Funciones realesConcepto de funcinFuncin real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de nmeros reales, llamado dominio, otro nmero real.

f : D

x

f(x) = y

El

subconjunto

en

el

que

se

def ine

la

f uncin

se

llama dominio o campo existencia de la funcin . Se designa por D.

El nmero x perteneciente al dominio de la f uncin recibe el nombre de variable independiente.

Al nmero, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x) . Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una f uncin al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x) .

Estudio del Dominio de una funcinDominio de la funcin polinmica enteraEl dominio es R, cualquier nmero real tiene imagen.

Dominio de la funcin racionalEl dominio es R menos los valores que anulan al

denominador (no puede existir un nmero cuyo denominador sea cero).

Dominio de la funcin irracional de ndice imparEl dominio es R.

Dominio de la funcin irracional de ndice parEl dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la funcin logartmicaEl dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la funcin exponencialEl dominio es R.

Dominio de la funcin senoEl dominio es R.

Dominio de la funcin cosenoEl dominio es R.

Dominio de la funcin tangente

Dominio de la funcin cotangente

Dominio de la funcin secante

Dominio de la funcin cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Grfica de funcionesSi f es una f uncin real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la funcin f le corresponde en el plano

cartesiano un nico punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de def inicin de la funcin.

Composicin de funcionesSi tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2 est incluido en el recorrido de la 1, se puede definir una nueva funcin qu e asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

f

o

i = i

o

f = f

Funcin inversa o recprocaSe llama funcin inversa o reciproca de f a otra

funcin f 1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a.-1 -1

f

o

f

= f

o

f = x

Clculo de la funcin inversa 1 Se escribe la ecuacin de la f uncin en x e y. 3 Se intercambian las variables. 2 Se despeja la variable x en funcin de la variable y.

Tasa de variacinEl incremento de una f uncin se llama tasa de variacin, y mide el cambio de la f uncin al pasar de un punto a otro.

t.v.= f(x+h) - f(x)

Funcin estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es positiva.

Funcin creciente

f es creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es positiva o igual a cero.

Funcin estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es negativa.

Funcin decreciente

f es decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es negativa o igual a cero.

Funcin acotada superiormenteUna funcin f est acotada superiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k.

El nmero k se llama cota superior.

Funcin acotada inferiormenteUna f uncin f est acotada inf eriormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k . El nmero k se llama cota inferior.

Funcin acotadaUna f uncin esta acotada si lo est a superior e

inferiormente. k f(x) k

Mximo absolutoUna funcin tiene su mximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la funcin.

Mnimo absolutoUna f uncin tiene su mnimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la funcin.

Mximo y mnimo relativoUna f uncin f tiene un mximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos prximos al punto a.

Una f uncin f tiene un mnimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos prximos al punto b.

Simetra respecto del eje de ordenadasUna f uncin f es simtrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verif ica:

f(-x) = f(x)

Las funciones simtricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetra respecto al origenUna f uncin f es simtrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verif ica:

f(-x) = -f(x)

Las funciones simtricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Funciones peridicasUna f uncin f(x) es peridica, de perodo T, si para todo nmero entero z, se verif ica:

f(x) = f(x + z T)

Si tenem os una funcin peridica f(x) de periodo T, la funcin g(x) = f(kx) tiene de periodo :

Funciones reales. Ejercicios y problemas1 Calcular1el dominio de las funciones polinmicas:

2

2 Calcular

el dominio de las funciones racionales:

1

2

3

4

5

3 Calcular1 2

el dominio de las funciones radicales:

3

4

5

6

7

8

9

10

11

41

Calcular el dominio de las funciones exponenciales:

2

51

Calcular el dominio de las funciones logartmicas:

2

61

Calcular el dominio de las funciones trigonomtricas:

2

7 Estudia1 2

la simetra de las siguientes funciones:

f(x) = x

6

+ x

4

- x

2

f(x) = x + x - x

5

3

3 4

f(x)= x |x|

f(x) = |x| 1

8 Estudia

el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los

puntos que se indican:

1 f(x) = 5x - 3x + 1 en x = 1

2

9 Hallar1

las funciones inversas de:

2 4

10 Dadas

las funciones:

Calcular:

1 2 3 4 5 6

7 Probar que:

11 Dadas

las funciones:

Calcular:

1 2

Funciones reales. Ejercicios1 Calcularel dominio de las funciones:

1

2

2 Estudia

la simetra de las siguientes funciones:

1

2

3 Estudia

el crecimiento o decrecimiento de las siguientes

funciones en los puntos que se indican:

1 2

f(x) = |x| en x = -2

4 Hallar

la funcin inversa de:

5 Dadas

las f unciones:

Calcular:

1 2 3 4 5 Probar que:

Ejercicios del dominio de una funcin1 Calcularel dominio de las funciones polinmicas:

1 f(x)= x 2 - 5x + 6 2

3

2 Calcular

el dominio de las funciones racionales:

1

2

3

4

5

6

7

3 Calcular1

el dominio de las funciones radicales:

2

3

4 Calcular

el dominio de las funciones radicales:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

5 Calcular

el dominio de las funciones exponenciales:

1

2

6 Calcular1

el dominio de las funciones logartmicas:

2

7 Calcular1 2

el dominio de las funciones trigonomtricas:

8 Calcular

el dominio de la funcin:

9 Calcular

el dominio de la funcin def inida a trozos:

Ejercicios de funcin inversa

Hallar la funcin inversa

1

2

3 4

5

6

7 8 9

101 Probar que: 2 Probar que:

11

Probar que: