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F u n ç ã o
A f i m
FUNÇÃO AFIM Uma função f: IR em IR recebe o nome de
função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x)=ax+b,para cada x € IR associa o elemento (ax + b) € IR em que a ≠ 0 e b são números reais dados.
f(x) = ax + b onde a ≠ 0 Na função f(x) = ax + b, o número a é
chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções afim: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
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GRÁFICO
“O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b (a ≠ 0) é uma reta”
Exemplo: construir o gráfico da função f(x) = 2x + 1Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los
com o auxílio de uma régua, para obter os pontos vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes valores de y
a)Para x = 0, temos f(x) = 2 · 0 + 1 = 1b) Para x = 1, temos f(x) = 2. 1 + 1 = 3
O gráfico é uma reta quepassa pelos pontos(0 ,1) e (1, 3)
x f(x) = 2x + 1
y
0 f(0) = 2·0+1
1
1 f(1)= 2. 1 + 1
3
y
x
1
2
3
1
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COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR O coeficiente “a” da função f(x) = ax +b
é denominado coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano
O coeficiente “b” da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear.
Exemplo: Na função y = 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que se x = 0, temos y = 1. Portanto, o coeficiente Linear é a ordenada do ponto que a reta corta o eixo y
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ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃOZero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é f(x)=0.Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equação do 1º
grauax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:1- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:f(x) = 0 2x - 5 = 0
2- o zero da função f(x) = 2x – 1 é x= ½ pois fazendo 2x – 1 = 0, vem x= ½ .
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Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x
Exemplo : Fazendo o gráfico da função f(x) = 2x – 1Podemos notar que a reta intercepta o eixo dos x
em x = ½ isto é, no ponto (1/2, 0).x f(x)= 2x -
1 y
0 f(0)= 2.0 - 1
-1
1 f(1)= 2.1 - 1
1
y
x
-1 (0, -1)
1
1 (1, 1)
(1/2, 0)
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CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Função Crescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o
coeficiente de x é positivo Ex: 2x + 1 (a > 0)Sabemos que a função é crescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o
valor de y também aumenta
x -3 -2 -1 0 1 2 3y -10 -7 -4 -1 2 5 8
Função Decrescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo Ex: -2x + 1 (a < 0); Sabemos que a função é decrescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o valor de y diminui
x -3 -2 -1 0 1 2 3y 8 5 2 -1 -4 -5 -10
y diminui
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GRÁFICOS DAS FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE
Função crescentef(x) = 2x + 1 (a > 0);
Função decrescenteF(x)= -2x + 1 (a < 0);
x f(x)= 2x + 1
y
0 f(0)= 2.0 + 1
1
1 f(1)= 2.1 + 1
3
y
x
12
3
10
x f(x)= -2x + 1
y
0 f(0)= -2.0 + 1
1
1 f(1)= -2.1 + 1
-1
y
x
1
-1
1
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ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função qualquer, y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo(y>0), os valores de x para os quais y é zero(y=0) e os valores de x para os quais y é negativo (y<0). Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz .
Há dois casos possíveis:
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1º) a > 0 (a função é crescente)y > 0 ax + b > 0 x > y < 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz.
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2º) a < 0 (a função é decrescente)y > 0 ax + b > 0 x < y < 0 ax + b < 0 x >
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
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BIBLIOGRAFIA Matemática Completa – 2º grau – 1ª
série (Giovanni, Bonjorno)
Fundamentos da Matemática Elementar – volume 1
(Gelson Iezzi, Carlos Murakami)
Matemática - Volume Único (Marcondes Gentil Sérgio)
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EXERCICIOS 1ª) Descobrir a função do 1º grau que contém os pontos
(3,9) e (5,13) .
Solução: A função do 1º grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expressão os dois dados.
Substituindo ( 3,9 ) 9 = a . 3 + b Substituindo (5 , 13 ) 13 = a . 5 + bOrganizando essas equações, temos um sistema : 3a + b = 9 5a + b
= 13 Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar :
3 a + b = 9 . (-1) 5 a + b =13
-3 a – b = - 9 5 a + b = 132 a = 4 a = 2
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Substituindo a = 2 na primeira equação temos - 3 . 2 + b = -9 b = - 9 + 6 b = 3 Logo a função procurada e y = 2.x + 3
2º) Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.
Solução:f(1) = 5
f(1) = a * 1 + b5 = a + ba + b = 5
f(–3) = –7f(–3) = a * (–3) + bf(–3) = –3a + b–3a + b = –7
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Sistema de equações a + b = 5 -3a + b = - 7
Isolando a na 1º equaçãoa + b = 5
a = 5 – bSubstituindo o valor de a na 2º equação
–3a + b = –7–3 * (5 – b) + b = –7–15 + 3b + b = –74b = –7 + 154b = 8b = 2
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Substituindo o valor de b na 1º equaçãoa = 5 – b
a = 5 – 2a = 3
A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.
3º) Dado o gráfico da função de ℝ em ℝ, escreva a função f(x) = ax + b correspondente.
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Solução :Para encontrarmos a função necessitamos de dois pontos.
Olhando o gráficopodemos observar que os pontos onde a reta corta os eixos x
e y são fáceis dedeterminar sua coordenada. Assim os pontos, cujos pares
ordenados são (–3,0) e (0,4), pertencem à reta.Temos que encontrar os valores de a e b. Necessitamos
construir um sistema de equações com duas variáveis.0 = -3a + b (I)4 = 0a + b (II)Na segunda equação temos que b = 4, então substituímos o
valor de b na primeira temos0= - 3a + 4 a= 4/3Substituindo os valores de a e b em f(x) = ax + b
encontramos f(x) = 4/3x + 4 http://
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4º)Uma firma que conserta televisores cobra de visita uma taxa fixa de R$40,00 mais R$10,00 por hora de mão-de-obra. Sabendo-se que o preço a ser pago pelo conserto de um televisor é dado em função do número de horas de trabalho, encontre sua lei de formação. Quanto pagará um cliente por um conserto que durou 3 horas para ser realizado?
Solução:Há a cobrança de uma taxa de visita (R$40,00), valor
este que independe do tempo do conserto do televisor. Esta taxa é o termo constante b. A variável x será o tempo do conserto, assim, o valor de a (coeficiente de x) será igual a R$10,00 (valor cobrado por hora de mão-de-obra) A lei de formação ou função f(x) será o valor a ser pago por um conserto.
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Assim, a lei de formação será dada pela expressão f(x) = 10x + 40 Um cliente gastará por 3 horas de conserto o valor
de:f(3)=10.3+40f(3)= 10 . 3+40f(3) = 30+40f(3) = 70
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