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Tema 4

ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS

Tema 4

Análisis de Sistemas en el Dominio de la Frecuencia

Gijón - Junio 2005 1

Dominio de la Frecuencia

Indice

• 4.1. Respuesta en frecuencia


• 4.1. Respuesta en frecuencia

• 4.2. Representaciones de la respuesta frecuencial

– 4.2.1. Diagrama de Bode

– 4.2.2. Diagrama Magnitud-Fase

– 4.2.3. Diagrama Polar


Análisis en el Dominio de la Frecuencia

• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.


• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.

• Entrada: Señales senoidales de distinta frecuencia f (o pulsación ω=2π·f)

y, generalmente, de la misma amplitud M.

• Salida:

Régimen transitorio: La señal se va convirtiendo poco a poco en una senoide.

Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la

∞→= 0:)()··(·)( 0 ωω tutsenMtx


Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la

entrada, pero con distinta amplitud y fase. La diferencia es función de

la frecuencia.

))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=

Respuesta a una Entrada Senoidal (I)Y(s)X(s)

G(s)

4 Transitorio Permanente

ω ω ω


)()···sen()( 0 tutMtx ω=

]/[51 sradM == ω

G(s)x(t) y(t)

155

75)(

2 ++=

sssG

])()( sGjG ω =

0

1

2

3

M =

N |G(jω)|=N/M |G(jω)= to·ω [rad]

to<0 T=2π/ω=1/f

π/ω 2·π/ω 3·π/ω

y(t)

x(t)


]

][·)(

)(

)()(

radtjG

M

NjG

sGjG

o

js

ωω

ω

ω ω

=

=

= =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -3

-2

-1


2

y(t)

Transitorio Permanente

Respuesta a una Entrada Senoidal (II)Y(s)X(s)

G(s)


0

0.5

1

1.5

y(t)

x(t)

M =

N

to<0 T=2π/ω=1/f

|G(jω)|=N/M

|G(jω)= to·ω [rad] )()···sen()( 0 tutMtx ω=

G(s)x(t) y(t)

155

75)(

2 ++=

sssG

]/[101 sradM == ω

])()( sGjG ω =


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1

-0.5

0 ]

][·)(

)(

)()(

radtjG

M

NjG

sGjG

o

js

ωω

ω

ω ω

=

=

= =


Representaciones de la Respuesta Frecuencial

• Diagrama de Bode:


• Diagrama de Bode:

Dos curvas en función de la frecuencia f [Hz] o de la pulsación ω [rad/s], en

escala logarítmica.

–Relación de amplitudes A(ω) = 20·log|G(jω)| [dB]

–Angulo de fase Ψ(ω) = |G(jω) [º]

• Diagrama Magnitud-Fase:

Relación de amplitudes A(ω) [dB] en función del Angulo de fase Ψ(ω) [º]


Relación de amplitudes A(ω) [dB] en función del Angulo de fase Ψ(ω) [º]

con la frecuencia o pulsación como parámetro.

• Diagrama Polar:Lugar geométrico de los afijos de los vectores G(jω) cuando ω:0→∞

Diagrama de Bode (I)

• La relación de amplitudes en

decibelios [dB]:


][ºº180

·)()(rad

radjGπ

ωω =Ψ

][)(·log20)( dBjGA ωω =

decibelios [dB]:

• El ángulo de fase en grados [º]:

•La frecuencia f [Hz] o la pulsación

ω [rad/s] en escala logarítmica

•Multiplicar o dividir por 10 a

|G(jω)| supone sumar o restar 20 dB


|G(jω)| supone sumar o restar 20 dB

a A(ω).

• Multiplicar por 10 la frecuencia

supone subir una década y por 2

una octava.

Diagrama de Bode (II)• Para trabajar con el diagrama de Bode se sustituye s=jω en la función de

transferencia del sistema y se expresa con los términos independientes de

cada polinomio iguales a 1.


∏ ∏

∏ ∏

= =

= =

+++

+++

=L

l

M

m nmnm

ml

N

P

p

Q

q nqnq

q

p

sssTs

sssTK

sG

1 1

2

1 1

2

··2

1)··1(·

··2

1)··1(·

)(

ωω

ξ

ωω

ξ

( ) ∏ ∏

∏ ∏

= =

= =

+++

+++

=L

l

M

m nmnm

ml

N

P

p

Q

q nqnq

q

p

jjjTj

jjjTK

jG

1 1

2

1 1

2

··2

1)··1(·

··2

1)··1(·

)(

ω

ωω

ω

ξωω

ω

ωω

ω

ξω

ω

cada polinomio iguales a 1.

• Se puede estudiar la respuesta en frecuencia del sistema analizando por

separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de


separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de

transferencia. La suma de todos los resultados será la respuesta del conjunto.

( )

++

+

+++

2

2

··2

1

1;

)·1(

1;

1;·

·21;)·1(;

nn

N

nn jj

jTj

jjjTK

ω

ωω

ω

ξωωω

ωω

ω

ξω

Respuesta de un término constanteBode (Amplitudes)

AsintóticoKjGKsG == )()( ω


10-1

100

101ω (rad/s)

Asintótico

Real

90Bode (Fases)

Asintótico

A(ω)=20·log|K| [dB]

K>0

KjGA · log20)(·log20)( == ωω


10-1

100

101

-270

-180

-90

0

ω (rad/s)

RealK>0

K<0

<−

>==

0º180

0º0)()(

Ksi

KsijG ωωψ

Respuesta de un polo en el origen

20Bode (Amplitudes)

Asintóticoωω

jjG

ssG

1)(

1)( ==


10-1

100

101

-20

-10

0

10

ω (rad/s)

Asintótico

Real

90Bode (Fases)

Asintótico

-20 dB/dec

ωω

jjG

ssG )()( ==

ωω

ωωω

· log20·log201·log20

1·log20)(·log20)(

−=−=

===j

jGA

−=⇒=

=⇒=

=⇒=

dBA

dBA

dBA

20)10(10

0)1(1

20)1.0(1.0

ω

ω

ω


10-1

100

101

-270

-180

-90

0

ω (rad/s)

Asintótico

Real

∞→∀

−=−===Ψ

0:;

º9011

)()(

ωω

ωω

ωω jj

jG

Respuesta de más de un cero o polo en el origenBode (Amplitudes)

AsintóticoNN

jjGssG±± == )()()( ωω


10-1

100

101ω (rad/s)

Asintótico

Real

Bode (Fases)

Asintótico

±N·20 dB/dec0

jjGssG == )()()( ωω

( ) ωω

ωω

· log20··log20

)(·log20)(

Nj

jGA

N±==

==

±

)0)1(1( dBA =⇒=ω


10-1

100

101ω (rad/s)

Asintótico

Real

±N·90º

º90··

)()()(

NjN

jjGN

±=±=

===Ψ ±

ω

ωωω

Respuesta de un polo realω

ωjT

jGsT

sG·1

1)(

·1

1)(

+=

+=

2)·(1·log20)( TA ωω +−=

)·arctg()( Tωω −=Ψ

→Ψ⇒→ º0)(0Si ωω


)·(1·log20)( TA ωω +−=

0

20

Bode (Amplitudes)

Asintótico

Real

Error max. 3 dB

1/T

0

90

Bode (Fases)

Asintótico

Real

-45º/dec

0.1/T 10/T

(Ejemplo para T=1)

−→Ψ⇒∞→

→Ψ⇒→

º90)(Si

º0)(0Si

ωω

ωω


10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

ω (rad/s)

-20 dB/dec

10-2

10-1

100

101

102

-180

-90

ω (rad/s)

Respuesta de un cero real ωω jTjGsTsG ·1)(·1)( +=+=

2)·(1·log20)( TA ωω +=

)·arctg()( Tωω =Ψ

→Ψ⇒→ º0)(0Si ωω


)·(1·log20)( TA ωω +=

20

40

Bode (Amplitudes)

+20 dB/dec

1/T

90

180

Bode (Fases)

+45º/dec

0.1/T 10/T

(Ejemplo para T=1)

→Ψ⇒∞→

→Ψ⇒→

º90)(Si

º0)(0Si

ωω

ωω


10-2

10-1

100

101

102

-20

0

ω (rad/s)

Asintótico

Real

10-2

10-1

100

101

102

-90

0

ω (rad/s)

Asintótico

Real

+45º/dec

Respuestas de otros ceros o polos reales

• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los


• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los

trazados asintóticos de cada representación se multiplican por N. También se

multiplica por N el error de representación.

• Si los signos del los coeficientes del polinomio que representa al polo o cero

real cambian, la curva de relación de amplitudes no cambia, pero la de fases si.

Ceros ω→0 ω→ ∞ Polos ω→0 ω→ ∞

(1+T·jω) 0º → 90º 1/(1+T·jω) 0º → -90º


(1+T·jω) 0º → 90º 1/(1+T·jω) 0º → -90º

(1-T·jω) 0º → -90º 1/(1-T·jω) 0º → 90º

(-1+T·jω) 180º → 90º 1/(-1+T·jω) -180º → -90º

(-1-T·jω) -180º → -90º 1/(-1-T·jω) 180º → 90º

Respuesta de un par de polos complejos (I)

2222 )·()/1()·/·2(1

1)(

·)/1()·/·2(1

1)(

ωωωωξω

ωωξ jjjG

sssG

nnnn ++=

++=

10 << ξ


( )[ ] ( )2222

/··4/1·log20)( nnA ωωξωωω +−−=

( )( )

−−=Ψ

2/1

/··2arctg)(

n

n

ωω

ωωξω

0

20 Bode (Amplitudes)

Asintótico

Real20·logMr

ωr

ωn

Pico de Resonancia

-90

0

90 Bode (Fases)

Asintótico

Real

0.1·ωn 10·ωn

−=

−=

<<

2

2

·21·

1··2

1

707.00

ξωω

ξξξ

nr

rM

si← Pico de Resonancia

← Frecuencia de Resonancia(Ejemplo para ωωωωn=1, ξξξξ=0.1)

−→Ψ⇒∞→

→Ψ⇒→

º180)(Si

º0)(0Si

ωω

ωω


10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

ω (rad/s)

-40·dB/dec

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

ω (rad/s)

-90º/dec

Respuesta de un par de polos complejos (II)

22 ·)/1()·/·2(1

1)(

sssG

nn ωωξ ++=


·)/1()·/·2(1 ss nn ωωξ ++

Comparación de la respuesta en

22 )·()/1()·/·2(1

1)(

ωωωωξω

jjjG

nn ++=


Comparación de la respuesta en

frecuencia cuando se modifica el

parámetro ξ

Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (I)

)·25.0·5.01)·(·101·(

)·41·(20)(

)4·2)·(1.0·(

)25.0·(32)(

22ssss

ssG

ssss

ssG

+++

+=

+++

+=

===

Ψ

1·1001.0·1.01.0

)()(

corte de sFrecuencia

ppp

A

ωωω

ωω


Fase

))·(25.0·5.01)·(·101·(

)·41·(20)(

2ωωωω

ωω

jjjj

jjG

+++

+=

Amplitud

===

===

===

20·102.0·1.02

5.2·10025.0·1.025.0

1·1001.0·1.01.0

nnn

zzz

ppp

ωωω

ωωω

ωωω

=

⇒=⇒

=

=

srad

dBM

r

rn

/41.1

24.115.1

5.0

2 Resonancia de Pico

ωξ

ω


Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (II)

Elemento Frecuencia de corte Cambio de

pendiente

Pendiente acumulada

K=20 ≡ 26 [dB] 0 dB/decNo tienen, frecuencia de corte.

• Tabla para el trazado asintótico de A(ω)


K=20 ≡ 26 [dB] 0 dB/dec

1/(j·ω) (ω=1 ⇒ 0 dB)

No tienen, frecuencia de corte.

Su representación es una recta

de pendiente -20db/dec que

pasa por 26 dB para ω=1

-20 dB/dec -20 dB/dec

(pendiente inicial)

1/(1+10·j·ω) ωp=0.1 -20 dB/dec -40 dB/dec

(1+4·j·ω) ωz=0.25 +20 dB/dec -20 dB/dec

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) ωn=2 -40 dB/dec -60 dB/dec

Elemento ω→0 ω→∞

K=20>0 0º → 0º

ω -90º → -90º

Elemento Frecuencia de corte Cambio de

pendiente

Pendiente

acumulada

K=20>0 (0º) 0º/decNo tienen. Es una 0º/dec

• Tablas para el trazado asintótico de Ψ(ω)


1/(j·ω) -90º → -90º

1/(1+10·j·ω) 0º → -90º

(1+4·j·ω) 0º → 90º

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0º → -180º

Total -90º → -270º

K=20>0 (0º) 0º/dec

1/(j·ω) (-90º)

No tienen. Es una

horizontal por -90º 0º/dec

0º/dec

(inicial)

1/(1+10·j·ω) 0.1·ωp=0.01 -45º/dec -45º/dec

(1+4·j·ω) 0.1·ωz=0.025 +45º/dec 0º/dec

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0.1·ωn=0.2 -90º/dec -90º/dec

1/(1+10·j·ω) 10·ωp=1 +45º/dec -45º/dec

(1+4·j·ω) 10·ωz=2.5 -45º/dec -90º/dec

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 10·ωn=20 +90º/dec 0º/dec

Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (III)



Diagrama Magnitud-FaseBodeMagnitud-Fase A(ω) [dB]A(ω) [dB] ψ(ω) [º]

4040 0

)4·2)·(1.0·(

)25.0·(32)(

2 +++

+=

ssss

ssG


20

0

20

0

-90

-180

ψ(ω)

A(ω)

A(ω1)

A(ω1)

ψ(ω1)

ω1


ψ(ω) [º] ω [rad/s]

-20-20 -270

-270 -180 -90 0 10-1

101ψ(ω1)

A(ω2)A(ω2)

ψ(ω2)

ψ(ω2) ω2=4

ω2

ω1=1

Diagrama Polar

)1·5()(

+=

ωω

jjG


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

0

1

2

ψ(ω1)= G(jω1)

ψ(ω2)= G(jω2)

G(jω1)

G(jω2)

ω=0

ω1

ω=inf

)1·1.0)(1·2.0)(1·4.0)(1(

)1·5()(

++++

+=

ωωωω

ωω

jjjj

jjG


-3

-2

-1ψ(ω2)= G(jω2)G(j 2)

ω2

Diagrama Polar (II)Bode Diagrams

80 -90

)4·2)·(1.0·(

)25.0·(32)(

2 +++

+=

ssss

ssG

ω→

ψ(ω)→-90º

ψ(ω)→-270º

(-270º)


Magnitude (

dB

)

0

20

40

60

-210

-180

-150

-120

Phase (

deg)

A(ω)

ψ(ω)

-6 -4 -3 -2 -1 1

-4

0

-2

2

ω→∞

-5

ω→0

A(ω)→∞⇒|G(jω)|→∞

ψ(1.9)=-180º

A(1.9)≈13 dB⇒|G(j·1.9)|≈4.5

ω=1.9

ψ(ω)→-90º

|G(j·1.9)|≈4.5

ψ(1.9)=-180º

|G(jω)|→0

|G(jω)|→∞

(0º)(-180º)


Frequency (rad/sec)

Magnitude (

dB

)

-40

-20

10-1 100 10 1

-270

-240

10-2

-8

-6

-4

ω→0

ω→∞ψ(ω)→-270º

A(ω)→-∞⇒|G(jω)|→0ω=1.9

|G(jω)|→∞

(-90º)

Respuesta en Frecuencia de un Retardo Puro

x(t) y(t)=x(t-T)Y(s)X(s)

x(t) y(t)

G(s)=e-T·s

Retardo TX(s)

Y(s))( ·

esGsT== −


t tT

x(t) y(t)Retardo T

T = tiempo de retardo

][·)(

][0)(

·1)( ··

radT

dBA

TejGjT

ωωψ

ω

ωω ω

−=

=

−== −

BodeA(ω) [dB] ψ(ω) [º]

20

40 0

-90

ψ(ω)

1 Diagrama

Polar


ω [rad/s]

0

-20

-180

-2700.1/T

A(ω)

1/T 10/T

-1 1

-1

0

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