Fisica Teorica per Filosofia AA 2017-18

Pieralberto Marchetti

L’evoluzione dei concetti di spazio e tempo in Fisica

Questioni filosofiche su spazio e tempo…

• Lo spazio e il tempo sono assoluti (esistono indipendentemente sia dalla materia sia dagli osservatori-Newton-assolutismo) ?

• Lo spazio e il tempo esistono solo come relazioni tra gli oggetti (Leibnitz-relazionalismo)?

• Lo spazio e il tempo sono solo modi umani a priori di organizzare le conoscenze sensoriali (Kant-idealismo)?

• La geometria dello spazio e del tempo è assoluta o una convenzione (Poincarè-convenzionalismo)?

Tematiche fisiche

• Relazione geometrica tempo-spazio-causalità

• Relazione assoluta/relativa del tempo e dello spazio con osservatori-materia-misure

• Teorie discusse: meccanica «aristotelica», meccanica classica di Galilei-Newton, relatività ristretta e generale

Primi spazio/tempo fisici: «Aristotele»

• Penso che il primo tentativo di una visione coerente del tempo e dello spazio nel contesto dei fenomeni fisici sia data nell’ambito della fisica che definisco «aristotelica» perché è essenzialmente motivata dalla riflessione di Aristotele anche se reinterpretata a posteriori in un linguaggio e con una sensibilità moderni.

• In questa visione il tempo è assoluto, indipendente dall’osservatore e dalla materia, è una successione continua di istanti a ciascuno dei quali corrisponde anche uno spazio in cui anche le posizioni dei punti sono assolute, cioè è possibile identificare univocamente un punto nello spazio a istanti successivi. Questa visione sembra riflettere in modo naturale la nostra esperienza fisica del tempo razionalizzata.

Geometria dello spazio/tempo aristotelici

• Una immagine geometrica del rapporto spazio/tempo «aristotelici» (con lo spazio a 2 anzicchè 3 dimensioni) a • Poiché ci sarà comodo in seguito, possiamo

senza perdere l’essenza dei ragionamenti addirittura tenere solo una dimensione spaziale, nel qual caso la relazione spazio-tempo «aristotelica» si può raffigurare con un sistema di assi di riferimento cartesiani

• Poiché posso identificare un punto nello spazio a istanti successivi la fisica di un corpo fermo è distinguibile da quella di un corpo in moto a velocità costante

Aristotele o Copernico? • Infatti Aristotele, probabilmente motivato dal comportamento

delle navi a remi (…se i rematori smettevano di remare la nave perdeva velocità, con il doppio di rematori la velocità era doppia…) aveva ipotizzato che la forza (F) causa del moto fosse proporzionale alla velocità (v): F ≈ v → sistemi di riferimento con velocita’ diverse descrivevano moti differenti di un corpo, perché con F diversa…

• Quando Galileo sostenne la tesi di Copernico che la Terra orbita attorno al Sole (e si muove quindi alla velocità di 30 km/s- allora stimata 1.5 km/s) , gli aristotelici del tempo obbiettarono che in tal caso avremmo dovuto vedere cadere i sassi non in verticale….

La relatività galileiana • Galileo rispose a questa obiezione con un colpo di

genio…immaginò degli esperimenti eseguiti sottocoperta in una nave che si muovesse di moto rettilineo con velocità uniforme arbitraria: …le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto…il fumo vedrassi ascender in alto, trattenervesi e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte…(Dialogo sopra i massimi sistemi 1632)

• Trasse la conclusione: in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme le leggi della fisica hanno la stessa forma (relatività galileiana)→ i corpi cadono verticalmente anche se la Terra si muove

• Ma allora non può essere F ≈ v ma F ≈ a (accelerazione)

infatti Galileo (Padova 1607) scrive …a principiar il moto è ben necessario il movente, ma a continuarlo basta il non haver contrasto…

Geometria dello spazio- tempo galileiano • Una immagine geometrica dello rapporto

spazio-tempo «galileiano»

• Non è possibile identificare un punto, diciamo del tavolo, ora e a un istante successivo, infatti… dobbiamo tener conto solo che la Terra ruota su se stessa, o anche che ruota attorno al Sole o anche che la Galassia ruota, e che l’universo si espande….Invece il tempo è lo stesso per tutti gli osservatori, è assoluto.

• Questo strano allacciamento di una direzione «assoluta» con altre in cui le posizioni sono relative al modo in cui le guardiamo è descritta geometricamente dalla nozione di fibrato. Un semplice esempio è il nastro di Moebius: la posizione in orizzontale è definita ma quella verticale non è definito se sia «sotto» o «sopra»

Addizione delle velocità • Relatività galileiana → il moto di un punto P é lo stesso in un sistema (inerziale) S1 e in uno S2 che si muove rispetto ad esso con velocità uniforme V Assumendo inoltre il tempo assoluto e invarianza della lunghezza ->

x1(t) = x2(t) + v t (trasformazioni di Galileo) e derivando («dividendo») rispetto a t :

v1(t)=v2(t)+V ( addizione delle velocità) Disegno con spazio a 2 dimensioni

a tempo fissato

Nel grafico spazio-tempo al contrario che nel caso «aristotelico» non c’è un sistema con una velocità privilegiata. Per disegnare un sistema generico osserviamo che in quello con assi ortogonali l’asse temporale è parallelo alla linea di moto del corpo fermo in esso mentre l’asse spaziale descrive punti simultanei nel tempo. Disegno con spazio a 1 dimensione per sistemi S e S’

Il determinismo newtoniano

• Una proprietà importante del tempo di Galilei-Newton in relazione alle interpretazioni filosofiche è il determinismo:

• Se a un istante di tempo conosco le posizioni e le velocita’ dei punti di un sistema fisico e inoltre conosco le masse e le forze agenti (eventualmente al variare del tempo) sul sistema, allora conosco il moto del sistema (cioe’ le posizioni e le velocita’, ma anche tutte le altre grandezze fisiche) sia nel futuro che nel passato e il moto è indipendente da una eventuale osservazione [determinismo ]. Matematicamente questo è conseguenza dell’unicità della soluzione delle equazioni del moto a fissate condizioni iniziali.

• Anche se il determinismo del futuro non ci è forse naturale psicologicamente, su di esso poggiano molti dei successi della fisica classica, basti pensare alla capacità di previsione del moto delle sonde spaziali…

Tempo galileiano: Commenti filosofici

• Riassumiamo le caratteristiche principali dello spazio- tempo di Galilei-Newton: è continuo (posso definire la velocità), assoluto (indipendente dall’osservatore), ordinato causalmente, indipendente dalla materia, globalmente definito. Il comportamento dei sistemi rispetto al tempo è deterministico.

• Sono naturali sia una interpretazione «presentista» del tempo con il presente come unico istante di esistenza che «scorre» lungo la linea del tempo, come suggerito da Agostino, sia ,dato il determinismo (il futuro è determinato dal presente altrettanto del passato) una interpretazione eternista che considera esistenti tutti gli istanti di tempo.

Commenti “filosofici” • E’ naturale sia una visione presentista puramente

spaziale dei corpi che esistono nel presente , sia una eternista dei corpi che esistono nello spazio-tempo

• Le nozioni “assolute” di tempo e spazio e la struttura strettamente causale del determinismo newtoniano nell’ambito di posizioni filosofiche idealiste di tipo Kantiano sono naturalmente compatibili con un’interpretazione di “forme a priori” della conoscenza

• Il postulato della Relativita’ Ristretta:

la velocita’ della luce e’ sempre la stessa c≈300000km/s qualunque sia la velocita’ del sistema ( inerziale) in cui la si osserva (la luce emessa da un razzo con velocita’ v rispetto alla Terra, dalla Terra viene vista viaggiare a velocita’ c e non c+v come ci si aspetta, quindi in MM i tempi sono uguali come in un sistema in quiete)

• Una conseguenza e’ che il tempo non è assoluto (già Poincaré 1902) e quello di un sistema in moto rispetto a noi viene visto trascorrere piu’ lentamente.

c come costante della Natura

Conseguenza: il tempo rallenta con v • Orologio luce: scandisce il tempo con un raggio

riflesso, quando il raggio ritorna al punto di emissione segna l’unità di tempo

lunghezza d, idealmente l d = 150.000 km -> orologio fermo t=2l/c =1 s • Consideriamo ora un orologio-luce fermo su un razzo

che viaggia con velocità v, ortogonale a d, rispetto alla Terra. Sulla lunghezza d entrambi i sistemi concordano perché possono v -> confrontarla direttamente essendo ortogonale a v

• Consideriamo ora il tempo del razzo (tr = 2d/c) visto dalla Terra (t)

• Poiché la velocità della luce è c in tutti e due i sistemi, ma la luce deve percorrere una distanza più lunga rispetto a quella nel razzo (2 d) impiegherà

un tempo maggiore t>tr : Pitagora: (𝑐𝑡

2)2=d2+(

𝑣𝑡

2)2

t=2𝑑

𝑐2−𝑣2 =2d/c

1−(𝑣𝑐)2 =

tr

1−(𝑣𝑐)2

• Quindi non c’è un tempo assoluto e perché la radice quadrata sia ben definita v<c, ossia c è una velocità massima: c

Verifica sperimentale • Una delle prime verifiche della dilatazione del

tempo relativistica fu basata sui raggi cosmici: vi sono particelle elementari (muoni) create da urti nell’alta atmosfera (≈ 5-10 Km) e che viaggiano verso la superfice terrestre a velocita’ prossime a c, piu’ precisamente (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 (si puo’ verificare tramite rivelatori) . Quando esse sono ferme (si possono produrre in

laboratorio) esistono solo per un tempo (medio) t ≈ 2· 10-6 s, quindi in fisica classica potreb- bero percorrere (in media) 600 m. Eppure sono osservate sulla superfice terrestre, cio’ e’ possibile solo se il loro tempo e’ dilatato, e il fattore di dilatazione relativisti- co (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 e’ in accordo con i dati sperimentali.

c e la relatività della simultaneità • Poiché c è la stessa in tutti i sistemi inerziali, invece di t

possiamo usare ct e per un raggio di luce si ha x=ct

• In sistema S1 , O equidistante da A e B , tutti fermi, emette luce verso entrambi e si muove con velocità v rispetto a S2. Come vede il fenomeno S2?

Relativistico

Non relativistico

In relatività la luce raggiunge simultaneamente A e B in S1 ma non in S2!

Sistemi di riferimento relativistici • In S1 vediamo che l’asse temporale

è parallelo alle linee che descrivono il moto di A O B e l’asse spaziale è parallelo alla linea di simultaneità • Possiamo allora vedere con questa informazione

come S2 vede gli assi di S1

• Vediamo che la traiettoria della luce biseca l’angolo tra gli assi.

• -> Sistemi relativistici con varie velocità relative

Velocità della luce e causalità • Nella zona in grigio una particella si muove con

v(uniforme)<c (interno del cono di luce), in quella in nero con v>c

• Vediamo che D ,che è all’interno del cono di luce di A, per tutti i sistemi è successivo ad A, ma B, raggiungibile da A solo con v>c, è simultaneo ad A nel sistema verde, successivo nel sistema rosso e precedente nel sistema blu (ordine temporale relativo). Dunque se v>c la causalità è violata: in un sistema di riferimento…una particella con v>c potrebbe arrivare prima di partire…

Assoluto e relativo • Durate temporali (e lunghezze

spaziali longitudinali) sono dunque relative al sistema di riferimento (inerziale), rimane assoluta di un corpo la sua immagine nello spazio-tempo. Ad esempio se abbiamo una sbarra solidale al sistema S’, la sua immagine spazio-temporale (area tratteggiata nella figura) è la stessa per tutti gli osservatori, ma il modo in cui è divisa in spazio e tempo (le linee del

tratteggio indicano punti simultanei nel sistema) dipendono dal sistema.

• Il tempo acquista un carattere relativo analogo alla posizione nello spazio galileiano e forma un tuttuno inscindibile con lo spazio detto spazio-tempo di Minkowski. Citando proprio lui (1908) «Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality.»

• Il tempo in relativita’ speciale dipende dall’osservatore, ma in modo oggettivamente determinabile. La geometria dello spazio-tempo però è assoluta, una versione “relativistica” di quella di Euclide

Perché percepiamo un tempo assoluto? • Forse la ragione sta nell’enorme valore della velocità

della luce c , 3000000000 su scale umane (m/s) [in un secondo dalla Terra raggiunge la Luna]. Vediamo infatti che se iniziamo a riscalare gli assi in modo da avere come unità m e s, gli assi spaziali si avvicinano e tendono a coincidere definendo un tempo assoluto. *nella figura l’asse temporale invece di essere c s come nella precedente è (c/10) s, dovremmo ancora ridurlo di un fattore 3 milioni!]

Commenti “filosofici”

• Tempo e distanze spaziali in relativita’ dipendono dall’osservatore (anche se in modo oggettivamente determinabile) non appaiono quindi naturalmente come una “forma a priori” della conoscenza in senso Kantiano, e non corrispondono all’idea intuitiva che noi sviluppiamo tramite l’esperienza

• Questo radicale allontanamento dalla nozione intuitiva di tempo e’ legato alla comparsa di una costante universale “limite” della realta’ fisica, la velocita’ della luce c, che ha una scala (300000000m/s) molto diversa dalle velocita’ (≈ m/s) di cui abbiamo esperienza su scala umana.

Relatività Generale La concezione attuale

di spazio, tempo, gravità

Pieralberto Marchetti

Gravità l’interazione più debole…e più forte a grandi scale

1915… • La geometria dello spazio non è più

assoluta! • Le idee folli di Bolyai e Lobachevsky …e

poi Riemann e….sulla possibilità di variare il quinto postulato di Euclide diventano realtà fisica E’ la relatività generale di Einstein…

• E’ un periodo di rivoluzione non solo nella fisica, con la relatività e la prima meccanica quantistica, ma in tutti i settori…rivoluzione russa… rivoluzione nell’arte…nasce l’astrattismo, una visione di possibilità «relative» di composizione… Kandinskij 1910

Lenin 1917

Relatività + gravità… • La relatività generale (Einstein 1915) è la teoria

su cui si basa la concezione attuale della gravità

• Dopo la rivoluzione attuata dalla relatività speciale, essa ha ulteriormente modificato la nostra concezione dello spazio-tempo in presenza di materia: diventa «relativa» anche la geometria!

• E’ associata a una coppia di costanti fisiche: la velocità della luce (c) e la costante di gravitazione di Newton (G)

• Applicazione tecnologica : GPS

Gravità e accelerazione • In presenza di gravità un corpo libero cade con

accelerazione g. In un sistema in assenza di

gravità un corpo non «cade» ma rimane fermo.

• Supponiamo che tale sistema in

assenza di gravità sia sottoposto ad

accelerazione costante –g, diventi

cioè un «ascensore a gravità 0».

F = mi a, P = mg g, mi = mg =>

L’ osservatore (Einstein in fig.) accelerato

vedrà allora «cadere» i corpi liberi con accelerazione g e potrebbe concludere di essere fermo in presenza di una gravità g ( Newton in fig).

Relatività+gravità=Relatività generale

• Uno dei postulati della relatività generale è appunto il principio di equivalenza che asserisce che in una piccola regione dello spazio e del tempo (spazio-tempo) è impossibile distinguere tra gli effetti della gravità e di una accelerazione.

• Se aggiungiamo ora il principio di relatività generale : le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, anche quelli accelerati, non solo quelli con velocità costante della relatività speciale, possiamo usare situazioni che si presentano in sistemi accelerati per capire come funziona la gravità.

La gravità deforma la geometria • Nell’ascensore a gravità 0 accelerato un

raggio di luce che entra perpendicolarmente alla parete viene visto incurvarsi verso il pavimento dell’ascensore (per un osservatore

esterno è il pavimento che si avvicina alla traiettoria del raggio). • Per il principio di equivalenza

concludiamo che la gravità incurva le traiettorie dei raggi di luce che non sono più rette. Poiché la gravità è prodotta dalla massa , concludiamo che la geometria dello spazio non è data a priori ma determinata dalla materia

Verifica sperimentale: curvatura dei raggi di luce dalle stelle in prossimità del Sole

(Spostamenti ingranditi)

La gravità deforma il tempo

• Ma anche il tempo si deforma in presenza di gravità…Consideriamo un disco che ruota, l’osservatore solidale al disco è sottoposto a una accelerazione centrifuga che , nulla al centro, cresce all’allontanarsi da esso. Per il principio di equivalenza è come se fosse sottoposto a una gravità che cresce allontanandosi dal centro.

• L’orologio-luce situato al centro è sincrono con quello dell’osservatore esterno,

• Per il principio di equivalenza possiamo concludere che un osservatore in assenza di gravità vedrà l’orologio di un osservatore in un campo gravitazionale rallentare tanto di più quanto più intensa è la gravità.

ma poiché allontanandosi dal centro il percorso del raggio di luce diventa progressivamente più lungo, il tempo segnato rallenta.

Buchi neri • Il tempo è visto rallentare sempre più al

crescere dell’intensità della gravità a cui è sottoposto l’orologio: ci sono situazioni fisiche in cui possiamo vedere il tempo «fermarsi» ?

• I raggi luminosi si incurvano verso la sorgente della gravità, immaginiamo allora che tale gravità sia così intensa che i raggi di luce possano raggiungere la sorgente dell’attrazione gravitazionale ma non possano allontanarsi da essa. Una tale sorgente è un buco nero e la superficie da cui la luce non può allontanarsi è il suo orizzonte.

Un osservatore distante dal buco nero vedrebbe l’orologio di un astronauta che vi puntasse verso rallentare fino a «fermarsi» sull’orizzonte che non verrebbe quindi mai raggiunto ( nell’orologio luce, la luce sarebbe così attirata dal buco nero che le occorrerebbe un tempo «infinito» a lasciare lo specchio…). E’ come se per l’osservatore esterno non ci fosse un tempo aldilà dell’orizzonte

Ma per l’astronauta che vi sta cadendo dentro invece i raggi di luce dell’orologio-luce continuano a seguire l’astronave e il tempo c’è ancora anche al di là dell’orizzonte,solo che superato l’orizzonte non può più comunicarlo all’esterno

Buchi neri: prove sperimentali • Vediamo quindi che con la relatività non

solo il tempo dipende dagli osservatori, ma addirittura non è più garantita l’esistenza di un tempo globale per tutti gli osservatori!! Le verifiche sperimentali dell’esistenza dei buchi neri sono sempre più stringenti , in particolare si osserva la radiazione della materia attirata verso l’orizzonte, i buchi neri infatti continuano ad aumentare la loro massa e il loro orizzonte “inghiottendo” la materia vicina attratta gravitazionalmente, emettendo radiazione. Attualmente si ritiene che ci sia un buco nero al centro di molte galassie compresa la nostra… STELLA DIVORATA DA UN BUCO NERO

L’equazione di Einstein

• L’equazione della gravità di Einstein spiega come cambia la geometria dello spazio-tempo (gμν) in presenza della materia (T μν ) che induce la gravità

• Le orbite seguite dai corpi in presenza della gravità sono sono quelle più brevi in quella geometria.

• Non solo la descrizione dello spazio e del tempo non è più assoluta come in relatività speciale, ma la geometria stessa dello spazio-tempo in relatività generale non è più data a priori, ma è determinata dalla materia, essa «è» la gravità

• Lo spazio-tempo non è più dunque un ‘’contenitore passivo’’ ma diventa dinamico.

• Una applicazione importante di questa idea che ha avuto di recente una clamorosa conferma è quella delle onde gravitazionali

• Per rimanere nel più usuale ambito elettromagnetico: una carica accelerata emette onde elettromagnetiche come si può intuire disegnando le linee di forza e considerando che la velocità di propagazione dei segnali elettromagnetici è finita:c

Onde gravitazionali • La stessa cosa succede in

relatività generale per masse accelerate, in cui l’onda è una distorsione dello stesso spazio-tempo.

• Ma visto che la interazione gravitazionale ha una intensità 1/1041 volte quella elettromagnetica occorrono campi gravitazionali davvero intensi per osservarle…

• Per osservarle si sono misurate distorsioni nella lunghezza del cammino in un super-interferometro alla Michelson-Morley

24-9-2015…a cent’anni dal 1915 di Einstein

• Il primo segnale: un’onda gravitazionale prodotta dallo scontro 1,3 miliardi di anni fa di due buchi neri di circa 30 masse solari a una velocità di circa c/2!

Spazio-tempo in Relatività Generale: commenti filosofici

• Lo spazio-tempo in relatività generale non è più assoluto, dipende dall’osservatore, ma tutti gli osservatori sono equivalenti per la descrizione della fisica (principio di relatività generale) .

• Esso dipende anche dalla distribuzione di materia (un po’ nello spirito di Mach), in casi limite non si può neppure definire globalmente, quindi difficilmente si può associare a una visione presentista del tempo.

• Gia’ in relatività ristretta vi sono punti nello spazio-tempo che sono nel presente di un osservatore, ma nel passato di un altro e nel futuro di un altro ancora…quale presente esisterebbe in un approccio presentista?

Una visione eternista del tempo?...

• Un eternista invece sarebbe a suo agio col col tempo relativistico sia perché una visione spazio-temporale dei corpi è assoluta e una spaziale no, sia perché esso mantiene la fondamentale proprietà del determinismo newtoniano: ad esempio data la geometria dello spazio-tempo e note posizione e velocità a un istante di una particella posso determinarne in modo certo l’evoluzione sia nel passato che nel futuro. La fisica quantistica però farà perdere anche questa proprietà…