força de arrasto
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Aerodinâmica da Bola de Futebol:
da Copa de 70 à Jabulani
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
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Resumo
• Resistência do ar
• A crise aerodinâmica
• Força de Magnus
• O gol que Pelé não fez
• Futebol no computador
• Da Copa de 70 à Jabulani
• Comentários finais
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A força de arrasto
velocidade Varrasto Fa
2
aa VAC2
1F
= densidade do meio
A = área “frontal”
Ca = coeficiente de arrasto
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O coeficiente de arrasto
• AV2 tem dimensão de força
Ca = Fa / (½ AV2) é adimensional
Ca só pode depender de
quantidades sem dimensão
• Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única
quantidade adimensional é o número de Reynolds:
DVRe Ca = f (Re)
D = dimensão característica (diâmetro da bola), = viscosidade do meio
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Coeficiente de arrasto de uma esfera
viscosidade domina
inércia dominaStokes
crise
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G.E. Smith, Newton’s Study of Fluid Mechanics,
International Journal of Engineering Science 36 (1998) 1377-1390
Primeiras medidas e idéias sobre o arrasto
medidas de Newton
Principia, livro 2
água
ar
teoria de Newton
curva experimental
moderna
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Coeficiente de arrasto de uma esfera
Re << 1 Ca = 24/Re Fa = (3D) V
“atrito linear”
Re = 0.16
(cilindro)
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Coeficiente de arrasto de uma esfera
103 < Re < 105 Ca 0,4 - 0,5 Fa 0,2 AV2
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Coeficiente de arrasto da bola de futebol
Ar
• densidade: 1,2 kg/m3
• viscosidade: 1,810-5 kg m-1 s-1
Bola de futebol
• diâmetro: D = 0,22 m
Vbola = (6,710-5 m/s) Re
resistência proporcional
à velocidade (Re < 1)Vbola < 0,1 mm/s
“atrito linear” irrelevante!
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Coeficiente de arrasto da bola de futebol
Vbola 0,1 m/s Vbola 20 m/s
CRISE
Esfera lisa
Na “crise” o coeficiente de arrasto diminui ~80%
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A crise do arrasto
0 10 20 30 40 50
V (m/s)
0
1
2
3
4F
A (
N)
bola de
futebol (lisa)
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Para entender a crise:
• Camada limite
• Separação da camada limite
• Turbulência na camada limite
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A camada limite
camada limite laminar camada limite turbulenta
• O fluido adere à superfície da bola.
• A viscosidade transmite parcialmente esta adesão,
criando uma camada que tende a mover-se com a
superfície.
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Separação da camada limite
H. Werlé
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A camada limite e a crise do arrasto
camada limite laminar camada limite turbulenta
Antes da crise Depois da crise
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A crise do arrasto ocorre
mais cedo para esferas
de superfície irregular.
A rugosidade precipita a
turbulência na camada
limite.
bola de golfe bola de futebol “rugosa”
Rugosidade da bola
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T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
A crise do arrasto na bola de futebol
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O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
Por que não é o lado afiado da asa que corta o ar?
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O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
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O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
![Page 21: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/21.jpg)
Carro esporte 0.3 – 0.4
Carro de passeio 0.4 – 0.5
Avião subsônico 0.12
Paraquedista 1.0 - 1.4
Homem ereto 1.0 – 1.3
Cabos e fios 1.0 – 1.3
Torre Eiffel 1.8 – 2.0
http://aerodyn.org/Drag/
Alguns coeficientes de arrasto
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O efeito Magnus
bola sem rotação rotação no sentido horário
A rotação muda os pontos de descolamento da camada limite.
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A força de Magnus
ver por ex. K.I. Borg et al. Physics of Fluids 15 (2003) 736
VwF rAC2
1MM
• CM = coeficiente de Magnus
• w = velocidade angular
• r = raio da bola
CM ~ 1 (grande incerteza)
FM
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A força de Magnus na bola de futebol
MpS CSC
v/rSp
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
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Rotação e arrasto
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
v/rSp
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O gol que Pelé não fez
Brasil x Tchecoslováquia, Copa de 70
“E, por um fio, não entra o mais fantástico gol de todas as Copas passadas, presentes e
futuras. Os tchecos parados, os brasileiros parados, os mexicanos parados – viram a bola
tirar o maior fino da trave. Foi um cínico e deslavado milagre não ter se consumado esse
gol tão merecido. Aquele foi, sim, um momento de eternidade do futebol.”Nelson Rodrigues, À Sombra das Chuteiras Imortais
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O gol que Pelé não fez
T
[s]
(X Y Z)
[m]
(Vx Vy Vz)
[m/s]
V
[m/s]
[graus]
Início 0,00 (-5,2 -2,9 0,0) (27,8 -0,4 8,8) 29,1 17,6
Final 3,20 (54,3 3,7 0,0) (15, 2 -0,2 -8,9) 17,6 -30,2
• Vídeo digitalizado e separado em quadros.
• A posição da bola foi determinada em cada quadro.
Início e final da trajetória
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Parametrização do coeficiente de arrasto
100000 200000 300000 400000
Re
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
CA
0,3
0,2
0,1
0
Sp = ω r / v
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Parametrização da força de Magnus
v/rSp
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
MpS CSC
25.1CM
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• Pontos: dados extraídos
do vídeo.
• Linha: cálculo com o
modelo.
Frequência de rotação (ajustada): f = ωy / 2 = − 6,11 Hz
O gol que Pelé não fez
Desvio médio: 23 cm
-10 0 10 20 30 40 50 60
X (m)
0
2
4
6
8
10
Z (
m)
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O gol que Pelé não fez-20 0 20 40 60
X (m)
0
2
4
6
8
Z (
m)
0 1 2 3 4
T (s)
-20
0
20
40
60
X (
m)
0 1 2 3 4
T (s)
0
2
4
6
8
Z (
m)
![Page 32: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/32.jpg)
Simulação do chute de Pelé
O que ocorreria sem a
crise do arrasto (Vcrise = )
O que ocorreria sem o
efeito Magnus
Futebol no computador
![Page 33: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/33.jpg)
Futebol no computador
Sem a resistência do ar e o efeito Magnus
(se o chute de Pelé fosse no vácuo)
![Page 34: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/34.jpg)
Bolas de Efeito
• Trajetórias de bolas chutadas do mesmo ponto e
com a mesma velocidade, mas com diferentes
rotações em torno do eixo vertical.
![Page 35: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/35.jpg)
A Folha Seca
A folha seca (segundo Leroy*): Bola com eixo de
rotação na mesma direção da velocidade inicial.
* B. Leroy, O Efeito Folha Seca, Rev.Bras.Física 7 , 693-709 (1977).
![Page 36: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/36.jpg)
Da Copa de 70 à Jabulani: geometria
da bola de futebol
Telstar 1970
32 gomos
Teamgeist 2006
14 gomos
Jabulani 2010
8 gomos
![Page 37: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/37.jpg)
Teamgeist vs. Jabulani
Teamgeist
Jabulani
![Page 38: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/38.jpg)
O efeito knuckleball
T. Asai et al., A Study of
Knuckling Effect of Soccer
Ball, The Engineering of
Sport 7, p. 555
![Page 39: Força de Arrasto](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021815/587358101a28ab3b6d8b5f80/html5/thumbnails/39.jpg)
Comentários Finais
• A crise do arrasto e o efeito Magnus desempenham um papel importante na dinâmica da bola de futebol.
• Muitos fenômenos curiosos podem ser investigadoscom esses efeitos: a folha seca de Didi, por exemplo.
• Outros esportes com bola (vôlei, tênis) podem ser tratados de forma semelhante.
• Potencial pedagógico:
– Física do cotidiano
– Fenômenos importantes em outros contextos
– Motivação para o estudo de dinâmica de fluidos
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Bibliografia
• J. Wesson, The Science of Soccer (IoP Publishing, 2002)
• C. E. Aguiar, Gustavo Rubini, A aerodinâmica da bola de futebol,
Revista Brasileira de Ensino de Física 26, 297 (2004)
• I. Griffiths, C. Evans, N. Griffiths, Tracking the flight of a spinning
football in three dimensions, Measurement Science and Technology
16, 2056 (2005)
• T. Asai, K. Seo, O. Kobayashi, R. Sakashita Fundamental
aerodynamics of the soccer ball, Sports Engineering 10, 101 (2007)
• J. E. Goff, M. J. Carré, Trajectory analysis of a soccer ball, American
Journal of Physics 77, 1020 (2009)
• S. Barber, S.B. Chin, M. J. Carré, Sports ball aerodynamics: A
numerical study of the erratic motion of soccer balls, Computers &
Fluids 38, 1091 (2009)
• J. E. Goff, M. J. Carré, Soccer ball lift coefficients via trajectory
analysis, European Journal of Physics 31, 775 (2010)