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KAPITEL 3
Funktionen mehrerer Veränderlicher
3.1 Beschreibung von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . 543.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Lernziele 3• Darstellung als explizite bzw. implizite Funktion mehrerer Verän-
derlicher,• Graph der Funktion• Niveaumenge bzw. Niveaulinien• Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 54
3.1 Beschreibung von Funktionen mehrererVeränderlicher
Definition 3.1Es sei D eine Teilmenge des Rn . Eine Abbildung, die jedem Vektor~x = (x1, x2, . . . , xn )T ∈ D den eindeutig bestimmten Funktionswertf (~x) = f (x1, x2 . . . , xn ) ∈ R zuordnet ist eine reelle Funktion von nreellen Veränderlichen: f : Rn ⊇ D →R. Dabei ist D ⊆Rn der Defini-tionsbereich und die Menge der Werte f (~x) der Wertebereich derFunktion f .
Für Funktionen in 2 oder 3 Veränderlichen schreibt man üblicherweise f (x, y)bzw. f (x, y, z).
Die Zuordnung ~x → f (x1, x2, . . . , xn ) kann gegeben sein
1. durch eine explizite Rechenvorschrift:
f (x, y) = 0.15x y +0.2x +0.5y −0.5,
2. durch eine implizite Vorschrift: F (x, y, z) = 0, z.B.
x2 + y2 − z2 = 0,
3. in Parameterform f (x, y) = f (x(t ), y(t )), t ∈ [a,b]. D.h. jedem t ∈ [a,b]wird ein Funktionswert f (x(t ), y(t )) zugeordnet.Beispiel: y(t ) = cos t , x(t ) = sin t , t ∈ [0, π], und f (x, y) = 2x y = 2sin t cos t =sin(2t ).
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 55
Abbildung 3.1: Definitionsbereich.
Beispiel 3.2Die Funktion
f (x, y) =√
4−x2 − y2
x
ist definiert für alle(x, y)T ∈ R2 mit x2 + y2 ≤ 4und x 6= 0. Der Wertebereichist das Intervall (−∞,∞).
Rechenregeln: Für ~x ∈Rn gilt
1. ( f + g )(~x) = f (~x)± g (~x) (Summe und Differenz)
2. ( f g )(~x) = f (~x) · g (~x) (Produkt)
3. fg (~x) = f (~x)
g (~x) , g (~x) 6= 0 (Quotient)
4. g ◦h(~x) = g (h(~x)) (Verkettung)
Als besonders vorteilhaft zur Diskussion einer Funktion f : Rn ⊇ D → R
erweisen sich bestimmte „Hilfsfunktionen“ zu betrachten.
Definition 3.3Unter den Niveaulinien bzw. den Niveaumengen (oder auch Niveauhy-perflächen) von f zum konstanten Niveau c ∈R : versteht man die dieTeilmenge des Definitionsbereichs von f
Nc := {~x ∈ D ⊆Rn : f (~x) = c}.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 56
Abbildung 3.2: Niveaulinien und Graph der Funktion.
Der Graph der Funktion
Γ f := {(~x, f (~x)); ~x ∈ D} ⊆Rn+1.
ist dagegen die Menge aller (x1, . . . , xn , xn+1)T = (~x, xn+1) ∈ Rn+1 mitxn+1 = f (x1, . . . , xn )
Bemerkung 3.4Wir nennen F (x1, . . . , xn , xn+1) = 0 die implizite und xn+1 = f (x1, . . . , xn ) dieexplizite Darstellung des Graphen Γ f .
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 57
Beispiel 3.5Die Gerade 2x +3y = 5 ist die Niveaukurve der Funktion f (x, y) = 2x +3y
zum Niveau c = 5. Die explizite Darstellung lautet y =− 23 x + 5
3 .
Beispiel 3.6Jeder Graph y = h(x) einer (stetigen) Funktion einer Variablen x kannals Niveaukurve F (x, y) = y − f (x) = 0 einer Funktion zweier Veränderlicherangesehen werden.
3.2 Grenzwerte und Stetigkeit
Der Abstand zweier Punkte ~x,~y ∈Rn ist definiert durch
|~x −~y | =√√√√ n∑
i=1(xi − yi )2.
Zu jedem festen ~a ∈Rn und r > 0 heißt die Punktmenge
Uδ(~a) := {~x ∈Rn : |~x −~a| < r }
δ-Umgebung von ~a.
Beispiel 3.8Für n = 1 ist Uδ(a) das offene Intervall a −δ< x < a +δ.
Für n = 2 besteht Uδ(~a) aus allen Punkten der Kreisscheibe mit dem Mittel-punkt ~a und dem Radius δ ohne Randpunkte.Für n = 3 ist Uδ(~a) eine Kugel mit dem Radius δ um ~a ohne die Punkte derKugeloberfläche.
Da die geometrie zwei- und höherdimensionaler Mengen vielfältiger ist alsdie eindimensionaler Mengen, führen wir weitere Begriffe ein.
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Beispiel 3.7Gegeben ist die Funktion
z = f (x, y) = y2 −x2
4+1 : R2 →R,
Abbildung 3.3: Niveaumengen und Graph der Funktion.Der Graph der Funktion
Γ f := {(x, y, z) ∈R3 : z = f (x, y)}
ist rot dargestellt. Als farbige Kurven sind sichtbar die Niveaulinien:
Nc = {(x, y) ∈R2 : c = y2 −x2
4+1}.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 59
Definition 3.9Sei D eine Teilmenge des Rn .
1. Ein Punkt ~a ∈ D heißt innerer Punkt von D, wenn es eine r -Umgebung von ~a gibt, die ganz in D enthalten ist.
2. D heißt offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt ist.
3. Ein Punkt~b ∈Rn heißt Randpunkt von D, wenn jede r -Umgebungvon ~b sowohl mindestens einen Punkt aus D als auch mindestenseinen nicht zu D gehörenden Punkt enthält. Die Menge allerRandpunkte von D heißt Rand von D und wird mit ∂D bezeichnet.
4. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkteenthält.
Bemerkung 3.10Ist D eine offenen Menge, dann besitzt jeder Punkt aus D eine(kleine) Umgebung, die vollständig in D liegt. Dies wird wichtig,wenn wir Ableitungen betrachten.Grenzwerte können auch gegen Randpunkte betrachet werden, dienicht zur Menge D selbst gehören, weil für ~b ∈ ∂D der DurchschnittUδ(~b)∩D 6= ; ist.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 60
Definition 3.11Sei D ⊆Rn eine Teilmenge des Rn und f : Rn ⊇ D →R mit ~a ∈ D∪∂D(~a gehört zur Menge D oder ist Randpunkt von D).
1. f hat in ~a den Grenzwert c ∈R, d.h.
lim~x→~a
f (~x) = c (bzw. f (~x) → c für ~x →~a),
wenn es zu jedem (beliebig kleinen) ε > 0 eine δ-UmgebungUδ(~a) gibt, so dass | f (~x)− c| ≤ ε für alle ~x ∈ D ∩Uδ(~a),~x 6=~a,gilt.
2. f heißt in ~a ∈ D stetig, wenn lim~x→~a f (~x) = f (~a) gilt.
3. f heißt auf D stetig, wenn f in allen ~a ∈ D stetig ist.
Definition 3.12Im Fall n = 2 nennt man die Grenzwerte
limy→y0
(lim
x→x0f (x, y)
)und lim
x→x0
(lim
y→y0f (x, y)
)iterierte Grenzwerte.
Bemerkung 3.13Wenn die iterierten Grenzwerte nicht gleich sind, dann exisitert der Grenzwert
lim(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) nicht. Existieren die iterierten Grenzwerte und sind gleich,dann muss der Grenzwert lim
(x,y)→(x0,y0)f (x, y) trotzdem nicht existieren.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 61
Bemerkung 3.14Bei stetigen Funktionen kann man Grenzwert- und Funktionswertbil-dung vertauschen.
Welche Funktionen sind stetig?1. Alle Funktionen, die Summe, Differenz, Produkt, Quotient (Nenner
ungleich Null) und Verkettung von stetigen Funktionen einer reellenVeränderlichen sind, sind stetig.Bsp. f (x, y) = x2 + x y + sin(x y), oder auch f (x, y, z) = ln(x2 + y2 +1)−x4 y2z.
2. Sind f , g stetige Funktionen in ~x0 ∈Rn dann sind das skalare Vielfachec f , Summe und Differenz f ± g , Produkt f g und Quotient f
g , wenng (~x0) 6= 0, ebenfalls stetig in ~x0.
Bemerkung 3.16Eine trickreiche Variante Grenzwerte zu berechnen, ergibt sich ausder Verkettung von Funktionen bzw. der Substitution.
Satz 3.17Ist die Funktion h stetig in ~x0 und g ist stetig in h(~x0), dann ist dieverkettete Funktion g ◦h(~x0) = g (h(~x0)) stetig in ~x0. Das bedeutetinsbesondere
lim~x→~x0
g (h(~x)) = g (h(~x0)).
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 62
Bemerkung 3.15 (Graphische Interpretation)
Abbildung 3.4: Stetigkeit.Es gilt
lim(x,y)→Q
f (x, y) = c = f (Q)
und die Funktion ist stetig in Q, weil c = f (Q). In der Abbildung istP = (Q, f (Q)). Die Ebenen haben den Abstand ε und die Bildmengef (Uδ(Q)) = {(x, y, z) ∈R3 : (x, y)T ∈Uδ(Q) und | f (x, y)− f (Q)| < ε} liegtebenfalls zwischen den Ebenen. D.h. es gilt
| f (x, y)− f (Q)| < ε für alle (x, y)T ∈Uδ(Q) ⇐⇒ |(x, y)T −Q| < δ.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 63
Bemerkung 3.18Für Funktionen zweier Veränderlicher man berechnet den Grenzwert
lim(x;y)→(x0;y0)
f (g (x, y))
indem man zunächst t = g (x, y) setzt und den Grenzwertt0 = lim
(x,y)→(x0;y0)g (x, y) bestimmt. Dann ist
lim(x;y)→(x0;y0)
f (g (x, y)) = limt→t0
f (t ).
Beispiel 3.19Man bestimme den Grenzwert
lim(x;y)→(3;0)
sin(x y)
x y.
Hier ist g (x, y) = x y = t und es gilt lim(x;y)→(3;0)
x y = 0 = t0. Somit ergibtsich
lim(x;y)→(3;0)
sin(x y)
x y= lim
t→0
sin t
t= 1.
Bemerkung 3.20Diese Aussage zur Stetigkeit helfen beim Nachweis der Unstetigkeit wenig.Für den Nachweis der Unstetigkeit benutzen wir, dass der Grenzwert einerFunktion eindeutig bestimmt ist. Betrachtet man Kurven ~x(t ), parametri-siert durch einen Parameter t , die durch den Punkt ~x0 =~x(t0) verlaufen,dann muss gelten
limt→t0
f (~x(t )) = f (~x(t0)) = f (~x0)
für alle möglichen Kurven im Definitionsbereich von f , die durch ~x0 verlau-fen.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 64
Beispiel 3.21Wo ist die Funktion
f (x, y) ={
x2−y2
x2+y2 für(x, y) 6= (0,0),
0 für(x, y) = (0,0)stetig?Für (x, y) 6= (0,0) ist f als Quotient von stetigen Funktio-nen stetig. Es verbleibt f im Punkt (0,0) zu untersuchen.
Abbildung 3.5: Unstetige Funktion.In den Graphen der Funktion sind die Kurven (x(t ), y(t ), f (x(t ), y(t )))mit
1. x(t ) = y(t ) = t , t ∈R\{0}, dann gilt f (t , t ) = t 2−t 2
t 2+t 2 = 0,
2. x(t ) =−y(t ) = t , t ∈R\{0}, dann gilt f (t , t ) = t 2−t 2
t 2+t 2 = 0,
3. x(t ) = t , y(t ) = 0, t ∈R, dann gilt f (t ,0) = t 2
t 2 = 1,
4. x(t ) = 0, y(t ) = t , t ∈R, dann gilt f (t ,0) = −t 2
t 2 =−1.
eingezeichnet. Da die Grenzwerte für t → 0 verschieden sind, ist dieFunktion f (x, y) in (0,0) unstetig.
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Eine weitere Möglichkeit ist die Parametrisierung durch Polarkoordinaten,d.h. man betrachtet
f (x, y) = f (x(r,ϕ), y(r,ϕ)) = f̃ (r,ϕ)
mit x(r,ϕ) = r cosϕ, y(r,ϕ) = r sinφ, 0 ≤ r <∞, 0 ≤ϕ< 2π.
Die Funktion f ist nicht die gleiche Funktion wie f̃ !
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Beispiel 3.22Wo ist die Funktion
f (x, y) ={ 2x y
x2+y2 für(x, y) 6= (0,0),
0 für(x, y) = (0,0)
stetig?Für (x, y) 6= (0,0) ist f als Quotient von stetigen Funktionen stetig. Esverbleibt f im Punkt (0,0) zu untersuchen: Übergang zu Polarkoordinaten:x = r cosϕ, y = r sinϕ, r ∈R, ϕ ∈ [0, 2π).
f (x, y) = f̃ (r,ϕ) = r 22cosϕsinϕ
r 2 cos2ϕ+ r 2 sin2ϕ= 2cosϕsinϕ= sin(2ϕ) ∀ϕ ∈ [0, 2π).
Abbildung 3.6: Unstetige Funktion.Rot ist die Funktion dargestellt und die schwarzen Kuven entsprechen f̃ (r,ϕ)für r = 0,25, r = 1, 2, 3 und 0 ≤ϕ< 2π. D.h., dass der Grenzwert
lim(x,y)→(0,0)
f (x, y) = limr→0
sin(2ϕ) = sin(2ϕ)
nicht existiert.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 67
Bemerkung 3.23Alternativ könnte man auch hier wieder Parametrisierungen betrachten, esgilt
1. für x(t ) = y(t ) = t , dass f (t , t ) = 2t 2
2t 2 = 1, (t 6= 0),
2. für x(t ) =−y(t ) = t , dass f (t ,−t ) = −2t 2
2t 2 =−1, (t 6= 0),
deshalb existiert der Grenzwert für t → 0 nicht.
Beispiel 3.24Eine wesentliche Eigenschaft stetiger Funktionen besteht darin, dassman Grenzwertbildung und Funktionswertbildung vertauschen kann:
lim(x;y)→(0;0)
ln(x y +2x − y +1) = ln( lim(x;y)→(0;0)
(x y +2x − y +1)) = ln1 = 0.
3.3 Zusammenfassung
(1) Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher
(a) Darstellung als explizite Funktion y = f (~x), als implizite FunktionF (~x, y) = 0 oder in Parameterform f (~x) = f (~x(t )), t ∈ [a, b].
(b) Definitionsbereich D f = Menge aller ~x ∈Rn für die die Funktiondefiniert ist, nicht definiert sind insbesondere die Division durchNull, Wurzeln aus negativen Zahlen. Der Logarithmus ist nur fürpositive Argumente definiert.
(c) Wertebereich W f = Menge alle y ∈R für die es einen Vektor ~xim Definitionsbereich von f gibt mit y = f (~x)
(2) Niveaumengen bzw. Niveaulinien
Nc := {~x ∈ D f ⊆Rn : f (~x) = c}
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 68
(3) Graph der Funktion
Γ f := {(~x, xn+1) ∈Rn+1 : xn+1 = f (~x), ~x ∈ D f ⊆Rn }
(4) GrenzwertWenn es für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt mit | f (~x)− c| < ε für alle~x ∈Uδ(~x0)∩D f (und ggf. nicht in ~x0 selbst), dann gilt
lim~x→~x0
f (~x) = c.
(5) StetigkeitDie Funktion f (~x) ist in ~x0 ∈ D f stetig, wenn lim
~x→~x0f (~x) = f (~x0) gilt. In
Stetigkeitspunkten kann man Grenzwert- und Funktionswertbildungvertauschen.
(6) Grenzwerte verketterer Funktionen mit stetiger inner FunktionIst die Funktion h stetig in ~x0 und g ist stetig in h(~x0), dann ist dieverkettete Funktion g ◦h(~x0) = g (h(~x0)) stetig in ~x0. Das bedeutetinsbesondere
lim~x→~x0
g (h(~x)) = g (h(~x0)).
(7) Nachweis der UnstetigkeitIst f (~x) in ~x0 ∈ D f stetig, dann muss der Grenzwert entlang allerKurven ~x(t), t ∈ [a,b] gleich dem Grenzwert sein, da der Grenzwerteindeutig bestimmt. Gibt es zwei Kurven, entlang derer es verschiedeneGrenzwerte gibt, dann ist die Funktion unstetig.
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 69
3.4 Aufgaben
Aufgabe 3.1Gegeben sei die Funktion f (x, y) = x2−1
y .
Wie lautet der maximale Definitionsbereich?Bestimmen und Skizzieren Sie die Niveaulinien zu den Niveaus c =−1,− 1
2 , 12 ,1.
Existiert der Grenzwert lim(x;y)→(1;0)
f (x, y) ? Begründen Sie die Antwort.
Lösung: Die Funktion ist für alle (x, y) ∈R2 definiert mit Ausnahme von y = 0,da nicht durch Nulldividiert werden darf. Der maximale Definitionsbereichist deshalb R2\{(x,0)} mit x ∈R. Oder anders gesagt der R2 ohne x-Achse.Die Niveaumengen ergeben sich aus
f (x, y) = x2 −1
y= c = const ⇐⇒ y = 1
c(x2 −1), c 6= 0,
Fall c = 0 dann besteht die Niveaumenge aus den Geraden x = 1 und x =−1(mit Ausnahme aller Punkte mit y = 0).
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 70
Abbildung 3.7: Verschiedene Niveaulinien
Der Grenzwert existiert nicht, da verschiedene Niveaulinien durch denPunkt (1,0) verlaufen und entlang der Niveaulinie die Funktionswerte konstantsind.
Aufgabe 3.2Berechnen Sie die Grenzwerte lim
y→0
(limx→0
f (x, y)
)und lim
x→0
(limy→0
f (x, y)
)und überprüfen Sie ob der Grenzwert lim
(x,y)→(0;0)existiert für
(a) f (x, y) = x2−y2
x2+y2 ,
(b) f (x, y) = x yx2+y2 .
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 71
Lösung: (a) Für f (x, y) = x2−y2
x2+y2 gilt
limx→0
x2 − y2
x2 + y2= −y2
y2=−1, y 6= 0, lim
y→0
x2 − y2
x2 + y2= x2
x2= 1, x 6= 0,
limy→0
(limx→0
x2 − y2
x2 + y2
)= lim
y→0(−1) =−1 und lim
x→0
(limy→0
x2 − y2
x2 + y2
)= lim
x→01 = 1.
Folglich sind beide Grenzwerte voneinander verschieden. Dass der Grenzwertlimx→0
(limy→0
f (x, y)
)nicht exisitert, zeigen wir durch zwei verschiedene Parame-
trisierungen.(a) Für x(t ) = t und y(t ) = 0 (entlang der x-Achse) ergibt sich
limt→0
t 2 −0
t 2 +0= 1,
(b) dagegen erhält man für x(t ) = 0 und y(t ) = t (entlang der y-Achse), dass
limt→0
0− t 2
0+ t 2=−1.
(b) Mit f (x, y) = x yx2+y2 ergibt sich
limx→0
x y
x2 + y2= lim
y→0
x y
x2 + y2= 0
folgt, dass die iterierten Grenzwerte gleich und gleich Null sind
limy→0
(limx→0
x y
x2 + y2
)= lim
x→0
(limy→0
x y
x2 + y2
)= 0.
Trotzdem existiert der Grenzwert lim(x,y)→(0,0)
x yx2+y2 nicht, weil bei Annäherung
entlang der Geraden y = x, also y(t ) = x(t ) = t gilt
limt→0
t 2
t 2 + t 2= 1
2,
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 72
dagegen erhält man entlang der Geraden y(t ) =−x(t ) = t
limt→0
−t 2
t 2 + t 2=−1
2.
Aufgabe 3.3Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf die Existenz von Grenz-werten an der Stelle (0; 0) und berechnen Sie diese gegebenenfalls.
(a)sin(ax y)
x y, a ∈R\{0}, (b)
ax+y −1
x + y, a ∈R\{0}.
Lösung: (a) Wegen a 6= 0 gilt
sin(ax y)
x y= a sin(ax y)
ax y.
Die Funktion h(x, y) = ax y ist in (0,0) stetig und lim(x,y)→(0,0)(ax y) = 0,dadurch erhalten wir mit t = ax y
lim(x,y)→(0,0)
sin(ax y)
x y= lim
t→0
a sin t
t= a.
(b) Die Funktion h(x, y) = x + y ist in (0,0) stetig und es gilt h(0,0) = 0. Mitt = x + y folgt deshalb
lim(x,y)→(0,0)
ax+y −1
x + y= lim
t→0
at −1
t= at ln a
1= ln a,
wobei für den letzten Schritt die l’Hospitalsche Regel angewandt wurde.