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Escola Secundária de Jaime Moniz Ficha de trabalho

Disciplina: Matemática 10º Ano Capítulo II: Funções

1. Seja f a função real de variável real cujo gráfico é:

Pode concluir-se que:

2. Na figura está parte da representação gráfica de uma função h.

Qual das seguintes figuras pode representar parte da representação gráfica de uma função f definida por f(x) = 1 - h(x) ?

3. O contradomínio de uma função f é [-1 , 2] .

O contradomínio da função g definida por ( )( ) 2 1g x f x= − + é:

(A) [ ]0,3 (B) [ ]1,2− (C) [ ]1,4 (D) [ ]4, 1− − 4. O domínio de uma função f é [0 , 2]. O domínio da função g definida por ( ) (2 )g x f x= :

(A) [ ]0,2 (B) [ ]0,1 (C) 1 3,2 2

(D) [ ]0,4

5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, polinomial

do terceiro grau. 2 é o máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio , definida por

( ) ( ) 2g x f x= − Quantos são os zeros da função g?

(A) quatro (B) três (C) dois (D) um

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6. Na figura ao lado estão representadas, em referencial o.n. xOy, duas parábolas

geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g. Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa. A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4. Qual das expressões seguintes define a função g ?

(A) ( ) 7f x− + (B) ( ) 1f x− +

(C) ( ) 1f x− + (D) ( ) 7f x− +

7. Considera a função f real de variável real definida por 2( ) 4 8 3f x x x= − + .

7.1. Escreve a expressão que define a função f na forma ( )2( )f x a x h k= − + . 7.2. Indica as coordenadas do vértice e uma equação da recta que é eixo de simetria da parábola. 7.3. A função ( )( )g x f x β= + tem um único zero: 2. Indica o valor de β . 7.4. Determina a expressão analítica da função g definida do seguinte modo ( ) ( )2g x f x= − . 7.5. Determina analiticamente o conjunto solução da condição ( ) 15g x ≤ .

8. Na figura ao lado, está representado um triângulo rectângulo [ABC] cujos

catetos, [AB] e [BC], medem, respectivamente, 30 e 40 unidades de comprimento. O segmento [BD], representado a ponteado, é a altura do triângulo relativa à hipotenusa. Considere que um ponto P se desloca sobre [AD], nunca coincidindo com A, nem com H Os pontos Q, R e S acompanham o movimento do ponto P, de tal forma que, para cada posição do ponto P, [PQRS] é um rectângulo. Sabe-se que:

• o segmento [PS] está contido em [AC] • os pontos Q e R pertencem a [AB] e a [BC], respectivamente.

Resolva os itens seguintes, utilizando exclusivamente métodos analíticos. Pode utilizar a calculadora, para efectuar cálculos numéricos. 8.1. Mostre que 50AC = . 8.2. Mostre que 24BD = , 18AD = e 32DC = . 8.3. Seja x a distância do ponto A ao ponto P.

Mostre que 43

PQ x= e que 169

SC x= .

8.4. Seja f a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do rectângulo [PQRS]

8.4.1. Qual é o domínio da função f?

8.4.2. Mostre que ( )21800 100

27x xf x −

= .

8.5. Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder o perímetro do rectângulo [PQRS]

8.5.1. Qual é o domínio da função g?

8.5.2. Mostre que ( ) 261009

g x x= − .

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9. Num jogo de futebol, vai ser cobrado um livre, a 25 metros da baliza

(ver figura ao lado).

A barreira está à distância regulamentar de 9,15 metros da bola.

O plano da trajectória da bola é perpendicular à linha de golo.

A bola pode não passar a barreira ou pode passar por cima dela. Se passar por cima da barreira, a bola segue na direcção da baliza, fora do alcance do guarda-redes.

Admita que só pode acontecer uma das quatro situações seguintes:

• a bola não passa a barreira;

• a bola sai por cima da barra da baliza;

• a bola bate na barra da baliza;

• a bola entra na baliza.

Na barreira, o jogador mais alto tem 1,95 metros de altura.

A barra da baliza está a 2,44 metros do chão.

Admita que, depois de rematada, a bola descreve um arco, de tal modo que a sua altura, relativamente ao solo, medida em metros, é dada por:

( ) 20,32 0,01f x x x= −

sendo x a distância, em metros, da projecção da bola no solo ao local onde ela é rematada

Resolva os itens seguintes, utilizando exclusivamente métodos analíticos. Pode utilizar a calculadora, para efectuar cálculos numéricos.

9.1. É golo? Justifique a sua resposta. 9.2. Qual é a altura máxima atingida pela bola? 9.3. A que distância da linha de golo está a bola, quando atinge a altura máxima? Apresente o

resultado em metros, arredondado às décimas.

10. Considera a função: :

2f

x y x→

→ = +

10.1. Represente graficamente a função f. 10.2. Indique o fCD . 10.3. Estude a função quanto a extremos (máximos e mínimos). 10.4. Seja agora a função 2 4 3( ) ( )h x f x= − − + .

10.4.1. Determine a expressão analítica de h(x).

10.4.2. Determine o conjunto solução da condição 12

( )h x ≥ − .

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11. Considere a função g representada no gráfico ao lado.

Determine o conjunto solução da condição ( ) ( 2) 0g x g x× − < 12. Seja f a função de domínio definida por ( ) 4 3 23 3 14f x x x x x= − − +

Sabe-se que o gráfico de f intersecta o eixo Ox em apenas dois pontos. Um deles tem abcissa -2. Decomponha o polinómio 4 3 23 3 14x x x x− − + num produto de três polinómios, sendo dois do primeiro grau e um do segundo grau.

13. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as sete primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por

3 2( ) 0,04 0,76 3,51A t t t t= − + e 3 2( ) 0,12 0,72C t t t t= − + + . A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado ( [ ]0,7t∈ ).

13.1. Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter

tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas.

13.2. Recorrendo à calculadora gráfica, responda às seguintes questões:

13.2.1. No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

13.2.2. Considere as seguintes questões:

1°. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado?

2°. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 2

miligramas por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve tomá-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro?

Utilize as capacidades gráficas da tua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena

composição, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: janela de visualização, gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).

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ANEXO