Funciones cuadráticas

Análisis gráfico

Prof. Iván Flores

Objetivos

Durante esta lección podrás:

Analizar las transformaciones de las funciones cuadráticas

Trazarás la gráfica parábola

Hallar su vértice e identificarlo como máximo o mínimo

Denotar su eje de simetría

Identificar el intercepto en eje de y

Identificar él o los interceptos en el eje de x , si los tuvieracontinuar

En esta lección tendrás la oportunidad de analizar la gráfica y la fórmula de una función

cuadrátricas

Análisis Gráfico Análisis Teórico f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = a (x-h)2 + k

f(x)= a(x – z1)(x – z2)

Oprime sobre unos de estos títulos que deseas estudiar

MenuAnálisis Gráfico Análisis Teórico

f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = a (x-h)2 + k

f(x)= a(x – z1)(x – z2)

¿Deseás practicar lo aprendido?

SI NOEntonces vuelve a la lección que prefieras

MenuAnálisis Gráfico Análisis Teórico

f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = a (x-h)2 + k

f(x)= a(x – z1)(x – z2)

¿Deseás terminar la lección?

SI NO

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(-1,0)

(0,-3)

(1,-4)

(2,-3)

(3,0)

La parábola es una curva simétrica con respecto a su eje.

Que tiene como eje la x del vértice

Forma estándar f(x)= a(x-h)2 + k

vértice

Eje de simetría

Simetría -Arreglo equilibrado de partes de

una figura en lados opuestos de un punto, línea, o plano. Los tipos

más comunes incluyen la simetría con respecto a un punto, simetría con respecto a una línea y

simetría rotacional.

El cuerpo humano también

tiene partes simétricas como

los brazos y piernas, como

ves en el diagrama.

Cada una de estas flechas son equidistante desde el eje de simetría hasta el

mismo valor de la función en la curva

La parábola que se presenta, es la gráfica de la

función cuadrática en la forma general:

32)( 2 xxxf 4)1()( 2 xxf

También se puede representar de la forma estándar

continuar

Forma general f(x)= ax2 + bx + c

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

Esta es la función básica de la parábola

Si a la función se le suma 3

¿Qué sucede?

Si se resta 2 a la función

¿Qué sucede?

2)( 2 xxf

continuar

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

Esta es la función básica de la parábola

¿Qué sucede? ¿Qué sucede?

Si se le resta 2 a la x

22)( xxf

Si a la función se le suma 3 a la x

23)( xxf

continuar

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-6 -4 -2 2 4 6

f x = x2

Función básica

¿Qué sucede cuando 0 < a < 1?Mientras menor sea la fracción, ¿Qué sucede con la curva?

Se ensancha la curva.

continuar

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-6 -4 -2 2 4 6

f x = x2

Función básica

¿Qué sucede cuando a >1?Mientras mayor sea a, ¿Qué sucede con la curva?

La curva se pone más estrecha o se acerca a su eje de simetría que en este caso es el mismo eje de y.

Eje de simetría

continuar

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

Cambia la concavidad

2)( 2 xxf

Ejemplos

2xf(x)2)( xxf

Si a < 0; o sea -a ¿Qué sucede con

la curva?2)3( 2 xf(x)

continuar

4

3

2

1

-1

-2

-2 2 4 6

La ecuación 23)( 2 xxxfSi la evaluamos con

x Y

X = 0; 2)0(

2030)0( 2

f

f

X = 1;

0)1(

22)1(

231)1(

2131)1( 2

f

f

f

f

X = 2;

0)2(

22)2(

264)2(

2232)2( 2

f

f

f

f

X = 3;

2)3(

20)3(

299)3(

2333)3( 2

f

f

f

fEsta tabla

representa los valores antes

evaluados.

Veámoslo en la gráfica.

0 2

1 0

2 0

3 2

continuar

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

a)

c)

-3 -1

Lo siento

¡Muy bien!

¿La ecuación que describe la parábola es?

b)

¡Interactuemos!…Selecciona la mejor respueta, haz un click en la respuesta correcta

continuar

32)(x f(x) 2 Sigue practicando:Marca con el cursor en donde se encuentra el vértice de la parábola;

Trata otra vez

¿Hacia dónde abre la parábola?

Hacia arriba

Hacia abajo

¡Muy bien!¡Muy bien!

Eje de simetría

continuar

¿Cuál es el vértice?

34 f(x) 2 xxSigue practicando;Identifica en donde se encuentra el intercepto en el eje de y

Trata otra vez

(0,3)

c)(0,f(0)

3(0)4(0) f(0) 2

¡Muy bien!

¡Excelente!

Eje de simetría

¿Cuál es el punto simétrico con el intercepto en y?

¡Excelente!

¿Cuáles son los interceptos en el eje de x?

¡Excelente!

¡Excelente!

¡Excelente!

continuar

¿Cuál es el vértice?

862 f(x) 2 xxSigamos practicando;Identifica en donde se encuentra el intercepto en el eje de y

Trata otra vez

(0,8)

c)(0,f(0)

86(0)2(0) f(0) 2

¡Muy bien!

¡Excelente!

Eje de simetría

¿Cuál es el punto simétrico con el intercepto en y?

¡Excelente!

continuar

¡Notastes que No tiene interceptos en x!

Parábola: Una curva abierta producida por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.

Intercepto en x: Un punto en x en el que el valor de y sea 0

Intercepto en y: Un punto en y en el que el valor de x sea cero.

Vértice: El punto más alto o más bajo de una parábola, depediendo del valor de la a.

Definiciones básicas

Máximo

Mínimo

continuar

Forma general

f(x) = ax2 + bx + cDonde la a

determina:La anchuraLa concavidad

Donde la b determina:El movimiento de la

parábola en el vértice

Donde la c determina:El intercepto en y ; f(0)

a > 0

a < 0

c = 6

c = -4

continuar

¿Cómo obtenemos el vértice desde la forma general?

f(x) = ax2 + bx + c Con la fórmula

Obtenemos la x del vértice

Ejemplo 1

Lo evaluamos en la función

para obtener el valor de y

O sea el vértice

es

2a

b -

542 xxxf

2(1)

4 -h

9- 2,-

__ , x

__,2

5242 2 xf

a

b

c

14

5

9- 2,-

5- 0,

continuar

Lo evaluamos en la función

para obtener el valor de y

O sea el vértice

es

263- 2 xxxf

2(-3)

6 -h __,1

21613- 2 xf

5 1,

a

b

c

36

2

Ejemplo 2

5 1,

2 0,

2a

b -Evaluamos en

continuar

f(x) = a (x-h)2 + kDonde la a determina:

la anchura la concavidad

Donde la x representa cualquier punto en la parábola.

Donde el opuesto de h es la x del vértice.

Donde la k es el valor de y en el vértice.

Representado (-h, k)

Forma estándar

(2, 1)f(x) = (x-2)2 + 1

(-1, 4) f(x) = -(x +1)2 + 4

continuar

Forma de interceptos en x

f(x)= a(x – z1)(x – z2)Donde los opuestos

de z1 y z2 son

interceptos de x en la parábola.

Donde la x sería cualquier punto en la parábola

Donde la a determina la anchura y la concavidad

(2, 0)

f(x) = (x-2)(x +3)

(-3, 0)

f(x) = -(x - 1)(x - 6)

(1, 0) (6, 0)

continuar