшу-ється, а внаслідок цього витрата розплаву в ційзоні перевищує витрати по краях формуючоїщілини.

Для дослідження впливу жорсткості конст-руктивних елементів корпусу головки проведе-но чисельне моделювання залежності розподілушвидкостей руху розплаву полімеру на виході зформувального каналу від циліндричної жорст-кості головки, яку визначали за формулою

=− ν

3

212(1 )

EhD ,

де Е та ν – модуль пружності та коефіцієнтПуассона матеріалу корпусу, відповідно; h – тов-щина стінки корпусу.

Графік співвідношення швидкостей розп-лаву по центру та на краях формуючої щіли-ни головки залежно від величини циліндричноїжорсткості стінки корпусу наведено на рис. 3.

Залежність величини найбільшого прогинустінки корпусу від її циліндричної жорсткостіпоказано на рис. 4.

Залежності на рис. 3 і 4 мають нелінійнийхарактер, оскільки із збільшенням деформації сті-нок корпусу головки відбуваються локальні змі-ни в’язкості, швидкості, тиску і т. д. Після до-сягнення значення жорсткості понад 6Н ⋅м про-гин формуючих конструктивних елементів плос-кощілинної головки незначний і майже не впли-ває на розподіл швидкостей полімеру в кана-лах.

Як інший приклад взаємовпливу пружнос-ті конструктивних елементів формуючого устат-

Рис. 1. Сіткова область модельної головки


кування та параметрів течії перероблюванихматеріалів у його каналах розглядався процес фор-мування листа з гумової суміші в черв’ячно-вал-ковому агрегаті (ЧВА). Просторова модель течіїгумової суміші 2Р-581 безпосередньо у форму-ючій зоні ЧВА являє собою геометрично склад-ний перехід від циліндричного каналу черв’яч-ної машини до міжвалкового зазору формуючоїголовки з валками, що обертаються. На рис. 5показано скінченноелементну розрахункову схе-му верхньої половини формуючої головки, си-метричної відносно горизонтальної площини,

що проходить крізь середину міжвалкового за-зору. Діаметр валків – 500мм, ширина форму-ючої зони – 600мм, швидкість обертання вал-ків – 40м/хв, зазор між валками – 4мм.

В ході чисельного моделювання досліджу-вались просторові поля розподілу тиску у фор-муючій зоні, швидкостей течії перероблювано-го матеріалу із врахуванням зміни його реоло-гічних властивостей для різних технологічнихрежимів у взаємозалежності з прогином валків.Конфігурація перехідної формуючої зони ЧВАвідрізняється від інших валкових машин, тому

Рис. 2. Розподіл швидкостей розплаву на виході з головки: а – без врахування деформації корпусу; б – із врахуваннямдеформації корпусу

3,0082,9332,8582,7822,7072,6322,5572,4822,4062,3312,2562,1812,1062,0301,9551,8801,8051,7301,6541,5791,5041,4291,3541,2781,2031,1281,0530,9780,9020,8270,7520,6770,6020,5260,4510,3760,3010,2260,1500,0750,000

а б

ив


якісна картина процесу формування та прогинувалків у ньому відрізняється від таких для ка-ландрування й вальцювання, що свідчить прообгрунтованість застосування для подібних об’єк-

тів лише тривимірних моделей. Наведений прик-лад відображає можливості розробленої матема-тичної моделі здійснення зв’язаного розв’язан-ня пружної, теплової та нелінійнов’язкої задач.

Як приклад, на рис. 6 наведено графікипрогину робочої частини валків для різних тем-пературних режимів формування листових гу-мових виробів.

Прогин валків зростає із зменшенням тем-ператури формування і для даних умов досягає0,02мм, що в свою чергу впливає на рівнотов-щинність вихідного продукту. Для уточненого мо-делювання пружної деформації конструктивнихелементів устаткування та процесу формуваннявиробів необхідно враховувати їх взаємний вплив.

Висновки

Отримані на основі моментної схеми мат-риці скінченних елементів є універсальними дляїх ефективного застосування для розв’язання за-дач термопружності і тепломасопереносу як твер-дих тіл, так і рідин та газів. Це дає можливістьу рамках системи автоматизованого проектуван-ня машин та апаратів хімічних виробництв насучасному рівні виконувати розрахунки міцностіта витривалості конструкцій при термосиловихнавантаженнях, розробляти нові технологічні про-цеси переробки матеріалів із врахуванням їх ре-альних властивостей та особливостей взаємодії зелементами обладнання.

Запропоновані і опробовані алгоритми та ме-тодика чисельних розрахунків можуть бути ре-комендовані для чисельного моделювання течіїполімерних матеріалів із змінними властивос-тями у формуючих каналах устаткування з ру-хомими та нерухомими деформівними стінками

Рис. 3. Залежність співвідношення швидкостей розплаву навиході з головки від циліндричної жорсткості стінкикорпусу

2,2

2

1,8

1,6

1,4

1,2

1

Логарифм жорсткості, Н ⋅м87654

Vц/Vк

987654

3

2,5

2

1,5

1

0,5

0

Логарифм жорсткості, Н ⋅м

Виги

н,м

м

Рис. 4. Залежність найбільшого прогину стінки корпусу відїї циліндричної жорсткості

Рис. 5. Скінченноелементна розрахункова схема формуючоїголовки ЧВА

Рис. 6. Прогин робочої частини валка при температурах гу-мової суміші у формуючій зоні, °С: 1 – 40; 2 – 60;3 – 80

Номер вузла

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Пер

еміщ

ення

вузл

а,

мм

0,5⋅10−2

0

1,5⋅10−2

1,0⋅10−2

2,0⋅10−21

3

2


і нерівномірними температурними полями. Цедає змогу виключити або значно скоротити про-ведення коштовних і довготривалих натурних екс-периментів.

Розроблені математична модель та методи-ка можуть застосовуватись для практичного ви-користання в ході проектування технологічногоустаткування і оптимізації його конструктивно-технологічних параметрів.

Напрямками подальших досліджень можебути чисельне моделювання таких процесів таобладнання переробки й формування полімер-них матеріалів і виробів, як екструзійне форму-вання погонажних виробів, лиття під тиском,вальцювання та каландрування із врахуваннямфазових переходів, залишкових напружень і пруж-ної деформації конструктивних елементів пере-робного обладнання.

А.С. Сахаров, В.И. Сивецкий, А.Л. Сокольский

ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯРАСЧЕТА УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕДС ПЕРЕМЕННОЙ СЖИМАЕМОСТЬЮ ПРИ ТЕРМО-СИЛОВЫХ НАГРУЗКАХ

На базе моментной схемы конечных элементовпостроены универсальные соотношения механи-ки сплошных сред, которые дают возможностьмоделировать термонапряженное состояние и про-цессы переработки и формирования таких нели-нейных рабочих сред, как расплавы полимеров,сыпучие и пластичные массы в изделия с учетомпроцессов твердения и влияния остаточных на-пряжений на свойства конечных изделий.

О.S. Saharov, V.I. Sivetskiy, О.L. Sokolskiy

THE DISCRETE MATHEMATICAL MODELS FORCALCULATION OF ELASTIC-VISCID-PLASTIC EN-VIRONMENTS WITH VARIABLE COMPRESSIBI-LITY AT THERMOPOWER LOADINGS

In this paper, we construct the universal correlati-ons of mechanics of continuous environments on thebase of moment chart of finite elements. They allowdesigning the thermostress state and the processesof processing and formation of such nonlinear wor-king environments as polymers fusions, friable andplastic masses in the products, given that hardeningand the influence of remaining tensions on the pro-perties of the end products are considered.

1. Сівецький В.І., Сокольський О.Л., Сідоров Д.Е., Ткачен-

ко С.М. Моделювання параметрів течії неньютонів-

ських рідин у формуючих каналах екструзійного облад-

нання // Матер. 23-й ежегодной междунар. конф. и выс-

тавки “Композиционные материалы в промышленнос-ти” (2–6 июня 2003 г.). – Ялта, 2003. – С. 99–101.

2. Zhao J., Mascia L., Nassehi V. Simulation of the rheologi-

cal behavior of polymer blends by finite element analysis //Adv. Polym. Technol. – 1997. – 16, N 3. – P. 206–226.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. – М.: На-

ука, 1970. – T. 1. – 492 с. T. 2. – 568 с.

4. Киричевский В.В., Сахаров А.С. Нелинейные задачи тер-

момеханики конструкций из слабосжимаемых эласто-меров. – К.: Будівельник, 1992. – 216 с.

5. Метод конечных элементов в механике твердых тел /Под общ. ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. – К.:

Вища шк., 1982. – 480 с.

6. Сахаров A.С., Баженов В.А., Цыхановский В.К. Момент-

ная схема метода конечных элементов в задачах не-

линейной механики сплошной среды // Прикл. ме-ханика. – 2002. – 38, 6. – С. 24–63.

7. Сахаров О.С., Сівецький В.І., Сокольський О.Л., Щерби-

на В.Ю. Розробка скінченноелементної математичної мо-

делі руху неньютонівських слабостисливих та нестисли-вих рідин // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2004. – 2. –С. 56–65.

8. Щербина В.Ю., Гондлях О.В., Сівецький В.І., Саха-

ров О.С. САПР. Інтегрована система моделювання тех-

нологічних процесів і розрахунку обладнання хімічноїпромисловості: Навч. посібник – К.: НТУУ “КПІ”,

2006. – 156 с.

Рекомендована Радою інженерно-хіміч-ного факультету НТУУ “КПІ”



УДК 621.785

В.Г. Хижняк, Н.А. Курило, І.В. Летвицька,О.Т. Сердитов

АЗОТОТИТАНУВАННЯ СТАЛЕЙ І ТВЕРДИХСПЛАВІВ

Вступ

Підвищення контактних навантажень, швид-костей роботи деталей машин та інструментів якактуальної задачі потребують збереження або на-віть зростання терміну їх експлуатації. Руйнуван-ня поверхневих шарів виробів, яке відбуваєтьсячерез абразивне, окиснювально-дифузійне, ерозій-не зношування, корозію тощо, значно знижуєтьсяпри нанесенні високотвердих покриттів на осно-ві карбідів, нітридів та боридів перехідних мета-лів IV–VI груп періодичної системи [1–3]. Заразця задача успішно розв’язується методами фізич-ного і хімічного осадження покриттів з паровоїфази, а також методами хіміко-термічної оброб-ки [1, 2, 4–6]. За допомогою методу фізичногоосадження отримуються покриття при темпе-ратурах підкладки не вище 500–560°С. Відносноневисокі температури насичення дозволяють збе-регти ефект від попередньої зміцнювальної тер-мічної обробки. Знайшли своє промислове вико-ристання методи хімічного осадження з паровоїфази, які дають можливість отримувати одно-і багатошарові покриття типу TiC, TiC–TiN,TiC–TiN–Al2O3. Порівняно з одношаровими по-криттями багатошарові показали вищі експлу-атаційні характеристики в умовах різання бага-тогранними твердосплавними пластинами з ме-ханічним кріпленням.

Відомі одно- і багатошарові покриття на ос-нові карбідів та інтерметалідів перехідних мета-лів IV–VI груп періодичної системи на сталях ітвердих сплавах, які отримуються методами хі-міко-термічної обробки [1, 4, 7, 8]. Це покрит-тя типу TiC, VC–V2C, ZrC, VC–Cr7C3, TiC–Ni3Ti–NiTi. Вони відрізняються від отриманихіншими методами високою твердістю, значноюадгезією з вихідним сплавом, практичною не-пористистю та високими експлуатаційними влас-тивостями.


Науково-технічна інформація про формуван-ня на сталях і твердих сплавах багатошарових

карбонітридних покриттів методами дифузійноїметалізації має обмежений характер [9, 10]. Ана-ліз відомих методів хіміко-термічної обробки по-казав, що їх безпосереднє використання із зазна-ченою метою обмежене технологічними трудно-щами процесів. Цілком зрозуміло, що для ство-рення нових комплексних карбонітридних по-криттів на сталях і твердих сплавах доцільновикористовувати дві технології. Це азотування,яке дозволить отримати у сплавах певну кіль-кість азоту, та дифузійна металізація, завдяки якійчастина азоту буде зв’язана в нітриди.

Таким чином, метою роботи є нанесення наповерхню сталей і твердих сплавів комплекснихкарбонітридних покриттів при наявності тита-ну, вуглецю і азоту методами хіміко-термічної об-робки, дослідження їх фазового складу, структу-ри, товщини, мікротвердості та зносостійкості вумовах тертя ковзання без змащування.

Методика і техніка експерименту

Процес азототитанування реалізовувався удва послідовні етапи: азотування і титанування.За об’єкти дослідження було вибрано технічне за-лізо, сталь 20, сталь 45, У8А, 9ХС, ХВГ, Х12М,ШХ15 та тверді сплави ВК8 і Т5К10.

Азотування проводилось при температурі540°С протягом 36 год в атмосфері аміаку прирівні дисоціації 47–55%. Титанування відбува-лось при зниженому тиску за температури 1050°Спротягом чотирьох годин. Як вихідні реагенти ви-користовувався порошок титану, деревне вугіл-ля та чотирихлористий вуглець [4]. Фазовийсклад покриттів визначався на рентгенівськомудифрактометрі ДРОН УМ-1 в мідному монохро-матизованому випромінюванні. Розшифровка ди-фрактограм здійснювалась за допомогою програм-ного забезпечення PowderCell 2.4. Металографічнідосліди проводились на мікроскопі Axiovert 40MAT. Мікротвердість і товщина покриттів вимі-рювались приладом ПМТ-3.

Випробування зносостійкості проводилосьна токарному верстаті 16К20 в умовах тертя ков-зання без змащування за схемою вал–вкладка.Як контртіло використовувався циліндр діамет-ром 30мм із сталі Р18 з твердістю 62HRC. Зносвизначався за площиною лунки, утвореної в ре-зультаті контакту поверхні зразка і контртіла. На-вантаження задавалось ричажним механізмом ізмінювалось від 15 до 45Н. Швидкість ковзан-ня знаходилась в інтервалі 0,09–0,36м/с, час ви-пробування становив 120–600с. Підготовка зраз-ків до випробування на зносостійкість складалась


з кількох етапів. Спочатку обробкою за допомо-гою миючих засобів видалялись всі мастильні за-бруднення. Потім дрібнозернистим наждачнимпапером знімались всі інші забруднення. Напри-кінці підготовки зразки знежирювались етило-вим спиртом. Величина зносу оцінювалась змі-ною площини лунки зношування.

Результати роботи

Результати досліджень фазового складу, тов-щини і мікротвердості покриттів наведено в таб-лиці.

Рентгеноструктурним аналізом встановле-но, що після азототитанування дифузійний шарна більшості досліджених у статті сплавах скла-дається з карбіду титану TiC, розташованого назовнішньому боці покриття, та нітриду титануTiN, який безпосередньо примикає до основи.Лише на технічному залізі формується одноша-рове покриття на основі TiN. Періоди кристаліч-ної гратки TiC і TiN у комплексному покриттістановлять відповідно 0,42490–0,43409 і 0,42259–0,43058нм і залежать від складу вихідного спла-ву.

Таблиця. Фазовий склад, товщина і мікротвердість дифузійних покриттів на сплавах після азототитанування ∗

Матеріал основи Хіміко-термічна обробка Фазовий склад поверхні Товщина, мкм Мікротвердість, ГПа

Технічне залізо Азотування Fe2–3N 7,5 4,4

Fe4N 7,5 5,5

Титанування TiC 0,5 30

Азототитанування TiN 3,0 27,4

Fe2Ti 1,5 –

FeTi 1,0 –

Сталь У8А Азотування Fe2–3N 11,0 5,6

Fe4N 10,5 7,2

Fe3O4 – –

Титанування TiC 18,4 34,0

Азототитанування TiC 11,0 38,4

TiN 3,3 29,0

Сталь Х12М Азотування Fe2–3N 8,0 6,3

Fe4N 8,0 13,6

Fe3O4 – –

CrN** – –

Титанування TiC 8,0 32,0

Азототитанування TiC 6,3 36,4

TiN 3,0 30,4

ВК8 Азототитанування TiC 4,0 34,0

TiN 2,3 27,2

Т5К10 Азототитанування TiC 5,0 34,0

TiN 2,0 27,2

∗∗ Наведено фазовий склад, товщину і мікротвердість зони сполук.

∗∗ СrN утворюється в основній зоні азотованого шару.


З літературних джерел [11] відомо, що пе-ріод кристалічної гратки нітриду титану TiN, от-риманого методом порошкової металургії, в ме-жах області гомогенності змінюється від 0,42157до 0,42358нм. Нітрид TiN, близький до стехіо-метричного складу, характеризується великоюконцентрацією вакантних позицій в металевій інеметалевій підгратках. Ймовірно, що нітрид ти-тану TiN, який утворився при хіміко-термічнійобробці, має меншу кількість вакансій, що зумов-лено розчиненням у нітриді певної кількості вуг-лецю і металів основи. Внаслідок цих процесіввідбувається збільшення періоду гратки.

Встановлено, що періоди граток α-заліза піс-ля титанування та у вихідному стані різняться міжсобою і становлять 0,28691 і 0,28665нм, відпо-відно. Відомо, що ефективний розмір титану втвердому розчині α-заліза більший за ефектив-ний розмір заліза [12]. Для α-заліза з вісь-цент-рованою кристалічною граткою ефективний ра-діус заліза становить 0,124нм, для титану –0,136нм. При утворенні твердого розчину тита-ну в α-залізі концентрація безпосередньо за гра-

ницею розділу Fe2Ti–Fe-α може досягати 6% замасою [13]. Мікроструктури деяких сплавів піс-ля хіміко-термічної обробки наведено на рис. 1.

Шар карбіду титану TiC, розташований ззовнішнього боку, має білий колір і практичнонепористий, а нітридний шар TiN – характер-ного жовтувато-червоного кольору. Границі TiC–TiN (TiN–основа) добре виражені. Безпосеред-ньо під зоною сполук TiC і TiN утворюєтьсябільш травна перехідна зона.

Структура і склад поверхні, які формуютьсяпід час азотування, після наступного титану-вання істотно змінюються. Зникає зона нітри-дів Fe2-3N і Fe4N. Частина азоту дифундує до по-верхні з утворенням нітриду титану TiN, части-на – в центральні зони основи. При цьому від-бувається зміна структури перехідної зони під ша-ром карбіду і нітриду. Так, у структурі перехідноїзони сталі Х12М після азототитанування мож-на розрізнити світлі зерна карбідів і нітридів натемному фоні перліту. Характерна сітка нітри-дів, яка утворилася після азотування, зникає.

а б в

г д є

Рис. 1. Структура технічного заліза (а, б, в ) і сталі У8А (г, д, є ) після: а, г – азотування (Т = 540 °С, τ = 36 год); б, д – титану-

вання (Т = 1050 °С, τ = 4 год); в, є – азототитанування (азотування – Т = 540 °С, τ = 36 год, титанування – Т = 1050 °С,τ = 4 год), ×200, зменшено в чотири рази

×200

×500


Карбідна складова дифузійної зони форму-ється переважно завдяки вуглецю основи. Це по-яснює той факт, що максимальний за товщиноюшар TiC утворюється на сталі У8А і становить11,0мкм, а мінімальний на твердих сплавах –4,0–5,0мкм (рис. 2).

Після охолодження на повітрі в структуріазототитанованої сталі ХВГ безпосередньо в пе-рехідній зоні можна виявити зону відпущеногомартенситу з мікротвердістю 8ГПа і залишковогоаустеніту (рис. 3). Це зумовлено, скоріше, на-явністю великої кількості азоту, який зменшуєкритичну швидкість гартування і сприяє утво-ренню мартенситної структури.

Товщина зони TiN для вибраних умов ти-танування незначною мірою залежить від скла-ду основи і становить 2,0–3,5мкм. Азотованийшар на твердих сплавах рентгеноструктурним іметалографічними методами не виявляється. Втой же час, після азототитанування на поверхнісплавів ВК8 і Т5К10 формується двошарове по-криття TiC–TiN, що підтверджує розчинення азо-ту при азотуванні, скоріше, в кобальтовій зв’яз-ці. Результати вимірювання мікротвердості комп-лексних покриттів наведено на рис. 4.

Аналіз отриманих даних показав, що шаркарбіду титану TiC з максимальною мікротвер-дістю утворюється на сталі У8А – 38,4ГПа, мі-німальною – на сталі 20 і твердих сплавах –32,0–34,0ГПа. Мікротвердість шару нітриду ти-тану TiN незначною мірою залежить від складуоснови і становить 27,0–30,0ГПа. Зміна мікро-твердості у двошарових покриттях TiC і TiN відповерхні до основи порівняно з одношаровим TiCбільш плавна, що буде позитивно впливати на

стійкість покриттів в умовах контактної взаємо-дії. Зносостійкість сталі У8А після азототитану-вання в умовах тертя ковзання без змащуванняв 1,4 раза більша, ніж після титанування, в 3,4раза, ніж після азотування, і в 4,4 раза, ніж ста-лі У8А без обробки (рис. 5).

Підвищення зносостійкості сталі У8А піс-ля дифузійної металізації порівняно з необроб-леною можна пояснити підвищенням поверхне-вої мікротвердості та низьким коефіцієнтом тер-тя в зоні контакту. Макроаналіз поверхонь зно-шування сталей з покриттями показав, що за

Рис. 2. Залежність товщини шарів ТіС і TiN після азототи-танування сталей (Т = 1050 °С, τ = 4 год) і твердихсплавів (Т = 1050 °С, τ = 2 год) від вмісту вуглецю

Матеріал основи

TiN

Тов

щина

шар

ів,м

км

TiC

Т5К

10

Ста

льХ

12М

Арм

ко-

залі

зоС

таль

20С

таль

45С

таль

У8А

Ста

льШ

Х15

Ста

ль9Х

С

Ста

льХ

ВГ

ВК

8

12

10

8

6

4

2

0

Рис. 3. Структура сталі ХВГ після азототитанування (азо-тування – Т = 540 °С, τ = 36 год, титанування – Т == 1050 °С, τ = 4 год), зменшено в 2,33 раза

Рис. 4. Мікротвердість шарів ТіС і TiN після азототитану-вання сталей (Т = 1050 °С, τ = 4 год) на сталях і твер-дих сплавах

TiN

Мік

ротв

ерді

сть,

ГП

а

TiC

Т5К

10

Ста

льХ

12М

Арм

ко-

залі

зоС

таль

20С

таль

45С

таль

У8А

Ста

льШ

Х15

Ста

ль9Х

С

Ста

льХ

ВГ

ВК

8

45

40

0

35

30

25

20

15

10

5

Матеріал основи

×200


умов мінімальних контактних навантажень ішвидкостей ковзання, вибраних у статті, спосте-рігаються лінії, направлені по ходу тертя. Ви-никнення цих ліній зумовлено дією твердих час-ток карбіду або нітриду титану, які відокремлю-ються від покриття і діють як абразивний ма-теріал.

Незважаючи на те, що мікротвердість шарунітриду титану в композиції TiN–TiC дещо ниж-ча за мікротвердість карбіду титану, порівняльнірезультати зносу У8А після титанування і азото-титанування свідчать про переваги останніх по-криттів. Більш високі показники зносостійкостідвошарового покриття TiC і TiN зумовлені, ско-

ріше, високими мікротвердістю та адгезією по-криття з основою.

Висновки

1. Показано можливість отримання на по-верхні сталей і твердих сплавів багатошарових по-криттів типу карбід титану–нітрид титану послі-довною реалізацією процесів азотування і дифу-зійного титанування.

2. Рентгеноструктурним аналізом визначено,що параметри кристалічної гратки покриттів TiCі TiN становлять відповідно 0,42490–0,43409 і0,42259–0,43058нм.

3. Встановлено, що шар TiC – суцільний,однорідний за структурою, розташований з зов-нішнього боку покриття. Шар TiN – тонкийжовтувато-золотистого кольору, міститься під ша-ром TiC. Проаналізовано залежність товщини ша-рів покриття від складу основи. На товщину ша-ру TiC значний вплив має вуглець матриці. Мак-симальну товщину шару карбіду титану зафік-совано на сталі У8А – 11мкм, мінімальну – наВК8 – 4мкм. Товщина шару TiN – 2–3мкм.

4. Мікротвердість покриттів TiN становить27,0–30,5 ГПа, TiC – 32,0–38,5ГПа.

5. Зносостійкість сталі У8А з покриттям ти-пу TiN і TiC виявилася вищою за зносостій-кість сталі У8А у вихідному стані в 4,4 раза.

Для аналізу покриття важливе значення маєне лише якісна, але й кількісна оцінка його по-ристості та адгезії з основою, які й будуть ви-значатися авторами в наступних дослідженнях.

В.Г. Хижняк, Н.А. Курило, И.В. Летвицкая,А.Т. Сердитов

АЗОТОТИТАНИРОВАНИЕ СТАЛЕЙ И ТВЕРДЫХСПЛАВОВ

Изучены фазовый состав, строение, микротвер-дость, толщина и износостойкость защитных кар-бонитридных покрытий при участии азота, угле-рода и титана на сталях и твердых сплавах. По-казано, что на поверхности сталей и твердых спла-вов образуется двухслойное покрытие нитрид ти-тана–карбид титана. Износостойкость стали У8Ас карбонитридными покрытиями выросла по срав-нению с исходной в три-четыре раза.

V.G. Khizhniak, N.A. Kurilo, І.V. Letvitska,O.T. Serditov

NITROGENTITANING OF STEELS AND FIRM AL-LOYS

The research described in this paper considers thephase structure, structure, microhardness, thicknessand wear resistance of protective carbide and nitridecoverings, involving carbon and titan on steels andfirm alloys. The research results demonstrate that thetwo-layer covering nitride of the titan–carbide of titanis formed on a surface of steels and firm alloys. Fur-thermore, our research results indicate that wear re-sistance of steel U8А with the carbide and nitride co-verings has increased in comparison with the initialone by 3–4 times.

Рис. 5. Залежність величини зносу сталі У8А у вихідному стані(1 ), після азотування (2 ), титанування (3 ), азототитану-вання (4 ) від навантаження в умовах тертя ковзання беззмащування при τ = 600 с, V = 0,36 м/с

Вел

ичи

на

знос

у,м

м2

35

30

45Навантаження, Н

25

20

15

10

5

030150

1 2

3

4


1. Химико-термическая обработка металлов и сплавов:

Справочник / Г.В. Борисенок, Л.А. Васильев, Л.Г. Во-рошнин и др. – М.: Металлургия, 1981. – 424 с.

2. Самсонов Г.В., Эпик А.П. Тугоплавкие покрытия. –М.: Металлургия, 1973. – 400 с.

3. Ляхович Л.С., Ворошин А.Г. Борирование стали. – М.:

Металлургия, 1967. – 120 с.

4. Лоскутов В.Ф., Хижняк В.Г., Куницкий Ю.А., Киндра-чук М.В. Диффузионные карбидные покрытия. – К.:

Техника, 1991. – 168 с.

5. Шпак А.П., Наконечко О.І., Куницький Ю.А., Соболь О.В.Механічні властивості покриттів на основі титану. – К.:

ІМФ НАН України, 2005. – 80 с.

6. Dellacorte C., Sliney H. The effect of atmosphere on the

Tribological Properties of a Chromium Carbide Based Co-oting for use to 760 °С // Lubrication Eng. – 1987. – 44. –Р. 338–343.

7. Хижняк В.Г., Помарин Ю.М., Курило Н.А., Медова И.Ю.

Диффузионные покрытия на основе карбидов Ti, V и Crна стали У8А // Современная электрометаллургия. –2007. – 4. – С. 30–33.

8. Хижняк В.Г., Карпець М.В., Долгих В.Ю. Нанесение за-

щитных покрытий на безвольфрамовые твердые спла-вы // Порошковая металлургия. – 2003. – 9/10. –С. 118–123.

9. Сігова В.І., Хижняк В.Г., Курило Н.А. Азототитануван-

ня конструкційних та інструментальних сталей // Віс-ник Сумського держ. ун-ту. – 2007. – 2. – С. 73–79.

10. Яськив О.И., Погрелюк И.Н., Федирко В.Н. Фазовый

состав поверхностного слоя на титане, образующийся

при взаимодействии с углерод-азотсодержащей сре-дой // МИТОМ. – 2006. – 3. – С. 35–37.

11. Тот Л. Карбиды и нитриды переходных металлов. –М.: Мир, 1974. – 296 с.

12. Специальные стали: Учебник для вузов / М.И. Гольд-штейн, С.В. Грачев, Ю.Г. Векслер. – М.: Металлур-

гия, 1985. – 408 с.

13. Диаграмма состояния двойных систем на основе же-леза: Справ. изд. / О. Кубашевски; Пер. с англ. – М.:

Металлургия, 1985. – 184 с.

14. Киндрачук М.В., Кульгавый Э.А. Трибологические про-

цессы в гетерогенных системах // Пробл. тертя та зно-шування. – К., 2007. – Вип. 48. – С. 39–54.

Рекомендована Радою інженерно-фі-зичного факультету НТУУ “КПІ”


89

ПРИЛАДОБУДУВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНАТЕХНІКА

УДК 681.3+615.89

О.М. Мелащенко, Л.М. Рижков

ОПТИМІЗАЦІЯ МАГНІТНОЇ СИСТЕМИ СТА-БІЛІЗАЦІЇ МІКРОСУПУТНИКА ЗА ЗМІША-НИМ H2/H∞-КРИТЕРІЄМ

Вступ

Необхідність досягнення високої точностістабілізації мікросупутника (МС) в умовах ді-ючих на нього збурень iз невідомим спектраль-ним розподілом змушує відмовитися від вико-ристання квадратичного критерію якості в зада-чі синтезу зворотного зв’язку. Натомість, опти-мізація системи орієнтації і стабілізації (СОС)МС за Н∞-критерієм дає можливість забезпечи-ти задану точність стабілізації при заданому рів-ні невизначеності моделі мікросупутника, моделідіючих на нього збурень і моделі магнітного по-ля Землі (МПЗ).

Оптимізація магнітної системи стабілізаціїМС за Н∞-критерієм розглядалася в [1], де роз-в’язок поставленої задачі досягається через роз-ширення задачі типового Н∞-синтезу на випа-док лінійних нестаціонарних систем. Виконанетут моделювання повних рівнянь руху МС із син-тезованим зворотним зв’язком дає високі ха-рактеристики за точністю і робастністю замкне-ної магнітної СОС.

Оптимізація магнітної системи стабілізаціїМС за Н2-критерієм розглядалася в [2], де, як ів попередньому випадку, розв’язок поставленоїзадачі досягається через розширення задачі ти-пового Н2-синтезу на випадок лінійних не-стаціонарних систем. Тут демонструється ефек-тивність застосування методу лінійних матрич-них нерівностей у задачі оптимізації магнітноїСОС.

Розглянуті в працях [1, 2] нестаціонарні ал-горитми керування потребують значних ресур-сів бортового обчислювача. Зважаючи на це, в[3] розглядався стаціонарний алгоритм магніт-ної СОС, оптимізованої за лінійно-квадратич-ним критерієм. Показано, що підбором ваго-вих матриць можна досягнути високої точностістабілізації МС в усталеному режимі. З іншогобоку, вимога забезпечення високої якості пере-хідних процесів за неточності моделі МПЗ ведедо необхідності пошуку більш ефективних алго-ритмів магнітної стабілізації.


Метою даної статті є оптимізація пара-метрів магнітної СОС на основі використаннязмішаного Н2/Н∞-критерію. Алгоритми керуван-ня досліджуються за припущення про доступ-ність для зворотного зв’язку повного фазовоговектора МС.

Модель просторового руху МС

Розглядатимемо далі рух МС в орбітальнійсистемі координат O1X0Y0Z0 (рис. 1), центр О 1

якої збігається з центром мас супутника. Згідноз рис. 1, вісь O1X0 розташована в площині орбі-ти і направлена по вектору лінійної швидкості су-путника, вісь O1Z0 направлена по радіус-векто-ру супутника до центра Землі і вісь O1Y0 направ-лена так, щоб утворювалась права система коор-динат (СК).

По осі O1Y0 направлений вектор кутовоїшвидкості обертання супутника по орбіті =O

OIω

= −ω т0(0, , 0) . Будемо описувати орієнтацію зв’я-

заної СК відносно орбітальної кватерніоном =qт= 0 1 2 3( , , , )q q q q . Тоді, за припущення про збіг

осей X ,Y,Z зв’язаної СК з головними цент-ральними осями інерції супутника, повні рів-няння його руху в орбітальній СК набудуть ви-гляду

J J+ × =& ( )B B B BBI BI BIω ω ω τ ,

=& o т т1(0, ( ) )

2BBOq q ω ,

де J = diag( , , )x y zI I I – тензор інерції супутни-

ка; BBIω – абсолютна кутова швидкість супут-

ника, виражена у зв’язаній СК; = −B BBO BIω ω

− B OO OIR ω – кутова швидкість супутника віднос-

но орбітальної СК, виражена у зв’язаній СК;= + +B B B B

g m dτ τ τ τ – сумарний момент, який діє

на супутник, виражений у зв’язаній СК, причо-му = ω ×2

0 3 33 ( )Bg Jc cτ – гравітаційний момент

(тут сз – проекції орта осі O1Z0 на осі зв’язаноїСК); = ×B B B

m Bτ µ – момент керування, який

розвивається магнітними котушками (тут µВ –магнітний момент котушок і ВВ – вектор ін-дукції МПЗ у зв’язаній СК); B

dτ – момент збу-рення, в який входять моменти від залишковоїнамагніченості супутника, від сонячного вітру,

(1)


від залишкової атмосфери та інші моменти; o –знак кватерніонного множення.

Кватерніон q в (1) подаватимемо у вигляді= η т( , )q ε , де η – скалярна частина кватерніонa

і ε – його векторна частина.З метою оптимізації керування за змішаним

Н2/Н∞-критерієм лінеаризуємо рівняння (1) і за-пишемо їх у просторі станів. Детально ці опера-ції описано в [3], тому одразу наведемо кінце-вий результат:

( )

ε ε − ω ε

= − ε − ω

ε ε − − ω

→

&

&

&

12

1 0

2

22 0

3

3 0

0 1 0

4 0 0

0 0 0

0 0 3

0 0 0

0 1 0

x

y

z

k

ddt k

k

ε − ω ε ε

+ ε

ε − ω ε

→

&

&

&

1

0 1

2

2

320 3

0 0 0

0 0 (1 )

1 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0

x

z

k

k

+ +

0 0 0

1 (2 ) 0 0

0 0 0( )

0 1 (2 ) 0

0 0 0

0 0 1 (2 )

x

Bd

y

z

I

tI

I

τ

−

− − +

− − − −

%

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

0 0 0( )

20 0 0

BO

B B B B B B

Jt

B B B B B B

B B B B B B

Bµ

y z x y x z

x y x z y z

x z y z x y

, (2)

де = ∫orb

orb0

1/ ( )Т

O OТ t dtB B – осереднений вектор ін-

дукції МПЗ; Torb – час одного оберту МС.

Оптимізація магнітної СОС за змішанимН2/Н∞-критерієм

Як вище зазначалося, оптимізація магніт-ної СОС МС лише за Н2-критерієм дає змогу до-сягти високої точності стабілізації у випадку ві-домих моделей об’єкта керування і збурень, то-ді як оптимізація її тільки за Н∞-критерієм, за-безпечуючи замкненій системі властивості ро-бастності, не дає можливості ефективно вплива-ти на такі характеристики системи, як час пе-рехідного процесу та перерегулювання. Тому ме-тою оптимізації за змішаним Н2/Н∞-критеріємє знаходження компромісу між точністю систе-ми і її робастністю, або, іншими словами, комп-ромісу між значеннями Н2 і Н∞ норм замкненоїСОС. Для розв’язання цієї задачі подамо маг-нітну СОС у вигляді структурної схеми, зобра-женої на рис. 2.

Матриця L на рис. 2 є матрицею зворотно-го зв’язку за повним фазовим вектором МС. Ма-тематичний зміст матриць A,B , Bd u на рис. 2

видно з виразу (2). На основі матриць C∞, C2, D22

формуються сигнали якості замкненої СОС, тоб-то вибираються виходи системи із своїми ваго-вими коефіцієнтами, за якими буде мінімізува-тися та чи інша норма.

Рис. 1. Супутник в орбітальній СК

X0

Y0

Z0

O1

ω0

Рис. 2. Структурна схема задачі змішаної Н 2/Н∞-оптиміза-ції магнітної СОС МС

−L

∞ ∞

= + +

=

= +

& %

%2 2 22

A B ( ) B ( )

C

C D ( )

B Bd d u

B

t t

t

x x

z x

z x

τ µ

µ

z∞(t )

z2(t )

x(t )% ( )B tµ

( )Bd tτ

ПРИЛАДОБУДУВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНА ТЕХНІКА 91

Введемо оператори = 22

( )( )

( )Bd

ss

s

zТ

τ, ∞ =( )sT

∞=( )

( )Bd

s

s

z

τ. Тоді змішаний Н2/Н∞-критерій якості

керування МС запишеться у вигляді [4]

∞ ∞α + β2 22 2min( )

LT T , (3)

де α і β – вагові коефіцієнти, які визначаютьпитому вагу кожного з критеріїв якості, тобтоза заданих матриць C∞, C2, D22 ітеративна про-цедура оптимізації магнітної СОС полягатиме увстановленні компромісу між її точністю і ро-бастністю через підбір вагових коефіцієнтів укритерії (3).

Для знаходження розв’язку оптимізаційноїзадачі (3) використаємо апарат лінійних мат-ричних нерівностей [5]. Згідно з [5], знаход-ження коефіцієнта підсилення L зворотногозв’язку за станом полягає в знаходженні такихматриць Y, X, Q і скаляра γ, які задовольняютьумови

∞+ + +

• − < • −γ

+ > •

γ < γ

т т т т

т

т 2

2 22

т

2 20

min tr(Q),

AX XA B Y Y B B XC

( ) I 0 0,

( ) 0 I

Q C X D Y0,

( ) X

,

u u d

(4)

де 3 6Y ×∈ ¡ ; X 0f – матриця розмірності 6 × 6;

• т( ) – транспонований елемент матриці, си-метричний відносно головної діагоналі; γ > 0;γ0 – бажаний рівень Н∞-норми замкненої сис-теми стабілізації.

Якщо система (4) має розв’язок, то шука-ний коефіцієнт підсилення знаходиться з рів-ності L = YX −1.

Зауважимо, що в системі (4) нерівності є об-меженнями на вибір матриці Q. При цьому пер-ша i третя нерівності відповідають оптимізаціїсистеми за Н∞-критерієм, а мінімізація сліду мат-риці Q за обмежень у вигляді другої нерівності –оптимізації за Н2-критерієм, тобто, якщо взяти,що один з коефіцієнтів у (3) дорівнює нулю, а ін-ший – одиниці, то прийдемо до задачі опти-мізації або тільки за Н2-критерієм, або тільки заН∞-критерієм.

За об’єкт керування візьмемо МС, який ру-хається по коловій орбіті на висоті 650км з на-хилом орбіти, який дорівнює 98°, і тензоромінерції при розгорнутій гравітаційній штанзі –

=J diag(51,44 51,48 0,76) [кг·м2]. За модель МПЗвізьмемо модель WMM2005 [6].

При синтезі стаціонарного зворотного зв’яз-ку згідно із змішаним Н2/Н∞-критерієм сигналиякості ∞( )tz і 2( )tz вибираємо у вигляді

−

− −∞

−

⋅ µ ε = ε = ⋅ µ ε ⋅ µ

%

%

21

3 22 2

53

9 10

( ) 10 , ( ) 9 10

9 10

x

y

z

t tz z .

Такий вибір сигналів якості означає, що присинтезі зворотного зв’язку ставиться задачазнаходження компромісу між H∞-нормою опе-ратора за входом ( )B

d tτ і виходом ε(t) і Н2-нор-

мою того ж оператора за входом ( )Bd tτ і виходом

% ( )B tµ .Основна вимога синтезу робастних систем,

згідно з парадигмою Н∞-керування, полягає у ви-

конанні нерівності ∞ ∞ < 1T . Для подальших до-

сліджень беруться значення −α = β = ⋅3 210 , 5 10 , при

яких ∞ ∞ = =2 20,98, 233T T .

Оцінку ефективності описаного вище ал-горитму функціонування магнітної СОС викона-ємо через аналіз перехідних і усталених проце-сів, які в ній виникають. Дослідження ґрунту-ється на порівнянні кривих вказаних процесів умагнітній СОС з матрицею L, розрахованою заточною моделлю МПЗ, і в СОС з матрицею L,обчисленою за неточною моделлю цього поля.

Для демонстрації переваг запропонованогоалгоритму наведемо також криві перехідних іусталених процесів у магнітній СОС з осеред-неним лінійно-квадратичним регулятором [3].Проведемо аналіз динаміки супутника у двох най-важливіших режимах – початковій орієнтації тастабілізації.

На рис. 3 наведено графіки вільного рухуМС по кутаx орієнтації з двома алгоритмамимагнітної стабілізації за таких початкових умов:

=BOB 0ω [рад/с], (φ, θ, ψ) = (−30°, 10°, −20°). Су-

цільна, штрихова і пунктирна криві на цьому ри-сунку відповідають процесам у магнітних СОСзгідно з робастним регулятором при точній мо-делі МПЗ і робастним та осередненим ЛК-ре-гуляторами при неточній моделі МПЗ, взятій у

вигляді = +$ тorb orb orb(0,04, 0,04, 0,04)B B B , де


Вorb – вектор індукції МПЗ, за яким розрахову-

валися матриці зворотного зв’язку L; $orbB – век-

тор індукції МПЗ, з яким насправді взаємоді-яли магнітні котушки. Зауважимо, що лінійно-квадратичний регулятор повністю взято з [3].

Як видно з рис. 3, перехідний процес у ро-бастній системі керування закінчується приблиз-но за п’ять орбітальних витків незалежно від точ-ності моделі МПЗ, тоді як якість перехідних про-цесів у системі з лінійно-квадратичним регулято-ром за невизначеності моделі МПЗ істотно погір-шилася.

На рис. 4 наведено результати моделюван-ня усталених процесів у режимі стабілізації придії збурюючого моменту вигляду −= ⋅ −6(3 10B

dτ− −− ⋅ ⋅ ω6 7 т

05 10 9,8 10 ) sin( )t [Н·м]. Позначення кри-

вих на цьому рисунку такі ж, як і на рис. 3.Як видно з рис. 4, і робастний, і осередне-

ний лінійно-квадратичний регулятори дають мож-ливість отримати точність стабілізації не гірше

ніж 3°–4° по всіх трьох каналах, навіть за вказа-ної неточності моделі МПЗ.

Висновки

Оптимізація магнітної системи орієнтації істабілізації мікросупутника за змішаним Н2/Н∞-критерієм істотно підвищує точність стабіліза-ції мікросупутника в перехідному режимі порів-няно з точністю, яка досягається при опти-мізації системи стабілізації за лінійно-квадратич-ним критерієм якості у випадку невизначеностімоделі МПЗ.

Напрямком подальшої роботи може бутидослідження точності магнітної СОС з нестаці-онарними законами керування.

Рис. 3. Перехідні процеси в СОС по трьох кутах орієнтації

ψ°

−20

Орбіти0,5 1,51 2,52 3,53 4,54 50

−10

0

10

20

30

θ°

Орбіти0,5 1,51 2,52 3,53 4,54 50

−20

−10

0

10

20

φ°

Орбіти0,5 1,51 2,52 3,53 4,54 50

−20

0

20

Рис. 4. Усталені процеси в СОС по трьох кутах орієнтаціїпри дії збурення

θ° Орбіти0,5 1,51 2,52 3,53 4,54 50

φ°

−5

0

5

Орбіти0,5 1,51 2,52 3,53 4,54 50

−5

0

5

Орбіти0,5 1,51 2,52 3,53 4,54 50

ψ°

−6

0

2

−4

−2


О.Н. Мелащенко, Л.М. Рыжков

ОПТИМИЗАЦИЯ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ СТА-БИЛИЗАЦИИ МИКРОСПУТНИКА ПО СМЕШАН-НОМУ Н2/Н∞-КРИТЕРИЮ

Рассматривается построение магнитной системыстабилизации микроспутника. Оценивается и срав-нивается эффективность регуляторов с исполь-зованием разных критериев качества.

O.M. Melaschenko, L.M. Ryzhkov

THE OPTIMIZATION OF MICROSATELLITE MAG-NETIC STABILIZING SYSTEM ON THE MIXEDН2/Н∞-CRITERION

The core of this paper is the study of the construc-tion of the microsatellite magnetic stabilizing system.Furthermore, using various quality criteria, we esti-mate and compare the efficiency of the regulators.

1. Kulkarni J., Campbell M. An approach to magnetic torque

attitude control of satellites via Н∞-control for LTV sys-

tems // Decision and Control. CDC. 43rd IEEE Conf.,14–17 Dec. 2004. – 2004. – 1, Issue. – P. 273–277.

2. Wisniewski R., Stoustrup J. Periodic Н2 Synthesis for Spa-

cecraft Attitude Determination and Control with Vector Mag-

netometer and Magnetorquers // Proc. of IFAC Workshopon Periodic Control Systems, PSYCO 2001. – Cernobbio-

Como, 2001. – Р. 121–126.

3. Мелащенко О.М., Рижков Л.М. Синтез гравітаційно-маг-

нітної системи стабілізації мікросупутника // Механі-

ка гіроскопічних систем. – 2008. – Вип. 19. – С.76–

86.

4. Khargonekar P.P., Rotea M.A. Mixed Н2/Н∞ control: A

convex optimization approach // IEEE Trans. Automat.Contr. – 1991. – 36. – Р. 824–837.

5. Chilali M., Gahinet P. Н∞-Design with Pole Placement Con-straints: An LMI Approach // Ibid. – 1996. – 11. – Р.

358–366.

6. http://www.ngdc.noaa.gov/ seg/WMM/DoDWMM.shtml

Рекомендована Радою факультету авіа-ційних і космічних систем НТУУ “КПІ”



УДК 528.7:629.78

Л.А. Міхеєнко, В.І. Микитенко

МЕТОДИ, ЗАСОБИ ТА МЕТРОЛОГІЧНЕ ЗА-БЕЗПЕЧЕННЯ КАЛІБРУВАННЯ ЕТАЛОННИХВИПРОМІНЮВАЧІВ

Вступ

Постійне удосконалення прецизійної фо-тометричної апаратури потребує випереджаючо-го розвитку відповідного еталонного та вимірю-вального забезпечення. Ця задача, одна з най-більш складних та важливих у сучасній оптич-ній метрології, в умовах України значно усклад-нюється рядом додаткових факторів – відсут-ністю сертифікованих еталонів та повірочнихсхем для енергетичних вимірювань (є тільки про-ект ДСТУ), моральним та фізичним зношен-ням елементної фотометричної бази (особли-во в розряді зразкових засобів вимірювань), не-достатнім розвитком наукового і методичногозабезпечення оптико-фізичних вимірювань [1].

Особливо гостро ця ситуація проявиласьпри розробці систем вимірювання енергетич-них характеристик прецизійних цифрових ві-деосистем (ЦВС) з багатоелементними прийма-чами випромінювання, наприклад, установокдля калібрування вітчизняних багатоспектраль-них скануючих пристроїв космічного базуван-ня [2].


Метою даної статті є огляд, аналіз тарозробка методів калібрування еталонних ви-промінювачів для вимірювання енергетичниххарактеристик прецизійних ЦВС у видимій таближній інфрачервоній ділянках спектра на ос-нові поширеної та доступної в Україні елемент-ної бази.

Засоби калібрування еталоннихвипромінювачів

У більшості установок для вимірюванняенергетичних характеристик ЦВС в еталоннихджерелах випромінювання використовуютьсядифузні випромінювачі на основі інтегруючоїсфери [3], типові характеристики яких наведенов табл. 1. Їх калібрування, зазвичай, здійснюєтьсяза спектральною густиною енергетичної яскра-

вості (СГЕЯ), що найбільш повно відтворюєенергетичні характеристики випромінювача.

Для переносу одиниці СГЕЯ від первин-ного еталона до робочих засобів вимірюваннявикористовується проекційна схема, яка пока-зана на рисунку.

Таблиця 1. Типові характеристики вимірювальнихвипромінювачів

Характеристика Значення

Інтегральна яскравість, Вт/ср⋅м2 500–2000

Спектральний діапазон, мкм 0,4–1,8

Динамічний діапазон зміни яскравості 102–105

Вихідна апертура, м ∅0,0025–∅0,25

Середньоквадратична похибка відтво-рення одиниці яскравості

10−2–10−1

Структурна схема установки передачі одиниці СГЕЯ: 1 –еталонне джерело випромінювання; 2 – джерело випро-мінювання, що калібрується; 3 – проекційний об’єктив;4 – комутатор (плоске дзеркало); 5 – спектрокомпаратор; 6 –монохроматор; 7 – вимірювальний приймач випроміню-вання; 8 – підсилювально-реєструючий пристрій

3

4

5

6

1 2

7

8


Елемент ділянки кожного з випроміню-вачів за допомогою дзеркального об’єктива зкомутатором почергово проектується на вхідспектрокомпаратора, який об’єднує монохро-матор та вимірювальний приймач випроміню-вання. При цьому вхідна щілина монохромато-ра оптично спряжена з випромінюючою пло-щиною, а вихідна – з приймальним елемен-том приймача. Калібрування здійснюється по-рівнянням сигналів від первинного (еталон-ного) та вторинного (того, що калібрується) ви-промінювачів у вузькій смузі пропускання мо-нохроматора. Змінюючи довжину хвилі, на якуналаштовано монохроматор, проводять каліб-рування в заданому спектральному діапазоні.

Основними характеристиками калібруваль-них систем є: спектральний діапазон, в якомуздійснюється перенос одиниці СГЕЯ, смуга про-пускання монохроматора, похибка переносуодиниці СГЕЯ, монохроматичний потік на входімонохроматора, спектральний фотосигнал навиході приймача випромінювання.

Задачею синтезу калібрувальної системиє вибір елементів (еталонних та робочих ви-промінювачів, об’єктива, монохроматора та прий-мача випромінювання), що забезпечують отри-мання прийнятних характеристик та парамет-рів вимірювальної установки – мінімальної по-хибки передачі одиниці СГЕЯ при заданому від-ношенні сигнал/шум.

Елементна база вимірювальних установок

Із врахуванням вимог до вимірювальнихустановок, що розглядаються [2], для практичногозастосування були відібрані такі типи вимірю-вальних ламп: світловимірювальні лампи розжа-рення (табл. 2) [4], спеціальні галогенні лампи(табл. 3) [5], вимірювальні приймачі випроміню-вання (табл. 4) [6, 7] та монохроматори (табл. 5)[8, 9]. Наведені в таблицях дані дали змогу роз-робити методику обґрунтування елементногоскладу установки калібрування ЦВС.

Таблиця 2. Лампи розжарення, світловимірювальні

Електричніпараметри

Фотометричніпараметри

Типвипромінювача

Країна,фірма

Р, Вт U, В Т, К І, кд Ф,Вт

Стабільність Габарити тіларозжарення,мм2

Вимірюванавеличина

СИС 107-500 Росія 365 107 2800 500 – 15 год/18міс 25×30 Сила світла

СИС 107-1500 ” 915 107 2860 1500 – 15 год/13міс 28×35 ”

СИП 107-500 ” 74 107 2800 – 500 25 год/18міс 25×15 Світловийпотік

СИП 107-1500 ” 260 107 2800 – 3500 25 год/18міс 25×15 ”

СИРШ 6-100 ” 100 6 2840 – – 200 год/12міс 2×8 Яскравість

СИРШ 8,5-200 ” 212 8,5 3000 – – 300 год/12міс 2×10 ”

WI 14 Німеччина,

Osram

90 5 2400 – – – 1,6×8 ”

LF 300 Великобри-танія,

Polaron

300 100 2750 – 4000 1%/100 год – Світловийпотік

LIS 3000 ” 616 19,2 3000 740 – 1%/100 год 10×15 Сила світла

Таблиця 3. Лампи розжарення, галогенні та температурні


Фотометричні

параметри


Країна,

фірма

Р, Вт U, В Т, К Ф, лм

Тривалістьгоріння, год

Габарити тіларозжарення,мм2


КГМ 12-100 Росія 100 12 3000 3000 85 44×12,5 Яскравість


Розглянемо дану методіку стосовно бага-тоспектрального скануючого пристрою штуч-

ного супутника Землі Egipsat-1 [2].Методика, зокрема, передбачає:



Фотометричні

параметри


Країна,

фірма

Р,Вт U, В Т, К Ф, лм

Тривалістьгоріння, год

Габарити тіларозжарення,мм2


КГМ 24-150 Росія 150 24 3000 5000 50 47×12,5 Яскравість

КГМ 24-150-3 ” 250 24 3000 8500 150 70×12,5 ”

КГМ 30-300-2 ” 300 30 3200 – 55 55×16 ”

КГМ 36-400 ” 400 36 3200 14500 50 60×18 ”

ТРУ 1100-2350 ” 300 10 2350 – 50 50×72 ”

ТРШ 2850-3000 ” 440 55 2850 – 255 39×460 ”

Halostar 64435 Німеччина,Osram 100 12 3000 2200 1000 33×9,5 ”

FEL (Ge Lamp) США 1000 120 3200 27500 375 70×22 ”

Таблиця 4. Вимірювальні приймачі випромінювання

Тип приймача Країна, фірма Матеріал чут-ливого шару

Спектральнийдіапазон, мкм

Чутливість Розмір чутливоїплощадки,

мм

Габаритнірозміри,мм×мм

ФД-24К Росія Si 0,47–1,0 60А/лк ∅10 6,5×19,6

S 1227 Японія,Hamamatsu

Si 0,19–1,0 0,12А/Вт 10×10 17×17

S 2281 ” Si 0,19–1,1 0,5А/Вт ∅10 25×10

JI6Si-8A4-R03M-Se

США,Judson tech-

nologies

Si,Ge

“Sandwich”

0,4 –1,0

1,1–1,8

0,45А/Вт

0,65А/Вт

∅5

∅3

–

G-050 США,EOS

Ge 1,0–1,8 0,9А/Вт 10×10 17×17

PTH-10 Росія Сурьмяначернь

0,18–5,5 2В/Вт 1,5×3 65×18

PTH-12 ” ” 0,18 20В/Вт 1,5×12 110×25

PTH-16 ” ” 0,18 20В/Вт 1×1 110×25

PTH-30 ” ” 0,18 5,5В/Вт 3×3 65×18

Таблиця 5. Монохроматори

Оптична системаТип монохро-матора


Спектральнийдіапазон, нм

Схема обf ′ , мм Dвт/fоб

Зворотнадисперсія,

нм/мм

Точністьустановкидовжинихвилі, нм

Ширинащілини,

мм

МДР-204 Росія 190–5000 Еберта Фасті 300 1/6 2,6 0,5 0–4

МДР-206 ” 190–5000 – 180 1/4 4,3 0,5 0–4


Розглянемо дану методику стосовно бага-тоспектрального скануючого пристрою штуч-ного супутника Землі Egipsat-1 [2].

Методика, зокрема, передбачає:• попередній вибір елементів по спектраль-

ному діапазону, потужності джерел випроміню-вання та чутливості приймачів випромінюван-ня;

• розрахунок втрат випромінювання в оп-тичному тракті вимірювальної схеми;

• розрахунок спектральних характеристиквипромінювачів та визначення монохроматич-ного потоку, що потрапляє на вхід компарато-ра в заданому спектральному діапазоні;

• розрахунок корисних сигналів на вихо-ді компаратора, на кінцях та посередині спект-рального діапазону.

Із врахуванням параметрів дифузного ви-промінювача установки (вихідний потік Фвих == 1200Вт; робочий спектральний діапазон ∆λ == 0,4–1,8мкм; діаметр вихідної зіниці Dвих == 0,25м) [2], доцільно відібрати такі елементи:

• світловимірювальна лампа СИС 107-1500;• галогенна лампа КГМ 30-300;• стрічкова лампа СИРШ 2,5-200;• вимірювальний фотодіод ФД-24К;• неселективний термоелемент РТН-12.Як оптичну систему було використано дзер-

кальний сферичний об’єктив із фокусною від-станню 1400мм та відносним отвором 1:6 [10].

Результати енергетичного розрахунку по-дано в табл. 6. Вони дають змогу вибрати узгод-жену пару джерело випромінювання–компара-тор, яка забезпечує максимальний корисний сиг-


Тип монохро-матора


Спектральнийдіапазон, нм

Оптична система Зворотнадисперсія,

нм/мм

Точністьустановкидовжинихвилі, нм

Ширинащілини,

мм

МДР-40 Росія 200–25000 – 300 1/6 2,0 0,025 0–4

MS 2001 США 180–60000 Черні Тернер 200 1/3,6 4,2 0,12 0–2

MS 3501 ” 180–60000 – 350 1/3,8 2,37 0,06 0–2

MS 750i ” 180–60000 – 750 1/8,9 0,9 0,015 0–2

MSDD 1000 ” 180–60000 – 1000 1/5,9 0,78 0,012 0–2

Таблиця 6. Порівняльна оцінка схем передачі одиниці СГЕЯ

ВипромінювачПараметр

ДВ (12 лампКГМ 30-300)

СИРШ 8.5-200 СИС 107-1500 КГМ 30-300-2 ДВ (1 лампаСИП 107-1500)

Інтегральний потік на виходівипромінювача Фі, Вт

144 22 300 100 6,5

Інтегральний коефіцієнт про-пускання оптичного тракту τ0

1,4⋅10−8 1,4⋅10−4 3⋅10−4 1,4⋅10−4 1,4⋅10−8

Монохроматичний потік на ви-ході монохроматора Фλ, Вт/мкм

5,5⋅10−9 8,5⋅10−6 7,1⋅10−8 1,4⋅10−7 9⋅10−9

Сигнал на виході приймача ви-промінювання Uc, В

2⋅10−4 7,3⋅10−2 6⋅10−3 1,2⋅10−3 7,4⋅10−5

Порівняльна величина вихідногосигналу U0 = Uc/Ucmax, відн. од.

2,7⋅10−3 1,0 8,2⋅10−3 1,6⋅10−2 10−3

Похибка передачі одиниціСГЕЯ δ

0,055–0,11 0,044–0,060 0,055–0,11 0,055–0,077 0,044–0,055


нал у межах заданого спектрального діапазону ісмуги пропускання монохроматора.

В основу метрологічного аналізу було по-кладено повірочні схеми Росії [11] та України(“Державна повірочна схема для засобів вимі-рювання спектральної густини енергетичної яск-равості, в діапазоні довжин хвиль від 0,2 до25мкм” – проект). Узагальнена повірочна схе-ма на основі вказаних документів показана втабл. 7 і дає загальне уявлення про послідовністьта параметри передачі одиниці СГЕЯ від етало-на до робочих засобів вимірювання. При ана-лізі було використано метрологічні характерис-тики елементів, які наведені в табл. 1–4. Прирозрахунках сумарної похибки передачі оди-ниці СГЕЯ окремі складові загальної похибкивважалися статистично незалежними, а довір-чу ймовірність брали 0,95.

Результати аналізу наведені в табл. 6. Якузагальнений критерій порівняння було прий-нято параметр ξ, що враховує: втрати випромі-нювання в оптичній системі для конкретноїпари випромінювач–приймач, сигнал на вихо-ді спектрального компаратора, відносну похиб-ку передачі одиниці СГЕЯ.

Як видно з табл. 7, кращі енергетичні таметрологічні характеристики забезпечують га-логенні і стрічкові лампи розжарення. Однакостанні в Україні не виробляються і є досить де-фіцитними. Тому для вітчизняних розробни-ків більш перспективними є галогенні лампи,велика номенклатура яких дозволяє розв’яза-ти більшість фотометричних задач у видимій таближній інфрачервоній областях спектра.


ВипромінювачПараметр

ДВ (12 лампКГМ 30-300)

СИРШ 8.5-200 СИС 107-1500 КГМ 30-300-2 ДВ (1 лампаСИП 107-1500)

Порівняльна величина похиб-ки передачі одиниці СГЕЯ* δ0 == δ/δmax, відн.од.

1,0 0,7 1,0 0,85 0,65

Коефіцієнт порівняння якостісхеми передачі одиниці СГЕЯξ = U0/δ 0

2,7⋅10−3 1,4 8,2⋅10−3 1,8⋅10−2 1,1⋅10−4

Примітки Випромінювач,що

калібрується

Первиннийеталон

установки

Зразковийзасіб

вимірювання

Зразковийзасіб

вимірювання

Величина СГЕЯвизначаєтьсярозрахунком

*Середнє значення.

Таблиця 7. Узагальнена повірочна схема передачі одиниці СГЕЯ

Розряд носіяодиниці СГЕЯ

Діапазон значеньвідтворюваної

величини,Вт/ср ⋅м3, мкм

Засібвимірювання

Середньоквадратичневідхилення відтворюваної

одиниці

Невиключенасистематична

похибка

Методвідтворення

Державнийеталон

4⋅104–3⋅1011

0,2–2,5Модель чорного

тіла0,5⋅10−2

0,5⋅10−2–2,5⋅10−2*

1,5⋅10−2

0,2⋅10−2–2⋅10−2*

Непрямівимірювання,компаратор

Робочийеталон

4⋅104–3⋅1011

0,2–2,5Модель чорноготіла, галогенні тастрічкові лампи

2⋅10−2–8⋅10−2

1,5⋅10−2–8⋅10−2* –

Непрямівимірювання,компаратор

Робочі засобивимірювання

4⋅104–1012

0,2–2,5Галогенні та

стрічкові лампи6⋅10−2–15⋅10−2

2⋅10−2–11⋅10−2 *–

Компаратор,яскравоміри

*Згідно з ГОСТ 8.195–89.


Висновки

У статті розглянуто методи, схеми та до-ступну в Україні елементну базу, які забезпе-чують калібрування прецизійних випроміню-вачів середньої потужності у видимій та ближ-ній інфрачервоній ділянках спектра для вимі-рювання енергетичних параметрів ЦВС, роз-роблено інженерну методику та рекомендаціїщодо раціонального вибору основних елемен-

тів схем калібрування випромінювачів. Енер-гетичний та метрологічний аналіз схем устано-вок для передачі одиниці СГЕЯ, виконанийавторами, дає можливість кількісно оцінити па-раметри калібрування випромінювачів на по-чатковій стадії розробки.

Отримані результати можуть використо-вуватись широким колом розробників преци-зійного фотометричного обладнання

Л.А. Михеенко, В.И. Микитенко

МЕТОДЫ, СРЕДСТВА И МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕОБЕСПЕЧЕНИЕ КАЛИБРОВКИ ЭТАЛОННЫХ ИЗ-ЛУЧАТЕЛЕЙ

Рассмотрены методы и средства калибровки из-лучателей для прецизионного фотометрическогооборудования. Разработаны инженерная методикаи рекомендации по выбору основных элементов.

L.A. Mikheenko, V.I. Mykytenko

THE APPROACHES, MEANS AND METROLOGI-CAL ASSURANCE OF CALIBRATION OF THE STAN-DARD RADIATORS

We consider the approaches and means of calibrati-on of the standard radiators for precision photomet-ric equipment. Moreover, we develop the engine-ering approaches and recommendations on cho-osing the primary elements of the equipment.

1. Купко А.Д., Назаренко Л.А. Метрологическое обеспе-

чение световых измерений в Украине // Светотехни-ка. – 2001. – 5. – С. 38–40.

2. Вариченко Л.В., Колобродов В.Г., Ладыка Я.Е., Мики-

тенко В.И., Михеенко Л.А. Методы и средства из-

мерения энергетических характеристик оптико-элект-

ронных систем космического зондирования Земли //Космічна наука і технологія. – 2006. – 12, 2/3. –С. 59–69.

3. Колобродов В.Г., Микитенко В.І., Міхеєнко Л.А., Петру-

щенко Л.А. Теорія дифузного випромінювача на основіінтегруючої сфери // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. –2005. – 4. – С. 106–114.

4. ГОСТ 10771–88. Лампы накаливания светоизмеритель-

ные рабочие. Технические условия.

5. Лампы накаливания галогенные // ЭлектротехникаСССР. – Информэлектро, 1988.

6. Ильин Л.С. Термоэлектрические приемники оптичес-

кого излучения с пленочными и проволочными термо-парами для прецизионных измерений // Метрология. –2005. – 11. – С. 19–30.

7. Кувалдин Э.В., Борисов В.А. Основные характеристики

и методы испытаний измерительных фотодиодов // Им-пульсная фотометрия. – Л.: Машиностроение, 1984. –Вып. 8. – С. 71–81.

8. Выставочный материал. Монохроматоры.

9. http://solartii.com10. Гайворонська Г.О., Міхеєнко Л.А., Сокуренко В.М. Оп-

тична система установки для передачі одиниць фото-

метричних величин // Вісник НТУУ “КПІ”. Сер. Прила-добудування. – 2007. – Вип. 33. – С. 29–36.

11. ГОСТ 8.195–89. Государственная поверочная схема для

средств измерения спектральной плотности силы излу-

чения и спектральной плотности энергетической осве-щенности в диапазоне длин волн 0,2–2,5 мкм.

Рекомендована Радою приладобудівногофакультету НТУУ “КПІ”


100

ПРОБЛЕМИ БІОТЕХНОЛОГІЇ

УДК 579.8:582.284

І.Р. Клечак, Н.А. Бісько, Н.Л. Поєдинок,Л.О. Антоненко

ЗАКОНОМІРНОСТІ РОСТУ ПЕРСПЕКТИВ-НИХ ОБ’ЄКТІВ БІОТЕХНОЛОГІЇ – БАЗИ-ДІОМІЦЕТІВ РОДУ CORIOLUS У ПОВЕРХ-НЕВІЙ КУЛЬТУРІ

Вступ

Базидіальні гриби роду Coriolus належатьдо неїстівних афілофоральних грибів і є доситьпоширеними, добре відомими з багатотривалоюісторією використання у східній медицині. В на-родній медицині Японії Coriolus versicolor (корі-ол різнобарвний) відомий під назвою Kawarata-ke, а в Китаї – Yunzhi [1] і застосовується у ви-гляді водних екстрактів як протизапальний за-сіб при захворюваннях печінки, верхніх дихаль-них шляхів, травного тракту та сечового міхура.Coriolus hirsutus (коріол жорстковолосяний) ко-рисний при захворюваннях легень, для заспоко-єння кашлю, зняття жару, прискорення регене-рації тканин м’язів [2]. Досвід східної народноїмедицини, зокрема Японії і Китаю, став сти-мулом для сучасних наукових пошуків у галузірозробки засобів одержання фармакологічнихпрепаратів культивуванням деяких видів лікар-ських грибів роду Coriolus [3]. Найкраще в клі-нічних умовах вивчено препарат японської біо-технологічної фірми “Sankyo” крестин, діючоюосновою якого є імуномодулюючі протеїнвміс-ні полісахариди гриба Coriolus versicolor. Цей таінші препарати полісахаридної природи з корі-олусу різнобарвного широко використовуються вонкології при лікуванні раку шлунку, стравохо-ду, прямої кишки, яєчників, матки, простати впоєднанні з хіміо- або радіотерапією [4]. У Ро-сії розроблено і запатентовано біологічно актив-ну добавку “Трамелан” на основі сухої біомасибазидіоміцету Coriolus pubescens (Schum. ex Fr.)Quel (Trametes pubescens (Schum.) Pilat). За ре-зультатами деяких досліджень, траметес опуше-ний має протипухлинну та імунізуючу дію, щоза ефективністю переважає коріолус різнобарв-ний [5].

Отже, базидіальні гриби роду Coriolus ма-ють широкий спектр лікарських властивостей, се-ред яких – антивірусна, антибактеріальна, гепа-топротекторна, імуномодулююча та протипухлин-на [3]. Крім того, вони характеризуються висо-

кими показниками росту і відсутністю токсич-ності [6]. З огляду на це, дослідження біологіч-них властивостей і закономірностей росту шта-мів Coriolus sp. створює наукові передумови дляїх подальшого використання у вітчизняній біо-технології.

Однією з важливих біологічних характерис-тик грибів у культурі, а також вагомою таксоно-мічною ознакою є морфологічна характеристикаі ріст колонії на еталонних агаризованих сере-довищах. За цими ознаками визначається спри-ятливе середовище для культивування грибів. За-значимо також, що одним із важливих критері-їв відбору штамів, перспективних для розробкибіотехнології, є швидкість росту вегетативного мі-целію.

На даний час швидкість росту вегетативно-го міцелію і культурально-морфологічні характе-ристики штамів Coriolus sp. на агаризованих по-живних середовищах різного складу дослідженонедостатньо.


Метою статті було дослідження впливу скла-ду агаризованих поживних середовищ на швид-кість росту міцелію і культурально-морфологіч-ні характеристики базидіоміцетів Coriolus sp.

Матеріали і методи дослідження

Об’єктами дослідження стали п’ять видів(31 штам) роду Coriolus Quel (Trametes Fr.), якізберігаються в Колекції шапинкових грибів Ін-ституту ботаніки ім. М.Г. Холодного НАН Укра-їни [7], а саме: 1) C. zonatus (Fr.) Quel (Trametesochracea (Pers.) Gilbe&Ryvarden, 1897) 301, 1525,1561, 1570, 5021, 5022, 5133, 5134, 5135, 5300,5301, 5302, 5303; 2) C. versicolor (L.: Fr.) Quel (Т.versicolor (L.) Lloyd, 1921) 353, 1689, 5094, 5095,5129, 5131, 5299; 3) C. hirsutus (Fr.) Quel (T. hirsu-ta (Wulfen) Pilat, 1939) 338, 358, 359, 1569, 5018,5019, 5137; 4) C. pubescens (Schum.: Fr.) Quel (Т.pubescens (Schum.) Pilаt, 1939) 322; 5) C. villosus(Fr.) M.Bond et S.Herrera (T. villosa (Sw.) Kreisel,1971) 1009; С. sp. 1004, 1567. Слід зазначити, щовідповідно до міжнародної бази систематикигрибів СABI Bioscience і бази даних CBS Data-base of Fungal Names (http://www. indexfungorum.org) всі описані в статті види віднесені до родуTrametes Fr., тому в дужках вказані назви штамівза базою даних CBS Database of Fungal Names.У статті ж використано назву штамів, яку вонимають у Колекції Інституту ботаніки.

ПРОБЛЕМИ БІОТЕХНОЛОГІЇ 101

Динаміка росту і морфологія колоній дослід-жувалась на чотирьох агаризованих середовищах:сусло-агаризованому середовищі 8° за Баллінгом(СА), картопляно-глюкозному агаризованому се-редовищі (КГА), синтетичному середовищі Нор-кранс (СН), сусло-агаризованому середовищі звідваром дубової кори (СА + дуб) при темпера-турі 28±1°С. Всі середовища готувались за загаль-ноприйнятими методиками [8]. Як інокулюм ви-користовувались 7-добові культури, вирощені наCА. Агарові диски з міцелієм гриба (d = 5мм),вирізані стерильним свердлом по краю активноростучої колонії, переносились у центр чашкиПетрі (d = 90мм) та інкубувались у термостатіпри 28°С. Культури грибів вирощувались протя-гом 20 днів. Радіуси колоній вимірювались у чо-тирьох взаємно перпендикулярних напрямках що-добово, починаючи з третьої доби після посівудо повного обростання чашки. За одержанимиданими розраховувалась лінійна швидкість раді-ального росту культур (Vr ) [9] (для полегшеннясприйняття надалі – швидкість росту).

Статистична обробка даних виконувалась звикористанням програми Microsoft Excel.

Культурально-морфологічні ознаки штаміввивчались за Стальперсом [10]. На кожному се-редовищі в процесі росту описувались забарвлен-ня, текстура, щільність, край та реверзум коло-нії [8].

Результати і їх обговорення

Вивчення культурально-морфологічних особ-ливостей міцеліальних колоній на різних по-

живних середовищах дає можливість ідентифі-кувати грибні культури у вегетативній стадії роз-витку, підтримувати штами в належному фізіо-логічному стані та запобігти витісненню штамівсторонньою мікрофлорою, наприклад, у проце-сі виробництва, що свідчить про сприятливі умо-ви культивування.

При виборі поживних середовищ для до-слідження ми керувались тим, що середовищаСА, КГА, СН, СА + дуб використовуються прикультивуванні базидіальних грибів. Крім того,більшість вітчизняних мікологів [8] використо-вують СА як стандартне середовище для вивчен-ня культурально-морфологічних ознак вищих ба-зидіальних грибів.

У працях А.С. Бухало [11] було визначено,що додавання до складу поживних середовищдріжджів, екстрактів і відварів вищих рослин,зокрема дубової кори та зеленої маси конюши-ни, у концентрації 2–10% стимулювало знач-ною мірою ріст лігнотрофних видів, до яких на-лежать і гриби Coriolus.

З літератури відомо, що у грибів роду Cori-olus в умовах росту на різних агаризованих се-редовищах виявлено характерні типи колоній мі-целію: для C. versicolor – ватну і повстяну [12]; дляC. pubescens – пухнасту, бавовняно-шерстисту,повстяну і шкірясту [13]. Отримані нами дані що-до культурально-морфологічних ознак колонійгрибів роду Coriolus на поживних середовищахрізного складу наведено в табл. 1.

Таблиця 1. Морфологічна характеристика колоній досліджених видів на агаризованих середовищах різного складу

Морфологічна характеристика колоній на середовищахВид

СА СА + дуб КГА СН

C. zonatus Колонії борошнисто-пов-стяні, зональні, щільні абосередньої щільності, в мо-лодому віці білі, з часомсвітло-кремові, край рів-ний, притиснутий до суб-страту, реверзум незмін-ний, за 14 діб колонії наповерхні утворюють шкі-рясту плівку, що легко від-діляється від агару

Колонії борошнисто-пов-стяні, в центрі з короткимсплутаним міцелієм, зональ-ні з концентричними кола-ми різної щільності, з часомутворюють шкірясту плівку.У молодому віці колонії бі-лі, з часом – жовто-кремові,край рівний, притиснутийдо субстрату, на поверхнічисленні склероції та крап-лі ексудату, реверзум незмін-ний

Колонії борошнисто-пов-стяні, щільні, в центрі мі-целій тонший, зональні, бі-лі, з часом світло-кремо-ві, кремово-жовті або ли-монно-жовті, край рівний,притиснутий до субстрату,реверзум незмінний, за 14діб колонії на поверхні ут-ворюють шкірясту плівку,що легко відділяється відагару

Колонії борошнис-то-повстяні, прозо-рі,зональні, білі, пристарінні кремовогокольору, з часом ут-ворюють шкіряступлівку, реверзум не-змінний


Якщо проаналізувати характеристики міце-ліальних колоній, наведені у табл. 1, то можнадійти висновку, що в процесі культивування надосліджуваних середовищах утворювались такі ос-новні морфологічні типи колоній: борошнисто-повстяні (рис. 1, 1 ), зональні; шовковисто-пух-насті (рис. 1, 2 ), з часом повстяні; пластівцево-

подібні, з невеликими гіфальними пучками, якіпідіймаються з агару або повітряного міцелію, звираженою секторністю (рис. 1, 3 ); пухнасті, бар-хатисті, з часом повстяні (рис. 1, 4 ).

Зазначимо, що для деяких досліджених ви-дів були характерні змішані типи колоній. Так,гриби виду C. versicolor на СА і СА + дуб утво-


Морфологічна характеристика колоній на середовищахВид

СА СА + дуб КГА СН

C.versicolor Колонії шовковисто-пух-насті, потім повстяні, се-редньої щільності, в мо-лодому віці білі, з часомсвітло-кремові, край рів-ний, притиснутий до суб-страту, реверзум незмін-ний

Колонії шовковисто-пухнас-ті, потім повстяні, зональ-ні, щільні, білі, з часом кре-мові, край рівний, притис-нутий до субстрату, ревер-зум незмінний

Колонії повстяні, щільні,білі, з часом кремові абожовто-кремові, на поверх-ні численні склероції, крайрівний, притиснутий до суб-страту, реверзум незмінний

Колонії пухнасті, зо-нальні, середньоїщільності, білі, з ча-сом кремові, крайрівний, притиснутийдо субстрату, на по-верхні колонії крап-лі ексудату, реверзумкоричневого кольо-ру

C.hirsutus Колонії пластівцевоподібні,з невеликими гіфальнимипучками, які підіймаютьсяз агару або повітряного мі-целію, з вираженою сек-торністю, середньої щіль-ності, в молодому віці бі-лі, при старінні жовтува-то-кремові, край нерівний,притиснутий до субстра-ту, реверзум незмінний,за 7 діб колонія утворюєна поверхні міцну шкіряступлівку

Колонії пластівцевоподіб-ні,в центрі з коротким сплу-таним повітряним міцелі-єм, зональні, з вираженоюсекторністю, середньої щіль-ності або прозорі, білі, з ча-сом жовто-кремові, склеро-ції поодинокі, край нерів-ний, притиснутий до суб-страту, реверзум незмінний,за 7 діб колонія утворює наповерхні міцну шкіряступлівку

Колонії пластівцевоподібні,в центрі пухнасті, зональні,з сегментами різної щіль-ності, з радіальними пучка-ми гіф (як промені), білі, зчасом кремові або жовто-кремові, край нерівний,притиснутий до субстрату,реверзум незмінний, за 7діб колонія утворює на по-верхні міцну шкірясту плів-ку

Колонії повстяні,прозорі, з часом ут-ворюють шкіряступлівку, білі, з часомжовто-кремового ко-льору, край нерів-ний, притиснутий досубстрату, реверзумнезмінний

C.pubescens Колонії пухнасті, бархатис-ті, потім повстяні з кон-центричними колами, з ча-сом утворюють шкіряступлівку, на поверхні числен-ні склероції, колонії серед-ньої щільності, у молодо-му віці білі, при старінніжовтуватого або кремово-го відтінку, край рівний,притиснутий до субстрату,реверзум незмінний, з ча-сом біліє

Колонії пухнасті, бархатис-ті, потім повстяні з кон-центричними колами, з ча-сом утворюють шкіряступлівку, колонії середньоїщільності, білі, при старін-ні жовтуватого або кремово-го відтінку, край рівний,притиснутий до субстрату,реверзум незмінний, з ча-сом біліє

Колонії пухнасті, бархатис-ті, потім повстяні з кон-центричними колами, з ча-сом утворюють шкіряступлівку,колонії щільні, в мо-лодому віці білі, з часомкремового кольору, крайрівний,притиснутий до суб-страту, реверзум незмінний

Колонії пухнасті, по-тім повстяні, з ча-сом утворюють шкі-рясту плівку, білі,з часом кремові, се-редньої щільності,край рівний, притис-нутий до субстрату,реверзум незмінний

C.villosus Колонії борошнисто-пов-стяні, середньої щільнос-ті, в молодому віці білі, з ча-сом кремові, край рівний,притиснутий до субстрату,реверзум незмінний

Колонії борошнисто-пов-стяні, середньої щільності,білі, при старінні кремо-вого кольору, край рівний,притиснутий до субстрату,реверзум незмінний

Колонії борошнисто-пов-стяні, прозорі, в молодомувіці білі, з часом кремові,край рівний, притиснутийдо субстрату, реверзум не-змінний

Колонії борошнис-то-повстяні, прозо-рі, в молодому віцібілі, з часом кремо-ві,край рівний, при-тиснутий до субст-рату, реверзум не-змінний


рювали колонії змішаного типу – шовковисто-пухнасті, які з часом ставали повстяними. Не-залежно від складу середовища у видів С. zona-tus і C. villosus домінував борошнисто-повстянийзмішаний тип міцеліальних колоній. Взагалі пов-стяний тип колонії зустрічався в більшості до-сліджених видів. Наприклад, колонії C. versico-lor і C. pubescens з часом набували повстяноготипу колонії, а в С. zonatus і C. villosus цей типколонії, як зазначалось вище, був змішаний зіншими. Характерною особливістю видів C. zo-natus, C. hirsutus, C. pubescens, на відміну від C.versicolor і C. villosus, було утворення на поверх-ні колонії з віком шкірястої плівки, що усклад-нювала пересів культур. Встановлено, що такуплівку колонії C. hirsutus утворювали за 7 діб, C.zonatus – за 14 діб, а C. pubescens – за 20 діб.

Як правило, колонії досліджених видів бу-ли білими, проте з часом більшість із них на-бувала іншого кольору або відтінку. Зміни в за-барвленні колоній різних штамів мали такий ви-гляд: поява кремового кольору навколо інокулю-ма, концентричних жовтих чи світло-кремовихкіл, рівномірного жовтого кольору, світло-кремо-вого, кремового чи лимонно-жовтого відтінку.Лише на синтетичному середовищі СН колоніїдвох штамів C. zonatus, одного штаму C. versico-lor, чотирьох штамів C. hirsutus, одного штамуC. villosus залишалися білими.

Середовища СА і КГА сприяли утвореннюнайбільш щільних колоній з добре розвиненимповітряним міцелієм у C. zonatus, C. pubescens і

C. versicolor, а середовище СА + дуб – у C. ver-sicolor. На синтетичному середовищі СН у всіхдосліджених видів, крім C. versicolor, формува-лись розріджені колонії.

Таким чином, варіабельність морфологічниххарактеристик колоній на середовищах різногоскладу проявлялась переважно на середовищі СНу вигляді зміни щільності колонії всіх дослідже-них видів, забарвлення реверзуму колоній C. ver-sicolor у коричневий колір та утворення змішанихтипів колоній.

Один із найдосвідченіших дослідників угалузі вивчення культур вищих базидіоміцетівМ. Ноблз вважає, що ізоляти одного й того ж ви-ду можуть значно відрізнятись за кольором і текс-турою колоній, а більш постійними ознаками єшвидкість росту, відношення до температури тамікроскопічні особливості гіфальної системи [8].Тому швидкість росту вегетативного міцелію по-ряд із здатністю до біосинтезу тих чи інших біо-логічно активних метаболітів є одним із важли-вих критеріїв відбору штамів для розробки но-вих грибних біотехнологій.

За даними літератури, на швидкість ростуістотно впливають склад поживного середови-ща та температура інкубації [9, 14, 15].

Статистично достовірні значення швидкос-ті росту колоній грибів Coriolus на різних агари-зованих середовищах наведено в табл. 2.

Аналіз таблиці свідчить про те, що швид-кість росту переважної більшості культур – 55%(17 штамів) від загальної кількості дослідженихштамів грибів Coriolus – залежала від складу се-редовища. Для решти культур (45%, 14 штамів)значення швидкості росту були однаковими надвох або трьох середовищах. Зауважимо, що мине виявили залежності між видовою приналеж-ністю культур роду Coriolus і середовищами, якіне впливали на швидкість росту. Наведемо при-клад: штам C. zonatus 301 однаково ріс на сере-довищах СА, СА + дуб, СН, штам 5134 – наСА і КГА, штам 5303 – на КГА і СН. Такимчином, можна зробити висновок, що в даномувипадку саме особливості штамів дослідженихгрибів визначали залежність швидкості ростувід складу середовища.

Співробітники відділу мікології Інституту бо-таніки ім. М.Г. Холодного НАН України Е.Ф. Со-ломко та М.Л. Ломберг [16], дослідивши 52 види(147 штамів) відділу Basidiomycota, повідомили,що на швидкість росту базидіальних грибів впли-вають як склад поживного середовища, так ітемпература інкубації. За результатами нашихдосліджень, ця тенденція характерна і для родуCoriolus [15].

Рис. 1. Типи колоній культур роду Coriolus (температура28°С, сусло-агаризоване середовище): 1 – борошнис-то-повстяні (C. zonatus 5300); 2 – шовковисто-пух-насті (C. versicolor 5129); 3 – пластівцевоподібні (C.hirsutus 358); 4 – бархатисті (C. pubescens 322)

1

3

2

4


Для вибору найбільш сприятливого середо-вища для культивування досліджених культур не-

обхідно визначитись з тим, які середовища забез-печують максимально високу швидкість росту мі-целію. Тому досліджені культури Coriolus булорозподілено за максимальною швидкістю ростуна агаризованих середовищах, що показано нарис. 2. За цією діаграмою найбільший відсотоккультур (32%) з максимальною швидкістю рос-ту (Vr ≥ 8,5мм/добу) відзначено на СА + дуб.

Зазначимо, що основний вклад у вказанийвище відсоток належить культурам C. zonatus,оскільки для семи з тринадцяти штамів найбіль-ша швидкість росту була відзначена на середови-щі СА + дуб (рис. 3).

Культури з найбільшою швидкістю ростуна середовищах СА і КГА становили 19%, наСН – трохи менше (16%).

Середовище СА, яке вітчизняні дослідни-ки широко застосовують як універсальне середо-вище для зберігання грибних культур у колек-ції, в наших дослідженнях забезпечувало широ-кий діапазон варіювання швидкості росту в ме-жах одного виду. Наприклад, для C. zonatus ці ме-жі становили 3,9–8,0мм/добу, C. hirsutus – 3,3–8,0мм/добу, C. versicolor – 8,0–15,0мм/добу. Узв’язку з цим необхідно відзначити штам C. ver-sicolor 5095, який характеризувався найбіль-шою серед 31 дослідженої культури швидкістю15,0мм/добу (див. табл. 2). Крім цього штаму,на СА було зареєстровано максимально ак-тивний ріст ще сімох культур: C. versicolor 5094,5131, 5299 (Vr ≥ 10,6мм/добу), C. hirsutus 358, 5019,5137 (Vr ≥ 6,5мм/добу), C. zonatus 5022 (Vr == 8,0мм/добу). Водночас це середовище забез-печувало мінімальний ріст для культури C. pu-bescens 322 (Vr = 2,7мм/добу), воно виявилось не-сприятливим для даного штаму.

Що стосується широкого діапазону варі-ювання значень швидкості росту, то, як відзна-чала О.С. Горшина [14], досліджуючи види C. pu-bescens, C. hirsutus, незважаючи на те що швид-

Таблиця 2. Швидкість росту вегетативного міцелію Co-riolus при 28 °C

Швидкість росту Vr, мм/добу,в середовищі

Вид, штамСА СА + дуб КГА СН

C. zonatus

301 6,3±0,2 6,5±0,4 7,2±0,3 6,8±0,4

1525 6,3±0,4 8,7±0,4 8,3±0,3 7,3±0,4

1561 7,3±0,2 10,5±0,4 8,0±0,3 7,5±0,4

1570 7,5±0,2 9,0±0 9,5±0,4 7,0±0,4

5021 4,3±0,2 8,5±0,1 8,0±0,1 6,3±0,1

5022 8,0±0,4 7,5±0,1 6,0±0,1 6,7±0,1

5133 6,6±0,2 9,5±0,1 7,8±0,1 8,6±0,3

5134 7,0±0,2 9,5±0,3 7,3±0,4 8,9±0,4

5135 5,8±0,3 9,5±0,3 6,4±0,2 8,1±0,3

5300 3,9±0,2 4,8±0,4 8,0±0,3 7,7±0,3

5301 4,7±0,2 4,7±0,3 7,8±0,3 8,5±0,3

5302 7,1±0,2 9,5±0,1 8,0±0,3 7,0±0,3

5303 4,7±0,4 7,3±0,1 7,7±0,1 7,8±0,3

C. versicolor

353 8,0±0,1 8,5±0,4 10,3±0,2 11,5±0,4

1689 9,0±0,3 8,0±0,2 9,8±0 10,5±0,3

5094 10,6±0,2 8,0±0,2 10,5±0,3 10±0,3

5095 15,0±0,1 6,5±0,1 11,5±0,2 10±0,2

5129 8,5±0,2 8,0±0,3 11,0±0 10±0,3

5131 11,5±0,2 7,3±0,3 9,6±0,2 10,6±0,3

5299 11,0±0,2 7,5±0,2 10±0,3 9,7±0,3

C. hirsutus

338 6,4±0,3 9,0±0,1 6,0±0 6,1±0,3

358 6,5±0,3 5,8±0,1 5,8±0 5,7±0,3

359 3,3±0,2 5,8±0,2 7,2±0 6,3±0,4

1569 4,0±0,3 5,5±0,3 6,8±0,3 7,4±0,3

5018 5,8±0,4 8,7±0,3 6,1±0,2 7,3±0

5019 7,0±0,4 6,0±0,3 6,8±0,2 6,2±0,3

5137 8,0±0,4 5,0±0,3 5,2±0,3 6,1±0,3

C. pubescens 322 2,7±0,3 3,4±0,3 3,9±0,2 5,5±0,3

C. villosus 1009 5,4±0,2 7,9±0,3 6,7±0,3 3,0±0,3

C. sp. 1004 5,7±0,2 3,2±0,3 8,5±0,2 7,3±0,3

C. sp.1567 6,5±0,2 7,0±0,3 7,3±0,3 5,6±0,4

Рис. 2. Розподіл досліджених штамів за максимальноюшвидкістю росту на агаризованих середовищах(відсоток від загального числа досліджених культурCoriolus): – СА; – СА + дуб; – КГА; –СН; – на двох середовищах

32%

16%14%

19%

19%


кість росту в базидіальних грибів є ознакою ви-ду, існує значна різниця між штамами за цим по-казником.

Підвищення швидкості росту міцелію на се-редовищі СА + дуб, на нашу думку, пов’язано звідповідними чинниками. Дубова кора, відповід-но до електронного ресурсу http://www.fito.nnov.ru,містить 10–20% дубильних речовин пірогаловоїгрупи, галову і елагову кислоти, велику кількістькатехіну, пентозани (до 13–14%), пектини (до6%), флавоноїди (кверцитин, кверцит та ін.),крохмаль і флобафен. Як правило, здатність ви-щих базидіоміцетів до деструкції високомолеку-лярних субстратів за допомогою позаклітиннихферментних систем, що містять разом із целю-лазами активні оксидоредуктази, зберігається і вумовах культури. Крім того, дубильні речовини ігалова кислота можуть бути індуктором екстра-целюлярних фенолоксидаз, що допомагають за-своювати також речовини фенольної природи,зокрема катехін.

Проте в наших дослідженнях підвищенняшвидкості росту на середовищі СА + дуб порів-няно з СА спостерігалось не для всіх дослідже-них видів грибів Coriolus. Так, стимуляція ростуспостерігалась для грибів C. zonatus, крім шта-мів 5022, 5301 (див. рис. 3); для C. hirsutus, крімштамів 358, 5019, 5137; для C. villosus, C. pu-bescens і C.sp.1567 (див. табл. 2). І навпаки, длявиду C. versicolor відзначено зменшення швидкостіросту з 8,0–15,0мм/добу (СА) до 6,5–8,5мм/добу(СА + дуб). Отже, додавання відвару дубової ко-

ри мало видові відмінності у впливі на динамі-ку росту міцелію. Це можна було б пояснити, до-слідивши ферментативну активність.

Порівнюючи комплексне середовище КГА ісинтетичне СН, відзначимо, що вони забезпечу-вали значення швидкості в однакових межах длякожного виду, наприклад: для C. versicolor діапа-зон становив 9,6–11,5мм/добу, для C. zonatus –6,0–9,5мм/добу, для C. hirsutus – 5,2–7,4мм/добу.При цьому середовище КГА забезпечувало най-більшу швидкість росту таких культур: C. versi-color 5094, 5095, 5129 (Vr ≥ 11,0мм/добу), C. zo-natus 1570, 5300, 5303 (Vr ≥ 7,8мм/добу), C. hir-sutus 359, 5019 (Vr ≥ 6,8мм/добу), C. sp. 1004 (Vr == 8,5мм/добу), 1567 (Vr = 7,3мм/добу) (рис. 4).

На синтетичному середовищі СН макси-мальною була швидкість росту 16% усіх дослід-жених культур, зокрема ряду штамів C. versicolor(353, 1689), C. zonatus (5301, 5303), C. hirsutus 1569,C. pubescens 322 (рис. 5). Останній штам лише насередовищі СН проявив свою найбільшу швид-кість, яка становила 5,5мм/добу, а взагалі в на-ших дослідженнях цей штам відзначився як по-вільно ростучий на натуральному середовищі САі комплексних середовищах СА + дуб, КГА. За-уважимо, що наприклад в дослідженнях О.С. Гор-шиної використовувався штам C. pubescens з їївласної колекції, для якого характерною булашвидкість росту 20мм/добу на СА [14]. Отже,навіть цей факт підтверджує думку про те, щоміж штамами одного виду існує різниця за по-казником швидкості росту.

Штам

Шви

дкіс

ть р

осту

Vr,

мм

/доб

у

530353025301530051355134513350225021157015611525301

12

10

8

6

4

2

0

Рис. 3. Швидкість росту C. zonatus на агаризованих середовищах: – КГА; – СН; – СА; – СА + дубовакора


Таким чином, якщо види досліджених ба-зидіоміцетів роду Coriolus розташувати від повіль-норостучих до швидкоростучих на КГА і СН впорядку збільшення швидкості росту міцелію, тоотримаємо такий ряд: C. pubescens (Vr = 3,9–5,5мм/добу) < C. hirsutus (Vr = 5,2–7,4мм/добу) << C. zonatus (Vr = 6,0–9,5мм/добу) < C. versico-lor (Vr = 9,6–11,5мм/добу). Цей ряд дасть намуявлення про загальну тенденцію зміни швид-кості росту для культур одного виду і різнихвидів.

Висновки

Зміна морфологічних характеристик коло-ній на синтетичному середовищі Норкранс по-лягала у зменшенні щільності колоній всіх до-сліджених видів, забарвленні реверзуму колонійC. versicolor у коричневий колір та утворенні змі-шаних типів колоній.

Максимальна швидкість росту вегетативно-го міцелію 55% від загальної кількості дослідже-них культур Coriolus sp. залежала як від складу по-живного середовища, так і від штамових особли-востей культур.

Оптимальними середовищами, які забезпе-чують максимальну швидкість росту грибів родуCoriolus, можна вважати три досліджених агари-зованих середовища: картопляно-глюкозне, син-тетичний Норкранс та сусло-агар з відваром ду-бової кори.

Перспективними за показником швидкостіросту вегетативного міцелію є культури C. versi-color 353, 5095, 5129, C. zonatus 1570, 5300, C. hirsu-tus 359, 5019.

Подальші дослідження будуть спрямованіна вивчення впливу температури інкубації нашвидкість росту грибів Coriolus з метою підборусприятливого температурного режиму для роз-робки нових біотехнологій.

Автори висловлюють щиру подяку профе-сору, доктору біологічних наук А.С. Бухало за на-дання культур роду Coriolus для проведення до-сліджень.

Штам

Рис. 4. Швидкість росту C. versicolor на агаризованих середовищах: – КГА; – СН; – СА; – СА + дубовакора

Шви

дкіс

ть р

осту

Vr,

мм

/доб

у

16

8

14

12

10

6

4

2

0529951315129509550941689353

Рис. 5. Швидкість росту штамів C. sp. 1004, 1567, C. pubes-cens 322 і C. villosus 1009 на агаризованих середови-щах: – КГА; – СН; – СА; – СА +дубова кора

Штам

Шви

дкіс

ть р

осту

Vr,

мм

/доб

у

8

10

100932215671004

9

6

7

2

3

0

1

4

5


Дослідження проводилися в рамках грантуФонду фундаментальних досліджень МОН Ук-

раїни за темою “Закономірності росту базидіаль-них грибів в глибинній та поверхневій культурі”.

И.Р. Клечак, Н.А. Бисько, Н.Л. Поединок,Л.А. Антоненко

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РОСТА ПЕРСПЕКТИВНЫХОБЪЕКТОВ БИОТЕХНОЛОГИИ – БАЗИДИОМИ-ЦЕТОВ РОДА CORIOLUS В ПОВЕРХНОСТНОЙКУЛЬТУРЕ

Проведены исследования влияния состава пита-тельной среды на культурально-морфологическиехарактеристики и скорость роста вегетативногомицелия 31 штамма грибов Coriolus. Показано,что скорость роста зависела как от состава пита-тельной среды, так и от штаммовых особеннос-тей культур. Установлены оптимальные для куль-тивирования грибов рода Coriolus агаризованныесреды: картофельно-глюкозная, синтетический Нор-кранс и сусло-агар с отваром дубовой коры.

I.R. Klechak, N.A. Bisko, N.L. Poyedinok,L.O. Antonenko

THE GROWTH MECHANISMS OF THE PROMI-SING RESEARCH SUBJECTS OF BIOTECHNOLO-GY – BASIDIOMYCETES MUSHROOMS OF THEGENUS CORIOLUS ON AGAR MEDIUMS

This paper presents the research of the influence of anutrition medium composition on the cultural-morpho-logical properties and the growth rate of vegetative my-celia of 31 strains of mushrooms of the genus Cori-olus. We validate our approach with the experiments,showing that the growth rate depends not only on thenutrition medium composition, but also on the strain fe-atures of cultures. Specifically, we determine the opti-mum agar mediums, notably potato-glucose, syntheticNorkrans and malt-agar with a decoction of oak bark forcultivation of mushrooms of the genus Coriolus.

1. Stamets P. Growing Gourmet and Medicinal Mushroom. –Berkeley Toronto: Ten Speed Press, 2000. – 574 p.

2. Денисова Н.П. Лечебные свойства грибов. Этномикологи-ческий очерк. – СПб.: СПБГМУ, 1998. – 60 с.

3. Бухало А.С., Соломко Е.Ф., Митропольська Н.Ю. Бази-

діальні макроміцети з лікарськими властивостями // Укр.ботаніч. журн. – 1996. – 53(3). – С. 192–201.

4. Горшина Е.С. Биотехнологические препараты лекарст-

венных грибов рода Trametes // Усп. мед. микологии /Под общ. ред. Ю.В. Сергеева. – М.: Нац. академия

микологии, 2005. – Т. V. – С. 246–249.

5. Горшина Е.С., Скворцова М.М. Трамелан – отечествен-

ная биологически активная добавка на основе сухой био-

массы лекарственного базидиомицета Trametes pubescens

(Schumach.) и другие препараты грибов рода Trametes(Coriolus) // Там же. – С. 262–266.

6. Горшина Е.С. Морфологические и физиолого-биохими-

ческие особенности грибов рода Coriolus, продуцентов

биологически активных веществ // Совр. микология вРоссии. Первый съезд микологов России: Тез. докл. –М.: Нац. академия микологии, 2002. – С. 253–254.

7. Каталог культур шапинкових грибів (ІВК) / А.С. Бу-хало, Н.Ю. Митропольська. – К.: Ін-т ботаніки ім.

М.Г. Холодного НАН України, 2001. – 40 с.

8. Высшие съедобные базидиомицеты в поверхностной и

глубинной культуре / Н.А. Бисько, А.С. Бухало, С.П. Вас-сер и др. – К.: Наук. думка, 1983. – 312 с.

9. Соломко Е.Ф., Ломберг М.Л., Митропольська Н.Ю., Чо-

ловська О.В. Ріст окремих видів лікарських макроміце-

тів на поживних середовищах різного складу // Укр.ботаніч. журн. – 2000. – 57, 2. – С. 119–126.

10. Stalpers J.H. Identification of wood-inhabititng Aphyllopho-rales in pure culture // Stud. Mycol. – 1978. – N 16. – 248 р.

11. Бухало А.С., Качуровська В.П., Митропольська Н.Ю. Куль-

туральні особливості рідкісних видів базидіальних мак-роміцетів // Укр. ботаніч. журн. – 1995. – 52, 1. –С. 104–113.

12. Цизь А.М., Бисько Н.А. Рост мицелия лекарственных гри-

бов порядка Aphyllophorales на различных средах //Усп. мед. микологии. – М.: Нац. академия микологии,

2007. – Т. 9. – С. 266–268.

13. Патент РФ 2005 2323966.

14. Горшина Е.С., Скворцова М.М., Бирюков В.В. Техно-

логия получения биологически активной субстанции

лекарственного гриба кориола опушенного // Биотех-нология. – 2003. – 2 . – С. 45–53.

15. Антоненко Л.А., Дзыгун Л.П., Клечак И.Р., Линовиц-

кая В.М. Особенности роста дереворазрушающих бази-

диомицетов на агаризованных средах // Высшие бази-

диальные грибы: индивидуумы, популяции, сообщест-

ва: Матер. юбил. конф., посвященной 100-летию со днярождения М.В. Горленко. – М.: ООО Изд-во “Вос-

ток-Запад”, 2008. – С. 38–52.

16. Ломберг М.Л. Лікарські макроміцети в поверхневій та

глибинній культурі: Автореф. дис. ... канд. біол. наук:03.00.21. – К.: Ін-тут ботаніки ім. М.Г. Холодного НАН

України, 2005. – 22 c.

Рекомендована Радою факультету біо-технології і біотехніки НТУУ “КПІ”


108

ПРОБЛЕМИ ХІМІЇ ТА ХІМІЧНОЇ ТЕХНОЛОГІЇ

УДК 6.61.632.658.691.43

І.М. Астрелін, О.М. Синюшкін,О.В. Іванюк

ЛУЖНЕ ВИЛУЧЕННЯ МІДІ З ГАЛЬВАНІЧ-НИХ ШЛАМІВ

Вступ

Основними напрямками розвитку промис-ловості України є підвищення конкурентоспро-можності підприємств розробкою і впроваджен-ням наукоємних технологій та вирішення проб-лем техногенного забруднення довкілля за умо-ви збереження природних ресурсів при комп-лексному використанні сировини і залученні допереробки промислових відходів.

Відомо, що джерела отримання високоякіс-ної сировини виснажуються і це загострює проб-лему дбайливого та раціонального використаннямінеральної сировини за рахунок більш глибо-кої її переробки і утилізації відходів виробницт-ва.

Неутилизовані відходи різних виробництв за-звичай складуються і зберігаються у відвалах, наполігонах і шламових майданчиках. Як наслідок,відбувається забруднення атмосфери, літосфери,підземних та поверхневих вод. Промислові від-ходи, у більшості випадків, містять цінні компо-ненти та можуть класифікуватися як техногенніродовища. Отже, утилізація їх перспективна з точ-ки зору економії високоякісної сировини, поліп-шення екологічного стану навколишнього сере-довища.

Одним із відходів, який потребує повної ути-лізації, є шлами очищення стічних вод гальваніч-них виробництв. Ці шлами містять значну кіль-кість важких та кольорових металів, зокрема мі-ді.

Використанню відходів гальванічних вироб-ництв як джерела кольорових металів та їх окси-дів приділяється все більше уваги. На це зорієн-товує як дефіцит вказаних металів в умовах Ук-раїни, так і Закон України “Про відходи” [1–3].

Можливими напрямками утилізації гальва-нічних шламів є конверсія їх складових у віднос-но безпечні для довкілля сполуки, які можутьзберігатися довгий час у природних умовах безістотних фізико-хімічних змін, вилучення цін-них металів, переробка в сировинні матеріали дляінших технологічних процесів.

На підставі порівняння витрат по знешкод-женню відходів гальванічного виробництва че-рез захоронення на місцевості і повторного ви-користання цінних компонентів, які містяться увідходах, показано, що другий спосіб обробки від-ходів економічно більш вигідний: витрати на за-хоронення однієї тонни відходів становлять при-близно 2–2,5 тис. грн, тоді як витрати на вилу-чення цінних компонентів дорівнюють 1–1,1 тис.грн (без набутої вартості цих компонентів) [4].У найближчому майбутньому прогнозується збіль-шення витрат й на захоронення відходів на міс-цевості, що зумовлено введенням підвищених ви-мог до екологічної безпеки цього методу. В по-дальшому неминуче збільшення вартості металів(Cu, Zn, Ni, Cd тощо), що вже спостерігається йзараз, теж буде сприяти зростанню рентабель-ності переробки гальванічних відходів з метоюповторного використання специфічних власти-востей сполук металів, які в них містяться.

В той же час в умовах України використо-вується лише невелика частка гальванічних шла-мів, що утилізується на основі давно відомих,проте далеких від раціональності технологіях –як добавки або наповнювачі в будівельні мате-ріали, полірувальні пасти, скляні розтопи то-що [2]. Більш економічно привабливим є тер-мохімічна конверсія металевих складових шла-мів в оксиди кольорових металів з подальшим ви-користанням останніх у виробництві неорганіч-них пігментів (барвників різноманітної гами ко-льорів) замість дорогих та дефіцитних чистих ок-сидів (NiO, ZnO, Fe2O3 тощо) [5]. Проте ком-понентом, що заважає при синтезі пігментів, єсполуки міді, які містяться в багатьох зразкахгальванічних шламів і, отже, підлягають екстрак-ційному вилученню і, далі, регенерації з розчи-нів електрохімічним відновленням (електроосад-женням) [6].

З економічних міркувань найприйнятніши-ми розчинниками для вилучення міді з сумішісполук, близьких за властивостями до неї ме-талів, є розчини аміаку. Але теоретичні передумо-ви і технологічні аспекти забезпечення макси-мально можливої селективності цього процесузалишаються недостатньо вивченим питанням[7, 8]. У даній статті ми намагаємось розв’язатицю проблему на дослідницькій основі.


Мета даної статті – теоретичне та техноло-гічне обґрунтування можливості вилучення міді

ПРОБЛЕМИ ХІМІЇ ТА ХІМІЧНОЇ ТЕХНОЛОГІЇ 109

з мідьвмісних гальванічних шламів методом амі-ачного вилуговування. При цьому прийнято доуваги, що металеві складові реальних шламів зна-ходяться в гідроксидній формації.

Теоретичне обґрунтування процесу переведен-ня кольорових металів у розчинний стан з їхгідроксидів розчинами аміаку

При взаємодії з аміаком гідроксидні спо-луки міді, цинку та нікелю здатні утворюватирозчинні аміачні комплекси: [Cu(NH3)4](OH)2,[Ni(NH3)6](OH)2, [Zn(NH3)4](OH)2 з константа-ми нестійкості Кн відповідно 2,31⋅10−13; 1,12⋅10−8;3,46⋅10−10 [9]. Залізо(III) ж утворює малостійкі амі-акати, які можна синтезувати тільки за спеціаль-ними методиками, і, отже, вони не вилугову-ються розчинами аміаку.

Перехід вказаних кольорових металів (Cu,Ni, Zn, позначених як Ме) у розчин з гідрокси-дів під впливом ліганда-аміаку відбувається за ра-хунок утворення розчинного аміачного комп-лексу за брутто-реакцією

Me(OH)n + a(NH3⋅H2O) ↔ [Me(NH3)а]n+ +

+ аH2O + nOH (1)

або за стадіями

Me(OH)n ↔ Men+ + nOH−, (2)

Men+ + aNH3⋅H2O ↔ +3[Me(NH ) ]n

a + aH2O. (3)

При заданому значенні рН розчину, якезумовлює знаходження аміаку у формі гідрату,за наявності твердої фази гідроксиду металу рів-новажна концентрація іонів [Меn+] у розчині бу-де підтримуватись постійною за рахунок розчин-ності твердої фази згідно з реакцією (2) прицьому ж рН розчину. Це значення концентра-ції [Меn+] зумовлює рівновагу суміжно поєднаноїреакції (3) та, в підсумку, рівноважну концент-рацію амінокомплексу [Me(NH3)a]

n+ в розчиніпри заданій технологічними умовами концент-рації аміаку.

Матеріальний баланс з утворення аміачно-го комплексу (загальна концентрація СМе, розчин-ність SMе) можна записати у вигляді

CMe = SMe= [Men+] + [Me(NH3)a]n+. (4)

Складові рівняння матеріального балансу(4) можна визначити таким чином: рівноважнаконцентрація металу в розчині при заданомузначенні рівноважної концентрації гідроксид-

іонів лімітується розчинністю гідроксиду та ви-значається за формулою

+−

=ДР

[Me ][OH ]

nn, (5)

де ДР – добуток розчинності.

Концентрацію аміачного комплексу можнаобчислити при відомій концентрації [Меn+] зформули визначення поняття константи не-стійкості:

+

+= 3

н3

[Me ][NH ]

[Me(NH ) ]

n a

na

K ,

звідки+

+ = 33

н

[Me ][NH ][Me(NH ) ]

n аna K

. (6)

Отже, враховуючи (6), отримаємо вираз дляобчислення рівноважної розчинності (SMe):

н 3Me

н

[NH ][Me ]

an K

SK

+ + =

. (7)

Рівноважна концентрація [NH3] у розчинізв’язана з рівноважною концентрацією [NH4OH]співвідношенням

[NH3] ≈ 0,1[NH4OH].

Проте вважаючи, що константи нестійкості аміач-них комплексів вже визначено за умовою [NH3] == 0,1[NH4OH] [9], це положення нами врахова-но. Згідно із значенням константи іонізації амі-аку, при рН > 10 практично весь аміак знахо-диться у вигляді гідрату аміаку.

При постійній рівноважній концентрації[Меn+] для обчислення розчинності гідроксидуметалу не вистачає значення рівноважної кон-центрації [NH3], яку можна обчислити з рівнян-ня матеріального балансу по аміаку:

3NHC = [NH3] + a +3[Me(NH ) ]n

a . (8)

Підставляючи у (8) вирази (5), (6), приво-димо це рівняння до вигляду, який є зручнимдля розв’язання числовими методами:

−− + =

3

3NH 3

н

[NH ]ДР[NH ] 0

[OH ]

a

nC a

K.

Отже, для визначення розчинності гідрокси-ду металу в розчині аміаку маємо систему рів-нянь такого вигляду:


+

−

+−

+=

− + = =

н 3Me

н

3NH 33

н

[NH ][Me ] ,

ДР[NH ][NH ] 0,

[OH ]

ДР[Me ] .

[OH ]

an

a

n

nn

KS

K

C aK

Отриману систему рівнянь розв’язували задопомогою стандартних програм MathCad при за-даному значенні концентрації гідроксид-іонів,тобто рН розчину. Значення розчинності гідро-ксидів металів у розчині аміаку обчислювали вінтервалі рН = 10–12. Цю характеристику виб-рано такою тому, що ∆рН розчину аміаку змі-нюється у вузькому інтервалі при різних кон-центраціях останнього (

3NHС ).

Залежність рН розчинів аміаку в цьому діа-пазоні від його концентрації визначали, вихо-дячи з рівняння матеріального балансу по амі-аку, яке має такий вигляд:

3NHС = +4[NH ] + [NH3]. (9)

Значення рівноважної концентрації іонів+4[NH ] , яке входить у рівняння (9), можна вира-

зити через константу рівноваги К 0 в аміачномурозчині:

− +

= 40

3

[OH ][NH ][NH ]

K , −

+ = 04

3

[OH ][NH ]

[NH ]K

. (10)

Підставивши (10) в рівняння матеріально-го балансу та зробивши необхідні перетворення,дістанемо рівняння, яке визначає залежність кон-центрації [NH3] від рН розчину аміаку:

−

−=

+3NH

30

[OH ][NH ]

[OH ]

C

K

Із результатів розв’язання системи рівняньвипливає, що при однакових концентраційнихумовах найбільшу розчинність у розчинах амі-аку мають іони міді(ІІ). При низьких концент-раціях аміаку значення розчинності гідроксидівміді, цинку та нікелю, які входять до складу шла-мів, відрізняються в кілька разів.

При збільшенні концентрації розчинів амі-аку в інтервалі (0,2–2)моль/л розчинність усіхгідроксидів кольорових металів збільшується, про-те концентрація аміакату міді залишається істотнобільшою ( +2Cu

S = (1,6·10−2–0,47)моль/л, +2NiS =

= (8,6·10−8–0,15)моль/л, +2ZnS = (1,2·10−7–1,7·10−2)

моль/л), що є передумовою селективного вилу-чення міді з гальванічних шламів.

Експериментальні дослідження процесувилучення міді розчинами аміаку

Як показав теоретичний аналіз, селектив-ним реактантом для вилучення із шламів іонівміді на фоні іонів заліза, цинку та нікелю мо-же бути розчин аміаку, який здатний утворю-вати з компонентами гальванічного шламурозчинні комплексні сполуки з досить низь-кими значеннями констант нестійкості. Прицьому з іонами міді утворюється найбільш стій-кий тетрааміачний комплекс, що є вагомою пе-редумовою селективного вилучення міді із шла-му. Для практичного підтвердження цього бу-ло проведено ряд дослідів, в яких як модель мідь-вмісної сировини використовувався синтетич-ний малахіт CuCO3 ·Cu(OH)2.

Експерименти планувались з метою вияв-лення оптимальних параметрів вилучення міді(концентрації і норми аміаку та час вилучення).

Після математичної обробки даних булоотримано апроксимаційне рівняння, що описуєпроцес вилучення міді розчинами аміаку:

Y = 75,33376 + 6,782498Х1 +

+ 1,421249Х2 + 5,637503Х3,

де Y – ступінь вилучення міді, %; X1 – концент-рація аміаку; X2 – норма аміаку; X3 – трива-лість вилучення міді.

Аналіз отриманого рівняння показує, щонайбільший вплив на ступінь вилучення мідірозчином аміаку є його концентрація, а такожтривалість проведення експерименту.

Раціональними умовами для отримання неменш ніж 91%-ного ступеня вилучення міді слідвважати: час – три години, концентрація аміакув розчині аміаку – 15%, норма аміаку – 120%від стехіометрії на мідь. Але для наближенняумов вилучення міді до реальних (наявність спо-лук Ni та Zn) було проведено експерименти намодельних сумішах, що мали у своєму складі до-мішки гідроксидів цих металів.

Експеримент проводився при таких зна-ченнях параметрів: концентрація аміаку – 15%,норма – 120%, тривалість операцій змінна.

Експериментальні дані щодо вилучення мі-ді розчинами аміаку з модельних сумішей, якімістять у різних концентраціях цинк і нікель,наведені на рис. 1.


Як видно з наведених даних, на моделяхгальванічних шламів спостерігалося зростанняступеня вилучення міді з часом і спадання сту-пеней вилучення цинку та нікелю (у випадку знікелем у сумішах з малим його вмістом спосте-рігалися лише сліди даного компонента). Це мож-на пояснити тим, що аміак утворює з цинк- танікельвмісними компонентами розчину комп-лексні сполуки з досить великими значеннямиконстант нестійкості і з часом прискорює їх роз-пад.

Слід також зазначити, що швидкість утво-рення мідьаміачного комплексу нижча за швид-кість утворення комплексів Ni та Zn. Це зумов-лює тимчасову підвищену концентрацію цих ме-талів у початковий період вилучення компо-нентів із гальванічних шламів.

Вилучення міді з мідьвмісних гальванічнихшламів

У дослідах використовувався зразок реаль-ного гальванічного шламу з таким масовим вміс-том сполук (%): CuO – 18,4, ZnO – 0,6, NiO –10,3, Fe2O3 – 3,3, Na2O – 6,0, SiO2 – 9,6, −2

2CO –3,9, витрати при прокалюванні – 25,5. Експе-рименти було реалізовано з метою виявлення оп-тимальних параметрів вилучення міді, які набу-вали таких значень: концентрації аміаку X1 –(17,5 ± 5,5)%; співвідношення рідина:тверда фазаX2 – 3,75 ± 0,5; час вилучення X3 – (40 ± 10)хв.

Математичній та оптимізаційній обробці під-лягало отримане на основі експериментальних да-них апроксимаційне рівняння, що адекватно опи-сує процес вилучення міді з реальних шламіврозчинами аміаку (%):

Рис. 1. Експериментальні дані щодо вилучення міді розчинами аміаку з модельних сумішей, що містять у різних кон-центраціях цинк та нікель гальванічного шламу (Cu, Zn, Ni): а – цинквмісна модель; вміст цинку, %: 1 – 2; 2 –5; 3 – 8; б – нікельвмісна модель; вміст нікелю, %: 1 – 2; 2 – 5; 3 – 8

100

а

Zn

Сту

пін

ь ви

луче

ння

мід

і,%

Час, год3,532,521,510,50

90

80

70

60

50

40

30

Cu

3

2

1

2

1

3

б

Час, год3,532,521,510,50

Сту

пін

ь ви

луче

ння

мід

і,%

70

60

40

30

20

10

0

50

Ni

321

3

2

1

Cu


+2CuS = 11,25 + 3,29X1 + 4,18X2 + 2,06X3,

При співвідношенні рідина : тверда фаза мен-ше 2–2,5 утворюється занадто густа суспензія, якуважко розфільтрувати, а при співвідношенні біль-ше 5–6 з’являється велика кількість рідкої фа-зи, що призводить до підвищення витрат натранспортування та подальшу переробку. Вияв-лено, що при проведенні процесу в області оп-тимальних параметрів ступінь вилучення мідідосягає 85–92%.

Кінетичні залежності процесу вилучення мі-ді з реальних шламів добре описується такимрівнянням (коефіцієнт кореляції дорівнює 0,95):

= +τ1,43

1 10,1561 0,0434

X, (11)

де Х – ступінь вилучення міді, %; τ – час пере-бігу процесу, год.

Кінетичне рівняння швидкості процесу ви-лучення міді(ІІ), одержане диференціюваннямвиразу (11) в заданих точках, має вигляд

1,52

14,3436 10 2

dx xd

−β +

= ⋅ ⋅ βτ τ

,

де β – коефіцієнт кореляції експериментальнихданих.

Технологічна схема переробки високомідис-тих гальванічних шламів методом аміачноговилуговування

З метою вилучення міді з розчинів намипропонується в даний час застосовувати методелектролітичної екстракції. У дослідах умови бу-ли підібрані таким чином, щоб забезпечити се-лективне вилучення міді при наявності в розчи-ні інших металів (нікелю, цинку тощо). Прин-ципова технологічна схема наведена на рис. 2.

Шлам 2 із сховища краном 1 подається вбункер 3, звідки шнековим конвеєром 4 спрямо-вується в реактор з мішалкою 5, куди також дода-ється з бака 8 розчин аміаку та вода для досяг-нення потрібного співвідношення рідина:твердафаза. Суспензія після вилуговування надходитьна фільтрпрес 6, де відділяється тверда фаза, якаможе бути використана, наприклад, у синтезі піг-ментів. Фільтрат та промивні води використову-ються для електроосадження металічної міді велектролітичній ванні 7.

Матеріальний баланс цієї технології свід-чить, що при обробці типових мідьвмісних галь-ванічних шламів треба здійснювати продувкукожного одинадцятого циклу у зв’язку з нако-пиченням у маточному розчині досить великоїкількості сполук цинку та нікелю (збірник ма-точного розчину 9).

Висновки

На основі теоретичного аналізу та експери-ментальних досліджень доведено доцільність амі-ачного вилучення міді з гальванічних шламів.

Із врахуванням визначених оптимальнихумов запропоновано технологічну схему пере-робки гальванічних мідьвмісних шламів, яказабезпечує можливість не менш ніж на 90%вилучати мідь та отримувати осад сполукнікелю і цинку з невеликими домішками міді,який придатний для подальшої переробки.

1

3

42

5 6

9

7

8

Вода

Вода

Твердий залишок

Рис. 2. Принципова технологічна схема вилучення міді згальванічних шламів: 1 – грейферний кран; 2 – галь-ванічний шлам; 3 – бункер для шламу; 4 – шнеко-вий конвеєр; 5 – реактор з мішалкою для вилучен-ня міді; 6 – фільтрпрес; 7 – електролітична ванна; 8 –бак для розчину аміаку; 9 – збірник маточного роз-чину

Аміак


И.М. Астрелин, А.Н. Синюшкин, Е.В. Иванюк

ЩЕЛОЧНОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ МЕДИ ИЗ ГАЛЬВАНИ-ЧЕСКИХ ШЛАМОВ

Теоретически определена возможность химичес-кого извлечения меди из гальванических шламов,экспериментально исследованы процессы извле-чения меди растворами аммиака из модельныхсмесей и реальных гальванических шламов, атакже электроэкстракции меди из растворов вы-щелачивания. Определены технологические усло-вия извлечения меди из отходов гальваническихпроизводств. Предложена принципиальная техно-логическая схема переработки медьсодержащихгальванических шламов с расчетом материально-го баланса.

I.M. Astrelin, O.M. Sinyushkin, O.V. Ivanyuk

THE ALKALINE EXTRACTION OF COPPER FROMGALVANIC DROSS

On the theoretical side, we investigate the possibili-ty of chemical extraction of copper from galvanicdross. We study the processes of extracting copperfrom the model mixtures and original dross of ammo-niac solution. Furthermore, we consider the electro-extraction of copper from lixiviation solutions. Anemphasis is laid on determining the technological con-ditions of extracting copper from galvanic waste pro-duction. Finally, we propose the fundamental techno-logical scheme of reprocessing galvanic dross conta-ining copper with the calculation of material balance.

1. Тищенко Г.П., Моисеенко Н.Ю., Журавлев В.С. и др. Ути-

лизация промышленных отходов гальванических

производств // Обз. инф. Сер. Актуальные вопр. хим. на-уки и технологии и охраны окруж. среды. – 1991. – 3. – С. 1–8.

2. Запольский А.П., Образцов В.В. Комплексная перера-ботка сточных вод гальванических производств. – К.:

Техника, 1989. – 200 с.

3. Тимофеева С.С., Баранов А.Н., Балаян А.Э., Зуборева Л.Д.

Комплексная оценка технологий утилизации осадков

сточных вод гальванических производств // Химия итехнология воды. – 1991. – 1. – С. 68–71.

4. Кучерова Е.А., Паничева А.Ю., Федорова С.В. Утилиза-

ция осадков сточных вод машиностроительных пред-

приятий в производстве стеновой керамики // Очист-

ка производственных сточных вод и утилизация осад-ков машиностроительной промышленности. – М: Хи-

мия, 1988. – 156 с.

5. Астрелін І.М., Іванюк О.В., Супрунчук В.І. Синтез не-

органічних пігментів з використанням шламових від-

ходів гальванічних виробництв // Хім. промисловістьУкраїни. – 1998. – 9. – С. 48–50.

6. Иванюк Е.В., Астрелин И.М., Супрунчук В.И. Сине-зе-

леные неорганические пигменты, синтезированные с ис-

пользованием отходов гальванических производств //Журн. прикл. химии. – 1999. – 72, вып. 9. – С. 1429–

1432.

7. Вячеславов П.М., Ильше В.А. Пути создания безотход-

ных технологий в производстве гальванических по-

крытий // Тез. докл. семинара “Охрана окруж. среды и

новый высокоэффективный метод анализа и очисткисточных вод пром. предприятий”. – Л.: ЛТИ, 1983. –С. 7–8.

8. Запольський А.К., Мішкова-Клименко І.М., Астрелін І.М.

та ін. Фізико-хімічні основи технології очищення стіч-них вод – К.: Лібра, 2000. – 552 с.

9. Васильев В.П. Аналитическая химия. – М.: Высш.

шк., 1989. – 320 с.

Рекомендована Радою хіміко-техноло-гічного факультету НТУУ “КПІ”



УДК 544.636

В.Ю. Ізотов, Д.Г. Громадський,Ю.А. Малєтін

МОДЕЛЮВАННЯ І РОЗРАХУНОК РОБОЧИХПАРАМЕТРІВ СУПЕРКОНДЕНСАТОРА

Вступ

Останнім часом з’явився великий інтересдо систем, здатних акумулювати і при необхід-ності видавати на зовнішнє навантаження елект-ричні імпульси тривалістю кілька секунд і по-тужністю кілька кіловат. Такі акумулюючі систе-ми знаходять усе ширше використання в систе-мах запуску двигунів внутрішнього згоряння, кос-мічній техніці, і без них важко собі уявити ав-томобілі майбутнього – електромобілі. Однієюз таких систем, що акумулюють енергію, є кон-денсатори подвійного електричного шару, або су-перконденсатори. За своїми питомими характе-ристиками суперконденсатори здатні накопичу-вати (віддавати) енергію порядку однієї ват-го-дини на кілограм при потужності порядку кіль-кох кіловат на кілограм та при високих значен-нях ККД (порядку 95%).

Практична потреба дала поштовх для ціле-спрямованих досліджень процесів заряду й роз-ряду подвійного електричного шару, що відбува-ються в нанопористих системах, з яких звичай-но виготовляють електроди суперконденсаторів.Результати цих досліджень дали можливістьсерйозно просунутися в розумінні механізму фі-зико-хімічних процесів, що відбуваються в су-перконденсаторах, й обґрунтувати теоретичну мо-дель, яка дозволяє трактувати більшість експе-риментальних результатів [1]. На базі цих модель-них уявлень на даний момент проводиться по-рівняння різних електрохімічних систем, що ле-жать в основі різних суперконденсаторів. Однак,незважаючи на очевидні успіхи, досягнуті в ційсфері, залишається нез’ясованим ряд істотнихпитань. Це проявляється насамперед у неможли-вості трактувати на базі існуючих модельнихуявлень всю сукупність експериментальних ре-зультатів та характеристик суперконденсаторів.

Так, залишається відкритим питання про те,що слід розуміти під внутрішнім опором супер-конденсатора та як трактувати зміну цього пара-метра в процесі проведення деяких експеримен-тів. З відповіддю на це тісно пов’язане таке важ-ливе поняття, як ККД. Розв’язуванню цих проб-лем присвячена дана стаття.


Мета статті – розрахунок і моделювання ос-новних характеристик суперконденсаторів і визна-чення впливу на них внутрішньої релаксації заря-ду. Зроблено спробу, використовуючи відноснопросту модель, яка тільки в цілому описує фізич-ні процеси, що протікають на пористих елект-родах, описати вказані нижче експерименти.

Аналіз експериментальних даних

Дуже часто при трактуванні експеримен-тальних результатів виходять із простого мо-дельного уявлення суперконденсатора у виглядідвох послідовно з’єднаних елементів опору і кон-денсатора. При цьому припускається, що ємністьконденсатора відповідає ємності суперконден-сатора, а опір – його внутрішньому опору. Опір іємність вважаються сталими величинами.

Однак таке модельне трактування супер-конденсатора не може пояснити одержання всіхекспериментальних даних. Розглянемо класич-ний експеримент з циклування суперконденса-тора постійним струмом. Будемо заряджати, а по-тім розряджати суперконденсатор у гальваноста-тичному режимі струмом І. Виходячи із стриб-ка напруги ∆U1 у початковий момент зарядки іопираючись на зазначену вище модель, можнавизначити внутрішній опір суперконденсатора:R1 = ∆U1/I . Аналогічно внутрішній опір супер-конденсатора можна знайти, виходячи із стриб-ка потенціалу ∆U2 у момент його перезаряджен-ня: R2 = ∆U2/I .

На рис. 1 наведено результати циклуван-ня струмом 5А макета суперконденсатора ємніс-тю 52Ф. Як видно з цього рисунка, ∆U2 більше∆U1 і, отже, опір, розрахований з першого стриб-ка потенціалу, менший за опір, розрахований іздругого стрибка потенціалу. Цей результат явнопротирічить модельним уявленням про суперкон-денсатор як систему послідовно з’єднаних опо-рів і конденсатор.


Для усунення цього протиріччя експери-мент ставився трохи по-іншому. На першому ета-пі суперконденсатор заряджався у гальваноста-тичному режимі і визначався стрибок напруги∆U1, на другому – витримувався при постійно-му потенціалі, на третьому – розряджався в галь-ваностатичному режимі і при цьому визначався∆U2. При такому підході ∆U1 дорівнював ∆U2 івнутрішній опір, визначений при заряді супер-конденсатора, дорівнював опору, виявленому прирозряді. На рис. 2 наведено саме таку схему цик-лування макета суперконденсатора ємністю 52Ф.Струм заряду дорівнював струму розряду і стано-вив 5А.

Для відповіді на питання, чому експери-мент, наведений на рис. 1, суперечить теоретич-

ній моделі, розглянемо фізичні процеси, які від-буваються в суперконденсаторі при його заряді(розряді). Поляризаційний електрод суперконден-сатора являє собою пористу систему з широкимрозподілом пор за розмірами. Процес зарядуелектрода характеризується накопиченням за-ряду в порах різного діаметра. У різних порах на-копичується різний заряд і за різний час. Отже,кожному розміру пор можна поставити у відпо-відність RC-ланцюжок. Така модель не має прак-тичного значення через те, що її неможливо ви-користати при проведенні прогнозуючих розра-хунків параметрів суперконденсатора.

Існує цілий ряд більш простих модельнихнаближень для опису роботи суперконденсато-ра [2–4]. Ці моделі дають можливість досить точ-но описати роботу суперконденсатора, однак дляпрактичних розрахунків вони також уявляютьсядосить складними через велику кількість пара-метрів.

Модельні розрахунки

У даній статті, як і раніше в [5], зробленаспроба описати роботу суперконденсатора з ви-користанням мінімального числа параметрів. Припобудові цієї моделі умовно розділимо пори надві великі групи і поставимо у відповідність кож-ній групі пор свою сталу часу RC. Припуска-ємо, що константи RC всередині кожної групиможна вважати близькими між собою за значен-ням. Такий умовний поділ можна провести в та-кий спосіб: до першої групи віднести пори, в якихрадіус не більше 50Å, а до другої – ті, в яких ра-діус більший. До другої групи віднесемо також ітранспортні канали. Далі будемо зображати су-перконденсатор у вигляді двох паралельно з’єдна-них RC-ланцюжків. Параметри R0 і C0 будуть від-повідати першій групі пор, а Rm і Сm – другій.

Для запропонованої моделі суперконденса-тора зміна потенціалу на зовнішніх клемах пригальваностатичному зарядженні має вигляд

− −τ τ

+= + − + + +

2 20 0 0

20 0

( ) 1( )

t tm m m

m m

R R R C R CU t I e e

R R C C

+ ++ 0

0 m

tU

C C, (1)

де +

τ =+

0 0

0

( )m m

m

R R C CC C

– характерний час внут-

рішньої релаксації суперконденсатора; U0 – на-пруга на клемах суперконденсатора до початкуциклування.

2

Рис. 2. Залежність напруги від часу на клемах суперконден-сатора ємністю 52 Ф при: 1 – заряді в гальваностатич-ному режимі струмом 5 А; 2 – витримуванні в потен-ціостатичному режимі при напрузі 2,3 В; 3 – розря-ді суперконденсатора в гальваностатичному режиміструмом 5 А

V, B

t, c

2,25

2520151050

2

1,75

1,5

31

Рис. 1. Залежність напруги від часу при циклуванні супер-конденсатора ємністю 52 Ф у гальваностатичномурежимі струмом 5 А

35

2,4V, B

t, c

2,3

2,2

2,1

2,0

1,9

1,8

1,7

1,6

1,5302520151050


Виходячи з рівняння (1), залежність внутріш-нього опору від часу опишемо рівнянням

−τ+ −

= −+ + +

2 2 20 0 0 0

2 20 0 0

( )( )

( ) ( )( )

tm m m m

m m m

R C R C R C R CR t e

C C R R C C.(2)

З рівняння (2) видно, що залежно від співвідно-шення реального часу t і характерного часу внут-рішньої релаксації експериментально спостеріга-ються різні асимптотики для внутрішнього опо-ру суперконденсатора.

Для “коротких” імпульсів, або для почат-кового моменту заряду суперконденсатора, колиможна знехтувати лінійними членами, внутріш-ній опір визначається початковим стрибком по-тенціалу ∆U1 і становить

<< τ ≈ + + τ 0

0

( ) m

m

R R tR t O

R R. (3)

Виходячи з уявлень даної моделі, до “корот-ких” імпульсів слід віднести імпульси, тривалістьяких (t 0) набагато менша часу внутрішньої ре-лаксації (t0 << τ). До другого граничного випад-ку варто віднести той часовий інтервал, коли су-перконденсатор працює на зовнішнє наванта-ження протягом часу, що набагато перевищує часвнутрішньої релаксації (t 0 >> τ).

У випадку, коли суперконденсатор заряджа-ється протягом тривалого часу (t >> τ), його внут-рішній опір описується рівнянням

−τ

+>> τ ≈ + +

2 20 0

20

( )( )

tm m

m

R C R CR t O e

C C, (4)

що відповідає опору R2, який визначається ізстрибків потенціалу ∆U2.

Ємність суперконденсатора знаходиться з на-хилу кривої U (t ) при тривалому часі заряду t >>>> τ:

= +0 mC C C . (5)

Якщо після завершення заряду суперконден-сатор відключити від зовнішнього джерела жив-лення, то напруга на його зовнішніх клемах Ur (t )буде змінюватися в такий спосіб:

= + −+0

00

( )rm

ItU t U

C C

−τ−

−+ +

20 0

20 0

( )

( ) ( )

tm m

m m

C R C RI e

C C R R, (6)

де t 0 – час, протягом якого продовжувався за-ряд суперконденсатора в гальваностатичному ре-жимі.

Виходячи з форми кривої Ur (t ), на основірівняння (6) можна визначити характерний часвнутрішньої релаксації суперконденсатора τ.

Таким чином, рівняння (3)–(6) можуть ви-користовуватися для визначення чотирьох пара-метрів, що характеризують дану модель супер-конденсатора. У рамках даної моделі з’являєтьсяможливість не тільки однозначно трактувати екс-периментальні результати з гальваностатичногоциклування суперконденсатора, але й теоретич-но розрахувати такий важливий параметр, якККД на стадії заряду (розряду) суперконденсато-ра. Крім того, можна також оцінити енергетич-ні втрати на релаксаційні процеси, що відбува-ються всередині суперконденсатора при відклю-ченні його від зовнішнього джерела живлення.

При розрахунках ККД суперконденсаторанеобхідно також враховувати процеси внутріш-ньої релаксації (перерозподіл заряду за порами).Тому при оцінюванні енергії, витраченої су-перконденсатором при роботі на зовнішнє на-вантаження

= −2 20

2 2CU CU

E , (7)

де U – кінцева напруга на клемах суперкон-денсатора, тобто вимірювання кінцевої напругина клемах суперконденсатора слід проводити піс-ля завершення внутрішніх релаксаційних про-цесів, тобто через час t > 3τ. Після закінчення за-значеного часу внутрішні релаксаційні проце-си можна вважати завершеними й напруга наклемах суперконденсатора буде сталою.

Порівняння модельних розрахунківз експериментальними даними

Для перевірки правильності наших припу-щень визначимо за зазначеною вище схемою мо-дельні параметри R0, С0, Rm і Сm для макета ба-тареї з трьох суперконденсаторів. Потім, виходя-чи з модельних параметрів, спробуємо описатиекспериментальну залежність струму від часу прирозряді макета батареї суперконденсаторів на по-стійний зовнішній опір RL = 0,375мОм.

Візьмемо такі значення параметрів: ∆U1 == 0,083В, ∆U2 = 0,113В, С0 + Сm = 465Ф, τ == 0,85с. Циклування відбувалося струмом I = 10A.


Розв’язуючи систему рівнянь, знаходимо зна-чення параметрів, що характеризують модельсуперконденсатора: R 0 = 25 мОм, С0 = 25Ф, Rm == 12,5мОм, Сm = 440Ф.

У випадку, коли суперконденсатор розряд-жається на постійне навантаження і між опоромнавантаження та опорами, що характеризуютьсуперконденсатор, виконується співвідношенняR0, Rm >> RL, рівняння, яке описує залежністьструму від часу, має вигляд [5]

−− = + +

0 0

1

0 0

0 0

;c m

tR C R C L L

m m

U U R RI e e O

R R R R. (8)

На рис. 3 наведено результати модельнихрозрахунків і експериментальні результати роз-ряду батареї суперконденсаторів на постійний

зовнішній опір RL = 0,375мОм. Параметри оди-ничного елемента: ємність дорівнює 1500Ф і внут-рішній опір, визначений по першому стрибку по-тенціалу (R1 = ∆U1/I ), становить 0,003Ом. Точ-ність визначення всіх параметрів ±5%. Почат-кова напруга на клемах батареї 7,5В. Як видноз рис. 3, теоретичні розрахунки і експерименталь-ні дані добре узгоджуються, що свідчить на ко-ристь запропонованої моделі суперконденсатора.

Висновки

Із наведених вище викладок зрозуміло, щозапропонована модель суперконденсатора більшповно відображує фізичні процеси, які протіка-ють в електрохімічній системі суперконденсато-ра. Вона дає можливість прогнозувати поведінкусуперконденсатора при роботі на різні зовнішнінавантаження. У рамках даної моделі вдалося по-яснити тимчасову залежність внутрішнього опо-ру суперконденсатора при розряді (заряді) його вгальваностатичному режимі. Показано, що дляопису зміни властивостей суперконденсатора якфункції часу доцільно ввести нову характерис-тику τ – час внутрішньої релаксації. Введення да-ної характеристики дає змогу виділити тимча-сові інтервали, протягом яких при роботі на зов-нішнє навантаження внутрішній опір суперкон-денсатора можна вважати сталим.

Експериментально значення внутрішньогоопору можна визначити, наприклад, з описано-го вище досліду з циклування суперконденсато-ра пилкоподібною напругою в гальваностатич-ному режимі (див. рис. 1). У першому випадку(режим “короткого” імпульсу) внутрішній опірсуперконденсатора визначається з початковогострибка потенціалу при його заряді (∆U1). У дру-гому випадку внутрішній опір суперконденсато-ра визначається із стрибка потенціалу в моментйого перемикання із заряду на розряд (∆U2).

Виходячи з усього зазначеного вище, мож-на вважати за доцільне характеризувати супер-конденсатор за допомогою чотирьох параметрівR0, С0, Rm і Сm. Таке модельне уявлення супер-конденсатора не переобтяжить розрахунки, аледасть можливість врахувати енергетичні втрати,зумовлені перерозподілом зарядів у пористихелектродах, та пов’язане з цим виділення теп-ла. Останнє вкрай важливо при проведенні ін-женерних розрахунків у випадку, коли суперкон-денсатор має працювати в режимі критичних на-вантажень.

Експериментальну перевірку застосуванняданої моделі для зазначених вище випадків мож-на розглядати як першочергову задачу праце-здатності даної моделі.

Рис. 3. Залежність струму, що протікає через опір RL прирозряді макета батареї суперконденсаторів: 1 – струмрозряду для R0С0-ланцюжка; 2 – струм розряду дляRmСm-ланцюжка; 3 – сумарний струм розряду; 4 – екс-периментальні значення для струму розряду в режи-мі короткого замикання

I, A

t, c

1000

1

800

600

400

200

086420 97531

3

2

4


В.Ю. Изотов, Д.Г. Громадский, Ю.А. Малетин

МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧEТ РАБОЧИХ ПАРА-МЕТРОВ СУПЕРКОНДЕНСАТОРА

Статья посвящена изучению влияния внутреннейрелаксации заряда на изменение основных харак-теристик суперконденсатора во времени. Предло-жена теоретическая модель, которая описываетсостояние суперконденсатора в зависимости отрежима и длительности эксплуатации. В рамкахпредложенной модели показано, что при экспери-ментальном определении параметров суперкон-денсатора необходимо учитывать изменения, свя-занные с процессами внутренней релаксации за-ряда.

V.Yu. Izotov, D.G. Gromadskyi, Yu.A. Maletin

THE MODELING AND CALCULATION OF PERFOR-MANCE PARAMETERS OF ULTRACAPACITOR

This paper provides insights into the study of the ef-fect of internal charge relaxation on the time chan-ge of ultracapacitors’ main characteristics. Emphasi-zed here is a proposed theoretical model, which de-scribes the ultracapacitor’s state, depending on ope-ration regime and duration. Within the framework ofthis model, we demonstrate that the ultracapacitor’sperformance measurements should be conducted, con-sidering internal charge relaxation processes andchanges.

1. Conway B. Electrochemical supercapacitors: scientific

fundamentals and technological applications. Kluwer Aca-demic / Plenum New York. – 1999.

2. Gualous H., Bouquain D., Berthon A., Kauffmann J.M. Ex-

perimental study of supercapacitor serial resistance and ca-

pacitance variations with temperature // J. of Power So-urces. – 2003. – 123. – P. 86–93.

3. Levie R. de. Advances in Electrochemistry and Electroche-mical Engineering / P. Delahay (ed.). – Wiley, New York. –1967. – 6. – P. 329–397.

4. Zubieta L., Bonert R. Characterization of double-layer capa-citors for power electronics applications // IEEE-IAS 98. –1998. – P. 1149–1154.

5. Maletin Y.A., Strizhakova N.G., Izotov V.Y. et al. Novel type

of storage cells based in electrochemical double-layer capa-

citors // New Promising Electrochemical Systems for Re-chargeable Batteries. – Р. 363–372.


Надійшла до редакції27 червня 2008 року


УДК 620.197.3

С.В. Фроленкова, М.І. Донченко

ВПЛИВ ОКСОАНІОНІВ НА АНОДНУ І ХІМІЧ-НУ ПАСИВАЦІЮ СТАЛІ В СЛАБОМІНЕРАЛІ-ЗОВАНІЙ ВОДІ

Вступ

Ефективним способом захисту сталі від ко-розійного руйнування в рідких середовищах є па-сивація, яка дає можливість зменшувати швид-кість корозії на кілька порядків. Серед інгібіто-рів, які викликають самовільну пасивацію мало-вуглецевих сталей і заліза в нейтральних вод-них розчинах, широко відомі оксоаніони – хро-мати та нітрити. Але такі пасиватори є токсич-ними й екологічно небезпечними, тому вико-ристання їх має супроводжуватися спеціальни-ми запобіжними заходами, стічні води з їх вміс-том потребують знешкодження і спеціальної ути-лізації. Крім того, відомо, що маловуглецевасталь схильна до пітингоутворення в розчинаххроматів [1] і нітритів [2]. Тому актуальним за-лишається питання рівноцінної заміни їх у різ-них розчинах, наприклад у слабомінералізованійводі, яка використовується в замкнених охолод-жувальних системах.

Для вибору оксоаніонів-пасиваторів необхід-но знати електрохімічну поведінку сталі у воді,яка використовується в реальних умовах експлу-атації виробів. Кількісні і якісні оцінки корозій-ного процесу отримують із поляризаційних кри-вих сталі. Аналіз літературних даних показує, щовідомостей щодо електрохімічної поведінки вуг-лецевої сталі в слабомінералізованій воді прак-тично немає. Це пояснюється складністю відтво-рення отриманих результатів, яка, в свою чергу,пов’язана з рядом труднощів, що виникають упроцесі дослідження: по-перше, – мала елект-ропровідність розчинів; по-друге, – зміна рН підчас зняття поляризаційних кривих, а звідси й різ-ний хід пасиваційного процесу. Тому найчастішев літературі наводятьcя дані щодо процесу анод-ного розчинення металів у нейтральних буфернихрозчинах. Але додавання буферуючих добавок іс-тотно впливає на хід анодних кривих. Так, в кар-бонат-гідрокарбонатному буфері [3–5] струм роз-чинення сталі в активній області в два рази мен-ший за такий же в ацетатному буфері [6]. Це мо-же бути пов’язано з накопиченням на поверхністалі малорозчинних сполук заліза різного скла-

ду, які й викликають гальмування корозійногопроцесу. Хід анодної кривої в боратному буферівзагалі принципово відрізняється від кривих,отриманих в інших нейтральних розчинах [7, 8].Тому дані щодо електрохімічної поведінки сталів буферних розчинах некоректно використову-вати для прогнозування корозії в реальних нейт-ральних розчинах.


У даній статті поставлена задача прове-дення електрохімічних досліджень безпосередньов слабомінералізованій воді із застосуванням при-йомів для врахування омічного опору розчинів істабілізації їх кислотності. Порівняння пасиву-вальної дії оксоаніонів різної природи в слабомі-нералізованій воді дасть змогу визначити мож-ливість використання їх як інгібіторів корозії ста-лі в цьому середовищі.

Методика експерименту

Дослідження проводились на сталі марки08кп. Для оцінки пасивувальних властивос-тей інгібіторів було вибрано запропонованийГОСТ 9.502–82 розчин такого складу: 0,319 г/лNa2SO4 + 0,3г/л NaHCO3 + 0,5г/л СаСl2 (модель-на вода). Для вивчення впливу хлорид-іоніввикористовувався той же розчин без додаванняСаСl2: 0,319г/л Na2SO4 + 0,3г/л NaHCO3 (фо-новий розчин).

Як інгібітори корозії пасивувального типу ви-користовувались іони оксигенних кислот, зокре-ма іони хромату, перманганату, ванадату, вольф-рамату, молібдату, бромату, іодату або їх комбі-нації. Розчини готувались на дистильованій во-ді введенням неорганічних речовин кваліфікації”хч” чи ”чда”. Для вивчення та порівняння паси-вувальної дії оксоаніонів у фоновий розчин вво-дили добавки однакової концентрації. Виходя-чи з попередньо отриманих даних про самовіль-ну пасивацію сталі в дистильованій воді під ді-єю 0,5г/л (2,42⋅10−3М) молібдату натрію, саме та-ку концентрацію добавок вибрали для дослід-ження електрохімічної поведінки сталі у фоно-вому розчині. Кислотність розчинів, яку вимі-рювали іономіром ЕВ-74, становила рН = 7,6–8,0.

Поляризаційні криві отримували в потен-ціодинамічному режимі із швидкістю розгорткипотенціалу 2мВ/с, використовуючи потенціо-стат ПИ-50-1.1 та самописець ПДА-1. Потенціаливимірювали відносно насиченого хлор-срібного


електрода порівняння. За стаціонарний потенці-ал електрода брали значення, яке встановлюва-лось після витримки сталі в досліджуваному роз-чині протягом 10хв. Для вилучення омічної скла-дової при знятті поляризаційних кривих вико-ристовували методику трьох капілярів. Згідно зцією методикою, до поверхні сталевого зразка під-водили зафіксовані на різній відстані (хі) три ка-піляри, кожний з яких вмикався у вимірюваль-ний ланцюг із своїм електродом порівняння. Задійсне значення електродного потенціалу браливеличину, отриману екстраполяцією кривої Еі–хі

до перетину з координатою хі = 0. Через малу елект-ропровідність розчину катод доводилося розміща-ти на невеликій відстані від анода. Для зменшен-ня перемішування розчину бульбашками воднювикористовувався катод з площею, яка значноперевищувала площу анода, що забезпечувало не-високу катодну густину струму. Об’єм розчинубув досить великий (200мл при площі анода1см2) – з метою підтримання стабільної вели-чини рН в процесі поляризації. І все ж таки ве-личина рН зростала на 0,2–0,3 одиниці за ра-хунок виділення водню на катоді. Тому аноди,як і розчини, замінювались на нові після кожно-го досліду. Показники корозії визначались масо-метричним методом і розраховувались за такоюформулою:

∆=τcormK

S[г/см2⋅год], (1)

де ∆m – втрати маси зразка впродовж випробу-вань, г; S – робоча площа поверхні зразка, см2;τ – термін експозиції, год.

Коефіцієнт гальмування γ та ступінь захис-ту від корозії Z обчислювались за формулами:

γ = ′cor

cor

KK

, (2)

де corK і ′corK – швидкість корозії в розчині без

та з інгібітором, відповідно;

cor cor

cor(1 1/ ) 100% 100%

K KZ

K

′−= − γ ⋅ = ⋅ . (3)

Масові показники корозії перераховувалисьна струмові одиниці відповідно до закону Фа-радея за формулою

= corcor 1,042

Ki [А/см2], (4)

де 1,042 – електрохімічний еквівалент залізаFe2+ [г/А⋅год].

Оксоаніони металів V–VI груп періодичноїсистеми

Стаціонарний потенціал сталі у фоновомурозчині становить Ест ≈ −0,7В. Анодна крива увідсутності хлоридів має вигляд, типовий для ме-талів, що підлягають пасивації (рис. 1). Критич-на густина струму пасивації (ікр) становить ікр == 6,3мА/см2 для вибраної швидкості зміщенняпотенціалу, потенціал повної пасивації – Еп.п ≈≈ 0,5В.

Зворотний хід поляризаційної кривої свід-чить про те, що пасивна плівка, яка утворюєтьсяпри додатних значеннях потенціалу, відновлю-ється не повністю: струм анодного розчиненняменше, ніж при знятті прямого ходу. При по-тенціалі Е < −0,7В на зворотній кривій спостері-гається катодний струм. На катодній кривій допотенціалу Е = −0,9В існує ділянка граничногоструму ігр ∼ 0,05мА/см2 (див. рис. 1). Така вели-чина добре узгоджується із швидкістю дифузіїмолекул кисню в неперемішуваних розчинах у по-вітряній атмосфері [9]. Саме цей процес зазви-чай є лімітуючою стадією корозії сталі в нейт-ральних розчинах. Середня швидкість корозії ста-лі за 10 діб, визначена масометричним методом,виявилась дещо меншою, ніж граничний струмвідновлення кисню. Можливо, це пов’язано зутворенням плівок продуктів корозії, які маютьпевні захисні властивості. При наявності CaCl2може проявлятися також інгібуюча дія іонів каль-цію, наприклад, у результаті утворення нероз-чинного гідроксиду Са(ОН)2 [10] при підлужен-ні приелектродного шару в результаті реакції:

О2 + 2Н2О + 4е − = 4ОН−. (5)

Рис. 1. Катодна (1 ) і анодні (2, 2 ′) поляризаційні криві ста-лі в розчині 0,319 г/л Na2SO4 + 0,3 г/л NaHCO3; хідкривих: 1, 2 – прямий; 2 ′ – зворотний

−1

і, мА/см2

6

1

2 ′

2

2 ′

4,5

3

1,5

0−1,5 0−0,5 0,5

Е, В


Найвідомішим пасиватором у нейтральнихрозчинах є хромат. При введенні добавки хрома-ту у фоновий розчин відбувається зміщення ста-ціонарного потенціалу сталі до значення −0,5В(рис. 2). На анодній кривій спостерігається змен-шення швидкості розчинення сталевого електродапоблизу стаціонарного потенціалу. Але хроматпри вибраній концентрації (2,42·10−3М) пере-шкоджає переходу сталі в пасивний стан. Крімтого, виникнення гістерезису при знятті зво-ротного ходу свідчить про можливість появи пі-тингу на поверхні сталевого електрода, що уз-годжується з літературними даними [11].

На зворотному ході анодної кривої струмирозчинення сталі більші, ніж у фоновому розчи-ні без добавок. Таким чином, на відміну від за-гальновідомих даних про пасивувальні властивостідобавка хромату в концентрації 2,42·10−3М незабезпечує самопасивації сталі у фоновому роз-чині.

Схожу поведінку сталі зумовлюють і пер-манганати (рис. 3). У фоновому розчині з добав-

кою перманганату стаціонарний потенціал сталістановить −0,53В. На анодній кривій переходусталі в пасивний стан взагалі не відбувається.Максимальний струм розчинення сталевого елект-рода в 2,5 рази більший, ніж в чистому розчині,тобто перманганат стимулює анодне розчиненнясталі в слабомінералізованій воді.

Добавки ванадату амонію та вольфраматунатрію (рис. 4) дещо сильніше гальмують анод-не розчинення сталі. Вони суттєво зміщують ста-ціонарний потенціал в позитивний бік і змен-шують критичний струм пасивації сталі. У роз-чині з добавкою −

3VO спостерігається зменшен-ня ікр до величини порядку ікр = 1,32мА/см2 таструму розчинення в пасивному стані до іп.п == 0,1мА/см2.

На відміну від ванадату на анодній кривійсталі у фоновому розчині з добавкою вольфрамату(див. рис. 4) спостерігається великий струм роз-чинення сталі в пасивному стані.Це може бути по-в’язано з пробоєм пасивної плівки або з утворен-ням пітингу на поверхні сталевого електрода [12].

Молібдат забезпечує утворення найбільш ста-більної анодної пасивної плівки (рис. 5). Харак-терним є зміщення потенціалу повної пасиваціїдо Еп.п = −0,3В, тобто розширення інтервалу по-тенціалів пасивного стану сталі. Струм розчинен-ня в пасивній області також дещо менший принаявності добавки, ніж без неї.

Зворотний хід анодної кривої в розчині змолібдатом свідчить про відсутність активаціїпри зміщенні потенціалу в негативний бік довід’ємних значень – сталь залишається пасив-ною протягом всієї поляризаційної кривої. Анод-ний струм зменшується й досягає нуля при по-тенціалі −0,1В. Виникає катодний струм поряд-ку 0,1мА/см2, який відображає суму процесів від-новлення розчиненого кисню, водню та самого

Рис. 2. Прямий і зворотний хід анодних поляризаційних кри-вих сталі у фоновому розчині без добавки (1 ) та з до-бавкою Na2CrO4 (2 )

Е, В

12

і, мА/см2

8

−0,8

6

4

2

0−0,3 0,2 0,7

Рис. 3. Прямий і зворотний хід анодних поляризаційних кри-вих сталі у фоновому розчині без добавки (1 ) та з до-бавкою KMnO4 (2 )

і, мА/см2

16

12

8

4

0−0,8 −0,3 0,2 0,7

12

Рис. 4. Прямий і зворотний хід анодних поляризаційних кри-вих сталі у фоновому розчині з добавками Na2WO4

(1 ) i NH4VO3 (2 )

і, мА/см2

2

−0,8 Е, В−0,4 0 0,4 0,8

1

0

1

2

Е, В


молібдату. Таким чином, добавка молібдату по-легшує пасивацію сталі і стабілізує пасивну плів-ку в більшій мірі, ніж інші оксоаніони.

Методом електронної дифракції було вста-новлено [13], що полегшення анодної пасиваціїсталі при додаванні в нейтральний розчин моліб-дату натрію пов’язано з його введенням у струк-туру пасивної плівки. Сполуки молібдену(VI) мо-дифікують оксидну плівку на залізі, утворюючинерозчинний комплекс виду Fe2(MoO4)3. Це ста-білізує оксидну плівку і перешкоджає її розчи-ненню.

Оксоаніони галоїдів

Дія бромату, доданого у фоновий розчин,принципово відрізняється від впливу на поведін-ку сталі інших добавок (див. рис. 5). Броматсприяє самовільній пасивації (самопасивації) ста-лі: стаціонарний потенціал суттєво зміщується впозитивний бік, а на анодних кривих немає ді-лянки активного розчинення. Але при потенці-алі +0,4В відбувається пробій пасивної плівки ірізке збільшення анодного струму. При зняттізворотного ходу кривої спостерігається “петля”,характерна для пітингоутворення. Така дія бро-матів може бути пов’язана з утворенням акти-вуючих галогенідів за реакцією

3 2BrO 3H O+6 Br 6OHe− − − −+ = + .

Введення в розчин добавки йодату калію ви-кликає зміщення стаціонарного потенціалу ста-лі в позитивний бік до величини Ест = −0,35В ісамопасивацію сталі (рис. 6), як і у випадку бро-мату. При анодній поляризації струм розчинен-ня сталі в пасивному стані дещо зростає і пере-вищує такий у розчині без добавок окиснювачів,але на відміну від бромату йодат не призводить до

пробою пасивної плівки; на зворотному ході кри-вої активація сталі відсутня.

Таким чином, можна зробити висновок, щоефективна пасивувальна дія галоїдних оксоані-онів пов’язана з їх високими окиснювальнимивластивостями і здатністю до відновлення. Бро-мати, відновлюючись, значно прискорюють ка-тодний процес у широкій області потенціалів: ви-конується умова хімічної пасивації металів, тоб-то швидкість катодної реакції деполяризації пе-ревищує критичну анодну густину струму паси-вації металу. У нейтральних розчинах ця умовареалізується за рахунок великої швидкості су-марного катодного процесу відновлення воднюі бромату [14], в нітратних розчинах – аніонівнітрату і бромату [15]. Молібдати в нейтральнихрозчинах не відновлюються, а їх пасивувальнадія проявляється за рахунок адсорбції, гальму-вання анодної реакції і введення в оксидні ша-ри нерозчинних сполук заліза з молібденом(VI).

Порівняння пасивувальної дії оксоаніонів

Порівнюючи вплив оксоаніонів у концент-рації 2,42·10−3М на анодну поведінку сталі в сла-бомінералізованій воді, можна зробити такі ви-сновки:

• хромати і перманганати не тільки не за-безпечують самопасивації, а й перешкоджаютьанодній пасивації сталі;

• окиснювачі, центральним атомом у мо-лекулах яких є галогени, викликають самопа-сивацію маловуглецевої сталі;

• ванадати і молібдати полегшують перехідсталі в пасивний стан;

• вольфрамати, хоча суттєво гальмують анод-не розчинення сталі, не спричиняють стійкої

Рис. 5. Прямий і зворотний хід анодних поляризаційних кри-вих сталі у фоновому розчині без добавки (1 ) та здобавками Na2MoO4 (2 ) i KBrO3 (3 )

7

Е, В

і, мА/см2

−0,8 −0,3 0,2 0,7

5

3

1

123

Рис. 6. Прямий і зворотний хід анодних поляризаційних кри-вих сталі у фоновому розчині без добавки (1 ) та здобавкою КІO3 (2 )

і, мА/см2

Е, В−0,8

6

4

2

0−0,3 0,2 0,7

1 2


анодної пасивації в нейтральному середовищі;крім того, вони здатні викликати появу пітингу;

• найбільш стабільна плівка на поверхні ста-лі формується при наявності молібдатів.

Отримані дані заперечують уявлення, що най-сильнішим пасиватором сталі є хромат. Справ-ді, в розчині слабомінералізованої води пасиву-вальна концентрація молібдату натрію Сп ви-явилася набагато нижчою, ніж хромату натрію(рис. 7, 8). Найменша концентрація Сп характернадля бромату.

Суміші оксоаніонів

Серед запропонованих оксоаніонів найефек-тивнішими пасиваторами виявилися бромати тайодати. Але бромат натрію здатний викликатипітингову корозію сталі [16 ]. Крім того, тривалі(десять і більше діб) корозійні масометричні ви-пробування свідчать про те, що при невеликихконцентраціях бромату, попри первинну пасива-цію, сталь з часом активується і інгібуючий ефектзникає (таблиця). Для нівелювання такого ефек-

Таблиця. Показники корозії сталі в розчині слабомінералізованої води з добавками

Добавка Концентрація добавки, г/л Час випробувань, год К, г/см2⋅год і, мА/см2 γ Z, %

Без добавки – 168 5,8·10−3 5,6·10−3 – –

CaCl2 0,5 168 4,6·10−3 4,4·10−3 1,26 20,63

Na2МоO4 0,5 168 3,8·10−3 3,7·10−3 1,53 34,64

КBrO3 0,5 48 4,0·10−4 3,8·10−4 14,6 93,15

КBrO3 0,5 168 4,5·10−3 4,3·10−3 1,30 23,08

Na2МоO4 0,5

КBrO3 0,148 6,5·10−5 6,2·10−5 89,23 98,88

Na2МоO4 0,5

КBrO3 0,1168 3,2·10−3 3,1·10−3 1,81 44,75

Na2МоO4 0,5

КІO3 0,1168 6,4·10−5 6,1·10−5 91,8 99,1

Na2МоO4 0,5

КІO3 0,1240 1,2·10−5 1,1·10−5 500 99,8

Рис. 7. Вплив концентрації добавки оксоаніонів на стаці-онарний потенціал сталі в розчині слабомінералі-зованої води; добавка: 1 – Na2CrO4; 2 – Na2MoO4;3 – KIO3; 4 – KBrO3

−0,8

0,2 С, г/л

Е, В

0,7 1,2 1,7

−0,6

−0,4

−0,2

1

2

3

4

Рис. 8. Зміна в часі потенціалу в процесі самопасивації сталів розчині слабомінералізованої води з добавками ок-соаніонів; пасивувальна концентрація добавки, г/л:1 – 2,0 Na2CrO4; 2 – 0,7 Na2MoO4; 3 – 0,6 KIO3; 4 –0,5 KBrO3

−0,25Е, В

τ, хв30

1

2

3

4

−0,2

−0,15

−0,1

−0,0510 200


ту в розчині слабомінералізованої води було зроб-лено спробу використання як пасиватора сумішіоксоаніонів галоїдів із молібдатом натрію, якийпоказав себе як ефективний стабілізатор пасив-ної плівки.

На анодних кривих у фоновому розчині здодаванням суміші Na2МоO4 + КBrO3 (рис. 9)

при знятті прямого ходу спостерігається змен-шення струмів розчинення сталі з підвищеннямконцентрації бромату, зворотного – збільшен-ня струмів у кілька разів. Таким чином, хоча бро-мат і сприяє самопасивації сталі і гальмує ко-розію в перші дві доби (див. таблицю), він не га-рантує стабільності пасивної плівки в часі, тоб-то є небезпечним інгібітором при концентрації≤0,5г/л. У цих умовах навіть додаткове введен-ня в розчин добавки молібдату не здатне забез-печити стійкий пасивний стан.

Йодат калію не має згаданого вище недолі-ку бромату. В розчині слабомінералізованої води здодаванням молібдату натрію і йодату калію признятті анодних кривих прямий та зворотний хо-ди повністю збігаються (рис. 10): КІO3 забезпечує

самопасивацію сталі, а добавка Na2МоO4 підтри-мує пасивний стан і малу швидкість розчиненнясталі (іп.п = 0,01мА/см2). Це свідчить про те, щопасивна плівка на поверхні сталевого електродає стійкою і її захисні властивості повинні під-вищуватися з часом. Цей факт підтверджують імасометричні корозійні дані (див. таблицю).

При додаванні в розчин слабомінералізова-ної води хлориду кальцію в кількості 0,5 г/л (мо-дельна вода) стаціонарний потенціал сталі сут-тєво не змінюється порівняно із значенням, отри-маним у фоновому розчині без CaCl2, але наанодній поляризаційній кривій перехід сталів пасивний стан не спостерігається (рис. 11). Вве-

Рис. 10. Прямий і зворотний хід анодних поляризацій-них кривих сталі у фоновому розчині з добавка-ми 0,5 г/л Na2MoO4 та 0,1 г/л KІO3

Е, В

і, мА/см2

0,05

−0,20,05

0,2 0,6 1

Рис. 9. Прямий і зворотний хід анодних поляризаційних кри-вих сталі у фоновому розчині з добавками оксоаніонів;добавка, г/л: 1 – 0,5 Na2MoO4 + 0,05 KBrO3 ; 2 –0,5 Na2MoO4 + 0,1 KBrO3; 3 – 0,404 KBrO3

і, мА/см2

Е, В

20

−0,4

1

2

3

15

10

5

00 0,4

Рис. 11. Анодні поляризаційні криві сталі в розчині модельної води з добавками оксоаніонів; концентрація добавок, г/л:1 – 0; 2 – 0,5 Na2MoO4; 3 – 0,518 KІO3; 4 – 0,3 Na2MoO4 + 0,1 KІO3; 5 – 0,5 Na2MoO4 + 0,1 KІO3

і, мА/см2

Е, В

1,6

−0,8

1,2

0,8

0,4

0−0,6 −0,4 −0,2 0 0,2

3 2 4 51


дення індивідуальних добавок молібдату нат-рію та йодату калію в розчин модельної води ви-кликає зміщення стаціонарного потенціалу сталі впозитивний бік до Ест = −0,24В та Ест = −0,20В,відповідно, але при анодній поляризації затрим-ки підйому кривих не відбувається.

Використання суміші оксоаніонів – моліб-дату та йодату – викликає не лише зміщення ста-ціонарного потенціалу сталі до позитивніших зна-чень (Ест = −0,06В), а й суттєву затримку підйо-му кривої – пробою пасивної плівки під впли-вом хлорид-іонів (див. рис. 11). Із збільшеннямконцентрації молібдату натрію потенціал підйо-му кривої зміщується в позитивний бік.

У зв’язку з високими захисними властивос-тями і малими концентраціями компонентівсуміш молібдату натрію та йодату калію доціль-но рекомендувати для використання як інгібі-тора корозії сталі в замкнених системах водно-го охолодження. Застосування броматів у дано-му випадку не рекомендується через можли-вість пітингової корозії та активації сталі. Алебромати можуть бути перспективними як паси-ватори (в комбінації з молібдатом) для коротко-часної обробки сталі і формування конверсій-них покриттів з метою подальшого захисту сталівід атмосферної корозії.

Висновки

Порівняння впливу оксоаніонів різної при-роди при однаковій їх мольній концентрації наанодне розчинення і пасивацію сталі показало,що на відміну від традиційних уявлень пронайефективнішу пасивувальну дію хроматів ос-танні при малих концентраціях (2,42⋅10−3М) нетільки не забезпечують самопасивацію нелегова-ної сталі в слабомінералізованій воді, але й пе-решкоджають її анодній пасивації.

Найефективнішими пасиваторами вияви-лися оксоаніони, центральним атомом в яких єгалоген ( −

3BrO , −3IO ), а найбільш стабільні плів-

ки формуються під дією молібдатів. Суміші мо-лібдатів з йодатами практично повністю захи-щають сталь від корозії в слабомінералізованійводі впродовж тривалого часу: при терміні випро-бувань 168–240 діб ступінь захисту перевищує99%.

Одержані результати досліджень можуть бу-ти корисними для розвитку теоретичних уяв-лень стосовно синергетичної дії інгібіторів па-сивувального типу різної природи як в нейтраль-них, так і в кислих або лужних середовищах. Ви-явлення ефекту післядії пасиваційних процесівробить перспективним створення екологічно без-печних розчинів для нанесення на метали захис-них конверсійних покриттів.

С.В. Фроленкова, М.И. Донченко

ВЛИЯНИЕ ОКСОАНИОНОВ НА АНОДНУЮ И ХИ-МИЧЕСКУЮ ПАССИВАЦИЮ СТАЛИ В СЛАБОМИ-НЕРАЛИЗОВАННОЙ ВОДЕ

Исследовано влияние оксоанионов ( −24CrO , −2

4WO ,−2

4MoO , −3VO , −

4MnO , −3BrO , −

3IO ) на анодное поведе-ние малоуглеродистой стали в слабоминерализо-ванной воде. Показано, что наиболее эффективны-ми пассиваторами являются броматы и йодаты;молибдаты обусловливают высокую стабильностьанодных пассивных пленок. Предложены компо-зиции добавок, которые обеспечивают самопро-извольную пассивацию стали и могут использо-ваться как ингибиторы коррозии в замкнутых сис-темах водного охлаждения.

S.V. Frolenkova, M.I. Donchenko

THE INFLUENCE OF THE OXYANIONS ON ANO-DIC AND CHEMICAL STEEL PASSIVATION IN PO-ORLY MINERALIZED WATER

We study the influence of the oxyanions ( −24CrO ,

−24WO , −2

4MoO , −3VO , −

4MnO , −3BrO , −

3IO ) on the ano-dic behaviour of mild steel in poorly mineralized wa-ter. Through experiments performed, we demonst-rate that bromates and iodates are the most effecti-ve passivators; the molybdates guarantee a high sta-bility of the anodic passive films. We also proposethe compositions of additives that ensure spontane-ous chemical steel passivation, which can be used asthe corrosion inhibitors in the closed circuit systemsof water cooling.


1. Cheng Y.F., Luo J.L. Electronic structure and pitting sus-

ceptibility of passive film on carbon steel // Electrochimi-ca Acta. – 1999. – 44, N 17. – P. 2947–2957.

2. Deyaba M.A., Abd El-Rehimb S.S. Inhibitory effect of tung-

state, molybdate and nitrite ions on the carbon steel pitting

corrosion in alkaline formation water containing Cl-ion //Ibid. – 2007. – 53, N 4. – P. 1754–1760.

3. Моисеева Л.С., Кузнецов Ю.И. Влияние ингибиторов

коррозии на пассивацию анодно-поляризованной низ-

коуглеродистой стали в карбонат-гидрокарбонатных сре-дах // Журн. прикл. химии. – 1998. – 71. – С. 950 – 955.

4. Rangel C.M., Fonsecaa I.T., Leitzo R.A. Some aspects of

the electrochemical behavior of mild steel in carbonate-bi-carbonate solutions // Electrochimica Acta. – 1986. –31, N 12. – P. 1659–1662.

5. Кузнецов Ю.И., Ибатуллин К.А. Об ингибировании уг-

лекислотной коррозии стали карбоновыми кислотами //Защита металлов. – 2002 . – 38, 5. – С. 496–501.

6. Bardwell J.A., MacDougall B., Graham M.J. Pitting of Fein pH 7.4 acetate buffer // Corrosion Science. – 1991. –32. – P. 139–149.

7. Frankenthal R.P. Passivation of iron in borate buffer soluti-on // Electrochimica Acta. – 1971. – 16, N 11. – P. 1845–

1857.

8. Salvarezza R.C., Videla H.A., Arvia A.J. The electrochemi-cal behaviour of mild steel in phosphate–borate–sulphide

solutions // Corrosion Science. – 1983. – 23, N 7. – P.

717– 725.

9. Vukmirovic M.B., Vasiljevic N., Dimitrov N., Sierodzki K. Dif-

fusion-limited current density of oxygen reduction on cop-per // J. Electrochem. Soc. – 2003. – 150, N 1. – P. 10–15.

10. Pistorius P.C., Sandenbergh R.F. The scanning referenceelectrode technique – a “corrosion microscope” // Cor-

ros. and Coat. – 1990. – 16, N 5. – Р. 476.

11. Weishan Lia, Jingli Luoa. Electric properties and pitting

susceptibility of passive films formed on iron in chromatesolution // Electrochemistry Communications. – 1999. –1, N 8. – P. 349–353.

12. Silva J., Codaro E.N., Nakazato R.Z. Influence of chroma-

te, molybdate and tungstate on pit formation in chloride me-dium // Applied Surface Science. – 2005. – 252, N 4. –P. 1117–1122.

13. Розенфельд И.А., Казанский Л.И., Акимов Л.Г., Фро-

лова Л.В. Рентгеноэлектронное исследование неорга-

нических ингибиторов на поверхности железа // Защи-та металлов. – 1979. – 15, 3. – С. 349–352.

14. Донченко М.І., Срібна О.Г., Будько С.В., Фроленкова С.В.

Електрохімічне відновлення іонів молібдату при фор-

муванні захисних конверсійних покриттів на сталі //

Фізико-хімічна механіка матеріалів. Пробл. корозії тапротикорозійного захисту металів. – 2008. – Спец.

вип. 7. – С. 587–592.

15. Донченко М.І., Фроленкова С.В., Білоусова Н.А., Срібна О.Г.

Пасивуюча обробка заліза та маловуглецевої сталі для

тимчасового захисту від атмосферної корозії // Фізи-

ко-хімічна механіка матеріалів. Електрохімічний за-хист і корозійний контроль. – 2007. – Спец. вип. 6. –С. 124–129.

16. Поп М.С. Гетерополи- и изополиоксометаллаты / Пер.с англ. – Новосибирск: Наука, Сиб.отд., 1990. – 232 с.



127

ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК

УДК 519.21

В.В. Булдигін, О.А. Тимошенко

ТОЧНИЙ ПОРЯДОК РОСТУ РОЗВ’ЯЗКІВСТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВ-НЯНЬ

Вступ

У працях Й.І. Гіхмана і А.В. Скорохода [1],Г. Келлера [2], пізніше В.В. Булдигіна та іншихавторів [3–6] розглядалась асимптотична пове-дінка розв’язку стохастичного диференціально-го рівняння (СДР)

( ) ( )ξ = ξ + σ ξ( ) ( ) ( ) ( )d t g t dt t dw t ,

≥ 0t , ξ ≡(0) b, > 0b , (∗)

де w – стандартний вінерів процес; b – неви-падкова додатна стала; ξ – розв’язок СДР (∗); g іσ – такі неперервні додатні функції, що рівняння(∗) має єдиний та майже напевно (м.н.) неперерв-ний розв’язок (див., наприклад, [1]). У зазначенихпрацях розглядався випадок, коли lim ( ) 0

tP t

→∞ξ = ∞ > .

Одним із результатів цих досліджень є умови, заяких точний порядок росту розв’язку ξ визнача-ється невипадковою функцією

→ ∞

ξ=

µ( )

lim 1( )t

tt

м. н. на множині → ∞

ξ = ∞lim ( ) t

t , (∗∗)

де µ – розв’язок звичайного диференціальногорівняння (ЗДР), яке відповідає СДР (∗) при σ == 0, тобто

µ = µ( ) ( ( ))d t g t dt , ≥ 0t ,µ =(0) b, > 0b . (∗∗∗)


Мета статті – розгляд подібної задачі дляСДР з коефіцієнтом зсуву і дифузії, які зале-жать від часу.

Основні результати

Розглянемо СДР

η = η ϕ + σ η θ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )d t g t t dt t t dw t , ≥ 0t ,

η ≡(0) b, > 0b , (1)

де w, b – позначення ті самі, що і в (∗); η –розв’язок рівняння (1); θ – неперервна функ-

ція; g, ϕ і σ – неперервні додатні функції, такі,що (1) має єдиний та майже напевно неперерв-ний розв’язок η.

Позначимо

Φ = ϕ∫0

( ) ( )t

t u du, ≥ 0t ,

і припустимо, що

→ ∞Φ = ∞lim ( )

tt . (2)

Зауважимо, що при ϕ = θ =( ) ( ) 1t t , ≥ 0t , отрима-

ємо рівняння (∗).Розглянемо ЗДР

( )µ = µ ϕ( ) ( ) ( )d t g t t dt , ≥ 0t ,

µ ≡(0) b, > 0b . (3)

Задача полягає в тому, щоб знайти умови,при яких розв’язок µ ЗДР (3) є точним поряд-ком росту розв’язку η СДР (1), тобто

→ ∞

η=

µ( )

lim 1( )t

tt

м. н. на множині→∞

η = ∞lim ( ) t

t . (4)

Покладемо

= ∫( )( )

x

b

dsG x

g s, ≥x b.

Тоді отримаємо

µ = Φ( ( )) ( )G t t , ≥ 0t ,

і розв’язок рівняння (3) матиме вигляд

−µ = Φ1( ) ( ( ))t G t , ≥ 0t , (5)

де G −1 – функція, обернена до функції G.Дослідження поставленої задачі, як і в пра-

цях [1–6], складається з двох кроків. Першийкрок – знаходження умов, при яких

→ ∞

η=

Φ( ( ))

lim 1( )t

G tt

м. н. на множині→ ∞

η = ∞lim ( ) t

t . (6)

Другим кроком є визначення умов, при якихіз співвідношення (6) випливає співвідношен-ня (4).

Далі будемо розглядати СДР (1) і ЗДР (3),де θ – неперервна функція, g, ϕ і σ – непе-рервні додатні функції, такі, що (1) має єдинийі майже напевно неперервний розв’язок η і (3)має єдиний неперервний розв’язок µ. Наступнетвердження містить умови, при яких викону-ється співвідношення (6).


Теорема 1. Нехай η є розв’язком рівняння(1), коефіцієнти якого задовольняють такі умо-ви:

а)

+

∞

=

θ

< ∞Φ

∫∑

122

22

0

( )

(2 )

k

k

kk

s ds

;

б) функція σg

є обмеженою;

в) існує похідна ′g і

→ ∞

′ η θ=

ϕ

2( ( )) ( )lim 0

( )t

g t tt

м. н. на множині

→ ∞η = ∞lim ( )

tt .

Тоді маємо

→ ∞

η=

Φ( ( ))

lim 1( )t

G tt


η = ∞lim ( ) t

t .

Зауваження 1. Перевірка умови в) доситьскладна, оскільки залежить від розв’язку СДР.Тому доцільно використовувати такі достатні умо-ви:

′ → → ∞( ) 0,g x x , і θ

< ∞ϕ

2( )sup

( )t

tt

або

′ < ∞sup ( )x

g x і →∞

θ=

ϕ

2( )lim 0

( )t

tt

.

Зауваження 2. При θ =( ) 1t , ≥ 0t , ряд

+

∞

=

θ

< ∞Φ

∫∑

122

22

0

( )

(2 )

k

k

kk

s ds

буде збігатись, якщо при довільному фіксовано-

му δ >12

виконується нерівність

− δ

→ ∞Φ >lim inf ( ) 0

tt t . (7)

Крім того, умова (7) справедлива, якщо при

β <12

β

→ ∞ϕ >lim inf ( ) 0

uu u .

У наступній теоремі розглядаються умови,за яких точним порядком росту розв’язку СДР(1) є розв’язок ЗДР (3).

Теорема 2. Нехай η є розв’язком рівняння(1), µ є розв’язком рівняння (3). Крім того, не-

хай виконуються всі умови теореми 1, а такожумови:

а) → ∞

= ∞lim ( )t

G t ;

б ) → ∞

>∫lim inf 0( ) ( )

ct

tt

dug u G u

для всіх > 1c .

Тоді

→ ∞

η=

µ( )

lim 1( )t

tt


η = ∞lim ( ) t

t .

Зауваження 3. Якщо ( ) ( ) 1t tϕ = θ = , ≥ 0t , з

теорем 1 і 2 випливають відповідні результатипраць [1–6].

Відзначимо, що при виконанні умов а) і б)теореми 2 функція G зберігає еквівалентністьфункцій (див. [3]).

Нагадаємо умови, за яких виконується умо-ва б) теореми 2 ( див. [3]).

Твердження 1. Нехай g – додатна неперерв-на функція, така, що виконується умова а) тео-реми 2 і, крім того, або:

1)→ ∞

< ∞( ) ( )

lim supx

g x G xx

;

2) g не зростає при великих x;

3) існує таке α<1, що −α

≥<

10 inf ( )

xg x x ,

≥×

1sup ( )x

g x

−α× < ∞x ;

4) ( )g c c∗ < для всіх c> 1, де→∞

=* ( )( ) lim sup

( )x

g cxg c

g x;

5) g є функцією правильної зміни з індексомα<1 (див. [7]).

Тоді виконується умова б) теореми 2.

Доведення основних результатів

Для доведення основних результатів розгля-немо допоміжні твердження.

Насамперед розглянемо СДР, яке на відмі-ну від (1) має новий доданок у правій частині:

ζ = ζ ϕ + ζ θ +% % 21( ) ( ( ( )) ( ) ( ( )) ( ))d t g t t g t t dt

+ σ ζ θ% ( ( )) ( ) ( )t t dw t , ≥ 0t , (8)

ζ ≡(0) b, > 0b ,

де w, b – такі самі, що і в (∗); ζ – розв’язокрівняння (8); %1g , θ – неперервні функції; %g , ϕ іσ% – неперервні додатні функції, такі, що (8) маєєдиний та майже напевно неперервний розв’язокζ, і виконується умова (2).

ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК 129

Має місце така лема.Лема 1. Нехай ζ є розв’язком рівняння (8) і

нехай виконуються такі умови:

а)

+

∞

=

θ

< ∞Φ

∫∑

122

22

0

( )

(2 )

k

k

kk

s ds

;

б) lim ( ) , (0; )x

g x K K→ ∞

= ∈ ∞% ;

в) функція σ% є обмеженою;

г)→∞

ζ θ=

ϕ% 21( ( )) ( )

lim 0( )t

g t tt

м.н.намножині→∞

ζ =lim ( )t

t

= ∞.Тоді

→ ∞

ζ=

Φ( )

lim( )t

tK

tм. н. на множині

→ ∞ζ = ∞lim ( )

tt .

Доведення. Зауважимо, що при доведеннілеми використовуються міркування такі, як і придоведенні теореми 1 з [1, §17].

Оскільки

ζ = ζ + ζ ϕ + ζ θ +∫ ∫% % 21

0 0

( ) (0) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )t t

t g s s ds g s s ds

+ σ ζ θ∫ %0

( ( )) ( ) ( )t

s s dw s ,

то для доведення леми досить показати, що

→ ∞

ζ ϕ =Φ ∫ %

0

1lim ( ( )) ( )

( )

t

tg s s ds K


→∞ζ = ∞lim ( )

tt , (9)

→ ∞

ζ θ =Φ ∫ % 2

10

1lim ( ( )) ( ) 0

( )

t

tg s s ds


→ ∞ζ = ∞lim ( )

tt (10)

i

→ ∞σ ζ θ =

Φ ∫ %0

1lim ( ( )) ( ) ( ) 0

( )

t

ts s dw s

tм. н. (11)

Доведемо рівність (9). За умови б) леми 1 дляP-майже всіх ω ∈

→∞ζ = ∞lim ( )

tt існують такі ε =

= ε ω >( ) 0 і τ = τ ω >( ) 0, що ζ > ε%( ( ))g s при ≥ τs .Тоді маємо

τ

→∞ζ ϕ = ζ ϕ +∫ ∫% %

0 0

lim ( ( )) ( ) ( ( )) ( )t

tg s s ds g s s ds

τ

→∞ → ∞τ

+ ζ ϕ ≥ ε Φ − ϕ

∫ ∫%

0

lim ( ( )) ( ) lim ( ) ( )t

t tg s s ds t s ds ,

і згідно з умовою (2)

→∞ζ ϕ = ∞∫ %

0

lim ( ( )) ( )t

tg s s ds .

Тепер, використовуючи правило Лопіталя,маємо

→ ∞ → ∞

ζ ϕ ζ ϕ

= =Φ Φ

∫ ∫% %0 0

( ( )) ( ) ( ( )) ( )

lim lim( ) ( ( ))

t t

t t

dg s s ds g s s ds

dtdt tdt

→ ∞

ζ ϕ= =

ϕ%( ( )) ( )

lim( )t

g t tK

t,

і, таким чином, рівність (9) доведена.

Далі, оскільки ζ θ∫ % 21

0

( ( )) ( )t

g s s ds , ≥ 0t , є зрос-

таючою функцією, то майже напевно на множи-ні

→ ∞ζ = ∞lim ( )

tt можливі два випадки:

→∞ζ θ = ∞∫ % 2

10

lim ( ( )) ( )t

tg s s ds і

→∞ζ θ∫ % 2

10

lim ( ( )) ( )t

tg s s ds < ∞.

Розглянемо перший із них. Оскільки→∞

Φ =lim ( )t

t

= ∞, то за правилом Лопіталя і умовою г) леми 1маємо

→ ∞ → ∞

ζ θ ζ θ

= =Φ Φ

∫ ∫% %2 21 1

0 0

( ( )) ( ) ( ( )) ( )

lim lim( ) ( ( ))

t t

t t

dg s s ds g s s ds

dtdt tdt

→ ∞

ζ θ= =

ϕ% 21( ( )) ( )

lim 0( )t

g t tt

.

У другому випадку очевидно, що

→ ∞

ζ θ=

Φ

∫ % 21

0

( ( )) ( )

lim 0( )

t

t

g s s ds

t.

Отже, співвідношення (10) доведено.Доведемо формулу (11). Для цього при фік-

сованому 0≥k і довільному 0ε > розглянемо по-дії

12 2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

( )k k

t

kt

B s s dw st+≤ ≤

= σ ζ θ > ε Φ

∫ %

i

12 2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

(2 )k k

t

k kt

C s s dw s+≤ ≤

= σ ζ θ > ε

Φ ∫ % .


Функція Φ монотонно зростає, тому ⊂kB

⊂ kC . Звідси та за теоремою 1 з [1, §3] має міс-це оцінка

+≤ ≤

σ ζ θ > ε ≤ Φ

∫ %12 2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

( )k k

t

t

P s s dw st

+≤ ≤

≤ σ ζ θ > ε ≤

Φ ∫ %

12 2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

(2 )k k

t

kt

P s s dw s

+

≤ σ ζ θ ≤Φ ε ∫ %

122 2

2 22

4( ( )) ( )

(2 )

k

kk

E s s ds

+ θ

Φ ε

∫12

2 2

22 2

4 ( )

(2 )

k

k

k

M s ds

,

де = σ < ∞%sup ( )x

M x .

Отже, маємо

+≤ ≤

σ ζ θ > ε ≤ Φ

∫ %12 2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

( )k k

t

t

P s s dw st

+ θ

≤Φ ε

∫12

2 2

22 2

4 ( )

(2 )

k

k

k

M s ds

. (12)

Тепер для довільних 0ε > і 1m ≥ розглянемоподію

≥

= σ ζ θ > ε Φ

∫% %2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

( )m

t

mt

B s s dw st

,

та запишемо її у вигляді

∞

=

=% Um kk m

B B .

Тоді згідно з (12) отримаємо

≥

σ ζ θ > ε ≤

Φ ∫ %

2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

( )m

t

tP s s dw s

t

+

∞

≤ ≤=

≤ σ ζ θ > ε ≤ Ψ

Φ ∑ ∫ %

12 2 0

1sup ( ( )) ( ) ( )

( )k k

t

mtk m

P s s dw st

,

де+

∞

=

θ

Ψ =Φ

∫∑

122

22

( )

(2 )

k

k

m kk m

s ds

, ≥ 1m .

Зауважимо, що згідно з умовою а) леми 1

Ψ → 0m при → ∞m .


≥

Ψσ ζ θ > ε ≤ Φ ε

∫ %2

22 0

41sup ( ( )) ( ) ( )

( )m

tm

t

MP s s dw s

t. (13)

Якщо ε → ∞, то для будь-яких ≥ 1m отримуємо

Ψ→

ε

2

2

40mM.

Звідси випливає, що для будь-яких ≥ 1m мати-мемо

ε → ∞ ≥

σ ζ θ > ε = Φ

∫ %2 0

1lim sup ( ( )) ( ) ( ) 0

( )m

t

t

P s s dw st

,

тобто

≥

σ ζ θ < ∞ = Φ

∫ %2 0

1sup ( ( )) ( ) ( ) 1

( )m

t

t

P s s dw st

.

Тому із співвідношення (13) та умови а) ле-ми 1 випливає, що

2 0

1lim sup ( ( )) ( ) ( )

( )m

t

m t

P s s dw st→∞ ≥

σ ζ θ > ε = Φ

∫ %

2 0

1lim sup ( ( )) ( ) ( )

( )m

t

m t

P s s dw st→ ∞ ≥

= σ ζ θ > ε ≤ Φ

∫ %

→ ∞

Ψ≤ =

ε

2

2

4lim 0m

m

M

для будь-якого ε > 0.Отже, отримаємо

→ ∞

σ ζ θ =Φ ∫ %

0

1lim sup ( ( )) ( ) ( ) 0

( )

t

ts s dw s

tм. н.

і формулу (11) доведено.Із співвідношень (9)–(11) і (2) випливає, що

→ ∞

ζ=

Φ( )

lim( )t

tK


→∞ζ = ∞lim ( )

tt .

Лему 1 доведено.У наступній лемі розглядається асимптотич-

на поведінка розв’язку рівняння (1).Лема 2. Нехай θ – неперервна функція, g,

ϕ і σ – неперервні додатні функції, такі, що (1)має єдиний та майже напевно неперервний роз-в’язок η. Крім того, припустимо, що:

а)

+

∞

=

θ

< ∞Φ

∫∑

122

22

0

( )

(2 )

k

k

kk

s ds

;


б) існує зростаюча, двічі неперервно дифе-ренційовна функція f, для якої

→ ∞= ∞lim ( )

xf x ,

( )→ ∞

′ = >lim ( ) 0x

f x g x C , і ′σf є обмеженою функ-

цією;

в)→ ∞

′′ η σ η θ=

ϕ

2 2( ( )) ( ( )) ( )lim 0

( )t

f t t tt

м. н. на мно-

жині→ ∞

η = ∞lim ( ) t

t .

Тоді матимемо

→ ∞

η=

Φ( ( ))

lim( )t

f tC


→ ∞η = ∞lim ( )

tt .

Доведення. Нехай f −1 є обернена до fфункція. Покладемо ζ = η( ) ( ( ))t f t . Тоді ( )tη =

1( ( ))f t−= ζ . Із→∞

η = ∞lim ( )t

t випливає, що→∞

ζ = ∞lim ( )t

t .

Застосовуючи формулу Іто, отримуємо

′ζ = η η ϕ +( ) [ ( ( )) ( ( )) ( )xd t f t g t t

′′+ η σ η θ +2 21( ( )) ( ( )) ( )]

2 xxf t t t dt

′+ η σ η θ =( ( )) ( ( )) ( ) ( )xf t t t dw t

− −′= ζ ζ ϕ +1 1[ ( ( ( )) ( ( ( ))) ( )xf f t g f t t

− −′′+ ζ σ ζ θ +1 2 1 21( ( ( ))) ( ( ( )) ( )]

2 xxf f t f t t dt

− −′+ ζ σ ζ θ1 1( ( ( )) ( ( ( ))) ( ) ( )xf f t f t t dw t .

Таким чином, процес ζ буде розв’язком рів-няння

ζ = ζ ϕ +%( ) ( ( ( )) ( )d t g t t

+ ζ θ + σ ζ θ% %21( ( )) ( )) ( ( )) ( ) ( )g t t dt t t dw t ,

де

( )− −′=% 1 1( ) ( ( )) ( )xg x f f x g f x ,

− −′′= σ% 1 2 11

1( ) ( ( )) ( ( ))

2 xxg x f f x f x ,

− −′σ = σ% 1 1( ) ( ( )) ( ( ))xx f f x f x .

Зауважимо, що це рівняння має вигляд (8).Оскільки за умовою б) леми 2 lim ( )

xf x

→ ∞′ ×

( ) 0g x C× = > , то матимемо ( )→ ∞

= >%lim 0x

g x C , а

за умовою в) отримаємо

→ ∞

ζ θ=

ϕ% 21( ( )) ( )

lim( )t

g t tt

→ ∞

′′ η σ η θ= =

ϕ

2 2( ( )) ( ( )) ( )1lim 0

2 ( )xx

t

f t t tt

м.н. на мно-

жині → ∞

η = ∞lim ( ) t

t .

За умовою б) леми 2 функція ′σf є обмеже-ною, тому σ% є теж обмеженою. Отже, викону-ються всі умови леми 1 і тому

→ ∞

ζ=

Φ( )

lim( )t

tC

tм. н.

Оскільки ζ = η( ) ( ( ))t f t , то з останнього спів-відношення випливає доведення теореми. От-же, маємо

→ ∞

η=

Φ( ( ))

lim( )t

f tC

tм.н. множині

→ ∞η = ∞lim ( )

tt .

Лему 2 доведено.Тепер перейдемо до доведення теореми 1.

Доведення теореми 1. Нехай ′ =1

fg. То-

ді отримуємо

( )→ ∞ → ∞

′= = =1

lim ( ) lim ( ) 1( )x x

C f x g x g xg x

.

Оскільки за умовою теореми 1 функція σg

є об-

меженою і

→ ∞

′ η θ=

ϕ

2( ( )) ( )lim 0

( )t

g t tt


→∞

η = ∞lim ( ) t

t ,

то

→ ∞

′′ η σ η=

ϕ

2( ( )) ( ( ))lim

( )t

f t tt

→ ∞

′σ η η θ= =

ϕη

2 2

2

( ( )) ( ( )) ( )lim 0

( )( ( ))t

t g t ttg t


і → ∞

η = ∞lim ( ) t

t .

З обмеженості функції σg

випливає обмеженість

функції ′σf . Отже, виконуються всі умови ле-ми 2, і тому

→ ∞

η=

Φ( ( ))

lim 1( )t

G tt


η = ∞lim ( ) t

t .

Теорему 1 доведено.


Доведення т еореми 2. З умов а), б)теореми 2 та леми 4.3 з [3], де треба покласти

=f G і ′ =1

fg

, випливає, що

→ ∞

( )lim inf

( )t

G ctG t

1> для будь-якого с > 1.

Отже, згідно з теоремою 3.2 з [3], функція G −1

зберігає еквівалентність функцій, тому з (6) ма-ємо

−

−→ ∞ → ∞ → ∞

η η η= = =

Φ µΦ

1

1

( ( )) ( ( ( ))) ( )lim lim lim 1

( ) ( )( ( ))t t t

G t G G t tt tG t

м. н. на

s множині → ∞

η = ∞lim ( ) t

t .

Таким чином, теорему 2 доведено.

Висновки

Результати даної статті узагальнюють ре-зультати праць [3–6].

За одержаних у статті умов розв’язок µзвичайного диференціального рівняння (3) є точ-ним порядком росту розв’язку η стохастичногодиференціального рівняння (1). Ці умови даютьможливість розглядати більш загальні форми за-лежності коефіцієнтів зсуву та дифузії від часу.

В.В. Булдыгин, Е.А.Тимошенко

ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК РОСТА РЕШЕНИЙ СТОХАС-ТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследуется асимптотическое поведение реше-ний стохастических дифференциальных уравне-ний с коэффициентом сдвига и диффузии, кото-рые зависят от времени η = η ϕ +( ) ( ( )) ( )d t g t t dt+ σ η θ( ( )) ( ) ( )t t dw t , (0) bη ≡ . Найдены условия нафункции g, ϕ, σ, θ, при которых точный порядокроста решения η совпадает с решением µ диф-ференциального уравнения µ = µ ϕ( ) ( ( )) ( )d t g t t dt ,µ ≡(0) b .

V.V. Buldygin, O.A. Tymoshenko

THE ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF THE SOLUTI-ONS OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

In this paper, we study the asymptotic behaviour ofthe solutions of some stochastic differential equati-ons with the coefficients, dependent on time ( )d tη =

( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )g t t dt t t dw t= η ϕ + σ η θ , η ≡(0) b . Moreover,we define the conditions on the functions g, ϕ, σ, θ,under which the asymptotic behaviour of the soluti-on η coincides with the solution µ of the differentialequation µ = µ ϕ( ) ( ( )) ( )d t g t t dt , µ ≡(0) b.

1. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифферен-циальные уравнения. – К.: Наук. думка, 1968. – 354 с.

2. Keller G., Kersting G., Rosler U. On the asymptotic beha-

viour of solutions of stochastic differential equations //Z. Wahrsch. Geb. – 1984. – 68. – P. 163–184.

3. Булдигін В.В., Клесов О.І., Штайнебах Й.Г. PRV-влас-

тивість функцій та асимптотична поведінка розв’язків

стохастичних диференціальних рівнянь // Теорія ймо-вірностей та мат. статистика. – 2004. – 72. – С.

63–78.

4. Булдигін В.В., Клесов О.І., Штайнебах Й.Г. Про деякі

властивості асимптотично квазіобернених функцій таїх застосування. І // Там же. – 70. – С. 9–25.

5. Булдигін В.В., Клесов О.І., Штайнебах Й.Г. Про деякі

властивості асимптотично квазіобернених функцій та їхзастосування. ІI // Там же. – 71. – С. 63–78.

6. Buldygin V.V., Klesov O.I., Steinebach J.G., Tymoshenko O.A.

On the ϕ-asymptotic behaviour of solutions of stochastic dif-ferential equations // Theory of stochastic processes. –2008. – 1. – Р. 11–30.

7. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: На-

ука, 1985. – 142 с.

Рекомендована Радою фізико-матема-тичного факультету НТУУ “КПІ”



УДК 517.581

Н.О. Вірченко, С.М. Заїкіна

УЗАГАЛЬНЕНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕН-НЯ І ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Вступ

Спеціальні функції стали ефективним тео-ретичним знаряддям і для вчених, і для інже-нерів. Розвиток математичної фізики, механікисуцільного середовища, теорії імовірностей таматематичної статистики, квантової механіки,теорії моделювання, теплофізики, термомехані-ки та інших наук стимулює як розвиток теоріїспеціальних функцій, так і розмаїтість їх засто-сувань. Спеціальні функції є і ядрами багатьохінтегральних перетворень. А метод інтегральнихперетворень – один із найефективніших аналі-тичних методів розв’язання крайових задач мате-матичної фізики, широкого класу прикладних за-дач та ін.

В останні десятиріччя запроваджуютьсянові типи інтегральних перетворень, які знахо-дять застосування при розв’язанні складнішихзадач. Тут слід звернути увагу на працю [1], в якійподано розгорнуту картину сучасного стану тео-рії інтегральних перетворень, багато місця від-ведено інтегральним перетворенням, ядра якихмістять Н-функцію, визначену за допомогою ін-теграла Мелліна–Бернса, підінтегральний виразякого – це добуток ейлерових гамма-функцій.


У статті запроваджуються нові узагальнен-ня найбільш відомих і поширених інтегральнихперетворень, вивчаються їх властивості, зокре-ма, встановлюються рівності типу Парсеваля–Гольдштейна для деяких із них.

Класичні інтегральні перетворення

Для викладу подальшого матеріалу нагада-ємо найбільш поширені класичні інтегральні пе-ретворення:

перетворення Лапласа [3]

∞

= −∫0

( ); exp( ) ( )L f x y xy f x dx ; (1)

перетворення потенціала за Віддером [4]

2 2

0

( )( );

x f xf x y dx

x y

∞

=+∫nP ; (2)

перетворення Стілтьєса [3]

0

( ) ( );

f xf x y dx

x y

∞

=+∫G ; (3)

узагальнене перетворення Стілтьєса [3]

0

( ) ( );

( )p p

f xf x y dx

x y

∞

=+∫G ; (4)

перетворення Мелліна [3]

1

0

( ); ( )yf x y x f x dx∞

−= ∫M ; (5)

1E -перетворення [5]

1 10

( ); exp( ) ( ) ( )f x y xy xy f x dx∞

= Ε∫E , (6)

де E1(x) – експоненціальна інтегральна функ-ція [6]:

∞ −

= − − = ∫1E ( ) E ( )t

ix

ex x dt

t. (7)


Запроваджуємо нові узагальнення інтеграль-них перетворень (1)–(6): за допомогою (τ, β)-уза-гальненої конфлюентної гіпергеометричної функ-ції τ βΦ ,

1 1 ( ; ; )a c z [7, 8] маємо

, ,1 11 1( ; ; ) ( )a c z zτ β τ βΦ ≡ Φ =

− − −Γ= − ×

Γ Γ − ∫1

1 1

0

( )(1 )

( ) ( )a c ac

t ta c a

ττ × Ψ β 1 1

( ; );

( ; );

cz t dt

c, (8)

де Re Re 0; , ; 0; 0; 1c a R> > τ β ⊂ τ > β > τ − β < ;

Γ( )a – класична гамма-функція [6]; Φ1 1 – функ-

ція Фокса–Райта [1]; Ψ1 1( )z – частинний ви-

падок узагальненої функції Райта pΨq(z) [1]:

pΨq(z) ≡ pΨq(z)α

β

1,

1,

( ; ) ;

( ; ) ;i i p

j j q

az

b, (9)

де ; , ; , ( , ); ( ,i j i j i jz C a b C R∈ ∈ α β ∈ = −∞ + ∞ α β ≠

0; 1, 2, ..., ; 1, 2, ..., )i p j q≠ = = .


Зображення функції Ψp q за допомогою ін-

тегралa Мелліна–Бернса має вигляд [1]

1

1

( ) ( )1

( ) ( )2 ( )

p

i isi

p q q

L j jj

s a sz z ds

i b s− ∞

−=

=

Γ Γ − αΨ = −

π Γ −β

∏

∏∫ , (10)

де шлях інтегрування −∞L відокремлює всі по-

люси = − =( 0,1, 2, ...)lb l l функції Γ( )s зліва і по-

люси +

= = =α

( 1, 2, ..., ; 0,1, 2, ...)iik

i

a ka i p k спра-

ва; −∞ =L L – контур, розміщений y горизон-

тальній смузі, починається з точки −∞ + ϕ1i i

йде до точки 2 1 2( );i s C−∞ + ϕ −∞ < ϕ < ϕ < +∞ ∈ .

Запровадимо в такому вигляді нові інтег-ральні перетворення:

узагальнені інтегральні перетворення Лап-ласа

=%1 ( ); L f x y

∞− τ β γ= Φ −∫ ,

1 10

( ; ; ( ) ) ( )xye a c b xy f x dx , (11)

=%2 ( ); L f x y

2 2 , 2 21 1

0

( ; ; ( ) ) ( )x yxe a c b x y f x dx∞

γ− τ β= Φ −∫ ; (12)

узагальнені інтегральні перетворення потен-ціалу

1 ( ); f x y =%P

2

2 1 2 22 20

( , ); (1, );( )( , );

axf x xb dx

cx y x y

γ∞ τ γ = Ψ − β+ +

∫ , (13)

2 ( ); f x y =%P

2

2 12 2 2 20

( , ); (1, );( )( , );

axf x yb dx

cx y x y

γ∞ τ γ = Ψ − β+ +

∫ ; (14)

узагальнені інтегральні перетворення Стіл-тьєса

1 ( ); f x y =%G

2 10

( , ); (1, );( )

( , );

af x xb dx

cx y x y

γ∞ τ γ = Ψ − β+ + ∫ , (15)

2 ( ); f x y =%G

2 10

( , ); (1, );( )

( , );

af x yb dx

cx y x y

γ∞ τ γ = Ψ − β+ + ∫ ; (16)

узагальнене інтегральне експоненціальне пе-ретворення

2 2 2 221 1

0

( ); ( ) ( )x yf x y xe x y f x dx∞

= Ε∫ %%E , (17)

де

1 2 11

( , ); (1, ); 1( ) 1

( , );

xt aex b dt

ct t

∞ γ− τ γ Ε = Ψ − − β ∫% . (18)

У формулах (11)–(18) ≥ γ >0, 0b .

Одержимо композиційні співвідношення,рівності типу Парсеваля–Гольдштейна, наведе-мо ілюстративні приклади.

Лема 1. При умовах існування інтегралів та їхабсолютній збіжності справедливі такі співвід-ношення:

2 2 21 ( )

( ); ; ( ); 2 ( )

cf x u y f x y

aΓ

=Γ

%%L L P , (19)

2 2 11 ( )

( ); ; ( ); 2 ( )

cf x u y f x y

aΓ

=Γ

%%L L P , (20)

де 2%L , 1

%P , 2%P – оператори, задані відповідно

формулами (12)–(14), а

2 2

20

( ); ( )x uf x u xe f x dx∞

−= ∫L . (21)

Доведення. Використовуючи означенняоператорів 2 2,%L L (формули (12), (21)), маємо

2 2 ( ); ; f x u y =%L L

∞− τ β γ= Φ − ×∫

2 2 , 2 21 1

0

( ; ; ( ) )u yue a c b u y

×∞

− ∫

2 2

0

( )x uxe f x dx du . (22)

Змінюючи порядок інтегрування у правій час-тині (22), що можливо завдяки абсолютній збіж-ності інтегралів, одержимо

2 2 ( ); ; f x u y =%L L


∞ ∞− + τ β γ

= Φ − =

∫ ∫2 2 2( ) , 2 2

1 10 0

( ) ( ; ; ( ) )u y xx f x ue a c b u y du dx

2,

1 1 2 2 220 0

1( ) ; ;

2z y z dz

xf x e a c b dxx y x y

γ∞ ∞− τ β

= Φ − = + +

∫ ∫

∞Γ= ×

Γ +∫ 2 20

1 ( ) ( )2 ( )

c x f xa x y

γ ∞∞− γ

=

Γ + τ − × = Γ + β +

∑ ∫2

2 20 0

( )( )( ) !

nnz n

n

a n b ye z dz dx

c n n x y

21 ( )

( ); 2 ( )

cf x y

aΓ

=Γ

%P .

Зауважимо, що при доведенні було викорис-тано зображення функції τ βΦ ,

1 1 ( )z у вигляді ря-

ду [7].Аналогічно доводимо співвідношення (20):

2 2 ( ); ; f x u y =%L L

2 2 2 2 , 2 21 1

0 0

( ; ; ( ) ) ( )u y x uue xe a c b x u f x dx du∞ ∞

− − τ β γ = Φ − =

∫ ∫

2 2 2( ) , 2 2

1 10 0

( ) ( ; ; ( ) )u x yxf x ue a c b x u du dx∞ ∞

− + τ β γ = Φ −

∫ ∫ .

Після перетворень матимемо праву частину фор-

мули (20) 11 ( )

( ); 2 ( )

cf x y

aΓ

=Γ

%P .

Теорема 1 (рівність типу Парсеваля–Гольд-штейна щодо узагальнених інтегральних пере-творень 2

%L і 2%P ). При умовах існування відпо-

відних інтегралів та їх абсолютній збіжності спра-ведлива рівність

2 20

( ); ( ); x f y x L g z x dx∞

=∫ %L

20

1 ( )( ) ( );

2 ( )c

y f y g z y dya

∞Γ=

Γ ∫ %P . (23)

Доведення. Застосовуючи формули (12),(21) і змінюючи порядок інтегрування, матимемо

2 20

( ); ( ); x f y x L g z x dx∞

=∫ %L

20 0

( ); ( )x g z x yf y∞ ∞

= ×

∫ ∫L

2 2 , 2 21 1 ( ; ; ( ) )x ye a c b x y dy dx− τ β γ

× Φ − =

2 2 , 2 21 1

0 0

( ) ( ; ; ( ) )x yyf y xe a c b x y dx dy∞ ∞

− τ β γ = Φ − =

∫ ∫

2 20

( ) ( ); ; yf y L g z x y dy∞

= ∫ %L .

Використавши лему 1, одержимо (23).Наслідок. Із (23) випливає рівність

2 20 0

( ) ( ); ( ) ( ); x x f z x dx yf y L x y dy∞ ∞

ϕ = ϕ∫ ∫%L . (24)

Справді, якщо покласти 2( ) ( ); x g z xϕ = L в (23),

то одержимо (24).Покажемо, що деяка композиція узагаль-

нених інтегральних перетворень Лапласа дастьузагальнене інтегральне експоненціальне пере-творення 21E . Справедлива така лема.

Лема 2. При умовах існування відповіднихінтегралів та їх абсолютній збіжності викону-ються співвідношення

2 2 2 =%L L L

2 21 ( )

( ); ; 2 ( )

cf x u y

aΓ

=Γ

%L P , (25)

32 21

1 ( ) ( ); ( );

4 ( )c

f x y f x ya

Γ=

Γ% %L E . (26)

Доведення. Розглянемо композицію

2 2 2 2 21 ( )

( ); ; 2 ( )

cf x u y

aΓ

=Γ

% %L L L L P =

∞ ∞− Γ

= ×Γ +∫ ∫

2 2

2 20 0

1 ( ) ( )2 ( )

u yc x f xue

a x u

× 2Ψ1

γ τ γ × − = β +

2

2 2

( , ); (1, );

( , );

a ub dx du

c x u

∞Γ= ×

Γ ∫0

1 ( )( )

4 ( )c

x f xa

×2

20

uyedx

x u

∞ −

+∫ 2Ψ1 2

( , ); (1, );

( , );

a ub du

c x u

γτ γ − β + .

Зауважимо, що у фігурних дужках підінтег-рального виразу останнього інтеграла стоїть уза-


гальнений оператор Стілтьєса2 2

1 ; uye x−%G . Знахо-

димо його значення:2 2 22 2 2

1 1 ; ( )uy x ye x e x y− = Ε% %G ,

де Ε% 1 має вигляд (18). Врахувавши (17), одержи-

мо (26).Теорема 2 (рівність типу Парсеваля–Гольд-

штейна щодо узагальнених інтегральних пере-творень 2 21 2, ,% %L E P ). При умовах існування від-

повідних інтегралів та їх абсолютній збіжностісправедливі такі рівності:

2 20

( ); ( ); y f x y g u y dy∞

=∫ %L P

210

1( ) ( );

2x f x g u x dx

∞

= ∫ %E , (27)

2 20

( ); ( ); y f x y g u y dy∞

=∫ %L P

210

1( ) ( );

2ug u f x u du

∞

= ∫ %E . (28)

Доведення. Доведемо формулу (27) (до-ведення співвідношення (28) – аналогічне). Вра-хувавши означення 2 2, %L P , матимемо

2 20

( ); ( ); y f x y g u y dy∞

=∫ %L P

20

( ); y g u y∞

= ∫ %P ×

∞−

× ∫

2 2

0

( )x yxe f x dx dy =

2 20

( ) ( ); ; x f x g u y x dx∞

= =∫ %L P

210

1( ) ( );

2x f x g u x dx

∞

= ∫ %E .

Приклад 1. Якщо ω <Re 1, а відповідні ін-теграли абсолютно збігаються, то матимемо рів-ність

10

( ); y g u y dy∞

−ω =∫ %P

20

1 ( ) ( );

2 ( )a

y f x y dyc

∞ω− ω Γ = Γ

Γ ∫ %L . (29)

За допомогою використання інтегрального пе-ретворення Мелліна (5) останню рівність мож-на подати в такому вигляді:

1 ( ); 1g u − ω + =%MP

= 21 ( )

( ); ; 12 ( )

af x y

c− ω Γ Γ ω +

Γ %M L . (30)

Приклад 2. Якщо ω > −Re 1, а відповідні ін-теграли абсолютно збігаються, то справедливарівність

210

( ); x g u x dx∞

ω =∫ %E

10

1 ( );

2y g u y dy

∞−ωω + = Γ

∫%P . (31)

Використавши інтегральне перетворенняМелліна (5), рівність (31) перепишемо у вигляді

21 ( ); ; 1g u x ω + =%M E

11

( ); 12

g uω + = Γ −ω +

%M P . (32)

Висновки

За допомогою узагальненої виродженої (кон-флюентної) гіпергеометричної функції можна за-провадити нові інтегральні перетворення. Для де-яких із них наведено важливі рівності Парсева-ля–Гольдштейна, які дають змогу широко засто-совувати ці нові інтегральні перетворення, зокре-ма, і в прикладному математичному аналізі, ма-тематичній фізиці та ін.


Н.А. Вирченко, С.М. Заикина

ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗО-ВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Введены новые обобщения интегральных преоб-разований – Лапласа, Стилтьеса, потенциала,экспоненциального типа. Доказаны равенства Пар-севаля–Гольдштейна, даны иллюстративные при-меры.

N.O. Virchenko, S.M. Zaikina

THE GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORMATI-ONS AND THEIR APPLICATION

We introduce some new generalized integral trans-formations of Laplace, Stieltjes, potential and expo-nential type. Furthermore, we prove the Parseval–Goldstein equalities and provide the illustrativeexamples.

1. Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. – Charman and

Hall/CRC, 2004. – 390 p.

2. Debnath L. Integral Transforms and Their Applications. –Boca Raton: CRC Press, 1995. – 456 p.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преоб-разований. – М.: Наука, 1968. – Т. 1. – 344 с.

4. Widder D.V. A transform related to the Poisson integralfor a half-plane // Duke Math. J. – 1966. – 33. – P. 355–

362.

5. Srivastava H.M., Yiirekli O. A theorem on Stielties-type in-

tegral transforms and its applications // Complex Var. The-ory Appl. – 1995. – 28. – P. 159–168.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функ-ции. – М.: Наука, 1965. – Т. 1. – 296 с.; Т. 2. – 296 с.;

Т. 3. – 300 с.

7. Virchenko N.O. On some generalizations of the functions of

hypergeometric type // Intern. J. Fract. Calculus and Appl.Anal. – 1999. – 2, N 3. – P. 233–244.

8. Virchenko N. On the generalized confluent hyper-geometric function and its applications // Ibid. – 2006. –9, N 2. – P.101–108.




УДК 517.9

В.О. Капустян, О.П. Когут

ДОСТАТНІ УМОВИ СТІЙКОСТІ ВІДНОСНОЗБУРЕНЬ ОБЛАСТІ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ

Вступ

Математична модель оптимізаційної задачі(OCP) складається з кількох незалежних мате-матичних об’єктів: рівняння стану, обмеження настан системи та керування, функціонала якості.Для систем із розподіленими параметрами кож-на з цих складових залежить від області Ω, наякій вивчається об’єкт керування. Отже, якщообласть Ω змінюється, то приходимо до абсолют-но іншої задачі оптимального керування OCP(Ω),можливо з інакшими обмеженнями, інакшимфункціоналом якості та іншою крайовою зада-чею.

Нехай послідовність множин Ωεε > 0 збіга-ється в деякому сенсі до Ω. Тоді, виходячи з кла-сичного підходу (див., наприклад, [1–5]), опти-мізаційну задачу OCP(Ω) називають стійкою від-носно заданого збурення Ωεε> 0 області Ω, якщопослідовність оптимальних пар збурених задачOCP(Ωε) збігається (в певній топології) до пари,яка є оптимальною для вихідної задачі OCP(Ω).


У даній статті розглянуто клас задач опти-мального керування коефіцієнтами нелінійно-го еліптичного рівняння з умовами Діріхле награниці з так званими узагальнено-соленоїдаль-ними керуваннями. Для такого класу задач ви-значено поняття моско-стійкості (за Моско) від-носно збурень області, а саме визначено так зва-ні моско-стійкі задачі. За мету береться отри-мання достатніх умов такої стійкості. Показа-но, що основу таких умов становлять так зва-ні топологічні збурення області, запропоно-вані Дансером [4]. Досліджена асимптотичнаповедінка послідовності множин допустимихпар збурених задач. Отримані результати мо-жуть служити основою для побудови субопти-мальних керувань у задачах з нерегулярнимиобластями та областями складної форми.

Об’єкт дослідження

Нехай Ω є фіксованою відкритою підмно-жиною певної обмеженої множини ⊂ R nD з ре-гулярною границею.

Для заданих ∈ ( )pдz L D і ∈ Ω( )qf L розгля-

немо задачу оптимального керування

Ω ∂Ω Ω

− + ∇∫ ∫ R= | ( ) ( )| | ( )|p p

nL y x z x d x y x d x (1)

при обмеженнях

×∞∈ ∈ ∈ Ω1

sol( ), , ( )n npL D U y WU U , (2)

−− ∇ ∇ +2div( ( )| | )px y yU

−+ = Ω20 ( )| | вpa x y y f , (3)

де ≥0( ) 0a x ;Usol – клас узагальнено-соленоїдаль-

них матриць:

=solU

1

2

1 ,

2

, =1

( )

0 < ( ) ( )

( ) майже скрізь (м. с.) у ,

> 0=

( )| |

м. с. у

i j

i j

nij i j n

np

ij j j ii j

p

n

a L D

x a x

x D

a V

a x

D

∞

≥ ≥

−

∈ δ ≤ ξ ≤ ≤ ≤ ξ ∃α ∀η ∈ η η η ≥

≥ α η

∑

I

R

R

P P

. (4)

Тут ξ1, ξ2 – заданi функцiї з простору ∞( )L D , та-

кi, що

δ ≤ ξ ≤ ξ1 20 < ( ) ( ) м.c. уx x D , (5)

а множина V визначається як

= = ∈ ∀ =K K1 2 [ , , , ] |div 1, , n i iV Q i nu u u uU ,

де K1 , , nQ Q – компактні множини в просторі−1( )qW D . Множиною допустимих розв’язків Ξ за-

дачі (1)–(3) називатимемо сукупність пар ∈( , )yU×

∞∈ Ω × Ω1( ) ( )n npL W , які пов’язані співвідношення-

ми (2), (3). Через τ позначатимемо топологію впросторі ×

∞ Ω × Ω1( ) ( )n npL W як добуток ∗-слабкої то-

пології в ×∞ Ω( )n nL та слабкої топології в просто-

рі Ω1( )pW .

°

°

°

°


Виходячи з (4), (5), легко побачити, що не-лінійний еліптичний оператор у рівнянні (3) єкоерцитивним, строго монотонним та деміне-перервним. Цього достатньо, щоб стверджуватиоднозначну розв’язність крайової задачі (1)–(3)(див. [6]). Тоді, за аналогією з [7], легко показа-ти, що задача (1)–(3) є розв’язною в класі уза-гальнено-соленоїдальних керувань (див. також[8]).

У даній статті досліджується асимптотичнаповедінка розв’язків ε εU opt opt( , )y задач оптималь-

ного керування

ε

Ω ε ε ε ∂εΩ

− +∫( , ) = | ( ) ( )|pL y y x z x dxU

ε

εΩ

+ ∇ →∫ | ( )| infpny x dx

R, (6)

−ε ε ε− ∇ ∇ +2div( ( ) | | )p

nx y yR

U

−ε ε ε+ Ω2

0 | | = вpa y y f , (7)

ε ε ε∈ Ω ∈1sol( ),py W UU (8)

відносно збурень Ωεε > 0 області Ω ⊆ D. Далі εозначатиме малий параметр, що змінюється вмежах строго спадної послідовності додатних чи-сел, які прямують до нуля. Припускаємо, що мно-жина допустимих керувань Usol і, відповідно,множина допустимих розв’язків ×

ε ∞Ξ ⊂ ×( )n nL D

ε× Ω1( )pW непорожні для кожного ε > 0.

Аналіз існуючих публікацій показує (див.,зокрема, праці [1, 9,10]), що типовою ситуаці-єю для крайових задач виду (2), (3) з умовами Ді-ріхле на границі є наявність властивості “нестій-кості” відносно збурень області. У зв’язку з цимзауважимо, що метою даної статті є отриманнядостатніх умов на збурення Ωεε> 0, при яких за-дача оптимального керування (а не лише відпо-відна крайова задача) буде задовольняти певніумови стійкості.

Допустимі збурення області

Надалі нам знадобиться поняття локальноїсоболевської p-ємності.

Означення 1. Для компактної множини K,що міститься в довільній кулі B, ємність K у Bвизначається таким чином:

=( , )pC E B

∞ = ∇φ ∀φ ∈ φ ≥

∫ 0inf | | ( ), 1 наp

B

dx C B K .

Визначимо допустимі збурення множиниΩ, йдучи за Дансером (див. [4]).

Означення 2. Послідовність Ωεε > 0 відкритихпідмножин D топологічно збігається до відкри-тої множини Ω ⊆ D (в позначеннях εΩ →Ωtop ),

якщо існують компактна множина K0 ⊂ Ω нульо-вої p-ємності (Cp(K0,D) = 0) і компактна мно-жина ⊂ R1

nK лебегової міри нуль, для яких спра-

ведливі такі умови:(D1) якщо ′Ω ⊂⊂ Ω 0\ K , то ε′Ω ⊂⊂ Ω для

достатньо малих ε;(D2) для довільної відкритої множини U, та-

кої, що Ω ⊂U 1K U , маємо Ωε ⊂ U для достатньо

малих ε.Означення 3. Нехай Ω і Ωεε>0 – відкриті

підмножини D. Будемо говорити, що послідов-ність Ωεε > 0 утворює топологічно допустимезбурення множини Ω (коротко, t-допустиме), як-що εΩ →Ωtop за означенням 2.

Зауваження 1. Будемо говорити, що Ω ⊆ D єp-стійкою областю, якщо Ω ∈ Ω1( )py W для до-

вільних ∈ R1( )npy W , таких, що y = 0 м. с. на

intΩc. Зауважимо, що ця властивість справед-лива для достатньо регулярних областей, на-приклад таких, як ліпшицеві множини [4].


Далі буде досліджено асимптотичну по-ведінку множини допустимих пар збурених за-дач, введено поняття стійкості задачі оптималь-ного керування і доведено, що за допустимих збу-рень є стійкою не лише гранична задача Діріх-ле (2), (3), але й задача оптимального керуван-ня (1)–(3).

Теорема 1. Нехай Ω, Ωεε > 0 – відкриті

підмножини D. Нехай також ε

×Ω ∞Ξ ⊂ ×( )n nL D

ε× Ω1( )pW і ×Ω ∞Ξ ⊂ × Ω1( ) ( )n n

pL D W – множини

допустимих розв’язків задач оптимального ке-рування (6)–(8) i (1)–(3), відповідно. Припус-тимо, що Ω є p-стійкою областю і Ωεε> 0 – їїt-допустиме збурення Ω. Тоді послідовність

εΩ εΞ >0 збігається до ΞΩ за Моско, тобто:

(ΞM1) для довільної пари Ω∈ ΞU( , )y знай-деться послідовність

εε ε Ω ε∈ ΞU >0( , ) y , така, що

°

°

°

° °


ε →U U сильно в ×∞ ( )n nL D і ε →% %y y сильно в

1( )pW D ;

(ΞM2) якщо ∈ε Nk k – числова послідов-

ність, що збігається до нуля, а ∈NU( , )k k ky – по-

слідовність, для якої

Ωε∈ Ξ ∀ ∈( , )

kk ky k NU

іτ ×

∞→ ψ ×% 1( , ) ( , ) в ( ) ( )n nk k py L D W DU U ,

то існує функція = Ω1( )py W , така, що Ω= ψy і

Ω∈ Ξ( , )yU .

Зауваження 2. Тут і далі через ε%y (відповід-

но, %y ) буде позначатися тривіальне поширення

на R n функцій, визначених на Ωε (відповідно,на Ω), а саме

εε ε Ωχ% %=y y та Ωχ% %=y y .

Доведення. Почнемо з властивості (ΞM2).Оскільки кожна з пар ( , )k kyU є допустимою длявідповідної задачі (6)–(8), то легко бачити, щопослідовність ε%( , ) > 0

kk kyU є рівномірно обме-

женою відносно норми простору ×∞ × 1( ) ( )n n

pL D W D .

Отже, можемо припускати, що існує пара ∗U( ,∗)y , така, що (з точністю до підпослідовності,

яку також будемо позначати індексом k) U( k ,τ ∗ ∗→% U) ( , )ky y в ×

∞ × 1( ) ( )n npL D W D . Тоді, врахову-

ючи секвенційну ∗-слабку компактність множиниUsol (див. [7]), маємо ∗ ∈ solUU .

Візьмемо як тестову функцію ∞ϕ ∈ Ω0 ( )C .

Оскільки εΩ →Ωtopk

, то для довільного ϕ ∈∞∈ Ω0 0( \ )C K це означає, що supp ϕ ε⊂ Ω

kдля всіх

достатньо малих значень εk > 0. А з того, що мно-жина K0 має нульову p-ємність, випливає, щопростір ∞ Ω0 0( \ )C K щільний y Ω1( )pW . Це озна-

чає, що для зафіксованої вище функції ϕ ∈ Ω1( )pW

існує послідовність ε εϕ = ϕ ∈ Ω >1 ( ) 0k kk pW , та-

ка, що ϕ → ϕ% %k сильно в 1( )pW D . Оскільки ( kU ,

)ky є допустимою парою для відповідної задачіна εΩ

k, можемо записати

ε

−

Ω

∇ ∇ ∇ϕ +∫ 2( , )

k

pk k k k nny y dx

RRU

ε ε

−

Ω Ω

+ ϕ = ϕ∫ ∫20 | |

k k

pk k k ka y y dx f dx .

Отже, матимемо

°( )−∇ ∇ ∇ϕ +∫ %%2

,pnk k kk n

D

y y dxR RU

−+ ϕ =∫ % %%20 | |pk k k

D

a y y dx

= ϕ ∀ε∫ % > 0kD

f dx . (9)

Для перевірки (ΞM2) перейдемо до границів інтегральній тотожності (9) при ε → 0k . Це

можна зробити, використовуючи аргументи тео-реми 1 праці [7]. Враховуючи, що ϕk = ϕ ∀ ∈k N,

маємо−∗ ∗ ∗∇ ∇ ∇ϕ +∫ %2

( , )pn n

D

y y dxR RU

∗ − ∗+ ϕ ϕ∫ ∫% %20 | | =p

D D

a y y dx f dx . (10)

Залишається показати, що ∗Ω

∈ Ω1( )py W . Не-

хай B0 – довільна замкнена куля, яка не перети-нає Ω U 1K . Тоді з (7), (8) випливає, що для па-

ри Ωε∈ Ξ( , )

kk kyU маємо =% 0ky майже скрізь у

B0, як тільки пaраметр εk стає достатньо малим.Оскільки %ky збігається до ∗y сильно в L p(D), то

робимо висновок, що така ж властивість має міс-це для граничної функції ∗y . Оскільки куля B 0

вибиралася довільно, а множина K1 має нульо-ву лебегову міру, то ∗ ⊂ Ωsuppy . Тоді, за теоре-

мою Фубіні, ∗ ⊂ Ωsuppy . Отже, використовуючи

властивості p-стійких областей (див. зауважен-ня 1), приходимо до бажаного висновку: ∗

Ω∈y

∈ Ω1( )pW . Властивість (ΞM2) доведено.

Доведемо властивість (ΞM1). За вихіднимиприпущеннями, множина допустимих пар ΞΩ

для задачі (1)–(3) непорожня. Нехай ∈( , )yU

Ω∈ Ξ – її довільний елемент. Побудуємо послі-

довність εε ε Ω ε∈ Ξ > 0( , ) yU , яка буде задовольня-

ти умову (Ξ1) таким чином: ε =U U ∀ε > 0, a ε =y

εΩ= ,y U – відповідний розв’язок крайової за-

дачі (7), (8). Зауважимо, що такий вибір мож-ливий, оскільки матриця U є допустимим ке-руванням для задачі (6)–(8) при кожному ε > 0.

Покажемо, що ε →% % 1сильно в ( )py y W D . Слабка

збіжність даної послідовності випливає із влас-

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°


тивості (ΞM 2). Згідно з умовами, накладеними накоефіцієнти матриці U , за еквівалентну нормупростору 1( )pW D можна взяти таку:

∗ −∇ ∇ ∇ +

∫ 2

1||| ||| = ( | | , )( )p

nW p D

y y y y dxD RU

1/

0( ) | |p

p

D

a x y dx

+

∫ .

Достатньо встановити, що

ε → ε →% %1 1( ) ( )||| ||| ||| ||| при 0

p pW D W Dy y . (11)

У рівняннях (3) і (7) за тестові функції візь-мемо %y і ε%y , відповідно. Переходячи до границі

в (7), отримаємо

∗ −ε ε ε εε →

∇ ∇ ∇ + =

∫ ∫% % % %2

00

lim ( | | , ) | |np p

D D

y y y dx a y dxRU

ε εε → ε →= = =∫% %1( )0 0

lim(||| ||| ) limp

pW D

D

y f y dx

∗ −= = ∇ ∇ ∇ +∫ ∫% % % %2( | | , )pn

D D

f ydx y y y dxUR

+ ∫ % % 10 ( )| | = (||| ||| )

p

ppW D

D

a y dx y .

Отже, (11) разом зі слабкою збіжністю в 1( )pW D

дає сильну збіжність розв’язків.Оскільки Ω U,y – єдиний розв’язок задачі (1)–

(3), а Ω∈ ΞU( , )y , то це означає, що Ω= ,y y U .

Таким чином, маємо

° ° ×∞ε → × 1( , ) ( , ) сильно в ( ) ( )n n

py y L D W DU U

Теорему доведено.Введемо відповідне поняття.Означення 4. Будемо говорити, що задача

оптимального керування (1)–(3) є моско-стій-

кою в просторі ×∞ × 1( ) ( )n n

pL D W D відносно збурен-

ня Ωεε> 0 області Ω, якщо:(MS1) множина допустимих пар ΞΩ для

(1)–(3) є границею, за Моско, послідовності

εΩ εΞ >0 множин допустимих пар збурених за-

дач (6)–(8);(MS2) якщо ∈ε N k k – числова послідов-

ність, яка збігається до нуля, a послідовність ( kU ,

∈)k ky N є такою, що

εΩ∈ Ξ ∀ ∈( , )k

k ky kU Nі

τ ×∞→ ×% 1( , ) ( , ) в ( ) ( )n n

k k py y L D W DU U ,

де ΩΩ ∈ Ξ( , )yU , то Ω Ω Ωε→∞≥U Ulim ( , ) ( , )

kk k

kL y L y ;

(MS3) для кожної пари Ω∈ ΞU( , )y знай-деться послідовність

εε ε Ω ε∈ ΞU > 0( , ) y , така, що

ε →U U сильно в ×∞ ( )n nL D , ε →% %y y сильно в

1( )pW D і Ω ε ε Ωεε →≤

0lim ( , ) ( , ).L y L yU U

Теорема 2. Нехай Ω – відкрита підмножинаD. Припустимо, що розподілення ∂ ∈ ( )pz L D

(див. (1)) є таким, що

∂ =( )z x

∂ Ω= χ ∈( ) ( ) для майже всіхz x x x D . (12)

Нехай Ω є p-стійкою областю, а Ωεε> 0 – її t-до-пустиме збурення Ω. Тоді задача оптимальногокерування (1)–(3) є моско-стійкою в ×

∞ ×( )n nL D

× 1( )pW D .

Доведення. Перевіримо умови (MS 1)–(MS 3) означення 4.

Умова (MS1) доведена в теоремі 1.Нехай ∈( , )k k ky NU – послідовність, що

задовольняє умови (MS2), і нехай U( , )y є її τ-границею. Легко побачити, що для вибраногозбурення ε εΩ > 0

k kмножини Ω існує функція

∗χ , така, що kεΩχ (з точністю до підпослідовнос-

ті) збігається ∗-слабко до ∗χ в ∞( ; [0,1])L D . Тоді

маємо

Ωε →ϕ = ϕ = χ ϕ ∀ϕ ∈∫ ∫ ∫%

0lim ( )k

k qD D D

y dx y dx y dx L D .

З іншого боку, оскільки →%ky y сильно в Lp(D ),

то

0 0lim lim

kk kk kD

D D D

y dx y dx y dxε

∗Ωε → ε →

ϕ = χ ϕ = χ ϕ =∫ ∫ ∫ ∫% %

∗Ω= χ χ ϕ ∀ϕ ∈∫ ( )q

D

y dx L D

є границею добутку сильно та ∗-слабко збіжнихпослідовностей. Отже, матимемо

∗Ωχ − χ =(1 ) 0 м. с. yD . (13)

°

°

° °

°

°

°

°

°

°

°

°


Знову, користуючись тим, що →%ky y сильно в

Lp(D ), отримаємо ∂ ∂− → −%| | | |p pky z y z сильно в

L1(D ) і

→ ∞∇ ≥ ∇%

( ) ( )lim n n

p p

p pk L D L Dk

y yP P P P ,

оскільки норма є напівнеперервною знизу функ-цією відносно слабкої збіжності. Таким чином,матимемо

lim ( , )k

kk

L yεΩ

→∞=kU

lim( | | | | )nk

p pk k

k D D

y z dx y dxεΩ ∂

→ ∞= χ − + ∇ ≥∫ ∫ ¡

% %

∗∂≥ χ − + ∇ =∫ ∫ ¡

| | | | n

p pk

D D

y z dx y dx

∗Ω ∂

Ω

= = χ χ − + ∇ =∫ ∫ ¡з (12) | | | | n

p p

D

y z dx y dx

∂Ω Ω

= = − + ∇ =∫ ∫ ¡з (13) | | | | n

p py z dx y dx

Ω Ω= U( , | )L y .

Отже, умова (MS2) виконується. Залиша-ється перевірити останню умову означення 4. Целегко випливає із сильної збіжності ε ε →( , )yU

→ U( , )y в ×∞ × 1( ) ( )n n

pL D W D i властивостей (12),

(13). Дійсно, в цьому випадку маємо

Ω ε εεε →U

0lim ( , ) =L y

εΩ ε ∂ εε →

χ − + ∇

∫ ∫% %

0= lim | | | | =n

p p

D D

y z dx y dxR

∗∂χ − + ∇∫ ∫ R

= | | | | =ppn

D D

y z dx y dx

∗∂Ω

Ω

χ χ − + ∇∫ ∫= | | | | =p pn

D

y z dx y dxR

∂ Ω ΩΩ Ω

− + ∇∫ ∫ RU= | | | | = ( ,pp

ny z dx y dx L y .

Теорему доведено.

Висновки

За виконання отриманих у статті достатніхумов на збурення області послідовність множиндопустимих розв’язків збурених задач Моско збі-гається в ×

∞ × 1( ) ( )n npL D W D до множини допусти-

мих розв’язків вихідної задачі. Щодо сформульо-ваного поняття моско-стійкості задачі оптималь-ного керування за вибраного типу збурень облас-ті розглянута задача є стійкою.

Подальші дослідження можуть бути направ-лені на отримання достатніх умов для моско-стій-кості задачі керування коефіцієнтами нелінійноїеліптичної крайової задачі Неймана.

В.О. Капустян, О.П. Когут

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОТ-НОСИТЕЛЬНО ВОЗМУЩЕНИЙ ОБЛАСТИ ОДНО-ГО КЛАССА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕ-НИЯ

Рассмотрен класс задач оптимального управле-ния в коэффициентах для нелинейного эллипти-ческого уравнения с условиями Дирихле на гра-нице с обобщенно-соленоидальными управлени-ями. Определено понятие устойчивости задачиоптимального управления относительно возму-щений области. Получены достаточные условияна возмущения области, при которых устойчи-вость рассмотренной задачи имеет место.

V.O. Kapustyan, O.P. Kogut

THE SUFFICIENT CONDITIONS OF THE SHAPESTABILITY FOR PERTURBATION OF THE ONECLASS OF OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

We address the optimal control problems in the co-efficients for a nonlinear elliptic equation with Di-richlet boundary conditions for generalized soleno-idal controls. We define the shape stability conceptfor optimal control problems. Finally, we reveal thesufficient conditions for perturbation of the domain,under which the shape stability of the problem un-der study occurs.

°

°


1. Bucur D., Buttazzo G. Variational Methodth in Shape Opti-

mization Problems // Progress in Nonlinear Differential Equ-ations and their Applications. – Boston: Birkhä user,

2005. – P. 65.

2. Bucur D., Trebeschi P. Shape optimization problem gover-

ned by nonlinear state equations // Proc. Roy. Soc. Edin-burgh. Ser. A. – 1998. – 128. – Р. 943–963.

3. Dal Maso G., Ebobisse F., Ponsiglione M. A stability result for

nonlinear Neumann problems under boundary variations //J. Math. Pures Appl. – 2003. – 82. – P. 503–532.

4. Dancer E.N. The effect of domains shape on the number of

positive solutions of certain nonlinear equation // J. Diff. Equ-ations. – 1990. – 87. – P. 316–339.

5. Daners D. Domain perturbation for linear and nonlinear pa-rabolic equations // Ibid. – 1996. – 129. – Issue 2. – P.

358–400.

6. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в

задачах управления для систем с распределенными па-раметрами. – К.: Наук. думка, 1988. – 324 с.

7. Когут О.П. Про розв’язність задачі оптимального ке-

рування нелінійним еліптичним рівнянням з умовами

Неймана на границі // Зб. наук. пр. Сер. “Диференці-альні рівняння та їх застосування”. – Дніпропет-

ровськ: ДНУ, 2008. – C. 85–99.

8. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.Л. Усреднение диф-ференциальных операторов. – М.: Физматлит, 1993. –

454 с.

9. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усредненные модели мик-ронеоднородных сред. – К.: Наук. думка, 2005. – 550 с.

10. Dal Maso G., Murat F. Asymproric behaviour and correc-

tors for Dirichlet problem in perforated domains with ho-

mogeneous monotone operators // Ann. Scoula Norm. Sup.Pisa Cl. Sci. – 1997. – 24, N 4. – P. 239–290.




УДК 517.9

П.О. Касьянов

ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ КЛАСУ ДИ-ФЕРЕНЦІАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮ-ЧЕНЬ З ВІДОБРАЖЕННЯМИ ТИПУ Sk

Вступ

Диференціально-операторні рівняння тавключення виникають при аналізі та керуванніматематичними моделями нелінійних техноло-гічних та промислових процесів і полів [1, 2].Оскільки монотонна і неперервна залежністьміж визначальними параметрами не є природ-ною [4], то при вивченні більш точних геофізич-них моделей слід брати до уваги такі нелінійніефекти, як негладкість, немонотонність тощо [4].Це все призводить до необхідності якісного та чи-сельного дослідження моделей, що описуються,зокрема, диференціальними рівняннями з час-тинними похідними, які містять у головній час-тині немонотонну нелінійність [5]. Одним з ос-новних класів таких диференціальних операто-рів є клас відображень типу Sk [5–7]. Система-тичне вивчення стаціонарних операторних вклю-чень з такого типу відображеннями було прове-денo в працях [6, 7].


Мета даної статті полягає в обгрунтуванніметоду Фаедо–Гальоркіна для періодичних роз-в’язків широкого класу еволюційних включеньу нескінченновимірних просторах з відображен-нями типу Sk, що є новим напрямком дослід-жень порівняно з результатами [1–12].

Еволюційні включення в нескінченновимір-них просторах

НехайV – рефлексивний банахів простір надполем дійсних чисел; H – гільбертів простір надполем дійсних чисел зі скалярним добутком⋅ ⋅( , ), ототожнений із спряженим простором H ∗;

σ σ ≥ 0 V – ланцюжок гільбертових просторів над

полем дійсних чисел, таких, що ∀σ ≥ σ ≥1 2 0

σ σ⊂1 2

V V , причому вкладення неперервне та

щільне. Припустимо також, що ∃σ > 0 таке, що

σ ⊂V V неперервно та щільно, а σ ⊂V H –

компактно. Тоді одержимо такий ланцюжок не-перервних та щільних вкладень:

σ σ⊂ ⊂ ⊂ ⊂* *V V H V V ,

де V ∗– спряжений до V простір; σ

*V – спря-

жений до Vσ простір відносно ⋅ ⋅( , ). Зауважимо, що

≡0V H .

Введемо позначення = [0, ]S T – скінченний

інтервал часу. Отримаємо

= I0( ; ) ( ; )p pX L S H L S V ,

σ σ=0( ; )pX L S V ,

= +0

* *( ; ) ( ; )q qX L S H L S V ,

σ σ=0

* *( ; )qX L S V ,

де ≤ +∞01 < <p p ; + + =0 0

1 1 1 1= 1

p q p q.

Лінійний простір ′= ∈ ∈ * | W y X y X (від-

повідно, σ σ′= ∈ ∈ * | W y X y X ) є рефлексивним

банаховим простором відносно норми =|| ||Wy

′= + *|| || || ||X Xy y (відповідно,

σ= +|| || || ||W Xy y

σ′+ *|| ||

Xy ), де ′y – похідна від елемента ∈y X

у розумінні простору скалярних розподілів *(D S ;

σ*)V [8].

Для довільних ∈v X і ∈ *f X ( = +0 1f f f ,

∈00 ( ; )qf L S H , ∈ *

1 ( ; )qf L S V ) розглянемо

τ τ τ +∫ 0, = , = ( ( ), ( ))HXS

f v f v f v d

+ τ τ τ τ τ τ∫ ∫1( ), ( ) = ( ( ), ( ))VS S

f v d f v d .

Тут ⋅ ⋅ × →*, :V V V R – канонічне спарювання,

що збігається на H × V із скалярним добутком( , )⋅ ⋅ в Н.

Для багатозначного (в загальному випадку)

відображення →*

: 2XA X розглянемо таку зада-

чу:

′ + ∋ = ∈ ⊂

( ) ,

(0) ( ), ( ; ),

u A u f

u u T u W C S H(1)


де ∈ *f X – довільний фіксований елемент. Ме-

тою даної статті є доведення розв’язності даноїпроблеми за допомогою методу Фаедо–Гальор-кіна.

Метод Фаедо–Гальоркіна

За повну систему векторів ≥ σ⊂1 i ih V візь-

мемо спеціальний базис [9]:i) ≥1 i ih ортонормована в H ;

ii) ≥1 i ih ортогональна в Vσ;

iii) σσλ ∀ ≥ ∀ ∈( , ) = ( , ) 1,i V i ih v h v i v V ,

де ≤ λ ≤ λ λ → ∞1 20 , ..., j при → ∞j ; σ

⋅ ⋅( , )V – при-

родний скалярний добуток у Vσ.

Для кожного п ≥ 1 розглянемо банахові прос-тори

== 1span nn i iH h , =

0( ; )n p nX L S H ,

=0

* ( ; )n q nX L S H , ′= ∈ ∈ * | n n nW y X y X .

Для будь-якого п ≥ 1 In – канонічне вкла-дення Xn в X, →* * *:n nI X X – спряжений до In. Вве-

демо відображення: = →* *: : ( )n n n n v nA I AI X C X ,

= ∈* *:n n nf I f X . Тоді матимемо

σ σ≥

** *(1

|| || = 1sup ; )n L XnI X . (2)

Разом із задачею (1)∀ ≥ 1n розглянемо такийклас задач:

( ) ,

(0) ( ), .n n n n

n n n n

y A y f

y y T y W′ + ∋

= ∈(3)

Означення 1. Будемо говорити, що ∈y W –розв’язок задачі (1), отриманий методом Фаедо–Гальоркіна, якщо y – слабка границя деякоїпідпослідовності ≥1

kn ky в просторі X послідов-

ності розв’язків ≥1 n ny відповідних задач (3).

Класи багатозначних відображень типу Sk

Позначимо через *( )vC X сім’ю всіх непо-

рожніх замкнутих опуклих обмежених підмно-жин з простору *X . Нехай → *: ( )vA X C X – ба-

гатозначне відображення. Для нього визначимоверхню +ω[ ( ), ]A y =

∈ ( ),sup X

d A yd w і нижню [ ( )A y ,

ω _] =∈ ( )

,inf Xd A y

d w опорні функції, де ω ∈,y X , а та-

кож верхню +∈

= *( )

|| ( )|| || ||supXd A y

A y d і нижню =_|| ( )||A y

∈= *

( )|| ||inf

Xd A yd норми. Як відомо, довільні багато-

значні відображення → *, : ( )vA B X C X задоволь-

няють такі властивості [2, 3]:

1) + + ++ ≤ +1 2 1 2[ ( ), ] [ ( ), ] [ ( ), ]A y v v A y v A y v ,

− − −+ ≥ +1 2 1 2[ ( ), ] [ ( ), ] [ ( ), ]A y v v A y v A y v

ііііііііііііі∀y, v1, ∈2v X ;

2) + −= − −[ ( ), ] [ ( ), ]A y v A y v ,

+ − + − + −+ = +( ) ( ) ( )[ ( ) ( ), ] [ ( ), ] [ ( ), ]A y B y v A y v B y v

іііііііі ∀ ∈,y v X ;

3) + − + −≤( ) ( )[ ( ), ] || ( )|| || ||XA y v A y v ,

ііііііііі + + ++ ≤ +|| ( ) ( )|| || ( )|| || ( )||A y B y A y B y ,

зокрема, включення ∈ ( )d A y виконується тоді

і тільки тоді, коли + ≥ ∀ ∈[ ( ), ] , XA y v d v v X .

Означення 2. Багатозначне відображення А :→ *( )vX C X називається локально обмеженим,

якщо для довільного фіксованого y ∈ X існуютьтакі сталі m > 0 і M > 0, що +ξ ≤|| ( )||A M для

всіх ξ ∈X: − ξ ≤|| ||Xy m.

Означення 3. Багатозначне відображення А :→ *( )vX C X називається скінченновимірно ло-

кально обмеженим, якщо для довільного скін-ченновимірного простору F ⊂ X звуження A наF є локально обмеженим.

Означення 4. Багатозначне відображення А :→ *( )vX C X називається λ0-псевдомонотонним

на Wσ, якщо для будь-якої послідовності

≥ σ⊂0 n ny W , такої, що → 0ny y слабко в Wσ,

→ 0nd d слабко в *X при → +∞n , де ∈nd

∈ ( )nA y ∀ ≥ 1n , із нерівності → ∞

− ≤0, 0lim n n Xn

d y y

випливає існування підпослідовностей ≥1 n kky з

≥1 n ny і ≥1 n kkd з ≥1 n nd , для яких викону-

ється нерівність

−→ ∞

− ≥ − ∀ ∈0 0, [ ( ), ]lim n nk k Xkd y w A y y w w X .

Означення 5. Багатозначне відображення А :→ *( )vX C X задовольняє властивість Sk на Wσ,

якщо з того, що → 0ny y слабко в Wσ, →nd d

слабко в *X ( ∈ ( )n nd A y ∀ ≥ 1n ) та з того, що


− → → ∞0, 0 приn n Xd y y n (4)

випливає ∈ 0( )d A y .

Означення 6. Багатозначне відображення А :

→*

2XX задовольняє властивість (Π): якщо длядовільного k > 0, обмеженої множини B ⊂ X, y0 ∈∈ X і для деякого d ∈ A ( ∈( ) ( )d y A y ∀ ∈y B ) ма-

ємо − ≤0 1( ), Xd y y y k ∀ ∈y B, то випливає іс-

нування такого C > 0, що ≤ ∀ ∈*|| ( )||X

d y C y B .

Твердження. Довільне λ0-псевдомонотоннена Wσ відображення задовольняє властивість Sk

на Wσ. Якщо +∞dim <H , то має місце оберне-не твердження.

Основний результат

Теорема. Нехай багатозначне відображення→ *: ( )vA X C X – локально скінченновимірно об-

межене, задовольняє властивість (Π) на X і влас-тивість Sk на Wσ. Припустимо, що має місцерівність (2) та для довільного ∈ *f X існує r > >

0, таке, що

+− ≥ ∀ ∈[ ( ) , ] 0 : || || =XA y f y y X y r . (5)

Тоді для довільного ∈ *f X множина =( ):HK f

= ∈: |y W y – розв’язок задачі (1), отриманий ме-тодом Фаедо–Гальоркіна є непорожньою та сла-бо замкненою в X. Більше того, маємо

≥ ≥

I U1

( ) = ( )H m mn m n X w

K f K f , (6)

де ∀ ≥ 1n ∈( ) = |n n n n nK f y X y – розв’язок за-

дачі (3) ; ⋅[ ]X w– оператор замикання в прос-

торі X зі слабкою топологією.Доведення. За оператор ⊂ →: ( )L D L X

→ *X візьмемо оператор похідної в сенсі просторурозподілів * *( , )D S V , = = ∈ =per( ) | (0)D L W y W y

= ( )y T . З лінійності похідної та леми 1.7 з [8,

с. 255] випливає, що оператор L є лінійним імаксимально монотонним на = per( )D L W . Ві-

дображення L задовольняє такі умови:L1: ∀ ≥ 1n , ∀ ∈ I ( )n nx X D L ∈ *

n nLx X ;

L2: ∀ ≥ 1n = I( ) ( )n nD L D L X – щільна в Xn;

L3: ∀ ≥ 1n = ⊂ →I *: ( ) ( )n n n n nL D L D L X X X –максимально монотонний;

L4: ∀ ∈ ( )y D L =, 0Ly y .

Умова L1 випливає з [10, твердження 7],умова L2 – з [8, лема 1.5, с. 249] та з того, що

1( ; )nC S H – щільна множина в =0( , )p n nL S H X .

Умова L3 випливає з [8, лема 1.7, с. 255] (за-уважимо, що в даній лемі необхідно покласти

= = nV H H ), а умова L4 – з [3, теорема 4.1.7].

Розв ’язн ість апроксимац ійних за -д ач. З умов даної теореми, твердження та [11,лема 4, с. 115] випливає, що ∀ ≥ 1n багатознач-не відображення A n задовольняє такі власти-вості:

i1) → *: ( )n n v nA X C X ;

i2) +− ≥ ∀ ∈ =[ ( ) , ] 0 :|| ||n n n XA y f y y X y r ;

i3) An – λ0-псевдомонотонне на D(Ln), за-довольняє властивість (Π) на X n.

Отже, внаслідок умов i1–i3, L2, L3 та [12,теорема 3.1] задача (3) має принаймні один роз-в’язок ∈ ( )n ny D L : ≤|| ||n Xy r .

Граничний переx ід. Маємо послідов-ність наближених розв’язків ≥1 n ny , таких, що

∀ ≥ ≤1: || ||n Xn y r , (7)

∀ ≥ + ∋ ∈ ⊂1 : ( ) , ( ) ( )n n n n n n nn L y A y f y D L D L . (8)

Лема.Нехай для деякої строго зростаючої по-слідовності ≥ ⊂1 k kn N послідовність ≥1

kn ky за-

довольняє такі умови:1) ∀ ≥ 1k ∈ = I( ) ( )

k k kn n ny D L D L X ;

2) ∀ ≥ 1k + ∋( )k k k k kn n n n nL y A y f ;

3) →kny y слабко в X при → ∞k для дея-

кого ∈y X .

Тоді маємо ∈ ( )Hy K f .

Доведення. З умови 2 даної леми та умо-ви L1 випливає, що для довільного ≥ 1k існує

∈ ( )k kn nd A y , таке, що

= = −* ( )k k k k kn n n n nLy L y I f d .


≤ *, || ||k kn n X X

d y f r ,

де ≥

≤1

|| ||supkn X

ky r .

Внаслідок властивості (Π) для A на X існуєD > 0, таке, що

≤*|| ||kn X

d D ∀ ≥ 1k .

Звідси внаслідок (2) маємо


σ≥≤ + +∞* * 3

1|| || ( || || ) =: <sup

kn X XkLy D f C .

Враховуючи рефлексивність простору σ =perW

σ= ∈ = | (0) ( )y W y y T , за теоремою Банаха–Ала-оглу отримуємо, що з послідовностей ≥1

kn ky ,

≥1 kn kd можна виділити підпослідовності ⊂ my

≥⊂ 1 kn ky і ≥⊂ 1

km n kd d , такі, для яких ∈y

σ∈ perW і ∈ *d X мають місце збіжності: →my y

слабко в σperW і в X, а →md d слабко в *X .

Для довільного ≥

∈ U1

nn

v X

′→ ∞

′ = =, ,lim mm

y v y v

→ ∞= − −, = ,lim m

mf d v f d v .

Із щільності ≥U

1n

n

X в Xσ (див. [3, с. 250]) випливає,

що ′ = − ∈ *y f d X . Отже, маємо ∈ ( )y D L і Ly == f − d. З умови 2 даної леми та з умови L4 от-римаємо

− = − →, , ,m m m md y y f y d y

→ − = =, , 0f d y Ly y

при → ∞m . Отже, внаслідок властивості Sk наWσ для A маємо, що ∈ ( )d A y . Це означає, що

′ + ∋( )y A y f , звідки ∈ ( )Hy K f .

Лема доведена.Продовжимо доведення теореми. З (7) і (8)

за теоремою Банаха–Алаоглу випливає існуван-ня ≥ ≥⊂ ∃ ∈1 1 ,

kn k n ny y y X , що задовольняють

умови леми. Отже, ∈ ( )Hy K f .

Рівність (6) безпосередньо випливає з влас-тивості 8 верхніх топологічних границь (див.[13, с. 345]), леми та означення розв’язку, от-риманого методом Фаедо–Гальоркіна. Більше то-го, дана множина є слабо замкненою в X придовільному ∈ *f X .

Теорема доведена.

Приклад

Розглянемо простий модельний приклад,який демонструє одержані узагальнення. НехайT > 0, a, b ∈ R, a < b, Ω = ( , )a b , = Ω × (0; )Q T ,

Γ = ∂Ω × (0; )T T , σ= = Ω10( )V V H – дійсний прос-

тір Соболєва, = Ω2( )H L , = =0 2p p , ∈ 2(0,f L T ;

− Ω1( ))H , = −[ 1,1]U . Розглянемо таку еволюційну

задачу:∂ + α =

∂ ( , )

( , )y x t d d

y x tt dx dx

= ( , ) майже скрізь наf x t Q , (9)

= Ω( , 0) ( , ) майже скрізь наy x y x T , (10)

= Γ( , ) 0майже скрізьна Ty x t (11)

на пошук розв’язків α , y [2, 3].

Нехай × → *:A X U X визначається за прави-

лом α = α

( , )d d

A y ydx dx

.

Інтегруванням частинами задачі (9)–(11)можна поставити у відповідність таку задачу:

′ + = =( , ) , (0) ( )y A y u f y y T (12)

на пошук розв’язків α , y у класі W × U. Уза-гальненим розв’язком задачі (9)–(11) будемо на-зивати розв’язок задачі (12). Дану задачу перепи-шемо як

′ + ∋( ) , (0) = ( )y B y f y y T ,

де = α α ∈( ) ( , )| B y A y U ; ∈y X – багатозначне

відображення, яке задовольняє властивість Sk, є+-коерцитивним, обмеженим, але не є −-коер-цитивним і не є λ0-псевдомонотонним на Wσ.Таким чином, внаслідок теореми задача (9)–(11)має узагальнений розв’язок у класі W × U, що єновим результатом порівняно з результатамипраць [8–12].

Висновки

За допомогою методу Фаедо–Гальоркінаможна довести розв’язність для класу диферен-ціально-операторних включень з відображення-ми типу Sk. Як приклад, можна розглянути ди-ференціальне рівняння з частинними похідни-ми, в якому головна частина диференціальногооператора не є монотонною. Враховуючи перс-пективи одержаних результатів, можна обґрун-тувати конструктивну розв’язність для широко-го класу більш точних геофізичних моделей тазадач теорії керування.


П.О. Касьянов

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ КЛАССА ДИФ-ФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙС ОТОБРАЖЕНИЯМИ ТИПА Sk

Рассмотрен класс эволюционных включений сотображениями типа Sk . Методом Фаэдо–Галер-кина доказано существование периодических ре-шений. Приведен простой пример, демонстриру-ющий полученные обобщения.

P.O. Kasyanov

THE PERIODIC SOLUTIONS FOR A CLASS OFDIFFERENTIAL-OPERATOR INCLUSIONS WITHSK TYPE MAPS

In this paper, we consider a class of evolution in-clusions with Sk type maps. Using the Faedo–Ga-lerkin method, the existence of periodic solutionswas proved. To demonstrate the obtained generali-zations, we provide a simple example.

1. Згуровский М.З., Новиков А.Н. Анализ и управление од-носторонними физическими процессами. – К.: Наук.

думка, 1996. – 328 с.

2. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные

методы анализа и управления нелинейными процес-сами и полями. – К.: Наук. думка, 2004. – 590 с.

3. Згуровский М.З., Касьянов П.О., Мельник В.С. Диффе-

ренциально-операторные включения и вариационныенеравенства в бесконечномерных пространствах. – К.:

Наук. думка, 2008. – 464 с.

4. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их прило-жения. – М.: Мир, 1989. – 492 с.

5. Скрыпник И.В. Методы исследования эллиптических кра-евых задач. – М.: Наука, 1990. – 442 с.

6. Капустян В.О., Касьянов П.О., Когут О.П. Властивос-

ті розв’язків класу параметризованих операторних вклю-чень // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 5. –С. 129–136.

7. Капустян В.О., Касьянов П.О., Когут О.П. Про розв’яз-

ність одного класу параметризованих оператoрних вклю-чень // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, 12. – С. 1619–

1630.

8. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные оператор-

ные уравнения и операторные дифференциальные урав

ные уравнения и операторные дифференциальные урав-нения. – М.: Мир, 1978. – 336 с.

9. Temam R. Infinite-dimentional dynamical systems in me-chanics and phisics. – New York: Springer Publ. House,

1988. – 672 p.

10. Perestyuk M.O., Kasyanov P.O., Zadoyanchuk N.V. On Fa-edo–Galerkin method for evolution inclusions with λ 0

w -pse-

udomonotone maps // Memoirs on Differential Equati-ons and Mathematical Physics. – 2008. – 44. – P. 105–

132.11. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо–Гальоркі-

на для диференціально-операторних включень y ба-нахових просторах з відображеннями λ 0

w -псевдомоно-

тонного типу // Зб. праць Ін-ту математики НАН Ук-раїни. – 2005. – 2, 1. – С. 103–126.

12. Касьянов П.О., Мельник В.С. О разрешимости диффе-

ренциально-операторных включений и эволюционных

вариационных неравенств, порожденных отображени-ями λ 0

w -псевдомонотонного типа // Укр. мат. віс-

ник. – 2007. – 4, 4. – С. 535–581.

13. Куратовский К. Топология. – В 2-х томах. – М.: Мир,

1966. – Т. 1. – 596 с.




УДК 517.581

О.В. Овчаренко

АСИМПТОТИЧНІ РОЗВИНЕННЯ І НОВІ ЗА-СТОСУВАННЯ УЗАГАЛЬНЕНОЇ ГІПЕРГЕО-МЕТРИЧНОЇ ФУНКЦІЇ ГАУССА

Вступ

В останні роки в теорії спеціальних функ-цій відбувається процес розширення і узагаль-нення багатьох вже відомих класів функцій, якідають можливість розв’язувати нові задачі при-кладної математики, фізики, квантової теорії по-ля, біомедицини тощо. Зокрема, узагальнюютьсягамма- і бета-функції [1], функції Лежандра [2],гіпергеометричні функції [3] та ін. Саме дослід-женню нового (τ, β)-узагальнення функцій гі-пергеометричного типу, їх застосуванню присвя-чено дану статтю.

При застосуванні цих функцій істотне зна-чення має дослідження їх асимптотичної пове-дінки. Теорія асимптотичних розвинень функційгіпергеометричного типу вже досліджувалась, алетак і не була повністю завершена, оскільки ви-користовувані методи не могли задовольнити роз-винення функцій в околі деяких “критичних” лі-ній у комплексній площині. Цікавий метод до-слідження асимптотичної поведінки гіпергеомет-ричних функцій та знаходження асимптотичнихрозвинень здійснив Е. Райт [4].


Мета статті – розгляд (τ, β)-узагальненняфункцій гіпергеометричного типу, дослідженнявластивості цих функцій, застосування їх у теоріїдробового інтегро-диференціювання та в теоріїінтегральних перетворень.

(τ, β)-Узагальнена гіпергеометрична функціяі її властивості

Існує багато шляхів щодо узагальнення кла-сичної гіпергеометричної функції Гаусса τ β,

2 1 (F a,

; ; )b c z [5], наприклад, запровадження нових па-

раметрів, зміна їх кількості, узагальнення на ви-падок двох або більше змінних. Подамо узагаль-нений гіпергеометричний ряд, який отриманозапровадженням р параметрів чисельника, що

відіграють ту саму роль, що й параметри a i b, iq параметрів, що відіграють роль c :

∞

=

α αα α = ρ ρ ρ ρ ∑ 11

1 2 0 1

( ) ...( ), ..., ;

, ..., ; ( ) ...( ) !

nn p np

p qn n q n

zzF

n, (1)

де (α)n – символ Похгаммера; α ρ ∈ , i j C i

α ≠ 0i , ρ ≠ 0j ( 1, ; 1, )i p j q= = .

Райтом [4] було запроваджено узагальнен-ня ряду (1) у вигляді

∞

=

Γ α + τ Γ α + τ

Γ ρ + β Γ ρ + β∑ 1 1

0 1 1

( )... ( )

( )... ( ) !

np p

n q q

n n z

n n n,

де τ β ∈ τ > β > = = , , 0, 0 ( 1, ; 1, )i j i jR i p j q і вико-

нується умова

= =

+ β − τ >∑ ∑0 0

1 0q p

k mk m

. (2)

Вивченням властивостей цих функцій і до-слідженням їх асимптотичної поведінки займа-лися Барнз [6], Ватсон [7], Фокс [8] та інші вчені.

Розглянемо (τ, β)-узагальнення гіпергеомет-ричної функції Гаусса у вигляді [3]

τ β τ β Γ≡ = ×

Γ Γ Γ −, ,

2 21 1( )

( , ; ; ) ( )( ) ( ) ( )

cF a b c z F z

a b c b

11 1

2 10

( ,1); ( , );(1 )

( , );b c b a c

t t z t dtc

− − − ττ × − Ψ β ∫ , (3)

де ∈ > > , , , Re Re 0a b c C c b , τ β ⊂ τ > , , 0R , β > 0

і виконується умова (2) для параметрів τ і β; Γ –класична гамма-функція [9], Ψ2 1 – функція ти-

пу Райта [10].Лема 1. При умовах існування функції

τ β,2 1 ( )F z мають місце такі рекурентні співвідно-

шення:1) ,

2 1 ( , ; ; )c F a b c zτ β −

,2 1( ) ( , ; 1; )c a F a b c zτ β− − β + −

,2 1 ( 1, ; 1; ) 0a F a b c zτ β− β + + = ; (4)

2) ,2 1( 1) ( ) ( , ; ; )c b F a b c zτ βΓ + β + Γ −

,2 1( 1) ( ) ( 1, ; 1; )c b F a b c zτ β− Γ + β + Γ + + +

,2 1( ) ( ) ( ) ( 1z c a c b F aτ β+ − β Γ Γ + τ + ,

+ τ + β =; ; ) 0b c z ; (5)


3) ,2 1( ) ( ) ( , ; ; )c c b F a b c zτ βτ Γ + β Γ −

,2 1( ) ( ) ( 1, 1; 1; )b c b F a b c zτ β− β Γ + β Γ + + + +

,2 1( ) ( 1) ( 1z b c F aτ β+ τΓ + τ Γ + + ,

+ τ + β +; ; )b c z

,2 1( ) ( ) ( ) ( 1b c c b F aτ β+ β − τ Γ + β Γ + ,

+ =; 1; ) 0b c z . (6)

Доведемо, наприклад, співвідношення (6).Перепишемо цю рівність у вигляді

, ,2 21 1( , ; ; ) ( 1, ; 1; )c F a b c z b c F a b c zτ β τ ββ + − + + −

τ

,2 1 ( 1, 1; 1; )b F a b c zτ ββ

− + + + +τ

,2 1

( ) ( 1)( 1, ; ; ) 0

( ) ( )b c

z F a b c zc b

τ βΓ + τ Γ ++ + + τ + β =

Γ + β Γ.

Далі, використавши зображення функції τ β,2 1F у

вигляді ряду, після перетворень матимемо

τ β β = − + τ ,

2 11

( , ; ; )F a b c z b cc

τ β + + +,2 1 ( 1, ; 1; )F a b c z

,2 1

( ) ( 1)( 1, 1; 1; )

( ) ( )b c

b F a b c z zc b

τ ββ Γ + τ Γ ++ + + + − ×

τ Γ + β Γ

τ β× + + τ + β =,2 1 ( 1, ; ; )]F a b c z

∞

=

Γ Γ + Γ + τ= ×

Γ + Γ Γ + β∑0

( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( ) !

n

n

c a n b nz

a b c n n

β β − + + + + τ τ τ× + − = + β + β

( ) ( )( )

( ) ( )

b c a n a n b nn

c n c n

∞

=

Γ Γ + Γ + τ + β = = Γ + Γ Γ + β + β ∑

0

( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( ) !

n

n

c a n b n ca anz

a b c n n c n

∞

=

Γ Γ + Γ + τ=

Γ Γ Γ + β∑0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) !

n

n

c a n b nz

b a c n n.

Доведення тверджень (4) і (5) аналогічне.

Узагальнення теореми Ердеї

Доведемо узагальнення теореми Ердеї [5,2.4(3)] для випадку (τ, β)-узагальненої гіпергео-метричної функції Гаусса.

Теорема 1. Якщо виконуються умови: >Rec> λ > ≠Re 0, 1z , − < π > >arg(1 ) , Re Re 0z c b , >Re2b

> > τ β ⊂Re 0, , a R, τ > β > τ − β ≤0, 0, 1, то буде

справедлива формула

τ β =,2 1 ( , ; ; )F a b c z

−Γ Γ λ − −×

Γ − Γ − λ

1( ) ( 1)( ) (2 )c bc b b

11 ,3 2

0

( , , ; 2 , ; )bt F a b c b c zt− τ β τ× − λ ×∫

× − + λ − +2 1( 1,1; 1; )F b c b t dt ,

де 2 1F – класична гіпергеометрична функція Га-

усса [9]; τ β,3 2F – узагальнена гіпергеометрична

функція [8].Доведення. Застосуємо метод дробового

диференціювання. У формулі (3) виконаємо пе-ретворення:

− − −Γ− ×

Γ Γ Γ − ∫1

1 1

0

( )(1 )

( ) ( ) ( )b c bc

t ta b c b

∞τ

=

Γ + Γ + τ×

Γ + β∑0

( ) ( )( ) !

n n

n

a n c nz t dt

c n n.

Використавши значення дробової похідної

− λ + τ − λ −+ τ −

− λ

Γ − λ + τ=

Γ + τ

2 11(2 )

( )

b b nb n

b

d t b nt

b ndt

i дробове інтегрування частинами [11], матиме-мо

− −Γ− ×

Γ Γ Γ − ∫1

1

0

( )(1 )

( ) ( ) ( )c bc

ta b c b

∞

=

Γ + Γ + τ Γ + τ× ×

Γ + β Γ − λ + τ∑0

( ) ( ) ( )( ) (2 ) !

n

n

a n c n b nz

c n b n n

− λ + τ − λ −

− λ× =

2 1b b n

b

d tdt

dt

− λ

− −− λ

Γ= − ×

Γ − λ Γ − ∫1

1

0

( )(1 )

(2 ) ( )

bc b

b

c dt

b c b dt

2 1 ,3 2 ( , , ; 2 , ; )bt F a b c b c zt dt− λ − τ β τ× − λ =

− λ −Γ=

Γ − λ Γ − ∫1

2 1

0

( )(2 ) ( )

bct

b c bτ β τ− λ ×,

3 2 ( , , ; 2 , ; )F a b c b c zt

− λ− −

− λ× − 1(1 )

bc b

b

dt

dt.

Остаточно матимемо


− λ −ΓΓ − λ Γ − ∫

12 1

0

( )(2 ) ( )

bct

b c bτ β τ− λ ×,

3 2 ( , , ; 2 , ; )F a b c b c zt

0

( 1) (1 )! ( 1 )

r br

r

b c rt dt

r b r

∞− +λ

=

− − Γ −× =

Γ λ − + +∑

−Γ Γ λ − −=

Γ − Γ − λ

1( ) ( 1)( ) (2 )c bc b b

×

×1

1 ,3 2

0

( , , ; 2 , ; )bt F a b c b c zt− τ β τ− λ ×∫

× − + λ − +2 1( 1,1; 1; )F b c b t dt .

Асимптотичні розвинення (τ, β)-узагаль-неної гіпергеометричної функції

Досліджуватимемо асимптотичну поведін-ку (τ, β)-узагальненої гіпергеометричної функціїГаусса згідно з [4, 12].

Запишемо функцію τ β,2 1 ( )F z у вигляді ряду

τ β =,2 1 ( , ; ; )F a b c z

∞

=

ΓΓ Γ Γ +∑

0

( ) ( )( ) ( ) (1 )

n

n

c F n zb a n

,

де −= Γ + Γ + τ Γ + β 1( ) ( ) ( ) ( )F t a t b t c t і не має полю-

сів у точках = 0,1, 2, ...t

Результати, подані нижче, отримано за до-помогою відомої властивості гамма-функції [4]:

β + −

− −

=

Γ β + = +

∑

12

0

( )( ) ( )

atA

j Ajat

j

atta a t O t

e, (7)

де А – ціле додатне число, що не залежить відz; ≤ π − εargt і β + ≤ π − εarg( )ta ; коефіцієнти

aj залежать тільки від α, β i j. Із (7) випливаєтака теорема.

Теорема 2. Якщо + + τarg , arg( ), arg( )t a t b t ,

+ β ⊂ −π + ε π − εarg( ) [ , ]c t , томожнаобчислити зна-

чення р0, р1, р2, ..., такі, що виконується нерів-ність

τβ − τ

β

−τ

β − τ β

( )

( ) !t

F t

t

1

0 1( )

2

Aj

j

p

t a b c j

−

=

− < Γ β − τ − − + − +

∑

1( )

2t a b c A

λ<

Γ β − τ − − + − +

, (8)

де λ ≡ λ ε τ β( , , , , , , )a b c A , але не залежить від змін-

ної z. Зокрема, ( )− − −= πτ β − τ12

0 2b c a bp .

Далі використовуватимемо такі позначен-ня:

arg , arg( )u z v z= = − ,

β−ττβ−τ

β

τ = β − τ β

1/( )/( )( ) iuU z e ,

+π β−τ= ( )/( )1

i vU U e , −π β−τ= ( )/( )2

i vU U e . (9)

Для асимптотичного експоненціального роз-винення матимемо

1 12

0

( ) ( )Aa b c

s j As

j

E s s e p s O s−+ − + − −

=

= +

∑ . (10)

Запровадимо алгебричне розвинення. Ви-значимо його таким чином. Полюси функції F (t )містяться серед полюсів функції Γ + Γ + τ( ) ( )a t b t ,

тобто в точках

= − −t l a ,+

= −τ

l bt =( 0,1, 2, ...)l .

Якщо F (t ) має полюс порядку r в цих точ-ках, то запишемо

− +ω ( )l alrM , − + τω ( )/l b

lrM

і вираз для залишка в цій точці

π ω− = Γ − ω

π Γ +( )

( ) ( )sin (1 )

ttF t

t F tt t

.

Якщо точка не є полюсом функції F (t ), то по-кладемо Ml = 0. Якщо r > 0, Ml – поліном, щомістить у собі логарифмічні члени порядку r − 1,то Ml не залежить від lnω.

Нехай Q, Q1, Q2 – цілі числа, такі, що

+ < ≤ + +1 1Re Re 1Q a Q Q a ,

+ < τ ≤ + +2 2Re Re 1Q b Q Q b .

Тоді, якщо ω ≤ πarg , запишемо вираз для

асимптотичного розвинення:

1 2( )

( )

0 0

( )l bQ Q

l a Ql l

l l

M M O− +

− + − + δτ

= =

ω + ω + ω∑ ∑ .


Якщо функція F (t ) має скінченну кількістьполюсів, то Ml = 0, і, починаючи з деякого номе-

ра l, більшого за ,Q Q , можемо записати

( ) ( )/

0 0

( )Q Q

l a l bl l

l l

D M M− + − + τ

= =

ω = ω + ω∑ ∑ . (11)

Але D(ω) – скінченна сума. Тому для алгебрич-ного розвинення маємо

− + δω = ω + ω( ) ( ) ( )QH D O , (12)

де Q може бути як завгодно великим.Далі подамо ряд лем, які характеризують

асимптотичну поведінку τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z .

Лема 2. Якщо:

і) β − τ > 0 і ≤ π β − τ − ε1

min , 22

u , то

τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = ( )E U ;

ii) β − τ > 2 і ≤ πv , то

τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = +1 2( ) ( )E U E U ;

iii) β − τ = 2 і ≤ πv , то

τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = +1 2( ) ( )E U E U + −( )H z ,

де U, U1, U2, E, H – ті самі позначення, що й уформулах (9), (10), (12).

Лема 3. Якщо < β − τ <0 2 і якщо

1) ≤ π − β + τ − ε1

(2 )2

v , то

τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = −( )H z ;

2) 3min , ( )

2u ≤ π π β − τ − ε , ≤ πv , то

τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = ( )E U + −( )H z .

Лема 4. Якщо функція F (t ) має скінченнукількість полюсів або не має їх зовсім, то для β −

1− τ ≥ і ≤ πv , ≤ πu виконується розвинення:

і) τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = +1 2( ) ( )E U E U + −( )D z , (1<

< β − τ < 2);

ii) τ β,2 1 ( , ; ; )F a b c z = + −( ) ( )E U D z , β − τ =( 1),

де D визначається формулою (11).

Застосування (τ, β)-узагальненої гіпергео-метричної функції Гаусса в теорії дробово-го інтегро-диференціювання

Лема 5. При умовах α > η >Re 0, Re 0 спра-ведливі формули

+ τ βη α =,, 2 1( )( )I F x

Γ η +=

Γ α + η +( 1)

( 1)τ β η + α + η +,

3 2 ( , , 1; , 1; )F a b c x ,

− τ βη α =,, 2 1( )( )K F x

Γ η=

Γ α + η( )

( ),

3 2 ( , ,1 ; ,1 ; )F a b c xτ β −α −η −η ,

де τ β,3 2F – узагальнена гіпергеометрична функ-

ція, а узагальнені оператори Ердеї–Кобера ма-ють такий вигляд [11]:

+η α =,( )( )I f x

−α−ηα − η−

Γ α ∫ 1

0

( ) ( )( )

xxx t t f t dt, (13)

−η α =,( )( )K f x

∞ηα − −η− α−

Γ α ∫ 1( ) ( )( )

x

xt x t f t dt . (14)

Доведення. Розглянемо дію оператора (13)на ,

2 1F τ β:+ τ βη α =,, 2 1( )( )I F x

= 1 ,2 1

0

( ) ( , ; ; )( )

xxx t t F a b c t dt

−α−ηα − η τ β− =

Γ α ∫−α−η

α − η Γ= − ×

Γ α Γ Γ∫ 1

0

( )( )

( ) ( ) ( )

xx cx t t

b a

∞

=

Γ + Γ + τ× =

Γ + β∑0

( ) ( )( ) !

n

n

a n b n tdt

c n n

−α−η Γ=

Γ α Γ Γ( )

( ) ( ) ( )x c

b a×

× 1

0 0

( ) ( )( )

( ) !

xn

n

a n b nx t t dt

c n n

∞α − η +

=

Γ + Γ + τ−

Γ + β∑ ∫ .

Далі виконaємо заміну =y

tx

i обчислимо інтег-

рал. Остаточно матимемо


ΓΓ Γ

( )( ) ( )

cb a

∞

=

Γ + Γ + τ Γ η + +=

Γ + β Γ α + η + +∑0

( ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 ) !

n

n

a n b n n xc n n n

Γ η +=

Γ α + η +( 1)

( 1)τ β η + α + η +,

3 2 ( , , 1; , 1; )F a b c x .

Друге твердження доводиться аналогічно за до-помогою дії оператора (14) на τ β,

2 1 ( )F z .

Лема 6. Нехай α γ ⊂ , C , > γ >Re 0, Re 0a ,

∈ ω >, 0s C . Тоді маємо

α γ −+

10(I t τ β ω =,

2 1 ( , ; ; ))( )F a b c rt x

Γ γ=

Γ α + γ( )

( )α + γ −1x τ β ω ωγ α + γ, ,

3 2 ( , , ; , ; )F a b c rx ,

де α+0I – оператор Рімана–Ліувілля [11]:

α+ =0( )( )I f x − αΓ α −∫ 1

0

1 ( )( ) ( )

x f tdt

x t>( 0)x ;

τ β ω, ,3 2F – функція типу Райта.

Доведення. Використовуючи зображенняτ β,

2 1 ( )F z рядом і діючи оператором α+0I , маємо

α γ −+

10(I t τ β ω =,

2 1 ( , ; ; ))( )F a b c rt x

Γ= ×

Γ α Γ Γ∫0

1 ( )( ) ( ) ( )

x cb a

×ω∞

γ −− α

=

Γ + Γ + τ=

Γ + β −∑ 1

10

( ) ( )

( ) !( )

n n

n

a n b n r tt dt

c n n x t

Γ=

Γ α Γ Γ1 ( )( ) ( ) ( )

cb a

∞

=

Γ + Γ + τ×

Γ + β∑0

( ) ( )( ) !

n

n

a n b n rc n n

α + γ + ω− α − γ + ω−× − =∫1

1 1 1

0

(1 )n nx y y dy

Γ=

Γ Γ( )

( ) ( )c

b a×

×∞

α + γ − ω

=

Γ + Γ + τ Γ γ + ω=

Γ + β Γ α + γ + ω∑ 1

0

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) !n

n

a n b n nx x r

c n n n

Γ γ=

Γ α + γ( )

( )α + γ −1x τ β ω ωγ α + γ, ,

3 2 ( , , ; , ; )F a b c r x .

Лема 7. Нехай α γ ⊂ , C , > γ >Re 0, Re 0a ,

∈ ω >, 0s C . Tоді

α −γ τ β− ω

=

,0 2 1 , ; ; ( )

rI t F a b c x

t

Γ γ − α=

Γ γ( )

( )α − γx τ β ω

ω γ − α γ

, ,3 2 , , ; , ;

rF a b c

x,

де α−0I – оператор Рімана–Ліувілля [11]:

α− =0( )( )I f x

∞

− αΓ α −∫ 1

1 ( )( ) ( )x

f tdt

t x>( 0)x .

Доведення аналогічне доведенню леми 6.

Висновки

Використання методу Райта дало змогу отри-мати асимптотичні розвинення для (τ, β)-уза-гальненої гіпергеометричної функції Гаусса увсій комплексній площині. Знайдені нові влас-тивості відкривають перспективи для широкогозастосування функції τ β,

2 1 ( ; ; ; )F a b c z в теорії дро-

бового інтегро-диференціювання.

Е.В. Овчаренко

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И НОВЫЕПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГИПЕРГЕОМЕТ-РИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ГАУССА

Рассмотрено (τ, β)-обобщение функций гипергео-метрического типа по Райту. Получены асимптоти-ческие разложения, новые свойства и примене-ния этих функций в теории дробного интегро-диф-ференцирования.

O.V. Ovcharenko

THE ASYMPTOTIC EXPANSIONS AND NEW AP-PLICATION OF THE GENERALIZED HYPERGEO-METRIC GAUSSIAN FUNCTIONS

We consider the (τ, β)-generalization (according toWright) of the functions of hypergeometric type. Wealso obtain the asymptotic expansions, describe newproperties and consider application of these functi-ons in the theory of fractional integration and differen-tiation.


1. Virchenko N., Kalla S.L., al-Zamel A. Some results on a

generalized hypergeometric function // Integr. and speci-al Functions. – 2001. – 12, N 1. – P. 89–100.

2. Virchenko N.O., Rumiantseva O.V. On the generalized as-

sociated Legendre functions // J. Fractional Calculus andAppl. Analysis. – 2008. – 11, N 2. – P. 175–185.

3. Virchenko N. Оn some generalizations of the functions ofhypergeometric type // Ibid. – 1999. – 2, N 3. – P.233–

244.

4. Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalizedhypergeometric function // J. London Math. Soc. – 1935. –10. – P. 287–293.

5. Вірченко Н.О., Рум’янцева О.В. Про (τ, β)-узагальнену гі-

пергеометричну функцію Гаусса та її застосування //Доп. НАН України. – 2008. – 4. – С. 12–19.

6. Barnes E.W. The asymptotic expansion of integral functi-

ons defined by generalized hypergeometric series // Proc.London Math. Soc. – 1907. – 5. – P. 59–116.

7. Watson G.N. A class of integral functions defined by Ta-ylor’s series // Trans. Camb. Soc. – 1913. – 22. – P. 15–

37.

8. Fox C. The asymptotic expansion of integral functions de-

fined by generalized hypergeometric functions // Proc. Lon-don Math. Soc. – 1928. – 27. – P. 389–400.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм,рядов и произведений. – М.: Наука, 1951. – 464 с.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функ-ции. Т. 1. – М.: Наука, 1965. – 296 c.

11. Вірченко Н.О., Рибак В.Я. Основи дробового інтегро-диференціювання. Навч. пос. – К.: ТОВ “Задруга”,

2007. – 364 с.

12. Wright E.M. On the coefficient of power having exponenti-al singularities // J. London Math. Soc. – 1933. – 8. –P. 71–79.



155

РЕФЕРАТИ

УДК 336.767:330.322

Розвиток фондового ринку України як складової наці-ональної інвестиційної політики / Дергачова В.В. // На-укові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 5–13.

Розглянуто альтернативні джерела фінансування відтво-рювальних процесів у реальному секторі національноїекономіки, виявлено економічні та історичні передумовизнецінення ресурсної бази національної економіки, до-сліджено сучасний стан державної амортизаційної полі-тики як економічного ресурсу розвитку фондового ринкуУкраїни, розглянуто проблеми та перспективи розвиткуринку цінних паперів як складової національної інвести-ційної політики.

Іл. 1. Табл. 1. Бібліогр.: 16 назв.

УДК 621.383

Оптичні і пасивувальні властивості нітриду кремнію / Мари-ненко О.А. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. –С. 14–19.

Розглянуто фізико-технологічні процеси підвищення ефек-тивності перетворення фотоелектричних перетворювачів наоснові монокристалічного і мультикристалічного кремнію.Досліджено оптичні і пасивувальні властивості плівок ніт-риду кремнію, отриманих плазмохімічним осадженням.

Іл. 6. Бібліогр.: 20 назв.

УДК 51-74

Стратегічне планування функціональності ERP/MRP-системіз врахуванням множинних заміщень / Гриша С.М., Іот-ко О.А. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С.20–24.

Розглядається розширена задача стратегічного плануванняфункціональності ERP-систем з відношенням заміщення, за-даним на дугах графа. Для розв’язання задачі запропонова-но використовувати гібридний алгоритм, що складається зполіноміальної та експоненційної частин. Алгоритм розв’я-зує поліноміальну складову задачі методом редукції до за-дачі про максимальний потік на мережі, а експоненційну –за допомогою оригінального генетичного алгоритму. Наво-дяться результати обчислювального алгоритму.

Табл. 1. Бібліогр.: 6 назв.

УДК 519.85

Побудова математичної моделі однієї комбінаторної задачі упа-кування прямокутників з нечіткими розмірами / Ємець О.О.,Ємець Ол-ра О. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 25–33.

Визначено розміщення прямокутників з нечіткими розмі-рами у смузі: дотик, перетин, неперетин, а також розмі-щення прямокутників з нечіткими розмірами у смузі нечіт-кого розміру: попадання в смугу, дотик, перетин, непере-тин. Побудовано нову математичну модель однієї задачіупакування прямокутників у вигляді задачі комбінаторноїоптимізації на множині нечітких переставлень.


УДК 004.75

Системна інженерія проектів інформатизації організаційнихсистем / Маслянко П.П., Майстренко О.С. // Наукові віс-ті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 34–42.

Системна інженерія проектів інформатизації організаційнихсистем охоплює всі етапи життєвого циклу інформаційно-ко-мунікаційних систем. Ітеративно-інкрементний процес роз-робки, відповідно до міжнародниx стандартiв, на всіх фазахі ітераціях забезпечує виділення множини сутностей необхід-них і достатніх для реалізації проекту інформатизації Орг.С,розробку бізнес-моделі Орг.С та розробку проекту інфор-маційно-комунікаційної системи для реалізації та досягнен-ня мети проекту інформатизації Орг.С. Процес бізнес-моде-лювання реалізується за допомогою бізнес-профіля, який ви-окремлює системні сутності та відношення між ними.


УДК 581.52

Динамічні i часові характеристики процесу співіснування /Повещенко Г.П. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 43–50.

В наш час існує нагальна загальноцивілізаційна проблемастворення системної інформації типу “як співіснувати”. На-ведені динамічні i часові характеристики розглядаються якпевна спроба створення такої системної інформації пропроцес співіснування видів.


УДК 661.74:669.14.046.554

Механічні властивості сплаву ВАЛ11 при різних режимахтемпературно-часової обробки / Кулініч А.А. // Наукові віс-ті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 51–54.

Досліджено вплив температурно-часових параметрів оброб-ки розплаву i швидкості охолодження при кристалізації наструктуру та рівень механічних властивостей сплавуВАЛ11. Встановленo оптимальні технологічні параметриобробки досліджуваного сплаву, які дозволяють підвищитирівень його характеристик міцності до 20%, а пластичність –у три рази.


УДК 531+534

Узагальнення варіаційної задачі про брахістохрону у випад-ку кочення однорідного циліндра / Легеза В.П. // Науковівісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 55–59.

Рух важкого однорідного циліндра розглядається як ко-чення вздовж шуканої кривої без ковзання. Знайденофункціонал у вигляді сумарного часу кочення циліндра ірозв’язано відповідну варіаційну задачу з мінімізації цьо-го функціонала. У параметричному вигляді визначено ал-гебричне рівняння напрямної лінії найшвидшого спускуциліндра.



УДК [678.027+678.029]002.8.001.53

Модельні дослідження процесів переробки термопластич-них матеріалів із застосуванням вторинної сировини / Ма-газій П.М., Мікульонок І.О., Ружинська Л.І. // Наукові вістіНТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 60–67.

Розглянуто експериментальні дослідження процесу пере-робки вторинних наповнених термопластів у листові мате-ріали на екструзійно-валковому обладнанні. Наведено ре-зультати вимірювань енергосилових параметрів процесіводержання, калібрування та охолодження листових матері-алів, які задовільно узгоджуються з результатами теоретич-них досліджень. Зроблено рекомендації щодо ведення тех-нологічного процесу одержання целюлозовмісних вторин-них поліолефінів.


УДК 539.4: 620.17

Числовий перерахунок динамічних напружень з фотопруж-них ортотропних моделей на натурне тіло / Малежик М.П. //Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 68–73.

Пропонується спосіб перерахунку динамічних напружень зфотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах ме-ханіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проводитьсяперерахунок напружень з моделі на натурне тіло в задачі, щомає теоретичний розв’язок.


УДК 66.02.011

Дискретні математичні моделі для розрахунку пружно-в’язкопластичних середовищ із змінною стисливістю притермосилових навантаженнях / Сахаров О.С., Сівецький В.І.,Сокольський О.Л. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 74–82.

На базі моментної схеми скінченних елементів побудова-но універсальні співвідношення механіки суцільних сере-довищ, які дають можливість моделювати термонапруже-ний стан та процеси переробки і формування таких нелі-нійних робочих середовищ, як розплави полімерів, сипу-чі та пластичні маси у вироби із врахуванням процесівтверднення і впливу залишкових напружень на власти-вості кінцевих виробів.

Iл. 6. Бібліогр.: 8 назв.

УДК 621.785

Азототитанування сталей і твердих сплавів / Хижняк В.Г.,Курило Н.А., Летвицька І.В., Сердитов О.Т. // Наукові віс-ті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 83–88.

Вивчено фазовий склад, будову, мікротвердість, товщину ізносостійкість захисних карбонітридних покриттів за учас-тю азоту, вуглецю і титану на сталях та твердих сплавах.Показано, що на поверхні сталей і твердих сплавів утворю-ється двошарове покриття нітрид титану–карбід титану. Зно-состійкість сталі У8А з карбонітридними покриттями зрос-ла порівняно з вихідною в три-чотири рази.


УДК 681.3+615.89

Оптимізація магнітної системи стабілізації мікросупут-ника за змішаним H2/H∞-критерієм / Мелащенко О.М., Риж-ков Л.М. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. –С. 89–93.

Розглядається побудова магнітної системи стабілізації мік-росупутника. Оцінюється і порівнюється ефективність регу-ляторів з використанням різних критеріїв якості.


УДК 528.7:629.78

Методи, засоби та метрологічне забезпечення калібрування ета-лонних випромінювачів / Міхеєнко Л.А., Микитенко В.І. //Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 94–99.

Розглянуто методи та засоби калібрування випромінювачівдля прецизійного фотометричного обладнання. Розробленоінженерні методики та рекомендації щодо вибору основнихелементів.


УДК 579.8:582.284

Закономірності росту перспективних об’єктів біотехноло-гії – базидіоміцетів роду Coriolus у поверхневій культурі /Клечак І.Р., Бісько Н.А., Поєдинок Н.Л., Антоненко Л.О. //Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 100–107.

Проведено дослідження впливу складу поживного середови-ща на культурально-морфологічні характеристики та швид-кість росту вегетативного міцелію 31 штаму грибів Coriolus.Показано, що швидкість росту залежала як від складу по-живного середовища, так і від штамових особливостей куль-тур. Встановлено оптимальні для культивування грибів родуCoriolus агаризовані середовища: картопляно-глюкозне, син-тетичний Норкранс та сусло-агар з відваром дубової кори.


УДК 6.61.632.658.691.43

Лужне вилучення міді з гальванічних шламів / Астрелін І.М.,Синюшкін О.М., Іванюк О.В. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. –2008. – 6. – С. 108–113.

Теоретично визначено можливість хімічного вилучення мідіз гальванічних шламів, експериментально досліджено про-цеси вилучення міді розчинами аміаку з модельних сумі-шей i реальних гальванічних шламів та процес електроекс-тракції міді з розчинів вилуговування. Визначено техно-логічні умови вилучення міді з відходів гальванічних ви-робництв. Запропоновано принципову технологічну схемупереробки мідьвмісних гальванічних шламів з розрахун-ком матеріального балансу.


УДК 544.636

Моделювання і розрахунок робочих параметрів суперкон-денсатора / Ізотов В.Ю., Громадський Д.Г., Малєтін Ю.А. //Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 114–118.

Стаття присвячена вивченню впливу внутрішньої релакса-ції заряду на зміну основних характеристик суперконденса-тора в часі. Запропоновано теоретичну модель, що описує

РЕФЕРАТИ 157

стан суперконденсатора залежно від режиму і тривалості екс-плуатації. У рамках запропонованої моделі показано, що приекспериментальному визначенні параметрів суперконден-сатора необхідно враховувати зміни, пов’язані з процесамивнутрішньої релаксації заряду.


УДК 620.197.3

Вплив оксоаніонів на анодну і хімічну пасивацію сталі в сла-бомінералізованій воді / Фроленкова С.В., Донченко М.І. //Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 119–126.

Досліджено вплив оксоаніонів ( −24CrO , −2

4WO , −24MoO , 3VO− ,

−4MnO , −

3BrO , −3IO ) на анодну поведінку маловуглецевої сталі

в слабомінералізованій воді. Показано, що найбільш ефек-тивними пасиваторами є бромати і йодати, а молібдати зу-мовлюють високу стабільність анодних пасивних плівок. За-пропоновано композиції добавок, які забезпечують само-вільну пасивацію сталі і можуть використовуватись як інгі-бітори корозії в замкнених системах водного охолодження.


УДК 519.21

Точний порядок росту розв’язків стохастичних диференці-альних рівнянь / Булдигін В.В., Тимошенко О.А. // Науко-ві вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 127–132.

Досліджується поведінка розв’язків стохастичних диференці-альних рівнянь із коефіцієнтом зсуву та дифузії, які зале-жать від часу: η = η ϕ + σ η θ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )d t g t t dt t t dw t , (0) bη ≡ .

Знайдено умови на функції g, ϕ, σ, θ, при яких точний по-рядок росту розв’язку η збігається з розв’язком µ диферен-ціального рівняння µ = µ ϕ( ) ( ( )) ( )d t g t t dt , µ ≡(0) b.

Бібліогр.: 7 назв.

УДК 517.581

Узагальнені інтегральні перетворення i їх застосування / Вір-ченко Н.О., Заїкіна С.М. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. –2008. – 6. – С. 133–137.

Запроваджено нові узагальнення інтегральних перетво-рень – Лапласа, Стілтьєса, потенціалу, експоненціально

го типу. Доведено рівності Парсеваля–Гольдштейна, на-ведено ілюстративні приклади.


УДК 517.9

Достатні умови стійкості відносно збурень області одногокласу задач оптимального керування / Капустян В.О., Ко-гут О.П. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С.138–143.

Розглянуто клас задач оптимального керування в коефіці-єнтах для нелінійного еліптичного рівняння з умовами Ді-ріхле на границі з узагальнено-соленоїдальними керуван-нями. Визначено поняття стійкості задачі оптимального ке-рування відносно збурень області. Знайдено достатні умовина збурення області, за яких стійкість розглянутої задачі маємісце.


УДК 517.9

Періодичні розв’язки для класу диференціально-оператор-них включень з відображеннями типу Sk / Касьянов П.О. //Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 144–148.

Розглянуто клас еволюційних включень з відображеннямитипу Sk. Методом Фаедо–Гальоркіна доведено існуванняперіодичних розв’язків. Наведено простий приклад, якийдемонструє одержані узагальнення.


УДК 517.581

Асимптотичні розвинення і нові застосування узагальненоїгіпергеометричної функції Гаусса / Овчаренко О.В. // Нау-кові вісті НТУУ “КПІ”. – 2008. – 6. – С. 149–154.

Розглянуто (τ, β)-узагальнення функцій гіпергеометричноготипу за Райтом. Отримано асимптотичні розвинення, новівластивості та застосування цих функцій у теорії дробовогоінтегро-диференціювання.


158

АВТОРИ НОМЕРА

Антоненко Лариса Олександрівна,аспірантка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Астрелін Ігор Михайлович,доктор технічних наук, професор, професор, декан,завідувач кафедри Національного технічного універ-ситету України “Київський політехнічний інститут”.

Бісько Ніна Анатоліївна,доктор біологічних наук, старший науковий співробіт-ник, провідний науковий співробітник Інституту бо-таніки ім. М.Г. Холодного НАН України.

Булдигін Валерій Володимирович,доктор фізико-математичних наук, професор, завіду-вач кафедри Національного технічного університетуУкраїни “Київський політехнічний інститут”.

Вірченко Ніна Опанасівна,доктор фізико-математичних наук, професор, профе-сор Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”.

Гриша Сергій Миколайович,заслужений діяч науки і техніки України, доктор тех-нічних наук, професор Національного технічного уні-верситету України “Київський політехнічний інсти-тут”.

Громадський Денис Геннадійович,аспірант Національного технічного університету Укра-їни “Київський політехнічний інститут”.

Дергачова Вікторія Вікторівна,доктор економічних наук, доцент, професор Наці-онального технічного університету України “Київ-ський політехнічний інститут”.

Донченко Маргарита Іванівна,доктор технічних наук, старший науковий співробіт-ник Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”.

Ємець Олег Олексійович,доктор фізико-математичних наук, професор, завіду-вач кафедри Полтавського університету споживчої ко-операції України.

Ємець Олександра Олегівна,аспірантка Полтавського університету споживчої ко-операції України.

Заїкіна Світлана Михайлівна,асистент Волгоградського державного університету.

Іванюк Олена Володимирівна,кандидат технічних наук, асистент Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Ізотов Володимир Юрійович,кандидат хімічних наук, завідувач лабораторії Націо-нального технічного університету України “Київськийполітехнічний інститут”.

Іотко Олександр Анатолійович,аспірант Національного технічного університету Укра-їни “Київський політехнічний інститут”.

Капустян Володимир Омелянович,доктор фізико-математичних наук, професор, завіду-вач кафедри Національного технічного університетуУкраїни “Київський політехнічний інститут”.

Касьянов Павло Олегович,кандидат фізико-математичних наук, докторант Наці-онального технічного університету України “Київсь-кий політехнічний інститут”.

Клечак Інна Рішардівна,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національ-ного технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Когут Ольга Петрівна,аспірантка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Кулініч Андрій Альбертович,кандидат технічних наук, старший викладач Націо-нального технічного університету України “Київсь-кий політехнічний інститут”.

Курило Надія Анатоліївна,аспірантка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Легеза Віктор Петрович,доктор технічних наук, професор, професор Наці-онального аграрного університету України.

Летвицька Ірина Василівна,студентка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Магазій Петро Миколайович,старший викладач Національного технічного універ-ситету України “Київський політехнічний інститут”.

Майстренко Олександр Сергійович,магістр Національного технічного університету Укра-їни “Київський політехнічний інститут”.

Малежик Михайло Павлович,доктор фізико-математичних наук, доцент, професорНаціонального педагогічного університету ім. М.П. Дра-гоманова.

Малєтін Юрій Андрійович,доктор хімічних наук, професор, завідувач кафедриНаціонального технічного університету України “Ки-ївський політехнічний інститут”.

АВТОРИ НОМЕРА 159

Мариненко Олександр Анатолійович,аспірант Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Маслянко Павло Павлович,кандидат технічних наук, доцент, заступник деканаз наукової роботи факультету прикладної математи-ки Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”.

Мелащенко Олег Миколайович,кандидат технічних наук, асистент Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Микитенко Володимир Іванович,кандидат технічних наук, доцент, старший науковийспівробітник НДЛ “Промінь” Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Мікульонок Ігор Олегович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національ-ного технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Міхеєнко Леонід Андрійович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національно-го технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Овчаренко Олена Валеріївна,аспірантка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Повещенко Геннадій Павлович,кандидат технічних наук, старший науковий співробіт-ник Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”.

Поєдинок Наталія Леонідівна,кандидат біологічних наук, старший науковий співро-бітник, старший науковий співробітник Інституту бо-таніки ім. М.Г. Холодного НАН України.

Рижков Лев Михайлович,доктор технічних наук, професор, професор Національ-ного технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Ружинська Людмила Іванівна,кандидат технічних наук, доцент, професор Національ-ного технічного університету України “Київський полі-технічний інститут”.

Сахаров Олександр Сергійович,доктор технічних наук, професор, професор Націо-нального технічного університету України “Київ-ський політехнічний інститут”.

Сердитов Олександр Тимофійович,кандидат технічних наук, доцент Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Синюшкін Олександр Миколайович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національно-го технічного університету України “Київський полі-технічний інститут”.

Сівецький Володимир Іванович,кандидат технічних наук, професор, професор Націо-нального технічного університету України “Київськийполітехнічний інститут”.

Сокольський Олександр Леонідович,кандидат технічних наук, доцент Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Тимошенко Олена Анатоліївна,аспірантка, асистент Національного технічного уні-верситету України “Київський політехнічний інсти-тут”.

Фроленкова Світлана Василівна,аспірантка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Хижняк Віктор Гаврилович,доктор технічних наук, професор Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Національного технічного університету України"Київський політехнічний інститут"

Науково–технічний журнал

6(62) 2008Започаткований у вересні 1997 року

Редакційна колегія:

Головний редакторМ.З. Згуровський

Заступник головногоредактораМ.Ю. Ільченко

ВідповідальнийсекретарП.П. Маслянко

Члени редколегії –координаторинаукових напрямків

С.Г. Бунін,М.І. БобирВ.Ю. ГорчаковІ.А. Дичка,О.В. ЗбруцькийБ.В. НовіковО.М. НовіковЄ.М. ПисьменнийА.В. ПраховникД.Ф. ЧернегаО.Г. ЮрченкоЮ.І. Якименко

Редакційна рада

Адреса редакції:03056, Київ-56,проспект Перемоги, 37,Національний технічнийуніверситет України"Київський політехнічнийінститут",Тел. 454-91-23

У номері:Економіка та організаціявиробництва

Електроніка, радіотехніка тазасоби телекомунікацій

Інформаційні технології,системний аналіз та керування

Матеріалознавствота машинобудування

Приладобудування та інформа-ційно-вимірювальна техніка

Проблеми біотехнології

Проблеми хімії та хімічноїтехнології

Теоретичні та прикладніпроблеми фізико-математичних наук

© Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, 2008

Засновник – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

Свідоцтво про державну реєстрацію журналу – серія КВ 2863, видане 26 вересня 1997 року

Рекомендовано Вченою Радою Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”, протокол 12 від 8.12.08 р.

Члени редакційної ради(за галузями науки)

Фізико-математичні науки

Математика Фізика МеханікаІнформатикаі кібернетика

В.В. Булдигін В.Г. Бар’яхтар А.Е. Бабаєв Ю.М. Данілін

Н.О. Вірченко Ю.І. Горобець С.О. Довгий О.С. Макаренко

А.А. Дороговцев В.М. Локтєв Я.Ф. Каюк Н.Д. Панкратова

M.M. Кухарчук С.І. Сидоренко В.В. Матвєєв В.В. Остапенко

А.М. Самойленко А.П. Шпак Ю.М. Шевченко В.М. Панін

Хімічні науки Біологічні науки Технічні науки Економічні наукиО.О. Андрійко Л.Б. Бондаренко В.І. Губар Є.А. Мачуський О.Ф. Балацький

I.М. Астрелін П.І. Гвоздяк В.С. Коваленко О.А. Павлов В.Г. Герасимчук

А.К. Дорош О.М. Дуган В.І. Костюк М.Г. Попович Є.В. Крикавський

Ю.А. Малетін Л.А. Лившиць Ю.Ю. Лукач В.М. Прохоренко М.П. Панченко

А.А. Фокін С.С. Малюта Г.М. Любчик Н.С. Равська Г.К. Яловий

В.С. Підгорський В.О. РумбештаЮ.М. Сиволап В.І. Сенько

С.С. Ставська В.П. Тарасенко

Секретар редакції Л.Д. Калько

Редактор Т.С. Мельник

Графічний дизайн Б.В. ВалуєнкаКомп’ютерна верстка О.С. Фрадінa, O.M. НестеренкоКоректор Я.В. Мельник

Підписано до друку 31.12.2008. Формат 60×84 1/8. Папір офс. Гарнітура Times.Спосіб друку – ризографія. Ум. др. арк. 18,60. Обл.-вид. арк. 31,68. Зам. . Наклад 200 прим.

НТУУ “КПІ” ВПІ ВПК “Політехніка”. 03056, Київ, вул. Політехнічна, 14, корп. 15.Тел./факс (044) 241-68-78

З М І С ТЕкономіка та організація виробництваДергачова В.В. Розвиток фондового ринку Укра-їни як складової національної інвестиційної полі-тики ......................................................................... 5

Електроніка, радіотехніка та засоби теле-комунікаційМариненко О.А. Оптичні і пасивувальні властивос-ті нітриду кремнію .................................................. 14

Інформаційні технології, системний аналізта керування

Гриша С.М., Іотко О.А. Стратегічне плануванняфункціональності ERP/MRP-систем із врахуван-ням множинних заміщень ...................................... 20

Ємець О.О., Ємець Ол-ра О. Побудова математич-ної моделі однієї комбінаторної задачі упакуванняпрямокутників з нечіткими розмірами .................. 25

Маслянко П.П., Майстренко О.С. Системна інже-нерія проектів інформатизації організаційних сис-тем ........................................................................... 34

Повещенко Г.П. Динамічні i часові характеристикипроцесу співіснування ............................................ 43

Матеріалознавство та машинобудування

Кулініч А.А. Механічні властивості сплаву ВАЛ11при різних режимах температурно-часової оброб-ки ............................................................................. 51

Легеза В.П. Узагальнення варіаційної задачі про бра-хістохрону у випадку кочення однорідного цилінд-ра ............................................................................. 55

Магазій П.М., Мікульонок І.О., Ружинська Л.І. Мо-дельні дослідження процесів переробки термоплас-тичних матеріалів із застосуванням вторинної си-ровини ..................................................................... 60

Малежик М.П. Числовий перерахунок динамічнихнапружень з фотопружних ортотропних моделей нанатурне тіло ............................................................. 68

Сахаров О.С., Сівецький В.І., Сокольський О.Л. Диск-ретні математичні моделі для розрахунку пружно-в’язкопластичних середовищ із змінною стисливіс-тю при термосилових навантаженнях .................... 74

Хижняк В.Г., Курило Н.А., Летвицька І.В., Серди-тов О.Т. Азототитанування сталей і твердих спла-вів ............................................................................ 83

Приладобудування та інформаційно-вимірю-вальна техніка

Мелащенко О.М., Рижков Л.М. Оптимізація магніт-ної системи стабілізації мікросупутника за змішанимH2/H∞-критерієм ...................................................... 89

Міхеєнко Л.А., Микитенко В.І. Методи, засоби та мет-рологічне забезпечення калібрування еталонних ви-промінювачів ........................................................... 94

Проблеми біотехнологіїКлечак І.Р., Бісько Н.А., Поєдинок Н.Л., АнтоненкоЛ.О. Закономірності росту перспективних об’єктівбіотехнології – базидіоміцетів роду Coriolus у по-верхневій культурі ................................................... 100

Проблеми хімії та хімічної технологіїАстрелін І.М., Синюшкін О.М., Іванюк О.В. Лужневилучення міді з гальванічних шламів ................... 108

Ізотов В.Ю., Громадський Д.Г., Малєтін Ю.А. Мо-делювання і розрахунок робочих параметрів супер-конденсатора ........................................................... 114

Фроленкова С.В., Донченко М.І. Вплив оксоаніонівна анодну і хімічну пасивацію сталі в слабомінера-лізованій воді .......................................................... 119

Теоретичні та прикладні проблеми фізико-математичних наукБулдигін В.В., Тимошенко О.А. Точний порядок рос-ту розв’язків стохастичних диференціальних рів-нянь ......................................................................... 127

Вірченко Н.О., Заїкіна С.М. Узагальнені інтегральніперетворення і їх застосування ............................... 133

Капустян В.О., Когут О.П. Достатні умови стійкос-ті відносно збурень області одного класу задач опти-мального керування ................................................ 138

Касьянов П.О. Періодичні розв’язки для класу ди-ференціально-операторних включень з відображен-нями типу Sk ........................................................... 144

Овчаренко О.В. Асимптотичні розвинення і новізастосування узагальненої гіпергеометричної функ-ції Гаусса ................................................................. 149

Реферати ................................................................. 155

Автори номера ........................................................ 158

C O N T E N T S

Economy and organization of production

Dergachova V.V. The development of the ukrainian stockmarket as a part of the national investment policy ....... 5

Electronics, radio engineering and telecom-munications

Marinenko O.A. The optical and passivating propertiesof silicon nitride ........................................................ 14

Information technology, system analysis andguidance

Grysha S.M., Gnatenko N.S. The strategic planning ofERP/MRP-systems functionality with regard to pluralsubstitutions .............................................................. 20

Yemets′ Oleg O., Yemets′ Oleksandra O. The construc-tion of the mathematical model of the one combinato-rial problem of rectangles packing with fuzzy sizes ....... 25

Maslyanko P.Р., Maystrenko O.S. The system engineeringof organizational system informatization projects ......... 34

Poveshchenko G.P. The dynamic and temporal descrip-tions of the coexistence process ................................... 43

Materials science and machine building

Kylinich А.A. The mechanical properties of alloy VAL-11at various treatment modes ........................................ 51

Legeza V.P. The generalization of variation problemon brahistochrone in the case of rolling homogeneouscylinder ..................................................................... 55

Magaziy P.M., Mikulionok I.O., Ruzhinska L.I. The mo-deling research of thermoplastic materials processing usingsecondary raw material .............................................. 60

Malezhyk M.P. The numerical recalculation of dyna-mic stress with photoelastic ortotropic models on a natu-ral body .................................................................... 68

Saharov О.S., Sivetskiy V.I., Sokolskiy О.L. The disc-rete mathematical models for calculation of elastic-vis-cid-plastic environments with variable compressibilityat thermopower loadings ............................................ 74

Khizhniak V.G., Kurilo N.A., Letvitska І.V., Serditov О.T.Nitrogentitaning of steels and firm alloys ................... 83

Instrument manufacturing and informationmeasuring technologyMelaschenko O.M., Ryzhkov L.M. The optimizationof microsatellite magnetic stabilizing system on the mi-xed Н2/Н∞-criterion .................................................. 89

Mikheenko L.A., Mykytenko V.I. The approaches, meansand metrological assurance of calibration of the stan-dard radiators ............................................................ 94

Problems of biotechnologiesKlechak I.R., Bisko N.A., Poyedinok N.L., AntonenkoL.O. The growth mechanisms of the promising researchsubjects of biotechnology – basidiomycetes mushroomsof the genus Coriolus on agar mediums ...................... 100

Problems of chemistry and chemical engine-eringAstrelin I.M., Sinyushkin O.M., Ivanyuk O.V. The alka-line extraction of copper from galvanic dross ............. 108

Izotov V.Yu., Gromadskyi D.G., Maletin Yu.A. The mo-deling and calculation of performance parameters of ul-tracapacitor ............................................................... 114

Frolenkova S.V., Donchenko M.I. The influence of theoxyanions on anodic and chemical steel passivation inpoorly mineralized water ........................................... 119

Theoretical and applied problems of physico-mathematical sciences

Buldygin V.V., Tymoshenko O.A. The asymptotic beha-viour of the solutions of stochastic differential equati-ons ........................................................................... 127

Virchenko N.O., Zaikina S.M. The generalized integraltransformations and their application ......................... 133

Kapustyan V.O., Kogut O.P. The sufficient conditionsof the shape stability for perturbation of the one class ofoptimal control problems .......................................... 138

Kasyanov P.O. The periodic solutions for a class of dif-ferential-operator inclusions with Sk type maps .......... 144

Ovcharenko O.V. The asymptotic expansions and newapplication of the generalized hypergeometric Gaussi-an functions .............................................................. 149

Reports ..................................................................... 155

Contributors to the issue ........................................... 158

Науково технічний журнал № 6(62) 2008contents economy and organization of...

Documents