Questões Resolvidas

FUNÇÃO AFIM: RAIZ, COEFICIENTES E SINAL

𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+3𝑓 (1 )=−2 .1+3¿−2+3¿1

𝑓 (𝑥 )=4 𝑥+5𝑒 𝑓 (𝑥 )=7⇒ 4 𝑥+5=74 𝑥=7−54 𝑥=2∴𝑥=

24𝑜𝑢 𝑥=

12

𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏= y𝑓 (1 )=𝑎 .1+𝑏=5𝑓 (−3 )=𝑎 . (−3 )+𝑏=−7

𝑎+𝑏=5−3 𝑎+𝑏=−7× (−1 )

𝑎+𝑏=53𝑎−𝑏=74𝑎¿12∴𝑎=3

3+𝑏=5𝑏=5−3∴𝑏=2

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (𝑥 )=3 𝑥+2

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (1 )=1

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑥=

12

𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏= y

𝑓 (−1 )=𝑎 .(−1)+𝑏=7𝑓 (2 )=𝑎 .2+𝑏=1

−𝑎+𝑏=72𝑎+𝑏=1

× (−1 )

𝑎−𝑏=−72𝑎+𝑏=13𝑎¿−6∴𝑎=−2

− (−2 )+𝑏=7𝑏=7−2∴𝑏=5

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+5

𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏= y

𝑓 (1 )=𝑎 .1+𝑏=5𝑓 (−2 )=𝑎 . (−2 )+𝑏=−4

𝑎+𝑏=5−2𝑎+𝑏=−4× (−1 )

𝑎+𝑏=52𝑎−𝑏=43𝑎¿9∴𝑎=3

3+𝑏=5𝑏=5−3∴𝑏=2

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (𝑥 )=3 𝑥+2

𝑦= 𝑓 (𝑥 )𝑜𝑢𝑝= 𝑓 (𝑡 )→𝑜𝑝𝑟𝑒 ç𝑜 (𝑝 ) ,𝑒𝑚𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠é𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜𝑑𝑜𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑡 ) ,𝑒𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠

𝑝=𝑎 . 𝑡+𝑏𝑃𝑎𝑟𝑎𝑡=0 ,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠𝑝=7500⇒7500=𝑎 .0+𝑏

0∴𝑏=7500

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑡=6 ,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠𝑝=1200⇒1200=𝑎 .6+𝑏𝑜𝑢1200=6𝑎+75001200−7500=6 𝑎−6300=6𝑎∴𝑎=−1050𝑝=−1050 .𝑡+7500

𝐴𝑝ó 𝑠 4 𝑎𝑛𝑜𝑠𝑑𝑒𝑢𝑠𝑜 , 𝑡=4∴𝑝=?⇒𝑝= 𝑓 (4 )=−1050 .4+7500¿−4200+7500¿3300

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑂𝑝𝑟𝑒ç 𝑜𝑠𝑒𝑟 á𝑅 $3.300,00

𝑎 ¿𝑎=5 (𝑎>0 )∴𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜 é𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

𝑏¿ 𝑓 (𝑥 )=0𝑜𝑢5𝑥−3=0⇒5 𝑥=3∴𝑥=35

𝑐 ¿𝑥=0⇒ 𝑦= 𝑓 (0 )𝑓 (0 )=−3𝑜𝑢 𝑦=−3∴𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (0 ,−3 )

𝑥

𝑦

𝑂●

●

Raiz: abscissa do ponto em que a reta corta Ox

Ordenada do ponto em que a reta corta Oy = b

𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜𝑑𝑜𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 :

𝑅𝑎𝑖𝑧 :𝑥=35∴ 𝑦=0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥=

35

𝐹𝑢𝑛 çã𝑜𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒∴{𝑦>0𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥> 35

𝑒

𝑦<0𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥<35

𝑦=5 𝑥−3𝑜𝑢 𝑓 (𝑥 )=5𝑥−3

𝐹𝑢𝑛 çã𝑜 𝐴𝑓𝑖𝑚 :𝑦=𝑎𝑥+𝑏

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2 ,−63 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜⇒−63=𝑎 . (−2 )+𝑏

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (5 ,0 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜⇒ 0=𝑎 . (5 )+𝑏

−2𝑎+𝑏=−635𝑎+𝑏=0

× (−1 ) 2𝑎−𝑏=635𝑎+𝑏=0

⇒

7𝑎¿63∴𝑎=9

5 .9+𝑏=0∴𝑏=−45

⇒ 𝑦=9𝑥−45𝑜𝑢 𝑓 (𝑥 )=9 𝑥−45

𝑓 (16 )=9 .16−45¿144−45¿99 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :

e

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (−8 ,0 )⇒ −8 0𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (0 ,4 )⇒ 0 4

𝑎 ¿Vemos que, à medida que os valores de x aumentam, os de y também aumentam, o que caracteriza uma Função Afim CRESCENTE.

𝑏¿Se o ponto pertence ao gráfico da função, isto significa que a função se anula ( ) para , ou seja, é a raiz ou o zero da Função Afim.

𝑑¿ 𝑦=𝑎𝑥+𝑏Se o ponto pertence ao gráfico da função, isto significa que a reta intercepta o eixo no ponto de ordenada , ou seja, o coeficiente linear é

𝑦=𝑎𝑥+4(−8 ,0 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜⇒0=𝑎 . (−8 )+4⇒ 8𝑎=4∴𝑎=

12

𝑦= 𝑓 (𝑥 )=12𝑥+4⇒ 𝑓 (−1 )=− 1

2+4∴ 𝑓 (−1 )=7

2𝑜𝑢3,5

𝑐 ¿

𝑥

𝑦

𝑂●

●

𝑓 (𝑥 )=12𝑥+4

●

●

Ponto de coordenadas

2 𝑥+5=−2𝑥+54 𝑥=0∴𝑥=0

Coordenadas do ponto de interseção:

𝑔 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )

⇒ 𝑦= 𝑓 (0 )=𝑔 (0 )=5

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜: (0 ,5 )

Raízes:

𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑓 :−2 𝑥+5=05=2 𝑥∴𝑥=

52

⇒𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜( 52 ,0)∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓

𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑔 :2 𝑥+5=02 𝑥=−5∴𝑥=−

52

⇒𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜(− 52 ,0)∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎𝑔

𝑥

𝑦

𝑂

●

Ponto e

●

Ponto

𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+5

●

Ponto

𝑔 (𝑥 )=2 𝑥+5

𝑎 ¿𝐿= 𝑓 (𝑥 )=5𝑥−230

𝑏¿5 𝑥−230<05 𝑥<230∴𝑥<46

Se forem vendidas menos de 46 unidades, o lucro será negativo, ou seja, haverá prejuízo.

𝑐 ¿5𝑥−230=3155 𝑥=545∴𝑥=109

Se forem vendidas 109 unidades, o lucro será de R$ 315,00.

𝑑¿5 𝑥−230>2805 𝑥>510∴𝑥>102

É preciso que sejam vendidas mais de 102 unidades para que o lucro seja maior que R$ 280,00.

𝑎 ¿ 𝑓 (1 )=−2 .1+3∴ 𝑓 (1 )=1

𝑏¿ 𝑓 (0 )=−2 .0+3∴ 𝑓 (0 )=3

𝑐 ¿ 𝑓 ( 13 )=−2 . 13+3¿ −2+93 ¿73

𝑓 ( 𝑓 ( 13 ))= 𝑓 ( 73 )=−2. 73 +3¿−14+93

∴ 𝑓 ( 𝑓 ( 13 ))=− 53𝑑¿ 𝑓 (− 12 )=−2 .(− 12 )+3¿1+3∴ 𝑓 (− 12 )=4

𝑎 ¿2𝑥+3=12 𝑥=−2∴𝑥=−1

𝑏¿2 𝑥+3=02 𝑥=−3∴𝑥=−

32

𝑐 ¿2𝑥+3=13

2 𝑥=13−3

∴𝑥=−43

¿1−93

2 𝑥=−83

4

𝑎 ¿𝐶= 𝑓 (𝑥 )=0,50 𝑥+8

𝑏¿ 𝑥=100⇒𝐶=0,50 .100+8𝐶=50+8∴𝐶=𝑅 $58,00

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (1 ,6 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+4⇒ 6=𝑎 .1+46=𝑎+4∴𝑎=2

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (1 ,6 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎𝑔 (𝑥 )=𝑏𝑥+1⇒ 6=𝑏 .1+16=𝑏+1∴𝑏=5

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑎=2𝑒𝑏=5

Retas paralelas têm mesma inclinação, ou seja, têm mesmo Coeficiente Angular.

𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑒 𝑓 (𝑥 ) :𝑦=−4 𝑥+1

𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑠𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑒𝑔 (𝑥 ): 𝑦=𝑎𝑥+𝑏

𝑟 ∥𝑠∴𝑎=4⇒𝑔 (𝑥 ) :𝑦=4 𝑥+𝑏

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (1 ,−1 )∈𝑠 : 𝑦=4 𝑥+𝑏⇒−1=4 .1+𝑏−1=4+𝑏∴𝑏=−5

⇒ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :

𝑔 (𝑥 )=4 𝑥−5

𝑓 (0 )=6⇒𝑥=0

𝑓 (𝑥+1 )=2 . 𝑓 (𝑥 )−5⇒ 𝑓 (0+1 )=2. 𝑓 (0 )−5

𝑓 (1) 6¿2 . −5¿12−5∴ 𝑓 (1 )=7

𝑓 (1 )=7⇒𝑥=1

𝑓 (𝑥+1 )=2 . 𝑓 (𝑥 )−5⇒ 𝑓 (1+1 )=2 . 𝑓 (1 )−5

𝑓 (2) 7¿2 . −5¿14−5∴ 𝑓 (2 )=9

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (2 )=9

ISERJ – 2012 Professora Telma Castro Silva