Fourier  -­‐  Cálculo  en  Matlab  

Periodicidad  –  Fourier  -­‐    señales  a  7empo  discreto  

Esto  es  siempre  cierto  (cuando  transformamos  una  señal  x[n]  en  7empo  discreto).    

Xk = ak =) perıodo N

X(⌦) =) perıodo 2⇡<latexit sha1_base64="4T9jG5PWch+yCajqd9YFUwoVs14=">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</latexit>

ak = ak+N<latexit sha1_base64="oKr7dd2nFqUauo2p0bp+n/HxEBY=">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</latexit>

X(⌦) = X(⌦ + 2⇡)<latexit sha1_base64="aZZ6LHq/xZcHQ4pDwUO7z9Uz1j0=">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</latexit>

Periodicidad  -­‐  Fourier  -­‐  señales  a  7empo  discreto  

Como consecuencia:

<latexit sha1_base64="QrKKUNyAnMyMGLt7HacSnLGUvQ8=">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</latexit>

ak = ak+N<latexit sha1_base64="oKr7dd2nFqUauo2p0bp+n/HxEBY=">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</latexit>

ak = a⇤�k<latexit sha1_base64="N6k3M5P5KNGieeXGeYvix/rxOOI=">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</latexit>

ak = a⇤�k<latexit sha1_base64="N6k3M5P5KNGieeXGeYvix/rxOOI=">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</latexit>

Si x[n] es real, hemos visto que:

<latexit sha1_base64="0RTjSgdmPNJcjWcZb9ne45cPAL0=">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</latexit>

Pk = |ak|! Pk = P�k<latexit sha1_base64="iE2ry+4dJan1riCLL2+oNC8mbZM=">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</latexit>

genera una simetria par<latexit sha1_base64="X6aZlNPt9FFGYI+dS0NtoK7KEoM=">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</latexit>

para Pk cada N/2 ....<latexit sha1_base64="goui9jV0jKBA3xd8tfj+WcVI7AE=">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</latexit>

Periodicidad  -­‐  Fourier  -­‐  señales  a  7empo  discreto  

Como consecuencia:

<latexit sha1_base64="QrKKUNyAnMyMGLt7HacSnLGUvQ8=">AAACYnicbVFdaxNBFJ1drdZV29Q+6sNgGmipDbuxUCkUin3xSSuaNpBdlruTm2TY+VhmZkvDkj/pm0+++EOcfCjaemHgzLkfc+6ZohLcujj+HoQPHm48erz5JHr67PnWdmvnxZXVtWHYZ1poMyjAouAK+447gYPKIMhC4HVRXizy1zdoLNfqq5tVmEmYKD7mDJyn8task8pC3zb0C9K926HK9iha6ieIN3SKUlt640Xo0zntpGnUgbw8g7w5Kud/cHn40V8G++kniRM4OPuNDntpxQ+i1fgLLTVlWllkNSrG4XSet9pxN14GvQ+SNWiTdVzmrW/pSLNaonJMgLXDJK5c1oBxnAmcR2ltsQJWwgSHHiqQaLNmaZFX75kRHWvjj3J0yf7d0YC0diYLXynBTe3d3IL8X25Yu/G7rOGqqp1fbPXQuBbUabrwm464QebEzANghnutlE3BAHP+VyJvQnJ35fvgqtdN3nZ7n4/b5+/XdmySl+Q12ScJOSHn5AO5JH3CyI9gI9gKtoOfYRTuhLur0jBY9+ySfyJ89QssfrMN</latexit>

Si x[n] es real, hemos visto que:

<latexit sha1_base64="0RTjSgdmPNJcjWcZb9ne45cPAL0=">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</latexit>

P (⌦) = |X(⌦)|! P (⌦) = P (�⌦)<latexit sha1_base64="YCW7UCm3yW4VyWcUs1v8EgLf5+k=">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</latexit>

X(⌦) = X(⌦ + 2⇡)<latexit sha1_base64="aZZ6LHq/xZcHQ4pDwUO7z9Uz1j0=">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</latexit>

X(⌦) = X⇤(�⌦)<latexit sha1_base64="MK7QKRi2ybBHqGHmeHr9G8Tbhd8=">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</latexit>

X(⌦) = X⇤(�⌦)<latexit sha1_base64="MK7QKRi2ybBHqGHmeHr9G8Tbhd8=">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</latexit>

genera una simetria par<latexit sha1_base64="X6aZlNPt9FFGYI+dS0NtoK7KEoM=">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</latexit>

para P (⌦) cada ⇡ ....<latexit sha1_base64="x7YMgdAGMt9GKvOjUwn0WN4jqNM=">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</latexit>

2⇡<latexit sha1_base64="69S/zugeEiLmYcQU3L8Uuu8wz/o=">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</latexit>

�2⇡<latexit sha1_base64="TJXeEEojvk7S3ntq9wYJbLGzN0Y=">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</latexit> �⇡

<latexit sha1_base64="VMlGdSaW7Xafy4hV1VZg4g6fTjo=">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</latexit> ⇡<latexit sha1_base64="RtLlHqbewjCQUYB5gCm9eDKULbM=">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</latexit>

Tenemos    también  una  simetría  cada  pi…  

Xk = ak =1N

X(k⌦0) =1N

X

✓k

2⇡

N

◆

<latexit sha1_base64="zl1Y3vc3EsgP7Lfxi1iwT5Irwdc=">AAACMXicbZDJSgNBEIZ74hbjFvXoZTAIySXMREE9CAEvOWkEs0AmDD2dmqRJz0J3jRCGvJIX30S85KCIV1/CznLQxIKCn++vort+LxZcoWVNjMza+sbmVnY7t7O7t3+QPzxqqiiRDBosEpFse1SB4CE0kKOAdiyBBp6Alje8nfqtJ5CKR+EjjmLoBrQfcp8zihq5+VrbHd5Q3Y4vKUvtcXo3bheHzn0AfepapT/cEeCjNmeo4sR8Sh3J+wMsufmCVbZmZa4KeyEKZFF1N//q9CKWBBAiE1Spjm3F2E2pRM4EjHNOoiCmbEj70NEypAGobjq7eGyeadIz/UjqDtGc0d8bKQ2UGgWengwoDtSyN4X/eZ0E/atuysM4QQjZ/CE/ESZG5jQ+s8clMBQjLSiTXP/VZAOq80Adck6HYC+fvCqalbJ9Xq48XBSq14s4suSEnJIiscklqZIaqZMGYeSZvJF38mG8GBPj0/iaj2aMxc4x+VPG9w94yKpi</latexit>

Decidimos  por  ejemplo  N=15  

Tenemos    también  una  simetría  cada  N/2…  

En  Matlab  !   Nos  llega  un  vector  (claramente,  una  secuencia  de  números  finita).  Digamos  de  longitud  L.  

!   Si  recordáis  las  formulas  de  la  Serie  de  Fourier  de  una  señal  discreta  y  periódica  (dos  sumas;  análisis  y  síntesis),  se  puede  entender  que  lo  mas  fácil  (computacionalmente)  es  interpretar  que  es  un  periodo  de  una  señal  periódica  de  periodo  N>=L.    

!   Decimos  N>=L  porque  podemos  siempre  rellenar  con  ceros.    

!   Esta  operación  se  suele  llamar  “Discrete  Fourier  Transform”  (DFT),  pero  coincide  CASI  exactamente  la  serie  de  Fourier  de  una  señal  discreta  y  periódica.        

En  Matlab  –  DFT    !   Esta  operación  se  suele  llamar  “Discrete  Fourier  Transform”  (DFT),  pero  coincide  CASI  exactamente  la  serie  de  Fourier  de  una  señal  discreta  y  periódica.    

!   EN  LA  DFT,  EL  FACTOR  1/N  PASA  A  ESTAR  EN  LA  ECUACIÓN  DE  SÍNTESIS  (Y  SE  QUITA  DE  LA  ECUACIÓN  DE  ANÁLISIS)  

! Son  muy  parecidas:  por  esto  valen  exactamente  los  mismos  resultados  que  ya  hemos  obtenidos.      

Este  factor  pasa  arriba  en  la  DFT  

En  Matlab  –  DFT    

!   EN  LA  DFT,  EL  FACTOR  1/N  PASA  A  ESTAR  EN  LA  ECUACIÓN  DE  SÍNTESIS  (Y  SE  QUITA  DE  LA  ECUACIÓN  DE  ANÁLISIS)  

!   Hay  una  razón  para  hacer  esto….  (pensad  a  la  formula  que  relaciona  la  SF  con  TF….)  

Este  factor  pasa  arriba  en  la  DFT  

PRIMERA  PARTE  -­‐  Definición  DFT  

-­‐  Fast  Fourier  Transform  (FFT=  approx  DFT)  -­‐  Relación  DFT  con  SF  de  una  señal  discreta  -­‐  Relación  DFT  con  TF  de  una  señal  discreta  

!   En  esta  primera  parte,  se  interpretan  las  muestras  como  como  una  señal  discreta  (como  muestras  de  una  señal  discreta).  

!     En  la  segunda  parte,  se  interpretarán  las  muestras  como  obtenidas  a  través  de  un  muestreo  en  el  7empo  de  una  señal  con7nua.  

DFT

STD

1

Ubicándonos !  Tema 1: Señales y sistemas discretos en el dominio del tiempo !  Tema 2: Señales y sistemas discretos en el dominio de la frecuencia !  Tema 3: Muestreo !  Tema 4: Fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier

"  4.1 Definición: la DFT como el muestreo de la Transformada de Fourier "  4.2 Propiedades "  4.3 Convolución circular: definición y relación con la DFT "  4.4 La DFT en Matlab

!  Tema 5: Transformada Z !  Tema 6: Introducción al diseño de filtros discretos

#  Comentarios: !  Tema muy importante (el más difícil de entender) !  Resumen: los ordenadores sólo pueden calcular DFTs, la DFT puede interpretarse

como el muestreo de la TF (no siempre la TF de la señal original, sino la de una versión enventanada de la señal original)

!  Trabajo previo: relación entre la TF de una SD y la TF de un segmento de esa SD

ESQUEMA

DFT

STD

4

Definición de la DFT #  ¿Se utiliza sobre SC o sobre SD? ¿periódicas o aperiódicas? #  ¿Ecuaciones de análisis y síntesis?

#  La DFT es una transformación discreto a discreto, toma señales discretas de longitud finita y devuelve una señal discreta de longitud finita

!  x[n] tiene longitud N (ya veremos qué pasa si no es así), XN[k] tiene longitud N

!  La definición no es única, depende de N $ Deberemos decir “DFT de longitud N” !  En ocasiones se utiliza la notación:

DEFINICIÓN DE LA DFT

Ec. de síntesis de la DFT

Ec. de análisis de la DFT

DFT

STD

5

Cálculo de la DFT

#  Son parecidas a las ecuaciones de la TF, pero más fáciles de calcular

!  ¿Cuánto vale la DFT en 0?

!  Supongamos que N=4 ¿cuánto vale la DFT en 0, 1, 2, 3?

DEFINICIÓN DE LA DFT

Suma de valores de

x[n]!!

DFT

STD

6

Cálculo de la DFT

!  Supongamos que N=4 ¿cuánto vale la DFT de cualquier señal en 0, 1, 2, 3?

DEFINICIÓN DE LA DFT

Cada punto de la DFT se obtiene realizando N sumas y N multiplicaciones $ En total necesitamos N2 sumas y N2 multiplicaciones

DFT

STD

7

Cálculo de la DFT: Ejemplos

!  DFT de longitud 4 de las siguientes señales:

#  a)

#  b)

DEFINICIÓN DE LA DFT

DFT

STD

8

Cálculo de la DFT: Ejemplos

!  DFT de longitud 4 de las siguientes señales:

#  c)

#  d)

DEFINICIÓN DE LA DFT

DFT

STD

9

Cálculo de la DFT

!  Cada valor de la DFT N sumas y N multiplicaciones $ Se puede calcular a través de una matriz $ Matriz de DFT (¡es una matriz de Vandermonde!)

DEFINICIÓN DE LA DFT

Para el caso de N=4

Para el caso de N genérico

¡¡La DFT es muy fácil de calcular en un ordenador!!

DFT

STD

10

Cálculo de la DFT

!  ¿Se puede calcular también con “papel y lápiz” (simbólicamente)? $ Para casos fáciles sí

#  a)

#  b)

DEFINICIÓN DE LA DFT

¿Qué pasa con el numerador si N es impar? ¿Y si es par?

DFT

STD

11

Cálculo de la DFT !  Papel y lápiz…

#  c)

#  d)

DEFINICIÓN DE LA DFT

Más ejemplos: hojas de transformadas y propiedades

DFT

STD

12

Ubicándonos #  Tema 4: Fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier

!  4.1 Definición: la DFT como el muestreo de la TF "  4.1.0 Introducción "  4.1.1 Definición y ejemplos "  4.1.2 La DFT como el muestreo de la TF "  4.1.3 Problemas y aspectos prácticos

!  4.2 Propiedades !  4.3 Convolución circular: definición y relación con la DFT !  4.4 La DFT en Matlab

ESQUEMA

DFT

STD

13

Relacionando la DFT con la TF

#  La DFT se parece a la TF de secuencias, comparemos Ecs. Análisis

#  Diferencias: !  La TF es continua y la DFT es discreta; la TF es de longitud infinita y la DFT es de

longitud finita; la TF es periódica y la DFT es aperiódica !  ¿Qué pasa si tomamos N muestreas equiespaciadas de la TF en el intervalo [0,2π)?

DFT COMO TF MUESTREADA

La DFT es algo parecido a la TF muestreada ! estudiaremos esto con

mayor detalle

DFT

STD

14

Relacionando la DFT con la TF

#  Vamos a estudiar la relación entre DFT y TF para tres casos: !  a) Secuencias de longitud finita definidas entre 0 y N-1

!  b) Secuencias de longitud infinita

!  c) Secuencias de longitud finita pero definidas fuera del intervalo [0,N-1]

#  Vamos a ver que: !  Si tenemos “cuidado”, en los casos a) y c) la DFT puede utilizarse para obtener

muestras de la TF !  En el caso b) sólo podremos obtener los valores de forma aproximada (estaremos

muestreando una TF que no es exactamente la de la señal, pero que sí está relacionada con la TF original)

DFT COMO TF MUESTREADA

DFT

STD

15

Relacionando la DFT con la TF #  a) Secuencias de longitud finita definidas entre 0 y N-1

!  Si utilizamos el hecho de que la secuencia es finita

!  Muestreando en los valores:

DFT COMO TF MUESTREADA

¡¡La DFT es la TF muestreada!!

DFT

STD

16

DFT como TF muestrada: Ejemplo

#  Ej. 1:

DFT COMO TF MUESTREADA

La hemos calculado antes

Calculo  de  la  a_k  con  DFT  

!   Si  pensamos  que  nuestra  señal  es  realmente  periódica    y  queremos    los  a_k  que  tenemos  que  hacer?    

DIVIDIR  LO  QUE  NOS  DA  LA  DFT  POR  N  !    

ak =1N

XN [k]<latexit sha1_base64="ciQzP5gqMYd8CMkC+FA+esdYUI0=">AAAB/nicbVDLSsNAFL2pr1pfUXHlZrAIrkpSBd0IRTeuSgX7gDSEyXTSDp08mJkIJQT8FTcuFHHrd7jzb5y2WWjrgQuHc+7l3nv8hDOpLOvbKK2srq1vlDcrW9s7u3vm/kFHxqkgtE1iHouejyXlLKJtxRSnvURQHPqcdv3x7dTvPlIhWRw9qElC3RAPIxYwgpWWPPMIe+PrfiAwyew8a+Y9r+mMXc+sWjVrBrRM7IJUoUDLM7/6g5ikIY0U4VhKx7YS5WZYKEY4zSv9VNIEkzEeUkfTCIdUutns/BydamWAgljoihSaqb8nMhxKOQl93RliNZKL3lT8z3NSFVy5GYuSVNGIzBcFKUcqRtMs0IAJShSfaIKJYPpWREZYZ6F0YhUdgr348jLp1Gv2ea1+f1Ft3BRxlOEYTuAMbLiEBtxBC9pAIINneIU348l4Md6Nj3lryShmDuEPjM8f8BmVeA==</latexit>

DFT

STD

17

DFT como TF muestrada: Ejemplo

#  Ej. 2:

DFT COMO TF MUESTREADA

La hemos calculado antes

La hemos calculado antes

Ser consciente de la variable del eje

horizontal correspondiente a cada gráfica es fundamental

DFT

STD

18

DFT como TF muestrada: Ejemplo

#  Ej. 3:

DFT COMO TF MUESTREADA

La hemos calculado antes

La hemos calculado antes

¡Ojo, la condición no se cumple!

La condición no se cumple ! la DFT no se corresponde con el muestreo de la TF

DFT

STD

19

DFT como TF muestrada: Ejemplo

#  Ej. 4:

DFT COMO TF MUESTREADA

La hemos calculado antes

DFT

STD

38

Problemas: complejidad computacional #  Hemos visto que la DFTN puede calcularse a como el producto de un

vector de longitud N por una matriz de tamaño N x N !  Coste computacional: N2 sumas y N2 multiplicaciones complejas !  Si N es muy grande (e.g. 10.000) es demasiado costoso

#  Solución: FFT (Fast Fourier Transform) !  Es un algoritmo que permite calcular la DFT de forma más eficiente !  ¿Cómo? Aprovechando la estructura de la matriz de DFT !  N tiene que ser una potencia de 2 !  Coste computacional: log2(N)·N sumas y log2(N/2)·N multiplicaciones complejas

#  Comparación: N=8192 $ 134 millones (DFT) vs. 0.2 millones (FFT)

#  En la práctica N de hasta 216=65536, las DFT siempre suelen hacerse de potencias de 2 (telefonía celular 4G, telescopios, etc.)

PROBLEMAS E IMPLEMENTACIÓN

DFT

STD

61

Ubicándonos #  Tema 4: Fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier

!  4.1 Definición: la DFT como el muestreo de la TF !  4.2 Propiedades !  4.3 Convolución circular: definición y relación con la DFT !  4.4 La DFT en Matlab

#  Comentarios: !  Bibliografía básica y complementaria: [BB2: Opp&Sch] Cap. 8, Secs. 8.0-8.5; [BB3:

McC&Sch&Yod] Cap. 13, Secs. 13.0-13.5

ESQUEMA

DFT

STD

62

Función en Matlab que calcula la DFT #  No existe ni la función dft (idft), sino la función fft (ifft)

FFT(x,N) is the N-point FFT, padded with zeros if x has less than N points and truncated if it has more.

For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, with elements N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N. n=1 The inverse DFT (computed by IFFT) is given by N x(n) = (1/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. k=1

#  Le damos el valor de las amplitudes y nos devuelve valor de las amplitudes !  ¿En qué intervalo de tiempo supone Matlab que está definida la señal x? !  ¿Cuáles son los ejes de las amplitudes que nos devuelve fft?

DFT en MATLAB

DFT

STD

63

Función en Matlab que calcula la DFT #  ¿Cuáles son los ejes?

N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N. n=1

N-1 X[k] = sum x[n]*exp(-j*2*pi*k*n/N), 0 <= k <= N-1. n=0

!  x=[1 1 1 1 1 zeros(1,15)]; !  X=fft(x,N); !  k=0:(N-1); !  figure; stem(k,abs(X));

DFT en MATLAB

FFT

x = X=fft(x)=

n = k =

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

!  Matlab

!  Form. teórica

!  Conclusión

DFT

STD

64

Estimando la TF de una señal discreta #  Asumimos que la señal está definida en [0,N-1] (If not ! enventanado)

!  La DFT equivale a tomar N muestras equiespaciadas en el intervalo [0,2π)

!  Por tanto: "  X=fft(x,N); "  Omega=(0:(N-1))*(2*pi/N); "  figure; plot(Omega,abs(X));

!  ¿Qué pasa si queremos dibujar varios periodos? "  X=fft(x,N); X_per=[X, X, X, X] "  Omega=(-N:(3*N-1))*(2*pi/N); "  figure; plot(Omega,abs(X_per));

DFT en MATLAB

%Utilizamos plot

(continua) y no stem

DFT

STD

65

Estimando la TF de una señal discreta

!  ¿Qué pasa si queremos dibujarla en el intervalo [-π,π)? "  X=fft(x,N); X_cent=fftshift(X); "  Omega = ((-N/2):(N/2-1))*(2*pi/N); "  figure; plot(Omega,abs(X_cent));

DFT en MATLAB

SEGUNDA  PARTE  

!     En  esta  segunda  parte,  se  interpretarán  las  muestras  como  obtenidas  a  través  de  un  muestreo  en  el  7empo  de  una  señal  con7nua.  

DFT

STD

66

Estimando la TF de una señal continua #  ¿Y qué ocurre con la TF de señales continuas?

!  Paso 1: Utilizamos tema muestreo para relacionar TF de señal continua con TF de señal discreta $ 3 efectos: 1) amplitud modificada por 1/Ts, 2) expansión por Ts del eje de frecuencias, 3) réplicas cada 2π

!  Paso 2: Utilizamos las transparencia anteriores para relacionar TF de señal discreta con DFT de señal discreta (misma amplitud, eje frec. muestreado)

#  Por tanto:

!  A) Eje vertical (amplitud): Paso 1 multiplica por 1/Ts, Paso 2 no hace nada $ Hay que multiplicar la amplitud de la DFT por Ts

!  B) Eje horizontal (frecuencia): "  Paso 1: al muestrear las frecuencias entre 0 y ωs/2 pasan a estar entre 0 y π "  Paso 2: Al hacer la DFT las frecuencias entre 0 y π constituyen los primeros N/2

puntos de la DFT "  Paso 1 + 2: las N/2 primeros puntos de la DFT corresponden a tomar N/2

muestras de la TF de la señal continua entre 0 y ωs/2

DFT en MATLAB

FFT  en  Matlab  (T,  sampling  period)    

N = 51<latexit sha1_base64="yP0Lu1Pki5v0+yvHqNiGIfgTzS8=">AAACG3icbVDLSsNAFJ3UV42vqks3wVJwFZK0optCwY2rUsE+IAlhMp20QyYPZiZCCf0PN/6KGxeKuBJc+DdO2iy09cCFwzn3cu89fkoJF4bxrVQ2Nre2d6q76t7+weFR7fhkwJOMIdxHCU3YyIccUxLjviCC4lHKMIx8iod+eFP4wwfMOEniezFLsRvBSUwCgqCQklezuu1LU204AYMot5yUzPPuvG3optW01Ab0wvbSMgt95HXt0PVqdUM3FtDWiVmSOijR82qfzjhBWYRjgSjk3DaNVLg5ZIIgiueqk3GcQhTCCbYljWGEuZsvfptrDamMtSBhsmKhLdTfEzmMOJ9FvuyMoJjyVa8Q//PsTATXbk7iNBM4RstFQUY1kWhFUNqYMIwEnUkCESPyVg1NocxCyDhVGYK5+vI6GVi62dStu1a90yrjqIIzcA4ugAmuQAfcgh7oAwQewTN4BW/Kk/KivCsfy9aKUs6cgj9Qvn4A5rme2w==</latexit>

FFT  en  Matlab  (T,  sampling  period)    

2⇡<latexit sha1_base64="plEd4ytRxhc1HJi72CrfdvRliEY=">AAACBHicbVDLSsNAFJ3UV42vqMtuBkvBVUmqoBuh6MZVqWAfkIQwmU7aIZMHMxOhhCzc+CtuXCji1o9w5984bbPQ1gMXDufcy733+CmjQprmt1ZZW9/Y3Kpu6zu7e/sHxuFRXyQZx6SHE5bwoY8EYTQmPUklI8OUExT5jAz88GbmDx4IFzSJ7+U0JW6ExjENKEZSSZ5Razkp1RvIC6+cgCOcW0XeKYZexw5dz6ibTXMOuEqsktRBia5nfDmjBGcRiSVmSAjbMlPp5ohLihkpdCcTJEU4RGNiKxqjiAg3nz9RwIZSRjBIuKpYwrn6eyJHkRDTyFedEZITsezNxP88O5PBpZvTOM0kifFiUZAxKBM4SwSOKCdYsqkiCHOqboV4glQWUuWmqxCs5ZdXSb/VtM6arbvzevu6jKMKauAEnAILXIA2uAVd0AMYPIJn8AretCftRXvXPhatFa2cOQZ/oH3+AFyxl0o=</latexit>

⇡<latexit sha1_base64="K8c9jhQwxmgI2bf6u5sgJ/WO+v4=">AAACA3icbVDLSsNAFJ3UV42vqDvdDJaCq5JUQTdC0Y2rUsE+IAlhMp20QyYPZiZCCQE3/oobF4q49Sfc+TdO2yy09cCFwzn3cu89fsqokKb5rVVWVtfWN6qb+tb2zu6esX/QE0nGMenihCV84CNBGI1JV1LJyCDlBEU+I30/vJn6/QfCBU3iezlJiRuhUUwDipFUkmccOSnV68gLr5yAI5xbRd4uBl7bDl3PqJkNcwa4TKyS1ECJjmd8OcMEZxGJJWZICNsyU+nmiEuKGSl0JxMkRThEI2IrGqOICDef/VDAulKGMEi4qljCmfp7IkeREJPIV50RkmOx6E3F/zw7k8Glm9M4zSSJ8XxRkDEoEzgNBA4pJ1iyiSIIc6puhXiMVBZSxaarEKzFl5dJr9mwzhrNu/Na67qMowqOwQk4BRa4AC1wCzqgCzB4BM/gFbxpT9qL9q59zFsrWjlzCP5A+/wB5pGXDg==</latexit>

2⇡

N= 0.1232

<latexit sha1_base64="wq14RBoCS+b3JyKTYsac6dfJWcs=">AAACFXicbVDLSsNAFJ3UV62vqks3wVJwISFJC7opFNy4KhXsA5oQJtNJO3QyCTMToYT8hBt/xY0LRdwK7vwbJ20W2nrgwuGce7n3Hj+mREjT/NZKG5tb2zvl3cre/sHhUfX4pC+ihCPcQxGN+NCHAlPCcE8SSfEw5hiGPsUDf3aT+4MHzAWJ2L2cx9gN4YSRgCAoleRVL52AQ5TaTkyytJO1TMOyG3alDr1Za2lZuT70OqOZ61VrpmEuoK8TqyA1UKDrVb+ccYSSEDOJKBRiZJmxdFPIJUEUZxUnETiGaAYneKQogyEWbrr4KtPrShnrQcRVMakv1N8TKQyFmIe+6gyhnIpVLxf/80aJDK7dlLA4kZih5aIgobqM9DwifUw4RpLOFYGIE3WrjqZQZSFVkBUVgrX68jrp24bVMOy7Zq3dLOIogzNwDi6ABa5AG9yCLugBBB7BM3gFb9qT9qK9ax/L1pJWzJyCP9A+fwAc4p1/</latexit>

Entre  dos  puntos  hay:  

FFT  en  Matlab  (T,  sampling  period)    

2⇡

NT= 0.6160

<latexit sha1_base64="ktHKTyS0ren5VICHJqkXBJPtdxQ=">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</latexit>

Entre  dos  puntos  hay:  

!s

2=

⇡

T= 15.7080

<latexit sha1_base64="kdYl5JcBX45EHkA18/eYFJCLo9E=">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</latexit>

FFT  en  Matlab  (T,  sampling  period)    

2⇡

NT= 0.6160

<latexit sha1_base64="ktHKTyS0ren5VICHJqkXBJPtdxQ=">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</latexit>

Entre  dos  puntos  hay:  

!s

2=

⇡

T= 15.7080

<latexit sha1_base64="kdYl5JcBX45EHkA18/eYFJCLo9E=">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</latexit>

POR  NYQUIST  ESTO  NO  TIENE  VALOR  !!!  NO  TIENEN  “SENTIDO”  !!  

SI  EL  MUESTREO  EL  TIEMPO  ESTA  BIEN  HECHO,  PODEMOS  “VER”  SOLO  HASTA  LA  FRECUENCIA                                          !!!    !s

2=

⇡

T= 15.7080

<latexit sha1_base64="kdYl5JcBX45EHkA18/eYFJCLo9E=">AAACRnicbZDNS8MwGMbfzu/6NfXopTgGnkozddtlMPDiaSg4N9hKSbN0hqUfJKkwSv86L569+Sd48aCIV7OtB50+EHh4fu9LksdPOJPKcV6M0srq2vrG5pa5vbO7t18+OLyTcSoI7ZKYx6LvY0k5i2hXMcVpPxEUhz6nPX9yOeO9Byoki6NbNU2oG+JxxAJGsNKRV3aHgcAkG8YhHWNP5lktbxVRwvLsNm+hC7vhNB2z2mldILO6gLU57Wjs2HVU1xR7k2IRaZD3vc5g4nrlimM7c1l/DSpMBQpde+Xn4SgmaUgjRTiWcoCcRLkZFooRTnNzmEqaYDLBYzrQNsIhlW42ryG3qjoZWUEs9ImUNU9/bmQ4lHIa+noyxOpeLrNZ+B8bpCpouhmLklTRiCwuClJuqdiadWqNmKBE8ak2mAim32qRe6y7ULp5U5eAlr/819zVbHRm127OK+3zoo5NOIYTOAUEDWjDFVxDFwg8wiu8w4fxZLwZn8bXYrRkFDtH8Esl+AaEEa6x</latexit>

FFT  en  Matlab  (T,  sampling  period)    

!s

2=

⇡

T= 15.7080

<latexit sha1_base64="Lm0uK5lILLMUya82L/DpOho9+L8=">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</latexit>

2⇡

NT= 0.6160

<latexit sha1_base64="ktHKTyS0ren5VICHJqkXBJPtdxQ=">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</latexit>

Entre  dos  puntos  hay:   N

2= 25.5

<latexit sha1_base64="CIf0DshN8PXaUtophUvhf2RQBtg=">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</latexit>

Numero  de  puntos:  

(26;  en  esta  figura  falta  un  punto)  

DFT

STD

67

Estimando la TF de una señal continua #  Si queremos estimar la TF de la señal continua

!  Ts=.001; t=0:Ts:.999; N=length(t); x=sinc((t-.5)/.01);

!  X=fft(x,N); !  Omega=(0:(N-1))*(2*pi/N); !  %Esta sería la frec. discreta

!  Fs=1/Ts; Ws=2*pi*Fs; !  X_m = Ts*X(1:N/2); !  omega = Omega(1:N/2)/Ts; !  %También omega = Omega(1:N/2)*fs; !  %También omega = (0:(N/2-1))*Ws/N;

!  figure; !  subplot(2,1,1); plot(omega,abs(X_m)); !  subplot(2,1,2); plot(omega,angle(X_m)); !  %Ojo, pintamos la mitad

DFT en MATLAB

Resolución espectral (rads/seg)

DFT

STD

68

Estimando la TF de una señal continua #  Si queremos estimar también la parte negativa de la TF

!  Ts=.001; t=0:Ts:.999; N=length(t); x=sinc((t-.5)/.01);

!  X=fft(x,N); X_c = fftshift(X); !  Omega=(-N/2:(N/2-1))*(2*pi/N); !  %También Omega=–pi:(2*pi/N):pi; !  %(sigue) Omega=Omega(1:end-1);

!  X_c = Ts*X_c; omega = Omega/Ts; !  %También omega = -(Ws/2):(Ws/N):(Ws/2); !  % (sigue) omega=omega(1:end-1);

!  figure; !  subplot(2,1,1); !  plot(omega,abs(X_c)); !  subplot(2,1,2); !  plot(omega,angle(X_c));

DFT en MATLAB

DFT

STD

69

Estimando la TF de una señal continua #  Si queremos que las unidades de la TF sean Hz

!  Ts=.001; t=0:Ts:.999; N=length(t); x=sinc((t-.5)/.01);

!  X=fft(x,N); !  X_c = Ts*fftshift(X);

!  Fs=1/Ts;

!  f=(-Fs/2):(Fs/N):(Fs/2); !  f=f(1:end-1);

!  figure; !  subplot(2,1,1); !  plot(f,abs(X_c)); !  axis([-Fs/2 Fs/2 0 max(abs(X_m))]) !  subplot(2,1,2); !  plot(f,angle(X_c)); !  axis([-Fs/2 Fs/2 -pi pi])

DFT en MATLAB

DFT

STD

70

DFT en Matlab: otros apectos #  ¿Qué ocurre si tenemos una señal fuera del intervalo [0,N-1]?

!  Tenemos que corregirlo nosotros, desplazándola para llevarla al intervalo [0,N-1] !  La TF cambia (desplazar en tiempo = multiplicar por una exponencial en frecuencia)

!  n=-6:6; x=n.^2; N=1000; Omega=0:(2*pi/N):(2*pi-2*pi/N); !  X=fft(x,N); %Matlab siempre asume que empieza en 0 (no hay que hacer nada) !  X_correg = X.*exp(j*6*Omega); %Como no empieza en 0 sino en ==> corregimos

!  figure; subplot(2,1,1); plot(abs(X)); !  subplot(2,1,2); plot(angle(X)); !  figure; subplot(2,1,1); plot(abs(X_correg)); !  subplot(2,1,2); plot(angle(X_correg));

DFT en MATLAB

¿Cuál es X y cuál es X_correg ?