Tema 4: Análisis de señales y de sistemas discretos Análisis de señales y de sistemas discretos en el dominio de la frecuenciaen el dominio de la frecuencia

Ing. Jorge Enrique Montealegrejorge.montealegre@unad.edu.co

Análisis de señales y de Análisis de señales y de sistemas discretos en el sistemas discretos en el dominio de la frecuenciadominio de la frecuencia

1.1. IntroducciónIntroducción

2.2. La transformada discreta de Fourier.La transformada discreta de Fourier.

3.3. La transformada rápida de FourierLa transformada rápida de Fourier

1. Introducción1. Introducción

Representación de señales periódicas (SDF).Sea x (n) una señal periódica de periodo N, tal que x(n) = x(n + N) para toda n. Esta señal se puede representar mediante un desarrollo de series de Fourier:

donde k es un entero y {ck} son los coeficientes de la representación. A causa de la periodicidad tenemos

Solo bastan N exponenciales complejas periódicas para la representación de x(n) en series de Fourier.

)()( )2( Nneene kknNj

k

knNjN

kkecnx )2(

1

0

)(

Empleando propiedades de ortogonalidad y manipulación matemática podemos obtener los coeficientes de la serie de Fourier a partir de x(n):

Donde la secuencia ck es periódica con periodo N, esto es, ck = ck+N.

Entonces, el espectro de una señal x(n) periódica con periodo N, es también una secuencia periódica de periodo N.

knNjN

nk enx

Nc )2(

1

0

)(1

Determinar el espectro de: nnx 2cos)(

3cos)(

nnx

4con }0,0,1,1{)( Nnx

Propiedades del desarrollo en SFD.Linealidad.

Dadas dos señales periódicas x1(n) y x2(n), ambas con periodo N, tales que

Entonces

Desplazamiento de una señal.

Si una señal periódica x(n), tiene como coeficientes de Fourier ck, entonces x(n - m) es una versión desplazada de x(n) y

Convolución periódica.

Sean x1(n) y x2(n) dos secuencias periódicas, ambas con periodo N, y cuyos coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier son c1k y c2k respectivamente. Si tenemos

Entonces la convolución de estas secuencias es:

En resumen

Por dualidad

Dualidad.

Si

entonces

Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo discreto.

La TF de una señal de energía finita x(n) (aperiódica) en el tiempo discreto se define como

X(ω) es una descomposición de x(n) en sus componentes de frecuencia. Donde, X(ω) es periódica con periodo 2π, esto es

Finalmente, la transformada inversa es:

1. La transformada discreta de Fourier1. La transformada discreta de Fourier

Muestreo en el dominio de la frecuencia y reconstruccion de señales en tiempo discreto.

Consideremos una señal aperiódica en tiempo discreto x(n), con transformada de Fourier

Ahora, muestreamos X(ω) periódicamente a una tasa de δω = 2π/N radianes. Si ω= 2πk/N entonces cada muestra de X(ω) es

k = 0, 1, …, N - 1

X(kδω)

Reacomodando tenemos que cada muestra es:

para k = 0, 1, …, N-1.

La señal

obtenida repitiendo x(n) cada N muestras, es periódica con periodo fundamental N, y puede desarrollarse en serie de Fourier como

Cuyos coeficientes de Fourier son:

periódica

Entonces tenemos que

Por lo tanto la señal periódica xp(n) puede obtenerse a partir de las muestras de X(ω)

x(n) puede recuperarse a partir de xp(n) si no existe aliasing en el dominio del tiempo, es decir, si x(n) no está limitada en tiempo a una duración menor que el periodo N de xp(n).

Dado que x(n) = xp(n) para 0 ≤ n ≤ N – 1 tenemos que la señal original x(n) obtenida de las muestras de X(ω) es

Ahora bien

Y si definimos

Función de interpolación

La transformada de Fourier obtenida a partir de sus muestras estará dada por

Donde no se presente aliasing.

P(ω) tiene la propiedad

En consecuencia, obtendremos exactamente los valores de las muestras X(2πk/N) para ω = 2πk/N.

Consideremos la señal x(n) = anu(n) con 0 < a < 1. Su espectro se muestreaa ωk = 2πk/N con k = 0, 1, …, N-1. Determinar el espectro reconstruido paraa = 0.8 cuando N = 5 y N = 50

La Transformada de Fourier Discreta (DFT).

Recordemos que una señal periódica es:

Considerando solo las L muestras de esta señal tenemos

Cuando se muestrea X(ω) a una tasa de 2πk/N podemos decir que

Finalmente, las fórmulas de la DFT e IDFT de x(n) son:

La DFT como una transformación lineal

Las fórmulas para la DFT e IDFT de x(n) se pueden expresar como:

donde:

Si definimos las señales como vectores:

Podemos expresar de forma matricial la DFT

Donde WN es la matriz de transformación lineal.

La IDFT se expresa como

o bien

Donde

Calcula la DFT de la secuencia de cuatro puntos x(n) = {0 1 2 3}

Propiedades de la DFT

La DFT es un conjunto de N muestras {X(k)} de la TF X(ω) de una señal finita {x(n)} de longitud L ≤ N.

El muestreo de X(ω) se presenta en N frecuencias igualmente espaciadas ωk = 2πk/N, k = 0, 1, 2, .., N-1.

Las N muestras {X(k)} representan a la secuencia {x(n)} en el dominio de la frecuencia.

Las DFT e IDFT de una secuencia {x(n)} de N puntos son:

Periodicidad

Si x(n) y X(k) son un par de la DFT de N puntos, entonces

x(n + N) = x(n) para toda n

X(k + N) = X(k) para toda k

Linealidad.

Si

entonces para cualquier par de constantes a1 y a2, reales o complejas, se cumple

Simetría circular de una secuencia.

La DFT de N puntos de la señal x(n) con longitud L ≤ N equivale a la DFT de N puntos de la secuencia periódica xp(n) de periódo N, la cual se obtiene extendiendo x(n) periódicamente así

Si desplazamos xp(n) en k unidades a la derecha tenemos

y además vemos que

se relaciona con la secuencia original x(n) por medio de un desplazamiento circular.

En general, el desplazamiento circular de una secuencia se puede representar como el índice de módulo N.

Ejemplo, con k = 2 y N = 4, tenemos

Lo cual implica que

x’(n) es x(n) desplazada circularmente dos unidades de tiempo en el sentido opuesto a las manecillas del reloj.

0 1 2 3

x(n)

n

n

n

n

0 1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1

xp(n)

xp(n-2)

-2 -1 0 1 2 3 4 5-6 -5 -4 -3

x’(n)

0 1 2 3

x(0) = 1x(2) = 3

x(1) = 2

x(3) = 4

x(n)

x’(0) = 3x’(2) = 1

x’(1) = 4

x´(3) = 2

x(n)

Una secuencia de N puntos es circularmente par si es simétrica respecto al punto cero en el círculo. Esto implica que

Una secuencia de N puntos es circularmente impar si es antisimétrica respecto al punto cero en el círculo. Esto implica que

El tiempo inverso de una secuencia de N puntos se obtiene invirtiendo sus muestras alrededor del punto cero en el círculo. Así, la secuencia x((-n))N esta dada por

que equivale a dibujar x(n) en el sentido de las manecillas del reloj en un círculo.

Propiedades de simetría de la DFT.

Asumimos que la secuencia de N puntos x(n) y su DFT son complejas, pudiéndose expresar como:

Sustituyendo en la expresión de la DFT

De manera similar, para la IDFT tenemos:

Secuencias reales.

Si x(n) es real, tenemos que

En consecuencia

Secuencias reales y pares.

Si x(n) es real y par, esto es,

Entonces XI(k) = 0 y la DFT se reduce a

y la IDFT a

Secuencias reales e impares.

Si x(n) es real e impar, esto es,

Entonces XR(k) = 0 y la DFT se reduce a

y la IDFT a

Secuencias puramente imaginarias.

En este caso x(n) = jxI(n) y en consecuencia,

donde XR(k) es impar y XI(k) es par.

Si xI(n) es impar, XI(k) = 0 y por lo tanto X(k) es puramente real.

Si xI(n) es par, XR(k) = 0 y por lo tanto X(k) es puramente imaginaria.

En resumen

Multiplicación de DFTs y convolución circular.

Tenemos dos señales de longitud N, x1(n) y x2(n) con sus respectivas DFT de N puntos.

Si las multiplicamos tenemos

que corresponde a una secuencia x3(n) de longitud N.

La IDTF de {X3(n)} es

Sustituyendo, manipulando matemáticamente y aplicando convergencias geométricas llegamos a:

que tiene la forma de una suma de convolución la cual involucra al índice ((m-n))N y es denominada convolución circular.

Realiza la convolución circular de las siguientes dos secuencias:

Realiza la convolución de las siguientes dos secuencias a partir de la DFT e IDFT

Convolución circular.

Si

entonces

Propiedades adicionales.

Tiempo inverso de una secuencia.

Si

Entonces

Por lo tanto, invertir la secuencia de N puntos en el tiempo equivale a invertir los valores de la DFT.

x(0)

x(1)

x(7)

x(4)

x(3)

x(2)

x(6)

x(5)

x(0)

x(7)

x(1)

x(4)

x(5)

x(6)

x(2)

x(3)

Desplazamiento circular en tiempo de una secuencia.

Si

Entonces

Desplazamiento circular en frecuencia.

Si

Entonces

Módulo 4Propiedades del conjugado complejo.

Si

Entonces

y

Correlación circular.

En general, para las secuencias complejas x(n) y y(n), si

Entonces

donde rxy(l) es la secuencia de correlación cruzada (no normalizada) definida como

Multiplicación de dos secuencias.

Si

Entonces

Teorema de Parseval.

En general, para las secuencias complejas x(n) y y(n), si

Entonces

Métodos de filtrado lineal basados en la DFT.Uso de la DFT en filtrado lineal.

Supogamos que tenemos una secuencia x(n) de longitud L, que excita un filtro FIR de longitud M. Sea

Donde h(n) es la respuesta al impulso.

La salida y(n) puede expresarse como

cuya duración es L + M - 1.

El equivalente en el dominio de la frecuencia es

Si y(n) se representa través de Y(ω) en un conjunto de frecuencias discretas, el número de éstas debe ser mayor o igual a L + M - 1. Entonces, necesitamos una DFT de tamaño N ≥ L + M - 1, para representar {y(n)} en el dominio de la frecuencia. Ahora, si

entonces

Donde {X(k)} y {H(k)} son las DFTs de N muestras de x(n) y h(n), respectivamente.

Como x(n) y h(n) son menores a N, se rellenan estas secuencias con ceros hasta alcanzar una longitud N.

Usando TDF y TDFI determinar la respuesta del filtro FIR con respuesta al impulsoh(n) = {1, 2, 3} a la secuencia de entrada x(n) = {1, 2, 1, 2} para 8 puntos.

Determinar la secuencia de salida y(n) resultante de usar cuatro puntos de la TDFdel ejemplo anterior. ¿Qué se observa?

Filtrado de secuencias de larga duración.

La entrada se fragmenta en bloques y cada uno se procesa con la TDF y TIDF para obtener bloques de salida que se unen para conseguir la salida global.

Existen dos métodos: • Método de solapamiento y almacenamiento• Método de solapamiento y suma.

En ambos, suponemos al filtro FIR de longitud M.

La entrada se fragmenta en bloques de tamaño L.

Donde L >> M .

Método de solapamiento y almacenamiento

El tamaño de los bloques de entrada es N = L + M – 1.

La longitud de cada TDF y TIDF es N.

Cada bloque de datos contiene al menos M -1 puntos del bloque de datos anterior, seguido de L nuevos puntos.

Se calcula la TDF de N puntos para cada bloque.

Se aumenta el tamaño del filtro de respuesta al impulso agregando L - 1 ceros.

Se calcula la TDF de los N puntos y se almacena.

La multiplicación de las dos TDF de N puntos, {X(k)} y {H(k)}, correspondiente al m-ésimo bloque de datos da lugar a:

Y la TIDF de N puntos nos da:

Para evitar pérdida de datos por aliasing, se almacenan los últimos M – 1 puntos de cada registro de datos, los cuales vienen a ser los M -1 puntos del registro siguiente.

Para empezar el procesamiento, los M - 1 primeros se hacen iguales a cero. Por lo tanto

y así sucesivamente.

L L L

Señal de entrada

x1(n)M – 1 ceros

x2(n)

x3(n)

Señal de salida

y1(n)

DespreciarM – 1 puntos

y2(n)

y3(n)

Método de solapamiento y suma

El tamaño de los bloques de entrada es L.

La longitud de cada TDF y TIDF es N = L + M - 1.

A cada bloque de datos se le agregan M -1 ceros y se calcula la TDF de N puntos.

Por lo tanto, cada bloque puede representarse como:

y así sucesivamente.

Las dos DFTs de N puntos se multiplican para formar

La TIDF da como resultado bloques de tamaño N que no están afectados por el aliasing.

Los últimos M -1 puntos de cada bloque de salida deben solaparse y sumarse a los M - 1 primeros del siguiente.

La secuencia de salida es:

L L L

Señal de entrada

x1(n)M – 1 ceros

x2(n)

x3(n)

Señal de salida

y1(n)

M – 1 puntosañadidos almismo tiempo

y2(n)

y3(n)

2. La Transformada Rápida de 2. La Transformada Rápida de Fourier (FFT)Fourier (FFT)

El problema al calcular la TDF se halla en obtener la secuencia {X(k)} de N números complejos a partir de {x(n)} con longitud N según:

con

En general, se supone que {x(n)} también es compleja.

De manera similar, la TIDF viene dada por:

Tanto para la TDF, como para la TIDF se realizan el mismo tipo de operaciones.

Para cada valor k, el cálculo directo de X(k) supone llevar a cabo N multiplicaciones complejas (4N reales) y N - 1 sumas complejas (4N - 2 reales).

Para calcular los N valores de la TDF se requieren N2 multiplicaciones complejas y N2 - N sumas complejas.

Por eso el cálculo directo de la TDF es ineficiente y no explota las propiedades de simetría y periodicidad del factor de fase WN:

Metodología “divide y vencerás”

Método basado en la descomposición de la TDF de N puntos en TDF más pequeñas, y lleva a una familia de algoritmos computacionalmente eficientes: FFT.

Consideremos el cálculo de una TDF de N puntos dondeN = LM.

x(n) puede almacenarse en un vector con índice n, o en una matriz con índices l (renglones) y m (columnas).

Y de igual manera podemos almacenar X(k).

El almacenamiento matricial supone dos posibles configuraciones:

l-ml-m 00 11 …… M-1M-1

00 x(0)x(0) x(1)x(1) …… x(2M-1)x(2M-1)

11 x(2M)x(2M) x(2M+1)x(2M+1) …… x(3M-1)x(3M-1)

…… …… …… …… ……

L-1L-1 x((L-1)M)x((L-1)M) x((L-1)M+1)x((L-1)M+1) …… x(LM-1)x(LM-1)

l-ml-m 00 11 …… M-1M-1

00 x(0)x(0) x(L)x(L) …… x((M-1)L)x((M-1)L)

11 x(1)x(1) x(L+1)x(L+1) …… x((M-1)L+1)x((M-1)L+1)

…… …… …… …… ……

L-1L-1 x(L-1)x(L-1) x(2L-1)x(2L-1) …… x(LM-1)x(LM-1)

Ponemos a x(n) en una matriz x(l, m) y a X(k) en X(p, q).

Así la TDF puede expresarse de la siguiente manera:

Pero

Sin embargo

Entonces

El cálculo de esta TDF tiene tres pasos:

1. Calcular las TDF de M puntos para cada renglón l = 0, 1, …, L-1.

2. Calcular la nueva matriz G(l, q) definida como

3. Calcular las TDF de L puntos para cada columna q = 0, 1, …, M – 1 de la matriz G(l, q).

Calcular la TDF para N = 15 con L = 5 y M = 3.

Otro algoritmo similar sería:

Resumido de la siguiente manera:

1. Almacenar la señal por renglones

2. Calcular la TDF de L puntos en cada columna

3. Multiplicar la matriz resultante por WNpm

4. Calcular la TDF de M puntos de cada renglón

5. Leer por columnas la matriz resultante

Número de

puntos, N

Multiplicaciones complejas en el cálculo directo,

N2

Multiplicaciones complejas en el algoritmo FFT,

(N/2)log2N

Factor de mejora de

la velocidad

4 16 4 4.0

8 64 12 5.3

16 256 32 8.0

32 1024 80 12.8

64 4096 192 21.3

128 16384 448 36.6

256 65536 1024 64.0

512 262144 2304 113.8

1024 1048576 5120 204.8

COMPARACIÓN DE LA COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL ENTRE LA TDF Y LA FFT.

Otros algoritmos:

1. Algoritmos para la FFT base 2

2. Algoritmos para la FFT base 4

3. Algoritmos para la FFT de base partida

Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications

J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996. 

Introduction to Signals and Systems, D. K. LindnerMcGraw Hill, 1999.

Signals and Systems: Continuous and Discrete.R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. FanninPrentice Hall, 4a Ed. 1998

Principles of Signals and Systems F. J. TaylorMcGraw Hill, 1a Ed. 1994

Signals and SystemsA. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed. 1993.

Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed. 1996.