análisis de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia

9 - 1

ANLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

INTRODUCCIN En el captulo 7 se presentaron las estrategias para el anlisis de un sistema en tiempo discreto, con el propsito de evaluar su respuesta dinmica a una entrada conocida. El sistema fue modelado por una ecuacin en diferencias (EED), cuya solucin es la respuesta del sistema en el dominio del tiempo discreto. En el captulo 8 se desarroll un mtodo de transformacin que facilit la evaluacin de la respuesta del sistema, utilizando como herramienta la transformada Z. En los dos casos, la evaluacin del comportamiento dinmico del sistema est supeditada al uso de prototipos de primero o segundo orden y al conocimiento de la entrada del sistema, reconocida como la seal de prueba. En el captulo 4 se presentaron los mtodos clsicos para el anlisis de un sistema continuo en el dominio de la frecuencia, cuya principal caracterstica es que pueden aplicarse indistintamente a cualquier orden del sistema y no se requiere la utilizacin de seales de prueba. En este captulo se demostrar que es posible aplicar estos mtodos para el anlisis de un sistema definido en el dominio del tiempo discreto.

Se har referencia al concepto de respuesta de frecuencia (RDF) que permite inferir sobre el comportamiento dinmico del sistema en tiempo discreto, desde el dominio de la frecuencia digital. En forma anloga al tratamiento que se dio en el captulo 4 al sistema continuo, la RDF se desarrollar a partir de la funcin de transferencia discreta (FTD) y se establecer su relacin con la respuesta impulso del sistema. Posteriormente se desarrollar la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD) a partir de la FTD, como una herramienta generalizada para el anlisis de un sistema discreto LIT en el dominio de la frecuencia digital. Para comprender la relacin que existe entre la transformada de Fourier en tiempo continuo (TFTC) y su anloga la TFTD, ser necesario revisar el proceso de muestreo y reconstruccin de una seal continua.

Finalmente se desarrollar la transformada discreta de Fourier (TDF), como una

herramienta para facilitar la evaluacin numrica de TFTD. El punto de partida ser la serie de Fourier en tiempo discreto (SFTD), que ms que una herramienta para la representacin de seales aperidicas como la suma seales senoidales, permitir reconocer a la TDF como la versin muestreada de la TFTD.

9

9 - 2 Captulo 9 ANALISIS DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

SEALES Y SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS Aplicaciones en MATLAB - Carlos Alberto Rey Soto - 2008

9.1 DOMINIO DEL TIEMPO v/s DOMINIO DE LA FRECUENCIA

En esta seccin se demostrar que es posible representar una seal armnica [ ]x n definida en el dominio del tiempo discreto, en trminos de sus valores caractersticos de frecuencia, amplitud y fase. Esta representacin es el fundamento de la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD). Si el sistema se modela a travs de su respuesta impulso [ ]h n o de su funcin de transferencia ( )H z , un tratamiento similar permitir desarrollar la respuesta de frecuencia (RDF) del sistema discreto para evaluar su comportamiento dinmico en el dominio del tiempo.

Respuesta a una seal discreta exponencial compleja

Si un sistema discreto LIT modelado por su respuesta impulso [ ]h n es sometido a una seal armnica 0( )[ ] j nx n Ae += , donde A es la amplitud, 0 la frecuencia digital en radianes y la fase en radianes, segn la convolucin lineal (7.68) su respuesta forzada es

0 0 0[( ) ) ( )

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]j n k j k j nk k x n

y n h n x n h k Ae h k e Ae + += =

= = = (9.1) El trmino entre corchetes es una funcin compleja que solo depende de la frecuencia digital 0 y puede expresarse como

( )0 0[ ]j j kk

H e h k e =

= (9.2) De este modo, sustituyendo (9.2) en (9.1) la respuesta forzada del sistema discreto es

( )0[ ] [ ]jy n H e x n= (9.3) La ecuacin (9.2) es similar a la ecuacin (8.1) y corresponde a la FTD del sistema evaluada para 0jz e = . Considerando que la seal senoidal discreta es un caso particular de la seal exponencial, utilizando (9.3) es posible evaluar la respuesta forzada del sistema a una entrada [ ]x n senoidal, tal como se demuestra en el siguiente ejemplo. Por la naturaleza armnica de la seal de entrada [ ]x n , la salida del sistema evaluada a partir de (9.3) corresponde a la respuesta permanente o respuesta estacionaria [ ]ssy n del sistema. Ejemplo 9.1 Un sistema LIT est caracterizado por la siguiente ecuacin en diferencias,

[ ] 0.8 [ 1] [ ], 0y n y n x n n = Calcular la respuesta estacionaria si la entrada del sistema es

[ ] 4 10 ( / 8 / 6) 15 ( / 2 / 3)x n cos n cos n= + + +

Respuesta estacionaria ante entrada con componentes armnicos.

9.1 DOMINIO DEL TIEMPO v/s DOMINIO DE LA FRECUENCIA 9 - 3


Solucin: Para obtener la FTD llevamos la EED al dominio-z, asumiendo que el sistema est en reposo (condiciones iniciales cero):

1( ) 0.8 ( ) ( )Y z z Y z X z = Aplicando la definicin (8.52), la FTD viene dada por

1

( ) 1( )

( ) 1 0.8Y z

H zX z z

= =

La forma de [ ]x n muestra que la entrada est formada por tres componentes, cuyos valores caractersticos son

1 1 1 1[ ]: 0, 4, 0x n A = = = , 2 2 2 2[ ]: / 8, 10, / 6x n A = = = 3 3 3 3[ ]: / 2, 15, / 3x n A = = =

Como en 1[ ]x n la frecuencia digital es cero, se reconoce como la componente DC de [ ]x n . Aplicando (9.2) para cada componente

1

1 0

1( ) 5 5 0

1 0.8j

jH e rade

= = = (

2

2 / 8

1( ) 1.6125 1.8922 2.4861 0.8650

1 0.8j

jH e j rade

= = = (

33 / 2

1( ) 0.6098 0.4878 0.7809 0.6747

1 0.8j

jH e j rade

= = = ( que puede verificarse usando MATLAB

W=[0, pi/8, pi/2]; HjW=1./(1-0.25*exp(-j*W)) HjW = 5.0000 1.6125 - 1.8922i 0.6098 - 0.4878i magHjW=abs(HjW), faseHjW=angle(HjW) magHjW = 5.0000 2.4861 0.7809 faseHjW = 0 -0.8650 -0.6747

Aplicando (9.3) construimos la respuesta a cada componente, como

1[ ] 4 5 20y n = = 2[ ] 10 2.4861 [ / 8 / 6 0.8650] 24.8611 [ / 8 1.3886]y n cos n cos n= = 3[ ] 15 0.7809 [ / 2 / 3 0.6747] 11.7130 [ / 2 0.3725]y n cos n cos n= + = +

La respuesta estacionaria es

[ ] 20 24.8611 [ / 8 1.3886] 11.7130 [ / 2 0.3725]ssy n cos n cos n= + + +



Del dominio del tiempo discreto al dominio de la frecuencia digital

En el ejemplo 9.1 la seal de entrada [ ]x n y la respuesta estacionaria [ ]ssy n poseen componentes armnicos cuyas frecuencias son 1 2 30, / 8, / 2 = = = . La nica diferencia est en la amplitud y fase, cuya relacin se obtuvo evaluando la FTD ( )H z para los valores anteriores de frecuencia. Para desarrollar el modelo de una seal discreta en el dominio del tiempo es necesario utilizar mtodos grficos o analticos. En el caso del sistema del ejemplo 9.1, el modelo de las seales de entrada y salida son

[ ] 4 10 ( / 8 0.5362) 15 ( / 2 1.0472)x n cos n cos n= + + + [ ] 5.3333 12.9039 [ / 8 0.6474] 14.5515 [ / 2 0.8022]ssy n cos n cos n= + + +

cuyas grficas se muestran en la figura 9.1.

Aunque la figura anterior representa grficamente la relacin entrada salida del sistema discreto del ejemplo 9.1, es prcticamente imposible identificar en una aplicacin prctica las componentes armnicas de cada seal discreta. Una forma ms apropiada se consigue si se utilizan los valores caractersticos de cada seal armnica: frecuencia, amplitud y fase, que se resumen en la tabla 9.1:

Tabla 9.1 Valores caractersticos de componentes armnicas [ ]x n [ ]ssy n

k kA [ ]k rad kA [ ]k rad

0 4 0 20.0000 0 / 8 10 0.5326 24.8611 1.3886 / 2 15 1.0472 11.7130 0.3725

Figura 9.1 Entrada senoidal y respuesta estacionaria de un sistema discreto.

9.1 DOMINIO DEL TIEMPO v/s DOMINIO DE LA FRECUENCIA 9 - 5


De acuerdo con la tabla 9.1, las componentes armnicas tienen en comn la frecuencia ( )k y la relacin entre valores de amplitud ( )kA y fase ( )k se obtienen evaluando la FTD

( )H z para kjz e = . Utilizando los datos de la tabla 9.1 se construy la grafica de la figura 9.2, la cual presenta la misma informacin de los armnicos, contenida en la descripcin de algebraica de [ ]x n y [ ]y n en el dominio del tiempo discreto.

Los valores caractersticos de frecuencia, magnitud y fase mostrados en la tabla 9.1 y la figura 9.2 son suficientes para caracterizar las seales armnicas [ ]x n y [ ]y n , y son el fundamento de la respuesta de frecuencia (RDF) y de la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD) que sern desarrolladas en este captulo.

9.2 RESPUESTA DE FRECUENCIA DE UN SISTEMA DISCRETO

En esta seccin se desarrollarn las estrategias para la evaluacin de la respuesta de frecuencia (RDF) de un sistema discreto, tomando como punto de partida la respuesta estacionaria del sistema a seales armnicas discretas y causales. Se reconocer el carcter peridico de la RDF de un sistema discreto, como una consecuencia del concepto de rango fundamental de una seal senoidal discreta, que se demostr en la seccin 7.2.

Definicin de respuesta de frecuencia de un sistema discreto

Si la ecuacin (9.2) se evala para un conjunto valores continuos de frecuencia digital , equivale a considerar que el sistema modelado por ( )H z es excitado por seales armnicas

Figura 9.2 Valores caractersticos de armnicos en la entrada y salida del ejemplo 9.1.



cuyas frecuencias son los valores particulares de . El resultado se define como la respuesta de frecuencia (RDF) del sistema discreto y se expresa como

( ) [ ]j j kk

H e h k e = (9.4)

Comparando la ecuacin (9.4) con la definicin (8.3) de la transformada Z, se observa que es posible evaluar la RDF del sistema discreto, a partir de la ( )H z como

( ) ( ) jj z eH e H z == (9.5) Caractersticas de la RDF de un sistema discreto En la evaluacin de la RDF se pueden reconocer 3 caractersticas fundamentales:

1. Estabilidad De acuerdo con (9.5), la RDF ( )jH e de un sistema discreto se evala para valores de jz e = , que son los puntos sobre el crculo unitario del plano-z. Por lo tanto, la RC de ( )H z debe contener el crculo unitario y de acuerdo con la definicin 8.4, implica que el sistema es absolutamente estable. Como consecuencia de lo anterior, igual que en los sistemas continuos, la RDF solo debe evaluarse en sistemas discretos estables, que segn (7.66) se logra si [ ]h n es absolutamente sumable.

2. Simetra conjugada Como ( )jH e es una funcin compleja de variable real , su evaluacin se efecta generalmente a partir de la magnitud y fase. La respuesta de magnitud ( )jH e tiene simetra par y la respuesta de fase ( )jH e ( tiene simetra impar, que en conjunto se reconoce como simetra conjugada. Para demostrar esta caracterstica expresamos (9.4) en forma rectangular

( ) [ ] [ ]{ ( ) ( )}j j kk k

H e h k e h k cos k jsen k a jb = =

= = = De modo similar

( ) [ ] [ ]{ ( ) ( )}j j kk k

H e h k e h k cos k jsen k a jb = =

= = + = + Como la magnitud de los complejos es igual, se cumple que

( ) ( )j jH e H e = (9.6)

9.2 RESPUESTA DE FRECUENCIA DE UN SISTEMA DISCRETO 9 - 7


La fase en el primer caso es 1( / )tan b a y en el segundo caso es 1( / )tan b a+ . Luego se satisface la condicin de simetra impar,

( ) ( )j jH e H e = ( ( (9.7)

A partir de (9.6) y (9.7) se consigue la simetra conjugada, que se expresa como

( ) ( )j jH e H e = (9.8) 3. Periodicidad

La RDF de un sistema discreto ( )jH e es una funcin peridica con perodo 2 rad . Esta propiedad es el resultado del concepto de rango fundamental (7.27) de una seal discreta exponencial compleja o senoidal, analizado en la seccin 7.2.

Como consecuencia de la periodicidad y de la simetra conjugada, la evaluacin de la RDF de un sistema discreto se puede efectuar para valores de frecuencia digital en el intervalo 0 . Esta caracterstica establece una diferencia fundamental con el sistema continuo, en el cual la RDF se evala en el intervalo 0 < . En aplicaciones prcticas los sistemas deben ser realizables y por lo tanto causales, en cuyo caso la sumatoria en (9.4) se efecta en el intervalo [0, ]n = .

Ejemplo 9.2 Verificar las caractersticas de periodicidad y simetra conjugada de la RDF el

sistema del ejemplo 9.1.

Solucin: Utilizando la FTD del ejemplo 9.1 y aplicando (9.5) obtenemos la RDF, como

1

1 1( ) ( )

1 0.8 1 0.8j

jH z H ez e

= =

Para verificar sus propiedades, se desarrollaron las grficas que se muestran en la figura 9.3, evaluando numricamente ( )jH e con el apoyo de MATLAB:

W=-3*pi:0.01:3*pi; HjW=1./(1-0.8*exp(-j*W)); magHjW=abs(HjW); faseHjW=angle(HjW); %comandos de graficacin...

La figura 9.3 muestra, en primer lugar, que la RDF es peridica con perodo 2 . En segundo lugar, se observa que la respuesta de magnitud tiene simetra par, satisfaciendo (9.6). Finalmente, la respuesta de fase presenta simetra impar, cumpliendo con (9.7).

Periodicidad y simetra conjugada de la RDF.



Aunque en el anlisis anterior se parti de la TZB, en el caso de un sistema causal como el del ejemplo 9.2, el lmite de la sumatoria de la ecuacin (9.4) se limitar al intervalo [0, ] y por lo tanto puede utilizarse la TZ (unilateral) en (9.5).

Evaluacin de la RDF de sistemas discretos

En el ejemplo anterior, la RDF se evalu numricamente a partir de la expresin analtica de ( )jH e para valores de en el intervalo [ 3 ,3 ] . El TBS de la versin 5.3 de estudiante de MATLAB incluye la funcin freqz() para su evaluacin a partir de ( )H z , con base en la ecuacin (9.5). Su sintaxis es [HjW,W] = freqz(nHz,dHz,N)

donde nHz y dHz son arreglos de los coeficientes del numerador y denominador de ( )H z , respectivamente, en la forma DSP. La RDF se evala para N puntos equidistantes sobre la parte superior del crculo unitario, que equivale al intervalo [0, ] radianes de la frecuencia digital . En el arreglo HjW se devuelven los valores complejos de la RFD y en W los valores reales de . Si se desea obtener la RDF para todo el crculo unitario, equivalente al intervalo [0,2 ] radianes de , debe utilizarse la siguiente opcin [HjW,W] = freqz(nHz,dHz,N,'whole')

Figura 9.3 Periodicidad y simetra conjugada de la RDF.

9.2 RESPUESTA DE FRECUENCIA DE UN SISTEMA DISCRETO 9 - 9


Para obtener la RDF de un sistema de datos muestreados modelado por ( )H z , es necesario especificar el perodo de muestreo T en segundos, usando una de las siguientes opciones [HjW,W] = freqz(nHz,dHz,N,1/T) [HjW,W] = freqz(nHz,dHz,N,'whole',1/T) La siguiente opcin permite establecer el dominio de la frecuencia digital en radianes HjW = freqz(nHz,dHz,W)

Se deja al lector la verificacin del resultado de la figura 9.2, usando esta ltima opcin. A partir de los valores numricos de la RDF, es posible desarrollar diferentes tipos de diagramas de RDF, similares a los que se presentaron en la seccin 4.2. Como se estableci anteriormente, es normal que la RDF se evale en el intervalo 0 , para seales discretas causales y los diagramas utilizados pueden clasificarse como

- diagramas rectangulares - diagramas polares - diagramas logartmicos

La figura 9.3 es un caso tpico de un diagrama rectangular, donde se muestra la magnitud y ngulo de ( )jH e en funcin de la frecuencia digital . Este diagrama es til en el anlisis y diseo de filtros digitales. Los diagramas polares, representan la parte imaginaria de la RDF respecto de su parte real, tomando la frecuencia digital como parmetro. Una alternativa de este diagrama es dibujar la magnitud respecto de la fase, usando escala polar. El programa MATLAB ofrece

Figura 9.4 Diagrama polar de RDF de un sistema discreto.



la funcin polar() para su desarrollo. La figura 9.4 muestra el resultado en el intervalo [0, ] para el sistema del ejemplo 9.2. Un caso tpico es el diagrama de Nyquist, que se desarrolla generalmente en el intervalo [0,2 ] . Los diagramas logartmicos utilizan escala logartmica para la frecuencia digital ( ) . Un caso tpico es el diagrama de Bode, que representa la magnitud en decibeles (dB) y la fase en grados, similar al desarrollado en la seccin 4.2 para el sistema continuo. La figura 9.5 muestra el diagrama de Bode para el sistema del ejemplo 9.2, que se obtuvo a partir de las expresiones analticas de magnitud en decibeles y fase en grados.

9.3 TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

En esta seccin se presentar la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD), que es la contraparte de la transformada de Fourier en tiempo continuo (TFTC) analizada en el captulo 4. Se demostrar la relacin que existe entre la transformada Z y la TFTD, as como la condicin para su existencia, a partir de la regin de convergencia (RC) de ( )H z . Definicin de la TFTD

Si [ ]x n es una seal discreta aperidica y absolutamente sumable, es decir [ ]n

x n

=<

( ) [ ]j j nn

X e x n e = (9.9)

Figura 9.5 RDF de un sistema discreto usando Diagrama de Bode

9.4 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO 9 - 11


se reconoce como la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD). La ecuacin (9.9) es la misma expresin (9.4) que se utiliz en la seccin anterior para calcular la respuesta de frecuencia (RDF) de un sistema discreto, solo que generalmente la TFTD se evala en el intervalo , con base en que es peridica con perodo 2 . Utilizando (9.5) se puede establecer una relacin entre la TFTD y la transformada Z (TZ), tal como se seal en la ecuacin (8.9). En efecto, ( ) ( ) jj z eX e X z == (9.10) La ecuacin (9.10) facilita la evaluacin de la TFTD a partir de la TZ y del mismo modo que en la RDF, su existencia est condicionada a que la regin de convergencia (RC) de

( )X z incluya el crculo unitario. Esto implica que [ ]x n sea absolutamente sumable, lo cual garantiza la convergencia de la sumatoria en (9.9) (condiciones de Dirichlet). La transformada inversa de Fourier en tiempo discreto, viene dada por

( )1[ ]2

j j nx n X e e d

(9.11)

La notacin es la misma que se ha usado en otros mtodos de transformacin

( )[ ] jx n X e (9.12) En esta expresin [ ]x n es una funcin real de variable discreta ( )n , mientras que ( )jX e es una funcin compleja de variable real y continua ( ) . Ejemplo 9.3 Usando la TZ, determinar la TFTD de las siguientes seales discretas:

a. Infinita y causal: 1[ ] 2(0.5) [ ]nx n u n=

b. Finita y no causal: 2[ ] {3, 4, 5, 6, 7}x n =

Solucin: a. Llevando al dominio z y aplicando (9.10)

( )1 112 2( ) 1 0.5 1 0.5j jX z X ez e = = b. Utilizando la forma de desarrollo en serie de la TZ

2 1 22( ) 3 4 5 6 7X z z z z z

= + + + + Aplicando la transformacin (9.10)

( ) 2 22 3 4 5 6 7j j j j jX e e e e e = + + + +

TFTD de seales discretas infinitas y finitas.



Tabla de transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD)

Sin lugar a dudas, el uso de la transformacin (9.10) facilita considerablemente el clculo de la TFTD de las seales elementales y otras seales tpicas que fueron presentadas en el captulo 7. En la tabla 9.2 se presenta la TFTD de las seales ms frecuentes, que pueden ser demostrados a partir de la definicin (9.9) o de la transformacin (9.10).

Tabla 9.2 Transformada de Fourier en tiempo discreto

No. [ ]x n ( )jX e T1 [ ]n 1 T2 1 2 ( 2 )

k

k

=

T3 [ ]u n 1

( 2 )1 j k

ke

=+

T4 [ ]na u n 1

1 jae

T5 [ ]nna u n 2(1 )

j

j

aeae

T6 0j ne 02 ( 2 )k

k

=

T7 0[ ]cos n [ ]0 0( 2 ) ( 2 )k

k k

= + +

T8 0[ ]sen n [ ]0 0( 2 ) ( 2 )k

j k k

= +

T9 [ / ]rect n N [ ( )

( / 2)sen Nsen +

T10 ( )0sen nn ( ) 0/ , 2rect periodica con periodo

Existen algunos casos especiales que sern analizados a continuacin, por su importancia en las aplicaciones prcticas de la TFTD.

TFTD de seales senoidales

En la seccin 4.4 se demostr que la transformada de Fourier de una seal exponencial o senoidal continua peridica ( )x t se representa a travs de impulsos (ver tabla 4.3) en el dominio de la frecuencia analgica ( ) . De modo similar, es de esperar que en el caso de una seal exponencial o senoidal discreta [ ]x n ocurra algo similar.



En efecto, para la seal exponencial peridica, segn la T6 de la tabla 9.2, se cumple que

( )0 0[ ] 2 ( 2 )j n jk

x n e X e k =

= = (9.13) donde 0 2 / N = es la frecuencia digital en radianes y N el perodo en muestras/ciclo. Para demostrar lo anterior, utilizamos la ecuacin (9.11) de la transformada inversa de Fourier en tiempo discreto, obteniendo

( ) 0 01 12 2

[ ] 2 ( 2 ) ( )j j n j n j nk

x n X e e d k e d e d

= = = =

El resultado final se consigue porque al evaluar la integral en el intervalo [ , ] solo interviene en la sumatoria el pulso ubicado en 0 = , tal como se deduce de la figura 9.6.

Aplicando la propiedad de muestreo de la seal impulso,

0 0 00 0[ ] ( ) ( )

j n j n j nx n e d e d e

= = =

La figura 9.6 muestra la grfica de la TFTD de la seal discreta exponencial compleja, que corresponde a la versin peridica de la seal continua, con perodo 2 . Para el caso de la seal senoidal 0[ ] ( )x n cos n= ,

0 00

1 12 2[ ] ( )

j n j nx n cos n e e = = + Aplicando la ecuacin (9.13), obtenemos

( ) 0 0( 2 ) ( 2 )jk k

X e k k = =

= + + que corresponde a la T7 de la tabla 9.2 y es un tren de impulsos peridico con perodo 2 . Evaluando para el intervalo [ , ] , obtenemos el espectro del perodo fundamental, ( )0 0 0( ) ( ),jX e = + + (9.14) que se corresponde con la transformada T10 de la tabla 4.3. La figura 9.7 muestra la grfica de la TFTD de la seal 0( )cos n , que es la versin peridica de la seal 0( )cos t .

Figura 9.6 Espectro de frecuencia de la seal discreta exponencial compleja.

( )jX e

0 2

02 +

4

2

2

02 +

3



Anlisis espectral de seales armnicas discretas

Si [ ]x n es una seal discreta exponencial compleja o senoidal, en la seccin 7.2 se demostr que es peridica con perodo 02 /N = , siendo 0 su frecuencia fundamental en radianes. El anlisis anterior demostr que su espectro de frecuencia ( )jX e tambin es peridico con perodo 2 . Este resultado sugiere una estrategia que facilita el anlisis espectral de este tipo de seales, en el sentido de que solo se necesita evaluar el perodo fundamental ( )0 jX e en el intervalo [ , ] , asumiendo 0k = en las transformadas T6, T7 y T8 de la tabla 9.2. El espectro completo se puede obtener utilizando el concepto de extensin peridica presentado en las secciones 1.3 y 76, como

( ) ( )0( )0kj j kk

X e X e= =

= (9.15) Esta estrategia puede ser utilizada en aplicaciones prcticas de la TFTD relacionadas con

- filtros digitales - modulacin y demodulacin digital - multiplexin y demultiplexin digital

tal como se muestra en el ejemplo 9.12. Ms an, esta estrategia se extender en la seccin 9.4 al caso de una seal discreta peridica arbitraria [ ]px n , evaluando su espectro ( )jpX e a partir del espectro de su componente fundamental ( )0 jX e . Ejemplo 9.4 Utilizando la estrategia anterior evaluar el espectro de la seal del ejemplo 7.6

[ ] 3 ( / 12) 5 ( / 18)x n cos n sen n= +

Solucin: La frecuencia fundamental de la primera componente es 1 / 12 = y la de la

segunda componente es 2 / 18 = . Utilizando T7 y T8 de la tabla 9.2, obtenemos el espectro de la componente fundamental, como ( ) [ ] [ ]0 3 ( / 12) ( / 12) 5 ( / 18) ( / 18)jX e j = + + +

( )jX e

0

02 +

0 2 3 4 2

02 + 02 Figura 9.7 Espectro de frecuencia de la seal senoidal discreta.

Espectro de seal discreta con componentes armnicos.



La figura 9.8 muestra el resultado, que puede extenderse a otros armnicos utilizando (9.15).

Evaluacin numrica y grfica de la TFTD

Existen dos alternativas para la evaluacin numrica y grfica de la TFTD: directamente a partir de la expresin analtica de ( )jX e como una funcin compleja de variable real , o en forma indirecta, utilizando la relacin (9.10) entre la TZ y la TFTD. En los dos casos es suficiente utilizar el intervalo , dada su caracterstica de periodicidad.

Ejemplo 9.5 Obtener las grficas de la TFTD de la seal 1[ ]x n del ejemplo 9.3, dada por

( ) 2[ ] 2(0.5) [ ]1 0.5

n jjx n u n X e e

= =

Solucin: Utilizando los siguientes comandos de MATLAB se evalu numricamente la TFTD, para 501 puntos equidistante de en el intervalo [ , ]

W=-pi:0.01:pi;; XjW=2./(1-0.5*exp(-j*W)); magXjW=abs(XjW); angXjW=angle(XjW); ReXjW=real(XjW); ImXjW=imag(XjW); %comandos de graficacin...

A partir de estos resultados se generaron las grficas de la figura 9.9, donde la base de frecuencia digital se ha expresado en unidades de . En esta figura se observa una caracterstica adicional del espectro de frecuencia de una seal real, donde la parte real tiene simetra par y la parte imaginaria presenta simetra impar.

Evaluacin directa de la TFTD.

Figura 9.8 Espectro de frecuencia de la componente fundamental del ejemplo 9.4.

5j

( )0 jX e

3

5j

18

12

18

12

3



El resultado del ejemplo anterior permite identificar dos caractersticas de simetra, adicionales a las presentadas en (9.6) y (9.7), que ocurren cuando [ ]x n es real:

( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }

j j

j j

X e X e

X e X e

==

Re Re

Im Im (9.16)

Lo anterior permite evaluar la TFTD de una seal real [ ]x n en el intervalo [0, ] = . Comparando los ejemplos 9.2 y 9.4, y las expresin (9.9) con (9.4) se observa que no existe diferencia alguna en el procedimiento para evaluar la RDF y la TFTD. Utilizando la TZ y la funcin freqz() presentada en la seccin anterior, es posible evaluar la TFTD en el intervalo , tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9.6 Utilizando la TZ evaluar indirectamente la TFTD de la seal infinita 1[ ]x n

del ejemplo 9.3.

Solucin: Del ejemplo anterior 9.3, obtenemos

1

2[ ] 2(0.5) [ ] ( )

1 0.5nx n u n X z

z= =

Evaluacin indirecta de la TFTD

Figura 9.9 Evaluacin directa de la TFTD en el intervalo [ , ] .



Para conseguir la magnitud y ngulo de ( )jX e a partir de ( )X z , usamos los siguientes comandos de MATLAB

nXz=[2 0]; dXz=[1 -0.5]; [XjW,W]=freqz(nXz,dXz,100); %100 puntos intervalo [0,pi] magXjW=abs(XjW); angXjW=angle(XjW); %comandos de graficacin...

Estos valores se utilizaron para generar las grficas de la figura 9.10, que como era de esperar es igual a la que se obtuvo en la figura 9.9 al evaluar directamente la expresin analtica de ( )jX e .

Analizando con cuidado la figura anterior, se observa que las grficas de magnitud y ngulo fueron evaluadas en el intervalo [0,0.99 ] y presentan una falla para = . Esto se debe a que en MATLAB la parte inferior del crculo unitario inicia en = . Para corregir este problema, se puede definir el vector de frecuencia en el intervalo [0, ]

W=0:0.01:pi; XjW=freqz(nXz,dXz,W); magXjW=abs(XjW); angXjW=angle(XjW);

Sin embargo, esta forma de evaluar la FTTD solo puede aplicarse cuando la seal discreta [ ]x n es determinstica. Si la seal [ ]x n es experimental es necesario evaluar

numricamente la TFTD a partir de las muestras de [ ]x n , con base en la definicin (9.9).

Figura 9.10 Evaluacin indirecta de la TFTD en el intervalo [0, ] = usando la TZ.



Si la seal es infinita, debe truncarse a un nmero suficiente de muestras, que garanticen un resultado adecuado para la TFTD. Si [ ]x n es finita, es posible evaluar numricamente la TFTD interpretando (9.9) como un producto matricial. Para desarrollar el algoritmo necesario, asumimos que [ ]x n tiene N nuestras en el intervalo 1 2n n n< < , es decir, no necesariamente en el intervalo[0, 1]N y que deseamos evaluar ( )jX e para

, 0, 1, 2, ,k k k MM = = (9.17)

que corresponde a ( 1)M + puntos de frecuencia igualmente espaciados. Luego de (9.9)

( ) ( )21

/[ ] , 0, 1, 2, ...,kn

j M knj

n n

X e x n e k M =

= = Arreglando [ ]x n y ( )jX e como vectores fila x y X respectivamente, obtenemos T T=X Wx (9.18) donde W es una matriz de ( 1)M N+ elementos, dada por { }( / ) , 0, 1, ...,j M kne k M =W (9.19) El vector 1 2{ , , }n n n= representa la base de tiempo correspondiente a las N muestras de

[ ]x n . Si adicionalmente n y k se organizan como vectores fila n y k respectivamente

= nkW TM

jexp

Para obtener X y x como vectores fila, debemos tomar la transpuesta de (9.18), como

Tj

Me =

n kX x (9.20)

donde Tn k es una matriz ( 1)N M + que puede ser implementada en MATLAB. Asumiendo que X y x son organizados como vectores fila, los comandos bsicos son

k=[0:M]; n=[n1:n2]; XjW=xn*(exp(-j*pi/M)).^(n*k); En este algoritmo no existe limitacin aparente entre N y M. Sin embargo, como M es el nmero de valores discretos de frecuencia k , es conveniente que M N>> , para una buena resolucin en la TFTD. El siguiente ejemplo muestra el uso de (9.20) para la evaluacin numrica de la TFTD de la seal finita 2[ ]x n del ejemplo 9.2.



Ejemplo 9.7 Evaluar la TFTD de la seal finita 2[ ]x n del ejemplo 9.2, usando (9.20).

Solucin: Del ejemplo anterior 9.2, obtenemos

[ ] {3, 4, 5, 6, 7}x n = Luego 5N = y [ 2, 1, 0, 1, 2]= n . Seleccionando 250M = , [ , ]k M M= y utilizando los siguientes comandos, se obtuvo la grfica de la figura 9.11, que muestra la TFTD en el intervalo [ , ]

M=250; k=-M:M; n=-2:2; xn=3:7; W=(2*pi/500)*k; XjW=xn*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k); magXjW=abs(XjW); angXjW=angle(XjW);

Utilizando el algoritmo anterior se desarroll la funcin especial de MATLAB tftd() que ser utilizada en ejemplos posteriores, para la evaluacin directa la TFTD de una seal discreta y finita [ ]x n , a partir de (9.20). Su descripcin se presenta en el apndice B y su sintaxis es:

[XjW,W]=tftd(xn,n,M,Dw)

donde xn y n son arreglos con las muestras de [ ]x n y su base de tiempo discreta. El arreglo Dw establece el dominio de simulacin en unidades de . La funcin devuelve en el arreglo XjW los M valores de ( )jX e y en W la base de frecuencia digital continua.

Evaluacin numrica de la TFTD para x[n] experimental

Figura 9.11 Evaluacin de la TFTD para [ ]x n experimental.



9.4 PROPIEDADES DE LA TFTD

Las propiedades que se mencionan a continuacin, junto con las caractersticas de periodicidad y simetra conjugada, facilitan la evaluacin de la TFTD y son similares a las formuladas para la TZ en la seccin 8.3 y en la seccin 4.4 para la TFTC. Por asociacin, la caracterstica de estabilidad se interpreta reconociendo que [ ]x n debe ser absolutamente sumable, nica forma de garantizar la convergencia de la sumatoria en (9.8). La demostracin de las propiedades que se enuncian a continuacin, se puede obtener aplicando la transformacin jz e = (9.21) a la propiedad correspondiente de la TZ.

P.1 Linealidad Dadas las siguientes seales discretas ( )1 1[ ] jx n X e y ( )2 2[ ] jx n X e , como la TFTD es una transformacin lineal, se cumple que ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2[ ] [ ] j ja x n a x n a X e a X e + + (9.22)

P.2 Desplazamiento en tiempo discreto Dada la seal discreta y real ( )[ ] jx n X e

( )[ ] j k jx n k e X e (9.23) La expresin anterior se puede demostrar aplicando (9.21) a la propiedad (8.19) de desplazamiento real de la TZ. Lo anterior implica que un atraso de k muestras en

[ ]x n se traduce en un atraso de fase en la TFTD. Por otro lado, un adelanto de k muestras, se traduce en un adelanto de fase en la TFTD. Sin embargo, el adelanto de muestras no tiene aplicacin en el procesamiento de seales en tiempo real.

Ejemplo 9.8 Verificar numricamente la propiedad de desplazamiento en el tiempo.

Solucin: El algoritmo y los comandos de MATLAB para la verificacin son:

1. Asumimos [ ]x n aleatoria y distribuida uniformemente entre [0,1] sobre el intervalo 0 10n .

n=0:10; xn=rand(1,length(n));

Propiedad de desplazamiento en tiempo de la TFTD.



2. Evaluamos numricamente 500 puntos de ( )jX e para [0, ] = M=500; [X,W]=tftd(xn,n,M,[0,1]);

3. Construimos la seal discreta [ ] [ 2]y n x n= . yn=xn; ny=n+2;

4. Evaluamos numricamente 500 puntos de ( )jY e para [0, ] = YjW=tftd(yn,ny,M,[0,1]);

5. Multiplicamos ( )jX e por 2je y restamos el resultado de ( )jY e . YjWm=(exp(-j*2*W)).*XjW; error=max(abs(YjWm-YjW)) error = 9.6097e-015

El error mximo puede variar por el carcter aleatorio de [ ]x n .

P.3 Desplazamiento en frecuencia digital

Dada la seal discreta y real ( )[ ] jx n X e

( )0 0( )[ ]j n je x n X e (9.24) La expresin anterior se puede demostrar aplicando la transformacin (9.21) a la propiedad (8.24) de escalamiento complejo de la TZ, para 0jb e = . El siguiente ejemplo utiliza la funcin especial tftd() para verificar esta propiedad.

Ejemplo 9.9 Verificar numricamente la propiedad de desplazamiento en frecuencia.

Solucin: El algoritmo y los comandos de MATLAB para la verificacin son:

1. Asumimos la seal discreta [ ] ( / 2)x n cos n= . n=0:50; xn=cos(pi*n/2);

2. Evaluamos numricamente ( )jX e para [ , ] = M=150; [XjW,W]=tftd(xn,n,M,[-1,1]);

3. Construimos la seal discreta / 4[ ] [ ]j ny n e x n= . yn=exp(j*pi*n/4).*xn;

4. Evaluamos numricamente ( )jY e para [ , ] = YjW=tftd(yn,n,M,[-1,1]);

Propiedad de desplazamiento de la TFTD.



5. Interpretamos grficamente el efecto sobre la TFTD. El resultado se presenta en la figura 9.12.

P.4 Reflexin en tiempo discreto Dada la seal discreta y real ( )[ ] jx n X e

( )[ ] jx n X e (9.25) La demostracin de esta propiedad puede lograrse a partir de la definicin (9.9) o aplicando la transformacin (9.21) a la propiedad (8.22) de reflexin real de la TZ. El ejemplo 9.9 utiliza la funcin especial tftd() para la verificacin numrica de esta propiedad.

Ejemplo 9.10 Verificar numricamente la propiedad de reflexin de la TFTD.

Solucin: Los comandos de MATLAB y el algoritmo para la verificacin son:

1. Asumimos la seal discreta aleatoria [ ]x n en el intervalo 5 10n . n=-5:10; xn=rand(1,length(n));

2. Evaluamos numricamente 500 puntos de ( )jX e para [ , ] = M=500; [XjW,W]=tftd(xn,n,M,[-1,1]);

Figura 9.12 Propiedad de desplazamiento en frecuencia de la TFTD.

Propiedad de reflexin de la TFTD.



3. Construimos la seal discreta [ ] [ ]y n x n= . yn=fliplr(xn); ny=-fliplr(n);

4. Evaluamos numricamente 500 puntos de ( )jY e para [ , ] = YjW=tftd(yn,ny,M,[-1,1]);

5. A partir de ( )jX e evaluamos ( )jX e y restamos de ( )jY e . YjWm=fliplr(XjW); error=max(abs(YjWm-YjW)) error = 1.7764e-015

El error mximo puede variar por el carcter aleatorio de [ ]x n .

Ejemplo 9.11 Determinar la TFTD de seal discreta no causal [ ] , 1nx n a a= < .

Solucin: Para facilitar el clculo de la TFTD, expresamos [ ]x n como:

[ ] [ ] [ ] [ ]n nx n a u n a u n n= + Aplicando T1 y T4 de la tabla 9.1 y la propiedad de reflexin

( ) 2 21 1 111 1 1 2 ( )j j j aX e ae ae acos a = + = +

P.5 Multiplicacin por n Dada una seal discreta y real ( )[ ] jx n X e ,

( )[ ] jdnx n j X ed

(9.26) Para demostrar esta propiedad derivamos los dos miembros de la definicin (9.9),

( ) { }[ ] ( ) [ ] [ ]j j n j jn n n

dX e dx n e jn x n e j nx n e

d d

= = =

= = = que de acuerdo con la definicin (9.9), conduce a la ecuacin (9.26). Tambin se puede demostrar (9.26) si se aplica (9.21) a la propiedad (8.26) de la TZ. Utilizando esta propiedad es fcil demostrar la T5 de la tabla 9.1.

P.6 Convolucin lineal

Dadas dos seales discretas y reales ( )1 1[ ] jx n X e y ( )2 2[ ] jx n X e

TFTD de seal discreta no causal.



( ) ( )1 2 1 2[ ] [ ] j jx n x n X e X e (9.27) Esta expresin se puede demostrar aplicando (9.21) a la propiedad (8.30) de convolucin de la TZ. Esta propiedad es fundamental en el anlisis de filtros digitales, que sern tratados en la seccin 9.5.

Ejemplo 9.12 La respuesta impulso de un sistema discreto es,

( / 3)[ ]

sen nh n

n=

Determinar la respuesta estacionaria para [ ] ( / 8) 2 ( / 4)x n sen n cos n= Solucin: Aplicando la T10 de la tabla 9.1 para 0 13 = , obtenemos

( )( / 3)[ ] ,/ 3

jsen nh n H e rectn

= =

Como las seales que intervienen en la evaluacin de la convolucin lineal, en el dominio- son peridicas con perodo 2 , aplicamos la estrategia de la pgina 14 analizando solo el perodo fundamental en el intervalo [ , ] . Por lo tanto, para la seal de entrada usando la T7 y T8 de la tabla 9.1, con 0k =

( ) [ ] [ ]0 ( / 8) ( / 8) 2 ( / 4) ( / 4)jX e j = + + + para . Aunque esta expresin y la de ( )jH e pueden sustituirse en (9.27) para obtener la forma analtica de la respuesta del sistema, es ms prctico usar la interpretacin grfica en el intervalo [ , ] : La figura 9.13 muestra el resultado, donde ( )jH e se comporta como un filtro digital pasa-bajo.

Propiedad de convolucin lineal de la TFTD.

( )jX e

/ 8

j

/ 4

/ 8

/ 4

( )jH e j

2 2

/ 6/ 6Figura 9.13 Interpretacin grfica de la convolucin lineal en un sistema discreto.



De esta figura se deduce que la componente fundamental de la salida es ( ) ( ) ( )0 0 ( / 8) ( / 8)j j jY e H e X e j j = = + +

Luego, aplicando T8 de la tabla 9.1 obtenemos [ ] ( / 8)y n sen n= , que por el carcter armnico de la entrada, es la respuesta estacionaria del sistema.

P.7 Modulacin

Dada una seal aperidica, discreta y real ( )[ ] jx n X e , considerando solo la componente fundamental ( )0 jX e del espectro de frecuencia

( ) ( )0 0( ) ( )0 0 01 12 2

[ ] ( ) j jx n cos n X e X e + + (9.28)

Su demostracin se logra aplicando la identidad de Euler a la componente fundamental y la propiedad de desplazamiento en frecuencia (9.24)

( ) ( ) ( )0 0 0 0( ) ( )0 1 1 12 2 2

[ ] ( ) [ ] j n j n j jx n cos n x n e e X e X e + = + +

Este resultado muestra que la modulacin de una seal discreta [ ]x n de banda limitada, utilizando como seal portadora 0[ ] ( )px n cos n= , genera una seal peridica con perodo 2 , cuya componente fundamental tiene dos armnicos ubicados en 0 = . Existen otras variantes de la modulacin que sern consideradas en la seccin 9.5.

Ejemplo 9.13 Obtener la TFTD de la seal discreta [ ] [ ] ( / 2)y n x n cos n= , asumiendo

que [ ]x n es la seal del ejemplo 9.11, para 0.5a = .

Solucin: Del ejemplo 9.10, para 0.25a = obtenemos ( ) 0.75

1 ( ) 0.25jX e

cos = +

Aplicando la propiedad de modulacin (9.28) para 0 / 2 = ( ) ( ) ( )( / 2) ( / 2)1 1

2 2

j j jY e X e X e += + Considerando que ( / 2) ( )cos sen =

Propiedad de modulacin de la TFTD.



( ) 212

0.75 0.75 151 ( ) 0.25 1 ( ) 0.25 9 16 ( )

jY esen sen cos

= + = + + + +

Para verificar este resultado, iniciamos simulando numricamente a [ ]x n

n=-10:10; xn=(0.5).^abs(n);

Estos valores se utilizaron para construir la grfica de [ ]x n en la figura 9.14. Evaluando numricamente ( )jX e para 300 puntos en el intervalo [ , ] =

M=300; [XjW,W]=tftd(xn,n,M,[-1,1]);

Con estos valores se construy la grfica de ( )jX e mostrada de la figura 9.14.

Ahora construimos la seal modulada [ ] [ ] ( / 2)y n x n cos n= para 0 / 2 = y evaluamos numricamente su TFTD ( )jY e , en el intervalo [ , ] = :

W0=pi/2; yn=xn.*cos(n*W0); [YjW,W]=tftd(yn,n,M,[-1,1]); El resultado se muestra en la parte superior de la figura 9.15. Para verificar la propiedad modulacin, se evalu ( )jY e a partir de su expresin analtica, utilizando el mismo rango de valores de [ , ] = ,

YWm=15./(9+16*cos(W).^2);

Con estos valores se construy la parte inferior de la figura 9.15.

Figura 9.14 Seal discreta no causal y su TFTD.



Como la seal original [ ]x n no es de banda limitada, la figura 9.15 muestra que existe solapamiento de los dos armnicos que se generan durante la modulacin, lo cual se traduce en un efecto conocido como aliasing en la seal modulada [ ]y n . Para evaluar este efecto calculamos el valor mximo de la seal original del ejemplo 9.13, como

( )0

1 0.253

1 ( ) 0.25jX e

cos

== = +

que corresponde al valor mostrado en la figura 9.12. Sin embargo, de acuerdo con (9.28) la amplitud las dos componentes de la seal modulada ( )jY e debera ser 1.5. Sin embargo el indicado en la figura 9.13 es de 1.6667.

P.8 Convolucin peridica en el dominio- Dadas dos seales discretas y reales ( )1 1[ ] jx n X e y ( )2 2[ ] jx n X e

( ) ( )1 2 1 2[ ] [ ] j jx n x n X e X e (9.29) Esta propiedad es una generalizacin de la propiedad de modulacin (9.28). La ecuacin (9.29) utiliza el smbolo especial para identificar la convolucin peridica de las funciones continuas ( )1 jX e y ( )2 jX e con perodo 2 , la cual de acuerdo con lo tratado en la seccin 2.3 se evala como

Figura 9.15 TFTD de la seal modulada, evaluada numricamente y analticamente.



( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 212

j j j jX e X e X e X e d

= (9.30)

Como ( )1 jX e y ( )2 jX e son seales peridicas con perodo 2 , tambin son infinitas y por lo tanto no existe su convolucin lineal. De aqu surge la necesidad de recurrir a la convolucin peridica (9.30), que se evala en el intervalo [ , ] .

Ejemplo 9.14 Repetir el ejemplo anterior aplicando convolucin peridica.

Solucin: Asumiendo que 1[ ] (0.5)nx n = y 2[ ] ( / 2)x n cos n= , obtenemos

( ) ( ) [ ]1 20.75 , ( /2) ( /2)1,25 ( )j jX e X ecos = = + + Aplicando (9.30) para 1 2[ ] [ ] [ ]x n x n x n= ,

( ) [ ]12

0.75( /2 ) ( /2 )

1,25 ( )jY e d

cos

= + +

Aplicando la propiedad de muestreo de la seal impulso

( ) 12

1

2

0.75( /2 )

1,25 ( /2)

0.75( /2 )

1,25 ( /2)

jY e dcos

dcos

= + + +

Simplificando

( ) 1 0.75 ( /2 )2 1,25 ( )

1 0.75( /2 )

2 1,25 ( )

jY e dsen

dsen

= + + +

Considerando que cada integral vale 1,

( ) 21 0.75 0.75 152 1,25 ( ) 1,25 ( ) 9 16 ( )jY e sen sen cos = + = + +

Propiedad de convolucin peridica de la TFTD.



P.9 Teorema de Parseval Este teorema guarda relacin con el concepto de seales de energa que fue analizado en las secciones 1.4 y 4.4 para una seal continua aperidica. Este teorema permite evaluar la energa de una seal discreta aperidica definida en (7.36), a partir de su TFTD, como

( ) 22 1[ ]2

jx

n

E x n X e d

= = = (9.31)

Se puede observar que la expresin (9.31) es un colorario de la convolucin peridica (9.30). El siguiente ejemplo utiliza el teorema de Parseval para evaluar la energa de una seal discreta aperidica.

Ejemplo 9.15 Utilizando el teorema de Parseval, calcular la energa de la seal discreta

[ ] 2(0.5) [ ]nx n u n= Solucin: Como [ ]x n es real, su energa normalizada en el dominio del tiempo es:

2 2

0

1 16[ ] 4 (0.5) 4

1 0.25 3n

xn n

E x n

= == = = =

Utilizando el resultado del ejemplo 9.2

( ) 2 21 0.5 [1 0.5cos( )] 0.5 ( )

jjX e e j sen

= = +

Aplicando (9.31)

( ) 2 2 21 1 42 2 [1 0.5 ( )] 0.25 ( )jxE X e d dcos sen

= = +

Utilizando la integral 20 del apndice A.6, para 0.5a = y x = , 11 32 1 32 16[3 ( / 2)]

2 3 2 3 3xE tan tan

= = =

que coincide con el resultado anterior.

P.10 Teoremas de la ordenada central Dada una seal discreta y real ( )[ ] jx n X e

( )0

[ ]jn

X e x n

= == (9.32)

Teorema de Parseval y la TFTD.



que puede demostrarse si se evala la definicin de la TFTD (9.9) para 0 = . Esta primera versin permite calcular la componente DC de la seal discreta [ ]x n a partir de sus muestras. La segunda versin establece que

( )12

[0] jx X e d

= (9.33)

cuya demostracin se consigue evaluando la expresin de la transformada inversa (9.11) para 0n = . Esta versin permite calcular el valor inicial de [ ]x n , de modo similar al teorema del valor inicial de la TZ, que corresponde al valor medio en un perodo de la TFTD.

Ejemplo 9.16 Aplicar los teoremas del valor central, para verificar el resultado de la seal

discreta [ ]x n del ejemplo 9.10, para 0.5a = . Solucin: Del ejemplo 9.10, para 0.5a = , obtenemos

( )| | 0.75[ ] 2(0.5)1.25 ( )

n jx n X ecos

= =

Del ejemplo 9.10 representamos a [ ]x n como

[ ] (0.5) [ ] (0.5) [ ] [ ]n nx n u n u n n= + Aplicando (9.32) y considerando que [ ]x n tiene simetra par, obtenemos

( )0

0

[ ] 2 (0.5) [ ] 4 1 3j nn n n

X e x n n

= = = == = = =

que corresponde a la componente DC de la figura 9.13. Aplicando (9.33)

( )1 12 2

0.75[0]

1.25 ( )jx X e d d

cos

= =

Utilizando la integral 21 del apndice A.6 para 0.5a = y simplificando 11 1 1

2 2 2

0.75[0] 3 1

1.25 ( ) 2x d tan tan

cos

= = = + = que corresponde al valor mostrado en la figura 9.13.

Teoremas de la ordenada central y la TFTD.

análisis de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia

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