ge entropia gabaritos
TRANSCRIPT
1
ENTROPIA -‐ TODOS GABARITOS
GUIA DE ESTUDOS SOBRE ENTROPIA
GE 7.2) Teste sua compreensão!
GE 7.2.1) Marque V ou F. Justifique todas as suas respostas.
( F ) No zero absoluto a energia interna de um sistema é nula.
Comentário: Não, a física quântica mostra que mesmo no zero absoluto há uma energia interna
mínima.
( V ) TdQdS = é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica.
Comentário: Até agora a segunda lei havia sido expressa em termos de uma “impossibilidade”, Para
formulá-la em termos quantitativos usamos o conceito de entropia S, como expresso acima. A entropia
relaciona-se com a probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número
de possibilidades de configuração que esse sistema possa ter.
( F ) Quanto mais próximo de Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura de um sistema.
Comentário: Pelo contrário, se torna mais difícil abaixar a temperatura de um sistema à medida que se
diminui a temperatura. Como mostra a 3ª lei da termodinâmica, é impossível atingir o zero absoluto
através de um número finito de processos cíclicos.
( F ) A variação de entropia depende do caminho.
Comentário: Não, entropia é uma variável de estado, e portanto depende apenas do estado inicial e
final do sistema.
( V ) A variação de entropia em um processo cíclico é igual a zero.
Comentário: Sim, a entropia só depende do estado final e inicial, portanto sua variação é nula em um
ciclo, pois o estado inicial e final coincidem.
( F ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que 0=ΔU
nesta fonte.
Comentário: Somente para gases ideias observamos que a energia interna depende apenas da
temperatura. Ou seja, a afirmação não pode ser generalizada.
( F ) A entropia nunca diminui em um processo reversível.
Comentário: A variação TOTAL de entropia durante qualquer processo reversível é igual a zero. Em
sistemas isolados a variação da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo,
a entropia diminui durante um expansão isotérmica de uma gás ideal (processo reversível).
2
( F ) A entropia nunca diminui em um processo irreversível.
Comentário: A variação TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversível é positiva. Em
sistemas isolados a variação da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo,
a entropia diminui durante uma compressão isovolumétrica de uma gás (processo reversível).
( V ) A entropia do universo sempre aumenta.
Comentário: A Variação TOTAL de entropia durante qualquer processo reversível é igual a zero. A
variação TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversível é positiva. Como todo processo
natural é irreversível a entropia TOTAL do universo sempre aumenta.
( V ) É impossível a ocorrência espontânea de um processo onde a entropia diminui.
Comentário: Como todo processo natural é irreversível, todo processo espontâneo sempre ocorre no
sentido de aumento da entropia.
( V ) Em processos irreversíveis as variações positivas de entropia sempre superam as negativas.
Comentário: Em processos irreversíveis ocorrem tanto variações positivas quanto negativas de
entropia, no entanto a variação TOTAL é sempre positiva.
( V ) Quando a entropia aumenta a disponibilidade de energia diminui.
Comentário: Isso é uma conseqüência da segunda lei da termodinâmica. A transformação de energia
mecânica em calor é um processo irreversível, portanto a energia convertida em calor não fica
integralmente disponível para a realização de trabalho.
( F ) Entropia é uma grandeza que pertence a cada partícula individualmente.
Comentário: Não faz sentido falar de entropia de uma partícula. Entropia relaciona-se com a
probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número de possibilidades de
configuração que esse sistema possa ter.
( V ) Para um dado estado macroscópico podem haver vários estados microscópicos correspondentes.
Comentário: Sim, há várias formas de configuração microscópicas que resultam na mesma
configuração macroscópica.
GE 7.2.2) Sobre a entropia de um sistema, não é correto afirmar que:
a) Nunca pode ser negativa. b) Nunca pode diminuir.(X)
c) Pode variar em um sistema isolado. d) Sua variação independe do processo.
* ATENÇÃO: A entropia (S) de um sistema nunca pode ser negativa, no entanto a VARIAÇÃO DE
ENTROPIA ( SΔ ) pode ser negativa, em um sistema isolado ou em um processo reversível.
GE 7.2.3) Em um processo de expansão livre de um gás ideal de um estado a para um estado b é
3
correto afirmar que:
a) a entropia e a energia interna não se alteram.
b) a variação da entropia é a mesma que ocorreria em uma expansão reversível, enquanto a
variação de energia interna é nula. (X)
c) As variações de energia interna e de entropia são positivas.
d) A variação de energia interna é menor que zero e a variação de entropia é maior que zero.
GE 7.2.4) A entropia pode diminuir:
a) Em um processo cíclico;
b) Apenas em um sistema submetido a um processo idealizado, para o qual a segunda lei não é válida;
c) Dentro de um sistema isolado submetido a um processo irreversível; (X)
d) Dentro de um sistema submetido a um processo reversível. (X)
GE 7.2.5) Não violaria a segunda lei da termodinâmica, um processo de:
a) Compressão espontânea do ar em uma sala;
b) A água dentro de um copo sobre a mesa começar a congelar espontaneamente;
c) Fluir calor da Terra para o Sol;
d) Uma lata de refrigerante entrar em equilíbrio térmico com o gelo dentro de um recipiente. (X)
GE 7.3) Temperatura e a 3ª Lei da Termodinâmica
GE 7.3.1) A eficiência de um ciclo de Carnot não depende da natureza da substância operante, isto é:
( )CHH
CH TTfQ
QQ−=
Δ
Δ−Δ
||||
à ( )CHH
C TTfQQ
−−=Δ
Δ1
Ou ( )
( )CHCHC
H TTFTTfQ
Q−=
−−=
Δ
Δ
11||
Em 1848, William Thompson, mais tarde, Lord Kelvin, propôs que F(TH, TC) fosse igual a .C
H
Θ
ΘAs
quantidades Θ são chamadas de temperaturas termodinâmicas e seriam independentes de qualquer
substância específica. As temperaturas termodinâmicas Θ têm o mesmo significado que as
temperaturas T definidas pelos termômetros de gás à volume constante à baixas pressões.
4
a) Para o ciclo de Carnot usando um gás ideal,
como mostrado na figura ao lado, calcule HQΔ
para 1 mol de gás em função de VK, VL e TH.
L
KHKLH V
VnRTWQ ln==Δ
b) Calcule CQΔ em função de VN, VM e TC.
N
MC
M
NCMNC V
VnRTVVnRTWQ lnln −===Δ
c) Com auxílio da equação 11 −− = γγiiff VTVT
prove que N
M
K
L
VV
VV
=
Como 11 −− = γγMCLH VTVT e
11 −− = γγNCKH VTVT
1
1
1
1
−
−
−
−
=γ
γ
γ
γ
N
M
K
L
VV
VV
N
M
K
L
VV
VV
=∴
d) Mostre que C
H
C
H
C
H
TT
Θ
Θ==
Δ
Δ, ou seja, que
as temperaturas dos termômetros de gás a
volume constante à baixas pressões sejam as
mesmas que as temperaturas termodinâmicas de
Kelvin.
0<Δ∴< CMN QVV
CC QQ Δ−=Δ
L
K
N
M
H
C
H
C
VVV
V
TT
ln
ln⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Δ
Δ
H
C
H
C
TT
−=Δ
Δ
5
H
C
H
C
TT
=Δ
Δ
Portanto, como mostramos ser uma função só das
temperaturas
( )H
CCH
C
H
TT
TTFQQ
=−=Δ
Δ ||
Temos que
H
C
H
C
TT
=Θ
Θ
ENUNCIADO DA 3ª. LEI DA TERMODINÂMICA: O zero absoluto de temperatura é inatingível em
qualquer sequência finita de processos.
Em termos de entropia pode-se dizer que a entropia do estado de equilíbrio de qualquer sistema tende
a zero quando a temperatura tende para o zero absoluto.
GE 7.3.2) Represente uma seqüência de ciclos de Carnot,
em um diagrama p x V e discuta o que aconteceria ao se
resfriar o sistema repetidamente. Como isto se relaciona
com a 3ª. Lei da Termodinâmica.
Resp: Ao abaixar a temperatura a área do ciclo vai ficando
cada vez menor. No limite verifica-se uma situação onde
seria retirado calor em um ciclo sem uma mudança de
temperatura.
GE 7.3.3) Represente uma seqüência de ciclos de Carnot,
em um diagrama T x S e discuta o que aconteceria, ao se
resfriar o sistema.
Resp: Cada área corresponde ao calor Q retirado do
sistema. No limite de resfriamento teríamos um processo
isotérmico sem uma correspondente diminuição da
entropia.
GE 7.3.4) Como os resultados dos dois itens anteriores levam à 3ª. Lei da Termodinâmica?
Resp: Não é possível atingir o zero absoluto através de um número finito de processos
termodinâmicos.
6
GE 7.4) Variação de entropia em processos reversíveis e irreversíveis
GE 7.4.1) Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai de 30º para 17ºC. Responda:
a) A variação de entropia na sala é positiva?
b) Isso viola a 2ª Lei? Explique.
Resp:
a) A variação da entropia é negativa, pois foi retirada uma certa quantidade de calor da parte quente
(dentro da sala) e entregue para a vizinhança (lado externo).
b) Este fato não viola a 2ª lei porque a vizinhança tem uma variação positiva de entropia, sendo essa
maior que a variação de entropia no interior da sala.
GE 7.4.2) Em um dia úmido, o vapor d’água se condensa em uma superfície fria. Durante a
condensação como varia a entropia da água? Explique com base na segunda lei da Termodinâmica.
Resp: A entropia da água diminui e da vizinhança aumenta, pois a mesma quantidade de calor que sai
do vapor é cedido à superfície fria. Considerando a variação total temos um aumento de entropia, como
prevê a segunda lei.
GE 7.4.3) Existe alguma variação de entropia em movimentos puramente mecânicos?
Resp: A variação de entropia ocorre apenas quando existir transferência de calor.
GE 7.5) Variação de Entropia
GE 7.5.1) Qual é a variação sofrida por 1,0 kg de água ao se transformar em vapor a 100º C a uma
pressão de 1 atm.
Resp: Encontre o valor de Q pela expressão VmLQ = já que se trata de um processo de vaporização.
! =!"# ""#$!!%& $ ' "# (%( )=""#$"$
Com esse valor e com a temperatura em Kelvin, pode-se calcular a variação de entropia envolvida no
processo:
!! ="#=!!"#$$%& %
&'&&=#(%""$%& % )&
GE 7.5.2) Um amostra de 1 kg de cobre, a 100ºC, é colocada num calorímetro com 4 litros de água a
0º C. A capacidade calorífica do calorímetro é desprezível. Calcule a variação da entropia:
a) do cobre;
b) da água;
7
c) do universo.
Resp: Calcule a temperatura final do sistema:
recebidocedido QQ = 1!0,386 100"T( ) = 4! 4,190 T" 0( )#T = 2,26ºC = 275, 4K
Cobre
i
Fcobrecobrecobre T
TcmS ln=Δ
KJS
S
cobre
cobre
/1173734,275ln386,0
−=Δ
=Δ
Água
i
Faguaaguaagua T
TcmS ln=Δ
KJS
S
agua
agua
/13715,2734,275ln)190,4(4
=Δ
=Δ
Universo (Processo irreversível)
cobreaguauniverso SSS Δ+Δ=Δ
0/20117137
>Δ
=−=Δ
Δ+Δ=Δ
universo
universo
cobreaguauniverso
SKJS
SSS
GE 7.5.3) Se 500J de calor são transferidos de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda:
a) Qual é a variação de entropia do universo?
b) Que parcela dos 500J pode ser transformada em trabalho?
Resp: A entropia do Universo é a soma das entropias da fonte quente com a da fonte fria
KJS
TQ
TQS
SSS
universo
CHuniverso
CHuniverso
/417,03001
4001500 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=Δ
+−
=Δ
Δ+Δ=Δ
b) Calcule a eficiência da máquina usando
25,04003001
1
=−=
−=
e
TTeH
C
Por fim, calcule o trabalho usando a expressão: HeQW =
W = 0,25 500( ) =125 J
GE 7.5.4) Um sistema absorve 300 J de calor de uma fonte a 300 K e 200 J de outra fonte a 400 K.
Retorna, então, ao estado inicial, efetuando 100J de trabalho e descarregando 400 J de calor em um
reservatório na temperatura T.
8
a) Qual a variação da entropia do sistema em um ciclo completo?
b) Se o ciclo for reversível, qual a temperatura T?
Resp:
a) A entropia é uma função de estado, portanto ela será sempre nula em um processo cíclico
b) O calculo de TC pode ser feito lembrando que a variação da entropia do Universo é a soma das
variações de entropia nas três fontes.
KTT
TQ
TQ
TQS
SSSS
C
C
CHHuniverso
CHHuniverso
267
400400200
3003000
21
21
=
−++=
−++=Δ
Δ+Δ+Δ=Δ
GE 7.5.5) Calcule a variação de entropia do universo em um processo em que 10 g de vapor de água
a 100 ºC e a 1 atm são introduzidos em um calorímetro de capacidade calorífica desprezível contendo
150 g de água e 150 g de gelo a 0ºC.
Resp: Calcule as transferências de energia que ocorrem no calorímetro:
1ª) Calor necessário para derreter 150g de gelo:
FmLQ = à Q1 = 0,150kg 334!103J / kg.K( ) = 50,1kJ
2ª) Calor liberado pelo vapor na liquefação e o calor que reduz a temperatura de 10g de água de 100ºC
para 0ºC
TmcmLQ V Δ+=
Q2 = (10!10"3) 2.257!103( )+ 10!10"3 ! 4190!100#$ %&= 26, 76kJ
Se KTQQ final 27312 =∴=
Encontre a massa de gelo que derrete com o calor fornecido a ela:
gkgmmLQ F 2,800802,05,33375,26
===⇒=Δ
Pode-se calcular agora as variações de entropia
Gelo Vapor Universo
9
KJS
KJQS
g
g
/98
/75,262732
=Δ
==Δ
f
iaguaagualVvaporvapor T
TcmTLmS ln/ +−=Δ
KJSS
vapor
vapor
/74
732,0ln84,41373/22750
−=Δ
+−=Δ
vaporgelouniverso SSS Δ+Δ=Δ
0/24
>Δ
=Δ
universo
universo
SKJS
Processo irreversível
GE 7.5.6) Construa o gráfico T x S de acordo com os gráficos p x V
10
GE 7.6) VISÃO MICROSCÓPICA DA ENTROPIA
Suponha que duas moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa”. Qual é a probabilidade de
que ambas exibam “cara”? Só há uma configuração possível para que isso ocorra (veja tabela). O
mesmo vale para se obter ambas com “coroa”. No entanto existem duas maneiras distintas de se obter
uma “cara” e uma “coroa”. Existem ao todo 4 possibilidades de configuração, em duas delas o sistema
exibe 1 cara e 1 coroa, é portanto esse deve ser o resultado mais provável.
Configuração microscópica do
sistema “2 moedas”
Possibilidades microscópicas
Nº de possibilidades microscópicas para um
mesmo estado
macroscópico
2 caras
1 cara e 1 coroa
2 coroas
1
2
1
Siga o mesmo raciocínio para 3 moedas:
Configuração microscópica
do sistema “3 moedas” Possibilidades microscópicas
Nº de possibilidades
microscópicas para um
mesmo estado macroscópico
11
3 caras
2 caras e 1 coroa
1 cara e 2 coroas
3 coroas
1
3
3
1
GE 7.6.1) Qual é o resultado mais provável ao lançar 3 moedas?
Resp: Pela tabela acima, vemos que existem 3 possibilidades de se obter 2 caras e 3 possibilidade de
se obter 2 coroas. Essas duas configurações são as que tem a maior probabilidade de ocorrer quando
se lança 3 moedas.
GE 7.6.2) Em um jogo com seu colega, no qual fossem lançadas quatro moedas, você apostaria em:
a) todas exibindo cara b) todas exibindo coroa
c) 1 cara e 3 coroas d) 2 coroas e 2 caras
Qual a razão da sua escolha?
Resp: Por que existe mais chance de ocorrer a configuração “d” quando se tem 2 caras e duas coroas,
comparado com as demais possibilidades.
GE 7.6.3) Repita o mesmo procedimento das figura acima, mas agora considerando 4 moedas. Sua
resposta se confirma?
Resp: A resposta se confirma já que há seis configurações possíveis para se obter 2 caras e duas
coroas e para as demais configurações o número de possibilidades é menor (4 ou 1)
Configuração microscópica do sistema “4 moedas”
Possibilidades microscópicas
Nº de possibilidades
microscópicas para um mesmo estado macroscópico
todas exibindo cara
1
12
três caras e uma coroa
4
Duas caras e duas coroas
6
Uma cara e três coroas
4
Quatro coroas
1
GE 7.6.4) Em um novo jogo seu colega lança 4 moedas , sendo que uma foi pintada de azul. Ele lhe
diz que obteve 4 caras, facilmente você pode dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu
colega lhe dissesse que a configuração é de 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como está a
moeda azul? Você poderia responder com certeza a essa pergunta?
Resp: Quando as moedas caem todas exibindo cara é evidente a configuração de cada moeda
individualmente. Isso não ocorre quando elas caem 2 caras e 2 coroas. A moeda azul pode estar entre
as duas que caíram exibindo cara ou entre as duas que caíram exibindo coroa; não há como afirmar
com certeza a posição de nenhuma das moedas individualmente.
GE 7.6.5) Se um determinado número de moléculas confinados num cilindro se expandem em uma
sala, o número de posições onde ela pode ser encontrada aumenta ou diminui?
13
Resp: O número de posições aumenta, já que ela tem mais espaço para percorrer. A princípio uma
molécula poderia ser encontrada com certeza dentro do cilindro, em alguma posição daquele pequeno
espaço. Após a expansão ela poderá estar em qualquer posição dentro de todo o espaço da sala.
GE 7.6.6) Aumenta-se a temperatura de um certo gás confinado em um êmbolo. Como isso interfere na
distribuição de velocidades das moléculas? O que se pode afirmar sobre o número de posições
possíveis que as moléculas podem ocupar dentro do êmbolo antes e depois do aquecimento?
Resp: O aumento de temperatura, como já foi visto anteriormente, aumenta a energia interna do
sistema. Assim, tendo maior energia interna um maior número de moléculas poderá ocupar as
posições possíveis e disponíveis para o gás dentro do êmbolo depois do aquecimento.
GE 7.6.7) Seja w o número de estados microscópicos possíveis para um dado estado macroscópico.
Podemos mostrar que a entropia S de um estado macroscópico é dada por wkS ln= . Onde k é a
constante de Boltzmann. Como entropia é uma variável de estado (ou seja, em qualquer processo a
variação da entropia é o que interessa) podemos dizer que
12 SSS −=Δ
12 lnln wkwkS −=Δ
1
2lnwwkS =Δ
Considere que n moles de um gás estão à temperatura T confinados em uma caixa termicamente
isolada e dividida por uma parede em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em
um dos compartimentos foi feito vácuo. A seguir quebramos a parede e o gás se expande e preenche
completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variação de entropia nesse processo de
expansão livre, usando a definição microscópica da entropia dada acima.
Resp:
Não há trabalho realizado, não há variação da energia interna, contudo as moléculas tem 2 vezes mais
espaço para se mover.
AnNN = é o número total de moléculas, assim , o número total de moléculas cresce de N2 , ou seja
12 2 ww N=
2ln2ln
2lnln1
1
1
2
NkSkS
wwk
wwkS
N
N
=Δ
=Δ
==Δ
14
Como AnNN = e ANRk = , obtemos
( ) 2ln2ln nRNRnNS
AA =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Δ Este resultado é o mesmo que seria obtido se o cálculo fosse feito
através da expressão: TQS =Δ
© Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
GE 7.7) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
GE 7.7.1) Calcule a variação de entropia que ocorre quando misturamos 1,00 kg de água a 20,0º C com 2,00 kg de água a 80,0º C
Resp: Cálculo da Temperatura de equilíbrio TE
( ) ( )KTKkgJkgQ Ecedido 353.419000,2 −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= ( ) ( )Erecebido TKKkg
JkgQ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= 293.419000,1
Q cedido = Q recebido KTE 333=∴
Quando ocorre variação de temperatura, o cálculo de variação da entropia imaginando-se um processo reversível que ocorra entre os dois estados. Ou seja,
∫∫ ∫ ==⇒=Δ2
1
2
1
2
1 1
2lnt
t
t
t
t
t TTmc
TdTmc
TmcdT
TdQS
( ) )353333)(ln.4190)(00,2(º20 KK
KkgJkgS Cagua =Δ
( ) KJS Cagua /488º20 −=Δ
( ) )293333)(ln.4190)(00,1(º80 KK
KkgJkgS Cagua =Δ
( ) KJS Cagua /536º80 =Δ
15
( ) KJS Total /48488536 =−=Δ
GE 7.7.2) Em um processo reversível três moles de um gás ideal são comprimidos isotermicamente a 20,0º C. Durante a compressão um trabalho de 1850 J é realizado sobre o gás. Qual é a variação de entropia do gás?
Resp: Para uma expansão isotérmica, ΔT = 0, ΔU = 0 e Q = W. A variação de entropia é dada por
./31,615,293
1850 KJKJ
TQ
==
GE 7.7.3) Um gás ideal sofre uma dilatação isotérmica reversível a 132º C. A entropia do gás aumenta de 46,2 J/K. Qual é o calor absorvido?
Resp: TQS =Δ
JKKJQ 711,18)405(2,46 ==
kJQ 7,18=
GE 7.7.4) Um mistura de 1,78 kg de água e 262 g de gelo a 0º C é levada, por processo reversível, para um estado final de equilíbrio a 0ºC onde a razão das massas de gelo/água é: 1:1
a) Calcule a variação de entropia do sistema durante o processo.
b) O sistema retorna ao primeiro estado de equilíbrio por processo irreversível (Utilizando um bico de Bunsen, por exemplo). Calcule a variação de entropia durante este processo.
c) Mostre que sua resposta é consistente com a segunda lei da termodinâmica.
Resp: É necessário encontrar o fluxo de calor do processo:
mLQ F=
( ) kJkgxKgJxQ 506,25310759)10334( 33 −== −
KJ
KkJ
TQS 928
273506,253
−=−
==Δ
A entropia nesse caso é negativa, por ser um processo reversível, no qual retira-se calor do sistema.
(b) A variação da entropia só depende dos estados inicial e final, portanto ao retornar ao estado de equilíbrio por processo irreversível a entropia aumenta de 928J
(c) A entropia primeiramente sofre uma variação negativa na mistura em questão, através de um processo reversível. É importante lembrar que a variação total da energia é positiva, porque a
16
vizinhança também sofre uma variação de entropia. E variação final é positiva.
O segundo processo é irreversível, portanto a variação da entropia é positiva.
GE 7.7.5) Um cubo de gelo de 12,6 g a -10,0º C é colocado em um lago cuja temperatura é +15,0º C. Calcule a mudança de entropia do sistema quando o gelo alcançar o equilíbrio térmico com o lago (sugestão: o gelo afetará a temperatura do lago?)
Resp: É claro que um cubo de gelo não vai mudar a temperatura do lago inteiro. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua temperatura final elevada até 15ºC. As variações de entropia correspondentes são:
KJKkgJkgTdTmcS
f
i
T
Tgelo /99,0
263273ln)./2100)(0126,0(∫ ===Δ
( )( ) KJK
kgJkgTmLS F
gelo /37,15273
/3330000126,0===Δ
KJKJkgTdTmcS
f
i
T
Taguaagua /82,2
273288ln)/4190)(0126,0(∫ ===Δ
KJS águagelo /2,1982,237,1599,0 =++=Δ −
O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equilíbrio é:
( ) ( )( ) ( )( )[ ] JKkgKJkgKJKkgKJkgQlago 3,110915/4190/419010/21000126,0 =++=
A variação de entropia do lago vai ser:
KJKJSlago /85,3
2885,1109
−=−=Δ
A variação da entropia do sistema será KJSSS lagoaguagelo /35,1585,32,19 =−=Δ+Δ=Δ +
© Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG
17
GABARITO DOS PROBLEMAS
GE 7.8) PROBLEMAS
GE 7.8.1) Um mol de um gás ideal monoatômico é obrigado a completar o ciclo mostrado na figura.
a) Qual é o trabalho efetuado sobre o gás na dilatação de a até c pelo caminho abc?
b) Qual é a variação da energia interna e a entropia ao passar de b para c?
c) Qual é a variação de energia interna e entropia em um ciclo completo?
Dê suas respostas em termos da pressão p0 e do volume V0 no ponto a do diagrama.
Resp: (a) No caminho abc só há realização de trabalho no processo isobárico ab. Wab é igual à área do gráfico sob o segmento de reta ab
003 VpVpWab =Δ=
(b) No processo isovolumétrico bc, as temperaturas, inicial e final são:
RVpTa 00=
aab TVVTT 44
0
0 ==
( )( )a
ac T
ppTT 824
0
0 ==
Para a variação da energia interna vem,
( ) aav RTTRTnCU 64823)0,1( =−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ=Δ
E para variação de entropia, tem-se:
18
∫ ==Δc
b
T
T b
cvvbc TTnC
TdTnCS ln
2ln23 RSbc =Δ
(c) A variação da energia interna no ciclo deve ser nula. Pode-se confirmar isso calculando-se as variações associadas aos processos ab e ca e somando-as ao já conhecido valor da variação no processo bc:
( ) ( ) 0000
2914
230,1 Vp
RVpRTnCU vab =−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ=Δ
( ) ( ) 0000
22181
230,1 Vp
RVpRTnCU vca −=−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ=Δ
GE 7.8.2) Um mol de um gás monoatômico ideal passa por dois processos diferentes, de um estado inicial cuja pressão é p0 e volume V0 para um estado final de pressão 2p0 e volume 2V0.
(I) O gás se dilata isotermicamente até que o volume dobre e então a pressão é aumentada, a volume constante, até atingir o estado final.
(II) Ele é comprimido isotermicamente até que sua pressão dobre e então seu volume é aumentado a pressão constante até o estado final. Represente os dois processos num diagrama pV. Calcule, para cada processo, em termos de p0 e V0:
a) O calor absorvido pelo gás em cada parte do processo. b) O trabalho realizado sobre o gás em cada parte do processo c) A variação de energia interna do gás d) A variação de entropia do gás
Resp: (I) Expansão Isotérmica 0=ΔU WQ =∴
(a) e (b) 2lnln pVVV
RTWQi
f ===
Processo isovolumétrico: W=0 QU =Δ
( )afv TTRTCQ −=Δ=23
;RpVTa = af T
RpVT 44
==
( ) pVRpVRQ
2914
23
=−=
19
(c) pVQU29
==Δ
(d) 2ln2ln1 R
TpV
TQS ===Δ
∫ ===Δf
a
T
Tv RRTdTCS 2ln34ln
23
2
( ) 2ln42ln3121 RRSSSI =+=Δ+Δ=Δ
(II) Compressão Isotérmica 0=ΔU WQ =∴
V
VRTWQ 2ln==
2lnpVWQ −==
( )bfp TTRTCQ −=Δ=25
;2
21RpVVp
RTb =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= bf TRpVT 44
==
( ) pVRpVRQ
21514
25
=−=
( ) pVVVpVpW 35,022 =−=Δ=
(c) pVpVWQU29
26
215
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−=Δ
(d) 2ln3 RS −=Δ
2ln54ln25
4 RRTdTCS
f
b
T
TP ===Δ ∫
20
( ) 2ln42ln5143 RRSSSII =+−=Δ+Δ=Δ
Sendo a entropia uma variável de estado, confirma-se que III SS Δ=Δ , portanto independente do caminho.
GE 7.8.3) Diagrama TS
a) Faça um gráfico do ciclo de Carnot indicando a entropia no eixo horizontal e a temperatura Kelvin no eixo vertical. Trata-se de um diagrama temperatura–entropia ou diagrama TS
b) Mostre que a área embaixo da curva que representa o processo reversível no diagrama TS representa o calor absorvido pelo sistema.
Resp:
∫=∴=∴=f
i
TdSQTdSdQTdQdS
Para bc e da dS=0 logo 0== dabc QQ , portanto adiabático.
Para ab
( )∫ −==2
1
1211
S
Sab SSTdSTQ que é a área do gráfico
Para cd
( )∫ −==1
22122
S
Scd SSTdSTQ que é a área do gráfico.
Para o ciclo completo:
( )∫ Δ−== STTTdsQtotal 21
i) c) Utilize o diagrama TS para deduzir a eficiência térmica do ciclo de Carnot.
ii) iii) Resp:
( )STSTT
QQQ
QQQ
QWe T
ab
cdab
Δ
Δ−==
−=
−==
1
21
11
21
1
1
21TTe −=
21
GE 7.8.4) Ciclo de Stirling
O ciclo de Stirling é semelhante ao ciclo de Otto exceto quando a compressão e a expansão do gás ocorrem isotermicamente e não adiabaticamente como no caso do ciclo Otto. O ciclo de Stirling é usado em uma máquina de combustão externa, ou seja, a máquina na qual o gás no interior do cilindro não é usado no processo de combustão. O calor fornecido continuamente pelo fluido combustível no exterior do cilindro em vez de ser oriundo de uma explosão no interior do cilindro como no ciclo Otto. Por esta razão, as máquinas que funcionam com o ciclo de Stirling são mais silenciosas do que as máquinas que funcionam com o ciclo Otto, uma vez que não existe válvula de admissão nem válvula de exaustão (a principal fonte de ruído do motor. Embora pequenas máquinas de Stirling possam ser usadas em diversas aplicações, o uso do ciclo de Stirling em um automóvel não teve êxito porque o motor é maior, mais pesado e mais caro do que o motor convencional do automóvel. No ciclo, o fluido de trabalho realiza os seguintes processo.
iv) i ) Compressão isotérmica à temperatura T1 do estado inicial a até o estado b, com uma razão de compressão r.
v) vi) ii) Aquecimento a volume constante até o estado c com
temperatura T2
vii) viii) iii) Expansão isotérmica à temperatura T2 até o estado d ix) x) iv) Resfriamento a volume constante retornando para o
estado inicial a
Suponha que o fluido de trabalho seja n moles de um gás ideal (para o qual Cv não depende da temperatura).
a) Calcule Q, W, e ΔU para os processos a → b, b → c, c → d, d → a,
b) no inicio do ciclo de Stirling, os calores transferidos nos processos b → c, d → a não envolvem fontes de calor externas, porém usam a regeneração: a mesma substância que transfere calor do gás dentro do cilindro no processo b → c também absorve calor de volta do gás no processo d → a. Portanto os calores transferidos Q b → c e Q d → a não desempenham papel na determinação da eficiência da máquina. Explique esta última afirmação comparando as expressões de Q b → c e Q d → a
obtidas na parte 9 (a)
c) Calcule a eficiência de um ciclo de Stirling em termos de temperaturas T1 e T2.
d) Como ele se compara com as eficiências de um ciclo de Carnot operando entre estas mesmas temperaturas? (Historicamente o ciclo de Stirling foi deduzido antes do ciclo de Carnot)
e) Este resultado viola a segunda lei da termodinâmica? Explique.
e) Usando um diagrama T x S relacione a eficiência do ciclo de Stirling com a eficiência do ciclo de Carnot.
Resp:
Processos ΔU ΔQ W
ab 0 ( )rnRT ln1− ( )rnRT ln1−
bc ( )12 TTnCV − ( )12 TTnCV − 0
22
cd 0 ( )rnRT ln2 ( )rnRT ln2
da ( )12 TTnCV −− ( )12 TTnCV −− 0
Para ab e cd – Processos Isotérmicos
WQU =Δ∴=Δ 0
∫ ∫===ΔVdVnRTpdVWQ
( )rnRTWQrnRTWQ
VV
nRTWQi
F
lnln
ln
1
−==Δ
==Δ
==Δ
−
Para bc e da – isovolumétricos
UQW Δ=Δ∴= 0
( )iFV TTnCQU −=Δ=Δ
b) Sendo as transformações são isovolumétricas, o trabalho é nulo. Ou seja o calor absorvido é todo convertido em energia interna.
c) e d)
Resp:
Processo a-b - Isotérmico
rnRTQab ln1−=
rnRTWab ln1−=
0=Δ abU
Processo b- c Isovolumétrico
( )12 TTnCQ Vbc −=
0=bcW
( )12 TTnCU Vbc −=Δ
Processo c-d - Isotérmico
23
rnRTQcd ln2=
rnRTWcd ln2=
0=Δ cdU
Processo d-a Isovolumétrico
( )12 TTnCQ Vda −−=
0=daW
( )12 TTnCU Vda −−=Δ
bcda QQ = Logo eles não entram no cálculo da eficiência, por causa
da regeneração.
rnRTrnRTrnRT
QWWWW
QWe
cd
dacdbcab
H ln0ln0ln
1
21
−
=++−=
+++==
( )1
21
lnln
TTT
rnRrnRe −
−
−=
( )1
21
TTTe −
=
1
21TTe −= Eficiência exatamente igual à de Carnot
e) Não viola a segunda lei, afinal a eficiência de Stirling não supera a eficiências de Carnot nos mesmos extremos de temperatura
f) WdQdU −=
TQS =Δ . Substituindo Q nesta expressão tem-se:
TdTnC
TpdVdS V==
∫ +=ΔTdTnC
VdVnRS V
i
FV
i
F
TTnC
VVnRS lnln +=Δ
24
Nos processos bc e da o volume é constante, logo o primeiro termo da expressão acima é igual a zero
i
FV T
TnCS ln=Δ
Isolando T, temos;
( )0
0 lnTT
nCSTS
V
=−
VnCSS
eTT 0
0
−
=
( ) VnCSS
eTST0
0
−
=
A dependência da temperatura em relação a entropia é exponencial.
GE 7.8.5)
a) Qual dos seguintes processos gasta mais energia:
(1) Um corpo se move inicialmente com 500J de energia cinética e é desacelerado até repouso pelo atrito quando a temperatura da atmosfera é de 300K.
(2) 1 kJ de calor é transferido de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300k
b) Qual é a variação de entropia do universo em cada um dos processos?
Resp:
(a) Processo (1) Toda a energia mecânica é perdida, portanto o gasto de energia é de 500J
Processo (2) Imagine uma máquina térmica funcionando no ciclo de Carnot, nesse caso
JkJQTTW HH
Cutil 2501*25,01 ==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
O gasto de energia é 1000 – 250 = 750J.
O processo (1) gasta mais energia mecânica, o processo (2) gasta mais energia total.
b) KJTQS /67,11 =Δ
=Δ
KJTT
QSHC
/833,0112 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ=Δ
21 SS Δ>Δ .
25