Fondamenti di Automatica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Prof. Silvia Strada

Anno accademico 2018/2019 Appello del 15 Gennaio 2019

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Avvertenze:

• Il presente fascicolo si compone di 10 pagine fronte/retro (compresa la copertina).

• Durante la prova non è consentito uscire dall’aula per nessun motivo se non consegnando il compito o ritirandosi.

• Nei primi 30 minuti della prova non è consentito ritirarsi.

• Durante la prova non è consentito consultare libri o appunti di alcun genere.

• Non è consentito l’uso di calcolatrici con display grafico.

• Le risposte vanno fornite esclusivamente negli spazi predisposti. Solo in caso di correzioni o se lo spazio non è risultato sufficiente, utilizzare il retro della copertina del fascicolo.

• La chiarezza e l’ordine delle risposte costituiranno elemento di giudizio.

• Al termine della prova va consegnato solo il presente fascicolo. Ogni altro foglio eventualmente consegnato non sarà preso in considerazione.

ESERCIZIO 1Si consideri il sistema dinamico continuo, lineare, tempo invariante descritto dalle seguenti equazioni:

x1(t) = 2x1(t) − x2(t)

x2(t) = −x2(t) + u(t)

y(t) = x2(t) + 3u(t)

1. Si dica, giustificando la risposta, se il sistema e asintoticamente stabile, semplicemente stabile o insta-bile.

2. Si scriva l’espressione del movimento libero dello stato, x(t), del sistema, con stato iniziale x(0) = [4 3]′.

3. Si trovi l’espressione della funzione di trasferimento, G(s), del sistema assegnato, precisando (e moti-vando la risposta) se la stabilita del sistema puo essere studiata a partire dalla funzione di trasferimento.

4. Si disegni il grafico della risposta forzata in uscita dal sistema con u(t) = 2, t ≥ 0.

5. Si dica che valore ha la variabile valy in seguito ai comandi Matlab (le matrici (A,B,C,D) sono quelledel sistema dinamico assegnato all’inizio dell’esercizio):

� s=ss(A,B,C,D);� t=0:0.01:50;� u=2*ones(1,length(t));� [Y,T,X]=lsim(s,u,t,[0 0]’);� valy=Y(5000);

ESERCIZIO 2Si considerino i diagrammi di Bode di modulo e fase (reali ed asintotici) mostrati in figura, relativi allarisposta in frequenza di un sistema lineare tempo invariante a tempo continuo.

10-1 100 101 102 103

pulsazione

-20

0

20

40

60dB

Diagramma di Bode - Modulo

10-1 100 101 102 103

-180

-90

0

grad

i

Diagramma di Bode - Fase

1. Si dica, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) il sistema con funzione di trasferimento G(s) e di tipo zero.

b) il sistema con funzione di trasferimento G(s) e asintoticamente stabile.

c) il sistema con funzione di trasferimento G(s) ha grado relativo (differenza tra il numero dei poli edegli zeri) 1.

d) il sistema con funzione di trasferimento G(s) ha tutti gli zeri e i poli reali.

2. Si tracci qualitativamente il diagramma polare della risposta in frequenza associata a G(s) e si dica,motivando la risposta, se il sistema in anello chiuso in figura, con R(s) = 1, asintoticamente stabile.

+

-

yw G(s)R(s) ue

3. Posto ora R(s) = k, con k > 0, si individuino i valori di k per cui il sistema in anello chiuso easintoticamente stabile.

ESERCIZIO 3Si consideri il sistema di controllo in figura

+

-

yw G(s)R(s) ue +

+ d

con G(s) =s+ 10

s+ 1e−sτ .

1. Posto τ = 0 e scelto il regolatore R(s) =0.1

s, si verifichi se i seguenti requisiti sono verificati o meno,

giustificando brevemente le risposte:

1) il sistema in anello chiuso e asintoticamente stabile;

2) l’errore a transitorio esaurito a fronte di w(t) = −90 sca(t) e d(t) = ±77 sca(t) e nullo;

3) la pulsazione critica del sistema in anello chiuso e ωc ≥ 5 rad/s;

4) il margine di fase e ϕm ≥ 30◦.

2. Con riferimento al sistema di controllo progettato al punto precedente si dica, giustificando la risposta,qual e il massimo valore del ritardo τ compatibile con l’asintotica stabilita del sistema in anello chiuso.

3. Con riferimento al sistema di controllo del punto 1, si dica, giustificando la risposta, quanto valgonoil valore iniziale e finale dell’uscita del sistema (y(0) e y∞) quando:a) w(t) = 3sca(t) e d(t) = 0;b) w(t) = 0 e d(t) = −2sca(t).

ESERCIZIO 4Sia

A=

[1 −12 1

]la matrice dinamica di un sistema lineare, invariante e a tempo discreto.

1. Si trovino gli autovalori di A.

2. Si dica se lo stato (0, 0) e uno stato di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema x(k+1) = Ax(k).

3. Quante iterazioni delle equazioni di stato del sistema x(k + 1) = Ax(k) sono necessarie perche dallostato x(0) = [4 0]′ ci si porti allo stato x(k) = [−20 8]′?