Direction of B

La ley de Biot-SavartEl vector dB es perpendicular tanto a dl (que es un vector que tiene unidades de longitud y está en la dirección de la corriente) como del vector unitario dirigido del elemento a PLa magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud dl del elemento.

r)

∫×

=2

ˆ4 r

rldIB o

rr

πµLa magnitud de dB es inversamente

proporcional a r2, donde r es la distancia del elemento a P.

2

ˆ4 r

rlIdBd o ×=

rr

πµ

La ley de Biot-Savart

r

dx

θ

a

x

µ0 = 4π x 10-7 T m/A. permeabilidad del espacio libre

( )θdxsenkrld))r

=×

24 rdxsenIBd o θ

πµ

=r

θθ

θθ

θθ

dadx

actgxxa

asen

ar

2csc

tan

csc

=

=⇒=

==

∫=2

1

24

θ

θ

θπ

µr

dxsenIB or

∫=2

1

24

θ

θ

θπ

µr

dxsenIB or

∫=2

1

22

2

csccsc

4

θ

θ θθθθ

πµ

adsenaIB o

r

∫=2

14

θ

θ

θθπ

µ dsenaIB o

r

( )21 coscos4

θθπ

µ−=

aIB o

rAlambre recto finito

πθθ == 21 y 0Alambre recto infinito

( ) ( )[ ]114

cos0cos4

−−=−=aI

aIB oo

πµπ

πµr

aIB o

πµ2

=r

Campo magnético debido a un alambre recto

B =

El valor de la constante µ0, llamada la permeabilidad del espacio libre , es µ0 = 4π x 10-7 T m/A.

µ02π

I r

Distancia perpendicular del alambre al punto en el cual B debe ser determinado.

Corriente en alambre

EjemploUn alambre eléctrico vertical en la pared de un edificio lleva una corriente de 25 A hacia arriba. ¿Cuál es el campo magnético en un punto 10 cm al norte de este alambre?

r.

El dibujo muestra una vista seccional de tres alambres. Ellos son largos, rectos y perpendiculares al plano del papel. Su seccion transversal esta en las esquinas de un cuadrado. Las corrientes en los alambres 1 y 2 son I 1 = I 2 = I y están dirigidos hacia dentro en el papel.

¿Cuál es la dirección de la corriente en el alambre 3 y cuál es el cociente I 3/I, tal que el campo magnético neto en la esquina vacía es cero?

la corriente en el alambre 3 se debe dirigir hacia fuera del plano del papel

(2) Una trayectoria de corriente de la forma mostrada en la figura produce un campo magnético en P, el centro del arco. Si el arco subtiende un ángulo de 30.0º y el radio del arco es de 6.00 m, ¿cuáles son la magnitud y dirección del campo producido en P si la corriente es de 3.00 A.

0rld

d-cy b-aastrayectori

=× )r

a

b

c

r)

∫×

=2

ˆ4 r

rldIB o

rr

πµ

dlsen90dlrld

c-bastrayectori

==× )r

d

( )r

IrrIB oo

πθµ

πθµ

44 2==

r222 444 r

IldlrI

rdlIB ooo

πµ

πµ

πµ

=== ∫∫r

( ) 2/322

2

2 axIaB o

+=

µ

2

ˆ4 r

rlIdBd o ×=

rr

πµ

rrrr

) =34 r

rlIdBd orr

r ×=

πµ

La ley de Biot-Savart

∫×

= 34 rrldIB orr

r

πµ

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

Las componentes en y de B se anulan y en x se suman

∫×

= 3

cos

4 r

rldIB oP

θ

πµ

rrr

( )∫∫ =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 33 44 radaI

rrardl

IB ooP

φπ

µπ

µr

( ) ( ) ∫∫+

=+

=ππ

φπ

µφπ

µ 2

02322

22

0 2322

2

44d

ax

Ia

ax

daIB ooP

r

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

( ) 2/322

2

2 axIaB o

+=

µ

aIB o

2µ

=En el centro del lazo (x = 0):

En puntos muy lejanos

(x >> a):

32 xB o µ

πµ

=

( )

2

2

aI

aIIA

πµ

πµ

=

==

3

2

2xIaB oµ

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

23

2

2 axaB o

πµµ

Un conductor consiste de una espira circular de radio R = 0.100 m y de dos largas secciones rectas, como se muestra en la figura. El alambre yace en el plano del papel y conduce una corriente I = 7.00 A. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el centro de la espira.

rr ldr

∫×

= 34 rrldIB orr

r

πµ

( )∫=

3o

r90senrdr

4IB θ

πµr ( )

r42Id

r4IB o

2

0

o

ππµθ

πµ π

== ∫r

r2IB oµ

= TB 57

104.41.02

7104 −−

×=×

××=

π

d

Fuerza Entre Dos Alambres

Fuerza Entre Dos Alambres

I2I1

d

Fuerza Entre Dos Alambres

I2I1

Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

Dos alambres que conducen corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí.

La dirección de la fuerza depende de la dirección de la corriente.

121 LBIF = dIB

πµ2

101 =

dLIIF

πµ

2210

1 =

212 LBIF = dIB

πµ2

202 =

dLIIF

πµ

2210

2 =

Corrientes en la misma dirección fuerza atractiva.

Corrientes en dirección opuesta fuerza repulsiva.

Si dos alambres paralelos a 1 m de distancia conducen la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud de cada alambre es de 2 × 10−7 N/m, entonces la corriente se define como 1 amperio (A).

1 m

F / L = 2 x 10-7 Nm-1

IIII I = 1 A

Si un conductor conduce una corriente estable de 1 A, entonces la cantidad de carga que fluye por sección transversal del conductor en 1 s es 1 C.

Un alambre horizontal lleva una corriente I1 = 80 A dc. Un segundo alambre paralelo 20 cm debajo ¿cuánta corriente I2, debe llevar, de modo que no caiga debido a la gravedad? El alambre inferior tiene una masa de 0.12 g por metro de la longitud.

Campo magnético debido la corriente I1

En la figura la corriente en el largo alambre recto es I1 = 5.00 A y el alambre se ubica en el plano de la espira rectangular, la cual conduce 10.0 A. Las dimensiones son c = 0.100 m, a = 0.150 m y l = 0.450 m. Determine la magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida sobre la espira por el campo magnético creado por el alambre.

Campo magnético producido por un solenoide en un punto de su eje:

( ) dxax

nIadB o2/322

2

2 +=

µ

θθθ

θθθ

θ

θθθ

dsen

dsenx

dxdxdx

cos1cos

cos1

tansec0

2

2

−=−=

+=

θθ 2

2

cos1tan1 =+( )∫ +

= 2/3222

22

tantan

2 θθµ

xxdxxnIB o

( )∫ += 2/32

2

tan1tan

2 θθµ

xdxnIB o

∫=x

dxnIB o θθµ 32 costan2

θθ tantan xaxa

=⇒=

( ) ∫∫∫ −===θθ

θθθµθθµθ

θθµcos

cos2

cos2cos

cos2

22

2

32

sendsennI

xdxsennI

xdxsennIB ooo

∫ −=2

12

θ

θθθµ dsennIB o )cos(cos

2 12 θθµ−=

nIB o

En el punto medio del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo comparado con a:

nIB oµ=

En el punto extremo del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo comparado con a:

nIB oµ21=

Ley de Ampere

B dl = µ0Iencl•∫Cualquier trayectoria cerrada .

La corriente neta a través de la superficie encerrada por esta trayectoria cerrada.

El caso general:

Ley de AmpèreLa integral de línea de B·dl alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a µ0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada.

IldB 0µ=•∫rr

BldlBBdlldB ===• ∫∫∫rr

IaaIldB 0

0 22

µππ

µ==•∫

rr

El signo viene de la dirección del lazo y regla de la mano derecha

Ley de Ampere

Ιl 0µ=•∫rr

dB

B

I

IΙl 02µ=•∫

rrdB

B

I

I

0=•∫ lrr

dB

B

I

I

El signo viene de la dirección del lazo y regla de la mano derecha

Ley de Ampere

Ιl 02µ=•∫rr

dB

B

I

I

Ιl 02µ−=•∫rr

dB

B

I

I

Ιl 02µ−=•∫rr

dB

Test

1A

2A

Corrientes de 1A, 5A, 2A, fluyendo en 3 alambres según lo mostrado

5A Cuál es la ΣB.ds a través de lazos a, b, c, d?

a

b

c

ΣB.ds -1µ0 +3µ0 +4µ0 +6µ0

abcd

Un conductor largo, cilíndrico es sólido en todas partes y tiene un radio R . El flujo de las cargas eléctricas es paralelo a al eje del cilindro y pasa uniformemente a través de la sección transversal entera. El arreglo es, en efecto, un tubo sólido de la corriente I0. Utilizar la ley de ampere para demostrar que el campo magnético dentro del conductor a una distancia r del eje es

rRIB

20

2πµ

=

I1

I

IldB 0µ=•∫rr

21

2 rI

RIJ

ππ== I

RrI

2

2

1 =

10IdlB µ=∫( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= I

RrrB

2

2

02 µπ IRrB

20

2πµ

=

Fuera del toroide (r<R):

00 ==∫ ⋅ IsdB µrr

0=BDentro del toroide:

BsdsBBdssdB =∫=∫=∫ ⋅ rr

NIrB 02 µπ =r

NIBπ

µ20=

Fuera del toroide (r>R):

00 ==∫ ⋅ IsdB µrr

0=B

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.

BxdlBBdlldB BCBC ===• ∫∫∫rr

NIBx 0µ=

xNIB 0µ

=

nIB 0µ=

Resumen2

0 ˆ4 r

rdsB ×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= Id

πµ

Ley de Biot-Savart

aIB

πµ2

0=conductor recto infinito

RIB

20µ

=Centro de espira circular

RNIB

20µ

=Centro de N espiras circulares

aII

lF

πµ2

210=•Fuerza entre dos alambres

Otros ejemplos de campo magnético

• Interior de alambre recto

• centro de un solenoide toroidal con N vueltas

• Interior del solenoide n vueltas por unidad de longitud

• Ley de Ampere

rRIB

20

2πµ

=

RNIB

πµ2

0=

nIB 0µ=

IldB 0µ=•∫rr

Corriente de desplazamiento y la forma general de la ley de Ampère

IsdB 0µ=⋅∫rr

La ley de Ampère de la forma anterior sólo es válida si el campo eléctrico es constante en el tiempo.

Los campos magnéticos son producidos tanto por campos eléctricos constantes como por campos eléctricos que varían con el tiempo.

Ley de Ampère-Maxwell:

)II(sdB d0 +µ=⋅∫rr

dtdI E

0dΦ

ε=

Se debe aclarar que la expresión anterior sólo es válida en el vacío. Si un material magnético está presente, se debe utilizar la permeabilidad y la permitividad características del material.

Dos largos, los alambres rectos están separados 0.120 m. Los alambres llevan corrientes de 8.0 A en direcciones opuestas, como el dibujo indica . Encontrar la magnitud del campo magnético neto en los puntos etiquetados (a) A y (b) B.

En el punto A : B1 es ascendente y B2 está abajo, los restamos para conseguir el campo neto.

En el punto B: B 1 y B 2 son ambos abajo asíque sumamos los dos.

El dibujo demuestra una barra fina, uniforme, la cual tiene una longitud 0.40 m y una masa de 0.080 kg. La barra está en el plano del papel y es unida al piso por una bisagra en el punto P. Un campo magnético uniforme de 0.31 T se dirige perpendicular en el plano del papel. Hay una corriente I = 3.8 A en la barra , cuál no rota a la derecha o a la izquierda. Encontrar el ángulo θ. (clave: La fuerza magnética actúa en el centro de gravedad.)

Los dos rieles conductores en el dibujo están inclinados hacia arriba un ángulo de 30.0° con respecto a la tierra. El campo magnético vertical tiene una magnitud de 0.050 T. La barra de aluminio de 0.20 kilogramo (longitud = 1.6 m) desliza sin fricción abajo de los rieles a velocidad constante. ¿Cuánta corriente atraviesa la barra ?

La bobina en figura contiene 380 vueltas y tiene un área por vuelta de 2.5 x 10-3 m2. El campo magnético es 0.12 T, y la corriente en la bobina es 0.16 A. Una zapata se presiona perpendicular contra el eje para que no gire la bobina. El coeficiente de fricción estática entre el eje y la zapata es 0.70. El radio del eje es 0.010 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal mínima que la zapata ejerce en el eje?

En el equilibrio el esfuerzo de torsión magnético en la bobina que lleva es balanceado por el esfuerzo de torsión debido a la fricción.

Materiales Ferromagnéticos

• Hierro • Cobalto • Níquel • Gadolinium• Dysprosium• Aleaciones que contienen estos

elementos (e.g. aleación de acero)

Ferromagnetismo• Los materiales ferromagnéticos experimentan el

fenómeno de la magnetización espontánea cuando el material se pone en un campo magnético.

• El ferromagnetismo implica la alineación de una fracción apreciable de los momentos magnéticos moleculares.

• El ferromagnetismo aparece solamente debajo de la temperatura de curie.

• Los materiales ferromagnéticos en estado natural se encuentran generalmente desmagnetizados incluso debajo de la temperatura de curie.

Ejemplo De Temperaturas Curie

• Fe – 1043 K• Co – 1403 K • Ni – 631 K• Gd – 289 K• Dy – 105 K

Electron

N

momentomagnéticoOrbital

µl

Las características magnéticas son debidas la rotación de cargas eléctricas. Rotación orbital.

Spin de Rotación del Electronµs momento

Spin magnético

El electrón gira en su eje como la tierra.

Vector de magnetización e intensidad de campo magnético

El estado magnético de una sustancia se describe por medio de una cantidad denominada vector de magnetización M, cuya magnitud se define como el momento magnético por unidad de volumen de la sustancia.

MBB 0ext

rrrµ+=

El campo magnético total en un punto en una sustancia depende tanto del campo externo aplicado como de la magnetización de la sustancia.

La intensidad de campo magnético H de una sustancia representa el efecto de la corriente de conducción en alambres sobre una sustancia (Bext =µ0H)

)MH(B 0

rrr+µ=

Clasificación de sustancias magnéticas

Ferromagnetismo

Son sustancias cristalinas cuyos átomos tienen momentos magnéticos permanentes que muestran intensos efectos magnéticos.

Todos los materiales ferromagnéticos están constituidos con regiones microscópicas llamadas dominios. Ejemplos: hierro, cobalto, níquel.

Dominios Magnéticos

B = 0 BB

Si sobre un material ferromagnético se aplica una corriente, la magnitud del campo magnético H aumenta linealmente con I.

La curva B versus H se denomina curva de magnetización:

Dominios Magnéticos Este efecto se conoce como histéresis magnética.

La forma y tamaño de la histéresis dependen de las propiedades de la sustancia ferromagnética y de la intensidad del campo aplicado.

La histéresis para materiales ferromagnéticos “duros” es característicamente ancha, lo que corresponde a una gran magnetización remanente.

El área encerrada por la curva de magnetización representa el trabajo requerido para llevar al material por el ciclo de histéresis.

Materiales Magnéticos Duros

• Los materiales magnéticos duros, tales como níquel y cobalto son difíciles de magnetizar pero tienden a conservar su magnetismo.

• La alineación del dominio persiste después de quitar el campo externo .

• Esto da lugar a un magnétismopermanente.

Materiales Magnéticos Suaves

• Los materiales magnéticos suaves, tales como hierro, se magnetizan pero tienden fácilmente a perder su magnetismo una vez que se quite el campo externo.

• La agitación termal produce el movimiento del dominio y el material vuelve rápidamente a su estado no imantado.

• Los materiales magnéticos naturales, tales como magnetita, alcanzan su magnetismo porque se han expuesto al campo magnético de la tierra durante mucho tiempo.

Paramagnetismo y diamagnetismo

Al igual que los ferromagnéticos, los materiales paramagnéticos están hechos de átomos que tienen momentos magnéticos permanentes, mientras que los diamagnéticos carecen de ellos.

Aluminio, calcio, cromo son ejemplos de sustancias paramagnéticas mientras que el cobre, oro y plomo son ejemplos de sustancias diamagnéticas.

Para las sustancias paramagnéticas y diamagnéticas, el vector de magnetización M es proporcional a la intensidad de campo magnético H:

HMrr

χ=

Donde χ es un factor adimensional llamado susceptibilidad magnética.

Para sustancias paramagnéticas χ es positiva y para sustancias diamagnéticas χ es negativa.